1

AULA: Superfícies Quádricas

Definição 1: Uma equação geral do 20 grau em três variáveis é uma equação do tipo:

0222 =+++++++++ JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx (I),

com pelo menos uma das constantes A, B, C, D, E ou F é diferente de zero.

Definição 2: Uma superfície cuja equação é do tipo (I) é chamada de superfície quádrica.

Obs: A interseção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados ou por planos paralelos a eles é uma cônica. Em casos particulares, a interseção pode ser uma reta, duas retas, um ponto ou o conjunto vazio. Esses casos constituem as cônicas degeneradas.

Através de uma rotação e/ou translação de eixos a equação (I) pode assumir uma das seguintes formas:

(II) DCzByAx =++ 222 (quádricas cêntricas)

( )cêntricas não quádricas )(22

22

22

=+

=+

=+

CxBzAy

CyBzAx

CzByAx

III

Quádricas Cêntricas: DCzByAx =++ 222

Se as constantes A, B, C e D são não nulas, podemos escrever a equação (II) na

forma canônica: 12

2

2

2

2

2=±±±

cz

b

y

ax (IV), com a,b e c números reais positivos.

Se todos os sinais são negativos então o lugar geométrico da equação é vazio. Logo, existem três possibilidades: todos os sinais são positivos, dois sinais positivos e um negativo ou um positivo e dois negativos.

A) Todos os sinais positivos: Elipsóide: 12

2

2

2

2

2=++

cz

by

ax

Características:

1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem.

2

xy

(0,0,c)

(0,b,0)(a,0,0)

2) Se duas das constantes a, b e c são iguais temos um elipsóide de revolução.

3) Interseções com os eixos coordenados:

Eixo Ox : A ( )0,0,a± Eixo Oy: B ( )0,,0 b± Eixo Oz: C ( )c±,0,0

4) Traços sobre os planos coordenados: elipses

=

=+

0

12

2

2

2

zby

ax

,

=

=+

0

12

2

2

2

ycz

ax

,

=

=+

0

12

2

2

2

xcz

by

5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

=

−=+

kzck

by

ax

2

2

2

2

2

21 , elipses para -c < k < c.

=

−=+

kybk

cz

ax

2

2

2

2

2

21 , elipses para -b < k < b

=

−=+

kxak

cz

by

2

2

2

2

2

21 , elipses para -a < k < a.

Esboço da superficie:

3

B) Dois sinais positivos e um negativo: Hiperbolóide de uma folha:

12

2

2

2

2

2=−+

cz

by

ax (a = b, superfície de revolução),

12

2

2

2

2

2=+−

cz

by

ax (a = c, superfície de revolução),

12

2

2

2

2

2=++−

cz

by

ax (b = c, superfície de revolução).

Características:

1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem.

2) A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo coeficiente é negativo na forma canônica de sua equação.

Analisando a equação: 12

2

2

2

2

2=−+

cz

by

ax

3) Interseções com os eixos coordenados:

Eixo Ox : A ( )0,0,a± Eixo Oy: B ( )0,,0 b± Eixo Oz: não existe

4) Traços sobre os planos coordenados:

=

=+

0

12

2

2

2

zby

ax

( Elipse) ,

=

=−

0

12

2

2

2

ycz

ax

(Hipérbole)

=

=−

0

12

2

2

2

xcz

by

( Hipérbole)

4

xy

z

xy

z

xy

z

5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

=

+=+

kzck

by

ax

2

2

2

2

2

21 , elipses para qualquer k em R,

=

−=−

kybk

cz

ax

2

2

2

2

2

21 , hipérboles ,

=

−=−

kxak

cz

by

2

2

2

2

2

21 , hipérboles

Esboço da superficie:

12

2

2

2

2

2=−+

cz

by

ax

12

2

2

2

2

2=+−

cz

by

ax

12

2

2

2

2

2=++−

cz

by

ax

5

B) Dois sinais negativos e um positivo: Hiperbolóide de duas folhas:

12

2

2

2

2

2=+−−

cz

by

ax (a = b, superfície de revolução),

12

2

2

2

2

2=−+−

cz

by

ax (a = c, superfície de revolução),

12

2

2

2

2

2=−−

cz

by

ax (b = c, superfície de revolução),

Características:

1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem.

2) A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo coeficiente é positivo na forma canônica de sua equação.

Analisando a equação: 12

2

2

2

2

2=+−−

cz

by

ax

3) Interseções com os eixos coordenados:

Eixo Ox : não existe Eixo Oy: não existe Eixo Oz: C ( )c±,0,0

4) Traços sobre os planos coordenados:

=

=−−

0

12

2

2

2

zby

ax

( vazio) ,

=

=+−

0

12

2

2

2

ycz

ax

(Hipérbole)

=

=+−

0

12

2

2

2

xcz

by

( Hipérbole)

6

5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

=

−=+

kzck

by

ax 12

2

2

2

2

2

, elipses para k < -c ou k > c

=

+=+−

kybk

cz

ax

2

2

2

2

2

21 , hipérboles , Rk ∈∀ ,

=

+=+−

kxak

cz

by

2

2

2

2

2

21 , hipérboles Rk ∈∀

Esboço da superficie:

12

2

2

2

2

2=+−−

cz

by

ax

xy

z

12

2

2

2

2

2=−+−

cz

by

ax

xy

7

12

2

2

2

2

2=−−

cz

by

ax

x

y

z

Quádricas não Cêntricas: )(22

22

22

=+

=+

=+

CxBzAy

CyBzAx

CzByAx

III

Se as constantes A, B e C são não nulas, podemos escrever as equações (II) nas

formas canônicas:

=±±

=±±

=±±

cxbz

ay

cybz

ax

czby

ax

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(IV), com a,b números reais positivos e c real não nulo.

Temos duas possibilidades: os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais iguais ou contrários.

A) os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais iguais: Parabolóide elíptico.

czby

ax

=+ 2

2

2

2, cy

bz

ax

=+ 2

2

2

2, cx

bz

ay

=+ 2

2

2

2.

Características:

1) Se a = b temos um parabolóide de revolução. 2) A interseção da superfície com os eixos coordenados é O(0,0,0). 3) A superfície se encontra ao longo do eixo correspondente à variável do primeiro

grau na forma canônica da equação.

8

Analisando a equação czby

ax

=+2

2

2

2 (c > 0)

4) Observe que para c > 0 temos que z ≥ 0. Logo, a superfície se encontra inteiramente acima do plano xy.

5) A superfície é simétrica em relação ao eixo Oz, aos planos xz e yz.

6) Traços sobre os planos coordenados:

)0,0,0(0

02

2

2

2

=

=

=+

zby

ax

,

=

=

0

2

2

y

czax

(parábola),

=

=

0

2

2

x

czby

( parábola)

7) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

=

=+

kz

ckby

ax

2

2

2

2

, elipses para k > 0.

=

−=

kybkcz

ax

2

2

2

2

, parábolas e

=

−=

kxakcz

by

2

2

2

2

, parábolas.

Esboço da superficie:

czby

ax

=+2

2

2

2 (c > 0) cz

by

ax

=+2

2

2

2 (c < 0)

x

z

x

z

9

cybz

ax

=+ 2

2

2

2 (c > 0) cy

bz

ax

=+ 2

2

2

2 (c < 0)

x y

z

xy

z

cxbz

ay

=+ 2

2

2

2 (c > 0) cx

bz

ay

=+ 2

2

2

2 (c < 0)

xy

z

xy

z

B) os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais contrários:

Parabolóide hiperbólico (sela)

czby

ax

=+− 2

2

2

2, cy

bz

ax

=+− 2

2

2

2, cx

bz

ay

=+− 2

2

2

2.

Características:

1) A interseção da superfície com os eixos coordenados é O(0,0,0). 2) A superfície se encontra ao longo do eixo correspondente à variável do primeiro

grau na forma canônica da equação.

10

Analisando a equação czby

ax

=+−2

2

2

2 (c > 0).

3) A superfície é simétrica em relação ao eixo Oz, aos planos xz e yz.

4) Traços sobre os planos coordenados:

=

=

+

−

=

=

=+−

0

0

0

02

2

2

2

zax

by

ax

by

zby

ax

, par de retas concorrentes

=

=−

0

2

2

y

czax

(parábola),

=

=

0

2

2

x

czby

( parábola)

5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

=

=+−

kz

ckby

ax

2

2

2

2

, hipérboles para k≠ 0. Para k > 0, hipérboles no plano z = k, com

o eixo focal paralelo ao eixo Oy e para k < 0, hipérboles no plano z = k, com o eixo focal

paralelo ao eixo Ox.

=

−=−

kybkcz

ax

2

2

2

2

, parábolas e

=

+=

kxakcz

by

2

2

2

2

, parábolas.

11

Esboço da superficie:

czby

ax

=+−2

2

2

2 (c > 0) cz

by

ax

=+−2

2

2

2 (c < 0)

x

y

z

x

y

z

cybz

ax

=+−2

2

2

2 (c > 0) cy

bz

ax

=+−2

2

2

2 (c < 0)

x

y

z

xy

z

cxbz

ay

=+−2

2

2

2 (c > 0) cx

bz

ay

=+−2

2

2

2 (c < 0)

x

y

z

x

y

z

12

Bibliografia:

Lehmann. Charles, Geometria Analítica, Editora Globo

Boulos, Paulo, Geometria Analítica um tratamento vetorial, MAKRON Books.