matemática - modulo 02

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Matemática

Matemática I

Função Exponencial .............................................. 3Logaritmo ............................................................... 7Polinômios ............................................................ 11Análise Combinatória........................................... 15Binômio de Newton.............................................. 19Matriz ................................................................... 23Determinante ....................................................... 27Sistemas Lineares ............................................... 30Progressão Aritmética eProgressão Geométrica ....................................... 34

Matemática II

Geometria Espacial ............................................. 38 I - Prisma.......................................................... 38 II - Pirâmide ...................................................... 40 III - Cilindro......................................................... 42 IV - Cone ............................................................ 43 V - Esfera .......................................................... 46

JOSÉ AUGUSTO DE MELOM2

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Anotações

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Tecnologia ITAPECURSOS

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33333Matemática - M2

FUNÇÃO EXPONENCIAL

1- DEFINIÇÃOSeja a um número real tal que a > 0 e a ≠ 1.

Chamamos de função exponencial à função f : R → R+ definida por f(x) = ax

Exemplos: a) f(x) = 3x b) f(x) =

2- GRÁFICO1º caso: a > 1 ; a função é crescente

*

2º caso: 0 < a < 1 ; a função é decrescente

PROPRIEDADES

P.1) Domínio = R

Imagem = {y ∈ R : y > 0}

P.2) A função exponencial, f(x) = ax não tem raiz.

P.3) A interseção do gráfico de f(x) = ax com o eixo 0y é o ponto (0,1)

P.4) A função exponencial é bijetora

1) (UFMG) A figura é um esboço do gráfico da função y = 2x. A ordenada do ponto P da abscissa é:

Solução:

Resp: e


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44444 Matemática - M2

2) Uma colônia de bactérias tem, num certo instante (t0), 1500 bactérias. Observações subseqüentes revelaramque essa população dobrava sempre, em relação à observação imediatamente anterior.

a) Qual a população de bactérias na 4ª observação após t0?

b) Em que observação a colônia alcançou 375.255 bactérias?

Solução:

Não é difícil você concluir que o número de bactérias é dado por f(n) = 1500 . 2n, onde n é a observaçãorealizada após t0.

a) Na 4ª observação, a população de bactérias é f(4) = 1500 . 24 ; f(4) = 24000.

b) Queremos que f(n) = 375 . 255 ; 1500 . 2n = 375 . 2

55

Resp: Na 53ª observação.

3- EQUAÇÕES EXPONENCIAISAs condições impostas à base de uma função exponencial, a tornam uma função bijetora. Desse modo, seax = ay, então x = y. Essa propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável aparece noexpoente, e por isso são chamadas de equações exponenciais.

Para resolver uma equação exponencial, tente transformar a equação dada em uma outra eqüivalente, daforma ax = ay. Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação.

am . an = am+n

am : an = am-n

(am)n = am.n

Caso isso não seja possível, utilize os artifícios dados nas questões comentadas a seguir.

Observação: As equações redutíveis à forma ax = by com a ≠ b você aprenderá a resolver no capítulo sobrelogaritmos.

1) Resolva a equação:

16x . 4x + 3 – 8x + 2 = 0

Solução:

16x . 4x + 3 - 8x + 2 ; 16x . 4x + 3 = 8x + 2

( 24 )x . ( 22 )x + 3 = ( 23 )x + 2 ; 24x . 22x + 6 = 23x +

6

26x + 6 = 23x + 6 → 6x + 6 = 3x + 6 ; x = 0

Resp: x = 0

2) Resolva a equação: 2x + 2x + 1 – 2x + 2 + 2x – 1 = -8

Solução

2x + 2x . 2 – 2x . 22 + 2x . 2- 1 = - 8 ;

2x = 24 ; x = 4

Resp: x = 4


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3) Resolva a equação: 32x + 1 + 5 . 3x = 2

Solução:

32x . 3 + 5 . 3x – 2 = 0; Como 32x = (3x)2 , sefizermos

3x = y obteremos: 3y2 + 5y – 2 = 0, cujas raízessão

y = ou y = - 2

Para y = vem: 3x = 3- 1 ; x = -1

Para y = –2 vem: 3x = –2 (não admite solução)

Resp: x = –1

4) Resolva a equação: 7x + 7x – 1 = 8x

Solução:

7x + 7x 7- 1 = 8x ; 7x . ( 1 + ) = 8x

; x = 1

Resp: x = 1

5) (MACK–SP) O número de soluções distintas da equação 2x – 2–x = K, K real é:

a) 2, qualquer que seja K d) 1, somente se K ≠ 0

b) 2, somente se K > 0 e) 0, somente se K < 0

c) 1, qualquer que seja K

Solução:

2x – = K. Seja 2x = y . Então: y - = K ; y2 – Ky – 1 = 0. Para essa equação

∆ = K2 + 4 > 0. Logo, ela tem duas raízes reais distintas. Além disso, o produto dessas raízes é –1 (relaçõesde Girard). Então, uma delas é positiva e uma é negativa. Como a raiz negativa não fornece solução para x,a resposta correta é C.

Resp: c

4- INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Nas condições impostas à base de uma função exponencial, temos:

*Se a > 1, a função é crescente, portanto:

ax > ay ↔ x > y

ax < ay ↔ x < y

*Se 0 < a < 1, a função é decrescente, e então:

ax > ay ↔ x < y

ax < ay ↔ x > y

Resumindo: ao resolver uma inequação exponencial, proceda como nas equações, ou seja, iguale as ba-ses. Mas, ao comparar os expoentes, lembre–se:

*Se a > 1, compare os expoentes, mantendo o sentido da desigualdade.

*Se 0 < a < 1, ao comparar os expoentes, inverta o sentido da desigualdade.


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1) Resolva a inequação:

Solução:

Como a base é menor que 1, devemos ter:

x2 + 2 ≤ 3x ; x2 – 3x + 2 ≤ 0

raízes: 1 e 2

diagrama:

Solução:

1 ≤ x ≤ 2

2) Resolva a inequação: 3x + 2 + 3x + 1 – 3x > 33

Solução:

3x . 32 + 3x . 3 – 3x > 33 ; 3x . (9 + 3 – 1) > 33

3x . 11 > 33 ; 3x > 3 ; x > 1

Resp: x > 1

3) Resolva a inequação: x2x – 1 < x3

Solução:

1ª hipótese: x > 1

Nesse caso: 2x – 1 < 3 ; x < 2

A interseção com a condição x > 1 nos dá S1 = {x ∈ R : 1 < x < 2}

2ª hipótese: 0 < x < 1

Teremos 2x –1 > 3 ; x > 2

Como esses valores de x não pertencem a 0 < x < 1, nesse intervalo não temos nenhuma solução.

Resp: S = {x ∈ R : 1 < x < 2}

4) (UF–VIÇOSA) Determine os valores de a para que a equação x2 + 2a . x + 1 = 0, admita raízes reais.

Solução:

Para a equação dada admitir raízes reais, � ≥ 0 . Logo22a – 4 > 0 ; 22a ≥ 22 ; 2a ≥ 2 ; a ≥ 1


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LOGARITMO1- DEFINIÇÃO

Seja a > 0 , a ≠ 1 e b > 0 . Chama–se logaritmo de b na base a ao número x = logab tal que ax = b

Em símbolos

logab = x ↔ ax = b

Exemplos:

a) log28 = 3, pois 23 = 8 b) log1/24 = –2, pois ( )–2 = 4

2- CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIAa > 0 e a ≠ 1

Existe logab se e somente seb > 0

3- BASES MAIS USADAS

3.1- LOGARITMO DECIMALUtiliza a base 10. Convenciona-se que, ao omitir a base, seu valor é 10. Assim:

log10b = log b

3.2- LOGARITMO NATURAL

Usa como base o número e (número de Euler). Anota–se por logeb ou l n b

4- PROPRIEDADES ELEMENTARESDecorrem imediatamente da definição as propriedades a seguir:

a) loga a = 1

b) loga 1 = 0

c) loga am = m

d) = b

É claro que estamos admitindo a > 0, a ≠ 1 e b > 0.

5- PROPRIEDADES OPERATÓRIASPara a > 0, a ≠ 1 e b > 0, c > 0, temos

P.1) loga(b . c) = logab + logac

P.2) loga

= logab - log

ac

P.3) logabm = m log

ab , m ∈ R

a → base

b → logaritmando

x → logaritmo


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1) Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule:

a) log 18 b) log 15

Solução:

a) log 18 = log (2.32) = log 2 + log32 = log 2 + 2 log 3

Portanto: log 18 = 0,30 + 2 . 0,47

log 18 = 1,24

b) log 15 = log (3.5) = log 3 + log 5 = log 3 + log ( )

Então: log 15 = log 3 + log 10 – log 2

log 15 = 0,47 + 1 – 0,30 ; log 15 = 1,17

2) (PUC–SP) São dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Determine o número real x que satisfaz à equação:

4x - 1 = 1125

Solução:

4x - 1 = 1125 ; 22x – 2 = 32 . 53 e daí:

log (22x – 2) = log (32 . 53)

(2x – 2) . log 2 = 2 log 3 + 3 log 5

Mas log 5 = log ( ) = log 10 – log 2 = 1 – 0,30 = 0,70

Logo: (2x – 2) . 0,30 = 2 . 0,48 + 3 . 0,70 e daí:

2x – 2 = 10,2 ; x = 6,1

3) (VUNESP) A figura representa o gráfico de y = log x.

Sabe–se que AO = BC. Então, pode-se afirmar que:

a) loga b = c

b) a + b = c

c) ac = b

d) ab = c

e) 10a + 10b = 10c

Solução:

Observe que: OA = log a ; OB = log b e OC = log c

Mas BC = OC – OB ; logo BC = log c – log b. Como OA = BC, temos

log a = log c – log b ; log a = log ; ab = c

Resp: d


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6 - MUDANÇA DE BASE

Sejam a > 0 , a ≠ 1, c > 0 , c ≠ 1 e b > 0. Então logab =

Exemplos: a) log23 = b) log57 = ...

Conseqüências: a) logab = b)

7- EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Assim denominamos as equações que envolvem logaritmos. Para resolvê-las, tenha sempre em mente ascondições de existência e procure reduzir a equação dada, usando as propriedades, à forma logaf(x) =logag(x) ou à forma logaf(x) = b.

No primeiro caso, lembre–se de que f(x) = g(x). E, no segundo caso, a definição dá que f(x) = ab.

1) Resolva a equação log(x – 2)(x + 4) = 2.

Solução:

Se você quiser, ache as condições de existência, depois resolva a equação e verifique quais raízes satisfa-zem às condições de existência.

Aqui, no entanto, para economizar tempo, vamos resolver a equação e verificar por substituição diretaquais raízes servem.

log(x – 2)(x + 4) = 2 ↔ (x – 2)2 = x + 4 o que dá x2 – 5x = 0 cujas raízes são x = 0 e x = 5.

Observe que o x = 0 faz a base valer –2, logo não serve. Já o 5 satisfaz às condições de existência e então:

S = {5}

2) Resolva: log3(x2 – 1) = log3(x + 1).

Solução:

De log3(x2 – 1) = log3 (x + 1) vem x2 – 1 = x + 1 ; x2 – x – 2 = 0, cujas raízes são 2 e -1.

Dessas, apenas 2 serve.

S = {2}

3) log22x – 3log2 x + 2 = 0

Solução:

Observe que log22 x = (log2x)2. Seja então log2 x = y. A equação dada fica:

y2 – 3y + 2 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = 2.

Se y = 1, vem : log2 x = 1 ; x = 2

Se y = 2, vem : log2 x = 2 ; x = 4

Como ambas as raízes servem, S = {2, 4}.


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4) Resolva a equação: log2 (3x –1) – log4 (x + 1) =

Solução:

Inicialmente, coloque todos os logaritmos numa mesma base.

log2 (3x – 1) -

log2 (3x – 1) - (tirando o m.m.c.)

2 log2 (3x – 1) – log2 (x + 1) = 1 ; log2

; 9x2 – 8x – 1 = 0 cujas raízes são 1 e - . Porém – não convém. Logo, S = {1}

8- INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Se a > 1 Se 0 < a < 1

Atenção: Não se esqueça de calcular o domínio da inequação.

1) Resolva a inequação: log1/2 (x – 1) > log1/2 (2x + 3).

Solução:

a) Condição de existência

b) Resolução da inequação log1/2 (x – 1) > log1/2 (2x + 3) → x – 1 < 2x + 3 ; x > - 4

c) Resposta final: é obtida fazendo–se a interseção entre os intervalos obtidos em a e b. Faça isso e vocêterá: S = {x ∈ R : x > 1}.

2) Resolva a inequação: log2x + 2log x – 3 > 0.

Solução:

a) Domínio: x > 0

b) Resolução: Faça log x = y. Então, y2 + 2y – 3 > 0, que resolvida dá y < –3 ou y > 1.

Se y < –3, então log x < –3 ; x < 0,001

Se y > 1, então log x > 1 ; x > 10

c) Resposta: a interseção nos mostra que

S = {x ∈ R : 0 < x < 0,001 ou x > 10}.


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9 - A FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Como vimos, a função exponencial é bijetora e, portanto, admite inversa. Por outro lado, se logay = x, temos

que y = ax, ou seja, a inversa da exponencial é a função logarítmica que definiremos a seguir:

Seja a > 0, a ≠ 1 e x > 0 números reais. Chama-se função logarítmica à função f: R*+ → R, definida porf(x) = logax.

Como os gráficos de uma função e sua inversa são simétricos em relação à reta y = x, o gráfico da funçãologarítmica é:

1º caso: a > 1 2º caso: 0 < a < 1

POLINÔMIOS1 - DEFINIÇÃO

Chamaremos de polinômio em R, na variável x, a toda expressão da forma:

P(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao, onde n é um número natural, e an�� 0.

Exemplos:

São polinômios: a) P(x) = 5x3 - 4x2 + x - 1

b) P(x) = x2 -

c) P(x) = -5

Não são polinômios: a) + 3 b)

Dado o polinômio P(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao com an�� 0, n é chamado de grau do polinômio.

Assim: a) P(x) = 3x2 - 5x + 1, tem grau 2. c) P(x) = - 3x + 1, tem grau 1.

b) P(x) = 2x - x3 + 4, tem grau 3. d) P(x) = 2, tem grau zero.

O polinômio P(x) = 0 é chamado de polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo. Para ele, não sedefine o grau.

2 - VALOR NUMÉRICOSe K é um número real, chama-se valor numérico do polinômio P(x) para x = K ao número obtido substituindo-se x por K e efetuando as operações indicadas. Indicaremos o valor numérico por P(K). Caso P(K) = 0,diremos que K é a raiz ou zero do polinômio.

Assim, se P(x) = 3x2 - x + 1

P(2) = 3 . 22 - 2 + 1 = 11

P(0) = 3 . 02 - 0 + 1 = 1


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3 - IGUALDADE DE POLINÔMIOS

Sejam os polinômios: P1(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao e

P2(x) = bn . xn + bn - 1 . xn - 1 + ... + b1 . x + bo

Dizemos que P1(x) = P2(x) se: an = bn; an - 1 = bn - 1; ..., a1 = b1 e ao = bo

1) Determine a, b, c para que os polinômios P1(x) = (a - 2)x3 + 3x2 + b - 1 e P2(x) = (c + 5)x2 + 3 sejamidênticos.

Solução:

Queremos que:

(a - 2)x3 + 3x2 + b - 1 = 0x3 + (c + 5)x2 +3

Logo: a - 2 = 0; a = 2

c + 5 = 3; c = -2

b - 1 = 3; b = 4

2) Calcule a e b, de modo que:

Solução:

1º modo:

e daí vem:

2º modo:

Na igualdade:

2x - 6 = a(x + 3) + b (x - 1) faça:

x = -3 �� -12 = a . 0 - 4.b;b =3

x = 1 �� -4 = 4a + b.0; a = -1

2x - 6 = a(x + 3) + b(x - 1)

2x - 6 = ax + 3a + bx - b

2x - 6 = (a + b)x +(3a + b) e então:

cuja solução é a = -1 e b =3 a + b = 2

3a - b = -6

Atenção: escolha para x os valores que anulamos denominadores das frações dadasoriginalmente.

4 - DIVISÃO DE POLINÔMIOS

Se A(x) e B(x) são dois polinômios, com B(x) � 0, dividir A por B é encontrar dois outros polinômios Q(x) e R(x),tal que:

I) A(x) = B(x) .Q(x) + R(x)

II) Grau de R(x) < grau B(x) ou R(x) = 0

Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x).

Observe que o grau de Q(x) é dado pela diferença entre o grau de A(x) e B(x).


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Método da chave

Seja efetuar a divisão (2x3 - x2 + 3) : (x2 -2x + 3)

Solução:

• Inicialmente, ordene o polinômio dividendo em ordemdecrescente e complete-o. No caso do divisor, bastaque ele esteja em ordem.

2x3 - x2 +0x + 3 x2 -2x + 3

• Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeirotermo do divisor para obter o primeiro termo doquociente (2x).

• Multiplique o primeiro termo do quociente pelo divi-sor e subtraia o resultado do dividendo, para obtero resto parcial (3x2 -6x + 3).

2x3 - x2 +0x + 3 x2 -2x + 3

-2x3 + 4x2 -6x 2x

3x2 - 6x +3

• Se o grau do resto parcial for menor que o grau dodivisor, a divisão terminou. Caso contrário, repita asoperações acima, usando o resto parcial como divi-dendo.

2x3 - x2 +0x + 3 x2 -2x + 3

-2x3 + 4x2 -6x 2x + 3

3x2 - 6x +3

-3x2 - 6x - 9

-6

Método de Descartes

Façamos a mesma divisão: (2x3 - x2 + 3) : (x2 -2x + 3)

Solução:

• Inicialmente, determine o grau do quociente. Q(x) édo 1º grau, concorda? Logo Q(x) = ax + b.

• O grau do resto, sendo menor que o grau do divisorserá um polinômio cujo grau é no máximo 1.

Seja então R(x) = cx + d.

2x3 - x2 + 3 x2 -2x + 3

cx + d ax + b

Usando a identidade A = B . Q + R

obtemos: 2x3 - x2 + 3 = (x2 -2x + 3)(ax + b) + cx + d

Efetuando e reduzindo os termos semelhantes,teremos:

2x3 - x2 + 3 = ax3 + (b - 2a)x2 +(3a - 2b + c)x + 3b + d

Portanto: a = 2

b - 2a = -1; b = 3

3a - 2b + c = 0; c = 0

3b + d = 3; d = -6

Então, finalmente: Q(x) = 2x + 3

R(x) = -6

5 - O DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI

Se, numa divisão, o divisor for do 1º grau, além dos métodos dados anteriormente, existe um outro, cujadescrição será feita a seguir. Seja efetuar (2x3 - 3x + 1) : (x - 2)

• Desenhe o esquema a seguir

2 2 0 -3 1

• À esquerda do primeiro traço vertical, colocamos a raiz do divisor (no nosso caso, 2).

À direita desse traço, colocamos os coeficientes do dividendo (já ordenado), completando com zero os termosfaltosos.

Para efetuar a divisão entre dois polinômios, temos dois métodos:


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• Abaixamos o primeiro desses coeficientes e o multiplicamos pela raiz do divisor (2), somando o resultadoobtido (4) ao próximo coeficiente (0) e encontramos 4.

4

2 2 0 -3 1

2 4

4 8 10

2 2 0 -3 1

2 4 5 11

Q(x) R(x)

• Repita tudo isso, agora, para o 4. Continue até achar o último número (à direita do traço vertical tracejado).

Observe que o resto será nulo, ou um polinômio de grau zero. No nosso exemplo, R(x) = 11. Como Q(x) é degrau 2, temos:

Q(x) = 2x2 + 4x + 5

Atenção: Se o divisor for do tipo ax ± b, proceda como anteriormente. Contudo, na hora de dar a resposta, aodeterminar Q(x), divida os coeficientes obtidos no dispositivo por a (apenas os coeficientes reservados aQ(x)). O resto fica inalterado.

6 - TEOREMA DO RESTO OU DE D’ALEMBERT

O resto da divisão de um polinômio P(x) por x - a é P(a).

Demonstração:

Na divisão de P(x) por x - a, seja Q(x) o quociente e R(x) o resto. Observe que o grau de R é zero ou R(x) =0.

P(x) x - a

R Q(x)

P(x) = (x - a) . Q(x) + R

Fazendo x = a, vem: P(a) = (a - a) . Q(a) + R e então P(a) = R

0

Como conseqüência dessa propriedade, um polinômio P(x) é divisível por x - a se e só se P(a) = 0.

De modo semelhante, prova-se que: Se o divisor for x + a, o resto é P(-a).

Se o divisor for ax - b, o resto é P(b/a).

Se o divisor for ax + b, o resto é P(-b/a).

7 - DOIS TEOREMAS IMPORTANTES

Daremos, sem demonstrar, dois teoremas que facilitam em muito nosso trabalho com polinômios.

Teorema 1:

O polinômio P(x) é divisível pelo produto(x - a)(x - b) com a � b se e só se P(x) é divisívelseparadamente por x - a e por x - b.

Teorema 2:

Se P(x) é divisível por (x - a)(x - b), então P(x) édivisível por x - a, e o quociente dessa divisão édivisível por x - b.


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ANÁLISE COMBINATÓRIA

1- PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM

Consideremos o seguinte problema:

• As cidades A e B são interligadas por 3 linhas de ônibus e por 4 companhias aéreas. De quantos modos umapessoa pode ir de A a B, usando ônibus e voltando de avião?

Solução:Observe que o evento, ir de A a B e retornar, pode ser decomposto em duas etapas:

1ª etapa: viagem de ida

2ª etapa: viagem de volta.

Como a viagem de ida tem que ser de ônibus, existem três maneiras dessa viagem ser feita. Já para a viagemde volta, temos 4 possibilidades. Como para cada viagem de ida, existem 4 modos de a pessoa fazer a viagemde volta, é fácil ver que a pessoa fará as viagens de ida e volta de 4.3 = 12 modos diferentes.

Esse problema ilustra o princípio fundamental de contagem ou Regra do Produto.

Se um evento é formado por duas etapas sucessivas e independentes, de tal modo que a primeira etapase realiza de p modos e a segunda de q modos, então o evento ocorre de p.q maneiras.

Podemos estender essa regra a um evento formado por um número K de etapas.

1) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,e 5 ?

Solução:O evento, formar um número de três algarismos, pode ser decomposto em três etapas:

1ª etapa: escolha do algarismo das centenas.

2ª etapa: escolha do algarismo das dezenas.

3ª etapa: escolha do algarismo das unidades.

Para a 1ª etapa existem 5 possibilidades (apenas o zero não pode ser escolhido).

Para a 2ª etapa existem também 5 possibilidades, pois o número escolhido na 1ª etapa não pode serrepetido, porém o zero já pode ser usado.

Para a 3ª etapa, existem 4 possibilidades (só não podemos escolher os dois algarismos que foramescolhidos na 1ª e 2ª etapas.

Logo, pela regra do produto podemos formar 5.5.4 = 100 números.

2) Dispõe-se de 6 cores para pintar uma bandeira de 4 faixas. Cada faixa deve ser pintada de uma só cor eduas faixas consecutivas não podem ter a mesma cor. De quantos modos pode ser feita a pintura?

Solução:

O evento, pintar a bandeira, pode ser decomposto em 4 etapas. Para a 1ª etapa existem 6 possibilidades,pois podemos escolher qualquer uma das 6 cores. Para a 2ª etapa existem 5 possibilidades, pois a corusada na faixa anterior não pode ser usada. O mesmo número de possibilidades teremos para a 3ª e 4ª

etapas.

Portanto, a pintura poderá ser feita de:

6.5.5.5 = 750 modos


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3) Quantos números de 5 algarismos distintos formados pelos dígitos 1,3,4,5 e 6 são maiores que 50000?

Solução:

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

1ª etapa: 2 possibilidades: 5 ou 6 (só assim o número será maior que 50000)

2ª etapa: 4 possibilidades (lembre-se: os algarismos devem ser distintos)

3ª etapa: 3 possibilidades

4ª etapa: 2 possibilidades

5ª etapa: 1 possibilidade

Resposta: 2.4.3.2.1 = 48

2 - UMA NOVA ABORDAGEM

Existem alguns problemas de análise combinatória cuja resolução, usando-se a regra do produto, é muitocomplicada. Para eles, daremos uma nova abordagem. Assim, se num determinado agrupamento cadaelemento aparece uma única vez, o agrupamento é simples. Caso contrário, ou seja, se um elemento puderaparecer mais de uma vez, o agrupamento é dito com repetição. Desse modo, se queremos saber quantosnúmeros de 3 algarismos distintos existem no sistema decimal, devemos considerar cada número comoum agrupamento simples. Caso não aparecesse a palavra distintos no problema, então deveríamos levarem conta todas as possibilidades e teríamos números com ou sem repetição.

3 - TIPOS DE AGRUPAMENTOS

Basicamente os agrupamentos que se formam com elementos de um conjunto podem ser classificados emdois tipos.

- Arranjos: agrupamentos que se distinguem um do outro pela natureza e pela ordem de seus elementos.

- Combinações: agrupamentos que se diferenciam apenas pela natureza de seus elementos.

Observação:

Se em um agrupamento do tipo arranjo, usarmos todos os elementos do conjunto considerado, o agrupamentopassa a ser chamado de permutação.

Para fixarmos bem essas noções, vamos classificar os agrupamentos seguintes:

a) números formados por 4 algarismos no sistema decimal.

Solução:

Seja 2315 um tal número. Se mudarmos a ordem de pelo menos dois de seus algarismos, o número muda devalor. Logo, cada número é um arranjo.

b) Triângulos formados com os cinco pontos tomados sobre uma circunferência.

Solução:

Um triângulo é obtido unindo-se três pontos quaisquer dos 5 que foram dados. Como o triângulo ABC e otriângulo ACB ou BAC, etc. são o mesmo triângulo, a ordem dos elementos não muda o agrupamento etemos uma combinação.

c) Filas que podemos formar com 4 pessoas

Solução:

Uma fila se diferencia de outra apenas pela ordem de seus elementos. Além disso, em cada fila todos oselementos à nossa disposição são usados. Logo, cada fila é uma permutação.


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4- A NOÇÃO DE FATORIAL

No próximo item, aprenderemos como calcular o número de agrupamentos que podemos formar com oselementos de um conjunto. Necessitaremos então definir a noção de fatorial.

Definição: Seja n um número natural. Então:

0! = 0

1! = 1

n! = n . (n - 1) . ... . 2.1, se n ≥ 2,

onde o símbolo n! lê-se fatorial do número n.

Veja os exemplos:

3! = 3.2.1 = 6

5! = 5.4.3.2.1 = 120

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Observe que:

n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = etc.

Assim teremos:

7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5! = 7 . 6 . 5 . 4! = etc.

5- CÁLCULO COMBINATÓRIO - AGRUPAMENTOS SIMPLES

5.1 - Arranjos simples

Considere o seguinte problema: quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos1,2,3,4,5?

Solução:

Que cada número é um arranjo é óbvio, pois a ordem dos algarismos no número altera o agrupamento. Queremosentão saber quantos arranjos tomados 3 a 3 podemos formar com 5 algarismos dados. Esse valor serárepresentado por: .Usando a regra do produto, temos que:

5 4 3

Agora, observe: De um modo geral,

5.2 Permutação Simples

Como já foi dito, o número de permutações de n elementos, (Pn), é igual ao número de arranjos de n elementostomados n a n. Logo:

,ou seja

5.3 Combinações Simples

Representando por o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, teremos:

Observe que:


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1.(MACK-SP) O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50000 e menores que90000 e que são divisíveis por 5 é:

a) 1596 d) 2788

b) 2352 e) 4032

c) 2686

Solução:

1ª hipótese

5 0 ; = _ _ _ _ _

_ _ _ _ _2ª hipótese

; 3.2. = 2016

6,7 ou 8 0 ou 5

Resposta: 336 + 2016 = 2352

2.(FUVEST-SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:

a) 24

b) 48

c) 96

d) 120

e) 144

3. (UNESP) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos.O número de triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses 8 pontos é:

a) 26 b) 90 c) 25 d) 45 e) 42

Solução:

Cada triângulo é uma combinação. Se não houvesse 3 pontos alinhados, os 8 pontos nos dariam triângulos.

Os 3 pontos sobre a primeira reta deixam de determinar triângulos e os 5 outros pontos deixam de

determinar triângulos. Logo a resposta final será:

6- CÁLCULO COMBINATÓRIO - AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO

6.1 - Arranjos com repetição

Se representa a quantidade de agrupamentos do tipo arranjos com repetição, que podemos formar com os

n elementos de um conjunto, tomados p a p, então:

6.2 - Permutação com repetição

Uma permutação é dita com repetição se determinados elementos aparecem mais de uma vez. Assim, porexemplo, qualquer anagrama da palavra CASA é uma permutação com repetição, pois a letra A aparece 2

vezes. Prova-se que:

n → total de elementos em cada permutação.

n1, n2, ..., nk → quantidade de vezes em que os elementos que se repetem aparecem em cada agrupamento.

6.3 - Combinação com repetiçãoSe representa o número de combinações com repetição de n elementos, tomados p a p, então:

Solução:

Existem duas possibilidades:

U E

E U

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _2. p4 = 2.4! = 48


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1. Quantos números de três algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9, se o algarismo 5 ésempre o algarismo da centena?

Solução:

Como o problema não diz que os algarismos do número formado são distintos, isso significa que as

repetições são admitidas. Portanto, o total procurado será: 5

2. Quantos são os anagramas da palavra ARARA?

Solução:

Letras que se repetem:A: 3 vezesR: 2 vezes

Logo, o número de anagramas será:

3. Podendo escolher entre os sabores hortelã, laranja e limão, de quantos modos uma criança pode comprar 5balas?

Solução:

Cada grupo de 5 balas pode ser considerado como uma combinação de elementos repetidos, escolhidos

entre os três sabores. Logo, a resposta será:

BINÔMIO DE NEWTON

1 - NÚMERO BINOMIALSejam n e p números com p ≤ n. Chamamos de número binomial de numerador n e classe p ao número

representado por definido por:

Observe que

2 - PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS

2.1 - Propriedades Diretas

; ;

Essas propriedades decorrem diretamente da definição de número binomial.

2.2 - Binomiais Complementares

Dois binomiais são ditos complementares se tiverem o mesmo numerador e se a soma dos denominadores forigual ao numerador. Assim, são complementares os binomiais:

;


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Também são complementares:

; (p + n - p = n)

; (p - 1 + n - p + 2 = n + 1)

Aplicando a definição de número binomial a dois binomiais complementares, conclui-se que:

Dois números binomiais complementares são iguais.

Desse modo:

Como conseqüência dessa propriedade, temos que:

ou p + q = n

Exemplo:

Resolva a equação:

Solução:

1ª hipótese:

2x - 1 = 3 ; x = 2

2ª hipótese:

2x - 1 + 3 = 10 ; x = 4

Resposta: x = 2 ou x = 4

2.3 - Relação de Stifel

Essa relação acontece entre dois binomiais consecutivos. Assim, são consecutivos:

e assim por diante.

A relação de Stifel nos permite somar dois binomiais consecutivos. Ela pode ser dada de várias formas; uma

delas é:

Exemplo: a)

b)

binomiais complementares

2.4 - Relação de Fermat

É também uma relação entre binomiais consecutivos. Permite-nos calcular o valor de um binomial em funçãodo binomial “antecedente”. Sua demostração é feita aplicando-se a definição de número binomial.

Exemplos:

a) b)


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4 - O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON

Você sabe que:

Agora, repare:

- Os coeficientes obtidos ao desenvolver esses binômios coincidem com os números das linhas do Triângulode Pascal. Assim, os coeficientes de (x + a)3, por exemplo, são achados na linha 3 do Triângulo de Pascal.Prova-se que os coeficientes de (x + a)n estão na linha n do Triângulo de Pascal.

Além disso, os expoentes de x decrescem de n a 0, e os de a crescem de 0 a n. Essas observações nospermitem então escrever que:

3 - TRIÂNGULO DE PASCAL

Para tornar nosso trabalho mais ameno, vamos dispor os números binomiais na forma seguinte:

..............................................

Observe que os números binomiais de mesmonumerador estão na mesma linha, e os númerosbinomiais de mesmo denominador estão na mesmacoluna. Além disso, os binomiais da primeira colunavalem 1, pois têm o denominador igual a zero. Omesmo acontece com o último binomial de cada linha,que tem o numerador e denominador iguais. Alémdisso, a relação de Stifel nos permite calcular os demaiselementos do triângulo. Veja no triângulo anterior, ondese mostra que:

, e assim por diante.

Usando essas propriedades chegamos facilmenteaos valores associados ao triângulo, obtendo:

linha 0 ; 1

linha 1 ; 1 1

linha 2 ; 1 2 1

linha 3 ; 1 3 3 1

linha 4 ; 1 4 6 4 1

linha 5 ; 1 5 10 10 5 1......................................

A partir daí, você pode, usando as mesmaspropriedades, obter quantas linhas quiser.

Assim, temos que:

Usando a linha 4 do Triângulo de Pascal para obter os coeficientes binomiais, teremos:

(x + a)4 = x4 - 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4

Para desenvolver (x - a)n, use o mesmo procedimento, porém alterne os sinais + e –, começando semprecom o sinal de +. Assim:

(x - a)4 = x4 - 4x3a + 6x2a2 - 4xa3 + a4


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2- PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES

a) Matriz LinhaÉ aquela que tem uma única linha.

A = (-1 2 3), B = [ 1 1]

b) Matriz coluna

É aquela que tem uma única coluna.

3. Calcule o termo médio, no desenvolvimento de .

Solução:No desenvolvimento de , obtemos n + 1 termos. Logo, o binômio dado tem 7 termos, e então otermo médio é o 4º termo. Portanto, p = 3 e teremos:

4. Calcule a soma dos coeficientes no desenvolvimento de (2x2 - 3y)5.

Solução:Para obtermos apenas os coeficientes, no desenvolvimento de um binômio, basta fazermos as variáveisque aparecem nele iguais a um. Então, fazendo x = y = 1 teremos:

S = (2 . 12 + 3 . 1)5; S = 55; S = 3125

MATRIZ

1- DEFININDO MATRIZ

Sejam m e n inteiros positivos. À tabela formada por m . n elementos dispostos em m linhas e n colunaschamamos de matriz m x n (lê-se matriz m por n).

ou M = (aij) m x n

Observação: aij representa o elemento que está na linha i e coluna j.

Exemplo:

; uma matriz 3 por 2 (3 linhas e 2 colunas)

Para ela, temos:

a12 = 1 ;

a21 = 3 ;

a31 = 0 ;

Essa matriz pode também ser representada dos modos a seguir:


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d) Matriz Diagonal

Matriz quadrada cujos elementos situados fora dadiagonal principal são nulos.

c) Matriz Quadrada

Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de coluna.

Exemplo:

f) Matriz Triangular

Matriz quadrada na qual todos os elementoscolocados em um mesmo lado da diagonal principalsão nulos.

Os elementos aij de uma matriz quadrada com i = j formam a diagonal principal. A outra diagonal é a diagonalsecundária. Assim, para a matriz anterior:

diagonal principal: 1, 4 , 0

diagonal secundária: 2, 4, 5

e) Matriz Identidade

É toda matriz diagonal cujos elementos da diagonalprincipal são iguais a 1. Uma matriz identidade deordem n é representada por In.

g) Matriz Nula

Todos os seus elementos são nulos.

3 - IGUALDADE DE MATRIZES

Definição

Duas matrizes A e B são iguais (A=B) se forem de mesma ordem e se seus elementos correspondentesforem iguais.

Observação: Elementos correspondentes são elementos de mesmo índice.

Em símbolos: Se A = (aij)mxn e B = (bij)m xn, então:

A = B ↔ aij = bij, para i ∈ { 1, 2, ..., m } e j ∈ { 1, 2, ..., n }

Desse modo, temos que se

e , então: A = B, porém A ≠ C (pois a23 ≠ c23)

4 - MATRIZ TRANSPOSTADada uma matriz A = (aij)m x n, chama-se transposta de A, à matriz At = (bij)n x m tal que bij = ajiExemplos:

a) Se então


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5 - UM RESULTADO INTERESSANTEJá vimos que:

Fazendo x = a = 1, obtemos:

Isso significa que a soma dos elementos da linha n no Triângulo de Pascal é 2n.

6 - O TERMO GERAL

É muito raro necessitarmos do desenvolvimento completo do Binômio. O que geralmente ocorre é precisarmosdeterminar um termo do Binômio que apresente alguma característica como, por exemplo, o termo em x7, ouo termo independente de x, e assim por diante. Para resolvermos um tal problema, não precisamos de todo odesenvolvimento, mas sim do termo genérico do Binômio. Se você observar mais uma vez a fórmula do Binômiode Newton, verá que cada termo é da forma:

Além disso, se p = 0, temos o primeiro termo; se p = 1, temos o segundo termo;

e assim sucessivamente. Logo:

representa o termo que ocupa a posição (p+1), e é a fórmula do termo geral do binômio (x + a)n, segundo aspotências decrescentes de x. Nessa fórmula, observe que:

n: representa o expoente do binômio

x: representa o primeiro termo do binômio

a: representa o segundo termo do binômio

p: número que é igual à posição do termo, menos um. Assim, se queremos

Para o binômio (x - a)n, temos

1. Calcule o 10º termo no desenvolvimento de

Solução:Como queremos o 10º termo (T10), p = 9. Alémdisso, o primeiro termo é 2x2, o segundo éx e n = 12. Logo, pela fórmula do termo geraltemos:

2. Calcule, se existir, o termo independente de x, no

desenvolvimento de: .

Solução:

Termo independente é o termo em x0. Logo,

queremos que: - 8 + 3 p = 0; p =

Como é natural, tal resposta não satisfaz, e então obinômio dado não apresenta termo independente de x.

Observação:Se fosse pedido, por exemplo, o termo em x7, oraciocínio seria semelhante, simplesmentecolocaríamos - 8 + 3p = 7, teríamos p, e entãobastaria substitui-lo na expressão do termo geral.


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b) Se

Uma matriz quadrada A se diz simétrica se At = A. Se A for simétrica, os elementos colocados simetricamenteem relação à diagonal principal devem ser iguais.

5 - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Definição 1

Se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, soma de A e B é a matriz C = (cij)m x n , tal que cij = aij + bij.

Definição 2

Se A = (aij)m x n, chama-se oposta de A, a matriz

-A = (-aij)m x n

Definição 3

Se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n então A - B = A + (-B).

As principais propriedades da adição são

I) A + B = B + A

II) (A + B) + C = A + (B + C)

III) A + 0 = A

IV) A + (-A) = 0

Observação: A e B são matrizes m x n e 0 é a matriz nula m x nSe A é matriz quadrada com At = -A, dizemos que A é anti-simétrica.

6 - MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL

Definição

Seja A = (ai j)m x n e K ∈ IR

Então: K . A = (bi j)m x n tal que bi j = k . ai j

Assim, se teremos e

7 - MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

a) Multiplicação de uma Matriz Linha por uma Matriz Coluna

Seja A1 x m e Bm x 1 onde o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Definimos o produtode A por B como sendo a matriz C1 x 1, obtida multiplicando-se o 1º elemento da linha de A pelo1º elemento da coluna de B, o 2º elemento da linha de A pelo 2º elemento da coluna de B e assimsucessivamente até o último, e somando-se os produtos assim obtidos.

Exemplo:

Seja A = ( 1 2 3 ) e

Para achar A . B, calculamos:

1 . 4 + 2 . (-1) + 3 . (-2) = 4 - 2 - 6 = -4 , logo C = (-4)


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b) Multiplicação de Matrizes- Condição de existência: Se Am x p e Bq x n, só existe A . B se p = q. O produto será m x n.

Para efetuar o produto, multiplicamos cada linha de A por cada coluna de B, como já mostrado no item A.

Exemplo:

Se e

A x B será 2 x 2 e então

C11 = 2 . 1 + 1 . 7 + (-3) . 0 = 9

C12 = 2 . (-2) + 1 . 1 + (-3) . 3 = -12

C21 = 0 . 1 + 4 . 7 + (-2) . 0 = 28

C22 = 0 . (-2) + 4 . 1 + (-2) . 3 = -2

Então:

c) Propriedades da Multiplicação

I) A multiplicação de matrizes não é comutativa.

Se A . B = B . A, diremos que A e B comutam.

II) (A .B) . C = A . (B . C);

III) A . (B + C) = A . B + A . C

IV) A . I = I . A = A

V) Se A . B = 0 não se pode concluir que A = 0 ou B = 0

VI) Não vale a lei do corte, ou seja se A . B = A .C não se pode concluir que B = C.

8 - MATRIZ INVERSA

Seja uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se inversa de A (se existir) à matriz representada por

A-1 tal que A . A-1 = A-1 . A = In.

Exemplo:

Ache, se existir, a inversa de A =

Solução:

Se existir,

Como queremos que A . A-1 = I, teremos:

e então:

Resolvendo esses sistemas, teremos: a = -3 , b = 2 , c = 2 , d = -1 e então


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Exemplo:

Calcule

9 - PROPRIEDADES DA INVERSA

a) (A-1)-1 = A

b) (At)-1 = (A-1)t

c) (A . B)-1 = B-1 . A-1

d) (K . A)-1 = . A-1

10 - PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA

a) (At)t = A

b) (A + B)t = At + Bt

c) (A . B)t = Bt . At

DETERMINANTE1- DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE

Chamamos de determinante de uma matriz quadrada A ao número associado a A e definido a seguir.

a) Determinante da 1ª ordem

Se A = (a11), então o determinante de A, que indicaremos por det A ou |a11|, será: det A = a11

b) Determinante de 2ª ordem

Se então

det A = a11 . a22 - a21 . a12, ou seja, det A é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produtodos elementos da diagonal secundária.

Exemplo:

c) Determinante de 3ª ordem - Regra de Sarrus

Repetimos a 1ª e a 2ª colunas.

Multiplicamos os elementos da diagonal principal e os elementos das diagonais que lhe são paralelas e somamos.

Multiplicamos os elementos da diagonal secundária e das diagonais que lhe são paralelas. Somamos essesprodutos e subtraímos da soma achada anteriormente.

Solução:

2 - DEFINIÇÃO GERAL DE DETERMINANTE

Para definir determinante de ordem n qualquer, precisamos antes entender o que é cofator.

- Cofator: seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento de A. Chama-se cofator de aij erepresenta-se por Aij ao número definido por:

Aij = (-1)i + j. Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida suprimindo-se de A, a linha i e a coluna j.

Exemplo:

Seja então:


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Solução:

É vantajoso tomarmos uma fila que tenha o maior número possível de zeros. Usaremos então a3ª coluna

detA = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 =

3 . A 13 + 0 . A23 + 0 . A33 = 3 . A13

Como A13 = (-1)1 + 3 . = 17, teremos: det A = 3 . 17 = 51

Sugiro que você, utilizando o teorema de Laplace, prove que, se A é uma matriz triangular, seu determinanteé obtido multiplicando-se os elementos da diagonal principal.

3- PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Os cálculos envolvendo determinantes ficam muito mais simples se usarmos as propriedades a seguir.

P.1) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta: det A = det At

P.2) Se uma matriz quadrada tem uma linha ou coluna de zeros, seu determinante é nulo.

P.3) Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Se a matriz B é obtida de A, trocando de posição duaslinhas (ou duas colunas) quaisquer, então: det B = - det A

P.4) Se uma matriz A possui duas linhas (ou colunas) iguais então det A = 0.

P.5) Multiplicando-se uma linha (ou coluna) de uma matriz A, por um número real K, não nulo, seudeterminante fica multiplicado por K.

Conseqüência: det (K.A) = Kn . det A

P.6) Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então det A = 0.

P.7) Teorema de Cauchy

A soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz pelos respectivoscofatores de outra linha (ou coluna) é igual a zero.

P.8) Teorema de Jacobi

Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de uma matriz A por um número diferente de zero eadicionarmos o resultado a outra linha (ou coluna), obtemos uma matriz B, tal que det A = det B.

P.9) Teorema de Binet

Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A . B) = det A . det B.

Essa última propriedade tem uma conseqüência importante. Seja A uma matriz inversível.

Então: A . A-1 = I. Logo:

det (A . A-1) = det I e usando P.9 e lembrando que det I = 1, teremos: det A . det A-1 = 1

Portanto, se A admite inversa, det A ≠ 0, e nesse caso, det .

Podemos agora definir o determinante de ordem n, o que é feito pelo:

- Teorema de LaplaceO determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos elementos de umafila qualquer (linha ou coluna), pelos respectivos cofatores.

Exemplo:

Calcule


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4 - ABAIXAMENTO DA ORDEM - REGRA DE CHIÓ

Seja A = (aij)n x n uma matriz quadrada, e apq um elemento de A, tal que apq = 1.

Para calcular o det A, pela regra de Chió, procede-se do seguinte modo:

- suprime-se a linha p e a coluna q.

- dos elementos restantes subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas perpendicularestraçadas do elemento considerado às filas que foram suprimidas.

- formamos uma matriz B com as diferenças assim obtidas.

- det A = (-1) p+q . detB.

Observação: Se na matriz A não houver nenhum elemento igual a 1, usando as propriedades é possívelfazer tal elemento aparecer.

Exemplo:

Calcule, usando CHIÓ

Solução:

5- MATRIZ DE VANDERMONDE

Uma matriz quadrada, de ordem n, se diz matriz de Vandermonde se ela for da forma:

- os elementos de uma mesma coluna formam uma P.G.

- os elementos da 2ª linha são chamados de elementos característicos.

Se x1 , x2, ..., xn são elementos característicos de uma matriz de Vandermonde,seu determinante é obtido multiplicando-se todas as diferenças xi - xj com i > j.

Exemplo: Calcule

Solução:

Como as colunas formam uma P.G., trata-se de uma matriz de Vandermonde, de elementos característicos2, -1, 3, 1.

Então: D = (-1 - 2) (3 - 2) (3 + 1) (1 - 2) (1 + 1) (1 -3) = -48


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SISTEMAS LINEARES1 - EQUAÇÃO LINEAR

Chamamos de equação linear a toda equação da forma

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

Uma seqüência (�1, �2, ..., �n) é uma solução da equação.

Se a substituição de x1, por �1, x2 por �2, xn por �n tornar a sentença verdadeira.

Exemplo:

Seja a equação linear x - 2y - z = 7

(1, 1, -8) é solução pois 1 - 2 . 1 - (-8) = 7.

Já (0, -1, 3) não é solução pois 0 - 2 . (-1) - 3 = -1 e - 1 � 7.

Observe que:

- a equação 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b, com b � 0 não admite solução.

- a equação 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0, tem qualquer seqüência (�1, �2, ..., �n) como solução.

2 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Chamamos de sistema de equações lineares ou sistema linear a um conjunto de duas ou mais equações lineares.

Exemplo:

A seqüência (a1, a2, ..., an) é solução do sistema S, se for solução de todas as equações de S.

Um sistema se classifica em:

A) Sistema possível ou compatível: é aquele que possui solução.

- se essa solução é única, o sistema é compatível determinado.

- se tivermos mais de uma solução, o sistema é indeterminado.

B) Sistema impossível ou incompatível: é aquele que não possui solução.

- Se todos os termos independentes de um sistema (bj) forem nulos, o sistema se diz homogêneo.

- Se um sistema é homogêneo, a seqüência (0, 0, ..., 0) é solução, chamada solução trivial.

3 - REGRA DE CRAMER

A regra de Cramer é uma técnica que nos permite resolver apenas sistemas quadrados, ou seja, sistemasem que o número de equações é igual ao número de incógnitas.

Seja o sistema:

Chamaremos de D ao determinante formado pelos coeficientes de cada equação do sistema.


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D(xi) é o determinante da matriz que se obtém, substituindo-se a coluna i de D, pela coluna dos termosindependentes.

A regra de Cramer afirma que, se D � 0, então

Exemplo:

Resolver o sistema

Solução:

Como D ≠ 0, o sistema é compatível e determinado.

Logo:

Resposta: (1, -5, 2)

4 - O MÉTODO DO ESCALONAMENTO

O método do escalonamento é um método geral de resolução de sistemas lineares, não apresentando asrestrições da Regra de Cramer.

Um sistema se diz escalonado quando aumenta de uma equação para a seguinte o número de coeficientesiniciais nulos, até que sobrem, eventualmente, equações onde todos os coeficientes iniciais são nulos.

Num sistema escalonado, uma equação do tipo 0x1+ 0x2 + 0xn = 0 pode ser suprimida, pois qualquer seqüência(�1, �2, ..., �n) é solução.

Já se num sistema tivermos uma equação do tipo 0x1+ 0x2 +... + 0x = b, com b � 0, o sistema é incompatível,pois tal equação não tem solução.

Num sistema escalonado, as incógnitas que não aparecem no início de nenhuma das equações são chamadasde variáveis livres, e a quantidade delas chama-se grau de indeterminação do sistema.

Exemplo:

Seja o sistema:

Esse sistema está escalonado, x2 é variável livre, eo seu grau de indeterminação é 1.

Dois sistemas S1 e S2 são equivalentes (S1 - S2) sepossuem o mesmo conjunto solução.

Para obtermos sistemas equivalentes, usamos astransformações elementares, que são operaçõesefetuadas sobre as equações do sistema, que otransformam em outro equivalente.

São elas:

T.1) Trocar a ordem das equações.

T.2) Trocar a ordem das incógnitas.

T.3) Multiplicar uma das equações do sistemapor um número não nulo.

T.4) Substituir uma das equações do sistema,pela soma dela com uma outra,previamente multiplicada por um númeronão nulo.


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1. Resolva o sistema

Solução:

Inicialmente troque de posição a 1ª e a 3ª equações, pois assim o primeiro elemento da 1ª equação será 1.

;

Agora, para zerar os termos em x na 2ª e 3ª equação, multiplicamos a 1ª equação por -4 e somamos coma 2ª e depois multiplicamos a 1ª equação por -2 e somamos com a 3ª equação.

;

Daí vem:

;

;

De 26z = 26 vem z = 1 e substituindo em y + 4z = 0, obtemos, y + 4 = 0, y = -4 e daí:

x + y + z = 1; x - 4 + 1 = 1; x = 4

Resposta: (4, -4, 1)

Solução:

Trocando a 1ª e 3ª equação de posição vem:

; ;

a última equação mostra que o sistema é incompatível.

-4 -2

-2 -41

-1

7


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3. Resolva:

Solução:

; ;

Logo, o sistema tem uma variável livre, que é z. Se fizermos z = �, teremos:

-y + 2� = -2; y = 2 + 2�

x + 2 . (2 + 2�) + 3� = 3; x = -1 - 7� Logo a solução é: (-1 - 7�, 2 + 2�, �)

5- DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES

Discutir um sistema é classificá-lo em determinado, indeterminado ou incompatível, em função do(s) parâmetro(s)que aparece(m) nas equações do sistema.

Para discutir um sistema, utilizaremos o escalonamento. Veja alguns exemplos:

a) Discutir o sistema:

Solução:

Logo:

Se 9 - m � 0 ou seja, se m � 9, o sistema é incompatível.

Se 9 - m = 0, ou seja, se m = 9, o sistema terá uma variável livre e será compatível indeterminado.

b) Discutir o sistema

Solução:

Como o sistema já está escalonado, temos:

-2 -3

1

-2 -3 -1

-1 -2

• Para a - 2�� 0, ou seja, para a �� 2, o sistema será compatível e determinado com z = e daí tira-se x e y.

• Se a - 2 = 0, ou seja, se a = 2, a última equação se transforma em 0 = 4b - 8. Logo: Se 4b - 8 � 0, ou seja, se b � 2, o sistema é incompatível. Se 4b - 8 = 0, ou seja, se b = 2, o sistema é indeterminado.Em resumo:Se a � 2, o sistema é compatível determinado.

Se a = 2, e b = 2, o sistema é indeterminado.

Se a = 2 e b � 2, o sistema é incompatível.


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PROGRESSÃO ARITMÉTICA EPROGRESSÃO GEOMÉTRICA

1 - SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS

Informalmente falando, uma seqüência é um conjunto cujos elementos são considerados em ordem.

Exemplo:

a) (1, 3, 5, 7, 9...) � seqüência dos números ímpares.

b) (0, 2, 4, 6, 8, 10) � seqüência dos números naturais pares menores que 12.

2 - REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA SEQÜÊNCIA(a1, a2, a3, ..., an)

a1: indica o 1º termo.

a2: indica o 2º termo.

.. ... ... ... ...

an: indica o enésimo termo.

Exemplos:

Seja a seqüência (-3, 5, 4, 11, 13, 0), temos que: a1 = -3; a4 = 11; a6 = 0

3 - TERMOS EQÜIDISTANTES DOS EXTREMOS

Dois termos de uma seqüência são eqüidistantes dos extremos se o número de termos que antecedem oprimeiro é igual ao número de termos que seguem o segundo.

É fácil perceber que dois termos são eqüidistantes dos extremos se a soma de seus índices é igual à somados índices dos termos extremos.

Exemplo:

Seja a seqüência (a1, ..., a20)

a5 e a16 são eqüidistantes dos extremos pois

5 + 16 = 1 + 20

a8 e a11 não são eqüidistantes dos extremos pois

8 + 11 � 1 + 20

4 - REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIAUma seqüência pode ser dada através da fórmula do termo geral ou através de uma fórmula de recorrência. Veja:

a) Escreva os três primeiros termos da seqüência, cujo termo geral é: an = 3n - 1

Solução:

a1 = 3 . 1 - 1 = 2, a2 = 3 . 2 - 1 = 5

a3 = 3 . 3 - 1 = 8

Resposta: a1 = 2, a2 = 5, a3 = 8

b) Seja a seqüência tal que a1 = 2 e an = an-1 . 3.

Escreva os três primeiros termos dela.

Solução:a1 = 2a2 = a1 . 3 = 2 . 3 = 6a3 = a2 . 3 = 6 . 3 = 18

Resposta: a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18


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5 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)

Definição

Chamaremos de progressão aritmética (P.A.) à seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual aoanterior somado com uma constante, que denominaremos de razão (r) da P.A.

Exemplos:

a) (3, 7, 11, 15,...) P.A. de razão r = 4

b) (6, 4, 2, 0, -2,...) P.A. de razão r = -2

c) (2, 2, 2,...) P.A. de razão r = 0

Observe que, se (a1, a2, ..., an) é uma P.A., então: r = a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - an-1

Além disso, pela definição dada, teremos:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

e de um modo geral: an = a1 + (n -1) . r � fórmula do termo geral.

Podemos achar uma outra fórmula mais geral. Seja (a1, a2, ..., ak, ..., an) uma P.A. de razão r.

Pela fórmula do termo geral temos:

Portanto:

an - ak = a1 + nr - r - a1 - kr + r ou

an = ak + (n - k) . r

Exemplos:

A primeira fórmula nos permite escrever:a7 = a1 +6r, a10 = a1 + 9r etc.A segunda nos permite escrever:a5 = a3 + 2r, a9 = a6 + 3r, a4 = a7 - 3r, etc.

6 - PROPRIEDADES DE UMA P.A.

P.1) Dados três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é média aritmética dos outros dois.

Demonstração:

Sejam x, y, z termos consecutivos de uma P.A. de razão r. Então, pela definição, teremos:

y = x + ry = z - r

Somando m.a.m. essas igualdades, encontramos: 2y = x + z ou y =

P.2) A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos de uma P.A.

Demonstração:

Dada a P.A. (a1, ..., ap, ..., aq, ..., an) sejam ap e aq termos eqüidistantes dos extremos. Então, teremosp + q = 1 + n ou p - 1 = n - q (I).

Além disso: ap = a1 + (p - 1) r

an = aq + (n - q) r = aq + (p - 1) r, pois n - q = p - 1

Logo, subtraindo m.a.m., obteremos: an - ap = aq + (p - 1) r - a1 - (p - 1) r ou

an - ap = aq - a1 e daí an + a1 = ap + aq


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Conseqüências dessas propriedades:

1ª) Se p + q = r + s então ap + aq = ar + as

Assim, podemos escrever: a2 + a5 = a4 + a3 = a1 + a6

2ª) Numa P.A. finita, com um número ímpar de termos, o termo central é média aritmética entre os extremos,ou entre qualquer par de termos eqüidistantes dos extremos.

7 - SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.

Seja a P.A.

(a1, a1 + r, a1 + 2r, ..., an - 2r, an - r, an). Então:

Sn = a1 + a1 + r + a1 + 2r + ... + an - 2r + an - r + an

ou

Sn = an + an - r + an - 2r + ... + a1 + 2r + a1 + r + a1

Somando m.a.m. obtemos:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an)

n parcelas

Logo: 2Sn = (a1 + an) . n e então .

8 - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)

Definição

Chama-se progressão geométrica (P.G.) a toda seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual aoanterior, multiplicado por uma constante, que chamaremos de razão (q) da P.G.

Exemplos:

(3, 6, 12, 24, ...), P.G. de razão q = 2.

(1, -3, 9, -27, ...), P.G. de razão q = -3.

(18, 6, 2, , ...), P.G. de razão q = .

(2, 2, 2, ...) P.G. de razão q = 1.

Observação:

Para se achar a razão de uma P.G., basta dividir um termo qualquer pelo anterior.

Se (a1, a2, ..., an) é uma P.G. temos:

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3

e notando que o expoente da razão é sempre uma unidade menor que o índice do termo em questão, teremos:

an = a1 . qn-1 �� termo geral da P.G.

De modo análogo ao que fizemos para a P.A., prova-se que: an = ak . qn-k .

Veja: a7 = a1 . q6 , a5 = a1 . q4

a9 = a4 . q5 , a3 = a7 . q-4


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9 - PROPRIEDADES DE UMA P.G.

P.1) Dados três termos de uma P.G., o termo do meio é média geométrica entre os outros dois.

Ou seja: Se a, b, c estão em P.G., b2 = ac.

P.2) O produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos de uma P.G.

Conseqüências de P.2.

1ª) Se p + r = s + t então ap . ar = as . at

2ª) Em uma P.G. de número ímpar de termos, o termo central é média geométrica entre os extremos, ouentre dois termos eqüidistantes dos extremos.

Tente provar essas propriedades. As demonstrações são parecidas com o que fizemos para as P.As.

10- SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Seja (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) uma P.G. finita de razão q � 1. Então:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an

Multiplicando por q, obtemos:

qSn = a1q + a2q + a3q + ... + an-2 . q + an-1 . q + an . q ou

qSn = a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an + anq

Portanto:

qSn - Sn = anq - a1, e daí vem:

Usando a fórmula an = a1 . qn-1, prova-se também que:

11- SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Seja (a1, a2, ..., an, ...) uma P.G. infinita cuja razão q é tal que |q| < 1. Já sabemos que:

. Fazendo n tender a infinito.

qn tenderá a zero e Sn tende a:

Lembre-se: essa fórmula só vale para P.Gs. onde |q| < 1.


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GEOMETRIA ESPACIAL

I - PRISMA

1- DEFINIÇÃO

Sejam α e β dois planos paralelos, R uma regiãopoligonal em α, e r uma reta cuja interseção com αé um ponto exterior a R. Chama-se prisma, à reuniãode todos os segmentos PP’ paralelos a r, com P emR e P’ em β.

2- ELEMENTOS DE UM PRISMA

Elementos:

ABC e A’B’C’: bases

AB é uma aresta da base (quais são as outras?)

AA’ é uma aresta lateral (quais são as outras?)

AA’BB’ é uma face lateral (quais são as outras?)

h é a altura do prisma (distância entre os planos da base)

Obs.: Se as arestas laterais são oblíquas em relaçãoaos planos da base, o prisma é um prismaoblíquo. Se as arestas laterais sãoperpendiculares aos planos das bases o prismaé um prisma reto (h = aresta lateral)

3- CLASSIFICAÇÃO

Prisma triangular: as bases são triângulos

Prisma quadrangular: as bases são quadriláteros

Prisma pentagonal: as bases são pentágonos

e assim por diante.

Prisma regular: é o prisma reto, cujas bases sãopolígonos regulares.

Prisma regular triangular Prisma regular pentagonal

4- SECÇÕES

- Secção transversal de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano paralelo às bases.

- Secção reta de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano perpendicular às suas arestaslaterais.

h

C’

A’ B’

C

A B

h

P’

PR

r

α

β

α

β


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5- PARALELEPÍPEDO

- Paralelepípedo é o prisma cuja base é um paralelogramo.

- Paralelepípedo retângulo (ou reto-retângulo ou ortoedro) é um prisma reto, cuja base é um retângulo.

- Cubo é um paralelepípedo retângulo no qual todas as seis faces são quadrados.

Exemplos:

Paralelepípedo retoFaces laterais - retângulos

bases: paralelogramos

CuboAs seis faces são quadrados

Paralelepípedo retânguloAs seis faces são retâgulos

Paralelepípedo oblíquoAs seis faces são paralelogramos

6- DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO

Sejam a, b, c as dimensões do paralelepípedo retângulo.

No triângulo ABC, temos:

d2f = a2 + b2

No triângulo ACC’, temos:

d2 = d2f + c2 e substituindo:

d2 = a2 + b2 + c2. Logo:

7- ÁREA TOTAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (St )

St é a área de 6 retângulos

2 com dimensões a, b

2 com dimensões a, c

2 com dimensões b, c

Logo:


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8 - VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (V)

Um paralelepípedo retâgulo de dimensões a, b, c, tem um volume dado por: V = a . b. c

9 - DIAGONAL, ÁREA TOTAL E VOLUME DE UM CUBO

Como um cubo é um caso especial de paralelepípedo retângulo, as fórmulas anteriores são válidas para ele,bastando fazer b = c = a.

Teremos então: , ,

Obs.: a é a aresta do cubo.

10 - VOLUME DE UM PRISMA QUALQUER

O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base (B) pela altura (h) V = B . h

11 - LEMBRETES IMPORTANTES

A) Altura e área de um triângulo equilátero

B) Área de um hexágono regular

A área do hexágono é seis vezes a área do triânguloequilátero de lado a

,

C) Apótema do hexágono regular (m)

O apótema do hexágono regular coincide com aaltura de um triângulo equilátero.

II - PIRÂMIDE

1- DEFINIÇÃO E ELEMENTOS

Definição: Seja α um plano, R uma região poligonalem α e V um ponto não pertencente a α. Chama-sepirâmide à reunião de todos os segmentos com umadas extremidades num ponto de R e a outra no ponto V.

- ElementosVértice: é o ponto V.

Base: é o polígono ABCDEArestas da base: são os lados da base: AB, BC, ...

Arestas laterais: VA, VB, ...VE

Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ...

Altura: é a distância do vértice ao plano da base.


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2- CLASSIFICAÇÃO

Pirâmide triangular ou tetraedro: a base é um triângulo.

Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero.

Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono e assim por diante.

Se a base é um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base for o centro dessepolígono, a pirâmide é uma pirâmide regular.

Numa pirâmide regular, as faces laterais sãotriângulos isósceles congruentes.

A altura de uma face lateral de uma pirâmide regu-lar em relação ao lado da base chama-se apótemada pirâmide.

VO = altura (h)

OM = apótema da base (n)

VM = apótema da pirâmide (m)

3- VOLUME DE UMA PIRÂMIDE

Em uma pirâmide cuja área da base é B e a altura é h, o volume é:

4- SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE

Chama-se secção transversal de uma pirâmide à interseção da pirâmide com um plano paralelo à base. Sendoh a altura da pirâmide V(ABCD) e d a distância da secção transversal ao vértice V da pirâmide, temos:

a)

b)

c)

d)

Observação: As relações acima são válidas para qualquer pirâmide.

5- TRONCO DE PIRÂMIDE

A secção transversal de uma pirâmide a divide em dois outros sólidos. O que contém o vértice é uma novapirâmide. O que contém a base é um sólido que chamaremos de tronco de pirâmide.

Observe que: m2 = h2 + n2

Base maior: é a base da pirâmide original Representaremossua área por B.

Base menor: é a secção transversal. Sua área serárepresentada por b.

Altura do tronco: é a distância entre os planos dasbases (h).

O volume do tronco de cone é:


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6- TETRAEDRO REGULAR

Chamamos de tetraedro regular à pirâmide regular na qual as quatro faces são triângulos equiláteros congruentes.

- Área total do tetraedro regular ( St )

St = 4 vezes a área de um triângulo equilátero de lado a.

Portanto ou

- Altura do tetraedro regular (h)Seja a aresta do tetraedro. Como o tetraedro é regular, o ponto O é o baricentrodo triângulo ABC, e como esse triângulo é equilátero teremos:

No triângulo VOA, temos: e daí vem

- Volume do tetraedro regular (V)

, onde B é a área da base. Mas ;

então

III - CILINDRO

1- DEFINIÇÃO E ELEMENTOS

- Definição: Sejam α e β planos paralelos, C um círculo contido em α e r uma reta que intercepta α em A e βem B. Chama-se cilindro à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB, que têm umaextremidade no círculo C e outra no plano β.

- Elementos de um cilindro

Bases: são os círculos de centro O e O’.

Altura (h): é a distância entre os planos das bases.

Eixo: é a reta OO’ que contém os centros das bases.

Geratriz: qualquer segmento paralelo ao eixo e comextremidades nas circunferências das bases.

2- CLASSIFICAÇÃO

Cilindro reto: as geratrizes são perpen-diculares aos planos da base.

Cilindro oblíquo: as geratrizes não sãoperpendiculares aos planos da base.

Observação: O cilindro reto é também cha-mado de cilindro de revolução.

Cilindro Cilindro Cilindro reto oblíquo equilátero

g = 2 r = h


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- Secção MeridianaÉ a interseção de um cilindro reto com um plano que contém o eixo.

A secção meridiana geralmente é um retângulo. Se ela for um quadrado, o cilindro é chamado cilindro equilátero.

3- ÁREA LATERAL

Se você “abrir” o cilindro obterá um retângulo de base 2πr e altura h.

Logo, a área lateral do cilindro será SI = 2πr

4- ÁREA TOTAL

É a área lateral acrescida da área das duas bases.

Logo: St = 2πrh + 2πr2 ou: St = 2πr(h + r)

5- VOLUME DE UM CILINDRO

É dado por: V = πr2 . h

IV - CONE

1- DEFINIÇÃO - ELEMENTOS

- Definição: Seja C um círculo de centro O e raio r,contido num plano α , e V um ponto fora desseplano. Chamamos de cone circular ou cone àreunião de todos os segmentos cujos extremossão o ponto V e um ponto do círculo.

- Elementos:

Vértice: ponto V

Base: círculo de centro O

Altura: distância de V ao plano da base

Eixo: reta VO

Geratriz: segmentos com extremos em V e numponto da circunferência da base.

o

2πr

h


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2- CLASSIFICAÇÃO

Cone oblíquo: o eixo é oblíquo à base

Cone reto: o eixo é perpendicular à base

Cone oblíquo Cone reto

Observação:

1) O cone reto também é chamado de cone derevolução. Ele pode ser gerado pela rotaçãocompleta de um triângulo retângulo em tornode um de seus catetos.

- Secção meridiana: é a interseção do cone com umplano que contém o eixo. A secção meridiana deum cone reto é um triângulo isósceles.

Observação:

2) Num cone reto temos: g2 = h2 + r2

Cone equilátero: é o cone cuja secção meridianaé um triângulo equilátero.Num cone equilátero g = 2r e h = r

r 2πr

3- ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CONE

- Área lateral

Destacando a base de um cone, cortando-o na direção de uma geratriz, obtemos uma planificação do cone queserá um setor circular de raio g e cujo arco tem comprimento 2πr.

Da geometria plana, sabemos que a área de um setor circular de raio r e arco de comprimento l é

Portanto, a área lateral do cone será:

- Área total


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4- VOLUME DO CONE

, r = raio da base e h = altura

5- SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE

É a interseção de um cone com um plano paralelo ao plano de sua base.

Uma secção transversal divide o cone em duas partes: um cone menor e um tronco de cone. São válidas asrelações:

a) b) c) onde:

V1 = volume do cone de altura h

V2 = volume do cone de altura H

r

6- TRONCO DE CONE

Como já dissemos anteriormente, é uma das partesem que o cone fica dividido por uma secção trans-versal. Se o cone original que foi seccionado for umcone reto, o tronco é chamado tronco de cone retode bases paralelas.

- Área lateral de um tronco de cone reto de bases paralelas

Seja Sit a área lateral do tronco, Sl a área lateral do cone de geratriz G e S’l a área lateral do cone de raio dabase r.

Então: Slt = Sl - S’lSlt = π RG = π r(G - g) = π RG - π rG + πrg

Slt = π(RG - rG + rg) = π[G(R - r) + rg]

Da semelhança dos triângulos VAO’ e VBO, tiramos:

ou e daí . Substituindo

vem e então:

- Área total de um tronco de cone reto de bases paralelas. Mostre você que:

- Volume do tronco de cone reto de bases paralelas.

secção

A


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V - ESFERA

1- ESFERA

É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distânciaa um ponto dado O, é menor ou igual a R, ondeR > O é o raio da esfera.

2 - SUPERFÍCIE ESFÉRICA

É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância a um ponto dado O, é igual a R, sendo R > O, o seu raio.

Observação: A superfície esférica é a “casca” da esfera.

3 - SECÇÃO - CÍRCULO MÁXIMO

Secção da esfera: é a interseção da esfera com um plano secante.

A secção de uma esfera é um círculo.

Círculo máximo: é a interseção da esfera com umplano secante que passa pelo seu centro.

Observe que:

4 - PÓLOS, EQUADOR, PARALELOS E MERIDIANOS

Pólos: São as interseções da superfície esférica com o eixo(P1 e P2)

Equador: é a secção perpendicular ao eixo que passa pelo centroda superfície esférica (circunferência máxima)

Paralelo: é toda secção da superfície esférica paralela ao equador.

Meridiano: é uma secção da superfície esférica, cujo plano passapelo eixo (é também uma circunferência máxima)

5 - DISTÂNCIAS POLARES

Chama-se distância polar à distância de um pólo a umponto qualquer de um paralelo.

Exemplo: P1A = p e P2A = p’ são distâncias polares.

Cálculo da distância polar.

Sejam: R: o raio da esfera

d: distância do centro da esfera ao plano da secção. O triângulo P1AP2 é retângulo. Então, usandoas relações métricas nos triângulos retângulos obtemos:

d = distância do centro O ao plano secante

R = raio da esfera

r = raio da secção


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6 - O VOLUME DA ESFERA

O volume de uma esfera de raio R é:

7 - ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

A área da superfície esférica de raio R é:

8 - FUSO ESFÉRICO

É a superfície obtida pelo giro de �� graus(0º < � < 360º) em torno do eixo de uma semi-circunferência com extremidades nos pólos.

- Área do fuso esférico

Como o fuso é “uma parte” da superfície esférica, podemos calcular sua área por uma regra de três.

Basta observar que, se � = 360º (ou � = 2πrad), o fuso se transforma na superfície esférica.

A) � é dado em graus.

360º - 4�R2

� - S

B) α é dado em radianos

2�rad - 4�R2

� - S

Observação: O fuso é a “casca” de um gomo de laranja.

9 - CUNHA ESFÉRICA

Se na definição anterior, substituirmos a semi-circunferência por um semi-círculo obtemos um sólido que échamado de cunha esférica (gomo de laranja).

- Volume da cunha

A) � é dado em graus.

360° -

�� - V

B)�� é dado em radianos

2πrad -

� - V


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MATEMÁTICA I

FUNÇÃO EXPONENCIAL

1) (PUC-MG) A exponencial (a + 3)x é funçãodecrescente. O número real a + 2 pertence aointervalo:

a) ]0,1[ d) ]-2,0[

b) ]-2,-1[ e) ]-1,0[

c) ]-1,-1[

2) (UNA-MG) O tempo necessário, em segundos,para um computador resolver um sistema linearde n equações a n incógnitas é T(n) = n + 2n. Otempo que essa máquina levará para resolverum sistema linear de 10 equações a 10 incógnitasserá:

a) menor que 5 minutos.

b) maior que 5 minutos mas menor que 15minutos.

c) maior que 15 minutos mas menor que 1 hora.

d) superior a 1 hora.

3) (PUC-MG) Sabe-se que a população de certacidade cresce exponencialmente de acordo coma função p = f(t) do gráfico abaixo, onde t é otempo em anos e p, a população em milharesde habitantes. De acordo com as informaçõesdesse gráfico, o valor aproximado de t, para quese tenha p = 160, é:

a) 16

b) 20

c) 24

d) 28

e) 32

4) (PUC-MG) A população de uma cidade é dada pelaequação y = 250 . 1,02x, em que y é a populaçãoem milhares de habitantes e x é o tempo, emanos, contado a partir de janeiro de 1997. O númeroprovável de habitantes dessa cidade, em janeiro doano 2000, seria aproximadamente:

a) 250.000 d) 265.000

b) 255.000 e) 270.000

c) 260.000

5) (PUC-MG) Considere as funções f( x ) = 3 x eg ( x ) = x2 + x . A soma das raízes da equação f( g(x) ) = 9 é:

a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

6) (UFOP-MG) O valor de x que satisfaz a equaçãoseguinte é um número: 4x - 15 . 2x - 16 = 0

a) ímpar d) primob) irracional e) parc) negativo

7) (N.Paiva-MG) Considere a equação exponencial2k + 2-k = 3k, onde k é um número real. Osvalores de k para os quais a equação exponencialadmite raízes reais são:

a)

b)

c)

d)


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8) (Univ. Itaúna-MG) O par (x , y) é solução do sistema

. O valor de é :

a) 2/5 b) 1/5 c) 3/5 d) 4/5

9) (FAFEOD-MG) O domínio da função

é:

a) b) R_ c) R+ d) e) R

10) (UFJF-MG) O conjunto solução, em R, da inequação

é:

a) d)

b) e)

c)

11) (PUC-MG) O par ordenado (-1,5) pertence aográfico da função f(x)= a x. O valor de f (1) é:

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5

12) (FMTM-MG) Seja a o menor número real que é

solução da equação . Pode-se

afirmar que é um número:

a) natural d) complexob) primo e) divisível por 5c) irracional

13) (Fund. João Pinheiro-MG) Certo fenômeno é regidopela lei f(x) = a .10b.x. Sabe-se quef(0) = 0,01 e f(1) = 10.000. Nesse caso, o quocienteb/a deve ser igual a:

a) 400 b) 500 c) 600 d) 700 e) 800

14) (UFOP-MG) A soma das raízes da equação9x + 81 = 3x . 30 é:

a) 1 c) 27/28 e) 30b) 81/28 d) 4

15) (FCMMG) Suponha que a temperatura de um corpo,colocado num instante t = 0 em um meio mais frio,obedeça à seguinte lei: T(t) - A = B.e -k.t, em que Aé a temperatura do meio ambiente, T(t) é atemperatura do corpo no instante t, B e K sãoconstantes e e é aproximadamente 2,7. Suponhaainda que no instante t = 0 o corpo tenhatemperatura de 36,5 °C, e que este se encontreem uma sala mantida a 20 °C.O valor de B é:

a) 16,5 °C c) 36,5 °C

b) 28,25 °C d) 56,5 °C

16) (Fac. Milton Campos-MG) Se a é raiz da equação

, então é igual a:

a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 3/2

17) (Fund. João Pinheiro-MG) Uma população, a partirde 1995, tem a seguinte lei de formação:

Estima-se que, em certo ano, essa mesmapopulação será 32 vezes a de 1995.

Assim sendo, esse ano seria:

a) 1998

b) 1999

c) 2000

d) 2002

e) 2004

18) (CEFET-MG) O ponto de interseção das curvas

é:

a) (-1,0) c) (0,1) e) (1,1)

b) (0,-1) d) (1,0)

19) UFMG) Observe a figura.

Nessa figura, está representado o gráfico da função

f(x) = b x , b > 0.

Se , a única afirmativa VERDA-

DEIRA sobre o valor de b é:

a) d) 1 < b < 4

b) e) 4 < b < 9

c)

20) (PUC-MG) O número de raízes reais da equação

é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


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LOGARITMO

1) (UFMG) Seja . Nesse caso,

o valor de y é:

a) 35 b) 56 c) 49 d) 70

2) (UFMG) Observe a figura.

Nessa figura, os pontos B e C estão sobre ográfico da função ; os pontos A e D têmabscissas iguais a 8/3 e 12, respectivamente, eos segmentos AB e CD são paralelos ao eixo y.Então, a área do trapézio ABCD é:

a) 64/3 b) 70/3 c) 74/3 d) 80/3

3) (UNA-MG) A calculadora de um aluno possui atecla ln e não possui a tecla log. Ele desejacalcular log 2 em sua máquina. Para tal ele deve:

a) calcular ln 2 , calcular ln 10 e somar o primeirocom o segundo.

b) calcular ln 2 , calcular ln 10 e subtrair oprimeiro do segundo .

c) calcular ln 2 , calcular ln 10 e multiplicar oprimeiro pelo segundo .

d) calcular ln 2 , calcular ln 10 e dividir o primeiropelo segundo.

Fazendo a correspondência entre as funções e osgráficos, assinale, dentre as alternativas abaixo, aseqüência correta:

a) I-B , II-D , III-A , IV-C

b) I-A , II-D , III-C , IV-B

c) I-A , II-B , III-C , IV-D

d) I-C , II-B , III-A , IV-D

e) I-B , II-C , III-D , IV-A

5) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere a,b,c, três

números positivos tais que e

. Nessas condições, log bc é igual a:

a) –6,8 b) –2,2 c) –2,4 d) 2,5 e) 6,6

6) (PUC-MG) Se log4 (x + 2) + log2 (x + 2) = 3, o valorde x é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7) (UNIMONTES-MG) Hoje, graças ao aprimoramentodas técnicas de previsão, podemos responder aquestões como: quantos habitantes há no nossoplaneta ?; em que ano a população de um determi-nado estado, país ou continente estará duplicada?.

A população de um continente cresce de acordocom a equação P(t) = P0 . eit, onde P0 é apopulação no instante em que se inicia a contagem,t é dado em anos e i é a taxa de crescimento anualda população.

Sabendo que loge2 = 0,693 e que a população donosso continente cresce à taxa de 3,5% ao ano,então ela se duplica depois de:

a) 19,8 anos c) 0,198 anos

b) 1,98 anos d) 0,0198 anos

8) (FAFEOD-MG) Na tabela abaixo, estão discriminadoscinco números reais e seus respectivos logaritmosdecimais:

4) (UNA-MG) Considere as seguintes funções reaise os seguintes gráficos:

( A )

( C )

( B )

( D )

(I) f(x) = 5x (II) f(x) = (III) f(x) = (IV) f(x) = log x

Analise as seguintes alternativas:I. a . b= 10II. b2 – r = 0III. os números a e r são menores que 1IV. c > dV. 2,5 ≤ a . b . c . d . r ≤ 10

Número Logaritmo Decimala 0,699b 0,301c 0,477d 0,431r 0,602


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Assinale a alternativa CORRETA:

a) todas as afirmativas são falsas.

b) apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.

c) apenas as afirmativas III e V são falsas.

d) todas as afirmativas são verdadeiras.

9) (UNI-BH) O intervalo que NÃO está contido no con-junto solução da inequação log

2x - 1 5 < log2x - 1 2 é:

a) [ ,1 [ b) ] -1, ] c) ] 0,1 [ d) ] [

10) (Fund. João Pinheiro-MG) O montante M de umcapital C aplicado à taxa de i% ao mês, durante nmeses consecutivos, é dado pela fórmulaM = C (1 + i)n.

A partir dessa fórmula e utilizando-se logaritmos,obtém-se para n a expressão:

a)

b)

c)

d)

e)

11) (Itaúna-MG) Sendo e y = log3 = , ovalor de –x2 y é:

a) –3 b) –2 c) 4 d) 2

12) (PUC-MG) Se , o valor dep é:

a) n b) 10n c) 10n d) n10 e) n/10

13) (CEFET-MG) Sabendo que loga3 = x, logb3-5 = y eque b = a4, pode-se afirmar que:

a) 4x = -5y d) 5x = -4y

b) x = -5y e) 20x = -y

c) x = -20y

14) (PUC-MG) A raiz quadrada de é:

a) p d) 4p

b) 2p e) 5p

c) 3p

15) (PUC-MG) O valor de N = log2 25 - log2 100 é:

a) –6 b) –5 c) –4 d) –3 e) –2

16) (PUC-MG) Sabe-se que y é um número positivo e

que . O valor de y é:

a)

b)

c)

d)

17) (UFLA-MG) O valor de x na expressão

é:

a) log 2

b) 0

c) 2

d) log 8

e) –3

18) (CEFET-MG) O valor de y que satisfaz a equação é:

a) 3 b) 9 c) 18 d) 30 e) 54

19) (UFLA-MG) Sabendo-se que logx a = 2, logx b = 3e logx c = 5, com a, b, c > 0 e 0 < x ≠ 1, então

a expressão vale:

a) 10 b) 5 c) 0 d) -5 e) -10

20) (PUC-MG) A raiz da equação é:

a)

b)

c)

d)

e)


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POLINÔMIOS

1) (PUC-MG) A igualdade a ( x + 2 ) + b ( x – 1 ) = 3 é verificada para qualquer valor de x. O valor do númerob é:

a) –1 b) –1/2 c) 1/2 d) 1 e) 2

2) (IH-MG) Dada a igualdade , com , o valor de A – B é:

a) –3 b) –2 c) 1 d) 3 e) 4

3) (UFMG) Considere os polinômios e ,

em que a, b, c e d são números reais. Sabe-se que P(x) = Q(x) para todo x � R. Assim sendo, o númerod é igual a:

a) 1/8 b) 2/3 c) 4/5 d) 3

4) (UFJF-MG) Ao dividirmos um polinômio p(x) por outro polinômio q(x) encontramos um resto r(x) = x – 1.É CORRETO afirmar que:

a) o grau de p(x) é igual a 2. c) o grau de q(x) é maior que 1.

b) o grau de q(x) é igual a 2. d) o grau de p(x) é igual a1.

5) (PUC-MG) O polinômio P(x)= x 3 – 4x 2 + 5x + m – 3 , é divisível por x + 1.

O valor de m é:

a) 1 b) 13 c) 4 d) 14 e) 22

6) (FMTM-MG) Dividindo-se o polinômio P(x) por 3x – 2 obtém-se quociente Q(x)= x 2 – 2x + 5 e resto r.Se P(2) = 20 , então o valor de r é:

a) 0 b) 2 c) 4 d) 5 e) 20

7(PUC-MG) Sendo , nota-se que P ( 1 ) = Q ( 1 ) = 0. Aforma mais simples da fração é:

a) b) c) d) e)

8) (UFMG) Sejam , onde Q (2) = 0. O resto da divisão de Q( x ) porP( x ) é:

a) –x –2 b) 9x – 18 c) x + 2 d) 0 e) –9x + 18

9) (FAFEOD-MG) Considere os polinômios, P(x) = 5x5 + ax3 + bx2 + 3x + 250, Q(x) = x-2 eT(x) = 5x4 +cx3 + dx2 + kx + 375, sendo a, b, c, d e k constantes reais. Se o quociente da divisão de P(x)por Q(x) é T(x), então o resto dessa divisão é igual a:

a) –850 b) –500 c) 750 d) 1.000

10) (PUC-MG) O polinômio P ( x ) = x 3 + x 2 – 10x + 8 é tal que P ( a ) = P ( b ) = P ( 2 ) sendo a > b. O valorde a – b é:

a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 11

11) (PUC-MG) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é idêntico ao polinômio Q(x) = x3 – 2x + 4. O valor dea + b + c + d é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5


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12) (PUC-MG) O valor de B na identidade 4x + 1 = A (2x + 3) + B é:

a) –5 b) –4 c) –3 d) –2 e) –1

13) (UFMG) Sejam A e B números reais que satisfazem à igualdade

para todo valor de x que não anula nenhum dos denominadores.

A soma A + B é:

a) –1 b) c) 0 d) e)

14) (UFJF-MG) O polinômio p(x), quando dividido por x3 + 1, fornece o resto x2 – 2. O resto da divisão de p(x)por x + 1 é:

a) –2

b) –1

c) 0

d) 1

e) 2

15) (Fac. N.Paiva-MG) Considere os polinômios A(x) = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + ax + b e B(x) = x 2 - 1. Suponha queA(x) seja divisível por B(x). Então, é correto afirmar:

a) a + b = 6

b) A soma dos coeficientes de [B(x)]2 é 4.

c) a – b = 4

d) a2 + b2 = 20

e) 2a + b = 0

ANÁLISE COMBINATÓRIA

1) (UNIMONTES-MG) Considere E={ 1,2,3 } e F={ 1,2,3,4,5 }.O número de funções injetoras de E em F é:

a) 15 b) 60 c) 20 d) 125

2) (FCMMG) Observe a figura.

Nela está representada a planta de um cômodocontendo 3 portas na primeira parede, 5 na segunda e4 na terceira.

Uma pessoa deseja chegar ao ponto B, partindo do ponto A, passando exatamente por três das portasindicadas na figura. O número de maneiras distintas que ela pode fazer isso é:

a) 11 b) 23 c) 32 d) 60


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3) (FMTM-MG) Os clientes de um banco devemescolher uma senha, formada de 4 algarismosde 0 a 9 de maneira que não haja algarismosrepetidos em duas posições consecutivas. Assenhas 0780 e 1212, por exemplo, são possíveis,enquanto que as senhas 7228 e 1169 não são. Onúmero de senhas válidas é:

a) 5.040 c) 8.100 e) 10.000

b) 7.290 d) 9.000

4) (Fund. João Pinheiro-MG) Em um torneio de tênisde mesa, havia 11 participantes. Cada um delesjogou uma única vez com os demais.

Portanto, ao final do torneio, foram disputados

a) 11 jogos c) 44 jogos e) 66 jogos

b) 22 jogos d) 55 jogos

5) (UEMG) Um homem, vistoriando seu guarda-roupa, percebeu que o número de calças é otriplo do número de camisas. Sabendo-se que,com as peças de roupas do guarda-roupa, eleconsegue fazer 147 combinações do tipo calçae camisa, é CORRETO afirmar que o total depeças de roupas, entre calças e camisasexistentes no guarda-roupa é:

a) 32 b) 29 c) 28 d) 24

6) (Univ. Itaúna-MG) Se A n . 3 = 4C n . 2

, então ovalor de n ! é:

a) 3 b) 2 c) 6 d) 24

7) (PUC-MG) A expressão , quando

simplificada, resulta em:

a) n+1 b) n+2 c) n+3 d) n e) 2n

8) (UFLA-MG) Um banco adotou para os seusclientes um sistema de senhas de quatro letras,permitindo-se a repetição de letras (por exemplo:gbbm, aaaa, ddde). Como o alfabeto tem 26letras, o número de senhas diferentes nestesistema é:

a) .

b) permutação de 26 elementos.

c) arranjo simples de 26 elementos tomadosquatro a quatro.

d) 264.

e) combinação de 26 elementos tomados quatroa quatro.

9) (UFMG) Formam-se comissões de trêsprofessores escolhidos entre os sete de umaescola.

O número de comissões distintas que podem,assim, ser formadas é:

a) 35 b) 45 c) 210 d) 73 e) 7 !

10) (UFMG) Um clube resolve fazer uma Semanade Cinema. Para isso, os organizadoresescolhem sete filmes, que serão exibidos um pordia. Porém, ao elaborar a programação, elesdecidem que três desses filmes, que são deficção científica, devem ser exibidos em diasconsecutivos.

Nesse caso, o número de maneiras diferentesde se fazer a programação dessa semana é:

a) 144

b) 576

c) 720

d) 1.040

11) (CEFET-MG) A quantidade de números ímparesde três algarismos distintos que se pode formarcom os números 2, 3, 5, 6, 7 e 8 é:

a) 15 b) 30 c) 60 d) 120 e) 360

12) (PUC-MG) Uma jarra cilíndrica deve ser pintadacom três faixas de cores diferentes usando astintas disponíveis verde, vermelha, amarela, azule preta. O número de jarras que se pode pintar,com padronagens diferentes é:

a) 120

b) 100

c) 90

d) 70

e) 60

13) (UNI-BH) Em uma sala de aula há 20 alunos,sendo 11 homens e 9 mulheres. Elegeu-se umhomem como representante de turma e umamulher para vice-representante. O número depossíveis chapas vencedoras é:

a) menor que 100.

b) maior que 100 e menor que 1.000.

c) maior que 1.000 e menor que 10.000.

d) maior que 10.000.

14) (PUC-MG) Em um campeonato de futebol, cadaum dos 24 times disputantes joga contra todosos outros uma única vez. O número total de jogosdesse campeonato é:

a) 48 b) 96 c) 164 d) 276


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15) (Fund. João Pinheiro) Uma escola de computaçãooferece aos alunos seis cursos básicos e cincocursos de extensão. Pelo total cobrado, cadaaluno tem direito a fazer um pacote de setecursos, dos quais, no mínimo, quatro têm queser básicos.

Nesse caso, o número total de pacotes distintosde cursos disponíveis aos alunos é:

a) 140 b) 168 c) 210 d) 215 e) 840

16) (Fac. Newton Paiva-MG) Seja

. O número de frações diferentes de1 que se podem formar com os elementos de Aé:

a) 42 b) 56 c) 82 d) 84 e) 112

17) (FCMMG) Um laboratório dispõe de 5camundongos machos e n fêmeas. Se existem360 maneiras de selecionar dois machos e duasfêmeas para uma experiência, o número n éigual a:

a) 6 b) 9 c) 10 d) 12

18) (FMTM-MG) O primeiro robô resultado de filmesde ficção científica chamava-se “TOBOR”, nomeeste originado pela inversão da palavra “ROBOT”.Seguindo os princípios da contagem, o númerode anagramas distintos, utilizando as cinco letrasque formam estas palavras, é:

a) 30 b) 40 c) 60 d) 120 e) 240

19) (FMTM-MG) Em uma festa de aniversário havian pessoas. Cada uma cumprimentou as outrascom um aperto de mão. Sabendo-se que houveao todo 45 apertos de mão, pode-se afirmar que:

a) n é um número primo.

b) n é um número ímpar.

c) n é divisor de 15.

d) n é divisor de 5.

e) n é múltiplo de 5.

20) (UFJF-MG) O conjunto X tem 4 elementos e oconjunto Y tem 7 elementos. O número defunções f : X � Y que se pode definir é:

a) 24 c) 840 e) 16.384

b) 28 d) 2.401

BINÔMIO DE NEWTON

1) (IH-MG) No binômio , o termo

independente de x é:

a) –30240 c) 45 e) 30240

b) -252 d) 252

2) (UNI-BH) O termo central do binômio

é:

a) 20 b) 8x3 c) d) 540x-3

3) (UFU-MG) O termo racional no desenvolvimentode é:

a) 350 c) 1.400 e) 54

b) 64 d) 700

4) (UFOP-MG) Para que se tenha um dos termos dodesenvolvimento do binômio de Newton(x + a)11 igual a 1.386x5 , o valor de a deve ser:

a) c) e)

b) d) 3

5) (UNIFOR-CE) O número natural n que é solução

da equação é:

a) primo. d) quadrado perfeito.

b) divisível por 2. e) maior que 20.

c) múltiplo de 3.

6) (UNI-BH) Os valores de x que verificam a identidade

são:

a) 0 ou 10 d) 1

b) –2 ou –1/2 e) 1 ou 13/3

c) –2 ou 10/3

7) (PUC-MG) O 6º termo no desenvolvimento do

binômio segundo as potências

decrescentes de x, é se, e somente se, k

for igual a:

a) 6 b) 4 c) 2 d) 1/2 e) 1/4


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8) (UFV-MG) O coeficiente do termo independente de x, no desenvolvimento de para x ≠ 0, é:

a) 28 b) 56 c) 3 d) 0 e) 36

MATRIZ

1) (PUC-MG) Considere as matrizes .

O valor de n é:

a) 3 b) 4 c) 8 d) 14 e) 22

2) (PUC-MG)Considere as matrizes .

O valor de p é:

a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

3) (UFLA-MG) Seja A={ a i j } uma matriz 3x3 dada por . A matriz pode ser escrita como:

a) b) c) d) e)

4) (Fac. M.Campos-MG) A soma dos elementos da segunda linha da matriz M = (a ij)3 x 2

definida por é igual a:

a) 4 b) 2 c) 0 d) –2

5) (PUC-MG) A matriz é quadrada de ordem 3 e . O valor de é:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

6) (PUC-MG) Considere as matrizes e M = AB + 3C.

A matriz M é igual a:

a) b) c) d) e)

7) (PUC-MG) A matriz inversa de é:

a) b) c) d) e)


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8) (UNA-MG) Na matriz A2x2 temos que o elemento aij = i + 2j. A matriz A2 vale:

a) b) c) d)

9) (UNA-MG) Uma revendedora comercializa 4 produtos e possui 4 filiais. Na matriz

o elemento que está na linha i e coluna j representa o estoque do produto i na filial j , por exemplo , existem14 unidades do produto 1 na filial 4. A filial que possui maior estoque do produto 2 é a:

a) filial 1 b) filial 2 c) filial 3 d) filial 4

10) (PUC-MG) A matriz é a inversa de .

O valor do número real b é:

a) –1 b) 1/4 c) 1/2 d) 1 e) 2

11) (PUC-MG) Se então xy é igual a:

a) –6 b) –5 c) –1 d) 1 e) 6

12) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere a matriz A = (aij) tal que a11 = -1, a12 = 1, a21= 1 e a22 = .

Nessas condições, a soma de todos os elementos da inversa da matriz A deve ser igual a:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

13) (UFJF-MG) Três vereadores foram designados para compor a Comissão de Orçamento do Municípiopara o ano de 1994. Eles devem escolher entre si o presidente para a referida comissão, sendo que cadavereador pode votar em até dois nomes. Cada um recebeu um número de um a três e os votos foramtabulados conforme a matriz A, dada a seguir.

Então, o número do candidato mais votado e o número de candidatos que votaram em si mesmos são,respectivamente:

a) 1 e 3 b) 2 e 2 c) 3 e 1 d) 2 e 3 e) 3 e 2

14) (UFV-MG) Seja a equação matricial A.B + X = Ct onde Ct é a matriz transposta de C. Se A e B sãomatrizes de tipos 3x4 e 4x2, respectivamente, então para que exista uma matriz X, solução da equação, amatriz C deve ser do tipo:

a) 2x3 b) 2x4 c) 3x2 d) 3x3 e) 3x4

15) (UNA-MG) Sejam . Se AX = B, então X é:

a) b) c) d) e)


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DETERMINANTE

1) (CEFET-MG) O valor do determinante é:

a) –11 b) –1 c) 0 d) 1 e) 11

2) (UNI-BH) Sabendo-se que , o determinante da matriz é:

a) b) 3x c) 9x d) 27x

3) (PUC-MG) Considere o triângulo retângulo de vértices V1 , V2, V3 da figura .

O determinante da matriz A = (aij)3x3 em que aij = distância ViVj, é igual a:

a) 0 c) e)

b) d)

4) (UFJF-MG) Sendo , então podemos afirmar que:

a) X é uma matriz quadrada de ordem 4.

b) X é uma matriz diagonal.

c)

d) o determinante do dobro da matriz X é o dobro do determinante da matriz X.

e) a matriz inversa de X é .

5) (UFLA-MG) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 6, qual o valor dex na equação det (2 A-1 . At) = 4x ?

a) 72 b) 18 c) 12 d) 2 e) 1/2

6) (UFOP-MG) Sendo a matriz , onde , podemos afirmar que o determinante

de M é:

a) xy b) 2xy c) d) e)

7) (UNI-BH) Se , então o determinante de A . Bt, onde Bt é a transposta de B, vale:

a) –16 b) –15 c) 15 d) 16


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8) (UFV-MG) Considerando a matriz , o valor do determinante da matriz B = A2 é:

a) (x2 + y2)2 b) y4 – x4 c) (y2 – x2)2 – 4x2y2 d) (y2 – x2)2 e) y4 + x4

9) (PUC-MG) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se det A = 5 e , então, podemos

afirmar que det B é:

a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10

10) (CEFET-MG) Sabendo-se que o valor do número real 2a – 3b2 será:

a) –89 b) –61 c) –81 d) –69 e) 81

SISTEMAS LINEARES

1) (CEFET-MG) Se o sistema tem solução única, então:

a) 2mn b) m - 2n c) m - 2n = 0 d) m + 2n = 0 e) m + 2n

2) (Fund. João Pinheiro – MG)

O sistema , nas variáveis x e y, é indeterminado.

Nesse caso, a diferença m – n é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3) (UNIMONTES-MG)

O sistema linear cujas equações são planos paralelos distintos, é classificado, quanto

ao número de soluções, como sendo:

a) inadequado para análise. c) possível e indeterminado.

b) possível e determinado. d) impossível.

4) (UFJF-MG) Faz-se um primeiro e um segundo lançamento consecutivo de um dado de forma a escolher,

respectivamente, os parâmetros a e b para o sistema . A probabilidade de o sistema obtido ser

indeterminado é:

a) 1/12 b) 1/6 c) 1/4 d) 2/3

5) (ESPCEX) O sistema

admite mais de uma solução se, e somente se:

a) k = 7/6 b) k = 7/5 ou k = 2 c) k = 7 ou k = - 2 d) k = 2/3 ou k = 1/2 e) k = 0


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6) (ESPCEX) A soma das soluções do sistema é:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7) (FDV-ES) Pedro, Maria e Rogério saíram pelo trânsito da cidade, arrecadando dinheiro para a festa deformatura da turma. No final do dia, juntos, eles somaram R$ 150,00. Quando souberam que a festa estavacancelada, os três resolveram dividir igualmente o dinheiro arrecadado. Dessa forma, Pedro ficou com odobro do que arrecadou, Maria com R$ 5,00 a menos do que arrecadou e Rogério com R$ 20,00 a menosdo que arrecadou. Pedro, Maria e Rogério arrecadaram, em reais, respectivamente:

a) 25, 45 e 80 b) 30, 50 e 70 c) 50, 25 e 75 d) 50, 45 e 55 e) 25, 55, e 70

8) (UERJ) Observe os pesos P1, P2 e P3 que possuem, cada um, uma quantidade inteira em kg.

Colocando-se um, dois ou os três pesos em um mesmoprato de uma balança, pode-se equilibrar, no outro, 1, 2, 3,4, 5, 6 ou, no máximo, 7 kg de batatas.

Entre P1, P2 e P3, o mais pesado mede, em kg:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 9

9) (MACK-SP) A soma de todos os valores de k, para os quais o sistema tem mais de uma

solução, é:

a) 10 b) 14 c) 18 d) 12 e) 20

10) (UFU-MG) Estudando o sistema linear verificamos que ele é:

a) homogêneo indeterminado. d) impossível e indeterminado.

b) possível e determinado. e) impossível e determinado.

c) possível e indeterminado.

11) (UFJF-MG) Um sistema linear homogêneo com m equações lineares e n incógnitas:

a) é sempre possível. d) nem sempre é possível.b) é possível somente quando m < n. e) é possível somente quando m > n.c) é possível somente quando m = n.

12) (PUC-MG) O par ordenado (a,b) é solução do sistema valor de é:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

13) (UNA-MG) O valor de m de modo que (2,-1) seja solução do sistema é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) d


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14) (PUC-MG) O sistema é indeterminado. O valor de a + b é:

a) –3 b) –2 c) –1 d) 1 e) 2

15) (Fac. Milton Campos) O sistema não tem solução quando m é igual a:

a) –2 b) 3 c) 1 d) 2 e) –3

PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

1) (PUC-MG) O centésimo primeiro termo da seqüência ( -3, -1, 1, 3, ...) é igual a:

a) 197 b) 203 c) 213 d) 215 e) 217

2) (Fund. João Pinheiro-MG) Paguei uma dívida durante 14 meses consecutivos, desta forma: no primeiromês, R$ 350,00; no segundo, R$ 400,00; no terceiro, R$ 450,00 e assim sucessivamente, ou seja, a cadamês, paguei R$ 50,00 a mais do que no mês anterior.

Então, o valor total da dívida que paguei foi:

a) R$ 9.450,00 d) R$ 9.650,00

b) R$ 9.540,00 e) R$ 9.660,00

c) R$ 9.560,00

3) (N. Paiva – MG) Sabendo-se que, em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 1, o último termo é n2,e são inseridos outros n termos, pode-se dizer que a razão da P.A será uma função de n, na forma:

a) n – 1 b) n2 + 1 c) n + 1 d) n2 – 1

4) (ITA-SP) O valor de n que torna a seqüência 2 + 3n, -5n, 1 – 4n, uma progressão aritmética pertence aointervalo:

a) [-2, -1] b) [-1, 0] c) [0,1] d) [1, 2] e) [2, 3]

5) (PUC-MG) O trigésimo primeiro termo da progressão geométrica é igual a 2k. O valor de k

é:

a) –14,0 b) –14,5 c) –15,0 d) –15,5 e) –16,0

6) (Provão) Se a população de certa cidade cresce 2% ao ano, os valores da população a cada ano formamuma progressão:

a) geométrica de razão 1,2. d) aritmética de razão 1,02.

b) geométrica de razão 1,02. e) aritmética de razão 0,02.

c) geométrica de razão 0,02.

7) (UFLA-MG) Sabendo-se que os números a0, a1, 75, a3 e 1875 estão em progressão geométrica, o valor dea3 é:

a) 100 b) 1.500 c) 225 d) 375 e) 1.125

8) (PUC-MG) O valor de x que verifica a equação é:

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 28


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9) (UFOP-MG) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x2 – 5, que formam, porsua vez, uma progressão aritmética, nessa ordem .O perímetro do triângulo mede:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 24

10) (FMTM-MG) Na progressão geométrica (3logx, 3logy, 3logz) , sendo x , y e z números reais positivos, ovalor de y é:

a) x + z d) x . z

b) x – z e)

c)

11) (Unimontes – MG) Uma Progressão Harmônica é uma seqüência de números tais que seus inversosformam uma Progressão Aritmética. O segundo, terceiro e quarto termos de uma Progressão Harmônicasão 2, 3 e 6, respectivamente. A soma dos quatro primeiros termos da Progressão Harmônica é:

a) 11 b) 25 c) 5/3 d) 25/2

12) (N. Paiva – MG) Um professor de matemática que amava igualmente a literatura descobriu que reunia emsua biblioteca particular 70 autores diversos, entre prosadores e poetas. Denotando por A o conjunto dospoetas e por B o conjunto dos prosadores, ele verificou que as quantidades A – B , A � B e B – Aconstituíam uma progressão geométrica. Sabendo-se que, do conjunto dos poetas, apenas 10 nuncahaviam escrito obra em prosa, quantos autores escreviam prosa e poesia?

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 35

13) (UFV-MG) Usando-se um conta gotas , um produto químico é misturado a uma quantidade de água daseguinte forma : a mistura é feita em intervalos regulares , sendo que no primeiro intervalo são colocadas4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior.Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas àágua é:

a) 1100 c) 1600 e) 1200

b) 1300 d) 900

14) (UFOP-MG) Três polígonos têm o número de lados definidos em P.A de razão 3. Sabe-se que a soma detodos os ângulos internos desses polígonos é 3240°. O número de lados de cada polígono é,respectivamente:

a) 4 , 7 , 10

b) 9 , 12 , 15

c) 3 , 6 , 9

d) 5 , 8 , 11

e) 6 . 9 . 12

15) (UFOP) A figura mostra um triângulo retângulo cujos lados formam uma P.G. de razão q.

Então a razão q vale:

a) d)

b) e)

c)


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PRISMA6) (PUC-MG) A figura representa uma caixa com

tampa e que tem a forma de um paralelepípedoretângulo de base quadrada com lado medindox; a altura da caixa mede y, e sua área total mede100 m2. A função que expressa o volume V dessacaixa, em função de x, é:

a)

b)

c)

d)

e)

7) (ESPCEX) Uma piscina em forma deparalelepípedo retângulo tem largura de 6 metros,diagonal do fundo com 10 metros e diagonal daface que contém o comprimento igual a

metros. Para enchê-la com água será utilizadoum caminhão tanque com capacidade de 6 000litros. O número de cargas completas , dessemesmo caminhão , necessárias para que apiscina fique completamente cheia é:

a) 24 b) 28 c) 32 d) 54 e) 80

8) (PUC-MG) Na figura , o cubo tem aresta de 4 cme BP = 2 cm está sobre o prolongamento daaresta AB. A medida do segmento PG , emcentímetros , é:

a) 6

b)

c)

d)

e) 8

9) (UNA-MG) Uma piscina olímpica possui a formade um prisma reto de base retangular de 50 m decomprimento, por 25 m de largura, por 2 m deprofundidade. O número de litros de águanecessários para enchê-la totalmente é:

a) 2,5 x 102 c) 2,5 x 105

b) 2,5 x 103 d) 2,5 x 106

1) (FMTM-MG) Se a área da base de um prismaaumenta 20% e a altura diminui 10%, seu volume:

a) aumenta 8% d) diminui 8%

b) aumenta 10% e) diminui 10%

c) aumenta 108%

2) (CEFET-MG) Se as áreas das faces de umparalelepípedo retângulo medem 6 cm2, 9 cm2

e 24 cm2 , então o volume desse paralelepípedo,em cm3, é:

a) d) 39

b) e) 1296

c) 36

3) (CEFET-MG) Um tanque na forma de umparalelepípedo retângulo tem por base umretângulo de lados 0,8 m e 1,2 m. Se um objetoé mergulhado totalmente nesse tanque e faz onível da água subir 0,075 m , então o volume doobjeto, em m3, é:

a) 0,066 d) 0,600

b) 0,072 e) 1,000

c) 0,096

4) (UNI-BH) De um paralelepípedo conhecem-se duasdas suas dimensões, 3 cm e 4 cm , e a diagonal,

cm. A dimensão desconhecida é, emcentímetros:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

5) (UEMG) Uma piscina tem a forma do sólido,conforme a figura. Sendo suas medidas dadasem metros, pode-se afirmar que a capacidadedessa piscina, em litros, é de:

a) 55.000 c) 72.000

b) 58.000 d) 92.000

MATEMÁTICA II


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10) (UFMG) Todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1são:

a) 1 e b) 1, e 2 c) 1, e d) 1, e 3

11) (UFLA-MG) Num prisma triangular, regular e reto, todas as arestas têm a mesma medida, e o volume é de0,375 m3. A aresta, medida em metros, é igual à raiz cúbica de:

a) 1 b) 1/3 c) d) e) 1/2

12) (UFOP-MG) Uma caixa d’água, em forma de paralelepípedo retângulo, tem dimensões de 1,8m, 15 dm e 80cm. Sua capacidade é:

a) 2,16 L

b) 21,6 L

c) 216 L

d) 1080 L

e) 2.160 L

13) (UbNESP) Se um tijolo, dos usados em construção, pesa 4 kg, então um tijolinho de brinquedo feito domesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, pesará:

a) 62,5 g

b) 250 g

c) 400 g

d) 500 g

e) 1.000 g

14) (UFPA) Um prisma hexagonal regular tem para altura a diagonal de um cubo de aresta a. Se o volume docubo é igual ao do prisma, a aresta da base do prisma mede:

a)

b)

c)

d)

e)

15) (UFLA-MG) De um prisma retangular reto recorta-se um outro prisma retangular reto, cujas dimensõesvalem exatamente a metade das medidas das dimensões do sólido inicial. Assim o volume do prismamenor representa uma porcentagem do volume do prisma maior. Essa porcentagem é de:

a) 12,5%

b) 0,125%

c) 1,25%

d) 50%

e) 5%


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1) (Univ. Itaúna- MG) Uma pirâmide, cuja base é umquadrado de lado 2a, tem o mesmo volume que umprisma, cuja base é um quadrado de lado a.A razão entre as alturas da pirâmide e do prisma é:

a) 4/3 b) 3/2 c) 1/4 d) 3/4

2) (PUC-MG) Na figura, o prisma ABCDEF é reto esua base é um triângulo retângulo de catetosAC = 3 m e BC = 4 m; a altura desse prisma mede5 m. A partir desses dados, pode-se afirmar que amedida do volume da pirâmide de vértice E e cujabase é o triângulo de vértices B, D e F, em metrosquadrados, é:

a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) 13

3) (PUC-MG) A base de uma pirâmide é um hexágonoregular inscrito em uma circunferência de raio r. Aaltura da pirâmide é h = 3r. A função que expressao volume V da pirâmide em função do raio r é:

a) d)

b) e)

c)

4) (CEFET-MG) Uma pirâmide tem como base umpolígono regular. As arestas da base medem 2 m eas arestas que passam no vértice medem 3 m. Asoma de todos os ângulos internos das faces(incluindo a base) é igual a 10π radianos. A altura dapirâmide, em metros, é de:

a) c) e)

b) d)

5) (ESPCEX) Uma pirâmide hexagonal regular tem áreada base igual a . Sabendo-se que sua alturaé igual ao triplo do apótema da base, então seuvolume é:

a) 36 m3 d)

b) e)

c)

6) (UFES) Um grupo de esotéricos deseja construirum reservatório de água na forma de uma pirâmidede base quadrada. Se o lado da base deve ser 4/5 da altura e o reservatório deve ter capacidadepara 720 m3, qual deverá ser a medidaaproximada do lado da base?

a) 8,7 m c) 13,9 m e) 16,0 m

b) 12,0 m d) 15,0 m

7) (PUC-MG) Em um cubo de aresta a, ligam-se osvértices A, B, C, e D de uma face ao centro I daface oposta. A razão entre o volume da pirâmideassim obtida e o volume do cubo é:

a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2 e) 3

8) (PUC-MG) Cortando-se uma pirâmide de 30 dmde altura por um plano paralelo à base e distante24 dm do vértice, obtém-se uma secção cujaárea mede 144 dm2. A medida da área da basede tal pirâmide, em dm2, é:

a) 180 b) 200 c) 212 d) 225 e) 288

9) (PUC-MG) Em uma pirâmide regular de 12 cmde altura tendo como base um quadrado de ladoigual a 10 cm, a área lateral é:

a) 240 cm2 c) 340 cm2 e) 210 cm2

b) 260 cm2 d) 400 cm2

10) (CEFET-MG) ABCD é face de um cubo cujasarestas medem 36 cm. Seja X um ponto daaresta AE. Qual a medida de AX para que ovolume da pirâmide XABCD seja 1/9 do volumedo cubo?

a) 4 cm c) 12 cm e) 24 cm

b) 6 cm d) 18 cm

11) (MACK-SP) Uma pirâmide cuja base é umquadrado de lado 2a tem um mesmo volume queum prisma cuja base é um quadrado de lado a. Arazão entre as alturas da pirâmide e do prisma,nessa ordem é:

a) 3/4 b) 3/2 c) 1/4 d) a/3 e) 3a

12) (UFPA) Uma pirâmide regular, cuja base é umquadrado de diagonal , e a altura igual a2/3 do lado da base, tem área total igual a:

a) d)

b) 252 cm2 e) 576 cm2

c) 288 cm2

PIRÂMIDE


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13) (PUC-SP) Um projetor está a uma distância de 2 metros de uma parede. A que distância da parede deve sercolocado o projetor, para que a área de um quadrado projetado aumente 50%?

a) b) c) 3 m d) 4,5 m e)

14) (PUC-MG) Para que o volume de um cubo de aresta a seja igual ao volume de uma pirâmide cuja base éum quadrado de lado a, a altura da pirâmide é:

a) a/3 b) 3/a c) 3a/4 d) 4a/3 e) 3a

15) (M.Campos) Uma pirâmide de chumbo é mergulhada num tanque cúbico de aresta 1m, cheio d’água atéa borda. Se a base da pirâmide é um triângulo retângulo cujos catetos medem 0,5 m e se sua alturatambém é de 0,5 m, então o volume de água derramada foi:

a) 1/12 m3 b) 1/24 m3 c) 1/36 m3 d) 1/48 m3 e) 1/64 m3

CILINDRO

1) (Fac. M.Campos-MG) Em um laboratório, um cilindro de vidro com 10 cm de raio contém água até 10 cmde altura. Um objeto irregular colocado dentro desse cilindro fica totalmente imerso e faz o nível d’águasubir para 18 cm. Considerando π = 3,14, o volume desse objeto é de:

a) 3140 cm3 b) 2512 cm3 c) 5652 cm3 d) 2009,6 cm3

2) (Univ. Itaúna - MG) Para se calcular o volume de um sólido, o mesmo é colocado em um recipientecilíndrico de 5 cm de raio, que contém água até um certo nível. Se o nível da água subir 1 cm, o volume dosólido deverá ser de:

a) 5π cm3 b) 10π cm3 c) 50π cm3 d) 25π cm3

3) (PUC-MG) A região plana, limitada pelo retângulo ABCD, gira em torno do lado AB e gera um cilindro devolume V1. A mesma região, ao girar em torno do lado BC, gera um outro cilindro de volume V2. SeAB = 4 cm e BC = 6 cm, é CORRETO afirmar que:

a) V1 = V2b) 2V1 = V2c) V1 = 3V2d) 2V1 = 3V2e) V1 = 2V2

4) (Fund. João Pinheiro-MG) Dois cilindros são obtidos girando-se, sucessivamente, um retângulo ABCD emtorno dos lados AB e BC. O produto dos números que representam a medida dos volumes dos cilindros é216�2. Assim sendo, a área do retângulo é igual a:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

5) (Fac. Newton Paiva-MG) Um reservatório, em forma de cilindro, cujas dimensões internas são metros de

raio e 0,018 m de altura, contém vinho até 2/3 de seu volume. A quantidade de vinho, em litros, contida noreservatório é de:

a) 84 b) 840 c) 8400 d) 12.600

6) (PUC-MG) Enrolando-se um tapete quadrado, obtém-se um sólido que tem a forma de um cilindro circularreto, cuja área da base mede 4πdm2 e cujo volume mede 120π dm3. A medida da área do tapete, em metrosquadrados, é:

a) 3 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25

7) (FMTM-MG) Um cilindro circular reto tem altura igual a 80 cm e o diâmetro da base é igual a 3 m. A respeitodesse cilindro, pode-se afirmar que:

a) A área de uma seção meridiana é igual a 2,4 m2 e a área de uma seção transversal, 9π m2.

b) A área lateral é igual a 2,4π m2 e a área de uma seção transversal, 9π m2.

c) A área lateral é igual a 2,4π m2 e a área de uma seção meridiana, 2,4 m2.

d) A área lateral é igual a 4,8π m2 e a área de uma seção meridiana, 2,4π m2.

e) A área de uma seção meridiana é igual a 2,4π m2 e a área de uma seção transversal, 2,25π m2.


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Dados (aproximados)

tg 30° = 0,58

tg 40° = 0,84

tg 50° = 1,19

10) (CEFET-MG) Na figura, o quadrado de lado agira em torno de um eixo paralelo ao seu lado eque dista deste de b unidades. O volume do sólidogerado é dado por:

a)

b)

c)

d)

e)

11) (Univ. Itaúna) Um cilindro circular reto tem oraio igual a 2 cm, e altura 3 cm. Sua superfícielateral mede:

a) 6π cm2

b) 9π cm2

c) 12π cm2

d) 15π cm2

e) 16π cm2

8) (N. Paiva - MG) Uma lata cilíndrica de 0,8 m dealtura e 40 cm de diâmetro contém água até 1/5de sua capacidade. Essa água será despejadanuma outra lata cilíndrica de mesma altura que aprimeira, mas que tem 20 cm de diâmetro.A altura alcançada pela água na lata menor será,em cm, de:

a) 16 b) 24 c) 32 d) 64

9) (ESPCEX) Num recipiente em forma de cilindrocircular reto, com raio da base 2 cm e altura

cm (dimensões internas) há um volume deágua de . O maior ângulo � que oplano da base do cilindro pode fazer com ahorizontal para que a água não derrame ao seinclinar o cilindro é de, aproximadamente:

a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°

12) (N.Paiva) A área lateral de um cilindro de revoluçãoé metade da área da base. Se o perímetro desua seção meridiana é 18 m, o volume vale:

a) 8π m3

b) 10π m3

c) 12π m3

d) 16π m3

e) 20π m3

13) (UFMG) Um cilindro circular reto, de ouromaciço, tem o raio da base igual a 2 cm e alturaigual a 10 cm. Sendo a densidade do ouro 19g/cm3, a massa total do cilindro, em gramas, é:

a) 950πb) 760πc) 570πd) 380πe) 190π

14) (FMTM) A área total de um cilindro vale 48π m2

e a soma das medidas do raio da base e daaltura é igual a 8m. Então, em m3, o volume dosólido é:

a) 75πb) 50πc) 45πd) 25πe) 15π

15) (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de umcilindro, mantendo a altura, o volume do cilindrofica multiplicado por:

a) 3

b) 6

c) 9

d) 12

e) 15


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CONE

1) (UFMG) Um reservatório de água tem forma decone circular reto, de eixo vertical e vértice parabaixo.

Quando o nível de água atinge a metade da alturado tanque, o volume ocupado é igual a �.

A capacidade do tanque é:

a) 2� d) 6�

b) e) 8�

c) 4�


Essa taça, cujo interior tem a forma de um cone,contém suco até a metade da altura do coneinterno. Se o volume do cone interno é igual a V,então o volume do suco nele contido é:

a) c)

b) d)

3) (FAFEOD – MG) Observe a figura a seguir:

Sendo S a região hachurada, é CORRETO afirmar

4) (UFOP-MG) Um triângulo retângulo possui catetosde comprimento a e b. Sejam osvolumes dos cones obtidos pela rotação dotriângulo em torno , respectivamente, dos catetos

a e b. O quociente vale:

a) d)

b) e)

c)


que o volume aproximado do sólido gerado pelarotação de S em torno do eixo x é, emcentímetros cúbicos, igual a:

a) 28,2 c) 56,5

b) 84,8 d) 48,2

O cilindro circular reto da figura é obtidoseccionando-se o cone circular reto por um planoparalelo à base e a uma distância H/3 desta.A razão entre os volumes do cone de altura H edo cilindro, nesta ordem, é:

a) 9/4 b) 27/4 c) 9 d) 27

6) (UFJF-MG) O volume do sólido de revoluçãogerado por um triângulo eqüilátero de lado 2 cm,que faz uma rotação de 360° em torno de um deseus lados, é, em cm3:

a) 2π c) e) 6π

b) d) 4π

7) (PUC-MG) A região plana limitada pelo triânguloABC faz um giro de 60° em torno da reta AB.Sendo AB = 2AC = 6 m, o volume do sólidogerado, em m3, é:

a) 3π.b) 4π.c) 5π.d) 6π.e) 7π.


69 cor preto


8) (UFOP) Num cone circular reto de volume V = 3πcm3 e área da base Ab = 9π cm2, podemosafirmar que o produto do raio pela altura dessecone, em cm2, vale:

a) 2/3 b) 1 c) 2 d) 9/4 e) 3

9) (PUC-MG) Um sólido S é gerado por uma regiãoplana limitada por um triângulo retângulo cujoscatetos medem, respectivamente, 3 m e 4 m,que gira em torno do maior cateto, segundo umângulo de 60°. A medida do volume do sólido S,em metros cúbicos, é:

a) d) 2π.

b) e) 3π.

c) π

10) (MACK-SP) No cálice da figura, que tem a formade um cone reto, colocou-se um volume de águaigual a 1/8 do volume do cálice. A altura h daágua é:

a) 9/2

b) 3/2

c) 9/8

d) 7/8

e) 5/8

11) (UFOP-MG) Um cone circular reto tem por baseuma circunferência de comprimento igual a 6πcm e sua altura é 2/3 do diâmetro da base. Postoisso, sua área lateral é:

a) 5π cm2 d) 15π cm2

b) 9π cm2 e) 36π cm2

c) 12π cm2

12) (UFJF) Um cone eqüilátero tem de área da base4π cm2. Qual sua área lateral?

a) 2π cm2 d) 16π cm2

b) 4π cm2 e) 32π cm2

c) 8π cm2

13) (UFU) A área da base de um cone reto é igual àárea da secção meridiana. Se o raio da base valeR, a altura do cone valerá:

a) 2πR/3 d) 2πRb) πR/2 e) 3πR/2c) πR

14) (UFPA) Qual o volume de um cone circular retode diâmetro da base igual a 6 cm e de geratriz5 cm?

a) 12π cm3 d) 48π cm3

b) 24π cm3 e) 96π cm3

c) 36π cm3

15) (UFLA) O diâmetro da base de um cone circularreto mede 12 cm. Se a área da base é 3/8 daárea total, o volume desse cone, em cm3, é:

a) 48π b) 96π c) 144π d) 198π e) 288π

ESFERA

1) (UFJF-MG) Dois cubos de metal de arestas decomprimento p e 2p, respectivamente emcentímetros, fundem-se para formar uma esfera.O comprimento do raio dessa esfera é, em cm:

a) 3π. c)

b) d)

2) (Fac. M. Campos-MG) O volume de uma esferacircunscrita em um cubo de aresta é:

a)

b)

c)

d)

3) (PUC-MG) Três bolas metálicas e de mesmodiâmetro, quando jogadas dentro de um tamborcilíndrico cujo raio mede 24 cm , ficam totalmentesubmersas e fazem o nível da água, no interior dotambor, subir 12 cm. A medida do raio de cada esfera,em centímetros, é:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 164) (Fac. Newton Paiva- MG) Uma fábrica de biscoitos é

contratada para fabricar casquinhas de sorvetes.Como os sorvetes são vendidos na forma esférica,com 4 cm de diâmetro, foi proposta à fábrica debiscoitos que:1. As casquinhas sejam cones ocos, com 4 cm de diâmetro nabase.2. Como as casquinhas devem comportar duas bolas de sorvete,o cone comporte, no mínimo, 3/4 do sorvete, caso este derreta.

O menor valor da altura permitido para o cone será:a) igual ao diâmetro.b) o dobro do diâmetro mais um terço dele.c) 2 vezes e meia o diâmetro.d) 3 vezes o diâmetro.e) o dobro do diâmetro.


70 cor preto


5) (UFMG) Dois cones circulares retos de mesma base estão inscritos numa mesma esfera de volume 36π. Arazão entre os volumes desses cones é 2.

A medida do raio da base comum dos cones é:

a) 1 b) c) d) 2 e)

6) (UNI-BH) O volume do sólido gerado pela rotação completa, em torno da reta r, da região entre assemicircunferências indicada na figura a seguir é:

a)

b)

c)

d)

7) (ITA-SP) Um cone circular reto com altura de cm e raio da base de 2 cm está inscrito numa esfera que,por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do coneé igual a:

a) b) c) d) e)

8) (UFOP-MG) Um plano intercepta uma superfície esférica segundo uma circunferência de decomprimento. Sendo a distância do centro da esfera ao centro da circunferência igual a 3 cm, o raio daesfera é:

a) 4 cm

b) 5 cm

c) 6 cm

d) 7 cm

e) 8 cm

9) (UFJF) Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, formada por 12 gomos exatamente iguais.A superfície total de cada gomo é:

a) 2πR2

b) 4πR2

c)

d) 3πR2

e)

10) (Univ. Itaúna) A área da superfície de uma esfera é 16π cm2. Qual o diâmetro da esfera?

a) 1 cm

b) 2 cm

c) 4 cm

d) 6 cm

e) 8 cm


71 cor preto


MATEMÁTICA IFunção Exponencial

1) e 2) c 3) a 4) d 5) b 6) e 7) b 8) c 9) a 10) e

11) b 12) d 13) c 14) d 15) a 16) c 17) c 18) c 19) b 20) c

Logaritmo1) d 2) b 3) d 4) a 5) b 6) c 7) a 8) c 9) d 10) b

11) b 12) c 13) d 14) c 15) e 16) d 17) c 18) b 19) e 20) e

Polinômios1) a 2) a 3) a 4) c 5) b 6) a 7) c 8) b 9) d 10) b

11) b 12) a 13) d 14) b 15) d

Análise Combinatória1) b 2) d 3) d 4) d 5) c 6) d 7) a 8) d 9) a 10) c

11) c 12) e 13) a 14) d 15) d 16) b 17) b 18) c 19) e 20) d

Binômio de Newton1) b 2) d 3) d 4) a 5) a 6) d 7) d 8) a

Matriz1) c 2) e 3) b 4) b 5) b 6) b 7) b 8) c 9) a 10) b

11) a 12) b 13) e 14) a 15) c

Determinante1) b 2) a 3) e 4) e 5) d 6) a 7) b 8) a 9) c 10) c

Sistemas Lineares1) e 2) d 3) c 4) a 5) b 6) a 7) e 8) b 9) b 10) c

11) a 12) a 13) d 14) a 15) d

P.A e P.G1) a 2) a 3) a 4) b 5) b 6) b 7) d 8) a 9) e 10) e

11) d 12) c 13) b 14) d 15) e

MATEMÁTICA IIPrisma

1) a 2) c 3) b 4) b 5) d 6) e 7) c 8) a 9) d 10) c

11) c 12) e 13) a 14) d 15) a

Pirâmide1) d 2) b 3) d 4) a 5) d 6) b 7) b 8) d 9) b 10) c

11) a 12) c 13) a 14) e 15) d

Cilindro1) b 2) d 3) d 4) a 5) a 6) c 7) c 8) d 9) d 10) c

11) c 12) d 13) b 14) c 15) c

Cone1) e 2) b 3) c 4) c 5) b 6) a 7) a 8) e 9) d 10) a

11) d 12) c 13) c 14) a 15) b

Esfera1) d 2) a 3) d 4) d 5) e 6) b 7) d 8) c 9) e 10) c

Anotações

72 cor

matemática - modulo 02

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