aula 01 e 02 - matematica financeira i

Prof. Felipe Lemos

Aulas 01 e 02

Matemtica financeira

Engenharia Econmica

Engenharia Econmica Prof. Felipe Lemos

Problema de aquecimento

Voc tem uma fbrica de portas. Seus produtos possuem um

componente cuja fabricao feita por injeo. Atualmente voc gasta

R$ 1,00 por pea para ser feita, sendo que vende 10.000 peas no

ms.

Uma injetora como voc gostaria e o molde para sua pea seriam um

investimento de R$ 300.000,00. O custo anual de operao e

manuteno seria de R$ 30.000,00. A capacidade de produo da

mquina de 100 peas por hora.

O que voc faria? Vale pena comprar?



Considere que voc possui R$ 600.000,00 guardados para este fim

em banco, em uma aplicao que rende 8% ao ano, e que conta com

as seguintes opes:

FINAME: financiamento em 4 anos com parcela anuais iguais a R$ 81.675,34; Consrcio: parcelas anuais de R$ 76.884,33 com sorteio anuais; Usar o capital prprio Continuar terceirizando

Considere que a mquina no vale mais nada ao final de 4 anos.

Desconsidere tambm efeitos fiscais.



Usar capital prprio para comprar a mquina:

8% de juros

sobre o saldo

do ano anterior

Gastos de

operao

Investimento



Continuar terceirizando

8% de juros

sobre o saldo

do ano anterior

Gastos com

fornecedor



FINAME:

8% de juros

sobre o saldo

do ano anterior

Gasto com

financiamento e

operao

InvestimentoFinanciamento



Consrcio, contemplado no primeiro sorteio:

8% de juros

sobre o saldo

do ano anterior

Gasto com

parcelas e

operao

InvestimentoContemplado



Consrcio, contemplado no ano 1:

8% de juros

sobre o saldo

do ano anterior

Gasto com

parcelas e

operao

Investimento,

terceirizao no

ano 1 e parcelaContemplado



Considere novos cenrios:

E se as vendas crescerem para 20.000? E se cairem para 5.000? E se o rendimento da aplicao cair para 6%? E se subir para 15%? E se o preo da terceirizao cair para R$ 0,75? E se o preo da terceirizao

subir para R$ 1,50?

E se eu puder vender a mquina por R$ 75.000,00 ao fim de 4 anos? E se o custo de operao anual for de R$ 20.000,00? E se for R$ 50.000,00? E se a capacidade da mquina for de 50 peas por hora? E se for de 200? E se ?


Engenharia econmica: objetivos

Entender e saber manipular o dinheiro no tempo

Modelar sistemas de produo do ponto de vista econmico

Avaliar opes de investimento, diferentes tecnologias, diferentesmtodos, sob o crivo econmico

Avaliar risco

Conhecer ferramentas de financiamento e investimento demercado


Engenharia econmica: contexto


Cronograma


Dinheiro no tempo

Por que R$ 1,00 hoje vale mais do que R$ 1,00 amanh?

Risco de no receber

Inflao

Custo de oportunidade


Aula de hoje: matemtica financeira

Regime de capitalizao composta ou exponencial

Equivalncia de capitais

Exemplo de fluxo de caixa

Srie uniforme

Perpetuidades

Equivalncia de taxas de juros


Regime de capitalizao composta

S = P (1 + i )n

S valor futuro

P valor presente

i taxa de juros

n nmero de periodos



Exemplo:

se tenho R$ 100,00 e coloco na poupana que rende

0,5% ao ms, quanto terei em 6 meses?



Exemplo:

se tenho R$ 100,00 e coloco na poupana que rende

0,5% ao ms, quanto terei em 6 meses?

S = P (1 + i )n

S = 100 (1 + 0,005)6 = R$ 103,04



Exemplo:

quanto tenho que colocar em um CDB, que rende 1% ao

ms, para ter R$ 1.000,00 daqui um ano?



Exemplo:

quanto tenho que colocar em um CDB, que rende 1% ao

ms, para ter R$ 1.000,00 daqui um ano?

S = P (1 + i )n

1000 = P (1 + 0,01)12 = R$ 887,45



Exemplo:

um ttulo do governo com valor de face de R$ 10.000,00

pode ser comprado hoje por R$ 9.250,00, com prazo de

1 ano. Qual a taxa de juros mensal?



Exemplo:

um ttulo do governo com valor de face de R$ 10.000,00

pode ser comprado hoje por R$ 9.250,00, com prazo de

1 ano. Qual a taxa de juros mensal?

S = P (1 + i )n

10.000 = 9.250 (1 + i )12

1 + i = (10.000 / 9.250)1/12

i = 0,6518%



Exemplo:

quanto tempo tenho que deixar R$ 1.000 na poupana

(0,5% ao ms) para ter R$ 1.200,00?



Exemplo:

quanto tempo tenho que deixar R$ 1.000 na poupana

(0,5% ao ms) para ter R$ 1.200,00?

S = P (1 + i )n

1.200 = 1.000 (1 + 0,005 )n

(1 + 0,005 )n = 1,2

n = log1,005 1,2 = log10 1,2

log10 1,005=

1,2

1,005= 36,55 meses



Exerccio:

quanto tempo tenho que deixar um certo capital em uma

aplicao que rende 10% ao ano para que ele dobre?


Equivalncia de capitais

Dois capitais so equivalentes quando obedecem a relao de

capitalizao composta em um dado contexto.

R$ 100,00 equivalente a R$ 103,04 a uma taxa de 0,5% ao ms, 6 meses antes

R$ 1.000,00 equivalente a R$ 887,45 a uma taxa de 1% ao ms, 12 meses depois

R$ 10.000 equivalente a R$ 9.250 a uma taxa de 0,6518% ao ms, 12 meses antes


Fluxo de caixa

0

1 2

3

4

Estruturao

Encaixes: seta para cima

Desencaixes: seta para baixo

Escala coerente com a taxa de juros

R$ 10.000,00

R$ 3.500,00

R$ 2.500,00

R$ 1.000,00

R$ 5.500,00

Compro um carrinho de pipoca a R$ 10.000,00, lucro R$ 3.500,00 no primeiro ms,

R$ 2.500,00 no segundo, tenho um prejuzo de R$ 1.000,00 (manuteno) e um

lucro de R$ 5.500 no quarto ms, quando vendo-o usado. Foi um bom negcio?

Considere que meu dinheiro poderia ter rendido 2% ao ms.


Fluxo de caixa

0

1 2

3

4

R$ 10.000,00

R$ 3.500,00

R$ 2.500,00

R$ 1.000,00

R$ 5.500,00

Comparao sempre em um nico

ponto no tempo (geralmente 0):

R$ 10.000,00 j est no 0

Quanto vale R$ 3.500,00 um ms depois?

3.500 = P (1 + 0,02 )1 P = R$ 3.431,37

Quanto vale R$ 2.500,00 dois meses depois?

2.500 = P (1 + 0,02 )2 P = R$ 2.402,92

Quanto vale R$ 1.000,00 trs meses depois?

1.000 = P (1 + 0,02 )2 P = R$ 942,32

Quanto vale R$ 5.500,00 quatro meses depois?

5.500 = P (1 + 0,02 )2 P = R$ 5.081,15


Fluxo de caixa

0

1 2

3

4

R$ 10.000,00

R$ 3.500,00

R$ 2.500,00

R$ 1.000,00

R$ 5.500,00

Saldo (comparando todos no perodo 0):

-10.000,00 + 3.431,37 + 2.402,92 - 942,32 + 5.081,15 = R$ -26,88

Meu dinheiro teria rendido mais na aplicao


Fluxo de caixa

Exerccio:

Considere um fluxo de caixa com a seguinte caracterstica:

Investimento de R$ 10.000,00

Retornos anuais de R$ 2.000,00 por 10 anos

Custo de oportunidade de 10% ao ano

Vale pena o investimento? E se o seu custo de oportunidade for de 20% ao ano?


Srie uniforme

0

1 2 3 4

x x x x Caso especial: srie com um

investimento no perodo 0 e

retornos iguais nos demais (ou o

contrrio, entrada no perodo 0 e

pagamentos iguais nos demais)

Muito comum: financiamentos,

negcios estveis, aplicaes

financeiras etc.

= (1 + )1

(1 + )


Srie uniforme: exemplo

Sua loja vende um produto que custa R$ 1.000,00 vista. Seu custo financeiro de

2% a.m. Quanto deve ser o valor da parcela se voc divider em 12 vezes?

= (1 + )1

(1 + )

1.000 = (1 + 0,02)121

(1 + 0,02)120,02 =

1000

1,0212 11,02120,02

=1000

10,5753= $94,56



Sua fbrica vende um produto por R$ 600,00 em 4 parcelas de R$ 150,00 sem juros,

sendo uma vista e as outras 3 com 30, 60 e 90 dias. Considerando um custo de financeiro

de 1% a.m., calcule o desconto que pode ser dado vista.

= (1 + )1

(1 + )

= 150(1 + 0,01)31

(1 + 0,01)30,01 = 150

1,013 1

1,0130,01= 150 2,9410 = $ 441,15

= 150[] + 441,15[] = $591,15

=600 591,15

600= 1,475%



Sua fbrica vende um produto por R$ 900,00 em 3 parcelas de R$ 300,00 sem juros, com

30, 60 e 90 dias. Considerando um custo de financeiro de 1% a.m., calcule o desconto que

pode ser dado vista.

= (1 + )1

(1 + )

= 300(1 + 0,01)31

(1 + 0,01)30,01 = 300

1,013 1

1,0130,01= 300 2,9410 = $ 882,30

=900 882,30

900= 1,97%



Voc tem a opo de comprar um produto por R$ 1.000,00 dividido em 4 parcelas iguais

mensais, sem entrada. Se pagar vista, tem 3% de desconto. Supondo que voc possui

dinheiro suficiente e este est rendendo 1% ao ms no banco, avalie a melhor opo.

= (1 + )1

(1 + )

= 250(1 + 0,01)41

(1 + 0,01)40,01 = 250 3,9020 = $ 975,50

= 1.000 1 0,03 = $ 970,00


Perpetuidade

0

1 2 3

x x x x Caso especial: srie com um

recebimentos ou retornos iguais

infinitamente

Muito comum em avaliaes de

empresas ou ativos durveis.

=


Perpetuidade: exemplo

Voc dono de uma fbrica que lucra anualmente R$ 500.000,00, lquido e disponvel aos

acionistas. Um banco de investimento faz uma oferta de R$ 2.000.000,00 por 50% da sua

empresa. Qual sua deciso, supondo que seu custo de oportunidade previsto para os

prximos anos a atual taxa SELIC?

=

=250.000,00

0,1225 =

250.000,00

0,1225= $ 2.040.816,33


Equivalncia de taxa de juros

O que melhor: uma aplicao rende 12% ao ano e ou 1% ao ms?

Se colocarmos R$ 1,00 em uma aplicao de 12% ao ano, ao final de 1 ano teremos:

S = 1 (1 + 0,12 )1 = R$ 1,20

Se colocarmos R$ 1,00 em uma aplicao de 1% ao ms, ao final de 1 ano teremos:

S = 1 (1 + 0,01 )12 = R$ 1,27

Como podemos converter taxas equivalentes, ento?



Taxa equivalentes so aquelas que levam mesma capitalizao

em perodos iguais.

S1 = P1 (1 + i1 )n1

S2 = P2 (1 + i2 )n2

Para que seja equivalentes, S1/P1 = S2/P2, ento (1 + i1 )n1 = (1 + i2 )n2

Exemplo: qual o equivalente mensal de 10% ao ano?

1 ano (n1) = 12 meses (n2)

(1 + 0,1 )1 = (1 + i2 )12 i2 = 0,7974%



Exerccio: quanto a poupana rende ao ano?

(A poupana uma aplicao que rende 0,5% ao ms)


Equivalncia de taxa de juros: exemplos

Quanto rende a taxa SELIC ao ms?

(1 + 0,1225 )1 = (1 + i )12 i = 0,9676%

Quanto rende a poupana ao ano? (0,5% a.m.)

(1 + i )1 = (1 + 0,005 )12 i = 6,1678%

Quanto custa o crdito rotativo do carto de crdito ao ano? (8,90% a.m.)

(1 + i )1 = (1 + 0,089 )12 i = 178,1855%

Quanto a taxa ao bimestre de uma aplicao que rende 3,5% ao trimestre?

(1 + i )3 = (1 + 0,035 )2 i = 2,3199%


Financiamentos

Modelos de financiamento

Price: parcelas iguais

SAC: Sistema de Amortizaes Constantes

SACRE: Sistema de Amortizaes CREscentes


Financiamentos

Tabela Price (5 anos, 10% a.a.)


Financiamentos


Frmula de

sries uniformes


Financiamentos


10% do saldo

devedoranterior

Amortizao = Prestao Juros

Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)


Financiamentos



Financiamentos

SAC (5 anos, 10% a.a.)


Financiamentos


Valor financiado

dividido pelonmero de perodos


Financiamentos




Financiamentos



10% do saldo

devedoranterior


Financiamentos



10% do saldo

devedoranterior

Prestao = Amortizao + Juros


Financiamentos

SACRE (5 anos, 10% a.a.)

10% do saldo

devedoranterior


Mdia aritmticaentre Price e SAC

Mdia aritmtica entre Price e SAC


Financiamentos: exemplo genrico

Voc tomou um financiamento com as seguintes caractersticas:

Valor total: R$ 1.000.000,00

Prazo: 10 anos, com primeiro pagamento ao final do quarto ano

Juros: 5% ao ano por 6 anos, 7% ao ano nos ltimos 4

Pagamentos:

Amortizao: constante a cada 2 anos

Juros: anual, mesmo na carncia



Voc tomou um financiamento com as seguintes caractersticas:

Valor total: R$ 1.000.000,00

Prazo: 10 anos, com carncia de 2 anos

Juros: 10% ao ano

Pagamentos: constante, a partir do terceiro ano, inclusive dos juros

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