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Modelagem Matemática de Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos no Espaço Sistemas Dinâmicos no Espaço

de Estadosde Estados

Prof. Dr. Antonio Gil V. de Prof. Dr. Antonio Gil V. de BrumBrum -- CECS/UFABCCECS/UFABCBC 1507 BC 1507 -- Instrumentação e ControleInstrumentação e Controle

Esta apresentação é baseada nas aulas de instrumentação e controle do prof. Alfredo prof. Alfredo LordeloLordelo – CECS/UFABC.Parte do material ali contido foi reproduzido e adaptado.

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”Tudo o que acontece na sua ”Tudo o que acontece na sua vida é você que atrai. vida é você que atrai. É fruto do que você pensaÉ fruto do que você pensa.“.“((O SegredoO Segredo))

DefiniçõesDefinições

Modelagem no Espaço de EstadosModelagem no Espaço de Estados

Modelagem no Espaço de EstadosModelagem no Espaço de Estados

Modelagem no Espaço de EstadosModelagem no Espaço de Estados

Sistema Linear Variante no TempoSistema Linear Variante no Tempo

Sistema Linear Variante no TempoSistema Linear Variante no Tempo� Representação em Diagrama de Blocos:

� Exemplo: sistema massasistema massa--mola amortecidomola amortecido

FONTE: OGATA (2010).

Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no Tempo

Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no Tempo� Exemplo 1: sistema massasistema massa--mola amortecidomola amortecido� ED:

�� Obtenção das equações de estado e de saída:Obtenção das equações de estado e de saída:�� Sistema de 2ª ordem => duas integraçõesSistema de 2ª ordem => duas integrações

�� Redução para 1ª ordem. TomemosRedução para 1ª ordem. Tomemos

�� Assim,Assim,

�� ouou

FONTE: OGATA (2010).

Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no Tempo(cont. do exemplo 1)�� Na representação matricial, temosNa representação matricial, temos

�� A equação de saída: A equação de saída: y = x1

�� Em representação matricial, fica:Em representação matricial, fica:

⇒⇒ Solução no MATLAB (com e sem Solução no MATLAB (com e sem SimulinkSimulink))⇒⇒ Usar u(t) = 0 e u(t) = 10 (como um peso => u = Usar u(t) = 0 e u(t) = 10 (como um peso => u = ctecte))

�� Resumindo, o Resumindo, o sistema linear invariante no temposistema linear invariante no tempomassamassa--mola mola amortecido é descrito pelas equaçõesamortecido é descrito pelas equações

�� ondeondeFONTE: OGATA (2010).

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Solução no MATLABSolução no MATLABDois arquivos: • ma_mo_amort.m => contém a ED a integrar (+ dados)

• main_massa_mola.m=> arquivo principal (chama o integrador)

% script principal da solução do problema massa-mola amortecido no MATLAB% para chamar o integrador ode45 ou ode23, digitar na area de trabalho: global uu=0; %força aplicada u(t). pode ser o peso, por exemplo. Teste 0, 10 e 50 kg e veja a diferenca obtida nos graficos.

% i) inicie com a condiçao inicial:y0=[0.3 0]; % => 0.3m de elongamento inicial, com 0m/s de V inicial.

% ii) chamar o integrador: [T,Y] = ode23('ma_mo_amort', [0 5], y0);% Obs.: o tempo é feito variar de 0 a 5 segundos.

%plot(T,Y(:,1)), grid on %gera o grafico da posição com grade%xlabel('t') % coloca um rotulo no eixo x do grafico%ylabel('x(t)') % coloca um rotulo no eixo y do grafico

% plot(T,Y(:,2)), grid on %gera o grafico da velocidade% xlabel('t') % coloca um rotulo no eixo x do grafico% ylabel('v(t)') % coloca um rotulo no eixo y do grafico

plot(Y(:,1),Y(:,2)), grid on % gera o grafico no plano de fase: x X v 6888 -0.7 6.6 -0.6];xlabel('x') % coloca um rotulo no eixo x do graficoylabel('v(t)') % coloca um rotulo no eixo y do grafico

% ====================================================

main_massa_mola.m

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Solução no MATLABSolução no MATLABDois arquivos: • ma_mo_amort.m => contém a ED a integrar (+ dados)

• main_massa_mola.m=> arquivo principal (chama o integrador)

ma_mo_amort.mfunction dy = ma_mo_amort(t,y)

global u

%dados:m=1 ; %massab=5; %coeficiente de viscosidadek=500; %constante da mola

dy = zeros(2,1); % zerando o vetor dy (2x1)

% sistema de equaçoesdy(1) = y(2);dy(2) = (-k/m)*y(1)-(b/m)*y(2) + u/m;

% só isso (fim)

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No MATLAB:No MATLAB:

u=0

u=50

Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no Tempo(cont. do exemplo 1)�� No SIMULINK: usar a No SIMULINK: usar a representação representação normal da EDO de ordem 2.normal da EDO de ordem 2.

�� y’’ = y’’ = --(b/m).y’ (b/m).y’ –– (k/m).y + (1/m).u(k/m).y + (1/m).u

�� Esta EDO é introduzida assim (verifique): Esta EDO é introduzida assim (verifique): �� Representação Representação em diagrama de em diagrama de blocos (blocos (simulinksimulink))

FONTE: OGATA (2010).

Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no Tempo(cont. do exemplo 1)�� No SIMULINK, fica assim:No SIMULINK, fica assim:

�� y’’ = y’’ = --(b/m).y’ (b/m).y’ –– (k/m).y + (1/m).u(k/m).y + (1/m).u�� ((simulinksimulink: : ma_mo_amort_vertma_mo_amort_vert.mdl).mdl)

Lembrar de:Lembrar de:�� 1.inserir na área de 1.inserir na área de trabtrab do do MatlabMatlab as constantes: m, b, k.as constantes: m, b, k.

�� 2. ajustar constantes de integração nos blocos e valor do degrau.2. ajustar constantes de integração nos blocos e valor do degrau.

FONTE: OGATA (2010).

Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no TempoAdicional Adicional � MATLAB: outra possibilidade para obtenção da resposta a degrau unitário, impulso, etc.�� Na representação matricial, temos as equações:Na representação matricial, temos as equações:

i) de i) de estado:estado:

ii) de ii) de saída:saída:

�� Análise de resposta de um sistema LTI no MATLABAnálise de resposta de um sistema LTI no MATLAB�� Uso do Uso do ControlControl System System ToolboxToolbox

�� Precisa apenas definir as matrizes A, B, C e D Precisa apenas definir as matrizes A, B, C e D

=> arquivo:=> arquivo:building&testingbuilding&testing.LTI..LTI.modelsmodels--statestate.space.pdf.space.pdf

FONTE: OGATA (2010).

EDs de 2ª Ordem na “Forma Canônica”Forma Canônica”Escritas na forma:

ondeonde ee

Na forma de variáveis de estado:Na forma de variáveis de estado:

Na forma matricial: Na forma matricial:

ondeonde

EDs de 2ª Ordem na “forma canônica”forma canônica”Autovalores de A (eigenvectors):

O sistema massa-mola-amortecedor será assintóticame nteestável quando a parte real de todos os autovalores da matriz de estado AA forem negativos, isto é, quando Re{Re{ααii} < 0} < 0.

Exercícios – aulas 4.1 e 4.2: Lista 3.

1) – Quais são os objetivos principais da análise e projeto de sistemas de controle? Explique cada um deles.2) Descreva o processo de análise da estabilidade de um sistema dinâmico, segundo Lyapunov.3) Para cada uma das EDOs de 2a ordem a seguir: resolva a ED e crie um gráfico com o comportamento da soluçãocomo função do tempo. Em seguida, classifique a estabilidade do sistema que a EDO representa, segundoLyapunov.a) y''(t) + 5 y'(t) + 6 y(t) = 0, com y(0)=4 e y'(0)=-2b) 4y''(t) + 12 y'(t) + 9 y(t) = 0,com y(0)=6 e y'(0)=3c) y''(t) - 4 y'(t) + 13 y(t) = 0, com y(0)=-1 e y'(0)=2d) y''(t) + y'(t) + y(t) = 0, com y(0)=3 e y'(0)=2e) y''(t) + 4 y(t) = 0, com y(0)=2 e y'(0)=24) Para os itens d e e anteriores: faça um gráfico do “retrato de fase” do sistema, isto é, grafique y

1(t) X y

2(t), onde

y1(t) e y

2(t) são as duas soluções que compõem a solução geral da EDO. Depois, comente a estabilidade do sistema

a partir deste gráfico.5) Defina a resposta transitória e a resposta estacionária de um sistema de controle.6) Como avaliar a estabilidade de um SLIT forçado do ponto de vista da resposta da natural do sistema (homogênea) e do ponto de vista da resposta total do sistema?7) Tome as EDOs dadas no exercício 3 e considere o caso não homogêneo, isto é, quando os sistemas representadospelas EDs são forçados: y''(t) + a y'(t) + b y(t) = r(t).i) para a ED do item a, obtenha a resposta total do sistema para as entrada degrau unitário e oscilatória (com r(t) = 3cos(2t)). Faça umgráfico de y(t) em função do tempo.ii) para a ED do item b, obtenha a resposta total do sistema para as entrada impulso. Faça um gráfico de y(t) em função do tempo. iii) para a ED do item d, obtenha a resposta total do sistema para as entrada degrau (com E=2). Identifique a frequência natural e o coeficiente de amortecimento do sistema. Por fim, calcule os parâmetros da resposta transitória: a frequência natural amortecida, o tempo de subida, o tempo de pico (tp), o máximo sobre-sinal (Mp) e o tempo de acomodação (ts) para faixa de 5%. Faça um gráfico com a resposta do sistema para verificar seus resultados.iv) Ainda para a ED do item d, calcule a resposta do sistema à entrada do tipo impulso (Mp e tp). Grafique a resposta obtida. Tome E = 20.

Exercícios – aulas 4.1 e 4.2:

8) Considere o mesmo sistema massa-mola amortecido do exemplo 1. A entrada u(t) é a força externa aplicada na massa. A saída do sistema y(t) é o deslocamento da massa medido a partir da posição de equilíbrio. a) Descreva o sistema na forma de variáveis de estado e, considerando a massa m = 3 kg, determine a constante elástica da mola k e o valor do coeficiente de amortecimento b do amortecedor, de maneira que Mp = 14.7% e ts = 0.5s para uma entrada degrau unitário. b) Use o MATLAB para simular e resolver o sistema. Faça e apresente os gráficos de y(t) e v(t) como função do tempo, e y(t) X y'(t) no plano de fase. Confirme os resultados dos seus cálculos nos gráficos.

9) Considere a lista 2 anterior (aula 3a). Crie um modelo em espaço de estados para o sistema representado no exercício 6.

10) Considere o sistema mecânico representado na figura a seguir. Os valores do parâmetros são: m1 = 3kg, m2=1kg, b = 10Ns/m, k1 = 10N/m, k2 = 20N/m e k3 = 30N/m. As equações do movimento do sistema são dadas. Represente este sistema em espaço de estados e analise a resposta do sistema às funções impulso e degrau. Use o MATLAB e obtenha os gráficos no tempo de x1(t) e v1(t), x2(t) e v2(t). Adicionalmente, obtenha os gráficos no plano de fase de x1 X v1 e x2 X v2. Comente, quanto à estabilidade.

Referências:• Ogata, K Engenharia de Controle Moderno. 4ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 788p.• Notas de aula de BC1507 – prof. Alfredo Lordello.

Obrigado

Entrega dos exercícios em 2 semanas.

agbrum@hotmail.com