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I.E.
CÁRDENAS CENTRO
MÓDULO DE MATEMÁTICA
Y ESTADÍSTICA
CICLO IV
GRADO OCTAVO
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TABLA DE CONTENIDO
pág.
UNIDAD 1
1. PROPOSICIONES 7 1.1. CONECTIVOS LÓGICOS 8 1.1.1. Negación 8 1.1.2. Conjunción 9 1.1.3. Disyunción 9 1.1.4. Condicional 10 1.1.5. Bicondicional 10 2. TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS 11 2.1. CUANTIFICADORES 11 2.2. CLASES DE CONJUNTOS 12 2.2.1. Conjunto Universal 12 2.2.2. Conjunto Infinito 12 2.2.3. Conjunto Finito 12 2.2.4. Conjunto Vacío 12 2.2.5. Conjunto Unitario 12 2.2.6. Conjuntos Iguales 12 2.2.7. Conjuntos Disjuntos 13 2.3. RELACIONES Y OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 14 2.3.1. La unión de dos conjuntos A y B 14 2.3.2. La intersección de dos conjuntos A y B 14 2.3.3. La diferencia de dos conjuntos A y B 14 2.3.4. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B 14 2.4. DIAGRAMAS DE VENN 15 2.5. CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SUS PROPIEDADES 15 2.6. CONCEPTO DE RELACIÓN Y CLASES DE RELACIONES 17 2.6.1. Relaciones Binarias de equivalencia 17 2.6.2. Relaciones binarias de orden 17 3. TOMA Y ORGANIZACIÓN DE DATOS DE UNA POBLACIÓN 18 3.1. FRECUENCIAS RELATIVAS Y ABSOLUTAS DE UN ESTUDIO ESTADÍSTICO 18 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 19 UNIDAD 2
1. CONJUNTOS 20 1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS, REPRESENTA-CIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA 20 1.1.1. Números naturales (IN) 20 1.1.2. Números enteros (Z) 20 1.1.3. Regularidades numéricas 21 1.1.4. Números racionales (Q) 21 1.2. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 22 1.3. RECTA NUMÉRICA REAL 23 1.4. OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 23
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1.4.1. Suma 23 1.4.2. Producto 24 1.4.3. Cociente 24 1.4.4. Potenciación 24 1.4.5. Radicación 24 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 24 2.1. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 25 2.2. POLINOMIOS ALGEBRAICOS 25 2.3. OPERACIONES CON POLINOMIOS ALGEBRAICOS: ADICIÓN, SUSTRACIÓN,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 25 2.3.1. Suma y resta de polinomios 25 2.3.2. Multiplicación de polinomios 26 2.3.3. División de polinomios 27 3. GRÁFICAS ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRÁFICAS 29 3.1. HISTOGRAMA, POLÍGONO DE FRECUENCIAS Y OJIVA 29 3.1.1. Histograma 29 3.1.2. Polígono de frecuencias 29 3.1.3. Ojiva 30 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 30 UNIDAD 3
1. PRODUCTOS NOTABLES 32 1.1. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES O BINOMIO CUADRADO 32 1.2. CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES 32 1.3. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (O PRODUCTO DE
DOS BINOMIOS CONJUGADOS) 33 1.4. TRIÁNGULO DE PASCAL 33 1.5. BINOMIO DE NEWTON 35 2. COCIENTES NOTABLES 37 2.1. COCIENTE DE LA SUMA O RESTA DE EL CUBO DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE
ESTAS CANTIDADES 37 2.2. COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS CANTIDADES
ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES 38 3. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL 39 4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 40 4.1. FACTOR COMÚN 41 4.2. DIFERENCIA DE CUADRADOS 41 4.3. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS 424.4. DIFERENCIA O SUMA DE POTENCIAS IGUALES 43 4.5. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 44 4.6. TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA x2 + bx + c 46 4.7. TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c 47 5. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 48 5.1. LA MEDIA ARITMÉTICA 48 5.2. LA MODA 49 5.3. LA MEDIANA 49 6. NOCIONES DE PROBABILIDAD 50
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 51
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UNIDAD 4
1. FRACCIONES ALGEBRAICAS 53 1.1. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 53 1.1.1. Suma y resta de fracciones algebraicas 53 1.1.1.1. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador 53 1.1.1.2. Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador 54 1.1.2. Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas 55 1.1.3. Cociente o división de fracciones algebraicas 56 1.2. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 58 2. ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE Y SOLUCIÓN
DE PROBLEMAS 58 2.1. ECUACIONES 58 2.1.1. Ecuaciones de primer grado 58 2.2. INECUACIONES 60 2.2.1. Inecuaciones de primer grado en una incógnita 61 3. ESPACIO MUESTRAL 63 4. INDEPENDENCIA DE EVENTOS 64 5. REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD 65 6. TÉCNICAS DE CONTEO 66 6.1. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO DE CONTEO 67 6.2. PRINCIPIO ADITIVO DE CONTEO 67 6.3. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 68 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 71 BIBLIOGRAFÍA 73
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UNIDAD 1
LÓGICA MATEMÁTICA
La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
HISTORIA
Lógica matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue
reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.
El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos). La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
AREAS DE LA LÓGICA
La Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:
Filosófica y crítica Lógica general (que incluye campos como
la lógica modal y la lógica borrosa) Teoría de modelos Teoría de la computabilidad Teoría de conjuntos Teoría de la demostración y matemática
constructiva Lógica algebraica Modelos no-estándar En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking. También el isomorfismo de Churry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son
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especialmente significativas. Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria entre otras han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando
nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.
Conceptos Básicos
Uno de los procesos por los cuales adquirimos conocimientos es el proceso de razonamiento. A su vez, hay una variedad de modos o formas mediante las cuales razonamos o argumentamos a favor de una conclusión. Ciertas formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusión se sigue necesariamente. A tales razonamientos se los ha denominado deductivos y forman el objeto central de lo que clásicamente se ha denominado lógica.
En un sentido amplio, el término lógica hace referencia al estudio de todos los razonamientos, y en un sentido estricto ha estado circunscripto al estudio del razonamiento deductivo.
Cierto tipo de razonamiento deductivo se basa en la lógica proposicional. Lo que caracteriza a la lógica proposicional es que toma como unidades básicas a las proposiciones y que tiene en cuenta cómo se combinan entre ellas por medio de conectivos lógicos para formar argumentos válidos.
1. PROPOSICIONES
Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (V) (1) o falsedad (F) (0). También podríamos decir que una proposición es una sentencia que expresa una propiedad para un individuo o ente, o que expresa la validez de una relación entre individuos o entes. Por ejemplo:
- Hoy es sábado. - Los triángulos tienen 4 vértices. - Juan va al trabajo en tren.
Una misma proposición puede ser a veces verdadera y a veces falsa: Hoy es sábado es falsa de domingo a viernes y es verdadera los ábados. Las sentencias exclamativas, interrogativas e imperativas tales como:
- Viva la patria! - ¿Está lloviendo?. - Oprima la tecla (ENTER)
No son proposiciones puesto que no pueden ser declaradas como verdaderas o falsas. La veracidad (V) o falsedad (F) de una proposición se llama valor de verdad y viene dada por algún criterio independiente de la proposición.
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1.1. CONECTIVOS LÓGICOS. En el cálculo proposicional se suelen utilizar letras minúsculas como p,q,r,…. Para simbolizar las proposiciones. Estos símbolos pueden modificarse o combinarse mediante conectivos lógicos dando lugar a proposiciones compuestas. Los conectivos lógicos que aquí se tratan son: la negación: ¬, la conjunción: ∧, la disyunción: ∨, la disyunción exclusiva: ⊻, la condicional: ⇒ y la bicondicional: ⇔.
Ejemplo: Consideremos las proposiciones p: “4 es positivo” y q: “√2 es racional”. Algunas posibles combinaciones de p y q son:
¬ p: 4 no es positivo.
p ∧ q: 4 es positivo y √2 es racional.
¬p ∧ q: 4 no es positivo y √2 es racional.
p v q: 4 es positivo o √2 es racional.
p ⇒ q: si 4 es positivo entonces √2 es racional.
p ⇔ q: 4 es positivo si y sólo si √2 es racional.
1.1.1. Negación. Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p¬ que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. La tabla de verdad de la negación es la siguiente:
Ejemplo 1: Si p simboliza la proposición estamos en la clase de álgebra, entonces ¬p es no estamos en la clase de álgebra.
Ejemplo 2: Consideremos la proposición p: “10 es múltiplo de 5”. Entonces el valor de p es (V). Su negación dese ser una proposición que es falsa siempre que p sea verdadera, por lo tanto ¬ p debe expresar exactamente lo contrario a lo que expresa p.
Ejemplo 3: Consideremos la proposición q: “Todos los perros son blancos”. No debe confundirse la negación con decir algo diferente, por ejemplo… r: ”Algunos perros son blancos”. La proposición r no es la negación de q, puesto que si q es verdadera también r lo es. Si decimos s: “Ningún perro es blanco”, tampoco s es la negación de q, puesto que si existiera un único perro de color blanco y los demás fueran marrones, entonces tanto q como s serían proposiciones falsas.
La negación de q puede ser enunciada de la siguiente manera:
¬q: “Algunos perros no son blancos”. Así, si q es verdadera, claramente ¬q es falsa, mientras que si ¬q es verdadera, resulta ser falsa q.
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1.1.2. Conjunción. Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier
otro caso. Se escribe p ∧ q, y se lee "p y q". Así por ejemplo, la proposición compuesta Palmira tiene montañas y ríos es verdadera porque cada parte de la conjunción es verdadera. No ocurre lo mismo con la proposición Palmira tiene montañas y tiene mar . Esta proposición es falsa porque Palmira no tiene mar.
Ejemplo: Si p es “algunas aves vuelan” y q es “el gato es un ave”, entonces p ∧ q expresa “algunas aves vuelan y el gato es un ave” , que es obviamente falsa pues los gatos no son aves. Por otro lado la proposición p ∧ ¬ q que dice “algunas aves vuelan y el gato no es un ave” es verdadera pues es la conjunción de las proposiciones verdaderas.
1.1.3. Disyunción. Es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v q, y se lee "p o q". La disyunción de dos proposiciones puede ser de dos tipos: Exclusiva o excluyente e inclusiva o incluyente. La exclusiva es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p ⊻ q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco. La disyunción de tipo inclusivo entre dos proposiciones es falsa sólo si ambas proposiciones son falsas. En el lenguaje coloquial y en matemática es más frecuente el uso de la disyunción inclusiva, también llamada el “ o inclusivo”. A veces el contexto de una frase indica si la disyunción es excluyente o incluyente. Ejemplo: “Los alumnos regularizan la materia si aprueban tres parciales o si aprueban o si aprueban dos parciales y tienen un 80% de asistencia”. En este caso, los alumnos pueden cumplir cualquiera de los dos requisitos, o también cumplir los dos. Pero por ejemplo, si en un restaurante con menú fijo se nos dice que tenemos como postre “helado o flan” normalmente no significa que podamos pedir ambos, siendo en este caso la disyunción exclusiva.
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1.1.4. Condicional . Es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es
verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p ⇒ q, y se lee "si p entonces q".
1.1.5. Bicondicional . Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y
falsa en caso contrario. Se escribe p ⇔ q, y se lee "si y sólo si p entonces q".
Ejercicios
1. Evalúa cada proposición según los valores de ver dad p = F. q = V. r = F.
a) p v q b) ¬ p v ¬ q c) ¬ p v q d) p v ¬(q ∧ r) e) ¬(p v q) ∧ (¬ p v r)
2. Escribe la negación de cada una de las siguiente s proposiciones:
a) Todos los alumnos del curso son inteligentes. b) Todas las mujeres son lindas. c) Ninguna mujer es linda. d) Hay un banco que está roto. e) Hay exactamente un hombre inteligente. f) Al menos un hombre es inteligente. g) 4 es múltiplo de 8. h) A veces llueve. i) Me gusta estudiar. j) Me gusta estudair y tomar mate. k) Me gusta estudiar pero no me gusta tomar mate. l) No me gusta estudiar ni tomar mate. m) 7 ≤ 8 n) 2 < 3 ≤ 5 (significa: 2 es menor que 3 y 3 es menor o igual a 5) o) a ∈ A ⋃ B.
2. TEORÍA BÁSICA DE CONJ UNTOS
Un conjunto es una colección de objetos. Dichos objetos pueden ser de diferente naturaleza, tanto objetos“tangibles” como abstracciones matemáelementos del conjunto. Se designa a los conjuntos y a los elementos que los constituyen por medio dealfabetos. Lo más frecuente (más por tradiciconjuntos, y reservar las minúsculas para designar elementos Como se puede fácilmente imaginar, la expresipertenece al conjunto A” es de uso muyrecurrir a un símbolo que nos permita expresar esa idea mconjunto A” se representa por x ∈ A, Del mismo modo, usamos símbolos para sintetizar o acortar las expresioneslee “para todo”, el símbolo “∃” se lee Los conjuntos suelen describirse encerrando sus elementos entre llaves “” yaparecer o bien todos los elementos del conjuntocumplir los elementos para pertenecer a dicho conjuntel conjunto A formado por los naturales que esto bien A = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26,A = n ∈ N : 4 ≤ n ≤ 26. 2.1. CUANTIFICADORES
En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en cuántos elementos de un conjunto pero quizás los más estudiados y utilizados sean:
Cuantificador universal
Para todo x, y...
Cuantificador existencial
Existe al menos un x, y...
Cuantificador existencial único
Existe exactamente un x, y...
Negación del cuantificador existencial
No existe ningún x, y...
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UNTOS
n de objetos. Dichos objetos pueden ser de diferente naturaleza, tanto objetosbles” como abstracciones matemáticas. Esos objetos que al reunirse forman el conjunto, se denominará
Se designa a los conjuntos y a los elementos que los constituyen por medio de letras perteneciens por tradición que por norma) es usar letras mayú
sculas para designar elementos.
cilmente imaginar, la expresión del tipo “x es un elemento del conjunto A” o equivalentemente “x A” es de uso muy frecuente cuando se habla de conjuntos y elementos. Por ello, es
mbolo que nos permita expresar esa idea más brevemente. Concretamente,A, “x no pertenece al conjunto A” se representa por x /
mbolos para sintetizar o acortar las expresiones más frecuentes. As” se lee “existe”, los dos puntos “:” se leen como “tal que”, etc...
suelen describirse encerrando sus elementos entre llaves “” y “”. Entre esas llaves pueden aparecer o bien todos los elementos del conjunto separados por comas, o bien expresar la condicicumplir los elementos para pertenecer a dicho conjunto. Con un ejemplo se entiende mejor...
l conjunto A formado por los naturales que están entre 4 y 26 (ambos inclusive). Podemos hacerlo de dos modos, A = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26,
y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores,
más estudiados y utilizados sean:
Existe exactamente un x, y... Negación del cuantificador existencial
n de objetos. Dichos objetos pueden ser de diferente naturaleza, tanto objetos rman el conjunto, se denominarán
letras pertenecientes a diversos letras mayúsculas para designar a los
del conjunto A” o equivalentemente “x frecuente cuando se habla de conjuntos y elementos. Por ello, es útil
s brevemente. Concretamente, “x pertenece al A” se representa por x /∈ A.
s frecuentes. Así, el símbolo “∀” se “existe”, los dos puntos “:” se leen como “tal que”, etc...
“”. Entre esas llaves pueden separados por comas, o bien expresar la condición que deben
o. Con un ejemplo se entiende mejor... pretendemos definir y 26 (ambos inclusive). Podemos hacerlo de dos modos,
A = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, o también como:
son símbolos utilizados para indicar dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores,
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2.2. CLASES DE CONJUNTOS
2.2.1. Conjunto Universal. Es aquel conjunto que contiene a oros conjuntos. Se simboliza con la letra U. Si observas el siguiente diagrama de Venn, el conjunto universal U contiene a los conjuntos A,B,C,
2.2.2. Conjunto Infinito. Es aquel que tiene una cantidad ilimitada de elementos. Es decir, tiene infinitos elementos.
ℕ = 0,1,2,3,4,5,… Naturales
ℤ = …,-2, -1, 0,1,2,3,… Enteros
2.2.3. Conjunto Finito. Es aquel conjunto que tiene una cantidad limitada de elementos.
A = 0,1,2,3
B = a,e,i,o,u
2.2.4. Conjunto Vacío. Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se le representa por ∅ sin llaves.
A =
2.2.5. Conjunto Unitario. Es aquel que tiene un solo elemento.
A = 2
B = 3,3,3,3 es también unitario. Los elementos repetidos se consideran una sola vez.
2.2.6. Conjuntos Iguales. Son aquellos conjuntos que tienen los mismos elementos. Dados los conjuntos: A=2,3 y B=3,2, entonces, debido a que tienen los mismos elementos, afirmamos que A = B.
Ejemplo: Si los siguientes conjuntos son iguales, hallar “x+y”.
A=x + 2; 4 y B=5; y – 3)
Como los conjuntos A y B son iguales, entonces deben tener los mimoselemento 4, entonces debe haber en el conjunto B un elemento 4. El elemento 5 no lo es, entonces y Resolviendo: y – 3 = 4, obtenemos: y = 7.
Igualmente, si en el conjunto B, hay un elemento 5, entonces debe helemento 4 no lo es, entonce, x + 2 = 5.
Resolviendo: x + 2 = 5, obtenemos : x = 3.
Por lo tanto: “x + y” es: 3 + 7 = 10
2.2.7. Conjuntos Disjuntos. Se dicePor ejemplo, 1, 2, 3 y 4, 5, 6 son conjuntos disjuntos.
Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si
EJERCICIOS 1) Cuáles son los elementos de:
a) El conjunto de los días de la semana
b) El conjunto de las estaciones del año
c) Los números impares menores de 11
d) Los números pares mayor que
e) Los números primos menores de 15
2) Colocar V ó F según lo afirmado sean a) 6 2, 4, 5, 6, 9
b) y o, p, q, x
c) x o, p, q, y
d) Perú países de Europa
e) Amazonas ríos de América
3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, un itarios, finitos, infinitos?
a) A = x / x es día de la semana
b) B = vocales de la palabra vals
c) C = 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .
d) D = x / x es un habitante de la luna
e) E = x N / x < 15
f) F = x N y 5 < x < 5
g) G = x N y x > 15
h) H = x N y x = x i) I = x / x es presidente del Océano
j) J = x / x es número de cabello
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Como los conjuntos A y B son iguales, entonces deben tener los mimos elementos: Si en el conjunto A hay un elemento 4, entonces debe haber en el conjunto B un elemento 4. El elemento 5 no lo es, entonces y
3 = 4, obtenemos: y = 7.
Igualmente, si en el conjunto B, hay un elemento 5, entonces debe haber en el conjunto A un elemelemento 4 no lo es, entonce, x + 2 = 5.
x + 2 = 5, obtenemos : x = 3.
Se dice que dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, 1, 2, 3 y 4, 5, 6 son conjuntos disjuntos.
son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío
Cuáles son los elementos de:
de la semana
El conjunto de las estaciones del año
Los números impares menores de 11
que 10 y menor que 20
Los números primos menores de 15
según lo afirmado sean verdadero o falso ( ) ( )
( )
( )
de América ( )
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, un itarios, finitos, infinitos?
A = x / x es día de la semana
B = vocales de la palabra vals
D = x / x es un habitante de la luna
Océano Pacífico
J = x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú
elementos: Si en el conjunto A hay un
elemento 4, entonces debe haber en el conjunto B un elemento 4. El elemento 5 no lo es, entonces y – 3 = 4.
aber en el conjunto A un elemento 5. El
si no tienen ningún elemento en común.
conjunto vacío; es decir, si
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, un itarios, finitos, infinitos?
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2.3. RELACIONES Y OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
2.3.1. La unión de dos conjuntos A y B , denotada por A B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos de A ó B, ó de ambos.
Ejemplos: 1) Si A = a, b, B = c, d, entonces A B = a, b,c, d
2) Si A = a, b, B = a, c, entonces A B = a, b, c
3) Si A = a,b, B = , entonces A B = a, b
4) Si A = a, b, B = c, a, b, entonces A B = a, b, c, a, b
2.3.2. La intersección de dos conjuntos A y B , denotada por A B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos que están tanto en A como en B.
Ejemplos: 1) a, b a, c = a
2) a, b c, d =
3) a, b =
2.3.3. La diferencia de dos conjuntos A y B , denotada por A B, es el conjunto que contiene exactamente aquellos elementos de A que no están en B.
Ejemplos: 1) a, b, c a = b, c
2) a, b, c a, d = b, c
3) a, b, c d, e = a, b, c
2.3.4. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene todos los elementos que están en A o en B pero no en ambos, es decir, A B = (A B) (A B).
Ejemplos: 1) a, b a, c=b, c
2) a, b = a, b
3) a, b a, b=
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2.4. DIAGRAMAS DE VENN Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.
2.5. CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SUS PROPIEDADES
Los números naturales son los números que utilizamos para contar, estos son: 1,2,3,4,5,6,7,8, … . Los puntos suspensivos indican que los números continúan de esa forma, sin terminar nunca. Si sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural, por ejemplo: 8 + 5 = 13. Pero si restamos 5 – 5, necesitamos otro número que represente el resultado. Ese número es cero. Entonces tenemos otro conjunto numérico que en adición a incluir los números naturales incluye el cero. Este conjunto es el conjunto de los números cardinales 0,1,2,3,4,5,6,7,8,…. En el diario vivir se escuchan expresiones como: “10 grados bajo cero”, 647 en débito”, “8 pies bajo el nivel del mar”. Estas tres expresiones se refieren a números menores que cero. Con estas situaciones surgen los enteros negativos. Los enteros negativos, el cero y los números naturales (también conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de los números enteros , estos son …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…. Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros siempre se obtiene otro número entero. Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8 pero en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero. Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero. Esta situación nos lleva a otro conjunto numérico conocido por los números racionales . Los números
racionales son todos aquellos números que se
pueden escribir de la forma donde b es diferente de cero. Los números naturales, los cardinales y los enteros son números racionales. Otros ejemplos de números racionales son:
Existe otro conjunto de números que que son los números irracionales , estos son números que no son racionales, esto es, que no se pueden
expresar de la forma donde b es diferente de cero. Ejemplos: √2 = 1.414213562… es un número irracional y π = 3.14157… Luego el conjunto de números que consiste de todos los números racionales y todos los números irracionales se conoce como el conjunto de los números reales. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Para todo número real a, b y c: Propiedad Conmutativa: a + b = b + a a · b = b · a Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5 2 x 4 = 4 x 2
16
Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4 5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7 Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = a Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4 Elemento Identidad de la Multiplicación: a · 1 = a Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3
Inverso Aditivo: a + (-a) = 0 Ejemplo: 6 + (-6) = 0 Inverso Multiplicativo:
Ejemplos:
Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c Ejemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4
EJERCICIOS Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo: Número/Conjunto numérico
Natural
Cardinal
Entero
Racional
Irracional
Real
11 -7 0 ¾ 0.272727… 7.25 2.7985413… 1½
Identifica la propiedad en cada enunciado:
1. 7 + 5 = 5 + 7 ___________________________ 6. 11 + 0 = 11 ___________________________
2. 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) ___________________ 7. 9 + -9 = 0 ____________________________
3. (6 x 3) x 1 = 6 x (3 x 1) ____________________ 8. 2 x ½ = 1 ____________________________
4. 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) ____________________
5. 7 x 1 = 7 ________________________________
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2.6. CONCEPTO DE RELACIÓN Y CLASES DE RELACIONES
Relaciones binarias. Una relación binaria R definida sobre un conjunto E es una regla que permite distinguir si dos elementos cualesquiera están o no relacionados. Cuando dos elementos a, b ∈ E estén relacionados por la relación binaria R, escribiremos aRb. La relación binaria R se dice:
- Reflexiva cuando todo elemento de E está relacionado consigo mismo, es decir, ∀a ∈ E, aRa. - Simétrica cuando al tomar dos elementos a, b ∈ E, si aRb ⇒ bRa. - Transitiva tomados tres elementos a, b, c ∈ E, si aRb y bRc ⇒ aRc. - Antisimétrica si para a, b ∈ E, si aRb y bRa ⇒ a = b.
Una relación binaria puede o no cumplir una o varias de las anteriores propiedades, pero merecen destacarse dos tipos de relaciones que aparecerán con asiduidad. 2.6.1. Relaciones Binarias de equivalencia. Una relación binaria se llamará relación de equivalencia cuando sea reflexiva, simétrica y transitiva. Si R es una relación de equivalencia en E, para cualquier elemento a ∈ E definimos su clase de equivalencia como el conjunto de todos los elementos relacionados con él, es decir, a = [a] = x ∈ E : aRx. Por ser R una relación de equivalencia, se desprende que para dos elementos a, b ∈ E, se tiene que, o bien a = b, o bien a ∩ b = ∅. Definiremos el conjunto cociente de E por R (y se denota E/R) al conjunto formado por todas las clases de equivalencia de elementos de E, es decir: E/R = a : a ∈ E. 2.6.2. Relaciones binarias de orden. Una relación binaria se llamará relación de orden cuando sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Si R es una relación de orden en E, y A ⊂ E, definiremos:
- Un elemento maximal de A es un m ∈ A tal que no exista ningún a ∈ A con mRa. - Una cota superior de A es un c ∈ E tal que ∀a ∈ A, aRc. - El elemento máximo de A es un m ∈ A tal que ∀a ∈ A, aRm. Dicho de otro modo, el máximo es una cota
superior de A que pertenece a A. Es interesante observar que un subconjunto A podría tener varios elementos maximales, y varias cotas superiores, pero solamente es posible un elemento máximo o ninguno. En este momento es fácil definir las nociones duales a las ya ofrecidas, esto es, elemento minimal, cota inferior y elemento mínimo. Finalmente,
- supremo de A es (cuando lo haya) el mínimo de las cotas superiores de A. La noción dual de supremo (esto es, máximo de las cotas inferiores) se llama ínfimo.
18
3. TOMA Y ORGANIZACIÓN DE DATOS DE UNA POBLACIÓN La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Un estudio estadístico consta de las siguientes fases: A) RECOPILACION: Son números que pueden ser comparados, analizados e interpretados. El campo del cual son tomados los datos estadísticos se identifican como población o universo. De acuerdo con la localización de la información los datos estadísticos pueden ser internos y externos. Los internos son los registros obtenidos dentro de la organización que hace un estudio estadístico, los externos se obtienen de datos publicados y encuestas. B) ORGANIZACIÓN: En la organización de los datos recopilados, el primer paso es corregir cada uno de los elementos recopilados.
C) REPRESENTACION: Hay 3 maneras de presentar un conjunto de datos mediante enunciados tablas estadísticas y gráficas estadísticas.
D) ANALISIS: Después de los datos anteriores los datos estadísticos están listos para hacer analizados, para lo cual frecuentemente se emplean operaciones matemáticas durante el proceso de análisis.
3.1. FRECUENCIAS RELATIVAS Y ABSOLUTAS DE UN ESTUDI O ESTADÍSTICO
Frecuencia absoluta de un suceso (fi) es el número de veces que aparece dicho suceso cuando se repite un experimento aleatorio determinada cantidad de veces (n veces). Frecuencia relativa de un suceso (hi) es la frecuencia absoluta dividida entre el número de veces que realizamos el experimento, Ejemplo:
Tenemos una urna con bolas numeradas del 1 al 6. Extraemos una y anotamos su número 50 veces. Los resultados fueron los siguientes:
19
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
El puente que muestra la figura tiene como soporte la columna C, mediante las vigas AC y BC. Al analizar esta situación, podemos aplicar varios conceptos matemáticos estudiados.
1. El triangulo ABC que indica la figura es:
a) Rectángulo c) Equilátero b) Isósceles d) Obtusángulo
2. La longitud del puente representa:
a) Un cateto c) La hipotenusa b) La altura d) Ninguna de las anteriores
3. La longitud del puente es:
a) 3 Km b) √9 Km c) √3 Km d) √5 Km
4. La cantidad que expresa la longitud del puente es un número:
a) Racional c) Entero b) Irracional d) Natural
5. El ángulo en B es:
a) Obtuso c) Agudo b) Recto d) Plano o llano
6. La fórmula que nos permite hallar la hipotenusa es:
a)
b)
c)
d) 7. Al calcular la raíz cuadrada de la longitud del puente, se obtiene un resultado de signo:
a) + b) - c) sin signo d) ± 8. Si √√√√5 = 2,236067977… y el ingeniero que diseñó el puente la aproximó a 2,24, qué tuvo en cuenta para realizar esta aproximación?
a) La parte entera b) El número de cifras decimales. c) Que el valor de la tercera cifra decimal es
mayor que 5. d) Que era raíz cuadrada.
9. Si cada kilómetro de puente construido tiene un valor de 10 millones de pesos y la compañía toma √√√√5= 2,24, la operación que indica el costo de la obra es:
a) $ 2,24 + 107 c) $2,24 – 107 b) $ 2,24 x 107 d) $ 2,24 / 107
10. La cantidad 10 7 equivale a:
a) 10.000.000 c) 100.000.000 b) 1.000.000 d) 1.000.000.000
11. Si la compañía aproxima √√√√5 ≈≈≈≈ 2,22, señala cuanto dinero está perdiendo:
a) $ 167.977… c) 136,067… b) $ 160.679… d) Nada
12. La suma de los ángulos interiores del triángulo ABC es:
a) 360° b) 90° c) 180° d) 120° 13. El área del triángulo formado en la figura mide:
a) 2 Km2 b) 1 Km2 c) Km2 d) 3 Km2 14. Cuál de las siguientes expresiones son válidas para el triángulo que se muestra en la figura?
a) b)
c) d) 15. Para que la longitud del puente fuera de 2 Km, cuánto deben medir los catetos?.
a) 1 Km y √3 Km c) 2 Km y 2 Km b) 5 Km y – 2 Km d) 3 Km y 1 Km
20
UNIDAD 2
1. CONJUNTOS
1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS, REPRESENTA-CIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
1.1.1. Números naturales ( IN). Los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban y aún se utilizan para contar elementos de un conjunto. Los números naturales sirven para contar y ordenar fundamentalmente. El nombre “Números Naturales” seguramente surge debido a que estos números son los que aparecen por primera vez en el proceso natural de contar o enumerar los objetos de un conjunto. Los números naturales son un conjunto de números de la forma: 1, 2, 3,…. que denotaremos con el símbolo IN, esto es: IN = 1, 2, 3, 4, 5 .... Si al conjunto de los números naturales se le une el número cero, este nuevo conjunto se denota con el símbolo IN0, esto es, IN0 = 0, 1, 2, 3 .... Es posible establecer una correspondencia entre los números naturales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera. Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1), a este segmento le llamamos segmento unidad. Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento unidad, para así representar los números 1, 2, 3, 4,... (en este orden) que se encontrarán a la derecha del cero. En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen. Una representación gráfica de IN0 en la recta numérica se muestra en la siguiente figura:
De IN y IN0 se pueden formar variados subconjuntos, entre ellos se encuentran:
• El Conjunto de los números pares es un subconjunto de IN0 donde: x Є IN0 / x=2n, n Є IN0 = 0, 2, 4, 6, 8, 10,..... • El Conjunto de los números impares es un subconjunto de IN0 donde: x Є IN0 / x=2n + 1, n Є IN0 =1, 3, 5, 7, 9, 11,..... Observa que estos dos conjuntos no tienen elementos en común y que si se unen ambos, forman el conjunto IN0 • El conjunto de los Múltiplos de un número es un subconjunto de IN donde: Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales. Los múltiplos de un número n pertenecen al conjunto formado por: 1·n, 2·n, 3·n, 4·n,.... • El conjunto de los Divisores de un número es un subconjunto de IN donde: Llamamos divisores de un número, a todo el conjunto de números que lo divide exactamente. • El Conjunto de los Números Primos es un subconjunto de IN donde: El número natural p>1 es un número primo si sus únicos divisores son 1 y p. Algunos números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,.... 1.1.2. Números enteros (Z). Si se requiere dar solución a la sustracción 4 – 9, es necesario encontrar un número que sumado a 9 de cómo resultado 4. Este número no existe en IN0. Para que la sustracción tenga siempre solución, se extiende la recta numérica hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponde un punto simétrico a él, ubicado a la izquierda del cero.
Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numérica, respecto al cero, representa un número negativo. Entonces, el conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los números negativos. Este conjunto se denota por Z, donde: Z=..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Una representación gráfica de en la recta numérica se muestra en la siguiente figura: __|____|____|____|___|____|____|____|____|____|_...-5 -4 -3 -2 -1 0 1 Cada número negativo es considerado el opuesto o inverso aditivo de su simétrico positivo y, cada número positivo, es el opuesto de su simétrico negativo. Por ejemplo, 3 es el opuesto o inverso aditivo de -3. La distancia que existe entre un número a y el cero la representaremos a través del valor absoluto y se expresará como |a|. Como se refiere a una distancia, el valor absoluto de un número siempre es Por ejemplo, la distancia entre 15 y 0 en la recta numérica es de 15 unidades, entonces |15| = 15.Ahora, la distancia entre -15 y 0, también es de 15 unidades en la recta numérica, luego | Ahora que conocemos los números enteros, podemos utilizarlos para representar situaccomo: - Seis grados bajo cero (-6 ºC) - Una deuda de tres mil pesos ($ -3.000) 1.1.3. Regularidades numéricas . operaciones aritméticas entre los números enteros, es posible encontrar propiedades que resultan curiosas e interesantes por presentarse como patrones o regularidades numéricas. Estas regularidades son sucesiones de números que forman un conjunto que siguen cierta regformación. La sucesión la denotaremos por an, con n Є IN donde an es el término general de la sucesión. Por lo tanto, se entenderá por sucesión
21
Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numérica, respecto al cero,
Entonces, el conjunto de los números enteros es la números naturales, el cero
y los números negativos. Este conjunto se denota
1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
en la recta numérica
___|____|____|____|____|_ 2 3 4
Cada número negativo es considerado el opuesto o inverso aditivo de su simétrico positivo y, cada número positivo, es el opuesto de su simétrico
Por ejemplo, 3 es el opuesto o inverso
La distancia que existe entre un número a y el cero la representaremos a través del valor absoluto y se expresará como |a|. Como se refiere a una distancia, el valor absoluto de un número siempre es positivo.
Por ejemplo, la distancia entre 15 y 0 en la recta , entonces |15| = 15.
15 y 0, también es de 15 luego |−15| = 15.
Ahora que conocemos los números enteros, podemos utilizarlos para representar situaciones
3.000)
. Al realizar ciertas itméticas entre los números enteros,
es posible encontrar propiedades que resultan curiosas e interesantes por presentarse como patrones o regularidades numéricas.
Estas regularidades son sucesiones de números que forman un conjunto que siguen cierta regla de formación. La sucesión la denotaremos por an, con
érmino general de la sucesión. Por lo tanto, se entenderá por sucesión
una colección de números dispuestos uno a continuación de otro. El término general de una sucesión es uque permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por an y se hablará de término n-ésimo. Ejemplos de sucesiones son:
1.1.4. Números racionales (Q)resolver una ecuación como 3x=7, sólo conociendo
el conjunto , nos damos cuenta que carecemos de dicha solución. Debido a esto, se ha hecho necesario encontrar un conjunto que “extienda”
a . Dicho conjunto está formado por los números
racionales que denotaremos pordefinen de la siguiente forma: Decimos que a es un número racional, si es posible expresarlo de la forma De esta forma
Donde, p es llamado numdenominador de la fracción.El conjunto de los racionales es denso porque entre dos números racionales siempre podemos encontrar otro número racional.
una colección de números dispuestos uno a
El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por an y se hablará de
Ejemplos de sucesiones son:
. Números racionales (Q) . Si tratamos de resolver una ecuación como 3x=7, sólo conociendo
, nos damos cuenta que carecemos de dicha solución. Debido a esto, se ha hecho necesario encontrar un conjunto que “extienda”
to está formado por los números
racionales que denotaremos por , y que se definen de la siguiente forma:
Decimos que a es un número racional, si es posible a=p/q, donde p, q Є Z y q ≠ 0.
Donde, p es llamado numerador y q es el denominador de la fracción. El conjunto de los racionales es denso porque entre dos números racionales siempre podemos encontrar
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Ejemplos: - Generalmente, los resultados fraccionarios de diferentes problemas se deben expresar con el denominador en forma natural (entero positivo distinto de cero).
- Los números enteros se pueden expresar como fracción con denominador 1, por lo tanto, todo número entero es también un número racional: Sea a/b Є Q; se conviene en representar los números racionales preferentemente por medio de fracciones en las cuales el denominador es un número entero positivo.
Recordemos además, que si aЄZ, bЄZ, b>0, el número racional a/b se puede considerar como el cociente que se obtiene al dividir a por b; en donde b indica el número de partes en que se divide la unidad y a el número de partes que se toman de esta división. De esta manera, si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta numérica, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 2, como se muestra en el ejemplo siguiente. De igual manera, si se divide en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente.
1.2. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Se representan con la letra .
El conjunto de los Números Reales ( ) está integrado por:
• El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.
• El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.
Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita;
es decir, el conjunto de los Números Reales ( ) está formado por los elementos del conjunto unido con I.
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1.3. RECTA NUMÉRICA REAL
El conjunto de los números reales se representa gráficamente sobre una recta que se conoce con el nombre de recta real o recta numérica.
Se fija un punto origen que representa el número 0 y se establece un segmento unidad. Los números reales positivos quedan representados a la derecha del cero y los reales negativos a la izquierda, tal como se muestra en la figura.
A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa; es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales.
1.4. OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Dada la importancia que tiene operar correctamente con números reales y en vista de los inconvenientes que suelen presentarse en este sentido, se recuerdan algunas reglas básicas para realizar operaciones, especialmente aquellas que involucran números fraccionarios.
1.4.1. Suma. Con igual denominador
a c a b
b b b
++ = con b ≠ 0
Ejemplo
2 5 2 5 7
3 3 3 3
++ = =
24
1.4.2. Producto
1.4.3. Cociente
1.4.4. Potenciación
1.4.5. Radicación
si y sólo si bn = a, n ∈ N.
El número a recibe el nombre de radicando, n es el índice y el símbolo √ se llama radical.
En la radicación de números reales, si el índice n es par, el radicando a debe ser mayor o igual que cero, de lo contrario el resultado no es un número real.
Se recuerda que:
- Si n es impar: n na a=
- Si n es par: n na a=| |
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas comunes El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x La mitad de un número: x/2. Un tercio de un número: x/3. Un cuarto de un número: x/4. Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.. Un número al cuadrado: x2 Un número al cubo: x3 Dos números consecutivos: x y x + 1. Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2. Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3. Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x. La suma de dos números es 24: x y 24 − x. La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x. El producto de dos números es 24: x y 24/x. El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
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2.1. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta cuando se sustituyen las letras por números. Por ejemplo:
a) El valor numérico de P(x) = 2x55 – 4x3 + 5x – 6 para x=2 es: P(2) = 64 – 32 + 10 – 6 =36. Análogamente, P(-2)= - 48; y P(0) = - 6.
b) En la expresión de la demanda, D = 10000 – 2p, el valor numérico para p = 100$ es D= 9800. Este número
indica que la demanda de un determinado producto será de 9800 unidades cuando se vende a 100$.
c) Si F(x) = ( )2
2
3 1
1
x x
x
+ +−
, los valores numéricos para x= - 1 y x = 2 son: F(-1) = 1
4
−y F(2) = 1.
d) Para t = 10 s, la expresión x = 20t + 4,9t2 toma el valor x = 690 m. Este resultado indica que el móvil se ha desplazado 690 metros al cabo de 10 segundos.
e) Los valores de x que cumplen la expresión x3 – 2x2 + 1 = 0 reciben el nombre de soluciones. Para este caso, puedes comprobar que una de esas soluciones es x = 1.
2.2. POLINOMIOS ALGEBRAICOS Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Acuérdate que la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio. Ejemplo. Son polinomios las expresiones siguientes: a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3 b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5 En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos, cada uno con varias letras, mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término independiente (5 en el caso b) Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3; 2x + 3 son dos binomios Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio: el caso a) anterior o -2x3 + 3x2 + 5 son dos trinomios. Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio. 2.3. OPERACIONES CON POLINOMIOS ALGEBRAICOS: ADICIÓ N, SUSTRACIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
2.3.1. Suma y resta de polinomios. Para sumar polinomios se agrupan, sumando o restando, los términos semejantes.
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a) La suma de monomios semejantes es inmediata. Así: 4x3 – 3x3 + 6x3 = (4 – 3 + 6)x3 = 7x3
b) Para sumar polinomios hay que agrupar los monomios semejantes. Así: (4x3 + 5x – 6) – (3x3 – 2x2 + 7x) + (6x3 + 4x2 – x + 5) = = 4x3 + 5x – 6 – 3x3 + 2x2 – 7x + 6x3 + 4x2 – x + 5= = (4x3 – 3x3 + 6x3) + (2x2 + 4x2) + (5x – 7x – x) + (– 6 + 5) = = 7x3 + 6x2 – 3x – 1
2.3.2. Multiplicación de polinomios. Se utiliza la propiedad distributiva del producto y las propiedades de la potenciación. Por ejemplo:
a) 3 ∙ (4x2 + 5x – 6) = 12x2 + 15x – 18 b) (2x2 + 5x – 6) ∙ (3x2 – 2x + 3) = 6x4 – 4x3 + 6x2 + 15x2 – 10x2 + 15x – 18x2 + 12x – 18
= 6x4 + 11x3 – 22x2 + 27x – 18
c) 2 2 4 2 3 4 3 22 3 4 6 9 4 1 93 . 2 6 6
3 4 5 12 4 5 2 4x x x x x x x x x x x − − + = − + + − = − + + −
Ejemplos:
Calcula, agrupando los términos semejantes, las siguientes expresiones:
a)
2 21 1x -1 . x - x + 4
4 2= 4 3 2 2 4 31 1 1 1 1
x - x + x - x + x - 4 = x - x + x - 48 2 4 8 2
b) 4x – (x – 2)2 = 4x – (x2 – 4x + 4) = - x2 + 8x – 4
c) (x2 – 1) ∙ (x2 + 1) – (2 – x2)2= x4 – 1 – (4 – 4x2 + x4) – 4x2 - 5
Halla:
a) ( )
21 12x - 4 . x - x +5
4 2=
b) (x + 3)2 – (x – 3)2=
c) (x – 1)∙ (x2 + 2)2 – (1 + 2x)2=
27
2.3.3. División de polinomios. Para dividir polinomios hay que ordenarlos en grado decreciente. Recordamos el algoritmo con el siguiente ejemplo:
8x4 - 22x2 + 27x – 18 2x2 + x
(2x2 + x) ∙ (4x2) 8x4 + 4x3 4x2 – 2x – 10 8x4/2x2 = 4x2
Restamos - 4x3 – 22x2 + 27x – 18 - 4x3/2x2 = - 2x
(2x2 + x) ∙ (- 2x) - 4x3 – 2x2 - 20x2/2x2 = - 10
Restamos – 20x2 + 27x – 18
(2x2 + x) ∙ (- 10) – 20x2 – 10x
Restamos 37x – 18
El cociente de la división es c(x) = 4x2 – 2x – 10. El resto, r (x) = 37x – 18, es de grado 1, que es menor que el grado del divisor.
Aplicación de la división
Como sabes, en toda división se cumple:
⇔ Dividendo restoDividendo=divisor.cociente+resto =cociente+ .
divisor divisor
En el caso de polinomios podemos escribir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )⇔
D x r xD x = d x .c x +r x = c x + .
d x d x
La segunda igualdad se emplea con relativa frecuencia en Matemáticas, pues permite descomponer la primera fracción algebraica en suma de un polinomio y de otra fracción más sencilla que la inicial.
Ejemplo: En la división anterior se cumple que (8x4 – 22x2 + 27x – 18) = (2x2 + x)∙ (4x2 – 2x – 10) + 37x – 18.
Y también: 4 2
22 2
8x - 22x +27x -18 37x -18= 4x - 2x -10+ .
2x + x 2x + x
28
EJERCICIOS 1. Si = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 es el conjunto universal y A=1,4,7,10. B=1,2,3,4,5, C=2,4,6,8 , escriba los elementos de cada uno de los siguiente conjuntos:
a) A ⋃ B b) A – B c) Ac d) c e) B ⋂ f) Bc ⋂ (C – A) g) (A ⋂ B)c ⋃ C h) B ⋂ C i) A ⋃ ∅ j) A ⋂ (B ⋃ C) k) (A ⋂ B) ⋃ C l) (A ⋂ B) – C m) (A ⋃ B) – (C – B)
2. Sea = 1,2,3,4,5,…,12, A=1,3,5,7,9,11, B=2,3,5,7,11, C=2,3,6,12 y D=2,4,8. Determine los conjuntos:
a) A ⋃ B b) A ⋂ C c) (A ⋃ B) ⋂ Cc d) A – B e) C – D
f) (B – D) ⋃ (D – B)
3. Escribe todos los números enteros que se encuentren entre:
a) 5 y 9 b) 15 y 30 c) 0 y 2. d) – 4 y 6 e) – 5 y 0 f) – 3 y + 3 g) – 9 y – 1 h) – 36 y – 20
Argumenta
4. ¿El conjunto de los números enteros tiene un primer y un último elementos?. Justifica tu respuesta.
5. Efectúa los siguientes productos (polinomios)
a) 2 2 2 23 1 1 3a + ab - b por a +2b - ab
5 3 2 2
b) 2 2 2 21 1 3 3 2tv - v + t por v - tv + t
3 2 2 2 3
3. GRÁFICAS ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRÁ
Cuando se hace un estudio estadístico se obtiene una gran cantidad de datos numéricos. Para tener una información clara y rápida de lo obtenido en el estudio se han creado las gráficas estadísticas.Hay muchos tipos de gráficas estadísticas. Cada unano siempre se puede utilizar la misma para todos los casos. Las más comunes son: Diagrama de barras Histograma Polígono de frecuencias Diagrama de sectores Pictograma 3.1. HISTOGRAMA, POLÍGONO DE
3.1.2. Polígono de frecuencias. Es un gráfico lineal que realizar el polígono unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma.
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3. GRÁFICAS ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRÁ FICAS
Cuando se hace un estudio estadístico se obtiene una gran cantidad de datos numéricos. Para tener una información clara y rápida de lo obtenido en el estudio se han creado las gráficas estadísticas.Hay muchos tipos de gráficas estadísticas. Cada una de ellas es adecuada para un estudio determinado, ya que no siempre se puede utilizar la misma para todos los casos.
3.1. HISTOGRAMA, POLÍGONO DE FRECUENCIAS Y OJIVA
3.1.1. Un histograma . Es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos. Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores. Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.
Es un gráfico lineal que se utiliza en el caso de una varealizar el polígono unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma.
Cuando se hace un estudio estadístico se obtiene una gran cantidad de datos numéricos. Para tener una información clara y rápida de lo obtenido en el estudio se han creado las gráficas estadísticas.
de ellas es adecuada para un estudio determinado, ya que
s una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se
, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.
Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de la muestra, y, por comodidad, sus valores se
agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que numéricos), como sexto grado de acuerdo
o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.
togramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.
se utiliza en el caso de una variable cuantitativa. Para realizar el polígono unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma.
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3.1.3. Ojiva.
Su objetivo, al igual que el histograma y el polígono de frecuencias es representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero sólo para frecuencias acumuladas.
No se utilizan barras en su confección, sino segmentos de recta, por ello no sólo es útil para representar una distribución de frecuencias sino también cuando se quiere mostrar más de una distribución o una clasificación cruzada de una variable cuantitativa continua con una cualitativa o cuantitativa discreta.
La diferencia con el polígono de frecuencia es que la frecuencia acumulada no se plotea sobre el punto medio de la clase, sino al final
de la misma, ya que representa el número de individuos acumulados hasta esa clase. Como el valor de la frecuencia acumulada es mayor a medida que avanzamos en la distribución, la poligonal que se obtiene siempre va a ser creciente y esa forma particular de la misma es la que ha hecho que se le dé también el nombre de ojiva.
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
Claudia está mudándose a un apartamento cuyo plano aparece en la ilustración a una escala de 1:50, es decir que 1 m en el dibujo, equivale a 50 m en la realidad. Ella quiere decidir la organización de los muebles sobre la representación.
1. Dos de los cuartos que posee el apartamento, el 1 puede ser escogido como sala y comedor porque:
a) Le entra más luz por la ventana. b) Es más grande. c) Queda más cerca al baño. d) Queda más lejos de la entrada.
2. Según la escala, qué largo y qué ancho posee el apartamento?:
a) 9 metros x 6 metros. b) 4,5 metros x 3 metros. c) 18 metros x 12 metros. d) 27 metros x 18 metros.
3. El piso de los cuartos y la entrada están enchapados con baldosas cuadradas de 50 cm x 50 cm. Qué área cubren dichas baldosas?.
a) 150 metros cuadrados. b) 75 metros cuadrados. c) 37,5 metros cuadrados. d) 27 metros cuadrados.
4. Las dos ventanas dan hacia el oriente. De ello se deduce que:
a) Al apartamento le entra la luz por la mañana. b) Al apartamento le entra la luz por la tarde. c) Entra más luz por la ventana del cuarto 1. d) Entra más luz por la ventana del cuarto 2.
5. Si Claudia quiere cambiar el diseño de las baldosas, cuál de los siguientes diseños no le sirve para cubrir el piso?.
a) c)
31
b) d) 6. Para cubrir el piso del baño desea combinar dos baldosas de diferente forma. Cuál de las siguientes parejas de baldosas no le sirven para recubrir el piso?.
a) c)
b) d) 7. La cama donde Claudia duerme es un rectángulo de 250 cm de largo por 100 cm ancho. En qué sitio del cuarto 1 le queda mejor acomodada?.
a) Con el lado más largo de la cama pegado a la ventana.
b) Con el lado más largo de la cama pegado a la pared norte.
c) Con el lado más largo de la cama pegado a la pared que separa los dos cuartos.
d) En la mitad del cuarto 1. 8. La biblioteca es un rectángulo de 1 metro de ancho y 3,5 metros de largo. Cuál es el mejor sitio para ubicarla?.
a) En el cuarto 1. b) Contra el costado oriental del cuarto 2. c) Contra la pared sur del cuarto 2. d) En la mitad del cuarto 2.
9. Los muebles de sala ocupan 4 metros cuadrados, y los de comedor otros 4 metros cuadrados. Si los pone en el cuarto 2, junto con la biblioteca, qué espacio le queda para transitar?.
a) La tercera parte del área del cuarto 2. b) Menos de la tercera parte del área del cuarto
2. c) Más de la tercera parte del área del cuarto 2.
10. Cuál de los siguientes muebles es más difícil de entrar al apartamento?.
a) Una mesa circular de 7 metros cuadrados. b) Una mesa esquinera en forma de triángulo
rectángulo isósceles de área 1,50 metros cuadrados.
c) Una mesa de estudio en forma de rombo, de área 1,50 metros cuadrados.
d) Una mesa de televisor en forma de triángulo equilátero, de área 1,50 metros cuadrados.
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UNIDAD 3
1. PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
1.1. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES O BINOMI O CUADRADO
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
RESUELVA……………………… 1.2. CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
33
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2
RESUELVA……………………. La expresión a4– b4 se puede escribir como:
1.3. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS C ANTIDADES (O PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS)
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2
RESUELVA……………………… 1.4. TRIÁNGULO DE PASCAL En matemáticas hay muchos trucos para simplificar los procedimientos y cálculos. Para los productos notables el truco consiste en el triángulo de Pascal.
34
Para formarlo empezamos con el 1 del primer renglón. Después escribimos el segundo renglón: 1 1. Para obtener los siguientes renglones siempre vamos a sumar los números que estén uno al lado del otro. Por ejemplo, para obtener el 2 que está en el tercer renglón sumamos 1+1 del segundo renglón. Cada renglón n contiene los coeficientes del binomio elevado a la potencia n 1.
Si observas el triángulo de Pascal, en el segundo renglón tenemos los coeficientes de (x + a)1 = a + b, que son 1 y 1. En el tercer renglón tenemos los coeficientes de (x + a)2 = x2 + 2 a x + a2 que son 1, 2 y 1, y así sucesivamente. Una forma sencilla de encontrar los coeficientes del resultado de elevar el binomio (x + a)n consiste en observar el segundo coeficiente. Si el coeficiente es n, esos son los que buscas. Por ejemplo, el renglón donde el segundo coeficiente es 5 indica que son los coeficientes del resultado de elevar (x + a)5. . Ejemplo: Calcular x + a5=
- Empezamos escribiendo los coeficientes que tomamos del renglón que corresponde. Después escribimos la literal x junto a todos los coeficientes: 1 x 5 x 10 x 10 x 5 x 1 x.
- Ahora vamos a escribir los exponentes de esas literales. Empezamos con el exponente al cual estamos elevando el binomio, en este caso, 5, y conforme avanzamos a la derecha, los exponentes van disminuyendo, uno en cada literal:
1x5 5x4 10x3 10x2 5x1 1x0
- Ahora escribimos la otra literal, a junto a cada literal x:
1x5a 5x4a 10x3a 10x2a 5x1a 1x0a
- El siguiente paso consiste es escribir los exponentes de a. Ahora empezamos de izquierda a derecha, también empezando con el exponente al cual estamos elevando el binomio.
35
1x5a0 5x4a1 10x3a2 10x2a3 5x1a4 1x0a5
Observa que la suma de los exponentes de cada término es igual al exponente al cual estamos elevando el binomio.
- Ahora lo único que falta es escribir los signos de + entre los términos y simplificar usando la ley (iv).
(x + a)5 = x5 + 5x4a1 + 10x3a2 + 10x2a3 + 5x1a4 + a5
Puedes verificar que este resultado es correcto multiplicando el binomio x + a por sí mismo cinco veces. Como ves, estemétodo es muy directo. Solo se requiere escribir el triángulo de Pascal hasta el renglón n + 1 para calcular (x + a)n. 1.5. BINOMIO DE NEWTON
La potencia de un binomio puede calcularse con la siguiente fórmula:
( ) − − + = + + + + −
1 1...0 1 1
n n n n nn n n nx a x x a xa a
n n
Una pregunta que seguramente tendrás es la siguiente, ¿por qué 0!=1?. He aquí la justificación. Teorema 0! = 1 Sabemos que el factorial tiene la siguiente propiedad: (k + 1)! = (k + 1) ∙ k! Por la forma como se definió. Si hacemos k = 0, obtenemos: (0 + 1)! = (0 + 1) ∙ 0! 1! = 1 ∙ 0! 1 = 0! Con este método, no se requiere calcular los coeficientes de las potencias anteriores del binomio que vamos a elevar a la potencia n, sino que de manera directa los calculamos. Por ejemplo, si necesitamos calcular (x + a)100, con el triángulo de Pascal tendríamos que encontrar los cien renglones anteriores para poder conocer los coeficientes de este polinomio (están en el renglón 101), pero con el binomio de Newton, podemos encontrarlos directamente a través de las combinaciones. . El binomio de Newton es otro artificio matemático que puede utilizarse para calcular la potencia de un binomio. En este caso se requieren algunos conceptos previos.
36
Definición 1 Factorial: El factorial del número natural n, que se denota n! , es igual al producto de todos los números naturales, desde 1 hasta n. n! = n(n – 1) (n – 2)…3.2.1 Una definición que se utiliza en el binomio de Newton, y que depende de la definición de factorial, es la siguiente: Definición 2 Combinaciones: El número de combinaciones de m objetos distintos, tomando k objetos a la vez, es:
( )
m m!=
k k! m - k !
En el binomio de Newton se consideran las combinaciones porque para justificar este método se utiliza un método de multiplicación que se conoce como el exponente fijo, y este método consiste en buscar de cuántas formas distintas podemos multiplicar los términos de dos polinomios para obtener un exponente dado. Como ejemplo, vamos a calcular (x + a)5=
- Empezamos calculando primero los valores de los coeficientes, de acuerdo a la definición de combinaciones.
- Enseguida está el cálculo del primer coeficiente, que ya sabemos, es igual a 1:
( )
= = = −
5 5! 5!1
0 0! 5 0 ! 5!
- El siguiente es el segundo coeficiente:
( )
= = = = −
5 5! 5! 5.4 !5
1 1! 5 1 ! 4! 4 !
- El siguiente es el tercer coeficiente:
( )
= = = = −
i i
i i
5 5! 5! 5 4 3 !10
2 2! 5 2 ! 2! 3! 2 3 !
- El siguiente es el cuarto coeficiente:
( )
= = = = −
i i
i i
5 5! 5! 5 4 3 !10
3 3! 5 3 ! 3! 2! 3 2!
37
- El siguiente es el quinto coeficiente:
( )
= = = = −
i5 5! 5! 5 4 !5
4 4! 5 4 ! 4! 4 !
- Y finalmente, el sexto coeficiente:
( )
= = = −
5 5! 5!1
5 5! 5 5 ! 5!
Ahora que tenemos los coeficientes, procedemos como se hizo con el triángulo de Pascal, con lo que de nuevo obtendremos:
(x + a)5 = 1x5 + 5x4a1 + 10x3a2 + 10x2a3 + 5x1a4 + 1a5 = x5 + 5x4a1 + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
EJERCICIOS… Resuelva los siguientes ejercicios con el triangulo de Pascal y el Binomio de Newton
1. ( )7a + b
2. ( )5a - b
2. COCIENTES NOTABLES
2.1. COCIENTE DE LA SUMA O RESTA DE EL CUBO DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE ESTAS CANTIDADES.
El cociente de la suma del cubo de dos cantidades dividida entre la suma de estas cantidades es igual al cuadrado de la primera menos el producto de estas, más el cuadrado de la segunda.
Ejemplos:
1.
38
2.
RESUELVA………..
1. 2.
2.2. COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
Criterios de divisibilidad
Criterio 1. La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
m m
m-1 m-2 m-2 m-1a - b= a + a b +...+ ab +b
a - b
Ejemplo:
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
RESUELVA:
1. 2.
Criterio 2. La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
m m
m-1 m-2 m-2 m-1a - b= a - a b +...+ ab - b
a +b
Ejemplo:
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
39
RESUELVA:
1.
Criterio 3. La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
m m
m-1 m-2 2 m-3 m-2 1a +b= a - a b +...+ a b - ab
a +bmb −+
Ejemplo: RESUELVA:
Hallar, por simple inspección, el cociente de: 1.
Criterio 4.
a) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las
cantidades. Esto es, cocientes de la forma : m ma +b
,a b±
donde m es par no son exactos.
b) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es
decir, cocientes de la forma : m ma - b
,a +b
donde m es par no son exactos.
Nota: Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.
3. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Pasos a seguir : Se dibuja un segmento vertical; a la izquierda se escribe el número a descomponer y a la derecha el menor número por el que es divisible aplicando para ello las reglas de divisibilidad empezando por 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, ... etc; si no es divisible por 2, se sigue con el 3; si no es divisible por 3, con el 5 y así sucesivamente. Debajo del número que estamos factorizando se escribe el cociente de la primera división exacta y se reitera el
proceso hasta que obtengamos un cociente primo, queEl producto de los números de la derecha es su descomposición factorial. Ejemplo 1 : Descomponer en factores 180: 180 es divisible por 2, (lo colocamos a la derecha del segmento en la misma línea de 180) cuyo cociente es 90, que ponemos debajo de 180.Reiteramos ahora con 90, que también es divisible pordel segmento) y de cociente 45, que situamos debajo de 90.Repetimos con 45 que no es divisible por 2 porque termina en 5, quepor 3 porque la suma de sus cifras (4 + 5 = 9) es múltiplo decociente es 15 y así sucesivamente.
RESUELVE
Descompón en factores primos los números: 80, 110, 190, 320, 624, 816, 900, 1188, 1260.
Investiga:
- ¿Crees que tiene relación el tamaño de un número y la cantidad de factores primos que lo componen? - ¿Si descomponemos un número grande, hemos de esperar que estará formado por muchos factores? - ¿Cuántos factores componen un número primo? 4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSAntes de comenzar directamente con los casos de factoreo vamos a necesitar algunas definiciones:
Factor: Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios,un factor del polinomio original.
Factorización: es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto.
Primo: Se dice que un polinomio es primo o irreducible cuando no puede escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo.
Al factorizar un polinomio el objetivo es expresarlo como un producto de polinomios primos o potencias de polinomios primos, tratando principalmente de trabajar con los números enteros.
La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemátipermite convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así su estudio.
Para factorizar un monomio se realiza por pura inspección, separando lo
Prueba general de los factores . polinomios primos para ver si el resultado es el polinomio original.
40
proceso hasta que obtengamos un cociente primo, que al dividir por él, conseguimos el último cociente que esducto de los números de la derecha es su descomposición factorial.
: Descomponer en factores 180:
180 es divisible por 2, (lo colocamos a la derecha del segmento en la misma línea de 180) cuyo cociente es 90, que ponemos debajo de 180.
os ahora con 90, que también es divisible por 2 (en la misma línea que 90 y a la derecha del segmento) y de cociente 45, que situamos debajo de 90.
45 que no es divisible por 2 porque termina en 5, que no es 0 ni 3 porque la suma de sus cifras (4 + 5 = 9) es múltiplo de 3 que significa divisible por 3 y cuyo
cociente es 15 y así sucesivamente.
Descompón en factores primos los números: 80, 110, 190, 320, 624, 816, 900, 1188, 1260.
tiene relación el tamaño de un número y la cantidad de factores primos que lo componen?
¿Si descomponemos un número grande, hemos de esperar que estará formado por muchos factores?
¿Cuántos factores componen un número primo?
E POLINOMIOS Antes de comenzar directamente con los casos de factoreo vamos a necesitar algunas definiciones:
Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios, cada polinomio del producto es
es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto.
Se dice que un polinomio es primo o irreducible cuando no puede escribirse como producto de dos
io el objetivo es expresarlo como un producto de polinomios primos o potencias de polinomios primos, tratando principalmente de trabajar con los números enteros.
La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemátipermite convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así su estudio.
ar un monomio se realiza por pura inspección, separando los números y las letras entre
. En cualquiera de los casos de factores la prueba es la misma multiplica los polinomios primos para ver si el resultado es el polinomio original.
conseguimos el último cociente que es 1.
180 es divisible por 2, (lo colocamos a la derecha del segmento en la misma línea de 180) cuyo
2 (en la misma línea que 90 y a la derecha
cifra par; si lo es 3 que significa divisible por 3 y cuyo
tiene relación el tamaño de un número y la cantidad de factores primos que lo componen?
¿Si descomponemos un número grande, hemos de esperar que estará formado por muchos factores?
Antes de comenzar directamente con los casos de factoreo vamos a necesitar algunas definiciones:
cada polinomio del producto es
es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto.
Se dice que un polinomio es primo o irreducible cuando no puede escribirse como producto de dos
io el objetivo es expresarlo como un producto de polinomios primos o potencias de
La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemática, pues nos permite convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así su estudio.
números y las letras entre sí.
lquiera de los casos de factores la prueba es la misma multiplica los
41
4.1. FACTOR COMÚN
Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.
Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.
Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.
Ejemplo:
Factoriza el polinomio 6x2y + 12xy2 – 3xy.
Solución: M.C.D. (6, 12, 3) = 3 El término de mayor grado que divide a (x2y, xy2, xy) es xy.
Factor común: 3xy
Por tanto: 6x2y + 12xy2 – 3xy = 3xy (2x + 4y – 1)
RESUELVE
Aplica el caso de factor común a las expresiones siguientes:
a) 3a + 6 b) 2b + 12 c) 3z2 + 21 d) mn + m
e) 3
35
a +
f) 1 37 21
a+
g) 1 12 2a
+
h) 1 1a ab
+
i) 2
1 1xy x y
+
j) 8a2 – 12ab
4.2. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Al estudiar los productos notables teníamos que: En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, ahora es el caso contrario: Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. Pasos:
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos. 2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la
raíz del término del binomio que es negativo).
42
Ejemplo explicativo:
RESUELVE Factoriza estas diferencias de cuadrados:
a) m2 – n2 b) m2n2 – p2 c) a2b2c2 – x2y2 d) 4 – a2
e) x2 – 16 f) x2y2 – 16 g) 9x2y4 – 169 h) 25a2b2 – 4c2
4.3. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
Recordamos de cocientes notables que:
Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, efectuándolo nos queda:
De donde se deducen las siguientes reglas: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)
Ejemplo explicativo:
RESUELVE
1. Factoriza aplicando el caso de suma de cubos
a) a3 + 1 b) 27 + 343m12 c) x6 + y6 d) 125 + b3
2. Factoriza aplicando el caso de diferencia de cubos
a) m3 – n3 b) 27a3 – 64b3 c) 125h3 – 216i3 d) 8r3 – 1000t3
43
4.4. DIFERENCIA O SUMA DE POTENCIAS IGUALES
De los cocientes notables recordamos que:
Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, al despejarlo nos queda:
Y esto es válido para cualquier diferencia de dos potencias iguales ya sean impares o pares.
Así también:
Al Despejarlo nos queda:
Que es válido para cualquier suma de dos potencias iguales impares únicamente (con pares no funciona).
Si tomamos también:
Al Despejarlo nos queda:
Que es válido para cualquier diferencia de dos potencias iguales pares únicamente (con impares no funciona).
De acuerdo a lo anterior, podemos concluir que:
1. an – bn es divisible por a – b si n es par o impar. 2. an + bn es divisible por a + b si n es impar. 3. an – bn es divisible por a + b si n es par. 4. an + bn nunca es divisible por a – b.
44
Ejemplo suma de potencias iguales:
Factoriza m9 + n9.
Solución.
Comprobamos a cuál de los formatos dados pertenece. Vemos que n es impar, entonces utilizamos el formato de
la definición, es decir: , entonces:
m9 + n9 = (m + n) (m8 – m7n + m6n2 – m5n3 + m4n4 – m3n5 + m2n6 – mn7 + n8).
RESUELVE
Factoriza estas expresiones empleando el caso correspondiente:
a) x4 – 625 b) 243n5 + 1 c) 64b6 – c6 d) a8 – b8 e) 1 + 512p9
4.5. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. 36x2 + 12xy2 + y4 Es un trinomio cuadrado perfecto. El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x)2 = 36x2; el último es el cuadrado de y2, pues (y2)2 = y4, y el segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es decir de 6x y y2, pues 2 x 6x x y2 = 12 xy2
(6x + y2)2 = (6x + y2) (6x + y2) = 36x2 + 12xy2 + y4 En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos: (6x - y2)2 = (6x - y2) (6x - y2) = (6x)2 – 12xy2 + (y2)2
O también así: (y2 – 6x)2 = (y2 – 6x) (y2 – 6x) = (6x)2 – 12xy2 + (y2)2
Ambas son respuestas aceptables.
45
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfe cto. Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Ejemplos:
Existe una manera de lograr trinomios cuadrados perfectos a partir de binomios si simplemente les sumamos y restamos el término que le haga falta. 1. Si tenemos un binomio cuyos dos factores tengan raíces cuadradas se siguen los siguientes pasos para la creación de un trinomio cuadrado perfecto:
- Se les extrae la raíz cuadrada a los dos términos. - Se encuentra el doble producto de estas raíces. - Este doble producto se suma y se resta a los dos términos que son cuadrados perfectos.
Ejemplo:
2. Si tenemos un binomio de la forma x2 + bx hace falta completarlo con el cuadrado de la mitad del coeficiente de la raíz del término de la derecha. Ejemplo:
RESUELVE
Factoriza las expresiones algebraicas que sean un trinomio cuadrado perfecto:
a) m2 + 2m + 1 b) p2 + 2p + 16 c) 4a2 + 18a + 81 d) 25x2 + 40x + 16 e) x6 + 10x3 + 25 f) a8 + 18a4 + 81
46
4.6. TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA x 2 + bx + c
Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:
- Tienen un término positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (x2).
- Posee un término que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).
- Tienen un término independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).
Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:
1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término x2.
2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.
4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio.
Ejemplo explicativo:
Más ejemplos:
Detengámonos un poco en los últimos ejemplos. En el segundo podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el “x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo. Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica que es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este número en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así:
En el cuarto ejemplo se observa que el término “c” no es un simple número sino que tiene una forma “cx2”, en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se ha tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta 98m2 y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos. Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios, solo se necesita que se cumplan las reglas indicadas.
47
RESUELVE 1. Factoriza los trinomios siguientes:
a) x2 + 4x + 3 b) y2 – 9y + 18 c) p2 – 20p + 96 d) k2 + 7k – 450
2. Determina todos los valores enteros de c, para los que el trinomio se puede factorizar en el conjunto de binomios con coeficientes enteros:
a) z2 + cz + 1 b) x2 + cx + 4 c) y2 + cy + 16 d) h2 + ch + 18
4.7. TRINOMIO DE LA FORMA ax 2 + bx + c Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (x2) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:
- Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “ax2” por cada término del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b(ax)”, y en el término “ax2” de la manera “(ax)2”.
- Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término “(ax)2” la que sería “ax”.
- Al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio. - El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio
será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”. - Se buscarán los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio
anterior. Ejemplo explicativo:
Mas ejemplos:
48
RESUELVE
a) 3x2 + 5x – 2 b) 2k4 + 7k2 + 5 c) 6y6 + 13y3 – 5 d) 12p2 + 25p – 7 e) 5u8 + 17u4 + 6
5. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL La estadística descriptiva en su función básica de reducir datos, propone una serie de indicadores que permiten tener una percepción rápida de lo que ocurre en un fenómeno.
La primera gama de indicadores corresponde a las “Medidas de Tendencia Central”. Existen varios procedimientos para expresar matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los más conocidos son: la media aritmética, la moda y la mediana.
5.1. LA MEDIA ARITMÉTICA
Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muestrales de datos poblacionales, la media aritmética se representa con un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador será µ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será x .
Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto poblacionales como muestrales: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencias.
Ejemplo: El entrenador de baloncesto sabe que Miguel tiene 17 años, Pedro 16, Alberto 20, Gonzalo 19 y Camilo 23, pero está interesado en hallar la edad promedio del equipo. Para esto suma todas las edades y divide entre 5, así:
17 16 20 19 23 9519
5 5Media
+ + + + += = = La edad promedio del equipo es de 19 años.
Veamos cómo se halla el promedio si los datos se presentan en una distribución de frecuencias:
Se pregunta a 40 familias por el número de hijos de cada una de ellas y se obtienen los siguientes datos:
49
Variable (No de hijos) Frecuencia 0 4 1 12 2 7 3 10 4 7
Total 40 Para hallar el promedio sería muy complicado sumar uno a uno los 40 datos. Es más práctico, primero, multiplicar el número de hijos por el número de familias, para luego totalizar y dividir por el número total de casos. Para esto se elabora una tabla como esta:
Variable (No de hijos) Frecuencia Variable x frecuencia 0 4 0 1 12 12 2 7 14 3 10 30 4 7 38 Σf = 40 Σ(v ∙ f) = 84
Media= 84
2.140
Media = = . En promedio, cada familia tiene 2,1 hijos, que se puede aproximar a 2 por ser una
variable discreta.
(variable x frecuencia)suma deMedia
Número de datos=
5.2. LA MODA
La moda es el dato que corresponde a la mayor frecuencia. Si la distribución es por intervalos se toma la marca de clase.
En el caso del número de hijos, también se desea saber cuántos de ellos tienen la mayoría de las familias; para esto, se busca en la tabla el dato que corresponda a la mayor frecuencia. Observa en la tabla que la mayoría de las familias (12) tienen un hijo. A este dato se le da el nombre de MODA.
5.3. LA MEDIANA
Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula
Ecuación 5-5
Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería:
50
Lo que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera posición de la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es necesario promediar los dos valores medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15, tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería,
Es decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que para el caso corresponden a (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría que la mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y la otra mitad se encuentra por encima de este valor. En conclusión la mediana nos indica el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el cincuenta por ciento de los datos cada una. Para las muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un número par de observaciones se debe promediar los valores de las dos posiciones centrales.
6. NOCIONES DE PROBABILIDAD
La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
INTERPRETACIONES
La palabra probabilidad no tiene una definición consistente. De hecho hay dos amplias categorías de interpretaciones de la probabilidad: los frecuentistas hablan de probabilidades sólo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento, es una medida de la probabilidad de ese suceso aleatorio. Los bayesianos, no obstante, asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no implica un proceso aleatorio, como una manera de representar su verosimilitud subjetiva.
TEORÍA
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas causalidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.
Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.
51
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
En el colegio Americano se realizó un concurso de pasatiempos matemáticos. Los finalistas fueron el equipo Pitágoras y el equipo Newton. Ambos equipos, conformados por 4 estudiantes, diseñaron pasatiempos en los que es posible emplear casos de factorización o el caso contario, es decir, el de productos notables. Cuál de los dos equipos diseñó el mejor pasatiempo?. Imagina que eres el juez del concurso, resuelve los pasatiempos y emite tu veredicto. A. El pasatiempo creado por el equipo Pitágoras se basó en una pirámide dividida en pequeños rectángulos. En algunos de ellos se encuentran expresiones algebraicas.
La regla que propusieron para llenar las casillas vacías fue: 1. La expresión que se debe escribir en la casilla número 3 es:
a) (x + 2) c) (x – 2) b) (x + 1) d) (x – 2)2
2. La expresión algebraica que debe ubicarse en la casilla número 5 es:
a) X2 + 4 c) x2 – 4 b) X2 – 2 d) x2 – 16
3. La expresión algebraica que debe escribirse en la casilla número 7 es:
a) X2 – 4 c) x3 + 8 b) X3 – 8 d) x – 2
4. En la casilla número 8 se debe ubicar la expresión algebraica:
a) (x2 – 4) (x + 2) c) (x – 2)3 (x + 2) b) (x2 + 4) (x – 2) d) (x + 4) (x – 2)
B. El pasatiempo creado por el grupo Newton se basó en el siguiente gráfico:
Las soluciones a los casos de factorización y productos notables son:
A) 2x2 + 11 x + 5 F) x2 + 2x + 1 B) 6x2 + 3x G) x2 – 16 C) X2 – 6x + 9 H) ax + bx + ab + b2 D) X3 + 1 I ) x3 – 1 E) X2 – 10x + 24
El pasatiempo consiste en poner la letra que identifica al polinomio en el cuadrito de la parte superior de cada rectángulo, correspondiente a su correcta factorización. 5. El polinomio que corresponde a la factorización (x + 1) (x + 1) es el identificado co n la letra:
a) A b) G c) F d) I 6. El polinomio que corresponde al producto (x + 4) (x – 4) es el identificado con la letra:
a) B b) G c) A d) H 7. El polinomio que corresponde a la factorización (x + 1) (x 2 – x + 1) es el identificado con la letra:
a) B b) D c) A d) C 8. La Factorización (x + b) (a + b) corresponde al polinomio identificado con la letra:
a) J b) E c) D d) H
52
9. La Factorización (3x) (2x + 1) corresponde al polinomio identificado con la letra:
a) B b) G c) D d) C 10. La Descomposición en factores (x – 1) (x 2 + x + 1) corresponde al polinomio identificado con la letra:
a) I b) G c) D d) E 11. El producto (x – 3) (x – 3) es la factorización del polinomio identificado con la letra:
a) H b) C c) I d) D
12. El polinomio que corresponde a la descomposición en factores (x – 6) (x – 4) es el identificado con la letra:
a) G b) E c) H d) I 13. La descomposición en factores (x + 5) (2x + 1) corresponde al polinomio identificado con la letra:
a) H b) G c) A d) D
1. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que
Son fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
El valor de una fracción no se alteracantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
1.1. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
1.1.1. Suma y resta de fracciones algebraicashacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a
Igual como ocurre con las fracciones de númerocon fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
1.1.1.1. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador. suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1)numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuansignos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda:
53
UNIDAD 4
es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma distinta de cero.
en su numerador y denominador resulta:
operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
CCIONES ALGEBRAICAS
Suma y resta de fracciones algebraicas . Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
1.1.1.1. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador. Veamos el siguiente ejemplo de
(x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los
niendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un
denominador son polinomios.
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma
operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo común denominador .
fracciones algebraicas puede ser
Veamos el siguiente ejemplo de
, este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando.
do no son monomios, para no confundir luego los
niendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un
Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
1.1.1.2. Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
Veamos el siguiente ejemplo:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el(m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman endenominador común.
Entonces, que debemos hacer: encontrardenominador (m.c.d.) .
Para calcular el m.c.m. factorizamos
Multiplicamos los factores y quedamismo quefracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamentdenominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:
54
Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador .
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando ellas fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes
encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos
Para calcular el m.c.m. factorizamos
Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = amismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamente, dividimos el denominador común (15adenominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo fracciones equivalentes con
de los denominadores, que llamaremos mínimo común
a • a • b • b • 5 • 3 = a 2 • b2 • 15 que es lo y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
(15a2b2) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por
Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador comque faltan por completar dicho m.c.d
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.
Un ejemplo más:
Sumar
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)
Hacemos
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:
1.1.2. Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra
55
ta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos
que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:
RESUELVE
Efectúa las operaciones indicadas y simplifica el resultado cuando sea posible:
a) 3 4a a+ =
b) 10 15m m− =
c) 2
2 13 7n n
+ =
d) 3 3
3 28 8
aa b a b
− =
e) 2
2 22 1 3 3 1x x
x x x x+ + =
+ + + −
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces:
ta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:
o denominador) por los términos
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.
Efectúa las operaciones indicadas y simplifica el resultado cuando sea posible:
+ =
a b a b− =
2 2
5 22 1 3 3 1x x
x x x x+ + =
+ + + −
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
, entonces:
Ejemplo:
Multiplicar
Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
Simplificamos antes de efectuar el producto:
RESUELVE a)
b)
c)
d) 2
5 3xpor
x x− =
e) 2
6 5 13 3 6 7 10
m mpor
m m m+ + =+ − −
Importante: es preciso dominar la factorización
1.1.3. Cociente o división de fracciones algebraicascomo lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida
56
multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
Simplificamos antes de efectuar el producto:
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
=
portante: es preciso dominar la factorización de productos notables.
Cociente o división de fracciones algebraicas . Para dividir fracciones algebraicas procederemoscomo lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes
Ejemplo 1:
Dividir
Anotamos haciendo el producto cruzado:
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de lasSi el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).
RESUELVE
a) 2 23
4 2x y xyxy y
÷ =
b) 2 23 6
5 15mn m n
p p÷ =
c) 1 1
2 3x x
x x+ +÷ =
d) 3
2
27 33 9
m mm m
− +÷ =− −
57
Anotamos haciendo el producto cruzado:
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de lasSi el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).
1.2. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La simplificación de fracciones algebraicasfracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
Otro ejemplo, simplificar la fracción
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominado
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).
2. ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADPROBLEMAS.
2.1. ECUACIONES. Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
2.1.1. Ecuaciones de pr imer gradoalgebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnitauna incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
58
1.2. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRAD O EN UNA VARIABLE Y SOLUCIÓN DE
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
imer grado . Se denominan ecuaciones lineales o de primer gradoalgebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir
Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.
Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso
primer grado con una incógnita . Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en
s tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de
es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
r, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya
VARIABLE Y SOLUCIÓN DE
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los
Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita
Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en
s tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro 3 es +3, porque la operación inversa de
59
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Ejemplo:
Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?
A) 250 cm y 50 cm
B) 150 cm y 150 cm
C) 175 cm y 125 cm
D) 200 cm y 100 cm
E) Ninguna de las medidas anteriores.
Comentario
En esta pregunta el alumno debe comprender el enunciado y a partir de los datos entregados en él debe plantear y resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.
Del enunciado se tiene que la tabla que mide 3 metros, que equivalen a 300 cm, se divide en dos partes, si la parte más corta es x, la otra es 300 – x.
Además, se sabe que una de ellas es 50 cm más larga que la otra, entonces se puede concluir que x + 50 = 300 – x, se suma el inverso aditivo de -x y el inverso aditivo de 50, a ambos lados de la igualdad, obteniéndose 2x = 250, multiplicando por el recíproco de 2 a ambos lados de la igualdad, se llega a
Así, las medidas de cada parte de la tabla son 125 cm y 175 cm, valores que se encuentran en la opción C) .
Uno de los distractores con mayor preferencia fue A) y el error que seguramente cometen los alumnos es no interpretar correctamente los datos del enunciado y asumir que uno de los trozos es 50 cm y como la tabla mide 300 cm el otro debe ser 250 cm.
60
Ejercicios……
1. Si un número se divide por 0,3 resulta 60, ¿cuál es el número?
a. 0,18
b. 1,8
c. 18
d. 20
e. 200
2. Los ángulos interiores de un triángulo son tales que α : β = 2 : 3 y β : γ = 3 : 4, entonces
a. 15º
b. 20º
c. 45º
d. 60º
e. Ninguna de las anteriores
3. Un vendedor recibe un sueldo base de $ 215.000, al mes, más 8% de las ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes ?
a. $ 254.625
b. $ 532.000
c. $ 1.275.000
d. $ 1.812.500
e. $ 3.962.500
2.2. INECUACIONES
1. ¿Para qué valores de x es x2 ≤ 0? Resp: sólo x = 0. 2. ¿Para qué valores de x es x2 – 1 > 0? Resp: x < 1 ó x > 1, también podemos escribir esta respuesta como x ∈ ℝ ⎡x < - 1 ⋃ x ∈ ℝ ⎡x > 1.
.3. ¿Para qué valores de x es x2 + 1 ≤ 0? Resp: Ninguno. En general decimos que expresiones como las anteriores, que involucran alguno de los signos <, >, ≤ o≥, definen una inecuación, y queda entendido
61
que, hay que hallar aquellos valores de x que verifican la desigualdad planteada.
Las inecuaciones representan conjuntos. Para resolver inecuaciones hay que tener muy presente las propiedades de la relación de orden ≤ en ℝ, con respecto a las operaciones aritméticas: Si a, b, c, con números reales.
- a ≤ b ↔ a + c ≤ b + c - a < b ↔ a + c < b + c
- Si c ≥ 0, a ≤ b, entonces, ac ≤ bc - Si c ≤ 0, a ≤ b, entonces, ac ≥ bc
Ejemplo. Resolver la inecuación ≤21.
x¡Peligro!. No
hay que caer en la tentación de escribir:
≤ → ≤21 2 x
x, luego x ∈ ℝ ⎡ x ≥ 2 es la solución,
porque no sabemos a priori si x es negativo o positivo, luego no sabemos si la desigualdad va a cambiar de sentido al multiplicar por x. Una manera de resolver esta dificultad es:
Si x > 0 entonces ≤ → ≤21 2 x
x.
Si x < 0 entonces ≤ → ≥21 2 x
x.
En efecto, por la cuarta propiedad arriba, y suponiendo x < 0, esta parte de la solución se obtiene intersectando x ≤ 2 con x < 0 por lo que resulta x < 0. Luego la solución completa que abarca ambos casos es: x ∈ ℝ ⎡ x ≥ 2 ⋃ x ∈ ℝ ⎡ x < 0; es decir, las dos semirectas que se muestran en la siguiente figura.
No se considera x = 0, porque en este caso 2x
no
está definido.
Representación de dos semirectas
2.2.1. Inecuaciones de primer grado en una incógnita. Ejemplo. Resuelva: ax + b ≤ 0, con a > 0. La ecuación y = ax + b representa una recta, y lo que se nos está pidiendo es averiguar para qué valores x es y ≤ 0, o ¿para qué valores de x, los puntos ax + b están en el semiplano inferior? La respuesta es
∈ ≤
ℝ ℝb
x x - una semirecta en .a
Se
observa en la siguiente figura.
En el caso ax + b ≤ 0, con a < 0 las condiciones son
similares, pero la respuesta es: ∈ ≥
ℝb
x x -a
Porqué?. La respuesta del problema también cambia bastante si a = 0, ya que la inecuación es entonces b ≤ 0 y la solución será:
- ∅ (vacío) si el número b es positivo, ya que si b > 0 la recta está en el semiplano superior, luego no hay solución.
- ℝ si el número b es negativo o nulo ya que si b ≤ 0, la recta y = b está toda en el semiplano inferior como lo muestra la siguiente figura. Luego todo el número real es solución de la inecuación.
62
Ejemplos:
1. Resolver ≤- 2x + 4 0.
Solución: restando 4 en ambos miembros, tenemos
≤ −- 2x 4, luego dividiendo por - √2 vemos que
42 2.
2≥ =x Por lo tanto la solución es: x ∈ ℝ
x ≥ 2√2.
2. Resolver 5
3 0.6
x− >
Solución: Restando 5
6a ambos miembros:
53 .
6x− > − Después, multiplicando por (- 1) tenemos
53 ,
6x < luego
5.
18x < Por lo tanto la solución es
5.
18x x ∈ <
ℝ
3. Resolver 2x + 7 < 2x + 1.
Solución: Restando 2x a ambos miembros obtenemos 7 < 1, luego no existe solución.
Si expresamos una inecuación de primer grado de la siguiente manera:
ax + b ≤ cx + d, podemos darle una interpretación geométrica al considerar las dos rectas y = ax + b y
y= cx + d. Lo que se plantea lo podemos observar en la siguiente gráfica. ¿Para cuáles valores de x el gráfico de la primera recta está por debajo del gráfico de la segunda recta?.
Ejercicios
1. Halle el conjunto solución de: 3x – 2 < 8. 2. Halle el conjunto solución de: – 2x + 4 ≤ 7x +
8. 3. Halle el conjunto solución de: 3x – 1 < 5 √2x
+ √3.
63
3. ESPACIO MUESTRAL
En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.
Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto (cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz). Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o (cara, cara), (cara, cruz), estaría formado por los sucesos elementales (cara, cara) y (cara, cruz).
Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos.
Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cual se define la medida de probabilidad P.
Ejemplo:
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4. INDEPENDENCIA DE EVENTOS
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. En probabilidad condicional la ocurrencia de un evento condiciona la probabilidad de un segundo evento. Sin embargo, hay muchos casos donde los eventos están totalmente sin conexión, y la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro, en este caso se dice que son independientes.
Sean A y B dos eventos y sea P [B] ≠ 0., A y B son eventos independientes si: P [A/B] = P [A], como consecuencia, si A y B son independientes y ∴ P [A/B] = P [A⋂B] / P [B] = P[A] ⇒ P [A ⋂ B] = P[A] P [B] y viceversa.
Dos eventos A y B son independientes si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
1. P [A/B] = P[A]
2. P [B/A] = P[B]
3. P [A ∩ B] = P[A]P[B]
Observación: la proposición 3 se llama regla multip licativa
65
5. REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
Ya se mencionó qué son los eventos mutuamente excluyentes y los que no lo son. Hay una regla general para calcular la probabilidad de eventos disyuntos, es decir, que son la combinación de eventos más simples, donde puede ocurrir uno u otro o ambos. Sea A un evento probable en un fenómeno aleatorio. P(A) su probabilidad de ocurrencia. B otro evento probable en el mismo fenómeno aleatorio. P(B) su probabilidad de ocurrencia. Entonces, si son eventos mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) Esto significa que la probabilidad de que ocurra cualquiera de los dos es la suma de sus probabilidades. Pero, si no son eventos mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) Esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra uno de ellos o ambos es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de que ocurran ambos. Por otra parte, un par de eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. En una selección de elementos de un conjunto dado, sin que los elementos se reintegren al conjunto, cada selección afecta la probabilidad de ocurrencia de las subsiguientes. En este caso tenemos eventos dependientes. Si dos eventos son independientes, la probabilidad de ocurrencia de ambos se calcula multiplicando sus individuales probabilidades asociadas: P(A y B) = P(A) × P(B) Una probabilidad condicional, de un suceso, se calcula con el conocimiento de otro suceso que ya ocurrió:
( ) ( )
( )
P AyBP B A
P A=
Donde se espera que ocurra B, ya que A ya ocurrió. Ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de que se integre un equipo de trabajo con dos mujeres y un hombre, si se eligen al azar los integrantes de un grupo de seis hombres y siete mujeres? . Para resolver el problema primero necesitamos saber cuántos equipos diferentes se pueden formar, sabemos que el equipo es de tres integrantes y que las personas que lo pueden formar son trece. Debemos emplear el análisis combinatorio. Calculamos las combinaciones de trece elementos tomados de tres en tres. En las calculadoras científicas se tiene la función para el cálculo de combinaciones, el símbolo es n rC .
66
Entonces calculamos 13 3C .
El resultado es 286
Otra forma de calcularlos es con la expresión ( )!
! !n r
nC
r n r=
−
Ahora falta saber cuántos equipos se pueden formar con dos mujeres y un hombre, para ello nuevamente recurrimos al análisis combinatorio. Puesto que la idea de que un equipo está formado por dos mujeres y un hombre de un total de siete mujeres y seis hombres, se puede traducir en dos mujeres forman el equipo de un total de siete y un hombre de un total de seis. Al ser eventos independientes aplicamos la regla descrita y además el análisis combinatorio.
( )7 2 6 1( )C C Calculando esto, se obtiene el número 126
Entonces hay 126 maneras diferentes de formar un equipo con dos mujeres y un hombre, además hay 286 formas diferentes de integrar a los equipos. Por lo tanto la probabilidad de que un equipo esté formado por dos mujeres y un hombre es:
126 630.4405 44.05%
286 143P = = = =
6. TÉCNICAS DE CONTEO
Suponga que se encuentra al final de una línea de ensamble final de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el número de productos que lo constituyen, de inmediato usted empezará a contar un producto tras otro y al final informará al supervisor que son, 48, 54 u otro número cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta ¿cuántas muestras o grupos será posible formar con los productos del lote, si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas?. En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezará a tener dificultad para hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las técnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestión (el número de muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, ¿qué son las técnicas de conteo?
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Ejemplo en el que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo:
-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?
67
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo.
6.1. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO DE CONTEO Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2 x ..........x N r maneras o formas
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
Ejemplo:
Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.
6.2. PRINCIPIO ADITIVO DE CONTEO Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formas
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Ejemplo:
Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
6.3. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento. Combinación. Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Permutación. Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación. Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero).
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Solución : a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente). ¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas? Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos.
b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación: CAMBIOS
PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael Daniel SECRETARIO: Arturo Daniel Daniel Rafael TESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo
Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación?
Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.
A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.
n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n. n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n
Ejem. 10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800 8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320 6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.
Obtención de fórmula de permutaciones. Para hacer esto, partiremos de un ejemplo. ¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de un instituto, si hay 14 participantes?
Solución: Haciendo uso del principio multiplicativo,
14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso
Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.
Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.
14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1)
70
Si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces
= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)! = n!/ (n – r)! Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se
usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. Entonces, ¿qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta? Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces. nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n! Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces nPn= n!
RESUELVE
1. Si lanzas dos dados de seis lados sobre una mesa plana horizontal:
a) ¿Cuántas veces es posible que la suma de los números de las caras que aparecen sea diez? b) ¿Cuántas veces es posible obtener suma de diez, si una de las caras es cuatro? c) ¿cuántas veces se obtiene suma par? d) ¿Cuántas veces se obtiene suma 1?. e) ¿Cuántas veces se obtiene suma par si los resultados en las dos caras son iguales?.
2. A una fiesta van 15 niñas y 13 niños. Considera todas las parejas que se pueden formar si dos de la s parejas son fijas por cuanto son novios intensos y no participan con el resto del grupo. ¿Cuántas de e stas parejas tendrán a una “simpática y popular niña” co mo uno de sus elementos?.
3. Un futbolista posee tres pares de guayos, cinco pares de medias, cinco pantalonetas y ocho camiseta s. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse para salir a jugar?.
71
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
Carlos, Diana y Óscar son estudiante del grado octavo A. Diana les recuerda que próximamente serán las elecciones ara el gobierno escolar. Ella piensa postularse como representante del curso 8A. Carlos le manifiesta que según el manual de convivencia, para ser elegido a un cargo en el gobierno escolar, es necesario obtener el apoyo de la mitad más 1 del total de estudiantes. Los jóvenes solicitan en secretaría el dato de estudiantes del colegio, y les entregan la siguiente tabla:
Grado Estudiantes Grado Estudiantes 6°A 36 8°B 30 6°B 36 9° 38 7°A 30 10° 36 7°B 34 11° 36 8°A 30
1. Óscar afirma que si f (x) = votos para ganar, x = total de estudiantes, la condición de la mitad más 1 se puede expresar matemáticamente como:
a) f (x) = 2x + 1 c)
b) f (x) = x + 2 d) 2. Como Diana pertenece al grado octavo A, entonces para salir elegida como representante de su curso, necesita:
a) 15 votos c) 16 votos b) 20 votos d) 25 votos
3. Con base en el numeral 1, Carlos pregunta si la expresión dada representa una función, Óscar responde que sí, porque:
a) f (x) representa los votos para ganar. b) x representa el número total de estudiantes. c) Cada estudiante del colegio puede ser
representante de dos cursos. d) Su representación gráfica es una línea recta.
4. La expresión dada en el numeral 1, podemos afirmar que es una:
a) Función lineal. c)Función cuadrática.
b) Función constante. d) Función geométrica. 5. Carlos manifiesta que se puede hallar entonces la pendiente de la función . La respuesta es:
a) c) m = 2
b) d) m = – 2 6. Óscar pregunta cuántos votos necesita para ser elegido consejero de los grados 8A y 8B al mismo tiempo. El número de votos es:
a) 16 b) 31 c) 32 d) 30 7. Carlos aspira a ser representante de todos los estudiantes ante las directivas del colegio. El número de votos que necesita son:
a) 306 b) 153 c) 154 d) 60 8. La gráfica de la función es: a) b) c) d)
72
8. Si el número total de estudiantes del colegio es de 306, entonces f (306), en la función , toma el valor:
a) 308 b) 154 c) 153,5 d) No se puede calcular su valor.
9. El estudiante aspirante a ser representante del grado 11, necesita como mínimo:
a) 18 votos c) 19 votos b) 36 votos d) 17 votos
10. Supongamos que al colegio llegan 40 estudiantes más, de tal manera que el número de votos necesarios para ser representante de todos los estudiantes se aumenta en:
a) 40 votos c) 20 votos b) 10 votos d) 21 votos
11. Supongamos que se retiran 30 estudiantes del colegio. Entonces el número mínimo de votos requeridos para ser representante de todos los estudiantes se:
a) Aumenta en 10 c) Aumenta en 30 b) Disminuye en 15 d) Disminuye en 10
12. Si el número total de estudiantes del colegio es de 306, entonces f (306), en la función , toma el valor:
b) 308 b) 154 c) 153,5 d) No se puede calcular su valor.
13. El estudiante aspirante a ser representante del grado 11, necesita como mínimo:
c) 18 votos c) 19 votos d) 36 votos d) 17 votos
14. Supongamos que al colegio llegan 40 estudiantes más, de tal manera que el número de votos necesarios para ser representante de todos los estudiantes se aumenta en:
c) 40 votos c) 20 votos d) 10 votos d) 21 votos
15. Supongamos que se retiran 30 estudiantes del colegio. Entonces el número mínimo de votos requeridos para ser representante de todos los estudiantes se:
c) Aumenta en 10 c) Aumenta en 30 d) Disminuye en 15 d) Disminuye en 10
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BIBLIOGRAFÍA
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