11.3 Derivadas Parciais

Luiza Amalia Pinto CantaoDepto. de Engenharia Ambiental

Universidade Estadual Paulista – UNESP

luiza@sorocaba.unesp.br

Derivadas Parciais de uma Funcao de Duas Variaveis em Relacao a x

Definicao: A derivada parcial de f (x, y) em relacao a x no ponto (x0, y0)e:

∂f

∂x

∣∣∣(x0,y0)

=d

dxf (x, y0)

∣∣∣x=x0

= limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h

desde que o limite exista.

Derivadas Parciais de uma Funcao de Duas Variaveis em Relacao a y

Definicao: A derivada parcial de f (x, y) em relacao a y no ponto (x0, y0)e:

∂f

∂y

∣∣∣(x0,y0)

=d

dyf (x0, y)

∣∣∣y=y0

= limh→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h

desde que o limite exista.

Derivadas Parciais de uma Funcao de Duas Variaveis – Combinacao dos dois

casos

Derivadas Parciais de uma Funcao de Duas Variaveis – Observacoes

Notacao: Se z = f (x, y), escrevemos:

• fx(x, y) = fx =∂f

∂x=

∂

∂xf (x, y) =

∂z

∂x= f1 = D1f = Dxf

• fy(x, y) = fy =∂f

∂y=

∂

∂yf (x, y) =

∂z

∂y= f2 = D2f = Dyf

Observacao: Regra para determinar a Deriva Parcial de z = f (x, y):

1. Para achar fx, olhe y como uma constante e diferencie f (x, y) comrelacao a x;

2. Para achar fy, olhe x como uma constante e diferencie f (x, y) comrelacao a y.

Interpretacao

Exemplo: Seja f (x, y) = 4 − x2 − 2y2, ache fx(1, 1) e fy(1, 1) e interpreteesses numeros como inclinacoes.

Interpretacao – Continuacao

fx: fy:

Exemplos

Exemplo (1): Se f (x, y) = sen

(x

1 + y

), calcule

∂f

∂xe

∂f

∂y.

Exemplo (2): Determine∂z

∂xe

∂z

∂yse z e definido implicitamente como uma

funcao de x e y pela equacao:

x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1

Derivada de mais do que duas variaveis

Tres Variaveis: Seja f (x, y, z) uma funcao de tres variaveis x, y e z, entaosua derivada parcial em relacao a x e definida como:

fx(x, y, z) = limh→0

f (x + h, y, z)− f (x, y, z)

h

Se w = f (x, y, z) entao fx =∂w

∂xpode ser interpretada como a taxa de va-

riacao de w em relacao a x quando y e z sao mantidos fixos. Analogamente,podemos calcular fy e fz.

n-variaveis: Seja u = f (x1, x2, . . . , xn). Sua derivada parcial em relacao ai-esima variavel xi e:

∂u

∂xi

= limh→0

f (x1, . . . , xi−1, xi + h, xi+1, . . . , xn)− f (x1, . . . , xi, . . . , xn)

h

=∂f

∂xi

= fxi= fi = Dif

Exemplo (3): Determine fx, fy e fz se f (x, y, z) = exy ln z.

Derivadas Parciais de Segunda Ordem

Definiccao: Quando derivamos uma funcao f (x, y) duas vezes, produzimossuas derivadas de segunda ordem. Essas derivadas sao em geral denotadaspor:

(fx)x = fxx = f11 =∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2=

∂2z

∂x2

(fx)y = fxy = f12 =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y=

∂2z

∂x∂y

(fy)x = fyx = f21 =∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x=

∂2z

∂y∂x

(fy)y = fyy = f22 =∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2=

∂2z

∂y2

A notacao fxy significa que primeiro derivamos com relacao a x e depois emrelacao a y, ao passo que no calculo de fyx a ordem e invertida.

Exemplo (4): Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f (x, y) =x3 + x2y3 − 2y2

Derivadas Parciais de Ordem Superior

Teorema das Derivadas Mistas: Se f (x, y) e suas derivadas parciais fx, fy,fxy e fyx forem definidas em uma regiao aberta contendo um ponto (a, b) etodas forem contınuas em (a, b), entao:

fxy(a, b) = fyx(a, b).

Derivadas de ordem superior: Nao ha um limite teorico para o numero devezes que podemos diferenciar uma funcao desde que as derivadas parciaisexistam. Podemos denota-las, por exemplo, como:

∂3f

∂x∂y2= fxyy,

∂4f

∂x2∂y2= fxxyy, . . .

Exemplo (5): Calcule fxxyz se f (x, y, z) = sen(3x + yz).

Exercıcios Propostos: George B. Thomas – Volume 2

Paginas 281 a 283;

Exercıcios: 1 a 62.