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MÉTODOS NUMÉRICOS

MIEEC, FEUP

http://www.fe.up.pt/∼faf/mnum

Fernando Fontes 2008/2009

MIEEC (FEUP) MÉTODOS NUMÉRICOS 1 / 458

Conteúdo

Conteúdo I

1 ErrosValores exacto e aproximadoSistemas de vírgula flutuanteAritmética em representações finitasPropagação de erros no cálculo de funçõesErro no cálculo de sériesExercícios

2 Equações não LinearesMétodo das bissecções sucessivasMétodo da falsa posiçãoMétodo iterativo simplesMétodo de NewtonMétodo da SecanteOrdem de convergência: definiçãoRaízes de Polinómios

3 Sistemas de equações não linearesMIEEC (FEUP) MÉTODOS NUMÉRICOS 2 / 458

Conteúdo

Conteúdo II

Método iterativo simplesMétodo de Newton

4 Aproximação de funçõesAproximação dos mínimos quadradosAproximação em espaços vectoriaisSistemas Sobredeterminados

5 Interpolação polinomialPolinómio interpolador: unicidade e existênciaForma de LagrangeForma de Aitken-NevilleForma de NewtonDiferenças divididasDiferenças fiinitasInterpolação directa e inversaDupla interpolaçãoErro de interpolaçãoMIEEC (FEUP) MÉTODOS NUMÉRICOS 3 / 458

Conteúdo

Conteúdo III

Splines6 Integração numérica

Regra dos trapéziosRegra de SimpsonIntegração de Romberg

7 Sobre normas de vectores e matrizesNorma de um vectorNorma de uma matriz

8 Sistemas de equações linearesEliminação gaussianaEstratégias de pivotaçãoErro e resíduo de uma solução aproximadaPerturbações no sistema de equaçõesMétodos iterativosInversão de matrizes

9 Integração de Equações diferenciaisMIEEC (FEUP) MÉTODOS NUMÉRICOS 4 / 458

Conteúdo

Conteúdo IV

Problema de valor inicialMétodos de EulerMétodo de TaylorConsistência e ConvergênciaMétodos de Runge-KuttaSistemas de equações diferenciaisEquações diferenciais de ordem n


Apresentação

Docentes

C. Mendonça e [email protected]

Manuel J. [email protected]

M. Joana [email protected]

Fernando A. [email protected]

Agradecimentos aos anteriores docentes Aníbal Matos e Miguel Gomespelo material disponibilizado.


Apresentação

Métodos Numéricos (Análise Numérica, Computação Numérica, ...)

Trata do estudo de métodos que permitam obter soluções aproximadas deproblemas com um esforço computacional razoável.

Está na fronteira entre a Matemática e Ciências de Computação.


Apresentação

Objectivos da disciplina

Dotar os alunos da capacidade de aplicar criteriosamente técnicasnuméricas para a resolução de problemas de engenharia, o que exige:

1 compreender os fundamentos dos métodos

2 saber aplicar os métodos, recorrendo aprogramaçãocalculadorasaplicações computacionais


Apresentação

Importância da disciplina

Um computador é uma útil e poderosa ferramenta de cálculo de umEEC.Logo, é importante que ele conheça as potencialidades e fundamentosdos métodos utilizados ...Mas também as limitações desses métodos.

Exemplos de desastres devido ao uso incorrecto de métodos numéricos:

The explosion of the Ariane 5 rocket just after lift-off on its first voyage onJune 4, 1996, was ultimately the consequence of a simple overflow.

The Patriot Missile failure, in Dharan, Saudi Arabia, on February 25, 1991which resulted in 28 deaths, is ultimately attributable to poor handling ofrounding errors.

The sinking of the Sleipner A offshore platform in Gandsfjorden, Norway, onAugust 23, 1991, resulted in a loss of nearly one billion dollars. It was foundto be the result of inaccurate finite element analysis.

fonte/mais info: http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/MIEEC (FEUP) MÉTODOS NUMÉRICOS 9 / 458

http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/

Apresentação

Programa

Erros e representações numéricasEquações não linearesSistemas de equações não linearesSistemas de equações linearesAproximação de funçõesInterpolação polinomialIntegração numéricaIntegração de Equações diferenciais


Apresentação

É expectável

Conhecimentos prévios de Matemática⇒ derivação e integração, série de Taylor⇒ matrizes, sistemas de equações⇒ maturidade matemática (facilidade na manipulação de expressões,

saber ler e escrever matemática)Conhecimentos prévios de Programação⇒ entrada e saída de dados, passagem de parâmetros⇒ ciclos e “arrays”Estudo/Trabalho⇒ 8 horas/semana para esta UC (4 de aulas)


Apresentação

Aulas teóricas

⇒ 2×1 horas por semana

exposição e discussão da matériaapresentação de exemplos ilustrativosesclarecimento de dúvidas


Apresentação

Aulas teórico-práticas

⇒ bloco de 2 horas por semana⇒ começam na semana de 9 de Março⇒ salas de PCs⇒ plano anunciado antecipadamente

programação de métodos numéricosem linguagem Cgrupos de 2 alunos

resolução de exercícios pelos alunos


Apresentação

Ferramentas

Uso obrigatóriocalculadora científicacompilador de C

Uso incentivadoaplicações de cálculo numérico e simbólico

MatlabMaple. . .

folha de cálculo


Apresentação

Avaliação: distribuída com exame final

Exame Final (E)

Programas e Problemas (P)A resolver nas aulas TP

Trabalhos de Programação (4)(grupos 2 alunos, duração 1,5 h)Resolução de problemas (5)(individualmente, duração 30 min)

De entre os 4 programas + 5 problemas só contam para nota os 7 melhores.


Apresentação

Classificação

A classificação final é

F = (0.1 + 0.01E ) · P + (0.9− 0.01E ) · E

Motivação: a nota da avaliação prática vale tanto mais quanto melhor fora nota do exame!


Apresentação

Obtenção de frequência

não exceder o limite de faltas às aulas TP;

obter pelo menos 6 valores na componente de trabalhos deprogramação e resolução de problemas


Apresentação

Bibliografia e material de apoio

A. Matos, “Apontamentos de Análise Numérica”, FEUP.S. Conte & C. de Boor, “An Introduction to Numerical Analysis”,McGraw-Hill.E. Fernandes, “Computação Numérica”, U. Minho.H. Pina, “Métodos Numéricos”, McGraw-Hill.R. Burden & J. Faires, “Numerical Analysis”, Brooks Cole.W. Cheney & D. Kincaid, “Numerical Mathematics and Computing”,Brooks Cole.


Apresentação

Páginas disciplina

Página do SIFEUP e http://www.fe.up.pt/∼faf/mnum/“Apontamentos de Análise Numérica”Folhas de problemas (alguns resolvidos)Testes de anos anterioresExercícios de programação de anos anteriores

Informação sobre funcionamentoplano das aulassumáriosclassificações. . .


Erros

Um novo capítulo ...

1 Erros

2 Equações não Lineares

3 Sistemas de equações não lineares

4 Aproximação de funções

5 Interpolação polinomial

6 Integração numérica

7 Sobre normas de vectores e matrizes

8 Sistemas de equações lineares

9 Integração de Equações diferenciais


Erros

1. Erros e representações numéricas

O que significa 1.2±0.1 ou 1.2±5%?

1.3 e 1.30 têm o mesmo significado?

Porque razão a operação 1 + 10−20 tem resultado 1 nas máquinascalculadoras?

Porque nem sempre (a + b) + c é igual a a + (b + c) ?

Como minimizar as consequências da precisão finita?

Que precisão terá sinα se α tiver uma precisão de 2o?

Quantos termos devemos usar para calcular 5 dígitos de√2 através de uma

série?


Erros Valores exacto e aproximado

Vamos agora ver ...












Valores exacto e aproximado

Valor exacto: xValor aproximado: x∗

Erro (de aproximação): ∆x∗ = x − x∗

x x*

Δx*

Aproximaçãopor defeito: x∗ < x ⇔ ∆x∗ > 0por excesso: x∗ > x ⇔ ∆x∗ < 0



Erro absoluto

Erro absoluto: |∆x∗| = |x − x∗|

Erro máximo absoluto: um majorante do erro absoluto

ε : |∆x∗| ≤ ε

Notação:x = x∗ ± ε ⇔ x ∈ [x∗ − ε, x∗ + ε]

Exemplo: π = 3.14± 0.002 ⇔ π ∈ [3.138, 3.142]



Erro relativo

Erro relativo:|∆x∗||x | ou aproximadamente

|∆x∗||x∗|

→ exprime-se habitualmente em percentagem

Erro máximo relativo: um majorante do erro relativo

ε′ =ε

|x | 'ε

|x∗|

Notação: x = x∗ ± (100ε′)% ⇔ x ∈ [x∗(1− ε′), x∗(1 + ε′)]

Exemplo: x = 2.0± 5% ⇔ x ∈ [1.9, 2.1]



Notação científica

Notação científica na base 10 de x ∈ R

x = ±dndn−1 · · · d1d0.d−1d−2d−3 · · · × 10e

mantissa: dndn−1 . . . d1d0.d−1d−2d−3expoente: e ∈ Z

Dígitos da mantissa: di ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}



Mantissa com n algarismos

E se a mantissa for d1d2 · · · dndn+1dn+2 · · · ?

Truncaturaignoram-se algarismos a partir do índice n + 1

Arredondamentose 0.dn+1dn+2 . . . > 0.5 soma-se uma unidade à casa n para(arredondar para cima)se 0.dn+1dn+2 . . . < 0.5 mantém-se a casa n (arredondar para baixo)se 0.dn+1dn+2 . . . = 0.5 arredonda-se para cima ou para baixo ficandoa casa n par (por vezes também se arredonda para cima)



Notação compacta para aproximações

Como simplificar a notação x = x∗ ± ε ?

Majorar erros absolutos por 0.5× 10n e representar a aproximação até àcasa decimal 10n.

Os algarismos da mantissa (com excepção dos zeros à esquerda)designam-se algarismos significativos.

Procedimento1 majoração de ε por um número da forma 0.5× 10n

2 arredondar x∗ para a casa 10n



Algarismos significativos e erro relativo

x∗ ε Intervalo Alg. significativos ε′

2.24 0.005 [2.235, 2.245] 3 2.2× 10−32.240 0.0005 [2.2395, 2.2405] 4 2.2× 10−4

1.5× 102 5 [145, 155] 2 3.3× 10−20.1× 103 50 [50, 150] 1 5× 10−11.00× 10k 0.005× 10k [0.995× 10k , 1.005× 10k ] 3 5× 10−3



Algarismos significativos e erro relativo

Teorema

Seja x 6= 0. Uma aproximação de x com n algarismos significativos tem umerro relativo inferior a 5× 10−n.


Erros Sistemas de vírgula flutuante

Vamos agora ver ...












Sistemas de vírgula flutuante FP(β, n,m,M)

Números representáveis: x = ±(0.d1d2 · · · dn)× βe

β base de representaçãon número de dígitos da mantissa (precisão)m,M expoentes mínimo e máximo (gama representável)

Sistema normalizado: x = 0 ∨ d1 6= 0



Vírgula flutuante: números representáveis

0 rmin rmax−rmin−rmax

gama representávelgama representável

underflowoverflowoverflow



Vírgula flutuante: algumas limitações

aproximação de números não representáveis→ arredondamento→ truncatura⇒ erros de representação

x , y ∈ FP ; x ◦ y ∈ FP⇒ erros de representação

underflow e overflow⇒ impossibilidade de representação



Vírgula flutuante

Versões do mesmo sistema FP(β, n,m,M) podem diferir:aproximação de números não representáveistratamento de excepçõesalgoritmos de cálculo. . .

Desvantajoso em termos derepetibilidade de resultadosportabilidade de códigovalidação de resultados

Norma IEEE 754


Erros Aritmética em representações finitas

Vamos agora ver ...











Erros Aritmética em representações finitas

Aritmética em representações finitas

ordem de realização de operações associativas pode influenciarresultado: (a ◦ b) ◦ c ?

= a ◦ (b ◦ c)Ex: 1 + 0.24 + 0.14 com 2 dígitos.

cancelamento aditivo: a + b com a� b ou a� b→ problemas com somas de muitas parcelas

cancelamento subtractivo: a − b com a ≈ b→ podem perder-se algarismos significativos→ podem conduzir a erros elevados→ possível minorar rearranjando cálculos

Ex: 1.16− 1.04 com 2 dígitos.


Erros Propagação de erros no cálculo de funções

Vamos agora ver ...












Propagação de erros no cálculo de y = f (x)

x∗ valor aproximado de x . Como aproximar y = f (x)?

Será y∗ = f (x∗) uma boa aproximação?

f contínua: x∗ próximo de x ⇒ y∗ próximo de y

x x*

y*

y

f



Estimação do erro de y∗ = f (x∗)

x x*

y*

y

f

f de variação lenta

x x*

y*

y

f

f de variação rápida

∆y∗ = y − y∗ = f (x)− f (x∗) = f (x∗ + ∆x∗)− f (x∗)

Majorante para o erro absoluto da aproximação y∗ de y

εy = |f ′||max · εx



Propagação de erros: exemplo

Calcular um valor aproximado de y = sin x e o correspondente erro máximoabsoluto quando x ≈ 0.57, isto é, x = 0.57± 0.005.



Erro relativo no cálculo de y = f (x)

Majorante para o erro relativo de y∗ = f (x∗)

ε′y =

∣∣∣∣f ′(x) · xf (x)

∣∣∣∣max· ε′x

∣∣∣ xf ′(x)f (x)

∣∣∣ designa-se número de condição de f em x .

→∣∣∣ xf ′(x)f (x)

∣∣∣ reduzido: a função diz-se bem condicionada

→∣∣∣ xf ′(x)f (x)

∣∣∣ elevado: a função diz-se mal condicionada



Propagação de erros: exemplo

Quantos dígitos significativos se podem perder no cálculo da funçãoy = tan(x) quando x está próximo de 1? E quando x está próximo de 1.5?



Erro no cálculo de y = f (x1, x2, . . . , xn)

x∗i valor aproximado de xi , com erro máximo absoluto εxi .

y∗ = f (x∗1 , x∗2 , . . . , x

∗n ) aproxima y = f (x1, x2, . . . , xn)

com erro máximo absoluto

εy =n∑

i=1

(∣∣∣∣ ∂f∂xi∣∣∣∣max· εxi

)

e erro relativo máximo

ε′y ≤n∑

i=1

(∣∣∣∣ ∂f∂xi · xif∣∣∣∣max· ε′xi

)

Nota: os máximos são determinados em∏n

i=1[xi − εxi , xi + εxi ]



Propagação de erros: exemplos

1 Calcular majorante para o erro absoluto de s = a + b em função doserros máximos absolutos de a e de b.

2 Calcular o erro máximo relativo w = xyz a partir dos erros máximosrelativos em x , y e z .


Erros Erro no cálculo de séries

Vamos agora ver ...












Cálculo de séries: erro de truncatura

Quando se aproxima a série

S =∞∑i=0

ai

pela soma finita

Sn =n∑

i=0

ai

aparece o erro de truncatura

Rn = S − Sn



Erro de truncatura em séries alternadas

Teorema

Seja a sucessão {an}∞n=0 decrescente e de termos não negativos, isto é,a0 ≥ a1 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . ≥ 0.Estão a série

∑∞i=0(−1)iai é convergente para um número S.

Verifica-se ainda que a soma parcial Sn =∑n

i=0(−1)iai satisfaz

|S − Sn| ≤ an+1,

ou seja, o erro de truncatura é, em valor absoluto, inferior ou igual aoprimeiro termo não considerado.



Erro de truncatura: exemplo de série alternada

A série alternada1− 1

3+

15− 1

7+

19− · · ·

é convergente para o valor π4 .

Determinar quantos termos são necessários para calcular este valor com umerro inferior a 10−4.



Série de Taylor: erro de truncatura

Desenvolvimento de Taylor da função f em torno de x0

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + · · ·+ f (n)(x0)(x − x0)n

n!︸︷︷︸ +Rx0,n(x)

Px0,n(x)

onde Rx0,n(x) = f (n+1)(x0 + (x − x0)θ) (x−x0)n+1

(n+1)! , θ ∈ [0, 1].

O erro de truncatura de f (x) ≈ Px0,n(x) é Rx0,n(x).

Este desenvolvimento pode ser utilizado para o cálculo de funções comosin, cos, exp, . . .



Erro de truncatura: exemplo

Pretende-se aproximar a função ex no intervalo [−2, 2] por um polinómiode Taylor.Qual deverá ser o grau do polinómio se se pretender que o erro absolutodevido à truncatura da série seja inferior a 5× 10−5?


Erros Exercícios

Vamos agora ver ...











Erros Exercícios

Exercício: aritmética finita

A precisão de uma máquina pode ser avaliada determinando o valor δ > 0tal que o resultado da operação 1 + ε seja igual 1, para todo o |ε| ≤ δ.Estime o valor de δ da sua calculadora.


Erros Exercícios

Exercício: propagação de erros

Considere a relação t = cos(x)y + e−yz .

(a) Determine um valor aproximado de t e um majorante para o erroabsoluto quando

x = 1.3, sendo este valor exacto,y = 0.25± 4%,

z = 1.7± 3× 10−1.

(b) Quantos algarismos significativos se podem perder no cálculo de t,quando x = π

2 e y = 3 (valores exactos) e z está próximo de 4?Nota: exame de 23/Jan/2002.


Erros Exercícios

Exercício: erro de truncatura

Pretende-se calcular a função sin(x) no intervalo [−π4 ,

π4 ] recorrendo a um

polinómio de Taylor.Qual deverá ser o polinómio de modo a que o erro relativo, devido àtruncatura da série de Taylor, seja inferior a 5× 10−8 ?


Equações não Lineares


1 Erros











2. Equações não lineares

Como se calcula a solução da equação e−x = x?

Quais são as raízes do polinómio x5 + 2x4 − x3 + x − 1?

Com que rapidez podemos resolver estes problemas?

...



Equações não lineares ou zeros de funções

ProblemaDada uma função f determinar s tal que f (s) = 0.

x

f(x)



Métodos de resolução

Directossoluções determinadas por expressões envolvendo ffornecem soluções exactas (usando precisão infinita)aplicáveis apenas a alguns tipos de problemas

→ Exemplo: fórmula resolvente de equações do 2o grau

Iterativosgeram sucessões de soluções aproximadasaplicáveis a uma vasta gama de problemas



Métodos iterativos: funcionamento

estimativa inicial x0 : f (x0) 6= 01a iteração ↓

x1 : f (x1) 6= 02a iteração ↓

x2 : f (x2) 6= 0↓...

iteração n ↓xn : f (xn) ≈ 0

x0, x1, . . . , xn, . . .→ s, onde f (s) = 0



Métodos iterativos: implementação

definir_estimativa_inicial;

repetir

calcular_nova_estimativa;

até verificar_critério_paragem;



Métodos iterativos: questões a considerar

1 estimativa inicialcomo escolher x0?

2 convergência de {xn}é convergente?converge para uma solução?

3 critério de paragemxn próximo de s?f (xn) próximo de 0?número de iterações?

4 rapidez de convergênciaquantas iterações são necessárias?



Determinação de estimativa inicial

Aplicando um método iterativo calcula-se um zero

Múltiplos zeros⇒ múltiplas aplicações de métodos iterativos⇒ estimativas iniciais próximas dos zeros (ou intervalos contendo cada

zero)

Localização (ou separação) de zeros→ cálculo de valores→ estudo do gráfico→ análise de propriedades



Localização de zeros: cálculo de valores

Varrimento de um intervalo [a, b] em n subintervalos1 definir passo h = b−a

n2 calcular f nos pontos xi = a + ih, i = 0, . . . n3 se f (xi )f (xi+1) < 0 então ∃ zero de f em [xi , xi+1]

Característicasaplicação geralsimples de automatizarpossibilidade de falhar zeros ⇒ ajustar passo h . . .



Localização de zeros: métodos gráficos

xs1 s2

s3

f(x)

O gráfico de f pode ser obtidoestudando as propriedades de futilizando meios computacionais



Localização de zeros: métodos gráficos

Transformação de f (x) = 0 em g(x) = h(x)

Estudos das intersecções dos gráficos de g e h

xs1 s2

g(x)h(x)



Localização de zeros: métodos analíticos

⇒ Monotonia de f

⇒ Números de Rolle de f : D → Rpontos fronteira de Dzeros da função f ′

Teorema

Se f é estritamente monótona em [a, b], então f tem no máximo um zeroem [a, b].

Teorema

Se f é diferenciável, então entre dois números de Rolle consecutivos f temno máximo um zero.



Localização de zeros: exemplos

1 Utilizando métodos gráficos localize os zeros de1 f (x) = x2 + sin(x)− 12 f (x) = ex ln(x)− 1

2 Utilizando os números de Rolle localize os zeros de1 f (x) = ex − 3x2 f (x) = x3 − 3x + 1



Estimação do erro

Teorema

f continuamente diferenciável em [a, b] tal que m1 = minξ∈[a,b]

|f ′(ξ)| > 0.

Seja s ∈ [a, b] tal que f (s) = 0. Então

|s − x | ≤ |f (x)|m1

∀x ∈ [a, b].

Critério de paragemParando o método quando |f (xk)| ≤ δ garante-se que

|xk − s| ≤ δ

m1


Equações não Lineares Método das bissecções sucessivas

Vamos agora ver ...

1 Erros











Método das bissecções sucessivas

DescriçãoParte-se de um intervalo tal que a funçãotenha sinais contrários nos seus extremos.

Divide-se o intervalo a meio, escolhe-se osubintervalo onde a função tem sinais con-trários nos extremos e assim sucessivamente.

x a

x1 b

f(x)



Bissecções sucessivas: algoritmo

Inicialização [a0, b0] = [a, b]

Repetir

1. xn+1 = an+bn2 ;

2. Se f (xn+1)f (an) < 0Então an+1 = an; bn+1 = xn+1;Senão an+1 = xn+1; bn+1 = bn;

Até verificar critério de paragem



Bissecções sucessivas: convergência

Teorema

Seja f contínua em [a, b] tal que f (a)f (b) ≤ 0 e seja s o único zero de fnesse intervalo. Então o método das bissecções sucessivas gera umasucessão que converge para s.



Bissecções sucessivas: estimação do erro

x1 =a + b2

⇒ |s − x1| ≤ b − a2

x2 =a1 + b1

2⇒ |s − x2| ≤ b1 − a1

2=

b − a22

...

xn =an−1 + bn−1

2⇒ |s − xn| ≤ bn−1 − an−1

2=

b − a2n

n ≥ log2b − aδ

⇒ |s − xn| ≤ δ



Bissecções sucessivas: exemplo

Determinar, com um erro absoluto inferior a 5× 10−3, a (única) solução daequação 1 + x + ex = 0 que se sabe estar no intervalo [−2,−1].



Bissecções sucessivas: exemplo

n an f (an) bn f (bn) xn+1 f (xn+1)0 −2.000 −0.865 −1.000 +0.368 −1.500 −0.2771 −1.500 −0.277 −1.000 +0.368 −1.250 +0.0372 −1.500 −0.277 −1.250 +0.037 −1.375 −0.1223 −1.375 −0.122 −1.250 +0.037 −1.313 −0.0434 −1.313 −0.043 −1.250 +0.037 −1.281 −0.0045 −1.281 −0.004 −1.250 +0.037 −1.266 +0.0166 −1.281 −0.004 −1.266 +0.016 −1.273 +0.0067 −1.281 −0.004 −1.273 +0.006 −1.277 +0.001

Solução: s = −1.277± 4× 10−3 ou s ∈ [−1.281,−1.273]


Equações não Lineares Método da falsa posição

Vamos agora ver ...

1 Erros











Método da falsa posição (regula falsi)

Semelhante ao método das bissecções suces-sivas, mas com o cálculo de xn+1 dado por

xn+1 =anf (bn)− bnf (an)

f (bn)− f (an)

Este ponto corresponde à intersecção como eixo dos xx da recta que une os pontos(an, f (an)) e (bn, f (bn)).

x an xn+1

bn

f(x)



Falsa posição: algoritmo

Inicialização [a0, b0] = [a, b]

Repetir

1. xn+1 = anf (bn)−bnf (an)f (bn)−f (an) ;

2. Se f (xn+1)f (an) < 0Então an+1 = an; bn+1 = xn+1;Senão an+1 = xn+1; bn+1 = bn;




Falsa posição: estimação do erro

Teorema

Seja f continuamente diferenciável em [a, b] e tal que f (a)f (b) ≤ 0. Sejamm1 = minξ∈[a,b] |f ′(ξ)| > 0 e M1 = maxξ∈[a,b] |f ′(ξ)|.Então, o erro de aproximação de s, único zero de f em [a, b], pelaestimativa xn+1 satisfaz a relação

|s − xn+1| ≤ M1 −m1

m1|xn+1 − xn|.

Critério de paragem

εn+1 =M1 −m1

m1|xn+1 − xn| ≤ δ ⇒ |s − xn+1| ≤ δ



Falsa posição: exemplo 1

Utilizar o método da falsa posição para determinar, com um erro absolutoinferior a 5× 10−3, o (único) zero da função f (x) = 1 + x + ex .




n an f (an) bn f (bn) xn+1 f (xn+1) εn+10 −2.000 −0.865 −1.000 +0.368 −1.298 −2.55× 10−2 1.4× 10−1

1 −1.298 −0.026 −1.000 +0.368 −1.279 −8.22× 10−4 4.0× 10−3

Solução: s ' −1.279, com erro absoluto máximo de 4.0× 10−3




Determinar o zero de f (x) = x + ex5 − 5 em [0, 1.3]

1.3

x1 x2 x3 s




n an f (an) bn f (bn) xn+1 f (xn+1) εn+10 +0.000 −4.000 +1.300 +37.274 +0.126 −3.87 +3.871 +0.126 −3.874 +1.300 +37.274 +0.237 −3.76 +3.762 +0.237 −3.763 +1.300 +37.274 +0.334 −3.66 +3.663 +0.334 −3.662 +1.300 +37.274 +0.420 −3.57 +3.574 +0.420 −3.566 +1.300 +37.274 +0.497 −3.47 +3.475 +0.497 −3.472 +1.300 +37.274 +0.566 −3.37 +3.37· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·50 +1.065 −0.008 +1.300 +37.274 +1.065 −6.64× 10−3 +6.64× 10−3

51 +1.065 −0.007 +1.300 +37.274 +1.065 −5.54× 10−3 +5.54× 10−3

52 +1.065 −0.006 +1.300 +37.274 +1.065 −4.63× 10−3 +4.63× 10−3




O método das bissecções sucessivas aplicado a este problema garante omesmo erro máximo em 9 iterações!

n an f (an) bn f (bn) xn+1 f (xn+1)0 +0.000 −4.000 +1.300 +37.274 +0.650 −3.2271 +0.650 −3.227 +1.300 +37.274 +0.975 −1.6112 +0.975 −1.611 +1.300 +37.274 +1.138 +2.8533 +0.975 −1.611 +1.138 +2.853 +1.056 −0.2204 +1.056 −0.220 +1.138 +2.853 +1.097 +0.9905 +1.056 −0.220 +1.097 +0.990 +1.077 +0.3236 +1.056 −0.220 +1.077 +0.323 +1.066 +0.0387 +1.056 −0.220 +1.066 +0.038 +1.061 −0.0948 +1.061 −0.094 +1.066 +0.038 +1.064 −0.029



Falsa posição: convergência

Teorema

Se f for estritamente monótona e duplamente diferenciável em [a, b], sef (a)f (b) ≤ 0 e se o sinal de f ′′ não variar em [a, b], então a sucessãoproduzida pelo método da falsa posição converge monotonamente para ozero de f nesse intervalo. Também se verifica que um dos extremos dointervalo permanece inalterado.



Falsa posição modificadoFb

x1 x2

Fb/2

x3

Fb/4

x4



Falsa posição modificado: convergência

Teorema

Se f é contínua, estritamente monótona e tiver sinais contrários nosextremos de um intervalo [a, b], a sucessão produzida pelo método da falsaposição modificado converge para o zero de f em [a, b].



Falsa posição modificado: algoritmo

Inicialização [a0, b0] = [a, b]; Fa = f (a0); Fb = f (b0)

Repetir

1. xn+1 =anFb−bnFa

Fb−Fa;

2. Se f (xn+1)f (an) < 0Então an+1 = an; bn+1 = xn+1; Fb = f (xn+1);

Se f (xn+1)f (xn) > 0 Então Fa = Fa2 ;

Senão an+1 = xn+1; bn+1 = bn; Fa = f (xn+1);

Se f (xn+1)f (xn) > 0 Então Fb =Fb2 ;




Falsa posição modificado: exemplo

Determinar, com um erro absoluto inferior a 5× 10−3 o zero def (x) = x + ex

5 − 5 no intervalo [0, 1.3].



Falsa posição modificado: exemplo

n an Fa bn Fb xn+1 f (xn+1) εn+10 +0.000 −4.000 +1.300 +37.274 +0.126 −3.87 +3.871 +0.126 −3.874 +1.300 +37.274 +0.237 −3.76 +3.762 +0.237 −3.763 +1.300 +18.637 +0.415 −3.57 +3.573 +0.415 −3.572 +1.300 +9.318 +0.660 −3.21 +3.214 +0.660 −3.206 +1.300 +4.659 +0.921 −2.14 +2.145 +0.921 −2.138 +1.300 +2.330 +1.102 +1.20 +1.206 +0.921 −2.138 +1.102 +1.198 +1.037 −6.39× 10−1 +6.39× 10−1

7 +1.037 −0.639 +1.102 +1.198 +1.060 −1.29× 10−1 +1.29× 10−1

8 +1.060 −0.129 +1.102 +0.599 +1.067 +6.65× 10−2 +6.65× 10−2

9 +1.060 −0.129 +1.067 +0.066 +1.065 −1.61× 10−3 +1.61× 10−3


Equações não Lineares Método iterativo simples

Vamos agora ver ...

1 Erros











Método iterativo simples

1 Reescrever f (x) = 0 da forma equivalente x = F (x)

2 Escolher estimativa inicial x0

3 Gerar a sucessão xn+1 = F (xn), n = 0, 1, . . .

→ F designa-se função de recorrência

→ s : F (s) = s designa-se ponto fixo de F




y = F (x)

y = x

x0

F (x0)

x1

F (x1)

x2

F (x2)

s



Método iterativo simples: algoritmo

Inicialização Escolher x0

Repetir xn+1 = F (xn)Até verificar critério de paragem



Método iterativo simples: comportamento

xx2x1x0 s

y = F(x)y = x

Convergência monótona




xx1x2x0 s

y = F(x) y = x

Convergência “alternada”




xx2x0 x1s

y = F(x)

y = x

Divergência



Método iterativo simples: convergência

Teorema

Se F é continuamente diferenciável em [a, b], maxx∈[a,b] |F ′(x)| < 1 eexiste s ∈ [a, b] tal que s = F (s), então, para qualquer valor inicialx0 ∈ [a, b], a sucessão gerada o método iterativo simples converge para s(s será único! porquê?).



Método iterativo simples: erro

Majoração do erro

|xn+1 − s| ≤ 1− LL|xn+1 − xn|


εn+1 =1− LL|xn+1 − xn| ≤ δ ⇒ |xn+1 − s| ≤ δ



Método iterativo simples: exemplo

Determinar, com um erro absoluto inferior a 5× 10−5, o zero da funçãof (x) = 1 + x + ex no intervalo [−2,−1].




n xn xn+1 = F (xn) εn+10 −2.00000 −1.13534 +5.0× 10−1

1 −1.13534 −1.32131 +1.1× 10−1

2 −1.32131 −1.26678 +3.2× 10−2

3 −1.26678 −1.28174 +8.7× 10−3

4 −1.28174 −1.27756 +2.4× 10−3

5 −1.27756 −1.27872 +6.8× 10−4

6 −1.27872 −1.27839 +1.9× 10−4

7 −1.27839 −1.27848 +5.2× 10−5

8 −1.27848 −1.27846 +1.5× 10−5


Equações não Lineares Método de Newton

Vamos agora ver ...

1 Erros











Método de Newton

f (x)

s x0x1x2



Método de Newton: algoritmo

Inicialização Escolher x0

Repetir xn+1 = xn − f (xn)

f ′(xn)Até verificar critério de paragem



Método de Newton: divergência

x x2 x1 x0 s

y = f(x)

Anulamento da derivada



Método de Newton: divergência

x x2 x1

x0 s

y = f(x)

Mudança de concavidade



Método de Newton: convergência

Teorema

Seja f ∈ C 2([a, b]; R) tal que f ′(x) 6= 0, e f ′′(x) ≤ 0 ou f ′′(x) ≥ 0 em[a, b]. Seja ainda s o (único) zero de f em [a, b]. Então a sucessão geradapelo método de Newton converge para s sempre que o ponto inicialx0 ∈ [a, b] satisfizer f (x0)f ′′(x0) ≥ 0. Mais ainda, a sucessão gerada émonótona.



Método de Newton: erro

Majoração do erro

|xn+1 − s| ≤ M2

2m1|xn+1 − xn|2


εn+1 =M2

2m1|xn+1 − xn|2 ≤ δ ⇒ |xn+1 − s| ≤ δ



Método de Newton: exemplo

Determinar, com um erro absoluto inferior a 5× 10−6, o zero da funçãof (x) = 1 + x + ex , que se sabe estar no intervalo [−2,−1].




n xn f (xn) f ′(xn) xn+1 εn+10 −1.00000 +3.68× 10−1 +1.368 −1.26894 +1.2× 10−1

1 −1.26894 +1.22× 10−2 +1.281 −1.27845 +1.5× 10−5

2 −1.27845 +1.27× 10−5 +1.278 −1.27846 +1.6× 10−11

Solução: s ' −1.27846 (todos os algarismos exactos)



Método de Newton: convergência (2)

Teorema

Sejam f ∈ C 2([a, b]; R) e s um zero de f em [a, b] tal que f ′(s) 6= 0.Então existe δ > 0 tal que a sucessão {xn} gerada pelo método de Newtonconverge para s sempre que x0 ∈ [s − δ, s + δ].


Equações não Lineares Método da Secante

Vamos agora ver ...

1 Erros











Método da secante

Semelhante ao método de Newton

Tangente ao gráfico substituída pelasecante nos dois últimos pontos

x xn-1 xn+1 xn s

y = f(x)

xn+1 =xn−1f (xn)− xnf (xn−1)

f (xn)− f (xn−1)



Método da secante: algoritmo

Inicialização Escolher x−1 e x0

Repetir xn+1 =xn−1f (xn)− xnf (xn−1)

f (xn)− f (xn−1)Até verificar critério de paragem



Método da secante: convergência

Teorema

Seja f ∈ C 2([a, b]; R) tal que f ′(x) 6= 0, e f ′′(x) ≤ 0 ou f ′′(x) ≥ 0 em[a, b]. Seja ainda s o (único) zero de f em [a, b].Então a sucessão gerada pelo método da secante converge para s sempreque os pontos iniciais x−1, x0 ∈ [a, b] satisfizerem f (x−1)f ′′(x−1) ≥ 0 ef (x0)f ′′(x0) ≥ 0. Mais ainda, a sucessão gerada é monótona.



Método da secante: erro

Majoração do erro

|xn+1 − s| ≤ M2

2m1|xn+1 − xn| · |xn+1 − xn−1|


εn+1 =M2

2m1|xn+1 − xn| · |xn+1 − xn−1| ≤ δ ⇒ |xn+1 − s| ≤ δ



Método da secante: exemplo

Determinar, com um erro absoluto inferior a 5× 10−6, o (único) zero dafunção f (x) = 1 + x + ex , que se sabe estar no intervalo [−2,−1].



Método da secante: exemplo

n xn−1 xn xn+1 f (xn+1) εn+10 −1.00000 −1.10000 −1.27249 +7.65× 10−3 7.6× 10−3

1 −1.10000 −1.27249 −1.27834 +1.55× 10−4 1.7× 10−4

2 −1.27249 −1.27834 −1.27846 +1.01× 10−7 1.2× 10−7

Solução: s ' −1.27846 (com todos os algarismos exactos)


Equações não Lineares Ordem de convergência: definição

Vamos agora ver ...

1 Erros











Ordem de convergência dum método iterativo

Considere um método iterativo tal que:função de recorrência: Fponto fixo: s (s = F (s))

F ′(s) = F ′′(s) = . . . = F (p−1)(s) = 0F (p)(s) 6= 0

xn+1 = F (xn)

xn → so método têm convergência de ordem p



Ordem de convergência

∆n+1 ∝ ∆np

p = 1 → convergência linear ou de 1a ordem

p = 2 → convergência quadrática ou de 2a ordem



Ordem de convergência: justificação

O desenvolvimento em série de F em torno de s

F (xn) =F (s) + F ′(s)(xn − s) + . . . +F (p−1)(s)(xn − s)p−1/(p − 1)!+

+F (p)(ξ)(xn − s)p/p!

= s + F (p)(ξ)(xn − s)p/p!

Seja ∆n = s − xn, obtemos

|∆n+1| = |xn+1 − s| = |F (xn)− s| =

∣∣∣∣∣F (p)(ξ)

p!∆p

n

∣∣∣∣∣ou seja

∆n+1 ∝ ∆np



Ordem de convergência: exemplo

Considere dois métodos iterativos A e B , para os quais se tem∆n+1 = 10−2∆n e ∆n+1 = ∆2

n, respectivamente.

Se em ambos os casos se tiver ∆0 = 10−1, determine a evolução do erropara as primeiras 6 iterações de cada método.



Ordem de convergência: exemplo

n ∆n(mét. A) ∆n(mét. B)0 10−1 10−1

1 10−3 10−2

2 10−5 10−4

3 10−7 10−8

4 10−9 10−16

5 10−11 10−32

6 10−13 10−64



Método iterativo simples: convergência linear

1 + x + ex = 0, x ∈ [−2,−1] ⇒ x = F (x) = −1− ex

n xn xn+1 = F (xn) ∆n+1 ∆n+1/∆n0 −2.00000 −1.13534 −1.4× 10−1 −1 −1.13534 −1.32131 +4.3× 10−2 −0.2992 −1.32131 −1.26678 −1.2× 10−2 −0.2733 −1.26678 −1.28174 +3.3× 10−3 −0.2804 −1.28174 −1.27756 −9.1× 10−4 −0.2785 −1.27756 −1.27872 +2.5× 10−4 −0.2796 −1.27872 −1.27839 −7.1× 10−5 −0.2787 −1.27839 −1.27848 +2.0× 10−5 −0.2788 −1.27848 −1.27846 −5.5× 10−6 −0.278

F ′(x) = −ex F ′(−1.27846) = −0.27846



Método de Newton: convergência quadrática

1 + x + ex = 0, x ∈ [−2,−1]

n xn f (xn) f ′(xn) xn+1 ∆n+1 ∆n+1/∆2n

0 −1.00000 +3.68× 10−1 +1.368 −1.26894 −9.5× 10−3 −1 −1.26894 +1.22× 10−2 +1.281 −1.27845 −9.9× 10−6 −0.10942 −1.27845 +1.27× 10−5 +1.278 −1.27846 −1.1× 10−11 −0.1089



Método de Newton: convergência quadrática

A função de recorrência neste método é

F (x) = x − f (x)/f ′(x)

A primeira derivada

F ′(x) = 1− [f ′(x)]2 − f (x)f ′′(x)

[f ′(x)]2

Como f (s) = 0, temos que F ′(s) = 0.

A 2a derivada

F ′′(s) = . . . =f ′′(s)

f ′(s)

é em geral não nula. Logo o método é de 2a ordem.



Ordem de convergência duma sucessão

{en} convergente para 0. Se existirem p,K > 0 tais que

limn→+∞

|en+1||en|p = K

diz-se que {en} tem ordem de convergência p.

n elevado⇒ |en+1| ' K |en|p

p = 1 → convergência linear

p > 1 → convergência supralinear

p = 2 → convergência quadrática



Ordem de convergência: método da secante

Teorema

Nas condições suficientes apresentadas para a convergência do método dasecante, pode ainda afirmar-se que sucessão dos erros de aproximaçãogerada por este método tem convergência de ordem

1 +√5

2(≈ 1.618).



Método da secante: ordem de convergência

1 + x + ex = 0, x ∈ [−2,−1]

n xn−1 xn xn+1 f (xn+1) εn+1 εn+1/εpn

0 −1.00000 −1.10000 −1.27249 +7.65× 10−3 +1.5× 10−1 −1 −1.10000 −1.27249 −1.27834 +1.55× 10−4 +2.1× 10−2 0.4792 −1.27249 −1.27834 −1.27846 +1.01× 10−7 +5.0× 10−4 0.2553 −1.27834 −1.27846 −1.27846 +1.33× 10−12 +1.7× 10−6 0.3774 −1.27846 −1.27846 −1.27846 +1.33× 10−12 +1.4× 10−10 0.2965 −1.27846 −1.27846 −1.27846 +1.33× 10−12 +4.0× 10−17 0.344

p = 1+√5

2


Equações não Lineares Raízes de Polinómios

Vamos agora ver ...

1 Erros











Raízes de polinómios

p(x) → polinómio de coeficientes reais de grau n

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0, ai ∈ R ∧ an 6= 0

Teorema

O polinómio p(x) tem n raízes (contando com a multiplicidade). Estasraízes podem ser reais ou complexas, caso em quem surgem em paresconjugados.

Teorema

Sejam r1, r2, . . . , rn as n raízes do polinómio de grau n p(x). Então, p(x)pode ser escrito como

p(x) = an(x − r1)(x − r2) · · · (x − rn)



Polinómios: Regra de Ruffini

p(x) = (x − s)q(x) + r ondeq(x) = bn−1xn−1 + . . .+ b1x + b0 é o quocienter ∈ C é o resto

an an−1 . . . a1 a0s sbn−1 . . . sb1 sb0

bn−1 bn−2 . . . b0 || r



Polinómios: “Regra de Ruffini” generalizada

Generalizando, p(x) = (x2 − αx − β)q(x) + (rx + s), onde

q(x) = bn−2xn−2 + . . .+ b1x + b0 é o quociente

rx + s é o resto

an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0β βbn−2 . . . βb2 βb1 βb0α αbn−2 αbn−3 . . . αb1 αb0

bn−2 bn−3 bn−4 . . . b0 || r s



Localização de raízes de polinómios

Regra dos sinais de Descartes IO número de raízes reais positivas do polinómio p(x) é igual, ou menorpela diferença de um número par, ao número de mudanças de sinal dosseus coeficientes não nulos.

Regra dos sinais de Descartes IIO número de raízes reais negativas do polinómio p(x) é igual, ou menorpela diferença de um número par, ao número de mudanças de sinal doscoeficientes não nulos de p(−x).




Exemplo:p(x) = x5 − 5x4 + 10x3 − 6x2 − 12x + 16

tem 4 mudanças de sinal

p(−x) = −x5 − 5x4 − 10x3 − 6x2 + 12x + 16

tem uma mudança de sinal.Logo as raizes do polinómio serão:

1 real negativa e 4 reais positiva, ou1 real negativa, 2 reais positivas e 2 complexas, ou1 real negativa, 0 reais positivas, 4 complexas.




Teorema

Todos os zeros do polinómio p(x) situam-se no interior do círculo (noplano complexo) centrado na origem e de raio

1 + max0≤k≤n−1

∣∣∣∣akan∣∣∣∣



Polinómios: determinação de todas as raízes

Conhecendo k raízes r1, . . . , rk de p(x), as restantes n − k raízes podemser obtidas como sendo as raízes de q(x) que é o polinómio quociente dadivisão de p(x) pelo polinómio (x − r1) · · · (x − rk).

EstratégiaIr obtendo raízes, uma de cada vez, e dividir o polinómio até se obter umpolinómio de grau 1 ou 2, casos em que a determinação de raízes é trivial.



Método de Newton para polinómios

A expressão de recorrência é

xk+1 = xk − p(xk)

p′(xk)

x0 ∈ C é escolhido como uma das soluções de

anx2 + an−1x + an−2 = 0



Método de Newton para polinómios: exemplo

Determinar todas as raízes do polinómio

p(x) = x4 + 2x3 + 10x2 + 24x + 80

aplicando o método de Newton.



Método de Newton para polinómios: exemplo

Determinação x0

x20 + 2x0 + 10 = 0 ⇔ x0 = −1± 3j

k xk p(xk) p′(xk)0 −1.00 + j3.00 56.00 + j72.00 60.00− j48.001 −0.98 + j1.81 43.35 + j23.00 25.40 + j12.072 −2.73 + j1.74 −2.57− j69.73 13.53 + j111.883 −2.11 + j1.79 8.26− j15.13 32.70 + j63.124 −1.97 + j1.99 1.84 + j0.91 47.11 + j54.205 −2.00 + j2.00 −0.02− j0.02 48.01 + j56.036 −2.00 + j2.00 ≈ 0

r1 = −2 + 2j r2 = −2− 2j

Depois, determinar as raízes do polinómio:

p(x)

(x − r1)(x − r2)=

p(x)

x2 + 4x + 8= x2 − 2x + 10



Método de Lin

Construir sucessões {pi} e {qi} convergentes para p e q de forma a quex2 + px + q seja divisor de p(x).

Em cada iteração é realizada a divisão polinomial

p(x)

x2 + pix + qi= q(x) +

rx + sx2 + pix + qi

que é parada após se obter de q(x), substituindo-se pi → pi+1 e qi → qi+1de modo a anular o resto rx + s.



Método de Lin

an an−1 . . . a2 a1 a0−qi . . . −qib2 −qib1 −qi+1b0−pi −pibn−2 . . . −pib1 −pi+1b0

bn−2 bn−3 . . . b0 || 0 0

{a1 − qib1 − pi+1b0 = 0a0 − qi+1b0 = 0



Método de Lin: exemplo

Determinar os zeros de

p(x) = x4 − 6x3 + 18x2 − 24x + 16

pelo método de Lin.



Método de Lin: exemplo

k pk qk quociente da divisão p(x)x2+pkx+qk

0 1 1 x2 − 7x + 241 −0.708333 0.666667 x2 − 5.2917x + 13.58512 −1.506965 1.177764 x2 − 4.4930x + 10.05143 −1.861262 1.591820 x2 − 4.1387x + 8.70494 −2.000237 1.838044 x2 − 3.9998x + 8.16155 −2.039857 1.960428 x2 − 3.9601x + 7.96146 −2.039382 2.009685 x2 − 3.9606x + 7.9131

x4 − 6x3 + 18x2 − 24x + 16 é divisível por x2 − 2x + 2


Sistemas de equações não lineares


1 Erros












n equações nas n variáveis x1, x2, . . . , xn:f1(x1, x2, . . . , xn) = 0f2(x1, x2, . . . , xn) = 0

...fn(x1, x2, . . . , xn) = 0

onde f1, f2, . . . , fn : Rn → R




Definindo x = (x1, x2, . . . , xn)T e F : Rn → Rn como

F (x) =

f1(x)f2(x)...

fn(x)

=

f1(x1, x2, . . . , xn)f2(x1, x2, . . . , xn)

...fn(x1, x2, . . . , xn)

o sistema pode ser escrito como

F (x) = 0




Métodos iterativos

método iterativo simples (iteração de ponto fixo)método de Newton. . .


Sistemas de equações não lineares Método iterativo simples

Vamos agora ver ...

1 Erros


3 Sistemas de equações não linearesMétodo iterativo simplesMétodo de Newton










Reescrever o sistema de equações F (x) = 0 na forma

x = G (x), G : Rn → Rn

ou seja x1 = g1(x1, x2, . . . , xn)x2 = g2(x1, x2, . . . , xn)

...xn = gn(x1, x2, . . . , xn)




1 Escolher um ponto inicial x(0)

2 Determinar os termos da sucessão {x(k)} pela expressão de recorrência

x(k+1) = G (x(k))

x(k) → s tal que s = G (s) (ponto fixo de G ) ⇔ F (s) = 0




Considere o sistema de equações{4x1 − ln(x1x2)− 8 = 02x1 − 4x2 +

√x1x2 − 3 = 0

(a) Reescreva-o numa forma apropriada para aplicação do métodoiterativo simples.

(b) Efectue 11 iterações deste método partindo do ponto (1.5, 1).




{x1 = [ln(x1x2) + 8]/4 = 0x2 = [2x1 +

√x1x2 − 3]/4

k x1,(k) x2,(k) g1(x1,(k), x2,(k)) g2(x1,(k), x2,(k))

0 1.50000 1.00000 2.10137 0.306191 2.10137 0.30619 1.88976 0.501222 1.88976 0.50122 1.98643 0.438193 1.98643 0.43819 1.96531 0.476464 1.96531 0.47646 1.98357 0.474575 1.98357 0.47457 1.98489 0.484346 1.98489 0.48434 1.99015 0.487577 1.99015 0.48757 1.99247 0.491348 1.99247 0.49134 1.99469 0.493599 1.99469 0.49359 1.99611 0.4954110 1.99611 0.49541 1.99721 0.49666



Método iterativo simples: convergência

Teorema

Seja D ⊂ Rn um conjunto fechado e convexo. Seja G : D → Rn de classeC 1. Sei) existe um número L < 1 tal que

maxj∣∣∣∂gi∂xj

(x)∣∣∣ ≤ L ∀i = 1 . . . n ∀x ∈ D

ii) G (D) ⊂ Dentãoi) existe um e só um z ∈ D tal que z = G (z)

ii) o método iterativo simples converge para z, ∀x(0) ∈ Diii) verifica-se que

‖z − x(k)‖ ≤L

1− L‖x(k) − x(k−1)‖



Método iterativo simples: exemplo 2

Considere o sistema de equações definido em R2.{4x1 − cos(x1 + x2) = 4,3x2 − sin(x1 + x2) = 6.

(a) Verifique que o sistema tem uma e uma só solução.(b) Aplicando o método iterativo simples, determine tal solução com um

erro máximo de 10−5 na soma dos módulos de cada uma dascomponentes do erro (norma 1).



Método iterativo simples: exemplo 2

k x1,(k) x2,(k) g1(x1,(k), x2,(k)) g2(x1,(k), x2,(k)) εk+10 1.000000 1.000000 0.895963 2.303099 2.01 0.895963 2.303099 0.750413 1.980854 6.5× 10−1

2 0.750413 1.980854 0.770752 2.132969 2.4× 10−1

3 0.770752 2.132969 0.757040 2.078545 9.5× 10−2

4 0.757040 2.078545 0.761614 2.100418 3.7× 10−2

5 0.761614 2.100418 0.759706 2.091978 1.4× 10−2

6 0.759706 2.091978 0.760433 2.095288 5.7× 10−3

7 0.760433 2.095288 0.760146 2.093998 2.2× 10−3

8 0.760146 2.093998 0.760257 2.094502 8.6× 10−4

9 0.760257 2.094502 0.760214 2.094305 3.4× 10−4

10 0.760214 2.094305 0.760231 2.094382 1.3× 10−4

11 0.760231 2.094382 0.760224 2.094352 5.1× 10−5

12 0.760224 2.094352 0.760227 2.094364 2.0× 10−5

13 0.760227 2.094364 0.760226 2.094359 7.8× 10−6


Sistemas de equações não lineares Método de Newton

Vamos agora ver ...

1 Erros


3 Sistemas de equações não linearesMétodo iterativo simplesMétodo de Newton









Método de Newton

Sendo JF (x) não singular tem-se

F (x) = 0 ⇔ [JF (x)]−1F (x) = 0

ou aindax = x − [JF (x)]−1F (x)



Método de Newton

Expressão de recorrência

x(k+1) = x(k) − [JF (x(k))]−1F (x(k)), k = 0, 1, . . .

Determinação de x(k+1)

1 calcular F (x(k))

2 calcular JF (x(k))

3 calcular v(k) resolvendo o SEL JF (x(k)) v(k) = F (x(k))

4 calcular x(k+1) = x(k) − v(k)



Método de Newton: caso R2

Para o sistema de equações{

f1(x1, x2) = 0f2(x1, x2) = 0

,

a matriz jacobiana JF (x1, x2) =

[a bc d

]=

[∂f1∂x1

∂f1∂x2

∂f2∂x1

∂f2∂x2

]tem como inversa J−1F (x1, x2) = 1

ad−bc

[d −b−c a

].

Logo [x1,(k+1)

x2,(k+1)

]=

[x1,(k)

x2,(k)

]− J−1F

[f1f2

](x1,(k), x2,(k))

[x1,(k+1)

x2,(k+1)

]=

[x1,(k)

x2,(k)

]− 1

ad − bc

[df1 − bf2−cf1 + af2

](x1,(k), x2,(k))



Método de Newton: convergência

Teorema

Sejam F de classe C 2 e z tal que F (z) = 0.Se det(JF (z)) 6= 0 a sucessão gerada pelo método de Newton convergepara z qualquer que seja o ponto inicial x(0) suficientemente próximo de z.Verifica-se ainda que existe uma constante positiva c tal que

‖z − x(k)‖ ≤ c ‖z − x(k−1)‖2,

ou seja, a convergência é quadrática.




Aplique o método de Newton para resolver o sistema de equações{4x1x22 − 2x21 x2 + 2 = 02x1 − 4x2 +

√x1x2 − 3 = 0.

Parta do ponto (1.5, 1) e termine a aplicação do método assim que dadiferença entre duas estimativas consecutivas seja inferior 5× 10−6 emqualquer das componentes do erro (norma ∞)




k x1,(k) x2,(k) v1,(k) v2,(k) x1,(k+1) x2,(k+1) ‖x(k+1) − x(k)‖∞0 1.500000 1.000000 −0.793659 0.255024 2.293659 0.744976 7.9× 10−1

1 2.293659 0.744976 0.360263 0.290966 1.933395 0.454010 3.6× 10−1

2 1.933395 0.454010 −0.066606 −0.046156 2.000001 0.500166 6.7× 10−2

3 2.000001 0.500166 0.000001 0.000166 2.000000 0.500000 1.7× 10−4

4 2.000000 0.500000 0.000000 0.000000 2.000000 0.500000 7.3× 10−8



Método de Newton: algumas dificuldades

Cálculo de JF e resolução do sistema JF · v = F

→ aproximar numericamente as derivadas→ não recalcular JF em todas as iterações

Dificuldades de convergência

→ x(k+1) = x(k) − αk · [JF (x(k))]−1F (x(k))

αk tal que ‖F (x(k+1))‖ ≤ ‖F (x(k))‖

→ . . .


Aproximação de funções


1 Erros












Qual a recta y = ax + b que melhor aproxima um dado conjunto de pontos(xi , yi )?

E se for uma parábola y = ax2 + bx + c?

E se for uma função y = a sin x + b cos x?

Como é que estes problemas se relacionam com projectar pontos emplanos?

...



Aproximação

x

y

(x1, y1) (x2, y2)

(xn, yn)

bcbc

bc

bcbc

g(x)

Dados os pontos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)

Determinar uma função g : R→ R tal que

g(xi ) seja próximo de yi



Funções aproximantes

A função aproximante depende de constantes c1, c2, . . . , ck

g(x) = F (x ; c1, c2, . . . , ck)

O problema de aproximação consiste em determinar o vector de parâmetros(c1, . . . , ck) tal que a função g melhor aproxime os pontos dados.



Critérios de aproximação

Para determinar a função que melhor aproxima os pontos dados énecessário definir um critério que permita comparar funções aproximantes.

Este critério deverá depender dos desvios di definidos por

di = yi − F (xi ; c1, . . . , ck) i = 1, . . . , n

e deverá garantir que a função aproximante torne os desvios “pequenos” .



Critérios de aproximação

Alguns dos critérios utilizados são

1 minimizar∑n

i=1 |di |

2 minimizar max1≤i≤n

|di |

3 minimizar∑n

i=1 d2i



Funções aproximantes

Em muitas situações, F (x ; c1, . . . , ck) é escolhida como uma combinaçãolinear de funções φ1, . . . , φk

F (x ; c1, . . . , ck) = c1φ1(x) + · · ·+ ckφk(x)


Aproximação de funções Aproximação dos mínimos quadrados

Vamos agora ver ...

1 Erros











Aproximação dos mínimos quadrados

Dados os pares (xi , yi )ni=1 e as funções φ1, . . . , φk , calcular os parâmetrosc1, . . . , ck que minimizam

e(c1, . . . , ck) =n∑

i=1

d2i =

n∑i=1

[yi − ( c1φ1(xi ) + . . .+ ckφk(xi ) )]2

isto é, que minimizam a soma dos quadrados dos desvios.



Mínimos quadrados: equações normais

c1n∑

i=1

φ21(xi ) + c2n∑

i=1

φ1(xi )φ2(xi ) + · · ·+ ckn∑

i=1

φ1(xi )φk(xi ) =n∑

i=1

yiφ1(xi )

c1n∑

i=1

φ2(xi )φ1(xi ) + c2n∑

i=1

φ22(xi ) + · · ·+ ckn∑

i=1

φ2(xi )φk(xi ) =n∑

i=1

yiφ2(xi )

. . . . . . . . .

c1n∑

i=1

φk(xi )φ1(xi ) + c2n∑

i=1

φk(xi )φ2(xi ) + · · ·+ ckn∑

i=1

φ2k(xi ) =n∑

i=1

yiφk(xi )



MQ: aproximação por uma recta

As funções aproximantes serão da forma g(x) = c1 + c2x , ou seja, k = 2,φ1(x) = 1 e φ2(x) = x .

O sistema de equações a resolver én∑

i=1

1n∑

i=1

xi

n∑i=1

xi

n∑i=1

x2i

c1

c2

=

n∑

i=1

yi

n∑i=1

xiyi



MQ: aproximação por uma recta

Os somatórios envolvidos são facilmente determinados com base na tabela

xi yi x2i xiyix1 y1 x21 x1y1x2 y2 x22 x2y2. . . . . . . . . . . .xn yn x2n xnyn∑xi

∑yi

∑x2i

∑xiyi



MQ: aproximação por uma parábola

As funções aproximantes são do tipo g(x) = c1 + c2x + c3x2, ou seja,k = 3, φ1(x) = 1, φ2(x) = x e φ3(x) = x2.

O sistema de equações a resolver é

n∑i=1

1n∑

i=1

xi

n∑i=1

x2i

n∑i=1

xi

n∑i=1

x2i

n∑i=1

x3i

n∑i=1

x2i

n∑i=1

x3i

n∑i=1

x4i

c1

c2

c3

=

n∑i=1

yi

n∑i=1

xiyi

n∑i=1

x2i yi



Mínimos quadrados: exemplo

Determine a aproximação dos mínimos quadrados aos pontos da tabela

x 1 2 4 5 7 8 10y 1 1 4 4 6 6 7

pora) uma rectab) uma parábolac) uma recta que minimize o erro em x



Exemplo

bc bc

bc bc

bc bc

bc

y = 0.3333 + 0.7207x

y = −0.5372 + 1.1901x − 0.04353x2

x = −0.1475 + 1.3115y



Redução a problemas de mínimos quadrados

Se a função aproximante não puder ser escrita como

F (x ; c1, . . . , ck) = c1φ1(x) + . . .+ c2φk(x)

a aproximação dos mínimos quadrados origina um sistema de equaçõesnão lineares (resolução "difícil").

Contudo, se existir uma função g tal que

g(F (x ; c1, . . . , ck)) = b1φ1(x) + · · ·+ bkφk(x)

e b1 = ψ1(c1), b2 = ψ1(c2), . . . , bk = ψk(ck)

obtém-se uma função aproximante resolvendo um SEL.



Redução a problemas de mínimos quadrados

Para tal, deverá ser determinada a função

b1φ1(x) + · · ·+ bkφk(x)

que melhor aproxima os pontos (xi , g(yi )) no sentido dos mínimosquadrados, isto é, que minimiza a soma dos quadrados dos desviosmodificados

di = g(yi )− g(F (xi ; c1, . . . , ck))

Após a resolução deste problema, os cj calculam-se por

cj = ψ−1j (bj), j = 1, . . . , k .



Redução a problemas de MQ: exemplo

Aproximar por uma função da forma y = c1xc2 os pontos

x 1 1.2 1.6 2y 1 1.3 1.4 1.7



Redução a problemas de MQ: exemplo

bc

bc

bc

bc

y = 1.05x0.69


Aproximação de funções Aproximação em espaços vectoriais

Vamos agora ver ...

1 Erros











Aproximação em espaços vectoriais

V espaço vectorial com o produto interno 〈·, ·〉

‖ · ‖ norma em V induzida pelo produto interno, isto é,

‖v‖ =√〈v , v〉 , v ∈ V

{v1, v2, . . . , vk} vectores de V linearmente independentes

Dado u ∈ V pretende-se determinar a combinação linearc1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk que melhor aproxima u, no sentido de tornarmínimo,

‖u − (c1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk)‖2




Teorema

Sejam os vectores {v1, v2, . . . , vk} de V linearmente independentes e umvector u ∈ V . A combinação linear c1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk que tornamínimo o valor

‖u − (c1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk)‖2

satisfaz as relações

〈 vj , u − (c1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk) 〉 = 0, j = 1, 2, . . . , k .




O sistema de equações que determina c1, c2, . . . , ck é〈v1, v1〉〈v1, v2〉 . . . 〈v1, vk〉〈v2, v1〉〈v2, v2〉 . . . 〈v2, vk〉

......

. . ....

〈vk , v1〉〈vk , v2〉 . . . 〈vk , vk〉

c1c2...ck

=

〈v1, u〉〈v2, u〉

...〈vk , u〉

e designa-se por sistema de equações normais.

Sendo v1, v2, . . . , vk linearmente independentes, este sistema tem soluçãoúnica, qualquer que seja u ∈ V .



MQ e aproximação em espaços vectoriais

Dados os pares (xi , yi )ni=1 e as funções φ1(x), . . . , φk(x) pretende-sedeterminar a combinação linear

c1φ1(x) + · · ·+ ckφk(x)

que minimiza a soma dos quadrados dos desvios.

Definam-se φ1, . . . , φk , y ∈ Rn de acordo com

φ1 =

φ1(x1)φ1(x2)

...φ1(xn)

, . . . , φk =

φk(x1)φk(x2)

...φk(xn)

, e y =

y1y2...yn




Determinar a combinação linear c1φ1(x) + · · ·+ ckφk(x) que minimiza asoma dos quadrados dos desvios

é equivalente a

Determinar a combinação linear c1φ1 + · · ·+ ck φk que minimiza o valor

‖y − (c1φ1 + · · ·+ ck φk)‖2




Os valores c1, c2, . . . , ck são determinados resolvendo〈φ1, φ1〉〈φ1, φ2〉 . . . 〈φ1, φk〉〈φ2, φ1〉〈φ2, φ2〉 . . . 〈φ2, φk〉

......

. . ....

〈φk , φ1〉〈φk , φ2〉 . . . 〈φk , φk〉

c1c2...ck

=

〈φ1, y〉〈φ2, y〉

...〈φk , y〉




Este sistema de equações pode ser escrito na forma

n∑i=1

φ1(xi )φ1(xi )n∑

i=1φ1(xi )φ2(xi ) . . .

n∑i=1

φ1(xi )φk (xi )

n∑i=1

φ2(xi )φ1(xi )n∑

i=1φ2(xi )φ2(xi ) . . .

n∑i=1

φ2(xi )φk (xi )

.

.

....

. . ....

n∑i=1

φk (xi )φ1(xi )n∑

i=1φk (xi )φ2(xi ) . . .

n∑i=1

φk (xi )φk (xi )

c1c2...

ck

=

n∑i=1

φ1(xi )yi

n∑i=1

φ2(xi )yi

. . .n∑

i=1φk (xi )yi




Este sistema tem solução única se os vectores φ1, φ2, . . . , φk , foremlinearmente independentes.

Neste caso, diz-se que as funções φ1, . . . , φk são linearmenteindependentes nos pontos x1, x2, . . . , xn.

Então, o número de pontos (n) deverá ser sempre superior ou igual aonúmero de funções consideradas (k).



Exercício

Determine a melhor aproximação y = a sin(x) + b cos(x), no sentido dosmínimos quadrados, dos pontos da tabela.

x 0 π2 π 3π

2

y −1.3 1.55 1.2 −1.45

Resolva o exercício usando o formalismo da aproximação em espaçosvectoriais.



Vectores ortogonais

Se 〈vi , vj〉 = 0 para i 6= j (vectores ortogonais), então〈v1, v1〉 0 . . . 0

0 〈v2, v2〉 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 〈vk , vk〉

c1c2...ck

=

〈v1, u〉〈v2, u〉

...〈vk , u〉

Concluindo-se que

cj =〈vj , u〉〈vj , vj〉



Exercício: aprox. por exponenciais complexas

Sejam f , g : [0,T ]→ C e defina-se 〈f , g〉 =

∫ T

0f ∗(t)g(t)dt.

1 Verifique que as funções vk(t) = e j2kπT t com k ∈ Z são ortogonais.

Nota: j =√−1.

2 Considere a função h(t) =

{1 se 0 ≤ t ≤ T

2

0 se T2 < t ≤ T

Qual a combinação linear de v−N , . . . , v0, . . . , vN que melhor aproximah no sentido dos mínimos quadrados?



Exemplo


Aproximação de funções Sistemas Sobredeterminados

Vamos agora ver ...

1 Erros











Sistemas Sobredeterminados

O sistema de equações (na variável c = c1, . . . , ck)F (x1, c) = y1

...F (xm, c) = ym

⇔

∑k

j=1 φj(x1)cj = y1...∑k

j=1 φj(xm)cj = ym

⇔ Ac = y

é, para um problema de MQ, em geral sobredeterminado (n.o de equaçõesm > n.o incógnitas k). Não tem solução se n.o linhas lin. indep. > k).

Defina-se “solução mínimos quadrados” deste sistema o vector c ∈ R queminimiza a soma dos quadrados dos desvios

‖d‖2 = ‖y − Ac‖2



Desenvolvendo a expressão

‖d‖2 = ‖y − Ac‖2 = (y − Ac)T (y − Ac) =

= yT y − 2yTAc − cTATAC

Derivando em ordem a c e igualando a zero

−2yTA + 2cTATA = 0

⇔ ATAc = AT y (1)

Se a matriz ATA possuir inversa (se as colunas de A forem lin. indep.)então

c = (ATA)−1AT y



Pseudo-inversa

A matriz (ATA)−1AT designa-se por pseudo-inversa e representa-se porA+. No caso em que A admite inversa A+ = A−1.

TeoremaSeja Ac = y um sistema (sobredeterminado ou não) em que as colunas deA são linearmente independentes. Então a solução de mínimos quadradosdo sistema é dada por

c = A+y

onde A+ = (ATA)−1AT .

Em alguns sistemas de computação numérica (ex: Matlab) a solução desistemas sobredeterminados é dada desta forma.

Exemplo: Em Matlab» c=inv(A)*y

dá-nos a solução de MQ do sistema Ac = y .



Normalidade

A expressão (1)ATAc = AT y

é uma outra forma de escrever as equações normais, pois reescrevendocomo

AT (Ac − y) = 0⇔ ATd = 0

verificamos que os desvios são ortogonais às colunas de A.

(Comparar com o 1o teorema deste capítulo.)


Interpolação polinomial


1 Erros











Interpolação

Por 2 pontos passa uma recta.Por 3 será uma parábola?E por 4? uma cúbica!? . . .

Como podem os polinómios ajudar a resolver equações não lineares?

O que são cubic splines?

...



Interpolação

x

y

(x0, y0) (x1, y1)

(xn, yn)

bcbc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bcg(x)

Dados os pontos (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn)

Determinar uma função g : R→ R tal que

g(x0) = y0, g(x1) = y1, . . . , g(xn) = yn

x0, x1, . . . , xn são os nós de interpolação (i 6= j ⇒ xi 6= xj )

y0, y1, . . . , yn são os valores nodaisMIEEC (FEUP) MÉTODOS NUMÉRICOS 206 / 458


Aplicações da interpolação

Cálculo de funções fornecidas por tabelas

Quando se conhecem apenas alguns dos valores de uma função, porexemplo obtidos experimentalmente

Aproximação de funções cujo cálculo seja complexo ou exija grandeesforço

Base de muitos métodos numéricos




Uma função p diz-se polinomial de grau n se puder ser escrita na forma

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

onde n ∈ N0 e an 6= 0.

Se p(x) = 0, o polinómio diz-se nulo, e o seu grau é, por convenção, −∞.




Utilização de funções interpoladoras polinomiais

o seu cálculo é feito com um número finito de multiplicações e somas

as operações de derivação e primitivação são simples

são funções de classe C∞

aproximam tanto quanto se queira qualquer função contínua numintervalo finito



Aproximação por polinómios

Teorema (Weierstrass)

Seja [a, b] um intervalo real e f uma função contínua em [a, b]. Então,qualquer que seja ε > 0, existe uma função polinomial p tal que

maxx∈[a,b]

|f (x)− p(x)| < ε.

x

y

a b

f (x)

f (x) + ε

f (x)− ε

p(x)



Formas polinomiais

Forma de potências simples

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn

Forma de potências centradas

p(x) = a0 + a1(x − c) + a2(x − c)2 + · · ·+ an(x − c)n

Forma de Newton

p(x) = a0 + a1(x − c1) + a2(x − c1)(x − c2) + · · ·+ an(x − c1) · · · (x − cn)



Cálculo de polinómios: algoritmo de Horner

Forma de potências simples:

p(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn

y ← anPara i = n − 1 até 0 fazer

y ← ai + y · x



Cálculo de polinómios: algoritmo de Horner

Forma de Newton:

p(x) = a0 + a1(x − c1) + · · ·+ an(x − c1) · · · (x − cn)

y ← anPara i = n − 1 até 0 fazer

y ← ai + y · (x − ci+1)


Interpolação polinomial Polinómio interpolador: unicidade e existência

Vamos agora ver ...

5 Interpolação polinomialPolinómio interpolador: unicidade e existênciaForma de LagrangeForma de Aitken-NevilleForma de NewtonDiferenças divididasDiferenças fiinitasInterpolação directa e inversaDupla interpolaçãoErro de interpolaçãoSplines



Polinómio interpolador: unicidade e existência

Teorema

Dados os nós distintos x0, x1, . . . , xn e os valores nodais y0, y1, . . . , yn,existe um e um só polinómio p de grau menor ou igual a n que interpolaos valores yi nos nós xi , ou seja, tal que

p(xi ) = yi , i = 0, 1, . . . , n.



Existência e unicidade de polinómio interpolador

Os coeficientes do polinómio interpolador verificama0 + a1x0 + . . .+ anxn0 = y0a0 + a1x1 + . . .+ anxn1 = y1. . .a0 + a1xn + . . .+ anxnn = yn

que não é mais do que um sistema de n + 1 equações lineares nas n + 1incógnitas a0, a1, . . . , an.



Determinante de Vandermonde

v(x0, x1, . . . , xn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x0 x20 . . . xn−10 xn01 x1 x21 . . . xn−11 xn1...

......

. . ....

...1 xn x2n . . . xn−1n xnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣




∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x0 x20 . . . xn−10 01 x1 x21 . . . xn−11 xn−11 (x1 − x0)...

......

. . ....

...1 xn x2n . . . xn−1n xn−1n (xn − x0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣




∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x0 x2

0 . . . xn−20 0 0

1 x1 x21 . . . xn−2

1 xn−21 (x1 − x0) xn−1

1 (x1 − x0)...

......

. . ....

......

1 xn x2n . . . xn−2

n xn−2n (xn − x0) xn−1

n (xn − x0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣




∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 . . . 0 01 x1 − x0 x1(x1 − x0) . . . xn−2

1 (x1 − x0) xn−11 (x1 − x0)

......

.... . .

......

1 xn − x0 xn(xn − x0) . . . xn−2n (xn − x0) xn−1

n (xn − x0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣




∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1 − x0 x1(x1 − x0) . . . xn−2

1 (x1 − x0) xn−11 (x1 − x0)

x2 − x0 x2(x2 − x0) . . . xn−22 (x2 − x0) xn−1

2 (x2 − x0)...

.... . .

......

xn − x0 xn(xn − x0) . . . xn−2n (xn − x0) xn−1

n (xn − x0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣




(x1 − x0) · (x2 − x0) · · · (xn − x0) ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x1 x2

1 . . . xn−11

1 x2 x22 . . . xn−1

2...

......

. . ....

1 xn x2n . . . xn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣




v(x0, x1, . . . , xn) =

n∏j=1

(xj − x0)

· v(x1, . . . , xn)




v(x0, x1, . . . , xn) =

n∏j=1

(xj − x0)

· n∏

j=2

(xj − x1)

· . . . · n∏

j=n

(xj − xn−1)

é não nulo se os nós forem distintos!



Construção do polinómio interpolador

Dados os valores (yi )ni=0 nos nós distintos (xi )ni=0, como se determina opolinómio interpolador p, de grau ≤ n?

Uma possibilidade é resolver o sistema de equaçõesa0 + a1x0 + . . .+ anxn0 = y0a0 + a1x1 + . . .+ anxn1 = y1. . .a0 + a1xn + . . .+ anxnn = yn

Abordagem não aconselhável . . . vamos estudar outras!


Interpolação polinomial Forma de Lagrange

Vamos agora ver ...




Forma de Lagrange

Os polinómios de Lagrange definem-se por

Lk(x) =n∏

i=0i 6=k

x − xixk − xi

e verificam as relações

Lk(xj) = δkj =

{1 se k = j0 se k 6= j

onde δkj é o designado delta de Kronecker



Forma de Lagrange: polinómios Lk(x)

x

y

x0 x1 x2 x3

1

L0(x)L1(x)

L2(x)

L3(x)



Existência e unicidade: outra vez

Mostramos assim de uma outra forma, construtiva, a existência dopolinómio interpolador.

Teorema

O polinómio

p(x) =n∑

k=0

ykLk(x),

tem grau menor ou igual a n e interpola os valores y0, y1, . . . , yn nos nósdistintos x0, x1, . . . , xn.

A unicidade mostra-se facilmente. Suponha-se que p1(x) e p2(x) são doispolinómios interpoladores de grau menor ou igual que ≤ n. O polinómiod(x) = p1(x)− p2(x) tem grau ≤ n e tem pelo menos n + 1 zeros nos nós.Logo d(x) = 0.



Forma de Lagrange: exemplo

Determinar o polinómio de grau menor ou igual a 3 que interpola os valores

x −1 0 2 3y 6 −12 18 24



Forma de Lagrange

Quando se altera ou adiciona um nó é necessário recalcular todos ospolinómios Lk

Se um ou mais valores nodais forem alterados, os polinómios Lkmantêm-se, sendo apenas necessário recalcular a combinação destespara obter p(x)


Interpolação polinomial Forma de Aitken-Neville

Vamos agora ver ...




Forma de Aitken-Neville

x

y

xm

ym

xm+1

ym+1

xm+k

ym+k

xm+k+1

ym+k+1

bc

bc

bc

bc

pm,k (x)

bc

bc

bc

bc

pm+1,k (x)

bc

bc

bc

bc

pm,k+1(x)

bc

bc

bc

bc




Se pm,k(x) interpola (yi )m+ki=m nos nós (xi )m+k

i=m

e se pm+1,k(x) interpola (yi )m+k+1i=m+1 nos nós (xi )m+k+1

i=m+1

então

pm,k+1(x) =(x − xm+k+1) · pm,k(x) + (xm − x) · pm+1,k(x)

xm − xm+k+1

interpola (yi )m+k+1i=m nos nós (xi )m+k+1

i=m .




A expressão de recorrência

(x − xm+k+1) · pm,k(x) + (xm − x) · pm+1,k(x)

xm − xm+k+1

é uma generalização da expressão

(x − x1) · y0 + (x0 − x) · y1x0 − x1

designando-se também por interpolação linear iterada




A expressão de recorrência pode ainda ser escrita como

pm,k+1(x) =

pm,k(x) x − xmpm+1,k(x) x − xm+k+1

xm − xm+k+1




Para determinar p(x) que interpola (yi )ni=0 em (xi )ni=0 é necessário obter ospolinómios

pi ,0(x), i = 0, . . . , npi ,1(x), i = 0, . . . , n − 1. . . e, finalmentep0,n(x) = p(x).




y01(x) =

y0 x − x0y1 x − x1x0 − x1

, y12(x) =

y1 x − x1y2 x − x2x1 − x2

, . . .

y012(x) =

y01(x) x − x0y12(x) x − x2

x0 − x2, y123(x) = . . .

...



Forma de Aitken-Neville: exemplo

Determinar, em x = 1, o valor do polinómio de grau menor ou igual a 3que interpola

x −1 0 2 3y 6 −12 18 24




Permite calcular o valor do polinómio interpolador num ponto, semdeterminar os seus coeficientes.

É possível adicionar e retirar nós nos “extremos” reutilizando oscálculos já efectuados.

Se os valores nodais forem alterados é necessário repetir os cálculos.


Interpolação polinomial Forma de Newton

Vamos agora ver ...




Forma de Newton

O polinómio interpolador p é obtido na forma de Newton tomando comocentros os nós distintos x0, x1, . . . , xn−1

p(x) = a0 + a1W0(x) + · · ·+ anWn−1(x)

onde

W0(x) = x − x0W1(x) = (x − x0)(x − x1)

. . .

Wn−1(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn−1)



Forma de Newton

Teorema

Sendo os polinómios p0, p1, . . . , pn definidos por

p0(x) = a0,pk(x) = pk−1(x) + akWk−1(x), k = 1, . . . , n,

e definindo os valores

a0 = y0,

ak =yk − pk−1(xk)

Wk−1(xk), k = 1, . . . , n,

então, para k = 0, 1, . . . , n, pk interpola (yj)kj=0 nos nós (xj)kj=0.



Forma de Newton: exemplo

Determinar o polinómio de grau menor ou igual a 2 que interpola

x −1 2 3y 1 3 5


Interpolação polinomial Diferenças divididas

Vamos agora ver ...




Diferenças divididas

pm,k(x) interpola (xi , yi )m+ki=m

pm,k(x) = am,0 + am,1(x − xm) + · · ·+ am,k(x − xm) · · · (x − xm+k−1)

pm,k+1(x) interpola (xi , yi )m+k+1i=m

pm,k+1(x) = am,0 + am,1(x − xm) + · · ·+ am,k+1(x − xm) · · · (x − xm+k)

am,j depende de (xi , yi )m+ji=m → am,j = y [xm, . . . , xm+j ]

e designa-se diferença dividida (nos nós xm, . . . , xm+j).



Diferenças divididas

Teorema

As diferenças dividas satisfazem y [xj ] = yj , e

y [xm, . . . , xm+k+1] =y [xm+1, . . . , xm+k+1]− y [xm, . . . , xm+k ]

xm+k+1 − xm.



Diferenças divididas: forma de Newton

O polinómio interpolador na forma de Newton fica agora

p(x) = y [x0] + y [x0, x1](x − x0) + · · ·+ y [x0, . . . , xn](x − x0) · · · (x − xn−1)

onde

y [x0] = y0

y [x0, x1] =y [x1]− y [x0]

x1 − x0

y [x0, x1, x2] =y [x1, x2]− y [x0, x1]

x2 − x0. . .



Diferenças divididas: forma tabular

Exemplo com 4 nós

x y [·] y [·, ·] y [·, ·, ·] y [·, ·, ·, ·]x0 y0

y [x0, x1]x1 y1 y [x0, x1, x2]

y [x1, x2] y [x0, x1, x2, x3]x2 y2 y [x1, x2, x3]

y [x2, x3]x3 y3



Diferenças divididas: exemplo

Determinar, na forma de Newton, o polinómio de grau menor ou igual a 3que interpola

x −1 0 2 3y 6 −12 18 24


Interpolação polinomial Diferenças fiinitas

Vamos agora ver ...




Diferenças finitas

Definição

A diferença finita de ordem k ∈ N0 e passo h > 0 da função frepresenta-se por ∆k

hf e o seu valor no ponto x é

∆0hf (x) = f (x),

∆k+1h f (x) = ∆k

hf (x + h)−∆khf (x), k = 0, 1, . . .



Diferenças finitas: forma tabular

x y ∆y ∆2y . . . ∆n−1y ∆nyx0 y0

∆y0x1 y1 ∆2y0

∆y1 . . .

. . . . . . . . . ∆n−1y0. . . . . . ∆ny0

. . . . . . . . . ∆n−1y1∆yn−2 . . .

xn−1 yn−1 ∆2yn−2∆yn−1

xn yn



Diferenças finitas e diferenças divididas

Teorema

A diferença dividida de ordem k dos valores nodais y nos nósh-equidistantes xi , xi+1, . . . , xi+k satisfaz

y [xi , . . . , xi+k ] =1

k!hk∆kyi



Nós equidistantes: exemplo

Determinar o polinómio p, de grau menor ou igual a 3,que interpola os valores da seguinte tabela.

x −1 1 3 5y 2 5 3 1



Forma de Newton

É possível adicionar nós e retirar nós nos “extremos” reaproveitando oscálculos já efectuados.

A alteração dos valores nodais obriga a refazer os cálculos.

Os cálculos tornam-se mais simples se os nós estiverem igualmenteespaçados.


Interpolação polinomial Interpolação directa e inversa

Vamos agora ver ...




Interpolação directa e inversa

Sejam f : [a, b]→ R , (xi )ni=0 nós distintos em [a, b] e yi = f (xi ),i = 0, 1, . . . , n.

A interpolação directa de f consiste em obter o polinómio p de menorgrau tal que p(xi ) = yi , i = 0, 1, . . . , n.

Se f admitir inversa então a interpolação inversa de f consiste em obtero polinómio q de menor grau tal que

q(yi ) = xi , i = 0, 1, . . . , n.

Agora (yi )ni=0 são os nós de interpolação e (xi )ni=0 são os valores nodais, dafunção f −1 a interpolar.



Interpolação inversa: exemplo de aplicação

Determinar, por interpolação inversa, um valor aproximado do zero def (x) = 3

2 sin(x)− e−x no intervalo [0, 1].


Interpolação polinomial Dupla interpolação

Vamos agora ver ...




Dupla interpolação

Sejam f : R2 → R, (xi )ni=0 distintos, e (yj)mi=0 distintos

Dados os valores zij = f (xi , yj) pretende-se obter f (x , y)

Pode utilizar-se dupla interpolação, que consiste em efectuarinterpolações polinomiais independentes nas duas variáveis



Dupla interpolação: primeira alternativa

1 Interpolando em x , obtém-se para cada j o polinómio pj que interpolaos valores (zij)ni=0 nos nós (xi )ni=0.

2 Posteriormente, determina-se o polinómio q que interpola os valorespj(x) nos nós (yj)mj=0.

3 O valor procurado será q(y).




f (x , y) y0 . . . yl y yl+1 . . . ymx0 z00 . . . z0l z0,l+1 . . . z0m...

.... . .

......

. . ....

xk zk0 . . . zkl zk,l+1 . . . zkmx p0(x) . . . pl (x) q(y) pl+1(x) . . . pm(x)

xk+1 zk+1,0 . . . zk+1,l zk+1,l+1 . . . zk+1,m...

.... . .

......

. . ....

xn zn0 . . . znl zn,l+1 . . . znm



Dupla interpolação: segunda alternativa

1 Interpolando em y , obtém-se para cada i o polinómio qi que interpolaos valores (zij)mj=0 nos nós (yj)mj=0.

2 Posteriormente, determina-se o polinómio p que interpola os valoresqi (y) nos nós (xi )ni=0.

3 O valor procurado será p(x).




f (x , y) y0 . . . yl y yl+1 . . . ymx0 z00 . . . z0l q0(y) z0,l+1 . . . z0m...

.... . .

......

.... . .

...xk zk0 . . . zkl qk(y) zk,l+1 . . . zkmx p(x)

xk+1 zk+1,0 . . . zk+1,l qk+1(y) zk+1,l+1 . . . zk+1,m...

.... . .

......

.... . .

...xn zn0 . . . znl qn(y) zn,l+1 . . . znm



Dupla interpolação: exemplo

1 Considere a tabela com valores de z(x , y) conhecidos.

yz 1 2 4 6

1 10 15 18 22x 2 7 12 15 20

5 5 8 10 14

1 Com interpolação linear em x e em y , estime z(4, 5)

1 interpolando primeiro em x .2 interpolando primeiro em y .

2 Estime agora z(4, 5) utilizando primeiro interpolação linear em x edepois quadrática em y .


Interpolação polinomial Erro de interpolação

Vamos agora ver ...




Erro na interpolação de funções

Sejam f : [a, b]→ R e os nós (xi )ni=0 em [a, b]

Seja p o polinómio de menor grau que interpola f em (xi )ni=0

Qual o erro que se comete ao aproximar f (x) por p(x)?



Erro de interpolação

Teorema

Sejam f ∈ Cn+1([a, b]; R) e p o polinómio de grau menor ou igual a n queinterpola f nos nós distintos (xi )ni=0, pertencentes a [a, b]. Então, paraqualquer x ∈ [a, b] existe ξ ∈ [a, b] tal que

e(x) ≡ f (x)− p(x) =1

(n + 1)!f (n+1)(ξ)Wn(x),

onde Wn(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn).



Diferenças divididas e derivadas

Lema

Sejam f ∈ C k([a, b]; R) e (xi )ki=0 um conjunto de nós distintos em [a, b].Então existe ξ ∈ [a, b] tal que

f [x0, x1, . . . , xk ] =1k!

f (k)(ξ).



Erro de interpolação

Estando os nós ordenados de forma crescente e sendo h o espaçamentomáximo entre nós consecutivos, a majoração de |Wn| conduz a

|e(x)| ≤ hn+1

4(n + 1)· maxz∈[a,b]

|f (n+1)(z)|

válida para todo o x ∈ [x0, xn].



Erro de interpolação: exercício 1

Pretende-se construir uma tabela da função f (x) = tan(x) no intervalo[0, π4 ] com nós equidistantes, por forma a que o erro absoluto cometidoquando se interpola linearmente nesta tabela não exceda 5× 10−5. Qual oespaçamento mínimo entre os nós?



Erro de interpolação: exercício 2

Pretende-se aproximar a função ex no intervalo [−1, 1] por um polinómiointerpolador em nós igualmente espaçados, de forma a que o erro absolutocometido seja inferior a 5× 10−8. Determine a ordem mínima para opolinómio interpolador.



Aproximação por polinómios interpoladores

Interpolação de f (x) = 11+25x2 em [−1, 1] (nós equidistantes)

5 nós

7 nós

9 nós



Rigidez dos polinómios

Oscilações crescentes ao aumentar o grau do polinómio.

Como evitar este fenómeno?

escolhendo criteriosamente a localização dos nós

utilizar outras funções interpoladoras


Interpolação polinomial Splines

Vamos agora ver ...




Splines polinomiais

Definição

Uma função S diz-se um spline polinomial de grau m (onde m ∈ N),relativo aos nós a = x0 < x1 < · · · < xn = b, quando

1 S coincide com um polinómio Si de grau menor ou igual a m em cadasubintervalo [xi−1, xi ], i = 1, . . . , n.

2 S ∈ Cm−1([a, b]; R).



Interpolação por splines polinomiais

Dados os nós x0 < x1 < · · · < xn e os valores nodais y0, y1, . . . , yn, ainterpolação por splines de grau m consiste em encontrar um spline Sde grau m relativoaos nós x0 < x1 < · · · < xn tal que

S(xi ) = yi , i = 0, 1, . . . , n.



Interpolação por splines polinomiais

Algumas questões importantes:

será que existe spline interpolador?

será que o spline interpolador é único?

como determinar os polinómios Si que o definem?

qual o erro na interpolação de uma função por splines?



Splines lineares (ou de grau 1)

O spline S coincide em [xi−1, xi ] com o segmento de recta que passa pelospontos (xi−1, yi−1) e (xi , yi ).

x x0 x1 x2 x3 x4

y0 y1

y2

y3 y4

y



Splines lineares

Os polinómios Si , definidores do spline, satisfazem

Si (xi−1) = yi−1 i = 1, . . . , n,Si (xi ) = yi i = 1, . . . , n.

de onde resultam 2n equações.

Spline é definido por 2n coeficientes.

Spline existe e é único.



Splines lineares

Os polinómios Si , definidores do spline, serão dados por

Si (x) = yi−1xi − xhi

+ yix − xi−1

hi

para i = 1, 2, . . . , n. Nota: hi = xi − xi−1.



Aproximação por splines lineares

Sendo yi = f (xi ), onde f é de classe C 2, o erro de aproximação por umspline de grau 1 é majorado por

|e| ≤ 18· |f ′′|∣∣

max· h2

com h = max{hi : 1 ≤ i ≤ n}.



Splines quadráticos (ou de grau 2)

O spline coincide em cada intervalo [xi−1, xi ] com um arco de parábola.

Estes arcos ligam-se de forma contínua, deverão passar pelos valores ainterpolar e assegurar a continuidade da primeira derivada nos nósx1, x2, . . . , xn−1.

x x0 x1 x2 x3 x4

y0 y1

y2

y3 y4

y



Splines quadráticos

As condições a impor aos polinómios Si , definidores do spline S , serão

Si (xi−1) = yi−1 i = 1, . . . , n,Si (xi ) = yi i = 1, . . . , n,S ′i (xi ) = S ′i+1(xi ) i = 1, . . . , n − 1.

que resultam em 3n − 1 equações.


Spline não único: necessário impor condição adicional.




Definindo Si , i = 1, . . . , n, como

Si (x) = yi−1 + mi−1(x − xi−1) +Mi

2(x − xi−1)2

os valores mi e Mi determinam-se por recorrência

mi = 2 · yi − yi−1hi

−mi−1 i = 1, . . . , n,

Mi =mi −mi−1

hii = 1, . . . , n.

sendo necessário definir o valor adicional m0.




São pouco utilizados, pois habitualmente apresentam um comportamentocom grandes oscilações.



Splines cúbicos (ou de grau 3)

Em [xi−1, xi ] o spline S coincide com um polinómio de grau menor ou iguala 3.

Estas funções polinomiais ligam-se de forma contínua, deverão passar pelosvalores a interpolar e assegurar a continuidade da primeira e segundaderivadas nos nós x1, x2, . . . , xn−1.

x x0 x1 x2 x3 x4

y0 y1

y2

y3 y4

y



Splines cúbicos

As condições a impor aos polinómios Si , definidores do spline S , serão

Si (xi−1) = yi−1 i = 1, . . . , n,Si (xi ) = yi i = 1, . . . , n,S ′i (xi ) = S ′i+1(xi ) i = 1, . . . , n − 1,S ′′i (xi ) = S ′′i+1(xi ) i = 1, . . . , n − 1.

que resultam em 4n − 2 equações.


Spline não único: necessárias duas condições adicionais.



Splines cúbicos

Definindo Mi = S ′′(xi ), para i = 0, 1, . . . , n, a continuidade da segundaderivada fica assegurada se

S ′′i (x) = Mi−1xi − xhi

+ Mix − xi−1

hi

Os parâmetros Mi são habitualmente designados por momentos.



Splines cúbicos

Si (x) = Mi−1(xi − x)3

6hi+ Mi

(x − xi−1)3

6hi+(

yi−1 − Mi−1h2i6

)xi − xhi

+

(yi − Mih2i

6

)x − xi−1

hi



Splines cúbicos

Os momentos M0, . . . ,Mn deverão satisfazer as equações

hi6Mi−1 +

hi + hi+1

3Mi +

hi+1

6Mi+1 =

yi+1 − yihi+1

− yi − yi−1hi

para i = 1, 2, . . . , n − 1.

Sistema de n − 1 equações lineares com n + 1 incógnitas.

Impondo-se M0 = 0 e Mn = 0 obtém-se o spline natural.



Splines cúbicos: propriedades

Teorema

Sejam os nós a = x0 < · · · < xn = b e os valores nodais y0, . . . , yn. Então,de todas as funções g ∈ C 2([a, b]; R) que interpolam estes pontos, o splinecúbico natural é a única que torna mínimo o valor de∫ b

a[g ′′(x)]2dx .



Splines cúbicos interpoladores

Caso os valores nodais obedeçam a yi = f (xi ), onde f é uma função declasse C 4, o erro de interpolação por um spline cúbico é majorado por

|e| ≤ 5384· |f (4)|∣∣

max· h4

onde h = max{hi : 1 ≤ i ≤ n}.



Interpolação por splines: exemplo

Interpolar, por splines polinomiais, a função

f (x) =1

1 + 25x2x ∈ [−1, 1]

utilizando 7 pontos equidistantes do intervalo [−1, 1].




Os polinómios definidores do spline linear serão

S1(x) = 0.17078 + 0.13232x , x ∈ [−1,−23 ]

S2(x) = 0.44684 + 0.54641x , x ∈ [−23 ,−1

3 ]

S3(x) = 1 + 2.20588x , x ∈ [−13 , 0]

S4(x) = 1− 2.20588x , x ∈ [0, 13 ]

S5(x) = 0.44684− 0.54641x , x ∈ [13 ,23 ]

S6(x) = 0.17078− 0.13232x , x ∈ [23 , 1]




Os polinómios definidores do spline quadrático serão

S1(x) = 0.43543 + 0.79393x + 0.39697x2, x ∈ [−1,−23 ]

S2(x) = 0.63469 + 1.39171x + 0.84530x2, x ∈ [−23 ,−1

3 ]

S3(x) = 1 + 3.58359x + 4.13311x2, x ∈ [−13 , 0]

S4(x) = 1 + 3.58359x − 17.36841x2, x ∈ [0, 13 ]

S5(x) = 5.41280− 22.89323x + 22.34682x2, x ∈ [13 ,23 ]

S6(x) = −13.89892 + 35.04193x − 21.10455x2, x ∈ [23 , 1]




Os polinómios definidores do spline cúbico serão

S1(x) = −0.63728− 2.49388x − 2.72721x2 − 0.90907x3, x ∈ [−1,− 23 ]

S2(x) = 2.08308 + 9.74775x + 15.63523x2 + 8.27215x3, x ∈ [− 23 ,− 1

3 ]

S3(x) = 1− 13.60801x2 − 20.97109x3, x ∈ [− 13 , 0]

S4(x) = 1− 13.60801x2 + 20.97109x3, x ∈ [0, 13 ]

S5(x) = 2.08308− 9.74775x + 15.63523x2 − 8.27215x3, x ∈ [ 13 ,23 ]

S6(x) = −0.63728 + 2.49388x − 2.72721x2 + 0.90907x3, x ∈ [ 23 , 1]




linear

quadratico

cubico

linear

cubico


Integração numérica


1 Erros












Para calcular∫ 1

0sin x2dx , encontra-se h(x) tal que h′(x) = sin x2 e

calcula-se h(1)− h(0).

Mas h(x) não pode ser escrita à custa de um número finito de funçõesconhecidas!




Dada uma função f definida num intervalo [a, b], consiste em obter valoresaproximados de

I (f ) =

∫ b

af (x)dx

sem obter uma primitiva de f .

x

f(x)

a b



Integração numérica: interesse

1 quando não se conhece expressão analítica de f

2 quando não se conhecem expressões analíticas de primitivas de f

3 quando o cálculo de primitivas de f é dispendioso



Integração numérica: metodologia

1 Aproximar f por uma função g de primitivação simples(vamos usar polinómios!)

2 Aproximar o integral de f por

I (f ) ' I (g) =

∫ b

ag(x)dx

3 O erro cometido é

E (f ) = I (f )− I (g) = I (f − g)



Regras de integração básicas

Aproximar∫ ba f (x)dx por

∫ ba pn(x)dx , onde pn é o polinómio de menor grau

que interpola f nos nós x0 < x1 < · · · < xn de [a, b].

Como pn(x) =∑n

i=0 f (xi )Li (x), onde os Li são os polinómios de Lagrangenos nós (xi )ni=0, temos∫ b

af (x)dx '

∫ b

apn(x)dx =

∫ b

a

(n∑

i=0

f (xi )Li (x)

)dx =

n∑i=0

Ai f (xi )

onde Ai =∫ ba Li (x)dx .



Regras de integração básicas: exemplos

xa x0 b

y1f(x)

x1

y0

p1(x)

Polinómio interpolador em 2 nós



Regras de integração básicas: exemplos

xa x0 b

y2f(x)

x2

y0 p2(x)

x1

y1

Polinómio interpolador em 3 nós



Regras de integração básicas: exactidão

Definição

Uma regra de integração diz-se de grau ou exactidão n se integrarexactamente todos os polinómios de grau menor ou igual a n e existir pelomenos um polinómio de grau n + 1 que não é integrado exactamente.



Regras de integração básicas: erro

O erro de integração será

E (f ) =

∫ b

ae(x)dx =

∫ b

af [x0, . . . , xn, x ]Wn(x)dx

Nota: Se f é Cn+1 então x 7→ f [x0, x1, . . . , xn, x ] é contínua e existeξ ∈ [a, b] tal que f [x0, x1, . . . , xn, x ] = 1

(n+1)! f(n+1)(ξ).



Regras de integração compostas

Sejam a = a0 < a1 < · · · < an = b. Em cada subintervalo [ai−1, ai ], afunção f é interpolada por um polinómio pi , de grau menor ou igual a ki .

A aproximação de∫ ba f (x)dx será

I (f ) =

∫ b

af (x)dx =

n∑i=1

∫ ai

ai−1f (x)dx '

n∑i=1

∫ ai

ai−1pi (x)dx


Integração numérica Regra dos trapézios

Vamos agora ver ...

6 Integração numéricaRegra dos trapéziosRegra de SimpsonIntegração de Romberg



Regra dos trapézios

Em cada subintervalo é utilizado o polinómio de grau menor ou igual a 1que interpola f nos seus extremos.

x a=x0 x1 xn=b

...

y1

x2

f(x)

xn-1

y0 y2 yn

yn-1



Regra dos trapézios

A expressão da regra de integração dos trapézios é

I (f ) ' h2

(y0 + 2y1 + 2y2 + · · ·+ 2yn−1 + yn)



Regra dos trapézios: erro de truncatura

O erro de truncatura da regra dos trapézios é dado por

E (f ) = −h2

12(b − a)f ′′(ξ)

podendo usar-se o majorante

|E (f )| =h2

12(b − a) max

x∈[a,b]|f ′′(x)|



Regra dos trapézios: erro de arredondamento

Tendo cada yi um erro absoluto máximo ε, o erro de arredondamento εa naregra dos trapézios satisfará

εa ≤ (b − a)ε

Um majorante para o erro absoluto total, na aplicação da regra dostrapézios será

|E (f )|+ εa



Regra dos trapézios: exemplo

Calcular um valor aproximado de∫ 10 e−x2dx , utilizando a regra dos

trapézios com 20 subintervalos e obter um majorante para o erro cometido,considerando que os valores de f são exactos.Qual o erro máximo absoluto admissível para os valores de f se se pretenderque o erro de arredondamento não seja superior ao erro de truncatura?


Integração numérica Regra de Simpson

Vamos agora ver ...




Regra de Simpson

Consideram-se agora polinómios de grau menor ou igual a 2, cada uminterpolando f em três pontos igualmente espaçados.

O número n de subintervalos deverá ser par, pois cada parábolainterpoladora é definida em dois subintervalos consecutivos (3 pontos).

x a=x0 x1 xn=b

...

y1

x4

f(x)

y0 y4 yn

x3 x2

y3 y2



Regra de Simpson

A expressão da regra de integração de Simpson é

I (f ) ' h3

(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + · · ·+ 4yn−1 + yn)



Regra de Simpson: erro de truncatura

O erro de truncatura da regra de Simpson é dado por

E (f ) = − h4

180(b − a)f (4)(ξ)

podendo usar-se o majorante

|E (f )| =h4

180(b − a) max

x∈[a,b]|f (4)(x)|



Regra de Simpson: erro de arredondamento

Tendo cada yi um erro absoluto máximo ε, o erro de arredondamento εa naregra de Simpson satisfará

εa ≤ (b − a)ε

Um majorante para o erro absoluto total na aplicação da regra deSimpson será

|E (f )|+ εa



Regra de Simpson: exemplo

Calcular um valor aproximado de∫ 10 e−x2dx , utilizando a regra de Simpson

com 12 subintervalos e obter um majorante para o erro cometido,considerando que os valores de f são exactos.


Integração numérica Integração de Romberg

Vamos agora ver ...




Integração de Romberg

Consiste em obter estimativas de I =∫ ba f (x)dx partindo de várias

aplicações da regra dos trapézios, com subintervalos de larguras diferentes.

Sendo T (h) o valor aproximado de I dado pela regra dos trapézios comsubintervalos de largura h, tem-se que

I = T (h) + K1h2 + K2h4 + K3h6 + · · ·

onde K1,K2,K3, . . . são constantes independentes de h.




Se T1(h) = 4T (h/2)−T (h)3 então I = T1(h) + K ′1h

4 + K ′2h6 + · · ·

Se T2(h) = 16T1(h/2)−T1(h)15 então I = T2(h) + K ′′1 h

6 + K ′′2 h8 + · · ·

Se T3(h) = 64T2(h/2)−T2(h)63 então I = T3(h) + K ′′′1 h8 + K ′′′2 h10 + · · ·

. . .




Definindo

T0(h) = T (h)

Tn(h) =4nTn−1(h/2)− Tn−1(h)

4n − 1, n = 1, 2, . . .

verifica-se que

I = Tn(h) + Kn,1h2n+2 + Kn,2h2n+4 + · · ·



Integração de Romberg: exemplo

Obter uma estimativa de∫ 10

dx1+x2 com erro de ordem 8, utilizando um valor

de inicial de h = 0.25.




Valores obtidos com a regra dos trapézios

h T (h)

0.25 0.78279411764710.125 0.78474712362280.0625 0.78523540301030.03125 0.7853574732937




Os valores extrapolados encontram-se na tabela seguinte

h T (h) T1(h) T2(h) T3(h)

0.25 0.7827941176471 0.7853981256147 0.7853981652856 0.78539816339750.125 0.7847471236228 0.7853981628062 0.78539816342700.0625 0.7852354030103 0.78539816338820.03125 0.7853574732937

O valor do integral a calcular é π4 = 0.78539816339744830963 . . .

O erro de T3(0.25) é cerca de 10−13,enquanto o erro de T (0.03125) é cerca de 4× 10−5!!!!


Sobre normas de vectores e matrizes









Sobre normas de vectores e matrizes Norma de um vector

Vamos agora ver ...




Norma de um vector

V : espaço vectorial

norma: ‖ · ‖ : V → R

1 ‖x‖ ≥ 0 ∀x ∈ V e ‖x‖ = 0⇒ x = 0

2 ‖αx‖ = |α| · ‖x‖ ∀α ∈ R,∀x ∈ V

3 ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀x , y ∈ V



Norma euclidiana em Rn

x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn

‖x‖2 =√

x21 + x22 + · · ·+ x2n =

(n∑

i=1

x2i

) 12



Outras normas em Rn

→ norma 1n∑

i=1

|xi |

→ norma ∞ max1≤i≤n

|xi |

→ norma p

(n∑

i=1

|xi |p) 1

p

, (com p ≥ 1)

→ . . .



Normas em Rn: exemplos para n = 2

x1

x2

1

1‖x‖1 = 1

‖x‖1.4 = 1

‖x‖2 = 1

‖x‖3 = 1

‖x‖∞ = 1



Equivalência de normas

Teorema

Sejam ‖ · ‖α e ‖ · ‖β duas normas definidas em Rn.Então existem constantes k1, k2 > 0 tais que

k1 ‖x‖α ≤ ‖x‖β ≤ k2 ‖x‖α, ∀x ∈ Rn.

Exemplo: ‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤√n ‖x‖∞, ∀x ∈ Rn



Convergência em Rn

Sejam→ x(k) = (x1,(k), . . . , xn,(k)) ∈ Rn, k ∈ N→ s = (s1, . . . , sn) ∈ Rn

Definição

Diz-se que {x(k)} converge para s (x(k) → s) se

limk→+∞

‖x(k) − s‖ = 0.

Teorema

x(k) → s se e só se xi ,(k) → si , i = 1, . . . , n.


Sobre normas de vectores e matrizes Norma de uma matriz

Vamos agora ver ...




Norma de uma matriz

Dada uma norma ‖ · ‖ em Rn, define-se norma induzida da matrizA ∈ Rn×n como

‖A‖ = supx 6=0

‖Ax‖‖x‖

Esta definição é equivalente a

‖A‖ = max‖x‖=1

‖Ax‖



Norma induzida: propriedades

1 Para A ∈ Rn×n tem-se

1 ∀x ∈ Rn ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖2 ∃x ∈ Rn \ {0} ‖Ax‖ ≥ ‖A‖ · ‖x‖

2 ‖AB‖ ≤ ‖A‖ · ‖B‖ ∀A,B ∈ Rn×n

3 ‖I‖ = 1, onde I é a matriz identidade



Normas de matrizes

Diferentes normas em Rn originam diferentes normas induzidas:

‖A‖2 = max‖x‖2=1

‖Ax‖2

‖A‖1 = max‖x‖1=1

‖Ax‖1

‖A‖∞ = max‖x‖∞=1

‖Ax‖∞



Norma 2 de uma matriz: exemplo

A =

[2 10 1

]‖A‖2 =?

x1

x2

1

1

{x : ‖x‖2 = 1}

{Ax : ‖x‖2 = 1}

‖A‖2 =√

3 +√

5



Norma 1 de uma matriz: exemplo

A =

[2 10 1

]‖A‖1 =?

x1

x2

1

1

{x : ‖x‖1 = 1}

{Ax : ‖x‖1 = 1}

‖A‖1 = 2



Norma ∞ de uma matriz: exemplo

A =

[2 10 1

]‖A‖∞ =?

x1

x2

1

1

{x : ‖x‖∞ = 1}

{Ax : ‖x‖∞ = 1}

‖A‖∞ = 3



Norma 1 de uma matriz

Teorema

Seja A ∈ Rn×n de elemento genérico aij . Então verifica-se

‖A‖1 = maxj=1,...,n

n∑i=1

|aij |,

ou seja, ‖A‖1 é o máximo das somas por colunas dos valores absolutos doselementos de A.



Norma ∞ de uma matriz

Teorema

Seja A ∈ Rn×n de elemento genérico aij . Então verifica-se

‖A‖∞ = maxi=1,...,n

n∑j=1

|aij |,

ou seja, ‖A‖∞ é o máximo das somas por linhas dos valores absolutos doselementos de A.



Normas de matrizes: exemplo

Sendo

A =

−2 0 1 6−3 −1 2 42 1 −1 13 −2 2 5

calcular ‖A‖1 e ‖A‖∞.



Norma 2 de uma matriz. Raio Espectral

Teorema

Seja A ∈ Rn×n. Então verifica-se ‖A‖2 =√ρ(ATA).

ρ(C ) é o raio espectral de C ∈ Rn×n definido por

ρ(C ) = max1≤i≤n

|λi |

onde λ1, . . . , λn são os valores próprios de C .

Raio espectral e norma 2 são de cálculo trabalhoso!



Raio espectral e normas

Teorema

Para qualquer norma induzida ‖ · ‖ e para qualquer A ∈ Rn×n tem-se

ρ(A) ≤ ‖A‖.

Dados A ∈ Rn×n e ε > 0, existe uma norma induzida ‖ · ‖ tal que

‖A‖ ≤ ρ(A) + ε.


Sistemas de equações lineares










4. Sistemas de equações lineares

Porque nem sempre é a regra de Cramer um bom método para resolversistemas de equações lineares?

Como se propagam os erros (de arredondamento) ao resolver um sistemade equações? Como se evita que estes sejam grandes?

O que é um sistema de equações mal condicionado?

...




a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

em forma compacta: Ax = b

A ∈ Rm×n matriz dos coeficientes, de elementos aij

b ∈ Rm vector dos termos independentes, de elementos bi

x ∈ Rn vector de incógnitas, de elementos xj



Sistemas de n equações a n incógnitas

Teorema

O sistema de n equações a n incógnitas tem solução única se e só sedetA 6= 0.

Podem ser resolvidos pela regra de Cramer:

xi =detAi

detA



Métodos de resolução

Objectivo: estudar métodos de resolução numérica→ eficientes: baixo número de operações→ eficazes: boas aproximações

Serão estudados dois tipos de métodos→ directos: eliminação gaussiana (ou método de Gauss)→ iterativos: métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel



Sistemas na forma triangular

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1,n−1xn−1 + a1nxn = b1a22x2 + · · ·+ a2,n−1xn−1 + a2nxn = b2

......

an−1,n−1xn−1 + an−1,nxn = bn−1annxn = bn

Substituição inversa

xn =bn

ann

xi =bi −

∑nj=i+1 aijxjaii

i = n − 1, . . . , 1


Sistemas de equações lineares Eliminação gaussiana

Vamos agora ver ...




Eliminação gaussiana

Redução à forma triangular superior

Na etapa j anulam-se os coeficientes aij com i > jequação j designa-se equação pivotelemento ajj designa-se elemento pivotà equação i (> j) soma-se o múltiplo mij da equação j

mij = −aijajj

se ajj = 0 troca-se a equação j com a i tal que aij 6= 0



Eliminação gaussiana: aritmética finita

Resolver o sistema com aritmética de 4 dígitos.{0.0002x1 + 1.672x2 = 1.6731.336x1 − 2.471x2 = 4.209



Eliminação gaussiana: aritmética finita

Na substituição inversa xi =bi −

∑nj=i+1 aijxjaii

a propagação de erros é εxi ≤n∑

j=i+1

|aij ||aii |εxj

Então interessa que os quocientes|aij ||aii | sejam pequenos!

Para tal usam-se estratégias de escolha de pivot


Sistemas de equações lineares Estratégias de pivotação

Vamos agora ver ...




Estratégia parcial de pivot

1 Na etapa j é escolhida a equação pivot k ( j ≤ k ≤ n)

1 calculam-se os valores di = maxj≤l≤n

|ail | i = j , . . . , n

2 calculam-se os quocientes|aij |di

i = j , . . . , n

3 selecciona-se para equação pivot aquela em que

|akj |dk

é máximo

2 Troca-se a equação k com a j

3 Realiza-se a eliminação



Pivotação parcial: exemplo

Resolver por eliminação gaussiana, utilizando pivotação parcial earredondando os resultados para 2 algarismos significativos. 0.1 0.9 2.3

0.25 0.71 3.21.2 2.6 1.3

x1x2x3

=

123



Estratégia total de pivot

1 Na etapa j escolhe-se o elemento pivot akl (k, l ∈ {j , . . . , n})→ |akl | é máximo

2 Troca-se a equação j com a equação k

3 Troca-se a variável xj com a variável xl

4 Realiza-se a eliminação



Pivotação total: exemplo

Resolver por eliminação gaussiana, utilizando pivotação total earredondando os resultados para 2 algarismos significativos. 0.1 0.9 2.3

0.25 0.71 3.21.2 2.6 1.3

x1x2x3

=

123



Pivotação parcial vs. pivotação total

A pivotação parcial apenas exige trocas de linhas.

A pivotação total exige ainda a troca de colunas, e logo é mais “cara”em esforço computacional.

A pivotação total conduz geralmente a resultados melhores.

No entanto, a pivotação parcial produz resultados suficientementebons na maioria das situações.


Sistemas de equações lineares Erro e resíduo de uma solução aproximada

Vamos agora ver ...




Erro e resíduo de uma solução aproximada

Sistema de equações: Ax = b (A não singular)

x : solução exacta

x : solução aproximada

Erro da solução aproximada: e = x − x

Resíduo da solução aproximada: r = b − Ax

Relação entre erro e resíduo: r = Ae



Erro e resíduo de uma solução aproximada

x = x ⇒ e = 0 ∧ r = 0

x 6= x ⇒ ?

erro pequeno ?⇒ resíduo pequeno

resíduo pequeno ?⇒ erro pequeno



Erro e resíduo: exemplo 1

[1.01 0.990.99 1.01

] [x1x2

]=[

22

]tem solução exacta x =

[11

]→ se x =

[1.011.01

]tem-se e =

[ −0.01−0.01

]e r =

[ −0.02−0.02

]erro relativo: 1% em cada componenteresíduo relativo: 1% em cada componente

→ se x =[

20

]tem-se e =

[ −11

]e r =

[ −0.020.02

]erro relativo: 100% em cada componenteresíduo relativo: 1% em cada componente



Erro e resíduo: exemplo 2

[1.01 0.990.99 1.01

] [x1x2

]=[

2−2]tem solução exacta x =

[100−100

]→ se x =

[101−99

]tem-se e =

[ −1−1]e r =

[ −2−2]

erro relativo: 1% em cada componenteresíduo relativo: 100% em cada componente



Número de condição

O número de condição da matriz A é definido por

cond(A) = ‖A‖ · ‖A−1‖

A relação entre erro e resíduo fica agora

1cond(A)

‖r‖‖b‖ ≤

‖e‖‖x‖ ≤ cond(A)

‖r‖‖b‖



Número de condição

Se A é invertível então I = AA−1 e logo

1 = ‖I‖ = ‖AA−1‖ ≤ ‖A‖ ‖A−1‖ = cond(A)

Se cond(A) ≈ 1 a matriz diz-se bem condicionada

Se cond(A)� 1 a matriz diz-se mal condicionada



Cálculo do número de condição

Teorema

Se A é não singular tem-se que

cond(A) = maxB singular

( ‖A‖‖A− B‖

).

Sendo B singular conclui-se que

cond(A) ≥ ‖A‖‖A− B‖



Cálculo do número de condição: exemplo

Estimar o número de condição (na norma ∞) da matriz

A =

[1.01 0.990.99 1.01

]


Sistemas de equações lineares Perturbações no sistema de equações

Vamos agora ver ...




Perturbações no sistema de equações

Sistema de equações Ax = b com solução x

Influência de perturbações nos elementos de A ou b em x

Estas perturbações podem resultar deerros de medidaerros de arredondamento



Perturbação nos termos independentes

Teorema

Seja x a solução do sistema de equações Ax = b, onde A é não singular e bé não nulo.

Seja x a solução do sistema de equações (perturbado) Ax = b.

Então verifica-se que

‖x − x‖‖x‖ ≤ cond(A)

‖b − b‖‖b‖ .



Perturbação nos termos independentes

O sistema de equações Ax = b, onde

A =[ 1 2 4

4 3 12 2 3

]e b =

[ 121

].

tem solução x = [ −0.2 1 −0.2 ]T.

Se b = [ 1.1 2.2 0.9 ]T, a solução é x = [ −0.62 1.7 −0.42 ]T

Compare a variação relativa dos termos independentes com a variaçãorelativa das soluções.



Perturbação na matriz dos coeficientes

Teorema

Seja x a solução do sistema de equações Ax = b, onde A é não singular.

Seja x a solução do sistema de equações (perturbado) Ax = b, onde A énão singular.

Então verifica-se que

‖x − x‖‖x‖ ≤ cond(A)

‖A− A‖‖A‖ .



Perturbação na matriz dos coeficientes: exemplo

O sistema de equações Ax = b, onde

A =[ 1 5 10

0 1 −60 0 1

]e b =

[ 16−51

],

tem solução x = [ 1 1 1 ]T.

Se a matriz dos coeficientes for A =[ 1 5 10

0 1 −60 0 1.1

]a solução é

x = [ 5111

511

1011 ]T.

Compare a variação relativa da matriz de coeficientes com a variaçãorelativa das soluções.


Sistemas de equações lineares Métodos iterativos

Vamos agora ver ...




Métodos iterativos

1 Substituir a equação Ax = b pela equação equivalente

x = Gx + d

2 Escolher um valor inicial x(0) ∈ Rn

3 Gerar a sucessão {x(k)}, pela relação de recorrência

x(k+1) = Gx(k) + d k = 0, 1, . . . .

A sucessão {x(k)} deverá ser convergente para A−1b!



Métodos iterativos

Algumas questões importantes

Como determinar G e d a partir de A e b?

Em que condições converge o método iterativo?

Que critério de paragem utilizar?

Será possível estimar o erro?



Métodos iterativos

Dado o sistema de equações, onde aii 6= 0 ∀i ,a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

e resolvendo cada equação i em ordem a xi , obtém-se



Métodos iterativos

x1 = − a12a11

x2 − a13a11

x3 − · · · − a1na11

xn + b1a11

x2 = − a21a22

x1 − a23a22

x3 − · · · − a2na22

xn + b2a22

......

xn = − an1ann

x1 − an2ann

x2 − an3ann

x3 − · · · + bnann



Métodos iterativos

Definindo B ∈ Rn×n e c ∈ Rn respectivamente por

bij =

{−aij

aiise i 6= j

0 se i = ji , j = 1, . . . , n, e

ci =biaii

i = 1, . . . , n,

este último sistema pode ser escrito como

x = Bx + c



Método de Jacobi

Utiliza a relação de recorrência

x(k+1) = Bx(k) + c

ou, equivalentemente

xi ,(k+1) =n∑

j=1

[bijxj ,(k)

]+ ci i = 1, . . . , n



Método de Jacobi: exemplo

Aplicar o método de Jacobi para resolver o sistema[3 −1 10 2 11 −2 4

][x1x2x3

]=

[333

].



Método de Jacobi: exemplo

k x1,(k) x2,(k) x3,(k)

0 0 0 01 1.0000 1.5000 0.75002 1.2500 1.1250 1.25003 0.9583 0.8750 1.00004 0.9583 1.0000 0.94795 1.0174 1.0260 1.01046 1.0052 0.9948 1.00877 0.9954 0.9957 0.99618 0.9999 1.0020 0.99909 1.0010 1.0005 1.0010

10 0.9998 0.9995 1.000011 0.9998 0.9999 0.9998. . . . . . . . . . . .



Método de Gauss-Seidel

Semelhante ao método de Jacobi, mas utiliza sempre a última estimativadisponível de cada variável.

Ao calcular xi ,(k+1) já estão disponíveis os valores xj ,(k+1) paraj = 1, . . . , i − 1.


xi ,(k+1) =i−1∑j=1

[bijxj ,(k+1)

]+

n∑j=i+1

[bijxj ,(k)

]+ ci



Método de Gauss-Seidel: exemplo

Aplicar o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema[3 −1 10 2 11 −2 4

][x1x2x3

]=

[333

].




k x1,(k) x2,(k) x3,(k)

0 0 0 01 1.0000 1.5000 1.25002 1.0833 0.8750 0.91673 0.9861 1.0417 1.02434 1.0058 0.9878 0.99255 0.9985 1.0038 1.00236 1.0005 0.9989 0.99937 0.9999 1.0003 1.00028 1.0000 0.9999 0.9999

. . . . . . . . . . . .



Exemplo2: métodos de Jacobi e Gauss-Seidel

Resolver o sistema [1 −1 10 2 −11 −2 2

][x1x2x3

]=

[111

]

(a) aplicando o método de Jacobi;(b) aplicando o método de Gauss-Seidel.



Exemplo2: método de Jacobi

k x1,(k) x2,(k) x3,(k)

0 0 0 01 1.0000 0.5000 0.50002 1.0000 0.7500 0.50003 1.2500 0.7500 0.75004 1.0000 0.8750 0.62505 1.2500 0.8125 0.87506 0.9375 0.9375 0.68757 1.2500 0.8438 0.96888 0.8750 0.9844 0.71889 1.2656 0.8594 1.0469

. . . . . . . . . . . .



Exemplo2: método de Gauss-Seidel

k x1,(k) x2,(k) x3,(k)

0 0 0 01 1.0000 0.5000 0.50002 1.0000 0.7500 0.75003 1.0000 0.8750 0.87504 1.0000 0.9375 0.93755 1.0000 0.9688 0.96886 1.0000 0.9844 0.98447 1.0000 0.9922 0.99228 1.0000 0.9961 0.99619 1.0000 0.9980 0.9980

. . . . . . . . . . . .



Convergência de métodos iterativosTeoremaSejam G ∈ Rn×n e d ∈ Rn. Se ‖G‖ < 1, então

1 existe uma e uma só solução x ∈ Rn da equação

x = Gx + d ,

2 a sucessão {x(k)}, gerada por

x(k+1) = Gx(k) + d , k = 0, 2, . . . ,

converge para x , qualquer que seja o ponto inicial x(0),3 o erro de aproximação de x por x(k+1), x − x(k+1), satisfaz

‖x − x(k+1)‖ ≤‖G‖

1− ‖G‖‖x(k+1) − x(k)‖, k = 1, 2, . . . .



Matriz diagonalmente dominante por linhas

Uma matriz A ∈ Rn×n diz-se estritamente diagonalmente dominantepor linhas quando

|aii | >n∑

j=1j 6=i

|aij |, i = 1, . . . , n.



Método de Jacobi: convergência

Teorema

Sejam A ∈ Rn×n e b ∈ Rn. Se a matriz A for estritamente diagonalmentedominante por linhas então a sucessão gerada pelo método de Jacobiconverge para a única solução do sistema de equações Ax = b, qualquerque seja o ponto inicial x(0).



Convergência do método de Jacobi: exemplo

Aplicando o método de Jacobi, obter uma solução aproximada do sistemade equações, com um erro máximo absoluto em cada variável de 5× 10−3.{

4x1 − 2x2 + x3 = 3x1 − x2 + 3x3 = 3−x1 + 3x2 = 2



Convergência do método de Jacobi: exemplo

k x1,(k) x2,(k) x3,(k) εk0 0 0 0 −1 0.75000 0.66667 1.00000 32 0.83333 0.91667 0.97222 7.5× 10−1

3 0.96528 0.94444 1.02778 4.0× 10−1

4 0.96528 0.98843 0.99306 1.3× 10−1

5 0.99595 0.98843 1.00772 9.2× 10−2

6 0.99228 0.99865 0.99749 3.1× 10−2

7 0.99995 0.99743 1.00212 2.3× 10−2

8 0.99818 0.99998 0.99916 8.9× 10−3

9 1.00020 0.99939 1.00060 6.0× 10−3

10 0.99955 1.00007 0.99973 2.6× 10−3



Método de Gauss-Seidel: convergência

Teorema

Sejam A ∈ Rn×n e b ∈ Rn. Se a matriz A for estritamente diagonalmentedominante por linhas então a sucessão gerada pelo método de Gauss-Seidelconverge para a única solução do sistema de equações Ax = b, qualquerque seja o ponto inicial x(0).




Aplicando o método de Gauss-Seidel, obter uma solução aproximada dosistema de equações. Terminar o método assim que a diferença entre duasestimativas consecutivas seja inferior ou igual a 10−3, em todas as variáveis.{

x1 − 4x3 = −34x2 − 2x3 = 24x1 − 2x3 = 2




k x1,(k) x2,(k) x3,(k) ‖x(k) − x(k−1)‖∞0 0 0 0 −1 0.50000 0.50000 0.87500 8.8× 10−1

2 0.93750 0.93750 0.98438 4.4× 10−1

3 0.99219 0.99219 0.99805 5.5× 10−2

4 0.99902 0.99902 0.99976 6.8× 10−3

5 0.99988 0.99988 0.99997 8.5× 10−4



Relaxação do método de Jacobi


xi ,(k+1) = xi ,(k) +1aii

bi − n∑j=1

aijxj ,(k)

Expressão de recorrência com relaxação (ω > 0)

xi ,(k+1) = xi ,(k) + ω · 1aii

bi − n∑j=1

aijxj ,(k)

0 < ω < 1 → sub-relaxação

ω > 1 → sobre-relaxação



Relaxação do método de Gauss-Seidel


xi ,(k+1) = xi ,(k) +1aii

bi − i−1∑j=1

aijxj ,(k+1) −n∑j=i

aijxj ,(k)

Expressão de recorrência com relaxação (ω > 0)

xi ,(k+1) = xi ,(k) + ω · 1aii

bi − i−1∑j=1

aijxj ,(k+1) −n∑j=i

aijxj ,(k)

0 < ω < 1 → sub-relaxação

ω > 1 → sobre-relaxação (SOR)



Gauss-Seidel com relaxamento: exemplo

Comparar o método de Gauss-Seidel e o método SOR com ω = 1.25 naresolução do sistema de equações{

4x1 + 3x2 = 243x1 + 4x2 − x3 = 30−x2 + 4x3 = −24

cuja solução é x1 = 3, x2 = 4, x3 = −5. Em ambos os casos partir dex1,(0) = x2,(0) = x3,(0) = 1.



Exemplo: Gauss-Seidel

k x1,(k) x2,(k) x3,(k)

0 1.00000 1.00000 1.000001 5.25000 3.81250 −5.046882 3.14063 3.88281 −5.029303 3.08789 3.92676 −5.018314 3.05493 3.95422 −5.011445 3.03433 3.97139 −5.007156 3.02146 3.98212 −5.004477 3.01341 3.98882 −5.002798 3.00838 3.99302 −5.00175



Exemplo: SOR

k x1,(k) x2,(k) x3,(k)

0 1.00000 1.00000 1.000001 6.10000 3.61000 −6.317002 2.73100 3.92500 −4.759103 3.12130 3.97810 −5.054754 2.99545 3.99205 −4.991445 3.00807 3.99690 −5.002646 3.00118 3.99877 −4.999847 3.00087 3.99951 −5.000188 3.00027 3.99980 −5.00002


Sistemas de equações lineares Inversão de matrizes

Vamos agora ver ...




Inversão de matrizes

Calcular A−1 é equivalente a resolver AX = I

Ou seja, resolver simultaneamente n sistemas de n equações

Eliminação de Gauss-Jordan




a11 a12 · · · a1n 1 0 · · · 0a21 a22 · · · a2n 0 1 · · · 0...

.

.

.. . .

.

.

....

.

.

.. . .

.

.

.an1 an2 · · · ann 0 0 · · · 1

↓

1 0 · · · 0 x11 x12 · · · x1n0 1 · · · 0 x21 x22 · · · x2n...

.

.

.. . .

.

.

....

.

.

.. . .

.

.

.0 0 · · · 1 xn1 xn2 · · · xnn




Em cada etapaefectuar escolha de pivot

pivotação parcialpivotação total

anular toda a coluna

Nota: Na pivotação total trocas de colunas em A reflectem-se em trocasde linhas em X !


Integração de Equações diferenciais









Integração de Equações diferenciais Problema de valor inicial

Vamos agora ver ...

9 Integração de Equações diferenciaisProblema de valor inicialMétodos de EulerMétodo de TaylorConsistência e ConvergênciaMétodos de Runge-KuttaSistemas de equações diferenciaisEquações diferenciais de ordem n



EDOs — problema de valor inicial

Dadosuma função f : R× R→ Rum intervalo real [t0,T ]

e valores x0,0, x0,1, . . . , x0,n−1 ∈ Rconsiste em determinar x : [t0,T ]→ R que verifique

x (n)(t) = f (t, x(t), x ′(t), . . . , x (n−1)(t)), t ∈ ]t0,T [ ,

com a condições iniciais

x(t0) = x0,0 x ′(t0) = x0,1 . . . x (n−1)(t0) = x0,n−1.



Métodos numéricos: descrição geral

Produzem valores aproximados da solução da EDO num conjunto depontos {ti}ni=0 tal que

t0 < t1 < · · · < tN = T .

designado por malha.

os pontos ti são os nós da malha

as distâncias hi = ti − ti−1 designam-se por passos

a malha é uniforme se todos os passos forem iguais

o valor h = max1≤i≤N

hi é o passo da malha



Métodos numéricos: descrição geral

Resolução numérica de um problema de valor inicial:

1 Definir uma malha {ti}Ni=0 no intervalo [t0,T ];2 Para i de 1 até N determinar xi , que será o valor da solução

aproximada no nó ti . Nota: x0 é dado!

x

t t0 t1 t2 tN-1 tN

x0

x1 x2 xN-1

xN …



EDO de ordem 1: soluções aproximadas

x → solução exacta

x(h) → solução aproximada (com passo h)

e(h) = x − x(h)

x(h) definida nos nós ti → xi = x(h)(ti )




x(t + h) = x(t) +

∫ t+h

tf (t, ξ(t))dt

x(t+h)−x(t)h = 1

h

∫ t+h

tf (t, ξ(t))dt = F (t, x) = Fh(t, x) + Th(t, x)

Fh(t, x) ≈ 1h

∫ t+h

tf (t, ξ(t))dt

x(t + h) ≈ x(t) + hFh(t, x)

Th(t, x) erro de truncatura




Os valores xi obtêm-se pela expressão de recorrência

xi+1 = xi + hFh(ti , xi ), i = 0, 1, . . . ,N − 1.

x0 é o valor inicial dado


Integração de Equações diferenciais Métodos de Euler

Vamos agora ver ...




Métodos de Euler

O integral∫ t+h

tf (ξ, x(ξ))dξ pode ser aproximado pelas áreas dos

rectângulos como se mostra nas figuras.

f

ξ t t+h

f(t, x(t))

Rectângulo à esquerda

f

ξ t t+h

f(t+h, x(t+h))

Rectângulo à direita



Método de Euler (progressivo)

Caracteriza-se porFh(t, x) = f (t, x(t))

Th(t, x) = h2 f′(ζ, x(ζ))

A expressão de recorrência para determinação de xh será

xi+1 = xi + hf (ti , xi ), i = 0, 1, . . . ,N − 1,

onde x0 = x(t0) é a condição inicial.



Método de Euler progressivo: exemplo

Utilizar o método de Euler progressivo com passo h = 0.1 para obter umasolução aproximada de

x ′ = 1 + t − x , t ∈ [0, 1]

com x(0) = 1.



Método de Euler progressivo: exemplo

ti xi xi+10.0 1.0000 1.00000.1 1.0000 1.01000.2 1.0100 1.02900.3 1.0290 1.05610.4 1.0561 1.09050.5 1.0905 1.13140.6 1.1314 1.17830.7 1.1783 1.23050.8 1.2305 1.28740.9 1.2874 1.34871.0 1.3487 —



Método de Euler regressivo

Caracteriza-se porFh(t, x) = f (t + h, x(t + h))

Th(t, x) = −h2 f′(ζ, x(ζ))

A expressão de recorrência para determinação de xh será

xi+1 = xi + hf (ti+1, xi+1), i = 0, 1, . . . ,N − 1,

onde x0 = x(t0) é a condição inicial.



Método de Euler regressivo: exemplo

Utilizar o método de Euler regressivo com passo h = 0.1 para obter umasolução aproximada de

x ′ = 1 + t − x , t ∈ [0, 1]

com x(0) = 1.



Método de Euler regressivo: exemplo

ti xi xi+10.0 1.0000 1.00910.1 1.0091 1.02640.2 1.0264 1.05130.3 1.0513 1.08300.4 1.0830 1.12090.5 1.1209 1.16450.6 1.1645 1.21320.7 1.2132 1.26650.8 1.2665 1.32410.9 1.3241 1.38551.0 1.3855 —


Integração de Equações diferenciais Método de Taylor

Vamos agora ver ...




Método de Taylor de ordem p

Caracteriza-se por

• Fh(t, x) = f (t, x(t)) +h2f ′(t, x(t)) + · · ·+ hp−1

p!f (p−1)(t, x(t))

• Th(t, x) =hp

(p + 1)!f (p)(ζ, x(ζ)), ζ ∈ [t, t + h]


xi+1 = xi + hf (ti , xi ) +h2

2f ′(ti , xi ) + · · ·+ hp

p!f (p−1)(ti , xi )

para i = 0, 1, . . . ,N − 1.



Métodos de Taylor: exemplo

Utilizar o método de Taylor de ordem 2 com passo h = 0.1 para obter umasolução aproximada de

x ′ = 1 + t − x , t ∈ [0, 1]

com x(0) = 1.



Métodos de Taylor: exemplo

ti xi xi+10.0 1.0000 1.00500.1 1.0050 1.01900.2 1.0190 1.04120.3 1.0412 1.07080.4 1.0708 1.10710.5 1.1071 1.14940.6 1.1494 1.19720.7 1.1972 1.25000.8 1.2500 1.30720.9 1.3072 1.36851.0 1.3685 —


Integração de Equações diferenciais Consistência e Convergência

Vamos agora ver ...




Consistência

Método consistente se

limh→0‖Th‖ = 0

Ordem de consistência p > 0 se

‖Th‖ ≤ chp



Convergência

Método convergente se

limh→0‖e(h)‖ = lim

h→0max

t∈[t0,T ]|e(h)(t)| = 0

Ordem de convergência p > 0 se

‖e(h)‖ ≤ chp



Consistência e convergência

Teorema

Se um método de passo simples verificar a condição

|Fh(t, v)− Fh(t,w)| ≤ Lh|v − w |, t ∈ [t0,T ],

para todo o h > 0 suficientemente pequeno, onde Lh é independente de h(condição de Lipschitz) então será consistente se e só se for convergente.Mais ainda, para h suficientemente pequeno, tem-se que

|e(h)(t)| ≤ eLh(t−t0)|e0|+ ‖Th‖Lh

[eLh(t−t0) − 1], t ∈ [t0,T ],

onde e0 = x(t0)− x(h)(t0).



Convergência e arredondamento

Se o cálculo de cada valor xi estiver associado um erro de arredondamentomajorado por δ é possível verificar que

|e(h)(t)| ≤ eLh(t−t0)|e0|+(‖Th‖

Lh+δ

h

)[eLh(t−t0) − 1], t ∈ [t0,T ]

pelo que quando h→ 0 o termo δ/h impede que o erro e(h) se aproxime dezero.


Integração de Equações diferenciais Métodos de Runge-Kutta

Vamos agora ver ...




Métodos de Runge-Kutta

têm ordens de consistência elevadas

não necessitam de calcular derivadas de f

o cálculo de xi+1 é feito avaliando f em pontos “intermédios” entre(ti , xi ) e (ti+1, xi+1)

ordem de convergência é igual à ordem de consistência



Métodos de Runge-Kutta

xi+1 é obtido calculando f em s pontos

F1 = f (ti , xi )F2 = f (ti + α2h, xi + hβ21F1)

F3 = f (ti + α3h, xi + h(β31F1 + β32F2))

. . .

Fs = f (ti + αsh, xi + h(βs,1F1 + βs,2F2 + . . .+ βs,s−1Fs−1))

xi+1 = xi + h(w1F1 + w2F2 + . . .+ wsFs)

s = ordem de consistência (para s ≤ 4)



Runge-Kutta de 2a ordem


F1 = f (ti , xi )F2 = f (ti + α2h, xi + hβ21F1)

xi+1 = xi + h(w1F1 + w2F2)

Condições para obter ordem de consistência 2

w1 + w2 = 1

α2w2 = 12

β21w2 = 12




Método de Euler modificado w1 = w2 = 12 , α2 = β21 = 1

F1 = f (ti , xi )F2 = f (ti + h, xi + hF1)

xi+1 = xi + h2 (F1 + F2)

Método de Heun w1 = 14 , w2 = 3

4 , α2 = β21 = 23

F1 = f (ti , xi )

F2 = f (ti + 23h, xi + 2

3hF1)

xi+1 = xi + h4 (F1 + 3F2)




Um dos métodos mais usados é

F1 = f (ti , xi )F2 = f (ti + h

2 , xi + h2F1)

F3 = f (ti + h2 , xi + h

2F2)

F4 = f (ti + h, xi + hF3)

xi+1 = xi + h6 (F1 + 2F2 + 2F3 + F4)



Métodos de Runge-Kutta: exemplo

Com um passo h = 0.1 obter uma solução aproximada de

x ′ = 1 + t − x , t ∈ [0, 1]

x(0) = 1

pelo métodoa) de Euler modificado;b) de Runge-Kutta de 4a ordem.



Método de Euler modificado: exemplo

ti xi F1 F2 xi+10.0 1.000000 0.000000 0.100000 1.0050000.1 1.005000 0.095000 0.185500 1.0190250.2 1.019025 0.180975 0.262878 1.0412180.3 1.041218 0.258782 0.332904 1.0708020.4 1.070802 0.329198 0.396278 1.1070760.5 1.107076 0.392924 0.453632 1.1494040.6 1.149404 0.450596 0.505537 1.1972100.7 1.197210 0.502790 0.552511 1.2499750.8 1.249975 0.550025 0.595022 1.3072280.9 1.307228 0.592772 0.633495 1.3685411.0 1.368541 — — —



Runge-Kutta de 4a ordem: exemplo

ti xi F1,i F2,i F3,i F4,i xi+10.0 1.00000 0.00000 0.05000 0.04750 0.09525 1.004840.1 1.00484 0.09516 0.14040 0.13814 0.18135 1.018730.2 1.01873 0.18127 0.22221 0.22016 0.25925 1.040820.3 1.04082 0.25918 0.29622 0.29437 0.32974 1.070320.4 1.07032 0.32968 0.36320 0.36152 0.39353 1.106530.5 1.10653 0.39347 0.42380 0.42228 0.45124 1.148810.6 1.14881 0.45119 0.47863 0.47726 0.50346 1.196590.7 1.19659 0.50341 0.52824 0.52700 0.55071 1.249330.8 1.24933 0.55067 0.57314 0.57201 0.59347 1.306570.9 1.30657 0.59343 0.61376 0.61274 0.63216 1.367881.0 1.36788 — — — — —



Comparação entre métodos: exemplo

ti Euler prog. Euler reg. Taylor 2 R-K 4 Sol. exacta0.0 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.0000000.1 1.000000 1.009091 1.005000 1.004838 1.0048370.2 1.010000 1.026446 1.019025 1.018731 1.0187310.3 1.029000 1.051315 1.041218 1.040818 1.0408180.4 1.056100 1.083013 1.070802 1.070320 1.0703200.5 1.090490 1.120921 1.107076 1.106531 1.1065310.6 1.131441 1.164474 1.149404 1.148812 1.1488120.7 1.178297 1.213158 1.197210 1.196586 1.1965850.8 1.230467 1.266507 1.249975 1.249329 1.2493290.9 1.287420 1.324098 1.307228 1.306570 1.3065701.0 1.348678 1.385543 1.368541 1.367880 1.367879


Integração de Equações diferenciais Sistemas de equações diferenciais

Vamos agora ver ...




Sistemas de equações diferenciais

x ′1(t) = f1(t, x1(t), x2(t), . . . , xn(t))x ′2(t) = f2(t, x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

...x ′n(t) = fn(t, x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

Problema de valor inicial: determinar as funções x1, x2, . . . , xn quesatisfazem estas equações diferenciais num intervalo [t0,T ] e as condiçõesiniciais

x1(t0) = x1,0, x2(t0) = x2,0, . . . , xn(t0) = xn,0



Sistemas de equações diferenciais

Em notação vectorialx′(t) = f(t, x(t))

onde f : R1+n → Rn é definida por f = [f1 f2 . . . fn]T e x : R→ Rn édefinida por x = [x1 x2 . . . xn]T.

Problema de valor inicial: determinar a função x que satisfaz a equaçãodiferencial vectorial num intervalo [t0,T ] e a condição inicial

x(t0) = x0,



Sistemas de EDO — Métodos numéricos

Malha {ti}Ni=0 de passo h no intervalo [t0,T ]

xh → solução aproximada do problema de valor inicial

xi = xh(ti ) obtidos pela expressão de recorrência

xi+1 = xi + hFh(ti , xi )

para i = 0, 1, . . . ,N − 1, sendo x0 dado.



Sistemas de EDO — Métodos numéricos

Método de Euler progressivo

xi+1 = xi + hf(ti , xi )

Método de Taylor de ordem 2

xi+1 = xi + hf(ti , xi ) + h22 f′(ti , xi )

Método de Euler modificado

F1 = f(ti , xi )F2 = f(ti + h, xi + hF1)

xi+1 = xi + h2 (F1 + F2)

. . .


Integração de Equações diferenciais Equações diferenciais de ordem n

Vamos agora ver ...




Equações diferenciais de ordem n

Determinar a função x : R→ R que é solução de

x (n)(t) = f (t, x(t), x ′(t), . . . , x (n−1)(t))

no intervalo [t0,T ] e satisfaz as condições iniciais

x(t0) = x0x ′(t0) = x ′0· · ·x (n−1)(t0) = x (n−1)

0




Considerando as funções x1, x2, . . . , xn definidas por

x1(t) = x(t)

x2(t) = x ′(t)

· · ·xn(t) = x (n−1)(t)

conclui-se que x ′i (t) = xi+1(t) para i = 1, 2, . . . , n − 1

e também que

x ′n(t) =[x (n−1)

]′(t) = x (n)(t) = f (t, x1(t), x2(t), . . . , xn(t))




O sistema de equações diferenciais toma a forma

x ′1(t) = x2(t)

x ′2(t) = x3(t)

· · ·x ′n(t) = f (t, x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

devendo a sua solução satisfazer as condições iniciais

x1(t0) = x0, x2(t0) = x ′0, . . . , xn(t0) = x (n−1)0



Equações de ordem n: exemplo

Determinar, pelo método de Euler progressivo com passo 0.05, umasolução aproximada de

θ′′ + 10 sin θ = 0, t ∈ [0, 0.5], θ(0) = 0.1, θ′(0) = 0.



Sistemas de equações diferenciais: exemplo

ti x1,i = θi x2,i x1,i+1 x2,i+10.00 0.1000 0.0000 0.1000 −0.04990.05 0.1000 −0.0499 0.0975 −0.09980.10 0.0975 −0.0998 0.0925 −0.14850.15 0.0925 −0.1485 0.0851 −0.19470.20 0.0851 −0.1947 0.0754 −0.23720.25 0.0754 −0.2372 0.0635 −0.27480.30 0.0635 −0.2748 0.0498 −0.30660.35 0.0498 −0.3066 0.0344 −0.33140.40 0.0344 −0.3314 0.0179 −0.34860.45 0.0179 −0.3486 0.0004 −0.35760.50 0.0004 −0.3576 — —


mÉtodos numÉricos - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~faf/mnum/mnum-faf-handout.pdf ·...

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