Verificao de um programa de computador para simulao de escoamentos viscoelasticos

Joana Malheiro*, Paulo J. Oliveira* e Fernando T. Pinho**

* Departamento de Engenharia Electromecnica

Universidade da Beira Interior

Calada Fonte do Lameiro Covilh

Telf: +351 275 329952; e-mail: joanamouramalheiro@gmail.com, pjpo@ubi.pt

** Departamento de Engenharia Mecnica

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Rua Dr. Roberto Frias, 4200-465 Porto

Telf: +(351) 22 508 1597; e-mail: fpinho@fe.up.pt

Resumo Neste trabalho foi investigada a aplicao de um cdigo computacional para fluidos viscoelasticos quando estes

so sujeitos a um escoamento pulsante. O problema

considerado aparentemente simples, dependente do tempo e

de soluo analtica conhecida. O escoamento gerado por um

gradiente de presso oscilante peridico imposto a um

escoamento Poiseuille constante entre duas placas infinitas

paralelas. Os resultados foram obtidos para os modelos

reolgicos Oldroyd-B e UCM, para os quais foi avaliado o

efeito do nmero de elasticidade (E), e expressos no tempo e

no espao. Observamos que a variao do nmero de

elasticidade afecta a velocidade ao longo do tempo e atravs

do canal, dependendo da razo de viscosidadedo modelo.

Dependendo das condies do escoamento, foi obtida boa

concordncia entre os resultados numricos e analticos, no

entanto, em algumas situaes foram necessrios

refinamentos da malha.

1. Introduo

Embora a soluo de problemas no estacionrios de

escoamentos viscoelasticos seja de grande importncia,

quer por muitos escoamentos de interesse ocorrem em

regime varivel, quer devido tendncia dos sistemas no-

newtonianos desenvolverem instabilidades ao longo do

tempo, existe uma lacuna de casos teste capazes de avaliar

o comportamento numrico dos cdigos existentes. No

trabalho de Duarte et al [1], que deu origem presente

investigao, foi verificado que o escoamento pulsante de

fluidos viscoelasticos era vantajoso relativamente ao start-

up para avaliar os cdigos existentes pois: (i) peridico,

por isso, menos sensvel s condies iniciais e os

resultados numrico podem ser verificados a cada perodo;

(ii) no geram choques que do origem a

descontinuidades do gradiente de velocidade; e (iii) o

controlo do erro de discretizao e razo de convergncia

melhor conseguido. No entanto, em Duarte et al [1] o

escoamento pulsante foi estudado apenas para E = 1. No

presente trabalho, o cdigo numrico de simulao foi

aplicado a um escoamento pulsante resultante da aplicao

de um gradiente de presso que varia sinusoidalmente no

tempo sobre um escoamento de Poiseuille constante entre

duas placas infinitas paralelas. Os resultados numricos e

analticos foram obtidos para dois modelos reolgicos

viscoelasticos (Oldroyd-B e UCM) e foram comparados

para diferentes valores de elasticidade, E = 0.01, 0.1, 1, 10

e 100.

Para estudar o efeito da elasticidade, em escoamento

pulsante de fluidos no-newtonianos, foi necessrio

diminuir o tamanho dos passos no tempo quando se

aumentava a elasticicdade devido elevada frequncia

esperada e observada para valores elevados de E.

A velocidade foi analisada no tempo (velocidade no plano

central do canal) e no espao (perfis transversais de

velocidade) para diferentes valores de elasticidade e os

erros de discretizao correspondentes foram avaliados.

2. Equaes de Governo

Em CFD (Computational Fluid Dynamics) a simulao

numrica requer a soluo simultnea de trs equaes: a

equao da continuidade, a equao do movimento e a

equao constitutiva. A equao da continuidade e do

momento linear, na ausncia de foras gravitacionais so

expressas por:

. 0 u e 2s

Dp

Dt

uu (1)

onde u o vector de velocidade local de componentes u e v

que correspondem s coordenadas cartesianas x e y,

respectivamente, para um problema bi-dimensional, p

o gradiente de presso, s

viscosidade do solvente, e o

tensor da tenso elstica. A forma geral da equao

constitutiva, para os modelos viscoelasticos considerados,

pode ser escrita como:

2 pf f

D (2)

mailto:joanamouramalheiro@gmail.commailto:pjpo@ubi.ptmailto:fpinho@fe.up.pt

onde f e f so funes de invariantes de que tomam o

valor de 1f f para os modelos UCM e Oldroyd-B,

D o tensor da taxa de deformao,

a derivada

convectiva superior do tensor das tenses, p

a

viscosidade do soluto polimrico e o tempo de

relaxao. As viscosidades do solvente e do soluto

polimrico esto relacionadas:

0 s p e

0

s r

(3)

onde 0

o coeficiente de viscosidade total, r o tempo de

retardao do fluido e define a contribuio da

viscosidade do solvente, caracterizando a natureza elstica

do fluido, conjuntamente com o tempo de relaxao, . Nas

equaes (1) e (2), quando = 0 a equao constitutiva

Newtoniana recuperada com viscosiadade 0

. Para o

fluido UCM a viscosidade do solvente zero (

0 0s

), i.e., tem apenas a contribuio da

viscosidade polimrica, sendo desprovido de qualquer

termo difusivo explcito na equao da quantidade de

movimento. O modelo Oldroyd-B, que tem a contribuio

das viscosidades de solvente e do polmero em diferentes

propores ( 0 1 ) torna-se uma combinao linear

dos modelos UCM ( = 0) e Newtoniano ( = 1). No

presente problema, que envolve o escoamento em canal

plano em condies completamente desenvolvidas, sujeito

a um gradiente de presso sinusoidal:

1

coss odp

K K tdx

(4)

a equao da continuidade automaticamente satisfeita, a

equao do momento linear reduz-se a:

2

2

xy

s

u dp u

t dx yy

(5)

e a equao constitutiva para a componente de corte da

tenso passa a ser escrita como:

xy

xy p

u

t y

(6)

Na Eq.(4) KO a amplitude do gradiente de presso

oscilante, a frequncia angular da oscilao

correspondendo a um perodo 2 /T , e a magnitude

do gradiente de presso estacionrio s

K . So

consideradas condies de no-escorregamento junto s

paredes do canal, localizadas a y h onde h metade

da altura total do canal,

, 0u y h t , para 0t (7)

e o escoamento inicia-se sob condies quiescentes,

, 0 0u y t , para h y h (8)

Para a resoluo do sistema de equaes todas as variveis

foram usadas na forma adimensional,

/t t T , /y y h

/ su u u onde

2

0/ 3

s su K h

(9)

0/ /

xy xy su h

Os grupos adimensionais mais importantes so o nmero

de elasticidade, o nmero de Womersley e a razo do

gradiente de presso,

= 0

2, =

0 e

(10)

A soluo analtica para a velocidade dada em Duarte et

al [1] e ser usada para comparar com os resultados

numricos obtidos,

2 2

cosh33, 1 Re 1 exp 2

2 cosh

oth

s

ZyKu y t y i it

K Z

(11)

onde

1/ 22

2

1

1

i EZ i

i E

.

O erro de discretizao baseado na norma Euclideana

aplicada velocidade axial, avaliada quer por integrao

na seco transversal do canal ou como valor mdio num

perodo:

21

, ,y i th ii

e t u y t u y tNY

ou 1

( )periodt

e e tN

(12)

Onde uy a soluo numrica numa malha com NY

volumes de controlo com espaamento 1/y NY e Nt o

nmero total de passos no tempo num perodo, com t =

1/Nt.

2. Mtodo Numrico

Foi usado um mtodo implcito de volumes-finitos. As

equaes de governo foram integradas no espao num

volume de controlo atravs do mtodo de diferenas

centradas e no tempo em pequenos passo no tempo atravs

do mtodo dos trs nveis temporais de forma a obter um

sistema de equaes algbricas linearizadas. Ambos os

mtodos so de segunda ordem e so aplicados em malha

com espaamento uniforme na direco de y, onde as

variveis dependentes esto localizadas no centro do

volume de controlo. A equao algbrica linearizada

apresenta a seguinte forma geral,

1 1 1n n nP P N N S Sa a a b

(13)

onde = u ou xy, aP o coeficiente do centro do volume de controlo da clula em questo, aN e aS so os

coeficientes do volume de controlo nas fronteiras norte e

sul, respectivamente, b o termo fonte que incorpora todos

os termos que no esto includos nos coeficientes e o

ndice superior n denota os nveis de tempo. Este sistema

tri-diagonal de equaes foi resolvido com o algoritmo

para matrizes tridiagonais TDMA.

2. Resultados e Discusso

Os resultados obtidos so apresentados e discutidos nesta

seco. Foram considerados dois modelos reolgicos,

Oldroyd-B e UCM, para os quais foi estudado o efeito da

elasticidade no escoamento pulsante para E = 0.01, 0.1, 1,

10 e 100. Os perfis de velocidade numricos e analticos

foram apresentados no tempo e no espao e comparados,

tendo em ateno o refinamento da malha, os erros de

discretizao e convergncia. Os valores da frequncia

adimensional ( = 4.864) e da razo do gradiente de

presso (KO/KS = 2.587) so fixos [1]. Por ser esperada

uma resposta de elevada frequncia para valores elevados

de elasticidade, foram usados diferentes passos no tempo

para os diferentes valores de E. Assim, para E = 0.01, 0.1 e

1 foi usado t = 2 10-2

; para E = 10 foi t = 2 10-4

e

para E = 100 o passo no tempo usado foi t = 2 10-5

.

Para melhorar a preciso dos resultados numricos obtidos

em determinadas condies de elasticidade foram

utilizadas seis malhas diferentes com 100, 200, 400, 800,

1000 e 2000 volumes de controlo, i.e., com espaamentos

de y = 0.02, 0.01, 0.005, 0.0025, 0.002 e 0.001 (para um

domnio no espao de y = -1 a y = +1). Os erros de

discretizao foram calculados apenas quando o

escoamento em regime oscilatrio se encontrava

completamente estabelecido.

A. Incio do escoamento pulsante

O tempo necessrio para o estabelecimento do escoamento

dos fluidos Oldroyd-B e UCM grandemente influenciado

pelo nmero de elasticidade. O estado de escoamento

completamente desenvolvido alcanado apenas para

valores muito elevados de tempo adimensional, este

comportamento ilustrado na Fig.1 onde a evoluo da

velocidade no plano central para os fluidos Oldroyd-B com

= 0.01 e UCM so apresentadas em funo do tempo.

Alm disso a amplitude e o nmero de oscilaes no

arranque do escoamento aumentam significativamente com

a elasticidade. Comparando modelos de fluidos com =

0.01 e 0, Fig.1 b) v-se que a diminuio de leva a

oscilaes com maiores amplitudes e consequentemente

maior tempo at atingir o escoamento completamente

desenvolvido. Estas oscilaes de baixa frequncia so

originadas por uma frente de onda que oscila de parede a

parede atravs do canal no inicio do escoamento.

B. Velocidade no plano central do canal

Os resultados apresentados nesta seco e nas seguintes

so para escoamento completamente desenvolvido obtidos

depois de fazer correr a simulao durante vrios ciclos at

que o ciclo fosse a repetio do anterior. Na Fig.2

apresentada a evoluo da velocidade no plano central

durante um ciclo para diferentes valores de elasticidade (E

= 0.01, 0.1, 1, 10 e 100) usando os modelos reolgicos

considerados. Nos fluidos viscoelasticos, medida que a

a)0 40 80 120

T

0

1

2

3

4

U

Oldroyd-B (=0.01)

E=0.01

E=0.1

E=1

b)0 200 400 600

T

-8

-4

0

4

8

12

U

E=10

Oldroyd-B (B=0.01)

UCM (B=0)

Fig .1. Evoluo da velocidade da linha central ao longo do

tempo durante escoamento pulsante: a) para Oldroyd-B ( = 0.01)

para nmeros de elasticidade diferentes (E = 0.01, 0.1 e 1); b)

para Oldroyd-B ( = 0.01) e UCM ( = 0) para E = 10

razo da viscosidade de solvente reduzida o efeito da

elasticidade torna-se visvel. Independentemente do valor

de , para E = 0.01 todos os fluidos apresentam igual

evoluo da velocidade. Como consequncia do aumento

da elasticidade para E = 0.1 ocorre uma diferena em fase,

que observada em todos os modelos. Quando E = 1 o

efeito da elasticidade passa a depender de . Assim,

embora o fluido Oldroyd-B com = 0.01 (Fig.2 a)) no

seja praticamente influenciado por E (a velocidade

apresenta praticamente a mesma evoluo para E = 0.01, 1,

10 e 100) para = 0.001 (Fig.2 b)) a principal diferena o

aumento das oscilaes em amplitude quando E = 1.

Observando o fluido UCM (Fig.2 c)) a velocidade no plano

central para E = 1 diferente em fase e maior em

amplitude do que para menores valores de E, tendo, no

entanto, um comportamento prximo ao apresentado pelo

fluido Oldroyd-B ( = 0.001). J para E = 10 e 100 mostra

uma reduo e um aumento significativo respectivamente

em termos de amplitude das oscilaes. Para o fluido

Oldroyd-B ( = 0.01) independentemente do nmero de

elasticidade obteve-se boa concordncia entre os resultados

numricos e as solues analticas. Quando diminudo

para 0.001 no se observou concordncia entre os

resultados apenas para E = 1. No entanto, para o fluido

UCM em que = 0 foi obtida concordncia entre os

resultados numrico e analticos apenas para valores de E

baixos (0.01 e 0.1) com a malha mais grossa (y = 1 10-

2). Nas situaes em que a concordncia no foi obtida

com esta malha procedeu-se ao seu refinamento, obtendo-

se resultados em perfeita concordncia usando malha de

espaamento y = 1 10-3

.

a)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

0.5

1

1.5

2

2.5

U

Oldroyd-B (=0.01)E = 0.01

E = 0.1

E = 1

E = 10

E = 100

b)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

0.5

1

1.5

2

2.5

U

Oldroyd-B (=0.001)E = 0.01

E = 0.1

E = 1

E = 10

E = 100

c)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

0.5

1

1.5

2

2.5

U

UCM (=0)E = 0.01

E = 0.1

E = 1

E = 10

E = 100

Fig .2. Evoluo da velocidade na linha central ao longo de um

perodo durante escoamento pulsante: a) e b) Oldroyd-B ( = 0.01

e 0.001); e c) UCM ( = 0) para diferentes nmeros de

elasticidade. Previses numricas com y = 1 10-2 (smbolos

coloridos), y = 1 10-3 (cruzes pretas) e solues analticas

(linhas).

C. Perfis de velocidade no espao

Na Fig.3 est ilustrado o efeito da elasticidade nos perfis

de velocidade para os modelos Oldroyd-B ( = 0.01 e

0.001) e UCM ( = 0) para um tempo angular t = 0.

Pelos resultados obtidos verifica-se que medida que a

razo de viscosidade diminuda a influncia do nmero

de elasticidade aumenta. A ausncia de oscilaes para E =

0.01 e a presena de oscilaes suaves para E = 0.1 um

comportamento geral observado nos modelos de fluidos

viscoelasticos. O fluido Oldroyd-B ( = 0.01) (Fig.3 a))

apresenta, para E = 1, oscilaes visveis, em termos de

amplitude e frequncia, relativamente a menores valores de

E, e para E = 10 e 100 aparecem pequenas oscilaes junto

parede. No modelo Oldroyd-B, para = 0.001 (Fig.3b))

as oscilaes para E = 1 aumentam em termos de

amplitude e para E = 10 e 100 as oscilaes junto parede

propagam-se at uma distncia maior das paredes,

relativamente ao modelo Oldroyd-B ( = 0.01) (Fig.3 a)).

Considerando o fluido UCM (Fig.3 c) e d)) as principais

diferenas residem no aumento da amplitude das

oscilaes para E = 1 (Fig.3 c)), enquanto para E = 10 e

100 (Fig.3 d)) as oscilaes, em vez de se concentrarem

junto parede, propagam-se ao longo de toda a seco

transversal do canal aumentando significativamente a sua

frequncia, embora com muito menores amplitudes.

Os perfis de velocidade foram tambm obtidos para quarto

instantes no tempo durante um periodo oscilatrio com

tempos angulares t = 0, 90, 180 e 270 (Fig.4). De uma

forma geral, os modelos Oldroyd-B revelam um aumento

inicial e depois uma reduo das oscilaes medida que o

numero de elasticidade aumentado de 0.01 a 100,

apresentado maiores oscilaes para E = 1. J o modelo

UCM ( = 0) apresenta uma evoluo diferente que

ilustrada na Fig.4. Os perfis de velocidade para E = 0.01

(Fig.4 a)) no apresenta oscilaes tal como acontece com

os fluidos Newtonianos [1], mas quando o nmero de

elasticidade aumentado para 0.1 aparecem suaves

oscilaes ao longo do canal. Para estes dois valores de E a

influncia do valor de no se faz notar. Para E = 1 a

propagao dos movimentos oscilante esto claramente

espalhados ao longo da seco transversal do canal

apresentando elevada amplitude e uma frequncia bem

estabelecida (4-5 ciclos). Este comportamento em muito

semelhante ao apresentado pelos modelos Oldroyd-B.

Quando E = 10, enquanto que para os modelos Oldroyd-B

as oscilaes no se estendem por toda a seco transversal

do canal mas esto restringidas a uma regio junto parede

do canal, no fluido UCM as oscilaes propagam-se por

toda a seco transversal do canal. Alm disso, a figura

mostra claramente que so necessrias malhas mais finas

para nmeros de elasticidade iguais a 1 e 10 de forma a

conseguir reproduzir numericamente os perfis tericos:

enquanto 200 volumes de controlo (y = 0.01) so

suficientes para E = 0.01 e 0.1, para E = 1 e 10 so

necessrios pelo menos 2000 volumes de controlo (y =

0.001).

D. Erros de discretizao e Convergncia do erro

A distribuio do erro de discretizao ao longo de um

ciclo foi calculado para seis malhas uniformes usando os

diferentes valores de E. Para o valor mais baixo de

elasticidade os erros revelaram um paralelismo regular,

com uma separao constante medida que os

espaamentos da malha so diminudos segundo as y1 =

y2/2, que usual em mtodos de segunda ordem precisos,

e a magnitude do erro aumenta com o nmero de

elasticidade at E = 1, a partir do qual volta a diminuir para

os modelos Oldroyd-B. Alm disso, enquanto que para E =

0.01 o erro menor que 10-3

em todas as malhas, para E =

10 o erro apenas menor do que 10-3

quando usado na

a)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

0

0.5

1

1.5

2

U

Oldroyd-B (=0.01)E = 0.01

E = 0.1

E = 1

E = 10

E = 100

b)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

0

0.5

1

1.5

2

U

Oldroyd-B (=0.001)E = 0.01

E = 0.1

E = 1

E = 10

E = 100

c)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

0

0.5

1

1.5

2

2.5

U

UCM (=0)E = 0.01

E = 0.1

E = 1

d)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

0

0.5

1

1.5

2

2.5

U

UCM (=0)E = 10

E = 100

Fig .3. Perfis de velocidade a t = 0 em regime oscilatrio dos

fluidos: a) e b) Oldroyd-B ( = 0.01 e 0.001), e c) e d) UCM ( =

0). Previses numricas com y = 1 10-2 (smbolos coloridos),

y = 1 10-3 (cruzes pretas) e solues analticas (linhas).

a)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Y

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

U

UCM (=0); E = 0.01analitico

0.01

= 180 = 270

= 90

= 0/360

b) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Y

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

U

UCM (=0); E = 0.1analitico

0.01

= 180

= 270

= 90 = 0/360

c)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Y

0

0.5

1

1.5

2

2.5

U

UCM (=0); E = 1analitico

0.01

0.001

= 0/360

= 180

= 90

= 270

d)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Y

0

0.5

1

1.5

2

2.5

U

UCM (=0); E = 10analitico

0.01

0.001

= 180

= 270

= 90

= 0/360

Fig .4. Resultados numricos (smbolos) e analticos (linhas) dos

perfis de velocidade do fluido UCM ( = 0) em regime oscilatrio

durante um ciclo para diferentes valores de E. Os resultados

numricos foram obtidos com espaamentos de y = 1 10-2

(azul) e y = 1 10-3 (laranja).

malha o espaamento y = 1 10-3

. A razo de

convergncia do erro mdio num ciclo calculado pela

Eq.(12) obtida para os diferentes modelos para diferentes

valores de elasticidade num perodo so ilustrados na Fig.5

como smbolos tal como as respectivas linhas de tendncia,

obtidas pela eq. da lei de potncias. Os grficos da Fig.5

mostram que a magnitude do erro diminui com o

refinamento da malha para todas as situaes,

apresentando, no entanto numa razo de convergncia de p

= 2.01 apenas quando E 1 de acordo com a segunda

ordem do mtodo numrico aplicado. Quando E = 10 a

ordem de convergncia diminui para aproximadamente p =

1.7 para o modelo Oldroyd-B e para p = 1.5 para o UCM.

Verifica-se tambm que para todos os fluidos a magnitude

do erro aumenta medida que E aumenta at E = 1

diminuindo, no entanto, para valores superiores a 1. O erro

aumenta tambm com a diminuio de .

3. Concluses

O problema de escoamento pulsante iniciado por Duarte et

al [1] aqui estendido para vrios valores de elasticidade.

A anlise de escoamentos de fluidos viscoelasticos

comeou com a avaliao do escoamento durante o regime

transiente at que o escoamento completamente

desenvolvido fosse atingido. Aqui, ao aumentar o numero

de elasticidade, foi necessrio mais tempo para atingir o

escoamento completamente desenvolvido e oscilaes com

maior comprimento de onda do que o imposto pelo

gradiente de presso sinusoidal, aumentando

significativamente em amplitude e frequncia. Foi tambm

mostrado que medida que tende para zero as oscilaes

da propagao de onda tambm aumentam em frequncia e

amplitude. Depois, a influncia de E foi analisada durante

um perodo atravs da observao da evoluo da

velocidade no plano central do canal. medida que

tende para zero o valor de E, nomeadamente para E 1,

tende a ter maior importncia na evoluo da velocidade.

Observou-se tambm que para o modelo Oldroyd-B apenas

se obteve boa concordncia entre os resultados numricos

e analticos com malhas y = 0.01. Por outro lado, para o

fluido UCM foi necessrio aplicar malhas mais refinados

(y = 0.001) para obter concordncia entre os resultados,

para valores E 1. Os perfis de velocidade foram

apresentados em metade do canal, primeiro para t = 0 e

depois em quatro momentos diferentes no tempo, ao longo

de um perodo, variando E. Foi observado que medida

que a elasticidade aumenta de 0.01 para 1 ocorrem

oscilaes transversas, que aumentam em termos de

amplitude at E = 1, e diminuem depois at E = 100. Em

concordncia com [1] foi observado que medida que a

elasticidade aumentada e diminudo a preciso dos

resultados numricos deteriora-se, e por isso so

necessrios maiores refinamentos da malha e do passo no

tempo para aumentar a preciso.

a)0.001 0.01 0.1

y

1E-007

1E-006

1E-005

0.0001

0.001

0.01

0.1

e

Oldroyd-B ( = 0.01)E = 0.01

E = 0.1

E = 1

E = 10

b) 0.001 0.01 0.1

y

1E-007

1E-006

1E-005

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

e

Oldroyd-B ( = 0.001)E = 0.01

E = 0.1

E = 1

E = 10

c) 0.001 0.01 0.1

y

1E-007

1E-006

1E-005

0.0001

0.001

0.01

0.1

1e

UCM ( = 0)E = 0.01

E = 0.1

E = 1

E = 10

Fig .5. Grficos de convergncia para escoamento pulsante dos

modelos de fluidos Oldroyd-B e UCM para valores diferentes de

elasticidade.

Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer Fundao para a

Cincia e Tecnologia pelo apoio financeiro atravs do

projecto PTDC/EME-MFE/70186/2006.

Referncias

[1] A.S.R. Duarte, A.I.P. Miranda, P.J. Oliveira, Numerical and analytical modeling of unsteady viscoelastic flows: The start-up and pulsating test case problems, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 154: 153169, 2008.