01 matematica a

Incluso para a vida Matemtica A

PR-VESTIBULAR DA UFSC 1

AULA 01

ARITMTICA BSICA

1. Mltiplo de um nmero Sendo a, b e c nmeros naturais e a . b = c, diz-se que c mltiplo de a e b. Exemplo: Mltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....}

Observaes:

O zero mltiplo de todos os nmeros. Todo nmero mltiplo de si mesmo. Os nmeros da forma 2k, k N, so nmeros mltiplos de 2

e esses so chamados nmeros pares. Os nmeros da forma 2k + 1, k N, so nmeros mpares.

2. Divisor de um nmero Sendo a, b e c nmeros naturais e a . b = c, diz-se que a e b so divisores c. Exemplo: Divisores de 12 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observaes:

O menor divisor de um nmero 1. O maior divisor de um nmero ele prprio. 2.1. Quantidade de divisores de um nmero Para determinar a quantidade de divisores de um nmero procede-se assim:

a) Decompem-se em fatores primos o nmero dado; b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada

um desses expoentes adiciona-se uma unidade. c) Multiplica-se os resultados assim obtidos.

Exemplo: Determinar o nmero de divisores de 90 90 = 21 . 32 . 51 (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 Logo 90 possui 12 divisores

3. Critrios de divisibilidade 3.1. DIVISIBILIDADE POR 2 Um nmero divisvel por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128. 3.2. DIVISIBILIDADE POR 3 Um nmero divisvel por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisvel por 3. Exemplos: 18, 243, 3126. 3.3. DIVISIBILIDADE POR 4 Um nmero divisvel por 4 se os dois ltimos algarismos forem divisveis por 4 ou quando o nmero terminar em 00. Exemplos: 5716, 8700, 198200. 3.4. DIVISIBILIDADE POR 5 Um nmero divisvel por 5 se o ltimo algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210.

3.5. DIVISIBILIDADE POR 6 Um nmero divisvel por 6 se for simultaneamente divisvel por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460. 3.7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um nmero divisvel por 8 se os trs ltimos algarismos forem divisveis por 8 ou forem trs zeros Exemplos: 15320, 67000. 3.8.DIVISIBILIDADE POR 9 Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos seus algarismos for um nmero divisvel por 9. Exemplos: 8316, 35289. 3.9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um nmero divisvel por 10 se o ltimo algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160. 4. Nmeros Primos Um nmero p, p 0 e p 1, denominado nmero primo se apresentar apenas dois divisores, 1 e p. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..... Observao: Um nmero denominado composto se no for primo. 5. Mnimo Mltiplo Comum Denomina-se menor ou mnimo mltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais nmeros o nmero p diferente de zero, tal que p seja o menor nmero divisvel pelos nmeros em questo. Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 24 Processo 2:

6 8 3 4 3 2 3 1 1 1

2 2 2 3

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 23.3 = 24 6. Mximo Divisor Comum Denomina-se mximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais nmeros o maior dos seus divisores comuns. Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo o M.D.C. entre 36 e 42 6. Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Os fatores comuns entre 36 e 42 so 2.3 Logo o M.D.C. entre 36 e 42 6.

Matemtica A Incluso para a Vida


Exerccios de Sala 01) ( UFSC ) Um pas lanou em 02/05/2000 os satlites

artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em reas de preservao, as nascentes dos rios e a pesca predatria no Oceano Atlntico. No dia 03/05/2000 podia-se observ-los alinhados, cada um em uma rbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satlites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, ento o nmero de dias para o prximo alinhamento :

02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y : a) 240 b) 120 c) 100 d) 340 e) 230 03) O nmero de divisores naturais de 72 :

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Tarefa Mnima 01) Considere os nmeros A = 24, B = 60; C = 48. Determine:

a) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C c) M.M.C entre A, B e C d) M.D.C entre A, B e C

02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, respectivamente. O valor de x. y : a) 240 b) 720 c) 120 d) 340 e) 230 03) Determine o nmero de divisores naturais dos nmeros

a) 80 b) 120 04) Um ciclista d uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, aps quanto tempo iro se encontrar de novo no ponto de partida, levando em considerao ambas as velocidades constantes? 05) Trs vizinhos tm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possvel. Ento cada faixa medir na frente:

a) 12 m b) 18 m c) 24 m d) 30 m e) 36 m

Tarefa Complementar 06) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltaro a soar juntos?

a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas

07) Trs tbuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e

90 cm sero cortadas em pedaos iguais, obtendo assim tbuas do maior tamanho possvel. Ento cada tbua medir:

a) 10 cm b) 6 cm c) 8 cm d) 12 cm e) 4 cm

08) Sejam os nmeros A = 23.32. 5 B = 22 . 3 . 52 Ento o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem respectivamente:

a) 180 e 60 b) 180 e 600 c) 1800 e 600 d) 1800 e 60 e) n.d.a.

09) ( Santa Casa-SP ) Seja o nmero 717171x, onde x indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse nmero divisvel por 4, ento o valor mximo que x pode assumir :

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

10) ( PUC-SP ) Qual dos nmeros abaixo primo?

a) 121 b) 401 c) 362 d) 201 c) n.d.a.

11) ( PUC-SP ) Um lojista dispe de trs peas de um mesmo tecido, cujos comprimentos so 48m, 60m e 80m. Nas trs peas o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peas e o maior comprimento possvel, de modo a utilizar todo o tecido das peas. Quantos retalhos ele dever obter? 12) ( UEL-PR ) Seja p um nmero primo maior que 2. verdade que o nmero p2 1 divisvel por:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

13) Sejam A e B o mximo divisor comum (M.D.C) e o mnimo mltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. O produto A.B dado por: 2x.3y.5z, ento x + y + z vale: 14) (Fuvest-SP) O menor nmero natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito :

a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

15) ( ACAFE ) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais, trs vigas, cujos comprimentos so, respectivamente, 3m, 42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos pedaos ser a maior possvel. O total de pedaos obtidos com as trs vigas :

a) 18 b) 21 c) 210 d) 180 e) 20



AULA 02

CONJUNTOS NUMRICOS 1. Conjuntos Numricos 1.1. Conjunto dos Nmeros Naturais

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Um subconjunto importante dos naturais (N) o conjunto N* ( naturais sem o zero ) N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } a, b N, (a + b) N e (a . b) N 1.2. Conjunto dos Nmeros Inteiros Os nmeros inteiros surgiram com a necessidade de calcular a diferena entre dois nmeros naturais, em que o primeiro fosse menor que o segundo. Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros Z* = inteiros no nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } Z+ = inteiros no negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... } Z _ = inteiros no positivos... { ..., -3, -2, -1, 0} Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 } a, b Z, (a + b) Z, (a . b) Z e (a b) Z 1.3. Conjunto dos Nmeros Racionais Os nmeros Racionais surgiram com a necessidade de dividir dois nmeros inteiros, onde o resultado era um nmero no inteiro.

Q = { x | x=ab

, com a Z, b Z* }

Ou seja, todo nmero que pode ser colocado em forma de frao um nmero racional. So exemplos de nmeros racionais: a) Naturais b) Inteiros

c) decimais exatos ( 0,2 = 210

)

d) dzimas peridicas ( 0,333... = 1

3 )

As quatro operaes so definidas nos racionais. Com a ressalva que a diviso por zero impossvel (exceto quando o numerador for zero tambm). Geratrizes de uma dzima peridica Toda frao que d origem a uma dzima peridica chama-se GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dzima peridica, procede-se assim:

a) Dzima Peridica Simples: um nmero fracionrio cujo numerador o algarismo que representa a parte peridica e o denominador um nmero formado por tantos noves quantos forem os algarismos do perodo. Exemplos:

a) 0777...= 97

b) 0,333....= 31

93=

c) 0,434343... = 9943

b) Dzima Peridica Composta: um nmero fracionrio cujo numerador a diferena entre a parte no peridica seguida de um perodo e a parte no peridica, e cujo o denominador um nmero formado de tantos noves quantos so os algarismos do perodo, seguido de tantos zeros quantos so os algarismos da parte no peridica. Exemplos:

a) 0,3777... = 4517

9034

90337

==

b) 0,32515151... = 33001073

99003219

9900323251

==

1.4. Conjunto dos Nmeros Irracionais Apesar de que entre dois nmeros racionais existir sempre um outro racional, isso no significa que os racionais preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo. Dado o tringulo retngulo abaixo de catetos 1 e 1. Calcular o valor da hipotenusa. x 1 1 Aplicando o teorema de Pitgoras temos: x2 = 12 + 12

x = 2 Extraindo a raiz de 2, teremos um nmero que no natural, inteiro, nem racional, surge ento os nmeros irracionais. Os nmeros irracionais so aqueles que no podem ser colocados em forma de frao, como por exemplo:

a) = 3,14... b) e = 2, 71... c) toda raiz no exata

1.5. Conjunto dos Nmeros Reais Os nmeros reais surgem da unio dos nmeros racionais com os irracionais.



QUADRO DE RESUMO Q I Z

N Por enquanto, nosso conjunto universo ser o campo dos reais. Porm, necessrio saber, que existem nmeros que no so reais, estes so chamados de complexos e sero estudados mais detalhadamente adiante. PROPRIEDADES EM Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a Simtrico: a + ( a) = 0

Inverso: a . a

1 = 1, a 0

INTERVALOS NUMRICOS E MDULO

DE UM NMERO REAL 1. Intervalos Numricos Chamamos intervalo qualquer subconjunto contnuo de . Sero caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir:

{x R| p x q} = [p, q] {x R| p < x < q} = ]p, q[ {x R| p x < q} = [p, q[ {x R| p < x q} = ]p, q] {x R| x q} = [q, [ {x R| x > q} = ]q, [ {x R| x q} = ] -, q] {x R| x < q} = ] -, q[

Os nmeros reais p e q so denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.

Observaes

O intervalo [x, x] representa um conjunto unitrio {x} O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { } O intervalo ( , + ) representa o conjunto dos nmeros

reais (R) (x, y) = ]x, y[

Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:

Notao de conjunto. Exemplo: {x R| 2 < x 3}

Notao de intervalo. Exemplo: ]2, 3]

Representao Grfica.

Exemplo:

Veja outros exemplos:

1) {x R| x > 2} = ]2, [

2) {x R| x 1} = ] -, 1]

3) {x R| 3 x < 4} = [3, 4[

2. Mdulo de um nmero real Mdulo ou valor absoluto, de um nmero real x a distncia da origem ao ponto que representa o nmero x. Indicamos o mdulo de x por | x |. 2.1. Definio

0, ento | 3 | = 3 b) como 3 < 0, ento |3| = (3) = 3

2.2. Propriedades

| x | 0 | x |2 = x2

||2 xx = |x y| = |y x| |x . y| = | x |. | y |

yx

yx=

2.3. Equao Modular Equao Modular a equao que possui a incgnita x em mdulo. Tipos de equaes modulares:

Exemplo 1: | x | = 3 x = 3 ou x = -3 S = {-3, 3} Exemplo 2: Resolva a equao |x + 2|= 6 x + 2 = 6 ou x + 2= - 6 x = 4 ou x = - 8 S = {-8, 4}

| x | = k, com k > 0, ento: x = k ou x = k



Exemplo 1: | x | = - 3 S = Exemplo 2: |x + 2| = -10 S = 2.4. Inequao Modular Sendo k > 0, as expresses do tipo | x | < k, | x | k, | x | > k, | x | k denominam-se inequaes modulares. Tipos de inequaes modulares:

Exemplos: | x | < 3 3 < x < 3 | x | < 10 10 < x < 10

Exemplos: | x | > 3 x < 3 ou x > 3 | x | > 10 x < 10 ou x > 10

Exerccios de Sala 01) Calcule o valor das expresses abaixo:

a)

+

31

52

81

43

b)

+

341:

532

02) ( PUC-SP ) Considere as seguintes equaes: I. x2 + 4 = 0 II. x2 4 = 0 III. 0,3x = 0,1 Sobre as solues dessas equaes verdade afirmar que: a) II so nmeros irracionais b) III um nmero irracional c) I e II so nmeros reais d) I e III so nmeros no reais e) II e III so nmeros racionais 03) Resolva em as seguintes equaes:

a) | x | = 3 b) |2x 1| = 7 c) |x2 5x | = 6 d) |x + 2| = 3

e) |x|2 5|x| + 4 = 0

Tarefa Mnima 01) Enumere os elementos dos conjuntos a seguir:

a) {x N| x divisor de 12} b) {x N| x mltiplo de 3} c) {x N| 2 < x 7} d) {x Z| - 1 x < 3} e) {x| x = 2k, k N} f) {x| x = 2k + 1, k N}

02) As geratrizes das dzimas: 0,232323... e 0,2171717... so respectivamente:

23 23 20 43 23 43a) e b) e c) e100 99 99 99 99 198

1 1 2 1d) e e) e3 10 10 5

03) ( ACAFE ) O valor da expresso ,

1

2.

c

cba quando

a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 igual a: 04) Resolva em as seguintes equaes:

a) |x| = 10 b) |x + 1| = 7 c) |x 2| = -3 d) |x |2 + 3 |x| - 4 = 0 :

05) A soluo da inequao 5)12( 2 x

a) {x | 2 x 3} b) {x | 1 x 6} c) {x | x 3} d) {x | x 7} e) {x | 3 x 2}

Tarefa Complementar 06) ( FATEC-SP ) Se a = 0,666..., b = 1,333... e c = 0,1414..., ento a.b-1 + c igual a: 07) ( FGV-SP ) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: a) x.y racional b) y.y irracional c) x + y racional

d) x - y + 2 irracional e) x + 2y irracional 08) ( FUVEST ) Na figura esto representados geometricamente os nmeros reais 0, x, y e 1. Qual a posio do nmero xy?

a) esquerda de 0 b) entre zero e x c) entre x e y d) entre y e 1 e) direita de 1

| x | = k, com k = 0, ento: x = 0

| x | = k, com k < 0, ento: no h soluo

| x | < k, com k > 0, ento: k < x < k

| x | > k, com k > 0, ento: x k



09) Determine a soma dos nmeros associados s proposies VERDADEIRAS: 01. possvel encontrar dois nmeros naturais, ambos divisveis por 7 e tais que a diviso de um pelo outro deixe resto 39. 02. Sejam a e b nmeros naturais. Sendo a = 1 + b2 com b sendo um nmero mpar, ento a par.

04. O nmero 257 + real. 08. Existem 4 nmeros inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois. 16. o nmero 247 um nmero primo. 10) ( FUVEST ) Os nmeros inteiros positivos so dispostos em quadrados da seguinte maneira:

987654321

181716151413121110

......

......

....19

O nmero 500 se encontra em um desses quadrados. A linha e a coluna em que o nmero 500 se encontra so respectivamente:

a) 2 e 2 b) 3 e 3 c) 2 e 3 d) 3 e 2 e) 3 e 1

11) A expresso|2x 1| para x < 21

equivalente a:

a) 2x 1 b) 1 2x c) 2x + 1 d) 1 + 2x e) 1

12) Assinale a alternativa correta:

a) Se x um nmero real, ento 2x |x | b) Se x um nmero real, ento existe x, tal que |x| < 0 c) Sejam a e b dois nmeros reais com sinais iguais, ento |a + b| = |a| + |b| d) Sejam a e b dois nmeros reais com sinais opostos, ento |a + b| > |a| + |b| e) | x | = x, para todo x real.

13) ( UFGO ) Os zeros da funo f(x) = 2 1

53

x so:

a) 7 e 8 b) 7 e 8 c) 7 e 8 d) 7 e 8 e) n.d.a. 14) ( FGV-SP ) Qual dos seguintes conjuntos est contida no conjunto soluo da inequao 1)1( 2 + x ?

a) {x R | - 5 x - 1} b) {x R | - 4 x 0} c) {x R | - 3 x 0} d) {x R | - 2 x 0} e) Todos os conjuntos anteriores

15) ( ITA-SP ) Os valores de x R para os quais a funo real dada por f(x) = |6|12||5 x est definida, formam o conjunto:

a) [0, 1] b) [-5, 6] c) [-5,0] [1, ) d) (-, 0] [1, 6] e) [-5, 0] [1, 6]

AULA 03

EQUAES DO 1 GRAU INEQUAES 1. Definio Uma sentena numrica aberta dita equao do 1 grau se pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a diferente de zero.

2. Resoluo Considere, como exemplo, a equao 2x + 1 = 9. Nela o nmero 4 soluo, pois 2.4 + 1 = 9. O nmero 4 nesse caso denominado RAIZ da equao Duas equaes que tm o mesmo conjunto soluo so chamadas equivalentes. PRINCPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE Se: a = b ento para m a + m = b + m Se: a = b ento para m 0 a . m = b . m

4. Inequaes do 1 grau Inequaes so expresses abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas.

Uma inequao dita do 1 grau se pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0

ax + b 0 ax + b 0

Nas inequaes do 1 grau valem tambm, os princpio aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja: Se: a > b ento para m a + m > b + m Se: a > b ento para m > 0 a . m > b . m Se: a > b ento para m < 0 a . m < b . m

Exerccios de Sala 01) Resolva em R as seguintes equaes e inequaes: a) ax + b = 0, com a 0 b) 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7) c) 10

432

31

=

++ xx

d) 502x = 500x e) 0.x = 0 f) 0.x = 5

g) 8

3x

2

1x



02) Obtenha m de modo que o nmero 6 seja raiz da equao 5x + 2m = 20 03) Resolva em R, o seguinte sistema:

=+=

23213

yxyx

Tarefa Mnima 01) Resolver em R as equaes:

a) 6x 6 = 2(2x + 1) b) 2(x + 1) = 5x + 3 c) (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) 3 d) 2(x 2) = 2x 4 e) 3(x 2) = 3x f)

41

321

=+ xx

02) A soluo da equao x2

1x

3

x=

+ :

a) x = 2 b) x = 3 c) x = 3 d) x = 2 e) x = 1

03) ( FGVSP ) A raiz da equao 14

12x

3

1x=

+

:

a) um nmero maior que 5 b) um nmero menor que 11 c) um nmero natural d) um nmero irracional e) um nmero real

04) Determine a soluo de cada sistema abaixo:

a)

=+

=

332

yxyx b)

=

=+

15

yxyx c)

=+

=+

12213

yxyx

05) Resolva em R as inequaes:

a) 3(x + 1) > 2(x 2) b) 2

3x

4

10x

+

c) 4

1

2

x

3

1 5500 e 58

m + 700 > 42 m, :

11) ( UFSC ) Para produzir um objeto, um arteso gasta R$ 1,20 por unidade. Alm disso, ele tem uma despesa fixa de 123,50, independente da quantidade de objetos produzidos. O preo de venda de R$ 2,50 por unidade. O nmero mnimo de objetos que o arteso deve vender, para que recupere o capital empregado na produo dos mesmos, : 12) ( UFSC ) A soma das idades de um pai e seu filho 38 anos. Daqui a 7 anos o pai ter o triplo da idade do filho. A idade do pai ser: 13) ( UFSC ) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe campe venceu o jogo com uma diferena de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes esto na razo de 23 para 21? 14) ( UNICAMP ) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino tambm tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa. 15) ( UEL-PR ) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um de seus vages um certo nmero de passageiros. Na primeira parada no subiu ningum e desceram desse vago 12 homens e 5 mulheres restando nele um nmero de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada no desceu ningum, entretanto subiram, nesse vago, 18 homens e 2 mulheres, ficando o nmero de homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros no vago no incio da viagem? AULA 04

EQUAES DO 2 GRAU

Denomina-se equao do 2 grau a toda equao que pode ser reduzida a forma: ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c so nmeros reais e a 0. 1. Resoluo

1 CASO: Se na equao ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b for igual a zero procede-se assim: ax2 + c = 0 ax2 = c

x2 = ac



x = ac

S =

ac

ac ,

2 CASO: Se na equao ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c for igual a zero procede-se assim: ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0

S = {0, ab

}

3 CASO: Se na equao ax2 + bx + c = 0, a, b, c 0 aplica-se a frmula de Bhskara

x = 2a

b onde: = b2 4ac

Nessa frmula, = b2 4ac o discriminante da equao, o que determina o nmero de solues reais da equao. Pode-se ter as seguintes situaes:

> 0. Existem duas razes reais e distintas = 0. Existem duas razes reais e iguais < 0. No h raiz real

2. Relaes de Girard Sendo x1 e x2 as razes da equao ax2 + bx + c, tem-se:

x1 + x2 = a

b x1 . x2 =

ac

Exerccios de Sala 01) Resolva, em reais, as equaes:

a) 2x2 32 = 0 b) x2 12x = 0 c) 2x2 5x 3 = 0

02) Considere a equao x2 mx + m = 0 na incgnita x. Para quais valores reais de m ela admite razes reais e iguais? a) 0 e 4 b) 0 e 2 c) 0 e 1 d) 1 e 3 e) 1 e 4 03) Sendo x1 e x2 as razes da equao 2x2 6x + 1 = 0, determine: a) x1 + x2 b) x1 . x2 c)

2x

1

1x

1+

Tarefa Mnima 01) Resolva em R, as equaes:

a) x2 5x + 6 = 0 b) x2 + 6x 8 = 0 c) 3x2 7x + 2 = 0 d) x2 4x + 4 = 0 e) 2x2 x + 1 = 0 f) 4x2 100 = 0 g) x2 5x = 0

02) Os nmeros 2 e 4 so razes da equao:

a) x2 6x + 8 = 0 b) x2 + x 6 = 0 c) x2 6x 6 = 0 d) x2 5x + 6 = 0 e) x2 + 6x 1 = 0

03) ( PUC-SP ) Quantas razes reais tem a equao 2x2 2x + 1 = 0?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

04) A soma e o produto das razes da equao 2x2 6x + 9 = 0 so respectivamente:

a) 3 e 4,5 b) 2 e 4 c) 3 e 2 d) 4,5 e 5 e) n.d.a.

05) Sendo x1 e x2 as razes da equao 2x2 5x 1 = 0.

Obtenha 2x

1

1x

1+

Tarefa Complementar

06) Resolver em R a equao 11x

1

12x

2=

++

07) A maior soluo da equao 2x4 5x2 3 = 0 :

a) 3 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2 08) Sendo x1 e x2 as razes da equao 2x2 6x 3 = 0, determine a soma dos nmeros associados s proposies verdadeiras: 01. x1 e x2 so iguais 02. x1 + x2 = 3

04. x1 . x2 = 2

3

08. 2x

1

1x

1+ = 2

16. x12 + x22 = 12

32. x12.x2 + x1.x22 = 2

9

09) A soluo da equao x 3 = 3+x :



10) ( MACK-SP ) Se x e y so nmeros reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y 6 =0, ento x + y vale:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6 11) Determine a soma dos nmeros associados s proposies VERDADEIRAS: 01. Se a soma de um nmero qualquer com o seu inverso 5, ento a soma dos quadrados desse nmero com o seu inverso 23. 02. Se x1 e x2 so as razes da equao 2x2 6x 3 = 0,

ento o valor de x12.x2 + x1.x22 = 2

9

04. Se x e y so nmeros reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y 6 =0, ento x + y vale 2 08. Se x soluo da equao

x2 3 + 32 x = 2, ento o valor de x4 = 16

16. O valor de 21

31

168 + 5 12) Considere a equao 2x2 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2, razes dessa equao, pode-se afirmar: 01. x1 x2 02. o produto das razes dessa equao 0,5 04. a soma das razes dessa equao 3 08. a soma dos inversos das razes 6 16. a equao no possui razes reais 13) A maior raiz da equao x4 10x2 + 9 = 0 : a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 1 14) Assinale a soma dos nmeros associados s proposies VERDADEIRAS:

01. A maior raiz da equao x6 x3 2 = 0 3 2

02. A maior raiz da equao 3x2 7x + 2 = 0 2 04. As razes da equao x2 4x + 5 = 0 esto compreendidas entre 1 e 3 08. A soma das razes da equao x6 x3 2 = 0 3 16. a equao x2 4x + 2 = 0 no possui razes reais 15) Determine o valor de x que satisfaz as equaes: a) xx =+ 31 b) 2123 =++ xx AULA 05

ESTUDO DAS FUNES

Sejam A e B dois conjuntos no vazios e uma relao R de A em B, essa relao ser chamada de funo quando para todo e qualquer elemento de A estiver associado a um nico elemento em B. Formalmente: f funo de A em B (x A, | y B|(x, y) f) Numa funo podemos definir alguns elementos.

Conjunto de Partida: A Domnio: Valores de x para os quais existe y. Contra Domnio: B Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.

Observaes:

A imagem est sempre contida no Contra Domnio (Im C.D)

Podemos reconhecer atravs do grfico de uma relao, se essa relao ou no funo. Para isso, deve-se traar paralelas ao eixo y. Se cada paralela interceptar o grfico em apenas um ponto, teremos uma funo.

O domnio de uma funo o intervalo representado pela projeo do grfico no eixo das abscissas. E a imagem o intervalo representado pela projeo do grfico no eixo y.

Domnio = [a, b] Imagem = [c, d] Valor de uma Funo Denomina-se valor numrico de uma funo f(x) o valor que a varivel y assume quando a varivel x substituda por um valor que lhe atribudo. Por exemplo: considere a relao y = x2 , onde cada valor de x corresponde um nico valor de y. Assim se x = 3, ento y = 9. Podemos descrever essa situao como: f(3) = 9 Exemplo 1: Dada a funo f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3) Resoluo: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5 Exemplo 2: Dada a funo f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o valor de f(-1). Resoluo: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos fazer x = -1 f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12



Exemplo 3: Dada a funo f(x 1) = x2. Determine f(5). Resoluo: f(x 1) = x2, devemos fazer x = 6 f(6 1) = 62 f(5) = 36 Observe que se fizssemos x = 5, teramos f(4) e no f(5).

Exerccios de Sala 01) Seja o grfico abaixo da funo f, determinar a soma dos nmeros associados s proposies VERDADEIRAS:

01. O domnio da funo f {x R | - 3 x 3} 02. A imagem da funo f {y R | - 2 y 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A funo decrescente em todo seu domnio 02) Em cada caso abaixo, determine o domnio de cada funo: a) y = 2x + 1 b) y =

727x

c) y = 23 x d) y = 223

+

xx

04) ( )2x -1, se x 05, se 0 x 5

2x 5x 6, se x 5Seja f x

=

<

+ >

.

Calcule o valor de:

)6()()3(

fff +

Tarefa Mnima 01) ( UNAERP-SP ) Qual dos seguintes grficos no representa uma funo f: R R ? a)

b)

c)

d)

e)

02) Assinale a soma dos nmeros associados s proposies VERDADEIRAS:

01. O domnio da funo f {x R | - 2 x 2} 02. A imagem da funo f {y R | - 1 y 2} 04. para x = -2 , tem-se y = -1 08. para x = 2, tem-se y = 2 16. A funo crescente em todo seu domnio 03) Determine o domnio das seguintes funes

a) y = 93

2x

b) y = 3x

c) y = 2

6+

xx

d) y = 3 5x

04) ( UFSC ) Considere as funes f: R R e g: R R

dadas por f(x) = x2 x + 2 e g(x) = 6x + 53

.

Calcule f(21

) + 45

g(1).

05) ( UFPE-PE ) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a nica alternativa que define uma funo de A em B. a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}



Tarefa Complementar

06) ( UFC-CE ) O domnio da funo real y = 72

xx :

a) {x R| x > 7} b) {x R| x 2} c) {x R| 2 x < 7} d) {x R| x 2 ou x > 7}

07) Considere a funo f(x) = x2 6x + 8. Determine: a) f(3) b) f(5) c) os valores de x, tal que f(x) = 0

08) ( USF-SP ) O nmero S do sapato de uma pessoa est relacionado com o comprimento p, em

centmetros,do seu p pela frmula S = 4

285 +p.

Qual o comprimento do p de uma pessoa que cala sapatos de nmero 41? a) 41 cm b) 35,2 cm c) 30,8 cm d) 29,5 cm e) 27,2 cm

09) ( FUVEST ) A funo que representa o valor a ser pago aps um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria :

a) f(x) = x 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = - 3x e) f(x) = 1,03x

10) ( FCMSCSP ) Se f uma funo tal f(a + b) = f(a).f(b), quaisquer que sejam os nmeros reais a e b, ento f(3x) igual a:

a) 3.f(x) b) 3 + f(x) c) f(x3) d) [f(x)]3 e) f(3) + f(x)

11) ( FGV-SP ) Numa determinada localidade, o preo da energia eltrica consumida a soma das seguintes parcelas: 1 . Parcela fixa de R$ 10,00; 2 . Parcela varivel que depende do nmero de quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa R$ 0,30. Se num determinado ms, um consumidor pagou R$ 31,00, ento ele consumiu:

a) 100,33 kWh b) mais de 110 kWh c) menos de 65 kWh d) entre 65 e 80 kWh e) entre 80 e 110 kWh

12) ( PUC-Campinas ) Em uma certa cidade, os taxmetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT (unidade taximtrica) e mais 0,2 UT por quilmetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxmetro registrava 8,2 UT, o total de quilmetros percorridos foi:

13) ( UFSC ) Dadas as funes f(x) = 3x + 5, g(x) = x2 + 2x 1 e h(x) = 7 x, o valor em mdulo da expresso:

( )14 4

21

h g

f ( )

14) ( UFSC ) Considere a funo f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) 15. Determine o valor de f(0).

15) ( UDESC ) A funo f tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nessas condies, f(3x + 2) igual a:

AULA 06

FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU

1. Funo Polinomial do 1 Grau Uma funo f de R em R do 1 grau se a cada x R, associa o elemento ax + b. 1.1. Forma: f(x) = ax + b com a 0. a o coeficiente angular e b o coeficiente linear. 1.2. Grfico O grfico ser uma reta crescente se a for positivo e decrescente se a for negativo.

Como o grfico de uma funo do 1 Grau uma reta, logo necessrio definir apenas dois pontos para obter o grfico.

Ponto que o Grfico corta o eixo y: deve-se fazer

Interceptos:

x = 0. Logo o ponto que o grfico corta o eixo y tem coordenadas (0,b). Ponto que o Grfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. Logo o ponto que o grfico corta o eixo x tem

coordenadas ( b

a,0). O ponto que o grfico corta o

eixo x chamado raiz ou zero da funo. RESUMO GRFICO f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0

funo crescente funo decrescente Exemplo: Esboar o grfico da funo da funo f(x) = 3x + 1. Resoluo: o grfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o



grfico da funo f(x) = 3x + 1 intercepta o eixo y em (0,1). Para determinar o ponto que o grfico corta o eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0. 3x + 1 = 0

x = 31

Logo o ponto que o grfico corta o eixo x tem

coordenadas (31

, 0)

D = C.D. = Im = 2. Funo Constante Uma funo f de R em R constante se, a cada x R, associa sempre o mesmo elemento k R. D(f) = R e Im (f) = k 2.1 Forma: f(x) = k 2.2. Grfico: Exemplo: y = f(x) = 2

D = C.D. = Im = {2}

Exerccios de Sala 01) Considere as funes f(x) = 2x 6 definida em reais. Determine a soma dos nmeros associados s proposies VERDADEIRAS: 01. a reta que representa a funo f intercepta o eixo das ordenadas em (0,- 6) 02. f(x) uma funo decrescente 04. a raiz da funo f(x) 3 08. f(-1) + f(4) = 0 16. a imagem da funo so os reais 32. A rea do tringulo formado pela reta que representa f(x) e pelos eixos coordenados 18 unidades de rea. 02) ( PUC-SP ) Para que a funo do 1 grau dada por f(x) = (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:

) ) ) ) )= < > < > 2 2 2 2 2a k b k c k d k e k3 3 3 3 3

03) ( UFSC ) Seja f(x) = ax + b uma funo linear. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. D o valor de f(8).

Tarefa Mnima 01) Esboar o grfico das seguintes funes:

a) f(x) = x + 3 b) f(x) = 2x + 1

02) ( FGV-SP ) O grfico da funo f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m + n vale em mdulo: 03) ( UFMG-MG ) Sendo a < 0 e b > 0, a nica representao grfica correta para a funo f(x) = ax + b :

04) ( UFMA ) O grfico da funo f(x) = ax + b intercepta o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, 3), ento f(x) : a) f(x) = x 3 b) f(x) = x 4 c) f(x) = 2x 5 d) f(x) = 2x 1 e) f(x) = 3x 6 05) Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de

tftf )()( com t

Tarefa Complementar 06) ( UCS-RS ) Para que 3 seja raiz da funo f(x) = 2x + k, deve-se ter

a) k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2 07) ( UFPA ) A funo y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Ento, a 2b igual a: a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) n.d.a.



08) ( Fuvest-SP ) A reta de equao 2x + 12y 3 = 0, em relao a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um tringulo cuja rea :

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16 09) O grfico da funo f(x) est representado pela figura abaixo:

Pode-se afirmar que f(4) igual a: 10) (Santo Andr-SP) O grfico mostra como o dinheiro gasto ( y) por uma empresa de cosmticos, na produo de perfume, varia com a quantidade de perfume produzida ( x). Assim, podemos afirmar:

a) Quando a empresa no produz, no gasta. b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00. c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00. d) Se a empresa gastar R$ 170,00, ento ela produzir 5 litros de perfume. e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro. 11) ( UFSC ) Sabendo que a funo: f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) : 12) O valor de uma mquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valer R$ 160,00, o seu valor, em reais, daqui a trs anos ser:

a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416 13) ( UFRGS ) Considere o retngulo OPQR da figura abaixo. A rea do retngulo em funo da abscissa x do ponto R :

a) A = x2 3x b) A = - 3x2 + 9x c) A = 3x2 9x d) A = - 2x2 + 6x e) A = 2x2 6x

14) ( UFRGS ) Dois carros partem de uma mesma cidade, deslocando-se pela mesma estrada. O grfico abaixo apresenta as distncias percorridas pelos carros em funo do tempo.

Distncia (em km)

Temp o (em horas)

Analisando o grfico, verifica-se que o carro que partiu primeiro foi alcanado pelo outro ao ter percorrido exatamente:

a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km 15) ( UERJ ) Considere a funo f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo grfico. Se a e b so dois nmeros positivos (a < b), a rea do retngulo de vrtices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) igual a 0,2. f(x) =

x1

Calcule a rea do retngulo de vrtices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b)) AULA 07

FUNO POLINOMIAL DO 2 GRAU

Uma funo f de R em R polinomiail do 2 grau se a cada x R associa o elemento ax2 + bx + c, com a 0 1. Forma: f(x) = ax2 + bx + c, com a 0 2. Grfico O grfico de uma funo polinomial do 2 Grau de R em R uma parbola. A concavidade da parbola determinada pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim quando: a > 0 tem-se a parbola com concavidade para cima a < 0 tem-se parbola com concavidade para baixo 3. Interceptos O ponto que o grfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c) Para achar o(s) ponto(s) que o grfico corta o eixo x, deve-se

fazer y = 0. Tem-se ento uma equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0, onde:



ac4b onde ,2a

b 2 ==x

Se > 0 Duas Razes Reais Se = 0 Uma Raiz Real Se < 0 No possui Razes Reais

4. Estudo do vrtice da parbola A Parbola que representa a funo do 2 Grau dividida em duas partes simtricas. Essa diviso feita por um eixo chamado de eixo de simetria. A interseco desse eixo com a parbola recebe o nome de vrtice da parbola.

O vrtice o ponto de mximo da funo se a < 0. O vrtice o ponto de mnimo da funo se a > 0.

5. Coordenadas do vrtice O vrtice um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde

e4a

=yv2ab

vx

=

6. Imagem da funo quadrtica Se a > 0, ento Im = {y R| y

4a}

Se a < 0, ento Im = {y R| y 4a

}

7. Resumo grfico

> 0

= 0

< 0

Exerccios de Sala 01) Em relao a funo f(x) = x2 6x + 8 definida de correto afirmar: 01. 2 e 4 so os zeros da funo f 02. o vrtice da parbola possui coordenadas (3, -1) 04. O domnio da funo f(x) o conjunto dos nmeros reais. 08. A imagem da funo : { y R| y 1} 16. A rea do tringulo cujos vrtices so o vrtice da parbola e seus zeros, 4 unidades de rea. 02) Em cada caso abaixo, esboce o grfico de f e d seu conjunto imagem. a) f: , f(x) = x2 2x b) f: , f(x) = x2 + 4 c) f: [0, 3[ , f(x) = f(x) = x2 2x 03) Considere f(x) = x2 6x + m definida de . Determine o valor de m para que o grfico de f(x):

a) tenha duas interseces com o eixo b) tenha uma interseco com o eixo x c) no intercepte o eixo x

Tarefa Mnima 01) Determine as razes, o grfico, as coordenadas do vrtice e a imagem de cada funo.

a) f: , f(x) = x2 2x 3

b) f: , f(x) = (x + 2)(x 4) c) f: , f(x) = x2 + 2x 1 d) f: , f(x) = x2 3x 02) Dada a funo f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale as verdadeiras: 01. O grfico intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,12). 02. As razes de f so 2 e 6. 04. O domnio de f o conjunto dos nmeros reais. 08. O grfico no intercepta o eixo x. 16. A imagem da funo { y R| y 4 } 32. O vrtice da parbola possui coordenadas (4, 4) 64. A funo crescente em todo seu domnio.



03) ( UFSC ) Considere a parbola y = -x2 + 6x definida em R x R. A rea do tringulo cujos vrtices so o vrtice da parbola e seus zeros, : 04) ( ACAFE-SC ) Seja a funo f(x) = - x2 2x + 3 de domnio [-2, 2]. O conjunto imagem :

a) [0, 3] b) [-5, 4] c) ]-, 4] d) [-3, 1] e) [-5, 3]

05) ( PUC-SP) Seja a funo f de R em R, definida por f( x) = x2 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o vrtice da parbola que representa f localiza-se: a) no primeiro quadrante. b) no segundo quadrante. c) no terceiro quadrante. d) sobre o eixo das coordenadas. e) sobre o eixo das abscissas.

Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Seja f: R R, definida por: f(x) = - x 2 , determine a soma dos nmeros associados s afirmativas verdadeiras: 01. O grfico de f(x) tem vrtice na origem. 02. f(x) crescente em R. 04. As razes de f(x) so reais e iguais. 08. f(x) decrescente em [0, + ) 16. Im(f) = { y R | y 0} 32. O grfico de f(x) simtrico em relao ao eixo x. 07) ( ESAL-MG ) A parabola abaixo o grfico da funo f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta:

a) a < 0, b = 0, c = 0 b) a > 0, b = 0, c < 0 c) a > 0, b < 0, c = 0 d) a < 0, b < 0, c > 0 e) a > 0, b > 0, c > 0

08) Considere a funo definida em x dada por f(x) = x2 mx + m. Para que valores de m o grfico de f(x) ir interceptar o eixo x num s ponto? 09) ( UFPA ) As coordenadas do vrtice da funo y = x2 2x + 1 so: a) (-1, 4) b) (1, 2) c) (-1, 1) d) (0, 1) e) (1, 0) 10) ( UFPA ) O conjunto de valores de m para que o grfico de y = x2 mx + 7 tenha uma s interseco com o eixo x : a) { 7} b) { 0 }

c) { 2 } d) { 2 7 }

11) ( Mack-SP ) O vrtice da parbola y = x2 + kx + m o ponto V(1, 4). O valor de k + m em mdulo : 12) ( UFSC ) Dada a funo f: R R definida por f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10. Determine o valor de a - 2b + 3c. 13) A equao do eixo de simetria da parbola de equao y = 2x2 - 10 + 7, : a) 2x - 10 + 7 = 0 b) y = 5x + 7 c) x = 2,5 d) y = 3,5 e) x = 1,8 14) O grfico da funo f(x) = mx2 (m2 3)x + m3 intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m :

a) 3 b) 4 c) 2 d) 2 e) 1

15) ( UFSC ) Marque no carto a nica proposio CORRETA. A figura abaixo representa o grfico de uma parbola cujo vrtice o ponto V. A equao da reta r :

01. y = -2x + 2 02. y = x + 2 04. y = 2x + 1 08. y = 2x + 2 16. y = -2x 2 AULA 08

INEQUAES DO 2 GRAU INEQUAES TIPO PRODUTO

INEQUAES TIPO QUOCIENTE 1. Inequaes do 2o Grau Inequao do 2 grau toda inequao da forma:

++

++

++

0000

2

2

2

2

cbxaxcbxaxcbxaxcbxax

com a 0

Para resolver a inequao do 2 grau associa-se a expresso a uma funo do 2 grau; assim, pode-se estudar a variao de sinais em funo da varivel. Posteriormente, seleciona-se os valores da varivel que tornam a sentena verdadeira. Estes valores iro compor o conjunto-soluo. Exemplos:



a) resolver a inequao x2 2x 3 0

S = {x R | x -1 ou x 3} ou S = ]-, -1] [3, +[ b) resolver a inequao x2 7x + 10 0

S = { x R | 2 x 5} S = [2, 5] c) resolver a inequao x2 + 5x 4 > 0

S = { x R | 1 < x < 4} S = [1, 4] 2. Inequaes Tipo Produto Inequao Produto qualquer inequao da forma: a) f(x).g(x) 0 b) f(x).g(x) > 0 c) f(x).g(x) 0 d) f(x).g(x) < 0 Para resolvermos inequaes deste tipo, faz-se necessrio o estudo dos sinais de cada funo e em seguida aplicar a regra da multiplicao. Exemplo: Resolver a inequao (x2 4x + 3) (x 2) < 0

S = { x R | x < 1 ou 2 < x < 3} 3. Inequaes Tipo Quociente Inequao quociente qualquer inequao da forma:

a) f(x)g(x)

0 b) f(x)g(x)

> 0 c) f(x)g(x)

0 d) f(x)g(x)

< 0

Para resolvermos inequaes deste tipo necessrio que se faa o estudo dos sinais de cada funo separadamente e em seguida

aplicar a regra de sinais da diviso. necessrio lembrar que o denominador de uma frao no pode ser nulo, ou seja nos casos acima vamos considerar g(x) 0

Exemplo: Resolver a inequao 02

342

+

xxx

S = { x R | 1 x < 2 ou x 3}

Exerccios de Sala 01) Resolver em as seguintes inequaes:

a) x2 8x + 12 > 0 b) x2 8x + 12 0 c) x2 9x + 8 0

02) O domnio da funo definida por

f(x) = x x

x

2 3 106

:

a) D = {x R| x 2 ou x 5} {6}. b) D = {x R| x - 2 ou x 5} {6}. c) D = {x R| x - 2 ou x 5} d) D = {x R| x - 2 ou x 7} {6}. e) n.d.a. 03) Determine o conjunto soluo das seguintes inequaes: a) (x 3)(2x 1)(x2 4) < 0

b) 4

1072

+

xxx 0

Tarefa Mnima 01) Resolver em as seguintes inequaes:

a) x2 6x + 8 > 0 b) x2 6x + 8 0 c) x2 + 9 > 0 d) x2 4 e) x2 > 6x f) x2 1

02) ( Osec-SP ) O domnio da funo

f(x) = + +x x2 2 3 , com valores reais, um dos conjuntos seguintes. Assinale-o. a) {x R | -1 x 3 } b) { x R | -1 < x < 3 } c) { } d) { x R | x 3} e) n.d.a.



03) Resolva, em R, as seguintes inequaes:

a) (x2 2x 3).( x2 3x + 4) > 0 b) (x2 2x 3).( x2 3x + 4) 0 c) (x 3) (x2 16) < 0 d) x3 x e) x3 3x2 + 4x 12 0 04) Resolva, em R, as seguintes inequaes: a) 0

1665

2

2

+

xxx

b)

016

652

2

0 b) x2 6x + 9 0 c) x2 6x + 9 < 0 d) x2 6x + 9 0

07) Resolver em as seguintes inequaes:

a) x2 4x + 5 > 0 b) x2 4x + 5 0 c) x2 4x + 5 < 0 d) x2 4x + 5 0

08) ( CESGRANRIO ) Se x2 6x + 4 x2 + bx + c tem como soluo o conjunto {x | 0 x 3}, ento b e c valem respectivamente:

a) 1 e 1 b) 1 e 0 c) 0 e 1 d) 0 e 1 e) 0 e 4

09) ( UNIP ) O conjunto verdade do sistema

15 e x < - 3} b) { x R | x < 15 e x - 3} c) { x R | x > 0} d) {x R | - 3 < x < 15} e) { x R | - 15 < x < 15}

14) ( Cescem-SP ) Os valores de x que satisfazem a inequao (x2 2x + 8)(x2 5x + 6)(x2 16) < 0 so: a) x < 2 ou x > 4 b) x < 2 ou 4 < x < 5 c) 4 < x < 2 ou x > 4 d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 15) ( FUVEST ) De x4 x3 < 0 pode-se concluir que:

a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) 1< x < 0 d) 2< x < 1 e) x < 1 ou x > 1

AULA 09

PARIDADE DE FUNES

FUNO COMPOSTA e FUNO INVERSA

1. Funo Par Uma funo par, quando para valores simtricos de x, tem-se imagens iguais, ou seja: f(x) = f(x), x D(f) Uma conseqncia da definio : Uma funo f par se e somente se, o seu grfico simtrico em relao ao eixo y. 2. Funo mpar Uma funo mpar, quando para valores simtricos de x, as imagens forem simtricas, ou seja: f(x) = f(x), x D(f)



Como conseqncia da definio os grficos das funes mpares so simtricos em relao a origem do sistema cartesiano. 3. Funo Composta Dadas as funes f: A B e g: B C, denomina-se funo composta de g com f a funo gof: definida de A C tal que gof(x) = g(f(x))

f: A B g: B C gof: A C Condio de Existncia: Im(f) = D(g) Alguns tipos de funes compostas so: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) Exerccio resolvido: Dadas as funes f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x de modo que f(g(x)) = 0 Resoluo: Primeiramente vamos determinar f(g(x)) e em seguida igualaremos a zero. f(x) = x2 - 5x + 6 f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6 Da vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2. Igualando a zero temos: x2 - 3x + 2 = 0 Onde x1 = 1 e x2 = 2 4. Funo injetora, sobrejetora e bijetora FUNO INJETORA: Uma funo f: A B injetora se, e somente se elementos distintos de A tm imagens distintas em B. Em Smbolos: f injetora x1, x2 A, x1 x2 f(x1) f(x2)

FUNO SOBREJETORA: Uma funo f de A em B sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos elementos de A, ou seja: CD = Im

FUNO BIJETORA: Uma funo bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

DICA: De R R, a funo do 1 Grau bijetora, e a funo do 2 Grau simples. 5. Funo inversa Seja f uma funo f de A em B. A funo f 1 de B em A a inversa de f, se e somente se: fof -1(x) = x, x A e f -1o f (x) = x, x B. Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f) IMPORTANTE: f inversvel f bijetora Para encontra a inversa de uma funo, o processo prtico trocar x por y e em seguida isolar y. Os grficos de duas funes inversas f(x) e f 1(x) so simtricos em relao bissetriz dos quadrantes mpares.(f(x) = x)

Exerccio Resolvido: Dada a funo f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a sua inversa. Resoluo: Como a funo f(x) bijetora, ento ela admite inversa. Basta trocarmos x por y e teremos: f(x) = 2x + 4 x = 2y + 4

x - 4 = 2y

f -1(x) = x 4

2



Exerccios de Sala 01) Dadas as funes f(x) = 2x 1, g(x) = x2 + 2. Determine:

a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(g(3)) d) g(f(-2))

02) ( UFSC ) Considere as funes f, g: R R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7). 03) Se x 3, determine a inversa da funo

312)(

+

=xxxf

Tarefa Mnima 01) Dadas as funes f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter:

a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) e) f(g(3)) f) g(f(1)) g) f(f(f(2)))

02) ( U.F.Uberlndia ) Dadas as funes reais definidas por f(x) = 2x - 6 e g(x) = x2 + 5x + 3, pode-se dizer que o domnio da funo h(x) = ( )( )fog x :

a) {x R | x -5 ou x 0} b) {x R | x 0} c) {x R | x -5} d) { } e) n.d.a. 03) ( UFSC ) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2 + 1, com f e g definidas para todo x real, determine o valor numrico da funo g no ponto x = 18, ou seja, g(18). 04) Determine a funo inversa de cada funo a seguir:

a) y = 2x 3 b) y =

42+x

c) y =

412

+

xx , x 4

05) ( UFSC ) Seja a funo f(x) = 2

2x

x, com x 2,

determine f -1(2).

Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Sejam f e g funes de R em R definidas por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.Determine a soma dos nmeros associados (s) proposies verdadeiras. 01. A reta que representa a funo f intercepta o eixo das ordenadas em (0,3). 02. f uma funo crescente . 04. -1 e +1 so os zeros da funo g. 08. Im(g) = { y R | y -1 }. 16. A funo inversa da f definida por f -1(x) = -x + 3. 32. O valor de g(f(1)) 3. 64. O vrtice do grfico de g o ponto (0, 0).

07) Dadas as funes: f(x) = 5 x e g(x) = x2 - 1, o valor de gof(4) : 08) ( U.E.LONDRINA-PR ) Sejam f e g funes reais definidas por f(x) = 2x2 + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) : 09) ( Mack-SP ) Sejam as funes reais definidas por f(x) = x 2 e f(g(x)) = 2x 3. Ento g(f(x)) definida por: a) 2x 1 b) 2x 2 c) 2x 3

d) 2x 4 e) 2x 5 10) ( F.C. Chagas-BA ) A funo inversa da funo

f(x) = 2 1

3x

x+

:

a) f -1( ) =x + 32x -1

b) f -1(x) =2x + 1x - 3

c) f -1(x) =1 - 2x3 - x

d) f -1(x) =3x + 12 - x

e) nenhuma das anteriores

x

11) Obtenha as sentenas que definem as funes inversas de:

a) f: [ 3; 5] [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7 b) g: [2, 5] [0,9] tal que g(x) = x2 4x + 4 c) h: [3, 6] [1, 8] tal que h(x) = x2 6x + 8

12) ( MACK-SP ) Se f(g(x)) = 2x2 4x + 4 e f(x 2) = x + 2, ento o valor de g(2) : a) - 2 b) 2 c) 0 d) 6 e) 14 13) ( UFSC 2006 ) Seja f uma funo polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine a abscissa do ponto onde o grfico de f corta o eixo x. 14) ( UDESC ENGENHARIA FLORESTAL) Se f(x) = ax2 + bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1. Calcule f(f(a)) 15) ( IME-RJ ) Sejam as funes g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x 4; h(x) = f(g(x)) = 9x2 6x + 1. Determine a funo f(x). AULA 10

EXPONENCIAL

1. Equao Exponencial Chama-se equao exponencial toda equao que pode ser reduzida a forma ax = b, com 0 < a 1.



Para resolver tais equaes necessrio transformar a equao dada em: Igualdade de potncia de mesma base. af(x) = ag(x) f(x) =g(x) Potncias de expoentes iguais. af(x) = bf(x) a = b sendo a e

b 1 e a e b R*+. 2. Funo Exponencial f(x) = ax

(a > 1) funo crescente

(0 < a < 1) funo decrescente

3. Inequao Exponencial Para resolvermos uma inequao exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades.

Quando as bases so maiores que 1 (a > 1), a relao de desigualdade se mantm.

af(x) > ag(x) f(x) > g(x)

Quando as bases esto compreendidas entre 0 e 1 (0 < a < 1), a relao de desigualdade

se inverte. af(x) > ag(x) f(x) < g(x)

Exerccios de Sala 01) ( UFSC ) Dado o sistema

7 1

5 25

2

2

x y

xy

+

+

=

=

, o valor de y

x

4:

02) ( UFSC ) O valor de x, que satisfaz a equao 22x + 1 - 3.2x + 2 = 32, :

Tarefa Mnima 01) Resolva, em R, as equaes a seguir: a) 2 x = 128

b) 2x = 1

16

c) 3x 1 + 3x + 1 = 90 d) 25.3x = 15x : e) 22x 2x + 1 + 1 = 0 02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equao 3.9x 26.3x 9 = 0, :

03) Dadas f(x) = 12x

e as proposies:

I) f(x) crescente II) f(x) decrescente III) f(3) = 8 IV) ( 0,1 ) f(x) podemos afirmar que: a) todas as proposies so verdadeiras b) somente II falsa c) todas so falsas d) II e III so falsas e) somente III e IV so verdadeiras 04) Resolva, em R, as inequaes a seguir:

a) 22x 1 > 2x + 1 b) (0,1)5x 1 < (0,1)2x + 8

c) 31

47

47

2



10) A soma das razes da equao

23

113 2

3

2 1

1 + =

+

x x

x

. :

11) ( UFMG ) Com relao funo f(x) = ax, sendo a e x nmeros reais e 0 < a 1, assinale as verdadeiras: 01. A curva representativa do grfico de f est toda acima do eixo x. 02. Seu grfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1). 04. A funo crescente se 0 < a < 1 08. Sendo a = 1/2, ento f(x) > 2 se x > 1. 12) Determine o domnio da funo abaixo:

75)4,1()( 52 = xxf

13) ( UEPG-PR ) Assinale o que for correto. 01. A funo f(x) = ax, 1 < a < 0 e x R, intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0)

02. A soluo da equao 2x.3x = 3 36 pertence ao intervalo [0, 1]

04. Dada a funo f(x) = 4x, ento D = R e Im = *+R

08. A funo f(x) = ( )x2 crescente 16. ba

ba

2

1

2

1

14) Determine o valor de x no sistema abaixo:

1) y e 1(x >>

==

35 yxyx xy

15) Resolver, em reais, as equaes abaixo:

a) 5x + 0,2x = 5,2 b) 5.4x + 2.52x = 7.10x

AULA 11

LOGARITMOS 1. Definio Dado um nmero a, positivo e diferente de um, e um nmero b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao real x tal que ax = b. (a > 0 e a 1 e b > 0) loga b = x ax = b Em loga b = x temos que: a = base do logaritmo b = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente. Exemplos:

1) log6 36 = x 36 = 6x 62 = 6x x = 2 2) log5 625 = x 625 = 5x 54 = 5x x = 4 Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porm dois deles se destacam: Sistemas de Logaritmos Decimais: o sistema de base 10, tambm chamado sistema de logaritmos comuns ou vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemtico ingls (1561-1630)). Quando a base 10 costuma-se omitir a base na sua representao. Sistemas de Logaritmos Neperianos o sistema de base e (e = 2, 718...), tambm chamado de sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se a J. Neper (1550-1617). 1.1. Condio de Existncia Para que os logaritmos existam necessrio que em: logab = x tenha-se

logaritmando positivo

base positiva

base diferente de 1

Resumindo b > 0

a > 0 e a 1

1.2. Conseqncias da Definio Observe os exemplos: 1) log2 1 = x 1 = 2x 20 = 2x x = 0 2) log3 1 = x 1 = 3x 30 = 3x x = 0 3) log6 1 = x 1 = 6x 60 = 6x x = 0 loga 1 = 0

4) log2 2 = x 2 = 2x 21 = 2x x = 1 5) log5 5 = x 5 = 5x 51 = 5x x = 1 loga a = 1 6) log2 23 = x 23 = 2x x = 3 7) log5 52 = x 52 = 5x x = 2 loga am = m

8) 2 2 44 2log2 = = =x x x 9) 3 3 99 2log3 = = =x x x

2. Propriedades Operatrias 2. 1. Logaritmo do Produto O logaritmo do produto igual a soma dos logaritmos dos fatores. loga (b . c) = loga b + loga c



Exemplos: a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2 b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3 2.2. Logaritmo do Quociente O logaritmo do quociente o logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor.

loga =cb

loga b loga c

Exemplos: a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2 b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3 2.3. Logaritmo da Potncia O logaritmo da potncia igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potncia. loga xm = m . loga x Exemplos: a) log2 53 = 3. log2 5

b) log3 4-5 = -5 log3 4

Caso Particular an

aa bnbnb log.1loglog

1

==

Exemplo: log10 23 = log10 213 =

1

3log10 2

Exerccio Resolvido: Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de log 18. Resoluo: log 18 = log(2.32) log 18 = log 2 + log 32 log 18 = log 2 + 2log 3 log 18 = 0,30 + 2.0,47 log 18 = 1,24

Exerccios de Sala 01) Pela definio, calcular o valor dos seguintes logaritmos: a) log21024 b) log 0,000001 c) log2 0,25 d) log4 13 128 02) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de:

a) log 6

b) log 8 c) log 5

d) log 18

Tarefa Mnima 01) Determine o valor dos logaritmos abaixo:

a) log2 512 b) log0,250,25

c) log7 1 d) log0,25 13 128

02) Determine o valor das expresses abaixo

a) 3 loga a5 + loga 1 4 l g aa , onde 0 < a 1, :

b) 5625.163

1982 glglgl + :

03) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor dos logaritmos abaixo:

a) log 12 b) log 54 c) log 1,5

d) log 5125 04) ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual ser o valor de log 28? a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107 05) ( FEI-SP ) A funo f(x) = log (50 5x x2) definida para: a) x > 10 b) 10 < x < 5 c) 5 < x < 10 d) x < 5 e) n.d.a.

Tarefa Complementar 06) ( PUC-SP ) Se l g x 2 2 512 = , ento x vale: 07) ( PUC-SP ) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47,

ento log6 2

5 igual a:

a) 0,12 b) 0,22 c) 0,32 d) 0,42 e) 0,52



08) ( ACAFE-SC ) Os valores de m, com R, para os quais a equao x2 2x + log2(m 1) = 0 admite razes (zeros) reais e distintas so:

a) 2 < m < 4 b) m< 3 c) m 3 d) 1 m 3 e) 1 < m < 3

09) Se log a = r, log b = s, log c = t e E = 3

3

cba

, ento

log E igual a: 10) ( ANGLO ) Se log E = 2log a + 3log b log c log d, Ento E igual a:

11) ( UFSC ) Se 3 125

14l g x y l g

l gx l gy l g

( ) =+ =

, ento o valor

de x + y

12) Se x = 3603 , log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, determine a parte inteira do valor de 20 log10 x. 13) ( UMC-SP ) Sejam log x = a e log y = b. Ento o

log ( )yx. igual a: a) a + b/2 b) 2a + b c) a + b d) a + 2b e) a b/2

14) Determine o domnio das seguintes funes:

a) y = logx 1 (3 x) b) y = log(5 x) (x2 4)

15) Se x a soluo da equao 7...

=xxxx , calcule o

valor da expresso 2x7 + log7x 71

AULA 12

LOGARITMOS

1. Mudana de Base

Ao aplicar as propriedades operatrias dos logaritmos ficamos sujeitos a uma restrio: os logaritmos devem ser de mesma base. Dado esse problema, apresentamos ento um processo no qual nos permite reduzir logaritmos de bases diferentes para bases iguais. Este processo denominado mudana de base.

loga b =aglbgl

c

c

Como conseqncia e com as condies de existncia obedecidas, temos:

1) loglog

log logBA

A AkA BB

kB= =1 2 1 )

2. Equao Logartmica So equaes que envolvem logaritmos, onde a incgnita aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando (antilogaritmo). Existem dois mtodos bsicos para resolver equaes logartmicas. Em ambos os casos, faz-se necessrio discutir as razes, lembrando que no existem logaritmos com base negativa e um e no existem logaritmos com logaritmando negativos. 1 Mtodo: loga X = loga Y X = Y 2 Mtodo: loga X = M X = aM 3. Funo Logartmica f(x) = loga x

(a > 1) funo crescente

(0 < a < 1) funo decrescente

4. Inequao Logartmica

a > 1

loga x2 > loga x1 x2 > x1

0 < a < 1 loga x2 > loga x1 x2 < x1

Exerccios de Sala

01) Resolver as equaes abaixo: a) logx (3x2 - x) = 2 b) log4 (x2 + 3x - 1) = log4 (5x 1) c) log2 (x + 2) + log2 (x 2) = 5



Tarefa Mnima 01) ( SUPRA ) Se log5 2 = a e log5 3 = b ento log2 6 :

a+b a b a+ba) b) a+b c) d) e) a b a 2

02) ( ACAFE ) O valor da expresso log3 2. log4 3 : a) b) 3 c) 4 d) 2/3 e) 2 03) Resolver, em R as equaes: a) log5 (1 4x) = 2 b) log[x(x 1)] = log 2 c) 09log6log 3

2

3 =+ xx d) log(log(x + 1)) = 0 e) log2 (x - 8) log2 (x + 6) = 3 f) log5 (x 3) + log5 (x 3) = 2 04) ( UFSC ) A soluo da equao: log2(x + 4) + log2(x 3) = log218, : 05) Resolver, em reais, as seguintes inequaes: a) log2 (x + 2) > log2 8 b) log1/2 (x 3) log1/2 4

Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Dada a funo y = f(x) = loga x, com a > 0, a 1, determine a soma dos nmeros associados s afirmativas verdadeiras. 01. O domnio da funo f R. 02. A funo f crescente em seu domnio quando a (1, + ) 04. Se a = 1/2 ento f(2) = 1

08. Se a = 3 e f(x) = 6 ento x = 27 16. O grfico de f passa pelo ponto P(1,0). 07) ( ACAFE ) Se log3 K = M, ento log9 K2 : a) 2M2 b) M2 c) M + 2 d) 2M e) M 08) ( UFSC ) Se loga x = 2 e logx y = 3, ento,

loga xy35 igual a: 09) ( UFSC ) Determine a soma dos nmeros associados s proposies verdadeiras:

01. O valor do log0,25 32 igual a 5

2.

02. Se a, b e c so nmeros reais positivos e

x = a

b c

3

2 ento

log x = 3 log a 2log b 1/2 log c. 04. Se a, b e c so nmeros reais positivos com a e c

diferentes de um, ento tem-se loga b =logclogc

b

a

08. O valor de x que satisfaz equao 4x 2x = 56 x = 3

16. 23

23

2 3 1 7 >

, ,

10) ( UFSC ) O valor de x compatvel para a equao log(x2 1) - log(x 1) = 2 : 11) ( UFSC ) Assinale no carto-resposta a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) CORRETA(S). 01. O conjunto soluo da inequao log (x2 9) log (3 x) S = (, 4] [3, +). 02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.

04. A equao 2xx ee = no possui soluo inteira.

08. Considere as funes f(x) = ax e g(x) = logax. Para a > 1, temos f crescente e g decrescente e para 0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes. 16. log 360 = 3 log 2 + 2 log 3 + log 5.

32. Se log N = 3,412 ento log N = 6,824.

12) Resolva a equao l g x l g x 10 100 2+ = . (divida o resultado obtido por 4) 13) Assinale a soma dos nmeros associados s proposies VERDADEIRAS: 01. A raiz da equao log(log(x + 1)) = 0 x = 9 02. A soma das razes da equao

1 + 2logx 2 . log4 (10 x) =2

log4

x 10

04. A maior raiz da equao 9 . x xlog3 = x3 9 08. O valor da expresso log3 2. log4 3 /2

16. Se logax = n e logay = 6n, ento l g x ya23

igual a 7n

32. A soluo da equao 2x.3x = 3 36 pertence ao intervalo [0, 1] 14) ( UFPR ) Com base na teoria dos logaritmos e exponenciais correto afirmar: 01. Se log3(5 y) = 2, ento y = - 4

02. Se x = loge 3, ento ex + e-x = 3

10

04. Se a e b so nmeros reais e 0 < a < b < 1, ento |log10a| < |log10b| 08. Se z = 10t 1, ento z > 0 para qualquer valor real de t 15) ( ITA - SP ) O conjunto dos nmeros reais que verificam a inequao 3log x + log (2x + 3)3 3 log2 dado por: a) { x R| x > 3 } b) { x R| 1 x 3 } c) { x R| 0 < x 1/2 } d) { x R| 1/2 < x < 1 } e) n.d.a.



GABARITO MAT A AULA 1 1) a) 120 b) 12 c) 240 d) 12 2) b 3) a) 10 b) 16 4) 80 5) e 6) d 7) b 8) d 9) d 10) b 11) 47 12) b 13) 13 14) b 15) b AULA 2 1) a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} b) {0, 3, 6, 9, 12, 15,....} c) {3, 4, 5, 6, 7} d) {-1, 0, 1, 2} e) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,.....} f) {1, 3, 5, 7, 9, ......} 2) c 3)

323

4) a) S = {-10,10} b) S = {-8, 6} c) S = d) S = {-1,1}

5) a 6)

198

127 7) e 8) b

9) 06 10) a 11) b 12) c 13) d 14) d 15) e AULA 3

1) a) 4 b) 3

1 c)

7

4 d) S = e) S = f)

109

2) b 3) e

4) a) (2,1) b) (3,2) c)

41,

41

5) a) {x R| x > 7} b) {x R| x 2 } c) {x R| x > 6

1}

6) 08 7) 1 8) 82 9) x > 100km 10) 16 11) 95 12) 39 13) 92 14) 40 15) b AULA 4 1) a) {2,3} b) {2,4} c) {2, 1/3} d) {2} e) f) {-5, 5} g) {0,5} 2) a 3) a 4) a 5) 5 6) S = {0} 7) a 8) 62 9) x = 3 10) a 11) 15 12) 07 13) a 14) 03 15) 05 AULA 5 1) e 2) 31 3) a) {x R| x 3} b) {x R| x 3} c) {x R| x 6, x 2} d) 4) 10 5) c 6) a 7) a) -1 b) 3 c) 2 e 4 8) e 9) b 10) d 11) d 12) 21 13) 33 14) 29 15)

219 +x

AULA 6 1)

2) 02 3) a 4) b 5) 02 6) c 7) d 8) e 9) 01 10) c 11) 99 12) e 13) d 14) d 15) 0,2 AULA 7 1) a)

razes: -1 e 3 vrtice: (1, -4) Im = { y R / y 4 } b)

razes: -2 e 4 vrtice: (1, -9) Im = { y R / y -9 } c)

raiz: 1 vrtice: (1, 0) Im = { y R / y 0 } d)

razes: 0 e 3 vrtice: (3/2, -9/4) Im = {y R/ y -9/4} 2) 55 3) 27 4) b 5) a 6) 29 7) c 8) 0 e 4 9) e 10) d 11) 01 12) 23 13) c 14) e 15) 08



AULA 8 1) a) {x R | x < 2 ou x > 4} b) {x R | 2 x 4}

c) {x R | - 3 < x < 3} d) {x R | -2 x 2} e) {x R | x < 0 ou x > 6} f) {x R | x -1 ou x 1}

2) a 3) a) ]-4, -1[ ]1, 3[ b) ]-, -4] [-1, 1] [3, [ c) ]-, -4[ ]3, 4[ d ) ]-, - 1] [0, 1] e) [3, [ 4) a) {x R| x < - 4 ou 2 x 3 ou x > 4} b) {x R| -4 < x < 2 ou 3 < x < 4} c) {x R|x < 1 ou 0 x < 1} d) {x R|x < 1 ou x > 3} 5) d 6) a) {x R | x 3} b) c) d) {3} 7) a) R b) R c) d) 8) e 9) a 10) c 11) a 12) d 13) d 14) d 15) a AULA 9 1) a) f(g(x)) = 2x2 + 2 b) g(f(x)) = 2x2 + 8x + 8 c) f(f(x)) = x + 4 d) g(g(x)) = 8x4 e) 20 f) 18 g) 8 2) a 3) 81

4) a) f-1(x) = 2

3+x

b) f-1(x) = 4x 2 c) f-1(x) =

214

+

xx

5) 01 6) 61 7) 00 8) 99 9) e 10) d

11)

31)()2)()

27)()

1

1

1

++=

+=

=

xxfcxxfb

xxfa

12) c 13) 05 14) 03 15) x2 + 6x + 9 AULA 10 1) a) 7 b) 4 c) 3 d) 02 e) 00 2) 02 3) b 4) a) S = { x R| x > 2 } b) S = { x R| x > 3 } c) S = { x R| - 2 < x < 2 } d) S = { x R| x < - 5 ou x > 9 } 5) a 6) c 7) 02 8) 01 9) 01 10) 00 11) 03 12) {x | x - 2 ou x 2} 13) 30 14)

35

35 15) a) {-1, 1} b) {0, 1}

AULA 11 1) a) 9 b) 1 c) 0 d) -7/26 2) a) 13 b) 6 3) a) 1, 07 b) 1, 71 c) 0, 17 d) 0, 54 4) b 5) b 6) 06 7) b 8) e 9) 3r s t/3 10)

cdba 32 11) 09 12) 17 13) a

14) a) 1 < x < 3 e x 2 b) x < - 2 ou 2 < x < 5 e x 4 15) 14 AULA 12 1) a 2) a 3) a) { 6} b) {2, -1} c) {27} d) {9} e) { } f) 08 4) 05 5) a) { x R| x > 6} b) { x R| 3 < x < 7} 6) 30 7) e 8) 04 9) 31 10) 99 11) 16 12) 25 13) 47 14) 03 15) c

ARITMTICA BSICACONJUNTOS NUMRICOSNPROPRIEDADES EM (INTERVALOS NUMRICOS E MDULO DE UM NMERO REALEQUAES DO 1 GRAU INEQUAESEQUAES DO 2 GRAUESTUDO DAS FUNESFUNO POLINOMIALDO 1 GRAU

RESUMO GRFICOFUNO POLINOMIALDO 2 GRAUINEQUAES DO 2 GRAUINEQUAES TIPO PRODUTOINEQUAES TIPO QUOCIENTEPARIDADE DE FUNESFUNO COMPOSTA e FUNO INVERSAEXPONENCIALLOGARITMOSLOGARITMOS

GABARITO MAT AAULA 1AULA 2AULA 3AULA 4AULA 5AULA 6AULA 7AULA 8AULA 9AULA 10AULA 11AULA 12

01 matematica a

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