teoria das estruturas-teorico

Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 11

Teoria das Estruturas de Teoria das Estruturas de Comportamento LinearComportamento Linear

FundamentosFundamentos


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras

Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas

O objeto da O objeto da Teoria das EstruturasTeoria das Estruturas éé a a ananáálise estrutural, isto lise estrutural, isto éé, a , a determinadeterminaçção dos estados de tensão e ão dos estados de tensão e deformadeformaçção que se instalam numa ão que se instalam numa estrutura como resposta a uma dada estrutura como resposta a uma dada solicitasolicitaçção.ão.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


A linearidade do comportamento A linearidade do comportamento mecânico mecânico éé uma hipuma hipóótese tese perfeitamente vperfeitamente váálida para a maioria das lida para a maioria das estruturas em funcionamento normal.estruturas em funcionamento normal.

Dessa forma a Dessa forma a Teoria da Elasticidade Teoria da Elasticidade LinearLinear constitui o instrumento mais constitui o instrumento mais importante da animportante da anáálise estruturallise estrutural


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


A Teoria da Elasticidade Linear A Teoria da Elasticidade Linear éé pois, pois, de toda a de toda a Mecânica dos SMecânica dos Sóólidos lidos DeformDeformááveisveis, o ponto de partida , o ponto de partida conveniente e o conjunto de sconveniente e o conjunto de sóólidos lidos conceitos cuja aplicaconceitos cuja aplicaçção ão àà ananáálise lise estrutural se destrutural se dáá pela discretizapela discretizaçção do ão do problema contproblema contíínuo, mediante a nuo, mediante a utilizautilizaçção do conceito lagrangiano de ão do conceito lagrangiano de varivariáável generalizada.vel generalizada.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


As duas contribuiAs duas contribuiçções mais relevantes ões mais relevantes àà Teoria das Estruturas nos Teoria das Estruturas nos úúltimos ltimos anos, foram:anos, foram:

Teoremas Variacionais da Teoria da Teoremas Variacionais da Teoria da ElasticidadeElasticidade, que se considera a base , que se considera a base para se introduzir as teoria mais para se introduzir as teoria mais modernas de aproximamodernas de aproximaçções, base para a ões, base para a resoluresoluçção de problemas atravão de problemas atravéés de s de computadores.computadores.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Desenvolvimento do MDesenvolvimento do Méétodo dos todo dos Elementos FinitosElementos Finitos, cuja importância , cuja importância ééfundamental e imprescindfundamental e imprescindíível para o vel para o estudo dos comportamento das estruturas estudo dos comportamento das estruturas lineares e nãolineares e não--lineares; isso foi posslineares; isso foi possíível vel com o desenvolvimento da matemcom o desenvolvimento da matemáática tica computacional, ponto que permite computacional, ponto que permite processos de discretizaprocessos de discretizaçção robustos e ão robustos e representarepresentaçção grão grááficas dinâmicas dos ficas dinâmicas dos campos de esforcampos de esforçços e solicitaos e solicitaçções.ões.

H

HMCdA1 Henrique Mariano Costa do Amaral; 29/6/2005


Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade

Fundamentos da Teoria Fundamentos da Teoria das Estruturasdas Estruturas


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


As incAs incóógnitas fundamentais na teoria gnitas fundamentais na teoria da elasticidade são representadas por:da elasticidade são representadas por:

O vetor campo de deslocamento:O vetor campo de deslocamento:

O tensor campo de deformaO tensor campo de deformaçções:ões:

O tensor campo de tensões:O tensor campo de tensões:

, , Tu v w=u

, , , , ,T

x y z yz zx xyε ε ε γ γ γ=ε

, , , , ,T

x y z yz zx xyσ σ σ τ τ τ=σ


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


As 15 incAs 15 incóógnitas anteriores, definidas em gnitas anteriores, definidas em um um domdomíínio nio ΩΩ com com contorno contorno ΓΓ, podem ser , podem ser resolvidas pelas 15 equaresolvidas pelas 15 equaçções bões báásicas:sicas:

3 equa3 equaçções de equilões de equilííbrio (brio (EqEq. de Cauchy):. de Cauchy):

6 equa6 equaçções deformaões deformaççãoão--deslocamento:deslocamento:

6 equa6 equaçções constitutivas:ões constitutivas:

; 0como não há movimentoρ ρ∂ + = → =∂ + =

σ B u uσ B 0

T−∂ =ε u 0

*W Wou∂ ∂= =∂ ∂

σ εε σ


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras



Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


onde:onde:WW e e WW** são potenciais acoplados pelo são potenciais acoplados pelo que se chama de que se chama de transformada de transformada de LegendreLegendre::

O vetor O vetor BB éé o vetor das o vetor das forforçças de corpoas de corpo::( ) ( )* TW W+ =ε σ σ ε

, ,T

x y zB B B=B


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Nas equaNas equaçções constitutivas e de ões constitutivas e de deformadeformaççãoão--deslocamento, aparece um deslocamento, aparece um operador matricial operador matricial ∂∂ definido por:definido por:

0 0 0x x y

0 0 0y z x

0 0 0z y x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Como parte fundamental da Como parte fundamental da formulaformulaçção baseada sobre equaão baseada sobre equaçções ões diferenciais, são as condidiferenciais, são as condiçções de ões de contorno prescritas sobre o contorno contorno prescritas sobre o contorno ΓΓ = = ΓΓu u ∪∪ ΓΓpp; onde; onde

ΓΓu u denota o contorno onde denota o contorno onde deslocamentos são prescritos e deslocamentos são prescritos e ΓΓpp denota o contorno onde tradenota o contorno onde traçções são ões são prescritas;prescritas;


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Assim, se tem as seguintes condiAssim, se tem as seguintes condiçções ões de contorno:de contorno:

3 condi3 condiçções de contorno estões de contorno estááticas sobre ticas sobre ΓΓpp ::

3 condi3 condiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas ticas sobre sobre ΓΓuu ::

são valores prescritos− = ∴nσ p 0 p

são valores prescritos− = ∴u u 0 u


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Nas equaNas equaçções de contorno aparece ões de contorno aparece uma matriz denotada por uma matriz denotada por nn que que éé a a matriz dos comatriz dos co--senos diretores, que tem senos diretores, que tem estrutura similar a matriz estrutura similar a matriz ∂∂::

0 0 00 0 00 0 0

x z y

y z x

z y x

n n nn n n

n n n

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


O campo de tensão O campo de tensão σσ e o campo de e o campo de deslocamentos deslocamentos uu são acoplados por uma são acoplados por uma relarelaçção integral chamada de ão integral chamada de teorema da teorema da divergênciadivergência ou ou teorema da teorema da ClapeyronClapeyron::

Que pode ser interpretado como uma igualdade Que pode ser interpretado como uma igualdade entre o trabalho interno (lado esquerdo) e o entre o trabalho interno (lado esquerdo) e o externo realizado por forexterno realizado por forçças de superfas de superfíície e de cie e de corpo.corpo.

T T T Td d dΩ Γ Ω

∂ Ω= Γ− ∂ Ω∫ ∫ ∫σ u u nσ u σ


Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade

EquaEquaçções Constitutivas para ões Constitutivas para Materiais AnisotrMateriais Anisotróópicospicos


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Um material linear elUm material linear eláástico stico éécaracterizado pela caracterizado pela densidade de densidade de energia de deformaenergia de deformaççãoão::

onde onde DD éé uma matriz simuma matriz siméétrica de trica de ordem 6, representando a matriz de ordem 6, representando a matriz de rigidez do material.rigidez do material.

( ) ( ) ( )0 012

TW D= − −ε ε ε ε ε


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Para materiais anisotrPara materiais anisotróópicos, a matriz picos, a matriz DDtem tem 2121 elementos independentes ou elementos independentes ou constantes elconstantes eláásticas.sticas.O vetor de deformaO vetor de deformaçção inicial ão inicial εε00

representa os efeitos devido a mudanrepresenta os efeitos devido a mudançças as de temperaturas, contrade temperaturas, contraçções, etc.ões, etc.Por exemplo, para dilataPor exemplo, para dilataçção devido a ão devido a temperatura se tem:temperatura se tem:

0 0 0 0, , ,0,0,0T

x y zε ε ε ε=

0 0 0; ; ;x x y y z zsT T Tε α ε α ε α= = =


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Onde Onde TT éé a variaa variaçção de temperatura ão de temperatura em Kelvin e em Kelvin e ααxx, , ααyy, , ααzz são os são os coeficientes de expansão tcoeficientes de expansão téérmica em rmica em [K[K--11];];

Para materiais construtivos comuns Para materiais construtivos comuns (a(açço, concreto) podeo, concreto) pode--se fazer:se fazer:

ααxx = = ααyy = = ααz z = 0,000012=12x10= 0,000012=12x10--66


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Combinando a funCombinando a funçção densidade de ão densidade de energia de deformaenergia de deformaççãoão

com as equacom as equaçções constitutivas , obtões constitutivas , obtéémm--sese

( )0

0

W∂= = −∂

⇒ = +-1

σ D ε εε

ε D σ ε

( ) ( ) ( )0 012

TW D= − −ε ε ε ε ε


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Usando a densidade de energia Usando a densidade de energia complementar de uma material elcomplementar de uma material eláástico stico linear, se tem:linear, se tem:

( )*

*0

* 10

12

T T

W d d

W −

∂= ⇒ + =∂

⇒ = + ∴ =

-1ε D σ ε σ Wσ

σ Cσ σ ε C D


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


AnisotropiaAnisotropia total ocorre apenas para total ocorre apenas para materiais especiais arranjados em um materiais especiais arranjados em um sistema triclsistema triclíínico.nico.Um caso menos geral porUm caso menos geral poréém muito m muito importante para a engenharia importante para a engenharia éé a a anisotropia rômbicaanisotropia rômbica com três planos com três planos ortogonais de simetria elortogonais de simetria eláástica, stica, referenciado como referenciado como ortotropiaortotropia..


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Usando as constantes tUsando as constantes téécnicas cnicas EE(modulo de elasticidade), (modulo de elasticidade), νν (coeficiente (coeficiente de Poisson) e de Poisson) e GG (modulo de (modulo de elasticielastici--dadedade transversal), a matriz de transversal), a matriz de conforconfor--midademidade do material, do material, CC, , éé expressa por:expressa por:

yz

zx

xy

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 00 0 0 1 G 0 00 0 0 0 1 G 00 0 0 0 0 1 G

x xy y xz z

yx x y yz z

zx x zy y z

E E EE E EE E E

ν νν νν ν

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Devido a simetria, a matriz C contDevido a simetria, a matriz C contéém m apenas 9 constantes independentes, apenas 9 constantes independentes, pois o bloco superior esquerdo de pois o bloco superior esquerdo de elementos apresentam a seguinte elementos apresentam a seguinte condicondiçção:ão:

xy x yx y

yz y zy z

zx z xz x

E E

E E

E E

ν νν νν ν

===


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Por inversão da matriz de Por inversão da matriz de compatibilidade compatibilidade CC, se acha a matriz de , se acha a matriz de rigidez do material rigidez do material DD::

yz

zx

xy

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 G 0 00 0 0 0 G 00 0 0 0 0 G

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

d d dd d dd d d

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


DenotandoDenotando

Se pode escrever o seguinte:Se pode escrever o seguinte:

Os demais elementos podem ser Os demais elementos podem ser obtidos por uma permutaobtidos por uma permuta

( ) ( )1 xy yx yz zy zx xz xy yz zx yx zy xzξ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν= − + + − +

( )1x zy yz

çção cão cííclica clica dos dos ííndices.ndices.

( ) ( )xx

xy x xy xz zy y yxd E E zx yz yz

d E

d

ξ ν ν

ξ ν ν ν ν ν= − = − ν ξ

= −

=


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Duas formulaDuas formulaçções especiais podem ser ões especiais podem ser feitas para problemas bidimensionais:feitas para problemas bidimensionais:

Estado plano de deformaEstado plano de deformaççãoão, onde, onde

Estado plano de tensãoEstado plano de tensão, onde, onde

0z xz xzε γ γ= = =

0z xz xzσ τ τ= = =


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


A descriA descriçção de ão de estado plano de estado plano de deformadeformaççãoão éé baseado na redubaseado na reduçção da ão da matriz matriz DD, ap, apóós o que as equas o que as equaçções ões constitutivas ficam:constitutivas ficam:

00

0 0

x xx xy x

y yx yy y

xy xy xy

d dd d

G

σ εσ ετ γ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


As relaAs relaçções inversas têm a seguinte ões inversas têm a seguinte forma:forma:

onde onde

00

0 0 1

x xx xy x

y yx yy y

xy xy xy

c cc c

G

ε σε σγ τ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭1

1

xz zxxx

x

xy xz zy yx zx yzxy yx

x y

yz zyyy

y

cE

c cE E

cE

ν ν

ν ν ν ν ν ν

ν ν

−=

− −= =− =−

−=


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


A descriA descriçção do estado plano de ão do estado plano de tensões tensões éé baseado na redubaseado na reduçção da ão da matriz matriz CC, ap, apóós o que as equas o que as equaçções ões constitutivas são:constitutivas são:

1 01 0

0 0 1

x x xy y x

y yx x y y

xy xy xy

E EE E

G

ε ν σε ν σγ τ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Suas relaSuas relaçções inversa têm a seguinte ões inversa têm a seguinte forma:forma:

ondeonde

00

0 0

x xx xy x

y yx yy y

xy xy xy

d dd d

G

σ εσ ετ γ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭

1

1 1

1

xxx

xy yx

xy x yx yxy yx

xy yx xy yx

yyy

xy yx

Ed

E Ed d

Ed

ν νν νν ν ν ν

ν ν

=−

= = =− −

=−


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Introduzindo o conceito de coeficiente Introduzindo o conceito de coeficiente de Poisson equivalente, dado porde Poisson equivalente, dado por

As As úúltimas relaltimas relaçções constitutivas ões constitutivas passam a ter a forma:passam a ter a forma:

xy yxν ν ν=

( )2

14

01 0

10 0 2

x y xx x

y x y y y

xy xyx y y x

E E E

E E E

E E E E

νσ εσ ν ε

ντ γν

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭+ −⎢ ⎥⎣ ⎦


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Em um Em um meio isotrmeio isotróópicopico, todas as , todas as constantes do material são constantes do material são independentes da orientaindependentes da orientaçção dos eixos ão dos eixos coordenados; dessa forma se pode coordenados; dessa forma se pode suprimir os suprimir os ííndices ndices xx e e yy, e as matrizes , e as matrizes CC e e DD nos estados planos de tensão e nos estados planos de tensão e deformadeformaçção são dadas a seguir. ão são dadas a seguir. Observamos que:Observamos que:

( )2 1EG

ν=

+


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras

Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das EstruturasEPTEPT-- Estado Plano de TensãoEstado Plano de Tensão EPDEPD-- Estado Plano de DeformaEstado Plano de Deformaççãoão

CC

DD

( ) ( )

( ) ( )

1 02 1 2 1

1 1 02 1 2 1

0 0 1G

νν ν

νν ν

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

1 02 2

1 1 02 20 0 1

G

ν ν

ν ν

⎛ ⎞− − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

( ) ( )

( ) ( )

2 2 01 1

2 2 01 1

0 0 1

G

νν ννν ν

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( )

( )

2 1 2 01 2 1 2

2 12 01 2 1 2

0 0 1

G

ν νν ν

ννν ν

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠


Materiais ElMateriais Eláásticos sticos LinearesLineares

TransformaTransformaçção de Equaão de Equaçções ões Constitutivas para Materiais Constitutivas para Materiais

OrtotrOrtotróópicospicos


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Em geral, os planos de simetria elEm geral, os planos de simetria eláástica não stica não coincidem com os planos coordenados coincidem com os planos coordenados globais, os quais servem como referencia globais, os quais servem como referencia para uma estrutura por inteira. para uma estrutura por inteira. Assim, Assim, éé necessnecessáário transformar a matriz de rio transformar a matriz de rigidez do material rigidez do material DD (ou a matriz de (ou a matriz de compatibilidade compatibilidade CC) do sistema de ) do sistema de coordenadas local, no qual as constantes coordenadas local, no qual as constantes eleláásticas foram determinadas, no sistema sticas foram determinadas, no sistema de coordenadas global.de coordenadas global.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Essa transformaEssa transformaçção ão éé baseada na baseada na expressão da densidade de energia de expressão da densidade de energia de deformadeformaçção ão WW (ou na densidade de (ou na densidade de energia complementar energia complementar WW**), a qual, ), a qual, sendo um escalar, independe do sendo um escalar, independe do sistema de coordenadas:sistema de coordenadas:

( )2 T T

T T

W ε = = =

= =

ε σ ε Dε

ε σ ε Dε


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Supondo conhecida a matriz definida Supondo conhecida a matriz definida com relacom relaçção ao sistema de ão ao sistema de coordenadas local, se quer achar a coordenadas local, se quer achar a matriz relacionada ao sistema de matriz relacionada ao sistema de coordenadas global.coordenadas global.Restringindo o foco Restringindo o foco àà descridescriçção planar ão planar de um material de um material ortotrortotróópicopico se tem que se tem que o tensor deformao tensor deformaçção ão éé transformado de transformado de acordo com a conhecida facordo com a conhecida fóórmula:rmula:

D

D


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Onde Onde s = s = sensen αα e e c = c = coscos αα

2 21

2 22

2 212 2 2

x x

y y

xy xy

c s css c cs

cs cs c s

ε ε εε ε εγ γ γ

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


De forma compacta se tem:De forma compacta se tem:

Ou aindaOu ainda

Realizando as multiplicaRealizando as multiplicaçções matriciais ões matriciais vêvê--se que:se que:

=ε TεT T T

T

=⇒ =ε Dε ε T DTεD T DT

1 2= +D D D


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Ou aindaOu ainda

onde onde [ ] [ ]1 2 11 12 13 21 22 23D D D D D D= + = +D D D

( )

( )( )( )

2 2 2 222 12

4 2 212 22 12

4 2 222 12

2 2 2 211 22 12

3 2 222 12

3

3 2 222

2 222 12

3 2 213 22 12

12

44

2

2

4

2

2

4

d s G s cD d s c G s c

d s c G sc c s

d s c G sc c s

D d sc G sc c s

d s c G s cD d c G s c

d sc G sc c s

⎧ ⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪

⎧ ⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩

⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪

⎭

− − −

=

⎪ ⎪⎪ ⎪− +

− +

− ⎪⎪ ⎪⎩

−

⎪ ⎭

( )22 2 2 222 12d s c G c s

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

( )( )( )

( )( )( )

( )

4 2 211 12

2 2 4 421 11 12

3

2 2 4 411 12

4 2 222 11 12

3 2 211 12

2 211 12

3 2 211 12

3 2 223 11 12

11 12

2

2

2

d s c d s c

D d s

d c d s c

D d s c d s c

d sc d sc c s

d s c

d s c d sc c

d sc d sc c s

D d s c c s

d d

s

d s c

⎧ ⎫⎪ ⎪+ +⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎪

⎧ ⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

− −

= + −

−

⎪⎩ ⎭

2 2s c

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Como mostrado na figura abaixo, se Como mostrado na figura abaixo, se tem tem dd1111 = d= d1212 = 0= 0, logo os elementos de , logo os elementos de DD22 se anulam e, assim, se anulam e, assim, DD11 corresponde corresponde a rigidez do material danificado por a rigidez do material danificado por fendas na fendas na diredireçção 2 (dão 2 (d2222≠≠0)0) devido ao devido ao cisalhamento.cisalhamento.


Materiais ElMateriais Eláásticos sticos LinearesLineares

Forma Tensorial das Forma Tensorial das EquaEquaçções da Elasticidadeões da Elasticidade


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


A notaA notaçção tensorial ão tensorial éé preferpreferíível nos vel nos problemas em que a notaproblemas em que a notaçção matricial ão matricial se torna complicada.se torna complicada.A notaA notaçção tensorial, ão tensorial, éé particularmente particularmente úútil no mtil no méétodo dos elementos finitos todo dos elementos finitos onde produz expressões simples para onde produz expressões simples para as matrizes de rigidez de certos as matrizes de rigidez de certos elementos importantes. elementos importantes.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Para o estado geral de tensões, a Para o estado geral de tensões, a equaequaçção tensorial ão tensorial éé::

onde onde Dijkl éé o o tensor de rigidez do tensor de rigidez do materialmaterial, que para o caso de materiais , que para o caso de materiais isotrisotróópicos picos éé dado por: dado por:

( )3 3

01 1

klij ijkl klk l

Dσ ε ε= =

= −∑∑

21 2ijkl ij kl ik jlD G ν δ δ δ δ

ν⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Onde Onde δδijij éé um um tensor chamado tensor chamado tensor tensor isotrisotróópicopico (que tamb(que tambéém chamado de m chamado de delta de delta de KroneckerKronecker) assume valores ) assume valores 11(para (para i=ji=j) e ) e 00 (para (para j j ≠≠ ii). ). Similarmente, o tensor de Similarmente, o tensor de compatibilidade de um material compatibilidade de um material isotrisotróópico pico éé dado pordado por

12 1ijkl ik jl ij klCG

νδ δ δ δν

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Agora se pode escrever a relaAgora se pode escrever a relaçção ão inversa da equainversa da equaçção de estado geral de ão de estado geral de tensão:tensão:

da seguinte maneirada seguinte maneira

( )3 3

01 1

klij ijkl klk l

Dσ ε ε= =

= −∑∑

3 3

01 1

klij ijkl klk l

Cε σ ε= =

= −∑∑


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Essas duas equaEssas duas equaçções podem ser ões podem ser escritas omitindo o sescritas omitindo o síímbolo de mbolo de somatsomatóória, assumindo a regra de ria, assumindo a regra de somasomaçção sobre os subscritos ão sobre os subscritos repetidos, da seguinte formarepetidos, da seguinte forma

( ) ( )3 3

0 01 1

3 3

0 01 1

kl

kl

k

k

l

l

ij ijkl kl ij

i

l ll

l lj ijkl kl i

k kk

k klk

j

D D

C C

σ ε ε ε ε

ε σ ε σ ε

= =

= =

= − = −

= − = −

∑∑

∑∑


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


A partir dessas equaA partir dessas equaçções a relaões a relaçção de ão de

deformadeformaççãoão--deslocamento, , deslocamento, ,

na notana notaçção tensorial, ão tensorial, éé dada por:dada por:

12

k lkl

l k

u ux x

ε⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠

0T−∂ =ε u


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


ÉÉ sempre sempre úútil combinar as equatil combinar as equaçções ões constitutivas com a equaconstitutivas com a equaçção deformaão deformaççãoão--deslocamento. Fazendo deslocamento. Fazendo εε0kl0kl = 0= 0, se tem:, se tem:

Esta equaEsta equaçção ão éé vváálida para o lida para o estado plano estado plano de deformade deformaççãoão, com os , com os ííndices de somandices de somaçção ão variando de 1 atvariando de 1 atéé 2.2.

121 2 2

jl iij ij

l j i

uu uGx x x

νσ δν

⎛ ⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜= + + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜− ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


A equaA equaçção tensorial para o ão tensorial para o estado estado plano de tensãoplano de tensão éé obtida da relaobtida da relaçção ão anterior trocando anterior trocando νν por . A por . A simples manipulasimples manipulaçção, leva a:ão, leva a:

( )1νν+

121 2

jl iij ij

l j i

uu uGx x x

νσ δν

⎛ ⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜= + + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜− ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Para retornar da Para retornar da equaequaçção do estado ão do estado plano de tensãoplano de tensão para a para a equaequaçção do ão do estado plano de deformaestado plano de deformaççãoão, deve, deve--se se trocar trocar νν por por

( )1νν−


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Para completar a formulaPara completar a formulaçção, precisaão, precisa--se das equase das equaçções de Cauchy:ões de Cauchy:

na forma tensorial na forma tensorial

∂ + =σ B 0

0iji

j

Bxσ∂+ =

∂


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Com suas respectivas condiCom suas respectivas condiçções de ões de contorno:contorno:

onde os coonde os co--senos diretores senos diretores nnjj são as são as componentes do componentes do versorversor normal ao normal ao contorno.contorno.

0

0

ij j i

i i

n p

eu u

σ − =

− =


PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais

PrincPrincíípio do Trabalho pio do Trabalho VirtualVirtual


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


O O PrincPrincíípio dos Trabalhos Virtuaispio dos Trabalhos Virtuais(PTV) e os (PTV) e os princprincíípios variacionais da pios variacionais da mecânicamecânica, provêem a base de muitos , provêem a base de muitos dos mdos méétodos de aproximatodos de aproximaçção usados ão usados na mecânica, como o na mecânica, como o MMéétodo dos todo dos Elementos Finitos (MEF)Elementos Finitos (MEF), o , o MMéétodo todo dos Elementos de Contorno (MEC)dos Elementos de Contorno (MEC), , etc.etc.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


O O PrincPrincíípio do Trabalho Virtual pio do Trabalho Virtual ––PTVPTV tem duas versões btem duas versões báásicas:sicas:

O O PrincPrincíípio dos Deslocamentos pio dos Deslocamentos Virtuais Virtuais –– PDVPDV; e; eO O PrincPrincíípio das Forpio das Forçças Virtuais as Virtuais –– PFVPFV

A palavra A palavra virtualvirtual aqui significa hipotaqui significa hipotéético, que poderia tico, que poderia ocorrer, embora, de fato, não ocorra. ocorrer, embora, de fato, não ocorra. ÉÉ um deslocamento um deslocamento infinitesimal que se impõe a um ponto ou a um sistema infinitesimal que se impõe a um ponto ou a um sistema rríígido de modo a não alterar a configuragido de modo a não alterar a configuraçção estão estáática ou tica ou geomgeoméétrica do corpo e das fortrica do corpo e das forçças que nele atuam, as que nele atuam, preservando as condipreservando as condiçções de equilões de equilííbrio a que essas forbrio a que essas forçças as estão sujeitas.estão sujeitas.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


PodePode--se dizer que o trabalho virtual se dizer que o trabalho virtual realizado pelas forrealizado pelas forçças externas, quando se as externas, quando se ddáá a uma estrutura deforma uma estrutura deformáável em equilvel em equilííbrio brio um um deslocamento virtualdeslocamento virtual, , éé igual ao trabalho igual ao trabalho realizado pelas forrealizado pelas forçças internas.as internas.Um Um deslocamento virtualdeslocamento virtual consiste em uma consiste em uma translatranslaçção em qualquer direão em qualquer direçção, uma ão, uma rotarotaçção em torno de qualquer eixo ou ão em torno de qualquer eixo ou ambasambas



PrincPrincíípio dos Deslocamentos pio dos Deslocamentos Virtuais Virtuais –– PDVPDV


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Seja um corpo sSeja um corpo sóólido solicitado por lido solicitado por forforçças de superfas de superfíície e de volume, as cie e de volume, as quais induzem um estado de tensões quais induzem um estado de tensões σσem equilem equilííbrio com as mesmas.brio com as mesmas.Em correspondência a este estado de Em correspondência a este estado de tensões existirtensões existiráá um estado de um estado de deformadeformaçções ões εε e um campo de e um campo de deslocamentos u, que definem a deslocamentos u, que definem a configuraconfiguraçção deformada do são deformada do sóólido.lido.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Se si agrega Se si agrega àà configuraconfiguraçção deformada ão deformada de equilde equilííbrio um estado de brio um estado de deslocamentos virtuais deslocamentos virtuais δδuu, fict, fictíícios, cios, com a com a úúnica limitanica limitaçção de que o campo ão de que o campo de deslocamentos finais, de deslocamentos finais, uu++ δδuucontinue satisfazendo as condicontinue satisfazendo as condiçções de ões de contorno, então, sobre a superfcontorno, então, sobre a superfíície cie ΓΓuuse deve ter:se deve ter:

δ =u 0


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Como jComo jáá dito, para se manter o dito, para se manter o equilequilííbrio, o brio, o trabalho virtual realizado trabalho virtual realizado pelas forpelas forçças externasas externas, quando se d, quando se dáá a a uma estrutura deformuma estrutura deformáável em equilvel em equilííbrio brio um um deslocamento virtual deslocamento virtual δδuu,, éé igual ao igual ao trabalho realizado pelas fortrabalho realizado pelas forçças as internasinternas..Assim, o Assim, o PDV PDV éé uma exigência de uma exigência de equilequilííbriobrio, podendo ser aplicado tanto a , podendo ser aplicado tanto a problemas lineares como não lineares.problemas lineares como não lineares.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


O princO princíípio dos deslocamentos virtuais pio dos deslocamentos virtuais –– PDV PDV éé usualmente escrito como:usualmente escrito como:

O lado esquerdo representa o trabalho O lado esquerdo representa o trabalho virtual das forvirtual das forçças internas (tensões x as internas (tensões x deformadeformaçções) enquanto o lado direito ões) enquanto o lado direito corresponde ao trabalho virtual das corresponde ao trabalho virtual das forforçças externas (foras externas (forçças x deslocamenas x deslocamen--tos).tos).

p

T T Td d dδ δ δΩ Ω Γ

Ω= Ω+ Γ∫ ∫ ∫ε σ u B u p


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Os deslocamentos virtuais Os deslocamentos virtuais δδεε e e δδuuprecisam ser cinematicamente admissprecisam ser cinematicamente admissííveisveis. . Isto significa o seguinte:Isto significa o seguinte:

O deslocamento virtual O deslocamento virtual δδuu precisa satisfazer precisa satisfazer as condias condiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas:ticas:

As deformaAs deformaçções virtuais ões virtuais δδεε precisam ser precisam ser ligadas aos deslocamentos virtuais pela ligadas aos deslocamentos virtuais pela relarelaçção:ão:

usobreδ = Γu 0

Tδ δ=∂ε u


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Trocando u por Trocando u por δδuu na equana equaçção de ão de ClapeyronClapeyron (teorema da divergência): (teorema da divergência):

podepode--se transformar a equase transformar a equaçção do ão do PDV em:PDV em:


∂ Ω= Γ− ∂ Ω∫ ∫ ∫σ u u nσ u σ

( ) ( ) 0u

T Td dδ δΩ Γ

∂ + Ω+ − + Γ=∫ ∫u σ B u nσ p


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


A equaA equaçção anterior ão anterior éé satisfeita para satisfeita para deslocamentos virtuais arbitrdeslocamentos virtuais arbitráários rios δδu u apenas se as condiapenas se as condiçções de equilões de equilííbrio brio tambtambéém forem satisfeitas, isto m forem satisfeitas, isto éé::

as equaas equaçções de Cauchy são ões de Cauchy são satisfeitas sobre satisfeitas sobre ΩΩ;;as condias condiçções de contorno são ões de contorno são satisfeitas sobre satisfeitas sobre ΓΓ..

∂ + =σ B 0

− =nσ p 0


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Assim, as equaAssim, as equaççõesões

representam o representam o PrincPrincíípio Geral de pio Geral de EquilEquilííbriobrio..

( ) ( ) 0u

T Td d

sobresobre

δ δΩ Γ

∂ + Ω+ − + Γ=

∂ + = Ω− = Γ

∫ ∫u σ B u nσ p

σ B 0nσ p 0


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


O O PDVPDV pode ser facilmente estendido pode ser facilmente estendido para problemas dinâmicos. De acordo para problemas dinâmicos. De acordo com o com o PrincPrincíípio de Dpio de D’’AlembertAlembert, pode, pode--se tratar as forse tratar as forçças de inas de inéércia, , como rcia, , como forforçças de corpo aplicadas as de corpo aplicadas externamente ( denota a segunda externamente ( denota a segunda derivada parcial com reladerivada parcial com relaçção ao tempo; ão ao tempo; ρρ éé a massa especa massa especíífica).fica).

uρ

u


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Se esse procedimento for realizado, a Se esse procedimento for realizado, a equaequaçção:ão:

se transforma em:se transforma em:

( ) ( ) 0u

T Td dδ δΩ Γ

∂ + Ω+ − + Γ=∫ ∫u σ B u nσ p

( ) ( ) 0u

T Tu d dδ ρ δΩ Γ

∂ + − Ω+ − + Γ=∫ ∫u σ B u nσ p



PrincPrincíípio das Forpio das Forçças as Virtuais Virtuais –– PFVPFV


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Seja agora um campo de deslocamenSeja agora um campo de deslocamen--tos tos uu e um estado de deformae um estado de deformaçções ões compatcompatííveis no qual se introduz uma veis no qual se introduz uma variavariaçção ão δδσσ do estado de tensões. do estado de tensões. Esta variaEsta variaçção ão δδσσ serseráá arbitrarbitráária ria devendeven--dodo o estado de tensões total o estado de tensões total σσ++δδσσsatisfazer as condisatisfazer as condiçções de equilões de equilííbrio e brio e as condias condiçções de contorno sobre a ões de contorno sobre a superfsuperfíície cie ΓΓuu..


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


O O PrincPrincíípio das Forpio das Forçças Virtuais as Virtuais ––PFVPFV éé usualmente escrito como:usualmente escrito como:

O lado esquerdo da expressão acima representa o O lado esquerdo da expressão acima representa o trabalho virtual complementar das fortrabalho virtual complementar das forçças internas, as internas, enquanto o lado direito representa o trabalho enquanto o lado direito representa o trabalho virtual complementar das forvirtual complementar das forçças externas.as externas.

u

u

T T T

T T T

d d d

d d

δ δ δ

δ δΩ Γ Ω

Γ Ω

Ω= Γ+ Ω=

= Γ+ Ω

∫ ∫ ∫

∫ ∫

σ ε p u B u

σ n u B u


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Os campos virtuais Os campos virtuais δσδσ, , δδBB e e δδppprecisam ser estaticamente precisam ser estaticamente admissadmissííveis, isto veis, isto éé, para , para δδBB = 0 em = 0 em ΩΩ e e para para δδpp = 0 em = 0 em ΓΓpp, as condi, as condiçções de ões de equilequilííbrio incluem:brio incluem:

As equaAs equaçções homogêneas de Cauchyões homogêneas de Cauchy

CondiCondiçções de contorno estões de contorno estááticas ticas homogêneas:homogêneas:

sobre∂ + = Ωσ B 0

psobre− = Γnσ p 0


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Usando a equaUsando a equaçção de ão de ClapeyronClapeyron ou ou teorema da divergência teorema da divergência

podepode--se transformar a se transformar a equaequaçção do ão do PFVPFV em:em:


∂ Ω= Γ− ∂ Ω∫ ∫ ∫σ u u nσ u σ

( ) ( ) 0u

T Td dδ δΩ Γ

−∂ Ω+ − Γ=∫ ∫σ ε u p u u


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Esta equaEsta equaçção ão éé satisfeita tensões satisfeita tensões arbitrarbitráárias virtuais rias virtuais δδσσ ((δδp p = = n.n.δδσσ ≠≠ 00sobre sobre ΓΓuu) apenas se as equa) apenas se as equaçções ões cinemcinemááticas tambticas tambéém forem satisfeitas, m forem satisfeitas, isto isto éé,,

RelaRelaçção cinemão cinemáática tica εε--∂∂TTuu==00 em em ΩΩ;;CondiCondiçções cinemões cinemááticas ticas uu--ūū = 0= 0 em em ΓΓuu..

Dessa forma, vêDessa forma, vê--se que se que PFVPFV éé um um princprincíípio da continuidadepio da continuidade..


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Os princOs princíípios variacionais se seguem pios variacionais se seguem diretamente do Princdiretamente do Princíípio do Trabalho pio do Trabalho Virtual Virtual -- PTV:PTV:

O O PrincPrincíípio dos Deslocamentos Virtuais pio dos Deslocamentos Virtuais ––PDVPDV –– leva ao leva ao PrincPrincíípio Variacional de pio Variacional de LagrangeLagrange ou ou PrincPrincíípio de Energia pio de Energia Potencial MPotencial Míínimanima;;O O PrincPrincíípio das Forpio das Forçças Virtuais as Virtuais –– PFVPFV ––leva ao leva ao PrincPrincíípio Variacional de pio Variacional de CastiglianoCastigliano ou ou PrincPrincíípio da Energia pio da Energia Complementar MComplementar Míínimanima..



PrincPrincíípio da Lagrangepio da LagrangePrincPrincíípio da Energia pio da Energia

Potencial MPotencial Míínimanima


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Em um sEm um sóólido ellido eláástico o trabalho stico o trabalho desenvolvido em correspondência com desenvolvido em correspondência com o processo de deformao processo de deformaçção, quando ão, quando esse processo esse processo éé adiabadiabáático, resulta tico, resulta igual igual àà mudanmudançça produzida na a produzida na energia energia interna de deformainterna de deformaççãoão, que , que éé, por , por definidefiniççãoão

( )

( )

1 12 2

2

T Ti

T T

W d d d

WΩ Ω Ω

∏ = Ω= Ω= Ω

∴ = =

∫ ∫ ∫ε ε σ ε Dε

ε ε σ ε Dε


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


A variaA variaçção dessa energia de ão dessa energia de deformadeformaçção ão éé::

T Ti d dδ δ δ

Ω Ω

∏ = Ω= Ω∫ ∫ε σ ε Dε


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Por outro lado, quando as forPor outro lado, quando as forçças de as de corpo corpo BB e de superfe de superfíície cie pp são são independentes dos deslocamentos, independentes dos deslocamentos, podepode--se definir o se definir o potencial das forpotencial das forçças as externasexternas como:como:

T Te d d

Ω Γ

∏ =− Ω− Γ∫ ∫u B u p


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Similarmente, sua variaSimilarmente, sua variaçção ão éé::

T Te d dδ δ δ

Ω Γ

∏ =− Ω− Γ∫ ∫u B u p


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


O princO princíípio de Lagrange nos afirma:pio de Lagrange nos afirma:““Dentre todos os estados Dentre todos os estados cinematicamente admisscinematicamente admissííveis de um veis de um corpo elcorpo eláástico, o estado real stico, o estado real éé aquele que aquele que minimiza a energia potencial total que minimiza a energia potencial total que ééigual a soma da energia interna de igual a soma da energia interna de deformadeformaçção mais a energia potencial das ão mais a energia potencial das cargas externas.cargas externas.””

mínimap i eΠ =Π +Π =


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Os Os estados cinematicamente estados cinematicamente admissadmissííveisveis são especificados por:são especificados por:

Deslocamentos que são contDeslocamentos que são contíínuos e têm nuos e têm derivadas contderivadas contíínuas por partes no nuas por partes no domdomíínio de solunio de soluçção e satisfazem as ão e satisfazem as condicondiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas sobreticas sobreΓΓuu, e, eDeformaDeformaçções que são derivadas dos ões que são derivadas dos deslocamentos usando as equadeslocamentos usando as equaçções ões cinemcinemááticas de deformaticas de deformaççãoão--deslocamento.deslocamento.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Como a energia potencial deve ser Como a energia potencial deve ser mmíínima, então sua varianima, então sua variaçção deve ser ão deve ser nula, logonula, logo

ouou

( ) 0p i e i eδ δ δ δΠ = Π +Π = Π + Π

0T T Tp d d dδ δ δ δ

Ω Ω Γ

Π = Ω− Ω− Γ=∫ ∫ ∫ε Dε u B u p


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


NotaNota--se que a energia potencial se que a energia potencial ΠΠppdepende somente dos deslocamentos depende somente dos deslocamentos uu. Assim a expressão de . Assim a expressão de δΠδΠpp implica implica uma condiuma condiçção a ser aplicada sobre os ão a ser aplicada sobre os deslocamentos.deslocamentos.Por outro lado esse princPor outro lado esse princíípio foi pio foi deduzido a partir do PDVdeduzido a partir do PDV-- princprincíípio dos pio dos deslocamentos virtuais, que representa deslocamentos virtuais, que representa um requerimento de equilum requerimento de equilííbriobrio


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Disso se conclui o princDisso se conclui o princíípio de pio de Lagrange.Lagrange.Para se certificar da natureza do ponto Para se certificar da natureza do ponto estacionestacionáário rio éé necessnecessáário estudar o rio estudar o sinal da segunda variasinal da segunda variaçção da energia ão da energia potencial:potencial:

que que éé a expressão que define uma a expressão que define uma forma quforma quáádrica.drica.

2 Tp dδ δ δ

Ω

Π = Ω∫ ε D ε


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Na expressão da forma quNa expressão da forma quáádricadrica

A matriz A matriz DD éé positiva definida para positiva definida para materiais estmateriais estááveis, logo veis, logo δδ22ΠΠpp serseráásempre positivasempre positiva; portanto o princ; portanto o princíípio da pio da energia potencia menergia potencia míínima indica que o nima indica que o campo de deslocamentos produzidos campo de deslocamentos produzidos por tensões em equilpor tensões em equilííbrio corresponde brio corresponde a um ma um míínimo da energia potencial.nimo da energia potencial.

pΩ

2 T dδ δ δΠ = Ω∫ ε D ε

Prof. Henrique Mariano C. Amaral 90

E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Exemplo• Considere o caso de uma viga

prismática como a indicada abaixo:


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Exemplo

• Desprezando as deformações por efeito de corte, se tem:

( )

0xyv ux y

v dvv v xx dx

γ

θ

∂ ∂= + =∂ ∂

∂∴ = ⇒ =+ =∂


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Exemplo• onde θ é a inclinação da linha neutra

deformada, e

• e mais, como:

dvu y u ydx

θ=− ⇒ =−

2

2x xdu d vydx dx

ε ε= ⇒ =−


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Exemplo• Por outro lado se tem:• Com o que a energia de deformação

da viga resulta ser:

• Donde, o momento de inércia da seção

x xEσ ε=

2 2

2 2

22

20 h b

1 12 2

h bL

transversal da viga é:

i x xd vd E y

⎛ ⎞dxdydz

dxε σ ⎟⎜

Ω − −∫ ⎟Π = Ω= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫ ∫

2 2

2 2

2

h b

h b

y dydz I− −

=∫ ∫


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Exemplo• Dessa forma, se tem:

• Assim, a energia potencial da viga prismática será:

22

20

12

L

id vEI dxdx

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫

22

20 0

12

L L

p i ed vEI dx pvdxdx

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π =Π +Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Exemplo• A primeira variação δΠp resulta:

• A

2 2

2 20 0

L L

pd v d vEI dx p vdxdx dx

δ δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟Π = −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

segunda variação δ2Πp resulta:

∫ ∫

222

20

0L

pd vEI dxdx

δ δ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = >⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫



PrincPrincíípio de pio de CastiglianoCastiglianoPrincPrincíípio da Energia pio da Energia

Complementar MComplementar Míínimanima


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


O PrincO Princíípio de pio de CastiglianoCastigliano pode ser pode ser formulado como o princformulado como o princíípio da energia pio da energia complementar mcomplementar míínima:nima:

““Dentre todos os estados estaticamente Dentre todos os estados estaticamente admissadmissííveis, o estado real veis, o estado real éé aquele que aquele que minimiza a energia complementar:minimiza a energia complementar:

Onde Onde ΠΠ**ii por definipor definiçção ão éé a variaa variaçção da energia ão da energia complementar de tensõescomplementar de tensões ΠΠ**ee éé igual ao igual ao incremento do potencial complementar das incremento do potencial complementar das forforçças externasas externas””

* * * mínimoi eΠ =Π +Π =


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Isto Isto éé::

( )* *i

*

u uΓ Γ

T T Te

W d

d dΩ

Π = Ω

Π =− Γ=− Γ

∫ σ

∫ ∫p u σ n u


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Se as condiSe as condiçções de contorno ões de contorno cinemcinemááticas prescritas sobre ticas prescritas sobre ΓΓuu forem forem homogêneas, isto homogêneas, isto éé, , ūū = 0= 0, então a , então a energia potencial complementar das energia potencial complementar das forforçças externas (trabalho as externas (trabalho complementar) complementar) éé nulo e então:nulo e então:

* * mínimoiΠ =Π =


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Os estados estaticamente admissOs estados estaticamente admissííveis veis precisam satisfazer precisam satisfazer

as condias condiçções de equilões de equilííbrio internas ao brio internas ao corpo (equacorpo (equaçções não homogêneas de ões não homogêneas de Cauchy) e sobre parte de seu contorno Cauchy) e sobre parte de seu contorno (condi(condiçções de contorno estões de contorno estááticas sobre ticas sobre ΓΓpp). ).


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Então para que o funcional Então para que o funcional ΠΠ** seja seja mmíínimo nimo éé necessnecessáário que sua primeira rio que sua primeira variavariaçção seja nula, isto ão seja nula, isto éé::

( )

( )

* *

*

0

u

u

T

T T

W d d

Wd d

δ δ

δ δ

Ω Γ

Ω Γ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜Π = Ω− Γ =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∂

= Ω− Γ=∂

∫ ∫

∫ ∫

σ p u

σσ p u

σ


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Substituindo a derivada parcial do Substituindo a derivada parcial do potencial complementar pela equapotencial complementar pela equaçção ão constitutiva correspondente, se tem:constitutiva correspondente, se tem:

( )*

0

*

*

0

0u

u

T Td d

T T

W

d d

δ δ δ

= = +∂

Π = Ω− Γ=

δ δ δΩ Γ

Ω Γ

∂

Π = Ω− Γ=

∫ ∫

ε Cσ εσ

σ ε p u

∫ ∫

σ

σ Cσ p u


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Assim, tanto o PFV quanto o principio Assim, tanto o PFV quanto o principio da energia complementar mda energia complementar míínima nima levam levam ààs mesmas equas mesmas equaçções:ões:

EquaEquaçções deformaões deformaççãoão--deslocamento (ou deslocamento (ou apapóós a eliminas a eliminaçção dos deslocamentos, ão dos deslocamentos, ààs s equaequaçções de compatibilidade), eões de compatibilidade), e

CondiCondiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas.ticas.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


AssimAssim

O PDV e o princO PDV e o princíípio variacional de pio variacional de

Lagrange estabelecem a base para o Lagrange estabelecem a base para o

mméétodo dos deslocamentostodo dos deslocamentos na na

analise estrutural, pois o principio da analise estrutural, pois o principio da

energia potencial menergia potencial míínima que o nima que o

envolve envolve éé um requisito de equilum requisito de equilííbrio;brio;


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Similarmente, o PFV e o principio Similarmente, o PFV e o principio variacional de variacional de CastiglianoCastigliano estabelece estabelece a base do a base do mméétodo das fortodo das forççasas na na analise estrutural, pois o principio da analise estrutural, pois o principio da energia complementar menergia complementar míínima nima éé uma uma exigência de compatibilidade do exigência de compatibilidade do estado de deformaestado de deformaçções.ões.



PrincPrincíípio de pio de HellingerHellinger--ReissnerReissner


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


O funcional correspondente ao O funcional correspondente ao princprincíípio variacional de pio variacional de HellingerHellinger--ReissnerReissner, ou princ, ou princíípio geral, envolve pio geral, envolve tanto equiltanto equilííbrio como compatibilidade, brio como compatibilidade, e nele se pode variar tanto as tensões e nele se pode variar tanto as tensões e fore forçças como os deslocamentos.as como os deslocamentos.


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


A expressão matemA expressão matemáática do princtica do princíípio pio variacional de variacional de HellingerHellinger--ReissnerReissner éé::

( )

( )

*

0R

T T Td W d d

p u

R

T T Td d

δ

Ω Ω Ω

Γ Γ

Π =

∴Π = ∂ Ω− Ω− Ω

− Γ− − Γ

∫ ∫ ∫σ u σ u B

∫ ∫u p σ n u u


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras

Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das EstruturasNo No princprincíípio variacional de pio variacional de HellingerHellinger--ReissnerReissner os campos os campos uu e e σσsão independentes e requer que as são independentes e requer que as equaequaçções constitutivas sejam ões constitutivas sejam satisfeitas a priori e levam satisfeitas a priori e levam ààs seguintes s seguintes condicondiçções de estacionariedade:ões de estacionariedade:

EquaEquaçções de Cauchy;ões de Cauchy;RelaRelaçções tensãoões tensão--deslocamento;deslocamento;CondiCondiçções de contorno estões de contorno estááticas sobre ticas sobre ΓΓpp;;CondiCondiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas sobre ticas sobre ΓΓuu..


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas

• Exemplo• Seja a viga prismática abaixo com

inércia constante::


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• A energia potencial, neste caso é

• Para aplicar o método de Rayleigh-Ritz escolhe-se como primeira aproximação a família de funções

• Que cumpre as condições de contorno essenciais do problema.

22

20 0

12

L L

pd vEI dx pvdxdx

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫

2v xα=


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• O funcional aproximado será, então

• Aplicando a condição de ponto estacionário se tem:

2 3

0 0

1 14 22 3

L L

p EI dx pvdx EIL pLπ α α α= − = −∫ ∫

3 2

4 03 12p

pL pLEIL aEI

δπ α δ α⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Levando esse resultado à função de

aproximação, se tem:

• Essa solução aproximada não é muito boa, pois produz um momento fletor constante. Assim é necessário uma aproximação com um número maior de termos.

2 22 2

212pL d vv x M EI pL

EI dx= ⇒ = =


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Seja agora a aproximação:

• que substituindo em fica:

2 31 2v x xα α= +

( ) ( )( )( ) ( )

2 2 311 2 1 22

0

2 2 2 3 3 41 1 11 1 2 2 1 22 3 4

2 6

4 6 6

L

p

p

EI x p x x dx

EI L L L p L L

α α α α

α α α α α α

Π = + − +

Π = + + − +

∫

22

20 0

12

L L

pd vEI dx pvdxdx

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Aplicando a condição de estacionariedade,

se tem

• Que equivale a zerar cada parcela do funcional Πp:

1 21 2

p ppδ δα δα

α α∂Π ∂Π

Π = +∂ ∂

( )

( )

2 311 2 3

1

2 3 11 2 4

2

4 6 0

6 12 0

p

p

EI L L pL

EI L L p

α αα

α αα

∂Π= + − =

∂∂Π

= + − =∂


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Resolvendo as duas equações lineares,

se obtém:25

• Que produz no ponto x = L o valor exato do deslocamento, mas não o valor do momento:

12

2

52412 2

oL ⎫⎪⎪

12

pLxEI v Lx xEIpL

EI

α

α

= ⎪ ⎛ ⎞⎪⎪ ⎟⎜⇒ = − ⎟⎬ ⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪=− ⎪⎪⎪⎭

4

8x LpLvEI= =


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Seja agora uma terceira aproximação:

• Fazendo os mesmos procedimentos realizados anteriormente, se encontra:

2 3 41 2 3v x x xα α α= + +

2 2 2

4 6 24px L Lx xvEI

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Esta solução

• Corresponde à uma solução exata (dentro de um intervalo de erro admissível) para o problema dado.

• Usando o MathCad mostra-se a seguir uma tabela comparativa dos valores do deslocamento e momento, para as tresaproximações consideradas.

2 2 2

4 6 24px L Lx xvEI

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

1ª aproximação: 2ª aproximação: 3ª aproximação:

v1 x( )p L2⋅

12 E⋅ I⋅x2⋅:= v2 x( )

p L⋅ x⋅12 E⋅ I⋅

52

⎛⎜⎝⎞⎠

L⋅ x⋅ x2−⎡⎢⎣⎤⎥⎦

⋅:= v3 x( )p x2⋅E I⋅

L2

4L x⋅6

−x2

24+

⎛⎜⎝

⎞

⎠⋅:=

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14Deslocamentos v

v1 x( )

v2 x( )

v3 x( )

x


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O


Mometos Fletores

m1 x( ) 2xv1 x( )d

d

2:= m1 x( )

16

→

m2 x( ) 2xv2 x( )d

d

2:= m2 x( )

512

12

x⋅−→

m3 x( ) 2xv3 x( )d

d

2:= m3 x( )

12

13

x⋅−16

x2⋅+ 4 x⋅1−

6112

x⋅+⎛⎜⎝⎞⎠

⋅+→


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1

0.04

0.02

0.08

0.14

0.2

0.26

0.32

0.38

0.44

0.5Momentos Fletores

0.5

0.083−

m1 x( )

m2 x( )

m3 x( )

L0 x


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das EstruturasFuncional

J1 x( )12

E⋅ I⋅

L

x2x0

v1 x( )dd

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2⌠⎮⎮ d⋅⎮ 0⌡

Lxp v1 x( )⋅

⌠⎮⌡

d−:= J1 x( )1−

72→

J2 x( )12

E⋅ I⋅

0

L

x2xv2 x( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2⌠⎮⎮⎮⌡

d⋅0

Lxp v2 x( )⋅

⌠⎮⌡

d−:= J2 x( )7−

288→

J3 x( )12

E⋅ I⋅

0

L

x2xv3 x( )d

d

2⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

2⌠⎮⎮⎮⌡

d⋅0

Lxp v3 x( )⋅

⌠⎮⌡

d−:= J3 x( )1−

40→


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Seja agora a viga prismática indicada

abaixo (L=10 e p=10):


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Neste exemplo, se sabe que o valor

exato da fecha no ponto onde se aplica a carga concentrada é 1875.

• Para essa viga a expressão da energia potencial é:

22

20

12

L

p x Ld vEI dx Pvdx =

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Se vê na expressão da energia

potencial que a integral que define o potencial das forças externas se transformou em um termo simples, uma vez que a carga é concentrada e não distribuída.

22

20

12

L

p x Ld vEI dx Pvdx =

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O


• Como a viga tem dois trechos com

inércia diferente, o potencial

anterior pode ser reescrito como:

( ) ( )2 22 2 2

1 222 21 2

0 2

1 12 2 x L

L L

pL

d v d vEI dx EI dx Pvdx dx =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟Π = − −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Pelo fato da existência de uma

descontinuidade em L/2 é necessário que a derivada segunda de v também a represente;

• Logo é necessário que se trabalhe com duas funções de aproximação, uma no intervalo de 0 a L/2 e outra no intervalo L/2 a L, ambas porem satisfazendo as condições de continuidade em x=L/2.


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Assim, seja as seguintes funções de

aproximação:

( )

( )

21 1

22 2 3 4

0,2

,2

Lv x x x

Lv x x x x L

α

α α α

⎡ ⎞⎟⎢= ∀ ∈ ⎟⎟⎢ ⎠⎣⎛ ⎤⎜ ⎥= + + ∀ ∈⎜⎜ ⎥⎝ ⎦


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Essas funções precisam cumprir, como

citado, as seguintes condições de continuidade:

( )( )

2 2

1 2 1 2 3 4

1 21 2 3

2 2

3 1 221

4 1 22

2 2 4 4 2

L Lx x

L L L L Lv x v x

dv dv L Ldx dx

LL

α α α α

α α α

α α αα α α

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= = = ⇒ = + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ⇒ = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧ = −⎪⎪∴⎨⎪ =− −⎪⎩


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Assim, eliminando α3 e α4, se obtém

as seguintes expressões para v1 e v2respectivamente:

( )

( )

21 1

2 22

2 1 2

0,2

,2 2 2

Lv x x x

L L Lv x Lx Lx x x L

α

α α

⎡ ⎞⎟⎢= ∀ ∈ ⎟⎟⎢ ⎠⎣⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎤⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎥= − + − + ∀ ∈⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎥⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Fazendo todo o procedimento:

– Substitui no funcional Π;– Acha a condição de estacionariedade: ;– Acha os valores dos coeficientes αi;

0iα

∂Π =∂

– Substitui αi nas equações das funções de aproximação

• Se obtém a seguinte solução:

( )

( )

21

22

2

316316 2 8 2

PLv x x

PL L PL Lv x Lx Lx x

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= − + − +⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠


E

X

E

M

P

L O

E

X

E

M

P

L O

Fundamentos da Teoria das Estruturas• Se adotarmos polinômios de terceiro

grau, e procedendo de forma similar, se obtém a seguinte solução:

( ) 2

( )

1

2 32

2

2 32 2 3

4 123PL L P

PL Pv x x x= −

L4 4 12 4 4

42 4 6 4 3

v x Lx L x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= − − −

PL L P LLx x L x x

+⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ − − + − −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Fundamentos da Teoria Fundamentos da Teoria das Estruturasdas Estruturas

Resumo do ProcessoResumo do Processo


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Pelo que foi visto atPelo que foi visto atéé aqui podeaqui pode--se se afirmar que o processo de soluafirmar que o processo de soluçção ão éé o o seguinte:seguinte:

1 1 –– DeterminaDetermina--se o princse o princíípio variacional pio variacional que rege o problema, atravque rege o problema, atravéés de um s de um funcional funcional ΠΠ;;2 2 –– DesenvolveDesenvolve--se a funse a funçção bão báásica sica uu em em sséérie aproximandorie aproximando--a por a por

0

n

i ii

u αϕ=

≈∑


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


3 3 –– Substitui a funSubstitui a funçção ão uu e suas derivadas e suas derivadas no funcional pela funno funcional pela funçção aproximada, a ão aproximada, a qual deve satisfazer as condiqual deve satisfazer as condiçções de ões de admissibilidade e de contorno;admissibilidade e de contorno;4 4 –– AchaAcha--se a condise a condiçção de ão de estacionariedade do funcional estacionariedade do funcional ΠΠ::

1 21 2

0ii

δ δα δα δα δα α α

∂Π ∂Π ∂Π ∂ΠΠ= + + + + = =∂ ∂ ∂ ∂

αα


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


5 5 –– DaDaíí se obtse obtéém um sistema de m um sistema de equaequaçções algões algéébricas, das quais se pode bricas, das quais se pode determinar os parâmetros determinar os parâmetros ααii..

1

0

n

α

α

⎧ ⎫⎪ ⎪∂Π⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂Π ⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂Π⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

α


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


6 6 –– Se o funcional Se o funcional ΠΠ éé de segunda grau, de segunda grau, isto isto éé, as fun, as funçções ões uu e suas derivadas e suas derivadas aparecem com expoentes menores ou aparecem com expoentes menores ou iguais a dois, se diz que o funcional iguais a dois, se diz que o funcional ΠΠ éélinear, e podelinear, e pode--se reescrever sua variase reescrever sua variaçção ão da seguinte forma:da seguinte forma:

∂Π = + =∂

Kα f 0α


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


Vale observar, antes de concluir esta Vale observar, antes de concluir esta aula, que as equaaula, que as equaçções que se obtões que se obtéém m por meios variacionais são simpor meios variacionais são siméétricas tricas mas tambmas tambéém têm outras vantagens, m têm outras vantagens, como a de se poder escrever o como a de se poder escrever o funcional funcional ΠΠ de forma aproximada, da de forma aproximada, da seguinte forma:seguinte forma:

12Π= +T Tα Kα α f


Fund

amen

tos

da T

eoria

das

Est

rutu

ras


teoria das estruturas-teorico

Documents