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Uma carga de prova q0 colocada num campo eléctrico

DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL ELÉCTRICO

EqFe

0Sofre a acção de uma força

Trabalho realizado pelo campo eléctrico sobre a carga de prova, num deslocamento infinitesimal é

sdEqsdFW eE

.0

É similar ao trabalho feito por um campo gravitacional sobre um corpo em queda livre

sd

2

sdEqdWdU E

0

.

O trabalho feito por uma força conservativa é igual ao simétrico da variação da energia potencial

Para um deslocamento finito de uma carga de prova q0 entre os pontos A e B, a variação da energia potencial do sistema campo – carga é

B

AAB sdEqUUU

0

A integral acima é calculada ao longo da trajectória na qual a partícula se desloca de A para B denominada integral da trajectória ou integral de linha.

Como a força é conservativa, essa integral não depende da trajectória entre A e B

Por definição, , a diferença de potencial entre os pontos A e B e é igual à variação da energia potencial dividida pela carga de prova q0

AB VVV

0qUUVV AB

AB

B

A

sdEqUV

0

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Observações

A diferença de potencial não deve ser confundida com a diferença de energia potencial

Diferença de potencial ≠ Energia potencial

As duas grandezas estão relacionadas por U = q0 V

KWU E

Por conveniência, a função V é tomado muitas vezes considerada nula num determinado ponto. Usualmente escolhemos um ponto no infinito (∞) como o ponto de potencial nulo

Com essa escolha podemos dizer que : o potencial eléctrico num ponto arbitrário

é igual ao trabalho necessário, por unidade de carga, para trazer uma carga de prova positiva do infinito até o ponto considerado.

P

P sdEV no 0AV

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P

P sdEV onde é o campo eléctrico estabelecido pelas cargas – fonteE

Na realidade, VP representa a diferença de potencial entre o ponto P e um ponto no infinito

A unidade SI do potencial: joule por coulomb, denominada volt (V): 1 V 1 J / C

Uma unidade de energia geralmente utilizada na física é o electrão – volt (eV):

1 eV = (1 e)(1 V) =

um eV é a energia cinética ganha por uma partícula com carga e que está sendo acelerada por uma diferença de potencial de valor 1 V

J 106.1 C) / J (1 C 106.1 1919

EXEMPLO: Um electrão no feixe de um tubo de televisão típico pode ter uma velocidade de m / s. Isso corresponde a uma energia cinética de J, que é equivalente a eV. Tal electrão tem de ser acelerado do repouso com uma diferença de potencial de 3.5 kV para atingir essa velocidade.

7105.3 16106.5 3105.3

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DIFERENÇAS DE POTENCIAL NUM CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

(a) Quando o campo eléctrico E está direccionado para baixo, o ponto B está num potencial eléctrico mais baixo que o ponto A.

Quando uma carga positiva de prova se desloca de A par B, o sistema carga-campo perde energia potencial eléctrica.

(b) Quando o corpo com massa m se desloca para baixo na direcção do campo gravitacional g, o sistema corpo-campo perde energia potencial gravitacional.

B

A

B

A

B

AAB EdsdsEsdEVVV

0cos

Como E é constante, pode ser colocado fora da integral:

EddsEVB

A

o sinal negativo resulta do facto de que o ponto B está num potencial mais baixo do que o ponto A ou seja VB < VA

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Quando a carga de prova q0 se desloca de A para B

A variação da energia potencial eléctrica do sistema campo – carga é

EdqVqU 00

Por esse resultado, vemos que se q0 for positiva, então U é negativa

Se q0 for negativa, então U na equação acima é positiva e a situação está invertida.

O sistema campo - carga perde energia potencial eléctrica quando uma carga negativa se desloca na direcção oposta à do campo eléctrico.

Não temos nenhum análogo para essa situação no caso gravitacional porque nenhuma massa negativa foi observada até o momento.

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O sistema campo - carga perde energia potencial eléctrica quando uma carga negativa se desloca na direcção oposta à do campo eléctrico.

O sistema campo - carga perde energia potencial eléctrica quando uma carga positiva se desloca na direcção do campo eléctrico.

Exemplo

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Considere agora o caso mais geral de uma partícula carregada que se desloca entre dois pontos quaisquer num campo eléctrico uniforme

rEsdEsdEVB

A

B

A

representa o vector deslocamento entre os pontos A e B r

A variação na energia potencial eléctrica do sistema campo - carga é

rEqVqU

00

Os nossos resultados mostram que todos os pontos num plano perpendicular a um campo eléctrico uniforme estão no mesmo potencial

Da figura, obtemos: VB - VA = rE

cosrE = - Ed = VC - VA

r

VB = VC

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As superfícies equipotenciais dum campo eléctrico uniforme consistem numa família de planos, todos perpendiculares ao campo.

O nome superfície equipotencial é dado a toda superfície que consista numa distribuição contínua de pontos que têm o mesmo potencial eléctrico.

Observe que, como , nenhum trabalho é necessário para mover uma partícula de prova entre dois pontos quaisquer e numa superfície equipotencial.

VqU 0

Exemplos: Quatro superfícies equipotenciais.

O campo eléctrico é perpendicular às superfícies

Trabalho realizado pelo campo eléctrico sobre uma partícula carregada quando se move de um extremo a outro.

KWU E

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Num campo elétrico, transporta-se uma carga q de 2 µC de ponto X até um ponto Y. O trabalho da força elétrica é de -0,6 µJ. Determine a ddp entre os pontos X e Y.

EXEMPLO

qUV

V 3.0102106.0

6

6

V

KWU E

C 2J6.0

qμWE

X

Y

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POTENCIAL ELÉCTRICO DEVIDO À CARGAS PONTUAIS

Vamos agora focalizar nossa atenção nas cargas pontuais, que sabemos que produzem campos eléctricos que não são uniformes.

B

AAB sdEVV

Considere uma carga pontual positiva isolada q

drdssdr

sdrrqksdE e

cosˆonde

ˆ2

mas

Substituindo na integral ficaB

A

B

A

B

A

r

r

er

re

r

re

B

AAB r

qkrdrqkdr

rqksdEVV

22

ABe rrqk 11 esta equação expressa o importante

resultado de que a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos A e B depende somente das coordenadas radiais rA e rB

Os dois círculos tracejados representam secções transversais das superfícies equipotenciais esféricas

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Como já vimos pode-se definir o potencial de referência como sendo zero em rA =

Com essa escolha, o potencial eléctrico devido a uma carga pontual a qualquer distância r da carga é

rqkV e

V é constante sobre uma superfície esférica de raio r centrado na carga pontual

O potencial eléctrico de duas ou mais cargas pontuais é obtido aplicando-se o princípio da sobreposição

Para um conjunto de cargas, podemos escrever o potencial total em P na forma

i i

ie r

qkV

Observe que a soma nessa equação é uma soma algébrica de grandezas escalares em vez de uma soma vectorial (que é utilizada para calcular o campo eléctrico de um conjunto de cargas)

Além disso é muito mais fácil calcular V para muitas cargas do que calcular o campo eléctrico

q

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ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA DEVIDO À CARGAS PONTUAIS

Energia potencial eléctrica de interacção de um sistema de partículas carregadas

Se V2 for o potencial eléctrico no ponto P devido à carga q2, o trabalho (de um agente externo) necessário para trazer uma segunda carga q1 do infinito ao ponto P será

21VqW

12r1q

2q

P

esse trabalho representa uma transferência de energia para o sistema na forma de energia potencial U

12

2121 r

qqkVqU e

12r 2q

Prq

kV e2

2

Se tivermos três cargas:

23

32

13

31

12

21

rqq

krqq

krqq

kU eee 12r 23r

13r1q

2q3q

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OBTENÇÃO DO CAMPO ELÉCTRICO PELO POTENCIAL ELÉCTRICO

B

A

B

A

dVVsdEV

sdEdV

Portanto podemos escrever que a diferença de potencial dV entre dois pontos que distam ds um do outro como sendo

Para temos que

dxEsdE x

xEE

dxEdV x

oudxdV

Ex

o campo eléctrico é igual a menos derivada do potencial eléctrico com respeito a alguma coordenada

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Distribuição de carga tem simetria esférica drEsdEdV r

drdVEr

dxdVEx dy

dVE y dzdVEz

Em geral, o potencial eléctrico é uma função de todas as três coordenadas espaciais ),,( zyxV

A variação no potencial é nula para qualquer deslocamento perpendicular ao campo eléctrico

Isso é consistente com a noção de que as superfícies equipotenciais são perpendiculares ao campo:

Campo eléctrico uniforme Carga pontual Dipolo eléctrico

e VE

)( zyx ez

ey

ex

é uma equação diferencial, onde o operador gradiente

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POTENCIAL ELÉCTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA

rdqkdV e

r

dqkV e

Potencial dV em qualquer ponto P devido ao elemento de carga dq é

O potencial total será

B

A

sdEqUV

0

Um outro método para calcular o potencial de uma distribuição contínua de carga é utilizar

Substituímos E e escolhemos, V como zero em algum ponto conveniente.

Esse procedimento é útil para quando o campo eléctrico já é conhecido a partir de outras considerações, tais como a lei de Gauss.

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Exemplo: Calcular o potencial no ponto P de um eixo perpendicular ao centro no centro de um anel de raio a e carga Q

rdqkV e

dqax

kV e

22

como 22 axr

22 ax

dqkV e

22

ax

QkV e

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POTENCIAL ELÉCTRICO DUM CONDUTOR CARREGADO

Considere um condutor de formato arbitrário com um excesso de carga positiva

O condutor está em equilíbrio electrostático

- toda a carga permanece na superfície, e E = 0 dentro do condutor- o campo eléctrico na face externa do condutor é perpendicular à superfície

Demonstraremos que todo ponto na superfície de um condutor carregado em equilíbrio electrostático está no mesmo potencial eléctrico

0 B

AAB sdEVVV

090cos EdssdE

E é sempre perpendicular ao deslocamento ds entre dois pontos da superfície. Então

A densidade superficial de carga não é uniforme

como o campo eléctrico é zero dentro do condutor, concluímos que o potencial é constante em todo lugar dentro do condutor e igual a seu valor na superfície.