8/16/2019 220_Papiro 02 - Matemática

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Professor Eurico Dias 

Papiro Especial IME 

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1ª QUESTÃO Valor 1,0 

Given unequal integers x, y, z prove that (x-y)5

 + (y-z)5

 + (z-x)5

 is divisible by 5(x-y)(y-z)(z-x).

 

2ª QUESTÃO Valor 1,0 

An infinite arithmetic progression contains a square. Prove it contains infinitely manysquares.

3ª QUESTÃO Valor 1,0 

Bus numbers have 6 digits, and leading zeros are allowed. A number is considered lucky ifthe sum of the first three digits equals the sum of the last three digits. Prove that the sum of

all lucky numbers is divisible by 13.

4ª QUESTÃO Valor 1,0 

The real numbers x, y satisfy x3 - 3x2 + 5x - 17 = 0, y3 - 3y2 + 5y + 11 = 0. Find x + y. 

5ª QUESTÃO Valor 1,0 

B is an arbitrary point on the segment AC. Equilateral triangles are drawn as shown. Show

that their centers form an equilateral triangle whose center lies on AC. 

Papiro 02MATEMÁTICA

8/16/2019 220_Papiro 02 - Matemática

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Professor Eurico Dias 

Papiro Especial IME 

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6ª QUESTÃO Valor 1,0 

Find all polynomials p(x) such that (x-16) p(2x) = (16x-16) p(x).  

7ª QUESTÃO Valor 1,0 

The quadrilateral ABCD has an inscribed circle. ∠A = ∠B = 120o, ∠C = 30o and BC = 1.

Find AD. 

8ª QUESTÃO Valor 1,0 

How many permutations a, b, c, d, e, f, g, h of 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 satisfy a < b, b > c, c < d,

d> e, e < f, f > g, g < h? 

9ª QUESTÃO Valor 1,0 

10ª QUESTÃO Valor 1,0