12ª Edição – Abril 2010

Calheta

2009/2010

O NOSSO BLOG: matlandiacalheta.blogspot.com

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Curiosidades:Curiosidades:Curiosidades:Curiosidades: Um pouco de história...Um pouco de história...Um pouco de história...Um pouco de história... Arquimedes foi um grande matemático Arquimedes foi um grande matemático Arquimedes foi um grande matemático Arquimedes foi um grande matemático que viveu entre 287 que viveu entre 287 que viveu entre 287 que viveu entre 287 a.C.a.C.a.C.a.C. e 212 e 212 e 212 e 212 a.C.a.C.a.C.a.C. Viveu no Egipto e em SiracuViveu no Egipto e em SiracuViveu no Egipto e em SiracuViveu no Egipto e em Siracusa (Itália) e sa (Itália) e sa (Itália) e sa (Itália) e foi quem descobriu uma fórmula para foi quem descobriu uma fórmula para foi quem descobriu uma fórmula para foi quem descobriu uma fórmula para calcular o volume da esfera.calcular o volume da esfera.calcular o volume da esfera.calcular o volume da esfera.

Esta descobEsta descobEsta descobEsta descoberta foi tão importante que foi erta foi tão importante que foi erta foi tão importante que foi erta foi tão importante que foi escrita no seu túmulo.escrita no seu túmulo.escrita no seu túmulo.escrita no seu túmulo.

Muito fácil…Muito fácil…Muito fácil…Muito fácil…

Entre que valores pode variar a pontuação obtida se lançares simultaneamente, • 2 dados? • 3 dados?

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Sabias queSabias queSabias queSabias que............ Antes de ser adoptado em Portugal o actual sistema métrico decimal, criado por decreto a 13/12/1852, usavam-se outras unidades de capacidade.

Para líquidos:Para líquidos:Para líquidos:Para líquidos:

Tonel = 2 pipas = 840 l Pipa = 22 almudes = 420 l quartilhos Almude ou cântaro = 2 potes = 168 l Pote = 6 canadas = 8,4 l Canada = 4 quartilhos = 1,4 l e ainda o meio quartilho e o quarto quartilho. Para secos:Para secos:Para secos:Para secos:

Alqueire = 4 quartas = 13,941 l Quarta = 2 oitavas = 3,46 l Oitava = 2 maquias = 1,730 l

Quadrado mágicoQuadrado mágicoQuadrado mágicoQuadrado mágico

Num quadrado mágico, os números não se repetem e a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é sempre a mesma (soma mágica). Verifica que é mágico este quadrado:

5

Completa os quadrados seguintes de modo a serem quadrados mágicos.

1 8 7

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Desafio Desafio Desafio Desafio 1111 Quatro piratas perdidos no alto mar foram dar a uma ilha deserta, onde só havia um coqueiro. Todos tiveram a mesma ideia de noite, enquanto os outros dormissem, subir ao coqueiro e tirar alguns cocos. E assim foi!

- O primeiro tirou 1

4 dos cocos.

- O segundo tirou 1

3 dos cocos que encontrou.

- O terceiro tirou 1

2 dos cocos restantes.

- O quarto já só encontrou 3 cocos e tirou-os todos.

Quem ficou com mais cocos?

2,6 1,3

1,5 2,1 1,8

1,6 2,2

2,4 1,1

6

Desafio Desafio Desafio Desafio 2222 Os rebuçados da SofiaOs rebuçados da SofiaOs rebuçados da SofiaOs rebuçados da Sofia A Sofia tem um saco com 200 rebuçados. Não sabendo muito bem com quem dividir os rebuçados tirou alguns para ela de modo a ficar com tantos que lhe permitam fazer a divisão pelos seus 2 irmãos ou pelos 7 amigos da natação ou pelos 11 colegas de turma, de modo a que o número de rebuçados que calha a cada um dos grupos seja igual.

Desafio 3Desafio 3Desafio 3Desafio 3

Os PastorOs PastorOs PastorOs Pastores e os carneiroses e os carneiroses e os carneiroses e os carneiros

Um pastor diz para outro: — Dê um de seus carneiros que

ficamos com igual número de carneiros. O outro responde:

— Nada disso, dê-me um de seus carneiros que ficarei com o dobro dos seus. Quantos carneiros têm cada um.

Desafio 3Desafio 3Desafio 3Desafio 3 IgualdaIgualdaIgualdaIgualdadededede

Trocando apenas um único dígito de lugar, faça com que esta igualdade esteja correcta.

110-102=10

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Desafio 3Desafio 3Desafio 3Desafio 3 Número de pessoasNúmero de pessoasNúmero de pessoasNúmero de pessoas

Numa zona da cidade foram construídos apartamentos num total de 2 3 2 33 3 5 5 2× + × − .

Numa outra zona estão a construir mais ( )3

2 3 22 2 2− ×

apartamentos com a mesma dimensão. Em qual das duas zonas será possível alojar mais pessoas?

CCCCuriosidadeuriosidadeuriosidadeuriosidade:::: MultiplicaçõesMultiplicaçõesMultiplicaçõesMultiplicações

Supõe que queres multiplicar dois números com estas características: o primeiro algarismo de ambos é igual; a soma do segundo algarismo de cada um dos números é 10. Por exemploPor exemploPor exemploPor exemplo, queremos efectuar a seguinte multiplicação, sem usar calculadora, nem papel:

76 x 74 O 1.º algarismo de cada um dos números é 7 e a soma dos segundos é

10 (6 + 4 = 10). 1.º passo1.º passo1.º passo1.º passo: Como o 1.º algarismo é 7, calculas 7 x 8 = 56565656; 2.º passo2.º passo2.º passo2.º passo: Multiplicas os dois últimos algarismos de cada um dos números, ou seja, 6 x 4 = 24242424. Ficas então a saber que:

76 x 74 = 5624562456245624 Experimenta com outros números nas mesmas condições destes (não te esqueças que os primeiros algarismos têm de ser iguais e a soma dos segundos algarismos tem de ser 10).

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Desafio 3Desafio 3Desafio 3Desafio 3

Multiplicação RussaMultiplicação RussaMultiplicação RussaMultiplicação Russa

Vamos aprender um outro algoritmo da multiplicação. O

exemplo seguinte mostra como se multiplica 72 por 35. Podes, depois

de ler com atenção este exemplo, experimentar com outros números à

tua escolha.

Colocas um dos números no inicio da coluna

A e o outro no inicio da coluna B.

Na coluna A dividem-se por 2 e coloca-se,

por baixo, o quociente da divisão inteira.

Na coluna B multiplica-se o número por 2 e

escreve-se, por baixo, o resultado dessa

multiplicação.

Sempre que aparece um número ímpar na

coluna A, assinala-se o que lhe corresponde na coluna B, com *

72 x 35 = 280+2240= 2520

O resultado da multiplicação é a soma dos números marcados com *

CURIOSIDADE:CURIOSIDADE:CURIOSIDADE:CURIOSIDADE: Existem diversos provérbios que envolvem o número dois.

Tal como prometido aqui estão mais dois provérbios! Esperem

pela próxima edição, porque ainda há mais :)

"Dois proveitos não cabem num saco só".

"Entre os dois venha o diabo e escolha".

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Humor:Humor:Humor:Humor:

Enigma 1Enigma 1Enigma 1Enigma 1 Combinar pontosCombinar pontosCombinar pontosCombinar pontos Num dado normal os pontos não são dispostos ao acaso, mas sim colocados de modo a que as faces opostas tenham por soma 7: assim, 6 está oposto a 1, 4 a 3 e 5 a 2. Contudo, é possível dispor os pontos nas seis faces de um dado de outras maneiras diferentes. Quantas maneiras existem para fazer isso?

Dica:Dica:Dica:Dica: Experimenta começar por fixar a face que contém o número 1 e pensa nos números que podem pertencer às faces vizinhas.

PoemaPoemaPoemaPoema

Muitos usam a Matemática como tema

dos seus poemas. Por exemplo, António

Aleixo, um poeta popular do século XX,

brincou com a lógica, ao escrever:

Sei que pareço um ladrão…

Mas há muitos que eu conheço

Que, sem parecer o que são,

São aquilo que eu pareço.

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Enigma 2Enigma 2Enigma 2Enigma 2 Jogos de azar

O Zéfiro e um amigo jogam com dois dados, mas não utilizam os

números. Em vez disso eles pintaram algumas faces de vermelho e

outras de azul e lançam os dois dados ao mesmo tempo.

O Zéfiro ganha sempre que as duas faces voltadas para cima são da

mesma cor e o amigo ganha sempre que são de cores

diferentes. Deste modo, são iguais as oportunidades

que cada um tem de ganhar.

O primeiro dado tem cinco faces vermelhas e uma azul.

Quantas faces vermelhas tem o segundo

dado?

Dica:

Tenta descobrir os números de

combinações de duas faces do

dado com a mesma cor.

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matlandiacalheta.blogspot.com, coloca

questões, dúvidas, responde aos enigmas e

desafios!! Participa!

Soluções

Desafio1: Descobre lá…15 e 20 E esta adivinhas? 5 e 7

Desafio 2: Para resolver esta actividade, podem ser seguidas as etapas indicadas na tabela.

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Desafio3: Páginas do livro

01 – 09 � 9 Dígitos

10 – 19 � 20

(…)�8x20

100 – 109 � 30 Dígitos

(…)� 9x30

200 – 209 �30

(…)� 9x30

300 – 309 � 30

310 – 319 � 30

320� 3

Total=189 Total=600 Total=63 Total=189+600+63=852

Logo o total de páginas do livro é de 320.

Enigma 1: Quadrados e cubos

Quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100 (até 100)

Cubos Perfeitos: 1, 8, 27, 64, 125

Logo o número comum é 64

Desafio 4: Podemos formar quadrados com 1, 2, 3, 4 ou 5 quadrados de lado. Além disso, a soma de números

pares é sempre um par, enquanto a soma de números ímpares apenas é um par se tivermos uma quantidade par

de números ímpares. Para que a soma dos números de um quadrado seja um número par, este terá que conter

uma quantidade par de números ímpares. Deste modo, temos os seguintes casos:

1. Todo o quadrado com um número par de elementos de cada lado tem um número par de elementos, pelo que

é constituído por igual quantidade de números pares e ímpares:

4 / 2 = 2 nos quadrados 2 x 2, e

16 / 2 = 8 nos quadrados 4 x 4, logo existem 16 quadrados 2 x 2, e 4 quadrados 4 x 4, cuja soma dos seus

elementos é um número par.

2. Para os quadrados com um número ímpar de elementos podemos ter 1, 3 ou 5 elementos de cada lado.

• Um quadrado com um elemento é simplesmente um número, portanto a soma é o próprio número.

Assim, temos 12 destes quadrados 1 x 1 que contêm um número par.

• Os quadrados 3 x 3 podem conter 4 números pares e 5 números ímpares, ou 5 números pares e 4 números

ímpares, se o 1o elemento (canto superior esquerdo) for um número ímpar ou par, respectivamente.

Interessam-nos pois aqueles cujo 1º elemento é um número par, ou seja:

logo, existem 4 quadrados 3 x 3, cuja soma dos seus elementos é um número par.

• O único quadrado 5 x 5 é o inicial, formado por 13 números ímpares, logo não existem quadrados 5 x 5 cuja

soma dos seus elementos é um número par.

Concluímos então que o número pedido é 16 + 4 + 12 + 4 = 36.

Desafio 5: Números Triangulares

A resposta é T2007 = 2015028. A seguir mostramos duas maneiras de descobrir a solução do problema.

1. Representando geometricamente o número T5 duas vezes, e juntando os respectivos triângulos, obtemos um

rectângulo com 6 unidades de comprimento e 5 de altura.

Daqui concluímos que T5+T5 = 6×5 = 30 e portanto T5 = 15. Do mesmo modo, para um inteiro positivo qualquer,

n, podemos representar Tn +Tn por um rectângulo de dimensão (n+1) × n e então Tn + Tn = (n+1) × n, logo Tn = ((n

+ 1) × n)/2.

Em particular, para n = 2007 temos T2007 = (2008 × 2007)/2 = 2015028.

2. Tal como T5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, podemos obter o 2007 - ésimo número triangular através de T2007 = 1 + 2 +

· · · + 2007 = (0+2007) + (1+2006) + (2+2005) + · · · + (1003+1004)

= 2007 + 2007 + · · · + 2007 = 2007 x 1004 = 2015028.

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Laboratório de Matemática

MatLândia (Antiga Sala de Estudo Pav. 4)

Professores de Matemática

Escola Básica e Secundária da Calheta

Professores organizadores:

Prof. Catarina Ferreira

Prof. Célia Martins

Prof. Marisa Mendes

Prof. Marisa Silva

Prof. Tânia Marinho

e-mail: mnst.labmat@gmail.com

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