viii smat - simposio de matematica da fct-unesp

VIII SMAT - Simpósio de Matemáticada FCT-UNESP

ÍNDICE

A Circunferência S¹ Como Um Espaço Quociente 1

A Convergência Fraca* E Os Métodos Numéricos De Integração 3

Aplicação Das Transformadas De Fourier E Wavelet Na Compressão De ArquivosDe Som

5

Aplicação Do Método Dos Mínimos Quadrados E Dos Modelos De Malthus EVerhulst No Estudo Da Dinâmica Populacional Da Cidade De Presidente Prudente

7

Construção Da Transformação Z Multidimensional Para O Método Lambda 9

Desenvolvimento De Uma Interface Gráfica Com O Matlab Para Solução DeProblemas De Minimização

12

Ensino De Frações Por Meio De Metodologias Diferenciadas 15

Escoamento Incompressível Bidimensional Entre Placas Paralelas Com O Uso DoMétodo Núcleo-Conformação

17

Espectro Do Laplaciano Discreto Multidimensional 19

Feira Da Matemática: Atividades Diferenciadas Na Aprendizagem Dos Alunos 22

Grassmanniana Como Uma Variedade Homogênea 24

Interdisciplinaridade: Uma Prática Diferenciada No Ensino De Matemática 26

Localização De Zeros De Polinômios: Teorema De Schur-Cohn 29

Matemática E Física Na Escola Pública Como Extensão Universitária 31

O Método Tr-Bdf2 No Problema Modelo Do Hwnp 34

Os Laboratórios De Informática Das Escolas Estaduais De Presidente Prudente NoContexto Do Programa Acessa Escola

38

O Teorema De Engel 41

Potenciação Com O Auxílio De Jogo Da Velha Matemático 43

Projeto Fox: Um Game Voltado Para Mediação Do Ensino Da Matemática 46

Resolução De Equação 2ºgrau Pela Forma Geométrica 48

Simulação Numérica Utilizando O Modelo Algébrico Ptt 51

Teorema De Eneström-Kakeya: Estudo De Um Resultado Clássico Sobre Os ZerosDe Polinômios

53

Uma Experiência Inovadora Sobre A Probabilidade Da União De Eventos 55

Um Estudo Sobre A Cinética Das Reações Químicas Através De EquaçõesDiferenciais

59

Um Resultado Clássico Sobre Zeros De Polinômios: Limitante Superior De Cauchy 62

VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.

A CIRCUNFERÊNCIA S1 COMO UM ESPAÇO QUOCIENTE

Eloisa Badaró Ioki1, Ronan Antonio dos Reis

2

Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP

Resumo: O presente trabalho tem como objetivo principal estudar os espaços quocientes, bem como,

demonstrar que a circunferência S1 pode ser visto como um espaço quociente. Tais espaços aparecem em

diversas áreas da Matemática como, por exemplo, em Geometria e Topologia, Topologia Algébrica e entre

outras áreas.

Palavras-Chave: Topologia, Espaço Quociente, Homeomorfismo.

1. INTRODUÇÃO1

Para o desenvolvimento desse trabalho, foi

feito um estudo de alguns conceitos e

resultados de topologia e em especial sobre os

espaços quocientes. Esse é um tópico

importante em topologia e, que aparece em

várias áreas da ciência, como em matemática,

física e entre outros. Aqui, demonstramos

alguns resultados que nos possibilitam

identificar alguns espaços topológicos. Como

uma aplicação desses resultados, vimos que a

circunferência S1 é homeomorfa a um espaço

quociente. Para isso, utilizamos técnicas e

resultados de topologia e álgebra.

A seguir, apresentamos as definições e

resultados necessários para o desenvolvimento

deste trabalho.

2. DESENVOLVIMENTO2

Definição 1: Uma topologia num conjunto X

é uma coleção de subconjuntos abertos de X

satisfazendo as seguintes condições:

1) X e o conjunto vazio Ø estão em .

2) Uniões arbitrárias de elementos em estão

em .

3) Interseções finitas de elementos em estão

em .

Definição 2: Sejam X com uma topologia X e

Y com uma topologia Y. Uma aplicação

1 Aluna do Curso de Matemática da FCT/UNESP

2 Orientador

f: X→Y é contínua se, para todo V∈Y em Y,

f-1

(V) ∈ X.

Observação 1: Denotamos por f-1

(V) a

imagem inversa de V por f, ou seja, o conjunto

dos elementos de x∈X tais que f(x)∈V.

Proposição 1: Sejam X, Y e Z espaços

topológicos e sejam f:X→Y e g:Y→Z funções

contínuas. Então, a composta g○f:X→Z é

contínua.

Definição 3: Sejam X e Y espaços topológicos

Uma aplicação f:X→Y é um homeomorfismo

se f é uma bijeção contínua com inversa

f-1

:Y→X.

Proposição 2: Sejam X um espaço topológico,

Y um conjunto não vazio e a aplicação f:X→Y

sobrejetora. Então, o conjunto f dos

subconjuntos V de Y tais que f-1

(V) aberto em

X, é uma topologia em Y, chamada topologia

quociente induzida por f em Y. E, a aplicação f

é contínua com respeito a topologia f.

Definição 4: Seja X um espaço topológico.

Uma aplicação f:X→Y é dita uma aplicação

quociente se f é sobrejetora e Y tem a

topologia quociente induzida por f.

Exemplo 1: Sejam X um espaço topológico e

~ uma relação de equivalência em X. Seja X/~

o conjunto quociente, ou seja, o conjunto das

classes de equivalência [x] de x ∈ X.

Naturalmente, temos bem definido a

sobrejeção canônica ᴫ : X → X/~ dada por

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Naturalmente, temos bem definido a

sobrejeção canônica ᴫ : X → X/~ dada por

ᴫ(x) = [x]. Assim, a aplicação ᴫ é uma

aplicação quociente.

Proposição 3: Se f:X→Y é uma aplicação

sobrejetora e contínua, e se f é uma aplicação

aberta (f(U) é aberto em Y se U é aberto em X),

então f é uma aplicação quociente.

3. RESULTADOS

Teorema 1: Sejam f : X → Y uma aplicação

quociente e ~ uma relação de equivalência em

X tal que x~y se, e somente se, f(x) = f(y).

Então, X/~ é homeomorfo a Y.

Figura 1: Diagrama das Aplicações

Demonstração: Consideremos a aplicação

quociente ᴫ : X → X/~ dada por ᴫ(x) = [x] e

defina a aplicação 𝑓 : X/~ → Y por 𝑓 ([x]) =

f(x). Então, 𝑓 está bem definida, pois se [x] =

[y], então x~y, o que por hipótese implica que

f(x) = f(y) e, portanto, 𝑓 ([x]) = 𝑓 ([y]).

Claramente, temos que 𝑓 ○ ᴫ = f. Como f e ᴫ

são aplicações quocientes, então segue que 𝑓 é

contínua. Para mostrar que 𝑓 é um

homeomorfismo, basta mostrar que 𝑓 é

injetora, sobrejetora e 𝑓 -1 é contínua. Sejam [x]

e [y] em X/~ tais que 𝑓 ([x]) = 𝑓 ([y]). Isso,

implica que f(x) = f(y) o que equivale a dizer

que x~y, ou seja, [x] = [y] e, portanto, 𝑓 é

injetora. A sobrejetividade de 𝑓 é de fácil

verificação. E, quanto a continuidade da

inversa 𝑓 −1: Y→X/~, basta observar que ᴫ =

𝑓 −1○ f e utilizar o fato que ᴫ e f são aplicações

quocientes.

Exemplo 2: Para uma aplicação do resultado

anterior, consideremos R com a topologia

usual e a circunferência S1 ={(x1,x2) em R

2|

x2

1 + x2

2 =1} com a topologia induzida pela

topologia usual de C. Então, S1 é homeomorfo

a R/~, onde ~ é relação de equivalência dada

por a~b se, e somente se, a-b é um número

inteiro. De fato, seja a aplicação f:R→S1 dada

por f(x) = cos(2ᴫx) + isen(2ᴫx), onde i2 = -1,

que é sobrejetora e contínua. Temos que f é

uma aplicação quociente, pois é uma aplicação

aberta. A relação de equivalência ~ em R é tal

que a~b se, e somente se, f(a) = f(b). Então,

pelo Teorema 1, segue que o espaço R/~ é

homeomorfa a S1.

4. CONCLUSÃO

Através do estudo de alguns tópicos de

Topologia, em especial, dos espaços

quocientes, vimos resultados que nos

possibilitam a identificar certos espaços

topológicos. Como uma aplicação desses

resultados, vimos a circunferência S1 como um

espaço quociente.

REFERÊNCIAS

[l] Lima, E.L.: Espaços Métricos. 5.ed. Rio de

Janeiro. IMPA, 2013.

[2] Lima, E. L.: Elementos de Topologia Geral.

Rio de Janeiro. AO LIVRO TÉCNICO S.A.,

1970.

[3] Munkres, J.R.: Topology A First Curse.

Rentice-Hall, 1975

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1 Bolsista de Iniciação Científica do CNPq.

A CONVERGÊNCIA FRACA* E OS MÉTODOS NUMÉRICOS DE INTEGRAÇÃO

Bruno V. M. Macedo1, Prof. Dr. Suetônio A. Meira


19.060-900, Presidente Prudente, SP

[email protected]

[email protected]

Resumo: Neste trabalho é apresentado o conceito de convergência fraca* para sequências de funcionais lineares limitados sobre espaços normados, conciliando tal conceito com métodos numéricos de integração de funções contínuas (reais de variável real). Como veremos, normalmente a convergência de um método numérico se resume a convergência fraca* de uma sequência de funcionais lineares limitados, definidos sobre o espaço das funções contínuas. Também é apresentado um teorema, do qual resulta uma condição necessária e suficiente para que um método numérico de integração seja convergente.

Palavras-Chave: Funcional, Limitado, Banach.

INTRODUÇÃO Como sabemos, dada uma função contínua �: ��, �� → ℝ, através do Teorema Fundamental do Cálculo, conseguimos calcular de maneira simples a integral desta função, conhecida uma de suas primitivas. No entanto, nem sempre conhecemos a primitiva de uma função contínua. Existem vários métodos numéricos para calcular a integral de funções contínuas, neste trabalho mostraremos como o conceito de convergencia fraca* pode ajudar a determinar a eficiência destes métodos. METODOLOGIA A princípio, é necessário definir o conceito de convergência fraca* para uma sequência de funcionais lineares limitados sobre um espaço normado. Definição. Seja �� uma sequência de funcionais lineares limitados sobre o espaço normado �, dizemos que �� converge de maneira fraca*, se existe � ∈ �′, tal que,

�� → �� ∀� ∈ �.

Dizemos então que, � é o limite fraco* e

denotamos essa convergência por �� ∗�� .

A seguir, apresentamos um teorema que será fortemente usado para determinar uma condição necessária e suficiente para que um método numérico de integração seja convergente. Teorema 1. Seja � um espaço de Banach, uma sequência �� de funcionais lineares limitados converge de maneira fraca* se, e somente se, (i) Existe � ∈ ℝ tal que ‖��‖ ≤ � para

qualquer � ∈ ℕ. (ii) A sequência �� é de Cauchy para todo � em um subconjunto total � ⊂ �. A maioria dos métodos numéricos para obter valores aproximados para a integral de uma função contínua �: ��, �� → ℝ, consiste em escolher alguns pontos no intervalo ��, �� e fazer uma combinação linear com os valores que a função atinge nesses pontos. Os coeficientes dessa combinação linear e os pontos do intervalo ��, �� dependem do método, mas não da função �, já que é importante que o método consiga obter aproximações para o valor da integral de qualquer função contínua. O teorema anterior é uma forte ferramenta para determinar se um método númerico de integração obtém valores cada vez mais

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aproximados para a integral de uma função contínua, à medida que aumentamos o número de pontos escolhidos no intervalo ��, ��. Vejamos como um método numérico de integração pode ser descrito através da Análise Funcional. Consideremos o espaço vetorial das funções contínuas ��, ��, com a norma:

‖�‖ = max$∈�%,&�|�( |. Consideremos o funcional integral, �: ��, �� →ℝ, tal que,

�� = ) �( *(&

%.

É evidente que o funcional � é linear, além disso, temos que,

|�� | ≤ ) |�( |*(&

%≤ � − � ‖�‖.

Logo � é um funcional linear limitado, isto é � ∈ �′. A seguir, descrevemos a configuração geral de um método numérico de integração: Para cada número � ∈ ℕ são escolhidos � + 1 pontos, (.� , (/� , . . . , (�� sobre o intervalo ��, ��, de modo que, � = (.� < (/� < ⋯ < (�2/� < (�� = �.

São escolhidos também � + 1 números reais 3.� , 3/� , . . . , 3�� . Consideremos o funcional ��: ��, �� → ℝ, definido por,

�� = 435� �6(5� 7�

58/.1

Este procedimento define um método numérico de integração, onde �� é uma aproximação para a integral �� . É fácil mostrar que, o funcional �� é linear, limitado, e que, além disso,

‖��‖ = 4935� 9�

58/.

Desta forma, um método de integração deste tipo gera uma sequência �� de funcionais lineares limitados, onde a escolha dos (:� ′; e dos 3:� ′; devem ser feitas de modo que,

�� → �� ∀� ∈ �

ou seja, �� ∗�� .

Definição. Dizemos que, o método numérico de integração definido em (1) é convergente se,

�� ∗�� .

RESULTADOS Como o conjunto dos polinômios é denso em ��, ��, a partir do Teorema 1, concluímos que: Corolário. O método numérico para integração definido em (1) é convergente se, e somente se, (i) Existe � ∈ ℝ, tal que, ∑ 935� 9�58. ≤ � para todo � ∈ ℕ. (ii) ��5 → ��5 para as funções �5: ��, �� → ℝ, = ∈ ℕ ∪ ?0A, definidas por,

�.( = 1 �5( = (5 , = ∈ ℕ.2

CONCLUSÃO Para que o método numérico de integração descrito em (1) seja convergente, basta que este método seja convergente para as funções em (2) e verifique (i). Como conhecemos a integral das funções em (2), não é difícil fazer com que o método numérico de integração satisfaça (ii), além disso, se em tal método tivermos todos os 35� ′; não negativos, (i) também será satisfeita (ver referência bibliográfica [1], páginas 278-280).

Referências

[1] Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications, Whiley Classics Library, John Whiley & Sons, 1989.

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APLICAÇÃO DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER E WAVELET

NA COMPRESSÃO DE ARQUIVOS DE SOM

Renata Nagima Imada Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional, FCT, UNESP


[email protected]

Eniuce Menezes Departamento de Estatística, UEM

Av. Colombo, 5790

87020-900, Maringá, PR

[email protected]

Resumo: O processamento de sinais é um assunto cada vez mais atual e está tornando-se

indispensável, pois sinais estão presentes no dia a dia do ser humano. Neste trabalho, é abordada uma

das aplicações da Transformada Rápida de Fourier (FFT) e da Transformada Wavelet (TW) na utilização em sinais de áudio: compactação de som. As análises foram feitas através do software

Matlab, baseadas na teoria de Transformada de Fourier e Wavelets. O sinal foi decomposto,

compactado por ambas transformadas e reconstruído pelas respectivas transformadas inversas. Por fim, a comparação entre os dois métodos foi realizada via Erro Médio Quadrático (EMQ) para

diferentes taxas de compressão.

Palavras-Chave: Transformada de Fourier, Wavelets, Compressão de som.

INTRODUÇÃO

Sinais estão presentes em diversas situações do

dia a dia do ser humano. Um sinal pode ser

definido como uma função que carrega uma

informação. A forma mais comum é a

comunicação por sinal de voz [2]. O

desenvolvimento das ciências, principalmente

as computacionais, aponta para uma tendência

onde o processamento dos sinais torna-se cada

vez mais presente e indispensável [1].

Devido à atual capacidade de gerar grande

quantidade de dados, a compactação dos

mesmos é uma tarefa importante. Dessa

forma, nesse trabalho, um conjunto de teorias

que se mostram eficazes para realizar o

processamento de sinais de áudio/som, em

especial da fala, é utilizado. A Transformada

de Fourier decompõe um sinal no domínio do

tempo para o domínio das frequências, em que

a função (sinal) é escrita como combinação

linear das funções seno e cosseno. Enquanto

que a Transformada Wavelet tem a vantagem

de ser capaz de decompor sinais tanto no

domínio da frequência, quanto no domínio do

tempo, através de funções wavelets.

Um dos problemas no processamento de sinais

é o armazenamento e transmissão dos sinais,

de maneira que preserve-os sem alterar sua

forma. No presente trabalho, pretende-se

mostrar uma aplicação da FFT e da TW na

compressão de áudio, pois quanto menor é um

arquivo, mais informações podem ser

armazenadas num mesmo espaço de memória

e transmitidas mais rapidamente.

METODOLOGIA

Para realizar a compressão dos sinais de áudio

(trechos de músicas) no formato ".wav", foram

feitas implementações no software Matlab.

Primeiramente, é necessário carregar o arquivo

de áudio no Matlab, tornando-o um vetor, para

depois aplicar a FFT ou a TW. Em seguida,

pode-se comprimir o sinal por meio de uma

mesma função para os dois casos, em que se

obtém um número fixo de coeficientes não-

nulos, que pode ser escolhido a priori,

dependendo da taxa de compressão desejada.

É importante ressaltar que, no caso das

wavelets, o sinal pode ser decomposto em

multirresolução até restar apenas um

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coeficiente, para então comprimir o sinal. A

TW foi aplicada a partir da Daubechies com 4

coeficientes.

Depois de comprimido, o sinal é reconstruído

por meio das transformadas inversas, porém,

com número reduzido de componentes.

Por fim, o sinal é transformado novamente no

formato ".wav" para que seja possível verificar

se houve perda de inteligibilidade do som.

Através da implementação realizada também

foi possível constatar a existência da diferença

entre o sinal original e o comprimido, ou seja,

é gerado um som para o sinal dessa diferença.

RESULTADOS

Foram feitos testes com dois arquivos de som,

que denominaremos como Teste 1 e Teste 2,

sendo que o primeiro apresenta fala humana

(canto) e o segundo são sons de instrumentos

musicais, sem fala.

Como meio de comparação entre os dois

métodos adotados, Fourier e Wavelets,

utilizou-se o Erro Médio Quadrático (EMQ),

que quanto menor, melhor será o desempenho

do método. As Tabelas 1 e 2 mostram o EMQ

relativo a cada um dos testes com suas

respectivas taxas de compressão e o método

utilizado.

Tabela 1: EMQ relativo ao Teste 1

Taxa de

compressão

EMQ -

Fourier

EMQ -

Wavelets

70% 0,0000217 0,0000109

80% 0,0000453 0,0000256

90% 0,0000946 0,0000697

95% 0,0001576 0,0001421

Tabela 2: EMQ relativo ao Teste 2

Taxa de

compressão

EMQ -

Fourier

EMQ -

Wavelets

70% 0,0000021 0,0000023

80% 0,0000059 0,0000096

90% 0,0000347 0,0000848

95% 0,0001774 0,0004822

Em todos os casos não houve perda da

compreensão do som ou do que está sendo

cantado, porém, conforme a taxa de

compressão vai aumentando, o sinal perde

informações e, consequentemente, perde

qualidade.

Através dos resultados obtidos, percebe-se que

a TW apresentou melhor desempenho no Teste

1, pois analisando as tabelas, percebe-se que o

EMQ é menor se comparado com a

Transformada de Fourier. Enquanto que no

Teste 2, quem melhor se aplica é a FFT.

Quando a taxa de compressão é maior no Teste

1 ou menor no Teste 2, não é percebida muita

diferença no resultado dos dois métodos, tanto

pelo EMQ quanto pelo áudio dos sons.

Além disso, ouvindo os sons também é

possível perceber a diferença entre os dois

métodos e concluir qual das transformadas

produz resultados mais satisfatórios

Sendo assim, a eficiência dos métodos

propostos é mostrada.

CONCLUSÃO

A partir dos testes realizados por meio de

implementações no software Matlab, é

possível comprovar a funcionalidade das FFT

e TW para compressão de arquivos de som,

assim, o objetivo do trabalho foi atingido.

Pode-se dizer que ambas transformadas

apresentam desempenho satisfatório e são

ferramentas importantes no processamento de

sinais.

É importante ressaltar que os resultados

obtidos nesse trabalho poderiam ser melhores

se os algoritmos fossem aprimorados e a

metodologia fosse refinada.

REFERÊNCIAS

[1] AMARAL, M. P., et al. Transformada

Wavelet aplicada a sinais humanos. IV

Semana de Atividades Científicas da

AEDB - Associação Educacional Dom

Bosco. Resende, 2006.

[2] MELLO, C. A. Processamento Digital de

Sinais. Centro de Informática -

Universidade Federal de Pernambuco.

Recife, 2012.

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Aplicação do Método dos Mínimos Quadrados e dos Modelos de Malthus e Ve-

rhulst no estudo da dinâmica populacional da cidade de Presidente Prudente

Rafael G. Castanha, Bruno F. de J. Oliveira, Crislaine M. da Silva, Joyce A. D. Dobler Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP


[email protected]

[email protected] [email protected]

[email protected]

Resumo: Este trabalho apresenta um estudo da dinâmica populacional da cidade de Presidente Prudente,

segundo modelos de crescimento populacional, os modelos de Malthus e Verhulst, juntamente com a

aproximação via Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Os dados populacionais de 1970 a 2000 foram

obtidos através da Fundação Seade. Para a validação do melhor modelo o dado referente ao ano de 2010,

disponível no IBGE, foi utilizado. Os modelos matemáticos presentes neste estudo apresentaram bons

resultados com uma pequena margem de erro, sendo que dentre os três métodos, o que melhor modelou o

crescimento populacional do município em função do tempo foi o crescimento logístico de Verhulst.

Palavras-Chave: MMQ, Modelo de Verhulst, Modelo de Malthus, crescimento populacional.

Introdução: Esta pesquisa apresenta um

estudo da dinâmica populacional humana da

cidade de Presidente Prudente – SP utilizando

três modelos matemáticos: o Método dos

Mínimos Quadrados (MMQ) através da

aproximação por uma função afim, o modelo

de Malthus, , e o modelo de Verhuslt, , cujos

parâmetros foram determinados pelo Método

dos Mínimos Quadrados. Para a sua realização

foram coletados dados reais que representam a

população anual de Presidente Prudente

referentes ao período de 1970 a 2000 e ao ano

de 2010, na Fundação Sistema Estadual de

Análise de Dados (SEADE) do Estado de São

Paulo e no Instituto Brasileiro de Geografia e

Estatística (IBGE), respectivamente. O

trabalho tem por objetivo comparar as

projeções dos modelos MMQ, Malthus e

Verhulst para determinar qual deles melhor se

aproxima destes dados e a partir deste realizar

estimativas para os anos posteriores. Neste

contexto, acredita-se que os resultados deste

trabalho possam ser úteis para o

desenvolvimento futuro do município em

questões como planejamento urbano, mercado

de trabalho, entre outros.

Metodologia: A seguir será abordada a

aplicação do MMQ, do Modelo de Malthus e

do Modelo de Verhulst, no problema de

dinâmica populacional de Presidente Prudente.

Portanto, decidiu-se utilizar uma função afim

para se obter a linearização. Através dos dados

reais da demografia prudentina referente ao

período de 1970 a 2000 e ao ano de 2010,

coletados na base de dados da Fundação

SEADE e no IBGE. Dessa maneira foi

possível descrever a população de em função

do tempo através da construção de gráficos.

Posteriormente foi realizada uma comparação

entre a população real e a população estimada

através dos modelos, verificando qual deles

obteve a melhor aproximação aos dados reais.

E em seguida foi realizada uma previsão do

número de habitantes da cidade para os anos

seguintes utilizando o modelo mais adequado.

Resultados: A fim de encontrar o melhor

ajuste para o conjunto de dados da população

real, notou-se que uma boa aproximação é

dada por uma reta. Portanto, decidiu-se utilizar

uma função afim do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 para se

obter o ajuste via MMQ (Figura 1) e esta

função é dada por:

𝐹(𝑥) = −5344622 + 2767𝑥 (1)

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Figura 1: Aproximação da população via

MMQ.


Modelo de Malthus.

Os dados estimados via modelo de Malthus

foram comparados com os dados reais (Figura

2). Lembrando que a população como função

do tempo é a solução do problema de valor

inicial (Equação (2)) onde k é a taxa (relativa)

de crescimento populacional

{

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃

𝑃(𝑡0) = 𝑃0 (2)

Resolvendo o problema de valor inicial

pode-se determinar k, de tal forma que k

será dado por k = 0,019 e o Modelo de

Malthus que descreve a população em

função do tempo (Figura 2) será dado por:

𝑃(𝑡) = 105192𝑒0.019𝑡 (3)

Em relação ao modelo de Verhuslt, a

população como função do tempo é a solução

do problema inicial (Equação (4)), dado por:

{

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃(𝑃𝑀 − 𝑃)

𝑃(𝑡0) = 𝑃0

(4)

Resolvendo o problema acima obtemos a

seguinte solução que descreve a população em

função do tempo (Figura 3):

𝑃(𝑡) =2.6384 x 1010

105192 + 145622𝑒−0,0477(𝑡−1970) (5)


Modelo de Verhulst.

Conclusão: A simulação da demografia da

cidade para um intervalo de tempo anual entre

o período apresentado através do MMQ e o

modelo de Verhulst apresentaram bons

resultados com taxas de erro máximo de

1.729% e 1.269% respectivamente, enquanto

que o modelo de Malthus apresentou erro

máximo de 6.28% acima do real. Tendo em

vista que a população do município no ano de

2010, disponibilizada pelo IBGE é de 207610

habitantes, os três métodos apresentaram erros

de 4.862%, 10.57% e 0.544%,

respectivamente. Sendo assim, o método que

melhor modelou o crescimento populacional

foi o modelo de Verhulst.

Referências

[1] W. E. BOYCE, R. C. DIPRIMA,

“Equações Diferenciais Elementares e

Problemas de Valores de Contorno”, 8. ed.,

Rio de Janeiro, LTC Editora, 2006.

[2] IBGE. Disponível em

<http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/pop

ulacao/censo2010/caracteristicas_da_populaca

o/default_caracteristicas_da_populacao.shtm>.

Acesso em: 09 jun. 2013.

[3] FUNDAÇÃO SEADE, Sistema de

população. Disponível em:

<http://www.seade.gov.br/produtos/500anos/in

dex.php?tip=esta >. Acesso em: 9 jun. 2013.

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CONSTRUÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO Z MULTIDIMENSIONAL PARA O

MÉTODO LAMBDA

Crislaine Menezes da Silva1

Programa de Mestrado em Matemática Aplicada e Computacional - PósMac, FCT, UNESP

19060-900, Presidente Prudente, SP E-mail: [email protected]

Daniele Barroca Marra Alves Departamento de Cartografia, FCT, UNESP

19060-900, Presidente Prudente, SP

E-mail: [email protected]

Eniuce Menezes de Souza Departamento de Estatística, UEM

87020-900, Maringa, PR


Resumo: Alta precisão no posicionamento GNSS (Global Navigation Satellite System) é baseada na

observável fase da onda portadora, que pode atingir acurácia centimétrica. Esta acurácia só ocorre

quando as ambiguidades da fase da onda portadora são resolvidas corretamente como valores

inteiros. As ambiguidades da fase da onda portadora são os números de ciclos inteiros entre as

antenas do satélite e do receptor, na primeira época de dados. Elas são inseridas como parâmetro na

equação de observação da fase da onda portadora. A solução correta das ambiguidades como

valores inteiros é um desafio, além de ser uma peça fundamental nos métodos de posicionamento

que utilizam a fase da onda portadora. Um método que visa estimar as ambiguidades inteiras, muito

utilizado pela comunidade civil e científica internacional, é o método LAMBDA (Least-squares

AMBiguity Decorrelation Adjustment). Este método aplica uma decorrelação nas ambiguidades,

antes de estimá-las, utilizando uma matriz de transformação Z das ambiguidades. O objetivo deste

trabalho é mostrar a construção desta transformação para casos multidimensionais. Para isto, será

utilizada a transformação de Gauss multidimensional. Para validar a construção desta transformação

um exemplo numérico é apresentado.

Palavras-Chave: Método LAMBDA, Tranformação Z, Ambiguidade.

1 Bolsista de Mestrado da FAPESP.

9 de 63


1. Introdução O método LAMBDA foi proposto por [2] e

visa estimar as ambiguidades inteiras na medi-

da de fase da onda portadora. A estimação das

ambiguidades inteiras consiste em minimizar a

seguinte equação, de acordo com [1]:

1

ˆˆ ˆm )(in

T

aa

a a Q a a , (1)

onde a é a solução float das ambiguidades, a

é o vetor das ambiguidades inteiras e 1

aQ é a

inversa da MVC de a . Que resulta na estima-

tiva inteira do vetor de ambiguidades a

. Na

minimização da equação acima, é que a com-

plexidade das ambiguidades inteiras se mani-

festa.

Este método estima as ambiguidades inteiras

através de uma decorrelação nas ambiguida-

des, que é realizada através de uma reparame-

trização. A reparametrização é feita da seguin-

te forma, segundo [1]:

ˆˆ

ˆˆ

,

T

T

T

z a

T

z Z az Z aQ Z Q Z

a Z z

onde Z é uma transformação das ambiguidades

admissível. Com isso, podemos reescrever (1),

como sendo:

1ˆ ˆminT

zz

z z Q z z . (2)

As condições necessárias e suficientes para Z

são:

a) Preservar o volume;

b) Reduzir o produto das variâncias;

c) Ter todos os elementos como inteiros.

2. A construção da transformação

Z

A construção da transformação Z multidimen-

sional será dividida em 3 etapas, que satisfa-

zem as condições acima: a escolha de uma

transformação de Gauss triangular superior ou

inferior, a determinação dos elementos da

transformação que satisfaça b, e o arredonda-

mento dos elementos de Z para o inteiro mais

próximo.

A primeira etapa consiste na escolha da trans-

formação de Gauss. Neste trabalho será esco-

lhido, sem perda de generalidade, a transfor-

mação de Gauss triangular inferior.

21

1 2

1 0 ... 01 ... 0

... ... ... ...... 1

n

n n

zZ

z z

(3)

Na segunda etapa, os elementos ijz serão esco-

lhidos, de forma a minimizar as variâncias

entre as ambiguidades. De (2), podemos escre-

ver os elementos da diagonal de zQ , segundo

[3]:

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(1,1) (1,1)

(i,i) 2 ( , ),a

T T

i ii i i i

z

z a

Q

Z Q Z ZQ Q Q i

Q

i

onde i 2,...,n ,

1 2 ( 1)

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

... ,

(1,1) (1,2) ... (1, 1)(2,1) (2,2) ... (2, i 1)

,... ... ... ...

( 1,1) (i 1,1) ... ( 1, i 1)

(i,1) (i, 2) ... (i, i 1) .

i i i i i

a a a

a a aii

a a a

i a a a

Z Z Z Z

Q Q Q iQ Q Q

Q

Q i Q Q i

Q Q Q Q

Portanto, a condição de minimização para a

determinação dos coeficientes ijz pode ser

escrita como [3],

ˆ2 ..

ˆ,. ,

(i,i) 2 ( , ).min T T

i ii i i i azi n

Z Q Z Z Q Q iQ i

(4)

Desta forma, utilizando (4), pode-se obter os

coeficientes ijz da solução do sistema de equa-

ções lineares, conforme [3]:

ˆ (i, i)2 ,T T

ii i i

i

z Qd

ZZd

QQ

(5)

para i=2,...,n. Então, a solução de (5) é:

,ii

ii

QZ

Q (6)

para i=2,...,n. Agora, consegue-se determinar

os coeficientes ijz . Para que a matriz Z seja

uma transformação das ambiguidades admissí-

vel, resta garantir que todos os seus coeficien-

tes são números inteiros. Com isso, chega-se a

terceira etapa. A terceira etapa consiste no

arredondamento para o inteiro mais próximo

dos coeficientes ijz . Assim, em vez de (3) tem-

se:

10 de 63


21

1 2

1 0 ... 0[ ] 1 ... 0

... ... ... ...[ ] [ ] ... 1n n

zZ

z z

, (7)

onde [.] representa o arredondamento para o

inteiro mais próximo.

3. Simulação

Para validar o método de construção da trans-

formação Z, será utilizado aqui um exemplo

proposto por [1]. Neste exemplo, a MVC das

ambiguidades é dada como:

ˆ

6.290 5.978 0.5445.978 6.292 2.3400.544 2.340 6.288

aQ

.

Utilizando primeiramente uma transformação

de Gauss triangular superior, obtêm-se a ma-

triz de transformação Z, e a MVC:

ˆ

1 1 02 3 1

3 3 1

0.626 0.230 0.0820.230 4.476 0.334 .0.082 0.334 1.146

z

Z

Q

Empregando essa metodologia (matriz triangu-

lar superior) são obtidos resultados idênticos

aos apresentados em [1]. O que valida o méto-

do de construção da transformação aqui apre-

sentado. Se for utilizado primeiramente a

transformação de Gauss triangular inferior será

obtida uma matriz de transformação Z diferen-

te da apresentada em [1], mas no final a mes-

ma ambiguidade a

será determinada.

4. Conclusão

Uma forma para construção da transformação

Z multidimensional é apresentada. Na prática,

para estimar as ambiguidades inteiras, temos

matrizes de dimensão no mínimo três, sendo o

método aqui apresentado, uma forma eficiente

de construir a transformação Z e que pode ser

usado recursivamente. Maiores detalhes, e a

contrução da transformação Z, em uma dimen-

são maior, serão apresentados no trabalho fi-

nal.

Referências

[l] JONGE, P. de ; TIBERIUS, C. C. J. M.,

The LAMBDA method for integer

ambiguity estimation: implementation

aspects, T.U.Delft - internal report, Delft,

1996

[2] TEUNISSEN, P. J. G., Least-squares

estimation of the integer GPS ambiguities.

In: IAG GENERAL MEETING, 1993,

Beijing, China. Proceedings... Beijing:

IAG, 1993.

[3] LI, Z., Y. GAO, Construction of high

dimensional ambiguity transformations for

the LAMBDA method. In: Proceedings

KIS97 ,Banff, Canada, 1997.

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DESENVOLVIMENTO DE UMA INTERFACE GRÁFICA COM O MATLAB

PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MINIMIZAÇÃO

Adriano Sueke Takata

Programa de Mestrado em Matemática aplicada e Computacional-Pós-Mac, FCT, UNESP


[email protected]

Aylton Pagamisse Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP


[email protected]

Resumo: Minimizar ou maximizar funções são procedimentos importantes na modelagem de

inúmeros problemas. Com o intuito de auxiliar a resolução desses problemas numericamente,

implementamos nesse trabalho uma interface gráfica usando a ferramenta GUIDE do MATLAB alguns

métodos numéricos para encontrar ponto de mínimo ou ponto de máximo de funções. Esses métodos de

otimização são divididos em duas grandes classes: Métodos Unidimensionais e Métodos Multidimensionais

e, além disso, em cada classe ainda são consideradas algumas subdivisões como métodos restritos e métodos

não restritos (irrestritos) e entre essas duas divisões são considerados os que usam derivadas e os que não

usam derivadas. Nesse trabalho apresentamos os métodos irrestritos com e sem o uso de derivadas e a

interface gráfica desenvolvida, fornecendo aos usuários uma ferramenta bastante útil e fácil de ser utilizada.

Palavras-Chave: Métodos de Otimização , MATLAB, GUIDE.

1. Introdução

Problemas de Otimização aparecem com

frequência em diversas áreas. Por exemplo, em

Economia, há um objetivo claro de maximizar

os lucros de uma empresa e minimizar o custo

de produzir um dado nível de produção. Outro

exemplo é na Medicina onde se deseja obter o

menor erro funcional para o problema inverso

de tomografia por impedância elétrica, dentre

outros. Então estamos sempre buscando os

pontos de máximos e mínimos das funções.

Os métodos apresentados dividem-se em duas

partes: Métodos Unidimensionais e os

Métodos Multidimensionais.

Desse modo, utilizando o MATLAB e sua

ferramenta GUIDE, o desenvolvimento de

uma interface gráfica com o usuário (GUI),

possibilita a outras pessoas a utilização dos

métodos apresentados de modo fácil e

intuitivo.

2. Métodos de Otimização

Antes de apresentar os métodos de otimização,

veremos algumas definições:

Definição 1. Um problema de programação

matemática (ou, problema de otimização)

apresenta o seguinte modelo geral:

Otimizar: ( ), nf x x

Sujeito a: ( ) ; 1,...,i ig x a i m

( ) ; 1,...,j jh x b j n .

onde ig e jh são restrições do problema.

Definição 2. Um conjunto S é convexo se para

quaisquer dois pontos Ax e Bx S é sempre

válido que os pontos da reta

(1 ) ,A Bx x com [0,1] também

pertencem a S.

Definição 3. Dizemos que a função é convexa

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se dados Ax e Bx S então

( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )A B A Bf x x f x f x ,

[0,1]

Definição 4. Dizemos que a função é

estritamente quase convexa se dados Ax e

Bx S , tal que ( ) ( )A Bf x f x então

( (1 ) ) max{ ( ), ( )} (0,1)A B A Bf x x f x f x .

2.1. Problemas Irrestritos

Os problemas geralmente são resolvidos de

forma iterativa, empregando métodos

determinístico ou estocástico. Os métodos

determinísticos fazem a seguinte atualização

do novo ponto 1k k kx x d , onde kx é o

ponto atual é o passo na direção kd . A

direção de busca é que torna os métodos

diferentes.

Conhecido o ponto corrente kx e a direção de

busca kd , é necessário determinar qual é o

tamanho do passo . Assim a função a ser

otimizada é agora dependente de apenas uma

variável, isto é,

( , , ) ( )k kf f x d .

Métodos Unidimensionais

Seja : uma função quase convexa. Os

métodos que não utilizam derivadas são

construídos da seguinte maneira. Seja

1 1, [ , ]k k a b . Se ( ) ( )k k ,

1k ka a e 1k kb , caso contrário 1k ka e

1k kb b . Seque-se com esse processo até o

intervalo de incerteza ficar do tamanho

desejado, faça a média e encontrará o valor de x .

O que diferencia um método de outro é a

construção dos k e do k . Para mais detalhe

ver [1] e [2].

No método da Busca Dicotômica escolhemos

um 0 e tomamos:

;2

k kk

a b

.

2

k kk

a b

No Método da Seção Áurea tem-se

0.618 e tomamos:

(1 )( );k k k ka b a ( ).k k k ka b a

No Método de Fibonacci utilizamos a

sequência de Fibonacci até nF onde,

1 1

1

( ),n n

b aF F

l

e tomamos:

1

1 1

( ); ( ).n k n kk k k k k k k k

n k n k

F Fa b a a b a

F F

No Método de Newton o objetivo é minimizar

a função ( )f x . Então construímos uma função

quadrática ( )q x tal que seja igual a

( )f x expandida na série de Taylor em torno de

kx e truncada após a primeira derivada, para

encontrar o ponto de mínimo temos que ter

1'( ) 0kq x . Assim obtemos:

1

'( ).

''( )

kk k

k

xx x

x

3. Interface Gráfica

Os métodos apresentados foram programados

no MATLAB, além disso, foi criada a interface

gráfica com o usuário através do GUIDE.

O GUIDE é uma ferramenta do MATLAB que

auxilia no processo de criação de GUIs

(Graphical User Interface).

Geralmente cria-se GUIs se o aplicativo

desenvolvido será utilizado por outras pessoas

ou se o método será utilizado várias vezes,

fornecendo uma forma mais fácil e intuitiva.

Para entender um pouco mais de como

construir uma GUI ver [3] e [4].

Na figura 1 temos a imagem da GUI

desenvolvida.

Figura 1: A Interface gráfica construída através

13 de 63


do GUIDE.

A GUI construída é bem simples, onde

dividimos em Métodos Unidimensionais e

Métodos Bidimensionais (Multidimensionais).

Temos caixas de texto editáveis, onde o

usuário possa digitar os dados do problema

como função, valor inicial do intervalo, valor

final do intervalo, tolerância e o número

máximo de iterações. Após o preenchimento

destes dados basta clicar no botão Resolver

que programa selecionado executa a solução

do problema desejado utilizando o método

selecionado, fornecendo os seguintes

resultados: valor da função no ponto mínimo,

valor do ponto, o número de iterações e o

gráfico da função.

Exemplo 1. Minimizar a função 2( ) 2f x x x para [ 3,5]x .

Figura 2: Interface gráfica mostrando a

solução do exemplo 1 usando o Método de

Newton.

Figura 3: Interface gráfica mostrando a

solução do exemplo 1 usando o Método de

Fibonacci.

A Figura 2 e a Figura 3 mostram o uso da GUI

construída para solucionar o exemplo 1,

usando o método de Newton e o método de

Fibonacci respectivamente, e os resultados

numéricos obtidos.

Exemplo 2. Minimizar a função 2( ) 5 6f x x x para [ 3,5]x . Na Figura

4 mostra a solução na GUI.

Figura 4. Interface gráfica mostrando a

solução do exemplo 2 usando o Método da

Seção Áurea.

4. Conclusão

Os métodos de otimização são eficientes para

resolver muitos problemas e a construção da

interface gráfica, possibilita que outros

usuários possam usar os métodos de

otimização apresentados de modo simples e

intuitivo.

Referências

[l] Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C.

M. Shetty: Nonlinear Programming:

Theory and Algorithms; Printed: John

Wiley e Sons, 3rd

ed. 2006.

[2] Luenberger D.G. Linear and nonlinear

programming; Springer, 3rd

ed. 2006.

[3] Duane Hanselman, Bruce Littlefield:

MATLAB 6: curso completo; São Paulo:

Prentice Hall, 2003.

[4]www.mathworks.com/help/pdf_doc/matlab

/buildgui.pdf

14 de 63


ENSINO DE FRAÇÕES POR MEIO DE METODOLOGIAS

DIFERENCIADAS

Ana Laura da Silva Neves, Jéssica Ventura da Silva, Luana Cristine de Souza Vieira,

Rodrigo Henrique de Oliveira, Profa. Dra. Maria Raquel Miotto Morelatti, Profa Ms. Regina

Célia Ramos



[email protected] [email protected] [email protected] [email protected]

Resumo: Neste trabalho analisamos uma intervenção sobre o conteúdo de frações, realizada

nos 6os

anos do Ensino Fundamental da Escola Estadual Florivaldo Leal, no âmbito do Subprojeto de

Matemática do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID/CAPES), do Curso de

Licenciatura em Matemática da FCT/UNESP de Presidente Prudente. Partindo da constatação de que

o ensino e a compreensão do conceito de fração são complexos, elaboramos uma metodologia

diferenciada, na qual utilizamos materiais manipuláveis como os discos de frações e o software

educacional “Fraciomia”, para promover uma aprendizagem mais significativa do conteúdo abordado.

Palavras-Chave: Ensino e Aprendizagem de Frações, aprendizagem significativa.

Introdução

O Programa Institucional de Bolsa de

Iniciação a Docência (PIBID) visa inserir o

licenciando no cotidiano da escola básica e

promover o desenvolvimento metodologias e

práticas docentes de caráter inovador, que

buscam valorizar o espaço da escola pública

como campo de experiência para a construção

do conhecimento tanto para a formação dos

futuros professores quanto dos alunos da

educação básica.

Tendo em vista os problemas de

aprendizagem dos alunos da escola parceira, o

subprojeto de matemática do PIBID do Curso

de Licenciatura em Matemática da

FCT/UNESP propõe o desenvolvimento de

metodologias e estratégias de ensino, nas quais

os alunos possam ser incentivados a aprender

matemática, atribuindo sentido aos conceitos

matemáticos abordados.

Para Goméz-Granell (2003), uma das

maiores dificuldades no ensino de matemática

está ligada ao seu caráter de abstração. Para a

autora, a linguagem matemática deve ser

trabalhada na escola levando-se em conta tanto

os aspectos semânticos da linguagem (do

significado dos símbolos) bem como os

sintáticos (conhecimento de como operar com

os símbolos). Acreditamos que uma

possibilidade para isso seja a vivência de

propostas pedagógicas, fundamentadas em

teorias que considerem o aluno como sujeito

ativo na construção de conhecimentos

matemático, que utilizem diferentes recursos e

materiais pedagógicos e que proporcionem

experiências relacionadas ao cotidiano dos

alunos.

O uso de material concreto pode contribuir

para o aluno atribuir sentido a aprendizagem

se o professor inserí-lo em uma aula

investigativa, na qual os alunos são levados a

questionar, levantar hipóteses, testá-las e

validá-las. Por outro lado, o uso de recursos

computacionais, se utilizado em uma

abordagem na qual o aluno, ao interagir com o

computador, possa também vivenciar tais

ações torna a aprendizagem mais prazerosa e

significativa e contribui para o

desenvolvimento do pensamento matemático

e sua capaciade crítica.

Segundo os Parâmetros Curriculares

Nacionais (BRASIL, 1997) de matemática do

eniso fundmental II, o computador pode ser

usado nas aulas de Matemática com as

seguintes finalidades:

• como fonte de informação, poderoso recurso

para alimentar o processo de ensino e

aprendizagem;

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• como auxiliar no processo de construção de

conhecimento;

• como meio para desenvolver autonomia pelo

uso de softwares que possibilitem pensar,

refletir e criar soluções;

• como ferramenta para realizar determinadas

atividades — uso de planilhas eletrônicas,

processadores de texto, banco de dados etc.

Assim, as experiências escolares com o

computador nos mostram que seu uso efetivo

pode proporcionar uma nova relação

professor-aluno, marcada por maior

proximidade, interação e colaboração, assim o

ensino torna-se mais rico e mais significativo

ao aluno em um ambiente propício para

formalizar os conceitos trabalhados.

Tendo consciência de que o ensino e a

aprendizagem de frações na escola básica tem

se mostrado um difícil processo, decidimos

desenvolver com alunos dos 6º anos do Ensino

Fundamental da escola parceira do projeto

PIBID algumas atividades que pudessem

contribuir para a aprendizagem significativa

desse conceito, pautadas no uso de material

manipulável e de softwar educacional.

Desenvolvimento e Análise

A primeira atividade realizada tinha como

objetivo levar os alunos a compreender os

conceitos: fração parte-todo, denominador e

numerador. Assim resolvemos utilizar como

material concreto os “discos fracionários”,

compostos de um disco inteiro e discos

parcionados em partes iguais, de duas até dez.

Em cada sala, os alunos foram divididos em

em quatro grupos, pois acreditamos que o

trabalho torna-se mais proveitoso e cada grupo

foi acompanhado por um bolsista. Propusemos

aos alunos um roteiro com alguns problemas,

por exemplo: Três amigos precisam repartir

um bolo onde todos tenham a mesma

quantidade, ajude-os a resolver essa situação.

Tais problemas levaram os alunos a pensar

juntos em busca da solução. Para tanto

puderam explorar o material concreto

disponbilizado, pudemos questioná-los, levá-

los a levantar hipóteses, podendo depois

realizar a formalização dos conceitos

envolvidos.

A segunda atividade tinha como objetivo

trabalhar as operações de soma e subtração

entre frações, utilizando quando necessário o

cálculo do Mínimo Múltiplo Comum.

Utilizamos nesta atividade um software do

Banco Internacional de Objetos Educacionais

– BIOE chamado Fraciomia.

A atividade aconteceu na sala de

informática onde os alunos sentaram em

duplas e por meio do objeto educacional

puderam explorar os conceitos abordados. O

software exigia que os alunos preparassem

uma receita escolhida. Para tanto, utilizavam

frações, para adquirirem a quantidade certa de

cada ingrediente da receita. Os ingredientes se

encontravam cada um num frasco guardado

em um depósito, nos quais nem sempre as

quantidades eram suficientes. Isso fez com que

os alunos percebessem que iriam retirar a

quantidade possível e ainda retirar a

quantidade que falta de um novo frasco, sendo

que a quantidade de cada frasco representada

por uma fração. A atividade terminava quando

os alunos conseguissem todos os ingredientes

na quantidade certa da receita e os misturava

em um caldeirão.

Considerações Fianis

Podemos dizer que, ao realizarmos essas

atividades, os alunos obtiveram uma

aprendizagem mais significativa, adquirindo

os conceitos envolvidos, alcançando também o

interesse dos mesmos em aprender matemática

e, ao mesmo tempo que puderam vivenciar

uma ação na qual foram os protagonistas na

construção do conhecimento.

Referências Bibliográficas [1] GOMÉZ-GRANELL, Carmen. A

aquisição da linguagem matemática: símbolo e significado. In: TEBEROSKY, Ana;

TOLCHINSKY, L. (Org.). Além da

alfabetização: a aprendizagem fonológica,

ortográfica, textual e matemática. São Paulo:

Ática, 2003. cap.11. p. 257-282.

[2] BRASIL. Secretaria de Educação

Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Matemática. Brasília, DF: MEC;

SEF, 1997.

16 de 63

ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL BIDIMENSIONAL ENTRE PLACAS

PARALELAS COM O USO DO MÉTODO NÚCLEO-CONFORMAÇÃO1

Irineu L. Palhares Junior2, Cassio M. OishiDepartamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP


[email protected]

Resumo: Uma dificuldade na solução de escoamentos viscoelásticos complexos ocorre quando

instabilidades numéricas surgem na simulação, resultantes de um colapso ("breakdown") dos esquemas numéricos aplicados na solução da equação constitutiva para fluidos não-newtonianos. Essa dificuldade é conhecida na literatura como o Problema de Alto Número de Weissenberg ou "High Weissenberg Number Problem" (HWNP). Uma forma de evitar essas instabilidades é a aplicação de manipulações algébricas no tensor conformação A , reformulando sua equação constitutiva. Desta forma, neste trabalho vamos analisar a transformação Núcleo-conformação K , que é uma função inversível, diferenciável e contínua, utilizada sobre o tensor A , que é simétrico e definido positivo. Primeiramente, vamos reescrever a equação constitutiva do modelo Oldroyd-B em termos de K (A) . Após isso, no contexto do método "Marker-and-Cell", as equações de Navier-Stokes e a equação do tensor conformação acrescida desta transformação serão resolvidas via método de projeção. Finalmente, as técnicas numéricas serão testadas na solução de escoamentos incompressíveis bidimensionais.

Palavras-Chave: Núcelo-conformação, Problema de Alto Número de Weissenberg.

IntroduçãoDesde o início dos anos 1970 o Problema de Alto Número de Weissenberg tem atormentado estudiosos em reologia computacional. Esta dificuldade manifesta-se por meio de instabilidades numéricas acarretadas pelo uso de altos valores para o número de Weissenberg ( Wi ), um parâmetro adimensional usado no estudo de escoamentos viscoelásticos. Quando tomamos um valor para Wi maior que um determinado valor limite Wicrit , denominado de valor crítico de Wi , os esquemas numéricos entram em colapso, resultando em instabilidades numéricas e na não convergência da solução.Uma estratégia que vem sendo desenvolvida é o uso de manipulações algébricas sobre o tensor conformação A , que é simétrico e definido positivo. Assim, neste trabalho apresentamos uma destas técnicas conhecida como núcleo-conformação, proposta por

Afonso et al. [1] e verificamos a eficiência deste método por meio de teste numérico em um escoamento bidimensional entre placas paralelas “poiseuille flow”.

MetodologiaAs equações que descrevem um escoamento bidimensional incompressível de um fluido qualquer na forma adimensional, equações de Navier-Stokes, juntamente com a equação constitutiva do modelo Oldroyd-B, são dadas, respectivamente, por:

d udt

+(u .∇)u=−∇ p+β

R e∇

2u+∇ .τ ,

∇ u=0e

τ∇=2

(1−β)

Wi R eD−

1Wi

τ , (1)

onde u é o campo de velocidade, τ o tensor polimérico, p a pressão, D é a

1 VII Simpósio de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia.2 Bolsista de Iniciação Científica da FAPESP.

17 de 63

taxa de deformação, definida como

D=12(∇ u+∇ uT ) ,

β é a razão entre a viscosidade do solvente

pela viscosidade total, Wi=λUL

, onde

λ é o tempo de relaxação, U e L representam escolhas apropriadas de escalas de velocidade e comprimento,

respectivamente, e R e=ULν é o número de

Reynolds, onde ν é a viscosidade cinemática. Podemos escrever a equação (1) em termos do tensor conformação A , pela relação linear:

τ=(1−β)

R eWi(A−I ) ,

que resulta em:

A∇

=1

Wi( I−A) . (2)

Aproveitando-se da propriedade fundamental de A , simétrico e definido positivo, podemos decompor A como:A=O ΛOT ,

onde O é a matriz unitária dos autovetores e Λ é a matriz diagonal dos autovalores.Assim, definimos a função núcleo como:K (A)=O K (Λ)OT ,

onde K é uma função contínua, inversível e diferenciável. Através de algumas manipulações algébricas sobre a equação (2) em conjunto com a função núcleo, construímos a seguinte equação evolutiva para K:

D KDt

=ΩK−KΩ+2B+1

WiH ,

onde Ω é uma matriz antissimétrica, B=O DBO

T e H=O DHOT , com

DB e DH matrizes diagonais. Desta forma, neste trabalho faremos duas escolhas apropriadas para a função núcleo, K=ln A

e K=A12 , função logaritmica e raiz

quadrada, ambas satisfazendo as condições necessárias para K , contínua, inversível e diferenciável.

ResultadosO teste apresentado a seguir foi realizado para o escoamento entre placas paralelas, com

dimensão 5x1 , passo temporal dt=10−3

, passo espacial dx=dy=0.1 , R e=0.1 e Wi=1 .

Por tratar-se de resultados preliminares, este trabalho faz apenas uma verificação do método núcleo-conformação mediante a comparação dos resultados com a solução exata deste problema que é conhecida.

A seguir apresentamos o gráfico da componente u da velocidade, variando com

y , para a solução exata, com a função logaritmica, função raiz quadrada e sem o uso da função núcleo, representadas no gráfico, respectivamente, por 'exata', 'log conformação', 'square root' e 'std'.

Conclusão

Como se pode observar na Figura 1, a inclusão desta função não degradou a solução. Além do mais, conforme declarado pelos autores em [1] e confirmado por meio de seus resultados, este método permite-nos estender o valor de

Wicrit para além do valor suportado para simulações sem o uso de manipulações sobre o tensor conformação.

Referências

[1] AFONSO, A.; OLIVEIRA, O. J.; PINHO, F. T.; ALVES, M. A. The log-conformation tensor approach in the finite-volume method framework. J. Non-Newtonian Fluid Mech., v. 157, p. 55-65, Set. 2005.

Figura 1: Variação da componente u da

velocidade com relação a direção y para Wi=1.

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Espectro do Laplaciano Discreto Multidimensional

Prof. Dr. Roberto de A. PradoDepto. de Matematica e Computacao, FCT - UNESP,

19060-900, Presidente Prudente - SP


Area: Fısica-Matematica

Resumo: O presente trabalho tem como objetivo estudar o espectro do Laplaciano discreto mul-tidimensional h, sendo este definido sobre o espaco de Hilbert `2(Zd), para dimensao d ≥ 1. Taloperador e tambem conhecido como o Hamiltoniano de Schrodinger livre d-dimensional. Fisica-mente, seu espectro representa a energia de uma particula livre. Atraves da transformada de Fou-rier, mostra-se que h e unitariamente equivalente a um operador de multiplicacao por uma funcaoreal e que seu espectro e absolutamente contınuo puro descrito por σ(h) = σac(h) = [−2d, 2d].

Palavras-chave: Espectro, Laplaciano discreto, Operador de Schrodinger livre.

1 Introducao

Na Matematica, assim como na Mecanica Quantica, existem varias ferramentas que proporcio-nam um conjunto de resultados e a teoria espectral de operadores auto-adjuntos e uma delas[1]. Neste trabalho consideramos o Laplaciano discreto multidimensional h, atuando, para di-

mensao d ≥ 1, sobre o espaco de Hilbert `2(Zd) ={u : Zd → C :

∑n∈Zd |u(n)|2 <∞

}, o qual

e definido por

(hu) (n) = −∑

k∈Zd,|k|=1

u(n+ k), n ∈ Zd, (1)

onde k = (k1, ..., kd) com |k| = |k1|+...+|kd|. Este operador aparece na construcao do modelo deAnderson discreto d-dimensional, estudado em [2]. Atraves da transformada de Fourier, mostra-se na secao 3 que h e unitariamente equivalente a um operador de multiplicacao por uma funcaoreal e, por resultados da secao 2, conclui-se que h e auto-adjunto e limitado, e que seu espectroe absolutamente contınuo puro dado por σ(h) = σac(h) = [−2d, 2d].

2 Definicoes e Preliminares

Nesta secao definimos alguns conceitos e apresentamos alguns resultados preliminares, que seraoimportantes para o desenvolvimento desse trabalho (veja [1]).

Definicao 1. Seja T : H → H operador linear sobre o espaco de Hilbert H. O conjuntoresolvente de T e ρ(T ) =

{λ ∈ C; Rλ(T ) = (T − λI)−1existe e e limitado

}. O espectro de T e

o conjunto σ(T ) = C\ρ(T ).

Sejam T : H → H um operador auto-adjunto sobre um espaco de Hilbert H separavel eµξ = µTξ a medida espectral de T associada a ξ ∈ H. Denotamos por ` a medida de Lebesgue.

Definicao 2. O subespaco absolutamente contınuo de T e definido por Hac(T ) := {ξ ∈ H : µξ � `},onde µξ � ` indica que a medida µξ e absolutamente contınua com respeito a `.

19 de 63

Temos que Hac(T ) e um subespaco fechado de H. Denotemos por P Tac a projecao ortogonalsobre Hac(T ) e definimos a restricao auto-adjunta Tac = TP Tac.

Definicao 3. O espectro absolutamente contınuo de T e definido por σac (T ) = σ (Tac).

Definicao 4. Um operador linear U : H1 → H2 e unitario se 〈Uξ, Uη〉 = 〈ξ, η〉 , ∀ξ, η ∈ H1

e Im(U) = H2. Existindo um operador unitario U : H1 → H2, entao esses espacos sao ditosunitariamente equivalentes. Neste caso, dois operadores lineares Tj : Hj → Hj , j = 1, 2, saounitariamente equivalentes se H2 = UH1 e T2 = UT1U

∗.

Teorema 1. Sejam U : H1 → H2 um operador unitario e T1, T2 operadores lineares unitaria-mente equivalentes. Entao

1. T1 e auto-adjunto e limitado se, e somente se, T2 e auto-adjunto e limitado.2. σ(T1) = σ(T2).

Demonstracao. 1. Suponha T1 auto-adjunto e limitado. Para todo ξ, η ∈ H2 tem-se

〈T2ξ, η〉 = 〈UT1U∗ξ, η〉 = 〈T1U∗ξ, U∗η〉 = 〈U∗ξ, T1U∗η〉 = 〈ξ, T2η〉 .

Segue do Teorema de Hellinger-Toeplitz [1] que T2 e auto-adjunto e limitado. De modo analogomostra-se a outra implicacao.

2. Por hipotese T2 = UT1U∗, o que implica T2 − zI = U (T1 − zI)U∗, ∀z ∈ C. Se z ∈ ρ(T1)

entao Rz (T1) existe e e limitado. Como U e U−1 = U∗ sao limitados, e temos que

Rz (T2) = (T2 − zI)−1 = (U∗)−1 (T1 − zI)−1 U−1 = URz (T1)U∗,

segue que Rz (T2) existe e e limitado, ou seja, z ∈ ρ(T2). Assim ρ(T1) ⊂ ρ(T2). Analo-gamente, mostra-se que ρ(T2) ⊂ ρ(T1). Portanto ρ(T1) = ρ(T2) e pela definicao 1 obtemosσ(T1) = σ(T2).

Definicao 5. Seja φ : Rd → C uma funcao mensuravel. Define-se o operador de multi-plicacao por φ como sendo o operador Mφ : domMφ → L2

(Rd)

dado por Mφψ = φψ comψ ∈ domMφ :=

{ψ ∈ L2

(Rd)

: φψ ∈ L2(Rd)}

.

Proposicao 1. Se φ : Rd → R e mensuravel, entao Mφ e auto-adjunto e limitado.

Demonstracao. Para todo ψ,ϕ ∈ L2(Rd) tem-se

〈ϕ,Mφψ〉 =

∫Rd

ϕ(t)φ(t)ψ(t)dt =

∫Rd

φ(t)ϕ(t)ψ(t)dt =⟨Mφϕ,ψ

⟩= 〈Mφϕ,ψ〉 .

Pelo Teorema de Hellinger-Toeplitz [1] segue que Mφ e auto-adjunto e limitado.

Proposicao 2. Seja E ⊂ Rd um conjunto de Borel com `(E) > 0 e φ : E → R uma funcaomensuravel. Considere o operador de multiplicacao Mφ em L2(E). Se `(A) = 0 implica`(φ−1(A)) = 0 (para todo A pertencente a σ-algebra de Borel A), entao o espectro σ(Mφ) epuramente absolutamente contınuo.

Demonstracao. Para cada conjunto de Borel A ⊂ R denote por χA o projetor espectral sobreA. Se ψ ∈ L2(E), tem-se

µψ (A) = 〈ψ, χA (Mφ)ψ〉 =

∫EχA (φ(x)) |ψ(x)|2 dx =

∫φ−1(A)

|ψ(x)|2 dx.

Logo, se `(A) = 0 ⇒ `(φ−1(A)) = 0, entao µψ(A) = 0. Portanto, µψ � ` e σ(Mφ) e absoluta-mente contınuo puro.

20 de 63

3 Resultado

Seja h o operador definido na introducao por (1). Baseando-se em [2], mostremos que h possuiespectro absolutamente contınuo puro e que σ(h) = σac(h) = [−2d, 2d].

Usando a transformada de Fourier vamos mostrar que h e unitariamente equivalente a umoperador de multiplicacao por uma funcao real. De fato, considere a transformada de Fourier

F : L2(

[0, 2π)d)→ `2(Zd),

(Fg) (n) =1√

(2π)d

∫[0,2π)d

g(x)e−ix.ndx,

que e um operador unitario com inversa dada por(F−1u

)(x) = l.i.m 1√

(2π)d

∑n∈Zd

|n|≤N

u(n)eix.n,

em que x.n = x1n1 + ...+ xdnd e l.i.m denota o limite N →∞ em `2(Zd). Temos que

(h (Fg)) (n) = −∑k∈Zd

|k|=1

1√(2π)d

∫[0,2π)d

g(x)e−ix.(n+k)dx

= − 1√(2π)d

∫[0,2π)d

g(x)e−ix.n∑k∈Zd

|k|=1

e−ix.kdx

= − 1√(2π)d

∫[0,2π)d

g(x)e−ix.nd∑j=1

2 cos(xj)dx = (Fψ) (n),

onde ψ(x) = −2∑d

j=1 cos(xj)g(x). Portanto, F−1hF = Mφ com φ(x) = −2∑d

j=1 cos(xj).

Assim, h e unitariamente equivalente ao operador de multiplicacao Mφ em L2(

[0, 2π)d)

na

variavel x = (x1, ..., xd). Pela Proposicao 1 e pelo Teorema 1 tem-se que h e auto-adjunto elimitado, com σ(h) = σ (Mφ). Como φ : Rd → R e contınua, entao σ (Mφ) = Imφ = [−2d, 2d](veja [1]). Alem disso, φ satisfaz `(A) = 0 ⇒ `(φ−1(A)) = 0, donde pela Proposicao 2 obtemosσ (Mφ) = σac (Mφ) = [−2d, 2d]. Potanto, h tem espectro absolutamente contınuo puro eσ(h) = σac(h) = [−2d, 2d].

4 Conclusao

Conforme o caso estudado apenas a energia cinetica esta presente na partıcula, a qual naosofre influencia de forca exterior que geraria uma energia potencial. O espectro puramenteabsolutamente contınuo de h representa a energia de uma particula livre.

Referencias

[1] DE OLIVEIRA, C. R.: Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics; Birkhauser,Basel, v. 54, Progress in Mathematical Physics (2008).

[2] STOLZ, G.: An Introduction to the mathematics of Anderson Localization. Entropy andthe quantum II, Contemp. Math. 552, Amer. Math. Soc., Providence, Rl, 71-108 (2011).

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FEIRA DA MATEMÁTICA: ATIVIDADES DIFERENCIADAS NA

APRENDIZAGEM DOS ALUNOS

Lucas Scarini Ferrari, Natália Aparecida Sylvestrino Pereira, Profª Drª Maria Raquel

Miotto Morellati, Profª Mrª Regina Célia Ramos



Resumo: O subprojeto PIBID/CAPES (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência) do

curso de Licenciatura em Matemática da FCT/UNESP iniciado no ano de 2010 é desenvolvido por um grupo

de 10 bolsistas em parceria com a Escola Estadual Florivaldo Leal do Município de Presidente Prudente, visa

a formação de professores tanto quanto uma melhoria na aprendizagem por parte dos alunos, portanto este

trabalho vem apresentar uma atividade idealizada a partir do Dia Nacional da Matemática, denominada

Semana da Matemática, onde bolsistas e alunos trabalharam em conjunto preparando atividades

diferenciadas que os próprios apresentariam para a escola inteira em um período letivo liberado pela direção

da escola, de forma a mostrar que todos alunos aprendem mesmo fora da sala de aula e a beleza da

disciplina, além de as atividades propostas o aluno dificilmente teria a possibilidade de alcançá-las dentro da

própria escola.

Palavras-Chave: Semana da Matemática, Atividades diferenciadas.

Introdução

Este trabalho pertence ao Subprojeto de

Matemática do Programa Institucional de

Bolsa de Iniciação a Docência

(PIBID/CAPES) do curso de Licenciatura em

Matemática da FCT/UNESP de Presidente

Prudente, desenvolvido por um grupo de 10

bolsitas, coordenado por Dra. Maria Raquel

Miotto Morellati e contando com o auxílio de

Ms. Regina Célia Ramos ambas do

Departamento de Matemática e Computação

em parceria com a Escola Estadual Florivaldo

Leal, localizada na região central de Presidente

Prudente atendendo cerca de 1000 alunos,

sendo que o projeto atinge acerca de 480,

desde o Ensino Fundamental ao Ensino Médio.

Uma forte característica advinda do ano de

2011 no subprojeto PIBID foi que a

Matemática não apenas deve ser ensinada

dentro de sala de aula, assim, considerando o

interesse que os alunos demonstravam por

atividades práticas que nem sempre poderiam

serem realizadas dentro da sala de aula, pela

falta de tempo ou pelo professor ter um plano

e um currículo mínimo a cumprir, foram

iniciadas o estudo e a reflexão sobre possíveis

atividades a serem realizadas extraclasse

durante o período de intervalo deles ou algum

tempo que a direção liberasse.

Importante ressaltar que estas atividades

realizadas não eram obrigatórias aos alunos,

eles eram apenas convidados.

Segundo Nérici (1979) defende que estas

atividades extraclasses sejam integradas dentro

do planejamento das atividades escolares

normais passariam a fazer parte do currículo,

normalmente, tornando a vida escolar mais

dinâmica, mais rica e mais sugestiva, por meio

do máximo de oportunidades educativas

proporcionadas aos alunos.

Podemos então perceber que as atividades

extraclasses atraiam alunos em que dentro da

sala de aula eram tratados como ignorantes ou

displicentes, aqueles que possuíam grandes

dificuldades, mas que fora da aula tentavam e

aprendiam significativamente, além disso,

podemos relatar que muitos destes após as

atividades mudaram seu comportamento

dentro da sala de aula, o que realmente

afirmava sua vontade de aprender, e que a

Matemática pode efetivamente ser aprendida

fora de aula, tanto quanto numa forma mais

dinâmica, diferentemente da usual.

22 de 63


Uma atividade realmente significativa e

diferente realizada pelos bolsistas tratou-se no

Dia Nacional de Matemática no ano de 2012.

Devido à maioria de alunos, inclusive de

professores, não conhecerem a data,

realizamos atividades em que consistiam

principalmente no resgate histórico da

Matemática do nosso país, sem perder o foco

de realmente os alunos aprenderem, adquirem

alguns conceitos matemáticos, e para este ano

pensamos em dar continuidade nesta atividade,

mas com objetivos diferentes, afinal Lorenzato

(2009) relata que a formação de professores

deve envolver reflexão, pesquisa, ação,

descoberta, organização e construção teórica, e

não apenas aprendizagem de técnicas e

receitas pedagógicas que podem ser utilizadas

numa sala de aula. Assim, a melhoria do

ensino de Matemática envolve um processo de

diversificação metodológica, exigindo novas

competências do professor, tais como: ser

capaz de ensinar a pensar; saber comunicar-se;

saber pesquisar; ter raciocínio lógico; saber

organizar o seu próprio trabalho; ser

autônomo; saber articular o conhecimento com

a prática e essa diversificação metodológica

que queriamos alcançar.

Buscávamos que os alunos participassem mais

das atividades realizadas, não como todos, mas

que o máximo possível, assim surgiu a ideia de

que os bolsistas levariam atividades para cada

classe que acompanhava, para que os alunos

aprendessem e logo após os mesmos

prepararassem apresentações perante toda a

escola, ressaltando a parceria importante com

a direção da escola que liberou um tempo após

o intervalo dos alunos para a realização das

atividades.

Metodologia

As atividades diferenciadas realizadas foram

de encontro as ideias de materiais, conteúdos e

formas que a realidade dos alunos não

conseguissem alcançar dentro da escola. Assim

realizamos atividades como a multiplicação

chinesa, pirâmide fractal, teodolito, tangram,

mágica matemática, torre de hanói, onde nem

os professores de Matemática da escola tinham

conhecimento. Tais atividades ocorreram da

seguinte maneira: primeiramente os bolsistas

escolheram temas pertinentes e condizentes

com o nível de aprendizado da classe, após a

escolha, cada bolsista trabalhou os conteúdos

relacionados com cada classe e depois coube

aos alunos preparar a metodologia e os

materias para que fossem apresentadas nos

dias da feira.

A atividade da pirâmide, despertou grande

interesse dos alunos do 3º ano do ensino

médio, pois o estudo da geometria Fractal

ainda é muito novo, porém de uma beleza e

curiosidade incrível. Foi trabalhado as

regularidades dos fractais, seu processo

iterativo e também apresentado suas formas no

cotidiano do aluno. Logo após a explicação, os

alunos montaram uma pirâmide fractal, que foi

exposta, além de apresentar a história e os

conceitos envolvidos.

O teodolito foi uma atividade que envolveu os

alunos do 2º ano do ensino médio, foi muito

interessante, pois pudemos explorar o espaço

físico da escola, tomando como objeto de me-

dida a caixa d’água, árvore e a quadra. Como

já havia sido trabalhado pela professora o con-

teúdo de trigonometria no triângulo retângulo,

foi mais rápido o entendimento do uso do apa-

relho. Com o auxílio dos bolsistas, os alunos

construíram o teodolito e depois saíram pelo

espaço escolar para medir a altura da caixa

d’água por exemplo. No dia da feira, eles ensi-

naram os demais alunos a utilizar o teodolito e

calcular a altura de determinado objeto através

da distância entre o aluno e o objeto e um ân-

gulo.

Estas foram algumas, entre várias outras ativi-

dades propostas aos alunos, que proporciona-

ram-lhes autonomia e liderança perante aos

demais alunos da escola

Referências

[1] LORENZATO, S. O laboratório de

ensino de matemática na formação de

professores. 2. ed.rev. Campinas:

Autores Associados, 2009. (Coleção

formação de professores).

[2] NÉRICI, I. G. Atividades extraclasse

no ensino de 1º, 2º e 3º graus. 3. ed. Rio

de Janeiro: Livros Técnicos e

Científicos, 1979.

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Grassmanniana como uma Variedade Homogênea

Rafael Paulino Silva1 Ronan Antonio dos Reis

2 Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP

Resumo: A variedade de Grassmann, ou Grassmanniana ( )kG n é definida como sendo o conjunto

de todos os susbespaços k-dimensionais no espaço euclidiano Rn. Estes espaços aparecem e tem

sido de grande importância em diversas áreas da matemática, como por exemplo, em Geometria

Diferencial, Variedades Diferenciáveis, Teoria de Grupos de Lie, entre outras. O objetivo principal

deste trabalho é identificar ( )kG n com uma variedade homogênea, que é um espaço quociente de

um grupo de Lie com uma certa estrutura de variedade diferenciável.

Palavras-Chave: Grupos de Lie, Ação Transitiva, Grassmanniana.

1. Introdução1 Para o desenvolvimento deste trabalho, foi

feito um estudo de conceitos e resultados

relacionados da Teoria de Grupos de Lie, tais

como, ações diferenciáveis em grupos de lie,

em que destacamos aquelas que são

transitivas, as quais nos possibilitam

identificar certos espaços como quocientes de

grupos de Lie. Este trabalho tem como

objetivo principal demonstrar que a

grassmanniana ( )kG n pode ser vista como

uma variedade homogênea. Para isto,

utilizamos resultados e técnicas da Teoria de

Grupos de Lie, Topologia e Análise. A seguir,

apresentamos as definições e resultados que

precisamos para o desenvolvimento deste

trabalho.

2. Desenvolvimento2 Definição 1: Um grupo de Lie é uma

variedade diferenciável G com uma estrutura

de grupo tais que as aplicações :p G G G× →

1 Aluno do Curso de Pós-Graduação em Matemática da

FCT/UNESP 2 Orientador

definida por ( )1 2 1 2,p g g g g= e :i G G→ por

( ) 1i g g −= são diferenciáveis (de classe C∞

).

Definição 2: Um grupo de Lie G age em uma

variedade diferenciável M , se existe uma

aplicação diferenciável :a G M M× → ,

denotada por ( ),a g p gp= , satisfazendo as

seguintes condições:

( )

( )( ) ( )1 2 1 2

, onde é o elemento neutro de i ep p e G

ii g g p g g p

=

=

Neste caso, a é chamada ação de G em M .

Definição 3: Uma ação a é transitiva, ou age

transitivamente em M através de a , se

Gp M= , para todo p M∈ , onde

{ }|Gp gp g G= ∈ .

Definição 4: Seja 0p M∈ e

:a G M M× → uma ação de um grupo de Lie

G em uma variedade diferenciável M . O

grupo de isotropia do ponto 0p M∈ é o

conjunto

{ }0 0 0|pG g G gp p= ∈ =

Proposição 1: O subgrupo de isotropia 0pG é

fechado.

Definição 5: Sejam M e N variedades

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diferenciáveis. Uma aplicação :f M N→ é

um difeomorfismo se f é uma bijeção

diferenciável com inversa 1f − diferenciável.

3. Resultados

Teorema 1: Seja H um subgrupo fechado de

um grupo de Lie G , e { }/ |G H gH g G= ∈ o

conjunto de classes laterais à esquerda módulo

H . Seja : /G G Hπ → a projeção canônica

( )g gHπ = . Então, /G H tem uma única

estrutura de variedade diferenciável tal que,

( )i π é diferenciável ( C∞ )

( )ii Para todo ponto gH de /G H existe uma

vizinhança de gH em /G H e uma aplicação

diferenciável : /W G H Gτ ⊂ → tal que

Widπ τ =� .

Definição: Variedades da forma /G H com

estrutura diferenciável dada no teorema acima,

são chamadas de variedades homogêneas.

Teorema 2: Seja :a G M M× → uma ação

transitiva de um grupo de Lie G na variedade

M . Seja 0p M∈ e H o subgrupo de isotropia

em 0p . Então, /G H é difeomorfo a M.

Demonstração: Definimos a aplicação

: /G H Mϕ → dada por

( ) ( )0 0,gH a g p gpϕ = = . Então ϕ é um

difeomorfismo. Utilizando que a ação é

transitiva segue que ϕ é sobrejetora. Para ver

a injetividade, sejam 1g H , 2 /g H G H∈ tais

que ( ) ( )1 2g H g Hϕ ϕ= . Então, 1 0 2 0g p g p= ,

ou seja, 1

1 2g g H− ∈ , o que equivale a dizer que

1 2g H g H= . E, portanto, ϕ é uma bijeção. A

diferenciabilidade da aplicação ϕ pode ser

demonstrada utilizando os seguintes fatos: ( )i

A aplicação : /f G H M→ é diferenciável se,

e só se, :f G Mπ →� é diferenciável, onde π

é a aplicação da Definição 6. ( )ii E, que a

derivada gHdϕ é não singular, para todo g G∈ .

Exemplo : Este exemplo é uma aplicação do

resultado anterior. Vejamos que a

grassmanniana ( )kG n pode ser vista como

uma variedade homogênea. Para isto,

observamos que o grupo ( )O n das matrizes

reais n n× ortogonais tem estrutura de grupo

de Lie. Assim, definimos a ação

( ) ( ) ( ): k ka O n G n G n× →

dada por ( ) { }, |a A W AW Ax x W= = ∈ . Esta

ação está bem definida e é transitiva. O grupo

de isotropia dessa ação é dado por

( ) ( )0

0| e ( )

0P

AG M O n A O k B O n k

B

= = ∈ ∈ ∈ −

. Então pelo Teorema 2, a Grassmanianna é

difeomorfa a ( )

0P

O n

G, que é uma variedade

homogênea.

3. Conclusão

Neste trabalho foi estudado resultados que

possibilitam identificar certos espaços como

quocientes de grupos de Lie, em que vimos

que a grassmanniana ( )kG n é identificada a

uma variedade homogênea.

4. Referências

[1] Lima, E. L.: Variedades Diferenciáveis, Impa. Rio de Janeiro. 2007.

[2] Carmo, M. P.: Notas de Um Curso de

Grupos de Lie. Impa. Rio de Janeiro. 1974.

[3] San Martin, L. A. B. Notas de Grupos de

Lie. Unicamp, 2011.

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INTERDISCIPLINARIDADE: UMA PRÁTICA DIFERENCIADA NO

ENSINO DE MATEMÁTICA

Alex Ribeiro Batista, Luiz Fernando Carvalho, Tiago Ferreira Lopes Machado,

Profa. Dra. Maria Raquel Miotto Morelatti, Profa. Ms. Regina Célia Ramos



[email protected]; [email protected]; [email protected];

Resumo: Este trabalho foi desenvolvido no âmbito do Subprojeto de Matemática do

Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID) do curso de Licenciatura em

Matemática da FCT/UNESP de Presidente Prudente, desenvolvido em parceria com a Escola Estadual

Florivaldo Leal. O mesmo tem por objetivo relatar uma intervenção interdisciplinar desenvolvida por

três alunos, sendo dois bolsistas do curso de licenciatura em Matemática e um colaborador do curso de

Licenciatura/Bacharelado em Geografia, em um 9° ano, envolvendo as disciplinas de Matemática e

Geografia, abordando, principalmente, conceitos de teoria dos conjuntos no campo da matemática

juntamente com conceitos de cartografia, estatística e regiões no espaço geográfico. Palavras-Chave: Conjuntos, Cartografia, Interdisciplinaridade.

Introdução

A facilidade do acesso às novas

tecnologias torna-se necessária a discussão

sobre o papel do ensino tradicional como

“transmissor” de informações, uma vez que

o aluno tem acesso a informações em

diferentes contexto e lugares. Surge, então, a

necessidade de repensar o papel do professor

e de sua abordagem pedagógica, da

transmissão de informações para a criação

de ambientes de aprendizagem no qual o

aluno possa construir conhecimentos por

meio da interação com as tecnologias.

Especificamente com relação à Matemática

observamos uma grande dificuldade de

superar o modelo de ensino tradicional, pois

isso exige a mudança de paradigma, que

classifica esta disciplina como algo de difícil

aprendizado. Nesse sentido, as propostas

metodológicas de caráter inovador devem

ser desenvolvidas para despertar o interesse

dos alunos e alcançar os objetivos da

aprendizagem.

A temática interdisciplinariedade tem

como propósito promover a interação entre

aluno, professor e cotidiano e propõe que

um tema seja abordado em diferentes

disciplinas. Numa sala de aula interdisciplinar a

autoridade é conquistada, enquanto na

outra é simplemente outorgada. Numa

sala de aula interdisciplinar a obrigação

é alternada pela satisfação; arrogância,

pela humildade; a solidão, pela

cooperação; a especialização, pela

generalidade, o grupo homogêneo, pelo

heterogêneo; a reprodução, pela

produção do conhecimento.

(FAZENDA, 1994, p.86)

Sendo assim, foi desenvolvida uma

intervenção de caráter interdisciplinar, na

qual se objetivou a união de Matemática e

Geografia para se trabalhar o conteúdo de

conjuntos, previsto na proposta curricular do

estado de São Paulo.

Metodologia

No âmbito do subprojeto

PIBID/CAPES de Matemática da

FCT/UNESP foi realizada uma atividade

interdisciplinar, que contemplou a teoria dos

conjuntos no campo da matemática

juntamente com conceitos de cartografia,

estatística e regiões no espaço geográfico.

Para tanto foram utilizados dois mapas

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temáticos, sendo um das mesorregiões e

outro das regiões administrativas do Estado

de São Paulo:

A princípio foram abordados, pelo

aluno colaborador, alguns conceitos

históricos do pensamento geográfico,

buscando algumas características

epistemológicas científicas e filosóficas, tais

como as taxonomias, observações e

descrições detalhadas das regiões e em

escalas menores os lugares, incluindo e

abrangendo diversos objetos presentes no

espaço, tais como as paisagens.

A fim de ressaltar a história das

demarcações das primeiras regiões, o aluno

colaborador citou como referência Vidal de

La Blache, que com essas conjunturas

metodológicas citadas acima estabeleceu

duas distintas direções, a Geografia regional,

e a Geografia das civilizações,

caracterizando por sua vez as demarcações

das primeiras regiões. Foi também

esclarecido à turma que no Brasil (início e

meados do Século XX) houve diversas

classificações, mas somente em 1940 é que

o IBGE começou a oficializar através do

Estado, as classificações das regiões,

possuindo duas escalas, tendo as

macrorregiões (N, NE, CENTRAL, SE,

LESTE e OESTE) e as microrregiões. Foi

citado que o Estado de São Paulo (Corte

espacial, demonstrada aos alunos), possui 60

microrregiões e 15 mesorregiões

geográficas, servindo como exemplos a

região de Presidente Prudente, que possui 17

municípios e da Grande São Paulo, sendo

composta por 39 municípios.

Para finalizar os conceitos

cartográficos, foram colocadas noções de

longitude e latitude como característica de

fundamental importância para a localização.

Foi feito neste momento uma

contextualização com a noção de Plano

Cartesiano.

Em outro momento da intervenção os

bolsistas instigaram os alunos da turma a

pensarem em conjuntos quaisquer, para isso

foi utilizado o quadro negro para organizar

as ideias. Feito isso, foi utilizado o mapa

das regiões administrativas a fim de

formalizar o conceito de conjuntos, tomando

os estados brasileiros como elementos

pertencentes ao conjunto finito Brasil. O

mesmo processo foi feito com o mapa das

mesorregiões do Estado de São Paulo,

porém neste foi tomado às mesorregiões

como elementos pertencentes ao conjunto

Estado de São Paulo. Ainda nesse âmbito foi

dada a ideia de elementos não pertencentes a

um conjunto qualquer, foi dado como

exemplo o elemento Londres, a partir dai os

alunos visualizaram que este elemento não

pertencia ao conjunto Brasil.

Após uma breve explicação sobre

interseção e união de conjuntos no quadro

negro, foi proposto aos alunos uma dinâmica

que tinha por objetivo mostrar o diagrama

de Venn – Euler. Esta dinâmica se passou da

seguinte maneira:

foi desenhado no quadro negro um

diagrama de Venn - Euler composto por três

circunferências de modo que cada uma delas

representasse uma das três cidades: São

Paulo (SP), Recife (PE) e Rio de Janeiro

(RJ);

Um aluno por vez deveria assinar na

circunferência correspondente a(s) cidade(s)

que gostaria de viajar;

A partir desta dinâmica, os alunos

compreenderam os conceitos de interseção e

de conjuntos. Puderam notar que os alunos

(elementos do conjunto) que queriam visitar

Rio de Janeiro e São Paulo pertenciam à

intersecção dos conjuntos São Paulo e Rio

de Janeiro.

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Fig. 1. Alunos da escola realizando a atividade

Resultados

Concordamos que

“Uma sala de aula

interdisciplinar difere da comum

desde a organização do espaço

arquitetônico à organização do

tempo”. (FAZENDA,1994,

p.86).

Com isso, notamos que os objetivos

foram alcançados nesta prática

interdisciplinar, uma vez que a maioria dos

alunos participaram ativamente da

intervenção. Além disso, a atividade foi

significativa quanto ao aprendizado, uma

vez que em aulas posteriores percebemos

que os alunos associavam os exemplos e

conceitos usados na intervenção para

resolverem exercícios sobre conjuntos

propostos pela professora.

Esta atividade também teve grande

valia para nossa formação docente, pois

aprendemos na prática a utilizar a

interdisciplinaridade, que se mostra uma

eficaz metodologia de ensino e aprendizado.

Referências

HESPANHOL, Rosangela Medeiros. Divisões

regionais do Estado de São In: AULA

EXPOSITIVA DE REGIÃO E

REGIONALIZAÇÃO DA FCT/UNESP, 2012,

Presidente Prudente. Arquivo Eletrônico.

Acesso em 12/09/2013.

IBGE histórico: regiões.Dados disponíveis

em:<http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/cartografia/default_dtb_int.shtm>

MOREIRA, Ruy. O pensamento Geográfico:

Las matrizes clássicas obrigatórias. 2 ª ed. São

Paulo,1989. v. 1

FAZENDA, Ivani. Interdisciplinaridade:

História, Teoria e Pesquisa. 3. ed. Campinas

SP: Papirus, 1994.

28 de 63

LOCALIZAÇÃO DE ZEROS DE POLINÔMIOS: TEOREMA DE SCHUR-

COHN1

Evanize R. Castro2, Vanessa Botta Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP


[email protected], [email protected]

Resumo: Os resultados referentes ao comportamento de zeros de polinômios são muito utilizados em

diversas áreas da matemática, como na estabilidade de métodos numéricos para a solução de equaçõesdiferenciais ordinárias. A estabilidade é uma característica de polinômios cujos zeros encontram-se no discounitário centrado na origem. Um resultado importante nesta área é o Teorema de Schur-Cohn, que determinaa quantidade de zeros dentro do círculo unitário, ou seja, na região ∣z∣<1 . Através de estudos envolvendo

o resultado citado anteriormente e experimentos numéricos realizados no software Mathematica, obtemoscondições para que todos os zeros de um polinômio de terceiro grau estejam no disco unitário.

Palavras-Chave: Zeros, Disco Unitário, Teorema de Schur-Cohn.

São muitas áreas da Matemática que utilizamresultados relacionados ao comportamento dezeros de polinômios para analisardeterminados problemas. Por exemplo, noestudo da estabilidade de métodos numéricospara a solução de equações diferenciaisordinárias, são importantes os resultados quedeterminam a quantidade de zeros que umpolinômio possui no disco unitário centrado naorigem.No presente trabalho vamos apresentarresultados obtidos através de estudosprovenientes de um teorema clássico quedetermina a quantidade de zeros de umpolinômio no disco unitário. Para odesenvolvimento deste utilizamos umpolinômio do terceiro grau. Além disso, foramefetuados experimentos numéricos com oauxílio do software Mathematica o qual possuiamplos recursos de gerações de gráficos comferramentas de interatividade e animação e,também, permite a publicação dos programaspelos usuários no site da WolframDemonstration.A seguir será enunciado tal teoremaTeorema 1.1. (Schur-Cohn) Se para todopolinômio

P ( z )=a0+a1 z+⋯+an z n

todos determinantes da matriz

∆k=[a0 0 ⋯ 0 an an−1 ⋯ an− k+1

a1 a0 ⋯ 0 0 an ⋯ an−k +2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ak −1 ak−2 ⋯ a0 0 0 ⋯ an

an 0 ⋯ 0 a0 a1 ⋯ ak −1

an−1 an ⋯ 0 0 a0 ⋯ ak−2

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮

an− k+1 an−k +2 ⋯ an 0 0 ⋯ a0

]k=1,2 ,⋯, n , são diferentes de zero, então

P ( z ) não possui zeros no círculo unitário

∣z∣=1 e p zeros no interior deste círculo,

sendo p o número de variações de sinal na

sequência 1 , ∆1 , ∆2 ,⋯, ∆n.Para um polinômio de terceiro grau, ou seja,

P ( z )=a0+a1 z+a2 z2+a3 z3 , obtemos que

para todos os seus zeros estarem no círculounitário deve ocorrer o seguinte caso

1 , ∆1<0 , ∆2>0 e ∆3<0 ,

pois desta maneira teremos p=3 , isto é, três

zeros na região ∣z∣<1 . Como podemos

verificar no exemplo a seguir

1 VIII Simpósio de Matemática da Faculdade e Ciências e Tecnologia.

2 Bolsista de Iniciação Científica da FAPESP.

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Figura 1: Localização dos zeros de

P ( z )=3 z3+7 z 2

+6.2 z+2 .

Observe que os determinantes de P ( z )possuem os valores ∆1=−5<0 , ∆2=3,82>0 e

∆3=−0,582<0 , satisfazendo a condição

apresentada anteriormente. Logo, todos oszeros do polinômio P ( z )=3 z3

+7 z 2+6.2 z+2

estão no interior do círculo unitário.Além da condição anteriormente citada,obtemos que para todos zeros do polinômioestarem no círculo unitário as seguintescondições em relação aos seus coeficientesdevem ser satisfeitas

a0<a3

e ainda,

a2>2 a0

2 a32+a3

2−a0

4−a1

2 a32

−a02+2a0 a1a3

.

Para exemplificar este resultado temos opolinômio P ( z )=10 z3

−2,5 z2−1,5 z+5 , cujo

gráfico pode ser verificado a seguir.

Figura 2: Localização dos zeros de

P ( z )=10 z3−2,5 z2

−1,5 z+5 .

Observe que os coeficientes do polinômio

P ( z )=10 z3−2,5 z2

−1,5 z+5 satisfazem as

condições, pois a0=5<10=a3

e

a2=−2.5>2 a0

2a32+a3

2−a0

4−a1

2 a32

−a02+2 a0 a1 a3

=−24,28 .

Segundo os resultados obtidos, para opolinômio de terceiro grau possuir todos osseus zeros no interior do círculo unitáriocentrado na origem temos que as condiçõesanteriormente citadas devem ser satisfeitas,sendo estas condições provenientes doTeorema 1.1.

Referências

[l] Marden, M. Geometry of Polynomials.Providence: American MathematicalSociety. 1966.

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MATEMÁTICA E FÍSICA NA ESCOLA PÚBLICA COMO EXTENSÃO

UNIVERSITÁRIA1

Isabela Marinho Menezes2, Thomaz Augusto Ferreira Assis3, Jhonatan Cabrera Piazentin4,

Amanda Todescato Luz5



{isa_marinho3, thoaugusto, jhonatan_g8}@hotmail.com, [email protected]

Professor Doutor José Roberto Nogueira Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP


[email protected]

Resumo: Este trabalho descreve os relatos de experiências de um projeto de extensão universitária

desenvolvido em escolas públicas no município de Presidente Prudente. Em 13 anos de projeto, já

participaram mais de 1.950 jovens e adolescentes e o mesmo tem a finalidade de prepará-los para as

olimpíadas científicas, desenvolver o raciocínio lógico matemático, despertar novos talentos e incentivar a

desbravar o mundo da matemática, levando ao interesse de estudar Astronomia, Astronáutica entre outros.

Aos alunos proporcionou chances e oportunidades de complementar seu aprendizado em diversas disciplinas,

principalmente em Matemática, Física e Português melhorando a sua formação como cidadão. Aos monitores

(discentes) proporcionou a oportunidade de vivenciar o cotidiano da sala de aula enriquecendo a formação

acadêmica.

Palavras-Chave: Matemática, Educação, Escola Pública.

1 VIII Simpósio de Matemática da Faculdade e Ciências e Tecnologia.

2 Bolsista de Projeto de Extensão Universitária de BAAE II.



5 Bolsista de Projeto de Extensão Universitária de BAAE I.

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O Projeto vem sendo desenvolvido desde 2000

junto a Escola Estadual Profº Hugo Miele,

com um grupo de 150 crianças e adolescentes.

Entre eles frequentam crianças que moram em

lar de adoção, adolescentes surdo e

adolescentes com deficit de atenção. Começou

em outra escola tendo além de estudos,

atividades culturais. O projeto acontece de

acordo com as datas de realização das

Olimpíadas: 1º semestre Astronomia,

Astronáutica e Foguetes; 2º semestre

Matemática e Física. Na atual escola, o projeto

prepara os alunos para Olimpíada de

Astronomia e Astronáutica (OBA), Olimpíada

Internacional de Matemática (Canguru sem

fronteiras), Olimpíada Brasileira de

Matemática (OBM), Olimpíada Brasileira de

Matemática de Escolas Públicas (OBMEP),

Olimpíada Paulista de Matemática (OPM),

Olimpíada Brasileira de Física (OBF),

Olimpíada Brasileira de Física das Escolas

Públicas (OBFEP) e trabalha com a

dificuldade dos alunos.

Tem-se como objetivo desmistificar o ensino

da Matemática, Física e Português junto a

alunos da escola pública através de grupos de

estudos, possibilitando o desenvolvimento do

raciocínio lógico dos jovens e adolescentes

através de problemáticas (envolvendo lógica) e

outras atividades que lhes permitem trabalhar

em grupo (experimentos de astronomia e

astronáutica). Além disso, para que o aluno se

torne atuante e tenha argumentos pra entender

a matemática e física, que para o mesmo é

abstrata.

O método utilizado para desenvolver o

trabalho é dentro da escola, através de um

encontro semanal fora do período de aula e

duas vezes por semana na FCT/UNESP no

período vespertino. As atividades são

realizadas em grupos, individuais, de forma

pratica e com realização de passeios

educativos. Utilização do material de acesso

livre do “Programa de Iniciação Científica Jr.

(PIC) – OBMEP” e dos livros “ Círculos

Matemáticos - A Experiência Russa”, “Banco

de Questões 2013 - OBMEP”, “Formulação e

resolução de problemas de matemática” e

“Puzzles de Matemática”. Estas aulas são

ministradas por discentes do curso de

Licenciatura em Matemática da FCT/UNESP

sob a orientação do coordenador do projeto.

Todos os alunos interessados podem participar.

O projeto não prejudica o rendimento escolar,

ao contrário, complementa os estudos.

Os resultados obtidos foram proporcionar aos

alunos chances e oportunidades de

complementar seu aprendizado em diversas

disciplinas, principalmente em matemática,

física e português melhorando a sua formação

como cidadão através de outras atividades.

A Figura 1 mostra alguns alunos do projeto

assistindo à um vídeo antes de iniciarem os

estudos na escola.

Figura 1: Alunos do projeto

Vários participantes do projeto ganharam

medalhas nas diversas olimpíadas que

participaram. Além disso, alunos que já

participaram deste projeto, atualmente

estudam em Universidades Estaduais e

Federais e outros usufruem os benefícios de

serem medalhistas da OBMEP. Aos monitores

(discentes) proporcionou a oportunidade de

vivenciar o cotidiano da sala de aula

enriquecendo a formação acadêmica.

Referências

[l] FOMIN, D. et al. Círculos Matemáticos:

A Experiência Russa. 1. ed. Rio de Janeiro:

IMPA, 2010.

[2] POLYA, G. Arte de resolver problemas.

2. reimpr. Rio de Janeiro: Interciência,

1995.

32 de 63


[3] DANTE, L. R. Didática da resolução de

problemas de matemática. 11. ed. São

Paulo: Ática, 1998.

[4] BOLT, B. Puzzles de matemática. 1. ed.

Lisboa: Terramar, 1996.

[5] ____. Banco de Questões 2013.

Disponível em: <

http://www.obmep.org.br/bq/bq2013.pdf>.

Acessado em: 27 de setembro de 2013.

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VIII SMAT Presidente Prudente - SP, 21 a 24 de outubro de 2013

O Metodo TR-BDF2 no Problema Modelo do HWNP1

Camila Goncalves Costa2

Pos Graduacao em Matematica Aplicada e Computacional, FCT, UNESP

19.060-900, Presidente Prudente-SP

[email protected]

Messias Meneguette JuniorDepartamento de Matematica, Estatıstica e Computacao, FCT, UNESP

19.060-900, Presidente Prudente-SP

[email protected]

Resumo: Este trabalho expoe um estudo feito sobre o problema modelo do HWNP (Pro-

blema do Alto Numero de Weissenberg) em duas dimensoes. O HWNP tem sido um grande

obstaculo computacional na dinamica dos fluidos. Como o proprio nome indica, seu nıvel de

dificuldade aumenta quando elevamos o valor do numero de Weissenberg no termo fonte da

equacao constitutiva. Nao tratamos aqui diretamente das equacoes constitutivas, mas do seu

problema modelo. O estudo deste problema modelo tem o objetivo de facilitar o estudo numerico

do problema original do HWNP, pois a instabilidade presente no problema modelo e analoga do

problema original. Esta instabilidade e caracterizada por stiffness.

Palavras-Chave: Stiffness, TR-BDF2, HWNP.

INTRODUCAODesde a decada de 1970 o Problema

do Alto Numero de Weissenberg (HWNP,do ingles High Weissenberg Number Pro-blem) tem sido um grande obstaculo com-putacional na dinamica dos fluidos.

O termo “HWNP” tem referencia naobservacao empırica de que os metodosnumericos nao sao eficientes quando onumero de Weissenberg ultrapassa certovalor crıtico. O problema ocorre em mode-los viscoelasticos onde o campo de tensaotem um papel importante.

Denotando o campo velocidade poru(x, y, t), a equacao constitutiva escritacomo uma equacao de evolucao para o ten-sor conformacao σ(x, y, t) e dada por

∂σ

∂t+ (u.∇)σ − (∇u)σ − σ(∇u)T =

g(σ)

WiP (σ),

(1)

onde P (σ) e um polinomio e g(σ) e umafuncao escalar. Em [1], [5] e [6] a teoriafoi desenvolvida para o caso em uma di-

mensao (1D). Neste trabalho estendemosesta teoria para o caso 2D.

Nao trabalhamos diretamente com es-sas equacoes, mas com seu problema mo-delo. Estudamos um metodo muito efi-ciente ja conhecido que contorna o pro-blema do crescimento multiplicativo e pro-pomos um metodo implıcito L-estavel notermo fonte da equacao modelo utilizadoum metodo de alta resolucao.

METODOLOGIAFazendo uma sequencia de simpli-

ficacoes do modelo original do HWNP,Fattal [5] propoe um problema modelopara esta equacao. Trata-se de umaequacao linear, que estendemos para duasdimensoes em φ = φ(x, y, t), com (x, y) ∈[(0, L)× (0, L)]:

∂φ

∂t+ a(x, y)

∂φ

∂x+ b(x, y)

∂φ

∂y− c(x, y)φ = − 1

Wiφ,

(2)

com a(x, y), b(x, y), c(x, y) > 0, condicao

1VIII Simposio de Matematica da Faculdade de Ciencias e Tecnologia2Mestre em Matematica Aplicada e Computacional com auxılio da FAPESP

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inicial φ(x, y, 0) = 1 e condicao de fronteiraφ(0, 0, t) = 1.

Assim, podemos estudar as instabili-dades do problema (2), que e mais facil deabordar, e considerar que a equacao cons-titutiva possua o mesmo comportamento.

Esta equacao modela um campo φ quee conveccionado para a direita com veloci-dades a(x, y) e b(x, y) na direcao x e y res-pectivamente, e cresce exponencialmentea uma taxa de c(x, y) −Wi−1. Os coefi-cientes a(x, y) e b(x, y) representam o ve-tor velocidade u = (u, v) na equacao (1),e c(x, y) o crescimento positivo da taxac(x, y)−Wi−1.

Observe que a taxa c(x, y)−Wi−1 nadamais e que o coeficiente de φ no termofonte quando escrevemos a equacao (2) daseguinte forma:

∂φ

∂t+ a(x, y)

∂φ

∂x+ b(x, y)

∂φ

∂y=

(c(x, y)− 1

Wi

)φ.

(3)

Ja que podemos utilizar a equacaomais simples (3) para estudar a equacaomais elaborada (1) e esta conserva amesma instabilidade da segunda, precisa-mos encontrar formas numericas para re-solver o problema com precisao. Assim,veremos a seguir uma forma de eliminar abarreira da instabilidade.

O HWNP geralmente dificulta a con-vergencia do metodo, pois e falho em apro-ximar perfis exponenciais, conforme Hul-sen em [6]. Para ultrapassar os obstaculosimpostos pelo problema e possıvel tentarduas alternativas. A mais interessante efazer uma mudanca de variaveis em es-calas logarıtmicas. Para isto e necessarioque o campo de tensao τ(x, y, t) seja es-tritamente positivo, porem nao podemosgarantir que esta propriedade seja satis-feita.

Nos modelos viscoelasticos, Fattal eKupferman [5] afirmam que o tensorconformacao σ(x, y, t) e uma quantidadefısica, relacionada a tensao, que preservaa positividade e e simetrica definida posi-tiva. Esse tensor tem uma representacao

logarıtmica bem definida dada por

ψ(x, y, t) = log(σ(x, y, t)). (4)

Assim, podemos garantir que o HWNPseja resolvido ao passo que podemos apro-ximar ψ(x, y, t).

A transformacao logarıtmica remove ainstabilidade que causa o maior obstaculocomputacional: a falha no crescimentomultiplicativo da solucao. Ela foi pro-posta por Fattal [5] e e chamada de Repre-sentacao por Conformacao Logarıtmica(LCR, do ingles Log-Conformation Repre-sentation).

Essa falha no crescimento multipli-cativo da solucao nao pode ser carac-terizada como uma instabilidade, mase uma forma de caracterizacao de stiff-ness. Resumidamente, um problema stiffe aquele cuja solucao possui um cresci-mento/decrescimento muito brusco.

O metodo implıcito que propomospara usar no termo fonte juntamente como metodo de alta resolucao, tambem podeajudar na falha do crescimento multipli-cativo. Apesar de nao ter tanto sucessonumerico como o LCR, o metodo implıcitoTR-BDF2 acima citado tambem e efi-ciente no problema que e uma caracte-rizacao de stiffness. Alem de ser efici-ente na aproximacao do crescimento mul-tiplicativo, o metodo TR-BDF2 traz umanova opcao de variedade de metodos, poispode ser usado somente no termo fonte,estando aberta a possibilidade de utilizaroutros metodos menos eficientes na EDP(equacao diferencial parcial) homogenea.

O metodo TR-BDF2 foi desenvolvidopor Klaus-Jurgen Bathe (ver referencia[4]) e e um metodo Runge-Kutta dedois passos que combina o metodo dosTrapezios em ∆t/2 com o metodo BDF(do ingles backward differentiation formu-las) de segunda ordem, onde utilizamos oresultado do primeiro passo como outronıvel de tempo. Para a EDO ut = ψ(u), ometodo TR-BDF2 e dado por

u∗∗i,j = u∗i,j + ∆t4

[ψ(u∗i,j) + ψ(u∗∗i,j)],un+1i,j = 1

3[4u∗∗i,j − u∗i,j + ∆tψ(un+1

i,j )],(5)

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em que u∗i,j e a solucao da EDP ho-mogenea, onde pode ser utilizado qualquermetodo numerico.

RESULTADO E CONCLUSAO

Nossos resultados numericos nos mos-traram que independente do metodo uti-lizado na EDP homogenea, o metodo TR-BDF2 controla bem o crescimento mul-tiplicativo da solucao. O problema destiffness se encontra justamente no termofonte da equacao modelo do HWNP, equando utilizamos o metodo TR-BDF2 notermo fonte controlamos o problema daequacao inteira.

Na figura (1) observamos a solucao doproblema para varios valores de Wi. Asolucao analıtica em 2 dimensoes aindanao esta disponıvel na literatura, entaocomparamos o perfil da solucao numerica2D com a solucao exata em 1D.

Para esta solucao, utilizamos o metodoseparador de Godunov (ver referencia [7],capıtulo 17), onde aplicamos um metodode alta resolucao no subproblema daequacao diferencial (equacao de adveccaohomogenea) e no termo fonte aplicamos ometodo TR-BDF2.

Figura 1: Comparacao dos perfis diagonais dassolucoes numericas do problema modelo doHWNP, levando em conta os metodos para EDOaplicados no termo fonte

Quando tratamos o termo fonte com ometodo implıcito TR-BDF2, o metodo dealta resolucao e ate o metodo Upwind con-trolam bem o crescimento multiplicativo.Porem isto nao acontece quando tratamoso termo fonte com o metodo explıcito deEuler progressivo. Tanto o metodo dealta resolucao quanto o metodo Upwindnao controlam corretamente o crescimentomultiplicativo da solucao quando utiliza-mos um metodo explıcito no termo fonte.

Para o metodo LCR nao utilizamoso metodo de alta resolucao. Poderıamosdeixar este estudo como sugestao de tra-balho futuro.

Neste problema o metodo implıcitoTR-BDF2 obteve exito porque trata-se deum problema cuja solucao e nao periodica.Isso se deve ao fato de o metodo TR-BDF2ser L - estavel, ou seja, ele fornece amor-tecimento adequado para manter a estabi-lidade em solucoes nao periodicas. Entao,por este motivo o metodo implıcito citadoconsegue ultrapassar as barreiras que oproblema de stiffness impoe.

Se utilizassemos neste problema porexemplo o metodo dos Trapezios, que e ummetodo implıcito A- estavel, terıamos a fa-lha permanente no crescimento multipli-cativo. Isto acontece porque os metodosimplıcitos que sao A - estaveis contem suaregiao de estabilidade no semi plano es-querdo do domınio, nao amortecendo ade-quadamente a regiao de instabilidade, queaqui e caraterizada por stiffness.

Referencias

[1] Afonso, A. M., Pinho, F. T.,Alves, M. A., “The Kernel-Conformation Constitutive Laws”.J. Non-Newtonian Fluid Mechanics,167-168: 30-37, 2012.

[2] Costa, C. G., “Leis de Con-servacao Hiperbolicas 2D com TermoFonte Stiff”. Dissertacao de Mes-trado, UNESP - Presidente Pru-dente/SP, 2013.

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[3] Cuminato, J. A., Meneguette,M., “Discretizacao de Equacoes Di-ferenciais Parciais: Tecnicas de Di-ferencas Finitas”. ICMC/USP - SaoCarlos, 2000.

[4] Dharmaraja, S., “An Analysis ofthe TR-BDF2 Integration Scheme”.Dissertacao de Mestrado, School ofEngeneering in Partial Fulfillment -Massachusetts Institute of Techno-logy, 2007.

[5] Fattal, R., Kupferman, R.,“Time-Dependent Simulation of Vis-coelastic Flows at High Weissenberg

Number Using the Log-ConformationRepresentation”. J. Non-NewtonianFluid Mechanics, 126:23-37, 2005.

[6] Hulsen, M. A., Fattal, R., Kup-ferman, R., “Flow of ViscoelasticFluids Past a Cylinder at High Weis-senberg Number: Stabilized Simu-lations Using Matrix Logarithms”.J. Non-Newtonian Fluid Mechanics,127:27-39, 2005.

[7] LeveQue, R. J., “Finite VolumeMethods for Hyperbolic Problems”.Cambridge University Press, NewYork, 2002.

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OS LABORATÓRIOS DE INFORMÁTICA DAS ESCOLAS ESTADUAIS DE

PRESIDENTE PRUDENTE NO CONTEXTO DO PROGRAMA ACESSA

ESCOLA

Eliel Constantino S., Débora O. Medeiros1




Maria Raquel Miotto MorelattiDepartamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP


[email protected]

Resumo: Este Projeto de iniciação científica é um subprojeto de um maior que tem por objetivo fazer

um mapeamento do uso das tecnologias informáticas nas aulas de matemática do Ensino Fundamental II dasescolas públicas paulistas e está ligado a Diretoria de Ensino de Presidente Prudente. O objetivo central aquié avaliar as condições físicas dos laboratórios de informática das escolas públicas do município de PresidentePrudente que estão cadastradas no Programa Acessa Escola e se estão sendo utilizados por professores ealunos. A pesquisa é de cunho qualitativo, fazendo pesquisas documentais e entrevistas. A pesquisadocumental consta com um levantamento das escolas que possuem o programa, as entrevistas serãorealizadas principalmente com os monitores para saber de suas formação e as fotos ilustram o espaçotrabalhado. Ao fim da pesquisa, esperamos ter reunido o suficiente para fazermos uma avaliação geral dascondições dos laboratórios de informática nas escolas públicas de Prudente.

Palavras-Chave: Laboratórios de Informática, Acessa Escola.

Introdução

A investigação desenvolvida e tratada aquiparte de um outro projeto piloto cujo aintenção é fazer um mapeamento do uso dastecnologias de informação e comunicação nasaulas de matemática do Ensino Fundamental IIdas escolas públicas do estado de São Paulo.Os projetos estão sendo realizados em seisdiferentes regiões do estado, atendendo asDiretorias de Ensino de Bauru, Guaratinguetá,Limeira, Presidente Prudente, Registro e SãoJosé do Rio Preto. Para auxiliar a inserção de computadores nomeio educacional houve a elaboração deprojetos governamentais federais e estaduaiscomo o Educom, Fomar e ProInfo. No estadode São Paulo, onde está sendo realizada apesquisa, foram desenvolvidos por exemplo,

em 1998 a Secretária Estadual lançou “Aescola de cara nova na era da informática” quepossibilitou a formação de laboratórios deinformática, e atualmente, o programa “AcessaEscola”. Por meio de pesquisas, levantamentos dedados sobre as escolas começamos por montaruma relação das escolas inscritas no programaAcessa Escola e ter uma primeira ideia doambiente de informática que a escola possui.Realizando entrevistas com monitores eprofessores de matemática e tentando coletarfotos e vídeos, finalizamos o projeto podendoavaliar os laboratórios de informática dasescolas estaduais cadastradas no ProgramaAcessa Escola na cidade de PresidentePrudente.

Metodologia

1 Bolsista de Iniciação Científica da CAPES.

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Este projeto está voltado para a cidade dePresidente Prudente, onde a pesquisa decaráter qualitativo nos permite verificar ascondições físicas e avaliar a utilização deprofessores de matemática dos laboratórios deinformática das escolas públicas da cidade.Para isso é feita uma pesquisa ao site daDiretoria de Ensino de Presidente Prudentemontando uma planilha com os dados sobre asescolas vinculadas ao Programa Acessa Escolado estado de São Paulo, uma vez que esteprograma permite a todos os alunos, e tambémfuncionários e professores, que tenham acessoàs tecnologias de informação e comunicaçãopara a construção do conhecimento e criar umambiente para troca de informação econhecimento entre professores e alunos, pormeio da internet. Uma visita a mesmaDiretoria é feita para atualizar os dadoslevantados e buscar justificativas para asescolas que não participam do Acessa Escola,saber mais do funcionamento deste e umpouco sobre a capacitação de professores parao uso das salas do Programa Acessa Escola.Em seguida serão feitas visitas às escolascadastradas no programa e que o tenham ativo,apresentando aos diretores e coordenadores aspropostas da pesquisa e assim conhecer osambientes de informática, quando possível,registrando fotos ou vídeos; entrevistar osmonitores dos laboratórios, para saber qual aformação que teve para atuar como monitor,quantos são os computadores em condições deuso, quantos e quais os softwares matemáticosque estão instalados, e os professores dematemática para saber se estão utilizando osrecursos fornecidos e como o fazem.

Resultados

Até o momento já foi feito o levantamento dasescolas que estão aptas a serem visitadasatendendo a planilha elaborada, são 21 escolasno município com o nome e endereço dasescolas inscritas no Programa Acessa Escola,se esta tem acesso a internet, com o número decomputadores disponíveis no laboratório enúmero de computadores para finsadministrativos. Espera-se agora com as visitasàs escolas ter o suficiente para fazer umaanálise e poder avaliar as condições dos

laboratórios de informática nas escolaspúblicas da cidade. Finalmente com asentrevistas e todo trabalho realizado ter umaindícios de como está sendo o uso doscomputadores nas escolas públicas da cidadede Presidente Prudente.

Conclusão

Perante todos os dados coletados poderemosentão, avaliar as condições dos laboratórios deinformática das escolas públicas com EnsinoFundamental II e que estão cadastradas noprograma Acessa Escola, além de ter oconhecimento dos trabalhos realizados pelosprofessores de matemática nos laboratórios elevando para o Ensino Superior a vivência edesafios escolares frente as novas tecnologiasda informação e comunicação.

Referências

Borba, M. C., Penteado, M. G.. Informática eEducação Matemática. 3ªed. Belo Horizonte:Autêntica, 2003. Coleção Tendências emEducação Matemática.

GOLDENBERG, M. A Arte de Pesquisar ¨Ccomo fazer pesquisa qualitativa em CiênciasSociais. 7a ed. Rio de Janeiro: Record, 2003.

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.Currículo do Estado de São Paulo:Matemática e suas tecnologias. Secretaria daEducação. São Paulo : SEE, 2010.

[1] Acessa Escola. Acessa Escola. Sem data.Disponível em: <http://acessaescola.fde.sp.gov.br/Public/Conteudo.aspx?idmenu=11 > Acessado em: 15 demarço de 2013.

[2] SÃO PAULO. Diretoria de Ensino dePresidente Prudente. Acessa Escola.Disponível em: <http://depresidenteprudente.edunet.sp.gov.br/acessa_escola.htm > Acessado em: 22 desetembro 2013.

[3] Tavares, N. R. B.. História daInformática educacional no Brasilobservada a partir de três projetos públicos.Sem data. 18 páginas. Mestre (Faculdade deEducação da Universidade de São Paulo).

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O TEOREMA DE ENGEL

Leonardo Kenji Kashimoto¹, Ronan Antonio dos Reis²Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP

Resumo: O objetivo deste trabalho é fazer um estudo sobre o chamado Teorema de Engel. Este

resultado nos diz que se g é uma álgebra de Lie de dimensão finita tal que a representação adjunta de todosos seus elementos são nilpotentes então g é nilpotente. Este é um resultado fundamental em Teoria deÁlgebras de Lie e de suas Representações.

Palavras-Chave: Álgebras de Lie, Representações, Teorema de Engel.

1. IntroduçãoEste trabalho tem como objetivo estudar oTeorema de Engel, bem como, algumas desuas aplicações. Inicialmente, estudamosconceitos básicos de álgebras de Lie e de suasrepresentações e, bem como, resultadosrelacionados. Em seguida, estudamos umaclasse especial de álgebras de Lie, que são asnilpotentes, em que demonstramos algunsresultados, em particular, o resultado devido aEngel, que é central em Teoria de Álgebras deLie. Este resultado descreve essencialmenteálgebras nilpotentes como sendo matrizestriangulares superiores. Para isso, utilizamosresultados e técnicas de Álgebra Linear e deÁlgebras de Lie. A seguir, apresentamos asdefinições e resultados que precisamos para odesenvolvimento deste trabalho.

2. Desenvolvimento

Definição 1: Uma álgebra de Lie é um espaçovetorial g sobre um corpo K munido de umproduto (dito colchete) [ , ] :gx g→gque satisfaz as seguintes propriedades:

1) [X,X] é bilinear, isto é, K-linear emcada variável;

2) [X,X] é anti-simétrico, isto é, [X,X]=0para todo X∈ g ;

3) identidade de Jacobi, isto é,[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] 0XZ,YYX,Z,ZY,X, =++

para todo X,Y,Z∈g .

Definição 2: Um espaço vetorial h de umaálgebra de Lie g é um ideal se, para todo

X ∈ g e Y ∈ h , [X , Y ] ∈ h .

Definição 3: Uma álgebra de Lie g é ditanilpotente se a sua série central descendente seanula em algum momento, isto é, existe

k0 ∈ℕ tal que gk = {0 } , ∀ k > k0 ,onde a série central descendente é definidarecursivamente como g0

= g eg i

= [g , g i−1] , i = 1 , 2 , . . . , com

[A,B]={ [X,Y] : X ∈ A , Y ∈ B } .

A seguir, sejam V um espaço vetorial e gl(V) aálgebra de Lie das transformações lineares deV.

Definição 4: Uma representação de g em V é umhomomorfismo ρ: g→ gl(V), isto é, umatransformação linear que preserva o colchete, ouseja, ρ[X,Y]= [ρ(X), ρ(Y)] para todo X,Y∈ g.

Exemplo 5: A aplicação linear ad:g → gl (g )definida por ad(X)Y=[X,Y] é umarepresentação de g em g, dita representaçãoadjunta de g.

Definição 6: Uma representação de g em V éuma representação nilpotente ou uma nil-representação se para cada X∈g ,ρ (X ) :V→V é uma aplicação nilpotente, istoé, existe um inteiro positivo k (dependente deX) tal que ρ(X)k = 0.

3. Resultados FundamentaisA seguir, g denota uma álgebra de Lie dedimensão finita e V≠{0} um espaço vetorial dedimensão finita. Comecemos com a seguinte:

¹Aluno do Curso de Matemática da FCT/UNESP

²Orientador41 de 63


Proposição 7: Se g é nilpotente então ad éuma nil-representação. Demonstração: Como g é nilpotente entãoexiste um inteiro positivo k tal que todos oscolchetes envolvendo k elementos de g seanulam. Em particular, [ ][ ] 0YX,X... = se Xaparece k-1 vezes, ou seja, ( ) 0Xad 1k =− ,∀ Y∈g .

Adiante, demonstramos a recíproca daProposição 7. Para isso, consideremos osseguintes resultados.

Teorema 8: Seja g⊂gl (V ) uma subálgebra talque todo X∈g é nilpotente. Então, existev∈V,v≠0 , tal que Xv=0,∀ X∈g . Demonstração: A demonstração é porindução sobre a dimensão de g. Se dim(g)=1,seja X um elemento não nulo em g. Como g énilpotente, existe k ≥ 1tal que X k−1

≠0 eX k

=0 . Assim, seja w ∈ V tal queX k−1 w ≠ 0 e tome v =X k−1 w . E

portanto, v≠0 e tal que Xv=0, concluindo oresultado para álgebras de Lie de dimensãoum. Agora, supondo que dim(g)>1 e que oresultado vale para toda álgebra de dimensãoestritamente menor que dim(g), entãodemonstra-se que existe um ideal h de g decodimensão 1, isto é, dim(h)=dim(g)-1.Aplicando a hipótese de indução, garantimosque o resultado vale para h, e isso implica em

W={v∈V : Xv=0,∀ X∈h }≠{0 } . Comoos elementos de W se anulam pelos elementosde h temos W invariante por X 0∈g−h ,com X 0 nilpotente. Logo, X0 restrita a Wé nilpotente e, utilizando o argumento no casode dimensão 1, conclui-se a demonstração. Teorema 9: Seja g⊂gl (V ) uma subálgebratal que todo X∈g é nilpotente. Então,existem subespaços distintos0 = V 0 ⊂ V1 ⊂ . .. ⊂ Vn−1 ⊂ Vn = Vtais que XV i⊂V i−1 , i=1,2, . . . , n . Essesespaços podem ser definidos por V 0={0} , eV i={v∈V : Xv ∈ Vi−1, ∀ X ∈ g} . Emparticular, estendendo-se sucessivamente asbases desses subespaços V i chega-se a umabase β de V tal que a matriz de X com

relação a β é triangular superior com zeros nadiagonal. Corolário 10: Seja g⊂gl (V) uma subálgebratal que todo X∈g é nilpotente. Então, g énilpotente.

Corolário 11: Seja g uma álgebra de Lie dedimensão finita, e ad uma nil-representação,então existe uma série central ascendentesatisfazendo 0 = g1 ⊂g1⊂. . .⊂gn−1⊂gn =g, para algum n∈ℕ .Demonstração: Por hipótese, temos quead(X) é nilpotente, para cada X∈g. Pelo,Teorema 3, existem subespaços V 0={0} e0=V 0⊂V1⊂.. .⊂Vn−1⊂Vn=V , tais queV i={X∈g : ad (Y ) X ∈Vi−1 ,∀ Y∈g} .Assim, chamando V i =g i , i =1 , 2 ... , nsegue o resultado.

Teorema 12 (Engel): Seja g uma álgebra deLie de dimensão finita e suponha que paratodo X∈g , ad ( X ) é nilpotente. Então, g énilpotente.Demonstração: Pelo Corolário 2, existe n talque gn=g . Como g i

⊂gn−i+1 para todo i

natural. Então gn+1⊂g0={0 } . Logo, g é

nilpotente, concluindo a demonstração.

4. Conclusão

Neste trabalho, estudamos vários conceitos eresultados de álgebras de Lie e suasrepresentações. Demonstramos algunsresultados, em especial, o Teorema de Engel, oqual descreve essencialmente as álgebrasnilpotentes como sendo matrizes triangularessuperiores .

Referências

[l] HUMPHREYS, J.E.: Introduction to Liealgebras and representation theory.Springer-Verlag, 1972.

[2] JACOBSON, N.: Lie Algebras.Interscience, 1962.

[3] SAN MARTIN, L. A. B. Álgebras de Lie.Editora Unicamp, 1999.

¹Aluno do Curso de Matemática da FCT/UNESP

²Orientador42 de 63


POTENCIAÇÃO COM O AUXÍLIO DE JOGO DA VELHA

MATEMÁTICO – 2013¹

Karina T. Gonçalves, Ari T. Lopes²

Faculdade de Ciências e Tecnologia,

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – FCT-UNESP, Campus de Presidente Prudente (SP)

[email protected]

Maria R. M. Morelatti, Regina C. Ramos³ Faculdade de Ciências e Tecnologia,

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - UNESP, Campus de Presidente Prudente (SP)


Resumo: A medida que as enormes dificuldades dos alunos nos conteúdos matemáticos aumentam,

há uma importante necessidade de desenvolver novas atividades lúdicas para o ensino da matemática. No

âmbito deste trabalho relatamos uma atividade desenvolvida junto ao Subprojeto de Matemática do Progra-

ma Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID/CAPES) por dois bolsistas do Curso de Licencia-

tura em Matemática da FCT/UNESP. O subprojeto PIBID/Matemática tem por objetivo desenvolver ativida-

des em parceria com professores de uma escola pública estadual visando maximizar o processo de ensino e

aprendizagem. Dessa forma, através da observação dessas dificuldades dos alunos no conceito de potência,

foi desenvolvida uma atividade lúdica com os 9º anos do Ensino Fundamental, através de um jogo popular

que envolvesse o conceito, buscando amenizar esses obstáculos e tendo por principal objetivo a melhor com-

preensão no que diz respeito ao uso de potenciação, bem como suas propriedades e curiosidades.

Palavras-Chave: Dificuldades dos alunos, Potenciação, Jogo da velha matemático.

INTRODUÇÃO

Com o intuito de amenizar as dificuldades dos

alunos no quesito de potência, bem como os

problemas da sala de aula de forma geral, a

ideia inicial foi trabalhar um conceito tão

importante e complexo de um modo mais

simples e divertido, tendo como principal

objetivo a interação do grupo.

Mas tendo em vista estes aspectos, uma

importante questão estava implícita: por que

tanta dificuldade e bloqueio dos alunos quando

se trata de potenciação?

Foi exatamente esta questão que originou essa

atividade, onde o natural uso do jogo foi

extremamente importante para a motivação do

aprender, onde se define:

¹VIII Simpósio de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia

² Licenciatura em Matemática, Bolsista PIBID/CAPES

³ Departamento de Matemática e Computação.

[...] o jogo pedagógico como aquele adotado

intencionalmente de modo a permitir tanto o

desenvolvimento de um conceito matemático

novo como a aplicação de outro já dominado.

(Moura, M. O., 1992, p.53).

Dessa forma, os jogos matemáticos são claras

e fundamentais ferramentas, utilizadas para se

obter resultados significativos em sala de aula,

buscando o despertar do interesse, favorecendo

o raciocínio lógico e consequentemente,

desenvolvendo a capacidade do senso crítico.

METODOLOGIA

Inicialmente vamos abranger o conceito de

potência, utilizado para a realização da

atividade lúdica, que se introduziu com a

explanação dos bolsistas, expondo as

propriedades do tema, bem como algumas

curiosidades da história, como o fato de que a

43 de 63


potência teve fundamento com o Matemático

francês René Descartes (1596-1650) no século

XVII. Além de suas contribuições referentes

à potenciação é também conhecido como Pai

da Filosofia e da Matemática Moderna.

E após a introdução, defini-se

potenciação como uma operação matemática,

escrita como ”an”

, envolvendo dois elementos:

a base “a” e o expoente “n”, o que indica

uma multiplicação da base “a” por ela mesma

tantas vezes quanto indicar o expoente “n”.

Exemplo:

32 (lê-se “três elevado ao quadrado”, ou “três

elevado à segunda potência”).

Precisamos multiplicar o número 3 por ele

mesmo duas vezes, resultando: 3.3 = 9. Con-

sequentemente, 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27.

Algumas outras definições podem ser utiliza-

das:

a1 =a (1)

a0 = 1, a ≠ 0. (2)

Além dessas definições, foram expostas algu-

mas propriedades:

1 – Multiplicação de potências de bases iguais:

mantém-se a base e soma-se os expoentes:

an . a

m = a

n+m (3)

2 – Divisão de potências de bases iguais: man-

tém-se a base e subtrai-se os expoentes:

(an) / (a

m) = a

n-m , “a” diferente de zero. (4)

3 – Potência de potência: mantém-se a base e

multiplica-se os expoentes:

(am

)n = a

m . n (5)

4 – E analisando os parênteses:

(a . b)n = a

n . b

n (6)

(a/b)n = a

n/b

n , “b” diferente de zero. (7)

Após a exposição do conteúdo, demos início

ao jogo da velha matemático, onde dividimos a

sala em dois grandes grupos. Cada grupo rece-

beu: um tabuleiro, cartas contendo potências e

os elementos comuns do jogo da velha, o “x” e

a “bolinha”, como representado na Figura 1.

Figura 1: Componentes do jogo.

A meta do jogo é resolver corretamente as

potências localizadas em cada local do tabulei-

ro. Por exemplo: o Jogador 1 é representado

pelo “x” e o Jogador 2 pela “bolinha”. Se o

Jogador 1 acertar a potência localizada onde

escolheu no tabuleiro, marcará o seu “x”, caso

contrário, o ponto será destinado ao adversá-

rio, podendo então assinalar sua “bolinha”.

Vence o jogo quem conseguir completar pri-

meiro seus três elementos no tabuleiro, como

mostra a Figura 2 a seguir.

Figura 2: Aluno vencedor do jogo da velha

matemático.

44 de 63


RESULTADOS

Como resultados, foram apresentados de forma

significativa o grande interesse dos alunos de

maneira geral, visto que é um jogo de fácil

acesso, entretanto envolvente de um conceito

importantíssimo da matemática. Durante a

realização da atividade, podemos destacar a

melhoria na agilidade dos mesmos em resolver

mentalmente e consequentemente responder a

questão que foi trabalhada com muito êxito.

Apresentamos a seguir algumas imagens do

decorrer da atividade.

Figura 3: Início do jogo.

Figura 4: Grupo de alunos participantes do

jogo.

CONCLUSÕES

A matemática é tida como uma disciplina de

difícil entendimento e inacessível por grande

parte dos alunos. Com o intuito de amenizar

essa ideia e deixá-la mais simples e prazerosa,

surgem-se os jogos matemáticos.

[...] a exploração do conceito, por meio da

estrutura matemática subjacente ao jogo,

que pode ser vivenciada pelo aluno quando

ele joga, elaborando estratégias e testando-

as a fim de vencer o jogo. (GRANDO, R.

C., 2004).

É através do fato de desejar vencer o jogo que

esse aluno passa a encarar a matemática de

uma forma mais leve, aprendendo ao mesmo

tempo que se diverte e, dessa forma, se sentin-

do capaz de utilizá-la para seu próprio benefí-

cio.

REFERÊNCIAS

[1] MOURA, M. O., O jogo e a construção

do conhecimento matemático. Série Idéias n.

10, São Paulo: FDE, p. 45-52, 1992.

[2] GRANDO, R. C. O jogo e a matemática

no contexto da sala de aula. São Paulo:

Paulus, 2004.

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PROJETO FOX: UM GAME VOLTADO PARA MEDIAÇÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA

William de S. Santos, Lynn R. Alves PPGMCTI Faculdade de Tecnologia Senai Cimatec,

Av. Orlando Gomes, 1845 - Piatã Salvador - BA, 41650-010 [email protected]; [email protected]

Resumo: Este trabalho (short paper) tem o objetivo de socializar a pesquisa de mestrado que visa o desenvolvimento de um game, voltado para o ensino das funções quadráticas no ensino médio e contribuir para os estudos que envolvem os games e o processo de ensino aprendizagem das mais diversas disciplinas como também da matemática. Para atingir este objetivo, além da abordagem teórica e da modelagem deste game, o trabalho conta com uma pesquisa de campo, a ser realizada com alunos do 1º ano do Ensino Médio de modo a avaliar as contribuições do game para aprendizagem dos conceitos relativos a funções quadráticas.

Palavras-Chave: Games; Ensino da Matemática; Aprendizagem. 1. Introdução Nos últimos anos, o ensino da Matemática vem apresentando diversos problemas. Em pesquisa desenvolvida pela ONG Todos pela Educação, em 2012, foi constatado que o rendimento dos alunos em Matemática entre os anos de 2007 e 2011 caiu cerca de 10% no ensino fundamental 1 e tais índices devem ser maiores no ensino fundamental 2 e médio.

Com base na última avaliação do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos) ocorrida no ano de 2009, o Brasil ocupa a 57ª posição com relação a performance dos alunos para a matemática (386 pontos), pontuação bem abaixo da média de outros países desenvolvidos. Estes dados apontam a falta de competência matemática e de raciocínio lógico dos alunos e que com certeza afetam a médio/longo prazo o mercado de trabalho.

Algo que tem funcionado em outros países para manter e aumentar o índice de aprendizado matemático é o uso dos games. Os games possuem características que estimulam o processo de desenvolvimento cognitivo e propiciam um maior aprendizado matemático. Referência [1], sinaliza que o uso

de games como o Dimension M fez com que o índice de aprovação em Matemática no exame anual do estado de Nova York subisse de 78% para 82% no ano de 2007. 2. Por que utilizar os games? Por ser considerada uma atividade lúdica de participação espontânea e criativa, os games possuem um alto potencial de aceitabilidade e se modelados para fins educacionais podem tornar o processo de construção do conhecimento mais criativo, construtivo e atrativo.

Observando o contexto educacional contemporâneo baseado nos estudos de [2], os alunos fazem parte de uma geração denominada por ele de nativos digitais, pelo fato de os mesmos terem nascido e estarem crescendo nessa era tecnológica1. Corroborando com esta ideia, [1], sinaliza a importância de uma mudança no currículo de forma a se adequar ao novo ritmo desses aprendentes, já que os nativos digitais estão acostumados a receber informações mais

1 Embora existam questionamento em torno do termo nativos digitais, já que Prensky utiliza para contrapor essa geração o termo imigrantes digitais e os coloque em uma condição quase que determinante de não mudança desta situação, Mesmo assim, optamos por neste momento utilizar o termo nativos digitais para nos referir a geração que nasceu no mundo do controle remoto, do joystick, do mouse e das tecnologias digitais e telemáticas.

46 de 63

rapidamente, preferem imagens a textos e são multitarefas. 3. Games e Ensino da Matemática Atualmente na Europa e Estados Unidos, os games tem sido utilizados no processo de mediação da aprendizagem matemática. Alguns foram desenvolvidos com este propósito e outros vem sendo utilizados por apresentam características pertinentes ao ensino da Matemática, como cita [1]. Alguns exemplos desses jogos são: Dimension M, Brain Age, Dream Box, Lure of the Labirinth, Math City, Yu-Gi-Yo 4. Métodos O FOX tem sido desenvolvido a partir da Linguagem de Modelagem Unificada (UML), em gênero plataforma, em primeira pessoa (single player), em um ambiente gráfico 2D, desenvolvido na linguagem de script orientada a objetos Flash ActionScript.

Durante o desenvolvimento do jogo iremos realizar três fases de avaliação, visando retroalimentar o processo.

Após a conclusão do desenvolvimento iremos realizar a pesquisa com um grupo de alunos do ensino médio, objetivando investigar as contribuições do FOX para aprendizagem dos conceitos relacionados com as funções quadráticas. Nesta fase da pesquisa utilizaremos um questionário fechado para diagnosticar o perfil dos jogadores, bem como identificar os conhecimentos que estes sujeitos possuem sobre os conteúdos escolares presentes no game; a observação da interação dos sujeitos com o jogo, utilizando o software Morae que filma o percurso do jogador; o Ludens 2 que é “um sistema gratuito que possibilita a desenvolvedores e professores avaliarem o comportamento dos jogadores ao longo de um jogo eletrônico com fins pedagógicos”; e por fim, uma entrevista 2 http://www.comunidadesvirtuais.pro.br/ludens/

semiestruturada com os sujeitos a fim de analisar as contribuições do game para aprendizagem dos gamers.

A análise destes instrumentos subsidiarão as conclusões e contribuições para a comunidade acadêmica no que se refere ao potencial dos games para aprendizagem da matemática no ensino médio. 5. Conclusão Apesar de estarmos numa fase inicial de pesquisas e do desenvolvimento do game, acreditamos na grande contribuição que o FOX trará tanto para o contexto dos games voltados para a educação como também para o processo de ensino da Matemática.

Além disso, esta pesquisa agregará valor as investigações que vem sendo desenvolvidas na área de Educação que no período de 1994 a 2010, apresentou um total de 23 dissertações, 1 delas profissionalizante e 5 teses. Em relação as produções envolvendo games e matemática encontramos apenas 06, 04 delas dissertações, 1 tese e 1 profissionalizante.

Desta forma, intencionamos contribuir para construção de práticas pedagógicas que possa articular a interação com os games, principalmente no ensino da matemática, tornando a aprendizagem mais significativa. Referências [1] MATTAR, J. Games em educação: como os nativos digitais aprendem. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. [2] PRENSKY, M.: Digital Natives Digital Immigrants. In: PRENSKY, Marc. On the Horizon. NCB University Press, Vol. 9 No. 5, October (2001a). Disponível em <http://www.marcprensky.com/writing/>. Accesso em 31/05/2013.

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RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO 2ºGRAU

PELA FORMA GEOMÉTRICA – 2013¹

Ari T. Lopes, Karina T. Gonçalves² Licenciatura em Matemática, Faculdade de Ciências e Tecnologia,

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - UNESP, Campus de Presidente Prudente (SP).

[email protected]

Maria R. M. Morelatti, Regina C. Ramos³ Departamento de Matemática e Computação, Faculdade de Ciências e Tecnologia,

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - UNESP, Campus de Presidente Prudente (SP).


Resumo: Neste trabalho relatamos uma atividade desenvolvida junto ao Subprojeto de Matemática do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID/CAPES) por dois bolsistas do Curso de

Licenciatura em Matemática da FCT/UNESP. O subprojeto PIBID/Matemática tem por objetivo desenvolver

atividades em parceria com professores de uma escola pública estadual visando potencializar o processo ensino e aprendizagem. Assim, devido às dificuldades dos alunos em álgebra, foi desenvolvida uma ativida-

de interativa com o objetivo de fazer com que os alunos dos 9º anos do Ensino Fundamental compreendes-

sem de outra forma a solução de equação do segundo grau, através da sua forma geométrica pelo método de „completar quadrados‟, onde os alunos puderam relacionar a álgebra com a geometria por meio de materiais

concretos.

Palavras-Chave: Resolução, Equação do segundo grau, Forma geométrica.

Introdução

Visando uma grande preocupação com o

ensino da Matemática e os resultados das

avaliações em larga escala divulgados pela

mídia, RIBEIRO, A. J. (2001) aponta a questão

do por que uma ideia simples, como a de

equação, gera tantas dúvidas e dificuldades

entre os estudantes?

Os professores, em geral, buscam soluções

para sanar as dificuldades dos alunos

principalmente em álgebra, desafiando-os para

que sejam capazes de progredirem em seus

conhecimentos. Dessa forma não devemos

pensar em uma única forma de alcançarmos

essa aprendizagem, quando existem vários

caminhos a serem tomados, um destes muito

significativos são as atividades interativas,

¹VIII Simpósio de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia

² Bolsista PIBID/CAPES

³ Departamento de Matemática e Computação.

onde o ensino se torna mais atrativo, tornando-

se um estimulador e até mesmo um facilitador,

para que o aprendizado seja algo mais

prazeroso.

Com a utilização do material concreto, o

professor pode induzir o raciocínio lógico-

matemático dos alunos, levá-los a

questionamentos, levantamentos de hipóteses e

reflexões que os tornem indivíduos, que

consigam relacionar e investigar,

compreendendo o conceito, de forma

participativa, que permitem uma aprendizagem

significativa.

Metodologia

Primeiramente introduzimos uma questão aos

alunos: Como eram dadas as soluções das

equações do 2º grau antigamente quando não

existia a famosa fórmula de Bhaskara? E então

os bolsistas mostraram aos alunos a solução de

uma equação do 2º grau na forma geométrica

48 de 63


através da atividade interativa. Para a realização da atividade ultilizamos:

papel sulfite, papel cartão de várias cores,

lápis, régua, tesoura e cola.

Um bolsista realizou e explicou na lousa cada

passo a ser seguido pelos alunos, enquanto o

outro bolsista e a professora da sala ajudavam

os alunos com eventuais dúvidas nas carteiras,

para assim toda a sala acompanhar o conteúdo

igualmente. Abaixo os passo a passo da

atividade:

Partimos então, de um exemplo de equação

quadrática:

x² + 4x - 12 = 0 (1)

O primeiro passo que devemos seguir é somar

12 em ambos os membros da equação (1):

x² + 4x = 12 (2)

Consideremos que "x²" representa a área de

um quadrado de lado “x”, como mostra Figura

1 e que "4x" representa a área de um retângulo

de lados "4 e x", como mostra Figura 2

Figura 1 Figura 2

Através da equação (2), temos que "12" será a

área total equivalente a junção dessas duas

figuras geométricas, como mostra Figura 3 e

Figura 4.

Figura 3

Figura 4

Como transformar (Figura 4) que é retangular

em um quadrado?

Vamos pegar o retângulo de área "4x" (Figura

2) e cortá-lo em quatro pedaços iguais

horizontalmente:

Figura 5

Vamos pegar cada pedacinho da Figura 5 e

juntar com cada um dos lados do quadrado de

lado "x" da figura 1.

Figura 6

Notemos que os cantos da figura 6 são

pequenos quadrados de lado "1"

Para completarmos esse quadrado devemos

adicionar quatro quadradinhos de lado "1"

Figura 7

Veja que o quadrado formado (Figura 7)

possui o lado medindo "1+x+1" ou

simplificando "x+2"

Se somarmos “4” em ambos os membros da

equação (2) teremos:

x² + 4x + 4 = 12 + 4

49 de 63


(x + 2)² = 16 (3)

Para terminar, obtemos então a partir da

equação (3) as raízes da equação (1):

x = 2 ou x = -6

Resultados e discussões

Logo após a resolução do exemplo de uma

equação do segundo grau, os bolsistas

propuseram um desafio aos alunos, onde os

alunos deveriam resolver o mesmo exemplo da

equação, mas pela fórmula de Bhaskara e

comparar a resolução e o resultado obtido com

o método de resolução geométrico.

Dessa forma, os alunos perceberam que há

outros métodos de soluções de equação

quadrática e puderam notar, por exemplo, o

significado do “ x² ” presente na mesma.

Figura 8: Aluno realizando as medidas do

problema

Figura 9: Aluno recortando o quadrado de lado

“x”

Figura 10: Tentativa de completar o quadrado

de um aluno

Figura 11: Resolução de um aluno

Referências

[2] RIBEIRO, A. J. Analisando o desempenho

dos alunos do ensino fundamental em álgebra,

com base em dados do SARESP. São Paulo,

116 p., 2001.

[1] CARVALHO, Fernanda et al. Por que

Baskhara? Revista História & Educação

Matemática/Sociedade Brasileira de História

da Matemática, Rio Claro, SP. v. 2, n. 2,

p.123 - 171, 2001-2002.

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SIMULAÇÃO NUMÉRICA UTILIZANDO O MODELO ALGÉBRICO PTT

Daiane Iglesia Dolci∗, Gilcilene Sanchez de Paulo†

∗Pós Graduação em Matemática Aplicada e Computacional, FCT/UNESPPresidente Prudente, São Paulo, Brasil

†Depto. de Matemática e Computação, FCT/UNESPPresidente Prudente, São Paulo, Brasil

Emails: [email protected], [email protected]

Resumo— Neste trabalho será apresentado a aplicação do modelo algébrico PTT no problema da gota inci-dindo numa superfície rígida (impacting drop). Este modelo foi formulado a partir da equação diferencial PTTcuja implementação é feita em uma plataforma de programação de alto desempenho denominada FREEFLOW-2D. A metodologia numérica empregada para resolver o modelo algébrico é baseada no método GENSMACestendido para escoamentos viscoelásticos, sendo que, a discretização é feita por diferenças finitas em uma malhadeslocada. Para efeito de verificação, foi simulado o problema da gota usando o modelo algébrico e o modelodiferencial PTT e comparando se ambos os modelos apresentam comportamentos semelhantes.

Palavras-chave— Equação constitutiva PTT, modelo algébrico, impacting drop.

1 INTRODUÇÃO

As equações básicas que descrevem escoamentosviscoelásticos, isotérmicos e incompressíveis são asequações da continuidade, da quantidade de mo-vimento dadas, respectivamente, por

∇ · u = 0, (1)DuDt

= −∇p+ β

Re∇2u +∇ ·T +

1

Fr2g,(2)

e para modelar a viscoelasticidade considera-seo modelo algébrico PTT [2] representado pelasequações

DITDt

=− 1

Wi

(1 + ε

ReWi

(1− β)IT

)IT+2 {ΓS} , (3)

Γ=1

{S2}{ΓS}S− 1

2

IT{S2}

×

×[(SW −WS)− 2

(S2 − 1

3

{S2}

I

)], (4)

T = Γ +IT3

I, (5)

onde u é o vetor velocidade, p é a pressão, T éo tensor extra-tensão de contribuição polimérica,IT é a notação designada para o traço de T, Γ éo tensor deviatórico, D/Dt é a derivada material,t é a variável temporal, S = 1

2 (∇u + (∇u)t) é otensor taxa de deformação e W = 1

2 (∇u− (∇u)t)é o tensor taxa de rotação. O escalar {ΓS} é dadopela expressão

{ΓS}=

√I2T2{W2}+

((1− β)WiRe

+1

2IT

)IT {S2}.

(6)e{S2}é o traço do tensor S2. Os números adi-

mensionaisRe = ρULη0

,Wi =λUL e Fr = U2

gL são os

números de Reynolds, Weissenberg e Froude, res-pectivamente. As constantes L, U , ρ, g e λ são osvalores de referência do comprimento, velocidade,densidade, campo gravitacional e do tempo de re-laxação do fluido viscoelástico, respectivamente.A constante β = ηs

η0controla a contribuição do

solvente Newtoniano, onde η0 = ηs + ηp viscosi-dade total do fluido à taxa nula de cisalhamento,ηs é a viscosidade do solvente e ηp é a viscosidadedo polímero. O parâmetro ε está relacionado como comportamento elongacional do modelo.

A formulação do modelo algébrico para o ten-sor extra-tensão T foi obtida originalmente a par-tir da equação constitutiva Oldroyd-B por Mom-pean et al. [?]. Em seguida, no trabalho [2]formulou-se um modelo algébrico a partir da equa-ção constitutiva não-linear PTT.

2 METODOLOGIA NUMÉRICA

As equações do modelo algébrico PTT foramimplementadas na plataforma FREEFLOW-2D,cuja metodologia utilizada é uma extensão dametodologia GENSMAC (GENeralized SimplifiedMarker-And-Cell) para fluidos viscoelásticos [3]que resolve as equações governantes por técnicasde diferenças finitas numa malha deslocada apli-cando a estratégia Oishi et. al [1], a qual combinao método da projeção com uma técnica implícitapara o tratamento da pressão em superfícies livres.

Na integração temporal da equação de quan-tidade de movimento foi empregado o método deEuler implícito enquanto na equação de evoluçãopara o IT foi empregado o método de Runge-Kutta de 2a ordem. Os termos convectivos foramaproximados pelo método ‘upwind’ de alta ordemCUBISTA e as derivadas espaciais por diferençascentrais.

51 de 63

3 IMPACTO DE UMA GOTA NUMASUPERFÍCIE RÍGIDA

Na simulação da gota, considera-se as condi-ções iniciais u(x, y, t0) = 0, p(x, y, t0) = 0,T(x, y, t0) = 0, IT(x, y, t0) = 1.0× 10−12. A con-dição de contorno na fronteira rígida é consideradade não-escorregamento para o vetor velocidade u.O traço IT e T são calculados a partir das equa-ções (3) e (5) considerando as simplificações ca-bíveis com relação as condições da velocidade nageometria em questão. As condições de contornona superfície livre são dadas por

mt · (σ · n) = 0, nt · (σ · n) = 0 (7)

e ∂IT

∂→n

= 0, onde σ = 2µS − pI e→n é a direção

normal a superfície livre.O problema da gota foi simulado em um do-

mínio computacional 0.056m× 0.053m (156× 153células) considerando o diâmetro de L = 0.02m,a velocidade inicial é v0 = −1.0m/s, a velocidademédia do escoamento da gota é U = 1.0m/s. Asconstantes adimensionais consideradas são Re =5.0, Wi = 1.0, Fr = 2.26, β = 0.6 e o parâmetroε = 0.1.

Figura 1: Comparação do modelo algébrico como modelo diferencial PTT considerando o compri-mento da gota incidindo numa superfície rígida.

4 CONCLUSÃO

Note, pela Figura 1 que a variação do compri-mento da gota com relação ao tempo do modeloalgébrico, corresponde ao modelo diferencial PTT.Também é possível observar pela Figura 2 que ocampo de velocidade v apresenta um comporta-mento análogo nos modelos diferencial e algébricoPTT. Portanto, o modelo algébrico PTT aplicadono problema da gota em impacto com a superfícierígida apresenta resultados satisfatórios conside-rando os parâmetros expostos na seção anterior.

(a) Modelo Diferencial

(b) Modelo Algébrico

(c) Modelo Diferencial

(d) Modelo Algébrico

Figura 2: Visualização bidimensional da compo-nente de velocidade v usando o modelo diferen-cial PTT e modelo algébrico PTT nos tempost = 0.04s em (a) e (b) e t = 0.4s em (c) e (d).

Referências

[1] C.M. Oishi, F.P. Martins, M.F. Tomé, M.A.Alves (2011). Numerical simulation of theeXtended PomŰPom model for viscoelasticfree surface flows, Journal of Non-NewtonianFluid Mechanics 166, 165-179.

[2] G. Mompean (2002). On predicting abruptcontraction flows with diferential and al-gebraic viscoelastic models, Computers andFluids 31, 935-956.

[3] M.F Tomé (2001), GENSMACVISCO: ummétodo numérico para resolver escoamentosviscoelásticos não-estacionários com frontei-ras livres, ICMC/USP - São Carlos, Tese deLivre Docência.

52 de 63


VIII Simpósio de Matemática da Faculdade e Ciências e Tecnologia.

TEOREMA DE ENESTRÖM-KAKEYA: ESTUDO DE UM RESULTADO

CLÁSSICO SOBRE OS ZEROS DE POLINÔMIOS1

Jéssica Ventura da Silva, Vanessa Botta




Resumo: Este trabalho consiste em apresentar o estudo de um resultado clássico sobre a distribuição de zeros de polinômios num determinado círculo. Trata-se do Teorema de Eneström-Kakeya, que é muito

utilizado em problemas de estabilidade de métodos numéricos, onde é necessária a análise da localidade dos

zeros de um polinômio no disco unitário. Determinar os zeros de um polinômio sempre foi objeto de estudo da Matemática ao longo de séculos. Durante esse período foi conhecida algumas fórmulas para o cálculo das

raízes de equações polinomiais de segundo, terceiro e quarto graus. Mas para encontrarmos as raízes de uma

equação polinomial de grau n (n>4) nos deparamos com algumas dificuldades; surge então a necessidade da utilização de ferramentas mais especificas para tal cálculo; dessa forma o Teorema Eneström-Kakeya nos

possibilita uma noção sobre a localidade dos zeros de um polinômio.

Palavras-Chave: Zeros de polinômio, Disco unitário, Teorema de Eneström-Kakeya.

Os polinômios formam uma classe importante

de funções infinitamente diferenciáveis,

apresentam uma estrutura de natureza simples

e por consequência são utilizados na Análise

Numérica. Historicamente, o “problema” de

determinar os zeros de um polinômio é um dos

grandes desafios da chamada Álgebra

Clássica.

Para encontrarmos o valor numérico de um

polinômio 𝑃(𝑧), sempre foram utilizados

métodos de operações usuais (adição,

subtração, multiplicação e divisão)

conhecendo ou não uma das raízes da equação

polinomial. Mas quando tratamos de um

polinômio de grau 𝑛 (𝑛 > 4) nos deparamos

com algumas dificuldades.

Instigados pelo estudo da localidade dos zeros

de um polinômio 𝑃(𝑧), Gustaf Hjalmar

Eneström, juntamente com Soichi Kakeya,

elaboram o Teorema Eneström-Kakeya.

A seguir serão apresentados alguns resultados.

O primeiro resultado determina um disco que

contém todos os zeros de um polinômio com

coeficientes reais.

Teorema 1: Seja P(z) = 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + ⋯ +𝑎𝑛𝑧

𝑛 um polinômmio de grau 𝑛 tal que:

𝑎0 ≤ 𝑎1 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛−1 ≤ 𝑎𝑛 𝑒 𝑎𝑛 , 𝑎0 ≠ 0.

Então todos os zeros de P(z) estão no disco

determinado por

𝑧 ≤𝑎𝑛 − 𝑎0 + 𝑎0

𝑎𝑛 .

Demonstração:

De fato, seja 𝑅 𝑧 = 𝑧𝑛𝑄 1

𝑧 , onde

𝑄 𝑧 = 𝑎𝑛𝑧𝑛+1 + 1 − 𝑧 𝑃 𝑧

= 𝑎0 + 𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 𝑧𝑘 .

𝑛

𝑘=1

Então, para |𝑧| ≤ 1,

𝑅 𝑧 = 𝑧𝑛𝑄 1

𝑧

= 𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 𝑧

𝑛−𝑘

𝑛

𝑘=1

≤ 𝑎0 |𝑧|𝑛 + (𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1)𝑧𝑛−𝑘

𝑛

𝑘=1

.

Logo, 𝑅 𝑧 ≤ 𝑎0 + 𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 𝑛𝑘=1

= 𝑎0 + 𝑎𝑛 − 𝑎0.

53 de 63


Desse modo,

𝑄 1

𝑧 ≤

𝑎0 + 𝑎𝑛−𝑎0

|𝑧|𝑛.

E assim,

𝑄 𝑧 ≤ 𝑎0 + 𝑎𝑛 − 𝑎0 |𝑧|𝑛 , com |𝑧| ≥ 1.

Para |𝑧| ≥ 1, segue que

𝑧 − 1 𝑃 𝑧 = 𝑎𝑛𝑧𝑛+1 − 𝑄 𝑧

≥ 𝑎𝑛 𝑧 𝑛+1 − 𝑄 𝑧

≥ 𝑎𝑛 𝑧 𝑛+1

− 𝑎0 + 𝑎𝑛 − 𝑎0 |𝑧|𝑛

= 𝑧 𝑛 𝑎𝑛 𝑧 − 𝑎0 − 𝑎𝑛 + 𝑎0

= |𝑧|𝑛 𝑎𝑛 𝑧

− 𝑎0 − 𝑎𝑛 + 𝑎0

𝑎𝑛 .

Como 𝑎𝑛 − 𝑎0 = |𝑎𝑛 − 𝑎0|, segue que

𝑟 = 𝑎0 + 𝑎𝑛 − 𝑎0

|𝑎𝑛 | ≥ 1.

Note que se |𝑧| > 𝑟, então |(𝑧 − 1)𝑃(𝑧)| > 0. Portanto, 𝑃(𝑧) não possui zeros em |𝑧| > 𝑟, ou

seja, todos os zeros de 𝑃(𝑧) encontram-se em

𝑧 ≤ 𝑟. O resultado que será apresentado a seguir é

uma conseqüência do resultado anterior e

trata-se da teoria da distribuição de zeros de

polinômios.

Teorema 2 (Eneström-Kakeya): Seja 𝑃 𝑧 =𝑎0 + 𝑎1𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑧

𝑛 um polinômio cujos

coeficientes reais 𝑎𝑖 , 𝑖 = 0, … , 𝑛 satisfazem

𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛−1 ≥ ⋯ ≥ 𝑎1 ≥ 𝑎0 > 0. Então 𝑃 𝑧

não possui zeros em 𝑧 > 1, ou seja, os zeros

de 𝑃 𝑧 encontram-se em |𝑧| ≤ 1.

Demonstração:

Seja 𝑃 𝑧 = 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑧𝑛 um

polinômio de grau n, onde 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛−1 ≥ ⋯ ≥𝑎1 ≥ 𝑎0 > 0. Temos, pelo Teorema 1, que

𝑧 ≤𝑎𝑛 − 𝑎0 + 𝑎0

𝑎𝑛 .

Assim,

𝑧 ≤𝑎𝑛 − 𝑎0 + 𝑎0

𝑎𝑛, onde 𝑧 ≤ 1.

Exemplo 2: Seja 𝑃 𝑧 = 4.6𝑧5 + 3𝑧3 +2.5𝑧2 + 0.7𝑧 + 0.2, um polinômio cujos

coeficientes satisfazem as condições do

teorema de Eneström-Kakeya. Podemos

concluir que os zeros de 𝑃 𝑧 encontram-se no

disco unitário 𝑧 ≤ 1, como podemos

observar na seguinte figura:

Figura 2: Localização dos zeros do polinômio

𝑃 𝑧 = 4.6𝑧5 + 3𝑧3 + 2.5𝑧2 + 0.7𝑧 + 0.2.

Neste trabalho, foram estudados dois teoremas

importantes no que diz respeito à localização

de zeros de polinômios, pois considerando um

polinômio P(z) de grau n, tais resultados nos

possibilitam uma noção da localização dos

zeros deste polinômio.

Referências

[1] MARQUES, L. F.. Zeros de Polinômios

Perturbados. Dissertação (mestrado) –

Universidade Estadual Paulista, Faculdade de

Ciências e Tecnologia. Presidente Prudente.

2013.

[2] MILOVANOVIĆ, G. V., MITRINOVIĆ,

D. S., RASSIAS, Th. M.. Topics in

Polynomials: extremal problems, inequalities,

zeros. Singapore: World Scientific, 1994, 821

p.

54 de 63


UMA EXPERIÊNCIA INOVADORA SOBRE A PROBABILIDADE DA UNIÃO

DE EVENTOS

Anie Caroline G. Paixão, Juliano César Fracassi e Rogério Duarte F. Dos Reis

Departamento de Matemática e Física, CCE, UEL

86051-990, Londdrina, PR

[email protected]

Resumo: Esta experiência ocorreu durante o curso de especialização em Educação Matemática pela

Universidade Estadual de Londrina (UEL) durante a disciplina Contagem, realizado no ano de 2013 primeiro

semestre. Visando como objetivos proporcionar uma ampliação dos conceitos matemáticos sobre

Probabilidade da União de Eventos, a proposta consiste em montar um plano de aula que auxilie os alunos a

conceber a matemática de forma significativa, de modo que a apropriação dos conhecimentos matemáticos

sejam presentes, e não somente como aquisição de técnicas que mediante ao passar do tempo são esquecidas.

Tínhamos como tarefa no trabalho proposto partir dos exercícios para formalizar os conceitos de

probabilidade, tendo o aluno como um ator do processo e não somente como receptor da informação.

Palavras-Chave: Probabilidade da união de eventos; Relato de experiência; Educação matemática.

1. Introdução

Pensando na dificuldade para ensinar e apren-

der conceitos de probabilidade, o trabalho tem

a intencionalidade de causar uma reflexão para

ser possível pensar numa forma diferenciada

para ensinar os conceitos de condicional, reali-

zando numa sequência diferente das apresen-

tadas nos livros didáticos. Este trabalho surgiu

através da proposta apresentada pelo professor

Bruno Rodrigo Teixeira, na disciplina de con-

tagem do curso de Especialização em Educa-

ção Matemática pela Universidade Estadual de

Londrina (UEL).

A proposta do trabalho seria realizar uma se-

quência didática para ensinar o conceito de

Probabilidade da União de Eventos tendo co-

mo base dois exercícios, deixando de lado a

visão tradicional no modo de ensinar tais con-

ceitos.

A princípio foi complicado montar o trabalho,

pois nós somente aprendemos pelo método

tradicional, como sendo, realizado na sequên-

cia de apresentação do conceito, exercício re-

solvido e exercícios propostos, este modo de

apresentar a disciplina se perpetua na gradua-

ção, mesmo tendo realizado a formação aca-

dêmica em faculdades diferentes e em perío-

dos distintos.

O primeiro obstáculo foi entender e solucionar

os problemas, em seguida, pensar em outras

formas para realizar a atividade de forma “i-

novadora” e em seguida montar o trabalho.

Objetivo deste trabalho é propor um novo per-

curso ao ensinar a probabilidade condicional,

de modo que leve ao educando a apropriação

do conceito, rompendo com o ciclo de deco-

reba que muitos estudantes adotam para reali-

zar as atividades.

2. Descrição da Experiência

Foi difícil estruturar a proposta para ensinar

em sala de aula, pois ao consultar os livros

didáticos, percebemos que quase todos apre-

sentam primeiramente os conceitos, seguidos

de exemplos resolvidos e exercícios para re-

solver, e pouco mudavam de um referencial

teórico para outro. A sequência abordada neste

trabalho é iniciar a contextualização do assun-

to por meio dos exercícios para na sequência

seguinte realizar a formalização do conceito.

Inicialmente verificamos no documento o Cur-

rículo do Estado de São Paulo, para elencar

qual seria o público alvo para trabalhar o con-

ceito de probabilidade da União de Eventos,

55 de 63


chegando a conclusão que são os alunos do 2º

ano do Ensino Médio, na disciplina de mate-

mática.

Salientamos ainda, que o tempo previsto para

aplicar a atividade com os dois exercícios é de

aproximadamente três horas aulas, no próprio

espaço sala de aula e sendo os materiais neces-

sários apenas giz, lousa e caderno.

Após montar a atividade proposta pelo profes-

sor Bruno, apresentamos em forma de seminá-

rio no curso de pós-graduação obtendo os a-

pontamentos finais do professor responsável

pela disciplina.

3. Problemas propostos

Os enunciados dos exercícios propostos foram:

3.1 (UEL_2008) De um total de 500

estudantes da área de exatas, 200 estudam

Cálculo Diferencial e 180 estudam Álgebra

Linear. Esses dados incluem 130 estudantes

que estudam ambas as disciplinas. Qual é a

probabilidade de que um estudante escolhido

aleatoriamente esteja estudando Cálculo

Diferencial ou Álgebra Linear?

a) 0,26

b) 0,50

c) 0,62

d) 0,76

e) 0,80

3.2 (UEL_2008)

A vida na rua como ela é:

O Ministério do Desenvolvimento Social e

Combate à Fome (MDS) realizou, em parceria

com a ONU, uma pesquisa nacional sobre a

população que vive na rua, tendo sido ouvidas

31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras.

Nesse levantamento, constatou-se que a maio-

ria dessa população sabe ler e escrever (74%),

que apenas 15,1% vivem de esmolas e que,

entre os moradores de rua que ingressam no

ensino superior, 0,7% se diplomou. Outros

dados da pesquisa são apresentados no qua-

dro abaixo.

Quadro 1: população que vive na rua.

No universo pesquisado, considere que P seja

o conjunto das pessoas que vivem na rua por

motivos de alcoolismo/drogas e Q seja o con-

junto daquelas cujo motivo para viverem na

rua é a decepção amorosa. Escolhendo-se ao

acaso uma pessoa no grupo pesquisado e su-

pondo-se que seja igual a 40% a probabilida-

de de que pessoa faça parte do conjunto P ou

do conjunto Q, então a probabilidade de que

ela faça parte do conjunto interseção de P e Q

é igual a:

A. 12%

B. 16%

C. 20%

D. 36%

4. Proposta:

Como esta proposta foi realizada como inte-

grante de uma atividade avaliativa no curso de

contagem, buscava-se desenvolver a utilização

do problema para introduzir o conceito de

Probabilidade da União de eventos. Dessa

forma, mostrando uma dedução para a fórmu-

la:

)1()()()()( BAPBPAPBAP

5. Desenvolvimento referente ao exercí-

cio 3.1 temos como resolução:

No primeiro momento o(a) professor(a) pro-

põe para os alunos realizarem individualmente

a leitura do exercício. Em seguida faz a leitura

compartilhada, afim que todos compreendam o

que está sendo pedido na atividade, o(a) pro-

fessor(a) pergunta se todos compreenderam o

exercício e o que está sendo pedido.

Como educador(a) o(a) professor(a) necessitar

ter como princípio que os alunos devem reali-

zar a trajetória de construção do conhecimento

matemático, fazendo parte do processo e não

apenas como um figurante. Para concretizar

este propósito o professor disponibiliza um

56 de 63


tempo para que os alunos façam a atividade

individual ou coletivamente, esta necessidade

deve partir do aluno. É sugerido ao professor

percorre toda sala para responder as dúvidas

que vão surgindo, faz perguntas que levem os

alunos a pensar e consequentemente propor-

cionar possibilidade para pode levar os alunos

a chegarem às possíveis resoluções. Notem

que o assunto de probabilidade vem sendo

trabalhado com a turma a algum tempo, e os

conceitos básicos para realizar a tarefa os alu-

nos já adquiriram.

Após um tempo deixando os alunos realizarem

a tarefa o(a) professor(a) deve convidar os

alunos para colocarem na lousa a solução do

mesmo.

O(a) professor(a) inicia a explicação do espaço

amostral partindo das resoluções colocadas na

lousa pelos alunos, perguntando o que deva ser

este valor de 500 estudantes da área de exatas

e seguir desse ponto.

Realizando uma adaptação da solução dos alu-

nos o(a) professor(a) trabalha com o conceito

de conjuntos para explicar o exercício para

toda sala.

Neste momento pressupomos que o profes-

sor(a) vem trabalhando com os alunos os con-

ceitos de probabilidade para abordar este te-

ma.

Como temos dois conjuntos os alunos que es-

tudam Cálculo Diferencial e os que estudam

Álgebra Linear, podemos reescrever em forma

de conjuntos, da seguinte forma:

Figura 1: Conjuntos C e A.

De acordo com o exercício proposto, temos:

500 estudantes de exatas;

200 estudantes de Cálculo Diferencial;

180 estudantes de Álgebra Linear;

130 estudantes de Álgebra Linear e Cálculo

Diferencial.

Ou reescrevendo de outra forma temos:

Figura 2: Conjuntos C e A.

Vamos considerar os seguintes conjuntos:

;

;

;

;

Assim, temos que o número de elementos dos

conjuntos pode ser expresso da seguinte

forma:

;

;

;

;

. (2)

A probabilidade de que um estudante

escolhido aleatoriamente esteja estudando

Cálculo Diferencial ou Álgebra é:

(3)

Então, alternativa correta, letra c, 0,5 ou ainda,

50%.

A probabilidade de um evento ocorrer nunca

poderá ser menor que 0 ou maior que 1, isto é,

a probabilidade varia de 0% a 100%.

Vamos analisar com um pouco mais de

cuidado a equação:

Sem substituir os valores numéricos para

ou , mas substituir

por . Logo, teremos:

(5)

57 de 63


Ou ainda,

(6)

Que na verdade, é a probabilidade

do evento A acontecer. Analogamente para

e , resultando

em:

(7)

Calculando as probabilidades dos eventos ,

e ocorrem temos:

(8)

Vamos agora testar essa fórmula para ver se

condiz com o primeiro resultado apresentado

(9)

Resposta correta: Letra A

7. Desenvolvimento referente ao exercí-

cio 3.2 temos como resolução:

Referente ao exercício 3.2 temos a resolução:

Como visto no exercício anterior, a

probabilidade da união de 2 eventos ocorrer é

(10)

Considere P(P) a probabilidade do evento P

ocorrer. Analogamente para P(Q), a

probabilidade de Q ocorrer. Então, podemos

dizer que é a probabilidade da união

de e acontecer, ou no contexto do

problema, é a probabilidade de uma pessoa

que faça parte do conjunto ou do conjunto

.

Do enunciado temos que:

(11)

Se a probabilidade de que uma pessoa faça

parte do conjunto ou do conjunto é de

40%, qual a probabilidade de que ela faça

parte do conjunto interseção de e ? O x da

questão é , ou seja,

Sabemos que:

(12)

Substituindo pelos valores numéricos que

temos,

(13)

Ou ainda,

(14)

Resposta correta: Letra A

8. Resultados da Experiência Parciais

Depois de pesquisarmos em diversos livros

didáticos chegamos a conclusão que apesar de

quase todos eles terem a mesma sequência

didática podemos modificá-las de modo a tor-

nar a aprendizagem dos alunos mais significa-

tiva, e nesse caso a sequência que elencamos e

que se demonstra satisfatória é a posta no tra-

balho.

Foi possível desenvolver outro olhar para o

ensino de Probabilidade da União de eventos,

compreendendo que o aluno não é um mero

sujeito do processo de aprendizagem, mas sim

o ator principal que deve fazer parte de todo o

tempo da aquisição do conhecimento.

O trabalho tem como intenção de realizar ou-

tro olhar para a teoria de probabilidade e esta-

tística, mostrando possível trabalhar em sala

de aula, saindo do exercício para formalização

do conceito.

Temos intenção de aplicado em sala de aula

quando for possível, acreditamos que faz-se

necessário realizar um trabalho que o aluno

faça parte do processo de ensino e aprendiza-

gem.

9. Referências

[l] FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Cláudio

Xavier da. Matemática aula por aula. São

Paulo: FDT, 2003, p.286-287.

58 de 63


UM ESTUDO SOBRE A CINÉTICA DAS REAÇÕES QUÍMICAS ATRAVÉS

DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS1

José Roberto Nogueira, Suetônio de Almeida Meira, Mailde da Silva Ozório2



[email protected]

Beatriz Eleutério Goi Carvalho Departamento de Física, Química e Biologia, FCT, UNESP


[email protected]

Resumo: A cinética de reação refere-se ao estudo da velocidade das reações e das variáveis que afetam

essa velocidade. A concentração dos reagentes, a temperatura, a pressão e os catalisadores representam as

principais variáveis que afetam a velocidade de reação. A dependência entre velocidade de reação e as

variáveis pode ser representada por equações diferenciais, conhecidas como Leis de Velocidade. O

conhecimento sobre cinética de reação é imprescindível para produção de substâncias em escala industrial,

onde o tempo de reação é um fator importante. Neste trabalho, mediante equações diferenciais e resultados

empíricos, foi avaliado a influência da concentração dos reagentes e da temperatura na velocidade de reação

do tiossulfato de sódio (Na2S2O3) com ácido clorídrico (HCl).

Palavras-Chave: Equações diferenciais, cinética química.

1 VII Simpósio de Matemática da Faculdade e Ciências e Tecnologia.

2 Aluna de Iniciação Científica.

59 de 63


18 20 22 24 26 28 30 32 34

-4,0

-3,8

-3,6

-3,4

-3,2

-3,0

-2,8

-2,6

-2,4

-2,2

ln | [B

] 0-

2x |

Tempo de reação (s)

0 20 40 60 80 100 120

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1/ ([

A] 0

- x

) (

L/m

ol)

Tempo de reação (s)

Introdução A dissociação do Na2S2O3 e a ionização do

HCl em meio aquoso forma os íons S2O32-

e

H+; que são as espécies envolvidas na reação:

S2O32-

(aq.) + 2H+

(aq.) S(s) + H2SO3(aq.) a ser

representada por A + 2B → P, onde A, B e P

representam, respectivamente, S2O32-

, H+ e os

produtos.

Metodologia A velocidade da reação pode ser representada

pela a variação da concentração dos reagentes

e dos produtos no decorrer do tempo, como

indicado:

Também podemos representar a velocidade

como a taxa de consumo dos reagentes (2):

Os símbolos [A]o e [B]o representam as

concentrações iniciais e x o consumo dos

reagentes. A constante de velocidade, k, varia

com a temperatura (T) de acordo com a

equação de Arrhenius:

A integral de (3) resulta:

A equação (4) pode ser escrita como:

Onde:

K: constante de velocidade;

A: fator de frequência (medida da

probabilidade de uma colisão eficaz);

Ea: energia de ativação;

R: constante dos gases (em unidades S.I.:

8,3145 J/K -1

mol-1

);

T: temperatura.

A uma temperatura constante e para [A]0 muito

maior que [B]0 , x é desprezível e [A]0 é

praticamente constante, a equação (2) resulta:

Sendo . A função que satisfaz

(6) é dada por (7) se m ≠ 1 e por (8) se m = 1.

Para [B]0 muito maior que [A]0, o consumo 2x

na [B]0 é desprezível e a equação (2) resume-

se a:

Sendo . A função que satisfaz

(6) é dada por (10) se n ≠ 1 e por (11) se n = 1.

Resultados

Os dados cinéticos da reação mostram que (8)

é a solução de (6) e que (10) é solução de (9)

para n = 2, como ilustrado na Figura 1:

Figura 1. Gráficos dos dados cinéticos da reação A + 2B → P

60 de 63


3,12 3,20 3,28 3,36 3,44 3,52 3,60

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-Ea/R

ln K

1/T (10 -3

K -1

)

Portanto a velocidade de reação pode ser

representada pela seguinte equação diferencial:

A integral de (12) na condição x(0) = 0 e para

[A] e [B] não constantes, resulta:

A constante de velocidade, k, é independente

do tempo, mas varia com a temperatura, como

indicado na Figura 2:

Figura 2. Efeito da temperatura

Das equações (5) e (12) obtêm-se a equação de

velocidade para a reação que não ocorre a

temperatura constante:

Conclusão

A velocidade de reação entre Na2S2O3 e HCl

foi analisada através de equações diferenciais

e indicou que a taxa com que a reação avança

é proporcional ao quadrado da concentração

do íon tiossulfato ([A]0)2 e também à

concentração do próton ([B]0) , na qual a

constante de velocidade depende da

temperatuta.

Referências

[1] ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. "Equações

Diferenciais", São Paulo: Pearson Makron

Books, 2001.

[2] MOORE, J. W.; PEARSON, R. G.

"Kinetics and Mechanism", New York:

Wiley-Interscience, 1961.

[3] STEINFELD, J. I; FRANCISCO, J. S;

HASE, W.L, Chemical Kinetics and

Dynamics, Prentice Hall, Englewood

Cliffs, NeW Jersey.1989

61 de 63

¹ Bolsista de iniciação Científica – Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Tecnológico (CNPq/PIBIC);

UM RESULTADO CLÁSSICO SOBRE ZEROS DE POLINÔMIOS:

LIMITANTE SUPERIOR DE CAUCHY.

Igor Tomas Pìlla Faustino¹ Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP

Rua Roberto Simosen, 305 19060-900 – Presidente Prudente – SP – Brasil

[email protected]

Vanessa Avansini Botta Pirani Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP

Rua Roberto Simosen, 305 19060-900 – Presidente Prudente – SP – Brasil

[email protected]

__________________________________________________________________________________________________________

Resumo: O estudo dos zeros de polinômios é muito atual e frequente, pois os seus

resultados podem ser aplicados em diversos campos da matemática aplicada e das outras

ciências. Um bom exemplo é o estudo da estabilidade de métodos numéricos para a solução de

equações diferenciais ordinárias, onde são importantes os resultados que localizam e

quantificam a quantidade de zeros em um disco unitário. Também podemos utilizar seus

resultados na teoria do controle, que se refere ao estudo de sistemas dinâmicos. Assim, o estudo

de zeros de polinômios apresenta-se de grande utilidade, e tem uma expansão significativa, haja

vista a quantidade de assuntos à serem estudados.

Palavras – Chave: Zeros de polinômios, Localização de zeros, Disco unitário.

______________________________________________________________________

Introdução

Alguns problemas tem resolução

de difícil acesso, e o estudo de zeros de

polinômios, ou melhor, a análise da

localização e da quantificação de zeros

em determinada região facilita ou

aproxima-se das soluções desejadas.

Um exemplo da utilização de resultados

sobre zeros de polinômios está

relacionado à estabilidade de sistemas

de equações diferenciais ordinárias,

onde é possível dizer se o sistema é

estável ou não a partir da análise dos

zeros do polinômio característico

estudado. Além disso, o estudo de zeros

de polinômios é muito amplo e há

muitos resultados a serem estudados e o

presente trabalho possibilita ao aluno de

graduação o contato com temas não

abordados em disciplinas curriculares

normais.

Metodologia

Agora apresentamos um

resultado importante nesse estudo

devido à Cauchy, um teorema que nos

mostra um disco limitante superior ao

módulo de todos os zeros de um

polinômio com coeficientes complexos.

Teorema: Seja um

polinômio com coeficientes complexos

dado por

e seja a única raíz positiva da

equação algébrica | |

| | | | . Então, todos os

zeros da equação encontram-

se no disco | | .

Demonstração: Observemos

que a equação tem um único

zero positivo. Para ,

passa a ser

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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), 21 a 24 de outubro de 2013

| | | | | |,

ou equivalentemente,

| |

| |

| |

.

Quando fazemos a função do

lado direito da igualdade acima

converge para 0, e quando está muito

próximo de 0 a função admite valores

arbitrariamente grandes. Assim, o

gráfico desta função intersecta o gráfico

da função somente um vez em

um ponto de . Consideremos

| |

| | | |. De acordo com a

observação acima, tem uma única

raíz positiva, que é o ponto . Como

, então se,

para algum , temos .

Supondo que para algum ,

então

e consequentemente, | |

| |

| || | | || | | |.

Portanto, esta última desigualdade nos

mostra que | | , e de acordo com

o que já demonstramos anteriormente,

| |

Agora apresentaremos um exemplo

desse resultado.

Seja

, podemos observar que a única raíz

positiva da equação polinomial é

, logo todos os seus zeros

estarão localizados em | | como

é mostrado na figura a seguir:

Figura 1 Limitação Superior de Cauchy

Conclusões

O presente trabalho possibilitou

analisar um resultado clássico sobre

zeros de polinômios devido à Cauchy,

que nos mostrou que podemos encontrar

um limitante superior para os zeros de

polinômios com coeficientes complexos

relacionado à única raiz positiva da

equação polinomial envolvida a esse

polinômio. O exemplo nos mostra

claramente a região circular submetida a

este processo, e obviamente podemos

perceber o quão perto ficamos da

solução do nosso problema, que de fato

era buscar os zeros do polinômio

apresentado. Consequentemente

podemos também utilizar esse resultado

a outros estudos anteriormente

mencionados, daí temos a sua grande

utilidade.

Referências

[1] BOTTA,V.A. Polinômios

Algébricos e Trigonométricos com

zeros reais. Dissertação de mestrado,

IBILCE/UNESP, São José do é do Rio

Preto, 2003.

[2] MILOVANÓVIC,G.V.;

MITRINOVIC, D.S.;RASSIAS, TH.M.

Topics in polynomials: Extremal

problems, Inequalities, Zeros.

Singapure: Word Scientific,1994.

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viii smat - simposio de matematica da fct-unesp

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