1

VESTIBULAR DA UNICAMP – 2010 – 1a e 2a Fase Provas de Matemática

RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.

QUESTÕES DA FASE 1QUESTÕES DA FASE 1QUESTÕES DA FASE 1QUESTÕES DA FASE 1 1. Segundo o IBGE, nos próximos anos, a participação das gerações mais velhas na população do Brasil aumentará. O gráfico ao lado mostra uma estimativa da população brasileira por faixa etária, entre os anos de 2010 e 2050. Os números apresentados no gráfico indicam a população estimada, em milhões de habitantes, no início de cada ano. Considere que a população varia linearmente ao longo de cada década. a) Com base nos valores fornecidos no gráfico, calcule exatamente em que ano o número de habitantes com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de habitantes com até 17 anos. (Atenção: não basta encontrar um número aproximado a partir do gráfico. É preciso mostrar as contas.) b) Determine qual será, em termos percentuais, a variação da população total do país entre 2040 e 2050. RESOLUÇÃO:

a) Fazendo corresponder ao ano 2010 a abscissa 0(anos passados), ao ano 2020, a abscissa 10 (anos passados), .... temos o gráfico:

Considerando p1 = a1x + b1, equação da reta que passa pelos pontos (0,59) e (20,45). Como essa equação passa pelo ponto (0,59) então 59 = b1⇒ p1 = a1x + 59. Como essa equação é verdadeira para o par

ordenado (20,45), 45 = 20a1 + 59 ⇒ 20a1 = −14 ⇒ 10

7a1 −= ⇒ 59x

10

7p1 +−= .

Considerando p2 = a2x + b2, equação da reta que passa pelos pontos (0,19) e (20,40). Como essa equação passa pelo ponto (0,19) então 19 = b2⇒ p2 = a2x + 19. Como essa equação é verdadeira para o par

ordenado (20,40), 40 = 20a2 + 19 ⇒ 20a2 = 21 ⇒ 20

21a 2 = ⇒ 19x

20

21p2 += .

Para determinar o ano em que o número de habitantes com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de

habitantes com até 17 anos, deve-se resolver a desigualdade: ≥+19x20

2159x

10

7+− ⇒

22,85x35

800x800x4121x ≥⇒≥⇒≥+ .

Logo de 2010 até o ponto de interseção dos gráficos das equações 59x10

7p1 +−= e 19x

20

21p2 += se

passaram 22,85 anos, assim o ano pedido é 2010 + 22 = 2032. RESPOSTA: O ano de 2032.

2

b) A população em 2040, será de (127 + 52 + 40) = 219 milhões de habitantes. A população em 2050, será de (116 + 64 + 35) = 215 milhões de habitantes. Para determinar o percentual de diminuição da população, faça-se:

..0,01860...215

4

n(2040)

n(2050)n(2040)==

−

RESPOSTA: Decresceu 1,86% 2. As mensalidades dos planos de saúde são estabelecidas por faixa etária. A tabela ao lado fornece os valores das mensalidades do plano "Geração Saúde". Sabendo que o salário mínimo nacional vale, hoje, R$ 465,00, responda às perguntas abaixo. a) O gráfico em formato de pizza ao lado mostra o comprometimento do rendimento mensal de uma pessoa que recebe 8 salários mínimos por mês e aderiu ao plano de saúde "Geração Saúde". Em cada fatia do gráfico, estão indicados o item referente ao gasto e o ângulo correspondente, em graus. Determine a que faixa etária pertence essa pessoa. b) O comprometimento do rendimento mensal de uma pessoa com o plano de saúde "Geração Saúde" varia de acordo com o salário que ela recebe. Suponha que x seja a quantidade de salários mínimos recebida mensalmente por uma pessoa que tem 56 anos, e que C(x) seja a função que fornece o comprometimento salarial, em porcentagem, com o plano de saúde. Note que x não precisa ser um número inteiro. Determine a expressão de C(x) para x ≥ 1, e trace a curva correspondente a essa função no gráfico abaixo.

Faixa etária Mensalidade

(R$) Até 15 anos 120,00

de 16 a 30 anos 180,00 de 31 a 45 anos 260,00 de 46 a 60 anos 372,00 61 anos ou mais 558,00

RESOLUÇÃO: a) A pessoa que recebe 8 salários mínimos tem uma renda bruta de 8 ×R$465,00 = R$ 3720,00.

Armando a proporção: 558x3

x186

3

x

20

3720

54

x

360

3720=⇒=⇒=⇒

°=

°.

RESPOSTA: Essa pessoa pertence faixa etária de 61 anos ou mais. b) Se a pessoa que tem 56 anos recebesse apenas um salário mínimo, o seu salário seria de 465x reais. Para determinar o seu comprometimento salarial, em porcentagem, com o plano de saúde, deve-se resolver a proporção:

C(x)x

80

465x

37200)(C37200%465C(x)x

C(x)

372

100%

465x⇒==⇒=⇒= x

. Cujo gráfico está ao lado:

3

QUESTÕES DA FASE 2QUESTÕES DA FASE 2QUESTÕES DA FASE 2QUESTÕES DA FASE 2 1. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões abaixo. a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe? RESOLUÇÃO: Para produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B, serão necessários (7×0,4 + 18 × 0,2) = 6,4 quilogramas de açúcar e (7 × 0,2 + 18 × 0,3) = 6,8 quilogramas de farinha. RESPOSTA: Não porque a farinha não é suficiente. b) Considerando que serão produzidos x quilogramas de bolo do tipo A e y quilogramas do tipo B, podemos armar o sistema:

=

=+

=

⇒

=

=⇒

=+

=+⇒

=+

=+

22,5x

1010,4x

5y

5y

20,4y

120,6x0,4x

100,2y0,4x

60,3y0,2x

100,2y0,4x

RESPOSTA: Devem ser produzidos 22,5 quilogramas de bolo do tipo A e 5 quilogramas do tipo B. 2. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura ao lado. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica. Sabe-se que uma calota esférica tem volume

( )h3R3

πhV

2

cal −= , em que h é a altura da calota e R é o raio da

esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por Acal = 2πRh. Atenção: não use um valor aproximado para π. a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel de madeira, em função de R. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que h = R/2, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado.

RESOLUÇÃO: a) O volume do anel é: V ANEL = Vesfera – 2Vduas calotas – Vcilindro, ou

seja, V ANEL = ( ) cilindro2

23

Hπrh)3R3

πh2

3

R 4−

−−

π.

Então é necessário determinar a altura H e o raio r do cilindro em função de R. Sendo h = R/2, H = R Na figura ao lado vê-se um triângulo retângulo de hipotenusa R e

catetos r e R/2, então 2

3Rr

4

RRr

2

22

=⇒−= .

4

Então VANEL =

−−=

−

−

−4

3

12

5

3

4R R

2

3Rπ)

2

R3R

32

Rπ

23

R 4 3

2

2

3

ππ

⇒⇒⇒⇒ 6

R πV

3

ANEL = .

RESPOSTA: O volume do anel é 6

R π 3

.

b) Como a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna, a área sobre a qual o verniz será aplicado, tem por medida: S = SESFERA – 2SCALOTA + SLATERAL DO CILINDRO ⇒ S = 4πR² – 2×2πRh + 2πrH ⇒

S = ( ) 22222πR323πR2ππR 4πR

2

3R2π

2

R4ππR 4π +=+−=

+

−

RESPOSTA: A superfície do anel tem área igual a ( ) 2πR32 + .

3. Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm × 2,5 cm. Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras abaixo. a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.

RESOLUÇÃO:

No retalho semicircular, considere-se o retângulo ABCD e o triângulo retângulo OAB com AD = 10cm, AB = x cm, AO = 5cm e OB = 6cm.

Pelo Teorema de Pitágoras: x² = 36 – 25 = 11 ⇒ x = 5,211 > . RESPOSTA: Como o retângulo de couro a ser recortado tem dimensões 10 cm × 2,5 cm então o retalho semicircular pode ser utilizado para a obtenção

da tira, pois ABCD tem dimensões 10 cm × 11 cm e assim sua superfície é maior que a do retângulo EFGH.

b) Os triângulos retângulos FOE e CBE são semelhantes, logo os seus lados correspondentes são proporcionais:

2,5.2,258

18x

3

x

8

6

BE

CB

OE

FO<==⇒=⇒=

RESPOSTA: Como o retângulo de couro a ser recortado tem dimensões 10 cm × 2,5 cm o retalho triangular não pode ser utilizado para a obtenção da tira, pois ABCD tem dimensões 10 cm × 2,25 cm, assim sua superfície é menor que a do retângulo EFGH.

5

4. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.

a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) = 0,99 .

Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas. b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.

a) Se cos(α) = 0,99 , sen() = ( ) 1,001,099,012

==− .

No triângulo retângulo ABC, 31,5h315

h0,1

AC

BCsenα =⇒=⇒= .

RESPOSTA: A altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura é de 31,5m.

b) No triângulo BCD tem-se o ângulo BD̂C mede 79°, pois 24° + 77° + 79° = 180°.

O ângulo BD̂A mede 75°, pois 26° + 79° + 75° = 180°. No triângulo ABD, α° = 75°, pois 30° + 75° + 75° = 180°. Logo o triângulo ABD é isósceles e AD = b.

Aplicando a esse triângulo a lei dos cossenos em relação ao ângulo de 30° e sendo a = 22cm (dado da questão):

( ) ⇒−

=⇒=−⇒−=⇒°−+=32

484b48432bb 32b48402.b.b.cos3bb22 2222222

( ) ( )3222b

34

3222

32

32484b

2

22

2+=⇒

−

+=

−

+= .

RESPOSTA: 3222b += cm.

6

5. O valor presente, Vp , de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula abaixo, em que r é o percentual mensal de juros (0 ≤ r ≤ 100) e p é o valor da parcela.

np

100

r1

pV

+

=

a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp , supondo uma taxa de juros de 1% ao mês. b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp , e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista. RESOLUÇÃO:

a) 02,198V.........198,0198..101

100200V

100

11

200V pp1p =⇒=×=⇒

+

= .

Então o valor presente da mercadoria é: R$200,00 + R$198,02 = R$398,02 RESPOSTA: R$398,02.

b) Valor presente da primeira prestação: 0,99p101

100pV

100

11

pV p1p =×=⇒

+

= .

Valor presente da primeira prestação: 0,98p101

100pV

100

11

pV

2

p2p =

×=⇒

+

=

Valor presente da mercadoria: 0,99p + 0,98p = 1,97p.

O desconto mínimo que deve ser dado ao cliente é de %5,1015,02

03,0

2p

1,97p2p===

−.

RESPOSTA: O valor presente da mercadoria é 1,97p e o desconto mínimo a ser é de 1,5%. 6. Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento é apresentado na tabela ao lado. a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prêmio entre seus clientes. Cada proprietário de um aparelho da empresa receberá

Modelo

Preço (R$)

Aparelhos vendidos

(milhares) A 150 78 B 180 70 C 250 52 D 320 36

um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de cupom. Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários resgataram seus cupons, calcule o número total de cupons e a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00. b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo modelo estão relacionados pela função n(p) = 115 – 0,25p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais). Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é dada por n × p.

7

RESOLUÇÃO: a) Como se supõe que no ato da compra foi adquirido apenas um aparelho, e para cada R$ 100,00 gastos na compra, o proprietário do aparelho recebe um cupom, o total de cupons distribuídos, em milhares, foi: 78 + 70 + 2 × 52 + 3 × 36 = 360. O total, em milhares, de proprietários que adquiriram aparelhos com preço superior a R$ 300,00 foi 36. O total de cupons recebidos por eles foi de 3 × 36 = 108. Logo a probabilidade pedida é:

p = 10

3

360

108= .

RESPOSTA: 360 mil cupons e P = %3010

3=

Modelo

Preço (R$)

Aparelhos vendidos

(milhares) A 150 78 B 180 70 C 250 52 D 320 36

TOTAL 900 236

b) O número n, de aparelhos do novo modelo a serem vendidos, é dado pela relação n(p) = 115 – 0,25p, depende do preço por unidade (p) e sendo R = n × p, então, a receita bruta é: R = p(115 – 0,25p) = – 0,25p² + 115 p. Esta função está representada pela parábola ao lado, e o valor máximo da receita é Rv é atingido no ponto (Pv, Rv) Logo o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa

com o novo modelo, é: 3020,5

115

0,25)2(

115

2a

bp ==

−

−=

−= .

RESPOSTA: R$ 230,00

7. Sejam dadas as funções f(x) = 2x8/4 e g(x) = 4x . a) Represente a curva y = f(x) no gráfico ao lado, em que o eixo vertical fornece log2(y). b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equações

=

=

1f(y)/g(z)

g(y)f(z)

Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente.

8

RESOLUÇÃO:

a) Sendo y = f(x) = 2x8/4 , então, h(x) = log2(y) = log2(2x8/4 ) ⇒

h(x) = log2(23 − 4x) = 3 – 4x.

Sendo h(0) = 3, h(1) = −1 e h(3) = −9, então o gráfico pedido está ao lado.

b) ⇒

=

=⇒

=

×=

⇒

=

=

⇒

=

=

+

+

4y2z3

4z2y3

z2y

2zy

z

2y

y2z

22

22

44

8

448

14

4

8

44

8

1f(y)/g(z)

g(y)f(z)

=

=⇒=

⇒

=+

=+⇒

=+

=+

2

1y

2

1z36z

32z4y

68z4y

32z4y

34z2y

RESPOSTA: 2

1z e

2

1y == .

8. O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo muito comum no Brasil. A figura ao lado mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente. a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio. b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.

RESOLUÇÃO: a) Calculando inicialmente o valor de x na figura ao lado: x = 50sen30°= 25cm.

SABCD = SBAD + SBCD ⇒ SABCD = 2

35050

2

1

2

2550×××+

×⇒

SABCD = 3625625 + .

RESPOSTA: A area do quadrilátero de papel é

( )31625 + cm².

9

b) Sendo o arco BD tangente aos segmentos AD e AB, então estes são, respectivament, perpendiculares aos raios OD e BO. Logo, o quadrilátero ABOD é um quadrado ccuja diagonal mede 50cm.

Assim: OD 2 = 50 ⇒ OD = 2252

50= cm.

O comprimento do arco BD é:

2

225

4

2502252

360

90 πππ ==××

°

°=l cm.

RESPOSTA: O comprimento da vareta de bambu que liga os

pontos B e D é 2

225 π cm.

9. Considere a matriz

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A , cujos coeficientes são números reais.

a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo. b) Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que aij = i − j + 1 para os elementos em que j ≤ i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A−1. RESOLUÇÃO:

a) Existem 84123

789CC 9,39,6 =

××

××== modos de se armar a matriz A com seis elementos iguais a zero.

Essa matriz somente terá determinante diferente de zero, quando os três elementos não nulos dessa matriz estiverem formando a diagonal principal, porque estarão em linhas diferentes. Existem A3,3= 3 × 2 × 1= 6 modos diferentes de distribuir esse três elementos na diagonal principal.

Logo a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo é: p = 14

1

84

6= .

RESPOSTA: 14

1 .

b) De acordo com as condições do item b:

=

=

123

012

001

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

.

Considerando

=−

ihg

fed

cba

A 1 . Sendo IAA 1=×

− :

=

++++++

+++⇒

=

×

100

010

001

i2f3ch2e3bg2d3a

f2ce2bd2a

cba

100

010

001

ihg

fed

cba

123

012

001

.

Então,

=++

=+

=

=++

=+

=

=++

=+

=

1i2f3c

0f2c

0c

,

0h2e3b

1e2b

0b

,

0g2d3a

0d2a

1a

⇒

=

=

=

−=

=

=

=

−=

=

⇒

=++

=+

=

=++

=

=

=++

=+

=

1i

0f

0c

,

2h

1e

0b

,

1g

2d

1a

1i00

0f0

0c

,

0h20

1e

0b

,

0g2d3

0d2

1a

.

10

RESPOSTA: A =

123

012

001

e

−

−=−

121

012

001

A 1 .

10. Suponha que f : IR→IR seja uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)) e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado abaixo. a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99). b) Dadas as funções g(y) = y² – 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para 2,5 ≤ x ≤ 5.

RESOLUÇÃO: a) Sendo f(x) uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)), então a imagem correspondente ao intervalo [–5, 0] é simétrica à imagem do intervalo [0, 5]. e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10))

Sendo f(x) uma função ímpar e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10)), a imagem do intervalo de [5, 10] é igual à imagem do intervalo de [–5, 0], e a do intervalo de [–10,–5] é a do intervalo [0, 10]. RESPOSTA: O gráfico ao lado é da função f(x) no intervalo [–10, 10]. Sendo f(x) periódica de período 10, f(99) = f(89) = f(79) =...... = f(9) Se 9 ∈ [7,5; 10], f(9) ∈ [–5, 0]. Ou seja o ponto (9, f(9)) pertence ao segmento AB contido na reta y = ax + b, determinada pelos pontos (7,5; –5) e (10, 0).

202xy

20b

2a

52,5a

b10a0

b7,5a5−=⇒

−=

=

=

⇒

+=

+=−.

Nesta equação substituindo x por 9, determinamos f(9) = f(99): y = 18 – 20 = – 2. RESPOSTA: f(99) = – 2. b) Se x pertence ao intervalo 2,5 ≤ x ≤ 5, então a equação de f(x) é a reta y = ax + b que passa pelos pontos A e B da figura ao lado:

11

102xf(x)102xy

10b

2a

52,5a

b5a0

b2,5a5+−=⇒+−=⇒

=

−=

−=

⇒

+=

+=.

Sendo h(x) = g(f(x)), então h(x) = (–2x + 10)² – 4(–2x + 10) ⇒ h(x) = 4x² – 32x + 60 e h(3) = 36 – 96 + 60 = 0. RESPOSTA: h(x) = 4x² – 32x + 60 e h(3) = 0, para 2,5 ≤ x ≤ 5. 11. No desenho abaixo, a reta y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as questões abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a. b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x.

Seja y = mx + n a equação da reta que passa pelos pontos C e B = (2, 0). Usando as coordenadas de B: 2m + n = 0 ⇒ n = − 2m ⇒ y = mx − 2m. Como as retas y = mx − 2m e y = ax são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é igual

a −1, donde: am = −1 e m = a

1− ⇒ y =

a

1− x +

a

2⇒ C =

a

2,0

RESPOSTA: C =

a

2,0 .

b) Supondo a = 3, temos as equações formando o sistema:.

=

⇒

=

=

⇒

=

+−=⇒

+−=

=⇒

+−=

=

5

3,

5

1A

5

3y

5

1x

210x

2x9x

2x3y

3xy

3

2x

3

1y

3xy

A equação da circunferência com centro em

=

5

3,

5

1A , tangente ao eixo x e raio

5

3 é:

0130y10x25y25x5

3

5

3y

5

1x 22

222

=−−−+⇒

=

−+

− .

RESPOSTA:

=

5

3,

5

1A e 0130y10x25y25x 22

=−−−+

12. Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira

12

semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros? RESOLUÇÃO: a) NOVOS MEMBROS site A 1a semana 2a semana 3a semana 4a semana 5a semana 6a semana

100 200 400 800 1600 3200 TOTAL 6300

RESPOSTA: O site A espera atrair daqui a 6 semanas 3200 novos sócios, e ter daqui a 6 semanas um total de (150 + 6300) = 6450 sócios. b) NOVOS MEMBROS site B 1a semana 2a semana 3a semana ......................... na semana

100 200 300 100+(n – 1)100 =100n TOTAL

( )

⇒≥−−⇒≥−+⇒≥+

+ 0156nn0780050n50n100002

n100n1002200 22

As raízes da equação 0156nn 2=−− , são 12.'n' e 13n'

2

251

2

62411n =−=⇒

±−=

+±−=

Logo a solução da inequação 0156nn 2≥−− é: n ≤ − 13 ou n ≥ 12.

RESPOSTA: Em 12 semanas.