28 aap rpm 3 em professor

GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAO

AVALIAO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO

Subsdios para o Professor de Matemtica

3a srie do Ensino Mdio

Prova de Matemtica

Comentrios e reComendaes

PedaggiCas

So Paulo1o Semestre de 2014

6a Edio

28

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Comentrios e Recomendaes Pedaggicas / Avaliao de Matemtica 3a srie do Ensino Mdio2

Avaliao da Aprendizagem em Processo

APRESENTAO A Avaliao da Aprendizagem em Processo se caracteriza como ao desen-volvida de modo colaborativo entre a Coordenadoria de Informao, Monito-ramento e Avaliao Educacional e a Coordenadoria de Gesto da Educao Bsica, que tambm contou com a contribuio de Professores do Ncleo Pe-daggico de diferentes Diretorias de Ensino.

Aplicada desde 2011, abrangeu inicialmente o 6 ano do Ensino Fundamental e a 1 srie do Ensino Mdio. Gradativamente foi expandida para os demais anos/sries (do 6 ao 9 ano do Ensino Fundamental e 1 a 3 srie do Ensino Mdio) com aplicao no incio de cada semestre do ano letivo.

Essa ao, fundamentada no Currculo do Estado de So Paulo, tem como obje-tivo fornecer indicadores qualitativos do processo de aprendizagem do educan-do, a partir de habilidades prescritas no Currculo. Dialoga com as habilidades contidas no SARESP, SAEB, ENEM e tem se mostrado bem avaliada pelos educa-dores da rede estadual. Prope o acompanhamento da aprendizagem das tur-mas e do aluno de forma individualizada, por meio de um instrumento de car-ter diagnstico. Objetiva apoiar e subsidiar os professores de Lngua Portuguesa e de Matemtica que atuam nos Anos Finais do Ensino Fundamental e no Ensino Mdio da Rede Estadual de So Paulo, na elaborao de estratgias para reverter desempenhos insatisfatrios, inclusive em processos de recuperao.

Alm da formulao dos instrumentos de avaliao, na forma de cadernos de provas para os alunos, tambm foram elaborados documentos especficos de orientao para os professores Comentrios e Recomendaes Pedag-gicas contendo o quadro de habilidades, gabaritos, itens, interpretao pe-daggica das alternativas, sugestes de atividades subsequentes s anlises dos resultados e orientao para aplicao e correo das produes textuais. Espera-se que, agregados aos registros que o professor j possui, sejam instru-mentos para a definio de pautas individuais e coletivas que, organizadas em um plano de ao, mobilizem procedimentos, atitudes e conceitos necessrios para as atividades de sala de aula, sobretudo, aquelas relacionadas aos proces-sos de recuperao da aprendizagem.

COORDENADORIA DE INFORMAO, MONItORAMENtO E AvALIAO EDuCACIONAL

COORDENADORIA DE GEStO DA EDuCAO BSICA


3Comentrios e Recomendaes Pedaggicas / Avaliao de Matemtica 3a srie do Ensino Mdio

Avaliao da Aprendizagem em Processo Matemtica

Nos dois segmentos (Ensino Fundamental Anos Finais e Ensino Mdio) ava-liados, as questes foram idealizadas de modo a atender habilidades j de-senvolvidas em perodos anteriores, seja no ano, ou no semestre letivo. Par-ticularmente no 6 ano (5 srie) do EF foram utilizadas as expectativas de aprendizagens contidas na grade do 5 ano (4 srie) do EF.

As questes apresentadas retratam uma parte significativa do que foi previsto no contedo curricular de Matemtica e podero permitir a verificao de al-gumas habilidades que foram ou no desenvolvidas no processo de ensino e aprendizagem.

Composio:

1. Anos/sries participantes: 6 ao 9 anos do Ensino Fundamental; 1 a 3 sries do Ensino Mdio.

2. Composio das provas de Matemtica: 10 questes objetivas e algumas dissertativas.

3. Matrizes de referncia (habilidades/descritores) para a constituio de itens das provas objetivas: Currculo do Estado de So Paulo.

4. Banco de questes: Questes inditas e adaptadas, formalizadas a partir das habilidades pres-critas no Currculo.

EquIPE DE MAtEMtICA



MATRIZ DE REFERNCIA PARA AVALIAO DE MATEMTICA

3 SRIE - ENSINO MDIO

N doitem Habilidades

1Compreender os raciocnios combinatrios aditivo e multiplicati-vo na resoluo de situaes problema de contagem indireta do nmero de possibilidades de ocorrncia de um evento.

2Saber resolver equaes e inequaes trigonomtricas simples, compreendendo o significado das solues obtidas, em diferen-tes contextos.

3 Saber resolver e discutir sistemas de equaes lineares pelo esca-lonamento de matrizes.

4

Saber construir o grfico de funes trigonomtricas como f(x)= a . sen (bx) + c, a partir do grfico de y = sen (x), compreen-dendo o significado das transformaes associadas aos coeficien-tes a,b e c.

5

Saber identificar propriedades caractersticas, calcular relaes mtricas fundamentais (comprimentos, reas e volumes) de sli-dos como o prisma e o cilindro, utilizando-os em diferentes con-textos.

6Compreender o significado das matrizes e das operaes entre elas na representao de tabelas e de transformaes geomtri-cas do plano.

7Saber calcular probabilidades de eventos em diferentes situaes problema, recorrendo a raciocnios combinatrios gerais, sem a necessidade de aplicao de frmulas especiais.

8Saber identificar propriedades caractersticas, calcular relaes m-tricas fundamentais (comprimentos, reas e volumes) de slidos como a pirmide e o cone, utilizando-os em diferentes contextos

9 Conhecer e saber utilizar as propriedades simples do binmio de Newton e do tringulo de Pascal.

10

Saber identificar propriedades caractersticas, calcular relaes mtricas fundamentais (comprimentos, reas e volumes) de sli-dos como o prisma e o cilindro, utilizando-os em diferentes con-textos.

11

Saber construir o grfico de funes trigonomtricas como f (x) = a . sen (bx) + c, a partir do grfico de y = sen (x), compreen-dendo o significado das transformaes associadas aos coeficien-tes a, b e c.

12Saber identificar propriedades caractersticas, calcular relaes mtricas fundamentais (comprimentos, reas e volumes) da esfe-ra e de suas partes utilizando-os em diferentes contextos.



Habilidade:Compreender os raciocnios combinatrios aditivo e multiplicativo na resoluo de situaes problema de contagem indireta do nmero de possibilidades de ocorrncia de um evento.

Questo 01 TesteO campeonato de futebol do bairro tem 4 times e realizado em turno nico, no qual todos jogam contra todos. Este campeonato ter

(A) 4 jogos.

(B) 6 jogos.

(C) 12 jogos.

(D) 24 jogos.

Comentrios e recomendaes pedaggicasO trabalho com os princpios bsicos de contagem, sobretudo o multiplicati-vo, deve ser iniciado no ensino fundamental, por meio de problemas simples onde esquemas e rvores de possibilidades podem ser utilizados. Os pro-blemas de contagem devem possibilitar que o raciocnio combinatrio seja desenvolvido e no devem apenas reforar procedimentos sem significado. O foco do trabalho deve ser na resoluo de problemas e no na aplicao de frmulas.

O problema proposto est num contexto familiar para a maioria dos alunos e pode ser resolvido com contagem simples, listando todas as possibilidades. O uso de frmulas pode ser um complicador nesse caso. Para encontrar a soluo basta listar os pares dos times A, B, C e D:

(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D),

observando que, nesse caso, os pares (A, B) e (B, A) representam o mesmo elemento, que um jogo. O professor pode explorar esta questo aumen-tando o nmero de times do campeonato.

Grade de correo

Alternativa Interpretao

(A) 4 jogos.Resposta incorreta. O aluno pode deduzir que com 4 times haver 4 jogos.

(B) 6 jogos.Resposta correta. O aluno consegue resolver problemas simples de contagem.



(C)12 jogos.

Resposta incorreta. O aluno pode chegar na resposta 12 por ter contado duas vezes cada par de times. um erro comum no perceber que nesse contexto o par (A,B) representa o mesmo que (B,A), ou seja, um jogo do campeonato.

(D) 24 jogos.

Resposta incorreta. O aluno pode ter feito a permutao dos 4 times, obtendo 4.3.2.1=24. Isso pode revelar que no compre-endeu o problema ou chutou a resposta, raciocinando que o campeonato deve ter muitos jogos.

Algumas referncias

O estudo da temtica em questo pode ser complementado ou retomado, observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 2 srie, Volume 3, SEE-SP.

Cerri, C., Druck, I. F., Combinatria sem Frmulas, Mdulo 3, pp 13-23, PEC--Construindo Sempre, CENP/SEE-SP uSP, So Paulo, 2002.

Experincias Matemticas: 8 srie, SE/CENP, So Paulo, 1996.

Lima, E., Carvalho, P. C. P., Wagner, E., Morgado, A. C., A Matemtica do Ensino Mdio volume 2, 3a. ed., SBM, Rio de Janeiro, 2000.

Habilidade: Saber resolver equaes e inequaes trigonomtricas simples, compreendendo o signifi-cado das solues obtidas, em diferentes contextos.

Questo 02 Testeuma das solues da equao 2cos(x) = 1

(A) 3

(B) 4

(C) 0

(D)

6



Comentrios e recomendaes pedaggicasA questo proposta procura averiguar se o aluno consegue determinar uma medida de arco em radiano para o qual o cosseno igual a 1/2. questes desse tipo podem tambm ser trabalhadas em contextos que envolvem mo-delos de fenmenos peridicos.

Para ampliar o significado de equaes e inequaes trigonomtricas pode--se trabalhar de forma articulada o crculo trigonomtrico e os grficos das funes trigonomtricas. Por exemplo, na questo proposta esperado que o aluno reconhea, dentre os valores das alternativas, aquele cujo cosseno 1/2. No encontrando /3, dever observar que /3 tambm soluo.

Pode-se representar a soluo tanto no crculo trigonomtrico, como no gr-fico da funo f (x) = cos(x), localizando as pr-imagens de 1/2. O fato de exis-tirem infinitas solues para a equao fica mais evidente quando se utiliza o grfico da funo.

1

1

0,5

0,5

0,5

0,50

y

xpi/3

pi/3pi/3pi/3

1

1 2 3 4 5

1

1

0,5

0

0

A

Grade de correo


(A) 3

Resposta Correta. O aluno reconhece que cosseno de /3 igual ao cosseno de /3 e que vale 1/2. tambm vlido se o aluno trabalha com medidas em graus, geralmente mais familiar.

(B) 4

Resposta incorreta. O aluno no reconhece cosseno e seno de ngulos notveis. Nesse caso, o professor deve procurar trabalhar situaes de aprendizagem onde necessrio ma-nipular senos e cossenos de vrios ngulos.

(C) 0 Resposta incorreta. O aluno pode ter apenas considerado o ngu-lo cujo cosseno 1, no manipulando corretamente a equao.

(D) 6

Resposta incorreta. um dos erros mais comuns o de achar que o ngulo que tem cosseno igual a 1/2 /6. O aluno pode ainda no dominar a medida em radiano e ter feito a converso errada, trocando /3 por /6. O professor deve procurar iden-tificar o tipo de erro e trabalhar com vrias representaes, fa-zendo uso do crculo principalmente do trigonomtrico.



Algumas referncias


Barufi, M. C.B., Lauro M. M., Funes elementares, equaes e inequaes: uma abordagem utilizando o microcomputador, CAEM-IME-uSP, So Paulo, 2000.

Carmo M, Morgado A., Wagner E., Trigonometria e nmeros complexos, Cole-o do Professor de Matemtica - SBM, Rio de Janeiro, 1992.


http://ecalculo.if.usp.br

Habilidade:

Saber resolver e discutir sistemas de equaes lineares pelo escalonamento de matrizes.

Questo 03 Testeuma papelaria recebeu um lote especial de cadernos, canetas e lapiseiras e fez a seguinte promoo:

Kit Preo

Kit 1: 1 Caderno + 1 Caneta R$ 15,00

Kit 2: 1 Caderno + 1 Lapiseira R$ 13,00

Kit 3: 1 Caneta + 1 Lapiseira R$ 12,00

Mantendo os mesmos preos da promoo, um novo Kit com 1 caderno, 1 lapiseira e 1 caneta dever custar

(A) R$ 40,00.

(B) R$ 28,00.

(C) R$ 20,00.

(D) R$ 16,00.

Comentrios e recomendaes pedaggicasuma habilidade importante que deve ser desenvolvida nos alunos a de fa-zer a transposio para a linguagem algbrica de um problema. Na questo proposta se o aluno escrever os dados do problema em linguagem algbrica



ir perceber que h trs incgnitas (valores a descobrir) que representam os preos do caderno, da caneta e da lapiseira. Assim pode surgir um sistema de trs equaes e trs incgnitas.

{ y + z = 15x + z = 13x + y = 12O aluno poder resolv-lo de diversas formas, obtendo os valores x = 5, y = 7 e z = 8. Contudo, como o que pedido a soma x+y+z, que representa o preo do novo Kit, ele poder encontrar a soluo fazendo a soma total:

(y+z) + (x+z) + (x+y) = 15 + 13 + 12 = 40

donde

2(x + y + z) = 40

Portanto, x + y + z = 20.

Grade de correo


(A) R$ 40,00 Resposta incorreta. O aluno pode ter chegado nessa res-posta somando todos os valores dos kits

(B) R$ 28,00Resposta incorreta. O aluno pode ter chegado nessa res-posta somando todos os valores dos dois primeiros kits, onde aparece o caderno.

(C) R$ 20,00 Resposta correta. O aluno domina. Consegue transpor o problema para linguagem algbrica e resolver corretamente.

(D) R$ 18,00 Resposta incorreta. O aluno pode ter chegado nessa res-posta considerando que o valor de um kit com os trs obje-tos deve ser maior que o valor de cada um dos kits.

Algumas referncias



Lima, E. Sobre o ensino de sistemas lineares, Revista do Professor de Matem-tica n 23 SBM, Rio de Janeiro, 1993.

Lima, E., Carvalho, P. C. P.,Wagner, E., Morgado, A. C., A Matemtica do Ensino Mdio volume 3, 6a. ed., SBM, Rio de Janeiro, 2006.



Habilidade: Saber construir o grfico de funes trigonomtricas como f(x) = a . sen(bx) + c, a partir do grfico de y = sen(x), compreendendo o significado das transformaes associadas aos coeficientes a, b e c.

Questo 04 Teste O grfico abaixo representa a funo trigonomtrica:

y

x

5

4

3

2

1

0

0 /2-/2 3/2 2

(A) f(x) = 3 + sen(x)

(B) f(x) = 3 sen(x)

(C) f(x) = 3 sen(x)

(D) f(x) = 3 sen(x) + 1

Comentrios e recomendaes pedaggicas importante que o aluno reconhea as principais caractersticas das funes y = sen(x) e y = cos(x) para poder compreender o significado de transforma-es sofridas pelos seus grficos com incluso de constantes, identificando, assim, grficos de funes do tipo

y = a sen(bx) + c ou y = a cos(bx) + c.

O uso de programas (softwares) grficos facilita muito o trabalho com fun-es, agregando significado a cada transformao.

A questo trata de enfatizar a determinao da expresso de uma funo a partir de seu grfico. comum que se d muita nfase para a representao grfica de uma funo a partir de sua expresso. Para que o aluno tenha compreenso e apreenso de um conceito importante que as vrias representaes do objeto matemtico sejam tratadas. Segundo o pesquisador francs Raymond Duval, somente ao transitar entre os diferentes tipos de representaes que se torna



possvel apreender um conceito. Conforme Duval, as representaes no s so necessrias para fins de comunicao, mas so igualmente essenciais para a ati-vidade cognitiva do pensamento. Assim ele defende uma abordagem que tra-balhe com diversos registros de representao e principalmente que estimule a converso nos dois sentidos. No caso do conceito de funo deve-se trabalhar as representaes algbrica, grfica, em tabela e em linguagem natural, pois cada tipo de representao mais adequado para um determinado tipo de procedi-mento ou evidencia caractersticas diferentes.

Grade de correo


(A) f(x) = 3 + sen(x)

Resposta correta. O aluno reconhece que houve um deslocamento vertical no grfico da funo seno de 3 unidades e que as caractersticas da fun-o seno esto presentes.

(B) f(x) = 3 sen(x)

Resposta incorreta. O aluno pode ter percebido que na funo f(0) = 3 e apenas com esta anlise ter escolhido este item. Note que este item deve ser descartado, pois f(/2) = 2, que no corresponde ao valor da funo que est representada no grfico.

(C) f(x) = 3.sen (x)

Resposta incorreta. O aluno pode ter escolhido esta alternativa por ter apenas observado que a funo representada corta o eixo y no ponto 3 e ento achar que houve a multiplicao por 3. Nesse caso reco-mendvel que o professor retome o assunto com atividade onde o aluno deve identificar principais elementos de grficos de funes, como as intersec-es nos eixos x e y e alguns pontos especiais.

(D) f(x) = 1+3sen(x)Resposta incorreta. Como no caso anterior, reco-mendvel que o professor trabalhe os principais elementos de grficos de funes.

Algumas referncias



Cerri, C, Monteiro, M. S.(2002) Funes como Instrumento de Modelagem, M-dulo 1, PEC-Construindo Sempre, CENP/SEE-SP uSP, So Paulo, 2002.


http://ecalculo.if.usp.br



Habilidade: Saber identificar propriedades caractersticas, calcular relaes mtricas fundamentais (comprimentos, reas e volumes) de slidos como o prisma e o cilindro, utilizando-os em diferentes contextos.

Questo 05 Aberta

Deseja-se construir uma embalagem no formato de um prisma reto com 10 cm de altura e 120 cm3 de volume. Sua base um tringulo issceles de base 6 cm.

Sabendo que a embalagem no ter tampa, mas ter fundo, calcule sua rea total, mostrando todos os clcu-los efetuados.

Comentrios e recomendaes pedaggicasPara que o trabalho com geometria espacial seja efetivo, os alunos devem ser expostos a uma grande variedade de situaes desde o incio do ensino fundamental. O contato com as formas geomtricas e suas propriedades deve ser iniciado nos primeiros anos de escolaridade e sempre retomado, com diferentes graus de dificuldade. Percebe-se que pela falta de familia-ridade com geometria espacial as frmulas de reas e volumes de slidos no so compreendidas e apenas decoradas. O desenvolvimento da geo-metria espacial mtrica far mais sentido e ser mais efetivo aps uma re-tomada das caractersticas e propriedades dos slidos e das figuras planas. Nesse sentido, interessante propor situaes de aprendizagem onde os alunos possam manipular os slidos e assim fazer conjecturas e descobrir relaes. Atualmente, h vrios recursos computacionais, como por exem-plo, softwares de Geometria Dinmica, que auxiliam o ensino e a aprendi-zagem desses temas.

Grade de correo

Para resolver o problema o aluno deve articular vrios conhecimentos de geo metria. Primeiramente com a altura e o volume se obtm a rea da base que 12. Com esse dado deve-se obter as medidas dos lados do tringulo. Como o tringulo issceles e tem base de medida 6, sua rea dada por 6 . h/2 = 12, logo h = 4



A B

C

h = 4

D

b = 6

preciso descobrir a medida dos outros dois lados, que so iguais. usando o teorema de Pitgoras tem-se que BC = AC = 5. O prisma ter duas faces retangulares de rea 5 . 10 = 50 cada uma, e uma de rea 60. Como a caixa aberta, ela tem uma base triangular de rea 12. Portanto a rea total do prisma 172.

O professor deve estar atento forma de resoluo do problema e no ape-nas a resposta, para tentar identificar qual a dificuldade do aluno. O aluno pode ter identificado o que deve fazer e assim ter procurado calcular a rea das faces. Ele pode ter usado que cada lado do tringulo da base mede 6 e assim obtido 3 . 6 . 10 = 180 como sendo a soma das reas das faces retangu-lares. Isso pode indicar que ele confunde tringulo issceles com equiltero.

Ao procurar obter a rea da face triangular, o aluno ter que usar a informa-o do volume do prisma. Assim ele poder chegar resposta 180 + 12 = 192. Nesse caso o aluno revela que sabe como se obtm o volume de um prima, habilidade que se pretende avaliar. Essa uma situao muito favorvel, onde apenas uma discusso sobre o que caracteriza um tringulo equil-tero deve ser feita.

Como foi pedido o clculo da rea total do prisma, o aluno pode ter perce-bido que precisa encontrar a altura do tringulo, j que a sua rea (base.altura)/2. Contudo pode no aplicar corretamente o teorema de Pitgoras.

Convm observar que o aluno pode no reconhecer a base como face e ob-ter como rea total o valor 160, que deve ser considerado.

Algumas referncias



Lima, E., Carvalho, P.C.P.,Wagner, E., Morgado, A.C., A Matemtica do Ensino Mdio volume 2, 3a. ed., SBM, Rio de Janeiro, 2000.



Habilidade: Compreender o significado das matrizes e das operaes entre elas na representao de tabelas e de transformaes geomtricas do plano.

Questo 06 Teste

uma matriz M = ( a b )c d , pode ser interpretada como uma transformao de pontos do plano. um ponto de coordenadas ( x, y ) pode ser representado pela

matriz ( x )y , e assim o produto M . ( x )y representar outro ponto do plano.

O produto da matriz M = ( 0 1 )1 0 pelo par ordenado (2,5) o par ordenado (A) ( 5, 2)

(B) ( 5, 2)

(C) ( 2, 5)

(D) (5, 2)

Comentrios e recomendaes pedaggicasApesar da questo envolver apenas produto de matrizes, ela remete a um significado importante e til para o desenvolvimento desse tema em sala de aula. A utilizao de significado geomtrico s matrizes 2x2 como transfor-maes no plano possibilitam um melhor aprendizado das operaes bsi-cas entre matrizes e suas propriedades.

Explorando diversos exemplos, pode-se discutir propriedades do produto de matrizes de forma mais interessante e significativa. Nas atividades interes-

sante salientar que a multiplicao de matrizes do tipo ( 1 0)0 1 , (1 0 )0 1 ,

( 0 1)1 0 , (0 1)1 0 , bem como: (

0 1)1 0 , (1 0 )0 1 e (

0 1 )1 0 est associada s rotaes do plano. O professor pode tambm mostrar ao aluno que a ma-triz da questo produz uma rotao de /2 no sentido anti-horrio.



x

5

4

3

3

2

2

1

1

-1

-1-2-3-4-5

0

0

B

A

C

y

Grade de correo


(A) ( 2, 5) Resposta incorreta. O aluno pode ter efetuado o clculo erra-do ou pensado em multiplicar -1 por 2 e 1 por 5.

(B) ( 5, 2) Resposta correta. O aluno compreendeu o enunciado e efe-tuou o clculo corretamente.

(C)( 2,5) Resposta incorreta. O aluno no deve ter compreendido o problema e escolheu o mesmo ponto do enunciado.

(D) (5, 2)Resposta incorreta. O aluno pode ter efetuado o clculo do

produto errado da forma (2,5) . ( 0 1)1 0 , = (5, 2).

Algumas referncias


Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 2 srie, Volume 2, SEE-SP




Habilidade: Saber calcular probabilidades de eventos em diferentes situaes problema, recorrendo a raciocnios combinatrios gerais, sem a necessidade de aplicao de frmulas especiais.

Questo 07 Testeuma concessionria de automveis da marca SC promete dar um carro novo a um cliente se este jogar um dado comum e der 6, e jogar uma moeda trs ve-zes, e nas trs vezes der coroa. Supondo o dado e a moeda no viciados, temos que a probabilidade do cliente ganhar o carro de

(A) uma em 12.

(B) uma em 36.

(C) Uma em 48.

(D) uma em 96.

Comentrios e recomendaes pedaggicasPara obter a probabilidade, o aluno ter que compreender que, como os eventos so independentes, basta obter a probabilidade de cada evento e multiplicar os resultados. Assim, como a probabilidade de se obter 6 num dado 1/6 e de se obter coroa numa moeda 1/2, tem-se:

1

6 .

1

2 .

1

2 .

1

2 =

1

48

Contudo outra forma de resolver o problema apenas pensar em quantos resultados existem. Nesse caso pode-se fazer a contagem utilizando o prin-cpio multiplicativo:

6 . 2 . 2 . 2 = 48

O trabalho com probabilidade rico e possibilita o uso de vrios recursos pedaggicos. Pode-se utilizar jogos e atividades em grupo. Os contextos po-dem ser bem variados e prximos realidade do aluno.

interessante trabalhar em conjunto o clculo de probabilidade e o com-binatrio, dando nfase ao raciocnio e no s frmulas. Por isso muito importante que se valorize o registro do raciocnio e no apenas a resposta numrica.



Grade de correo


(A) uma em 12.

Resposta incorreta. O aluno pode ter entendido cor-retamente o problema, identificando que para obter 6 no dado h uma possibilidade em 6, para obter co-roa em cada moeda h uma possibilidade em 2. Po-rm pode ter feito 6+2+2+2=12.

(B) uma em 36.

Reposta incorreta. O aluno pode ter entendido corre-tamente o problema, identificando que para obter 6 no dado h uma possibilidade em 6, para obter coroa em cada moeda h uma possibilidade em 2. Porm pode ter feito 6.(3.2) = 36.

(C) Uma em 48. Resposta correta. O aluno entendeu o problema e obteve a probabilidade de 1/48.

(D) uma em 96.

Resposta incorreta. O aluno pode ter assinalado essa alternativa apenas por achar que deve ser muito difcil ganhar carro, portanto as chances so apenas de 1 em 96.

Algumas referncias



Cordani L., Estatstica para todos, CAEM-IME-uSP, So Paulo, 2012.

Lima, E., Carvalho, P. C. P.,Wagner, E., Morgado, A. C., A Matemtica do Ensino Mdio volume 2, 3a ed., SBM, Rio de Janeiro, 2000.



Habilidade: Saber identificar propriedades caractersticas, calcular relaes mtricas fundamentais (comprimentos, reas e volumes) de slidos como a pirmide e o cone, utilizando-os em diferentes contextos

Questo 08 TesteDeseja-se colar um papel colorido em todas as faces de uma pirmide de base quadrada, cujas dimenses esto indicadas na figura abaixo.

6 cm

4 cm

4 cm

A rea que ser coberta pelo papel, em centmetros quadrados, de

(A) 96.

(B) 56.

(C) 64.

(D) 48.

Comentrios e recomendaes pedaggicas frequente a falta de familiaridade com slidos geomtricos e suas carac-tersticas, que so importantes para a percepo do mundo ao redor. O tra-balho com materiais concretos e recursos computacionais auxiliam o aluno a se apropriar das caractersticas das principais figuras geomtricas.

O objetivo da questo avaliar se o aluno reconhece que deve calcular a rea da superfcie da pirmide e que, para isso, basta calcular a rea de quatro tringulos e um quadrado. importante que por meio de proble-mas desse tipo se explore as caractersticas e propriedades de poliedros, em particular das pirmides, e seus elementos (faces, arestas e vrtices). Isso remete ao estudo de polgonos e as relaes mtricas fundamentais. interessante observar se a dificuldade do aluno est em entender o pro-



blema proposto, em reconhecer as faces da pirmide ou no clculo efetivo da rea do quadrado e dos tringulos. uma retomada do conceito de rea pode ser feita utilizando materiais concretos e atividades de composio e decomposio de figuras.

Grade de correo


(A) 96. Reposta incorreta. O aluno pode ter feito 4.4.6 = 96, mani-pulando os nmeros do problema.

(B) 56.Reposta incorreta. O aluno pode ter calculado as reas dos tringulos corretamente obtendo 4.12 = 48 e soma com 8, que o permetro da base.

(C) 64. Resposta correta. Cada tringulo tem rea 12 e a base tem rea 16, portanto a rea total 4.12+16 = 64

(D) 48.

Resposta incorreta. O aluno pode ter calculado as reas das 4 faces triangulares corretamente, mas esqueceu da face quadrada (base), obtendo apenas 4.12=48. Este erro pode evidenciar que o aluno no identifica o quadrado como uma das faces do poliedro. Contudo o aluno tem compreenso do problema, sabe que essa pirmide tem quatro faces triangulares e obtm corretamente rea de tringulos.

Algumas referncias






Habilidade: Conhecer e saber utilizar as propriedades simples do binmio de Newton e do tringulo de Pascal.

Questo 09 TestePara dois nmeros naturais n e p com n p, o smbolo representa o nmero de combinaes de n elementos tomados p a p, ou seja, No tringulo de Pascal esse valores aparecem da seguinte forma:

Para dois nmeros naturais n e p com n p, o smbolo ( n )p represen-ta o nmero de combinaes de n elementos tomados p a p, ou seja,

( n )p = n !

p ! (n p) ! . No tringulo de Pascal esses valores aparecem da seguinte

forma:

( 0 ) 0 = 1

( 1 ) 0 = 1 (1 ) 1 = 1

( 2 ) 0 = 1 (2 ) 1 = 2 (

2 ) 2 = 1

( 3 ) 0 = 1 (3 ) 1 = 3 (

3 ) 2 = 3 (3 ) 3 = 1

( 4 ) 0 = 1 (4 ) 1 = 4 (

4 ) 2 = 6 (4 ) 3 = 4 (

4 ) 4 = 1

( 5 ) 0 = 1 (5 ) 1 = 5 (

5 ) 2 = 10 (5 ) 3 = 10 (

5 ) 4 = 5 (5 ) 5 = 1

Ento ( 6 )3 + (6 )2 igual a

(A) ( 6 )3

(B) ( 6 )5

(C) ( 7 )3

(D) ( 7 )5



Comentrios e recomendaes pedaggicasNo tringulo de Pascal a soma de dois elementos que so vizinhos em uma mesma linha igual ao elemento localizado imediatamente abaixo do se-gundo elemento da soma.

Ex: ( 6 )3 + (6 )2

Mais geralmente, se k n temos ( n 1 )k 1 + (n 1 )k = (

n )k Esta igualdade, que a base da construo do tringulo de Pascal, deno-minada Relao de Stifel e tambm conhecida como regra de Pascal. Pode-mos trabalhar esta relao atravs do clculo do binmio de Newton, usan-do a seguinte igualdade:

(1 + x)n = (1 + x)n 1 (1 + x).

No primeiro membro da equao podemos observar que o coeficiente que

acompanha xk ( n )k , enquanto que no segundo membro, o coeficiente que acompanha xk ( n 1 )k 1 + (

n 1 )k .A questo proposta busca averiguar o conhecimento do aluno com res-peito ao tringulo de Pascal e suas propriedades. Contudo o aluno pode obter o resultado manipulando a expresso do nmero binomial dada no enunciado. Assim, a questo possibilita uma discusso sobre os nme-ros binomiais e pode ser motivadora para um trabalho em sala de aula sobre o tringulo de Pascal. importante tambm fazer atividades que evidenciam a relao dos nmeros binomiais com a probabilidade. E tam-bm mostrar que os valores obtidos numa linha do tringulo de Pascal, quando colocados em um grfico de barras, formam pontos sobre a curva normal de Gauss.

O tema propicia um tratamento contextualizado, com situaes que apare-cem em outras reas. um bom tema para projetos interdisciplinares, como, por exemplo, em biologia.



Grade de correo


(A) (

6 )3

Resposta incorreta. O aluno pode ter apenas uma ideia da propriedade e se confundiu.

(B) (

6 )5

Resposta incorreta. O aluno pode ter apenas uma ideia da pro-priedade e acredita que basta somar os p`s obtendo 2 + 3 = 5.

(C) (

7 )3

Resposta correta.

(D) (

7 )5

Resposta incorreta. O aluno pode ter apenas uma ideia da pro-priedade e se confundiu somando os ps obtendo 2 + 3 = 5

Algumas referncias



Cerri, C., Druck, I.F., Combinatria sem Frmulas, Mdulo 3, PEC-Construindo Sempre, CENP/SEE-SP uSP, So Paulo, 2002.


http://www.uff.br/cdme



Habilidade: Saber identificar propriedades caractersticas, calcular relaes mtricas fundamentais (comprimentos, reas e volumes) de slidos como o prisma e o cilindro, utilizando-os em diferentes contextos.

Questo 10 Teste um reservatrio de gua no formato de um cilindro reto est com 60 metros cbicos, que corresponde a 3/4 de sua capacidade total. Sabendo-se que a altura do reservatrio de 5 m, a rea da base do reservat-rio , em metros quadrados

5 m

(A) 9.

(B) 12.

(C) 16.

(D) 20.

Comentrios e recomendaes pedaggicasO objetivo da questo avaliar se o aluno consegue extrair do enunciado de um problema as informaes necessrias para resolv-lo e sabe como calcular o volume de um cilindro. Espera-se que o aluno consiga obter o vo-lume total do cilindro a partir das informaes dadas, manipulando com a frao, significando razo. O aluno deve perceber que o volume total v no 60 metros cbicos, mas que 3/4 . v = 60. Assim, obtm v = 80. Sabendo que v = Ab . h = Ab . 5, conclui que Ab = 16.

O aluno ao final do ensino mdio deve estar apto para calcular relaes mtri-cas fundamentais (comprimentos, reas e volumes) de slidos bsicos. Contu-do, identificada as dificuldades com o assunto o professor deve trabalhar com atividades para dar significado s frmulas, explorando planificaes e vistas.

Grade de correo


(A) 9.

Resposta incorreta. O aluno pode ter chegado nessa respos-ta fazendo 3/4 de 60 e obtendo 45. Considerando esse valor como sendo o volume do reservatrio, obtm a rea da base igual a 45/5 = 9. Apesar da resposta errada o aluno tem co-nhecimento da frmula do volume do cilindro. importante observar se o problema foi apenas de desateno na leitura do enunciado ou dificuldade com fraes.



(B) 12.

Resposta incorreta. O aluno deve ter entendido que 60 o vo-lume e que portanto, a rea da base 60/5 = 12. Apesar da resposta errada o aluno tem conhecimento da frmula do vo-lume do cilindro. Deve-se trabalhar mais com leitura e inter-pretao de problemas.

(C) 16. Resposta Correta. O aluno interpretou corretamente o enuncia-do e mostrou conhecimento da frmula do volume do cilindro.

(D) 20.Resposta incorreta. O aluno no deve ter entendido o proble-ma, pois o valor no aparece em clculos com os nmeros do enunciado.

Algumas referncias

O estudo da temtica em questo pode ser complementado ou retomado, observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 2 srie, Volume 4, SEE-SP. Lima, E., Carvalho, P. C. P., Wagner, E., Morgado, A. C., A Matemtica do Ensino Mdio volume 2, 3a. ed., SBM, Rio de Janeiro, 2000.

Habilidade: Saber construir o grfico de funes trigonomtricas como f(x) = a.sen(bx)+c a partir do grfico de y = sen(x), compreendendo o significado das transformaes associadas aos coeficientes a, b e c.

Questo 11 Aberta

Esboce, no sistema de coordenadas abaixo, o grfico da funo y = 1 + sen (2x).

x

y



Comentrios e recomendaes pedaggicasA construo dos grficos das funes trigonomtricas do tipo f(x) = a . sen(bx) + c torna-se relevante quando associada ao estudo das transformaes sofridas pelo grfico de y = sen(x) a partir da influncia dos parmetros a, b e c.

recomendvel que tal abordagem seja feita tambm com funes do tipo y = ax + b e principalmente quadrticas y = ax2 + bx + c. Nesse caso pode-se escrever qualquer funo quadrtica na forma y = a(x p)2 + q e assim iden-tificar os movimentos de translao do grfico de y = x2.

No caso de funes trigonomtricas y = a sen(bx) + c ou y = a cos(bx) + c importante que destaque o efeito da constante b no perodo da funo. O uso de programas (softwares) grficos facilita bastante o trabalho com tais funes, agregando significado a cada transformao sofrida.

Grade de correo:

pi pipi/2 pi/4

3pi/2

pi/2

2

2

1

10pi/4

O aluno pode acertar parcialmente a questo apenas deslocando para cima de uma unidade o grfico de y = sen(x). tambm possvel que o aluno no perceba que o perodo da funo y = sen(2x) metade do da funo y = sen(x) e no o dobro. Porm, se ele fez o grfico esticando o da funo seno, tem pelo menos uma noo parcial do efeito da constante que multiplica a varivel x. importante perceber se o aluno encontra as escalas adequadas para a construo do grfico, usando a malha quadriculada, uma boa opor-tunidade do professor discutir aproximaes. Contudo, devem ser conside-rados corretos os grficos com escalas diferentes no eixo x e no eixo y, desde que o perodo e a amplitude estejam corretas.

Algumas referncias




Barufi, M.C, Druck, I.F., Monteiro, M.S., Tpicos de Trigonometria e medida de n-gulos, Mdulo 3, PEC-Construindo Sempre, CENP/SEE-SP uSP, So Paulo, 2002.


Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 2 serie, Volume 1.

Habilidade: Saber identificar propriedades caractersticas, calcular relaes mtricas fundamentais (comprimentos, reas e volumes) da esfera e de suas partes utilizando-os em diferentes contextos.

Questo 12 TesteA rea da superfcie de uma esfera igual a 16 . Sabendo-se que a rea da superfcie de uma esfera de raio R A = 4 R2 , o volume desta esfera igual a

(A) 16 3

(B) 32 3

(C) 32

(D) 64

Comentrios e recomendaes pedaggicasO objetivo da questo identificar se o aluno tem conhecimento de como obter a rea da superfcie e o volume de uma esfera. O aluno deve perceber que para obter o volume v = 4 R3/3 deve conhecer o raio da esfera. Porm dada a rea da sua superfcie, que A = 4 R2 . Do enunciado 16 = 4 R2, donde R = 2. Portanto, v = 32/3.

Para que o trabalho com geometria espacial seja efetivo, os alunos devem ser expostos a uma grande variedade de situaes desde o inicio do ensino fun-damental. O contato com as formas geomtricas e suas propriedades deve ser iniciado nos primeiros anos de escolaridade e sempre retomado, com diferentes graus de dificuldade. Percebe-se que pela falta de familiaridade com geometria espacial as frmulas de reas e volumes de slidos no so compreendidas e apenas decoradas. O desenvolvimento da geometria es-pacial mtrica far mais sentido e ser mais efetivo aps uma retomada das



caractersticas e propriedades dos slidos e das figuras planas. Nesse senti-do, interessante propor situaes de aprendizagem onde os alunos devem manipular os slidos, fazer conjecturas e descobrir relaes. Atualmente, h vrios recursos computacionais, como por exemplo, softwares de Geometria Dinmica, que so aliados do processo de ensino e aprendizagem.

Grade de correo


(A) 16 3

Resposta incorreta. O aluno pode ter alguma noo do cl-culo do volume da esfera e pode achar que 4 R2/3, ou ainda como no se recorda da frmula da rea da esfera, no obtm o raio.

(B) 32 3

Resposta correta.

(C) 32.Resposta incorreta. Ao escolher esta alternativa o aluno pode ter pensado que o volume o dobro da rea da superfcie.

(D) 64.

Resposta incorreta. O aluno pode ter alguma noo do cl-culo de volume. Se a rea 16 = 42 , ele pode pensar que o raio da esfera 4. Portanto, o volume seria 43 . Isso pode re-velar que o aluno faz um paralelo da rea do quadrado com o volume de um cubo.

Algumas referncias


Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 2 srie, Volume 4.


http://www.uff.br/cdme/



Avaliao da Aprendizagem em Processo Comentrios e Recomendaes Pedaggicas - Matemtica

Coordenadoria de Informao, Monitoramento e Avaliao EducacionalCoordenadora: Ione Cristina Ribeiro de Assuno

Departamento de Avaliao EducacionalDiretor: William Massei Assistente tcnica: Maria Julia Filgueira Ferreira

Centro de Aplicao de AvaliaesDiretora: Diana Yatiyo MizoguchiEquipe Tcnica DAVED participante da AAPAdemilde Ferreira de Souza, Cyntia Lemes da Silva Gonalves da Fonseca, Juvenal de Gouveia, Patricia e Barros Monteiro, Silvio Santos de Almeida

Coordenadoria de Gesto da Educao BsicaCoordenadora: Maria Elizabete da Costa

Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gesto da Educao BsicaDiretor: Joo Freitas da Silva

Centro do Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Mdio e Educao ProfissionalDiretora: valria tarantello de Georgel

Equipe Curricular CGEB de Matemtica Carlos Tadeu da Graa Barros, Ivan Castilho, Joo dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de S, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias, vanderley Aparecido Cornatione

Elaborao do material de MatemticaAline dos Reis Matheus, Cristina Cerri, Martha Salerno Monteiro, Raul Antnio Ferraz e Rogrio Osvaldo Chaparin

Validao, Leitura e Reviso Crtica

Equipe Curricular CGEB de MatemticaCarlos Tadeu da Graa Barros, Ivan Castilho, Joo dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de S, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias, vanderley Aparecido Cornatione Professores Coordenadores dos Ncleos PedaggicosAgnaldo Garcia, Clarice Pereira, Emerson de Souza Silva, Everaldo Jos Machado de Lima, Geverson Ribeiro Machi, Joo Accio Busquini, Lade Leni Lacerda N. Moleiro Martins, Luciana vanessa de Almeida Buranello, Maria Josilia Silva Bergamo Almeida, Mrio Jos Pagotto, Renata Erclia Mendes Nifoci, Silvia Igns Peruquetti Bortolatto, Sueli Aparecida Gobbo Arajo e Zilda Meira Aguiar Gomes

Reviso de TextoAdemilde Ferreira de Souza


28 aap rpm 3 em professor

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