SuperfíciesSuperfícies

QuádricasQuádricasJosé Antônio Araújo Andrade

Graziane Sales Teodoro

2 2 0ax bxy cy dx ey f

2 2 2 0ax by cz dxy exz fyz gx hy iz j

Notamos que uma equação de segundo grau

Superfícies Quádricas

representa uma seção cônica (possivelmente degenerada).

A análoga desta equação em um sistema de coordenada . é

xyz

a qual é chamada de equação de segundo grau em .xyz

Os gráficos de tais equações são chamados de superfícies quádricas ou, às vezes, quádricas.

Alguns tiposAlguns tiposdede

Superfícies QuádricasSuperfícies Quádricas

Elipsóide2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

O traço nos planos coordenados são elipses, como também são elipses os traços em planos paralelos aos planos coordenados, que interceptam a superfície em mais de um ponto.

0, 0, 0para a b c

Hiperbolóide de uma folha

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

0, 0, 0para a b c

O traço no plano é uma elipse, como são os traços nos planos paralelos ao plano . Os traços nos planos e são hipérboles, bem como os traços nos planos paralelos a eles que não passam pelos interceptos e . Nestes interceptos, os traços são pares de retas concorrentes.

xyxy yz xz

x y

Hiperbolóide de duas folha

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

0, 0, 0para a b c

Não há traço no plano . Em planos paralelos ao plano que interceptam a superfície em mais que um ponto os traços são elipses. Nos planos , e nos planos paralelos a eles que interceptam a superfície em mais de um ponto, os traços são hipérboles.

xyxy

xzyz

Cone Elíptico

2 22

2 2

x yz

a b

0, 0para a b

O traço no plano é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos ao plano são elipses. Os traços nos planos e são pares de retas que se interceptam na origem. Os traços em planos paralelos a estes são hipérboles.

xyxy

yz xy

Parabolóide elíptico

2 2

2 2

x yza b

0, 0para a b

O traço no plano é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos e acima dele são elipses. Os traços nos planos e , bem como em planos paralelos a eles são parábolas.

xy

yz xy

Parabolóide Hiperbólico

2 2

2 2

y xz

b a

0, 0para a b

O traço no plano é um par de retas que se cruzam na origem. Os traços em planos paralelos ao plano são hipérboles. As hipérboles acima do plano abrem se na direção de e as abaixo na direção de .Os traços nos planos e são parábolas, assim como os traços nos planos paralelos a estes.

xy

xyxy y

x yz xz

Exemplo 1: Esboce o elipsóide

x

y

z2 2 2

14 16 9

x y z

x

y

z

Exemplo 2: Esboce o gráfico do hiperbolóide de uma folha2

2 2 14

zx y

x

y

z

Exemplo 3: Esboce o gráfico do hiperbolóide de duas folhas2

2 2 14

yz x

x

y

z

Exemplo 4: Esboce o gráfico do cone elíptico2

2 2

4

yz x

x

y

z

Exemplo 5: Esboce o gráfico do parabolóide elíptico 2 2

4 9

x yz

x

y

z

Exemplo 6: Esboce o gráfico do parabolóide hiperbólico2 2

4 9

y xz

Translação de Superfícies Quádricas

Vimos que uma cônica no sistema de coordenadas pode ser transladada substituindo por e por em sua equação. Para entender como isso funciona, considere os eixos como fixos e considere o plano como uma folha transparente de plástico na qual todos os gráficos são desenhados. Quando as coordenadas dos pontos são modificadas substituindo.Por , o efeito geométrico é transladar a folha de plástico ( em conseqüência todas as curvas), tal que o ponto sobre o plástico que estava inicialmente em foi movido para o ponto .

xyx h x y k y

( , )x h y k ( , )x y

(0,0) ( , )h k

x

y

( , )h k.

(0,0).

Para o análogo no espaço tridimensional, considere os eixos como fixos e considere o espaço como um bloco transparente de plástico na qual todas as superfícies estão embutidas. Quando as coordenadas dos pontos são modificadas substituindo por , o efeito geométrico é transladar o bloco da plástico (e, por conseqüência, todas as superfícies ) tal que o ponto no bloco de plástico que estava inicialmente em é movido para o ponto .

xyz 3 D

( , , )x h y k z l ( , , )x y z

(0,0,0) ( , , )h k l

x

y( , , )h k l

z

..

Exemplo 7: Descreva a superfície 2 2( 1) ( 2) 3z x y

Exemplo 8: Descreva a superfície

2 2 24 4 8 4 4x y z y z

Técnicas para Técnicas para identificar Superfícies identificar Superfícies

QuádricasQuádricas

Equações Características Classificação

Nenhum sinal de menos. Elipsóide

Um sinal de menos. Hiperbolóide de uma folha

Dois sinais de menos. Hiperbolóide de duas folha

Nenhum termo linear. Cone elíptico

Um termo linear; dois termos quadráticos com o mesmo sinal.

Parabolóide elíptico

Um termo linear; dois termos quadráticos com sinais opostos.

Parabolóide hiperbólico

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

2 2 2

2 2 21

z x y

c a b

2 2

2 20

y xzb a

2 2

2 20

x yza b

2 22

2 20

x yz

a b