11ª Edição – Fevereiro 2010 Calheta

2009/2010

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Curiosidades:Curiosidades:Curiosidades:Curiosidades:

Instalados ao longo do Vale do Nilo, os antigos Instalados ao longo do Vale do Nilo, os antigos Instalados ao longo do Vale do Nilo, os antigos Instalados ao longo do Vale do Nilo, os antigos Egípcios ocupavam terras Egípcios ocupavam terras Egípcios ocupavam terras Egípcios ocupavam terras cuja fertilidade era devida às cuja fertilidade era devida às cuja fertilidade era devida às cuja fertilidade era devida às cheias que periodicamente ocorriam naquele rio.cheias que periodicamente ocorriam naquele rio.cheias que periodicamente ocorriam naquele rio.cheias que periodicamente ocorriam naquele rio.

Após as inundações era necessário restabelecer os Após as inundações era necessário restabelecer os Após as inundações era necessário restabelecer os Após as inundações era necessário restabelecer os limites das propriedades, o que levou os Egípcios a limites das propriedades, o que levou os Egípcios a limites das propriedades, o que levou os Egípcios a limites das propriedades, o que levou os Egípcios a desenvolverem técnicas de medição de terrenos e de desenvolverem técnicas de medição de terrenos e de desenvolverem técnicas de medição de terrenos e de desenvolverem técnicas de medição de terrenos e de construção de figconstrução de figconstrução de figconstrução de figuras geométricas.uras geométricas.uras geométricas.uras geométricas.

Para rirPara rirPara rirPara rir

Na Escola: 'Professora, não quero alarmá-la, mas o meu

pai diz que se as minhas notas não melhorarem, alguém vai levar uma sova!'

Zezinho: O Sr Professor era capaz de me castigar por uma coisa que eu

não fiz? Professor: 'Claro que não, menino Zezinho'. Zezinho: 'É que eu não fiz o trabalho de casa!'

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Observa o quadrado representado em baixo.

Vamos fazer uma magia:Vamos fazer uma magia:Vamos fazer uma magia:Vamos fazer uma magia:

Reproduz o quadrado num papel quadriculado, traça as linhas que

aqui vês e corta-o por essas linhas.

Resultam quatro peças.

Com essas quatro peças faz um rectângulo…

Bem te disse que íamos fazer magia!

Área mágicaÁrea mágicaÁrea mágicaÁrea mágica

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Para descontrair: Para descontrair: Para descontrair: Para descontrair: Pinta todos os múltiplos de 8.Pinta todos os múltiplos de 8.Pinta todos os múltiplos de 8.Pinta todos os múltiplos de 8.

Desafio1:Desafio1:Desafio1:Desafio1: Descore lá…Descore lá…Descore lá…Descore lá…

Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a

tua idade. Quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossas

idades será de 45 anos. Quais são as nossas idades?

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E esta adivinhas?E esta adivinhas?E esta adivinhas?E esta adivinhas?

Se eu te der uma ovelha das minhas, ficas tu com

o dobro das minhas; se tu me deres uma, ficamos

iguais. Quantas ovelhas temos cada um de nós?

Desafio2:Desafio2:Desafio2:Desafio2:

Utilizando três recipientes como os indicados abaixo, como

é possível obter, em um deles, 5 litros de água?

CCCCuriosidadeuriosidadeuriosidadeuriosidade

O fabuloso nº 142857

Este número, multiplicado por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 ou 9, tem como

resultado outro número cujos algarismos estão na mesma ordem

do original. Mas se o resultado tiver 7 algarismos ao invés de 6,

basta somar o primeiro com o último número para se obter

novamente a sequência.

7

Veja:

142857777 x 5 = 777714285

142857777 x 8 = 1111142856666, somando os extremos (1 + 6) = 7 -> 714285

O melhor de tudo é que você não precisa pegar o 142857, pode

pegar qualquer número com os 6 algarismos nessa sequência, que

todos eles têm essa propriedade. Veja:

428571 x 2 = 857142

285714 x 3 = 857142

285714 x 9 = 2571426, somando os extremos (2 + 6) = 8 -> 857142

E se você multiplicar qualquer desses números que têm esses

algarismos nessa sequência por 7 ou por um múltiplo de 7, você

encontrará uma sequência de 9. E novamente se houver mais de 6

algarismos, quase todos serão 9, os que não forem, somados darão

9. Veja:

857142 x 7 = 5999994 (5 + 4 = 9)

571428 x 49 = 27999972 (2 + 7 = 9)

714285 x 14 = 9999990 (9 + 0 = 9)

Desafio 3Desafio 3Desafio 3Desafio 3 Páginas de um livroPáginas de um livroPáginas de um livroPáginas de um livro

Para numerar as páginas de um livro,

consecutivamente desde a primeira página, são

usados 852 algarismos. Quantas páginas tem o

livro?

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CURIOSIDADE:CURIOSIDADE:CURIOSIDADE:CURIOSIDADE: Existem diversos provérbios que envolvem o número dois.

Tal como prometido aqui estão mais dois provérbios! Esperem

pela próxima edição, porque ainda há mais :)

"Matar dois coelhos numa cajadada só". "Mais vale um toma do que dois te darei".

Humor:Humor:Humor:Humor:

Enigma 1Enigma 1Enigma 1Enigma 1 Quadrados e cubos

Só existe um número de dois algarismos (entre 10 e 99) que é simultaneamente um quadrado e um cubo perfeito. Qual é esse número?

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Desafio 4Desafio 4Desafio 4Desafio 4 Quadrados pares, pares em quadrados?

O Zéfiro tem um jogo com o tabuleiro ao lado.

Escolhendo números consecutivos deste

diagrama ele pode formar quadrados de

várias dimensões. Por exemplo:

Quantos são os quadrados deste tipo, de qualquer tamanho, tais que

a soma dos seus números é um número par?

Dica:Dica:Dica:Dica:

Pensa em quantos números ímpares precisa um quadrado de ter para

que a soma de todos os seus números seja um número par.

HumorHumorHumorHumor

Professor de matemática: Vamos supor então que o número de ovelhas

é X. Estudante: O que acontece se o

número de ovelhas não for X?

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DesafioDesafioDesafioDesafio 5555

Números triangulares

O Zéfiro descobriu os números triangulares, números que podem ser descritos como a soma do número de quadrados que formam um triângulo. Por exemplo, T5 representa-se por: Assim, T5 = 1+ 2 + 3+ 4 + 5 = 15. Consegues ajudar o Zéfiro a encontrar o 2007º número triangular, ou seja, a saber o valor de T2007? Dica: Pensa como podes calcular T2007 + T2007.

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Soluções Método dos PONTOS E LINHAS: 6 x 4 = e 7 x 5 = Método das ADIÇÕES SUCESSIVAS:

8 x 6 = 6+6+6+6+6+6+6+6=48 4 x 9 = 9+9+9+9 =36

Desafio1:

Desafio2: Quadrado ao quadrado Primeiro retirar o palito vertical superior da "cruz" central. Depois, tirar o palito horizontal da direita. Assim, ficarão dois quadrados: um menor, no canto inferior à esquerda, que fica dentro de um quadrado maior. Desafio3: Para conseguires descobrir a que horas o José e o Rufino se encontram basta resolveres a equação em que a distância

6 X 4= 24 7 X 5= 35

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percorrida pelo Rufino adicionada à distância percorrida pelo José é igual ao total do percurso:

30 90 480 4t t t horas+ = ⇔ = . Sendo, assim encontram-se passadas 4 horas.

Enigma 1 - Braço de Ferro São 15 jogos. Ora o amigo 1 tem que fazer 5 jogos, o amigo 2 como já jogou com o amigo 1 tem ainda 4 jogos, o amigo 3 já jogou com o amigo 1 e o amigo 2 só lhe falta 3 jogos, o amigo 4 já jogou como amigo 1, o amigo 2 e o amigo 3 logo só falta 2 jogos, enquanto o amigo 5 só joga com o amigo 6 porque já jogou com os outros. Enigma 2 – Em simultâneo O próximo dia em que a Maria e o Paulo estarão a trabalhar juntos, no restaurante, será na quarta-feira da 3ª semana. Estrela de números! Para o círculo com 8 pontos que aparece, podemos verificar que com passos de 1 em 1, de 3 em 3 ou de 5 em 5 conseguimos passar por todos os pontos (figura à esquerda), enquanto isso já não acontece ao usarmos passos de 2 em 2, de 4 em 4, de 6 em 6 ou de 8 em 8 (figura à direita).

Repara que com passo 5 obtemos o mesmo resultado que com passo 3, e que com passo 6 obtemos o mesmo resultado que com passo 2. Além disso, saltando pontos de 8 em 8 apenas atingimos o ponto de onde partimos. Contando o nº de pontos que é atingido com cada um destes passos observamos que estes são 4 se o passo é 2 ou 6, 2 se o passo é 4, e 1 se o passo é 8, que são o menor nº pelo qual é necessário multiplicar o nº de passos de modo a obter um múltiplo de 8. Neste caso, 2 x 4 = 8, 6 x 4 = 24 = 3 x 8, 4 x 2 = 8 e 8 x 1 = 8. Deste modo, para verificar se um passo atinge todos os pontos de um círculo basta determinar o máximo divisor comum (MDC) entre o nº de pontos e o tamanho do passo. Se o MDC é 1, então o passo alcança todos os pontos do círculo. Por exemplo, procedendo do mesmo modo para um círculo com 10 pontos observamos o seguinte: 1. Passamos por todos os pontos se o passo é 1, 3, 7 ou 9 (neste caso o MDC é 1). 2. Não passamos por todos os pontos se o passo é 2, 4, 6 ou 8 (o MDC é 2), nem se é 5 (o MDC é 5). Então, neste caso, existem 4 passos com os quais conseguimos passar em todos os pontos e esta conclusão funciona para um círculo com qualquer no de pontos. Isto significa que só alcançamos todos os pontos se o MDC for sempre 1, ou seja, se o nº de pontos marcado for um número primo! Fitas e prendas Uma maneira de resolvermos este desafio é construir um modelo, por exemplo um cubo de papel onde marcamos as fitas encarnada, amarela e verde, e depois abri-lo de forma a transformá-lo numa figura com 2 dimensões. Procedendo deste modo e associando letras a cada vértice do cubo inicial, como se vê abaixo, obtemos as seguintes planificações:

Laboratório de Matemática

MatLândia (Antiga Sala de Estudo Pav. 4)

Professores de Matemática

Escola Básica e Secundária da Calheta

Professores organizadores:

Prof. Catarina Ferreira

Prof. Célia Martins

Prof. Marisa Mendes

Prof. Marisa Silva

Prof. Tânia Marinho

e-mail: mnst.labmat@gmail.com Visita-nos: http://matlandiacalheta.blogspot.com/