Formulário TC FTP

1

Mecanismos de transferência de calor Condução

Potência calor:

!Qcond

= kAT1! T

2

! x

k: condutibilidde térmica; A: área de transferência

∆x: espessura ao longo da condução T1! T

2: diferença de temperatura

Lei de Fourier da condução

1D:

!Qcond = !kAdT

dx

3D: !q = -k!T

Difusividade térmica: ! =k

"Cp

! : massa volúmica

cp - calor específico a pressão constante

cv - calor específico a volume constante

Calor específico dh = CpdT du = C

vdT

h: entalpia u: energia interna Materiais incompressíveis: Cp ! Cv ! C

Número de Prandtl: Pr = !

"=Cpµ

k

! : viscosidade cinemática ou difusividade de quantidade

de movimento µ : viscosidade dinâmica

Número de Péclet: Pe = RePr = VL!

Re: número de Reynolds

V: velocidade característica do escoamento

L: dimensão característica do escoamento

Convecção Potência calor:

!Qconvecção = hAs Ts !T"( )

h: coeficiente de transferência de calor por convecção As: área de transferência

Ts: temperatura da superfície

T!

: temperatura do fluido longe da superfície

Radiação de corpo negro

Potência calor máxima: Lei de Stefan- Boltzmann para

radiação de um corpo negro

!Qrad ,max = !AsTs4

! : constante de Stefan- Boltzmann = 5.67 !10"8

W/(m2K

4)

As: área da superfície

Ts

: temperatura absoluta da superfície [K]

Lei de Kirchhof: ! T ,"( ) = # T ,"( )

! : coeficiente de absorção

! : coeficiente de emissão

! : comprimento de onda da radiação

Radiação de um corpo real

!Qrad = !"AsTs4

! : emissividade

Resistencias térmicas Resistência térmica de condução: Rconducção =

L

kA Resistência térmica de convecção: R

conv=1

hAs

Resistência térmica de radiação: Rrad

=1

hradAs

hrad =!Qradiação

As Ts !Tenvol( )= "#As Ts

2+Tenvol

2( ) Ts +Tenvol( )

Fluxo de calor:

!Q =T1!T

2

R

R: resistência térmica

Lei de Kirchoff para resistências em série R

total= R

i

i

! Lei de Kirchoff para resistências em paralelo

1

Rtotal

=1

Rii

!

Formulário TC FTP

2

Resistência de condução em camada cilíndrica

Rcil=ln r

2r1( )

2!Lk

r1

: raio interior; r2

: raio exterior L: comprimento do cilindro k: condutibilidade térmica

Resistência de condução em camada esférica

Resf =r2! r

1

4"r1r2k

r1

: raio interior; r2

: raio exterior k: condutibilidade térmica

Raio crítico de isolamento (num cilindro):

rcr ,cil

=k

h

k: condutibilidade térmica

h: coeficiente de convecção

Raio crítico de isolamento (numa esfera):

rcr ,esf =2k

h

k: condutibilidade térmica

h: coeficiente de convecção

Resistência térmica de contacto Condutância térmica de contacto (h

c)

hc =!Q A

!Tinterface

Resistência térmica de contacto (Rc

)

Rc =1

hc=!T

interface

!Q A

Condutância térmica de contacto de diversas superfícies metálicas em ar Material Condição da

superfície Rugosidade [µm] Temperatura

[°C] Pressão [MPa]

hc

[W/m2.°C]

Pares metálicos iguais Aço inox 416 Aço inox 304 Alumínio Cobre Cobre Cobre Cobre (vácuo)

Polido Polido Polido Polido

Maquinado Maquinado

2.54 1.14 2.54 1.27 3.81 0.25

90-200

20 150 20 20 30

0.17-2.5

4-7 1.2-2.5 1.2-20

1-5 0.17-7

3800 1900 11400

143000 55500 11400

Pares de materiais diferentes Aço inóx- alumínio

20-30

20

10 20

2900 3600

Aço inox- aluminio 1.0-2.0

20

10 20

16400 20800

Aço Ct 30-Alumínio polido

1.4-2.0

20

10 15-35

50000 59000

Aço Ct 30-Alumínio maquinado

4.5-7.2

20

10 30

4800 8300

Alumínio- cobre polido

1.17-1.4

20

5 15

42000 56000

Alumínio- cobre maquinado

4.4-4.5

20

10 20-35

12000 22000

Condutância térmica de contacto para placas de alumínio com diferentes fluidos na interface.

Rugosidade de 10 µm e pressão na atmosfera de 1 atm Fluido na interface Condutância térmica, [W/m2.°C]

Ar

Hélio

Hidrogénio

Ólea de silicone

Glicerina

3640

9520

13900

19000

37700

Formulário TC FTP

3

Convecção forçada

Número de Nusselt: Nu =hL

c

k L

c: comprimento característico

Escoamento sobre placa paralela com temperatura da superfície Ts Laminar: Nusselt local

Nux=hxx

k= 0.332Re

x

0.5Pr

1/3 Pr > 0.60

Turbulento: Nusselt local

Nux=hxx

k= 0.0296Re

x

0.8Pr

1/3 0.6≤Pr≤60

5x105 ≤ Re ≤ 107 Laminar: Nusselt médio

Nu =hL

k= 0.664Re

L

0.5Pr

1/3 ReL< 5 !10

5

Turbulento: Nusselt médio

Nu =hL

k= 0.037Re

L

0.8Pr

1/3 0.6≤Pr≤60

5x105 ≤ Re ≤ 107 Turbulento: Nusselt médio corrigido para zona inicial

laminar

Nu =hL

k= 0.037Re

L

0.8! 871( )Pr1/3 0.6≤Pr≤60

5x105 ≤ Re ≤ 107

Válido para metais líquidos: Nux= 0.565 Re

xPr( )

1/2

Pr< 0.05

Equação geral para qualquer fluido (equação de Churchill e Ozoe): Nux=hxx

h=

0.3387Pr1/3Re

x

1/2

1+ 0.0468 Pr( )2 /3!

"#$

1/4

Escoamento sobre placa paralela com fluxo de calor constante na parede Laminar: Nusselt local Nu

x= 0.453Re

x

0.5Pr

1/3 Turbulento: Nusselt local Nu

x= 0.0308Re

x

0.8Pr

1/3 Laminar: Nusselt médio Nu

L= 0.906Re

L

0.5Pr

1/3 Turbulento: Nusselt médio Nu

L= 0.0385Re

L

0.8Pr

1/3 Placa plana com comprimento inicial (! ) não aquecido (início de camada limite térmica em

x = ! )- Temperatura da parede constante (Ts na zona aquecida) ou Fluxo de calor constante

Laminar: Nusselt local

Nux=

Nux (para !=0)

1- ! x( )3/4"

#$%

1/3

Turbulento: Nusselt local

Nux=

Nux (para !=0)

1- ! x( )9 /10"

#$%

1/9

Laminar: médio em toda a placa

h =2 1! " x( )

3/4#$

%&

1!" Lhx=L

Turbulento: médio em toda a placa (placa 100% turbulenta)

h =5 1! " x( )

9 /10#$

%&

4 1!" L( )hx=L

Escoamento em torno de cilindros e esferas 1) Escoamento cruzado em torno de um cilindro de secção circular com paredes lisas

Nucil=hD

k= 0.3+

0.62Re1/2Pr

1/3

1+ 0.4

Pr( )2 /3!

"#$1/4

1+Re

282000

%&'

()*5 /8!

"++

#

$,,

4 /5

para RePr > 0.2 e propriedades do

fluido à temperatura do filme, Tf =T!+Ts

2.

Formulário TC FTP

4

2) Escoamento em torno de uma esfera de paredes lisas

Nu =hD

k= 2 + 0.4Re

1/2+ 0.06Re

2/3!" #$Pr0.4 µ%

µs

&

'(

)

*+1/4

para 3.5≤ Re ≤ 80000 e 0.7 ≤ Pr ≤ 380

Propriedades do fluido à temperatura T!

, excepto para µs calculado a T

s.

3) Escoamento cruzado em torno de cilindros com várias secções e propriedades à temperatura do filme

Nu =hD

k= CRe

mPr

1/3

Secção transversal do cilindro Fluido Gama de Re Parâmetros C e m

Circular

Gás ou líquido 0.4-4

4-40

40-4000

4000-40000

40000-400000

C= 0.989; m= 0.330

C= 0.911; m= 0.385

C= 0.683; m= 0.466

C= 0.193; m= 0.618

C= 0.027; m= 0.805 Quadrado

Gás 5000- 100000 C= 0.102; m= 0.675

Quadrado (rodado 45°)

Gás 5000- 100000 C= 0.246; m= 0.588

Hexágono

Gás 5000-100000 C= 0.153; m= 0.638

Hexágono (rodado 45°)

Gás 5000- 19500

19500- 100000

C= 0.160; m= 0.638

C= 0.0385; m= 0.782

Placa vertical

Gás 4000-15000 C= 0.228; m= 0.731

Elipse

Gás 2500- 15000 C= 0.248; m= 0.612

D

D

D

D

D

D

D

Formulário TC FTP

5

Escoamentos em condutas

Regime laminar 2300Re <==!µ

" vDvD (*)

Zona de desenvolvimento térmico:

Le

D! 0.06RePr

Regime turbulento: 2300Re >==!µ

" vDvD (*)

Zona de desenvolvimento: Le

D! 4.4Re

1/6

(*) – valor de referência; na prática a transição ocorre para valores de Re entre 2000 e 4000. Fluxo de calor constante na parede

!T

!x=dTs

dx=dT

dx=!qsP

!mcp= constante

Temperatura constante na parede (Tparede ) Variação longitudinal de temperatura

Tsaida = Tparede ! Tparede !Tentrada( )exp !hAparede

!mcp

"

#$$

%

&''

Nº de unidades de transferência:

NTU =hAparede

!mcp

Fluxo de calor

!Q = hAparede !Tln

Diferença de temperatura média logarítmica (!Tln

)

!Tln=

Tentrada !Tsaidaln Tparede !Tsaida( ) Tparede !Tentrada( )"# $%

=!T

saida! !T

entrada

ln !Tsaida

!Tentrada( )

Escoamento laminar em condutas Fluxo de calor constante na parede (conduta circular)

Nu =hD

k= 4.36

Temperatura constante na parede (conduta circular)

Nu =hD

k= 3.66

Escoamento numa conduta anelar com uma superfície isotérmica e outra adiabática

Nuin=hinDh

k; Nu

ext=hextDh

k

Dint

Dext

Nuint

Nuext

0

0.05

0.10

0.25

0.50

1.00

-

17.46

11.56

7.37

5.74

4.86

3.66

4.06

4.11

4.23

4.43

4.86

Formulário TC FTP

6

Escoamento laminar em condutas de secção não-circular: Nu = hDh

k; D

h=4A

P

Geometria da conduta a/b ou ! Nu Tparede = Const. Nu !qparede = Const.

Circular

- 3.66 4.36

Rectangular

a/b

1

2

3

4

6

8

!

2.98

3.39

3.96

4.44

5.14

5.60

7.54

3.61

4.12

4.79

5.33

6.05

6.49

8.24

Elíptica

a/b

1

2

4

8

16

3.66

3.74

3.79

3.72

3.65

4.36

4.56

4.88

5.09

5.18

Triangular

!

10°

30°

60°

90°

120°

1.61

2.26

2.47

2.34

2.00

2.45

2.91

3.11

2.98

2.68

Escoamento laminar na região de entrada (temperatura constante na parede) Conduta de secção circular

Nu = 3.66 +0.065 D L( )RePr

1+ 0.04 D L( )RePr!" #$2 /3

Escoamento entre 2 placas paralelas

Nu = 7.54 +0.03 D

hL( )RePr

1+ 0.016 DhL( )RePr!" #$

2 /3

(para Re ≤ 2800)

a

b

b

a

D

θ

Formulário TC FTP

7

Escoamento turbulento em condutas Condutas de secção circular lisas — Equação de Dittus- Boelter (temperatura e fluxo de calor na parede)

Nu = 0.023Re0.8Pr

n com n= 0.4 para aquecimento do fluido; n= 0.3 para arrefecimento do fluido

(0.7 ≤ Pr ≤ 160 e Re > 4000 e propriedades à temperatura média do fluido

Segunda equação de Petukhov (para condutas lisas e rugosas) (analogia de Chilton- Colburn)

Nu =

f

8Re!1000( )Pr

1+12.7f

8

"#$

%&'0.5

Pr2/3!1( )

(0.5 ≤ Pr ≤ 2000 e 3 x 103 < Re < 5 x 106)

Metais líquidos (0.004 < Pr < 0.01 e 104 < Re < 106)

Nu = 4.8 + 0.0156Re0.85Prparede

0.93 (para Tparede = Const. )

Nu = 6.3+ 0.0167Re0.85Prparede

0.93 (para !qparede = Const. )

Condutas de secção não-circular

Usar Dh

nas equações para condutas de secção circular

Condutas de secção anelar (uma parede adiabática)

Nu = NuDh! F

correctiva F

correctiva F

int= 0.86

Dint

Dext

!

"#

$

%&'0.16

(parede exterior adiabática)

Fext

= 0.86Dint

Dext

!

"#

$

%&'0.16

(parede interior adiabática)

Convecção natural Número de Grashof

GrL =g! Tparede "T#( )Lc

3

$ 2

g: aceleração da gravidade ! : coeficiente de expansão volumétrico

(! =1 T para gases perfeitos) Número de Rayleigh: Ra =Gr

LPr

Convecção natural sobre superfícies

Para superfícies verticais com !qs= constante :

Nu =hL

k=

!qsL

k TL /2 !T"( )

Geometria

Comprimento característico, L

c

Gama de Ra Nu

Placa vertical L 104- 109 109-1012

Toda a gama

Nu = 0.59RaL

1/4 Nu = 0.1Ra

L

1/3

Nu = 0.825 +0.387Ra

L

1/6

1+ 0.492 Pr( )9 /16!

"#$8 /27

%

&'

('

)

*'

+'

2

L

Ts

Formulário TC FTP

8

Placa inclinada L Utilizar equações de placas verticais para a superfície superior de uma placa fria e para a superfície inferior de uma placa quente Substituir g por gcos! para Ra <109

Placa horizontal A- área da superfície p- perímetro (a) Superfície superior de placa quente (b) Superfície inferior de placa fria

A p

104-107 107-1011 105-1011

Nu = 0.54RaL

1/4 Nu = 0.15Ra

L

1/3 Nu = 0.27Ra

L

1/4

Cilindro vertical

L

Um cilindro vertical pode ser tratado como uma placa vertical quando

D !35L

GrL

1/4

Cilindro horizontal

D

RaD!10

12 Nu = 0.6 +

0.387RaD

1/6

1+ 0.559 Pr( )9 /16!

"#$8 /27

%

&'

('

)

*'

+'

2

Esferas

D

RaD!10

11 (Pr ≥ 0.7)

Nu = 2 +0.589Ra

D

1/4

1+ 0.469 Pr( )9 /16!

"#$

4 /9

D

L

Superfície quente

θ

L

Ts

Ts Superfície quente

Ts

Ts

D

Ts

Formulário TC FTP

9

Convecção natural de superfícies alhetadas (Ts= constante) e circuitos impressos (

!qs= constante)

Arrefecimento por convecção natural de superfícies alhetadas (Ts= constante)

Nu =hS

k=

576

RaSS L( )

2+

2.873

RaSS L( )

0.5

!

"##

$

%&&

'0.5

onde S é o espaçamento entre as alhetas Espaçamento óptimo para alhetas finas (T

s= constante)

Sopt = 2.714S3L

RaS

!

"#

$

%&0.25

= 2.714L

RaL0.25

Arrefecimento por convecção natural de circuitos integrados/ Superfícies alhetadas (

!qs= constante)

RaS*=g! !qsS

4

k" 2Pr

Nº de Nusselt no ponto mais quente (borda superior):

NuL=hLS

k=

48

RaS

*S L

+2.51

RaS

*S L( )

0.4

!

"

##

$

%

&&

'0.5

Espaçamento óptimo para placas finas ( !qs= constante):

Sopt = 2.12S4L

RaS*

!

"#

$

%&0.2

Temperatura crítica nas placas (borda superior): !qs = hL TL !T"( )

Convecção natural no interior de espaços confinados Comprimento característico L

c= distância entre placas fria e quante

Geometria Gama Nu Espaço confinado rectangular horizontal

Gases:0.5 < Pr < 2 10

4< Ra

L< 4 !10

5 4 !10

5< Ra

L<10

7 Líquidos aquecidos por baixo 3!10

5< Ra

L< 7 !10

9 Líquidos com Pr moderados e Ra

L<10

5 e gases com Ra

L<10

8

Nu = 0.195Ra

L

1/4 Nu = 0.068Ra

L

1/3 Nu = 0.069Ra

L

1/3Pr

0.074

Nu =1+1.44 1!1708

RaL

"

#$

%

&'

+

+Ra

L

1/3

18!1

"

#$

%

&'

+

Formulário TC FTP

10

Espaço confinado rectangular inclinado

H/L !

cr

1 25° 3 53° 6 60° 12 67°

> 12 70°

H/L≥12 Ra

L<10

5

0 <! < 70° H/L<12 e 0 <! <!

cr

!cr<! < 90°

90° <! <180° , qualquer H/L

Nu =1+1.44 1!1708

RaLcos"

#

$%

&

'(+

1!1708 sin1.8"( )

1.6

RaLcos"

)

*++

,

-..

+Ra

Lcos"( )

1/3

18!1

#

$%%

&

'((

+

Nu = Nu!=0Nu!=90

Nu!=0

"

#$

%

&'! !

cr

sin!cr( )

! 4!cr( )

Nu = Nu

!=90° sin!( )1/4

Nu =1+ Nu

!=90° "1( )sin!

Espaços rectangulares verticais

1< H L < 2 qualquer Pr Ra

LPr 0.2 + Pr( ) >103

2 < H L <10 qualquer Pr Ra

L<10

10 10 < H L < 40

1< Pr < 2 !104

104< Ra

L<10

10 1< H L < 40

1< Pr < 20 10

6< Ra

L<10

9

Nu = 0.18Pr

0.2 + PrRa

L

!"#

$%&0.29

Nu = 0.22Pr

0.2 + PrRa

L

!"#

$%&0.28

H

L

!"#

$%&'1/4

Nu = 0.42RaL

1/4Pr

0.012 H

L

!"#

$%&'0.3

Nu = 0.46Ra

L

1/3

Convecção natural combinada com convecção forçada Gr Re

2< 0.1 - convecção natural é desprezável; Gr Re2 >10 convecção forçada é desprezável

0.1<Gr Re2<10 -deve considerar-se o efeito combinado das convecções forçada e natural

Nucombinada = Nu forçada

n± Nunatural

n!" #$1/n

com n= 3 a 4. n= 3 para superfícies verticais, n= 4 para

superfícies horizontais