variedades diferenciáveis elon lages lima

8/20/2019 Variedades Diferenciáveis Elon Lages Lima

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Variedades Diferenciáveis


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Publicações Matemáticas

Variedades Diferenciáveis

Elon Lages Lima

impa


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Copyright © 2011 by Elon Lages Lima

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz

Publicações Matemáticas

• Introdução à Topologia Diferencial – Elon Lages Lima

• Criptografia, Números Primos e Algoritmos – Manoel Lemos

• Introdução à Economia Dinâmica e Mercados Incompletos – Aloísio Araújo

• Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética – Carlos Gustavo Moreira

• Geometria Hiperbólica – João Lucas Marques Barbosa

• Introdução à Economia Matemática – Aloísio Araújo

• Superfícies Mínimas – Manfredo Perdigão do Carmo

• The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction – Levi Lopes de Lima

• Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry – Ana Cannas da Silva

• Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) – Carlos Gustavo T. A. Moreira e NicolauSaldanha

• The Contact Process on Graphs – Márcia Salzano

• Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds – Santiago R. Simanca

• Introduction to Toric Varieties – Jean-Paul Brasselet

• Birational Geometry of Foliations – Marco Brunella

• Introdução à Teoria das Probabilidades – Pedro J. Fernandez

• Teoria dos Corpos – Otto Endler

• Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist – Clodoaldo G. Ragazzo, Mário J. DiasCarneiro e Salvador Addas Zanata

• Elementos de Estatística Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito –

Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto• Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J.

Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho

• Elements of Analytic Hypoellipticity – Nicholas Hanges

• Métodos Clássicos em Teoria do Potencial – Augusto Ponce

• Variedades Diferenciáveis – Elon Lages Lima

• O Método do Referencial Móvel – Manfredo do Carmo

• A Student's Guide to Symplectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index – Paolo Piccione eDaniel Victor Tausk

• Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal – Pablo Amster

• Tópicos em Combinatória Contemporânea – Carlos Gustavo Moreira e Yoshiharu Kohayakawa

• Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos – Paulo Ruffino• Compressive Sensing – Adriana Schulz, Eduardo A.B.. da Silva e Luiz Velho

• O Teorema de Poncelet – Marcos Sebastiani

• Cálculo Tensorial – Elon Lages Lima

• Aspectos Ergódicos da Teoria dos Números – Alexander Arbieto, Carlos Matheus e C. G.Moreira

• A Survey on Hiperbolicity of Projective Hypersurfaces – Simone Diverio e Erwan Rousseau

• Algebraic Stacks and Moduli of Vector Bundles – Frank Neumann

• O Teorema de Sard e suas Aplicações – Edson Durão Júdice

IMPA - [email protected] - http://www.impa.br - ISBN: 978-85-244-0267-8


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What win I if I gain the thing I seek?

A dream, a breath, a froth of fleeting joy.

Prefácio

Estas notas são uma reimpressão não modificada do texto de

um curso introdutório sobre Variedades Diferenciáveis, que lecio-

nei algumas vezes no IMPA, anos atrás. Ao escrevê-las, vali-me

dos apontamentos do meu então aluno Jair Koiller. A presente

edição foi digitada por Rogerio Dias Trindade. As figuras foram

produzidas por Francisco Petrúcio. A todas estas pessoas, meus

agradecimentos.

Rio de Janeiro, maio de 2007

Elon Lages Lima


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Conteúdo

Capı́tulo I - Cálculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Espaço euclidiano de dimensão p . . . . . . . . . . . . 1

2. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . 6

4. Versão intŕınseca da regra da cadeia . . . . . . . . . . 8

5. A desigualdade do valor médio . . . . . . . . . . . . . 116. Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. O teorema da função inversa . . . . . . . . . . . . . . 15

8. Forma local das submersões e o teorema das funções

impĺıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

9. A forma local das imersões . . . . . . . . . . . . . . . 20

10. O teorema do posto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11. Campos de vetores em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 28

12. Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Capı́tulo II - Superf́ıcies nos Espaços Euclidianos . . 31

1. Parametrizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. A noção de superf́ıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Mudança de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. O espaço tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. Como obter superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6. Exemplos de superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7. Grupos e Álgebras de Lie de matrizes . . . . . . . . . 60

8. Campos de vetores tangentes a uma superf́ıcie . . . . . 63


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Caṕıtulo III - Vetores Normais, Orientabilidade e

Vizinhança Tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1. Campos de vetores normais a uma superf́ıcie . . . . . . 71

2. Superf́ıcies Orientáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3. A vizinhança tubular de uma superf́ıcie compacta . . . 86

4. A vizinhança tubular de uma superf́ıcie não-compacta 93

Capı́tulo IV - Variedades Diferenciáveis . . . . . . . 102

1. Sistemas de coordenads locais . . . . . . . . . . . . . 102

2. Mudança de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 105

3. Variedades diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . 106

4. Exemplos de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5. Variedades definidas por uma coleção de injeções . . 1136. Variedades de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . 123

Caṕıtulo V - Aplicações Diferenciáveis entre

Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

1. Aplicações diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2. O espaço tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3. A derivada de uma aplicação diferenciável . . . . . . 137

4. Algumas identificações naturais . . . . . . . . . . . . 139

5. A aplicação esférica de Gauss . . . . . . . . . . . . . 141

6. Estruturas de variedade em um espaço topológico . . 143


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Caṕıtulo VI - Imersões, Mergulhos e

Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1. Imersões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2. Mergulhos e subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . 151

3. Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4. O espaço tangente a uma variedade produto.

Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5. A classe de uma subvariedade . . . . . . . . . . . . . 157

6. Imersões cujas imagens são subvariedades . . . . . . 159

7. A curva de Kronecker no toro . . . . . . . . . . . . . 163

Caṕıtulo VII - Submersões, Transversalidade . . . . 168

1. Submersões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2. Relações de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3. Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4. Transversalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5. Transversalidade de funções . . . . . . . . . . . . . . 181

6. Aplicações de posto constante . . . . . . . . . . . . . 183

Caṕıtulo VIII - Partições da Unidade e suas

Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

1. Funções auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

2. Algumas noções topológicas . . . . . . . . . . . . . . 190

3. Partições da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4. O lema de Urysohn diferenciável . . . . . . . . . . . 196

5. Aplicações diferenciáveis em subconjuntos arbitrários

de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199


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Capı́tulo IX - Métricas Riemannianas . . . . . . . . 205

1. Variedades riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . 2052. A norma da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

3. A distância intŕınseca . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4. A topologia geral de uma variedade . . . . . . . . . . 219

5. Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Capı́tulo X - Espaços de Funções . . . . . . . . . . . 230

1. Funções semicont́ınuas em uma variedade . . . . . . 230

2. Espaços de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

3. Invariância da topologia de W 1(M ; N ) . . . . . . . . 237

4. Estabilidade de certas aplicações diferenciáveis . . . . 243

5. Aproximações em classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . 251

6. Topologias de classe C r

. . . . . . . . . . . . . . . . 259

Caṕıtulo XI - Os Teoremas de Imersão e

Mergulho de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

1. Conjuntos de medida nula em uma variedade . . . . 270

2. Imersões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

3. Imersões injetivas e mergulhos . . . . . . . . . . . . 379

4. Espaços de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286


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Caṕıtulo I

Cálculo Diferencial

Apresentamos neste caṕıtulo alguns resultados clássicos do Cál-

culo Diferencial em espaços euclidianos. Enfatizamos o aspecto

geométrico do Teorema da Função Inversa, que aplicaremos para

obter as “formas locais” de certas aplicações diferenciáveis. Esses

resultados serão amplamente utilizados no estudo das superf́ıciese das variedades diferenciáveis.

Omitimos a maior parte das demonstrações, pois o objetivo

principal deste caṕıtulo é fixar a notação e a terminologia para os

subseqüentes. As demonstrações omitidas podem ser encontradas

nas referências citadas no fim deste capı́tulo.

1 Espaço euclidiano de dimensão p

Como se sabe, o espaço euclidiano de dimens˜ ao p é o conjunto

R p de todas as seqüências x = (x1, . . . , x p) de p números reais.

Os vetores e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e p =

(0, . . . , 1) constituem a base natural de R p.

Seja U um subconjunto aberto do Rm.


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2 [CAP. I: CÁLCULO DIFERENCIAL

Uma função vetorial f : U → Rn fica perfeitamente determi-nada por suas coordenadas

f 1, . . . , f n : U → R,

definidas pela relação

f (x) = (f 1(x), . . . , f n(x)), x ∈ U.

Escrevemos f = (f 1, . . . , f n).

f U

Rm

Rn

f (x)

f (U )

x

Figura 1.1.

Diz-se que a aplicação f : U → Rn é diferenci´ avel no pontox ∈ U quando existe uma transformação linear T : Rm → Rn talque

f (x + h) = f (x) + T · h + r(h), com limh→0

r(h)

|h| = 0.

(O dońınio natural de uma aplicação cuja diferenciabilidade que-remos investigar é um conjunto aberto, a fim de que seja arbitrário

o modo pelo qual o ponto variável x + h tende para o ponto x.)

É fácil de ver que as condições acima implicam:

T · h = limt→0

f (x + th) − f (x)t

o que é interpretado geometricamente pela Figura 1.2:


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[SEC. 1: ESPAÇO EUCLIDIANO DE DIMENSÃO P 3

f

x

U

x + hf (x)

f (x + h)

Rm

Rn

Th

Figura 1.2.

É única, portanto, a transformação linear T : Rm → Rn que dáa boa aproximação de f perto de x. Ela é chamada a derivada de

f no ponto x e é indicada por f (x) ou Df (x).A aplicação f é diferencíavel no ponto x se, e somente se, cada

uma de suas coordenadas f i o for. E além disso vale a equação

Df (x) · h = (Df 1

(x) · h , . . . , D f n

(x) · h).

Se T é uma transformação linear de Rm em Rn, isto é, T ∈L(Rm,Rn), a matriz de T em relação às bases usuais do Rm e doRn é a matriz (ti j) com n linhas e m colunas cujo elemento (i, j) é

a i-ésima coordenada do vetor T ·e j ; imaginando cada T ·e j comovetor-coluna, temos:

M (T ) = (T · e1 · · · T · e j · · · T · em).

A matriz associada a T = f (x) chama-se matriz jacobiana de f no ponto x e é indicada por Jf (x). O elemento (i, j) desta

matriz é a i-ésima coordenada do vetor ∂f

∂x j(x) = f (x) · e j =

(Df 1(x)

·e j , . . . , D f

n(x)

·e j), denominado j-ésima derivada parcial


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de f no ponto x. Portanto

Jf (x) =

∂f 1

∂x1(x) ∂f

1

∂x2(x) . . . ∂f

1

∂xm(x)

∂f 2

∂x1(x)

∂f 2

∂x2(x) . . .

∂f 2

∂xm(x)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∂f n

∂x1 (x)

∂f n

∂x2 (x) . . .

∂f n

∂xm(x)

2 Casos particulares

a) Seja J ⊂ R um intervalo aberto. Um caminho em Rn ésimplesmente uma aplicação f : J → Rn.

Diz-se que o caminho f : J → Rn tem vetor-velocidade no pontot0

∈J se existe o limite

df

dt(t0) = lim

h→0f (t0 + h) − f (t0)

h

cuja interpretação é dada na Figura 1.3:

t0 + h

t0

J f (t0)

f (t0 + h)f

df dt

(t0)R

n

Figura 1.3.

O vetor-velocidade df

dt(t0) existirá se, e somente se, o caminho

f : J

→Rn for diferenciável no ponto t0 . A identificação de f (t0)


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[SEC. 2: CASOS PARTICULARES 5

com df

dt(t0) é dada pelo isomorfismo

L(R,Rn) ≈ RnT → T · 1

ou seja,

df

dt(t0) = f

(t0) · 1 = limh→0

f (t0 + h) − f (t0)h

·

b) Seja f : U ⊂ Rm → R uma função real diferenciável em x ∈ U .A derivada f (x) é um elemento de L(R

m

,R) = (Rm

)∗, espaçodual do Rm. É tradicional chamar f (x) a diferencial de f noponto x e indicá-la por df (x). A matriz jacobiana de f tem uma

linha e m colunas, a saber

Jf (x) =

∂f

∂x1(x), . . . ,

∂f

∂xm(x)

.

Obtém-se assim a relação clássica df (x)·

h =m

i=1∂f

∂xi(x)

·hi.

O produto interno natural de Rm induz um isomorfismo

Rm ≈ (Rm)∗x → x∗, x∗(y) = x, y.

O gradiente de f no ponto p ∈ U é o vetor grad f ( p) ∈ Rmque corresponde ao funcional linear f ( p) ∈ (Rm)∗ por este iso-morfismo.

Em outras palavras, o gradiente é caracterizado pela proprie-

dade

grad f ( p), v = f ( p) · v para todo v ∈ Rm.Em particular, grad f ( p), ei = ∂f

∂xi( p), ou seja,

grad f ( p) =

i∂f

∂xi( p)ei.


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A expressão de grad f ( p) em termos de uma base arbitrária

(não ortonormal) é complicada. A definição intŕınseca, que vimos

acima, é muito conveniente para as aplicações teóricas.

3 Derivadas de ordem superior

Dado U ⊂ Rm aberto, diremos que uma aplicaçãof : U → Rm é diferenci´ avel em U quando ela for diferenciávelem todos os pontos x

∈U . Define-se então a aplicaç˜ ao derivada

f : U → L(Rm,Rn)x → f (x).

Algumas vezes imaginamos f como sendo a aplicação que acada x ∈ U associa a matriz jacobiana Jf (x). Deste modo, f setorna uma aplicação de U em Rmn.

Dada T ∈ L(Rm,Rn), escreve-se |T | = sup{|T ·u|; u ∈ Rm, |u| =1}. Isto define uma norma no espaço vetorial L(Rm,Rn). Comof toma valores nesse espaço, é natural indagar se f é cont́ınuaou mesmo se f tem derivada. Dizemos que f é continuamente diferenci´ avel ou de classe C 1, e escrevemos f ∈ C 1, quando f édiferenciável em U e f : U → L(Rm,Rn) é cont́ınua.

Se f : U → L(Rm,Rn) tem derivada no ponto x ∈ U , dizemosque f é duas vezes diferenci´ avel no ponto x e escrevemos

f (x) : Rm → L(Rm,Rn)

para indicar a derivada de f em x. A rigor, f (x) é um ele-mento de L(Rm, L(Rm,Rn)), mas existe um isomorfismo natu-ral L(Rm, L(Rm,Rn)) ≈ L2(Rm,Rn) que associa a cada trans-formação linear T : Rm

→ L(Rm,Rn) a transformação bilinear


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[SEC. 3: DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 7

T : Rm × Rm → Rn tal que T (u, v) = (T · u) · v. Isto nos per-mite considerar a derivada segunda de f em x como sendo uma

transformação bilinear, f (x) : Rm × Rm → Rn.As derivadas de ordem superior podem ser definidas indutiva-

mente. Se f : U ⊂ Rm → Rn é (k − 1)-vezes diferenciável em U ,então

f (k−1) : U → Lk−1(Rm,Rn)é uma aplicação de U no espaço das aplicações (k − 1)-lineares deRm em Rn.

Se f (k−1) for diferenciável no ponto x ∈ U , diremos que f ék-vezes diferenci´ avel neste ponto. O isomorfismo canônico

L(Rm, Lk−1(Rm,Rn) ≈ Lk(Rm,Rn)

permite considerar a derivada de f (k−1) em x como sendo umaaplicação k-linear de Rm em Rn. Se f (k)(x) existe em cada ponto

x ∈ U , define-se a aplicação f (k) : U → Lk(Rm,Rn), e se f (k) forcont́ınua diz-se que f é de classe C k ou k-vezes continuamente

diferenci´ avel , e escreve-se f ∈ C k ou f ∈ C k(U,Rn).O conjunto C k(U,Rn) de todas as aplicações f : U → Rn que

são k vezes continuamente diferenciáveis é um espaço vetorial real

(de dimensão infinita).

A importante classe C ∞ das aplicações infinitamente diferen-

ci´ aveis é a interseção de todas as classes C k

,

C ∞ = C 0 ∩ C 1 ∩ C 2 ∩ . . .

É claro que C ∞ ⊂ · · · ⊂ C k ⊂ C k−1 ⊂ · · · ⊂ C 1 ⊂ C 0.Pode-se mostrar que uma aplicação f : U → R é de classe C k se

existem, e são cont́ınuas em U , todas as derivadas parciais mistas

de f até a ordem k inclusive. (Vide 1.6 adiante.)


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4 Versão intŕınseca da regra da cadeia

Sejam U ⊂ Rm e V ⊂ Rn conjuntos abertos, f : U → Rnuma aplicação diferenciável no ponto x ∈ U , com f (U ) ⊂ V , eg : V → R p uma aplicação diferenciável no ponto y = f (x) ∈ V .Então a aplicação composta g◦f : U → R p é diferenciável no pontox e (g ◦ f )(x) = g (y) ◦ f (x) : Rm → R p.

É útil ter em mente os diagramas

U f g

V

g ◦ f (g ◦ f )(x)

f (x)R

pR

mR

pg(y)

Rn

Considerando as matrizes jacobianas de f , g e g ◦ f obtemos aantiga regra da cadeia,

∂ (gi ◦ f )∂x j

(x) =

nk=1

∂gi

∂yk(f (x)) · ∂f

k

∂x j (x),

1 ≤ i ≤ p1 ≤ j ≤ m

·

Aplicações

1) Seja f : U → Rn diferenciável em x0 ∈ U . Dado v ∈ Rm,seja λ : t → λ(t) um caminho em U , diferenciável em t = 0, comλ(0) = x0 e λ

(0) = v. Então f (x0) · v é o vetor-velocidade docaminho t → f (λ(t)) em t = 0.


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[SEC. 4: VERSÃO INTŔINSECA DA REGRA DA CADEIA 9

λ

Rn

t

0

U

v f f (x0)

f (λ(t))

f (x0) · v

λ(t)

x0

Rm

Figura 1.4.

2) Seja f : U → Rn diferenciável em x ∈ U ⊂ Rm e admitamos quef tem uma inversa g = f −1 : V → Rm, V ⊂ Rn, (isto é, f (U ) = V ,g(V ) = U , f ◦ g = idV e g ◦ f = idU ) que é diferenciável no pontoy = f (x). Então f (x) : Rm → Rn é um isomorfismo, cujo inversoé g(y) : Rn → Rm. Em particular m = n.

Um difeomorfismo f : U → V é uma bijeção diferenciável cujainversa é também diferenciável. Se ambas, f e f −1 são de classeC k, dizemos que f é um difeomorfismo de classe C k.

A aplicação t ∈ R → t3 ∈ R é exemplo de um homeomorfismodiferenciável C ∞ que não é um difeomorfismo.

Para finalizar, examinaremos as derivadas sucessivas da apli-

cação composta gf , onde g e f são r vezes direrenciáveis.

A regra da cadeia pode escrever-se, resumidamente, como

(1) (gf ) = g f · f .

Isto significa, evidentemente, que (gf )(x) = g (f (x)) · f (x), paracada x ∈ U , o ponto indicando composição de aplicações lineares.Observemos que, se L1 e L2 são lineares (e a composta L2 · L1 fazsentido), a aplicação (L1, L2)

→ L2

·L1 é bilinear. Resulta então


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da regra de derivação de aplicações bilineares, que (1) acarreta

(gf ) = (gf ) · f + gf · f .Usando a regra da cadeia:

(2) (gf ) = g f · (f , f ) + gf · f .

Na fórmula (2), usamos a notação B · (L1, L2), onde B é bilineare L1 , L2 são lineares, para indicar a aplicação bilinear (h, k) →

B(L1 · h, L2 · k). Observe-se que a aplicação (B, L1, L2) → B ·(L1, L2) é trilinear. Portanto, derivando (2), obtemos

(3) (gf ) = g f · (f , f , f ) + 3gf · (f , f ) + gf · f .

Na fórmula (3), se L, L1 , L2 , L3 são lineares, se B é bilinear e T é

trilinear, as notações T ·(L1, L2, L3) e T ·(B, L) indicam respectiva-mente as aplicações trilineares (h1, h2, h3) → T (L1 · h1, L2 · h2, L3 ·h3) e (h1, h2, h3) → T (B(h1, h2), L · h3). De maneira análoga, de-rivando (3), obteremos a fórmula para a 4a¯ derivada da composta

gf :

(gf )IV = g IVf · (f , f , f , f ) + 6gf · (f , f , f )(4)+ 4gf · (f , f ) + 3gf · (f , f ) + gf · f IV.

As notações são análogas às anteriores. De um modo geral, uma

indução fácil permite constatar que, dado i, para cada partiçãoi1 + · · · + ik = i, existe um inteiro n(i1, . . . , ik) tal que a i-ésimaderivada da aplicação composta gf tem a expessão seguinte:

(g ◦ f )(i) =i

k=1

n(i1, . . . , ik)gkf · f (i1), . . . , f (ik)

onde, para cada k, temos i1 +

· · ·+ ik = i.


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[SEC. 5: A DESIGUALDADE DO VALOR MÉDIO 11

5 A desigualdade do valor médio

Se x, y ∈ Rm, indiquemos por

[x, y] = {x + t(y − x); 0 ≤ t ≤ 1}

o segmento de reta fechado ligando x e y. O correspondente seg-

mento de reta aberto é

(x, y) ={

x + t(y−

x); 0 < t


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O quociente de |f (x + h) − f (x)| por |h| não excede

M = sup0≤t≤1

|f (x + th)|.

Seja U ⊂ Rm aberto. Uma aplicação diferenciável f : U → Rndiz-se uniformemente diferenci´ avel no conjunto X ⊂ U quandopara todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

|h

| < δ implica

|f (x + h)

−f (x) − f (x) · h| < ε · |h|, seja qual for x ∈ X .É uma conseqüência da desigualdade do valor médio que se

K ⊂ U é compacto, então toda aplicação f : U → Rn, de classeC 1, é uniformemente diferenciável em K . (Vide AERn, pag. 28.)

Como aplicação deste fato, temos a proposição abaixo. (Vide

AERn, pag. 31, Exerćıcio 3.)

Proposição. Seja f : U → Rn de classe C 1 num aberto U ⊂Rm. Se f (x) : Rm → Rn é injetiva em todos os pontos x de um

compacto K ⊂ U , ent˜ ao existem n´ umeros reais c > 0 e δ > 0 tais que |f (y) − f (x)| ≥ c|y − x| quaisquer que sejam x ∈ K , y ∈ U com |g − x| ≤ δ .

Demonstração: Definamos λ : K ×

S m−

1

→ R pondo

λ(x, u) = |f (x) · u|. Como λ > 0 em todos os pontos do conjuntocompacto K × S m−1, existe c > 0 tal que λ(x, u) ≥ 2c, sejamquais forem x ∈ K , u ∈ S m−1. Dáı resulta que |f (x) · h| ≥ 2c · |h|para todo x ∈ K e todo h ∈ Rm. Ora, sendo f uniformementediferenciável em K , existe δ > 0 tal que |h|


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[SEC. 6: DERIVADAS PARCIAIS 13

|f (y) − f (x)|= |f (x) · (y − x) + f (y) − f (x) − f (x) · (y − x)|≥ |f (x) · (y − x)| − |f (y) − f (x) − f (x) · (y − x)|≥ 2c · |y − x − c|y − x| = c · |y − x|.

6 Derivadas parciais

Seja Rm = E ⊕ F o espaço euclidiano Rm, escrito como somadireta de dois subespaços E , F . Cada elemento z ∈ Rm é repre-sentado por um par z = (x, y), x ∈ E , y ∈ F .

Dados um aberto U ⊂ Rm e uma aplicação f : U → Rn, as de-rivadas parciais de f num ponto (a, b)

∈U são aplicações lineares

∂ 1f (a, b) : E → Rn, ∂ 2f (a, b) : F → Rn, definidas pelas relações

f (a + h, b) =f (a, b)+∂ 1f (a, b) · h+r1(h), com limh→0

r1(h)

|h| → 0

e

f (a, b + k) = f (a, b)+∂ 2f (a, b) · k+r2(k), com limh

→0

r2(k)

|k

| → 0.

Naturalmente, f pode possuir uma, ambas, ou nenhuma das deri-

vadas parciais em um ponto (a, b) ∈ U .A derivada parcial ∂ 1f (a, b), caso exista, é a derivada da apli-

caç˜ ao parcial x → f (x, b) no ponto a ∈ E , estando tal aplicaçãodefinida em um aberto de E contendo a. Analogamente, ∂ 2f (a, b)

é a derivada, em b

∈F , da aplicação parcial y

→f (a, y).


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É imediato ver que, se f : U → Rn é diferenciável no ponto z =(a, b)

∈U , então as derivadas parciais existem e ∂ 1f (z) = f

(z)

|E ,

∂ 2f (z) = f (z)|F . A rećıproca é falsa, como se aprende no cálculoelementar.

O teorema abaixo dá uma condição suficiente para diferencia-

bilidade em termos de derivadas parciais.

Teorema. Sejam U ⊂ Rm um aberto e Rm = E ⊕ F uma decom-posiç˜ ao em soma direta. Uma aplicaç˜ ao f : U

→ Rn é de classe

C 1 se, e somente se, para todo z = (x, y) ∈ Rm as derivadas par-ciais existem e, além disso, as aplicaç˜ oes ∂ 1f : U → L(E,Rn) e ∂ 2f : U → L(F, Rn) s˜ ao cont́ınuas.

No caso da decomposição usual Rm = E 1 ⊕ · · · ⊕ E m , ondecada E i é o subespaço unidimensional gerado pelo i-ésimo vetor

básico ei , para cada z = (x1, . . . , xm), identificamos ∂ if (z) com o

vetor

∂f

∂xi(x) = lim

t→0f (x1, . . . , xi + t , . . . , xm) − f (x1, . . . , xm)

t ·

Podemos então enunciar o

Corolário. Seja U ⊂ Rm

um aberto. Uma aplicaç˜ ao f : U → Rn

,f (z) = (f 1(z), . . . , f n(z)), é de classe C k se, e somente se, todas

as derivadas parciais mistas

∂ αf i

∂xi1 . . . ∂ xiα(z), z ∈ U, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ i1, . . . , iα ≤ m

de ordem α ≤ k existem e dependem continuamente de z ∈ U .


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[SEC. 7: O TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA 15

7 O teorema da função inversa

Sejam U ⊂ Rm um aberto e f : U → Rm uma aplicaç˜ ao C k(1 ≤ k ≤ ∞) tal que, num ponto x0 ∈ U , a derivada f (x0) ∈L(Rm) é um isomorfismo. Ent˜ ao f aplica difeomorficamente uma vizinhança menor V de x0 sobre uma vizinhança W de f (x0).

x

Rn

Rm

V

U f (V ) = W

Figura 1.6.

Deve-se lembrar sempre que se f : U → V é um difeomorfismoentão, para todo x ∈ U , f (x) : Rm → Rm é um isomorfismo, maso Teorema da Função Inversa não é uma rećıproca completa deste

fato. Ele permite apenas concluir que se f ∈ C k (k ≥ 1) e f (x)é um isomorfismo para todo x ∈ U , então f é um difeomorfismolocal , isto é, cada x ∈ U tem uma vizinhança aplicada por f difeo-morficamente sobre uma vizinhança de f (x).

A aplicação f : R2 → R2, definida por f (z) = ez, fornece umexemplo de difeomorfismo local C ∞ que não é globalmente umdifeomorfismo.


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O teorema da função inversa evidencia o fato de ser f (x0) uma“boa aproximação” de f , pois a informação de que f (x0) é um

isomorfismo acarreta ser f biuńıvoca em uma vizinhança de x0 .

8 A forma local das submersões e o teorema

das funções impĺıcitas

Seja U

⊂ R

m+n um aberto. Uma aplicação diferencíavel

f : U → Rn chama-se uma submers˜ ao quando, para todo x ∈ U , aderivada f (x) : Rm+n → Rn é sobrejetora. O exemplo t́ıpico é aprojeção

π : Rm+n = Rm × Rn → Rn(x, y) → y.

Com relação ao teorema abaixo, lembramos que, dada umatransformação linear sobrejetora T : Rm+n → Rn, se tomamos

E = núcleo de T e

F = qualquer subespaço suplementar de E em Rm+n então,

necessariamente, a restrição

T

|F : F

→Rn é um isomorfismo.

Teorema (forma local das submersões). Sejam U ⊂ Rm+n um aberto e f : U → Rn uma aplicaç˜ ao de classe C k, k ≥ 1. Suponha que, no ponto z0 ∈ U , a derivada f (z0) : Rm+n → Rn é sobreje-tora. Escolhida uma decomposiç˜ ao em soma direta E ⊕F = Rm+n(z0 = (x0, y0)) tal que ∂ 2f (z0) = f (z0)|F é um isomorfismo, ent˜ aof se comporta localmente como uma projeç˜ ao. Com isto queremos


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[SEC. 8: FORMA DAS SUBMERSÕES E O TEOREMA DAS FUNÇ ÕES 17

dizer que existem abertos V , W , Z , com

x0 ∈ V, V ⊂ E,z0 ∈ Z, Z ⊂ U,f (z0) ∈ W, W ⊂ Rn,

e um difeomorfismo de classe C k, h : V × W → Z tal que f ◦h : (x, w) → w.

Convém ter em mente a Figura 1.7, que põe em relevo o caráter

geométrico do difeomorfismo h:

c = f (z0)

W

Rn

(x0, c)

(x, c)

x0

f

V × W h

π = f ◦ h : (x,w) → w

x V E

Z U

z0

ξ(x, c)

Figura 1.7.

Fazendo uso do teorema da função inversa podemos demons-

trar rapidamente a forma local das submersões, como se segue:

Seja ϕ : U → E × Rn de classe C k, definida por ϕ(x, y) =(x, f (x, y)). A derivada ϕ(z0) : Rm+n → E × Rn é dada pelafórmula (h, k) → (h, ∂ 1f (z0)·h+∂ 2f (z0)·k), h ∈ E , k ∈ F . Obser-vemos que a aplicação linear (u, v)

→ (u, (∂ 2f (z0))−1


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(v − ∂ 1f (z0) · u)), u ∈ E , v ∈ Rn, é a inversa de ϕ(z0) e ganhemoso direito de aplicar o teorema da função inversa. Se escrevemos

f (z0) = c, ϕ é um difeomorfismo de classe C k de uma vizinhançade z0 sobre uma vizinhança de (x0, c). Esta última pode ser esco-

lhida na forma V × W , onde V é aberto em E e W é aberto emRn. Ponhamos

Z = ϕ−1(V × W ) e ϕ−1 : V × W → Z.Resta examinar o aspecto da composta f ◦ h.Como ϕ(x, y) = (x, f (x, y)) segue-se que h = ϕ−1 é da formah(x, w) = (x, h2(x, w)). Se (x, w) ∈ V × W , então

(x, w) = ϕ ◦ h(x, w)= ϕ(x, h2(x, w))

= (x, f (x, h2(x, w)))

= (x, f ◦ h(x, w)).Logo f ◦ h(x, w) = w, para todo (x, y) ∈ V × W .Corolário. Uma submers˜ ao de classe C k (k ≥ 1) é uma aplicaç˜ aoaberta.

Observações:

1) Pode parecer estranho aplicar o teorema da função inversa a

ϕ : U

⊂Rm+n

→E

×Rn pois E

×Rn não é um espaço euclidiano.

O leitor está convidado a justificar esta passagem.

2) Da relação f ◦ h = π : V × W → W resulta que a derivadaf ( p) é sobrejetora para todo p ∈ Z . Assim o conjunto dos pontos p ∈ Rm+n tais que f ( p) é sobrejetora é aberto.3) A decomposição em soma direta Rm+n = E ⊕F pode ser sempretomada com E e F gerados pelos eixos coordenados. É o que

faremos doravante em todas as aplicações. Com efeito:


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[SEC. 8: FORMA DAS SUBMERSÕES E O TEOREMA DAS FUNÇ ÕES 19

Uma decomposiç˜ ao em soma direta do tipo Rm+n = Rm⊕Rn si-gnifica uma partição

{e1, . . . , em+n

}=

{ei1 , . . . , eim

}∪{e j1 , . . . , e jn

}da base canônica do Rm+n. Dada a partição, pomos Rm ⊂ Rm+ncomo sendo subespaço gerado por {ei1, . . . , eim} e Rn ⊂ Rm+ncomo o subespaço gerado pelos vetores restantes {e j1 , . . . , e jn}. Éóbvio que Rm+n é a soma direta desses dois subespaços e escreve-

mos Rm+n = Rm ⊕ Rn.Uma vez dada tal decomposição, escrevemos os elementos de

Rm+n como pares z = (x, y), x

∈Rm e y

∈Rn. Por exemplo, seja

R3 = R2 ⊕R, onde R2 é gerado por e1, e3 e R por e2 . Então todoz = (x1, x2, x3) será denotado por z = (u, v), u = (x1, 0, x3) ∈ R2e v = (0, x2, 0) ∈ R.

Dada uma aplicação linear sobrejetora T : Rm+n → Rn, e-xiste uma decomposição Rm+n = R ⊕ Rn tal que T |Rn : Rn →Rn é um isomorfismo. Basta observar que os vetores T e1, . . . ,

T em+n geram Rn e portanto é posśıvel selecionar dentre eles uma

base {T e j1 , . . . , T e jn}. Sejam i1, . . . , im os ı́ndices restantes. Apartição {1, 2, . . . , m + n} = {i1, . . . , im} ∪ { j1, . . . , jn} fornece adecomposição desejada.

4) Na demonstração do teorema surgem fatos importantes,

que devemos destacar: o difeomorfismo h é da forma h(x, w) =

(x, h2(x, w)), x ∈ V , w ∈ W . Isto significa que as “fibras” {x}×W são movimentadas apenas no sentido vertical, como aparece na

Figura 1.7. Outra novidade aparece se consideramos a aplicação

ξ = ξ 0 : V → F , ξ (x) = h2(x, c), de classe C k. Observemos quef (x, ξ (x)) = c para todo x ∈ V . Por outro lado, se (x, y) ∈ Z é tal que f (x, y) = c, então (x, y) = h ◦ ϕ(x, y) = h(x, c) =(x, h2(x, c) ) = (x, ξ (x)), ou seja, y = ξ (x). Este fato é o im-

portante teorema das funç˜ oes implı́citas , que pode ser sintetizado

na seguinte afirmação:


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O conjunto f −1(c)∩Z é o gr ́afico da aplicaç˜ ao x ∈ V → ξ (x) =h2(x, c)

∈F , de classe C k.

Em outras palavras, a equação f (x, y) = c define, implicitamente,

na vizinhança de x0 , a aplicação y = ξ (x), de classe C k cuja

derivada é dada por

ξ (x) = −∂ 2f (x, ξ (x))−1 ◦ ∂ 1f (x, ξ (x)).O parâmetro c pode variar no aberto W . Conclui-se que

existem abertos V ⊂ E , contendo x0 , W ⊂ Rn contendo c eZ ⊂ U contendo z0 tais que para cada y ∈ W e para cada x ∈ vexiste um único ξ (x, y) = h2(x, y) ∈ F tal que (x, ξ (x, y)) ∈ Z e f (x, ξ (x, y)) = y. Tal situação fica também evidente na Figura

1.7.

Veremos no Caṕıtulo II que o conjunto f −1(c) ∩ Z é uma su-perf́ıcie m-dimensional de classe C k no Rm+n (seção 2.5.2).

9 A forma local das imersões

Seja U ⊂ Rm um aberto. Uma aplicação diferenciável f : U →Rm+n chama-se uma imers˜ ao quando, para cada x ∈ U , a deri-

vada f (x) : Rm → Rm+n é uma transformação linear injetora. Oexemplo t́ıpico é a inclusão

i : Rm → Rm × Rn = Rm+n, x → (x, 0).

Teorema (forma local das imersões). Sejam U ⊂ Rm um abertoe f : U → Rm+n uma aplicaç˜ ao de classe C k, k ≥ 1. Suponha que no ponto x0 ∈ U a derivada f (x0) : Rm → Rm+n é injetora.Ent˜ ao f se comporta localmente como uma inclus˜ ao. Com isto

queremos dizer que existem abertos V , W , Z , com


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[SEC. 9: A FORMA LOCAL DAS IMERSÕES 21

f (x0) ∈ Z, Z ⊂ Rm+n,x0

∈V, V

⊂U

⊂Rm,

0 ∈ W, W ⊂ Rn,e um difeomorfismo de classe C k, h : Z → V ×W , tal que h◦f (x) =(x, 0), para cada x ∈ V .

A Figura 1.8, que corresponde a m = n = 1, indica geometri-

camente a situação geral. Convém entendê-la bem.

h

V

U ⊂ Rmx0

V i = h ◦ f 0

W ⊂ Rn

π

x0

(x0, 0)

F

ξ

Z

f(x )

f E = f (x0) · R

m

Figura 1.8.

Demonstração: Seja E = f (x

0)·Rm e escolhamos para F qual-

quer suplementar de E em Rm+n, ou seja, Rm+1 = E ⊕ F . De-finamos a aplicação de classe C k, ϕ : U × F → Rm+n, dada porϕ(x, y) = f (x) + y. Então ϕ(x0, 0) = f (x0) e, se (u, v) ∈ Rm × F ,temos ϕ(x0, 0) ·(u, v) = f (x0) ·u +v. É imediato ver que ϕ(x0, 0)é um isomorfismo. Pelo teorema da função inversa, ϕ é um difeo-

morfismo de classe C k de uma vizinhança de (x0, 0) sobre uma vi-

zinhança de f (x0). Podemos escolher a primeira da forma V

×W ,


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com x0 ∈ V ⊂ U e 0 ∈ W ⊂ F , e escrever Z = ϕ(V × W ).Seja h = ϕ−1 : Z

→ V

×W . Como ϕ(x, 0) = f (x), segue-se que

h ◦ f (x) = h ◦ ϕ(x, 0) = (x, 0), x ∈ V .Para concluir, identificamos F com Rn (escolhendo uma base para

F ) a fim de simplificar o enunciado do teorema.

Observação: Se π : V × W → V , π(x, w) = x, é a primeiraprojeção, então ξ = π ◦ h : Z → V goza da propriedadeξ ◦ f (x) = π ◦ h ◦ f (x) = π(x, 0) = x. Portanto ξ |f (V ) = (f |V )−1.Conclusão: f é um homeomorfismo de V sobre f (V ) cujo inverso

é a restrição a f (V ) da aplicação ξ : Z → V de classe C k. Estaobservação será de importância no futuro.

A interpretação intuitiva de uma imersão f : U → Rm+n (k ≥1) é a seguinte: para cada conjunto aberto suficientemente pe-

queno V ⊂ U ⊂ Rm, f (V ) é uma “superf́ıcie m-dimensional noRm+n ” dotada de um “plano tangente” f (x)+f (x) ·Rm em cada

ponto f (x) ∈ f (V ). Este plano varia continuamente com x ∈ V .Esta interpretação geométrica das imersões será desenvolvida nopróximo caṕıtulo.

10 O teorema do posto

O posto de uma aplicação linear T : Rm → Rn é a dimensão desua imagem T ·Rm, isto é, o número máximo de vetores linearmenteindependentes entre T e

1, . . . , T e

m . O posto de T é igual a r

(ρ(T ) = r) se, e somente se, a matriz de T (relativamente às bases

canônicas de Rm e Rn, por exemplo) tem um determinante menor

r × r não nulo e todo determinante menor de ordem r + 1 é nulo.O posto de uma aplicaç˜ ao diferenci´ avel f : U ⊂ Rm → Rn num

ponto x ∈ U é, por definição, o posto de sua derivada f (x) : Rm →Rn. Por exemplo, uma submersão f : U → Rn tem posto n em

todo ponto x

∈U . Analogamente, uma imersão f : U

⊂Rm

→Rn


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[SEC. 10: O TEOREMA DO POSTO 23

tem posto m em cada ponto. Por esta razão, as submersões e as

imersões são denominadas as aplicaç˜ oes de posto m´ aximo.

A aplicação que associa a cada x ∈ U o posto de f em x ésemi-cont́ınua inferiormente. Mais precisamente, se f tem posto r

num ponto x ∈ U , existe uma vizinhança V do ponto x tal que f tem posto ≥ r em todos os pontos de V . Com efeito, existe umdeterminante menor r × r não nulo da matriz jacobiana Jf (x).Por continuidade, este menor não se anula em uma vizinhança V

do ponto x, de modo que o posto de f é ≥ r em todos os pontosde V .

O teorema a ser demonstrado nesta seção estuda as aplicações

de posto constante. Cont́em, como casos particulares, as formas

locais das aplicações de posto máximo.

Lembramos que um subconjunto A de um espaço vetorial E é

convexo se, para cada par de pontos x, y ∈ A, o segmento de reta[x, y] está contido em A. Por exemplo, uma bola aberta Bδ(a), de

centro em a e raio δ , num espaço normado, é convexa. Realmente,

dados x, y ∈ Bδ(a) e 0 < t < 1, temos |[(1 − t)x + ty] − a| =|(1−t)(x−a)+t(y−a)| ≤ (1−t)|x−a|+t|y−a|


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E

A = V × W

W

F

B

V

Figura 1.9. Os conjuntos A e B são verticalmente convexos.

Lema 1. Seja U ⊂ Rm × Rn um aberto verticalmente convexo.Se f : U → R p tem segunda derivada parcial ∂ 2f identicamente nula em U ent˜ ao f é independente da segunda vari´ avel, isto é,

f (x, y) = f (x, y) para quaisquer (x, y) e (x, y) em U .

Demonstração: Dados (x, y) e (x, y) ∈ U , o caminhoϕ : [0, 1] → R p dado por ϕ(t) = f (x, (1−t)y+ty) está bem definidoe é diferenciável. Como ϕ(t) = ∂ 2f (u, (1 − t)y + ty) · (y − y) = 0para todo t ∈ [0, 1], resulta que ϕ é constante. Em particular,ϕ(0) = ϕ(1), ou seja f (x, y) = f (x, y).

Lema 2. Seja E ⊂ Rm+ p um subespaço m-dimensional. Existe uma decomposiç˜ ao em soma direta Rm+ p = Rm ⊕ R p tal que a primeira projeç˜ ao π : Rm+ p → Rm, π(u, v) = u, aplica E isomor-

ficamente sobre Rm.

Demonstração: Escolhamos uma base {u1, . . . , um} em E . Amenos que seja E = Rm+ p (isto é, p = 0) existe um vetor básico

e j1 ∈ Rm+ p − E . Então u1, . . . , um , e j1 são linearmente inde-pendentes e geram um subespaço E 1 ⊂ Rm+ p. A menos queE 1 = R

m+ p ( p = 1), existe um vetor básico e j2 ∈ Rm+ p − E 1 .Então u1, . . . , um , e j1 , e j2 são linearmente independentes. Pros-

seguindo o racioćınio, obteremos vetores básicos e j1 , . . . , e jp tais


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que {u1, . . . , um, e j1 , . . . , e jp} seja uma base do Rm+ p. Isto deter-mina as decomposições em soma direta Rm+ p = Rm

⊕R p = E

⊕R p.

A projeção π, relativa à primeira decomposição, transforma R p emzero, logo aplica E isomorficamente sobre Rm.

Teorema do Posto. Sejam U ⊂ Rm+n um aberto e f : U →Rm+ p uma aplicaç˜ ao de classe C k (k ≥ 1). Suponha que f tem

posto m em todos os pontos de U . Ent˜ ao, para todo z0 ∈ U existem difeomorfismos de classe C k

α, de um aberto do Rm

×Rn

sobre uma vizinhança de z0β, de uma vizinhança de f (z0) sobre um aberto em R

m × R p.tais que β ◦ f ◦ α : (x, y) → (x, 0)

βf (Z ) = V × 0

V × W ⊂ Rm × R p

(x0, 0) (x, 0)

βfα : (x,w) → (x, 0)

f

α

R p Z

f(Z )

f (z0)

β

V × W ⊂ Rm × Rn

f (U )

Rm

U ⊂ Rm+n

Z

(x, y)

(x0, y0)

z0

Figura 1.10.

Demonstração: Sejam z0 ∈ U , arbitrário, e E = f (z0) ·Rm+n ⊂Rm+ p. Pelo Lema 2 existe uma decomposição em soma direta

Rm+ p = Rm⊕R p cuja primeira projeção aplica E isomorficamente

sobre Rm. Então (π ◦ f )(z0) = π ◦ f (z0) : Rm+1 → Rm é sobrejetora. Pela forma local das submersões existe um difeomorfismo


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α ∈ C k de um aberto V 0 ×W ⊂ Rm×Rn sobre uma vizinhança dez0 tal que πf α(x, y) = x. Isto significa que f α(x, y) = (x, λ(x, y))

onde λ : V 0 × W → R p é de classe C k.Afirmação: ∂ 2λ ≡ 0. Realmente, para cada ponto (x, y) ∈ V 0 × W tem-se

(f ◦ α) : (h, k) → (h, ∂ 1λ · h + ∂ 2λ · k), h ∈ Rm, k ∈ Rn.Segue-se que π ◦ (f α) : (h, k) → h. Se denotarmos por E xy aimagem da aplicação linear (f α)(x, y), levando em conta que

dim E xy = m concluiremos que π leva isomorficamente E xy sobreRm, para cada (x, y) ∈ V 0 × W . Se em algum ponto (x, y) a de-

rivada ∂ 2λ fosse não-nula, isto é, ∂ 2λ · k = 0 para algum k ∈ Rn,então (f α)(0, k) = (0, ∂ 2λ · k) = 0. Por conseguinte, π levaria umvetor não-nulo de E xy no zero, o que contradiz a condição de iso-

morfismo. Podemos supor que W é conexo. Pelo Lema 1 resulta

que λ(x, y) não depende de y.

Seja α(x0, y0) = z0 . Consideremos a injeção i : V 0 →

V 0×

W ,

dada por i(x) = (x, y0). Então f α(x, y) = f αi(x) = (x, λ(x, y0))

para todo (x, y) ∈ V 0 × W . Como f αi tem derivada injetora emx0 , podemos aplicar a forma local das imersões: existe um difeo-

morfismo β ∈ C k, de uma vizinhança de f (z0) sobre um abertoem Rm × R p tal que βfαi : x → (x, 0), x ∈ V ⊂ V 0 . (V é umavizinhança de x0 , possivelmente menor que V 0).

Finalmente, β

◦f

◦α(x, y) = β

◦f

◦α

◦i(x) = (x, 0), o que

conclui a demonstração.

Proposição. Sejam U ⊂ Rm um aberto e f : U → Rn de classe C 1. Para cada r = 0, 1, . . . , p ( p = min{m, n}), seja Ar o interior do conjunto dos pontos x ∈ U nos quais f tem posto r. Ent˜ aoA = A0 ∪ · · · ∪ A p é (aberto e ) denso em U .Demonstração: Seja V um subconjunto aberto não vazio de U .

Queremos mostrar que V

∩A

= ϕ. Consideremos um ponto x

∈V


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onde o posto de f assume seu valor máximo r0 em V . Como a

aplicação x

∈ U

→ ρ(f (x)) é semi-cont́ınua inferiormente, existe

uma vizinhança W ⊂ U de x na qual o posto de f é ≥ r0 . Então oposto de f é exatamente igual a r0 em todos os pontos de W ∩ V .Ou seja, ϕ = W ∩ V ⊂ Ar0 . Logo V ∩ A = ϕ.Corolário 1. Dada f : U → Rn de classe C 1, existe um subcon-

junto aberto denso A ⊂ U tal que o posto de f é constante em cada componente conexa de A.

A0

A1A2

A1

Figura 1.11.

Corolário 2. Seja U ⊂ Rm aberto. Se uma aplicaç˜ ao f : U → Rnde classe C 1 é 1 − 1, ent˜ ao m ≤ n e o conjunto dos pontos x ∈ U tais que f (x) : Rm → Rn é injetora é aberto e denso em U .Demonstração: Seja A = A0 ∪ · · ·∪A p, p = min{m, n}, como naproposição. Pelo teorema do posto, f não pode ser injetora em Ar,

a menos que r = m = p. Portanto m ≤ n e Ar = ϕ para r = m,de modo que A = Am. Isto demonstra o corolário, pois o conjunto

dos pontos x ∈ U tais que f (x) tem posto m é claramente aberto.Corolário 3. Seja U ⊂ Rm aberto. Se uma aplicaç˜ ao f : U → Rnde classe C 1 é aberta, ent ̃ao m ≥ n e o conjunto dos pontos x ∈ U tais que f (x) : Rm → Rn é sobrejetora é aberto e denso em U .

A demonstração é, mutatis mutandis, como a anterior.


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11 Campos de vetores em Rn

Seja U um subconjunto aberto em Rn. Um campo de vetores em U e simplesmente uma aplicação v : U → Rn. Se v ∈ C kdizemos que o campo de vetores é de classe C k.

Sejam p ∈ U e v : U → Rn um campo vetorial de classe C k.Chama-se curva integral do campo v, com condição inicial p, a um

caminho diferenciável λ : J → U , definido num intervalo abertocontendo 0 ∈ R, tal que λ(0) = p e λ(t) = v(λ(t)) para todo

t ∈ J .Visualizamos o campo v associando um vetor v(x) ∈ Rn a cadaponto x ∈ U . O vetor-velocidade de uma curva integral de v numdeterminado ponto é justamente o vetor associado a este ponto

pelo campo v.

xv(x)

U

Figura 1.12.

Consideraremos agora o teorema de existência e unicidade dascurvas integrais.

Teorema. Sejam U um subconjunto aberto do Rn e v : U → Rnum campo vetorial de classe C 1. Dado qualquer p ∈ U , existe uma curva integral λ : (−c, c) → U do campo v com condiç˜ ao inicial λ(0) = p. Se µ : (−ε, ε) → U for outra curva integral de v com µ(0) = p, ent˜ ao λ = µ num intervalo (

−δ, δ )

⊂(

−c, c)

∩(

−ε, ε).


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[SEC. 11: CAMPOS DE VETORES EM RN 29

Demonstração: Seja B uma bola fechada de centro p, na qual

as normas

|v

| e

|v

| são limitadas por uma constante k > 0. Em

particular, x, y ∈ B implica |v(x) − f (y)| ≤ k|x − y|. Seja c umnúmero real positivo tal que o produto ck seja menor do que 1 e

do que o raio de B.

Consideremos o espaço métrico E , formado pelos caminhos

cont́ınuos λ : [−c, c] → B, com a métrica da convergência uniforme.Sabe-se que E é completo. Definamos uma aplicação f : E → E pondo, para cada λ ∈ E , f (λ) = µ, onde

µ(t) = p + t

0v(λ(s)) ds.

Note-se que |µ(t)− p| ≤ ck


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Logo λ é uma curva integral com origem em p. Dada qualquer

outra curva integral µ : (

−ε, ε)

→ U com µ(0) = p, podemos res-

tringir λ e µ a um intervalo [−δ, δ ] tal que δk


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Caṕıtulo II

Superf́ıcies nos EspaçosEuclidianos

A noção de superf́ıcie de dimensão m num espaço euclidiano

Rn (n ≥ m) é generalização direta dos objetos que econtramos

na geometria diferencial clássica – as curvas em R3 ou R2 quepossuem vetor tangente em cada ponto e as superf́ıcies em R3 que

possuem plano tangente em cada ponto.

1 Parametrizações

Seja U 0 um subconjunto aberto de Rm. Uma imersão de classe

C k, ϕ : U 0 → Rn, diz-se um mergulho de classe C k de U 0 em Rn,quando ϕ é um homeomorfismo de U 0 sobre ϕ(U 0).

Dizemos também que ϕ é uma parametrizaç˜ ao de classe C k e

dimensão m do subconjunto U = ϕ(U 0) ⊂ Rn.Em relação à injetividade de ϕ(x): Rm → Rn, lembremos que

as seguintes condições são equivalentes:

(i) ϕ(x) : Rm

→Rn é injetora.


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32 [CAP. II: SUPERF́ICIES NOS ESPAÇOS EUCLIDIANOS

(ii) ∂ϕ

∂x j(x) = ϕ(x) · e j , j = 1, . . . , m são vetores linearmente

independentes.

(iii) A matriz jacobiana n×m, J ϕ(x) =

∂ϕi

∂x j(x)

, tem posto m,

isto é, algum de seus determinates menores m ×m é distintode zero.

Rm

x0 e1

e2

U 0

Rn

∂ϕ

∂x2

ϕ∂ϕ

∂x1

U

x = ϕ(x0)

Figura 2.1.

Exemplos:

1) Parametrizações de dimensão 1.

Seja J um intervalo aberto de números reais. Um caminho de

classe C k, ϕ : J → Rn, é um mergulho se, e somente se, ϕ : J →ϕ(J ) é um homeomorfismo e o vetor velocidade ϕ(t) nunca seanula. Existem imersões biuńıvocas C ∞ de um intervalo abertodos reais em R2 que não são homeomorfismos sobre sua imagem.

Voltaremos a tratar do assunto posteriormente. A Figura 2.2 ilus-

tra esta situação:


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[SEC. 1: PARAMETRIZAÇ ÕES 33

R

ϕ

∞

∞

R2

R

ψ

Figura 2.2.

2) Parametrizações de dimensão 2 em R3.

Seja U 0 um subconjunto aberto em R2 e ϕ : U 0 → U = ϕ(U 0) ⊂R

3, ϕ(u, v) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v)) uma parametrização de

classe C k.

O conjunto U = ϕ(U 0) é chamado uma superf́ıcie local . A

independência linear dos vetores

∂ϕ

∂u =

∂ϕ1

∂u ,

∂ϕ2

∂u ,

∂ϕ3

∂u e

∂ϕ

∂v =

∂ϕ1

∂v ,

∂ϕ2

∂v ,

∂ ϕ3

∂v é equivalente a ser não-nulo o produto vetorial n = n(u, v) =∂ϕ

∂u × ∂ϕ

∂v , chamado vetor normal a U no ponto ϕ(u, v).

R3

U 0

n(u, v)

∂ϕ∂u

∂ϕ∂v

ϕ(u, v)

U

R2

ϕ

Figura 2.3.


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2 A noção de superf́ıcie

R

n

U

M

ϕ

U 0

Rm

p

Figura 2.4.

Definição: Uma superf́ıcie m-dimensional do Rn (de classe C k) é

um subconjunto não vazio

M = M m ⊂ Rn

no qual todo ponto p possui uma vizinhança aberta U dotada de

uma parametrização de classe C k e dimensão m.

O conjunto M tem a topologia induzida de Rn. Assim a vizi-

nhança U é a interseção de M com um conjunto aberto em Rn.

O número n − m é chamado a co-dimens˜ ao de M em Rn.Uma superf́ıcie de dimensão n no Rn+1 é denominada uma

hiperf́ıcie .

Uma superf́ıcie zero-dimensional em Rn é um conjunto de pon-

tos isolados. Uma superf́ıcie de dimensão n em Rn é um subcon-

junto aberto de Rn. Vemos assim que os casos extremos não têm

maior importância. Mais interessante é o exemplo abaixo.


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[SEC. 2: A NOÇÃO DE SUPERF́ICIE 35

y

S 2 ⊂ R3

x

z

Figura 2.5.

A esfera unit´ aria de dimens˜ ao n é o conjunto

S n = {y ∈ Rn+1; y, y = 1}.

S n é uma hiperf́ıcie compacta de classe C ∞ em Rn+1. Vamosmostrar que 2(n + 1) parametrizações são suficientes para cobrir

a esfera.

Para cada i = 1, 2, . . . , n + 1, ponhamos:

H +i = {y ∈ Rn+1; yi > 0} e H −i = {y ∈ Rn+1; yi 0} e U −i =H −i ∩S n = {y ∈S n | yi< 0}

são abertos em S n en+1i=1

(U +i ∪ U −i ) = S n. Cada uma destasvizinhanças U +i é dotada de uma parametrização de classe C

∞, asaber

ϕ±i : B →

U ±i ; i = 1, . . . , n + 1


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x = (x1, . . . , xn) → (x1, . . . , xi−1, ±

1 = |x|2, xi, . . . , xn).

Estamos indicando com B a bola aberta de centro 0 e raio 1 em

Rn: B = {x ∈ Rn; |x| 0} e U −1 = {(x, y) ∈ R2; x


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[SEC. 3: MUDANÇA DE COORDENADAS 37

Rn

x = (x1, . . . , xm)

U 0

y = (y1, . . . , ym)

Rm

V 0

U

p

M

ψ

ξ

ϕ

Figura 2.6.

Mostremos agora que esta é a única maneira de obter novas

parametrizações de U .

Se ϕ : U 0 → U e ψ : V 0 → V são parametrizações em M taisque U ∩ V = ϕ, é evidente que a aplicação

ξ = ψ−1 ◦ ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V )é um homeomorfismo entre abertos do Rm.

ψU 0 U

V

ξ = ψ−1 ◦ ϕ

V 0

ϕM

Figura 2.7.

Mas não se pode concluir de imediato a diferenciabilidade de

ψ−1

◦ϕ, visto que ψ−1 não está definida num aberto do Rn. Para


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contornar esta dificuldade, apresentamos o seguinte resultado, que

dá conta de uma situação um pouco mais geral.

Proposição 1. Sejam V 0 um subconjunto aberto do Rm e ψ : V 0 →

V uma parametrizaç˜ ao de classe C k do conjunto V ⊂ Rn. Dados U 0 ⊂ Rr, aberto, e f : U 0 → V ⊂ Rn de classe C k, ent˜ ao:

(i) a composta ψ−1 ◦ f : U 0 → V 0 ⊂ Rm é de classe C k

(ii) para x ∈ U 0 e z = ψ−1◦f (x) temos (ψ−1◦f )(x) = [ψ(z)]−1◦f (x).

Demonstração: (i) Como ψ : V 0 → V é uma imersão (injetora)C k, para cada ponto p ∈ V existem um aberto Z em Rn queo cont́em e uma aplicação de classe C k, g : Z → Rm, tal queg|(V ∩ Z ) = ψ−1 (v. observação da seção 9 do Cap. I).

Seja p um ponto arbitrário de f (U 0) ⊂ V . Então ψ−1 ◦ f =g ◦ f : f −1((U 0) ∩ Z ) ⊂ Rr → Rm. Resulta então que ψ−1 ◦ f é declasse C k, pois f e g o são.

x

U 0

Rr

Rn

p

z

Rm

ψ −1 ◦ f

V f

ψ

f (U 0)

V 0

Figura 2.8.

(ii) Ponha h = ψ−1 ◦ f e aplique a regra da cadeia à igualdadeψ

◦h = f .


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Corolário. Sejam U 0 e V 0 subconjuntos abertos em Rm e ϕ : U 0 →

V , ψ : V 0

→ V parametrizaç˜ oes de classe C k do mesmo conjunto

V ⊂ Rn. Ent˜ ao a mudança de coordenadas ξ = ψ−1 ◦ ϕ é um difeomorfismo de classe C k.

O Corolário acima permite estender o conceito de aplicação

diferenciável, até agora só definido no caso em que o domı́nio era

um aberto do espaço euclidiano.

Seja M m ⊂ Rn uma superf́ıcie de classe C k. Diremos que umaaplicação f : M → Rs é diferenci´ avel num ponto p ∈ M quandoexiste uma parametrização ϕ : U 0 → U , de classe C k, com p ∈ U ,tal que f ◦ ϕ : U 0 → Rs é diferenciável no ponto p0 ∈ U 0 , ondeϕ( p0) = p. Segue-se da Proposição 1 que f ◦ψ = (f ◦ϕ)◦(ϕ−1 ◦ψ)é diferencíavel no ponto ϕ−1( p), seja qual for a parametrização ψ,de classe C k, de uma vizinhança de p. Esta definição não depende,

portanto, da parametrização ϕ escolhida.

Vê-se facilmente como estender à aplicação f : M m → Rs a

noção de classe C k

. Observa-se, porém, que tal noção tem sentidoapenas quando M é uma superfı́cie de classe C k. Do contrário,

f ◦ ϕ pode ser de classe C k para uma certa parametrização ϕ semque o seja para outras.

Se tivermos M m ⊂ Rr e N n ⊂ Rs superf́ıcies de classe C k,diremos que f : M → N é diferenci´ avel no ponto p ∈ M quando,considerada como aplicação de M em Rs, f for diferenciável

naquele ponto.

Analogamente se define f : M m → N n de classe C k: para cada p ∈ M deve existir uma parametrização ϕ : U 0 → U ⊂ M , declasse C k, com p ∈ U , tal que f ◦ ϕ : U 0 → N ⊂ Rs seja de classeC k. Pela Proposição 1, f ◦ ϕ ∈ C k seja qual for a parametrizaçãoϕ : U 0 → U , de classe C k, com p ∈ U .

Observemos o seguinte: a fim de que f : M → N seja de classe C k é necess ́ario e suficiente que, para todo p

∈ M existam para-


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metrizaç˜ oes C k, ψ : V 0 → V ⊂ N e ϕ : U 0 → U ⊂ M , com p ∈ U ,f (U )

⊂V e tais que ψ−1

◦f

◦ϕ : U 0

→V 0

⊂Rn seja de classe C k.

p

N V

M

f ( p)

U f

ψ

ψ−1

◦ f ◦ ϕ

Rm

U 0

Rn

V 0

ϕ

Figura 2.9.

Demonstração: Seja f : M → N de classe C k. Dado p ∈ M ,tomemos uma parametrização ψ : V 0 → V ⊂ N de classe C k, comf ( p) ∈ V , V 0 ⊂ R

n

. Como f é cont́ınua, existe uma parame-trização ϕ : U 0 → U ⊂ M , com p ∈ U , tal que f (U ) ⊂ V . Pordefinição de f ∈ C k, vemos que f ◦ ϕ : U 0 → V ⊂ Rs e de classeC k. Em virtude da Proposição 1, segue-se que ψ−1 ◦ f ◦ ϕ : U 0 →V 0 ⊂ Rn é de classe C k. A rećıproca é deixada a cargo do leitor.

Corolário. Se f : M → N e g : N → P s˜ ao de classe C k ent˜ aog

◦f : M

→P é de classe C k.

Por exemplo, se M m ⊂ Rr é uma superf́ıcie de classe C k, entãoa aplicação da inclusão i : M m → Rr é de classe C k. Do mesmomodo, se M m ⊂ W , onde W é um aberto em Rr, a aplicação deinclusão i : M → W também é de classse C k. Se f : W → Rs forde classe C k, então a restrição f |M : M → Rs será de classe C k(estamos supondo M ∈ C k!) pois f |M = i ◦ f , logo podemosaplicar o Corolário.


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Exemplo - (O ângulo como parâmetro em S 1.)

A aplicaç˜ ao exponencial de R em R2 é o homomorfismo do

grupo aditivo dos reais no grupo multiplicativo dos números com-

plexos, dado por

ξ : R → R2, t → eit = (cos t, sen t).

A exponencial ξ é uma imersão C ∞ não-injetora, pois ξ (t) =(− sen t, cos t) = 0 para todo t, e ξ (s) = ξ (t) se, e só se, s−t = 2kπ,k ∈

Z. Intuitivamente, ξ enrola a reta em torno de S 1, sem esticá-

la, no sentido anti-horário. O número t é uma determinação do

ângulo (em radianos) que ξ (t) ∈ S 1 faz com o semi-eixo positivodos x.

V 0

x

ξ(t)

t

t

U 0

R

ϕ

ξ

Figura 2.10.

Seja t ∈ R, arbitrário, porém fixo neste racioćınio. Seja ϕuma parametrização C

∞ de uma vizinhança de ξ (t)

∈ S 1, com

ϕ(x) = ξ (t) (ϕ pode ser uma das parametrizações anteriormente

construı́das). Como [ϕ−1 ◦ ξ ](t) = [ϕ(x)]−1 ◦ ξ (t) = 0, o teo-rema da função inversa garante que ϕ−1 ◦ ξ é um difeomorfismode uma vizinhança U 0 de t ∈ R sobre uma vizinhança V 0 de x ∈ R(Fig. 2.6). Conseqüentemente, ξ = ϕ ◦ (ϕ−1 ◦ ξ ) : U 0 → ξ (U 0) é umhomeomorfismo. Em outras palavras, a exponencial ξ : R → S 1é um homeomorfismo local. A conclusão é que em cada intervalo


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aberto (a, b) ⊂ R com b − a ≤ 2π, a exponencial

ξ : (a, b) → S 1

é uma parametrização do ćırculo. Ela é geometricamente mais

significativa que as parametrizações ϕ±i descritas anteriormente.

0

ϕ

x

t

π

ξ

p = (cos t, sin t) =“x,√

1 − x2”

t (1, 0)(−1, 0)

ϕ−1 ◦ ξ : (0, π) → (−1, 1)

x 1-1 0

→ x = cos tt

Figura 2.11.

4 O espaço tangente

Uma caracteŕıstica importante das superf́ıcies diferenciáveis é

que elas possuem, em cada ponto, uma aproximação linear, que é

seu plano tangente.

Sejam M = M m ⊂ Rn uma superf́ıcie de dimensão m e classeC k (k ≥ 1). Seja ϕ : U 0 → U uma parametrização com p = ϕ(x) ∈M , x ∈ U 0 . O espaço tangente a M no ponto p é o espaço vetorialde dimensão m

T M p = ϕ(x)

·Rm.


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[SEC. 4: O ESPAÇO TANGENTE 43

Os vetores ∂ϕ

∂xi(x) = ϕ(x) · ei , i = 1, . . . , m formam uma base de

T M p .

Esta definição só terá utilidade se mostramos que o espaço

tangente em p independe da escolha da parametrização ϕ. Seja

ψ : V 0 → V uma outra parametrização em p. Seja ξ = ψ−1 ◦ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V ) a mudança de coordenadas, como p = ϕ(x) = ψ(z). Ora, ξ é difeomorfismo, logo ξ (x) · Rm = Rm.Finalmente, pela regra da cadeia, temos

ϕ(x) · Rm = ψ (z) · ξ (x) · Rm = ψ (z) · Rm.

U ∩ V

ϕ−1(U ∩ V ) ψ−1(U ∩ V )ξ

ϕ ψ

Rn

Rm

Rm

ξ(x)

ϕ(x) ψ

(z)

A proposição abaixo dá uma caracterização para T M p que é

bastante significativa por seu conteúdo geométrico:

Proposição 2. Os elementos de T M p s˜ ao os vetores-velocidade

em p dos caminhos diferenci´ aveis contidos em M que passam por

p. Mais precisamente ,

T M p=

{v =λ(0); λ : (

−ε, ε)

→M

⊂Rn diferenci´ avel, λ(0)= p

}.


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Demonstração: Seja v ∈ T M p . Por definição do espaço tangenteT M p , existe uma parametrização ϕ : U 0

→ U com ϕ(x) = ϕ tal

que

v = ϕ(x) · u = limt→0

ϕ(x + tu) − ϕ(x)t

, u ∈ Rm.Escolhendo ε > 0 suficientemente pequeno, a imagem do caminho

t ∈ (−ε, ε) → x + tu ∈ Rm está toda contida em U 0 . Assim v éo vetor velocidade em t = 0 do caminho em M , λ(t) = ϕ(x + tu),

λ(0) = p.

Por outro lado, seja λ : (−

ε, ε)→

M um caminho diferenciável

com λ(0) = p. Consideremos uma qualquer parametrização

ϕ : U 0 → U tal que p ∈ U . Podemos supor, sem perda de ge-neralidade, que λ(t) ∈ U para todo t ∈ (−ε, ε). Então, pela Pro-posição 1, o caminho ϕ−1◦λ : (−ε, ε) → U 0 ⊂ Rm é diferencíavel e,escrevendo u = (ϕ−1 ◦λ)(0), temos u = [ϕ(x)]−1 ·λ(0). Portantoλ(0) = ϕ(x) · u, como queŕıamos demonstrar.

O espaço vetorial tangente T M p é um subespaço vetorial de Rm

e, por conseguinte, passa pela origem. Nas ilustrações geométricas,

porém, sempre desenhamos a variedade afim tangente p+T M p que

e paralela a T M p e passa por p.

p

M

p + TM p

Figura 2.12.


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[SEC. 4: O ESPAÇO TANGENTE 45

O espaço tangente em um ponto de uma superf́ıcie de dimensão

zero consiste apenas do vetor zero. O espaço tangente T U p a uma

superf́ıcie de dimensão n, U ⊂ Rn, é igual a todo o Rn.O espaço tangente (T S n) p à esfera unitária S

n consiste em

todos os vetores v ∈ Rn+1 que são perpendiculares a p. De fato,

p⊥ = {v ∈ Rn+1; v, p = 0}

é um subespaço vetorial de dimensão n do Rn+1. Além disso,

se v

∈ (T S n) p , então v = λ(0), onde λ : (

−ε, ε)

→ S n é um

caminho diferenciável com λ(0) = p. Diferenciando a identidadeλ(t), λ(t) = 1, obtemos

2λ(t), λ(t) = 0,

e, pondo t = 0, vem v, p = 0. Portanto (T S n) p ⊂ p⊥. Como oespaço tangente a S n em p tem dimensão n, resulta que

(T S n) p = p⊥.

Terminamos esta seção definindo o referencial móvel associado

a uma parametrização.

Sejam M = M m uma superf́ıcie de classe C k em Rn, e ϕ : U 0 →U ⊂ M uma parametrização em M . Denominamos referencialmóvel associado a ϕ no ponto p = ϕ(x) ao conjunto

Bϕ(x) = ∂ϕ∂x1

(x), . . . , ∂ϕ∂xm

(x)base do espaço tangente a M no ponto p. Um vetor tangente

v ∈ T M p se escreve da forma v =

αi∂ϕ

∂xi(x). Consideremos o

problema de determinar as coordenadas de v com respeito a uma

nova base Bψ(y), originada de outra parametrização ψ : V 0 → V tal que ψ(y) = p.


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Seja ξ a mudança de coordenadas, isto é,

ϕ[ϕ−1(U ∩ V )] = ψ ◦ ξ.Então

ϕ(x) = ψ (y) · ξ (x) (regra da cadeia) e

∂ϕ

∂x j(x) = ϕ(x) · e j = ψ (y) · (ξ (x) · e j)

= ψ (y) ·i∂ξ i

∂x j (x) · ei

=i

∂ξ j

∂x j(x) · ψ(y) · ei

=i

∂ξ i

∂x j(x) · ∂ψ

∂yi(x).

A relação acima mostra que a matriz de passagem da base

Bψ(x)

para a base Bψ(y) de T M p é a matriz jacobiana de ξ no ponto x.Podemos resumir tudo isto nas equações

v =

αi∂ϕ

∂xi(x) =

β i

∂ψ

∂yi(y)

β i = j

∂ξ i

∂x j(x) · α j .

5 Como obter superf́ıcies

Seja M um subconjunto de Rn. Se queremos mostrar que

M é uma superf́ıcie, é necessário obtermos parametrizações de

vizinhanças de todos os pontos de M ; esta tarefa, requerida pela

definição, pode vir a ser trabalhosa. Nesta seção apresentamos

outras maneiras de se obterem superf́ıcies.


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[SEC. 5: COMO OBTER SUPERF́ICIES 47

5.1 O gráfico de uma aplicação C k.

Sejam U

⊂ Rm aberto e f : U

→ Rn uma aplicação de classe

C k. Então o gráfico de f ,

G(f ) = {(x, f (x)); x ∈ U }

é uma superf́ıcie de dimensão m e classe C k no Rm+n.

Realmente, ϕ : U → G(f ), ϕ(x) = (x, f (x)), é uma parame-trização de todo o conjunto G(f ).

´E claro que nem toda superf́ıcie é um gráfico: a esfera S

n

, porexemplo, não o é. Generalizando, nenhuma superf́ıcie compacta

pode ser, globalmente, um gráfico.

Localmente, toda superf́ıcie de classe C k é o gráfico de uma

aplicação da mesma classe. Provemos isto.

Proposição 3. Seja M m ⊂ Rn uma superf́ıcie de classe C k.Ent˜ ao todo ponto p ∈ M possui uma vizinhança V , parametrizada por uma aplicaç˜ ao de classe C

k

ψ : V 0 → V , da forma ψ(y) =(y, f (y)), y ∈ V 0 ⊂ Rm.Demonstração: Seja ϕ : U 0 ⊂ Rm → U ⊂ M uma parame-trização de uma vizinhança U de p = ϕ(x). Escolhamos uma

decomposição Rn = Rm ⊕ Rn−m de tal modo que a primeiraprojeção π : Rn → Rm leve T M p isomorficamente sobre Rm (Lema2, seção 10 do Cap. I). Seja η = π ◦ ϕ : U 0 ⊂ Rm → Rm.Então η(x) = π ◦ ϕ(x) : R

m

→ Rm

é um isomorfismo. Peloteorema da função inversa, η é um difeomorfismo C k de uma vi-

zinhança menor, U 1 x, sobre uma vizinhança V 0 π( p). Indi-quemos com ξ = η−1 : V 0 → U 1 o difeomorfismo inverso. Entãoψ = ϕ ◦ ξ : V 0 ⊂ Rm → V = ψ(v0) ⊂ Rn é uma nova parame-trização de uma vizinhança de p. Da relação

π

◦ψ = π

◦(ϕ

◦ξ ) = (π

◦ϕ)

◦ξ = η

◦ξ = idV 0


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segue-se que a primeira coordenada de ψ(y), relativa à decom-

posição Rn = Rm

⊕Rn−m, é y. Chamemos f (y) a segunda co-

ordenada. Então ψ(y) = (y, f (y)), y ∈ V 0 . Nota-se que ψ =(π|V )−1 : V 0 → V , isto é, a parametrização que faz de V um gráifcoé simplesmente a inversa local da projeção π : Rm ⊕ Rn−m → Rmque leva T M p sobre R

m isomorficamente.

η

M

p

V

U 0 V 0

U 1

π

ϕ

x

ξ

T M p

Figura 2.13.

5.2 Superf́ıcies definidas implicitamente.

Seja f : R3

→ R dada por f (x,y,z) = x2 + y2 + z 2. Então

f ∈ C ∞, e a esfera unitária S 2 fica definida implicitamente pelaequação f (x,y,z) = 1. Se g(x,y ,z) = x2 + y2 − z2, então g−1(c) éuma superf́ıcie de classe C ∞ para cada c = 0 (um hiperbolóide deuma folha para c > 0, um hiperbolóide de duas folhas para c


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g−1(0) é homeomorfa a um aberto do R2. Logo g−1(0) não é umasuperf́ıcie.

O teorema abaixo dá condições suficientes para que a equação

f (x) = c defina uma superf́ıcie.

Proposição 4. Sejam U ⊂ Rm+n aberto e f : U → Rn uma aplicaç˜ ao de classe C k. Seja c ∈ Rn. Consideremos o conjunto

M = { p ∈ U.f ( p) = c e f ( p) : Rm+n → Rn é sobrejetora }

Ent˜ ao

(i) M é aberto em f −1(c).

(ii) Supondo que M é n ̃ao vazio, M é superf́ıcie de dimens ̃ao me classe Ck do Rm+n, e

(iii) (T M ) p = Ker f ( p) para todo p ∈ M .

Demonstração: (i) imediato. (ii) Seja p ∈ M .Pelo teorema as funções impĺıcitas (seção 8 do Cap. I), existem

uma decomposição Rm+n = Rm⊕Rn com p = (x0, y0), vizinhanças p ∈ Z ⊂ Rm+n, x0 ∈ V ⊂ Rm, e uma aplicação ξ : V → Rn, declasse C k, tal que G(ξ ) = Z ∩ f −1(c). Assim ϕ : V → Z ∩ f −1(c),dada por ϕ(x) = (x, ξ (x)) é uma parametrização de classe C k de

uma vizinhança aberta de p ∈ f −1(c). Pela Observação 2, seção8 do Cap. I, vem Z ∩ f −1(c) ⊂ M , o que conclui a demonstraçãode (ii).


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Rm

ϕ

V

M f

Rn

c p

Rn

U

Z

Figura 2.14.

(iii) Seja v ∈ T M p . Consideremos um caminho λ : (−ε, ε) → M tal que λ(0) = p e λ(0) = v. Então f ( p) · v = f (λ(0)), λ(0) =(f ◦λ)(0) = 0, pois f ◦λ é constante (= c). Portanto v ∈ Ker f ( p).Como T M p e Ker f

( p) são subespaços m-dimensionais do Rm+n

e T M p ⊂ Ker f ( p) segue-se que T M p = Ker f ( p).Observações:

1) Sejam U ⊂ Rm aberto e f : U Rn uma aplicação diferenciável.Um ponto c ∈ Rn chama-se valor regular de f quando, para cadax ∈ U tal que f (x) = c, a derivada f (x) : Rm → Rn é umatransformação linear sobrejetiva.

Se não existe x ∈ U tal que f (x) = c então c é trivialmente umvalor regular de f . Quando n = 1, o funcional linear f

(x) : Rm

→R ou é zero ou é sobrejetiva. Neste caso o número real c é valorregular de f se, e somente se, f (x) = 0 para todo x ∈ f −1(c).

Por exemplo, seja f : R3 → R dada por f (x,y ,z) = x2 +y2−z2.Representando por (dx,dy,dz) a base canônica de (R3)∗, entãof (x,y,z) = 2x dx + 2y dy − 2z dz. Segue-se que f (x,y,z) = 0somente para x = y = z = 0; como f (0, 0, 0) = 0, vemos que

0

∈R é o único valor não-regular de f .


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O teorema que acabamos de provar se reescreve da seguinte

maneira, tendo em vista a definição de valor regular:

Teorema 1. Sejam U ⊂ Rn aberto e f : U → Rn−m de classe C k,k ≥ 1. Se c ∈ Rn−m é um valor regular de f , ou bem f −1(c) é vazio ou bem é uma superf́ıcie m-dimensional de classe C k em Rn.

Além disso, para cada p ∈ f −1(c), o espaço tangente T [f −1(c)] p é o n´ ucleo de f ( p) : Rn → Rn−m.

Observações:

2) A imagem inversa f −1(c) pode ser uma superf́ıcie sem que cseja um valor regular. Por exemplo, seja f : R2 → R dada porf (x, y) = y2. 0 ∈ R não é valor regular de f mas f −1(0) = eixodos x é uma superf́ıcie C ∞ de dimensão 1 em R2.

3) Mesmo quando c ∈ Rn não é valor regular de f : U → Rn,o primeiro enunciado do teorema garante que M = f −1(c) ∩

{ p

∈ U ; f ( p) é sobrejetiva

} é uma superf́ıcie. Convém notar que

M não é necessariamente denso em f −1(c). Por exemplo, sejaf : R2 → R dada por f (x, y) = x2y. Como f (x, y) = 2xy dx +x2 dy, f ( p) = 0 se, e só se, p está no eixo dos y.

Neste exemplo a imagem inversa de 0 ∈ R é a união dos eixoscoordenados x e y (não é superf́ıcie), enquanto que M consiste no

eixo dos x menos a origem.

Localmente, qualquer superf́ıcie M m

variedades diferenciáveis elon lages lima

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