r i 1 v p vrt p gh ! µ a m vol -...

Formulário MF FTP/ASS

1

Propriedades dos fluidos

Lei de Newton da viscosidade

Tensão de corte: dy

du

A

Fµ! ==

Taxa de deformação de corte: dudy

Escoamento de Couette: yh

Vu =

Viscosidade (µ)

Viscosidade cinemática: !

µ" =

Massa específica (ou volúmica) Vol

m=!

Volume específico: !

1=v

Hipótese do meio contínuo N = NAv !"L3

M

Nº de Avogadro: NAv = 6.022 !1026 moléculas/kmol

N : nº de moléculas

M : massa molecular [kg/kmol]

L : dimensão do VC

Densidade: d =!

!ref

Referências:

Líquidos - água (4°C; 1 atm): ρref=1000 kg/m3

Gases - ar (20°C; 1 atm): ρref =1,2 kg/ m3 Peso específico: ! = "g

Lei dos gases perfeitos: p = !RT Constante do gás:

R =R

M

R=8314,510 m2/s2K

R = cp ! cv cp - calor específico a pressão constante

cv - calor específico a volume constante

! =cp

cv - razão de calores específicos

Equação de estado para líquidos: p

pB+ C

1+ C=

!!B

"

#

$ $

%

&

' '

7

p em [bar], ρB - massa volúmica à pressão pB

Para água: p + 3000

3001=

!1000

"

# $

%

& '

7

Efeito da temperatura sobre a viscosidade

Gases (eq. de Sutherland): µ =KT

3/2

T + C

Líquidos: µ = µ0 exp CT0

T!1

"

# $

%

& '

(

) *

+

, -

Compressibilidade: P!

!"

"#

1=

Módulo de elasticidade: !

1=K

Velocidade do som: c2=dp

d!s

=Ks

!

Para gases perfeitos: RTc !=

Tensão superficial (! ): força na interface por unidade de comprimento Equilíbrio estático numa gota de líquido !p =

2"

R

Hidrostática Equação fundamental da hidrostática:

gdz

dp!"= z – altura

Fluido de massa específica constante:

)( 1212 zzgPP !!=! "

Impulsão (peso do fluido deslocado)

gVI f!=

Oceano:

p + 3000

3001=

!1000

"

# $

%

& '

7

Manómetro ‘U’ )( !! "=# mghP

Efeito da tensão superficial (

! ) no nível de um tubo de diâmetro D:

h =4! cos"

#gD

Atmosfera terrestre:

Troposfera (0 a z = 11 km): zTT !"=0

k=6,5×10-3 °C/km

Estratosfera (z = 11 a 20.1 km): T constante

Mesosfera inferior (z = 20.1 a 32.2 km):

p

ps=

T

Ts

!

" #

$

% &

'g (R

k=1×10-3 °C/km Ts=216,5 K ps=0,0548 bar


2

Forças em superfícies planas Força resultante:

F = pCGA

Posição do centro de pressões:

xCP = !"gsin#Ixy

pCGA

yCP = !"gsin#Ixx

pCGA

Áreas, momentos e produtos de inércia de várias superfícies

Elipse de raio menor R e raio maior L:

A = !RL

Sistema de eixos x-y centrado no centro de massa da elipse

Momento de inércia:

Ixx =!R

3L

4

Ixy = 0


3

Cinemática de escoamentos

Definição de velocidade:

V =ds

dt

Definição de aceleração:

a =dV

dt=!V

!t+V

!V

!s = aceleração local + aceleração convectiva

Derivada total (propriedade genérica, P): ( )PVt

P

dt

dP!+

"

"=

!!. com kwjviuV

!!!!++=

Ex: kajaiadt

Vda zyx

!!!!

!++==

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

duax

!

!+

!

!+

!

!+

!

!==

Equação da continuidade (conservação da massa) [ ] [ ]VC

siei

dt

dmmm !"

#$%

&=' (( !!

Caudal mássico: Avm !=! Caudal volúmico: AvV =! Vm !! !=

Velocidade média (ou de caudal): A

m

A

VvdA

Av

A!!!

=== "1

Equação de Bernoulli e aplicações

Eq. de Euler ds

dvv

ds

dp

ds

dzg !! =""

Eq. de Bernoulli

.2

1 2constvgzp =++ !!

ou .2

2

constzg

v

g

p=++

!

Eq. de Bernoulli com bomba e turbina intercaladas

TurbBomba pgzvppgzvp !+++=!+++2

2

221

2

11

2

1

2

1""""

TurbBomba hzg

v

g

phz

g

v

g

p+++=+++

2

2

22

1

2

11

22 !!

Potência (máquina): VghW maqmaq!! != VpW maqmaq

!! !=

Geral:

perdasTurbBomba hhzg

v

g

phz

g

v

g

p++++=+++

2

2

22

1

2

11

22 !!

Medição de caudal (venturi, placa-orifício)

teodVCV !! = Cd - coeficiente de descarga

Caudal teórico: )1(

242

!" #

$=

pAVteo

!

1

2

D

D=!

D1 - diâmetro da conduta

D2 - diâmetro da garganta do dispositivo

Coeficientes de descarga

Venturi:

Cd ! 0.9858" 0.196#4.5

para

1.5!105

< ReD1< 2!10

6 ; 78.032.0

1

2<=<

D

D!

Placa-orifício:

Tomadas adjacentes: 75,05,281,2

Re71,91184,00312,05959,0!

+!+=Dd

C """

Tomadas D-D/2:


4

75,05,23

4

4

81,2

Re71,9101584,0

1039,0184,00312,05959,0

!+!

!+!+=

D

dC

""

"

"""

Conservação do momento (qdm) linear (regime permanente)

)( vmdt

d

dt

vdmamF

!!

!!=== )( 12 xxx

vvmF != ! )( 12 yyy vvmF != !

ligaçãoviscosasgravíticaspressãoext FFFFF!!!!!

+++=! !"=

SC

relp dAnpF!!

[ ] [ ] xligxvxgxpexiisxiixext FFFFvmvmF,,,,,,,

+++=!= """ !!

[ ] [ ] yligyvygypeyiisyiiyext FFFFvmvmF,,,,,,,

+++=!= """ !!

Conservação do momento angular (regime permanente)

( ) ( )1212

vrmvrmHHMext

!!"

!!"

!!!!"!="=#

2- Análise Dimensional


5

Escoamentos em condutas

Regime laminar 2300Re <==!µ

" vDvD (*)

Zona de desenvolvimento: Re06,0!D

Le

Regime turbulento: 2300Re >==!µ

" vDvD (*)

Zona de desenvolvimento: 6/1Re4,4!

D

Le

(*) – valor de referência; na prática a transição ocorre para valores de Re entre 2000 e 4000.

Perda de carga em condutas fhzg

v

g

pz

g

v

g

p+++=++

2

2

22

1

2

11

22 !!


6

Eq. Darcy-Weisbach: g

v

D

Lfh f

2

2

=

Factor de fricção de Darcy: 2

8

vf w

!

"=

Regime laminar:

Perfil: !!"

#$$%

&'=

22

44

1)( r

D

L

ghru

f(

µ

Tubos: DRevD

f6464

==!

µ

4

128

Dg

VLhf

!"

µ !

=

Regime turbulento: Condutas lisas:

Perfil: 0,5)(

ln41,0

1 *

*+

!=

"

rRu

u

u

Veloc. de fricção ou de atrito: !

"w

u =*

Veloc. média: 34,1ln44,2

*

*+=

!

" Ru

u

v

Prandtl: ( ) 8,0log0,21

!= fRef

D

Blasius: 4/1316,0

!" DRef (4000 < ReD < 105)

Eq. de Colebrook-White (atende à rugosidade):

!!"

#$$%

&+'=

7,3

/51,2log0,2

1 D

fRef D

(

Diagrama de Moody


7

Condutas de secção não-circular

Diâmetro hidráulico:

P

ADh

4= P – perímetro molhado

Eq. de Darcy-Weisbach:

h f = fL

Dh

V2

2g

Cálculo de f: )/,(Re hDh Dff !=

Coeficiente de Darcy:

f =8!w

"V 2

Regime laminar: Usar diâmetro efectivo:

f =64

ReDef

Regime turbulento: Usar diâmetro hidráulico (DH) na equação de Colebrook-White

Obs: alternativa mais rigorosa - recurso à noção de diâmetro efectivo.

Diâmetro efectivo (Def): conduta rectangular de lados a e b b a Def DH b a Def DH

0 64 96 0.25 64 72.93

0.05 64 89.91 0.4 64 65.47

0.1 64 84.68 0.5 64 62.19

0.125 64 82.34 0.75 64 57.89

0.167 64 78.81 1.0 64 56.91

Diâmetro efectivo (Def): triângulo isóscele de ângulo 2!

2! [°] Def DH 2! [°] Def DH

0 64 48 50 64 52

10 64 51.6 60 64 51.1

20 64 52.9 70 64 49.5

30 64 53.3 80 64 48.3

40 64 52.9 90 64 48

Perdas de carga localizadas

Coeficiente de perda de carga localizada (definição): 2/2/

22 v

p

gv

hK locloc

!

"==

Coeficiente de perda de carga localizada para entradas em condutas Entrada reentrante Bordos afiados Bordos ligeiramente

arredondados Bordos bem

arredondados 0.78 0.4 a 0.5 0.2 a 0.25 0.05

Coeficiente de perda localizada para válvulas, joelhos e tês Roscado Flangeado

Diâmetro nominal [mm] [inc]

12.7 ½

25.4 1

50.8 2

101.6 4

25.4 1

50.8 2

101.6 4

203.2 8

508 20

Válvulas abertas: Globo 14 8.2 6.9 5.7 13 8.5 6.0 5.8 5.5 Gaveta 0.30 0.24 0.16 0.11 0.80 0.35 0.16 0.07 0.03 Anti-retorno 5.1 2.9 2.1 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 Ângulo 9.0 4.7 2.0 1.0 4.5 2.4 2.0 2.0 2.0 Joelhos 45° regular 0.39 0.32 0.30 0.29 45° raio longo 0.21 0.20 0.19 0.16 0.14 90° regular 2.0 1.5 0.95 0.64 0.50 0.39 0.30 0.26 0.21 90° raio longo 1.0 0.72 0.41 0.23 0.40 0.30 0.19 0.15 0.10 180° regular 2.0 1.5 0.95 0.64 0.41 0.35 0.30 0.25 0.20 180° raio longo 0.40 0.30 0.21 0.15 0.10 Tês Em linha 0.90 0.90 0.90 0.90 0.24 0.19 0.14 0.10 0.07 Em ramal 2.4 1.8 1.4 1.1 1.0 0.80 0.64 0.58 0.41

Contracções e expansões súbitas (regime turbulento): !!"

#$$%

&'=

2

2

.142,0D

dKcont

2

2

2

.exp 1 !!"

#$$%

&'=D

dK


8

Coeficiente de perda de

carga localizada em

curvas

Altura de sucção de uma bomba (NPSH) – Condição de não cavitação:

fabricreq

sat

BrefrefB

refref

instdisp NPSHg

phzz

g

v

g

pNPSH ,

2

, )(2

!""""+= #$$

ref – ponto arbitrário a montante da bomba ; B – ponto imediatamente antes da bomba

Curva característica de uma instalação simples: ! ""#

$%%&

'++(+(= i

i

ii

iinst K

D

Lf

g

VzzppH

2)()(

2

1212

Escoamentos exteriores

Coeficientes: arrasto c

D

D

AU

FC

22/1 !

= sustentação p

L

LAU

FC

22/1 !

=

atrito 2

2/1 Uc wf

!

"=

Placa plana

!µ

" UxUx

x==Re

!µ

" ULUL

L==Re

Perfil laminar: 2

22),(

!!

yy

U

yxu"#

(L): x

x Re

0,5=

! (T):

7/1Re

16,0

xx=

!

(L): L

DC

Re

328,1= (L):

x

fcRe

664,0=

Regime (T) e CL turbulenta desde x= 0:

7/1

Re

031,0

L

DC =

7/1Re

027,0

x

fc =

Regime (T) com inclusão da zona (L): 5

7/1105Re

Re

1440

Re

031,0!="#=

trans

LL

Dc

6

7/1103Re

Re

8700

Re

031,0!="#=

trans

LL

Dc

Placa plana Efeito da rugosidade (L/ε)


9

Asa

Razão de esbelteza “Aspect Ratio”:

AR !b2

Ap

=b

c

Área: cbAp =

Envergadura finita (correcções):

AR

CC

L

L

/21

,

+=

! AR

CCC

L

DD

.

2

,!

+="

a) b)

Variação de CD com o número de Reynolds; a) corpos quasi-bidimensionais; b) corpos tri-dimensionais

CD para escoamentos em torno de alguns corpos bidimensionais para, Re ≥ 104

Forma CD baseado na área frontal



Cilindro quadrado

2.1

1.6

Metade de cilindro

1.2

1.7

Placa

Placa junto a parede

2.0

1.4

Metade de conduta

1.2

2.3

Triângulo equilátero

1.6

2.0

Hexágono

1.0

0.7


L/H

0.5

1.0

2.0

4.0

6.0 Frente arredondada

L CD 1.16 0.90 0.70 0.68 0.64

L/H

0.1

0.4

0.7

1.2

2.0

2.5

3.0

6.0

Frente plana

L

H

CD 1.9 2.3 2.7 2.1 1.8 1.4 1.3 0.9

Cilindro elíptico 1:1

2:1

4:1

8:1

Laminar Turbulento 1.2 0.3 0.6 0.2 0.35 0.15 0.25 0.1


10

Forma CD baseado

na área frontal



Cilindro quadrado de cantos

arredondados

R D

CD

0 2.2

0.02 2.0

0.17 1.2

0.33 1.0

Triângulo equilátero de lados

arredondados R

R D

CD

0 1.4

0.02 1.2

0.08 1.3

0.25 1.1

Triângulo equilátero de lados

arredondados R

R D

CD

0 2.1

0.02 2.0

0.08 1.9

0.25 1.3

Perfil em Tê

1 .8

1.65

Perfil em I

D

2.05

Perfil em ângulo

D

1 .98

1.82

CD para corpos tridimensionais para Re ≥ 104

Forma CD basead

o na área

frontal


Cubo

Copo

Disco

Paraquedas (baixa

porosidade)

Homem

1.07

0.81

0.4

1.4

1.17

1.2

CDA = 0.00836

m2

CDA = 0.00111

m2

Cone

!

Cilindro curto, Regime laminar

L

D Antena parabólica

porosa

Coníferas

Cilindro da base plana

L

D

! [°] 10 20 30 40 60 75 90

CD 0.30 0.40 0.55 0.65 0.80 1.05 1.15

L D 1 2 3 5 10 20 40

!

CD 0.64 0.68 0.72 0.74 0.8

2

0.91 0.98 1.20

Porosidade 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

CD 1.42 1.33 1.20 1.05 0.95 0.82

CD 0.95 0.92 0.90 0.86 0.83 0.80

U [m/s] 10 20 30 40

CD 1.2±0.2 1.0±0.2 0.7±0.2 0.5±0.2

L D 0.5 1 2 4 8

CD 1.15 0.90 0.85 0.87 0.99

Placa

rectangular

hh

b

b h 1 5 10 20

!

CD 1.18 1.2 1.3 1.5 2.0

Elipsóide

D

L

L D 0.75 1 2 4 8

CD

lam 0.5 0.47 0.27 0.25 0.2

CD

turb 0.2 0.2 0.13 0.1 0.08

r i 1 v p vrt p gh ! µ a m vol -...

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