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Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura ESTÁTICA – Arquitectura – 2006/07

3. Estática dos Corpos Rígidos. Sistemas de vectores

3.1 Generalidades

Conceito de Corpo rígido (ponto material). Situações em que se torna necessário considerar as deformações internas (sistemas estaticamente indeterminados, problemas de dimensionamento, efeitos geometricamente não lineares, etc.). As condições de repouso ou movimento de um corpo rígido não são unicamente descritas pela resultante (esta nada diz sobre a tendência do sistema de forças comunicar um movimento de rotação ao corpo). O objectivo do capítulo consiste na introdução do conceito do sistema força-conjugado equivalente que descreve univocamente as condições de repouso ou de movimento do corpo rígido sob a acção dum determinado sistema de forças. 3.2 Princípio da Transmissibilidade. Forças equivalentes

Enunciado: “.. as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido permanecem inalteradas se a força F, aplicada num dado ponto do corpo rígido, for substituída por uma força F´ com a mesma intensidade, a mesma direcção e o mesmo sentido, aplicada num outro ponto, desde que estas duas forças tenham a mesma linha de acção.”


As duas forças F e F´ produzem o mesmo efeito sobre o corpo rígido e dizem-se forças equivalentes. As forças aplicadas em corpos rígidos constituem vectores deslizantes. Limitações do princípio da transmissibilidade. Avaliação das deformações e das forças interiores. 3.3 Momento de uma força em relação a um ponto

Definição.

FrFAOM FO

rrrrr×=×=

Trata-se de um vector com as seguintes características:

• Direcção – Perpendicular ao plano definido por AOr

e Fr

• Sentido – de acordo com a regra da mão direita, ou,

equivalentemente, de tal forma que AOr

, Fr

e M FO

r constituam,

por essa ordem, um triedro directo

• Intensidade – ( ) dFsenFAOM FO

rrrr== θ


Significado físico O momento de uma força (aplicada num corpo rígido) relativamente a um ponto dá uma indicação sobre a tendência que a força tem de provocar a rotação ao corpo em torno de um eixo. Esse eixo contem o ponto, sendo perpendicular ao plano definido pela força e pelo seu vector de posição. Teorema de Varignon

( ) N21N21 Fr...FrFrF...FFrRrsrrrrrrrrrrr

×++×+×=+++×=×

Ou seja, o momento resultante de um sistema de forças concorrentes pode ser obtido somando vectorialmente os momentos provocados isoladamente por cada uma dessas forças. Este teorema permite determinar o momento de uma força mediante a soma vectorial dos momentos provocados isoladamente pelas suas componentes cartesianas. Componentes cartesianas do momento de uma força. Nota: rever o conceito de produto externo (ou vectorial) de dois vectores.

( ) ( ) ( )kFyFxjFzFxiFzFyFFFzyxkji

M xyxzyz

zyx

FO

rrr

rrr

−+−−−==


Problema 3.6 (Beer e al., 7ª Edição, 2006)

Soluções: a) M=80 Nm b) P=205,3 N c) Pmin=177,8 N


3.4 Momento de uma força em relação a um eixo

Em muitas aplicações práticas os corpos estão constrangidos a rodar em torno de um eixo determinado (ex: porta). Nesses casos introduz-se o conceito de momento de força relativamente a eixo. Definição

( )FAOλMλrrrrr

×•=•= FO

FOLM

Nota: o momento de uma força relativamente a um eixo é independente do ponto (sobre o eixo) no qual é determinado o momento da força (relativamente a um ponto). Demonstrar. Significado físico. Traduz a tendência da força provocar um movimento de rotação ao corpo em torno desse eixo. Notas: (1) rever conceito de produto interno entre dois vectores

( )θcosQPQPrrrr

=•

(2) rever conceito de produto misto (ou produto triplo) entre três vectores

( )zyx

zyx

zyx

QQQPPPSSS

=×• QPSrrr

Componentes cartesianas de o momento de uma força.


Problema 3.59 (Beer e al., 7ª Edição, 2006)

Beer, Prob. 3.59Coordenadas dos pontos relevantes (m)A 0 0 0F 2.4 0.3 2.4E 2.1 -0.9 0D 7.2 0.9 0

EF 0.3 1.2 2.4 Norma 2.7lambda EF 0.111111 0.444444 0.888889 Norma 1

AD 7.2 0.9 0 Norma 7.256032lambda AD 0.992278 0.124035 0 Norma 1

MAF 0.992278 0.124035 0 Lambda AD MAF -24916.1 Nm2.4 0.3 2.4 AF

2700 10800 21600 FEF

MA -19440 -45360 25110 0.992278 MAF -24916.1 Nmex ey ez 0.124035

0lambda AD


3.5 Momento de um conjugado

Um conjugado é um sistema de forças cuja resultante é nula mas cujo momento, determinado em qualquer ponto (Momento do conjugado), é não nulo. Trata-se de um sistema de forças que tende a provocar um movimento de rotação ao corpo rígido no qual está aplicado. Conjugado (binário) – duas forças, F e F´=-F, com a mesma intensidade, linhas de acção paralelas e sentidos opostos.

Momento de um conjugado

( ) ( ) FrFrrFrFrM BABAOrrrrrrrrrr

×=×−=−×+×=

• Direcção – perpendicular ao plano definido pelas duas l.a. • Sentido – de acordo com a regra da mão direita • Intensidade – F r senθ = F d


Nota: O momento de um conjugado é independente do ponto no qual é determinado. Dado ser independente do ponto O no qual é determinado diz-se constituir um vector livre (desvinculado quer do ponto de aplicação quer da linha de acção).

Exemplo de conjugado

Dois conjugados dizem-se equivalentes se e só se têm o mesmo momento – o efeito dum conjugado aplicado num corpo rígido é univocamente descrito pelo seu momento do conjugado. O efeito de dois conjugados é ainda um conjugado cujo momento se obtém somando vectorialmente os momentos dos conjugados

Os momentos dos conjugados constituem vectores.


Problema 3.69 (Beer et al., 7ª Edição, 2006)

Resolução:

Beer, Prob. 3.59 M=13.5 Nm

Forças em A e D distância 0.25 m Forças 54 N

Forças em A e D delta x 0.25 m distância 0.2915 mdelta y 0.15 m Forças 46.30 N

Forças em A e C delta x 0.25 m distância 0.4717 mdelta y 0.4 m Forças 28.62 N


3.6 Equação de propagação do momento de uma força Substituição duma força aplicada num ponto (A) por uma força aplicada em outro ponto (O) e por um conjugado.

FrFAOM FO

rrrrr×=×=

“..qualquer força F aplicada num corpo rígido pode ser deslocada para um ponto O, exterior à sua linha de acção, desde que seja acrescentado um conjugado de momento igual ao momento de F em relação a O...” caso se tivesse deslocado a força F para outro ponto O´, ter-se-ia

( ) FO

FÓ MFOÓFAOOÓFAÓM

rrrrrrrrr+×=×+=×=

que constitui a equação de propagação do momento de uma força num corpo rígido.


3.7 Elementos de redução de um sistema de forças

Considere-se um corpo rígido sujeito à acção de um conjunto de forças Fi (i=1,2,..N) aplicadas em pontos distintos Ai. Pode-se, de acordo com os resultados anteriores, substituir a acção individual de cada força pelo sistema força-conjugado aplicado em O. As forças podem ser somadas – obtendo-se a resultante R, e os momentos dos conjugados podem ser somados – obtendo-se o momento resultante Mo

R.

∑=

+++==N

1iN21i F..FFFRrrrrr

∑=

×++×+×=×=N

1iNN2211ii

RO FAO..FAOFAOFAOM

rrrrrrrr

Estes dois vectores (resultante e momento resultante) constituem os designados elementos de redução, em O, do sistema de forças. Traduzem, duma forma mais sintética, as condições de movimento que o sistema de forças tende a provocar no corpo rígido.


Uma vez determinados num ponto O, os elementos de redução estes podem ser extrapolados para qualquer outro ponto. Com efeito, num outro ponto O´, os elementos de redução são:

∑=

+++==N

1iN21i F...FFFRrrrrr

ROÓMM RO

RÓ

rrrr×+=

A segunda equação, que descreve o campo vectorial de momentos resultantes num corpo rígido, é designada por equação de propagação do momento resultante. Trata-se duma equação que faz corresponder a cada ponto P do espaço, descrito pelas suas coordenadas (xp, yp, zp), o momento resultante MR

P, descrito pelas suas componentes cartesianas.


3.8 Sistemas estaticamente equivalentes de forças

Dois sistemas de forças dizem-se estaticamente equivalentes quando tendem a provocar o mesmo tipo de movimento (ou repouso) ao corpo em que se encontram aplicados. Uma vez que os elementos de redução (determinados num ponto) sintetizam o tipo de movimento que o sistema de forças tende a comunicar ao corpo, pode afirmar-se que dois sistemas de forças são estaticamente equivalentes se, e só se, apresentarem os mesmos elementos de redução num mesmo ponto.

21 RRrr

=

21 RP

RPP MM

rr=∃

Nota: Demonstre que sendo os elementos de redução de dois sistemas de forças iguais num determinado ponto, estes sê-lo-ão iguais em quaisquer outros pontos. Problema 3.80 (Beer et al., 7ª Edição, 2006)


3.9 Invariantes de um sistema de forças

Invariantes de um sistema de forças. No caso geral, embora os elementos de redução variem consoante o ponto de redução, existem determinadas grandezas que permanecem inalteradas. Tratam-se dos invariantes do sistema de forças. Estes são: • 1º invariante (invariante vectorial) – Resultante.

Rr

• 2º invariante (invariante escalar) – Projecção do momento

resultante segundo a direcção da resultante.

Ó,ORO

RÓ R.MR.M ∀=

rrrr

Nota: demonstre que é invariante a componente do momento resultante segundo a direcção da resultante.


3.10 Classificação de sistemas de forças

Considerem-se os elementos de redução determinados num ponto genérico O (caso geral). Decomponha-se o momento resultante MO

R em duas componentes: (1) paralela à resultante; e (2) perpendicular à resultante.

Determinem-se os elementos de redução num outro ponto Q.

( )sR =r

ROQMM RO

RQ

rrrr×+=

ou, graficamente,


Da análise do procedimento anterior conclui-se: • A propagação de momentos não altera a componente

paralela, ou seja a componente paralela é invariante (para um determinado sistema de forças).

• A propagação de momentos afecta a componente perpendicular, sendo conceptualmente possível eliminá-la em certos pontos. Nestes pontos (em que a componente perpendicular é nula o momento resultante reduz-se á sua componente paralela (invariante). O momento resultante é mínimo nos mesmos pontos.

O raciocínio anterior foi elaborado no caso geral dum sistema de forças. Existem, contudo, casos particulares que se distinguem com base nos seus invariantes. Os invariantes permitem a classificação do sistema de forças com base no quadro seguinte.


1. Sistema equivalente a vector (força mais conjugado). Caso mais geral.

0RM RO ≠•

rr

A componente paralela é não nula. O sistema de forças na sua forma mais simples reduz-se a uma força (resultante) e um conjugado cujo momento tem a direcção da resultante. 2. Sistema equivalente a vector único (ou força única).

0R0RM RO

rrrr==•

A componente paralela é nula mas a resultante é não nula. O momento resultante é sempre perpendicular à resultante. Na sua forma mais simples o sistema de forças reduz-se à resultante aplicada numa determinada linha de acção (sem momento). 3. Sistema equivalente a conjugado (campo uniforme de

momentos).

0M0R RO

rrrr≠=

A resultante é nula, pelo que o momento resultante é constante, mas não nulo. A acção do sistema de forças é um conjugado cujo momento é o momento resultante (determinado em qq ponto). 4. Sistema equivalente a zero (equilíbrio).

0M0R RO

rrrr==


3.11 Sistemas redutíveis a força única. Linha de acção da resultante.

Sistemas de forças complanares

Sistemas de forças paralelas


A Linha de Acção (l.a.) da resultante é determinada por forma a que esta (resultante) quando aí colocada produza o momento resultante determinado no ponto de redução. Considerando-se os pontos O (ponto de redução) e Q (ponto sobre a linha de acção da resultante).

ROMROQrrr

=× Problema: Aplicam-se quatro forças a uma treliça como indicado. Determine a intensidade e a direcção da resultante. Assim como a distância da sua linha de acção ao ponto A.


(Outro) Problema: Uma placa horizontal encontra-se sujeita a um sistema constituído por seis forças verticais. Determine a intensidade das forças F1 a F3 tal que o sistema seja equivalente ao conjugado MR=200i+350j (Nm).

Figuras extraídas de Engineering Mechanics: Statics. RILEY, William F.; STURGES,

Leroy. John Wiley and Sons, 1996.

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