sgc cef 2014 engenheiros matematica 01

LUCIANO LUIZ MANARIN D’AGOSTINIDOUTOR EM DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO / UFPR

ALUNO VISITANTE DO DOUTORADO EM MÉTODOS NUMÉRICOS / ESTATÍSTICA / UFPR PESQUISADOR DE MÉTODOS DE PREVISÃO EM POLÍTICA MONETÁRIA

INTEGRANTE DO GRUPO DE PESQUISA MACROECONOMIA ESTRUTURALISTA DO DESENVOLVIMENTO/CNPQDIRETOR DA EXPERT-SEG CORRETORA DE SEGUROS TODOS OS RAMOS

GESTOR DE CARTEIRAS DE INVESTIMENTOS HABILITADO PELA CVM

Economista (2002), Mestre (2004) e Doutor (2010) pela Universidade Federal do Paraná. Foi alunovisitante do curso de Doutorado em Métodos Numéricos Aplicados a Engenharia da UFPR. Temexperiência no mercado financeiro e seguros, atuando como consultor nos seguintes temas:gestão de carteiras, seguros, política monetária, taxas de juros, taxa de câmbio, inflação,investimentos em renda fixa e variável. É co-autor do Livro Política Monetária, Bancos Centrais eMetas de Inflação (FGV, 2010) e autor do Livro Econometria Temporal Multivariada, Ed. Blucher(2011). Possui artigos macroeconômicos, de finanças e econométricos publicados em revistacientífica, livro de economia, congressos de economia, reportagens em jornais e revistaseconômicas de grande circulação como Valor Econômico, O Globo, Revista Época e RevistaVeja. É gestor de recursos habilitado pela CVM. É corretor de seguros habilitado pela SUSEP eagente de fomento mercantil habilitado pela ANFAC. É professor de Estatística, Matemática,Microeconomia e Macroeconomia do curso preparatório para a ANPEC (CORECON/PR) eprofessor eventual dos cursos de pós-graduação em finanças de diversas instituições. Foipremiado pelo CORECON no Prêmio Paraná de Economia (2005), categoria Artigo de Economia,pelo COFECON no Prêmio Brasil de Economia 2010 e 2012, categoria Livro e em 2013 nacategoria Artigo científico. Recebeu também o Prêmio de Selo de Qualidade Acadêmica daEditora Blucher (2011), categoria Tese de Doutorado. A área de pesquisa concentra-se emmacroeconomia, finanças, estatística e séries temporais.

e-mail: [email protected] Telefones: (41) 3206-1893 / (41) 9673-1842

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Determinação do custo de vários tipos de empréstimos e

financiamentos (BNDES, CEF e BB)

Avaliação de títulos públicos

Taxa de retorno de projetos de investimento

Operações que envolvem séries de pagamentos ou recebimentos:

SÉRIES DE PAGAMENTOS:

Passos

•Dados

•Gráfico (Fluxo de Caixa)

•Transformar dados para a mesma base

•Aplicar fórmulas

•Analisar resultados

• Decisão de Investimento


Fluxo de Caixa e Simbologia

Tempo: período de capitalização dos juros.

0 1 2 3 4 5 6

(-) Despesas

(+) Receitas F F

P

(n) Tempo: dias,

meses,

anos, etc.

n


Pagamento Simples:

Série Gradiente:

G

0 1 2 3 4 ...

n

2G3G (n-1)G

Série Uniforme:

Receitas (ou despesas)

iguais ao longo do tempo

Série de Pagamentos ou Recebimentos

P

0 ......... .......... ........... ........ nF

A

0 1 2 ........... ........ n


Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes

n

1jj

j

i1

CF PV

Quando as periodicidades não forem uniformes, o valor presente (PV) é obtido da seguinte forma:

Onde:

CFj = valor (fluxo de caixa) a ser recebido ou pago no período j


Exemplo

O valor presente de uma dívida que deve ser paga em 3 parcelas mensais consecutivas de $ 100.000,00, $ 150.000,00 e $ 200.000,00, respectivamente, à taxa de 1,2% a.m., é:

321,012

200.000,00

1,012

150.000,00

1,012

100.000,00PV

40,969.19278,463.14623,814.98PV

41,247.438 $PV



n

1jj

j

i1

CF PV

3

1jj

j

i1

CF PV

3

3

2

2

1

1

i1

CF

i1

CF

i1

CF PV


n

1j

j-n

j i1 CF FV

A identidade do valor (montante) para uma série de pagamentos ou recebimentos não uniformes pode ser

expressa da seguinte maneira:

Onde:

CFj = valor (fluxo de caixa) a ser recebido ou pago no período j


Exemplo

O valor futuro ao final do mês 4 dos pagamentos mensais da dívida apresentada atinge:

1,01200,000.2001,01200,000.1501,012100.000,00FV23

00,400.20260,621.15337,643.103FV

459.664,97 $FV



n

1j

j-n

j i1 CF FV

4

1j

j-4

j i1 CF FV

3-4

3

2-4

2

1-4

1 i1 CFi1 CFi1 CF FV

Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes

i

ni1-1

PMT PV

Quando as séries de pagamentos ou recebimentos de mesmo valor e periodicidade, o valor presente (PV) poderá ser obtido da seguinte forma:

Onde:

PMT = valor de cada pagamento ou recebimento uniforme periódico

= Fator de valor presente (FVP)i

ni1-1



Exemplo: o valor presente de um bem que é pago em 10 prestações mensais e iguais de $ 5.000,00, à taxa de juros de 2,0% a.m., é:

02,0

02,1100,000.5PV

10

982585,800,000.5PV

44.912,93 $PV

Representa o preço à vista do bem, isto é, o valor máximo de pagamento à vista supondo uma taxa de desconto de 2% a.m.


i

ni1-1

PMT PV

02,0

02,01100,000.5PV

10


i

n1i1

PMT FV

O valor futuro (FV) de uma série uniforme de fluxos de caixa é obtido por:

Onde:


= Fator de valor futuro (FVF)i

n1i1


Exemplo

Um pessoa aplica, no fim de cada mês, a quantia de $ 4.000,00 durante 12 meses, numa aplicação financeira que rende 1,5% a.m. Ao final do período, esse aplicador acumula a quantia de:

015,0

1015,100,000.4FV

12

041211,1300,000.4PV

52.164,85 $PV



i

n1i1

PMT FV

015,0

1015,0100,000.4FV

12

Anuidades perpétuas

i

PMT PV

O cálculo do valor presente para fluxos de pagamento ou recebimentos com durações indeterminadas se dá

seguinte forma:

Onde

PV = valor presente


i = taxa de desconto


Exemplo

Suponha uma renda mensal perpétua de $ 1.000,00. O valor presente, à taxa de desconto de 1% a.m., é

Anuidades perpétuas

*

01,0

00,000.1 PV

100.000,00 $ PV


i

PMT PV

Coeficientes ou fatores de financiamento

ni

i

11 CF

Coeficiente de financiamento (CF) é a expressão que, quando multiplicado pelo valor do crédito, produz as

prestações periódicas

Onde

= inverso do fator de valor presenten

i

i

11


Exemplo

O coeficiente de financiamento a ser pago em seis prestações mensais iguais, à taxa de 1,4% a.m., é de 0,174928, isto é:

Coeficientes ou fatores de financiamento

6014,11

014,0 CF

0,174928 CF

080033,0

014,0 CF


ni

i

11 CF

6014,011

014,0 CF

A inflação não produz resultados compensáveis na

estrutura patrimonial das empresas

Os efeitos inflacionários devem ser tratados isoladamente, de acordo com sua intensidade e natureza

Ao trabalhar com valores nominais, a empresa poderá gerar

decisões inadequadas

Introdução

CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE

ATUALIZAÇÃO E INFLAÇÃO

As informações financeiras possuem frágilrepresentatividade quando não adaptadas a ambientesinflacionários

Representatividade dos Dados Financeiros em Ambientes Inflacionários

É fundamental efetuar processos de ajustes nos valores

nominais para obter resultados reais

Esses processos são realizados mediante:

Indexações (Inflacionamento)

Desindexações (deflacionamento)



Resultado de uma operação calculado após retirar os acréscimos oriundos da inflação

É definida em função de dois componentes:

a) Taxa real (excluída a inflação) e

b) Taxa de inflação



Expressão de cálculo para a taxa real:

r1 INF1 i 1

1 INF 1

i 1 r

i = taxa nominal

INF = taxa de inflação

r = taxa real




Exemplo

Taxa de Inflação de

19,98%

em 1999

01/01/1999 31/12/1999

$ 390.000,00

$ 300.000,00 Crescimento nominal da aplicação:

Crescimento real da aplicação:

30%ou 3,0 1 300.000,00 $

390.000,00 $

8,4%ou 084,0 1 1,1998300.000,00 $

390.000,00 $




Resumindo,

Valor de venda do imóvel no fim do ano $ 390.000,00

Valor de aquisição no início do ano ($ 300.000,00)

Ganho nominal (aparente) $ 90.000,00

Reajuste pela inflação ocorrida no período

($ 300.000,00 x 19,98%) ($ 59.940,00)

Ganho real $ 30.060,00

Rentabilidade nominal

$ 90.000,00 / $300.000,00 30%

Rentabilidade real

$ 30.060,00 / ($ 300.000,00 + $ 59.940,00) 8,4%



Taxa de Inflação:

4,1% a.a.Evolução das vendas:

2005 2006

$ 8,0 milhões

$ 8,3 milhões

Crescimento nominal das vendas:

Crescimento real das vendas:

3,75% ou 0375,01008.000.000, $

008.300.000, $

0,33%- ou 0033,011,041008.000.000, $

008.300.000, $



Taxa de Inflação:

4,1% a.a.Evolução da aplicação:

2005 2006

$ 40.000,00

$ 46.000,00

15%ou 15,0100,000.40 $

00,000.46 $

%47,101047,01041,100,000.40 $

00,000.46 $ou

Crescimento nominal da aplicação:

Crescimento real da aplicação:



Variação Cambial

Variação da relação existente entre a moeda nacional e uma moeda internacional (dólar)

Referencia a queda do poder aquisitivo da moeda nacional em relação a determinada moeda externa

Ideal para empresas/investidores que tenham dívidas e/ou recebimento em moeda estrangeira ou que atuem na importação e/ou exportação


ATUALIZAÇÃO CAMBIAL

• Taxa de Câmbio Nominal. É a taxa de câmbio propriamente dita, ou seja, o preço em moeda nacional de uma unidade de moeda estrangeira.

• Taxa de Câmbio Real. É a taxa de câmbio nominal descontada da inflação em dado período de tempo.

• A seguinte equação apresenta o cálculo do câmbio real:

1 + = ( 1 + | | ) . ( 1 + * ) / ( 1 + )

onde:

• = variação relativa da taxa de câmbio real.

• = variação relativa da taxa de câmbio nominal, em módulo.

• = taxa de inflação interna.

• * = taxa de inflação externa.


ATUALIZAÇÃO CAMBIAL

Determinação da Taxa de Inflação

Identidade de mensuração da taxa de inflação

1I

IINF

tn

n

INF = taxa de inflação medida segundo determinado índice de preços;

I = índice de preços utilizado para a mensuração da taxa de inflação

n, n-t = data de levantamento e período anterior

CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO:

DETERMINAÇÃO DA INFLAÇÃO

Exemplo

IGP-M de 2002 = 178,099

IGP-M de 2003 = 195,827

1I

IINF

tn

n

1 178,099

195,827 M)-(IGP INF

9,95%ou 0995,0 M)-(IGP INF


DETERMINAÇÃO DA INFLAÇÃO

Indica o decréscimo do poder de compra (poder aquisitivo) da moeda

Pode ser apurada partindo-se de um índice específico de preços ou da taxa de inflação

n

tn

I

I1TDM

INF1

INFTDM

CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: TAXA DE

DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA - TDM

Ano Taxa de inflação (INF) Taxa de Desvalorização

da Moeda Nacional (TDM)

1996 11,1% 10,0%

1997 7,91% 7,3%

1998 3,89% 3,7%

1999 19,98% 16,7%

2000 9,81% 8,9%

Taxa de desvalorização da moeda nacional em diferentes anos medida pelo IGP-di

167,01998,01

1998,0

Um assalariado que ganhasse $ 1.000,00 mensais e consumisse toda a sua renda, ao final do ano de 1999 poderia manter unicamente

83,3% se seu padrão habitual de consumo (100% - 16,7%).

CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: TAXA DE

DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA - TDM

Operações com pagamentos/recebimentos fixados

Dados do empréstimo:

Valor = $ 100.000,00

Juros = 10% a.a.

Correção Monetária = variação IGP-M

IGP-M no ano = 4,5%

Final do primeiro ano

FV = $ 100.000,00 x (1,10) x (1,045) = $ 114950,00

CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: DEPÓSITO COM

CORREÇÃO MONETÁRIA.


De outra maneira:

Correção monetária do principal

($ 100.000,00 x 0,045%) = $ 4500,00

Juros sobre o capital emprestado

($ 100.000,00 x 10%) = $ 10.000,00

Juros sobre a correção monetária do capital

($ 4500,00 x 10%) = $ 450,00

Encargos Financeiros: = $14950,00

CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: DEPÓSITO COM

CORREÇÃO MONETÁRIA.

O montante ao final do segundo ano é calculadopartindo-se do resultado acumulado ($ 114950,00)obtido ao final do período anterior. Assim, para umataxa de inflação de 4% no segundo ano, obtém-se:

Final do segundo ano:

FV = $ 100.000,00 x (1,10) x (1,045) x(1,10)x(1,04)FV = $ 132.135,03


CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: DEPÓSITO

COM CORREÇÃO MONETÁRIA.

Inflação acumulada nos dois anos:

[(1,045) x (1,04) – 1] = 0,0868% ou 8,68% - correção monetária indexada a inflação.

[(1,10) x (1,10) – 1] = 21%

Juros acumulados nos dois anos:

Total :

[(1,045) x (1,04) x (1,10)2 – 1] = 31,5% -aumento da dívida em 31,5%


CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: DEPÓSITO

COM CORREÇÃO MONETÁRIA.

e-ir

r=π

r<π

r>π

Decisões de investir em ambiente inflacionário.


TAXA DE JUROS NOMINAL E REAL.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO

Dr. Luciano D’Agostini

• Amortização de Empréstimos de Curto Prazo

– Postecipados e Antecipados

– Reciprocidade

• Amortização de Empréstimos de Longo Prazo

– Método Francês ou Tabela Price

– Sistema de Amortização Constante (SAC)

– Sistema SAM ou Misto

– Sistema Americano

• Sinking Fund

– Empréstimos com carência

– Empréstimos com “parcelas intermediárias”

– Cláusulas de Reajustamento

Introdução

• Nem sempre as empresas possuem capital próprio para

investir em um dado projeto.

• Oportunidades não esperarão que a empresa poupe o

suficiente para investir.

• Conseqüência: obtenção de empréstimos.


Amortização a Juros Simples (postecipados)

• Repagamento de principal e juros é realizado de uma única vez, ao final do prazo do empréstimo

• Relembrando a fórmula:

• Exemplo: Empréstimo de R$ 100.000 com prazo de 5 meses, a 4% ao mês. Qual o valor devido?

F = P . ( 1+ i . n )

F = 100.000 (1+5.0,04) =

F = 100.000 (1+0,2) =

F = R$ 120.000


Amortização a Juros Simples (antecipados)• Cobrança antecipada dos juros do empréstimo. Têm-se os juros

nominal, j, diferente da taxa de juros real, i.

Calculando i:

0 1 2 3 4

n

………..

F = E

JE

P Recebido pelo tomador do

empréstimo

Fica com o banco

Devolvido

ao banco

Tem-se:

j é a taxa de juros (nominal) do financiamento;

n é o número de períodos;

P é a quantia emprestada efetivamente

J são os juros (E.j.n)

E é o valor de referência do empréstimo (P+J)

F é o repagamento do valor de referência

do empréstimo; e

i é a taxa real de juros simples.


).1(

).1(

).1(

..

)..(

..

nj

ji

ni

EP

njEP

njEEP

njEPE

njEJ

JPE

Juros Antecipados (exemplo)

Uma pessoa, necessitando de R$ 1.000,00 por 6 meses,

tomou emprestado em um banco que cobra nesse tipo de

financiamento juros simples antecipados à taxa de 2,5% ao

mês. Perguntas?Qual a taxa real de juros a ser paga?

Qual o valor do empréstimo (E) a ser tomado?

Qual o valor dos juros J pagos?

Qual o valor de P:


mai

i

i

i

i

nj

ji

.%94,2

02941,0

85,0

025,0

)15,01(

025,0

)6.025,01(

025,0

).1(

50,1176$

)1765,1.(1000

)6.0294,01.(1000

).1.(

).1(

E

E

E

niPE

ni

EP

47,176$

15,0.50,1176

)6.025,0.(50,1176

..

J

J

J

njEJ

00,1000$

50,17650,1176

P

P

JEP

Reciprocidade• Mecanismo adicional de ganho, representa a manutenção de um

saldo mínimo em conta

• Saldo é dada pela taxa de reciprocidade (r)

• Juros antecipados J = E.j.n

• Observamos:

• Ao fim do empréstimo, o principal é pago. Tem-se:

• Igualando (A) e (B), encontra-se:

P = E – E.j.n (sem reciprocidade)

P = E –r.E – j.n.E (com reciprocidade)

E = P / (1-r-j.n) ≡ E/P = 1/(1-r.j.n) (A)

F = E = P.(1+i.n) ≡ E/P = (1+i.n) (B)

E / P = [1/(1-r-j.n)] = (1+i.n)

i.n = [1/(1-r-j.n)] –1

i.n = [1-1+r+j.n]/(1-r-j.n)

i = [r+j.n]/[n.(1-r-j.n)] (C)


Reciprocidade (Exemplo)

• Substituindo os dados do problema anterior:

– P = 1000; j = 2,5% ao mês; e n = 6 meses

• E supondo r = 10% - saldo mínimo em conta

• Portanto, i = 5,56% ao mês, uma taxa efetiva bem maior

que a nominal, de 2,5% ao mês, quando levada em

conta a reciprocidade.

i = [r+j.n]/[n.(1-r-j.n)] (C)

Substituindo:

i = (0,10 + 0,025.6)/6.(1-0,10-0,025.6) = 0,0556 = 5,56%


Amortização de Empréstimos a longo prazo

• Juros compostos

• 3 métodos principais:

– Tabela Price: prestações constantes;

– Sistema Americano: juros constantes;

– Sistema de Amortização Constante (SAC): Amortização

constante;

• O saldo devedor no início do 1º. período é o valor do

empréstimo. Os juros devidos ao cabo de cada período são

iguais ao produto da taxa de juros pelo saldo devedor no

início daquele período, sempre.

• A amortização depende do sistema ou método acordado entre

a instituição que concede o financiamento e a empresa

tomadora do empréstimo


Tabela Price ou sistema francês de amortização (SFA)

• Método mais empregado no Brasil

• Pagamento em Parcelas Constantes

• Cálculo da Parcela:

– Expressão da Série Anual Uniforme

– Amortização: Diferença entre Juros e Parcela

A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)

onde

ax é a amortização do

principal no ano x;

Jx são os juros no ano x e

Sx-1 é o saldo devedor ao

final do ano x-1.

ax = A – Jx

Jx = S(x-1).i

Para x=1, S0 é o saldo devedor no

início do primeiro ano, isto é, é o

valor financiado (P).


Tabela Price - Exemplo

• Supor um empréstimo de R$ 5.000,00 pelo prazo de 10

anos, a juros de 10% ao ano. A forma de amortização é

a Tabela Price, ou Sistema Francês. É pedido montar a

tabela, calcular juros e pagamentos anuais.

A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)

A = 5000 . 0,1 . (1,10)10/[(1,10) 10-1] = 813,73.

• Sabendo que P = 5.000, os juros no ano 1 (J1) são

Jx = S(x-1).i

J1 = 5.000.0,1= R$ 500,00.

• Assim, a amortização é

ax = A – Jx

a1=(813,73 – 500,00) = R$ 313,73.

• O saldo devedor no final do ano 1 reduz-se a

S1 = S0 - a1 =(5.000,00 - 313,73)=R$ 4.686,27.



Para o ano 2, temos:

A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)

A = 5000 . 0,1 . (1,10)10/[(1,10) 10-1] = 813,73.

• os juros no ano 2 (J1) são:

Jx = S(x-1).i

J2 = 4.686,27.0,1= R$ 468,63.

•A amortização do ano 2 é:

ax = A – Jx

a2=(813,73 – 468,63) = R$ 345,10

• O saldo devedor no final do ano 2 reduz-se a:

S2 = S1 - a2 =(4.686,27 – 345,10)=R$ 3.431,17.

• Prosseguindo para os próximos anos da mesma forma,

compõe-se a seguinte tabela:



(A) (B) (C) (D) (E) (F)

Parcela Pgto Juros Amort Acum Saldo

1 R$ 813,73 R$ 500,00 R$ 313,73 R$ 313,73 R$ 4.686,27

2 R$ 813,73 R$ 468,63 R$ 345,10 R$ 658,83 R$ 4.341,17

3 R$ 813,73 R$ 434,12 R$ 379,61 R$ 1.038,44 R$ 3.961,56

4 R$ 813,73 R$ 396,16 R$ 417,57 R$ 1.456,01 R$ 3.543,99

5 R$ 813,73 R$ 354,40 R$ 459,33 R$ 1.915,33 R$ 3.084,67

6 R$ 813,73 R$ 308,47 R$ 505,26 R$ 2.420,59 R$ 2.579,41

7 R$ 813,73 R$ 257,94 R$ 555,79 R$ 2.976,38 R$ 2.023,62

8 R$ 813,73 R$ 202,36 R$ 611,37 R$ 3.587,75 R$ 1.412,25

9 R$ 813,73 R$ 141,23 R$ 672,50 R$ 4.260,25 R$ 739,75

10 R$ 813,73 R$ 73,98 R$ 739,75 R$ 5.000,00 R$ 0,00

Totais 8.137,27 3.137,27 5.000,00


Tabela Price - Exemplo• Gráfico ilustrando pagamentos

Pagamentos - Tabela Price

R$ 0.00

R$ 200.00

R$ 400.00

R$ 600.00

R$ 800.00

R$ 1,000.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Período

Valo

r

Pagamento Juros Amortização


Sistema de Amortização Constante (SAC) ou hamburguês

• Pelo fato de a amortização ser constante, a série de

pagamentos não é uniforme!

• O seguinte procedimento é tomado:

– Calculam-se as amortizações inicialmente:

– Calcula-se o saldo devedor em todos os anos

– Calcula-se os juros, sobre o saldo devedor:

Sj = Sj-1 - ai; j=1,2,...,n períodos

aj = P / n; j = 1,2,...,n períodos

Ji = Si-1 - ai; j=1,2,...,n


Sistema de Amortização Constante - Exemplo

• Do exemplo anterior, efetua-se um empréstimo no mesmo valor,mas dessa vez, o banco ou a financeira estipula pagamento pelométodo de amortização constante. Montar a tabela de pagamentos,e fazer gráfico.

Relembrando: P = R$ 5.000,00; i= 10% a.a.; n= 10 anos.

Inicialmente, a cada ano se atribui a amortização de R$ 500,00 do principalai = P/n = 5000/10 = 500 Logo a1=a2=a3=...=a10 (i =1,2,..., 10)

• No ano 1, os juros incidentes serão:

•Jx = Sx-1.i

•J1 = 5.000.(10%) = R$ 500,00.

• O saldo devedor fica:

Sj = Sj-1 - ai

S1=5.000 – 500 = R$ 4.500,00


Sistema de Amortização Constante - Exemplo

• No ano 2, temos:

• os juros pagos serão:

Jx = Sx-1.i

J2 = S1.i = 4.500.(10%) = R$ 450,00

e assim por diante...

• A parcela total a ser paga no ano 1 é:

Parcelax = amortizaçãox + jurosx

Parcela1 = a1 + j1 = 500 + 500 = 1.000,00

No ano 2 é de R$ 950,00 e assim por diante, até o ano 10.


Sistema de Amortização Constante (SAC) - Exemplo

• Tabela de AmortizaçãoSistema de Amortização Constante ( SAC )

Período(A)

Pgto(B)

Juros(C)

Amortização(D)

Amortização PagaAcumulada

(E)

Saldo Devedor(F)

1 R$ 1,000.00 R$ 500.00 R$ 500.00 R$ 500.00 R$ 4,500.00

2 R$ 950.00 R$ 450.00 R$ 500.00 R$ 1,000.00 R$ 4,000.00

3 R$ 900.00 R$ 400.00 R$ 500.00 R$ 1,500.00 R$ 3,500.00

4 R$ 850.00 R$ 350.00 R$ 500.00 R$ 2,000.00 R$ 3,000.00

5 R$ 800.00 R$ 300.00 R$ 500.00 R$ 2,500.00 R$ 2,500.00

6 R$ 750.00 R$ 250.00 R$ 500.00 R$ 3,000.00 R$ 2,000.00

7 R$ 700.00 R$ 200.00 R$ 500.00 R$ 3,500.00 R$ 1,500.00

8 R$ 650.00 R$ 150.00 R$ 500.00 R$ 4,000.00 R$ 1,000.00

9 R$ 600.00 R$ 100.00 R$ 500.00 R$ 4,500.00 R$ 500.00

10 R$ 550.00 R$ 50.00 R$ 500.00 R$ 5,000.00 R$ -

Totais R$ 7,750.00 R$ 2,750.00 R$ 5,000.00


Sistema de Amortização Constante (SAC) - Exemplo

SA C - Sis te m a d e A m o r t iz ação C o n s tan te

R $ -

R $ 2 0 0 .0 0

R $ 4 0 0 .0 0

R $ 6 0 0 .0 0

R $ 8 0 0 .0 0

R $ 1 ,0 0 0 .0 0

R $ 1 ,2 0 0 .0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Pe r ío d o

Va

lor

Pa g a m e n to Ju r o s A m o r t iz a ç ã o


Sistema de Amortização Constante sem prazo de carência• Considere como exemplo, um financiamento de R$ 5.000,00 à

taxa de 9% a.m., com um prazo de 6 meses.

•Para o primeiro período, teremos:

Saldo Devedor = 5.000,00

Juros = 5000 . 0,09 = 450,00

Amortização = 5000 / 6 = 833,33

Prestação = 833,33 + 450 = 1.283,33

•Para o segundo período:

Saldo Devedor = 5.000,00 – 833,33 = 4.166,67

Juros = 4.166,67 . 0,09 = 375,00

Amortização = 833,33 (parcela fixa)

Prestação = 833,33 + 375 = 1.208,33

E assim sucessivamente... Para os demais períodos.


Sistema Americano• Pagamento referente apenas a juros, sem amortização

• Nesse sistema:

a) os juros podem ser capitalizados ao principal ou ser pagos

durante o período ou carência considerada.

b) a devolução do dinheiro emprestado é feita de uma só vez,

no final do período ou carência. Aqui o principal é amortizado

integralmente no final do empréstimo.

– No último ano, a parcela é dada por juros + principal


Sistema Americano - ExemploO financiamento do exemplo anterior foi realizado utilizando-se

agora o sistema americano. Calcular as tabelas e fazer o gráfico

correspondente a esse financiamento.

A parcela de juros em todos os anos será J = 5.000.10% = R$

500,00.

A amortização está toda concentrada no último período.Período(A)

Pgto.(B)

Juros(C)

Amortização(D)

Amortização PagaAcumulada (E)

Saldo Devedor(F)

1 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00

2 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00

3 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00

4 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00

5 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00

6 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00

7 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00

8 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00

9 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00

10 R$ 5.500,00 R$ 500,00 R$ 5.000,00 R$ 5.000,00 R$ -


Sistema Americano - Exemplo• Gráfico de Pagamentos

S iste m a A m e ric a n o

R $ -

R $ 1 .0 0 0 ,0 0

R $ 2 .0 0 0 ,0 0

R $ 3 .0 0 0 ,0 0

R $ 4 .0 0 0 ,0 0

R $ 5 .0 0 0 ,0 0

R $ 6 .0 0 0 ,0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Pe r ío d o

Va

lor

Pa g a m e n to

Ju r o s

A m o r t iz a ç ã o


Sinking Fund• A empresa que opta por financiamentos via sistema americano

deve se preparar para, no último ano, ter um desembolso alto

(o valor do principal)

• É prática comum formar um fundo de reserva (sinking fund),

através de depósitos periódicos e iguais durante o período de

financiamento, remunerados a uma taxa isf , com o objetivo de

cobrir o pagamento do principal no último ano.

• Se isf for maior que a taxa de financiamento, é mais vantajoso

ao tomador de empréstimo utilizar o sistema americano.

• Se isf for menor que a taxa de financiamento, o sistema francês

(Price) será preferível


Tabela Price vs Sinking Fund Exemplo

• Para o exemplo de financiamento utilizado, comparar a

prestação pela tabela price com aquela obtida pelo Sistema

Americano com um sinking fund à taxa de 7,5%, 10% ou 12,5%

– Para calcular a parcela do sinking fund, podemos utilizar a

fórmula

– Obtemos, então, para as três taxas (7,5%, 10% e 12,5%):

(F=5.000;i=7,5%;n=10); então A = R$ 353,43 = SF

(F=5.000;i=10%;n=10); então A = R$ 313,73 = SF

(F=5.000;i=12,5%;n=10); então A = R$ 278,11 = SF

A = F . i / [ (1+i)n – 1 ]


Tabela Price vs Sinking Fund ComparaçãoTAXA DE JUROS (empréstimo)

Tabela Price 10% 10% 10%

Prestação (constante) R$ 813,73 R$ 813,73 R$ 813,73

TAXA DE REMUNERAÇÃO (Sinking Fund)

Sistema Americano 7,50% 10% 12,50%

Parcela Juros: cte R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00

Parcela Sinking fund R$ 353,43 R$ 313,73 R$ 278,11

Total (J+SF) R$ 853,43 R$ 813,73 R$ 778,11

Opção Price Indiferente Americano

C o m p ar ação Pr ice x A m e r ican o

R $ 6 0 0 .0 0

R $ 6 5 0 .0 0

R $ 7 0 0 .0 0

R $ 7 5 0 .0 0

R $ 8 0 0 .0 0

R $ 8 5 0 .0 0

R $ 9 0 0 .0 0

R $ 9 5 0 .0 0

R $ 1 ,0 0 0 .0 0

R $ 1 ,0 5 0 .0 0

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

T a x a d e ju r o s S F ( is f

)

Va

lor

Pr e s ta ç ã o - T a b e la Pr ic e S is te m a A m e r ic a n o + S in k in g F u n d


Sistema de amortização misto (SACRE)

• Sistema criado em 1979 pela CEF

• Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação..

• É um misto entre, o Sistema Francês de Amortização (Price) e

o Sistema de Amortização Constante (SAC).

• As prestações são resultantes da média aritmética do Sistema

Price (Francês) e SAC.

PSAM = (PPrice + PSAC) 2

Sistema Francês

SAC

SAM

Tempo

Prestações


Sistema de amortização misto (SACRE)


Carência

• Acordo entre tomador de empréstimo e financiador, habilitando que, durante um certo período de tempo, apenas os juros são cobrados, sem pagamento de amortização.

• Quando se atinge o fim da carência, o empréstimo é quitado através de algum método pré-determinado de financiamento.

• 2 tipos de carência são abordados:

– Caso 1 - Durante o prazo de carência, apenas os juros sobre o principal são devidos

– Caso 2 - Durante o prazo de carência, não há pagamento nenhum; nem de juros sobre o saldo devedor, nem de amortização do principal. Dessa forma, os juros são somados ao saldo devedor, resultando um saldo devedor maior.


Carência - Exemplo

• Financiamento de 60% do valor total de uminvestimento, no valor de R$ 10 milhões, prazo total de10 anos, com 2 anos de carência, a juros de 10% aoano.

• Fazer a projeção do financiamento utilizando-se ométodo Francês (Tabela Price) para os casos 1 e 2,anteriormente citados.


Carência -Caso 1

• Nos dois primeiros anos, há apenas pagamento de juros do principal, de R$ 10.000.000,00 . (10%) = R$ 1.000.000,00

• Como se escolheu o Sistema Price para amortização, deve se calcular a série uniforme para o principal em 8 anos, em vez de 10 anos:

Tabela Price (em $000)

(A) (B) (C) (D) (E) (F)

Parcela Pgto. Juros Amort Acum Saldo

1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 10.000,00

2 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 10.000,00

3 R$ 1.874,44 R$ 1.000,00 R$ 874,44 R$ 874,44 R$ 9.125,56

4 R$ 1.874,44 R$ 912,56 R$ 961,88 R$ 1.836,32 R$ 8.163,68

5 R$ 1.874,44 R$ 816,37 R$ 1.058,07 R$ 2.894,40 R$ 7.105,60

6 R$ 1.874,44 R$ 710,56 R$ 1.163,88 R$ 4.058,28 R$ 5.941,72

7 R$ 1.874,44 R$ 594,17 R$ 1.280,27 R$ 5.338,54 R$ 4.661,46

8 R$ 1.874,44 R$ 466,15 R$ 1.408,29 R$ 6.746,84 R$ 3.253,16

9 R$ 1.874,44 R$ 325,32 R$ 1.549,12 R$ 8.295,96 R$ 1.704,04

10 R$ 1.874,44 R$ 170,40 R$ 1.704,04 R$ 10.000,00 R$ 0,00

Totais R$ 16.995,52 R$ 6.995,52 R$ 10.000,00

A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)

A = 10.000.000 0,1 (1+0,1)8/((1+0,1)8 – 1)

A = 1.874.440,00) - calculando-se os juros e amortização, têm-se a tabela

ax = A – Jx

Jx = S(x-1).i


Carência - Caso 1

C a rê n c ia c o m P g to . J u ro s

R $ 0 ,0 0

R $ 5 0 0 ,0 0

R $ 1 .0 0 0 ,0 0

R $ 1 .5 0 0 ,0 0

R $ 2 .0 0 0 ,0 0

R $ 2 .5 0 0 ,0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Pe r ío d o

Va

lor


6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO

Carência – Exemplo Tipo 2

• Como há ausência de pagamentos de juros nos dois

primeiros anos, estes são incorporados ao principal,

logo:

F = P.(1+i)n = 10.000.000,00.(1+0,1)2 → F = 12,1

milhões

• A partir daí, a resolução é exatamente igual à

anterior, mas agora com o P = 12,1 milhões:

A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)

A = 12.100.000 0,1 (1+0,1)8/((1+0,1)8 – 1)

A = 2.268.072,40



• A partir daí, a resolução é exatamente igual à anterior, obtendo-se a tabela:

Tabela Price (Em $000)

(A) (B) (C) (D) (E) (F)


1 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 11.000,00

2 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 12.100,00

3 R$ 2.268,07 R$ 1.210,00 R$ 1.058,07 R$ 1.058,07 R$ 11.041,93

4 R$ 2.268,07 R$ 1.104,19 R$ 1.163,88 R$ 2.221,95 R$ 9.878,05

5 R$ 2.268,07 R$ 987,80 R$ 1.280,27 R$ 3.502,22 R$ 8.597,78

6 R$ 2.268,07 R$ 859,78 R$ 1.408,29 R$ 4.910,51 R$ 7.189,49

7 R$ 2.268,07 R$ 718,95 R$ 1.549,12 R$ 6.459,64 R$ 5.640,36

8 R$ 2.268,07 R$ 564,04 R$ 1.704,04 R$ 8.163,68 R$ 3.936,32

9 R$ 2.268,07 R$ 393,63 R$ 1.874,44 R$ 10.038,12 R$ 2.061,88

10 R$ 2.268,07 R$ 206,19 R$ 2.061,88 R$ 12.100,00 R$ 0,00

Totais R$ 18.144,58 R$ 6.044,58 R$ 12.100,00

ax = A – Jx

Jx = S(x-1).i



C a rê n c ia se m P g to . J u ro s

R $ 0 ,0 0

R $ 5 0 0 ,0 0

R $ 1 .0 0 0 ,0 0

R $ 1 .5 0 0 ,0 0

R $ 2 .0 0 0 ,0 0

R $ 2 .5 0 0 ,0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Pe r ío d o

Va

lor


Parcelas

Maiores

decorrentes

do período

de carência

sem

pagamento

de juros


Amortização com “parcelas intermediárias”• Em compras de imóveis não é difícil, por exemplo, encontrar

situações como esta:

• Haverá sempre, de acordo com o sistema de financiamento, abatimento de amortizações e pagamento de juros sobre o saldo devedor.

• Dependendo do financiador, pode haver desconto para uma amortização prematura do débito

30% de entrada;

4 intermediárias semestrais de 5% cada (=20%); (balão)

10% na entrega das chaves;

Saldo (40%) financiado pela Caixa Econômica Federal em

15 anos à taxa de juros de 10% ao ano; e

Prazo Total: 2 anos (4x6 meses) + 15 anos = 17 anos.


Empréstimos com Cláusula de Reajustamento

• Alguns contratos poderão ter cláusulas de reajustamento para compensar a perda de poder aquisitivo da moeda (correção monetária).

• Da aula passada, sobre inflação, temos:

• A primeira parcela desta equação é o reajuste do principal, e a segunda parcela, o reajustamento dos juros.

• Assim, reajustando-se valores tanto de principal como de juros, podem-se calcular as novas parcelas de pagamentos. O exemplo dado a seguir ilustrará bem a situação.

F = P.(1+ )+ P.i.(1+ )


Cláusula de Reajustamento ExemploSuponha-se que um empréstimo de R$ 200.000,00 foi tomado à taxa

de juros de 8% a.a. pelo prazo de 5 anos, devendo ser resgatado ao final deste período. Usar a tabela Price para calcular os 5 pagamentos anuais. Depois, utilizar a variação monetária ano a ano, por meio do reajuste pela estimativa de inflação abaixo:

A primeira parte do exercício já é conhecida. Inicialmente, calcula-se a parcela da série anual uniforme equivalente ao valor presente considerando-se a taxa de juros de 8% ao ano, para n=5 anos. Resolvendo-se as equações, encontra-se a tabela:

Ano Inflação

1 20.00%

2 18.00%

3 17.00%

4 17.00%

5 16.50%


Cláusula de Reajustamento Exemplo

Tabela Price s/ Reajuste


0 $0,00 $0,00 $0,00 $0,00 $200.000,00

1 $50.091,29 $16.000,00 $34.091,29 $34.091,29 $165.908,71

2 $50.091,29 $13.272,70 $36.818,59 $70.909,89 $129.090,11

3 $50.091,29 $10.327,21 $39.764,08 $110.673,97 $89.326,03

4 $50.091,29 $7.146,08 $42.945,21 $153.619,18 $46.380,82

5 $50.091,29 $3.710,47 $46.380,82 $200.000,00 $0,00

Total $250.456,45 $50.456,45 $200.000,00

No fim do primeiro ano, o devedor deverá pagar R$ 50.091,29. No entanto, como houve inflação de 20%, os valores deverão ser reajustados. O devedor

pagará a quantia (1+ 1).A = R$ 60.109,55. Esse reajuste incidirá de forma

igual sobre juros e amortização.

A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)

A = 200.000 0,08 (1+0,08)5/((1+0,08)5 – 1)

A = 200.000 . 0,250456 = 50.091,20

ax = A – Jx

Jx = S(x-1).i



• Dessa forma, a amortização passa a ser a1’= 1,2.a1 = 1,2.(34.091,29) = R$ 40.909,55.

• Os juros também se alteram: j1’= 1,2.j1 = 1,2.16.000 = R$ 19.200,00.

• Total da parcela 1 P1’= 40.909,55 + 19.200,00 = R$ 60.109,55.

• Imediatamente antes do pagamento da primeira parcela da dívida, o valor reajustado do saldo devedor (acrescido de juros) é de:

S1’ = S1.(1+ 1).(1+i) = R$ 200.000 (1,2).(1,08) = R$ 259.200,00.

• Após o pagamento, o saldo devedor será S1’ – P1’ = R$ 199.090,45. Essevalor é exatamente igual ao reajuste do saldo devedor inicial, ou seja, R$ 165.908,71.(1+0,20) = R$ 199.090,55. Verifica-se então, na linha relativaao ano 1, que todos os valores foram devidamente reajustados pelo índice da

inflação deste ano, isto é, foram multiplicados por (1+ 1).


Cláusula de Reajustamento Exemplo• Como índices inflacionários incidem como juros compostos

sobre saldos devedores, a inflação do período 2 terá seu efeito da

seguinte forma:

S2’ = S1.(1+i).(1+ 1).(1+ 2) = S2.(1+ 1).(1+ 2);

J2’ = S1’.i.(1+ 2) = S1.(1+ 1).i.(1+ 2) = J2.(1+ 1).(1+ 2);

a2’ = S2’ – J2’ = (S2-J2).(1+ 1).(1+ 2) = a2.(1+ 1).(1+ 2);

• Ou seja, a cada período, devem ser tomados o valor de

prestação, a amortização do período e amortização total

acumulada, juros e saldo devedor calculados sem reajuste e

atualizá-los pela inflação composta

(1+ 1).(1+ 2).….(1+ n)

• O quadro completo só poderá ser calculado por etapas, pois só

após saber o índice de inflação relativo ao ano, conseguir-se-á

calcular o reajuste causado

pela inflação. A tabela reajustada está a seguir:



• TabelaTabela Price c/ Reajuste


0 $0,00 $0,00 $0,00 $0,00 $200.000,00

1 $60.109,55 $19.200,00 $40.909,55 $40.909,55 $199.090,45

2 $70.929,27 $18.794,14 $52.135,13 $100.408,40 $182.791,60

3 $82.987,24 $17.109,29 $65.877,95 $183.355,77 $147.988,23

4 $97.095,07 $13.851,70 $83.243,38 $297.769,63 $89.902,85

5 $113.115,76 $8.378,95 $104.736,82 $451.638,44 $0,00

Total $424.236,90 $77.334,08 $346.902,82


ANÁLISE DE INVESTIMENTOS: CONCEITO


• Quando estudamos análise de investimentos ou análise de

financiamentos temos várias situações que devemos que

levar em conta para uma melhor escolha e alternativas.

• Algumas ferramentas são muito úteis para a Análise de

Investimentos:

• A) Análise do Fluxo de Caixa (FC);

• B) Método do Valor Presente Líquido (VPL);

• C) Método do Custo Anual (CA);

• D) Método da Taxa Interna de retorno (TIR)

• E) Método da Taxa Mínima de Atratividade (TMA)

• F) Método do Pay Back (PBT)

• G) Método do Custo e Benefício

• No geral, precisamos saber a taxa real de juros da operação,

para poder tomar uma decisão.

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:

MÉTODO VALOR PRESENTE.


• O Método do Valor Presente (VPL) é uma técnica sofisticada de

análise de orçamentos de capital, obtida subtraindo-se o

investimento inicial de um projeto do valor presente das entradas

de caixa descontada a uma taxa igual ao custo de capital da

empresa.

• VPL = Valor Presente das entradas de caixa – Investimento

Inicial.

• O Método do Valor Presente (VPL) considera explicitamente o

valor do dinheiro no tempo. É considerada uma técnica sofisticada

de análise de orçamentos de capital. O VPL desconta os fluxos de

caixa da empresa a uma taxa especificada. Essa taxa,

frequentemente chamada de taxa de desconto, custo de

oportunidade ou custo de capital, refere-se ao retorno mínimo que

deve ser obtido por um projeto, de forma a manter inalterado o

valor de mercado da empresa.




• Utilizando-se o Método do Valor Presente Líquido (VPL),

tanto as entradas como as saídas de caixa são traduzidas para

valores monetários atuais.

• CRITÉRIO DE DECISÃO DO VPL:

• Quando o VPL é usado para tomar decisões do tipo “aceitar-

rejeitar” o investimento, adota-se o seguinte critério:

• Se VPL> 0 aceita-se o projeto;

• Se VPL < 0 rejeita-se o projeto;

• Se o VPL>0 a empresa obterá retorno maior que o custo de

capital, aumenta o valor de mercado da empresa e a riqueza

dos proprietários.

n

0jj

j

i1

CF VPL




Vantagens

• Facilidade de cálculo, mas apenas uma vez conhecida

conhecida uma taxa de atualização apropriada.

• Conceitualmente mais perfeito e complexo que o Período de

Recuperação uma vez que considera a totalidade dos fluxos

assim como o custo de oportunidade do capital utilizado.

Desvantagens

• É normalmente problemática a determinação segura da taxa de

atualização mais apropriada.

• O pressuposto da constância no tempo da taxa de atualização

pode não ser realista, pois o custo do capital da empresa varia

no tempo, assim como as taxas para as aplicações alternativas

variam no tempo com as condições dos mercados financeiros.




Desvantagens

• É impossível estabelecer um valor normativo diferente de zero

para o VPL abaixo do qual os projetos não deverão ser

aprovados.

• Perante projetos alternativos com montantes iniciais diferentes,

este método não fornece diretamente uma classificação

racional podendo mesmo induzir em erro.

• O método não é conclusivo quando é aplicado a projetos

alternativos com vidas econômicas substancialmente

diferentes.

Aplicação

• Sejam duas alternativas A e B.

– Se VPLA(i) > VPLB(i), A é dominante em relação a B.

– Se VPLA(i) < VPLB(i) B é dominante em relação a A.

– Se VPLA(i) = VPLB(i), as alternativas são equivalentes.

• Seja uma só alternativa de investimento, dada a uma taxa de

desconto (i), utilizada pela empresa ou setor.

– Se VPLC(i) > 0, a alternativa é viável, economicamente

– Se VPLC(i) < 0, a alternativa é inviável, economicamente.

– Se VPLC(i) = 0, é indiferente investir-se ou não nesta alternativa,

mas ela ainda é viável economicamente.



• Exemplo: supondo que se invista durante 10 anos em um investimento que rende 10% ao ano. Qual o valor presente líquido a uma taxa de 10% ao ano?

• O investimento não rende nada?

• Não! Rende exatamente o valor que é base para sua comparação (10% ao ano!)

Caso o valor presente aplicado fosse de R$ 10.000,00, o valor futuro após 10 anos com uma taxa de juros de 10% ao ano (lembrando que a capitalização é composta) seria de R$ 25.937,43.O Valor Presente Líquido Descontado desse fluxo de caixa à taxa de 10% é: VPL(10%) = -10.000 + 25.937,43/(1+0,10)10

= -10.000 + 10.000 = 0! (zero)



• O valor presente líquido descontado a uma taxa i compara oinvestimento puro de todo o capital a esta taxa i e arentabilidade do fluxo de caixa projetado.

• Assim, o valor presente líquido corresponderá aoexcedente de capital em relação ao que se encontrariainvestindo o dinheiro a i% por período.

• A taxa i é denominada Taxa Mínima de Atratividade, ou Custode Oportunidade, ou ainda Custo de Capital

• No caso de um investimento financiado, i pode ser a taxa doempréstimo



Alternativas de Tempo de Vida Distintos

• Quando duas alternativas possuem tempos de vida distintos, deve-sereplicá-las até encontrar um mínimo múltiplo comum entre os tempos

Alternativa A - 3 anos Alternativa B - 4 Anos

Mínimo Múltiplo Comum 12 anos

Projeto A

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3

Anos

Val

ore

s (

R$ m

il)

Investimento

Receita

Valor Residual

Projeto B

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4

Anos

Val

ore

s (

R$ m

il)

Investimento

Receita

Valor Residual

Projetos A e B - Horizonte Comum

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Anos

Val

ore

s (

R$ m

il)

Investimento A

Receita A

Valor Residual A

Investimento B

Receita B

Valor Residual B

Britador semi-móvel vs Caminhão• Problema: Transporte de minério desde uma mina até um

britador primário, que o destinará a uma usina de beneficiamento

– Britador semi-móvel, instalado na mina a céu aberto, o transporte até o britador primário é feito por meio de correias transportadoras.

– Os caminhões, alternativamente, transportam os matacões de minério até o britador primário.

• Predominância de investimentos e custos, com sinal negativo.

• Valor residual abate os custos

• Invertendo-se os sinais, a alternativa que possuir menor VPL será a de menor custo.

Britador Semi-móvel vs Caminhão• Dados básicos

BSM CaminhãoInvestimento R$ 19,00 R$10,00Custo Oper.& Manut. (anual) R$ 2,00 R$3,00Vida Útil (n) em anos 14 7Valor Residual 20% 10%Taxa de Juros a.a. (i) 10% 10%

Fluxo de Caixa: BSM Caminhão

Ano 0 19 10

Ano 1-6 2 3

Ano 7 2 10-1+3 = 12

Ano 8-13 2 3

Ano 14 2 - 3.8 = -1.8 3 -1 = 2

O fluxo de caixa do caminhão será duplicado, para alcançar um MMC com o BSM

Investimento - VResidual + Custo Operacional

Valor Presente LíquidoValor Presente Líquido a taxas distintas (em milhões de reais)

Taxa de juros Dif. dos VPLs

-(BSM – CAM)

BSM Caminhão

2% 13,06 R$ 40,33 VPL R$ 53,40

4% 10,02 R$ 37,93 VPL R$ 47,95

6% 7,52 R$ 35,91 VPL R$ 43,43

8% 5,45 R$ 34,19 VPL R$ 39,64

10% 3,72 R$ 32,73 VPL R$ 36,46

12% 2,27 R$ 31,48 VPL R$ 33,75

14% 1,05 R$ 30,40 VPL R$ 31,44

16% 0,00 R$ 29,46 VPL R$ 29,46

18% (0,89) R$ 28,64 VPL R$ 27,75

20% (1,66) R$ 27,93 VPL R$ 26,27

22% (2,33) R$ 27,29 VPL R$ 24,97

24% (2,90) R$ 26,74 VPL R$ 23,83

26% (3,41) R$ 26,24 VPL R$ 22,83

28% (3,85) R$ 25,80 VPL R$ 21,94

30% (4,25) R$ 25,40 VPL R$ 21,15

À TMA (10%),a melhor alternativaé o BSM

Acima de 16%, mais vale optar pelo caminhão

Valor Presente Líquido• Gráfico ilustrando a tabela anterior

V A L O R P R E S E N T E L ÍQ U ID O A D IF E R E N T E S T A X A S D E

J U R O S

(1 0 ,0 0)

0 ,0 0

1 0 ,0 0

2 0 ,0 0

3 0 ,0 0

4 0 ,0 0

5 0 ,0 0

6 0 ,0 0

2%

4%

6%

8%

10

%

12

%

14

%

16

%

18

%

20

%

22

%

24

%

26

%

28

%

30

%

T axa d e Ju ros (aa)

VP

L

D i fer en ça do s V P L s B S M C am in h ão


RELAÇÃO CUSTO E BENEFÍCIO


• Por definição, a Relação Benefício/Custo (ou relação B/C)

consiste na razão entre o valor dos benefícios resultantes de

um empreendimento e o valor dos respectivos custos.

• É um índice ou indicador adimensional, cujo valor é

interpretado da seguinte forma:

• B/C < 1 : inviável (benefícios menores que os custos);

• B/C = 1 : indiferente (benefícios iguais aos custos);

• B/C > 1 : viável (benefícios maiores que os custos).




• O valor dos benefícios (B) a ser considerado deve ser o valor

equivalente de todos os benefícios que figuram no fluxo de

caixa, referido a uma certa data (data ou período de

referência), em geral a data 0 (zero), ao qual deve ser

também referido o valor dos custos (C), que deve ser, por

sua vez, equivalente à diversas parcelas de custos que

figuram no fluxo de caixa.




• Exemplo:

• Considere um investimento feito no ano 0 de R$ 3000,00

aplicado a uma taxa de 12% a.a. Temos custo de manutenção

de R$ 100. O tempo de resgate será de 5 anos e existe um

saque/retirada de R$ 1000,00 por ano.




• Exemplo:

n

1jj

j

BENEFICIOSi1

CF PV

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1BENEFICIOS

i1

CF

i1

CF

i1

CF

i1

CF

i1

CF PV

5

1jj

j

BENEFICIOSi1

CF PV

54321BENEFICIOS0,121

1000

0,121

1000

0,121

1000

0,121

1000

0,121

1000 PV

3604,80 PVBENEFICIOS




• Exemplo:

n

jj

j

CUSTOSi1

CF PV

0

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0CUSTOS

i1

CF

i1

CF

i1

CF

i1

CF

i1

CF

i1

CF PV

5

0jj

j

CUSTOSi1

CF PV

543210CUSTOS0,121

100

0,121

100

0,121

100

0,121

100

0,121

100

0,121

3000 PV

3360,50 PVCUSTOS




• Exemplo:

3360,80

3604,80

PV

PV

CUSTOS

BENEFICIOS

7,26%1,0726 PV

PV

CUSTOS

BENEFICIOS

• O Investimento é viável, dado que benefícios são maiores que

custos.

• Também temos que 3604,80 – 3360,80 = R$ 244,30


MÉTODO TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR).


• A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de juros em que o valor

presente de um fluxo de caixa futuro analisado se iguala ao valor

presente do investimento.

• A Taxa Interna de Retorno (TIR) permite descobrir e comparar o

rendimento de uma aplicação com uma outra taxa para se saber

se é ou não vantajoso.

• A Taxa Interna de Retorno (TIR) é uma medida da relação entre o

montante obtido de investimento e a quantia investida;

• O processo da Taxa Interna de Retorno (TIR) consiste em

determinar a taxa de juros para a qual o Valor Atual seja zerado

ou para a qual a Relação Benefício/Custos se torna unitária, B0/C0

= 1, ou ainda a diferença entre Benefício e Custo, em termos

monetários, no período inicial é igual a zero (B0 - C0 = 0).




• Detalhe: Como o cálculo dos valores atuais de benefícios e de

custos, em função da taxa de juros i, envolve polinômios em i de

ordem n, há em tese n raízes, ou seja, n valores de taxa de juros i

que satisfazem a condição B0 - C0 = 0 ou B0/C0 = 1.

• Na prática, toma-se a primeira raiz positiva, ou seja, a mais

próxima de zero, como valor representativo da Taxa Interna de

Retorno (TIR), sendo o resultado interpretado comparativamente

com o Custo de Oportunidade do Capital.

• Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, deve-se

calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação:N

0jj

j

TIR1

CF VPL oI0




• Na prática, toma-se a primeira raiz positiva, ou seja, a mais

próxima de zero, como valor representativo da Taxa Interna de

Retorno (TIR), sendo o resultado interpretado comparativamente

com o Custo de Oportunidade do Capital.

• Se:

• TIR < COC : inviável (o investimento alternativo tem melhor

rentabilidade);

• TIR = COC : indiferente (o investimento alternativo tem a mesma

rentabilidade);

• TIR > COC : viável (o empreendimento tem rentabilidade superior

em relação ao investimento alternativo)




• Exemplo:

• Abaixo o seguinte Fluxo de Caixa de um projeto de Investimento

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10.870.000,00

8.870.200,007.783.200,00

N

0jj

j

TIR1

CF VPL oI0

10.870.000,00=7.783.200,00*(P/A;i;9)+8.870.000,00*(P/F;i;10)

i=TIR=71,31%a.a.

Taxa de Retorno: Metodologia de Cálculo

1.Calcular VPL(i) com uma taxa de desconto inicial i0 tentativa

( ver a seguir );

2.Se VPL (i0) > 0, então :

recalcular VPL(i1), com i1> i0.

3.Se VPL ( i1 ) < 0, então :

recalcular VPL(i2), com i2< i1.

4.Fazer iterações sucessivas até chegar a VPL (i3) = 0,

Neste ponto, i3 será a TIR, Taxa Interna de Retorno.

5.Aproximações podem ser obtidas por meio de regra de três

ou interpolação gráfica, para estimar a TIR.

Valor Inicial Tentativo

1.Tomar o Valor da Simples Soma Algébrica, até o fim do último ano, de

todos os Fluxos de Caixa Pontuais, resultando no Fluxo de Caixa

Cumulativo. Não será usada nenhuma taxa de juros, isto é, (i=0) para

capitalização dos fluxos.

2.Dividir o Valor obtido em 1 pelo Investimento

3.Tomar o valor em porcentagem (%)

4.Dividir o valor obtido em 3 pelo número de anos (n)

5.Valor obtido em 4 é uma “Taxa de Retorno”, considerando-se juros

simples, em % ao ano.

Valor Inicial Tentativo

• Exemplo

Ano j 0 1 2 3 4 Somatório

FCj -50 30 30 30 30 70

70 / 50 = 140%

140%/4 = 35% ao ano = Valor Inicial Tentativo para cálculo da Taxa de Retorno

1.Calcular VPL (i ) com uma taxa de desconto inicial i, tentativa

VPL ( i = 35% )

Cálculo por Interpolação

• Tomando o exemplo e seguindo os 5 passos:


FCj -50 30 30 30 30 70

i= 35%

VPL(i) 9.91

2. Se VPL ( i ) > 0, então :

recalcular VPL ( i = 50% ), com i > i

Cálculo por Interpolação (cont.)


FCj -50 30 30 30 30 70

VPj (i) -50 20 13.3333 8.8889 5.92593 -1.851852

i= 50%

VPL(i) -1.852

3. Se VPL ( i = 50% ) < 0, então :

recalcular VPL ( i ), com i < i


4. Fazer iterações sucessivas até chegar a VPL ( i ) = 0,

aí, i será a TR, Taxa de Retorno.

5. Aproximações podem ser obtidas por meio de regra de três

ou interpolação gráfica, para estimar a TR ( a seguir ).

35% 9.91

50% -1.852

A partir de 35%

15% 11.762

x 9.91

x 12.64%

i = 35% + x 47.64%

x = 11.762 . (15%)/ 9.91

= 12.64%

9.91 - (-1.852) = 11.762


Valor Exato = 47.23%


Ano j 0 1 2 3 4

FCj -50 30 30 30 30

i= 0% 15% 30% 45% 60%

VPL (i) $70.00 $35.65 $14.99 $1.59 -$7.63

-$20.00

-$10.00

$0.00

$10.00

$20.00

$30.00

$40.00

$50.00

$60.00

$70.00

$80.00

0% 15% 30% 45% 60%

Taxa de juros (i a.a.)

VP

L (

i)

Múltiplas Taxas de Retorno

• A equação da TIR permite n raízes, ou seja, pode-se obter múltiplas taxas de retorno

• Basta, para isso, haver mais de uma inversão de sinal dos fluxos de caixa.

Ano Fluxo de Caixa

0 -16001 100002 -10000

Múltiplas TIR

(2,000.00)

(1,500.00)

(1,000.00)

(500.00)

-

500.00

1,000.00

1,500.00

0.0% 75.0% 150.0% 225.0% 300.0% 375.0% 450.0%

Taxa de Desconto a.a (i)

VP

L (

i)

VPL(i)

IA = 25%

IB = 400%

Taxas Internas de

Retorno


MÉTODO TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA).


• A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é a taxa mínima

necessária a partir do qual o investidor considera que está

obtendo ganhos financeiros.

• A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é uma taxa a qual se

associa a um baixo risco que deve render, no mínimo, a taxa de

juros básicas de mercado, equivalente a rentabilidade das

aplicações de renda fixa no momento.

• O investimento deverá apenas ser considerado quando a taxa

de retorno for maior que a TMA .

• A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) auxilia a análise de um

projeto de investimento, considerando a possibilidade de perda

da oportunidade de auferir retornos pela aplicação do mesmo

capital em outros projetos.




• Um parâmetro para estabelecer uma estimativa da Taxa

Mínima de Atratividade (TMA) é a taxa de juros praticada

no mercado.

• Algumas taxas de juros para comparação da Taxa Mínima

de Atratividade (TMA) são: Taxa de Rentabilidade da

Caderneta de Poupança, a Taxa Básica Financeira (TBF);

Taxa Referencial (TR); Taxa de Juros de longo prazo (TJLP)

e Taxa do Sistema Especial de Liquidação e Custódia

(SELIC).




• Exemplo: Considerando os seguintes investimentos

independentes, com graus de risco semelhantes, disputando

um orçamento de R$ 5.600.000,00.

PROJETO TIR Io R$A 15% 400.000,00B 18% 1.000.000,00C 14% 800.000,00D 20% 2.500.000,00E 17% 600.000,00F 15% 500.000,00G 13% 200.000,00H 21% 700.000,00I 16% 900.000,00

7 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:



• Exemplo: A TMA é obtida reordenado os investimentos a partirda TIR em ordem decrescente e somamos os investimentos até ovalor mais próximo do orçamento.

» A TIR é de 16%

PROJETO TIR Io R$ Somatório de IoH 21% 700.000,00 700.000,00D 20% 2.500.000,00 3.200.000,00B 18% 1.000.000,00 4.200.000,00E 17% 600.000,00 4.800.000,00I 16% 900.000,00 5.700.000,00A 15% 400.000,00 6.100.000,00F 15% 500.000,00 6.600.000,00C 14% 800.000,00 7.400.000,00G 13% 200.000,00 7.800.000,00

Fluxo de Caixa Diferencial

• Considere dois projetos com tempos de vida iguais

• Certas condições tornam estes investimentos redutíveis ao visto na seção 4.4.2 (uma alternativa)

– Um dos projetos possui TIR <TMA, sendo eliminado

– Os dois projetos possuem investimentos iniciais iguais no início ou durante o tempo de vida dos projetos

• Neste caso não há inversão de sinal para o Fluxo de Caixa Diferencial

• O investimento que possuir maior TIR será escolhido

Fluxo de Caixa Diferencial

• No caso em que os investimentos IA e IB nos projetos A e B forem distintos, é preciso introduzir o conceito do Fluxo de Caixa Diferencial, caso se deseje trabalhar com a TIR

• As alternativas serão ordenadas de acordo com o investimento inicial, do menor para o maior

• O fluxo diferencial é dado por:

FCDB-A = FCBj – FCAj; para (j=0,1,2,3,...,n)

Fluxo de Caixa Diferencial Exemplo

• Suponha dois projetos mutuamente exclusivos A e B, detalhados abaixo:

• Considerando-se uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano, as duas alternativas são viáveis

• Apenas pela TIR, decidiríamos pela alternativa A

• Entretanto, verifique que a Taxa Interna de Retorno do Fluxo de Caixa Diferencial (FCDB-A)é maior que a taxa mínima de atratividade

Alternativa ouProjeto

j 0 1 2 3 4 TotalTIR

(% a.a.)

A FCj -40 15 20 15 15 25 23.04%

B FCj -60 30 22 20 20 32 21.42%

B-A FCDB-A -20 15 2 5 5 7 17.24%

Fluxo de Caixa Diferencial Exemplo

• Ocorre que o investimento adicional de 20 unidades no projeto B rende mais que a taxa mínima de atratividade

• Uma forma de verificar este resultado é o cálculo da rentabilidade ponderada para as duas alternativas:

• Cálculo da Rentabilidade Ponderada para A:

• Cálculo da Rentabilidade Ponderada para B:

• Como TIRPB > TIRPA, B é escolhida

TIRPA = (IA.TIRA + I.TMA)/(IA+ I)TIRPA = (40 x 23%a.a. + 20 x 15%a.a.)/(60) = 20,3% a.a.

TIRPB = (IB.TIRB + I.TMA)/(IB+ I)TIRPB = (60 x 21,42%a.a. + 0 x 15%a.a.)/(60) = 21,42% a.a.

Fluxo de Caixa Diferencial Exemplo• O método do VPL obteria o mesmo resultado

• No caso em que IB>IA e TIRB>TIRA não é necessário calcular a rentabilidade ponderada

Comparação A x B

(R$ 10.00)

(R$ 5.00)

R$ 0.00

R$ 5.00

R$ 10.00

R$ 15.00

R$ 20.00

R$ 25.00

R$ 30.00

R$ 35.00

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 22% 24%

Taxa de Retorno

Valo

r (M

ilhões)

B A B-A


INVESTIMENTOS EXCLUDENTES E INDEPENDENTES


• Os investimentos excludentes são aqueles temos apenas uma

alternativa. Por exemplo, pode-se ter uma empresa que depara

com 10 marcas de mesas que atende seu projeto básico, mas

que apenas uma é necessária ao processo.

• Os investimentos Independente podem ocorrer

simultaneamente. Como exemplo, o investimento em uma

impressora para melhorar o setor de informática , pode ocorrertambém a compra de uma mesa para o setor administrativo.




• Exemplo de investimentos excludentes:

• Dado que a TMA = 12% a.a, vamos calcular o valor presente

• Conclusão: O investimento mais rentável é o IV





• Agora calculando pela TIR

• Conclusão: A TIR do investimento I é menor que a TMA e pode serdesprezado. Os demais investimentos II, III, IV, V e VI tem TIR igualou maior que a TMA e não podem ser desprezados.





• Agora pela comparação entre investimentos

• Opção IV.

• Prazo de repagamento do empréstimo

• Referência para julgamento de atratividade

• Investimentos de indústrias de maior “peso” geralmente possuem payback maior

• Representa o tempo no qual o projeto retorna o valor investido, ou seja, o período no qual o fluxo de caixa acumulado zera


MÉTODO PAYBACK

Exemplo

• Aproximando a taxa de retorno por ELG/(I.n)

– Inv. A: (5.10)-20 = 30/(20.10) = 15% ao ano

– Inv. B: (6.4)-18 = 6/(18.4) = 8,33% ao ano

Fluxo de Caixa - Investimento "A"

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Período

Val

or(R$

Milhões)

Fluxo de Caixa - Investimento "B"

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4

Período

Valo

r (R

$ M

ilhões)

Investimento A: 20 / 5 = 4 anos, i = 25% aa

Investimento B: 18 / 6 = 3 anos, i = 33% aaApesar do indicativo

do Payback, o

investimento A

possui maior

rentabilidade


MÉTODO PAYBACK - EXEMPLO

• Se o fluxo de caixa é regular, o inverso do payback nos dá

uma idéia da taxa de retorno do investimento

– Payback = 4 anos; Rp = 1/4 = 25% ao ano

• Algumas outras aproximações podem ser feitas:

– Taxa de Retorno Contábil sobre o investimento total

• TRC = Lucro Líquido Anual / Investimento

• LLA = 150.000; Investimento = 1.000.000

• TRC = 15 % ao ano


MÉTODO PAYBACK E TAXA DE RETORNO

• Suponha o seguinte fluxo de caixa para um investimento:

• Calcula-se o fluxo de caixa cumulativo, somando o fluxo pontual com o acumulado até o instante anterior

Fluxo de caixa irregular

-20

5 4

8 8

5 5 5

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7

Período

Valo

r (R

$ M

ilhõe

s)

Ano 0 1 2 3 4 5 6 7

Fluxo de CaixaPontual

-20 5 4 8 8 5 5 5

Fluxo de CaixaCumulativo

-20 -15 -11 -3 5 10 15 20

Entre os anos 3 e 4, o fluxo acumulado mudou de sinal


MÉTODO PAYBACK PARA FLUXOS IRREGULARES

• Análise Gráfica

• “Regra de três”

– Fluxo cumulativo aumentou $8M em um ano (de 3 para 4)

– Logo aumentou $3M em x ano (de 3 para 3 +x), assim

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

3 4

Pe ríodo

Va

lor F

C C

um

ula

tivo

A B

C

D E

x

Por semelhança de triângulos retângulos:

BC/AB = EC/DE = [+5-(-3)] / [(4-3)] =

[+5 –(0)] / [4-(3+x)] = 8/1 = 5/[1-x]

8 – 8x = 5 8x = 3 x=0,375 ano.

Assim, o payback é de 3+x = 3,375 anos,

ou 3 anos e 4 meses e meio.

8 1 assim como 3 x

x = 3/8 = 0,375 ano e

Payback = 3 anos + x ano = 3 anos + 0,375 ano = 3,375 anos.


MÉTODO PAYBACK PARA FLUXOS IRREGULARES

• Alguns analistas mencionam o payback no fluxo de caixa descontado

• A expressão do payback period poder ser generalizada,englobando o payback descontado, como nesta fórmula:

onde

FCC (t) é o valor atual do capital, ou seja, o fluxo de caixa

descontado (para o valor presente) cumulativo até o instante t;

I é o investimento inicial (em módulo), ou seja, -I é o valor algébrico

do investimento, localizado no instante 0 (início do primeiro período);

Rj é a receita proveniente do ano j;

Cj é o custo proveniente do ano j; e

i é a taxa de juros empregada.

j é um índice genérico que representa os períodos j=1 a t.

t

FCC(t) = -I + j=1(Rj-Cj)/(1+i)j; 1 t n,


MÉTODO PAYBACK DESCONTADO

Payback descontadoExemplo

• Calcule o payback descontado da série anterior, utilizando uma taxa de desconto de 10% ao ano.

Cada fluxo de caixa deverá ser descontado, ou seja, dividido por (1+0,1)j, onde j é o ano de ocorrência deste fluxo. Uma vez fazendo este desconto para toda a tabela, os valores do fluxo devem ser somados

Payback com desconto de 10% = 4,22 anos (encontrado pela regra de três)Payback simples ou sem desconto = 3,375 anos. Quanto maior for a taxa de desconto, maior será a diferença entre payback simples e payback descontado.

Ano (t) 0 1 2 3 4 5 6 7


-20 5 4 8 8 5 5 5


-20 -15 -11 -3 5 10 15 20

Valor PresenteDescontado

(Rj-Cj)/(1+i)j

-20,00 4,55 3,31 6,01 5,46 3,10 2,82 2,57

Fluxo de CaixaCum. Desc. (10%)

-20 -15,45 -12,15 -6,14 -0,67 2,43 5,25 7,82

Ano (t) 0 1 2 3 4 5 6 7


-20 5 4 8 8 5 5 5


-20 -15 -11 -3 5 10 15 20


(Rj-Cj)/(1+i)j

-20,00 4,55 3,31 6,01 5,46 3,10 2,82 2,57


-20 -15,45 -12,15 -6,14 -0,67 2,43 5,25 7,82

Ano (t) 0 1 2 3 4 5 6 7


-20 5 4 8 8 5 5 5


-20 -15 -11 -3 5 10 15 20


(Rj-Cj)/(1+i)j

-20,00 4,55 3,31 6,01 5,46 3,10 2,82 2,57


-20 -15,45 -12,15 -6,14 -0,67 2,43 5,25 7,82

Custo Anual Equivalente

• Consiste na transformação do fluxo de caixa em uma série anualuniforme.

• Muito utilizado em substituição de equipamentos

• Mais utilizado para avaliar custos do que rentabilidade de projetos

• Aceitando-se que as opções de investimentos podem ser repetidasindefinidamente, não é necessário preocupar-se com umhorizonte comum de tempo

• Pode ser calculado no Fluxo de Caixa diferencial, necessitando, noentanto, de um horizonte comum de planejamento

Custo Anual Equivalente ExemploSuponha que a manutenção de um setor de uma fábrica possua o custo distribuído da seguinte forma:•Instante 0 (Início do Ano 1): Custos de Contratação de Pessoal de Manutenção,Equipamentos de Manutenção, etc.: R$ 1 Milhão•Final dos Anos 1-10: Salários, outros custos: R$ 100 mil.

Calcule o custo anual equivalente desta opção, sabendo que se deve manter esta equipe de manutenção por 10 anos, e que a taxa de juros corrente é de 15% ao ano.

O primeiro passo para cálculo do CAE é encontrar o valor presente da série. Para tal,

é só construir o fluxo de caixa:

Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fluxo deCaixa (R$

Mil)-1000 -100 -100 -100 -100 -100 -100 -100 -100 -100 -100

Custo Anual Equivalente Exemplo

• O problema pode ser dividido em dois:

– Investimento, com valor presente de R$ 1 milhão; e

– Série Uniforme de 10 anos

• O valor presente da série, calculado por meio da fórmula (12) é - R$ 501.876,86.

• Somando-se as parcelas,

– VPL(15%) = - R$ 1.501.876,76

• Utilizando a fórmula (15) encontra-se para o CAE o valor de - R$ 299.252,06.

Custo Anual Equivalente Exemplo

• Solução Alternativa: calcular a série uniforme equivalente ao investimento de – R$ 1 milhão.

• Utilizando a fórmula (15), encontra-se o valor da anuidade de - R$ 199.252,06.

• Somando-se este valor à série uniforme de custos, tem-se:

• CAE = - R$ 100 mil + (- R$ 199.252,06) = - R$ 299.252,06.

Discussão sobre os Métodos de Avaliação

• TIR

– Medida relativa, diretamente comparável a investimentos

– Raízes múltiplas, Taxa ponderada

• VPL

– Bom valor absoluto

– Depende da estimativa do custo de capital

– Não é comparável a outros investimentos (diverso da TIR)

– Horizonte comum

• CAE

– Equivalente ao VPL

– Pressupõe repetibilidade dos investimentos

Múltiplas Alternativas• Diversidade de Projetos de Investimento

• Escassez de capital

• Alternativas podem ser mutuamente exclusivas:

– Financeiramente: Não há capital para abarcar as duas oportunidades

– Tecnicamente: Funcionalidade que se deseja atender é satisfeita com apenas uma das oportunidades

• Alternativas independentes - Tecnicamente possível realizar as duas, e uma não altera o fluxo de caixa da outra

• Alternativas dependentes

– Pré-requisito: A aceitação de um projeto está condicionada a aceitação do outro

– Incompatibilidade: São mutuamente exclusivas e a aceitação de uma veda a realização da outra

Utilizando o CAE para seleção de alternativas

• Seleção de um equipamento de transporte

• Dados preliminares

• Considera-se TMA = 15 % ao ano

• Para todas as alternativas, o fluxo de caixa deve ser montado e o CAE calculado

• Para a transportadora o CAE vem como dado direto

Alternativa Unidade Carreta Truck* Transportadora

Investimento R$ mil 100 30 0

Custos Operacionais R$ mil 10 6 35

Custos de Manutenção R$ mil 5 3 0

Valor Residual Líquido % 20% 10% 0

Tempo de Serviço Esperado(n) Anos 8 4 >8

* Serão necessários dois veículos deste tipo

• Carreta (Vida de 8 anos)

• Itens do fluxo de caixa:

– Investimento (momento presente)

– Valor Residual

– Série Uniforme de Manutenção


Fluxo de Caixa - Carreta

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Período

Valo

r (R

$ M

il)

Investimento C.Op.+C.Manut. Valor Residual

• Valores presentes dos itens do fluxo de caixa

– Investimento: - R$ 100 mil

– Valor Residual: R$ 6,54 mil

– Série Uniforme: - R$ 67,31 mil

• VPLCARRETA = - 160,77 mil

• Utilizando a fórmula (15), para o horizonte de 8 anos, encontra-se:

– CAE = - R$ 35,828 mil

• Truck (Vida de 4 anos, estendida para 8)

• Itens do fluxo de caixa:

– Investimento (instante 0)

– Valor Residual

– Série Uniforme de Manutenção

• Valores presentes, conside-rando dois trucks para 4 anos:

– Investimento: - R$ 60 mil

– Série: - R$ 51,39 mil

– VResidual: R$ 3,43 mil

– VPLTRUCK: -R$ 107.96 mil

– Como no exemplo anterior CAE = -R$ 37,81 mil

• Alternativamente, consideran-do a série para 8 anos:

– Investimento: - R$ 94,31 mil

– Série: -R$ 80,77 mil

– Vresidual: R$ 5,39 mil

• Como resultado final, CAE = - R$ 37,81 mil


Fluxo de Caixa - Truck

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Período

Valo

r (R

$ M

il)

Investimento C.Op+C.Manut Valor Residual

Sumário de Decisão

• VPL e CAE são ordenáveis e coerentes

• Análise de Sensibilidade à taxa de desconto

Opção VPL (R$ Mil) CAE (R$ Mil)

CAE(Carreta) $ -160,77 - $35,828

CAE(Truck) $ -169,69 - $37,814

CAE(Transportadora) $ -157,06 - $35,000

Análise de Sensibilidade a i

$20.00

$25.00

$30.00

$35.00

$40.00

$45.00

$50.00

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 22% 24%

Taxas de Desconto

Valo

r (R

$ M

il)

Carreta Truck Transportadora

A

B

C

A. Entre truck ou carreta, parataxas de desconto menores que21% aa (ponto A), a melhoropção é a carreta.B. A carreta apresenta menorCAE até 14% ao ano (ponto B).Quando esta taxa é excedida, atransportadora é dominante.C. Considerando apenas truck etransportadora, o truck dominaaté 10% ao ano (ponto C)

Sumário de Decisão

• Decisão por cenários

ALTERNATIVA i Decisão

Só Equipamento Próprio <21%

21%

Carreta

Truck

Todas as hipóteses < 14%

14%

Carreta

Transportadora

Truck ou Transportadora < 10%

10%

Truck

Transportadora

sgc cef 2014 engenheiros matematica 01

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