2010 - caderno do aluno - ensino médio - 3º ano - matemática - vol. 2

GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2

1

Páginas 3 - 6

1.

Questões (a) e (b)

C

a

ceB

a

bcom

CBxxa

cx

a

bxacbxax

,00)(0 222

c)

04

04

0242

2022

22

22

222

2

BCyC

By

CB

ByBB

yyCB

yBB

y

d) Como y2 =4

2B – C, segue que

2

42 CBy

e) Como 2

Byx , segue que

22

42 BCBx

, ou seja,

2

4

2

2 CBBx

Substituindo B por a

b e C por

a

c, obtemos

a

acbbx

2

42 , que é a fórmula de

Bhaskara.

f) Dividindo os coeficientes por 3, obtemos x2 + 5x + 6 = 0;

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

A EQUAÇÃO DE 3º GRAU E O APARECIMENTO NATURAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS


2

Substituindo x por 2

5y , onde o denominador 2 é o grau da equação, obtemos:

062

55

2

52

yy .

Efetuando os cálculos, obtemos y2 = 4

1, ou seja, y =

2

1 .

Como x = 2

5y , segue que x = – 2 ou x = – 3.

2.

a) x1 e x2 são obtidos pela fórmula de Bhaskara:

a

acb

a

b

a

acbbx

2

4

22

4 22

.

Como Saba

bS

e Pac

a

cP , temos:

2

4

2

4

22

)(4)(

2

)( 222 PSS

a

PSa

a

Sa

a

PaaSa

a

Sax

.

Os números 10 e 40 seriam a soma e o produto das raízes da equação x2 – 10x + 40

= 0. Segundo a fórmula 2

42 PSS , teríamos de calcular

2

6010

2

40.41010 2

; como não existe a raiz quadrada de um número

negativo em IR, concluímos que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e

cujo produto seja 40.

b) Se existissem dois números reais de soma igual a S e produto igual a P, então

eles seriam raízes da equação x2 – Sx + P = 0. Mas, se o quadrado da soma S dos

dois números fosse menor que o quádruplo de seu produto P, ou seja, se S2 < 4P,

então a equação x2 – Sx + P = 0 teria o discriminante = S2 – 4P negativo, ou seja,

não teria raízes reais. Logo, não existem dois números reais nas condições acima.

3.


3

a) Efetuando a substituição indicada, obtemos:

02026407)5(11)5(15)5( 323 yyyyy .

b) Efetuando a substituição indicada, obtemos:

0327

2

30

393

2

273

0333

233

33

3

0333

323

322

3223

22

3223

23

DBC

CyByB

yDBC

CyByB

ByByB

Byy

DB

yCBB

yyBBB

yB

yy

DB

yCB

yBB

y

Verificamos que os termos em y2 se cancelam. De modo geral, efetuando-se os

cálculos indicados, é possível mostrar que, na equação xn + A1xn-1 + A2x

n-2 + A3xn-3 +

... + An-1x + An = 0, a substituição de x por y –n

A1 conduz à eliminação do termo em

yn-1.

Páginas 8 - 12

1.

a) x2 + 6x – 1 = 0; a = 1, b = 6 e c = –1

103

103103

2

1026

2

4366

1.2

)1.(1.4)6(6

2

12

x

xx

b)

3

3

3

3

103

103

103

103

q

p

q

p

c) Comparando a igualdade (p + q)3 – 3pq . (p + q) – (p3 + q3) = 0 com a equação

y3 + M . y + N = 0, deduzimos que, se – 3pq = M e – (p3 + q3) = N, então y = p + q

será raiz da equação.

Temos, então, de encontrar dois números p e q tais que:

p3 . q3 =

27

3M e p3 + q3 = –N.


4

Tais números p3 e q3, que têm soma e produto conhecidos, devem ser as raízes da

equação do segundo grau z2 + Nz – 27

3M = 0.

Resolvendo tal equação, obtemos: z =,

2742227

432

32

MNNM

NN

isso significa que os valores de p3 e q3 são:

,27422742

3232 MNNe

MNN

logo, os valores de p e de q serão 3

32

3

32

27422742

MNNe

MNN .

Em consequência, o valor de y = p + q será:

3

32

3

32

27422742

MNNMNNy , como queríamos mostrar.

2. Substituindo, na fórmula obtida no exercício anterior, temos:

2010127

27

4

4

2

2

27

27

4

4

2

2 3333

y ; logo, y = 2 é uma

raiz.

Como será visto nas atividades seguintes, conhecendo-se uma das raízes de uma

equação de grau 3, é possível reduzi-la a uma equação de 2o grau, encontrando-se,

assim, todas as raízes da equação inicial.

3.

a) O volume do cubo de aresta x é igual a x3 e o volume do paralelepípedo de base

15 m2 e altura x é igual a 15x; segue, então, que a exigência de o volume do cubo ser

4 m3 maior do que o volume do paralelepípedo traduz a equação:

x3 = 15x + 4, ou seja, x3 – 15x – 4 = 0.


5

b) Calculando o valor de x pela fórmula obtida anteriormente para equações de 3o

grau, obtemos: 33 12121212 x . Pela fórmula, parece não existir raiz

da equação, uma vez que nos deparamos, nos cálculos, com a raiz quadrada de um

número negativo.

c) Certamente, a equação admite x = 4 como raiz, como se pode verificar

diretamente, uma vez que 43 – 15.4 – 4 = 0. No uso da fórmula das raízes, os cálculos

foram interrompidos quando surgiu a raiz quadrada de –121. No estudo das equações

de 2o grau, era assim que se procedia: ao se deparar com a raiz quadrada de um

número negativo, dizia-se: “A equação não tem raízes reais”. Mas aqui sabe-se que a

equação de grau 3 proposta tem uma raiz real, que é x = 4. Então, como ficamos?

4.

a) De fato, como –121 = 121 . (–1), para extrair a raiz quadrada de –121, bastaria

sabermos quanto vale a raiz quadrada de –1. Se representarmos a raiz quadrada de

–1 por i, esse número imaginário, teríamos: –1 = i2, ou seja, 1i . Em

consequência, i.111.121121 .

Analogamente, seria possível expressar a raiz quadrada de qualquer número

negativo: i.31.99 ; analogamente, i.7.7 , e assim por diante.

Insistimos que, por enquanto, é feito apenas um exercício de imaginação: se existir

um número que seja a raiz quadrada de –1, então as raízes quadradas de todos

os números negativos poderão ser expressas com base nesse número; chamando tal

número imaginário de i, temos, por exemplo, que

i.51.25)1(.2525 .

b) Substituindo 121 por 11i na expressão 33 12121212 x ,

obtemos: 33 112112 iix .

c) Ao elevar ao cubo o “número” 2 + i, que é uma “mistura” de uma parte real com

uma parte imaginária, verifica-se que, efetuados os cálculos, obtemos (2 + i)3

= 2 + 11i.

De fato, temos:


6

(2 + i)3 = 23 + 3 . 22 . i + 3 . 2 . i2 + i3 => (2 + i)3 = 8 + 12 . i + 6 . i2 + i2 . i

Como i2 = –1, segue que:

(2 + i)3 = 8 + 12i + 6 . (–1) + (–1) . i, ou seja, (2+ i)3 = 2 + 11i

De modo análogo, pode ser mostrado que uma raiz cúbica de 2 – 11i é 2 – i.

d) Substituindo os valores das raízes cúbicas encontradas, temos:

33 .112.112 iix , ou seja, x = 2 + i + 2 – i = 4. Assim, reconcilia-se a

fórmula com o fato concreto de que a equação tinha x = 4 como uma de suas raízes.

Como se vê, pode ser conveniente atribuir significado às raízes quadradas de

números negativos. Será mostrado mais adiante de que modo os novos números

assim construídos – os chamados números complexos – são uma extensão natural

muito fecunda dos conhecidos números reais.

Páginas 12 - 13

1.

234

210

2.2

12.2.4)10()10(

2

4

12

10

2

01210222

2

xouxx

a

acbbx

c

b

a

xx

2.

a) por verificação, encontramos x = 2, pois 23 – 2 – 6 = 8 – 8 = 0.

b) como a soma dos coeficientes da equação é igual a 0, podemos concluir que

x = 1 é uma das raízes.

x3 – 2x2 – x + 2 = 0.

para x = 1 13 – 2 . 12 – 1 + 2 = 0.


7

Página 13

1.

a) – 2 – i.

b) 12 – 3i.

c) – 81 + 79i.

d) 170.

e) – i.

f) i.


8

Páginas 14 - 17

1.

a) (x – m).(x – p).(x – k) = 0

b) (x – 2).(x – 3).(x – 4) = 0

c) 02426904.3.2)4.34.23.2()432( 2323 xxxxxx

d) a

b é igual à soma das raízes da equação com sinal trocado,

a

c é igual à soma dos

produtos das raízes tomadas duas a duas e a

d é igual ao produto das raízes com o

sinal trocado.

2.

a)

244.3).2(

24.34).2(3).2(...,5432 32312123211

P

errrrrrSrrrS

b) (x + 2).(x – 3).(x – 4) = 0

c) 02425 23 xxx


DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA: RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES

Soma das raízes

Produto das raízes


9

3.

305.3.2

315.35.23.2...,10532 32312123211

P

errrrrrSrrrS

Logo, a equação será: 0303110 23 xxx

Páginas 17 - 18

1.

a)

151.5.3

231.51.35.3...,9153 32312123211

P

errrrrrSrrrS


b)

42)3.(7.2

13)3.(7)3.(27.2...,6372 32312123211

P

errrrrrSrrrS


c)

244).3).(2(

144).3(4).2()3).(2(...,1432 32312123211

P

errrrrrSrrrS

Logo, a equação será: 0241423 xxx

2.

a) (x – 2).(x – 3).(x – 4).(x – 5) = 0

b) (x + 2).(x – 3).(x – 4).(x + 5) = 0

c) (x – 1).(x – 0).(x – 3).(x – 7) = 0


10

Páginas 19 - 20

1.

4321432431421321

4342324131214321

234234

...)........(

,......,)(:

,00

rrrra

eerrrrrrrrrrrr

a

d

rrrrrrrrrrrra

crrrr

a

bonde

a

ex

a

dx

a

cx

a

bxedxcxbxax

a) 01201547114 234 xxxx

b) 012014270 234 xxxx

c) 0213111 234 xxxx

2.

a) Observando os coeficientes, pode-se concluir que 24 é igual ao produto das três

raízes. Logo, as possíveis raízes inteiras da equação são os divisores de 24, ou seja,

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Naturalmente, dependendo do valor de k, tal

equação pode não admitir nenhum desses divisores como raiz. O que se pode afirmar

é precisamente o fato de que, se houver raiz inteira, ela terá de ser um dos divisores

de 24.

b) Como a soma das duas raízes simétricas é 0 e a soma das três raízes é 8, então a

terceira raiz deverá ser igual a 8.

c) Como o produto das duas raízes inversas é igual a 1 e o produto das três raízes é

24, então a terceira raiz deverá ser igual a 24.

d) Não é possível que a equação tenha uma raiz nula, pois, nesse caso, o produto

das raízes seria 0, e já vimos que o produto das raízes é igual a 24.


11

3. Como 1 é raiz, substituindo x por 1 devemos ter a igualdade verdadeira;

logo, 1 + 7 + k – 15 = 0, e então k = 7.

Como a soma das três raízes é igual a –7, sendo uma delas igual a 1, a soma das

outras duas deve ser igual a – 8.

Como o produto das três raízes é igual a 15, sendo uma delas igual a 1, o produto das

outras duas é igual a 15.

Logo, além da raiz dada r1 = 1, as outras duas raízes da equação são tais que sua

soma é –8 e seu produto é 15; elas são, portanto, as raízes da equação de 2º grau x2 +

8x + 15 = 0.

Resolvendo tal equação, obtemos r2 = –3 e r3 = –5. Conclui-se que a equação

proposta tem como raízes os números reais 1, – 3 e – 5.


12

Páginas 22 - 24

1.

a) A(1) = 12 – 3 . 1 + 2 = 0 e B(1) = 13 – 2 . 12 – 3 . 1 + 2 = –2

b) 0230)( 2 xxxA ; aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

12

13

22

13

2

13

2

2.1.4)3(3

2

12

x

xx

c) O produto das raízes (a, b e c) do polinômio B(x) é –2.

d) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 2.

Efetuando os cálculos, obtemos:

303

000)3(03

2223

xx

xxxxxx

e) Não, pois os coeficientes de x3 e x2 são diferentes nos dois polinômios.

2.

a) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10.

Efetuando os cálculos, obtemos 2x2 = 8, e então x = 2.

b) Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes nos dois polinômios.


EQUAÇÕES E POLINÔMIOS: DIVISÃO POR X – K E REDUÇÃO DO GRAU DA EQUAÇÃO


13

Páginas 24 - 25

1.

a) Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e

b = 3 = a.

b) Se – 1 é raiz da equação P1(x) = 0, então devemos ter P1(–1) = 0.

Logo, substituindo x por –1 e igualando o resultado a 0, obtemos:

3 . (– 1)5 – 11(–1)4 – 2 . ( –1)3 + 7(– 1)2 – 3 . (–1) + d = 0.

Concluímos, efetuando os cálculos, que d = 2 – 2 3 .

2.

a) Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar que o resultado dá 0, ou seja, que

temos P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 1 como um

fator, ou seja, é divisível por x – 1. Podemos, então, escrever: P(x) (x – 1). Q(x).

0121.71.111.51.21.3)1( 2345 P

b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4, podendo ser escrito na

forma geral: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Devemos ter a identidade:

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 (x – 1).(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).

Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos:

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e

Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos:

Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da

identidade, temos: 3 = a, –2 = b – a, 5 = c – b, –11 = d – c, –7 = e – d, 12 = –e.

Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6, d = –5, e = –12 e então o quociente será:

Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2 – 5x – 12.


14

Assim, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 1,

obtemos o quociente de P(x) por x – 1, chegando ao quociente Q(x); as demais raízes

de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0

Página 26

1.

a) Basta substituir x por 2 em P(x) e verificar que o resultado dá 0, ou seja, que

temos P(2) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 2 como um

fator, ou seja, é divisível por x – 2. Podemos, então, escrever: P(x) (x – 2).Q(x).

0462.72.112.52.22.3)1( 2345 P

b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4. Em sua forma geral,

podemos escrever que Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.

Para determinar Q(x), temos a identidade:

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 (x – 2).(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).

Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos:

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – 2ax4 – 2bx3 – 2cx2 –

2dx – 2e.

Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos:

Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da

identidade, temos:

3 = a, –2 = b –2a, 5 = c – 2b, –11 = d – 2c, –7 = e – 2d, –46 = –2e.

Logo, concluímos que: a = 3, b = 4, c = 13, d = 15, e = 23 e então o quociente será:

Q(x) = 3x4 + 4x3 +13x2 +15x + 23.


15

Em consequência, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes

é x = 2, obtemos o quociente de P(x) por x – 2 e obtemos o quociente Q(x); as

demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0.

Página 27

Páginas 28 - 29

1.

a) Quando P(x) é divisível por x – k, escrevemos P(x) (x – k) . Q(x) e segue que

P(k) = 0.

Quando P(x) não é divisível por x – k, então temos a identidade:

P(x) (x – k).Q(x) + R, onde a constante R é o resto da divisão.

Segue daí que P(k) = R, ou seja, o resto da divisão de P(x) por x – k é igual a P(k).

b) O resto será o valor de P(–3), ou seja, R = P(–3) = –708 + .


16

O cálculo do resto também poderia ser feito por meio do algoritmo de Briot-Ruffini,

utilizado na Leitura e Análise de Texto. Basta proceder como indicado, notando que

ao último coeficiente do polinômio corresponderá, em vez do resto 0, o valor do

resto procurado:

2.

a) Dividindo os coeficientes por 2, obtemos a equação equivalente

x4 – 2

9x3 + 3x2 +

2

11x – 3 = 0.

Escrita dessa forma, já vimos que as possíveis raízes inteiras serão os divisores de

–3, pois esse coeficiente representa o produto das raízes da equação. Calculando os

valores numéricos do polinômio do primeiro membro da equação para

x = ±1 e x = ±3, conclui-se que –1 e 3 são raízes da equação dada.

b) A equação dada é, portanto, equivalente à equação:

(x + 1).(x – 3).(mx2 + nx + p) = 0.

Para encontrar o trinômio mx2 + nx + p e descobrir a quarta raiz da equação, basta

dividir o polinômio do primeiro membro sucessivamente por (x + 1) e (x – 3),

conforme indicado abaixo:

coeficientes de P(x)

3 1 3 0 –7 π

3 –8 27 –81 236 –708 +

coeficientes de Q(x) resto da divisão

raiz –3 3 . (–3) –8 . (–3) 27 . (–3) –81 . (–3) 236 . (–3)


17

2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1).(ax3 + bx2 + cx + d).

2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1).(2x3 – 11x2 + 17x – 6).

Dividindo-se Q1(x) por (x – 3), obtemos Q2(x):

(2x3 – 11x2 + 17x – 6) ≡ (x – 3).(2x2 – 5x + 2)

Conclui-se, então, que:

2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1).(x – 3).(2x2 – 5x + 2).

Resolvendo a equação de 2o grau 2x2 – 5x + 2 = 0, obtemos r3 = 2 e r4 = 2

1

Logo, as raízes da equação dada inicialmente são:

r1 = –1, r2 = 3, r3 = 2, e r4 =2

1.

raiz –1 2 . ( –1) –11 . (–1) 17 . (–1) –6 . (–1)

2 –11 17 –6 0

coeficientes de Q2(x) resto da divisão

coeficientes de P(x)

2 – 9 6 11 – 6

raiz 3 2 . 3 –5 . 3 2 . 3

2 – 5 2 0

coeficientes de Q2(x) resto da divisão

coeficientes de Q2(x)

2 – 11 17 – 6


18

Páginas 33 - 37

1.

a) 3 + 4i + 7 = 10 + 4i

b) 3 + 4i + 7i = 3 + 11i

c) 3 + 4i + 3 – 4i = 6

d) 3 + 4i – (3 – 4i) = 3 + 4i – 3 + 4i = 8i

e) (3 + 4i) . 7 = 21 + 28i

f) (3 + 4i) . 7i = 21i + 28i2 = –28 + 21i

g) 7i . (3 – 4i) = 21i – 28i2 = 28 + 21i

h) [(3 + 4i) . (3 – 4i)]2 = (32 – 42i2)2 = (9 + 16)2 = 625

i) (3 + 4i + 3 – 4i)3 = 63 = 216

j) [3 + 4i – (3 – 4i)]3 = (3 + 4i – 3 + 4i)3 = (8i)3 = 83 . i3 = 512 . i2.i = –512i

k) [7i – (3 + 4i) + 3 – 4i]3 = (7i – 3 – 4i + 3 – 4i)3 = (–i)3 = (–1)3 . (i . i2) = i


NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAÇÃO NO PLANO E SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES (TRANSLAÇÕES, ROTAÇÕES, AMPLIAÇÕES)


19

l) (–7 + 3 + 4i + 3 – 4i)15 = (–1)15 = –1

2.

3.

a) rada

btg o

4451

1

1

O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a

2 .

b) rada

btg o

4

31351

3

3


23 .

c) rada

btg o

3603

3

3


32 .

Os módulos de z1, z2, z3 e z4

são todos iguais a

2333 22

O argumento é o ângulo formado pela reta Oz e o eixo real; no caso de z1, tal ângulo é 45o, e sua tangente é igual a 1.

No caso de z2, o ângulo correspondente é 135º, uma vez que temos Im positivo e Re negativo.


20

d) radtg6

7210

3

3

3

3 0


32 .

Páginas 38 - 41

1.

)44

(cos231

isenz )

4

3

4

3(cos232

isenz

)4

5

4

5(cos233

isenz )

4

7

4

7(cos234

isenz

2.

)

44(cos2

isenz

)

4

3

4

3(cos23

isenz

)

33(cos32

isenz

)

6

7

6

7(cos32

isenz

3.

a)

22cos3

2330|| 1

22221

isenzeyxz


21

b) 00cos30303|| 22222

2 isenzeyxz


22

c) )(cos220)2(|| 32222

3 isenzeyxz

d)

2

3

2

3cos2

2

32)2(0|| 4

22224

isenzeyxz


23

Páginas 41 - 44

1.

a)

33cos2

3

2

3

2

1cos

231)3(1|| 122

1

isenz

sen

ez

b)

3

2

3

2cos2

3

2

2

3

2

1cos

231)3()1(|| 222

2

isenz

sen

ez


24

c)

6

5

6

5cos2

6

5

2

12

3cos

2131)3(|| 322

3

isenz

sen

ez


25

d)

6

11

6

11cos2

6

11

2

12

3cos

213)1()3(|| 422

4

isenz

sen

ez

2.

a)

24

242424

2

2

2

284545cos8

8||

45 000

b

aiiisenz

z

b)

32

2322

2

3

2

14120120cos4

4||

120 000

b

aiiisenz

z


26

c)

3

33333

2

1

2

36150150cos6

6||

150 000

b

aiiisenz

z

d)

3

131

2

3

2

12240240cos2

2||

240 000

b

aiiisenz

z


27

Páginas 45 - 55

1.

a) 00 4545cos8 isenz b) 00 120120cos4 isenz

c) 00 150150cos6 isenz d) 00 240240cos2 isenz

2. Questões (a) e (b) - Quando somamos o real 9 ao complexo z = 5 + 12i, obtemos

como resultado o complexo z’ = 14 + 12i. Nota-se, então, que a imagem de z resulta

deslocada na direção do eixo real 9 unidades no sentido positivo e, quando somamos

o imaginário 6i ao complexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado o complexo z’’ = 5

+ 18i. Nota-se, então, que a imagem de z resulta deslocada 6 unidades na direção do

eixo imaginário, no sentido positivo (ver figura).

Questões (c) e (d) - Analogamente, a imagem do complexo z’ = z – 9 é a de z

deslocada no sentido negativo do eixo real 9 unidades; a imagem do complexo

z’’ = z – 6i é a de z deslocada no sentido do eixo imaginário 6 unidades para baixo

(ver figura).


28

e) Quando somamos o complexo z ao complexo 9 – 6i, a imagem de z resulta

deslocada sucessivamente (em qualquer ordem) para a direita 9 unidades e para

baixo 6 unidades (ver figura).

3.

Questões (a) e (b) - Sendo z = 5 + 12i, o número complexo 2z será igual a 10 + 24i,

ou seja, tem valor absoluto igual ao dobro do de z, mas tem o mesmo argumento de

z. Analogamente, o complexo 2

z será igual a i62

5 , ou seja, tem valor absoluto

igual à metade do de z, mas o mesmo argumento de z (ver figura).


29

4.

a) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo real 5 unidades; a

região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos:

7 + 2i, 11 + 2i e 11 + 6i.

b) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo imaginário 3 unidades;

a região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 2 +

5i, 6 + 5i e 6 + 9i.


30

c) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo real 3 unidades, seguido

de outro na direção do eixo imaginário em 4 unidades. Cada ponto terá um

deslocamento total de valor igual ao módulo do complexo 3 + 4i, que é 5. Os vértices

da região transformada serão os seguintes: 5 + 6i, 9 + 6i e 9 + 10i.

d) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por 2; logo, a região será

ampliada, tendo cada segmento multiplicado por 2 e sua área multiplicada por 4.

Como as distâncias de cada ponto até a origem serão multiplicadas por 2, haverá uma

translação (afastamento da origem) juntamente com a ampliação. Os novos vértices

serão: 4 + 4i, 12 + 4i e 12 + 12i. Os argumentos dos pontos da região não serão

alterados, ou seja, não haverá rotação.


31

e) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por 2

1; logo, a região será

reduzida, tendo cada segmento multiplicado por 2

1 e sua área dividida por 4. Como

as distâncias de cada ponto até a origem serão reduzidas à metade, haverá uma

translação (aproximação da origem) juntamente com a redução. Os novos vértices

serão: 1 + i, 3 + i e 3 + 3i. Os argumentos dos pontos da região não serão alterados,

ou seja, não haverá rotação.


32

5. Queremos multiplicar cada ponto da região indicada pelo imaginário i. Vamos

examinar o efeito de tal multiplicação em cada ponto ao multiplicar um número

complexo z = x + yi por i, e obtém-se: z . i = xi + yi2, ou seja, z.i = – y + xi.

Inicialmente, nota-se que os módulos de z e zi são iguais. Além disso, verifica-se

que, se o argumento de z é e o de zi é ’, então ’ +

2, ou seja,

’ – = 2

(ver figura).

Isso significa que os argumentos de z e de zi diferem de 90º (2

radianos), ou seja, zi

tem argumento igual a + 2

. De maneira geral, ao multiplicar um número

complexo z por i, seu módulo permanece o mesmo, mas seu argumento aumenta de

2

. Em decorrência, ao multiplicar por i todos os pontos da região indicada, ela

manterá seu tamanho, mas sofrerá uma rotação de 90º, conforme mostra a figura:


33

6.

a) Já foi visto que, ao somar um complexo com um número real, a imagem do

complexo resulta deslocada horizontalmente na direção do eixo real; no caso, a

região triangular será deslocada para a direita 9 unidades.

b) A região triangular será deslocada para cima 9 unidades.

c) A região triangular será deslocada para a direita 9 unidades e depois para cima 9

unidades, ou, equivalentemente, para cima 9 unidades e depois para a direita

9 unidades.

As figuras abaixo traduzem as transformações ocorridas em a, b e c.

d) A região será ampliada, cada complexo z tendo seu valor absoluto multiplicado

por 2. Não sofrerá rotação e sua área ficará multiplicada por 4.


34

e) A região será ampliada de um fator 2, tendo sua área quadruplicada; também

sofrerá uma rotação de 90º, correspondente à multiplicação por i.

2010 - caderno do aluno - ensino médio - 3º ano - matemática - vol. 2

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