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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO

Exame de Análise Matemática I

Curso: Mecânica Junho/00

1 – Considere a curva representativa da função y=f(x) definida por

1.1 Calcule

Calculo de

Calculo de


2


calculo de :

= =

= =

Calculo de :

= = =-2

Calculo da expressão:

-2 + = - =0


3


1.2 – Considere a recta r definida por , sendo b uma constante

Determine o valor de b de modo que a recta r seja tangente à curva dada.

Equação da recta:

No ponto de tangência:

Determinação das coordenadas do ponto de tangência:

y=

= =3

2 Seja

2.1 – Calcule du no ponto (1,1, /4) e

no mesmo ponto.

Expressão para o calculo do diferencial du para uma função u(x,y,z):

Calculo das derivadas parciais:


4


=

=

=

Substituição na expressão de du:

Determinação da derivada :

= = = =

2.2 Sendo , = e determine para t=0, utilizando

a regra da composta.

t=0 corresponde ao ponto (1,1,/4)

Regra da composta:

= + +

Calculo das derivadas em ordem a t:


5


=cos(t) =1 =

Utiliza-se as derivadas parciais determinadas na alínea anterior:

= cos(t)+ +

= + 1+ =

3 – A função z=g(x,y) é definida por . Prove que x -y =0

z é uma função implícita de x e y definida pela equação:

Passa-se todos os termos da equação para o lado direito. O lado

da equação é uma função h(x,y,z) .

= =

= =0

As derivadas parciais determinam-se da seguinte forma:

=

=

Substituindo as derivadas na equação x -y =0 prova-se a igualdade:


6


x -y = = =0

4 – Resolva os seguintes integrais:

4.1 utilizando a mudança de variável universal:

Para esta mudança de variável verifica-se que:

Por mudança de variável obtém-se um integral em t:

= = =

integral de uma fracção racional

Separação em fracções simples:

= + = =

=


7


Determinação de A, B e C pelo método dos coeficientes indeterminados:

Cálculo do integrais de cada uma das fracções simples:

= + = + =

= + + = + + =

= + + +c

4.2

Integral de uma fracção racional em que o grau do numerador é igual ao grau do

denominador. É necessário reduzir o grau do numerador dividindo os dois polinómios.

Utiliza-se o algoritmo da divisão:

0 0 -5 -x -1

-1 - x 1 1

0 - x -4

Chega-se à conclusão que:

=1+

É necessário factorizar o denominador de :

Por observação pode-se concluir que 1 é raiz do polinómio dado que 13+12-1-1=0

O polinómio é divisível por x-1. Obtém-se o resultado da divisão pela

regra de Rufini:


8


1 1 -1 -1

1 1 2 1

1 2 1 0

Conclui-se que :

= = 211 xx

Separação em fracções simples:

= = + + =

= =

Determinar A, B e C pelo método dos coeficientes indeterminados:

Determinação do integral:

=x+ =x+ + + =

=x+A + B -C =x- - +c


9


4.3

se u= então u’= = = =

Assim = = = =

=

= +c

4.4

= = =

= =

Resolução por partes:

=Uv- em que U= e v’=

v=


10


= = =2 =2

=- ( Uv- )=

=- (2 - )=

= - + = - -

=- - =

=0+ +0+ =

5 – Escreva a expressão geral representativa da área do domínio assinalado na figura:

(1) – segmento de recta paralelo ao eixo dos y

(2) y=(x+2)2

(3) – segmento de recta paralelo ao eixo dos x

(4) x2+y2=8

(5) 2x=y2


11


Coordenada de intercepção entre (4) e (5)

intercepção (1), (4)

intercepção (2), (3)

intercepção 3, 5

função (3), y=1

função (4),

função 5, ramo positivo,

função 5, ramo negativo,


12


A= + +

6 – Escreva a expressão geral representativa da área plana limitada pelas curvas

, e pela tangente a no ponto M=(1,0).

Determinação da recta tangente a no ponto M=(1,0):

no ponto (1,0) y’=1

recta tangente y=ax+b a=1 porque y’=1

y=x+b, a recta passa no ponto (1,0), 0=1+b logo b=-1

recta tangente y=x-1

gráfico:

representa a metade direita da circunferência

intercepções

ou o ponto de intercepção tem x=0, logo y=-1


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x=3 porque é mais próximo da intercepção

y=2

representa a parte superior da curva

+


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