01 apresentação cónicas e quádricas

AM2

Apresentacao;Revisoes:Conicas,

Quadricas,etc.

Apresentacao

R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Analise Matematica 2

Apresentacao;Revisoes: Conicas, Quadricas, etc.

2o Semestre 2011/12

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

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Bem vindo!

Professora: Sandra Gaspar Martins

email: [email protected]

Pagina de apoio:http://moodle.isel.pt/dec/course/view.php?id=7

Horario de duvidas:

2as - das 9h30 as 11h; depois das 12h30.

3as - depois das 11h00.

5as - depois das 12h30.

6as - depois das 11h00.sala C.2.4

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Elıpticas

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Programa

1 Introducao aos campos escalares e vectoriais.

2 Calculo diferencial em Rn.

3 Calculo integral em Rn.

1 Integrais multiplos.2 Integrais de linha.3 Integrais de superfıcie.

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Bibliografia

1 J. Marsden, A. Tromba, Vector Calculus, 4th Edition,W.H. Freeman and Company, 1996.

2 McCallum, Hughes-Hallett, et al., Multivariable Calculus,5th Ed., Wiley, 2009

3 A. Azenha, M. Amelia Geronimo, Calculo Diferencial eIntegral em IR e IRn, McGraw- Hill, 1995.

4 J. Stewart, Calculo, Vol.1 e 2, Thomson Learning, 2002.

5 O. Baptista, Integrais duplos, triplos, de linha e desuperfıcie, Sılabo, 2001.

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Sitegrafia

1 http://www.wolframalpha.com/

2 Integrais duplos (applet)http://www.flashandmath.com/mathlets/

multicalc/doubint/double_integrals.html

3 Integrais duplos e triplos (applet- MIT)http://www.flashandmath.com/mathlets/

multicalc/doubint/double_integrals.html

4 Varios applets http://www.flashandmath.com/

mathlets/multicalc/index.html

5 Aulas (tudo) MIThttp://ocw.mit.edu/courses/mathematics/

18-02-multivariable-calculus-fall-2007/

6 Tutorialhttp://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/CalcIII.aspx

5/45

http://www.wolframalpha.com/

http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/doubint/double_integrals.html




http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/index.html

http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/index.html

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02-multivariable-calculus-fall-2007/

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02-multivariable-calculus-fall-2007/

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

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Avaliacao

Regime de Avaliacao Contınua: Um teste global realizadoem duas partes ao longo do semestre.

Regime de Exame: Um exame final.

Sera disponibilizada tabela com derivadas e primitivas nasavaliacoes.

Inscrever no Moodle para todos os momentos de avaliacao.

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Para fazer revisoes da materia do secundario...

http://modulos.math.ist.utl.pt/

ou

http://cmup.fc.up.pt/cmup/apoiomat/index.html

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http://modulos.math.ist.utl.pt/

http://cmup.fc.up.pt/cmup/apoiomat/index.html

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Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

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Rectas

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Conicas e outras regioes...

em R2

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Descentradas

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Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Rectas

y = mx + b m, b ∈ Rm decliveb ordenada na origem

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Circunferencias

Elipses

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Outras

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Rectas

y = mx + b m, b ∈ R

m decliveb ordenada na origem

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Elipses

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Rectas

y = mx + b m, b ∈ Rm decliveb ordenada na origem

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Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

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Cone

Cilindro

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Parabolas

y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R

zeros: x =−b ±

√b2 − 4ac

2aa > 0 ∪a < 0 ∩

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Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

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Cone

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Circunferencias

(x − a)2 + (y − b)2 = r2 a, b, r ∈ R

(a, b) centror raio

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Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

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Cone

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Elipses

(x − a

c

)2

+

(y − b

d

)2

= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0

(a, b) centroc , d semi-eixos

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Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

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Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Hiperboles

(x − a

c

)2

−(y − b

d

)2

= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0

(a, b) centroc distancia ao centrodc abertura dos arcos

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Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

x3

y = ax3 + bx2 + cx + d a, b, c , d ∈ R

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R2

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Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

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Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Modulo

y = |x |

|x | =

{x se x ≥ 0−x se x < 0

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R2

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Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Raiz

y =√x

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R2

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Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

1x

y =1

x

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Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Exponenciais

y = ax , a ∈ R+

a > 1 a < 1

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Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

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Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Logaritmos

y = loga(x), a ∈ R+

a > 1 a < 1

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Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Seno

y = sin(x)

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Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Co-seno

y = cos(x)

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Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

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Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Tangente

y = tan(x)

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Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

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Paraboloide

Cone

Cilindro

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Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Quadricas e outras regioes...1

em R3.

1Os graficos desta seccao foram retirados de Wolfram|Alphahttp://www.wolframalpha.com/

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http://www.wolframalpha.com/

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Hiperboles

Outras

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Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

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Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Paraboloide

x2 + y2 = z

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R2

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Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Superfıcie Conica - Cone

x2 + y2 = z2

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Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Superfıcie cilındrica - Cilindro

x2 + y2 = R2, R ∈ R

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R2

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Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Hiperboloide de 1 folha

x2 + y2 = z2 + A, A ∈ R+

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R2

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Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Hiperboloide de 2 folhas

x2 + y2 = z2 − A, A ∈ R+

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R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Esfera

x2 + y2 + z2 = R2

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R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

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Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Resumo

x2 + y2 = z paraboloidex2 + y2 = z2 conex2 + y2 = R2 cilindrox2 + y2 = z2 + A hiperboloide de 1 folhax2 + y2 = z2 − A hiperboloide de 2 folhasx2 + y2 + z2 = R2 esfera

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Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Descentradas

Todas estas superfıcies podem ser descentradas, ou seja, naoterem o centro na origem:

(x − a)2 + (y − b)2 = z

(x − a)2 + (y − b)2 = z2

(x − a)2 + (y − b)2 = R2

(x − a)2 + (y − b)2 = z2 + A

(x − a)2 + (y − b)2 = z2 − A

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2

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R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Elıpticas

Todas estas superfıcies podem ser elıpticas em vez de circulares:(xc

)2+(yd

)2= z(x

c

)2+(yd

)2= z2

(xc

)2+(yd

)2= R2

(xc

)2+(yd

)2= z2 + A(x

c

)2+(yd

)2= z2 − A(x

c

)2+(yd

)2+(ze

)2= 1

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R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Outro eixo

Todas estas superfıcies podem ser ao longo de outro eixo, porexemplo o eixo dos xx’s:z2 + y2 = x paraboloidez2 + y2 = x2 conez2 + y2 = R2 cilindroz2 + y2 = x2 + A hiperboloide de 1 folhaz2 + y2 = x2 − A hiperboloide de 2 folhas

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R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Resumo generalizadas(y − a

c

)2

+

(z − b

d

)2

= x(y − a

c

)2

+

(z − b

d

)2

= x2

(y − a

c

)2

+

(z − b

d

)2

= R2

(y − a

c

)2

+

(z − b

d

)2

= x2 + A(y − a

c

)2

+

(z − b

d

)2

= x2 − A(y − a

c

)2

+

(z − b

d

)2

+

(x − e

f

)2

= 1

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R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Cilindro parabolico

z = x2

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R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Cilindro hiperbolico

x2 − y2 = R2

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R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Paraboloide hiperbolico

x2 − y2 = z

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R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

outras...

z = sin(x)

y =√x

y = x

z = −x

...

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Quadricas,etc.

Apresentacao

R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Rectas em R3

Sejam A e B dois pontos da recta:A = (x1, x2, x3)B = (y1, y2, y3)P = (x , y , z) pertence a recta sse

~AP = λ ~AB

P − A = λ ~AB

P = A + λ ~AB, λ ∈ R

Equacao vectorial da recta:

(x,y,z)=(x1, y1, z1) + λ(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1), λ ∈ R

Equacao parametrica da recta:x=x1 + λ(x2 − x1)y=y1 + λ(y2 − y1)z=z1 + λ(z2 − z1)

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Quadricas,etc.

Apresentacao

R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

donde λ =

x − x1

x2 − x1

λ =y − y1

y2 − y1

λ =z − z1

z2 − z1

Equacao cartesiana ou normal da recta:

x − x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1=

z − z1

z2 − z1

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AM2


Quadricas,etc.

Apresentacao

R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Notas:

(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) e o vector director da recta.

Se uma das coordenadas do vector director e nula, porexemplo, x2 − x1 = 0, a equacao normal da recta e

x = x1y − y1

y2 − y1=

z − z1

z2 − z1

Se duas coordenadas do vector director forem nulas, porexemplo, x2 − x1 = z2 − z1 = 0 entao a equacao normalda recta e

x = x1 ∧ z = z1

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AM2


Quadricas,etc.

Apresentacao

R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

PlanosSejam A, B e C tres pontos do plano:A = (x1, x2, x3)B = (y1, y2, y3)C = (z1, z2, z3)

P = (x , y , z) pertence ao plano sse

~AP = λ ~AB + µ ~AC

P − A = λ ~AB + µ ~AC

P = A + λ ~AB + µ ~AC , λ, µ ∈ R

Equacao vectorial do plano:(x , y , z) = (x1, y1, z1) + λ(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)+

+µ(x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1)

onde A e um ponto do plano, λ, µ ∈ R, ~AB e ~AC sao doisvectores nao colineares (linearmente independentes) do plano. 43/45

AM2


Quadricas,etc.

Apresentacao

R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Equacao parametrica do plano:x=x1 + λ(x2 − x1) + µ(x3 − x1)y=y1 + λ(y2 − y1) + µ(y3 − y1)z=z1 + λ(z2 − z1) + µ(z3 − z1) λ, µ ∈ R

Equacao geral ou cartesiana do plano:

Ax+By+Cz+D=0

m

ax+by+cz=1

onde (A,B,C ) e (a, b, c) sao vectores normais(perpendiculares) ao plano;Se D = 0 o plano contem a origem.

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AM2


Quadricas,etc.

Apresentacao

R2

Rectas

Parabolas

Circunferencias

Elipses

Hiperboles

Outras

R3

Paraboloide

Cone

Cilindro

Hiperb.1 folha

Hiperb.2 folhas

Esfera

Resumo 1

Descentradas

Elıpticas

Outro eixo

Resumo 2

Outras sup.

Rectas

Planos

Autores:Sandra Gaspar Martins

eNuno David Lopes

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01 apresentação cónicas e quádricas

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