194-388-1-sm

IDENTIFICACAO DE SISTEMAS PARA ESTUDOS DE TRANSITORIOS

ELETROMAGNETICOS EM SISTEMAS ELETRICOS DE POTENCIA

Tito Ricardo Vaz da Costa, Francisco Damasceno Freitas

Agencia Nacional de Energia Eletrica

SGAN 603 Blocos I e J - Asa Norte

Braslia, DF, Brasil

Departamento de Engenharia Eletrica - Faculdade de Tecnologia - Universidade de Braslia

Campus Asa Norte - Asa Norte

Braslia, DF, Brasil

Emails: [email protected], [email protected]

Abstract This paper presents a methodology for identifying a model of a dynamical system. This model isof interest for transient electromagnetic studies, and especially for the evaluation of fast transients in electricalpower systems. The methodology uses identification technique implemented in Matlab and based on the softwaretermed as vector fitting. The method is used to evaluate the system identification process in a dynamic modelrepresentation of a 9-bus power system. The calculated model (dynamic equivalent) replaces part of the three-phase grid which is assumed as external to the network to be preserved (study area). The transfer functions ofthe original system in the form of discrete points were obtained from the software ATP (Alternative TransientProgram), widely known in the power system electromagnetic transient community. The performance of themethodoly is demonstrated considering several results concerning the parameter identification of curves.

Keywords System identification, dynamical systems, dynamical equivalent, electromagnetic transient, Vec-tor Fitting, otimization.

Resumo O artigo apresenta uma metodologia para a identificacao de modelo de um sistema dinamico paraestudos de transitorio eletromagneticos, tema de interesse sobretudo para a avaliacao de transitorios rapidosem sistemas eletricos de potencia. A metodologia utiliza tecnica de identificacao implementada em Matlab,desenvolvida com base no aplicativo Vector Fitting. A aplicacao e avaliada considerando-se um modelo dinamicorepresentativo de um sistema de potencia com 9 barras. O modelo identificado do sistema (equivalente dinamico)visa substituir parte da rede eletrica trifasica considerada externa a` rede trifasica preservada (area de estudo).As funcoes de transferencia do sistema original, na forma de pontos discretos no domnio da frequencia, foramobtidas a partir do aplicativo ATP (Alternative Transient Program). A partir destes dados, foram identificadosos modelos de interesse. Varios resultados na forma de curvas identificadas demonstram a eficacia da metodologiaproposta.

Palavras-chave Identificacao de sistemas, sistemas dinamicos, equivalentes dinamicos, transitorios eletro-magneticos, Vector Fitting, otimizacao.

1 Introducao

Identificacao de sistemas e um topico de inte-resse nas mais diversas areas de conhecimento.Em sistemas eletricos de potencia, aplicacoes saoencontradas em estudos nos quais se busca ob-ter um modelo reduzido para a representacao deequipamentos (Freitas et al., 2008). Ilustracoesdessa natureza incluem a determinacao dos mo-delos de maquinas sncronas, de reguladores detensao, de velocidade, de controladores suplemen-tares (Kundur, 1994). Outros estudos sao volta-dos para a determinacao de equivalentes dinami-cos (Brito, 2009) e de parametros de curvas, comode corrente, de tensao, de frequencia. Destaca-se ainda o calculo de parametros, como impedan-cias (admitancias) equivalentes, os quais podemser de interesse tanto para estudos envolvendotransitorios eletromecanicos, quanto eletromagne-ticos (Greenwood, 1991).

Com base em estudos de equivalentes dinami-cos, costuma-se dividir um sistema eletrico de po-tencia (SEP) em duas partes: rede interna e rede

externa. Na rede interna, tem-se como objeto deestudo, por exemplo a excursao de um transito-rio. Nessa parte da rede, procura-se manter osdetalhes do modelo matematico original. Por ou-tro lado, na rede externa, o objetivo consiste emse usar um modelo equivalente, de preferencia debaixa ordem e que reproduza adequadamente osefeitos que seriam observados se essa rede fossepreservada. Uma aplicacao pratica e o equivalentede Thevenin (Johnson et al., 1994). Neste equiva-lente, a finalidade e o calculo de uma tensao e deuma impedancia equivalente em um dado pontoda rede. Em alguns estudos, apenas a impedan-cia precisa ser calculada, porque na parte equiva-lentada, o efeito de fontes e desprezvel. Exem-plos desta natureza sao encontrados no estudo deharmonicos (Freitas et al., 2011).

Existem diferentes estudos que abordam solu-coes de equivalentes dinamicos, podendo ser divi-didos em dois grupos principais: (i) metodos nodomnio do tempo e (ii) metodos no domnio dafrequencia.

Segundo Azevedo et al. (2010), os metodos

Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, Vol. 1, N. 1, 2013.

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no domnio do tempo envolvem uma matematicacomplexa e exigem tecnicas de otimizacao, mesmona obtencao de resultados para um modelo equi-valente de sistemas de pequeno porte.

Dentre os metodos no domnio da frequen-cia, destaca-se o metodo de identificacao imple-mentado no software Vector Fitting (Gustavsenand Semlyen, 1999; Gustavsen, 2006; Deschrijveret al., 2008). Este aplicativo permite a identifi-cacao de uma funcao de transferencia na formade um somatorio de fracoes parciais, em que osparametros sao os resduos e os polos. A determi-nacao de cada funcao de transferencia e feita combase em ajuste de curva levando em conta dadosdiscretos no domnio da frequencia. O processode calculo e realizado numericamente, de formaiterativa, partindo de polos complexos conjugadoscomo estimativas iniciais.

Este artigo tem como objetivo utilizar a tec-nica baseada na metodologia do Vector Fitting(Gustavsen and Semlyen, 1999) para identifica-cao de funcoes de transferencia. As funcoes detransferencia escolhidas sao obtidas de estudos detransitorios eletromagneticos, na forma de pontosdiscretos na frequencia. A obtencao destes dadose resultado de simulacoes realizadas no softwareATP (Alternative Transient Program). Os mo-delos a serem identificados, neste artigo, consis-tem de circuitos RLC, com acoplamento, os quaissao caractersticos dos equipamentos que fazemparte de um sistema eletrico trifasico. A faixa defrequencia avaliada se estende de alguns Hz a cen-tenas de KHz. A partir das curvas identificadas, epossvel se avaliar que frequencias sao preponde-rantes. Para avaliar a metodologia, sao efetuadassimulacoes em um sistema de nove barras.

A organizacao do artigo foi concebida comoexplicitado na sequencia. Alem da secao introdu-toria, buscou-se na Secao 2 destacar a metodologiapara identificacao de sistema com base na tecnicaimplementada no Vector Fitting. A Secao 3 e de-dicada a` caracterizacao dos parametros tpicos deum equivalente e como deve-se proceder para obte-los. Testes e resultados sao apresentados na Secao4 e, finalmente, na Secao 5 sao tecidas algumasconclusoes sobre o trabalho.

2 Identificacao de sistema

Nesta secao, descreve-se a metodologia para iden-tificacao de funcoes de transferencia. A metodo-logia adotada e a proposta em (Gustavsen andSemlyen, 1999) e apresentada com melhoramentosem (Gustavsen, 2006; Deschrijver et al., 2008). Oproblema consiste em se determinar uma funcaode transferencia do tipo

G(s) =N

m=1

cms am

+ d (1)

em que os parametros da identificacao sao os re-sduos cm C, os polos am C e o termo detransmissao direta d R. A ordem do modelo eN .

Para efetuar a identificacao dos parametros,sao necessarios os dados de valores discretosG(sk) C, calculados na frequencia complexask = jk. Estes dados podem ser obtidos experi-mentalmente. No entanto, o objetivo neste traba-lho e o calculo de um modelo dinamico para re-presentacao de parte de um sistema por um equi-valente. De modo que a obtencao das informacoesa partir de simulacao e um procedimento valido.

Os dados para identificacao dos parametrosdo equivalente podem ser obtidos a partir de si-mulacao numerica em um software de transitorioseletromagneticos. Com esta finalidade, e necessa-rio efetuar a devida modelagem do sistema e lo-calizar os pontos onde sao aplicados o sinal de en-trada e e realizada a observacao do sinal de sada.Uma aplicacao para identificacao de impedanciasde uma rede trifasica de sistemas de potencia eavaliada na proxima secao.

A tecnica utilizada no aplicativo Vector Fit-ting e iterativa. Portanto, depende de estimativasiniciais de parametros. Tendo em vista que osresduos sao calculados apos a determinacao dospolos, sao necessarias estimativas apenas dos po-los.

Valores de estimativas sugeridas no softwareVector Fitting sao escolhidos, assumindo-se valo-res complexos da forma

an = + j, an+1 = j. (2)

em que = 100

e e uma frequencia discreta emrad/s.

3 Parametros de identificacao tpicos

Na presente secao, descreve-se os tipos de sinaisque sao alvos de identificacao e que, portanto, se-rao avaliados posteriormente. A motivacao e porobter dados relativos a sinais de corrente e de ten-sao de uma rede eletrica trifasica de potencia. Es-tes dados poderao ser acessados em determinadoslocais via procedimento de medicao convencional.O objetivo e identificar sistemas representados nodomnio da frequencia. Para efeito de simplifica-cao, considere a identificacao apenas de sistemascontendo uma entrada e uma sada (single-inputsingle-output - SISO) por vez.

Sendo a rede eletrica trifasica, possveis sinaisde serem medidos incluem, na fase a, a tensao ea corrente, Va e Ia, respectivamente. Da mesmaforma, respectivamente, nas fases b e c, os pares(Vb e Ib) e (Vc e Ic). Tendo estes dados, e possvelcalcular as impedancias proprias Zaa, Zbb, Zcc emutuas Zab, Zac, Zbc que caracterizam o sistemaem determinado ponto de medicao.


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Um equivalente dinamico em um determinadolocal da rede podera ser calculado, separando ocircuito eletrico nesse ponto em duas partes. Umadelas, a externa e aquela na qual se pretende cal-cular o equivalente. A partir deste procedimento elevando em conta apenas esta parcela do sistema,o equivalente trifasico seria caracterizado por umafonte de tensao mais um conjunto de impedanciasproprias e mutuas. Partindo-se da hipotese de quea fonte em regime permanente e puramente senoi-dal, o seu calculo pode ser realizado utilizando fa-sores (calculados a` frequencia industrial da rede),ou seja, para uma unica frequencia e nao sera ob-jeto deste trabalho. Ja as impedancias (ou ad-mitancias) tem impacto em uma vasta gama defrequencias. Em funcao disso, estes parametrossao o foco de atencao nas discussoes que se se-guem.

Um dos procedimentos utilizado para a ob-tencao das impedancias de um equivalente trifa-sico em determinado ponto da rede consiste em seinjetar uma corrente com magnitude igual a 1,0pu entre a terra (referencia) e uma das fases darede. Suponha que a fase a seja a escolhida, inici-almente, para a conexao dessa fonte. Procedendodesta forma, a tensao de interesse entre os termi-nais da fonte sera Va. As demais fases devem serconectadas a` terra. Desta maneira, as correntesque fluirao da terra para as fases b e c, que fo-ram ligadas a` terra, serao Ib e Ic, respectivamente.Com estes dados, torna-se possvel calcular as im-pedancias propria da fase a, Zaa e as mutuas, Zabe Zac. Estes parametros sao calculados no dom-nio da frequencia, para cada frequencia discretak como se segue.

Zaa(jk) = Va(jk) (3)

Zab(jk) = Zba =Va(jk)

Ib(jk)(4)

Zac(jk) = Zca(jk) =Va(jk)

Ic(jk)(5)

Procedimento similar pode ser implementadopara obtencao das demais impedancias, ligando-seem seguida a fonte fictcia, por exemplo na fase b,e finalmente, completando o experimento, na fasec. Note-se que as impedancias mutuas entre duasfases sao iguais, uma vez que o circuito e passivo.

A seguir sao apresentados testes e resultadosque ilustram calculos e identificacao de impedan-cias equivalentes em um sistema eletrico de poten-cia.

4 Testes e resultados

Com o objetivo de efetuar testes visando o cal-culo das impedancias de um equivalente conforme

metodologia discutida na secao anterior, utilizou-se um sistema eletrico de potencia (Carramaschi,2010), com representacao trifasica. O sistema temnove barras, tres geradores, tres transformado-res elevadores, seis linhas de transmissao e trescargas. O diagrama unifilar na Figura 1 exibeilustracao visual de como os equipamentos estaoconectados. Neste sistema e tendo em vista a

Figura 1: Sistema de nove barras simulado

faixa de frequencia avaliada, as linhas de trans-missao (LTs) tem um papel de destaque na mode-lagem. Dependendo da natureza do estudo, di-versas sao as modelagens adotadas para repre-sentar uma LT (Greenwood, 1991). No presenteartigo, considerou-se que cada linha seja balan-ceada e perfeitamente transposta, consistindo decircuito em PI, contendo impedancias series pro-prias e mutuas, alem de capacitancias shunts emutuas. Os dados para calculo desses parametrosem termos valores de sequencia positiva e zero es-tao nas Tabelas 1 e 2. Na tabela 1, R0 e R1 saoas resistencias de sequencia zero e positiva, res-pectivamente. O comprimento da linha e . NaTabela 2, os dados sao de reatancia de sequenciazero, X0, e positiva, X1; ainda, de capacitanciasde sequencia zero, C0, e positiva, C1. Todos es-tes parametros sao por unidade de comprimento.As cargas foram modeladas por impedancia cons-tante em cada fase, representadas por uma resis-tencia em serie com uma indutancia. Os trans-formadores foram representados apenas por suasindutancias de dispersao. Portanto, a menos dosgeradores, a rede pode ser considerada como lineare passiva. Maiores detalhes poderao ser acessadosem (Carramaschi, 2010).

O objetivo das simulacoes e calcular um con-junto de impedancias equivalentes vistas da barra7. Ou seja, procura-se preservar apenas a barra 2e a 7, nas quais estao ligados o gerador na barrade 18 kV e o lado de alta tensao do transforma-dor elevador. Portanto, desconectando-se o ladode alta do transformador na barra 7, o sistemafica separado em duas porcoes. Ao se aplicar a


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Tabela 1: Parametros resistivos de linha e com-primento da linha

Ligacao R0(m/km) R1(m/km) (km)4-5 0,1587 0,0529 804-6 0,2698 0,08993 1005-7 0,5078 0,1693 806-9 0,6189 0,2063 1007-8 0,1686 0,0562 708-9 0,1889 0,0629 100

Tabela 2: Parametros indutivos e capacitivos delinha, por unidade de comprimento (km)

Ligacao X0(m) X1(m) C0(F ) C1(F )4-5 1,349 0,4497 0,02648 0,008834-6 1,46 0,4867 0,02377 0,007925-7 2,555 0,8517 0,04603 0,015346-9 2,698 0,8993 0,05385 0,017957-8 1,428 0,4761 0,02802 0,009348-9 1,6 0,5332 0,03144 0,01048

metodologia apresentada na Secao 3, obtem-se asinformacoes de interesse, conforme procedimentodescrito a seguir.

A identificacao das impedancias equivalentesfoi efetuada em duas etapas. Inicialmente, curvasem frequencia de tensao e de corrente, foram obti-das a partir do software ATP. Os resultados destassimulacoes foram gravados em arquivos e da aces-sados pelo aplicativo Vector Fitting, finalizando-seo processo de identificacao.

A geracao das curvas no domnio da frequen-cia foi realizada no ATP por meio da rotina fre-quency scan. A faixa de frequencia consideradacompreende o intervalo entre 0,1 Hz e 100 kHz.No entanto, em funcao dos modelos estabelecidospara os equipamentos, contribuicoes relevantes saoobservadas em faixa mais restrita que se estendedesde algumas dezenas de Hz ate alguns kHz.

Para fins de identificacao das impedanciasequivalentes, os dados gerados a partir do soft-ware ATP foram utilizados como entrada para oaplicativo Vector Fitting. De acordo com a carac-terstica numerica da curva, este software admiteajuste em algumas de suas variaveis, possibili-tando convergencia apropriada durante o processoiterativo. Durante o processo de identificacao foipossvel identificar sistema com polos instaveis eque propiciavam excelente aderencia entre a curvaoriginal e a curva identificada. Entretanto, estaflexibilidade, embora com numero de polos bemreduzido, foi desconsiderada, pois o sistema origi-nal e passivo e estavel. Em funcao disto, impos-seao software calcular somente polos estaveis. Umaoutra restricao estabelecida foi admitir a existen-cia de termo d diferente de zero em (1), visto que

nessa equacao e na modelagem do sistema testeem questao, em muito altas frequencias, as impe-dancias tendem a um valor constante. No entanto,fixou-se este termo em zero.

Na simulacao com o Vector Fitting, cadacurva na faixa de frequencia fixada foi discretizadaem 2401 pontos. Cada funcao de transferencia foimodelada por 20 polos. As estimativas iniciais dospolos foram estabelecidas considerando o procedi-mento sugerido no aplicativo Vector Fitting, con-forme (2) e com base nas frequencias de pico dografico de magnitude. A partir dos picos foram fi-xados 16 polos. Os 4 restantes foram distribudoslinearmente de acordo com o procedimento ilus-trado em (2). Neste processo, as frequencias ondeocorrem os picos no grafico de magnitude da fun-cao de transferencia sao utilizadas como a parteimaginaria de um polo complexo. A parte real dopolo foi calculada considerando um valor negativocorrespondente a 1% da parte imaginaria (ver su-gestao em (2)).

A Figura 2 ilustra uma visualizacao no planocomplexo da posicao dos polos identificados paraa funcao de transferencia referente a` impedanciapropria Zaa. Ha tambem um polo real igual a-822,3, nao visualizado na figura. E possvel seconstatar que todos os polos estao no semi-planoesquerdo do plano complexo.

160 140 120 100 80 60 40 20 06000

4000

2000

0

2000

4000

real(am

) [s1]

ima

g(a

m) [

rad/

s]

Figura 2: Polos identificados ao se considerar acurva da impedancia propria Zaa

Para o calculo das impedancias equivalentes,foram inicalmente identificados os sinais de ten-sao Va, e de corrente Ib e Ic. A fonte de correntefictcia foi fixada com magnitude igual a 1,0 A efase 120o. Em seguida, procedeu-se ao calculodos valores de impedancias a cada frequencia dis-creta. A Figura 3 exibe o grafico da magnitudeda impedancia propria Zaa, em ohms, calculadaa partir dos valores de corrente e tensao gerados


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101 102 103 104 10580

60

40

20

0

20

40

60

80

f(Hz)

|Za

a(j

)|

(d

B)

originalidentificadodesvio absoluto

Figura 3: Resposta em frequencia da magnitudeda impedancia propria Zaa

101 102 103 104 105100

80

60

40

20

0

20

40

60

80

f(Hz)

Fas

e de

Zaa(j

) (gr

aus)


Figura 4: Resposta em frequencia da fase da im-pedancia propria Zaa

em simulacao, e considerando a curva identificada.O erro absoluto no grafico indica que a aderenciaentre as duas curvas de impedancias e bastanteelevada. Note-se que esse erro esta na mesma es-cala que os valores medidos. As curvas relativas a`fase de Zaa sao mostradas na Figura 4. Tambem,a discrepancia entre as curvas original e a identi-ficada e desprezvel, conforme pode ser observadopelo erro absoluto calculado.

O grafico na Figura 5 e referente a` magnitudeda impedancia mutua Zab. Novamente, o processode identificacao adotado levou ao calculo de para-metros que gera curva identificada praticamentecoincidente com a curva original.

Foi verificado numericamente que a impedan-cia Zac e igual a Zab. Outras simulacoes foramrealizadas com o objetivo de calcular as demaisimpedancias. Da mesma forma, as impedanciasproprias apresentaram resultados muito proximosao de Zaa, assim como as impedancias mutuastiveram resultados praticamente identicos aos deZab. Estes resultados eram esperados, uma vezque assumiu-se que as linhas sao perfeitamente

101 102 103 104 105500

400

300

200

100

0

100

f(Hz)

|Za

b(j

)| (d

B)


Figura 5: Resposta em frequencia da magnitudeda impedancia mutua Zab

transpostas e balanceadas. Alem disso, os demaisequipamentos trifasicos foram supostos perfeita-mente equilibrados.

5 Conclusoes

Neste artigo, foi proposta uma metodologia paraidentificacao de curvas de resposta em frequen-cia de uma funcao de transferencia. O processode identificacao e baseado em tecnica de otimiza-cao para calculo de polos e resduos, implemen-tado no aplicativo Vector Fitting. Este softwarefoi utilizado para calcular as impedancias equiva-lentes vistas dos tres terminais de fase de parteselecionada de um sistema eletrico de potencia denove barras. Esta parte da rede foi isolada, cons-tituindo circuito no qual se considerou como umequivalente. As impedancias do equivalente for-mam uma matriz de dimensao 3 3, em que cadaelemento representa uma funcao de transferencia.As funcoes de transferencia foram identificadas apartir de dados no domnio da frequencia geradosno aplicativo ATP. Cada funcao de transferenciafoi modelada com 20 polos. Os parametros obtidosno processo de identificacao permitiram que fos-sem calculadas curvas praticamente coincidentescom aquelas originais, representadas pelos pontosdiscretos no domnio da frequencia.

Os resultados obtidos demonstram que a com-binacao de simulacoes de redes no aplicativo ATP,assim como identificacoes realizadas utilizando osoftware Vector Fitting constiuem-se em impor-tantes ferramentas para calculo de redes equiva-lentes. Em trabalhos futuros, os autores preten-dem estender a metodologia para redes em quelinhas muito longas possam ser tambem includas.Adicionalmente, que incluam os efeitos da varia-cao da frequencia sobre os parametros.


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Agradecimentos

O segundo autor registra o seu agradecimento aoDPP/UnB pelo apoio a esta pesquisa.

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