1_sbm - elon lages lima - temas e problemas

5/12/2018 1_SBM - Elon Lages Lima - Temas e Problemas - slidepdf.com

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P r e f acio

O conteudo deste livro e o mesmo das 10 au l as que f or am dadas

pelos a utores a professores que atu am no Ensino Medio no Rio de

Janeiro, em janeiro de 2001.

O cur so dur ou uma semana, com duas aul as em cada manh a

enquant o as t ar des er am dedi cadas a r es olu cao e a discussao em

conjunto dos exercıcios propostos.

Todos os problema s aqui apresent ados t em respostas comple-

t as no final.

A Sociedade Brasileira de Matem at ica dispoe de um conjunto

de 10 vıdeos nos quais est ao gravadas, a o vivo, as au las. As pes-

soas e in st itu icoes inter essad as na aqu isicao dos mesmos podem

dirigir-se a S BM nos en dere cos qu e cons ta m n o presen te volume.

Ao por est e mat er i al a di sposicao dos professores e estudan-

tes universit arios que se prepar am para o exercıcio do ma gisterio,

a in t en cao dos autores e a de dest acar al guns t emas usual men-

t e e s t u d a d o s n o E n s i n o Medi o, most r ando que, ao l ado de sua

conceit u a cao apropriada, eles podem ser ilustrados por meio deproblemas simples, acessıveis, por em desafiadores e contextua is.

Evidentemente, trata-se de uma pequena amostra, indicando um

f ertil e atra ente caminho a ser t rilha do.

Mais uma vez, as atividades que realizamos, o livro publica-

do e os vıdeos gravados devem sua exist enci a em gr ande pa r t e a

VITAE, ao IMPA e a SBM. A estas not a veis ins tit u icoes, o agra-

deciment o dos a ut ores.

Rio de J an eiro, jun ho de 2001

Elon Lages Lima

Paulo Cezar P. Carvalho

Edua rdo Wagner

August o Cesar Morgado

iii



Ca pıtu lo 1

Proporcionalidade e

F u n coes Afins

Em seu livro “Elementos de Algebra”, publicado em Sao Pet ers-burgo em 1770, o grande m at em atico Leonardo Euler propoe o

seguinte problema:

Uma lebre est a 50 pulos a frent e de um cachorr o, o qua l

da 3 pul os n o t em po que el a l eva para dar 4. Sabendo

que 2 pu los do cachorro valem 3 da lebre, qua nt os pu los

ele deve dar para pega-la?

E s t e e u m exemplo de quest ao que se refere a proporcionalidade,

assunto que exporemos a seguir.

1 P r o po rc i o n al id a d e

Diz-se que duas grandezas s a o proporcionais quando exist e um a

correspond encia x → y, que associa a cada valor x de um a del as

um valor y bem definido da out ra , de ta l modo que sejam cumpr i-

da s a s segu int es condicoes:

1) Quan to maior for x, ma ior sera y. E m t erm os m at em aticos:

se x → y e x → y en t a o x < x implica y < y .

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x en t ao o valorcorrespondente de y ser a dobra do, tr iplicado, etc. N a lingua -

gem matem atica: se x → y en t a o nx → ny para todo n ∈ N.

N a s con di coes acima, a correspondencia x → y chama-se uma

proporcionalidade.

3



4 Temas e Problemas

E x e m p l o 1 . Sejam x o volume e y o peso de um a porca o d e u m

lıquido homogeneo. A correspondencia x → y cumpre claramente

a s d u a s cond icoes a cima , logo o volum e e proporcional ao peso.

E x e m p l o 2 . Sejam r e s reta s para lelas. Dado qualquer ret angulo

que tenha dois lados contidos nessas retas, chamemos de x o com-

primento de um desses lados e z a area do ret angulo.

z

s

r

Fi g u r a 1

A corr espond encia x → z e um a pr oporciona lidade. Ou seja:

quando a al t ura de um ret angulo e fixada , sua area z e proporcio-

n a l a base x.

Com efeito, em primeiro lugar, se x < x en t a o a area z do

r et an gulo de base x e igua l a area z do ret an gulo de base x mais

a area de um ret an gulo de base x

− x, logo z < z

.Em segun do lugar, um r et an gulo de base n · x pode ser expres-

so como reuniao de n r et an gulos justa postos de ba se x (e mesm a

area z) logo sua a r e a e n · z.

Ob s e rv a c ˜ a o . A a fir m a cao contida no Exemplo 2 e um a conse-

qu encia imediata da f orm ula que exprime a area de um ret angulo

como o produto da base pela a ltura . E sta e, entr etan to, uma justi-

ficat iva a posteriori. N a o e convenient e us a-la no presen te cont ex-

to pois, na verda de, o primeir o pass o da d edu cao daquela f ormula

e a ver ifica cao da proporciona lidade acima.

E x e m p l o 3 . Consideremos no plano um angulo A OB e u m a r e -

t a r q u e n a o e par al ela ao l ado OA n e m a OB (Figur a 2). Dado

qualquer segmento de reta de compriment o x, contido em OA, a s

paralelas a r tr acada s por su as extr emidades det erm inam sobre o

lado OB um segment o de compriment o y.



Proporcionalidade e Func ˜ oes Afins 5

A

B

O

y

r

x

Fi g u r a 2

Afirmamos que a correspondencia x → y e u ma proporciona li-

dade.

Antes de just ificar est a a firm acao devemos m ostr ar que o com-

pri m ent o y depende apena s do compriment o x m a s n a o da posi ca o

do segmento toma do sobre o lado OA. (Isto significa que a corr es-

pondencia x → y est a bem definida.)

Ora, se tomarmos sobre o lado OA dois segmentos de m esmo

comprimento x en t ao na F igur a 3, onde MN e MN sao par alelos

a OA, o s t r iangulos MNP e M N P t e m , c a d a u m , u m l a d o d e

mesmo comprimento x, compr eendido entr e dois angulos M = M

e N = N . Logo sa o t r iangulos congruentes e da ı MP = M P = y.

A par tir dest a observa cao inicial, sempr e que t iverm os x → y e

x → y , se quisermos compa ra r y com y podemos supor qu e x e x

sao medidas de segmentos com origem no vertice O. E n t ao fica

claro que se x < x ⇒ y < y e que x = n · x ⇒ y = n · y, como

mostra a Figur a 4 (onde n = 3).

E x e m p l o 4 . Invest i ndo um a quant i a x num a cadernet a de pou-

pa n ca , a pos o decurso de um m es obt em -se um m ont ant e y. Acorrespond encia x → y e uma proporcionalidade: o que se recebe

n o fi m d o m es e pr oporcional ao que se a plicou. Com efeito, e

claro qu e aplican do-se mais recebe-se mais e investindo-se uma

quant i a n vezes m aior do que x, pode-se consid er ar ess a oper a ca o

como n investimentos iguais a x, logo o que s e r ecebe e n · y.



6 Temas e Problemas

A

B

O

y

r

x x

y

x

x

N

P

M

M’

P’

N’

Fi g u r a 3

A

B

O

y

x

x'

y'

A

B

O

y

x x x

y

y

Fi g u r a 4




Ob s e rv a c ˜ a o . Se um a quan t i a fixa gera, apos um m es de investi-

mento, um r etorn o y, n a o e verda de que apos n meses essa mesma

quan tia gere o retorno n · y, mesm o que a ta xa de jur os perm an eca

constante. Pois ao final de cada m es e como se tivesse sido aplica-

da novamente uma quantia maior, igual a existente no m es ant e-

rior ma is os juros corr espondentes. Assim o retorn o (nu m per ıodo

fixo) e proporcional ao capital inicial mas na o e proporcional ao

tempo de investimento.

E st a obser va cao mostra que a propriedade “qua nt o ma ior for x,

maior ser a y ” n ao assegura a proporcionalidade entre x e y. O ut roexemplo disto e a correspondencia x → y, onde x e o l ado de um

quadrado e y e sua a r e a .

Dian te dos exemplos an ter iores, podemos form ula r a d efinica o

m a t e m atica de pr oporciona lidade, onde a s gran dezas sao substi-

t u ıdas por n umer os r eais, que s ao suas medidas.

Estamos considerando apenas grandezas que t em medida po-

sitiva, logo o modelo ma tem at ico da proporciona lidade leva em

cons ider a cao apenas n um eros r eais positivos.

Uma proporcionalidade (numerica) e u m a fun ca o f : R·

→ R·

com as seguintes propriedades:

1) f e u ma fun cao crescente, isto e x < x ⇒ f(x) < f(x ) p a r a

quaisquer x, x ∈ R· .

2) Para t odo x ∈ R· e todo n ∈ N tem-se f(nx) = n · f(x).

Num a pr oporciona lidade a propriedade 2), acima adm itida ape-

n a s q u a n d o n ∈ N, va le p a r a u m n umero real positivo qualquer.

E s t e e o cont eudo do

Te o r e m a F u n d a m e n t a l d a P r o p o r c io n a l i d a d e .

S e f : R·

→ R

·

´ e u m a fun c ˜ ao crescente tal que f(nx) = n · f(x) paratodo x ∈ R· e todo n ∈ N , ent ˜ ao f(cx) = c · f(x) para quaisquer x e c

em R· .

A dem ons t r a cao do teorema acima est a no Apendice 1 na pag. 16.

V er t am bem os seguintes livros, publicados pela S.B.M.: “Meu



8 Temas e Problemas

Pr ofessor de Ma tem atica”, pag. 129, e “A Mat em atica do Ensino

Medio, vol. 1”, pag. 94.

N a pr atica, e bem mais f acil mostrar que f(nx) = n · f(x) p a r a

n ∈ N do que verificar que f(cx) = c · f(x) para todo c ∈ R· . (Pense

em c =√

2 ou c = π .) Por outro lado, o fato de que uma propor-

cionalidade f sat i sfaz est a igualdade par a qual quer num ero real

positivo c tem importa ntes consequ encias, como verem os agora.

Coro l a r i o . S e f : R ·

→ R· ´ e u m a proporciona lida de ent ao tem -se,

para todo x > 0 , f(x) = ax , onde a = f(1).

Com efeito, pelo Teorema Fundamental, para quaisquer x, c ∈ R· ,

vale f(xc) = x · f(c) = f(c) · x. E m p a r t icu l a r, t om a n d o c = 1,

obtemos f(x) = a · x, onde a = f(1).

Um a fun ca o f : R → R definida por f(x) = ax, onde a ∈ R e

um a const ant e, cham a-se um a fun c ˜ ao linear . Qu a n do a > 0, a

fu n cao l inear f(x) = ax t ransform a um n umero real positivo x n o

n umero positivo ax, logo defin e, p or r est r icao, uma proporciona-

lidade f : R·

→ R· . Acabam os de ver que, r eciprocam ente, toda

proporcionalidade e a r es t r ica o de u m a fun cao linear a R· . O coe-

ficiente a cha ma-se o fator de proporcionalidade.E s t a ultima observaca o n os per mit e con clu ir qu e se

f : R·

→ R· e uma proporcionalidade ent ao, para quaisquer x

½

, x¾

com f(x½

) = y½

, f(x¾

) = y¾

, tem-se y½

/x½

= y¾

/x¾

. Com efeito, am -

bos esses quocientes sao iguais ao fat or de proporciona lidade a.

A igualda de y½

/x½

= y¾

/x¾

chama-se uma proporc ˜ ao.

Chama-se regra de trˆ es ao pr oblema que consiste em, conh e-

cendo t r es dos n umeros x½

, y½

, x¾

, y¾

, determina r o quar to.

H a du as m an eira s tr adiciona is de resolver esse problema. Su-

ponhamos dados x½

, y½

e x¾

. O quart o elem ent o da proporca o

ser´a c h a m a d o

y. E n t

˜ao deve ser

y½

/x½

= y/x¾

, d o n d e s e t i r a y = x¾

y½

/x½

. E s t a e uma forma de resolver a regra de tr es .

O outro m etodo de resolver a regra de tr es cha m a-se “r edu ca o

a unidade”. Sabendo que f(x½

) = y½

, ou seja, ax½

= y½

, obtemos

a = y½

/x½

e da ı vem o val or do t erm o y que falta na pr opor ca o

y½

/x½

= y/x¾

: y = f(x¾

) = ax¾

= y½

x¾

/x½

. O n ome “red uca o a




unidade” provem do fato de que a = f(1) e o valor de f(x) quando

x = 1.

D eve-se ressal t ar enfat i cam ent e que a regra de t r es, prove-

n ien te da pr oporca o y½

/x½

= y/x¾

, so pode ser legitimamente em-

pregada quan do se tem um a proporcionalidade f, sendo y½

= f(x½

)

e y = f(x¾

).

Ou t r a obser vacao a ser feita e qu e, em d iversa s situ acoes ond e

se usa a proporciona lidade (ou a regra de tr es), o fator de p ropor-

cionalidade a e irrelevante e/ou complicado de se obter.

No Exemp lo 1, o fat or de p roporciona lidade a = peso / volume,

cham a do a densidade do lıquido (ou, mais precisamente, o peso

espec´ ıfico), e um conceito ut il. Assim, peso = densidade × volume.

No Exemplo 3, o fator de proporcionalidade n ao t em a m enor

import an cia. (Por acaso ele e o quociente dos senos dos angulos

que a ret a r forma com os lados OA e OB, m as est a inform aca o e

uma mera cur iosidade.)

No Exemplo 4, e costume escrever o fator de proporcionalidade

sob a forma a = 1 + i, portanto tem-se y = (1 + i)x. O n u m e r o i

cha ma -se o juro. Se o investimento inicial x for m ant i do durant e

n m eses e os jur os se m an tiverem fixos, tem-se ao final do n-esimo

m es y = (1 + i)Ò

x.Qua nt o ao Exemplo 2, ele nos diz que a area z de um ret angulo

de altura fixa y (= dist an cia entre as par alelas r e s) e proporcional

a b a s e x, logo z = A · x, onde o fator de proporcionalidade A e a

area do ret angul o de m esm a a l t ura y e base 1. Mas e clar o que o

que val e para a base val e t am bem para a al t ura. L ogo, a area A

d e u m r e t angul o de base 1 e al t ura y e proporciona l a y, ou seja,

A = B · y, onde B e a area do ret angul o de base 1 e al t ura 1. O ra,

este e o quadr ado unit a r io logo, p or defi n ica o, B = 1. Assim A = y

e a area z do ret angul o de base x e a l t u r a y e dada por z = xy.

(Veja o livro “Medida e Form a em Geometr ia”, pag. 17.)

E xi st e t am bem a n ocao de proporciona lidade inversa. Diz-se

que duas grandezas sa o inversam ente proporcionais quando existe

uma correspondencia x → y que associa a cada valor x d e u m a

delas um valor bem definido y da out ra , de t al m odo que sejam

cumpr idas as seguin tes cond icoes:



10 Temas e Problemas

1) Quan to maior for x, menor ser a y. E m t erm os m at em aticos:

se x → y e x → y en t a o x < x ⇒ y < y.

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x en tao o valor

correspondente de y ser a dividido por dois, por tr es, etc. Em

linguagem ma tem at ica: se x → y en t a o nx → y/n, para t odo

n ∈ N.

Portanto, dizer que y e inversam ent e proporciona l a x equivale

a di zer que y e proporcional a 1/x. Segue-se ent ao do Teorema

Fundamental da Proporcionalidade que se y e inversamente pro-

porcional a x en t ao t em-se y = a/x, onde o fator de proporcionali-dade a e o valor de y que corresponde a x = 1.

E x e m p l o 5 . E nt r e os ret an gulos de ba se x, al t ura y e area i gual

a 1, tem-se y inversamente proporcional a x, com y = 1/x.

2 Gr a n d e z a p r o po r c io n a l a v a r i a s o u t r a s

Em mu itas situa coes tem-se uma grandeza z, de t al m odo rel a-

cionada com outras, digamos x, y, u, v, w, que a cada escolha de

valores para estas ultimas corr esponde u m valor bem determina -

do par a z. E n t a o z cha ma-se uma fun c ˜ ao das variaveis x, y, u, v, we escreve-se z = f(x,y,u,v,w).

Ne st a s con dicoes, diz-se qu e z e (direta mente) proporcional a x

quando:

1) Para quaisquer valores fixados de y, u, v, w, a grandeza z

e u ma fun cao crescente de x, i st o e, a desigualdade x < x

implica f(x,y,u,v,w) < f(x , y, u , v , w).

2 ) P a r a n ∈ N e x, y, u, v, w quaisquer t em-se f(nx,y,u,v,w) =

n · f(x,y,u,v,w).

Analogamente, diz-se que z e inv ersam ente proporciona l a xquando:

1’) Para quaisquer valores fixados de y, u, v e w, a grandeza z

e u m a fun cao decrescente de x, isto e, a desigualdade x < x

implica f(x,y,u,v,w) > f(x , y, u , v , w).




2’) Par a n ∈ N e x, y, u, v, w quaisquer t em-se f(nx,y,u,v,w) =1

n· f(x,y,u,v,w).

Segue-se do Teorema Fun damen tal da Proporciona lidade que

as propriedades 2) e 2’) acima valem pa ra c > 0 real qualquer em

lugar de n ∈ N. Isto tem a seguinte consequ encia:

Se z = f(x,y,u,v,w) e (diretamente) proporcional a

x e y e inversamente proporcional a u, v e w en t a o,

tomando-se a = f(1, 1, 1, 1), tem-se

f(x,y,u,v,w) = a · x · y u · v · w ·

Com efeito,

f(x,y,u,v,w) = f(x · 1,y,u,v,w) = x · f(1,y,u,v,w)

= xy · f(1,1,u,v,w) =xy

u· f(1,1,1,v,w)

=xy

uv· f(1, 1, 1, 1, w) =

xy

uvw· f(1, 1, 1, 1, 1)

= a · xy

uvw·

E x e m p l o 6 . A lei da gr a vit a cao universal, de Newton, afirma que

dois corpos, de massas m e m respectivamente, situados a uma

dist ancia d um do outr o, se at ra em segundo uma forca cuja in-

tensidade F e proporcional a essas massas e inversamente propor-

cional ao quadrado d¾ da dist ancia entre eles. Resulta do acima

exposto que F = c · mm

d¾

, onde a consta nte c depende do sistema

de unidades utilizado.

E x e m p l o 7 . A n ocao de grandeza proporcional a va r i a s o u t r a s

permite deduzir a f orm ula do volume de um bloco reta ngular. Ovol um e de um solido geom etrico X, que se escreve vol(X), e u m

n umer o real com as seguintes propriedades:

1 ) S e o solido X es t a contido propriamente no solido X en t a o

vol(X) < vol(X ).




2 ) S e o solido Y e a r e u n iao de doi s s olidos adjacentes X e X

en t ao vol(Y ) = vol(X) + vol(X).

Dessa s du as pr oprieda des d o volum e, e da defin icao de pr oporcio-

na lidade acima da da, resulta que se X e um bloco ret an gular cujas

arestas medem x, y e z respectivam ente ent ao o volum e de X e pro-

porcional a x, y e z. Portanto vol(X) = a · xyz, onde a e o volum e

do bloco reta ngular cujas tr es arest as m edem 1. Mas t a l bloco e

o cubo d e a res ta 1 e, por defin icao, seu volume e igual a 1. Logo

vol(X) = xyz.

3 F u n c ˜ o e s a fi n s

E x e m p l o 8 . As escalas termom etricas assinalam valores posi-

t i vos e n egat i vos. E l as se baseiam na al t ura de um a coluna de

m ercur io, a qua l aum enta ou diminui conform e a t emperat ur a so-

be ou desce. Na escala Celsius, o valor 0 corresponde a t em pe-

ra tu ra em que o gelo comeca a fun dir-se e o va lor 100 assi nal a a

t em perat ura em que a agu a ent ra em ebu lica o (a pressao do n ıvel

do mar). Na escala Fahrenheit esses valores s a o 32 e 212 respec-

tivamente. Assim, 0◦C = 32◦F e 100◦C = 212◦F. Os demais valo-

res n a escala Celsius sao marcados dividindo-se o intervalo entre

aquelas duas t em perat ura s em 100 par t es de i gual com pri m ent o

e, na escala Fahrenheit, em 180 partes tambem de comprimentos

igua is. Usan do-se esses compriment os em cada caso, a s escalas

sao est endi das para assi nal arem val ores de t em perat uras supe-

riores a da ebu licao da agua e inferiores a da fusao do gelo. Isso

requer o uso de n umeros negativos. Pergunta-se: em que tempe-

ra tur a a s escalas Celsius e Fah renh eit a ssinalam o mesmo valor?

Q ual a t em perat ura C el si us que e a metade do valor correspon-

dent e em graus Fahr enheit ?

O exemplo acima ilust ra um a situa cao em que se em prega a

fu n cao a fim, conform e veremos a seguir.

Um a fu n ca o f : R→ R chama-se afi m quan do, para todo x ∈ R,

o valor f(x) e dado por uma expressao do tipo f(x) = ax + b, onde

a e b sao consta ntes.




E x e m p l o 9 . U m a corri da de t axi custa a reai s por km rodado

m ai s um a t axa fixa de b reais, chamada a “bandeirada”. Enta o o

pr eco de u ma corr ida de x km e f(x) = ax + b reais.

Nu m a fun cao afim f(x) = ax + b, o n u m e r o b = f(0) cham a-

se o valor inicial e o coeficient e a = f(1) − f(0) e cham ado a taxa

de vari ac ˜ ao de f. O m otivo para esta denominaca o e q u e , p a r a

quaisquer x, h ∈ R, com h = 0, tem-se a = [f(x + h ) − f(x)]/h ,

donde a = f(x + 1) − f(x), logo a e a va r ia cao de f(x) por unidade

de va r ia cao de x. (Compare com o exemplo acima.)

U m a fun cao l inear f(x) = ax e u m caso par ticular de fun ca oafim . Out ro caso pa rt icular de funcao afim e o da s fun coes cons-

t a n t e s f(x) = b.

Q uando a > 0, a fu n cao afim f(x) = ax + b e crescente, isto e,

x½

< x¾

⇒ f(x½

) < f(x¾

). Com efeito se x½

< x¾

en t a o x¾

− x½

> 0

logo

f(x¾

) − f(x½

) = ax¾

+ b − (ax½

+ b) = a(x¾

− x½

) > 0,

ou seja, f(x½

) < f(x¾

).

Analogamente, se a < 0 en t a o x½

< x¾

⇒ f(x½

) > f(x¾

), e a

fu n cao afim f(x) = ax + b e, nest e caso, decrescente.

Teo rem a d e Cara cte riza c ˜ ao da s Fu n c ˜ o e s A fi n s .

S eja f : R→ R um a fu n c ˜ ao crescente ou d ecrescen te. S e a d iferen ca

f(x + h ) − f(x) depender apenas de h , m as n ˜ ao de x , ent ˜ ao f ´ e u m a

fun c ˜ ao afim .

(Ver dem ons t r a cao n o Apendice 2 na pag. 17.)

E x e m p l o 1 0 . Retomemos o Exemplo 8. Em ul t i m a an alise, os

graus C e F sao diferen tes u nidades de compr iment o, com a s qua is

se m ede a al t ura de um a col una de m ercur io. Assim , a mu da ncade escal a, de C el si us para Fahrenhei t e um a funca o f : R → R

que ass ocia a medida x, segundo C, a medida f(x), segundo F, da

mesma coluna de mercurio. Evidentemente, f e crescente. Alem

dis so, a difer en ca f(x+h )−f(x) e a medida, segun do F, do segment o

de reta de extremos f(x) e f(x+h ) o qual, segund o C, tem extrem os




x e x + h , logo seu C-comprimento e igua l a h . Ora, a medida deste

segm ent o depende apenas de h m a s n a o d e x e o m e s m o s e da

com a difer en ca f(x + h ) − f(x). Pelo Teorema de Ca r acter izaca o,

conclu ımos que f e u m a fun cao afim : f(x) = ax + b. Sabemos que

f(0) = 32 e f(100) = 212. E n t a o b = 32 e 100a + 32 = 212, donde

a = 1,8. Port ant o f(x) = 1,8x + 32 e a f ormula que permite passar

d a t e m pe r a t u r a x na escal a C el si us para a t em perat ura f(x) em

graus Fahrenhei t . A pri m ei ra pergunt a do E xem pl o 8 era: para

qual valor de x tem-se f(x) = x ? Deve-se ter 1,8x + 32 = x, donde

x = − 40. A resposta e: − 40 graus Celsius e o mesmo que − 40 graus

Fahrenheit. A segunda pergunta era: para qual valor de x tem-sef(x) = 2x ? E n t a o 1,8x + 32 = 2x e da ı x = 160. Assim 160 graus

Celsius equivalem a 320 graus Fahr enheit .

Provaremos a seguir que o gra fico de u ma fun cao afim e u m a

ret a. Para i sso, usarem os a f ormula da dist an cia en tre dois pon-

t os P = (x½

, y½

) e Q = (x¾

, y¾

), segundo a qual se t em d(P, Q) = (x

¾

− x½

)¾ + ( y¾

− y½

)¾ .

Da da a fun cao afim f : R → R, f(x) = ax + b, seu gr afico G

e o conjunto dos pontos (x,ax + b) ∈ R¾ , onde x ∈ R. S eja m

M = (x½

, ax½

+ b), N = (x¾

, ax¾

+ b) e P = (x¿

, ax¿

+ b) t r es pont os

quaisquer de G. Sem perda de generalidade, podemos admitir que

x½

< x¾

< x¿

. Most rar em os que d(M, N) + d(N, P) = d(M, P). De

fato, temos

d(M, N) =

(x¾

− x½

) ¾ + a¾ (x¾

− x½

) ¾ = (x¾

− x½

)

1 + a ¾ .

Analogamente, d(N, P) = (x¿

− x¾

)√

1 + a ¾ , logo

d(M, N)+d(N, P) = (x¾

−x½

+x¿

−x¾

)

1 + a ¾ = (x¿

−x½

)

1 + a ¾ = d(M, P).

Port a nt o t r es pontos quaisquer do gr aficoG

sao colinea res. Co-m o G possu i pont os com qu aisquer abscissa , segue-se que G e um a

r e t a .

O n u m e r o b e a ordena da do ponto em que o grafico de f(x) =

ax + b corta o eixo OY . N a F igu r a 5 ve-se como aos acr escimos

iguais x → x + h e x → x + h dados a x e x correspondem




a cr escimos iguais f(x + h ) − f(x) = f(x + h ) − f(x ). A in clina ca o

d a r e t a G em r ela cao ao eixo horizontal e [f(x + h ) − f(x)]/h =

[a(x + h ) − ax ]/h = a. Port ant o, para valores ma iores ou meno-

res de a, o gr a fico d a fun cao afim f(x) = ax + b e mais ou menos

inclina do em r elaca o a OX.

( x+h) – f ( x)

( x’ +h) – f ( x’ )

h

h

G

b

x+h x x' x'+h

Fi g u r a 5




AP END ICE 1

Te o r e m a F u n d a m e n t a l d a P r o p o r c i o n a l i d a d e.

S eja f : R·

→ R· um a fu n c ˜ ao com as seguintes propriedades:

1) x < x ⇒ f(x) < f(x );

2) f(nx) = n · f(x) para todo n ∈ N e todo x ∈ R· .

Ent ˜ ao f(cx) = c · f(x) para todo c ∈ R· e todo x ∈ R· .

Conseq ¨ u entem en te, f(x) = ax para todo x ∈ R· , com a = f(1).

De m on st rac ˜ a o : E m pri m ei ro lugar, par a t odo numero racional

r = m/n, com m, n ∈ N, e todo x ∈ R · vale

n · f(rx) = f(n · rx) = f(mx) = m · f(x),

por 2), logo f(rx) =m

nf(x) = r · f(x). Assim, a igualdade f(cx) =

c · f(x) e va l i da quando c e raciona l. Suponham os, por a bsurdo,

que exista c > 0 i rraci onal t al que f(cx) = c · f(x) p a r a a l g u m

x ∈ R· . E n t ao ou f(cx) < c · f(x) ou f(cx) > c · f(x). Considere-

mos o primeiro caso. Temos ent a o f(cx)/f(x) < c. Seja r um valor

ra ciona l apr oximado de c, de modo que f(cx)/f(x) < r < c, logof(cx) < r · f(x) < c · f(x). C om o r e racional, vale r · f(x) = f(rx).

Assim, podemos escrever f(cx) < f(rx) < c · f(x). E m p a r ticu -

la r f(cx) < f(rx). Mas, com o r < c, tem-se rx < cx e, pela pro-

priedade 1), isso obriga f(rx) < f(cx) e na o f(cx) < f(rx). E st a

cont r a dicao m ost ra que n a o e possıvel ter-se f(cx) < c · f(x). De

modo inteira ment e an alogo se ve que f(cx) > c · f(x) e impossıvel.

Porta nt o deve ser f(x) = c · f(x) para quai squer c, x ∈ R· .

Ob s e rv a c ˜ a o . Um teorema an alogo, com a mes ma dem onst ra ca o,

vale para f : R → R, escrevendo, na propriedade 2), n

∈Z em vez

de n ∈ N.




AP ENDICE 2

Teo rem a d e Cara cte riza c ˜ ao da s Fu n c ˜ o e s A fi n s .

S eja f : R→ R crescente ou decrescente. S e a diferen ca f(x+h )−f(x)

depende apenas de h m as n ˜ ao de x , en t ao f ´ e u m a fun c ˜ ao afim .

De m on st ra c ˜ a o : T ra t ar em os a penas do caso em que f e crescen-

t e poi s o out ro e a n alogo. Pela h ipotese feita sobre f, a fun ca o

ϕ : R → R, dada por ϕ(h ) = f(x + h ) − f(x), est a bem defini da.

Evidentemente ϕ e crescente. Alem disso, para todo h ∈ R vale

ϕ(2h ) = f(x + 2h ) − f(x)

= [f((x + h ) + h ) − f(x + h )] + [f(x + h ) − f(x)]

= ϕ(h ) + ϕ(h ) = 2 · ϕ(h ).

Ana logamen te se ve que ϕ(nh ) = n ·ϕ(h ) para todo n ∈ N. Tem-se

ainda

ϕ(−h ) = f(x − h ) − f(x) = −[f(x) − f(x − h )] = −ϕ(h )

pois x = (x − h ) + h . Segue-se que, para todo n ∈ N e todo h ∈ Rvale

ϕ((−n)h ) = ϕ(−nh ) = −ϕ(nh ) = −[n · ϕ(h )] = (−n)ϕ(h ).

Como e obvio que ϕ(0) = 0, vemos qu e ϕ(nh ) = n · ϕ(h ) para todo

n ∈ Z. Pela Obser vacao ao fina l do Apendice 1, conclu ımos que

ϕ(ch ) = c · ϕ(h ) para quai squer c, h ∈ R, logo ϕ e linear. Assim,

pondo a = ϕ(1) = f(x + 1) − f(x), t em-se ϕ(h ) = a · h para t odo

h ∈ R. E n t ao, para quaisquer x, h ∈ R vale f(x + h ) − f(x) = a · h .

Trocando h por x, vem : f(h + x) − f(h ) = ax. F a ze n do h = 0 e

escrevendo b = f(0), obtemos f(x) − b = ax, donde f(x) = ax + b e

o teorema est a demonstr ado.




P r o b l e m a s P r o p o s t o s ∗

1. Sejam r, s ret as coplanar es. Para cada segm ent o de ret a AB

cont ido em r, seja A B su a pr ojecao ort ogona l sobre s. Prove que

o compr iment o de A B e pr oporciona l a o de AB.

2. Seja P um ponto fora da reta r. Se X e Y sao pontos distintos

em r, prove que a area do t riangulo PXY e proporcional ao compri-

ment o de XY . Q ual e o fator de proporciona lidade?

3. Dado o angulo α = A OB, para cada par de pont os X em OA e

Y em OB, sejam x e y as medidas dos segmentos OX e OY respec-

tivamente. Prove que a area do paralelogramo que tem OX e OY

como dois de seus lados e p roporciona l a x e y. Q u a l e o fator de

proporciona lidade? Saben do que a area desse paralelogramo e de

29 cm ¾ quando x = 6 cm e y = 7 cm, qual o valor dessa a r e a p a r a

x = 2 cm e y = 3 cm ?

4. Sejam OA, OB e OC semi-retas n ao coplana res e x, y, z a s

medidas dos segmentos OX, OY e OZ, respectivamente contidosem OA, OB e OC. Prove que o volume do paralelep ıpedo que tem

OX, OY e OC como tr es das suas arest as e proporcional a x, y e z.

5. O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se un iform e

qua ndo ele percorr e espa cos iguais em t empos igua is. Sua velo-

cidade e, p or de fin icao, o espaco percorr ido na un idad e de tem po.

Formu le es ta s defin icoes matematicamente e obtenha a abscissa

f(t) do pont o n o i nst ant e t explicita m en te como fun cao de t e do

ponto de par tida.

6. Por dois pontos dados no plano passa uma uni ca ret a. C om o

se tr aduz esta afirm acao em ter mos de fun coes afins? Prove-a

algebricamente.

∗Solu coes na p agina 133.




7. Um fazendeiro possu i ra ca o s u fi cie n t e p a r a a l im e n t a r s u a s

16 vacas duran t e 62 di as. Apos 14 dias, ele vende 4 vacas. Pas-

sados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quan tos dias, no total,

dur ou s ua reser va de r aca o?

8. Uma caravana com 7 pessoas deve atravessar o Sahara em 42

dias. Seu suprimento de agua permite que cada pessoa disponha

de 3,5 l it ros por dia. Apos 12 di as, a caravana encont ra 3 be-

du ınos sedentos, vı t ima s de u ma tempestade de a reia, e os a colhe.

Pergunta-se:

a) Q uant os l i t ros de agua por dia caber ao a cada pessoa se acaravana prosseguir sua rota como planejado?

b) Se os m em bros da caravana (beduınos inclusive) continua-

rem consum indo agua como ant es, em qu an tos dias, no m a -

ximo, ser a necessario encontrar um oasis?

9. N um a est rada ret i lınea, dois carr os par tem, a o mesmo tempo,

de dois pontos A e B, com d(A, B) = d, dirigindo-se no mesmo

sent ido. O que part i u de A vai a v quilometros por hora e o que

sai u de B roda a w quilom et ros por h ora. A que dist ancia de A

eles se en cont ra m?

10. D o i s t r e n s d e c a r g a , n a m e s m a l i n h a f e r r e a , s e g u e m u m a

rota de colisao. U m deles vai a 46 km /h e o out ro a 58 km /h. N o

in s t a n t e e m q u e e le s s e e n con t r a m a 2 60 k m u m d o ou t r o, u m

passaro, que voa a 60 km/h, parte de um ponto entre os dois, at e

encont rar um del es e ent ao vol t a para o out r o e cont i nua nesse

vai-e-vem at e m orrer esm agado no m om ent o em que os t rens se

chocam. Quantos quilometros voou o pobre p assaro?

11. Na loja A, um apa relho custa 3800 reais ma is uma taxa men-

sa l de m an ut encao de 20 rea is. Na loja B, o mesmo apar elho cust a2500 reais porem a taxa de ma nu tenca o e d e 5 0 r e a is p or m es .

Qu a l da s d u a s opcoes e a ma is van tajosa?

12. Na sit u a cao do Exemplo 3, a cada ponto X da semi-reta OA

faca m os corr esp onde r o pont o Z em OB, tal que XZ seja paralelo a




ret a r. C ham ando de x e z os compr iment os de OX e XZ respecti-

vamente, mostre que a correspondencia x → z e uma proporciona-

lida de. Em qu e condicoes o fator de proporcionalidade e o mesmo

que o da corr espondencia x → y do Exemplo 3?



Ca pıtu lo 2

F u n coes Quadr aticas

Um r esta ur an te a qu ilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais

o quilo. Uma pesquisa de opiniao revelou qu e, por cada rea l de au-

men to no preco, o rest au ra nt e perd eria 10 client es, com o consu mo

m edio de 500 gr am as cada um . Qua l deve ser o preco do quilo de

comida par a qu e o restau ra nte t enha a m aior receita possıvel?

Est e pr oblema recai n um a equa cao do segun do grau, ou seja,

na busca dos zeros de um a fun cao qua dr atica.

1 A fo rm a c a no n i c a

Um a fun ca o f : R → R chama-se q u a d r ´ atica quando, par a todo

x ∈ R, tem -se f(x) = ax¾ + bx + c, onde a, b, c ∈ R sao consta ntes,

com a

= 0.

Diversos pr oblemas inter essan tes recaem na considera cao defu n coes quadr at icas. Um d os ma is an tigos consiste em a cha r dois

n umeros conhecendo sua soma s e seu produto p. Se um des s es

n umeros e x, o outro ser a s − x, logo x · (s − x) = p. Efetuando a

m u lt iplica cao, vem sx − x¾ = p ou seja, x¾ − sx + p = 0. Encon-

t r a r x (e, porta nt o, s − x) significa re solver a equ a cao do segundo

gr au x¾ − sx + p = 0, isto e, achar os valores de x para os quais a

fu n cao quadr atica f(x) = x¾ − sx + p se anula. Esses valores sa o

chamados os zeros da fu n cao quadr atica ou as ra ´ ızes da equ a ca o

correspondente.

Note que se x for um a ra iz da equa ca o x¾ − sx + p = 0 en t a o

s − x t a m bem ser a, pois

(s − x) ¾ − s(s − x) + p = s¾ − 2sx + x¾ − s¾ + sx + p = x¾ − sx + p = 0.

Por tan to as duas r a ızes dess a equ a ca o sao os n umeros procu-

rados. Deve-se observar entretanto que, dados arbitrariamente os

21




n umeros s e p, nem semp re existem dois n um eros cuja soma e s e

cujo produt o e p.

E x e m p l o 1 . Nao existem dois n umeros reais cuja soma seja 2 e

cujo produto seja 5. Com efeito, como o produto 5 e positivo esses

n umer os ter iam o mes mo s inal . E como s ua s oma 2 t a m bem e

positiva eles dois seriam positivos, logo ambos seriam < 2. S e u

produto en t ao seria menor do que 4, portan to diferente de 5. Os

n umeros procurados podem tambem reduzir-se a um unico, como

no cas o em que a s oma dada e 6 e o produto e 9, p ois a equ a ca o

x¾

− 6x + 9 = 0, da qual eles sa o ra ızes, es creve -se como (x − 3)¾

= 0logo sua un ica ra iz e 3. J a os n um eros cuja soma e 1 e cujo produt o

e −1 sao as r a ızes da equ a ca o x¾ − x − 1 = 0, que sa o (1 ±√

5)/2.

Um procedimento util pa ra estudar a funca o q u a d r atica e o

com pletam ento do quadrado. Basicamente, o m etodo de comple-

ta r o quadr ado se r esum e na observacao de que

x¾ + px =

x +

p

2

¾

−p¾

4.

E x e m p l o 2 . x¾ + 10x = x¾ + 2 · 5 · x + 5¾ − 5¾ = (x + 5) ¾ − 25.

E x e m p l o 3 . 3x¾ + 12x + 5 = 3(x¾ + 4x) + 5 = 3[(x + 2) ¾ − 4 ] + 5 =

3(x + 2) ¾ − 7.

Em gera l, dada a fun cao quadr atica f(x) = ax¾ + bx + c, escre-

vemos:

f(x) = a

x¾ +

b

ax

+c = a

x+

b

2a

¾

−b¾

4a+c = a

x+

b

2a

¾

+ 4ac − b¾

4a·

C om o ve r em os logo e m s eg u id a , e conveniente escreverm = −b/2a e k = ( 4ac − b ¾ )/4a. Verifica-se facilmente que

k = f(m). Com e st a n ota cao, temos, para todo x ∈ R:

f(x) = a(x − m) ¾ + k, onde m = −b/2a e k = f(m).

Es ta e a chamada form a can onica do trinomio f(x) = ax ¾ + bx + c.



Func ˜ oes Quadraticas 23

E x e m p l o 4 . Se f(x) = 2x ¾ − 5x + 3, tem os m = 5/4, k = −1/8, logo

a form a can onica deste t rin omio e

f(x) = 2

x −

5

4

¾

−1

8·

Escrevendo o trin omio f(x) = 2x¾ − 5x + 3 na forma can onica,

podemos tira r pelo men os du as conclus oes:

1) o menor valor de f(x) para todo x ∈ R e −1/8, obtido quan do

x = 5/4.

2 ) a s r a ızes d a equ a ca o 2x¾ − 5x + 3 = 0 s e obtem escrevendo

sucessivamente

2

x −

5

4

¾

−1

8= 0, 2

x −

5

4

¾

=1

8,

x −

5

4

¾

=1

16,

x −5

4= ± 1

4, x =

5

4± 1

4·

Logo essas ra ızes sa o x = 1 e x = 3/2.

De um modo ger al , a f or ma can onica f(x) = a(x − m)¾ + k

nos permite concluir que, quando a > 0, o menor valor de f(x) ek = f(m) e, quando a < 0, k = f(m) e o maior valor de f(x), par a

qualquer x ∈ R.

A forma can onica nos fornece tambem, quando b ¾ − 4ac ≥ 0, a s

r a ızes da equ a ca o ax¾ + bx + c = 0, pois esta igualdade equivale

sucessivamente a

a(x − m)¾ = −k,

(x − m)¾ = −k/a =b¾ − 4ac

4a ¾

,

x − m = ± √b¾

− 4ac2a

,

x = m ±√

b¾ − 4ac

2a=

−b ±√b¾ − 4ac

2a,

u m a f orm ula mu ito bem conh ecida.




O n umer o ∆ = b ¾ − 4ac chama-se o discriminante da fun ca o

quadr atica f(x) = ax¾ + bx + c. Vimos acima que, quando ∆ > 0, a

equ a ca o f(x) = 0 tem duas r a ızes reais e qua ndo ∆ = 0, a mes ma

equ a cao possui um a un ica r aiz, cha mada de raiz dupla. Note que

∆ = − 4ak, por tan to ∆ = 0 equivale a k = 0. Logo, quando ∆ = 0,

a forma can onica se reduz a f(x) = a(x − m)¾ , fican do claro en t a o

qu e f(x) = 0 s omente quando x = m = −b

2a· Vemos ainda que,

quando ∆ = − 4ak e negat ivo, a e k t em o mesmo sinal, o qual e,

neste caso, o sinal de f(x) = a(x − m)¾ + k par a qualquer x ∈ R.

Logo ela nu nca se a nu la, ou seja, a equa ca o ax¾

+ bx + c = 0 n a opossui raiz real.

E x e m p l o 5 . Pa r a a fun cao quadr atica f(x) = 2x¾ −12x+19, tem -se

f(x) = 2(x¾ −6x) +19 = 2(x¾ − 6x +9) +1 = 2(x −3)¾ +1, logo f(x) > 0

para todo x. E m pa rticular, n ao se tem f(x) = 0 para valor a lgum

de x ∈ R.

Sejam α = (−b +√

∆)/2a e β = (−b −√

∆)/2a a s r a ızes da

equ a ca o ax¾ + bx + c = 0. U m calculo imediato n os mostra que

α + β = −b/a e α · β = (b¾ − ∆)/4a ¾ = c/a.

Vemos que a m edia ar itmetica das ra ızes, (α + β)/2 = −b/2a, e

igua l ao n u m e r o m tal que f(m) e o menor valor de f(x) (se a > 0)

ou o ma ior (qua ndo a < 0).

Vemos tambem que, quando ∆ ≥ 0, isto e, qu an do a equa ca o

ax¾ + bx + c = 0 possui as ra ızes r eais α, β, tem -se

ax¾ + bx + c = a

x¾ +

b

ax +

c

a

= a

x¾ − (α + β)x + αβ

.

Logo

ax¾ + bx + c = a(x − α)(x − β).

Es ta e a chama da form a fatorada do trinomio do segund o grau .

A for m a fa t or a da for n ece im ed ia t a men t e a s egu in t ein form a ca o sobre o sin a l da fun cao quadr atica f(x) = ax¾ + bx + c :

S e x est ´ a situado entre du as ra´ ızes d a equac ˜ ao f(x) = 0

ent ˜ ao f(x) tem sinal oposto ao sinal de a. Caso con-

tr ´ ario, ou x ´ e raiz ou f(x) tem o mesm o sinal de a.




Com efeito, o produt o (x − α)(x − β) e nega tivo se, e somente se, x

es t a e n t r e α e β.

A a fir m a cao a cima inclui o cas o em qu e a equa ca o f(x) = 0 n a o

pos s ui r aiz r eal. (Ent a o f(x) tem o mes mo sinal de a par a todo

x ∈ R.) I nclui tamb em o caso em que essa equa cao poss ui u ma

raiz dupla α. ( E n t ao, para todo x = α, f(x) tem o mes mo s inal

de a.)

Vejamos a seguir alguns problemas que envolvem o uso da

fu n cao quadr atica.

E x e m p l o 6 . Mos tr ar que s e dois n umeros positivos t em somaconsta nte, seu produto e m aximo quan do eles sao iguais.

Sejam x, y os n umer os em ques t ao, com x + y = b, logo

y = b − x. Seu pr oduto e f(x) = x(b − x) = −x¾ + bx, u m a fun ca o

quadr atica de x com coeficiente a = −1 < 0, logo f(x) e m aximo

quando x = −b/2a = −b/(−2) = b/2 e da ı y = b − x = b/2.

E x e m p l o 7 . Tenho material suficiente para erguer 20 m de cerca.

Com ele pr etendo fazer um cercado reta ngular de 26 m ¾ de a r e a .

Qua nt o devem medir os lados desse ret angulo?

Se x e y sao as medidas (em metros) dos lados do cercado re-

tan gular, temos x + y = 10. Pelo exemplo an terior, o ma ior valorpossıvel para a ar ea xy e 5 × 5 = 25. Logo, com 20 m de cerca n a o

posso cercar um ret an gulo de 26 m ¾ de a r e a .

E x e m p l o 8 . Mostr ar que se o produto de dois n umeros positivos

e constante, sua soma e m ınima qua ndo eles sao iguais.

Sejam x, y n umeros positivos tais que xy = c. O s va l or e s

possıveis par a a s oma s = x + y sa o a q u e l e s p a r a o s q u a i s a

equ a ca o x¾ − sx + c = 0 possui ra ızes reais, ou seja, o discrimi-

n a n t e ∆ = s¾ − 4c e ≥ 0. Isto significa s¾ ≥ 4c, isto e, s ≥ 2√

c.

O menor valor poss ıvel para a soma s e por tan to s = 2√

c, que t or-

n a ∆ = 0 e a equ a ca o x¾

− sx + c = 0 admite a raiz dupla x = s/2,por tanto y = s/2 e os n umeros x, y sao iguais.

E x e m p l o 9 . Mostra r que a m edia a ritm etica de dois num eros po-

sitivos e sempre maior do que ou igual a m edia geometrica, sendo

igua l apena s qua ndo eles sao iguais.




Sejam a, b os n umeros dados. Ponh amos c = ab. Entr e todos

os n umeros positivos x, y tais que xy = c, a soma x + y e m ınima

quando x = y, ou seja, x = y =√

c . (Vide E xemplo 8.) Nest e caso,

a s oma m ınima e 2√

c . Em pa rticular, como a e b sa o n umeros

positivos cujo produto e c, conclu ımos que a + b ≥ 2√

c ; n o u -

tros termos:a + b

2≥√

ab, com igua ldade valendo apenas qu an do

a = b.

E x e m p l o 1 0 . Na Figur a 6, deter minar x de modo que a a r e a d o

para lelogramo inscrito n o r etangulo seja m ın i m a . S u poe-se que

a ≤ b ≤ 3a.

b – x

b – x

x

a – x

a – x x

x

x

Fi g u r a 6

A area do paralelogramo inscrito e

f(x) = ab − x(a − x) − x(b − x) = 2x¾ − (a + b)x + ab.

Os dad os do problema impoem que 0 ≤ x ≤ a. O m ınimo de f(x)

e a tingido no ponto m = (a + b)/4 e vale f(m) = ab − (a + b)¾ /8.

A con dica o b ≤ 3a equivale a (a + b)/4 ≤ a, logo m ≤ a, por tan to

a solu cao obtida e legıtima.

E x e m p l o 1 1 . Dois comerciantes formam uma sociedade com o

capital de 100 mil r eais. Um deles t r a balha 3 dias por s emana

e o outr o 2. Apos algum tempo, desfazem a sociedade e cada um

recebe 99 m il rea is. Qua l foi a cont ribuica o d e c a d a u m p a r a o

capita l da sociedade?

Um dos socios entrou com x e o outro com 100 − x mil r eais.

Seus lucros foram 99 − x e 99 − (100 − x) = x − 1 mil reais res-

pectivamen te. Sem perda de generalidade, podemos supor que a




sociedade du rou 5 dias. Os lucros de cada um por dia de servico

foram respectivamente (99 − x)/2 e (x − 1)/3 mil reais. Cada mil

re a is a plicados d eu , por dia de ser vico, o lu cro

99 − x

2x=

x − 1

2(100 − x).

(Es t a equ a cao exprime a equita tividade da sociedade.) Daı vem

a eq u a ca o x¾ − 595x + 29700 = 0, cujas r a ızes sa o 55 e 540. Como

540 > 100, a unica raiz que serve e x = 55. Assim, um socio con t ri-

buiu com o capita l inicial de 55 mil rea is e o out ro com 45 mil.

Ob s e rv a c ˜ a o : Se, a o mont ar a equa cao do problema, tivessemos

cham ado de x o capital inicial do socio que tra balhou 3 dias por

s emana, ter ıamos99 − x

3x=

x − 1

2(100 − x),

o que nos levaria a equ a ca o x¾ + 395x − 19800 = 0, cujas r a ızes

sa o 45 e − 440. Desprezando a raiz negativa, concluir ıamos a inda

q u e o socio que trabalhou 3 dias por semana entrou com 45 mil

r eais e o outr o com 55. Obtemos por tanto a mes ma r es pos ta, apa rt ir de u ma equa cao diferen te.

2 O g rafi co d e u m a fun c ˜ a o q u a d ra t i c a

O gr afico de uma funca o qu a dr atica f : R → R, d ada p or

f(x) = ax¾ + bx + c, x ∈ R, e o subconjunto G ⊂ R¾ formado

pelos pontos (x, ax¾ + bx + c), cuja abscissa e u m n umer o r eal ar -

bitr ario x e cuja ordena da e o valor f(x) qu e a fun ca o a s s u m e n o

ponto x. Comecarem os m ostr an do que G e u m a p a r abola. I s to

re qu er a defin icao seguinte.

Consideremos n o plan o uma reta d e um ponto F fora dela. A

par´ abola de foco F e diretriz d e o conjunto dos pontos do plano

que sao equidistan tes do ponto F e da reta d (Figura 7).

Lembrem os que a dist an cia de um ponto a uma reta e o compr i-

men to do segmento perpen dicular baixado do pont o sobre a reta .




P

F

V

D Qd

Fi g u r a 7

A reta que cont em o foco e e perpendicular a diretriz chama-seo eixo d a p a r abola. Chama-se v ´ ertice d a p a rabola ao ponto dessa

curva que est a mais pr oximo da diretriz. Ele e o ponto m edio do

segment o cujas extr emidades s a o o foco e a in t er se ca o do eixo com

a diretriz.

Se o ponto P pertence a p a r abola e P e o s eu s im etrico em

r ela cao a o eixo, ent a o d(P , F) = d(P, F) e d(P , d) = d(P, d), logo

P t a m bem pert ence a p a r abola. Isto significa que o que denomi-

na mos eixo e, de fat o, um eixo de simetr ia da par abola.

Mostraremos inicialmente que o gr a fico d a fun cao quadr atica

f(x) = ax¾

e a p a r abola em R

¾

cujo foco e o ponto F = (0, 1/4a) ecuja diretriz e a r eta h orizonta l y = −1/4a.

Para nos convencermos disso, verificamos primeiro que, para

todo x ∈ R, vale a igualdade

x¾ +

ax¾ −

1

4a

¾

=

ax¾ +

1

4a

¾

,

onde o primeiro membr o e o qua drado da dist an cia do pont o gen e-

rico P = (x,ax ¾ ) do gr afico de f(x) = ax¾ ao foco F = (0, 1/4a) e o

segun do membro e o qua dra do da distan cia do mesmo pont o a r eta

y = −1/4a. Isto mostra que t odo ponto do grafico de f pertence apa r abola em quest ao. Reciprocam ent e, se P = (x, y) e um ponto

qualquer dessa par abola, o pont o P = (x, ax¾ ), como a caba mos de

ver, tambem pertence a p a r abola, logo y = ax¾ pois essa curva

n ao cont em dois pontos distint os com a mesm a a bscissa. Porta nt o

todo ponto da pa r abola pert ence ao grafico de f.




Se a > 0, a p a r abola y = ax¾ tem a concavidade voltada para

cima e seu vertice (0,0) e o ponto de menor or denada. Se a < 0,

a concavidade da parabola y = ax¾ e voltada par a baixo e s eu

vertice (a origem) e o pont o de maior orden ada (Figura 8).

X

Y ÷ ø

öçè

æ =

a F

4

1,0

a y

4

1-=

X

Y

a y

4

1=

÷ ø

öçè

æ -=

a F

4

1,0

Fi g u r a 8

Em seguida, examinem os o gr a fico da fun cao qua dr atica f(x) =

a(x − m)¾ . Afirmamos que ele e u m a p a r a bola, cujo foco e o pont o

F = (m, 1/4a) e cuja diretriz e a r eta y = −1/4a (Figura 9).

F X

Y

a y

4

1-=

÷ ø

öçè

æ =

am F

4

1,

2)( m xa y -=

m

Fi g u r a 9

Para chegar a esta conclusa o, t em -se du a s opcoes. Ou se veri-

fica que, para todo x ∈ R, vale a igualdade

(x − m)¾ +

a(x − m)¾ −

1

4a

¾

=

a(x − m)¾ +

1

4a

¾

,




ou ent ao observa-se simplesmente que o gr afico de f(x) = a(x−m)¾

resulta daquele de g(x) = ax¾ pela tr a ns lacao horizontal (x, y) →(x + m, y), que leva o eixo vert ical x = 0 na reta vertical x = m.

Fina lment e, o gra fico da fun cao quadr atica f(x) = a(x − m)¾ + k

e a par a bola cujo foco e o ponto F = (m, k + 1/4a) e cuja diretriz e

a r eta h orizonta l y = k − 1/4a (Figura 10).

F

X

Y

ak y

4

1-=

÷ ø

öçè

æ +=

ak m F

4

1,

k m xa y +-= 2)(

m

Fi g u r a 1 0

Com efeito, o gr afico de y = a(x − m)¾ + k resulta daquele de

y = a(x − m) ¾ pela tr a n sla cao vertical (x, y) → (x, y + k), que leva

o eixo OX n a r e t a y = k e a r eta y = −1/4a na r eta y = k − 1/4a.

Ora , qu alqu er fun cao quadr atica f(x) = ax¾ + bx + c pode ser

escrita sob a forma f(x) = a(x − m)¾ + k, onde m = −b/2a e

k = f(m). Logo, o grafico de um a fun ca o q u a d r atica e s empr e

u m a p a r abola.

Que significado gr afico t em os coeficientes a, b, c da fun ca o

quadr atica f(x) = ax¾ + bx + c?

O maisóbvio

é o significado de

c: o valor

c = f(0) é a abscissado ponto em que a par abola y = ax¾ + bx + c cort a o eixo OY .

O coeficient e a mede a maior ou menor abertura da par abola.

Como o gr afico de f(x) = ax¾ + bx + c se obt em d o gr afico de g(x) =

ax¾ por um a tr a n sla cao horizont al seguida de um a t ra ns lacao ver-

tical, portan to s ao figuras congruent es, basta examina r o signifi-




cado d e a no gr afico de g(x) = ax¾ . Por simplicidade, suponh am os

a > 0. E n t a o a < a ⇒ ax¾ < a x¾ para todo x = 0, logo a pa r abola

y = a x¾ situa-se no interior de y = ax¾ . Assim, quan to ma ior for

a mais fechada ser a a p a rabola e, vice-versa, quanto menor e a

mais aberta se ve a par abola. No caso de a e a nega tivos, “ma ior”

e “men or” devem ser tomados n o sentido de valor absolut o (Figu-

ra 11).

X

Y

O

c

cbxax y ++= 2

X

Y

O

22 x y =

2

2

1 x y =

2 x y =

Fi g u r a 1 1

O coeficient e b e a in clina ca o d a r e t a t a n g en t e a p a r abola no

ponto P = (0, c), in t er se cao da par a bola com o eixo y. Expliquem os

e pr ovemos est a afir ma ca o.

Seja P um ponto de uma par abola. Uma reta que passe por P

deter mina dois s emiplanos. Diz-s e que es s a r eta e tangente a

pa r abola no pont o P quando a par abola est a contida int eiram ente

num desses semiplanos.

A reta que passa pelo ponto P = (0, c) e t em in clina ca o b e des-

crit a p ela eq u a ca o y = bx+c. Os semiplan os por ela det ermin ados

sao descritos pelas desigua ldades y ≥ bx + c (semiplano super ior)

e y ≤ bx+c (semiplan o inferior). Os pontos (x, y) da par abola cum -

prem y = ax¾ + bx + c logo est ao todos no semiplano superior da

r eta y = bx + c quando a > 0 ou est ao todos no semiplano inferiorse for a < 0. Porta nto a reta y = bx + c, d e in clin a ca o b, e tangente

a p a r abola y = ax¾ + bx + c no ponto P = (0, c) (Figura 12).

E x e m p l o 1 1 (completa ndo o Exemplo 10). Agora que conh ece-

mos a forma geom etrica do gr a fico d a fun ca o q u a d r atica f(x) =




X

Y

O

cbxax y ++= 2

cbx y +=

Fi g u r a 1 2

ax¾ + bx + c, podemos ver clar amente que, s e a > 0, e n t a o a

fu n cao, que as s ume s eu valor m ınimo quando x = m = −b/2a,

e decrescente a e s q u e r d a d e m e crescente a dir ei ta de m. No

Exemplo 10, independentemente de ser b ≤ 3a ou b > 3a, a ar ea

do par alelogramo inscrito n o r etangulo e s empr e igual a f(x) =

2x¾ − (a + b)x + ab. Trata-se de achar, entre os n umeros x ta is que

0

≤x

≤a, aqu ele para o qual o valor f(x) e o menor poss ıvel. Como

es tamos s upondo 3a < b, t em os 4a < a + b, don dea < (a + b)/4 = m. Assim, o intervalo [0, a ] es t a a es quer da do

ponto m n o qua l a fun cao quadr at ica as s ume s eu m ınimo. Logo

f e decrescent e no interva lo [0, a ] e, consequent emente, seu m enor

valor nesse intervalo e f(a). Portanto, x = a e a resposta do pro-

blema n o caso em qu e b > 3a. O par alelogramo de a r e a m ınima e

en t ao aquele hachura do na Figura 13.

a

a

a a

b – a

b – a

Fi g u r a 1 3




A reta vertical x = −b/2a cont em o vertice (−b/2a, f(−b/2a))

d a p a r abola y = ax¾ + bx + c, logo e o eixo de s imetr ia des s a

curva, gra fico d a fun ca o f(x) = ax¾ + bx + c. Porta nt o dois pon-

t os (x , y) e (x , y) d a p a r abola t em a mes ma or denada, ou s eja,

f(x ) = f(x ) se, e somen te se, −b/2a e o ponto m edio do int ervalo

cujos extremos sa o x e x . Noutras palavras,

f(x ) = f(x )⇔ −b

2a=

x + x

2⇔ x + x = −b/a.

Este fato pode ser verificado sem o gr afico, a partir da forma

ca n onica f(x) = (x − m)¾

+ k, onde m = −b/2a e k = f(m). Comefeito,

f(x ) = f(x ) ⇔ (x − m)¾ + k = (x − m) ¾ + k

⇔ (x − m)¾ = (x − m)¾

⇔ x − m = ±(x − m).

Or a x −m = x −m equivale a x = x , enquant o x −m = −(x −m)

equivale a m = (x + x )/2.

3 Mo v im e n t o u n i fo rm e m e n t e v a ri a d o

Um dos exemplos ma is relevant es em que se a plicam as fun coes

quadr aticas e o m oviment o uniformemen te variado. Aqui se tem

um ponto m ovel, qu e se d esloca a o longo de u m e ixo. Su a posica o

no ins tant e t e determina da pela abscissa f(t). O que caracteriza

o movimento uniformemente variado e o fat o de f ser u m a fu n ca o

quadr atica, que se escreve usualmente sob a forma

f(t) =1

2at ¾ + bt + c.

Nesta expressao, a consta nte a chama-se a acelerac ˜ ao, b e a velo-

cidade inicial (no instant e t = 0) e c e a posic ˜ ao inicial do pont o.Em qua lquer moviment o retilıneo, dado por um a funcao ar bi-

t r aria f(t), o quocient e

f(t + h ) − f(t)

h =

esp a co per cor r ido

tempo de percurso




cha ma -se a velocid ad e m ´ edia do pont o no int erva lo cujos extr emos

sa o t e t + h . No cas o em que f(t) =1

2at ¾ + bt + c, a velocidade

m edia nesse intervalo e igua l a at + b +ah

2· Para valores cada vez

men ores de h , este n umero vale aproximadam ente at + b. Por isso

dizemos que

v(t) = at + b

e a velocidade (no movimento un iformement e variado) do ponto

no ins tant e t. Qu a n d o t = 0, tem-se v(0) = b. Por isso b se cha -

ma a velocidade inicial. Alem disso, para t e h quaisquer, tem-se[ v(t + h ) − v(t)]/h = a, logo a a celer a cao consta nte a e a t a x a d e

va r ia cao da velocidade.

Um importa nte exemplo de movimento un iformement e varia-

do e a qu eda livre de u m corp o, ist o e, sujeito apena s a a cao da gra-

vidade, desprezada a resist encia do ar. Nest e caso, a a celera ca o

da gravidade e representada por g e seu valor, deter mina do expe-

rimentalmente, e g = 9,81 m/seg ¾ .

Se o corp o e simplesmente deixado cair de u ma altu ra (que con-

sideram os de coordena da zero n um eixo vertical, orient ado pa ra

baixo) sem ser empurr ado, ent ao sua velocidade inicial e zer o e

su a posicao inicial e dada por c = 0, logo sua coordenada, apos

t segundos de queda, e1

2gt ¾ = x. Reciprocam ente, esse corpo

percorre x metros em t =

2x/g segundos.

Nosso conh ecimen t o da fun cao quadr at ica permite r esponder

as m ais diversas qu estoes a respeito do moviment o uniform emen -

te variado. Por exemplo, se uma part ıcula e posta em movimento

sobre um eixo a part ir de u m ponto de a bscissa −6 com velocida-

de inicial de 5 m /seg e a celer a cao consta nte de −2 m/seg ¾ , quan to

tempo se passa a t e sua trajet oria mu de de sen tido e ela comece a

voltar par a o pont o de par tida? Resposta: t emos f(t) = −t

¾

+5t−6.Logo o valor m aximo de f e obtido quan do t = −5(−2) = 2,5 seg.

Podemos ain da dizer qu e o pont o comeca a volta r qua nd o v(t) = 0.

Como v(t) = −2t + 5 isto nos da novamente t = 2,5 seg.

O movimen to uniform ement e variado pode ocorr er t am bem no

plano. Um exemplo disso e o movimen to de um projetil (um a bala,




um a bola, u ma pedr a, et c.) lan cad o por u ma forca in sta nt an ea e, a

partir da ı, sujeito apen as a a cao da gravidade, sendo desprezada a

resist encia d o ar (moviment o no vacuo). Em bora o pr ocesso ocorr a

no espa co tridim ens iona l, a tr ajet oria do projetil est a contida no

plano determinado pela reta vertical no ponto de partida e pela

dir ecao da velocida de in icial.

Quanto se tem um movimento retilıneo (sobre um eixo), a ve-

locidade do m ovel e expressa por um n umer o. Mas qua ndo o mo-

vimen t o ocorr e n o plan o ou n o espa co, a velocida de e expressa p or

um vetor (segment o de reta orient ado), cujo compr iment o se cha -

m a a velocidade escalar do movel (ta nt os m etros por segun do). A

dir ecao e o sent ido desse vetor indicam a direcao e o s entido do

movimento.

No plano em que se d a o movimento, tomemos um sistema de

coordenadas cuja origem e o ponto de par t ida do pr ojetil e cujo

eixo OY e a vert ical que p assa por esse pont o.

A velocidade inicial do projetil e o vetor v = ( v½

, v¾

) cuja primei-

ra coordenada v½

fornece a velocidade da componente horizontal

do m ovimen to (deslocamen to d a sombra , ou p rojecao do projetil

sobre o eixo horizontal OX).

Como a un ica forca at ua nd o sobre o projetil e a gravidade, a

q u a l n ao possui component e h orizont al, n enh um a forca at ua so-

bre est e moviment o horizont al, que e port an to um movimen to uni-

forme. Assim, se P = (x, y) e a posicao do pr ojet il n o ins tante t,

tem-se x = v½

t.

Por su a vez, a acelera ca o (= for ca ) da gra vida de e consta nte,

vertical, igua l a −g. (O s inal menos s e deve ao s entido da gr a-

vidade ser oposto a orien t a cao do eixo vertical OY .) Por tan to, a

componente vertical do movimento de P e um movimento unifor-

memente acelerado sobre o eixo OY , com a celer a cao igua l a −g evelocida de inicial v¾

.

Logo, em cada instante t, a or denada y do ponto P = (x, y) e

dada por y = −1

2gt ¾ + v

¾

t. (Na o h a termo consta nte porque y = 0

quando t = 0.) Veja a Figura 14.




X

Y

O x = v1t v1

v2

t v gt y 22

2

1+=

P = ( x, y)

Fi g u r a 1 4

Se v½

= 0 en t ao, para todo t, tem -se x = v½

t = 0, logo P = (0, y),

com

y = −1

2gt ¾ + v

¾

t .

Neste caso, a tr ajetoria do projetil e vertical.

Suponham os agora v½

= 0. E n t ao, de x = v½

t ve m t = x/v½

.

Substituindo t por este valor na expressao de y, obtemos

y = ax¾

+ bx, onde a = −g/1v¾

½ e b = v ¾ /v ½ .

Isto mostra que a tra jetoria do projetil e u m a p a r abola.

4 A p r o p ri e d a d e r e fl e t o ra d a p a ra b o la

Ou t ra a plicacao bast an te difun dida da fun cao qua dr atica, ou me-

lhor, da par abola qu e lhe serve de gr afico, diz respeito a proprie-

dade refletora dessa curva.

Se gir ar mos uma par abola em torno do seu eixo, ela vai ge-

ra r um a super fıcie cham ada parabol´ oide de revoluc ˜ ao, t a m bemconh ecida como superf´ ıcie parab ´ olica . E st a su per fıcie p ossui in u -

me ra s a plicacoes inter es s antes , todas elas decor r entes de uma

propriedade geometr ica da par abola, qu e verem os nest a seca o.

A f a m a d a s s u p e r f ıcies parabolicas remonta a Antiguidade.

H a u ma lenda segundo a qual o extraordinario ma tem atico grego




Arquimedes, que viveu em Siracusa em torno do ano 250 A.C.,

destruiu a frota que sitiava aquela cidade incendiando os navios

com os raios de sol refletidos em espelhos parabolicos. Em bora

isto seja teoricam ente possıvel, h a ser ias duvidas hist oricas so-

bre a capa cidade tecnologica da epoca pa ra fabr icar ta is espelhos.

Mas a lenda sobreviveu, e com ela a ideia de que ondas (de luz,

de calor, de r adio ou de outr a qualquer n at ureza), quan do refleti-

das numa s uper f ıcie para bolica, concentram-se sobre o foco, assim

am pliando gra ndement e a intensidade do sinal recebido.

Da lenda de Ar quimedes r es tam hoje um inter es s ante acen-

dedor solar de cigar ros e out ros a rt efat os que provocam ignica ofazendo convergir os raios de sol para o foco de uma superf ıcie

p a r a bolica polida.

Outr os ins tr umentos atuam inver s amente, concentr ando na

dir ecao pa ra lela a o eixo os raios de luz que em an am do foco. Como

exemplos, cita mos os h olofotes, os far ois de autom oveis e as sim-

ples lanternas de mao, que t em font es luminosas a frente de uma

superf ıcie parabolica refletora.

F

e i x o

Fi g u r a 1 5

Um important e uso recente destas su perf ıcies e dado pelas a n-

tenas par abolicas, empr egadas n a r adio-astronomia, bem como no

dia-a-dia dos aparelhos de televisao, refletindo os debeis sinaisprovenientes de um sat elite sobre su a superf ıcie, fazendo-os con-

vergir para um un ico pont o, o foco, d este modo t orna nd o-os cons i-

deravelment e ma is nıtidos.

S e a a n t e n a p a r a bolica estiver volta da pa ra a posicao (esta-

cion ar ia) do sat elite, a gra nde dist an cia far a com que os sina is por




ele emitidos que a tingem a ant ena sigam tra jetorias pr aticam en-

te pa ralelas ao eixo da superf ıcie da an ten a, logo eles se refletir a o

na s uper f ıcie e convergir ao pa ra o foco. Par a a demonstr acao da

propriedade refletora da par abola, vide o livro “A Matem atica do

En sino Medio”, vol. 1, paginas 135 a 141.





1. Se x > 0, mostre que x +1

x≥ 2, valendo a igualdade somente

quando x = 1.

2. Sejam a e b n umeros positivos. Prove que, para x > 0 e y > 0

com xy = c (constante), a soma ax + by assum e seu valor m ınimo

quando ax = by =√

abc.

3. Deseja-se cavar um buraco retangular com 1 m de largura demodo que o volume cavado t enh a 300 m ¿ . Sa bendo que cada m etro

quadrado de area cavada custa 10 reais e cada metro de profundi-

dade custa 30 reais, determinar o comprimento e a profundidade

do bura co a fim de que seu custo seja o menor possıvel.

4. Duas tor neir as junta s enchem um tanque em 12 hor as . Uma

delas s ozinha levar ia 10 hor as ma is do que a outr a par a enche-

lo. Quantas horas leva cada uma das torneiras para encher esse

tanque?

5. Se uma torneira enche um tanque em x horas e outr a em y h o-ras, quant o tempo levariam a s duas junt as par a en cher esse mes-

mo tanque?

6. Us ar a f orm ula qu e serve de resposta ao exercıcio an ter ior pa ra

resolver o seguinte pr oblema: Dois guinda stes levam junt os 6 h o-

ras para descarr egar um navio. Se os dois operassem sozinhos,

um deles levar ia 5 hor as a menos do que o outr o par a efetuar a

descarga. Em quan to tempo cada um dos guindastes descarr ega-

ria o navio?

7. Dois comer ciant es vendem um certo t ecido. O segun do vendeu3 metros mais do que o primeiro. No fim do dia, os dois recebem

jun tos o total de 35 r eais pela venda daquele tecido. O primeiro

diz: “Se eu tivesse vendido a meu preco a quan tidade que voce





vendeu, teria apurado 24 reais”. O segundo responde: “E eu teria

recebido R$ 12,50 pelo tecido que voce vendeu”. Quan tos metros

vendeu cada um e a que pr eco?

8. Mostr e qu e a equ a ca o m +√

x = x tem uma u n ica solu cao quan -

do m > 0 ou m = −1/4, t em du a s solucoes quan do −1/4 < m ≤ 0

e nen hu ma soluca o q u a n d o m < −1/4. I nter pr ete gr aficamente

este resultado.

9. Um professor comprou var ios exemplar es de um l ivr o par a

pr es entear s eus alunos , gas tando 180 r eais . Ganhou 3 l ivr os am a is d e b onifica cao e com isso cada livro ficou 3 reais mais bara-

t o. Qu a n tos livros com pr ou e a q ue p re co?

10. Quantos lados tem um polıgono convexo que possui 405 dia-

gonais?

11. Um campeonato e disputado em 2 turnos, cada clube jogando

duas vezes com cada um dos outr os . O total de par t idas e 306.

Qua nt os clubes est ao no campeonat o?

12. Um gr upo de amigos , numa excur sa o , a l u g a u m a v a n p o r342 r eais . Findo o pas s eio, t r es deles es tavam s em dinheir o e

os outros tiveram que completar o total, pagando cada um deles

19 reais a ma is. Qua ntos eram os am igos?

13. Desprezando a resist encia do ar, determinar a profundidade

de um poco, sa bend o que decorr era m t segundos entre o instante

em que se deixou cair uma pedra e o momento em que se ouviu

o som do seu choque com a agua no fundo. (Dar a r es pos ta em

fu n ca o da a celera cao da gr avidade g e da velocidade do som v.

Tem-se g = 9,8 m/seg

¾

e v = 340 m/seg, ma s estes n umeros n a oprecisam ser u sados.)

14. Na s aguas pa r adas de um lago, um r emador r ema s eu bar co

a 12 km por hora. Num certo rio, com o mesmo barco e a mesma

forca n as rem ad as, ele percorreu 12 km a favor da corr ent e e 8 km




contr a a corrent e, nu m t empo total de 2 horas. Qual era a veloci-

dade do rio, quan to tempo ele levou para ir e qua nto tempo para

voltar?

15. U m t r iangulo isosceles mede 4 cm de base e 5 cm de altu-

ra. Nele deve-se inscrever outro triangulo isosceles in vert ido, cu-

ja base e par alela a base do ma ior e cujo vertice e o ponto m edio

da base do primeiro. Qual e a a r e a m axima possıvel do tr iangulo

invertido? Qual a altur a desse trian gulo de ar ea m axima?

16. Qual e o valor m aximo (ou m ın im o) da s fun coes qua dr aticas

f(x) = 2(x − 2)(x + 3), g(x) = 3(2 − x)(5 + x)?

17. Retiram os de u m dos extremos da ba se b de um r et an gulo de

altur a a (com a < b) um segment o de compr iment o x e o acrescen-

tamos a altur a. Pa ra qu al valor de x este novo ret an gulo tem ar ea

m axima?

18. A soma das m edidas da s diagona is de um losan go e 8 cm. Qua l

o maior valor possıvel da ar ea desse losan go?

19. Quais sao os valores possıveis par a o produt o de dois numeros

re a is cuja diferen ca e 8 ? H a u m m en or valor possıvel? Um m a ior?

20. Seja m o pont o onde a fun ca o q u a d r atica f as s ume s eu va-

lor m ın im o k = f(m). Exprima algebricam ent e a fun cao inversa

f¹ ½ : [k, +∞) → [m, +∞). Trat e explicitament e o caso part icular

f(x) = x¾ − 6x + 10.

21. A partir de dois vertices opostos de um ret an gulo de lados a, b

mar quemos qua tro segmentos de comprimento x (Figura 16). As

extremidades desses segmentos forma m um para lelogramo. Para

qual valor de x a area desse paralelogramo e a m aior possıvel?

22. Quais n umeros:

a ) Sao pelo men os 16% ma iores do que seu s qua dra dos?

b) Sao no m aximo 22% men ores do que o quadr ado de sua s me-

tades?




x

x

x

x

a

b

Fi g u r a 1 6

c) Tem o qua dra do de sua m eta de 30% ma ior do que sua qu inta

par te?

23. Se p, q e r sao inteiros ımpares, prove que a equaca o

px¾ + qx + r = 0 n ao pode ter ra iz raciona l.

24. Dois digitadores, A e B, se alterna m na prepara ca o d e u m

man uscrito de 354 lau das. A t r abalhou 3 hor as a mais do que B.

Se A tivesse trabalha do duran te o mesmo tempo que B trabalhou,

teria digitado 120 lauda s. Se B tivesse digitado dura nte o mesmo

tempo que A t r abalhou, t er ia completado 252 laudas . Dur ante

quanto tempo cada um trabalhou e quantas laudas cada um digi-

tou?

25. De um tonel de vinho, algu em r et ir a uma cer ta quan tidade e

a substitui por um volume igual de agua. Apos repetida a mesma

oper a cao, o lıquido que restou no tonel e metade vinho, metade

agua. Quanta agu a foi colocada n o tonel cad a u ma da s dua s vezes?

26. Qual e a fun ca o q u a d r atica f t a l q u e f(1) = 2, f(2) = 5 e

f(

3) =

4 ?

27. A fun cao qu adr atica f(x) = ax¾ + bx + c e tal que seu gr afico

tan gencia o eixo das abscissas. Sabendo que f(1) = f(3) = 2, de-

ter mine a, b e c.



Ca pıtu lo 3

F u n coes Exponenciais e

Logar ıtmicas

P r o b l e m a 1 . Uma piscina tem capacidade para 100 m ¿ de agua.

Q uando a pi sci na est a completamente cheia, e colocado 1 kg de

cloro na piscina. Agua pura (sem cloro) continua a ser colocada na

piscina a u ma vazao const an te, sen do o excesso de agua elimina do

a t r a ves de um ladr ao. Depois de 1 hora , um t este revela que a inda

restam 900 g de cloro na piscina.

a) Q ue quant i dade de cl oro rest ar a n a p i s c i n a 1 0 h o r a s a pos

su a coloca ca o?

b ) E a pos meia h ora da a plicaca o?

c) E apos t horas?

U m a respost a m ui t as vezes dada para a pri m ei ra pergunt a e

que, apos 10 horas, n a o h a m ais cloro na piscina. Esta resposta

r esu lta da ap licacao d o modelo mais simp les de var iaca o d e u m a

gra ndeza, expresso por um a fun cao afim. Segun do este m odelo,

a va r ia cao sofrida em cada intervalo de 1 hora e s e m pr e a m e s-

ma. Assim, se na primeira hora foram eliminados 100 g de cloro,

o m esm o deveri a ocorrer em cada um a das 10 horas segui nt es,

fazendo com que t odo o cloro seja eliminado n estas 10 h ora s. Ogr afico da F igur a 17 ilustr a este ra ciocınio.

A solu cao acima, entretanto, n ao est a corret a. N a o e razoavel

ad mit ir-se qu e a elimina cao de cloro se de a um a t axa const ant e.

De fato, e m u i t o m ai s ra zoavel que est a t axa dependa da quant i -

dade de cloro presente na piscina: quanto maior a quantidade de

43




1 10

1000

900

Cloro (g)

Tempo (h)

F ig u r a 1 7

cloro, m ais cloro e eliminado por unidade de tempo. Na verdade,

par ece intuitivo que a quan tidade eliminada por unidade de t em-

po seja proporcional a qu ant idade existente de cloro. Par a veri-

ficarmos esta conjetura, utilizaremos um recurso freq uent em ent e

utilizado para analisar problemas envolvendo grandezas que va-

riam continuamente: vamos discretizar o problema. Ao inves deconsiderar que a agua ingressa na piscina e e dela eliminada de

modo cont ınuo, vam os dividir o tempo em pequen os int ervalos de

comprimento ∆t e i m aginar que, em cada um dest es i nt erval os,

o processo ocorr a da form a descrita a seguir. Pr imeiro, ingressa

na piscina, cujo volume representaremos por V , um a quant i dade

de agua pura i gual a v∆t, onde v e a v a zao (expressa, por exem-

plo, em m ¿ por hora); esta agua e a diciona da a m i st ura exist ent e

de cloro e agua. A seguir, um vol um e i gual a v∆t e ret i rado da

mistura, restaurando o volume inicial (veja a Figura 18).

Vejamos o que ocorre com a quantidade c(t) de cloro em ca-da um dest es i nt ervalos. N o in ıcio do processo, esta massa est a

un iform emente distribu ı da em um vol um e V de lıquido. Apos o

ingresso de agua pura, a quant i dade de cl oro nao se al t era, m as

passa a est ar di st ri bu ıda em um volume igual a V + v∆t. D es t e

volume, retira-se v∆t , r etendo-se u m volume igual a V . C om o o



Func ˜ oes Exponenciais e Logarıtmicas 45

Piscina noinstante t

(volume V )

Água pura éacrescentada

(volume V +vDt )

Água pura semisturaà

água da piscina

Volume vDt é retirado

(volume V )

F ig u r a 1 8

cloro est a distribu ıdo uniform emente, a quan tidade de cloro que

perma nece n a piscina e proporcional ao volume retido. Isto e, te-

mos, o seguinte quadro:

Volum e d e l ı qui do Q uant i dade de cloro

Antes da sa ıd a V + v∆t c(t)

Depois da sa ıd a V ?

O valor desconhecido e, ent ao, dado por c(t + ∆t) = c(t) Î

Î · Ú ¡ Ø

.

O m ai s i m port ant e a observar e que a fraca o Î

Î · Ú ¡ Ø

e constante

par a cada intervalo de compriment o ∆t. Assim, em cada um des-

tes int ervalos, a quan tidade de cloro e multiplicada por um valor

const an t e. N ot e que o m esm o ocorrer a em um i nt erval o m ai or,

for ma do pela just ap osica o d e n intervalos de comprimento ∆t:

a quant i dade de cl oro em um i nt erval o de t am anho n∆t e m ul -

tiplicada por

Î

Î · Ú ¡ Ø

Ò

. A va r ia cao da qu an tidade de cloro, por sua

vez, e obtida da equa cao acim a subt rai ndo-se a quant i dade i ni -

cial c(t) em cada lado, o que fornece

c(t + ∆t) − c(t) = c(t) V

V + v∆t − 1

= c(t)

−v∆t

V + v∆t

.

Uma out ra form a de expressar o mesm o fat o e dizer qu e a var iaca o

relativa Ø · ¡ Ø µ ¹ Ø µ

Ø µ

e const ant e e i gual a − Ú ¡ Ø

Î · Ú ¡ Ø

. Ist o confirm a o

comportam ento que t ı nham os i nt u ıdo ant eriorm ent e: a varia ca o




da quantidade de cloro em intervalos de mesmo comprimento e

proporcional a qu an tidade existente n o inıcio do int er valo.

Voltemos a o nosso problema . A an alise acima mostra a inade-

qu a cao da primeira ten ta tiva de solucao e ap onta a solucao cor-

reta . A perda de cloro, nos perıodos consecutivos de 1 hora, n a o

e a m e s m a . O qu e e constante, em cada um destes per ıodos, e a

va r ia cao relat iva: se 10% do cloro foi elimina do na primeira hora ,

o mesmo ocorr e em cada hora a s eguir. E quivalentem ent e, se 90%

do cloro per ma nece ap os a primeira hora , o mesm o ocorr e em cada

hora a seguir. Logo, apos 10 hora s da ap licacao, a quantidade decloro ter a sido multiplicada por (0,9)½ ¼ = 0,349. P or t a n t o, n e s t e

i nst ant e h aver a 349 grama s de cloro na piscina. De modo geral,

podemos express ar a qu an tidade d e cloro ao final de n hora s (onde

n e na t ura l ) por:

c(n) = 1000 · (0,9) Ò , p a r a n = 0 , 1 , 2 , . . .

A Figura 19 ilustr a este comportam ento.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (h)

C l o r o ( g )

F ig u r a 1 9

O bserve que est as quant i dades form a m um a progressao geo-

m etrica. Na verdade, ao se considerar a quantidade de cloro em




inst an tes igu alm ent e espa cad os, obtem-se sempre uma progressa o

geom etrica, ja que a quela quant i dade e multiplicada pela mesma

const an t e em cada i nt erval o. Podem os u sar est e fat o para res-

ponder a segun da pergunta do problema, su bdividindo o perıodo

d e u m a h o r a a pos a a pli cacao de cloro em dois per ıodos de meia

hora cada. E m cada um dest es per ıodos, a quantidade de cloro e

multiplicada por uma constante k (Figura 20). Como ao final dos

dois per ıodos de meia hora a quantidade de cloro e multiplicada

por 0,9, temos k · k = 0,9 e, da ı, k =√

0,9 = 0,948. Logo, a quanti-

dade de cloro ap os 6 hora s e igual a 1000

×0,948 = 948 g. Note que,

se t ivessemos u sado o modelo afim da Figura 17, ter ıamos obtido950 g para a qu ant idade de cloro neste insta nte.

0 1

´ k ´ 0,9

½

F ig u r a 2 0

Podemos gen er alizar a solucao acima e calcular a quantidade

de cloro a intervalos constantes de meia hora. De fato, para um

i nst ant e da form a t = ½

¾

n, com n nat u ral , t em os c(t) = c

½

¾

n

=

c(0)kÒ , onde k e a constante calculada acima. Assim,

c(t) = c(1

2n) = 1000

√0,9

Ò

= 1000 (0,9)Ò ¾

, p a r a n = 0 , 1 , 2 , . . .

Novamente, estes valores formam uma progressao geom etrica,

i lust ra da n a F i gura 21. E st a progressa o e obtida a partir da pro-

gressao da Fi gura 19 “int erpol ando um m eio geometrico” entre

cada par de termos consecutivos.

Observe que, substituindo Ò

¾

por t, temos c(t) = 1000 · (0,9) Ø

para t odo t da forma Ò

¾

. Na verdade, podemos mostrar que a ex-

pressao acima vale para todo t racional, aplicando o mesmo pro-

cesso acima. De fato, seja t = p/q. Como este intervalo e formado




0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (h)

C l o r o ( g )

F ig u r a 2 1

pe la ju st a posicao de p intervalos de compriment o 1/q, a q u a n t i-

dade de cloro restante neste instante e dada por c( p/q) = c(0)kÔ ,

onde k e a const an t e pel a qual a quant i dade de cl oro e multipli-

cada em intervalos de tempo de comprimento 1/q. M a s q destes

intervalos forma m um intervalo de compriment o 1, em que c(t) e

mu ltiplicado por 0,9. Assim , kÕ = 0,9 e k = 0,9½ Õ (veja a Figu-

ra 22).

0 11/ q p / q

´ k

´ 0,9

F ig u r a 2 2

Su bst itu indo na equa cao a cima, obtemos

c(t) = c( p/q) = c(0).

0,9½ Ô

Ô

= 1000 · 0,9 Ô Õ = 1000 · 0,9Ø .

E para val ores i rraci onai s de t? A r e s pos t a e que t odo t ir -

racional pode ser aproximado, com precisao arbi t r ari a, por um a




valores racionais. Os valores correspondentes de c fornecem, por

su a vez, a pr oxima coes par a c(t). E s t e e exatamen te o mecan ismo

a t r a ves do qu al se defin e u ma funcao exponencial, como veremos

ma is a diant e. Assim, a funcao que forn ece a quan tidade de cloro

q u e r e s t a n o in s t a n t e t e dada por c(t) = 1000 · 0,9Ø , para t odo t

real. O gr a fico des t a fun ca o e dado na Figur a 23.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (h)

C l o r o ( g )

F ig u r a 2 3

O exemplo acima ilustra um modelo matem a t ico d e va r iaca o

qu e e t ao importa nt e qu an to o modelo dado por u ma funcao afim .

As si t u a coes em que ele se aplica s ao aquel as em que, ao i nves

da va r ia cao absoluta f(x + h ) − f(x) n ao depender de x (depender,

port an t o, a penas de h ), quem tem esta propriedade e a va r ia ca o

relativa Ü · µ ¹ Ü µ

Ü µ

. F u n coes crescentes (ou decrescentes) com esta

propriedade sao necessariamen te da form a f(x) = baÜ . Os va lores

de a e b, a e xem plo do que ocor r e n a s fun coes afins, pode ser facil-

mente interpreta do em term os dos valores de f nos pont os x = 0 e

x = 1. Temos f(0) = b·

a ¼ = b. Logo, b corr esponde ao valor inicial

f(0). J a no pont o x = 1, temos f(1) = b · a ½ = f(0)a. Port an t o,

a = f(1)/f(0) e corr esponde a consta nte pela qual f e m ultiplicada

em t odo int ervalo de compr iment o 1.

Em resum o, temos o teorema abaixo, discut ido em mais deta-

lhes em “A Matem atica do Ensino Medio”, vol. 1.




Te o r e ma . S eja f : R → R um a fun c ˜ ao m on otona injetiva (isto ´ e,

crescen te ou d ecrescen te) tal qu e, par a cad a x e h , a varia c ˜ ao relati-

va [f(x+h )−f(x)]/f(x) (ou , equiv alent em ente, a ra z ao f(x+h )/f(x))

depende apenas de h e n ˜ ao de x. En t ao, se b = f(0) e a = f(1)/f(0) ,

tem -se f(x) = ba Ü para todo x ∈ R.

P r o b l e m a 2 . Uma pessoa t omou 60 mg de um a cert a medicaca o.

A bula do remedio informava que sua meia-vida era de seis ho-

ra s. Como o paciente n ao sabia o significado da palavra, foi a um

dicion ar io e encont rou a seguin te d efinica o:

Meia-vida: tempo necessa r i o pa r a q u e u m a gr a n d e za

(f ısica, biologica) a tinja met ade d e seu valor inicial.

a) A pos 12 horas da ingest ao do rem edio, qu al e a quant i dade

do rem edio ainda presente no organ ismo?

b ) E a pos 3 horas da ingest ao do rem edio?

c) E apos t horas de sua ingest a o?

Para respondermos a pri m eira pergunt a , bast a apl icar a defi-

n icao de meia -vida. Na verd ad e, esta defin ica o d a um a i m port an t ein for m a cao a respeito do fen omeno a que se refere: em qualquer

per ıodo de 6 hora s, a quan tidade da droga presente n o organismo

s e r e du z a m e t a d e d o s e u v a l o r n o i n ıcio deste per ıodo. Deste

modo, a pos as primeira s 6 h ora s, havera ½

¾

× 60 = 30 mg. Em mais

6 horas, este valor se reduz n ovamente a m et ade, passando a ser

igual a ½

¾

× 30 = 15 m g.

Note qu e, como no problema an ter ior, n a o e apr opria do utilizar-

se u ma fun cao a fim para modelar a variaca o d a m edicacao. Tal

modelo conduziria a conclus ao equi vocada de que, ao final das

12 horas, n ao haveria mais droga presente no organismo (por esteraciocınio, a quantidade de droga eliminada no segundo per ıodo

de seis horas seria igual a quan tidade eliminada no primeiro, le-

vando a elim in a cao t ot al em 12 horas). Mas por que est e m ode-

lo e ina dequado pa ra esta situacao? N a verdade, o processo de

eli m in a cao de uma droga do organismo e a n alogo a o pr ocesso d e




elim in a cao do cloro n a piscina do problema an ter ior. Pode-se pen -

sar na corrent e sangu ınea como sendo a piscina, n a qual a droga

es t a present e. A medida que mais agua e ingerida, ela e adicio-

n a d a a corrent e sangu ınea, sendo o excesso de lıquido elimina do

a t r a ves dos or gaos excretores. Como no caso da piscina, a quan -

tidade de droga eliminada e maior qua ndo a qua ntidade de dr oga

present e e ma ior. Assim, e r a zoavel adot ar-se, par a a quant i da-

de de droga no organism o, u m modelo segundo o qua l a var iaca o

relativa em intervalos de t empo de m esma dur aca o e s e m p r e a

mesm a, o qu e n os leva a um modelo expresso por um a fun cao da

forma f(x) = baÜ

.

Para cal cul ar a quant i dade de droga no inst ant e t = 3, bast a

observar, ma is um a vez, que em cada in ter valo de du ra cao 3 hora s,

a qua ntidade de droga e mu ltiplicada por uma consta nte k. Como

em 6 hora s a dr oga se reduz a m etade, temos k · k = ½

¾

e, portanto,

k =

½

¾

=√

¾

¾

= 0,707. Logo, ap os 3 horas da ingest ao, a m assa

rest ant e de droga e i gual a 60 × 0,707 = 42 g, aproximadamente

(compa r e com o valor qu e obter ıam os com o modelo afim , que ser ia

igual a 45 g).

Para obt er a quant i dade de droga em um i nst ant e qual quer t,

ut ilizar emos os valores f(0) = 60 e f(6) = 30 par a calcular os coefi-

cientes a e b de f(x) = ba Ü . A primeira igualdade fornece b = 60 e

a segunda da 60a = 30, de onde obtemos a =

½

¾

= 2¹

½

. Logo, a

quantidade de droga apos t horas da ingest a o e dada por

f(t) = 60

2 ¹

½

Ø

= 60 · 2¹

Ø

.

P r o b l e m a 3 . Um banco afirma que empresta dinheiro a juros de

100% ao ano. N a h ora de pagar a su a d ıvida, um ano depois, um

cliente observa que os juros cobrados sao mais altos. Ele procu-

ra o gerente do banco que explica que, na verdade, os juros sa o

capitalizados mensalmente, a t axa de ½

½ ¾

× 100% = 8,333% ao m es .




a ) Q u a l e a ta xa a nu al efetivam ente cobrada pelo banco?

b) E se o ban co resolve consider ar que os jur os sao capitalizados

a cada dia?

c) E se o banco considera r que os juros sao capita lizados cont i-

n u a m e n t e ?

Pr oblema s de capita lizacao m onet a r i a sao modelados por fun-

coes do tipo exponencial, ja que o valor e multiplicado, em cada

per ıodo, pelo fator (1 + i), onde i e a taxa de juros corresponden-t e a o p e rı odo. N a pr atica, por em, o pr ocesso de capita lizaca o e

discret o (com o descri t o nas duas pri m eiras pergunt a s). N o pri -

meiro caso, o inter valo de 1 an o e dividido em 12 intervalos com

u m m es de du r a cao. E m cada um desses int ervalos, a d ıvida e

multiplicada por (1 + 1/12). Logo, ao fim dos 12 m eses, a dıvida

e multiplicada por (1 + 1/12)½ 2 = 2,613. As s im , a t a x a a n u a l d e

juros e igua l a 161,3% (e n a o 100%).

No segundo caso, o per ı odo de um ano e subdividido em 365

per ı odos de 1 dia. E m cada perıodo, a dıvida e multiplicada por

(1+1/365) e, ao fim do an o, ter a sido multiplicada por (1+1/365)¿

= 2,714. Assim, segun do este esquem a de capitalizacao, a t axaanu al ser a igual a 171,4%.

Fi nal m ent e, a dm i t ir que os j uros sao capitalizados continua-

mente corresponde a tomar o valor limite dos processos descritos

acima. Se dividirmos o per ıodo de 1 a no em n per ıodos e capitali-

zarmos a quan tia em cada um deles a juros de ½

Ò

, o o capita l inicial

ser a multiplicado por

1 + ½

Ò

Ò

. A respost a a t erceira pergunt e e

obtida t oma ndo o limite qu an do n→ +∞ desta expressao. O valor

deste limite e denotado pela letr a e e e u m n um ero fundam ent al

na Mat em at ica. Seu valor e aproxima dament e igua l a 2,718, o que

l eva a um a t axa anual de 171,8% em n osso problema . Algun s dosusos do n u m e r o e ser ao discutidos mais adiant e.

Pr o b l e ma 4 . Voltando ao P roblema 1, quan to tempo deve tra ns-

corr er pa ra que a quan tidade de cloro na piscina se reduza a m e-

t ade?




Como vimos, a quantidade de cloro no instante t e dada por

c(t) = 1000 × 0,9Ø . L ogo, o i nst ant e t e m q u e e s t a q u a n t i d a d e

se reduz a met ade sat isfaz a equa ca o 500 = 1000 × 0,9Ø , ou seja,

0,9Ø = 0,5. Com o r esolver est a equ a cao? Existe u m t al valor de t?

Par a responder a estas pergun ta s, precisamos olhar com m ais

cuida do a s propriedades das fun coes exponenciais (para maiores

deta lhes veja “A Matem atica do Ensino Medio”, vol. 1). Lembr a-

mos que um a funcao exponencial de base a (onde a > 0 e a = 1)

e u ma fun ca o f : R → R definida por f(x) = aÜ . Ma s ser a q u e a

f ormula aÜ

tem sen tido par a todo numero real?C ert am ent e, a Ü es t a bem defini do quando x e n a t u r a l : aÒ e

definido como o produto a · a · a · a · · ·a (com n fat ores). Mais

precisamente, o valor de aÒ e definido recursivamen te: a ½ = a e

a Ò · ½ = a Ò ·a, par a t odo n na tu ra l. A part ir desta definicao, podem

ser demonstr ada s as propriedades fundamen ta is das potencias d e

expoente natural: a Ñ · Ò = a Ñ · a Ò e

a Ñ

Ò

= a Ñ Ò , para quai squer

n a t u r a i s m e n; a lem disso, se m < n, ent a o a Ñ < a Ò quando a > 1

e a Ñ > a Ò quando 0 < a < 1.

As de fin icoes das pot enci as de expoent e real de a sao feitas

de modo que esta s pr opriedades sejam validas para quaisquer ex-

poentes. Assim, a¼

e definido como sendo 1, de modo que a iden-tidade a ¼ · Ò = a ¼ a Ò seja va l i da para t odo n n a t u r a l . A se gu i r,

a ¹ Ò , p a r a n n a t u r a l , e definido como ½

Ò

, p a r a q u e a id en t i da d e

a Ò · a ¹ Ò = a Ò ¹ Ò = a ¼ = 1 se cumpra para todo n.

Um pouco mais delicada e a de fin icao das p ot encias de expoen-

t e racional . B ast a, por em, proceder como fizemos ao resolver o

Probl em a 1. Ini cial m ent e, dado um n at ur al q, desejamos defi-

n ir a ½ Õ de modo que

a ½ Õ

Õ

= a ½ = a. Port an t o, a ½ Õ deve ser

ra iz d a equa ca o xÕ = a. Ma s, pa r a t od o q na tu ra l, a fun ca o

g : [0, +∞ ] → [0, +∞ ] t a l q u e g(x) = xÕ e cont ı nua, est ri t am ent e

crescente e i limitada (veja a Figur a 24). Em consequ encia, paratodo a positivo, existe exat amen te um n umer o rea l positivo x t a l

qu e aÕ = 1, que e den ota do por a ½ Õ ou Õ

√a.

Agora, podemos definir a Ü para t odo x ra ciona l: se x = p/q,

definimos

a Ü = a Ô Õ =

a ½ Õ

Ô

.




X

Y

g ( x) = xq

a

a1/ q

F ig u r a 2 4

As pot encias de expoente racional assim definidas preservam as

propri edades fundam ent ai s das potenci as de expoent e nat ural :

a Ü · Ý = a Ü · a Ý ,

aÜ

Ý

= a Ü Ý e, se x < y, e n t a o a Ü < a Ý quando

a > 1 e a Ü > a Ý quando 0 < a < 1.

Consideremos, finalmente, pot encias de expoente irracional.

Por exemplo, qual e o significad o de a√

¾ ? A ideia basica e que todo

n umero irracional pode ser aproximado, com precisao ar bit r ari a,

por n um eros ra ciona is. Por exemplo, a s melhores a proxima coespor falta, de

√2 com 1, 2 e 3 casas decimais sa o 1,4, 1,41 e 1,414.

Os valores de aÜ pa ra ta is ap roxima coes conduzem, por sua vez,

a a pr oxima coes cada vez melhores para a√

¾ . D evido a monoto-

nicidade das potencias de expoent e ra ciona l, est as apr oxima coes

ser ao por falta (quan do a > 1) ou por excesso (qua ndo 0 < a < 1).

Em qua lquer caso, o valor limite desta s apr oxima coes (definido

como o men or n umer o real ma ior que ou igual a t odas esta s apr o-

xim a coes, no caso a > 1, ou o m a i or n um ero real m enor que ou

igual a elas, no caso 0 < a < 1) e tom a do com o d efin icao de a√

¾

(veja “A Matem atica do Ensino Medio”, vol. 1, par a ma iores deta -

lhes).

Assim, definimos os valores de aÜ para todos os valores reais

de x, com o resul t ado sendo sem pre um n umer o positivo. Com

isso, constru ımos u ma fun ca o f : R → (0,∞) t a l q u e f(x) = aÜ ,

cha ma da de funcao exponencial de base a, que t em as segui nt es

propriedades:




a ) f(x + y) = f(x)f( y) para quai squer reai s x e y;

b) f e crescente (isto e, x > y ⇒ f(x) > f( y)) q u a n d o a > 1

e e decrescente (x > y ⇒ f(x) < f( y)) q u a n d o a < 1; em

consequ encia, f e sempre injetiva, ou seja, f(x) = f( y) ⇒

x = y;

c) f e cont ı nua;

d ) s e a > 1, limÜ ¹ ½

f(x) = 0 e limÜ · ½

f(x) = +∞;

e) f e sobrejetiva (isto e, para todo y > 0 existe x tal que aÜ = y).

A Figura 25 m ost ra o grafico de f(x) = a Ü nos casos a > 1 e

0 < a < 1.

X

Y

f(x) = a x

(0<a<1)

X

Y

(x) = a x (a >1)

1 1

F ig u r a 2 5

Podemos voltar agora a p er g u n t a q u e a b r iu e st a d is cu s sa o

(“existe um valor rea l de x para o qual 0,9Ü = 0,5?”) e responde-la

afir ma tiva men te. Como as fun coes exponenciais (em particular, a

de base 0,9) sao injetivas e t em por imagem o conjunto dos r eais

positivos, existe exata ment e u m n um ero real x t al que 0,9Ü = 0,5

(veja a Figura 26).

De modo geral, dado u m n u m e r o y > 0, o un ico real x t al que

a Ü = y (onde y > 0) e chama do de logaritmo de y na base a e re-

presen ta do por log

y. A fu n cao logar ıtmica de ba se a, que a ssocia




X

Y

f(x) = 0,9 x

1

0,5

x

F ig u r a 2 6

a cada numer o real positivo o seu logaritmo na base a, e , portan-

to, a inversa da fu n cao exponen cial de bas e a e sua s propriedades

decorrem das propriedades da exponencial.

Ass im , a fun ca o log

: (0, +∞)→ R tem a s seguintes proprieda-

des (veja os gr aficos da Figura 27):

a) log

(xy) = log

(x) + log

( y), para quaisquer x, y > 0.

b) log

(xÖ ) = r log

(x), para qual quer r e qua lquer x > 0.

c) log

(a Ü ) = x, para todo x, e alog

Ü = x, para todo x > 0.

d) log

e cr e s ce n t e q u a n d o a > 1 e d ecr e s ce n t e q u a n d o

0 < a < 1.

e ) s e a > 1, limÜ ¼ ·

log

(x) = −∞ e limÜ · ½

log

(x) = +∞;

se 0 < a < 1, limÜ ¼ ·

log

(x) = +∞ e limÜ · ½

log

(x) = −∞.

f) log

e sobrejetiva.

Assim, para resolver o Problema 4 devemos obter log¼

0,5. Co-

mo obter este valor? H a a l gu m a s decadas, a resposta seria con-

sul t ar um a t abel a de l ogari t m os, que eram usadas na o so p a r a




X

Y f(x) = log a x (a >1)

X

Y

f(x) = log a x (0<a<1)

1 1

F ig u r a 2 7

obter a resposta a problemas como estes, mas tamb em para faci-

l i t ar calculos, explora ndo o fato de que logaritmos tr an sforma m

produtos em soma s. Hoje em dia, e ma is provavel que a resposta

seja obtida com uma calculadora cient ıfica. Em am bos os casos, o

u su ar io de primeira viagem depar a-se com uma dificuldade: na o

h a t abelas de l ogarit m os na base 0,9, nem teclas na calculadora

para calcular tais logaritmos. As bases em que valores de logarit-

mos est ao usualmente tabeladas ou dispon ıveis em calculadorassao as bases 10 e e (a base dos logaritmos naturais ou neperianos).

Mas, na verdade, qua lquer base de logaritmos pode ser u sada pa-

ra calcular um logaritmo em qualquer outra base.

D e fa t o, com o v im os , log¼

0,5 e a solucao da equaca o

0,9Ü = 0,5. Apli cando a s propri edades dos l ogarit m os em um a

base qualquer a, temos, sucessivam ent e

log

0,9Ü = log

0,5

x log

0,9 = log

0,5

x = log 0,5/ log 0,9

Logo, obtem os

log¼

0,5 = log

0,5/ log

0,9.




Se usam os logaritmos na base 10, obtemos

x = −0,30103/0,04576 = 6,57881.

Se preferimos logaritmos na base e, resulta

x = −0,69315 / − 0,10356 = 6,57881.

A respost a, nat ural m ent e, e a m esm a : s ao necessari as 6,57881

horas (aproximadamente 6 horas e 35 minutos) para que a quan-

tidade de cloro se r eduza a m et ade.

P r o b l e m a 5 . U m a pessoa deposi t a um a quant i a em um banco,

que a rem unera a taxa de 1% ao mes. E m quant os m eses a quan-

tia depositada dobra?

Apos n m eses, a quant i a deposit ada t era sido mu ltiplicada

por (1 + 0.01)Ò = 1,01Ò . Para que a quant i a dobre, devem os t er

1,01Ò = 2. Tomando logaritmos em uma base qualquer (por exem-

plo, na base 10), temos

n log 1,01 = log 2.

C om a u xılio d e u m a t a b ela ou d e u m a ca l cu l a dor a , ob t em os

log 1,01 = 0,00432 e log 2 = 0,30103 e da ı

n = 0,30103/0,00432 = 69,68.

Assim, seria necessari o esperar 70 m eses para que a quant i a do-

bre.

No fin a l da r es olucao do Pr oblema 4, concluımos que log¼

0,5 =

log

0,5/ log

0,9, onde a e qua lquer real positivo e diferente de 1.

De modo gera l

log

x = log

x/ log

b,

para quai squer numeros positivos a, b, c (com a = 1 e b = 1).

E s t a ultima identidade e bem conhecida como a “f orm ul a de

muda nca de base” dos logaritmos. O que na o e m ui t o dest aca-

do e qu e ela m ostr a que d ua s fun coes logar ı tmicas quaisquer sa o




X

Y

log a x

og b x

A

Ba

A

Bblog=

F ig u r a 2 8

sem pre m ul t iplas u m a da out ra. D e fat o, a f ormula nos diz que

log

x = k log

x, onde a const an te k e igua l a 1/ log

b. A Figura 28

ilustra este fato.

Uma consequ encia da discussao acima e q u e a s fun coes expo-

nenciais tambem est ao todas relaciona das entr e si . De fato, se a

e b sa o n um eros positivos e diferen tes de 1, temos

a Ü = blog

Ü

= b log

µ Ü .

Logo, existe u ma const an te k = log

a t al que

a Ü = b Ü .

Portanto, a exemplo do que ocorre com os logaritmos, quando

tr a ba lha mos com fu ncoes exponenciais podemos sempre expressa -

las u san do nossas bases favoritas. Na maior part e dos casos, pre-

ferimos trabalhar com a base e, pelas razoes explicadas a seguir.

Assim, ao inve s de cara cteriza rm os as funcoes do tipo exponen cial

como sendo aquelas da forma f(x) = ba

Ü

, poder ıamos, equivalen-tement e, car acteriza-las como sendo da form a f(x) = be Ü .

A prefer encia pela base e se deve ao fato de que o coeficien-

t e k na expressa o be Ü tem u ma importa nt e int erpr eta cao. Como

vim os, fu n coes do tipo exponencial t em a propriedade fundamen-

tal de que sua variacao relativa em intervalos de comprimento




constante e consta nte. Em part icular, sua taxa de variacao i ns-

t a n t an ea (que e o valor d a d er ivad a d a fu n cao no inst an te conside-

rado) e pr oporciona l ao seu valor na quele inst an te. Mas a fun ca o

derivada de f(x) = be Ü e f (x) = bke Ü = kf (x). Portan to, k =

Ü µ

Ü µ

para todo x. Ou seja, k e a razao consta nte ent re o valor da t axa de

va r ia cao i nst ant an ea de u ma fun cao do tipo exponencial e o seu

valor no pont o considera do.

Pr o b l e ma 6 . No Problema 1, vimos que a qu an tidad e de cloro na

piscina apos t horas e dada por c(t) = 1000

×0,9Ø .

a) Es creva est a fun cao na form a c(t) = be Ø .

b ) Q u a l e a t axa inst an t an ea de escoam ent o de cloro no insta n-

te inicial?

Repetindo o pr ocesso a cima, tem os

0,9Ø = elog

¼

Ø

= eØ log

¼ = e ¹ ¼ ½ ¼ ¿ Ø .

Logo,

c(t) = 1000 · e

¹ ¼ ½ ¼ ¿ Ø

.A t axa de varia cao de cl oro no i nst ant e i ni ci al e obt ida m ul t i-

pl i cando a quant i dade ent ao existente (1000) m ultiplicada pela

constante k (−0,10536). L ogo, o cl oro est a se escoando a t a x a

i nst ant a n e a d e 1 0 5 g p or h or a . N ot e q u e is t o nao significa que

105 g de cloro s erao eliminada s na primeira hora, pois a ta xa ins-

t a n t a n e a n a o e consta nte.





1. Es tim a-se qu e a popula cao de um a cidade cresca 2% a cada 5

anos.

a ) Q u a l e o crescimento estimado para um per ıodo de 20 an os?

b) E em um per ıodo de t anos?

2. As bact erias em u m recipient e se reproduzem de forma t al que o

au mento do seu n um ero em u m int ervalo de tem po de compr imen-

to fixo e proporcional ao n umer o de bacterias presentes no in ıcio

do intervalo. Suponhamos que, inicialmente, haja 1000 bact erias

no recipiente e que, ap os 1 hora, est e n u m e r o t en h a a u m e n t a d o

para 1500. Q uant as bacterias haver a cinco horas apos o in ıcio do

experimento?

3. A lei do resfriamento de Newton estabelece que, quando um

corpo e colocado em um ambiente mantido a t em perat ura cons-

t ant e, sua t em perat ura varia de m odo a ser a m esm a do am bien-

te, a uma taxa proporcional a diferenca de t emperat ur a entr e ocorpo e o a mbiente. Uma peca de m eta l a 120◦ e colocada sobre a

bancada do labora torio, mantido a t em perat u ra const an t e de 20◦.

Dez minut os depois, verificou-se que a tem pera tu ra da peca tinh a

se r eduzido para 80◦.

a) Q ual sera a temp era tu ra da peca um a h ora depois de ter sido

colocada na bancada?

b) Es boce o grafico que expr ime a t emp era tu ra da p eca a o longo

do tem po.

4. A meia vida do isotopo ra dioat ivo do carbono (C ½ ) e de 5500

anos. Q ue percent ual da m assa ori gi nal de C ½ rest ar a e m u m a

am ost ra apos 10000 a nos?





5. Q ual e a m e ia vid a d e u m m a t e r ia l r a d ioa t i vo q u e s ofr e

de sin t egr a cao de 20% de sua m assa em um perıodo de 1 ano?

6. O corpo de um a vıtima de assassinato foi descoberto as 23 ho-

r a s . O m edico da polıcia chegou as 23:30 e imediatam ente tomou

a t em perat u ra do cadaver, que era de 34,8◦. U m a hora m ai s t arde

ele t om ou a t em perat ura out ra vez e encont rou 34,1◦. A t e m p e-

r a t u r a d o qu a r t o e r a m a n t i da con s t a n t e a 20◦. U s e a l ei d o r e s -

friament o de Newton para estimar a hora em que se deu a m orte.

Admita que a tempera tur a n orma l de uma pessoa viva e 36,5◦.

7. A agua de um reservat orio se evapora a t axa de 10% ao mes .

Em quan to tempo ela se r eduzir a a um ter co do que era no in ıcio?

8. Em uma caverna da Fra nca, famosa pelas pintur as feita s por

homens pr e-hist oricos, fora m encontr ad os peda cos de carvao ve-

getal, nos quais a radioatividade de C ½ er a 0,145 vezes a r adioati-

vidade nu m peda co de car vao feito hoje. Calcule a idade do carva o

e de uma estimativa para a epoca em que a s pintu ra s fora m feita s.

9. Fora m injetadas 20 mg de uma certa droga em um paciente. A

t axa i nst ant an ea de elimina cao da droga, i m ediat am ent e ap os a

in je ca o, e de 5 mg por hora. Qual e a meia-vida da droga? (Cuida-

do! A resposta n ˜ ao e 2 horas.)

10 . O gr a fico d a fun cao da Figura 29 foi desenhado utilizando-se

uma escala logar ı tmica para o eixo Y (ou sej a, as ordenadas no

gr afico rep res ent am o logar itm o decima l dos valores da funcao).

a) Mostr e que o gra fico de u m a fun ca o f neste t ipo de represen-

t a ca o e um a ret a se e som ent e se el a e do tipo exponencial

(f(x) = baÜ ).

b ) Q u a l e a fu n cao representa da pelo grafico da figura ?

11. No problema da piscina (Problema 1), verifique que a taxa

i nst ant an ea de var iacao da quant i dade de cl oro no i nst ant e t e

igual a −c(t) · Ú

Î

. U tilizand o este fat o e o resu ltado do Problema 6,

determine com que vaza o a agua pura ingressa na piscina.




1 2 3 4 51

0

10

100

1000

10000

X

Y

F ig u r a 2 9



Ca pıtu lo 4

Ap lica coes da Trigonometria

Os livros didaticos para o ensino m edio dedicam muita s p aginas

ao ensino da t rigonometria. E ntr etan to, nao fica claro nem par a o

aluno, nem pa ra o professor, para que serve este abunda nte mat e-rial. Vam os m ostr ar aqu i alguma s a plicacoes em sit u a coes reais

e, par a resolver os pr oblemas, necessitar emos apen as das relacoes

trigonom etricas no trian gulo ret an gulo, da lei dos cossenos e da lei

dos senos.

Nes t as a plicacoes estaremos calculando senos, cossenos e tan-

gentes de angulos e cabe aqui um esclarecimento ao leitor. Quan-

do escrevem os por exemplo sen 30◦, querem os dizer seno do angulo

cuja medida e 30◦, ou seja, estamos identificando o angulo com

s u a m e did a . I s t o e pr a t i co e n a t u r a l . P a r a an gulos agudos, es-

t a s fun coes tr igonom etricas sao defini das at r aves das tradicionais

r a zo e s e n t r e l a d o s d e u m t r i angul o ret angul o e, para qual querangulo obtuso x (quer dizer: angulo cuja medida x es t a e n t r e 90◦

e 180◦), defin imos sen x = sen (180◦ − x) e cos x = − cos(180◦ − x).

E isto e tu do o que pr ecisamos.

Desde a a ntiguidade e at e hoje, o homem sem pre teve a neces-

sidade de avaliar distan cias inacessıveis. Na verdade, sao m ui t o

poucas as di st anci as que podem ser m edi das di ret am ent e, com

uma trena, por exemplo. Praticamente tudo que o desejamos sa-

ber sobre dist an cias no mu ndo em que vivemos e calculado com o

a u xılio da t rigonometr ia.

O problema basico, e que estar a sem pre present e em t odas assit u a coes, e o da r es oluca o de u m t r iangulo. Mas, o que significa

ist o? O s elem ent os pr i nci pai s de um t riangul o sao seus lados e

seus an gulos. Resolver um t rian gulo significa determ inar 3 desses

elementos quan do os outr os 3 s ao dados (desde que n ao sejam os

t r es angulos). Este problema basico, d ependen do dos da dos, pode

64



Aplicac ˜ oes da Trigonometria 65

t e r u m a u n ica solu cao, pode ser imposs ıvel ou pode ter mais de

u m a solu cao e voce poder a ver ificar isto nos pr oblemas qu e vamos

discutir.

Para m edi r um a di st ancia inacessıvel n ecessitar emos de uma

trena , que nada m a i s e q u e u m a fi t a m etrica comprida que possa

medir dist an cias r elativamente pequenas no plano horizonta l e de

u m teodolito. Um teodolito e um inst ru m ent o que m ede angulos,

t an t o no pl ano hori zont al quant o n o plano vert i cal . T rat a-se de

um a l unet a, apoi ada em um t ri pe que pode fornecer os seguintes

dados:

a) Se o observador T ve um obj et o P, el e pode det erm i nar o

an gulo que a r eta TP faz com o plano h orizont al.

P

T θ

F i g ur a 3 0




b) se o observador T ve um objeto A e gi rando a l unet a ve u m

objeto B, ambos no plano horizontal, ele pode determinar o

angulo ATB.

T

A

B

θ

F i g ur a 3 1

A trena e o teodolito s ao instrumentos equivalentes a r egua

graduada e ao t ra nsferidor quando t rabal ham os no papel. A t re-

na de hoje e a da an tiguidade diferem a penas do mat erial em que

foram constru ıdas mas essencialmente, sao o m esm o i nst rum en-

to. En tret ant o, o teodolito de h oje e muito mais sofisticado que

o equi val ent e ant i go. E nest e pont o est a a difer enca. Hoje, po-

demos medir angulos com uma precisao muit ıssimo maior do que

antigamente.

Var ios pr oblemas que vamos a bordar fazem r eferencia a cida-

de do Rio de J an eiro. O m orr o do Corcovado, o m orr o do P ao de

Acucar, o at err o do Fl am engo e sua vist a a cidade de Niter oi do

out ro lado da B aıa de Guan abar a forn eceram situacoes interes-

sant es de medidas inacessıveis. Nestes problemas as medidas s a o

todas rea is.

P r o b l e m a 1 . Medir a altura do Pa o d e Acucar.

Medir a altur a de um morro distan te em relaca o a u m p l a n o

horizont al pr oximo e um problema permanente em toda a hist oria.

Ele fica facilitado se o observador puder an dar neste plano hori-

zont a l, e m dir ecao ao m orro, um a razoavel dist ancia, o que nem




sem pre e possıvel. Ma s, no caso do P a o d e Acucar o ater ro do Fla-

men go forn ece u m plano h orizont al especial par a este objetivo.

Enunciado: Um observador est a em um ponto A do aterr o do Fla-

men go e ve o P a o d e Acucar segundo um an gulo de 10◦ com o pla no

horizonta l (medido com o teodolito). Ele a nd a em direcao ao seu

objetivo at e u m p o n t o B dist ant e 650 m de A e a g o r a ve o P a o

de Acucar segundo um an gulo de 14◦. Q u a l e a a lt u r a d o Pao de

Acu car em r ela cao a o pla n o de obse r va ca o?

P r o b l e m a 2 . Medir a dist an cia de um pont o do Rio de Ja neiro aum ponto visıvel de Niter oi.

O segundo problema importante e o de m edi r a di st ancia de

um ponto a out ro inacessıvel no plano horizontal. Para calcular a

dist ancia de um pont o A (onde est a o observador) a um ponto P,

inacessıvel, e preciso que este observador possa se locomover para

um pont o B no plano horizonta l de onde possa ta mbem ver P.

Enunciado: D e um pont o A na prai a do Flam engo no Ri o de J a-

neiro, avista-se um ponto P n a p r a ia d e I ca r a ı em Niter oi (estes

dois pontos est ao em lados opostos do can al de ent ra da d a Ba ıa deGuanabara). De um ponto B na Pr aia do Flamengo, distan te 1 km

de A t a m bem se avista o ponto P (Figura 32). Um observador no

Rio de Janeiro mediu os angulos BAP = 119◦ e ABP = 52◦. Q ual e

a dist ancia entre A e P?

P r o b le m a 3 . Medi r a di st ancia entre dois pontos, ambos ina-

cessıveis.

O problema anterior resolveu o caso de medir uma dist ancia

ent re um pont o (acessıvel) a um outro inacessıvel. Vam os ago-

r a t r a t a r d e m e d i r u m a d i s t ancia no plano h orizonta l ent re doispontos ina cessıveis ao observa dor.

Enunciado: D e um a pra ia e possıvel ver duas ilhas X e Y . Um ob-

servador assinala nesta praia dois pontos A e B distantes 1 km en-

t r e s i, e com s eu in s tr u m en t o m ed e os s egu in t es angulos:




Flamengo

IcaraíRIO DEJANEIRO

NITERÓI

Baía de

Guanabara

A

B

P

F i g ur a 3 2

XAY = 62◦, YAB = 54◦, ABX = 46◦ e XBY = 74◦. Q u a l e a dist ancia

e n t r e X e Y ?

P r o b l e m a 4 . Medir o raio da Terr a.

Desde a an tiguidade, este pr oblema est eve present e na cabeca

dos matem a ticos. Divers a s s olu coes apar eceram m as os result a-

dos frequent em ent e n ao eram bons pois se exigia a medida entr e

dois pontos m uito afastados, o que era mu ito dif ıcil de fazer com

precisao, ou a medida de an gulos muito pequenos, o que era mais

dif ıcil ainda. Em meados do s eculo XX ja havia instrumentos que

podiam medir angulos com precisao de 1 cent esimo de grau, mas

hoje os instrumentos eletr onicos t em precisao inimagina ve l. O

problem a a segui r, exi ge apenas um i nst rum ent o r elat i vam ent eantigo.

Enunciado: A m ont anha onde est a o Cristo Redentor no Rio de

J anei ro est a a 703 m de a ltur a em r elacao ao n ıvel do mar. La de

cima, um observador ve o h orizonte (no ma r) segundo um angulo




de 0,85◦ com o plano horizontal. Encontre uma medida aproxima-

da par a o rai o da T erra .

P r o b l e m a 5 . Ainda o ra io da Terra .

U m a bela t en t a tiva d e m ed ir o r a io d a Ter r a d eve-s e a

E r a t osten es n o terceiro s eculo ant es de Cr isto. Medidas fora m fei-

tas nas cidades de Assu a e Alexan dria, n o Egito, que est ao a proxi-

madamente no mesmo meridiano terrestre, e por rara felicidade,

Assu a est a quase sobre o tr opico de Can cer. Ist o quer fizer que no

primeiro dia do verao, ao meio dia, os ra ios solares sao perfeita-

ment e verticais. Na quele tempo, uma un idade comum para medir

dist an cias gran des era o estadio. O est adio era o compr iment o da

pista de corrida utilizada nos jogos olımpicos da antiguidade (de

776 a 394 aC.) e era equivalente a 1/10 de milha, ou seja, aproxi-

mada ment e 161 m.

Enunciado: No dia do solst ıcio de ver a o , E r a t ostenes verificou

que, a o meio dia, o sol br ilhava diretament e dentr o de um poco

profun do em Assu a e, em Alexandria, a 5000 est adios ao norte de

Assu a, al gu em m edi u o angulo que os raios solares faziam com

a vertical, encontr an do 1/50 do cırculo. Com base n estes dados,calcule o ra io da Terr a.

P r o b l e m a 6. O problema da corrida.

Os dados e o objetivo deste interessante problema s ao os se-

guintes. Um corredor A es t a sobre um a r et a r e corr e sobre ela n o

sentido AX. U m corr edor B n ao est a em r e, corr endo em linh a r e-

ta , pret end e alcan ca r A (Figur a 33). Sen do a part ida simulta n e a ,

qu e dir ecao deve tomar B se a s velocidades d e am bos s ao conh eci-

das?

Enunciado:

1) Considere BAX = 110◦, velocidade de A igua l a 8 m/s e ve-

locidade de B igua l a 9 m/s. Determine o a n g u lo qu e a t r a -

jet oria de B deve fazer com a reta BA para que o encont ro

seja possıvel.




r X A

B

?

F i g ur a 3 3

2) Considere BAX = 110◦, velocidade de A igua l a 8 m/s, velo-

cidade de B igua l a 8,1 m/s e AB = 50 m . Sendo B um cor-

redor inteligente, determine que dist an cia ele percorr eu a t e

a lca n ca r A.

P r o b l e m a 7 . Novamente a corrida, mas um fato muito estranho

acontece.

Enunciado: C onsi derando ai nda a Fi gura 33, sej a BAX = 60◦.

O corredor A tem velocidade 15% maior que a de B. P ore m , o

corredor B e int eligente, planejou cuidadosamen te sua tra jetoria,

e a lcan cou o corr edor A no ponto C d a r e t a r. C alcul e o angulo

ABC.

Observac ˜ ao: voce vai encontrar dois valores para o angulo ABC.

Ambos sao possıveis? Por que ocorre isto?

P r o b l e m a s S u p l e m e n t a r e s∗

1. No problema da corrida, se os corredores A e B tivere m veloci-

dades igua is, como B deve plan ejar sua tr ajetoria?

2. No problema da corrida, BAX = 50◦, velocidade de A = 9m/s e

velocidade de B = v. Determine para que valores de v o encontro

e possıvel.





3. U m a est rada que est a sendo constr u ıda em um plano horizon-

tal e ser a formada pelos trechos retos XP, PQ e QY como mostra a

Figura 34. No trecho PQ ser a constru ıdo um t unel para at raves-

sar a m ont an ha. O s engenheiros devem saber t an t o em P q u a n t o

em Q, qu e dir ecao devem tomar para constr uir o tunel AB de for-

ma que o tr echo PABQ seja reto. Eles ent ao fixara m um ponto C do

plano h orizont al, visıvel ta nto de P quant o de Q e det erm i nara m

as seguintes medidas: CP = 1,2 km , CQ = 1,8 km e PCQ = 27◦.

Calcule os angulos CPQ e CQP.

C

P

Q

x

y

A

B

F i g ur a 3 4

Par a calcular a altu ra do morr o do Corcovado no Rio de J an eiro

n ao foi possıvel utilizar o m etodo ut ilizado no Pr oblema 1, qua ndo

medimos a a ltura do P a o d e Acucar. Na o h a como se apr oxima r do

Corcovado cam inh an do em su a direcao em um plano horizontal.

Temos ent ao que bu scar um a out ra soluca o.

4. N a Fi gura 35, voce ve u m a p eq u en a p a r t e d o b a ir r o d o J a r -

dim Bot anico do Rio de Janeiro. Na avenida Borges de Medeiros,

a bei ra da L agoa R odri go de Frei t as, e port ant o quase ao nıvel

do mar, fixamos dois pontos A e B de onde se avist a o pont o C,




cume do Corcovado e pe d a e st a t ua do Cri st o R edent or. Sendo

P a in t er se cao da perpen dicular tr acada por C ao plano horizon-

tal que cont em A e B, considere os seguintes dados: AB = 660m ,

CAP = 29,7◦, CBP = 30,6◦, PAB = 70,5◦, PBA = 77,9◦. Calcule a

altu ra do morro do Corcovado.

A

P

B

L R

F

AGOA ODRIGO

DE REITAS

C RRISTO EDENTOR

F i g ur a 3 5



Ca pıtu lo 5

U m a In t r odu cao ao

Calculo de Volumes

Para introduzir o conceito de volume, o professor deve, antes dequa lquer t ent at iva de um a defin icao form al, apresentar um a idei a

intuitiva e fornecer diversos exemplos para que os alunos possam

com preender do que vai se falar. E qual e a primeira coisa que

devemos dizer? Nao nos ocorre nenhuma outra frase melhor que

a seguinte:

Vol um e de um s´ olido ´ e a quantidade de espaco por ele

ocupada.

Com esta ideia, in u me r a s compa r a coes provocativa s podem ser

feitas. Dadas duas caixas, qual delas tem maior volume? Quem

tem m aior volume: Mar ia ou Pedro? Observando um a pa nela pe-quena e uma garrafa, que objeto parece ter maior volume? Uma

bola de futebol ou uma caixa de sapatos?

Mu ita s comp a r a coes sa o obvias, out ra s n ao. No caso da p an ela

e da gar ra fa, pode-se encher a ga rr afa com agua e despejar dent ro

da panela. Para comparar volumes de objetos impermeaveis pode-

mos mergulh a-los, um de cada vez, em um reservat orio contendo

a g u a a t e o bordo e comparar a quantidade de agua que t ra nsbor-

d ou . S e t i ve r m os u m r e s er v a torio cilındrico de vidro, podemos

colar em su a pa rede u ma escala de nossa escolha e, com ela m edir

volumes de pequenos objetos impermeaveis, como uma pedra deform at o irregular, por exemplo.

Este tipo de experiencia e um elemento motivador par a o estu-

do dos volumes e pode at e ser eventu almente de alguma utilidade

pr atica, mas na maioria dos problemas que teremos que enfren-

tar, e totalmente in util . Por exemplo, o mestr e de obras precisa

73




saber o volume de concreto que sera ut ilizado n a cons tr ucao das

colunas, vigas e lajes de u m edif ıcio. A forma e a s dimensoes de

cada um destes objetos est ao na plant a e o calculo do volum e deve

ser feito ant es que o edif ıcio exista. Alguns objetos sao pequenos

demais, ou grandes demais, ou s ao inacessıveis ou, simplesmen-

te, n ao existem concretament e. Sentimos en t ao a necessidade de

obter m et odos para o calculo de volumes, pelo menos de objetos

simples, conhecendo sua forma e suas dimensoes.

Para medir esta grandeza chamada volume, devemos compar a -

la com uma unidade e, tradicionalmente, a unidade de volume e o

cubo cuja aresta mede uma unidade de comprimento, denominado

de cubo unit ar io. Por exemplo, se um cubo tem 1 cm de a rest a, seu

volume e a u ni dade cham a da de cent´ ımetro c´ ubico (cm ¿ ).

1

1

1

1 unidade de volume

Fi g u r a 3 6

A ssi m , o vol um e de um s ol i do deve ser um n um ero que ex-

prima quantas vezes ele cont em o cubo unit a r i o. E s t a e a i dei a

que devemos ter par a desenvolver o estu do dos volum es m as, con-venham os que a inda t em u m significado mu ito vago. Por exem-

plo, quantos cubos unit ari os de 1 cm de ar est a cabem dent ro de

um a panel a? N ao saber ıamos dizer. En tr etan to, esta ideia inicial

vai nos perm it i r cal cul ar preci sam ent e o vol um e de um paral e-

lepıpedo ret an gulo, ou simplesment e, um bloco reta ngular.



Uma Introduc ˜ ao ao Calculo de Volumes 75

1 O v o lu m e d o b lo c o r e ta n g u la r

Imaginemos inicialmente umm bloco retangular com dimens oes

4 cm, 3 cm e 2 cm. Qua l e o seu volume?

4

3

2

Fi g u r a 3 7

Observando o desenho, n a o h a duvida que este bloco pode ser

dividido em 4×3×2 = 24 cubos unit ar ios e, port an to, seu volum e e

de 24 cm ¿ . A maioria dos livros didat icos bra sileiros u sa u m exem-

plo como este par a “concluir” que o volume de u m par alelepıpedo

r et angulo qualquer e o produt o de suas dim ensoes. Este chute edif ıcil de aceitar. O que ocorre se as dimens ao do bloco n ao forem

inteiras? Continua valendo o produto? Por que?

E st a certo que em muitas ocasioes o professor n ao pode fazer

em sa la de au la um a dem onst ra cao completa de cada um dos con-

t eudos exigidos n o progra ma do ensino medio. Mas, se n ao o fizer,

deve oferecer algo mais que a f orm ula pronta ou o decreto publi-

cado n o livro didat ico. Vejamos u m exemplo.

E x e m p l o . Calcule o volum e do bloco ret an gular de 5,6 cm de com-

primen to, 4,7 cm de largu ra e 2,0 cm d e altu ra (Figur a 38).

Para resolver este problema, dividamos cada aresta do cubo

uni t ari o (com 1 cm de arest a) em 10 part es i guai s (Fi gura 39).

Tr a ca n do pelos pont os de divisao plan os pa ra lelos as faces, dividi-

mos esse cubo unit ario em 1000 cubinhos de aresta 1/10.




5,6

4,7

2

Fi g u r a 3 8

1

1

10

_

Fi g u r a 3 9

N at ur al m ent e que o vol um e de cada cubinho e v = 1/1000, e

e f acil contar quantos destes cubinhos enchem o bloco retangular

dado: sa o 54 × 47 × 20 cubinh os. Logo, o volum e d o bloco ret an -

gular e igua l ao n um ero de cubinh os mu ltiplicado pelo volume de

1 cubinho, ou seja, 56 × 47 × 20 × 11000

= 5,6 × 4,7 × 2,0.

Este singelo exemplo confirm a o produto das dimensoes para

o calculo do volume do bloco r etan gular e cont e m a e s sencia do

qu e e n ecessar io par a a demonstr acao no caso em que a s m edidas

das arest as sa o n um eros ra ciona is (veja o Problema 1 pr oposto no




final deste capıtulo).

Para o caso gera l, onde a s m edidas das ar estas do bloco retan -

gul ar sa o n umeros reais positivos quaisquer, o volume e a i n da o

produto dessas medidas e, para demonstr ar, usar emos o teorema

funda men ta l da pr oporciona lidade. O roteiro par a a demonstr aca o

es t a n o Problema 2.

Considerem os p ort an to esta belecido que o volume de u m bloco

ret angul ar cuj as arest as m edem x, y e z, e da do por V = xyz.

2 A d efi n ic ˜ a o d o v o l u m e

C ham arem os de pol i edro ret angul ar a t odo s olido form ado pela

r e u n iao de um n umero finito de blocos retangulares justapostos.

Fi g u r a 4 0

O volume de u m poliedro reta ngula r e a soma d os volumes dos

blocos r eta ngula res que o const ituem . Vam os ent ao definir o volu-

m e d e u m s olido S qualquer utilizando os poliedros r etan gulares

cont idos em S.




Seja V o volume de S e seja v(P) o volume de u m poliedro re-

t angul ar P cont ido em S. O n u m e r o V n a o e ainda conhecido mas

deve satisfazer a con dica o v(P) ≤ V para todo poliedro retangu-

la r P cont ido em S. Par a cada poliedro retan gular P cont ido em S,

m a s n ao igual a S, e possıvel sempre obter um poliedro reta ngu-

la r P , maior que P e a inda contido em S. B ast a acrescent ar a P

novos blocos retangulares que ainda estejam dentro de S. Port an -

t o, v(P) < v(P ) ≤ V , o que qu er dizer qu e v(P) e u m a a pr oxima ca o

por falta para o volume de S e v(P ) e um a ap roximacao melhor

par a este r esultado. Cont inuan do este procediment o, obteremos

a pr oxim a coes cada vez melhores par a o volume de S e essa idei aconduz a d efi n ica o: V = v(S) ´ e um n ´ um ero real cujas aproxim ac˜ oes

por falta s˜ ao os volumes dos poliedros retangulares contidos em S

(veja o Problema 3 para comenta r ios s obre es t a d efin icao).

3 S o l id o s s e m e l h a n t e s

Seja B(x,y,z) um bloco ret an gular de dimen soes x, y e z. Os blocos

B(x,y,z) e B (x , y , z ) sa o semelhantes se, e somente se, x = kx,

y = ky e z = kz p a r a a l g u m numer o real positivo k, cham ado

raz ˜ ao de sem el hanca (ou fat or de a mp liacao). Os volumes de Be B sao t ai s que v(B ) = kx · ky · kz = k¿ xyz = k¿ v(B), ou seja,

m ul t ipli cando a s arest as de B por k, seu volume ficou multipli-

cado por k¿ (Fi gura 41). E st e resul t ado val e nat u ral m ent e para

poliedros retangulares semelhantes P e P , e levando em conta a

defin icao de volume, vale tam bem para doi s solidos semelhantes

quaisquer:

A raz a o en t re os v olu m e s d e s ´ olidos sem elhantes ´ e

o cubo d a raz ˜ ao de sem elhan ca.

Os argum entos acima n ao est ao demonstr ando este import an -t ıssimo resultado. Eles estao apenas m ost ran do as i deias neces-

sar ias pa ra a dem onst ra cao. Para real i za-la, o conceito de seme-

lh a n ca e fundamental e para conhecer ou rever este assunto, reco-

mendamos a leitura do livro “Medida e Forma em Geometria” do

prof. Elon Lages Lima (p. 33 e 55).




S

S’

xy

z

kx

ky

kz

Fi g u r a 4 1

4 O P rin cıp io d e C a v a lieri

O calculo dos volumes dos diversos solidos so va i ava nca r com

esta n ova ferra ment a. Imagine inicialment e um s olido qualquer S

apoiado em um plano horizontal H. Im agine t am bem que S t e n h a

sido cort ado por plan os pa ra lelos a H em fatias muito finas, todas

d e m e sm a a l t u r a . O bs er v e en t a o q u e o solido S pode m udar deforma qua ndo deslizam os ligeira men te cada fat ia em relaca o com

a que est a abaixo dela. Podemos assim obter um outro solido S ,

diferente de S, m a s com o mesmo volum e de S, uma vez que eles

sao const itu ıdos das mesmas fatias (Figura 42).

S S’

H

Fi g u r a 4 2




Esta ideia inicial ja nos conduz a dois importantes resultados.

a ) D o i s p r i s m a s d e m e s m a b a s e e m e s m a a l t u r a t em m esm o

volume (Figura 43).

Fi g u r a 4 3

b ) D u a s p i r a m i d e s d e m e s m a b a s e e m e s m a a l t u r a p o s s u e m

mesm o volume (Figur a 44).

Fi g u r a 4 4

As si t u a coes que acabamos de apresenta r constituem um caso

bast ant e part i cul ar do princıpio que vam os en un ciar. Aqui, fat ias

que est ao na mesma a ltura nos dois solidos sao congruentes. Mas,

em u m a s itu a cao ma is geral, considera ndo dois solidos quaisquer

A e B (Figur a 45), se as duas fatias que estiverem na mesma altu-

ra t i verem m esm a a r e a e n t ao, como possuem mesma espessura,t er ao muito aproximadamente volumes iguais. Tanto mais apro-

ximadamente quanto mais finas forem. Sendo o volume de cada

solido a s oma dos volum es da s r espectivas fatia s, e a a pr oxima ca o

entr e os volumes da s fatias podendo torna r-se t ao precisa quanto

se deseje, conclu ımos que os volumes de A e B sao iguais.




h

A B

S A B

S

Fi g u r a 4 5

O P r i n cı pi o de Ca v a l i e r i e enu nciado da seguinte forma :

Sejam A e B dois s ´ olidos. S e qualquer plan o horizontal

secciona A e B segundo figuras pl anas de m esm a ´ area,

ent ˜ ao estes s´ olidos tˆ em volumes iguais.

E preci so deixar cl aro ao l eit or que o Pr i ncıpio de Cavalieri

n ao pode ser demonstrado com apenas os recursos da Matem atica

elementa r. Ele deve ser incorporado a teoria como um axioma,

m as os argum ent os ant eri ores sao bastante intuitivos e convin-centes. Os exercıcios que se seguem, complementam o texto, su-

ger em dem onst r a coes e a lgum a s a plicacoes.

5 Co m en ta r i o fi n a l

Nos livros didaticos brasileiros, este assunto e apresent ado, em

geral , de form a bast ant e i nsat isfat ori a. Muit os sequer di zem o

que significa calcular um volume e vari os chut am , sem do nem

piedade, todas as f ormu las. Alguns citam o Pr incıpio de Cavalie-

r i , m a s n ao o utilizam corr etam ente, e outr os n em isto fazem. Oimportant ıssimo conceito de sem elha nca n a o e abordado por ne-

nhum deles e, por consequ encia, a teoria presente nesses livros e

quase ininteligıvel.

Para refer encias adequ ada s a o professor do ensino medio reco-

mendamos:




• “Medida e Forma em Geomet ria” – Elon Lages Lima – SBM

• “A Ma te m atica do Ensino Medio”, vol. 2 – 4 autores – SBM





1. Demonstr e que o volume de u m bloco reta ngular cujas medidas

das arest as sa o n umeros racionais e o produt o das tr es dimensoes.

S ugest ˜ ao: Tr es n umeros racionais sempre podem ser expressos

com o fr a coes de mesmo denominador. Considere ent ao como di-

m ensoes do bloco ret an gular os n umeros a/d, b/d e c/d, e mos-

tr e que o volume e o produto dessas t r es dimensoes.

2. Mostre que o volume de qualquer bloco retangular e o produtode suas dimensoes.

S ugest ˜ ao: Verifique que se du as dimen soes do bloco ficam cons ta n-

tes, o volume e proporcional a terceira dimensao. Use o teorema

fundamental da proporcionalidade (Capıtulo 1 desde livro) para

concluir o resultado.

3. Exp lique me lhor a d efin icao que demos par a o volume V de um

solido qua lquer S: V = v(S) ´ e o n ´ umero real cujas aproximac˜ oes

por falta s ˜ ao os volum es dos poliedros retan gulares cont idos em S.

4. Uma quest ao do vestibular da UF RJ era a ssim: desman cha ndo

um brigadeiro (um a bola d e ma ssa de chocolate) de ra io R, quant os

brigadeiros de raio R/2 podemos form ar ?

5. U m a l oja para t uri st as vende m ini at uras da esta t ua do Cri st o

Redentor feita s em gesso, um as com 10 cm de a ltur a e out ra s com

15 cm de al t ura. Se as m enores pesam 120 g, cada um a, quant o

pesam as maiores?

6. Demonstre que o volume de um prisma qualquer e o produt o

da area da base pel a al t ura.

7. D i vi da um pri sm a t ri angul ar em t r es pir am i des t ri angulares

de mesm o volume (Figura 46).





Fi g u r a 4 6

8. Demonstr e que o volume de qualquer piramide e a ter ca pa rt e

do produto da area da base pel a al t ura.

9. Por que o volume de um cilindro de base circular com raio R e

al t ura h e πR ¾ h ?

10. Calcule o volume de um cone com base circular de raio R e

al t ura h .

11. Mostr e que o volume de um tronco de cone de altur a h cujas

bases sa o cırculos de raios R e r e da do por V =πh

3(R ¾ + r¾ + Rr).

12. Todos n os utilizamos frequen tem ent e dois t ipos de copos pl a s-

ticos descart aveis. Os m aiores pa ra agua ou r efrigera nte e os me-

nores para o caf e.

a) O bserve os doi s copos e de u m c h u t e b a s e a d o a p e n a s n a

in t u icao: quant a s vezes o vol um e do copo grande e maior

que o do copo pequeno?

b ) C o m u m a r egua, meca as dimens oes dos copos, calcule os

volum es e veja se a su a in tu icao estava pr oxima do resu ltado

correto.

13. Faca um a pesqu isa nos livros qu e voce dispoe e mostre como

se pode calcular o volume de uma esfera de raio R.



Ca pıtu lo 6

Combinat oria

1 P rin c ı p i o s ba s i c o s

O princıpio fun dam ent al da cont agem diz que se ha x modos de to-

mar uma decisa o D½

e, toma da a decisa o D½

, h a y modos de t oma r

a decisa o D¾

, ent ao o n umer o de modos de tomar sucessivam ente

as decisoes D½

e D¾

e xy.

E x e m p l o 1 . Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se

pode formar um casal?

S o l uc ˜ ao: Forma r um casa l equivale a t omar as decisoes:

D½

: Escolha do homem (5 modos).

D¾

: Escolha da mulher (5 modos).

H a 5 × 5 = 25 modos de formar um casal.

E x e m p l o 2 . U m a bandei ra e form ada por 7 l i st ras que devem

ser coloridas usan do-se apena s a s cores verde, azul e cinza. Se

cada listra deve ter apena s um a cor e n ao podem ser usadas cores

igua is em listra s adjacentes, de quan tos modos se pode colorir a

bandeira?

S o l uc ˜ ao: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada lis-

t r a . H a 3 modos de escolher a cor da primeira l istra e, a partir

da ı, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras.

A resposta e 3 × 2 = 192.

E x e m p l o 3 . Quantos sao os n umeros de tr es d ıgitos distintos?

S o l uc ˜ ao: O primeiro dıgito pode s er escolhido de 9 modos, pois n a o

pode ser igua l a 0. O segun do dıgito pode ser escolhido de 9 modos,

pois n ao pode ser igua l a o primeiro dıgito. O t erceiro d ıgito pode

85




ser escolhido de 8 modos, pois n ao pode ser igua l nem ao primeiro

nem ao segun do dıgitos.

A resposta e 9 × 9 × 8 = 648.

Voce ja deve ter percebido nesses exemplos qual e a est rat egia

para resolver problemas de Combinatoria:

1) P o s t u r a : Devemos sempre nos colocar no pa pel da pessoa

qu e de ve fazer a a cao solicitada pelo problema e ver que de-

cis oes devem os t om ar. N o E xem pl o 3, n os nos colocamos

no papel da pessoa que deveria escrever o nu m e r o d e t r esdıgitos; no Exemplo 2, n os nos colocamos no papel da pes-

soa que deveria colorir a bandeira; no Exemplo 1, n os nos

colocam os n o papel da pessoa que deveria form ar o casa l.

2) Div is ˜ a o : Devemos, sempre que poss ıvel, dividir as decisoes

a serem tomadas em decisoes mais simples. Formar um ca-

sal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher;

colorir a ban deira foi dividido em colorir cada listr a; form ar

u m n um ero de t r es d ıgitos foi dividido em escolher cada um

dos tr es dıgitos.

Vam os voltar ao exemplo ant erior — Qua nt os sa o os n umerosd e t r es d ıgitos distintos?—para ver como algumas pessoas

conseguem, por erros de estrat egia, tornar complicadas as

coisas ma is simples.

Comecan do a escolha dos dıgitos pelo ultimo dıgito, h a 10

modos de escolher o ultimo dıgito. Em seguida, h a 9 modos

de escolher o dıgito centr al, pois nao podemos r epetir o dıgito

ja usado. Agora temos um impasse: de quantos modos pode-

mos escolher o primeiro dıgito? A resposta e “depende”. Se

n ao t iverm os u sado o 0, haver a 7 modos de escolher o pri-

meiro dıgito, pois n ao poderem os u sar nem o 0 nem os doisdıgitos ja u sados nas dema is casa s; se ja t ivermos usado o 0,

haver a 8 m odos de escolher o primeiro dıgito.

U m passo im port an t e na est rat egia para resolver problemas

de Combinat oria e:



Combinatoria 87

3) N ˜ a o a d i a r d i fi c u l d a d e s . Pequenas dificuldades adiadas

costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma

das decisoes a serem t om adas for m ai s rest ri t a que as de-

mais, essa e a decisao que deve ser tomada em primeiro lu-

gar. N o E xem pl o 3, a escol ha do prim eiro dı gi t o era um a

decisao ma is restrita do que a s outra s, pois o primeiro dıgito

n ao pode ser igual a 0. E s s a e portanto a decisao que deve

ser tomada em primeiro lugar e, conforme acabamos de ver,

posterga-la so serve para cau sar problemas.

E x e m p l o 4 . O codigo Morse usa dua s letra s, ponto e tr aco, e a spal avras t e m d e 1 a 4 l et r a s . Q u a n t a s sao as pal avras do codigo

Morse?

S o l uc ˜ ao: H a 2 p a la v r a s d e u m a le t r a ; ha 2 × 2 = 4 pal avras de

dua s letra s, pois ha dois modos de escolher a primeira letra e dois

modos de escolher a segunda letra ; ana logamen te, ha 2×2×2 = 8

pal avras de t r es letras e 2 × 2 × 2 × 2 = 16 palavras de 4 letras. O

n um ero total de palavras e 2 + 4 + 8 + 16 = 30.

Ex e mpl o 5 . Qua nt os divisore s int eiros e positivos possu i o nu m e r o

360 ? Quan tos desses divisores sao pares? Q uant os sa o ımpares?

Quantos sao quadrados perfeitos?

S o l uc ˜ ao:

a ) 360 = 2¿ × 3 ¾ × 5. Os divisores inteiros e positivos de 360

sao os n umeros da forma 2« × 3 ¬ × 5- , com α ∈ {0, 1, 2, 3},

β ∈ {0, 1, 2} e γ ∈ {0, 1}. H a 4 × 3 × 2 = 24 m a n e i r a s d e

escolher os expoentes α, β e γ. H a 24 divisores.

b) Para o divisor ser par, α nao pode ser 0. H a 3 × 3 × 2 = 18

divisores pares.

c) Para o divisor ser ımpar, α d eve s er 0 . H a 1 × 3 × 2 = 6

divisores ı m pares. C laro que poderı am os t er achado essa

resposta subtr aindo (a)−(b).

d) Para o divisor ser quadrado perfeito, os expoentes α, β e γ

devem ser pares. H a 2×2×1 = 4 divisores que sao quadra dos

perfeitos.




E x e m p l o 6 . Quantos sao os n umeros pares de tr es d ıgitos distin-

tos?

S o l uc ˜ ao: H a 5 modos de escolher o ultimo dıgito. Note que come-

ca m os pe lo ultimo dıgito, que e o mais r estrito; o ultimo dıgito so

pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8.

Em seguida, vamos ao primeiro d ıgito. De quan tos modos se

pode escolher o primeiro d ıgito? A resposta e “depende”: se n a o

tivermos u sado o 0, haver a 8 modos de escolher o primeiro dıgito,

pois n ao poderemos usa r n em o 0 nem o d ıgito ja u sado na ultima

casa ; se ja t ivermos usado o 0, haver a 9 modos de escolher o pri-

meiro dıgito, pois apenas o 0 n ao poder a s er u s a d o n a p r i m eir a

casa.

Esse t ipo de impasse e comu m n a r esolucao de problemas e h a

dois m etodos para vence-lo.

O primeiro m etodo consiste em voltar atr as e cont ar separa-

damente. Contaremos separadamente os n um eros que t erm i nam

em 0 e os que n ao t erm i nam em 0. Comecemos pelos que t erm i-

n a m e m 0. H a 1 modo de escolher o ultimo dıgito, 9 modos de

escolher o primeiro e 8 modos de escolher o d ıgit o cent ral . H a

1 × 9 × 8 = 72 n um eros term inados em 0.

P a r a o s q u e n a o t e r m i n a m e m 0, h a 4 m odos de escol her oultimo dıgito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de esco-

lher o dıgito cent ra l. H a 4×8×8 = 256 n umer os que n ao t erm i nam

em 0.

A resposta e 72 + 256 = 328.

O segundo m etodo consiste em ignora r um a das rest ricoes do

problema, o que nos far a conta r em dema sia. Depois desconta re-

mos o que houver s ido cont ado indevidamen te.

Primeiramente fazemos de conta que o 0 pode ser usado na pri-

meira casa do numero. Procedendo assim, h a 5 m odos de escolher

o´ultimo d

´ıgito (s

´o pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8), 9 modos de escolhero primeiro dıgito (nao podemos repetir o d ıgito usado na ultima

casa — note que esta mos permitindo o uso do 0 na pri m eira casa)

e 8 m odos de es colher o dıgito cent ra l. H a 5×9×8 = 360 n umeros,

a ı in clu sos os qu e comeca m por 0.

Agora vam os det erm i nar quant os desses n u me r os come ca m



Combinatoria 89

por zero; s ao esses os n um eros que fora m cont ados indevidam ent e.

H a 1 modo de escolher o primeiro dıgito (tem que ser 0), 4 modos

de escolher o ultimo (so pode ser 2, 4, 6 ou 8 — lembre-se qu e os

dıgitos sao distintos) e 8 modos de escolher o dıgito central (n a o

podemos repetir os dıgitos ja usados). H a 1 × 4 × 8 = 32 n umeros

com eca dos por 0.

A resposta e 360 − 32 = 328.

E claro que este problema poderia ter sido resolvido com um

t r u q u e. P a r a d et e r m in a r q u a n t os sao os n um eros pares de t r es

dıgitos distintos, poder ıamos fazer os n um eros de tr es dıgitos me-nos os n umeros ı m pares de t r es dıgitos distintos.

Para os n umeros de tr es d ıgitos distintos, h a 9 modos de esco-

lher o primeiro dıgito, 9 modos de escolher o segundo e 8 modos

de escolher o ultimo.

H a 9 × 9 × 8 = 648 n umeros de tr es dıgitos distintos.

P a r a o s n umeros ım p a r e s d e t r es d ıgitos distintos, h a 5 m o-

dos de escolher o ultimo dıgito, 8 modos de escolher o primeiro e

8 modos de escolher o d ıgito cent ra l.

H a 5 × 8 × 8 = 320 n umeros ımpares de tr es dıgitos.

A resposta e 648 − 320 = 328.


1. Quantos s ao os gabaritos possıveis de um teste de 10 qu estoes

de m ultipla-escolha, com 5 alternativas por questa o?

2. Quan tos subconjuntos possui um conjunto que tem n elemen-

tos?

3. De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em

fila?





4. De quant os modos 5 h omens e 5 mu lheres podem se sent ar em

5 bancos de 2 lugar es, se em cada banco deve ha ver um homem e

um a m ul her?

5. De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas

n ao-adjacentes de um tabuleiro 8×8? E se os reis fossem igua is?

6. De quan tos modos podemos colocar 8 t orr es iguais em um ta-

buleiro 8×8, de modo que n ao haj a duas t orres na m esm a l i nha

ou na mesma coluna? E se as torres fossem diferentes?

7. De um bara lho comu m de 52 car tas, sa cam-se sucessivam entee s em r ep osicao dua s cart as. De quan tos modos isso pode ser feito

se a primeira cart a deve ser de copas e a segunda n ao deve ser u m

rei?

8. O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7 elementos.

Qu a n t a s fun coes f : A→ B existem? Quantas delas s ao injetivas?

9. a) De qua nt os m odos o n u m e r o 720 pode ser decomposto em um

produto de dois inteiros positivos? Aqui consideramos, na tur al-

mente, 8 × 90 como sen do o mesm o que 90 × 8.

b) E o n u m e r o 144?

10. Em um corr edor h a 900 arm ar ios, num erados de 1 a 900, ini-

ci alm ent e t odos fechados. 900 pessoas, n um eradas de 1 a 900,

atravessam o corredor. A pessoa de n u m e r o k reverte o estado de

todos os ar m arios cujos n umer os s a o m ultiplos de k. Por exemplo,

a pessoa de n u m e r o 4 mexe nos ar m arios de n umeros 4, 8, 12, . . . ,

abr indo os que en cont ra fecha dos e fecha ndo os que en contr a a ber-

tos. Ao final, quais arm ar ios ficar ao a bertos?

11. Dispomos de 5 cores distinta s. De quan tos modos podemos

colorir os quatro quadrantes de um cırculo, cada quadr an te comu m a so cor, se quadrantes cuja fronteira e u m a l inha n ao p odem

receber a mesma cor?

12. De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de

um alfabeto de 26 letra s, se a letra A deve figura r n a pal avra m a s



Combinatoria 91

n ao pode ser a primeira letra da palavra? E se a palavra devesse

ter letras distintas?

13. As placas dos veıculos sao forma das por tr es letr as (de um a l-

fabeto de 26) seguidas por 4 a lgar ismos. Quan tas placas podera o

ser form adas?

14. U m v a ga o d o m e t r o tem 10 bancos individuais, sendo 5 de

frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de fren-

te, 3 preferem sentar de costas e os demais n a o t em prefer encia.

De quan tos modos eles podem se senta r, respeita das as prefer en -cias?

15. Escrevem-se os inteiros de 1 a t e 2222. Q uant as vezes o al ga-

rismo 0 e escrito?

16. Q uant os s ao os inteiros positivos de 4 dıgitos nos quais o al-

garismo 5 figura?

17. E m u m a b a n ca h a 5 exemplar es igua is da “Veja”, 6 exempla-

res iguais da “Epoca” e 4 exemplares iguais da “Isto e”. Q uant a scolecoes n ao-vazias de revistas dessa banca podem ser formadas?

18. U m a t urm a t em aul as as segundas, quart a s e sext as, de 13h

a s 1 4 h e d e 1 4 h a s 1 5h . As m a teri as sao Mat em at i ca, F ısica e

Qu ımica, cada uma com du as au las seman ais, em dias diferentes.

De qua nt os m odos pode ser feito o hor ari o dessa t urm a?

19. O problem a do E xem pl o 1 — C om 5 hom ens e 5 m ul heres,

de quantos modos se pode formar um casal?—foi resolvido por

um alun o do modo a seguir: “A primeira pessoa do casa l pode ser

escolhida de 10 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Esco-

lhida a primeira pessoa, a segunda pessoa so poder a ser escolhida

de 5 m odos, pois deve ser de sexo diferen te do da primeira pessoa.

H a port ant o 10 × 5 = 50 modos de form ar um casa l.”

Onde est a o err o?




20. Escrevem-se n u m e r o s d e 5 dıgitos, inclus ive os com eca dos

em 0, e m c a r t oes. Como 0, 1 e 8 n ao se alteram de cabeca pa-

ra baixo e como 6, de cabeca par a baixo, se tr ansforma em 9 e

vice-versa , um mesm o car t ao pode r epresentar dois numeros (por

exemplo, 06198 e 86190). Qua l e o n um ero m ınimo de car t oes par a

representa r todos os n umer os de 5 d ıgitos?

S u g e s t ˜ o e s

2. Para formar um subconjunto voce deve pergunt ar a cada ele-men tos do conjun to se ele deseja par ticipar do subconjun to.

5. O ta buleiro de 64 casa s possui 4 casa s de cant o (vert ices), 24 ca-

sas l at erai s que n a o sa o vertices e 36 casa s centr ais. Cada casa

de cant o possui 3 casas adj acent es; cada l at eral possui 5 casas

adjacentes e cada centr al possui 8 casas adjacentes. Conte sepa-

ra damen te conform e o rei negro ocupe u ma casa de canto, later al

ou central.

6. Havera um a t orre em cada l inha .

7. Conte separadamente os casos em que a carta de copas e u m

rei e em que a cart a de copas n a o e um r ei.

8. Pa ra cons tr uir u ma fun cao, voce deve pergunta r a cada elemen-

to de A quem ele deseja flechar em B.

9. a ) 720 = 2 × 3¾ × 5 tem 30 divisores positivos. b) Note que

144 = 12 × 12.

10. O a r m ari o de n u m e r o k e mexido pelas pessoas cujos n um e-

ros sao divisores de k. U m a rm ar io ficar a aberto se for mexidou m n u m e r o ımpar de vezes. Lembr e-se que o n um ero de divisores

positivos de 2« × 3¬ × 5- × · · · e igua l a (α + 1)(β + 1)( γ + 1) · · · .

11. C ont e separadam ent e os casos em que os quadrant es 1 e 3

t em cores igua is e cores diferen tes.



Combinatoria 93

12. Note que n o caso em qu e sao p erm itida s rep eticoes, a condica o

da letra A figura r n a pal avra e t err ıvel, pois ela pode figur ar um a

so vez, ou duas, etc. Por isso e melhor conta r t odas a s palavras do

alfabeto e diminu ir as que n a o t em A e a s q u e comeca m p or A. N o

caso sem r epet icao, voce poderia tambem contar diretamente: h a

4 modos de escolher a posicao do A, 25 modos de escolher a letra

da primeira casa restante, 24 para a segunda casa restante, etc.

15. C ont e quant as vezes o 0 aparece nas uni dades, som e com o

n umero de vezes que ele aparece nas dezenas, etc.

16. Note que como sao p er mit idas rep eticoes, a cond icao do 5 fi-

gu r a r n o nu m e r o e t e r r ıvel, pois ele pode figur ar uma so vez, ou

dua s, etc. E melhor fazer todos os n umer os men os aqueles em que

o 5 n ao figura.

17. Pa ra form ar um a colecao, voce deve decidir quantas “Veja”

fa r a o pa r t e d a colecao, etc. N ao se esqueca de r etira r da sua con-

t a gem a colecao vazia.

18. H a 3 m odos de escol her os di as de Mat em atica; escolhidosos di as, di gam os segundas e quart as, h a 2 modos de escolher o

h or ar io da a ula de Matem atica da segunda e 2 modos de escolher o

h or ar io da au la de Matem at i ca da quart a. H a 2 modos de escolher

os dias da F ısica (n ao podem ser os mesmos da Matem atica sen a o

a Qu ımica ficar ia com a s a ulas no mesm o dia), etc.

20. H a t r es t i pos de cart oes: os que n ao podem ser virados de

cabeca pa ra baixo, os qu e vira dos de cabeca pa ra baixo cont inu am

represent an do o m esm o n um ero e os que vira dos de cabeca par a

bai xo passam a represent ar n um eros di ferent es. Se h a x, y e z

cart oes de cada um desses tipos, respectivamente, a resposta e

x + y +z

2·

E f acil calcula r y, z + y e x + y + z.




2 P ermu ta c ˜ oe s e co m bin ac ˜ o e s

H a alguns (poucos) problemas de Combinat oria que, embora se-

jam a pli cacoes do princıpio basico, aparecem com muita frequ en -

ci a. Para esses problem as, val e a pena saber de cor as suas res-

postas. O primeiro desses problemas e o:

P roblem a d as pe rmu tac ˜ o e s s i m p l e s : De quantos m odos pode-

mos ordenar em fila n objetos distintos?

A escolha do objeto que ocup ar a o primeiro lugar pode ser feita

de n modos: a es colha do objeto que ocup ar a o segundo lugar pode

ser feita de n − 1 modos; a escolha do objeto que ocupa r a o ter ceiro

lugar pode ser feita de n − 2 modos, etc.; a escolha do objeto que

ocupar a o ultimo lugar pode ser feita de 1 modo.

A resposta e n(n − 1)(n − 2) · · ·1 = n! .

C ada ordem que se d a aos objetos e ch a m a d a d e u m a permu-

tac ˜ ao simples dos objetos. Assim, por exemplo, a s perm ut acoes

simples das letras a, b e c sa o (abc), (acb), (bac), (bca), (cab) e

(cba).

Portanto, o n um ero de perm ut acoes simples de n objetos dis-

t i nt os, ou sej a, o n umero de ordens em que podemos colocar nobjetos distintos e P

Ò

= n! .

E x e m p l o 1 . Q uant os s ao os anagramas da palavra “PRATO”?

Qua nt os comecam por cons oant e?

S o l uc ˜ ao: Cada an agra ma corr esponde a um a ordem de colocaca o

dessas 5 letras. O n um ero de anagram a s e P

= 5! = 120.

Par a form ar um an agr am a comecado por consoan te devemos

primeiramente escolher a consoante (3 modos) e, depois, arrumar

as quat ro letra s resta ntes em seguida a consoan te ( 4! = 24 modos).

H a 3 × 24 = 72 an agr am as comecad os por consoan te.

E x e m p l o 2 . D e quant os m odos podem os arrum ar em fil a 5 l i -

vros diferentes de Matem atica, 3 l ivros diferentes de Estat ıstica

e 2 livros diferentes de F ısica, de modo que livros de uma mesma

m a t eria p er ma necam jun tos?



Combinatoria 95

S o l uc ˜ ao: Podemos escolher a ordem das mat eri as de 3! modos.

Feito isso, h a 5! modos de colocar os l ivros de Matem atica nos

lugares que lhe fora m destinados, 3! modos par a os de Esta t ıstica

e 2! modos para os de F ısica.

A resposta e 3! 5! 3! 2! = 6 × 120 × 6 × 2 = 8640.

E x e m p l o 3 . De qua nt os m odos podemos dividir 7 objetos em um

gru po de 3 objetos e u m de 4 objetos?

S o l uc ˜ ao: Um processo de fazer a divisa o e colocar os objetos em

fila; os 3 pr imeiros forma m o grupo de 3 e os 4 ultimos formam o

grupo de 4.H a 7! modos de colocar os objetos em fila.

Ent reta nto, note que filas como abc · defg e bac · gfde sao filas

diferentes e gera m a m esma divisao em gru pos. Cada divisao em

grup os foi cont ada um a vez par a cada ordem dos objetos dentr o de

cada grupo. H a 3! 4! modos de arrumar os objetos em cada grupo.

Cada divisao em gru pos foi cont ada 3! 4! vezes.

A resposta e7!

3! 4!= 35.

O segundo problema importa nte e o

P roblem a d as com bin ac ˜ o e s s i m p l e s : De quantos m odos pode-

m os seleciona r p objetos distintos entre n objetos distintos dados?

Ca da se lecao de p objetos e cham ad a de u ma combin acao sim-

ples de classe p dos n objet os. Ass im, p or exe mp lo, a s combin a coes

simples de classe 3 dos objetos a, b, c, d, e sa o {a,b,c}, {a, b, d},

{a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a,d,e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b,d,e} e {c, d , e}.

Representamos o n u me r o de comb ina coes simples de classe p de

n elementos por C Ô

Ò

ou

Ò

Ô

. Assim, C¿

=

¿

= 10.

Pa ra res olver o pr oblema da s combin acoes simples basta notarque seleciona r p entr e os n objetos equivale a dividir os n objetos

em um grupo de p objetos, que sao os seleciona dos, e u m grup o de

n − p objetos, que sao os n ao-selecionados.

E sse e o problema d o Exemplo 3 e a resposta e CÔ

Ò

=n!

p! (n − p)!·




E x e m p l o 4 . Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissoes de

4 pessoas, com exatamente 2 homens, podem ser formadas?

S o l uc ˜ ao: Par a form ar a comissao devemos escolher 2 dos h omen s

e 2 das mulheres. H a C¾

· C¾

= 10 × 6 = 60 comissoes.

E x e m p l o 5 . Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comiss oes de 4

pessoas, com p elo men os 2 h omen s, podem s er form ada s?

S o l uc ˜ ao: H a comissoes com: 2 h omens e 2 m ulheres, 3 homens e

1 mulher, 4 homens. A resposta e C¾

· C¾

+ C¿

· C½

+ C

= 10 × 6 +

10 × 4 + 5 = 105.

Um erro muito comum aparece no raciocınio a seguir: Como

a comissao deve ter pelo menos 2 homens, a primeira coisa a ser

feita e escolher dois homens para a comiss ao, o que pode ser feito

de C¾

= 10 modos. Em seguida devemos escolher m ais du as pes-

soas, homens ou mulheres, para a comissao, o que pode ser feito

de C¾

= 21 modos. A resposta e 10 × 21 = 210.

Q ual e o err o?

Algum as comiss oes fora m cont ada s ma is de uma vez. Por exem-

plo, a comissao Arnaldo, Car los, Edu ar do e Beat riz foi conta da 3

vezes. Rea lment e, o processo de cont agem usa do escolhia, em um aprimeira etapa, dois homens para garantir que fosse satisfeita a

exigencia de pelo menos dois homens na comiss ao. Foi conta da

um a vez quando A rnal do e C arl os s ao os homens escolhidos na

pri m ei ra et apa (e E duardo e B eat ri z sao escolhidos na segunda

et apa); out ra vez quando na pri m ei ra et a pa sao selecionados Ar-

na ldo e Edu ar do e, finalmente, uma terceira vez quan do Car los e

E duar do sao escolhidos na primeira etapa.

Se todas as comissoes houvessem sido conta das 3 vezes, n a o

haveria grandes problemas: bastaria dividir por 3 o resultado da

contagem. Mas h a comissoes que foram contadas uma unica veze outr as que fora m cont ada s 6 vezes. Por exemplo, a comissao Ar-

na ldo, Carlos, Beatr iz e Mar ia so foi cont ad a u ma vez e a comiss a o

Arn aldo, Car los, Edu ar do e Pau lo foi cont ada 6 vezes.

E x e m p l o 6 . Quantos s ao os an agra ma s d a palavr a “BANANA”?



Combinatoria 97

A resposta n ˜ ao e 6! = 720. O fato de haver letras r epetidas faz

com que o n um ero de anagram as sej a m enor do que seri a se as

letras fossem diferentes.

S o l uc ˜ ao 1: Par a form ar um an agra ma de “BANANA” devemos co-

locar as seis letras (que n a o sao todas diferentes) em 6 lugares.

Para i sso devem os escol her 3 dos 6 l ugares para col ocar as l e-

t r a s A, o que pode ser feito de C¿

= 20 modos; em seguida deve-

mos escolher 1 dos 3 lugares restantes para colocar a letra B, o

que pode ser feito de 3 m odos; fina lment e, ha a penas um m odo de

colocar as dua s letra s A nos dois lugares restantes. A resposta e

20 × 3 × 1 = 60.

S o l uc ˜ ao 2: Se as letra s fossem diferentes a resposta seria 6! . Co-

m o a s t r es letras A sao igua is, qua ndo as trocamos ent re si obte-

mos o mesmo anagra ma e nao um a na grama distinto, o que a con-

teceria se fossem diferentes. Isso faz com que na nossa contagem

de 6! t enham os cont ado o m esm o anagram a varias vezes, 3! ve -

zes precisamente, pois h a 3! m odos de t rocar as l et ras A e n t r e

si. Problema an alogo ocorr e com as dua s letr as N, que podem ser

trocada s entr e si de 2! modos. A resposta e6!

3! 2!= 60.

D e m odo geral , o n um ero de perm ut acoes de n objetos, dos

quais α sao i guai s a A, β sao i guai s a B, γ sao i guai s a C, etc.,

e P « ¬ -

Ò

=n!

α! β! γ! . . .·

O exemplo a seguir mostra um tipo de raciocınio que, a pesar

de inesper ado, pode ser mu ito eficiente.

E x e m p l o 7 . Q uant os s ao os an agra mas da palavra “ANAGRA-

MA” que n ao possuem duas vogais adjacentes?

S o l uc ˜ ao: Vam os pr imeira mente ar ru mar as consoantes e, depois,

vamos entremear as vogais. O n um ero de m odos de a rru m ar emfila as consoantes N, G, R e M e P

= 4! = 24. Arru m adas as con-

soantes, por exemplo na ordem NGRM, devemos colocar as 4 vo-

gais nos 5 es pa cos da figur a:

N G R M




Como n ao p odemos colocar du as vogais no m esm o espa co, qu a-

tr o dos e sp a cos s er ao ocupados, cada um com uma letra A, e u m

es pa co fica r a vazio. Temos C

= 5 modos de escolher os quatro

es pa cos qu e s er ao ocupados.

A resposta e 24 × 5 = 120.

E x e m p l o 8 . H a 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre u ma

ret a R paralela a R. Q uan t os sao os tr ian gulos e os qua drilateros

con vexos com vertices nesses pontos?

S o l uc ˜ ao: Para form ar um t rian gulo ou voce toma um ponto em R

e dois pontos em R , ou t oma um ponto em R e dois pontos em R.

O n um ero de t riangulos e 5 · C¾

+ 8 · C¾

= 140 + 80 = 220.

Tambem poder ıamos tomar 3 dos 12 pontos e excluir dessa con-

ta gem as escolhas de pontos colinea res, o que da ria C¿

½ ¿

−C¿

−C¿

=

286 − 56 − 10 = 220.

Par a form ar um qua drilat ero convexo, devemos toma r d ois pon-

tos em R e dois pontos em R , o que pode ser feito de C¾

· C¾

=

10 · 28 = 280 modos.

E x e m p l o 9 . D e um bara l ho de poquer (7, 8, 9, 10, valete, dama,

rei e as, cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: copas,our os, paus, espadas), sacam-se simulta neam ente 5 carta s. Qua n-

t a s sa o a s extr a coes:

a) possıveis?

b) nas qua is se form a um pa r (dua s car ta s em um mesmo grupo

e as out r as t r es em tr es outros grupos diferentes)?

c) nas quai s se form am doi s pares (duas cart a s em um grupo,

duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)?

d) na s quais se forma uma trinca (tr es car tas em um gru po e as

outras duas em dois outros grupos diferentes)?e) na s qua is se form a u m “four” (quat ro car ta s em u m gru po e

uma em outro grupo)?

f) na s qua is se forma um “full han d” (tr es cart a s em um grupo

e dua s em outr o gru po)?



Combinatoria 99

g) nas quai s se form a um a sequ encia (5 cart as de gru pos con-

secut ivos, n ao sendo todas do mesmo na ipe)?

h) na s quais se form a u m “flush” (5 car tas do mesmo naipe, na o

sendo elas de 5 gr upos consecutivos)?

i ) n as quai s se form a um “st rai ght flush” (5 cart as de grupos

consecutivos, t odas do mesm o na ipe)?

j) na s qua is se form a um “royal st ra ight flush” (10, valete, da-

m a, rei e as de um mesmo naipe)?

S o l uc ˜ ao:

a ) C

¿ ¾

= 201 376.

b) H a 8 m odos de escol her o grupo das duas cart as que for-

m a r ao o par propri am ent e di t o; h a C¾

= 6 modos de esco-

lher os naipes dessas cartas; h a C¿

= 35 modos de escolher

os grupos das outras tr es cart a s e 4¿ = 64 modos de escolher

seus n aipes. A resposta e 8 × 6 × 35 × 64 = 107520.

c) H a C¾

= 28 modos d e escolher os grupos dos dois pa res (por

exemplo 7 e valete), h a [C¾

]¾ = 36 modos d e escolher os na i-

p es d es s a s c a r t a s ; h a 6 m odos de escol her o grupo da ou-t r a ca r t a e 4 m od os d e e s colh e r s eu n a i pe. A r e sp os t a e

28 × 36 × 6 × 4 = 24192.

Um erro mu ito comum e o seguinte:

H a 8 m odos de escolher o grupo do primeiro par, ha C¾

= 6

modos de escolher os naipes do primeiro par, ha 7 modos de

escolher o gru po do segun do par, ha C¾


os n aipes do segun do par, ha 6 modos de escolher o gru po da

outr a car ta e 4 m odos de escolher o seu n aipe. A resposta e

8 × 6 × 7 × 6 × 6 × 4 = 48384.

O err o consiste em termos conta do cada jogo duas vezes. O

jogo em que os pares sao de setes e valetes, por exemplo,

foi contado uma vez quando os setes formam o primeiro par

e os valetes, o segundo e foi conta do novamen te quan do os

valetes form am o primeiro par e os setes, o segun do.




d) H a 8 modos de escolher o grup o das t r es car tas que form ar a o

a t ri nca propri am ent e di t a; h a C¿


os nai pes dessas cart as; ha C¾

= 21 modos de escolher os

grupos das out ras duas cart as e 4¾ = 16 modos de escolher

seus n aipes. A resposta e 8 × 4 × 21 × 16 = 10752.

e) H a 8 modos de escolher o grupo das quatro cartas que for-

m a r ao o “four” propriamente dito; h a C

= 1 modo de esco-

lher os naipes dessas carta s; ha 7 m odos de escolher o gru po

da outra carta e 4 modos de escolher seu naipe. A resposta e

8 × 1 × 7 × 4 = 224.

f) H a 8 modos de escolher o grupo das cartas que formar a o a

tr inca; h a C¿

= 4 modos de escolher os n aipes desa s t r es car-

t as; h a 7 m odos de escolher o gru po ds carta s que form ar a o

o pa r e h a C¾

= 6 modos de escolher os naipes dessas dua s

car tas. A resposta e 8 × 4 × 7 × 6 = 1344.

g) H a 4 modos de escolher os grupos das cartas que formara o a

seq u encia: do 7 ao valete, do 8 a dama , do 9 ao rei, do 10 ao

as. Se todas as escolhas de na ipes fossem lıcitas, os naipes

dessas cartas poderiam ser escolhidos de 4 = 1024 modos.

H a ent ret ant o 4 escol has i lı ci t as par a os n ai pes: t odas de

outr os, todas de copas, todas de espadas e todas de pau s. A

resposta e 4 × 1020 = 4080.

h ) H a 4 m odos de escolher o naipe uni co das cart as. Se t odas

as escolhas de grupos fossem lıcitas, haveria C

= 56 modos

de escolher os grupos das car ta s. E ntr etan to, 4 escolhas sa o

ilıcitas: do 7 ao valete, do 8 a dama , do 9 ao rei, do 10 ao a s.

A resposta e 4 × 52 = 208.

i) H a 4 modos de escolher os gru pos da s car ta s (do 7 ao valete,

do 8 a dama , do 9 ao rei, do 10 ao as) e 4 modos de escolher o

nai pe un ico. A resposta e 4 × 4 = 16.

j) Ha u m so modo de escolher os gru pos das car tas e 4 modos

de escolher o naipe un ico. A resposta e 4.

E x e m p l o 1 0 . De qua nt os m odos 5 crian cas podem form ar um a

roda de ciranda ?



Combinatoria 101

S o l uc ˜ ao: A primeira vista parece que, par a forma r uma roda com

as cinco crian cas, ba sta escolher um a ordem par a elas, o que po-

deria ser feito de 5! = 120 modos. Entretanto, as rodas ABCDE e

EABCD sao igua is, pois na roda o que importa e a posicao relativa

das crian cas ent re s i e a roda ABCDE pode ser “vira da” na roda

EABCD. Como cada roda pode ser “virada” de cinco modos, a nos-

sa contagem de 120 rodas contou cada roda 5 vezes e a resposta e

120/5 = 24.

D e m odo geral , o n umero de modos de colocar n objetos em

cırcu lo, de m odo qu e disp osicoes qu e possa m coincidir p or r ota ca osejam consideradas iguais, isto e, o n um ero de p er mu ta coes circu-

lares de n objetos e (PC)Ò

=n!

n= (n − 1)! .

E x e m p l o 1 1 . Q u a n t a s sa o a s solu coes i nt eiras e n ao-negativas

da equ a ca o x½

+ x¾

+ · · · + xÒ

= p?

S o l uc ˜ ao: A resposta deste problema e representada por CRÔ

Ò

.

Para det erm i nar o val or de CRÔ

Ò

, vamos representar cada so-

lu ca o da equ a cao por uma fila de sinais, + e | . Por exemplo, para

a eq u a ca o x + y + z = 5, a s solu coes (2,2,1) e (5,0,0) seriam repre-sentadas por ++ | ++ | + e + + + + + | |, respectivam ente. Nessa

r epr esen ta cao, as barra s sao usadas para separar as i ncognitas e

a quantidade de sinais + indica o valor de cada incognita.

Pa r a a equ a ca o x½

+ x¾

+ · · ·+ xÒ

= p, ca da solu cao seria r epre-

sentada por uma fila com n − 1 barras (as barr as sao para separa r

as i ncognit as; par a separa r n in cognitas, usa mos n − 1 barras) e

p sinais +. O r a , p a r a f or m a r u m a fi la com n − 1 b a r r a s e p si-

nai s +, basta escolher dos n + p − 1 lugares da fila os p lugares

onde ser ao colocados os sinais +, o que pode ser feito de CÔ

Ò · Ô ¹ ½

modos.

E x e m p l o 1 2 . De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes em

um bar que os oferece em 6 sabores distintos?

S o l uc ˜ ao: A resposta n a o e C¿

= 20. C ¿

seria o n umero de modos

de comprar 3 sorvetes diferentes.




C ham an do de x

o n um ero de sorvetes do k-esimo sabor qu e va-

mos compr ar, devemos determ inar valores inteiros e nao-negativos

p a r a x

, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, tais que x½

+ x¾

+ · · ·+ x

= 3. Isso pode

ser feito de CR¿

= C¿

= 56 modos.


1. Quantos s ao os an agram as da pa lavra “CAPITULO”:

a) possıveis?

b) que comecam e ter min am por vogal?

c) que t em as vogais e as consoantes intercaladas?

d ) q u e t em as letra s C, A, P junta s nessa ordem?

e) que tem as letra s C, A, P junta s em qua lquer ordem?

f) que t em a letra P em pr imeiro lugar e a letra A em segun do?

g) que t em a letra P em primeiro lugar ou a letra A em segun-

do?

h ) q u e t em P em pr imeiro lugar ou A em segundo ou C em ter-

ceiro?

i ) n o s q u a i s a l e t r a A e u m a d a s l e t r a s a e s q u e r d a d e P e a

letra C e um a da l et ras a direita de P?

j) que tem as vogais em ordem alfabetica?

2. Se A e um conj unt o de n elem ent os, quant as s a o a s fun coes

f : A→ A bijetoras?

3. De quantos modos e possıvel colocar 8 pessoas em fila de modo

que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, n ao fiquem juntas?




Combinatoria 103

4. De quantos modos e possıvel colocar 8 pessoas em fila de modo

que du as dessas pessoas, Vera e Pau lo, n ao fiquem junt a s e dua s

out ra s, Helena e Pedr o, perm an ecam junt as?

5. De qua ntos m odos e possıvel dividir 15 atletas em tr es t imes

de 5 a tletas, denominados Esporte, Tupi e Minas?

6. De qua ntos m odos e possıvel dividir 15 atletas em tr es t imes

de 5 atletas?

7. De quantos modos e possıvel dividir 20 objetos em 4 grupos de

3 e 2 grupos de 4?

8. Um campeonato e di sput ado por 12 cl ubes em rodadas de 6

jogos cada. De quan tos modos e possıvel seleciona r os jogos da

primeira rodada?

9. Permutam-se de todas as formas poss ıveis os algarismos 1, 2,

4, 6, 7 e escrevem-se os n umer os forma dos em ordem crescente.

Determine:

a) que lugar ocupa o num ero 62 417.

b) que n um ero ocupa o 66o¯ lugar.

c) qual o 166o¯ algar ismo escrito.

d) a soma dos n umeros assim formados.

10. De quantos modos e possıvel colocar r rapazes e m m oca s em

fila de m odo que a s mocas per ma necam jun ta s?

11. Quantos dados diferentes e possıvel form ar grava ndo numeros

de 1 a 6 sobre as faces de um cubo?

a) Suponha uma face de cada cor.

b) Suponha as faces igua is.

c) Suponha que a s faces sao iguais e que a soma dos pontos de

faces opostas deva ser igual a 7.




12. Resolva o problema anterior, no caso b), para os outros 4 po-

liedros regulares (naturalmente, nu m e r os d e 1 a 4 , de 1 a 8 , d e

1 a 12 e de 1 a 20 para o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o

icosaedr o, respectivament e).

13. Quantos sao os anagramas da palavra “ESTRELADA”?

14. O conjunto A possui n elementos. Quan tos s ao os seus sub-

conjuntos com p elementos?

15. U m a facul dade real i za seu vest i bul ar em 2 di as de provas,

com provas de 4 m at e r ia s e m ca d a d ia . E s t e a n o a d ivisao foi:

Mat emat ica, Portu gues, Biologia e Ingles n o primeiro dia e Geo-

grafia, H i st oria, F ısica e Qu ım i ca no segundo dia. D e quant os

modos pode ser feito o calendar io de provas?

16. Quan tas diagonais possui:

a) um octaedro regular?

b) um icosaedro regular ?

c) um dodecaedro regular?

d) um cubo?

e) um prisma hexagonal regular?

17. Sejam IÑ

= {1 , 2 , . . . , m} e IÒ

= {1 , 2 , . . . , n}, com m ≤ n. Q u a n -

t a s sa o a s fun coes f : IÑ

→ IÒ

estritam ente crescentes?

18. Q uant os sa o o s n u m e r o s n a t u r a i s d e 7 dıgitos nos quais o

dıgito 4 figur a exata men te 3 vezes e o dıgito 8 exat am ent e 2 vezes?

19. Quan tos s ao os subconjun tos de {a½

, a¾

, . . . , aÒ

}, com p elemen-

tos, nos qua is:

a ) a½

figura;

b) a½

n ao figura;

c) a½

e a¾

figuram ;



Combinatoria 105

d) pelo menos um dos elementos a½

, a¾

figura;

e) exata ment e um dos elementos a½

e a¾

figura.

20. O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n ele-

m ent os. D et erm i ne o nu me r o de fun coes f : A → B sobrejetivas

p a r a :

a ) p = n;

b) p = n + 1;

c) p = n + 2.

21. Considere um conjunto C de 20 pontos d o espa co que tem

um subconjunto C½

form ado por 8 pontos coplana res. Sabe-se que

toda vez que 4 pontos de C sao coplanar es, ent ao eles sao pontos

de C½

. Q ua nt os s ao os planos qu e cont em pelo menos tr es pont os

de C?

22. Uma fila de cadeiras no cinema tem 10 poltronas. De quan-

t os m odos 3 casai s podem n elas se sent ar de m odo que nenh um

m ari do se sent e separado de sua m ul her?

23. Quan tos sao os an agr am as d a pa lavra “PARAGUAIO” que na o

possuem consoantes adjacentes?

24. De quantos modos podemos selecionar p elementos do conjun -

t o {1 , 2 , . . . , n} sem selecionar dois n umeros consecutivos?

25. Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por quest oes

de s egur an ca, os plan os sao gua rda dos em um cofre protegido por

mu itos cadeados de m odo que so e possıvel abr i-los t odos se h ouver

pelo menos 5 cientistas presentes.

a ) Q u a l e o n um ero m ınimo possıvel de cadeados?

b) Na situ acao do item a), quantas chaves cada cientista deve

t er?




26. Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas exa-

minadoras de modo que cada professor participa de exatamente

d u a s b a n c a s e c a d a d u a s b a n c a s t em exatamente um professor

em comum.

a) Calcule x.

b) Determine quan tos professores h a em cada banca.

27. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com

6 criancas, de modo que dua s delas, Vera e Isadora, nao fiquem juntas?

29. Q u a n t a s sa o a s solu coes inteiras e positivas de x + y + z = 7?

30. Q uant as sa o a s solu coes inteira s e n ao-negat ivas d e x+ y+z ≤

6?

31. U m a i ndustria fabrica 5 t ipos de balas que s ao vendidas em

cai xas de 20 bal as, de um so t ipo ou sort idas. Quan tos tipos de

caixas podem ser montados?

S u g e s t o e s

1. c) Os a na gra ma s p odem comecar por vogal ou p or cons oant e.

d) Tudo se passa como se cap fosse uma letra so.

e) Escolha inicialmente a ordem da s letra s c, a, p. Recai-se no

item anterior.

g) Ao somar os que t em p em primeiro com os que t em a em

segundo, os que t em p em pr imeiro e a em segundo sao con-

tados dua s vezes. Fazer um diagra ma de conjuntos ajuda.

h) Um diagrama de conjuntos ajuda.

i) H a 3! = 6 ordens possıveis pa ra essas letras. A resposta e1

6do t ot al de a nagram a s.



Combinatoria 107

3. Faca o total men os aqu elas n as qua is elas ficam junt as. Nao se

esqu eca qu e elas podem ficar junt as em 2! ordens possıveis.

4. Faca t odas com H elena e Pedro junt os men os a quelas na s qu ais

Helena e Pedro estao jun tos e Vera e Pau lo ta mbem est ao juntos.

5. Voce deve escolher 5 jogadores para o Esporte, depois escolher 5

dos que sobra ra m par a o Tupi e form ar o Minas com os restan tes.

O u ent ao, ponha os 15 jogadores em fila: os 5 primeiros formam

o Esporte, os 5 seguintes o Tupi, os 5 ultimos o Mina s. Note qu e,

tr ocan do a ordem dent ro de cada bloco, voce m uda a fila, m as n a omuda a divisao em t imes.

6. A resposta e a anterior dividida por 3!, pois agora, tr ocan do os

times entre si, a divisa o e a m esm a.

8. Voce pode colocar os 12 t imes em u ma ma triz 6 × 2. N ot e que

t r o c a r a s l i n h a s e n t r e s i , o u t r o c a r e m u m a l i n h a a o r d e m d o s

elemen tos, n a o alt er a a selecao dos jogos.

Voce t a m bem poderia pensar assim: Tenho 11 modos de esco-

lher o adversario do Botafogo; depois tenho 9 modos de escolher

o adversar io do primeiro (em ordem alfabetica) time que sobrou;depois ten ho 7 . . .

9.

a) Para descobrir o lugar do 62 417 voce t em que cont ar quan-

tos n um eros o ant ecedem. Ant ecedem-no todos os n umeros

com eca dos em 1, em 2, em 4, em 61, et c.

c) O 166o¯ algarismo escrito e o 1o

¯ algar ismo do 34o¯ n umero.

d) A soma da s un idades dos numeros e (1 + 2 + 4 + 6 + 7) · 4!, pois

cada um dos a lgar ismos 1, 2, 4, 6, 7 ap ar ece como algarism odas uni dades em 4! n um eros. D et erm i ne anal ogam ent e a

soma das dezenas, etc.

U m t ru que, boni t o m as t ruque, e grupar os 5! = 120 n umer os em

60 casais do seguint e modo: o conjuge de cada n u m e r o e o n u m e r o




que dele se obt em tr oca n do a posica o do 1 com o 7 e a posicao do

2 com o 6. Teremos 60 casais e a soma em cada casa l e 88 888. A

resposta e 88 888 × 60.

11. a) Devem os colocar 6 n um eros em 6 lugares. A resposta e 6!.

b) Agora , qua nd o mud am os o cubo de posicao obtem os o mesm o

d a d o. P or e xe m plo, u m d a d o qu e t e m o 1 e o 6 e m f a ce s

opostas. Antes, colocar o 1 em cima, na face preta, e o 6 em

baixo, na face bran ca, era diferen te de colocar o 6 em cima e o

1 embaixo. Agora n a o, e o mes mo da do de cabeca pa r a baixo.A resposta e a anterior dividida pelo nu m er o de posicoes de

colocar um cubo. H a 6 modos de escolher a face que fica em

baixo e 4 modos de escolher nessa face a aresta que fica de

frente.

16. Os segmentos que ligam dois vertices sao diagonais, arestas

ou diagonais de faces.

17. A fu n c˜ao fica det erm inada qua ndo se escolhem os m elementosde I

Ò

que forma r ao a imagem.

18. Ignore o problema do 0 na primeira casa. Escolha os lugares

dos 4, dos 8, preencha a s casas resta ntes. Desconte os n umeros

comeca dos em 0.

20. a ) Es sa s fun coes sao bijetoras.

b) Um elemento de B tem sua imagem inversa formada por dois

elementos e os demais t em imagens inversa s un itari as.

c) H a duas possibilidades: um elemento de B tem sua imagem

i nversa form ada por t r es el em ent os e os dem ai s t e m i m a -

gens inversas un itar ias ou dois element os de B t em imagens

inversa s forma das por dois elementos e os dema is t em ima-

gens inversas u nitari as.



Combinatoria 109

22. Escolhida a ordem em que cada casal vai se sentar (marido

a direita, mulher a esquer da ou vice-versa), voce tem que formar

uma fila com 3 casais e 4 lugares vazios.

23. Arrume primeiramente apenas as vogais e depois entremeie

as consoantes.

24. Marque, no conjunto {1 , 2 , . . . , n} com o sinal + os elementos

selecionados para o subconjunto e com o sinal − os elementos n a o

seleciona dos. Voce tem que form ar um a fila com p sinais + e n− p

sinais − , sem que haja dois sinais + adjacentes.

25. Um grupo de 4 cientistas, ABCD, e barrado por pelo menos

um cadeado. Na situaca o d o n u m e r o m ınimo de cadeados, por

exat amen te u m cadeado. Batizemos esse cadeado de ABCD. A,

B, C, D n a o t em a cha ve desse cadea do e todos os outr os cient istas

a t em. N ao pense mais nos cadeados e sim nos seus nomes.

26. Um bom nome para o professor que pertence as ban cas 1 e 2 e

professor 1 − 2.

29. C h a m a n d o x de 1 + a, y de 1 + b e z de 1 + c, voce t em dedet er min a r solu coes inteiras e n ao-negativas para a + b + c = 4.

30. Defina , pa ra cada solucao, a folga, que e a diferenca ent re o

valor m aximo que x + y + z poderia atingir e o valor que x + y + z

rea lmen te a tin ge. Por exemplo, a soluca o x = 1 y = 2, z = 1 t em

folga 2. Ca da soluca o da ine qu a ca o x + y + z ≤ 6 corresponde a

u m a solu ca o da equ a ca o x + y + z + f = 6 e vice-versa.



Ca pıtu lo 7

Nocoes de

Matem a t ica Fina n ceir a

1 O v a lo r d o d i n h e ir o n o te m p o

A op er a ca o basica da matem atica financeira e a oper a cao de em-

pr estimo. Algu em que dispoe de um capital C (chamado de prin-

cipal), empresta-o a outrem por um certo per ıodo de tempo. Apos

esse per ıodo, ele r ecebe o seu capit al C de volta, acrescido de um a

r em u n er a ca o J pelo empr estim o. E ssa r emu ner aca o e cha mada de

juro. A s oma C + J e chamada de m ont ant e e ser a r epr es entada

por M. A r a za o i = J/C, que e a taxa de crescimento do capital,

e sem pre referida ao per ıodo d a opera cao e chamada de t axa de

juros.

E x e m p l o 1 . Pedr o tomou um empr estimo de R$100,00. Dois

meses depois, pagou R$140,00. Os juros pagos por Pedro sao de

R$40,00 e a t axa de juros e40

100= 0,40 = 40% ao bimestre. O pr in-

cipal, qu e e a dıvida inicial de Pedro, e igual a R$100,00 e o mon-

tante, que e a dıvida de Pedro na epoca do pagamento, e igual a

R$140,00.

O leitor deve ficar at ent o par a o fat o que Pedro e quem lhe em-

prest ou o dinh eiro concorda ra m que R$100,00 no inıcio do referi-do bimestre t em o m esmo valor que R$140,00 no fina l do referido

bimestre. E importante perceber que o valor de uma quantia de-

pende da epoca a qua l ela est a referida. Neste exemplo, quantias

diferentes (R$100,00 e R$140,00), referidas a epocas diferent es,

t em o m esmo valor.

11 0



Noc ˜ oes de Matematica Financeira 111

Sao exemplos de erros comu ns em ra ciocınios financeiros:

a ) Ach a r q u e R$ 14 0,0 0 t e m va lor m a ior q u e R $1 00 ,0 0.

R$140,00 t em maior valor que R$100,00, se referidos a mes -

m a epoca. Referidos a epocas diferentes, R$140,00 podem

ter o mesmo valor que R$100,00 (veja o exemplo an ter ior) ou

a t e mesmo um valor inferior.

Todos n os preferir ıamos r eceber R$100 000,00 a gora do que

R$140 000,00 daqu i a seis a nos. Com efeito, R$100 000,00

colocados em um a cader net a de poupa nca, a juros de 0,5%

a o m es, cresceriam a t a x a d e 0 , 5 % a o m es e t r ans f or mar -se-iam, depois de 72 meses, em 100 000,00 · (1 + 0,005) ¾ =

R$143 204,43.

b) Achar que R$100,00 t em sem pr e o mesm o valor que R$100,00.

Na verdade, R$100,00 hoje valem mais que R$100,00 daqui

a um ano.

c) Somar quantias referidas a epocas diferent es. Pode n ao ser

verdade, como mostrar a o Exemplo 5, que comprar em tr es

pr es t a coes de R$50,00 seja melhor que comprar em cinco

pr es t a coes de R$31,00, apesar de 50 + 50 + 50 < 31 + 31 +

31 + 31 + 31.

E x e m p l o 2 . Pedro tomou um empr estimo de R$100,00, a juros

de ta xa 10% ao mes. Apos um m es, a dıvida de Pedro ser a acres-

cida de 0,10 × 100 reais = 10 reais de juros (pois J = iC), pas-

sando a 110 reais. Se Pedro e seu credor concordar em em adiar

a liqu ida ca o d a dıvida por mais um m es, mantida a mes ma taxa

de juros, o empr estimo ser a quitado, dois meses depois de con-

t r a ıdo, por 121 reais, pois os juros relativos ao segundo mes ser a o

de 0,10 × 110 = 11 reais. Esses juros a ssim calculados sao cha-

mados de jur os com postos. Ma is precisamen te, no regime de jur oscompostos os juros em cada per ıodo sao calculados, conforme e

natural, sobre a dıvida do inıcio desse per ıodo.

No regim e de juros com postos d e taxa i , um principal C¼

transforma-

se, ap ´ os n per´ ıodos de tempo, em um montante CÒ

= C¼

(1 + i) Ò .




P a r a c a d a k, seja C

a dıvida apos k per ıodos de tempo. Or a,

C · ½

= C

+ iC

= (1 + i)C

. Por tan to, a cada per ıodo de tem-

p o a dıvida sofre um a mu ltiplicacao por 1 + i. Apos n per ıodos

de tempo a dıvida sofrera n m u lt ipl ica coes por 1 + i, ou seja, ser a

mu ltiplicada por (1 + i)Ò . Logo, CÒ

= C¼

(1 + i)Ò .

E x e m p l o 3 . Pedro toma um empr estimo de R$1 500,00 a juros de

12% ao m es. Qual ser a a dıvida de Pedro tr es meses depois?

C¿

= C¼

(1 + i) ¿ = 1500(1 + 0,12)¿ = 2107,39.

Outro modo de ler a f ormula CÒ

= C¼

(1 + i) Ò e : u m a q u a n t ia ,

hoje igual a C¼

, transformar-se-a, depois de n per ıodos de tempo,

em uma quantia CÒ

= C¼

(1 + i) Ò . I s to e, uma quan tia, cujo valor

a t u a l e A, equ ivaler a no futuro, depois de n per ıodos de tempo, a

F = A(1 + i) Ò .

Essa e a f ormu la fun damen tal da equivalencia de capitais:

• Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i)Ò .

• Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1 + i)Ò .

E x e m p l o 4 . Pedr o tomou um emprestimo de R$300,00 a juros

de 15% ao m es . Um m es apos, Pedro pagou R$150,00 e, dois me-

ses apos esse pa gamen to, Pedro liquidou seu d ebito. Qual o valor

desse ultimo pagament o?

Os es quemas de pagamento abaixo sao equivalentes. Logo,

R$300,00, na data 0, tem o mes mo valor de R$150,00, u m m es

a pos, mais um pagament o igual a P, na data 3.

0 1 3

300 P 150

F ig u r a 4 7




Igualando os valores, na mesma epoca (0, por exemplo), dos

paga men tos nos dois esquem as, obtemos:

300 =150

1 + 0,15+

P

(1 + 0,15)¿

, ou seja, 300 = 150 · 1,15¹ ½ + P · 1,15¹ ¿ .

Finalmente, P = [300 − 150 · 1,15¹ ½ ] · 1,15¹ ¿ = 257,89 reais.

E x e m p l o 5 . Pedr o t em du as opcoes de pagamento na compr a

de u m eletr odomest ico: tr es pr est a coes men sais de R$50,00 cada ,

ou cinco p re st a coes mens ais de R$31,00. Em qualquer cas o, a

pr imeira pr esta ca o e paga no ato da compr a. Se o dinheir o vale

5% ao m es para Pedro, qual e a m elh or op cao que Pedro possui?

1

31

2

31

0

31

3 4

3131

1

50

2

50

0

50

F ig u r a 4 8

Para compar ar, determina remos o valor das du as series de pa-

gamentos na mesma epoca, por exemplo na epoca 2. Temos

V ½

= 50(1 + 0,05) ¾ + 50(1 + 0,05) + 50 = 157,63

V ¾

= 31(1 + 0,05) ¾ + 31(1 + 0,05) + 31 + 31/(1 + 0,05) + 31/(1 + 0,05)¾

= 155,37.

Pedr o deve preferir o paga men to em cinco prest acoes.

E x e m p l o 6 . Pedr o tem tr es op coes de pagamento na compra de

vestu ario.

a ) A vista , com 3% de des cont o.

b) Em dua s presta coes mensais iguais, sem desconto, vencendo

a primeira um m es apos a compr a.




c) Em tr es pr est a coes m ensa is iguais, sem descont o, vencendo

a primeira no ato da compra .

Qua l a melh or opcao par a Pedr o, s e o dinheir o vale, par a ele,

2,5% ao m es ?

0

291

1

150

2

150

1

100

2

100

0

100

F ig u r a 4 9

Fixa n do o preco do bem em 300, t em os os t r es esquemas acima.

Comparando os valores na epoca 0, obtemos:

V ½

= 291

V ¾

=150

1,025+

150

1,025¾

= 289,11

V ¿ = 100 +100

1,025 +100

1,025¾

= 292,74

A melhor altern at iva para Pedro e a compr a em dois paga men -

tos, e a pior e a compra em tr es pr est a coes.

E inter es s ante obs er var que a melhor al ter nativa par a J oa-

quim pode n ao ser a melhor alternativa para Joa o.

Se J oaquim e pessoa de poucas posses e decide compr ar a pra -

zo, tendo dinheiro par a compr ar a vista , e provavel que ele invista

o dinheiro que sobrou, em uma cadern eta de poupanc a que lhe

ren deria, d igam os, 1,5% ao m es. Ent ao, para ele seria indiferentecomprar a vista ou a pra zo com jur os de 1,5% ao mes.

S e J oao tiver a cesso a investimen tos melhores, ele poderia fa-

zer render a sobra de dinheiro a, digamos, 2,5% ao me s . E n t a o,

s er ia a t r a t i vo p a r a J oao comprar a prazo com juros de 1,5% ao

m es .




Logo, o dinheiro t em valores diferentes para J oao e Joaquim.

Essa taxa de juros que representa o valor do dinheiro para cada

pessoa e que e, em s uma, a taxa a qual a pessoa consegue fazer

render seu dinheiro, e chama da de t axa m ´ ınima de atratividade.

O m otivo do nome e claro: para essa pessoa, u m investimento so

e a tra tivo se render, no mınimo, a essa taxa.

E x e m p l o 7 . Um a loja ofer ece du a s opcoes de pagamento:

a ) A vista , com 30% de des cont o.

b) Em d ua s prest acoes men sais igua is, sem descont o, a primei-ra pr est a cao sendo paga n o ato da compra .

Qual a taxa mensal dos juros embutidos na s vendas a prazo?

Fixan do o valor do bem em 100, temos os esquema s de paga-

mento abaixo:

0 1

70 5050

0

F ig u r a 5 0

Igualando os valores na epoca 0, obtemos 70 = 50 +50

1 + i· Da ı,

1 + i = 2,5 e i = 1, 5 = 150%.

A loja cobra juros de 150% ao mes nas vendas a prazo.

E x e m p l o 8 . Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em

quan to tem po voce dobrar a o seu capital in icial?Temos C

¼

(1 + 0,008)Ò = 2 C¼

. Da ı, 1,08Ò = 2 e n =ln 2

ln 1,08∼= 9.

Aqui ln est a r epresentando o logaritmo nat ura l.

Em aproximadamente nove meses voce dobrar a o seu capital

inicial.





1. Investindo R$450,00 voce r e t i r a , a pos 3 meses, R$600,00. A

que ta xa m ensal de juros rendeu o seu investimento?

2. I nves tindo a 8% ao m es, voce obt em, depois de 6 mes es um

monta nt e de R$1 480,00. Qu an to havia sido investido?

3. Qual o montante produzido em 3 meses por um principal de

R$2 000,00 a juros de 10% ao mes ?

4. Em que prazo um principal de R$1 400,00 gera um montante

de R$4 490,00 a juros de 6% a o mes ?

5. Laura quer comprar um violao em u ma loja que oferece um d es-

conto de 30% nas compras a vis ta ou pagamento em t r es pr es ta-

coes mensa is, sem jur os e sem descont o. Deter mine a t axa m ensa l

de juros embut ida n as vendas a prazo, supondo o primeiro paga-

mento no ato da compra .

6. Malu cont raiu u m empr estimo de R$9 000,00 pa ra ser pa go em

du as pr esta coes, com vencimentos tr es e cinco meses depois doempr estimo. Se a segunda prest aca o e o dobro da primeira e os

juros sao de 2% ao m es, deter min e a s pr est acoes.

7. Regin a t em du a s opcoes de pagamento:

a ) a vista, com x% de descont o.

b) em dua s prest acoes m ensais igua is, sem juros, vencendo a

primeira um m es apos a compra .

Se a taxa m ınima de at rat ividade de Regina e de 5% ao m es, para

que valores de x ela preferir a a primeira alternativa?

8. Certa loja, no nat al de 1992, oferecia a seu s client es dua s a lter-

na tivas de pagamen to:

∗Solu coes na pagina 189.




a) pagamento de uma so vez, um m es apos a compra .

b) pagamento em tr es pr est a coes mensais iguais, vencendo a

primeira no ato da compra .

Se voce fosse client e des sa loja, qu al s eria a su a opca o?

9. Certa loja convidou, em dezembro de 1992, os seus clientes

a liquida rem su as pr esta coes mensais vincendas, oferecendo-lhes

em troca um desconto. O descont o seria dado aos que pagassem,

d e u m a so vez, toda s as pres ta coes a vencer em mais de 30 dias

e seria de 40% para os que pagassem duas prestacoes. Supondo

u m a t a xa m ınima de atr at ividade de 27% ao mes, a oferta eravantajosa?

10. Lucia compr ou um exaust or, pagan do R$180,00, um mes apos

a compr a, e R$200,00, dois meses a pos a compra. Se os juros sa o

de 2,5% ao m es, qual e o pr eco a vista ?

2 Ta x a s d e ju r o s

Os leigos costum am achar que juros de 10% ao mes equivalem a

juros de 20% ao bimestre, de 30% ao trimestre, de 120% ao ano

etc.Isso n a o e verdade, como mostra a tabela a seguir, que da a

evolu cao de um principal igua l a 100, a juros de 10% ao mes .

Mes 0 1 2 3

Ca pit a l 100 110 121 133,1

Observe que juros de 10% ao m es equivalem a juros de 21% ao

bimestre e de 33,1% ao trimestre.

S e a t axa de j uros rel ati vam ent e a um det erm i nado per´ ıodo de

t em po ´ e igual a i , a taxa de juros relativam ente a n per´ ıodos de

tem po ´ e I tal que 1 + I = (1 + i)Ò

.

Bas ta calcular quanto valera no futuro, depois de n pe r ıodos de

tem po, um pr incipal igua l a A. Se usamos a taxa i, devemos avan -

ca r n per ıodos de tempo e, se usa mos a ta xa I, de vemos ava nca r

1 per ıodo de tempo. Logo, A(1 + I) ½ = A(1 + i) Ò e 1 + I = (1 + i)Ò .




E x e m p l o 1 . A taxa a nua l de juros equivalente a 12% ao mes e I

tal que 1 + I = (1 + 0,12)½ ¾ . Da ı, I = 1,12½ ¾ − 1 = 2,90 = 290%.

E x e m p l o 2 . A taxa m ensal de juros equivalente a 40% ao ano e i

tal que 1 + 0,40 = (1 + i)½ ¾ . Da ı, 1 + i = 1,4½ ½ ¾ e i = 1,4½ ½ ¾ − 1 =

0,0284 = 2,84%.

Um erro mu ito comu m e achar que juros de 12% ao mes equi-

valem a juros anu ais de 12× 12% = 144% ao a no. Taxa s como 12%

a o m es e 144% ao ano s ao chama das de taxas proporcionais, pois

a r a zao entr e elas e igual a r a zao dos per ıodos aos quais elas sereferem. Taxas proporcionais n ˜ a o s ˜ ao equivalentes.

E x e m p l o 3 . As ta xas de 20% ao mes, 60% ao trimest re e 240% ao

ano sao t axas proporciona is.

Um (pessimo) h abito em Matem atica Finan ceira e o d e a n u n -

ciar ta xas pr oporciona is como se fossem equ ivalent es. Uma ex-

pressao como “12% a o a no, com capita lizacao mensal” significa

que a taxa usada na operaca o n a o e a taxa de 12% anunciada e

sim a taxa m ensal que lhe e pr oporciona l. Portanto, a trad u c ˜ ao da

express ˜ ao “12% ao an o, com capita liza c ˜ ao mensal”´ e “1% ao m ˆ es”.

E x e m p l o 4 . “24% a o a n o com capit a lizacao t rimest ra l” significa

“6% ao tr imestre”; “1% ao m es com cap it a liza cao semestral” sig-

nifica “6% a o sem estr e” e “6% a o a no com capita lizacao m ens al”

significa “0,5% ao mes”.

E x e m p l o 5 . Ver onica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano

com cap it a liza cao mensal. Qual a taxa anual de juros a qua l est a

investido o capital de Veronica?

Ora, o dinheiro de Ver onica est a, na realidade, investido a jurosde taxa i = 6% ÷ 12 = 0,5% ao m es. A taxa anual equivalente e I

tal que 1 + I = (1 + 0,005)½ ¾ . Da ı, I = 1,005 ½ ¾ − 1 = 0,061 7 = 6,17%

ao an o.

A (falsa) t axa de 6% ao an o e dita nom i nal. A ta xa (verdadeira )

de 6,17% ao an o e dita taxa efetiva.




E x e m p l o 6 . A taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao

sem est re com capit a lizacao mens al e I tal que 1 + I = (1 + 0,04) .

Da ı, I = 1,04 − 1 = 26,53% ao semestre.


1. Deter mine as taxas mens ais equivalentes a 100% ao ano e a

39% ao trimestre.

2. Determine as taxas anuais equivalentes a 6% ao mes e a 12%

ao trimestre.

3. Determine as ta xas efetivas an uais equivalentes a:

a ) 30% ao a n o, com cap ita lizacao mensal.

b) 30% ao a n o, com capit a lizacao trimestral.

c) i ao an o, capita lizados k vezes a o an o.

3 An u id ad e sUma l is ta de quantias ( chama das u s ualmente de pagamentos ou

termos), referidas a epocas diversas, e chama da de s ´ erie ou anui -

d a d e ou, a inda, renda certa . Se esses pa gamentos forem igua is e

igua lmen te es pa cad os no tem po, a serie diz-se uniforme.

O valor atual (isto ´ e, o valor d a s ´ erie um a u nidade d e tem po antes

do primeiro pagam ento) de um a s ´ erie uniforme de n pagamentos

iguais a P , ´ e, sendo i a taxa de juros, igual a A = P1 − (1 + i) ¹ Ò

i.

At en cao ao significado das letra s n a f ormu la a cima: i e a taxa

de juros (referida a u n i d a d e d e t e m p o , a q u a l e o t e m p o en t r epr es t a coes consecut ivas), n e o n um ero d e pr esta coes, P e o valor

de cada pres ta ca o e A e o valor da ser ie uma unidade de tempo

an tes do primeiro pagamento.





Com efeito, par a determinar o valor da ser ie um tempo antes

do primeiro pagam ent o, devemos ret roceder u m tem po com o pri-

meiro pa gamen to, dois tem pos com o segundo, . . . , n tem pos com

o n-esimo pagamento. Logo,

A =P

1 + i+

P

(1 + i) ¾

+ · · · +P

(1 + i) ¾

+ · · · +P

(1 + i) Ò

·

Multiplicando por (1 + i), obtemos

A(1 + i) = P +

P

1 + i +

P

(1 + i)¾ +· · ·

+

P

(1 + i) Ò ¹ ½

·

Subt ra indo, obtemos

A(1 + i) − A = P −P

(1 + i)Ò

Ai = P − P(1 + i) ¹ Ò

A = P1 − (1 + i) ¹ Ò

i

E x e m p l o 1 . Um bem , cujo p r eco a vista e R$1 200,00, e vendidoem 8 p re st a coes mensais iguais, postecipadas (isto e, a primeira

e p a ga u m m e s a pos a compra ). Se os juros s a o d e 8 % a o m es,

deter min e o valor da s pr esta coes.

Temos A = 1 200, n = 8, i = 0,08. Ap lica n d o a f ormula, A =

P1 − (1 + i)¹ Ò

i, obtemos:

1200 = P1 − 1,08¹

0,08; P = 1200

0,08

1 − 1,08¹

= 208,82.

As pr est a coes sao de R$208,82.

E x e m p l o 2 . Um bem , cujo pr eco a vis ta e R$1 200,00, e vendido

em 6 p r est a coes mensais iguais, antecipadas (isto e, a pr imeira e

paga no ato da compra). Se os juros s ao de 8% ao m es, determine

o valor d a s p re st a coes.




O valor da serie de pr esta coes um m es antes do pagamento da

pr imeira pr esta ca o ( o u s e j a , u m m es antes da compr a) e A =

P1 − (1 + i) Ò

i= P

1 − 1,08¹

0,08· Esse valor e igua l a o pr eco a vista,

u m m es atr as, isto e, e igua l a1200

1,08· Logo,

P1 − 1,08¹

0,08=

1200

1,08e P =

1200

1,08

0,08

1 − 1,08 ¹

= 240,35.

As pr es t a coes sao de R$240,35.

As vezes n ecessitam os calcular o valor futu ro (ou montan te)

d e u m a serie u niform e, isto e, o valor da serie na epoca do ultimo

paga men to. Par a isso, basta avan car n tem pos o valor A, isto e,

F = A(1 + i) Ò = P1 − (1 + i)¹ Ò

i(1 + i)Ò = P

(1 + i) Ò − 1

i·

O v a lor d e u m a s ´ erie uniforme na ´ epoca do ´ ul t im o pagam ent o ´ e

F = P(1 + i)Ò − 1

i.

E x e m p l o 3 . Investindo mensa lmente R$150,00 em u m fun do deinvestimentos que rende 0,5% ao m es, qua l e o monta nte imedia-

t a m e n t e a pos o 120o¯ deposito?

O montan te da s erie e

F = P(1 + i) Ò − 1

i= 150

1,005½ ¾ ¼ − 1

0,005= 24 581,90.

Trata remos agora de rend as perp´ etuas. Rendas perpetuas apa-

r ecem e m loca coes. Com efeito, qua nd o se alu ga u m bem , cede-se a

posse do mesmo em t roca d e um aluguel, digam os, mensal. En t a o,

a serie dos alugu eis constitui um a renda perpetua ou perpetuida-

d e. Par a obter o valor a tua l de uma renda perpetua , basta fazer n

tender para infinito na f ormula

A = P1 − (1 + i)¹ Ò

i·




O valor de um a perpetuid ade d e term os iguais a P , um tem po antes

do prim eiro pagamento, ´ e, sendo i a taxa de juros, A =P

i.

E x e m p l o 4 . Se o dinheiro vale 1% ao m es, por quan to deve ser

alugado um imovel qu e va le R$40 00,00?

Qua ndo voce aluga um imovel, voce cede a posse do im ovel em

tr oca de u ma r enda per petua cujos termos sao igua is ao valor doaluguel. Ent ao, o valor do imovel deve ser igua l ao valor da serie

de alugu eis.

Logo, com o A =P

i, tem os P = Ai = 4000 × 0,01 = 400.

Deve ser alugado por R$400,00.

E x e m p l o 5 . Helena tem dua s alternat ivas pa ra obter uma copia-

dora:

a) Aluga-la por R$480,00 por m es. N esse caso, o locador se r es-

ponsa biliza pela s despesa s de man ut enca o.

b) Compr a-la por R$8 000,00. Nesse caso, ja que a vida econ o-

mica da copiadora e de 2 an os, Helena vender a a copiadora

a pos 2 an os, por R$1 000,00. As desp esa s de m an ut enca o s a o

de responsabilidade de Helena e sao de R$100,00 por mes no

primeiro an o e de R$150,00 por mes, no an o seguint e:

Se o dinheiro vale 1% ao m es, qu a l a m elhor opcao par a Helena?

Na alternativa b), vejamos o valor, na epoca da compra, dos

gastos de Helena durante esses dois anos. Temos:




i) um a p ar cela de R$8 000,00;

i i) o valor atua l de uma serie de 12 pa gamentos de R$100,00,

igual a 1001 − 1,01¹ ½ ¾

0,01= R$1 125,51;

iii) o valor, na epoca da compr a, dos gastos no segun do ano. Pa ra

determina-lo, calcula mos o valor at ua l dos gast os no segun do

ano, 1501 − 1,01¹ ½ ¾

0,01= 1 688,26, e dividimos esse valor por

1,01½ ¾ , p a r a t r a ze -lo u m a n o p a r a t r as, obtendo finalmente

R$1 498,25;

iv) o valor, na epoca da compra, da receita auferida com a venda,

R$1 000,00 tr azidos dois a nos par a tr as, isto e, 1000÷1,01 ¾ =

787,57.

Portanto, os gastos sa o d e 8000 + 1 125,51 + 1 498,25 − 787,57 =

9 836,19.

Na alternativa a), o valor dos gastos na epoca da compra e o

v a l o r a t u a l d e u m a serie de 24 pagamentos iguais a R$480,00,

4801 − 1,01¹ ¾

0,01= R$10 196,83.

A melhor alternativa e a compra.


1. Um t elevis or, cu jo pr eco a vista e R$900,00, e vendido em dez

pr es t a coes men sais iguais. Se s ao pa gos jur os de 4% ao mes, det er-

min e o valor da s pres ta coes, sup ondo a pr imeira pres ta cao paga:

a) no ato da compra .

b ) u m m es apos a compr a.

c) dois meses ap os a compr a.





2. Se a taxa de jur os e de 0,6% ao m es, por quanto se aluga um

im ovel cu jo pr eco a vista e R$80 000,00, supondo o aluguel m ensa l

pago vencido? E se fosse pago adiant ada men te?

3. Supondo juros de 1% ao mes, quan to voce deve investir men-

s almente dur an te 10 a nos par a obter a o fim des se pr azo, por 30

an os, uma renda mensal de R$500,00?

4. Supondo juros de 1% ao m es, quan to voce deve investir m ensa l-

ment e duran te 35 an os par a obter, ao fim desse prazo, uma renda

perpetu a de R$1 000,00?

5. Cons ider e uma r enda per petua cujos termos crescem a uma

taxa constante j e cujo primeiro ter mo e igua l a P. Supondo juros

de taxa i (i > j), determine o valor da renda na epoca do primeiro

pagamento.

6. Minha mulher acha que devemos vender o car r o novo que

compr am os por R$18 000,00 qu an do ele estiver com dois an os d e

uso. Conseguirıamos vende-lo por R$14 000,00 e compr ar ıamos

outr o igua l, zero quilometro. Eu acho que seria melhor esperar

quatro anos para vender o carro, caso em que s o consegu irıamosR$10 000,00 na venda, mesm o levan do em cont a qu e gasta rıamos

em consert os cerca de R$1 000,00 n o terceiro an o e de R$2 000,00

no quart o ano. Supondo que o dinheiro valha 15% ao an o, quem

tem r aza o?




AP ENDICE

C o m o c a l c u l a r a t a x a d e j u r o s u t i li z a n d o o E x c e l

Para calcular a taxa de juros em series uniform es de pagamen -

tos, inicialmente, deve-se clicar na tecla do menu fÜ

.

Com e st a oper a cao a parecer a na tela:

F ig u r a 5 1

Role o cursor no quadro a es quer da e cl ique em Financeir a,

como mostra a Figura 52.

Em seguida no qua dro a direit a pr ocur e a fun ca o TAXA (Figu-

ra 53). Clique OK.




F ig u r a 5 2

F ig u r a 5 3




Aparecer a u m a c a i x a d e d ialogo e ser a necessario preencher

algumas janelas:

N p e r coloque nesta lacuna o numer o total de ter mos da serie

uniforme.

P g t o coloque nesta lacuna o nu m e r o t ot a l d e t e r m os d a serie

uniforme.

VP preen cha este qu adr o com o valor presen te (valor at ua l), com

sinal cont r ar io ao pagamento. Se o VF e preenchido esta celula

deve ficar em bra nco.

Vf preen cha este qu adr o com o valor fut ur o, com sinal cont r ario

a o p a ga m e n t o. S e o Vp e pr eenchido esta celula deve ficar em

branco.

Tipo e o n um ero 0 ou 1, conform e os paga men tos sejam posteci-

pados ou a nt ecipados. Se for deixado em bra nco, o Excel assu mira

0, considera ndo os pa gamen tos postecipados.

E s t i m a t i v a e a sua estimativa para a t axa. Deixe em branco.

Obs e rv a c ˜ a o . O Excel trabalha com a “logica do contador”, na

qua l os paga men tos e os recebiment os devem ter sinais cont rarios.

Logo, se o valor pr esen te e um valor p ositivo, o va lor da s pr est a coes

e obrigatoriamen te n egativo.

E x e m p l o 1 . Qual e a ta xa de juros na compra de um veıculo cujo

pr eco a vista e de R$8 000,00 e e pago em 24 pagament os men sais

de R$400,00, o primeiro sendo efetu ado um mes apos a compra ?

Preencha Nper = 24, P g t o = − 400 e Vp = 8000. Apar ecera

TAXA (24; − 400; 8000) = 0,015130844, ou seja, 1,51% ao m es .

E x e m p l o 2 . Qual e a t axa de juros na compra de um veıcu lo cujo

pr eco a vista e de R$8 000,00 e e pago em 24 pagament os men saisde R$400,00, o primeiro sendo efetu ado n o ato da compr a?

Pr eencha Nper = 24, P g t o = − 400, Vp = 8 000, e Tipo = 1.

Aparecer a TAXA (24; − 400, 8000; ; 1) = 0,016550119, ou seja, 1,66%

a o m es .




E x e m p l o 3 . O Excel tambem calcula taxas de jur os em series

n ao-uniformes. Vejamos como calcular a taxa de juros ao ano do

finan ciamento a seguir:

An o 0 1 2 3 4 5 6 7

Valor 80 50 50 0 − 40 − 40 −60 −70

Os valores est ao em milhares de reais, as entradas de capital

fora m considera das positivas e as saıdas, negativas.

Inicialmente devemos colocar os valores do fluxo em celulas

adjacentes de uma mesma coluna da planilha, por exemplo, nascelulas de B1 a B8. Procedendo como an teriorment e, usamos os

comandos fÜ

, Finan ceira e TIR (encontr a-se imediatam ente a pos

TAXA).

Aparecer a uma caixa de dialogo. Par preenche-la, n ao digite

nada. Com o bot ao esquerdo do mouse aperta do, cubra as celulas

na s qua is foi colocado o flu xo de caixa, n o caso a s celulas de B1 a

B8. Elas ficar ao dentro de um ret angulo com efeito de movimento

na borda e a caixa de dialogo se preencher a sozinha, aparecendo:

VALORES B1:B8

TIR(B1:B8) = 0,031826856

A taxa e de 3,18% ao an o.


1. J oelma comp r ou um a gela deir a , cu jo pr eco a vista era R$800,00,

com uma entr ada de R$200,00 e s eis pr es tacoes m ens ais de

R$120,00. Qua l e a taxa mensal dos juros que ela esta pa gando?

2. Ma nu el comp rou um te levisor, cujo preco a vista era R$500,00,em dez p r est a coes men sais de R$60,00 cada, vencendo a pr imeira

dois m eses ap os a compra. Qual e a taxa mensal dos juros que ele

es t a pagan do?

∗Solu coes na pagina 193.




3. Uma caixa de funcion arios de certa empresa empr esta dinheiro

a seus a ssociados e calcula os juros de modo peculiar. Para um

empr estimo de R$1 000,00, para pagamento em 5 vezes, os juros

sao de “3% ao m es”, isto e, 15% em 5 meses. Portanto, o total a

ser pago e de R$1 150,00, ou seja , 5 p re st a coes de R$230,00 cada.

Qual e na realidade a ta xa de juros com que t raba lha a caixa?



Soluc ˜ oes do Capıtulo 1 133

S o lu c ˜ o e s d o s P r o b le m a s d o C a pı t u l o 1

1. Caso particular do Exemplo 3.

2. Admitindo a f ormula da a r e a d e u m t r iangulo, o resultado e

imediato. O fat or de pr oporciona lidade e a m e t a d e da d is t ancia

de P a r, que e a medida comu m das a ltur as de todos esses triangu-

los. Deste modo, o exercıcio se torna uma consequ encia (indireta)

do Exemplo 2, pois a f orm ula da area do t rian gulo resulta da area

do ret angulo.

3. Seja f(x, y) a ar ea do para lelogramo que t em OX e OY como la-

dos. A prova de qu e f(x, y) e proporcional a x e y se faz exatam en-

te como n o caso do ret an gulo. A consta nte de proporciona lidade

e a = f(1, 1) = (area do losango de lado 1 e an gulos internos α e

180 − α) = sen α. Port ant o f(x, y) = (sen α)x · y. N a o e preciso ta-

bela de senos n em calculadora par a responder a u l t im a pergunt a

do exercıcio. Sabendo que a · 6 · 7 = 29, obtemos a = 29/42. Logo

f(2, 3) = (29/42) · 2 · 3 = 29/7.

4. A ver ifica cao de que o volume f(x,y,z) do pa ra lelepıpedo que

t em OX, OY e OZ como a resta s e proporcional a x, y e z, se fazdo mesmo modo que no caso do bloco ret an gular. Tem-se porta nt o

f(x,y,z) = axyz, onde o fat or de pr oporciona lidade a = f(1, 1, 1) e

o volume do paralelepıpedo cujas arestas medem 1 e est ao sobre

as semi-retas OA, OB e OC. Se A OB = α, A OC = β e B OC = γ

en t a o a e a r aiz quadr ada do determinan te da “mat riz de Gram ”: 1 cos α cos β

cos α 1 cos γ

cos β cos γ 1

.

(Veja “A Matem atica do Ensino Medio”, vol. 3, pag. 152.) Observeque quando α = β = γ = 90◦ tem-se a = 1 e reca ımos no volum e

do bloco r eta ngular.

5. Para t odo t ≥ 0, seja f(t) a abscissa do ponto movel n o instan -

t e t. Dizer que o pont o percorr e espa cos igua is em temp os igua is




significa dizer que f(t + h ) − f(t), espa co per corr ido n o int er valo de

t em po [t, t + h ], depende apenas de h , m a s n ao de t. A constante

v = f(t + 1) − f(t), espaco percorr ido na un idade de t empo, cha ma -

se a velocidade do ponto m ovel. Pelo Teorema de Ca ra cteriza ca o

da s F u n coes Afins, se pusermos b = f(0) = abscissa do ponto de

partida, teremos, para todo t, f(t) = vt + b, desde que saibamos

qu e f e u m a fun coes crescente (ou decrescente). Do ponto de vista

f ısico, isto significa que o ponto se m ove sem pr e no mesm o sent ido.

E st a cond icao pode, sem pr eju ızo algum, ser inclu ıda n a d efin ica o

de movimento uniforme. (Veja tambem o comen t ari o a pag. 101 do

livro “A Matem atica do Ensino Medio”, vol. 1.) Deve-se notar quea posic ˜ ao do m ovel no eixo e da da pela fun cao afim f(t) = vt + b

por em o espaco (dist ˆ ancia) que ele percorr eu e d a do pe la fun ca o

linear e = vt.

6. A cont r apart i da al gebrica do fato de que por dois pontos dis-

t i nt os do pl ano passa um a, e som ent e um a, ret a e a pr oposica o

segundo a qual, dados x½

, x¾

, y½

, y¾

em R, com x½

= x¾

, existe

um a, e somen te u ma , fun cao afim f(x) = ax + b, tal que f(x½

) = y½

e f(x¾

) = y¾

. E m pal avras: um a funcao afim fica det erm i nada

quando se conhecem seus valores (tomados arbitrariamente) em

dois pontos dist int os. Es ta pr oposicao, que resulta imediatamen-

t e da sua versao geom etrica acima mencionada, pode ser provada

algebricam ente observando-se que, dados a rbitrar iamente x½

, x¾

,

y½

, y¾

, com x½

= x¾

, o sistema linear

ax½

+ b = y½

ax¾

+ b = y¾

,

cujas incognitas sa o a e b, pos su i a solu ca o unica

a = ( y¾

− y½

)/(x¾

− x½

) e b = (x¾

y½

− x½

y¾

)/(x¾

− x½

).

7. O primeiro (e ma is importa nte) fat o a n otar par a resolver este

problema e que o n um ero de dias que dur a a ra ca o e inversamen-

te p roporciona l a o num ero de vacas a serem al im ent adas: qua nt o




ma is vacas, men os dur a a ra ca o e a lem disso, se o n umero de va-

ca s e multiplicado por um n u m e r o n a t u r a l n, o n um ero de di as

que d ur a a ra ca o e d ividido por n. Passados os primeiros 14 dias,

o fazen deiro tin ha ain da r acao suficient e para alimentar 16 vacas

d u r a n t e 62 − 14 = 48 di as. Para saber durant e quant os di as est a

r a cao poderia alimentar as 12 (= 16 − 4) vacas resta ntes, observa-

mos que 12 = 16 × (3/4) logo esse n umer o de dias e 48 ÷ 3/4 = 64.

Depois d e m ais 15 d ias, a ra cao que rest a da para al im ent ar a s 12

vacas durant e 64 − 15 = 49 dias. Ess a m esma r aca o e suficiente

para al im ent ar 21(= 12 + 9) vacas durant e 49 ÷ (21/12) = 28 dias,

pois 21 = 12 × 2112

. Tota lizand o, na s circun st ancias do problema, a

r a cao dura 14 + 15 + 28 = 57 dias.

8. E st e exercıcio e a n alogo a o a nt erior, porta nt o su a solucao se-

gue as m esmas linhas. Ao final de 12 dias de viagem, a caravan a

t em agua sufici ent e para servi r 7 pessoas durant e 42 − 12 = 30

dias. E 10(= 7 + 3) pessoas? Como 10 = 7 × (10/7), a a g u a d u r a r a

30÷(10/7) = 21 dias. Como ainda faltam 30 dias para o fim da via-

gem, se for ma nt ido o mesmo consum o diar io de agua por pessoa,

u m oasis deve ser encontrado em 21 dias ou menos. Isto responde

o item b). Quan to ao item a), a ra cao dia r i a d e agua por pessoat a m bem e inversam ente proporcional ao n umer o de pessoas. Co-

m o 10 = 7 × (10/7), o consumo diari o por pessoa num a caravana

de 10 pessoas deve ser de 3,5 ÷ (10/7) = 2,45 litros.

9. No eixo orientado AB, tomaremos A como origem das abscis-

sas. Decorr idos t h or a s a pos a part i da, o carro que part i u de A

encontra-se no ponto de abscissa f(t) = vt, enquant o o que par t i u

de B tem abscissa g(t) = wt + d. Se eles se encont ra m no t em po

t, tem-se vt = wt + d, donde t =d

v − w. Evidentement e, se v = w

e d > 0 os carr os nu nca se encont ra m . Tam be m s e u < w n a oh a encont ro e, na verdade, a distancia wt + d − vt = ( w − v)t + d

a u m e n t a a m edida que pa ssa o tempo.

10. Ao depar ar com este pr oblema, a t endenci a nat ur al e soma r as

dist ancias percorr idas pelo passaro em suas idas e vindas, o que




e u m a t a r e f a m u i t o ar du a. A solucao mais simples consiste em

calcular o tempo. Os dois tr ens se chocam no momento t em que

46t + 58t = 260, ou seja, apos t = 260/104 = 2 horas e 30 minutos

E s t e e exat am ent e o t em po em que o passaro voou. Portanto ele

percorreu 60 × 2,5 = 150 quilometros.

11. Apos x m eses de uso, quem com prou o aparel ho na l oj a A

gastou f(x) = 3800 + 20x reais, enquanto quem comprou na loja B

gastou g(x) = 2500 + 50x. Tem-se g(x) − f(x) = 30x − 1300. Logo,

para t odo x ≥ 1300/30 = 431

3, tem-se g(x) − f(x) ≥ 0. N ou t r a s

pal avras, apos 43 m eses e 10 di as de u so, o aparel ho com prado

na loja B, que inicialmente era mais barato, torna-se mais caro do

que o comprado na loja A.

12. A solu cao dest e exercıcio e a n aloga a explica cao do E xem -

plo 3, so que ma is simples porque n a o h a necessidade de m ostr ar

que a correspondencia x → z es t a bem definida. A partir do pon-

t o Z, t race um a sem i -ret a paral el a a OA, contida no interior doangulo A OB. Se X e um ponto de OA t al que X es t a e n t r e O e X

(ou seja, x < x ) ent ao o segm ent o X Z cort a essa paral el a num

ponto M. (Faca a figu ra !) Logo x < x⇒ z < z . Alem disso, se

OX = XX = x en t ao os t riangulos OXZ e Z < Z sao congruen -

tes por terem os lados OX e XX igua is compreendidos entr e os

an gulos igua is O = Z e X = M. P or t a n t o MZ = XZ. C om o e

claro que XZ = X M, segue-se que z = 2z. (Est a e xplicaca o so

faz sentido se for a compan ha da de uma figur a.) Analogamente,

x = nx⇒ z = nz.

Temos ent ao (vide Exemplo 3) dua s proporciona lidades: x →

ye x → z. Os dois fatores de proporcionalidade s ao iguais quando

y/x = z/x, ou seja, qua ndo z = y (para o mesmo x). Isto significa

que o t riangulo OXZ e is osceles. Portanto os fatores de proporcio-

na lidade sao igua is se, e somen te se, a ret a r forma an gulos iguais

com OA e OB.




S o lu c ˜ a o d o p r o b l e m a d a l e b r e e d o c a c h o r r o

Um pulo de lebre e igua l a 2/3 de um pulo de cachorro. Portanto a

dianteira da lebre e de 100/3 pulos de cachorro. No momento em

que alcancar a lebre, o cachorr o t era d a d o x pulos e a lebre ter a

dado 4/3 pulos (de lebre), ou seja, ( 4/3) × (2/3)x = (8/9)x pulos

de cachorr o. Nesse m omen to, a dist an cia per corr ida pelo cachorro

(medida em termos de pulos) e igua l aquela percorrida pela lebre

mais a dianteira qu e ela levava n o princıpio. Assim:

x =8

9 x +100

3 , donde 9x = 8x + 300 e x = 300.

Port an to, dan do 300 pu los, o cachorr o alcanca a lebre.





1. Note que x +1

xe o d ob r o d a m edi a ari t m etica de x e

1

x, lo-

go e maior do que ou igual ao dobro da m edia geom etrica desses

n umeros, que e i gual a 1. Assim , x +1

x≥ 2 para t odo x > 0. A

igua ldade ocorr e apena s qua ndo x =1

x, ou seja, qua ndo x = 1.

2. A soma ax + by e o d o b r o d a m edi a ari t m etica de ax e by,logo e maior do que ou igual ao dobro da m edia geom etrica des-

ses n um eros, sendo i gual apenas quando ax = by, caso em que

ax + by = 2√

ax · by = 2√

abc. E st e e, portanto, o menor valor

de ax + by quando xy = c. C om o ax = by, cada um destes dois

n umeros e igua l a√

abc.

3. Se o comprimento procurado e x m et ros e a profundi dade e

y m et ros ent ao, como a largura e 1 metr o, o volume do bura co e

1 · x · y = 300 m ¿ . O custo da ta refa de cavar e 10x + 30y. Tra ta-se,

portanto, de minimizar a soma 10x + 30y sabendo que xy = 300.

Pelo exercıcio an ter ior, o valor m ınimo e obtido quan do 10x = 30y.Sendo y = 300/x, isto nos d a 10x = 30 · 300/x = 9000/x, logo 10x¾ =

9000, x = 30 e y = 300/30 = 10. Logo o bura co deve ter 30 met ros

de compriment o e 10 metr os de pr ofun didade. Seu custo ser a de

600 reais.

4. U m a d a s t or n e ir a s e n ch e o t a n q u e e m x h o r a s e a o u t r a e m

x + 10 horas. E m u m a h ora as dua s t orneiras junt a s enchem 1/12

do t anque, sendo 1/x e 1/(x + 10) r espectivam ent e a s fra coes do

volume do ta nque que representa m a contr ibuica o d e ca d a u m a

nesse per ıodo. Logo1

x+

1

x + 10=

1

12.

Eliminan do os den omina dores e simplifican do, tem -se

x¾ − 14 − 120 = 0.




A s ra ızes dest a equa ca o sa o 20 e −6. Com o x n ao pode ser

negativo, deve ser x = 20. Logo, uma das torneiras enche o tanque

em 20 hora s e a outra em 20 + 10 = 30 horas.

5. Seja z o n umer o de hora s que as duas t orn eira s jun tas levariam

par a encher o tan que. Em u ma hora, a fraca o d o t a n q u e q u e a s

duas torneiras juntas enchem e1

z. Logo

1

z=

1

x+

1

y=

x + y

xye da ı

z =xy

x + y. (Note que z e a m et ade da m edia ha rm onica de x e y.)

6. Sejam x e y respectivamente o n um ero de horas necessari as

para que cada guindast e descarr egue sozinho o na vio. Tem osxy

x + y= 6 e y = x + 5, logo

x(x + 5)

2x + 5= 6 e da ı x¾ − 7x − 30 = 0.

As ra ızes d est a equ a ca o sa o 10 e −3, logo x = 10 e y = 15.

7. O primeiro comercian te vendeu x met ros ao pr eco de p reais

por metr o. O segun do vendeu x + 3 metros a q reais cada metro.

Os dados do problema se traduzem por

px + q(x + 3) = 35, (x + 3) p = 24 e xq = 12,5.

Logo p = 24/(x + 3) e q = 12,5/x. S u b st it u i n do n a p r im e ir a

equ a ca o:

24x

x + 3=

12,5(x + 3)

x= 35 ou

48x

x + 3+

25(x + 3)

x= 70.

Eliminan do os den omina dores e s implifican do, recaımos na equa-

ca o x¾ − 20x + 75 = 0, cujas r a ızes sa o x½

= 5 e x¾

= 15. A m bas as

r a ızes servem, logo o problema admite duas respostas certas.

Pri m eira respost a: um dos com erci ant es vendeu 5 m et ros a24/(5 + 3) = 3 reais o metr o e o out ro vendeu 8 metr os a 12,5/5 =

2,50 reais cada met ro.

Segunda resposta: um dos comerciantes vendeu 15 metros a

4/3 de rea is o metro e o out ro vendeu 18 metr os a 5/6 de real cada

metro.




8. E scre ven do a equ a cao dada sob a form a √x = x − m e elevando-

a a o qua dra do, vemos que ela e equivalent e a s segu in t es condicoes

simult aneas:

x¾ − (2m + 1)x + m¾ = 0, x ≥ 0, x ≥ m.

O discrimin an te da equa cao do segundo grau acima e ∆ = 4m + 1.

Vam os sepa ra r os valores possıveis de m em cinco casos:

1o¯ ) m < −1/4. E n t a o ∆ < 0, logo n a o h a solu ca o.

2o

¯ ) m = −1/4. E n t a o ∆ = 0, a equ a cao do segundo grau acimat em apenas a ra i z x = 1/4, que cumpr e x ≥ 0 e x ≥ m, logo a

equ a ca o m +√

x = x tem n este caso uma u n ica solu ca o.

3o¯ ) −1/4 < m < 0. E n t a o ∆ > 0, logo a equ a ca o x¾ − (2m + 1)x +

m¾ = 0 t e m d u a s r a ızes, am bas positivas (pois 2m + 1 > 0 e

m¾ > 0), amba s m aiores do que m (pois m e negativo), logo,

n est e cas o, a equ a ca o m +√

x = x t em du a s solucoes.

4o¯ ) m = 0. E n t a o

√s = x te m du a s solucoes: x = 0 e x = 1.

5o¯ ) m > 0. E n t a o a equ a ca o x¾ −(2m+1)+m¾ = 0 t em duas ra ızes

distinta s, amba s positivas, com pr odut o m¾ , logo apen as um a

delas e ma ior do que m. Assim, neste caso, m + √x = x t em

u m a u n ica solu ca o.

Geometricamente, as ra ızes x da equ a ca o m +√

x = x sao os

pont os de int er secao da sem i-par abola deitada y = m +√

x, x ≥ 0,

com a ret a y = x, bi sset ri z do pri m ei ro e t ercei ro quadrant es.

A Figur a 54 ilust ra as possibilidades, conform e os valores de m.

9. O professor comprou x l ivros e cada um custou 180/x reais.

Segundo o enu nciado, tem-se

180x + 3

= 180x

− 3.

Elimin an do os den omina dores e sim plifican do obtem os a equ aca o

x¾ + 3x − 180 = 0, cuj as ra ızes sa o 12 e −15. Logo o professor

comprou 12 livros a 15 reais cada um.




X

Y y = x

xm y +=

41-

(a) m < ¼-

X

Y y = x

xm y +=

41

- 4

1

41

X

Y y = x

xm y +=

41-

X

Y y = x

x y =

1

1

X

Y y = x

xm y +=

(b) m = ¼-

(c) -¼ < m < 0 (d) m = 0

(e) m > 0

Fi g u r a 5 4




10. O n umero de diagonais de um polıgono convexo de n lados e

igu a l a n(n − 3)/2. I gu a la n do-o a 405, obtemos a equaca o

n¾ − 3n − 810 = 0, cuja unica raiz positiva e n = 30. P or t a n t o

o polıgono tem 30 lados.

11. O n umer o de jogos nu m cam peona to disputado por n clubes

em dois turnos e n(n − 1). Logo n ¾ − n = 306. Resolvendo esta

equ a cao, encontramos a un ica ra iz positiva n = 18.

12. E r a m x am i gos. Se t odos pagassem , a cot a de cada um se-

r ia 342/x reai s. C om o 3 nao paga ra m, a cont ribuicao individualpassou a ser 342/(x − 3) reais. Segun do o enu nciado do proble-

ma, tem-se 342/(x − 3) = (342/x) + 19. Eliminan do os denomina-

dores e simplificando, vemos que x e a ra iz positiva da equa ca o

x¾ − 3x − 54 = 0, logo x = 9. E ram port a nt o 9 a m i gos, que deve-

ri am pagar 342/9 = 38 reais cada m as, no final, os 6 que pagar am

contribu iram com 342/6 = 57 = 38 + 19 reais cada um.

13. Seja x a pr ofun dida de do poco. O t empo de qued a e t =

2x/g

e o tem po que leva o som pa ra ir do fun do do poco a altur a do solo

e t = x/v. Logo t = t + t nos da

t =

2x/g + x/v,

2x/g = t − x/v (∗)

Elevando (∗) ao quadrado, obtemos

2x

g= t ¾ −

2tx

v+

x¾

v¾

, ou x¾ −2v

g(gt + v)x +

v ¾ gt ¾

g= 0.

Resolven do est a equ a cao do segundo gra u, encontr amos as ra ızes:

x =v

g

gt + v ±

v( v + 2gt)

.

E s t a s r a ızes sao ambas positivas, pois e claro que (gt + v)¾ =

(gt) ¾ + 2vgt + v¾ > 2vgt + v¾ = v( v + 2gt).

M a s a uni ca rai z adequada para o probl em a e a que corres-

ponde ao sinal − an tes do radical. Com efeito, se tomassemos o

sinal + t er ıamos x > vt, o que e absurdo pois x = vt < vt.




14. Seja x a velocidade das a g u a s d o r i o e m k m p or h or a . N o

movimento uniforme, tem-se tempo = es pa co/velocida de. Logo,

soma nd o o tem po de ida com o de volta r esu lta a equa ca o

12

12 + x+

8

12 − x= 2, ou s eja , x¾ − 2x − 24 = 0.

A un ica ra iz positiva dest a equ aca o e x = 6. Port an to a velocidade

do rio e de 6 km por hora. O remador levou 40 minutos para ir e

1 hora e 20 minutos para voltar.

15. Sejam x a a l t u r a e y a b a s e d o t r iangul o i nvert i do. Porsem elha nca , vale (5 − x)/5 = y/4. (Faca a figur a!) Logo y = 4

5(5 − x). Segue-se que a a r e a d o t r iangulo invertido, inscrito no

m a ior, em fun cao da sua a l t ura, e expressa p or xy/2 = 2x−(1/5)x¾ .

Seu valor m aximo e atingido quando x = 5/2. O t r ian gulo ma ior,

cuja area e 10 m ¾ , fica assi m decom post o em 4 t riangulos con-

gruent es, de a r e a i g u a l a (5/2) m ¾ , u m d o s q u a i s e o t r iangulo

invertido inscrito.

16. Se α e β sao as r a ızes da equ a ca o ax¾ +bx+c = 0 en t a o a fu n ca o

quadr atica f(x) = ax¾ + bx + c atinge, par a x = −b/2a = (α + β)/2,

seu valor m aximo se a < 0 ou seu valor m ınimo se a > 0. Port an t o

f(x) = 2(x − 2)(x + 3) e m ınimo para x = (2 − 3)/2 = −1/2. E s s e

m ınimo e f(−1/2) = −25/2. Ana logamente, g(x) = 3(2 − x)(5 + x)

assum e seu valor m aximo quan do x = (1−5)/2 = −3/2. E sse valor

e g(−3/2) = 147/4.

17. O n ovo ret an gulo tem base b − x e al t ura a + x, logo su a a r e a

e f(x) = (a + x)(b − x). As ra ızes da equ a ca o f(x) = 0 sa o −a

e b. O coeficiente de x ¾ em f(x) e −1. Logo a fun cao quadr atica

f(x) assum e seu valor m aximo quando x = (b − a)/2. N ot e que,

par a este valor de x, o ret an gulo de base b−

x e al t ura a+

x e , narealidade, o quadr ado de lado (a + b)/2.

Outro modo de resolver este problema consiste em observar

que, para todo x com 0 ≤ x ≤ b, o per ımetro do ret an gulo de base

b−x e al t ura a+x e constante, logo sua area e m axima qua ndo ele

e um quadrado, ou seja, quando b−x = a+x, o que da x = (b−a)/2.




18. As diagona is do losango sa o x e 8 − x logo a area do m esm o e

x(8 − x)/2 = x 4 −

1

2x

e seu valor m aximo e obtido par a x = 4.

E n t ao as duas di agonai s sao iguais e o losango e u m q u a dr a d o

cujo lado m ede 2√

2.

19. Se x e o menor dos dois n umeros ent a o x + 8 e o out ro e seu

produto f(x) = x(x + 8) assum e o valor m ınimo f(− 4) = −16, logo

os valores possıveis desse produto formam o intervalo [−16, +∞).

N a o h a valor m aximo.

20. O enunciado do problema ja indica que, se escrevessemos a

fu n cao na form a f(x) = ax¾ + bx + c, t e r ıamos a > 0, logo seu

gr afico e u m a p a r abola com a concavidade voltada para cima. E

ma is convenient e, por em, escrever f(x) = (x − m)¾ + k. Para t odo

y ≥ k, queremos achar x ≥ m t a l q u e (x − m)¾ + k = y, ou seja,

(x − m) ¾ = y − k. D ev e s er e n t a o x − m = ±√ y − k, logo x =

m ± √ y − k. Como se deseja x ≥ m, a solu cao adequada e x =

m +√

y − k. Porta nt o, a fun cao inversa f¹ ½ : [k, +∞) → [m, +∞)

e dada por f¹ ½ ( y) = m +√

y − k, onde m = −b/2a e k = f(m).

N o caso part i cul ar em que f(x) = x¾ − 6x + 10, tem-se m = 3,

k = f(3) = 1 e a in ver sa da fun ca o f : [3, +∞)→ [1, +∞) e dada porf¹ ½ ( y) = 3 +

√ y − 1.

21. P a r a fi x a r a s i deias, suponhamos a ≤ b. E n t ao deve-se ter

0 ≤ x ≤ a ≤ b. A area do paral el ogram o e i gual a area ab

do ret angul o m enos a som a das a r e a s d e 4 t r iangulos, logo e ex-

pressa por f(x) = ab − (a − x)(b − x) − x¾ = x(a + b − 2x), com

0 ≤ x ≤ a ≤ b. As r aızes da equ a ca o f(x) = 0 sa o x = 0 e

x = (a + b)/2. Logo a fun ca o f assume seu valor m aximo no pon-

t o x = m, onde m = (a + b)/4. Se t iverm os b ≤ 3a en t ao ser a

m ≤ a e x=

m ser a a solu cao do problema. Se, entreta nto, forb > 3a en t a o a fu n ca o f assu me seu valor m aximo no pont o m > a.

O gr afico de f e u m a p a r abola com a concavidade para baixo, que

cort a o eixo OX nos pont os de abscissas 0 e (a + b)/2 (esboce-o!).

Como seu m aximo e a tingido no ponto m, que est a a direita de a,

a fu n ca o e crescente no intervalo [0, a ] porta nt o o m aximo de f(x)




p a r a 0 ≤ x ≤ a e f(a). N est e caso (b > 3a), a resposta e x = a.

(Desenhe o paralelogramo obtido quando x = a.)

22. a) Os n umeros x que sao pelo menos 16% ma iores do que seus

quadrados sa o a s solu coes d a ine qu a ca o x ≥ x¾ + 0,16x¾ ou seja

1,16x¾ − x ≤ 0. A s r a ızes da equ a ca o 1,16x ¾ − x = 0 sa o x = 0 e

x = 0,862. Portan to os n umer os pr ocur ados s ao todos aqueles que

cum pr em a con dica o 0 ≤ x ≤ 0,862.

b) Os n umeros x que s ao, no m aximo, 22% menores do que o

qu a dr a do d e su a s m et a des sao as solucoes da inequa ca o

x ≤ (x/2)¾

+ 0,22(x/2)¾

, ou seja, 1,22 · x¾

− 4x ≥ 0. P or t a n t o aresposta e x ≤ 0 ou x ≥ 4/1,22 = 3,278, ou seja, todos os n umeros,

exceto os n um eros positivos m enores do que 3,278.

c) Pedem-se os n umeros x t ai s quex

2

=

x

5+ 0,3

x

5, ou seja,

x¾ − 1,04x = 0. Logo os n umer os pr ocur ados s a o x = 0 e x = 0,961.

23. Seja m/n racional. Se fosse p(m/n)¾ +q(m/n)+r = 0 t er ıamos

pm¾ + qmn + rn ¾ = 0. Podemos su por m/n irredut ıvel, digamos

m p a r e n ım par. C om o o produt o de um i nt eiro par por qual -

quer outr o inteiro e ainda par, pm¾ e qmn sao pa res, logo a soma

pm¾ + qmn e par. Por outr o lado r e n¾ sa o ı m pares port an t o rn¾

e ı m par. E n t a o ( pm¾ + qmn) + rn¾ , som a de um n umer o par com

u m n u m e r o ımpar, e ımpar, consequent em ent e = 0. Con t r a dica o.

Se fosse m ı m par e n par, o argumento seria an alogo: a primeira

parcela da soma pm¾ + qmn + rn ¾ seria ım p a r e a s d u a s ou t r a s

par es, logo a soma nao poderia ser igual a zero.

24. A t rabal hou um t ot al de x + 3 horas e B, x horas. O n u m e r o

de laudas que A digitou por hora foi 120/x enquant o que B digitou

252/(x + 3) laudas em cada h ora . O total de laudas digitado por A

foi 120(x + 3)/x e, o de B, 252x/(x + 3). Logo

120(x + 3)

x+

252x

x + 3= 354.

Eliminan do os den omina dores e simplifican do:

x¾ − 19x + 60 = 0.




Portanto, devemos ter x = 15 ou x = 4. Ambas as possibilida-

des sa o validas: o problema admite du as r espostas.

Se tomarm os x = 15, isto significa que A tra balhou um t ota l de

18 horas, digitando 120/15 = 8 l audas por h ora enquant o B t r a b a -

lhou du ra nte 15 hora s, digitan do 252/18 = 14 laudas por h ora . Ao

todo, A digitou 144 laudas e B digitou 210.

Se t om arm os x = 4, isto significa que A t r a b a lh ou d u r a n t e

7 horas, fazendo 120/4 = 30 laudas por hora e B t ra balhou duran t e

4 horas, completando 252/7 = 36 laudas por hora.

(D o pont o de vist a m at em at i co, am bas as respost as sao cor-

r e ta s . N a p ra t i ca, a pri m ei ra respost a requer habi l i dade m as eposs ıvel, enquan to a segun da e a lt am ent e i m plaus ıvel.)

25. Tomemos o vinh o cont ido inicialment e no t onel como u nidad e

de volume. Seja x o volume de agua introduzida no tonel (igual

ao volume do lıquido retirado) cada vez. Ent a o 0 ≤ x ≤ 1. Apos a

pr imeir a oper a cao, o tonel continha um volume x de agua, a qual

adm itiremos que se mistur ou imediat am ent e com o vinh o form an -

do um lıquido homogeneo. Assim, o volume x do lıquido retira do

no in ıcio da segun da opera cao cont e m u m a p a r t e d e a g u a q u e e

proporcional a agua contida no tonel inteiro, logo sa o r e t ir a d a s

x¾ unidades de agua, r estan do no tonel um l ıquido contendo x − x¾

unidades de agu a. A segun da opera cao se completa acrescenta n-

do mais x unidades de agu a. A encerra r-se a a cao, o tonel cont em

port ant o 2x − x¾ uni dades de agua. O enun ciado o problema diz

que este e a m et ade do t ot al . Port an t o 2x − x ¾ = 1/2. Resolvendo

es t a equ a cao, obtemos x = 1 ±√

2/2. Como deve ser 0 ≤ x ≤ 1,

segue-se que x = 1 −√

2/2 = 0,293. Port an to, em cada opera ca o a

agua colocada no tonel corr esponde a proxima dam ent e a 3 decimos

do seu cont eudo.

26. Seja f(x) = ax¾ + bx + c a fu n cao procur ada. Os dados f(1) = 2,

f(2) = 5 e f(3) = 4 significam que

a + b + c = 2

4a + 2b + c = 5

9a + 3b + c = 4




Resolvendo este sistema, encontr amos a = −2, b = 9 e c = −5,

logo f(x) = −2x¾ + 9x − 5.

27. De f(1) = f(3) resul t a que m = (3 + 1)/2 = 2. Como o grafico

de f tangencia o eixo OX, vemos que k = 0, logo a fu n cao procur ada

e f(x) = a(x−2) ¾ . A in form a ca o f(3) = 2 nos da ent a o a = 2 e ent a o

f(x) = 2(x − 2) ¾ = 2x¾ − 8x + 8.

S o lu c ˜ a o d o p r o b l e m a d o r e s t a u r a n t e a q u i l o

Se o quilo de comida pas sar de 12 p a r a 12 + x reai s, o rest auran t e

perdera 10x clientes e deixar a de vender 5x quilos de comida. A

venda diari a passara a ser 100 − 5x quilos e a receita sera de

(100 − 5x)(12 + x) = −5x¾ + 40x + 1200 reais.

O m a x im o d es s a fu n ca o qu adr atica e a t in gid o qu a nd o

x = (− 40) ÷ (−10) = 4. Port an t o, o preco que dar a a m a i o r

receit a ao rest aura nt e sera de 12 + 4 = 16 reais o quilo.





1. A cada per ıodo de 5 a n os, a popu lacao da cidade e m ultiplicada

por 1,02. Logo, em 20 anos, ela e multiplicada por 1,02 = 1,0824.

Assim, o crescimen to estima do e de 0,0824, ou seja, 8,24%.

E st a i m plıcito n o enu nciado do pr oblema, que a populaca o e

multiplicada por uma constante em qualquer intervalo de tempo

de du r a cao fixa (n ao n ecessar iamen te com a dur acao de 5 anos).

E s t e e um modelo adequado para crescimento populacional, pois

tr ad uz o fat o de que o au men to da popu lacao, em um cert o inter va-lo de tem po, e proporcional a pop u la cao n o inıcio deste intervalo.

Em consequ en cia, a popu laca o p(t) n o i n s t a n t e t e expressa

por u ma fun cao do tipo exponencial p(t) = baØ , onde b = p(0) e

a pop u la cao no insta nte inicial. O valor de a pode ser calculado

usa ndo o fat o de que, em 5 an os, ha um crescimento de 2%. Temos

p(5) = p(0) × a = p(0)× 1,02. Portan to, a = 1,02½

e p(t) = p(0) ×1,02

Ø

. L ogo, o cresci m ent o r elat i vo em um perıodo d e du r a ca o

t anos e

p(t) − p(0)

p(0)=p(0) × 1,02 Ø

− p(0)

p(0)= 1,02

Ø

− 1.

2. O n um ero de bact e r ia s n o i n s t a n t e t e da form a f(t) = baØ .

Como f(0) = 1000, temos b = 1000. Com o f(1) = 1500, temos

1500 = 1000 ·a½ e, da ı, a = ½ ¼ ¼

½ ¼ ¼ ¼

= ¿

¾

. Logo, f(t) = 1000 ·

¿

¾

Ø

. Assim,

5 horas a pos o in ıcio do experim ent o, o n umer o de bacterias ser a

f(5) = 1000 ·3

2

≈ 7594 bact erias.

3. A lei do resfriam ent o est abelece que a diferen ca T − 20 e n t r e

as tempera tur as da peca e do am biente varia, ao longo do tem-

po, com um a ta xa de va riaca o q u e e proporcional ao seu valor.

Isto significa que T − 20 e dada por uma fun cao do tipo expo-

nencial do tempo. Ou seja, T − 20 = ba Ø ou, equivalentemen te,




T = 20+ baØ . Para calcular a e b, usamos as temperaturas obser-

vadas nos i nst ant es t = 0 e t = 10 (estamos escolhendo medir o

temp o em minu tos). Temos

20+ ba ¼ = 120, de onde obtemos b = 100 e

20 + 100a½ ¼ = 80, de onde obtemos a ½ ¼ = ¼

½ ¼ ¼

= 0,6 e, da ı, a =

0,6½

½ ¼ .

O u sej a, a t em perat ura T ao longo do t empo e dada por T =

20 + 100 · 0,6 Ø

½ ¼ . Apos 1 hora (ou sej a, para t = 60 minutos), a

t em perat ura ser a

T (60) = 20+ 100× 0,6 ¼

½ ¼

= 20+ 100× 0,6 ≈ 24,7.

O gr afico da temp era tu ra ao longo do tem po est a na Figura 55.

t

T

120

20

80

Fi g u r a 5 5

4. A m assa de m a t eria radioativa e dada por m(t) = m¼

· aØ , onde

m¼

e a massa no insta nte inicial. Como a m eia-vida e 5500 anos,

temos m(5500) = m¼ · a

¼ ¼

= m¼ ·

½

¾ . Logo, a ¼ ¼

=

½

¾ e, portan to,a =

½

¾

½

¼ ¼ . Assim, a ma ssa de ma terial ra dioativo que resta apos

10000 anos e

m(10000) = m¼

· a½ ¼ ¼ ¼ ¼ = m¼

·1

2

½ ¼ ¼ ¼ ¼

¼ ¼

= m¼

· 0,284.




Logo, r esta m 28,4% do mat erial r adioativo original.

5. A m a s s a n o in s t a n t e t e m(t) = m¼

· aØ . C om o m(1) = 0,8m¼

,

temos m¼

· a½ = 0,8m¼

e, portanto, a = 0,8. A meia-vida e o tempo

e m q u e a m a s s a s e r e d u z a m e t a d e . E obtida, portanto, resol-

ven do a equ a ca o m¼

· 0,8Ø = m¼

· ½

¾

, ou seja, 0,8Ø = 0,5. Assim ,

t log 0,8 = log 0,5 e, da ı, t = log ¼

log ¼

. Usa ndo, por exemplo, logarit-

mos na base 10, tem-se

t =−0,30103

−0,09691= 3,10628 anos.

6. Segun do a lei de r esfriam ent o, a diferenca T − 20 e n t r e a t e m -

perat ura do corpo e a t em perat ura do am bient e e d a d a p or u m a

fu n cao do tipo exponencial. Assim, T − 20 = b · aØ , ou seja, T =

20+ b · aØ .

Adotando t = 0 como o insta nt e em que a tem pera tu ra do corpo

foi tomada pela primeira vez e medindo o tempo em horas, temos

T (0) = 34,8 e T (1) = 34,1.

Assim, temos 20+ b · a ¼ = 34,8, o que nos fornece b = 14,8. E m

seguida, 20 + 14,8

·a½ = 34,1, de onde tira mos a = ½ ½

½

. Portanto,

temos T = 20+ 14,8 · ½ ½

½

Ø

.

P a r a e n con t r a r o i n s t a n t e d a m or t e , d ev em os d et e r m in a r t

de m odo que T = 36,5. Ou seja, devemos resolver 36,5 = 20 +

14,8

½ ½

½

Ø

. Temos

16,5 = 14,8×14,1

14,8

Ø

16,5

14,8=

14,1

14,8

Ø

log 16,5 = t log

14,1

14,8

Empr egan do logaritmos na base e, temos 0,10873 = −0,04845t, de

onde obtemos t = −2,24.

O si nal negat ivo indi ca que o inst an t e em que a t em perat ura

do corpo er a de 36,5◦ e a nt erior ao moment o da pr imeira medica o.




Assim, a morte ocorreu aproximadamente 2,24 horas, ou seja, 2

horas e 14 m inut os ant es das 23:30. Ist o e, o hor ario estimado

para a m ort e e 21:16.

7. E necessari o, ant es de m ai s nada, i nt erpret ar corret am ent e

a s in for m a coes forn ecidas. A taxa de 10% ao m es n ao implica em

que, ao longo de um m es, 10% da agua se evapore. O valor d ado se

refere a t a xa in s t a n t a ne a d e eva pora cao. Ou seja, se a agua con-

tinuasse a se evaporar a uma taxa constante e igual a do inst ant e

inicial, 10% da agua se evapora ria em um m es. No entan to, a ta xa

de eva por a ca o e proporcional a quan t i dade de agua existente e e,porta nt o, decrescent e a o longo do tem po.

Como a ta xa de evaporaca o e proporcional a q u a n t i d a d e d e

agua no reservat orio, est a e da da por u ma fun cao do tipo exponen -

cial. E conven ient e expres sa r es ta funcao na forma q(t) = q¼

· e Ø ,

onde q¼

e a quant i dade i ni ci al de a g u a n o r e s er v a torio e k e a

consta nte de proporciona lidade entr e a taxa de evaporaca o e a

quant i dade de agua. O dado do problem a e que est a const ant e

de proporcionalidade (logo o valor de k) e igual a 10% = 0,1 (com

o temp o medido em meses). A lei de var iacao da quant i dade de

agua e, assim, q(t) = q¼

·e ¹ ¼ ½ Ø .

Para achar o tempo necessar io par a que a agua se reduza a 1/3de su a qua nt idade inicial, devemos r esolver a equa ca o

q¼

· e¹ ¼ ½ Ø = q¼

· 13.

Temos −0,1t = log

½

¿

= −1,09861. Logo, t = 10,9861, o que indica

que a quan t i dade de agua se reduz a 1/3 de seu valor em aproxi-

m adam ent e 11 m eses.

8. N o probl em a 4, est abel ecem os que a m assa de C½ ao longo

do tempo e dada por m(t) = m¼

· ½

¾ Ø

¼ ¼ . Se a radi oat i vidade da

amostra hoje e 0,45 da observada em uma amostra viva do mesmom at eri al , t em os que o t em po t decorr ido entre a epoca em que o

material estava vivo e os dias de hoje satisfaz

m¼

·1

2

Ø

¼ ¼

= m¼

· 0,145.




Logo,

½

¾

Ø

¼ ¼ = 0,145, ou seja, Ø

¼ ¼

log ½

¾

= log 0,145.

Utilizando logaritmos na base e:

t

5500· (−0,69315) = −1,93102

Portanto, t ≈ 15322. Logo, as pinturas foram feitas aproximada-

mente 15000 anos atr a s.

9. A lei de va r ia cao da qua ntidade de dr oga pode ser expressa n a

forma q(t) = q¼

·e¹ Ø , onde q

¼

e a quan tidade inicial da droga (20

mg) e k e a r a zao en tr e a ta xa de eliminaca o e a q u a n t id a d e d edroga. N este caso,

k =5 mg/hora

20 m g= 0,25 hora

(note a unidade apropriada para k). Assim q(t) = 20 · e¹ ¼ ¾ Ø .

Para calcular a meia-vida t, r esolvemos a equ a ca o

20 · e ¹ ¼ ¾ Ø = 20 · 12

Temos:

e¹ ¼ ¾ Ø = 0,5

−0,25t = log

0,5

t =log

0,5

log

0,25= 2,772 ≈ 2 horas e 46 minutos.

10. E m pregar um a escal a l ogar ı tmica para o eixo Y equivale a

represent ar, para cada val or de x, o p ar (x, log½ ¼

f(x)) n o p la n o

cart esian o. Logo, o grafico ser a u ma r eta s e e somente se os pont os

(x, log ½ ¼ f(x)) es t ao sobre um a ret a. Ist o ocorre se e s o se existemconstantes a e b tais que log

½ ¼

f(x) = ax+ b, ou seja,

f(x) = 10 Ü · = 10 · (10 )Ü

= B ·AÜ ,

onde B = 10 e A = 10 .




Na parte b), temos log½

0y = ax + b, onde os valores de a e b

podem ser encontrados com o auxılio de dois pontos do gr afico.

P a r a x = 0, tem os y = 10 e, par a x = 4, tem os y = 1000. Logo

log½ ¼

10 = 1 = a · 0+ b

log½ ¼

1000 = 3 = a · 4+ b

Resolvendo o sistema , encont ra mos b = 1 e a = ½

¾

. Logo, log½ ¼

y =

½

¾

x+ 1, ou seja, y = 10½

¾

Ü · ½ = 10 ·√10

Ü

.

11. N a solu cao do problema 1, vimos que, a o discret izar o fenomenosegun do inter valos de d ur aca o ∆t, obtemos:

c(t+ ∆t) − c(t) = c(t) · − v∆t

V + v∆t.

Logo,c(t+ ∆t) − c(t)

∆t= −c(t) · v

V + v∆t.

Port a nt o, a t axa i nst ant a ne a de va r iacao obtida t oma ndo o limite

quando ∆t → 0 da expressao a cima e igua l a −c(t) · Ú

Î

.

J a n o pr oblema 6, vimos que a ta xa d e var iacao da quant i dadede cloro no instante inicial e igual a -105 g/hora . Logo, − Ú

Î

c(0) =

−105. Como V = 100 m ¿ e c(0) = 1000 g, temos − Ú

½ ¼ ¼

· 1000 = −105

e, portanto, v = ½ ¼ ¼

×½ ¼

½ ¼ ¼ ¼

= 10,5 m ¿ /hora.

12. a) No insta nte 0, e ingerida uma quantidade q. Im edi at am en-

t e an t es do i nst ant e h , a quan t i dade se reduz a q/2. E , ent ao, in-

gerida uma nova quantidade igual a q, elevan do a qua ntidade de

droga para Õ

¾

+ q = ¿ Õ

¾

. Ao longo do pr oximo per ıodo de du r a ca o h ,

a quan tidade de dr oga decai segun do a lei q(t) = ¿ Õ

¾

·

½

¾ Ø

, onde t

e o tempo decorr ido a par tir do instan te h . Logo, a quan tidade de

droga existente no instan te ¿

¾

= h +

¾

e ¿ Õ

¾

·

½

¾

¾

= ¿ Õ

¾

(2).

b) B ast a anal i sar o que ocorre i m edi at am ent e depoi s da i n-

gest ao de cada dose da droga. Entre estes instantes a quantidade

de droga decai a met ade d e seu valor segund o uma funcao do tipo

exponencial.




Seja q(n) a quan tidade de droga imediata ment e apos o instan-

t e nh . Tem os q(0) = q e q(n + 1) = q(n) · ½

¾

+ q, p a r a t o d o q

(observe que, entre os instantes nh e (n + 1)h a q u a n t i d a d e d e

droga se reduz a m et ade, m as e acrescida de uma nova dose igual

a q).

Assim:

q(1) = q · 12

+ q

q(2) = q ·1

2 ·

1

2

+ q = q

·

1

4

+ q

·

1

2

+ q

etc.

E s imp les pr ovar, por in du cao, que

q(n) = q

1

2Ò

+1

2Ò ¹ ½

+ · · ·+ 1

= q·

1−

½

¾

Ò · ½

1− ½

¾

= 2q

1−

1

2

Ò · ½

.

O valor l imite, quan do n → ∞, da quant i dade q(n) de droga

no organ ismo logo ap os s u a in jeca o e, port ant o igual a 2q.

O gr afico da Figura 56 mostra o comportamen to da qua ntidade

de dr oga ao longo do tempo.

q

2q

h 2h 3h 4h 5h

Fi g u r a 5 6





P r o b l e m a 1

A

h

B x

10 14

Fi g u r a 5 7

Seja h a al t ura do Pa o d e Acu car em r ela cao a o plan o horizon-

t a l d e m edicao e seja x a dist ancia de B a o p e da altura (Figura 57).

Nos dois triangulos ret an gulos form ados n o plan o vert ical t emos:

h

x= t g 14◦ = 0,2493

h

650+ x= t g 10◦ = 0,1763

Resolvido este sistema, obtemos h = 391,4.

P r o b l e m a 2

Aplican do a lei dos sen os n o triangulo ABP (Figura 58) temos:

1

sen 9◦=

x

sen 52◦donde x =

0,7880

0,1564= 5,04.

P r o b l e m a 3

E f acil calcular os s eguintes an gulos (Figur a 59):

A XB = 18◦ e A YB = 6◦

Aplican do a lei dos s enos no tr iangulo XAB temos:

XA

sen 46◦=

1

sen 18◦,




A

B

P

119

52

9

1

x

Fi g u r a 5 8

A B

X

Y

18

6254 46

74

6

Fi g u r a 5 9




o que fornece XA = 1,328. Sendo A BY = 120◦, novam ent e a lei dos

senos fornece:YA

sen 120◦=

1

sen 6◦,

o q u e da YA = 8,285. N o t r iangulo AXY usamos agora a lei dos

cossenos:

XY ¾ = XA¾ + YA¾ − 2 · XA · YA · cos(X AY )

e os calculos indicam XY = 7,48.

P r o b l e m a 4

h

R R

plano horizontal

horizonte

O

α

Fi g u r a 6 0

Observando a Figura 60, vemos que o angulo α ent re a hori -

zontal e a linha de visada ao horizonte, aparece tamb em no centr o

da Terra. Da ı,

cos α =R

h + R

e, portanto,

R =h cos α

1− cos α.

P a r a h = 0,703k m e α = 0,85◦ encontra-se R = 6633 km .

O r a i o m edio da Terra e de cerca de 6 370 km . O resul t ado

encontrado e bast ant e razoavel.




P r o b l e m a 5

O

A

S

Fi g u r a 6 1

Se α =360◦

50en t ao o comprimento da circunfer encia da Terra

e 50 vezes o compr iment o do arco SA, ou seja 250 000 est adios ou

40 250 km. Daı, R =40250

2π = 6409 km, um resultado mu ito bom.

P r o b l e m a 6

1) Os compr iment os de AC e BC sao p roporciona is respectiva-

ment e a 8 e 9 (Figur a 62). Da ı, pela lei dos senos,

9k

sen 110◦=

8k

sen θ

Encontramos sen θ = 0,835 e como θ e u m an gulo agudo, tem-se

θ = 56,6◦.

2) Veja a Figura 63.

8,1

sen 110◦=

8

sen θ⇒ θ = 68,14◦

Logo, A CB = 1,86◦.

BC

sen 110◦=

50

sen 1,86◦⇒ BC = 1448m.




r A

B

C

110

8k

9k

θ

Fi g u r a 6 2

A

B

C

θ

110

8k

8,1k

50

Fi g u r a 6 3

P r o b l e m a 7

Como a velocida de d e A e 15% ma ior qu e a de B, ent ao os lados

BC e AC do tr ian gulo sao respectivament e pr oporciona is a 1 e 1,15

(Figura 64). Daı,

1

sen 60◦=

1,15

sen θ⇒ sen θ = 0,99593.

Mas, isto fornece θ = 84,8◦ ou θ = 180◦ − 84,8◦ = 95,2◦.

Po r que h a d u a s r e s p o s t a s ?

Im agin e a segu int e situ acao. Os vertices A e B do tr iangulo ABC

sao fixos e a ra zao entr e os lados CA e CB e const an te (Figur a 65).

Vam os mostr ar que nes ta s condicoes o lugar geom etrico de C e

uma circunfer encia.




A C

B

1,15k

k

θ

60

Fi g u r a 6 4

A B

C

Fi g u r a 6 5. CA

CB= r, constante. Qual e o lugar geom etr ico do vertice C ?

Dividamos o segmento AB harm oni cam ent e na raza o r. I st o

significa encontrar os pontos M e N d a r e t a AB, um i nt eri or ao

segmento AB e outr o exter ior, ta is que

MA

MB=NA

NB= r.

Como MAMB

= CACB

, ent a o CM e bissetriz do an gulo interno C do

t r iangulo ABC (recorde o teorema da s bissetrizes e sua recıproca).

ComoNA

NB=CA

CB, ent a o CN e bissetriz do angulo extern o C do

t r iangulo ABC (Figura 66).




A B

C

M N

ββ

αα

Fi g u r a 6 6

Ora , os pont os M e N sao fixos e o angulo MCN e reto. Logo, C

es t a s obre a circunferencia de dia m e t r o MN (Figura 67).

A B

C

M N

Fi g u r a 6 7

Este lugar geom etrico chama-se “circunfer encia de Apolonio”

do segmento AB n a r a za o r.

Voltemos ent ao a o problema .

Se A e B sao fixos eCA

CB= 1,15 en t a o C es t a na circunfer encia

de Apolonio do segment o AB e nessa ra zao. Como C es t a n a r e t a r,

en t a o a solu ca o e a in t er se cao dessas du as figura s.




No n osso problema, h a dois pontos possıveis para o encontro:

C ou C . Os angulos calculados foram ABC = 84,8◦ e ABC = 95,2◦.

(Figura 68).

A C

B

C ’r

Fi g u r a 6 8

P r o b l e m a s s u p l e m e n t a r e s

1. Se a s velocidades forem iguais en tao os corr edores percorr era o

dist ancias iguais. Se α = BAC e agudo ent a o C e a in t er secao da

mediatriz de AB com r. Se α e r eto ou obtu so, n a o h a solu ca o.

2. N o t riangulo ABC, os lados AC e BC sao r espectivam ente pro-

porciona is a 9 e v. Da ı, pela lei dos senos,

9

sen α=

v

sen 50◦don de sen α =

9 · sen 50◦

v≤ 1.

Da ı, v ≥ g · sen 50◦, ou sej a, v ≥ 6,89m/s. N ot e qu e a m e n or

velocida de de B ocorr e qua ndo o angulo ABX e ret o.




A

B

C xr α

α

Fi g u r a 6 9

3. Veja a Figura 70. Pela lei dos cossenos,

PQ¾ = 1,2¾ + 1,8¾ − 2 · 1, 2 · 1, 8 · cos 27◦, donde PQ = 911m.

Aplicando a lei dos senos,

1,8

sen α=

0,911

sen 27◦⇒ sen α = 0,897.

Temos ent a o α = 63,8◦ e, consequent em ent e, β = 89,2◦.

4. Veja a Figura 71. Como os angulos PAB e PBA foram medidos,

encontramos APB = 31,6◦.

PA

sen 77,9◦=

660

sen 31,6◦⇒ PA = 1231,6

h = PA · t g(CAP) = 1231,6 · t g 29,7◦ = 702,5m .

O leitor poder a calcular a m esma a ltura utilizando o triangulo

PBC par a verificar a exatidao das m edidas.




C

P

Q

1,2

1,8

27°

β

x

yα

Fi g u r a 7 0

A

B

C

P

h

660m

Fi g u r a 7 1





1. Divida o cubo u nit ar io em d¿ cubinhos de ar esta1

d· O volum e

de cada um e1

d¿

·

Dividindo as arestas de comprimentosa

d,

b

de

c

drespectiva-

m ent e em a, b e c segmentos iguais a1

de tr acan do pelos pont os

de d ivisao planos par alelos as faces, o bloco ficara dividido em abccubinhos justapostos. O volume do bloco ser a ent a o

V = abc ·1

d¿

=a

b·

b

d·

c

d.

2. Quando multiplicamos apenas uma dimens ao do bloco por um

n u m e r o n a t u r a l n, o volume fica multiplicado por n, ou sej a, o

novo bloco e formado por n blocos justapostos iguais ao inicial.

Ist o m ost ra que o volum e do bl oco r et angular e proporcional a

qual quer u m a de suas di m ens˜oes.Seja V (x,y,z) o volume do bloco reta ngular cujas ar estas me-

dem x, y e z. Pelo t eorem a fundam ent a l da proporci onal idade

tem-se, para todo n umero real positivo c,

V (cx,y,z) = V (x,cy,z) = V (x,y,cz) = c · V (x,y,z).

Portanto,

V (x,y,z) = V (x · 1,y,z) = x · V (1,y,z) =

= x · V (1, y · 1, z) = xy · V (1, 1, z) = xy · V (1, 1, z · 1) =

= xyz · V (1, 1, 1) = xyz · 1 = xyz.

3. E st a d efin icao significa que:

a) Par a t odo poliedro retangular P cont ido em S, v(P) ≤ V .




b) Para t odo num ero real r < V , e possıvel encontrar um polie-

dro ret an gular Q, cont ido em S, tal que r < v(Q) ≤ V .

4. A razao de sem elhan ca en tr e o brigadeiro gra nde e o pequeno e

k =R

R/2= 2. A razao entre os volumes e k¿ = 2¿ = 8.

5. A r a zao de sem elhan ca ent re a est a t u a p eq u en a e a g r a n d e e

k =10

15=

2

3· Su pondo na tu ra lmen te qu e os objetos sejam m acicos,

a m a s s a e pr oporciona l a o volume. Logo, a ra zao ent re as m assas

e igua l a r a zao dos volumes, ou seja, k¿ =8

27· Temos ent a o:

120

M=

8

27⇒M = 405g.

6. Seja P um prisma cuja base est a sobre u m plano horizonta l H.

Sejam A a area da base e h a a l t u r a d e P (Figura 72).

Sobre o plano horizontal construa um ret angulo de area A e,

em segui da, um bl oco ret angul ar B, com al t ura h e t e n d o es t e

r et an gulo como ba se.

O ra, qual quer plano pa ral elo a H secciona P segundo um po-

lıgono congru ent e a sua base e secciona B segundo um ret angulo

congruente a sua base.

C om o as bases dos doi s solidos t em, por cons tr ucao, m esm a

area, ent ao as ar eas da s du as secoes sao iguais. Conclu ımos en t a o

pelo Princıpio de Cava lieri qu e

v(P) = v(B) = Ah.

7. Na Figura 73, o prisma ficou dividido nos tetraedros: AB C A,

ACC B , ACC B e ABCC .

V ½

= V ¿

pois as bases A B C e ABC sao congruent es e as al -

turas (dist ancia de A ao pl ano AB C e dist ancia de B ao pl ano

ABC) sao iguais.




A

A

A

A H

BP

1 2

h

Fi g u r a 7 2. A1 = A = A2

A

A’

B’

C

C ’

V 1 2 3

B’

C ’

A A

B

C

B’

V V

Fi g u r a 7 3

V ½

= V ¾

pois as bases AA C e ACC sao congruen tes e a a ltura

(dist an cia de B ao plan o ACC A ) e a m esm a.

Logo, V ½

= V ¾

= V ¿

.

8. Considere o prisma tr iangular do exercıcio ant erior. Sen do S a

area do t riangulo ABC e h a a ltura do prisma, seu volume e Sh .

O volum e da p iramide ABCB que tem a mesma ba se do prisma

e a m esm a a lt ur a do pri sm a t em vol um e1

3do volume do prisma,

ou seja,1

3Sh .




Uma pir amide qualquer pode ser dividida em pir am i des t ri an-

gulares de m esm a al t ura da pi ramide dada. Basta dividir a base

da pir am i de em t r iangulos, como mostra a Figura 74.

s

2

31 ss

Fi g u r a 7 4

Seja S a area da base da piramide e h sua altura. Dividindo a

base em triangulos de a r e a s S½

, . . . , SÒ

com S½

+ · · · + SÒ

= S, tem os

par a o volume da piramide qualquer,

V =1

3S

½

h +1

3S

¾

j + · · · +1

3S

Ò

h =1

3Sh.

9. Em um cilindr o, qua lquer secao paralela a b a s e e congruen-

t e c om a b a s e. U s a n d o o m es m o a r gu m e n t o d o exe r cıcio 6 e o

Pri ncıpio de Cavalieri, conclu ımos que o volume de qualquer ci-

lindro e o produto da area da base pel a al t ura.

Sendo h a a l t u r a e R o raio da base, o volume sera πR¾ h .

10. Considere a base do cone sobre um plano horizontal H. Cons-t rua no pl ano H u m t r ian gulo de area S = πR¾ e em seguida, uma

pir am i de de al t ura h com base nest e t rian gulo (Figur a 75). Um

plano par alelo a H distando h − x de H corta os dois solidos p r odu-

zin do secoes de a r e a s S½

e S¾

. C a da se ca o e semelhante a respecti-

va base e a raza o de s em elh a n ca en t r e a secao e a base e x/h .




S

H

12S

S S

h

x

Fi g u r a 7 5

Como a r azao ent re as areas de figura s sem elhant es e igua l ao

quadrado da ra zao de sem elha nca tem os:

S½

S=

x

h

¾

=S

¾

S

e portanto S½

= S¾

. Pelo Pr incıpio de Cavalieri, o cone e a p iramide

t em mesmo volume. O volume do cone e e n t ao a ter ca par te do

produto da area da base pela a l t ura.

11. Considere um cone de raio R e al t ura x (Figur a 76). Um plano

paralelo a base formou um cone menor, semelhant e a o primeiro,

com raio r e a l t u r a y. S eja h a di st ancia entre os dois planos

paralelos.

O volume do tronco de cone e a diferen ca ent re os volumes

desses dois cones, ou seja,

V =1

3

πR ¾ x −1

3

πr¾ y

=π

3[R ¾ (h + y) − r¾ y ]

=π

3(R ¾ h + R ¾ y − r¾ y)

=π

3[R ¾ h + y(R ¾ − r¾ )]




x

y

h

R

r

Fi g u r a 7 6

m as,R

x=

r

y=

R − r

h , ou seja, y =

rh

R − r. Logo,

V =π

3

R ¾ h +

rh

R − r(R ¾ − r¾ )

=π

3[R ¾ h + rh (R + r)]

=

πh

3 [R¾

+ r¾

+ Rr ].

12. Os copos comuns de plastico que tenho em m aos possuem as

seguintes dimensoes em cm:

2R 2r h

6,6 4,8 8,0

4,8 3,4 3,6

Os volumes sa o:

V ½

=π − 8

3

(3,3¾ + 2,4¾ + 3,3 · 2,4) ∼= 205,7 cm ¿

V ¾

=π · 3,6

3(2,4¾ + 1,7¾ + 2,4 · 1,7) ∼= 48 cm ¿

e a r a za o e205,7

48∼= 4,3.





S e c ˜ a o 1

1. A resposta da primeira quest ao pode ser marcada de 5 modos

diferentes. A da segunda , tamb em de 5 modos, etc.

A resposta e 5 ½ ¼ .

2. Para formar um subconjunto voce deve pergunt ar a cada ele-

mento do conjunto se ele deseja participar do subconjunto. O pri-meiro elemento pode r esponder de dois m odos: sim ou n a o. O

segundo elemento, de dois modos, etc.

A resposta e 2 Ò .

3. A primeira pessoa pode escolher sua cadeira de 5 modos; a

segun da, de 4; a terceira , de 3.

A resposta e 5× 4× 3 = 60.

4. A primeir a mu lher pode escolher su a posicao de 10 modos. A

segunda, de 8 modos. As outras, de 6, de 4 e de 2 modos. O pri-

meiro homem, de 5 m odos. Os dem ais, de 4, de 3, de 2, de 1.

A resposta e 10× 8× 6× 4× 2× 5× 4× 3× 2× 1 = 460 800.

5. O tabuleiro de 64 casas possui 4 casas de canto (vertices), 24

casas laterais que na o sa o vertices e 36 casas centr ais. Cada casa

de cant o possui 3 casas adj acent es; cada l at eral possui 5 casas

adjacentes e cada centr al possui 8 casa s adjacentes.

Vam os cont ar separ ada men te os casos qu e ocorr em conform e o

rei negro ocupe u ma casa de canto, lat eral ou centra l.

Se o rei negro ocupar um a casa de cant o, haver a 4 pos icoes

pa ra o rei n egro e 60 p osicoes para o rei branco, pois das 64 casasdo tabuleiro 1 esta r a ocupada e as 3 a ela a djacentes nao poder a o

ser ocupa das pelo rei bra nco. H avera port an t o 4× 60 = 240 modos

de dispor os reis.

Se o rei negro ocupar uma casa lateral que n ao seja de canto,

haver a 24 posicoes pa r a o rei n egr o e 58 p osicoes pa ra o rei bran co,




pois das 64 casa s do ta buleiro 1 esta ra ocupada e as 5 a ela adja-

cent es n ao poder ao ser ocupa das pelo rei bra nco. H avera port an t o

24× 58 = 1392 modos de dispor os reis.

Se o rei negro ocupar um a casa cent ral , haver a 36 pos icoes

pa ra o rei negr o e 55 posicoes para o rei branco, pois das 64 casas

do tabuleiro 1 esta r a ocupa da e a s 8 a ela a djacentes nao poder a o

ser ocupadas pelo rei branco. H avera p o r t a n t o 36 × 55 = 1980

modos de dispor os reis. Port an to, a r esposta e 240+1392+1980 =

3612.

Se os reis fossem iguais, a resposta seria a metade da resposta

anterior, 1 806.

6. Havera u m a t or r e e m ca d a lin h a . A t or r e d a p r im e ir a lin h a

pode ser colocada de 8 modos; a da segunda linha, de 7 modos,

pois n ao pode ficar na mesma coluna da ant erior, etc. A resposta

e 8× 7× 6× 5× 4× 3× 2× 1 = 40320.

S e a s t or r e s s ao diferentes, devemos primeira ment e escolher

qual a t orre que ficara na primeira l inha (8 modos) e depois es-

colher onde coloca-la na primeira l inha (8 modos). Ha 8 × 8 = 64

m odos de col ocar a t orre da pri m ei ra l inha . Anal ogam ent e, h a

7 × 7 = 49 modos de colocar a torre da segunda linha etc. A res-

posta e 64× 49× 36× 25× 16× 9× 4× 1 = 1 625 702 400.

7. Vamos contar separadamente os casos em que a carta de copas

e um r ei e em que a car ta de copas n a o e um r ei.

Se a pri m ei ra cart a for o rei de copas, a segunda podera s e r

selecionada de 48 modos.

Se a primeira carta for de copas sem ser o rei, ela poder a ser

seleciona da de 12 m odos e a segunda , de 47 m odos.

A resposta e 1× 48+ 12× 47 = 612.

8. Pa ra cons tr uir u ma fun cao, voce deve pergunta r a cada elemen-to de A quem ele deseja flechar em B. O primeiro elemento de A

pode fazer sua escolha de 7 m odos, o segun do element o de A pode

fazer su a escolha de 7 m odos etc. A resposta e 7×7×7×7 = 2401.

Se a fu n cao for injetiva, o primeiro element o de A podera fazer

sua escolha de 7 m odos, o segun do element o de A poder a fazer sua




escolha de 6 modos (pois n ao poder a escolher o mesmo elemento

selecionado pelo primeiro), etc. A resposta e 7× 6× 5× 4 = 840.

9. a ) 720 = 2 × 3 ¾ × 5. Os divisores positivos de 720 sao da forma

a « ·3¬ ·5- , com α ∈ {0,1,2,3,4}, β ∈ {0,1,2} e γ ∈ {0, 1}. H a 5×3×2 =

30 divisor es positivos de 720. Um a decomp osicao de 720 em um

produto de dois inteiros positivos, 720 = x · y, fica det erm i nada

quan do se escolhe x, que deve ser divisor de 720. Ha, port an t o,

30 de comp osicoes: 1 × 720, 2 × 360, 3 × 120,...,720 × 1. C om o

o enu nciado ma nda consider ar igua is a s decomposicoes 1 × 720 e

720× 1, 2× 360 e 360× 2, etc., a r esposta e 15.b) Analogamente, 144 = 2 · 3¾ adm i t e 5 × 3 = 15 divisores

positivos. H a 15 decom posico e s , u m a d a s q u a i s e 12 × 12. As

out r a s 14 d ecomp osicoes podem ser a grupada s em 7 par es: 1×144

e 144×1, 2×72 e 72×2, etc. Como o enu nciado man da considera r

igua is a s du a s de com posicoes de cada par, a resposta e 8.

10. O arm ar io de n u m e r o k e mexido pelas pessoas cujos numeros

sao divisores de k. U m a rm ar io ficar a aberto se for mexido um

n u m e r o ı m par de vezes. L em bre-se que o numero de divisores

positivos de k = 2« ×3 ¬ ×5- × . . . e igual a (α+1)(β+1)( γ+1) . . . ,

qu e e ımpar se e somente se α, β, γ, . . . forem todos pa rs, ou s eja,

se e somente se k for qua dra do perfeito.

Os ar m ar ios que ficam a bert os sao os de n umeros 1, 4, 9, 16, . . . ,

900.

11. Vamos conta r separa damen te os casos em que os quadr ant es

1 e 3 t em cores igua is e cores diferen tes.

Pondo cores igua is nos qua dra ntes 1 e 3, temos 5 × 4 × 4 = 80

possibilidades, pois ha 5 modos de escolher a cor uni ca para os

quadr ant es 1 e 3, h a 4 m odos de escolher a cor do qua dra nt e 2 e ha

4 modos de escolher a cor do quadrante 4. Pondo cores diferentesnos quadrant es 1 e 3, h a 5 × 4 × 3 × 3 = 180 possibilidades, pois

h a 5 modos de escolher a cor para o quadrante 1, h a 4 modos de

escol her a cor do quadrant e 3, h a 3 modos de escolher a cor do

quadran t e 2 e ha 3 modos de escolher a cor do quadrante 4.

A resposta e 80+ 180 = 260.




12. Note que n o caso em qu e s ao per mit idas rep eticoes , a condica o

da letra A figura r na pal avra e t err ıvel, pois ela pode figur ar um a

so vez, ou duas, etc... Por isso e melhor contar todas as palavras

do alfabeto e diminuir a s qu e n a o t em A e a s qu e comeca m por A.

A resposta e 26 − 25 − 26 = 1 658 775.

No ca so s em r epet icao, pode-se conta r diretament e: h a 4 m o-

dos de escolher a posica o d o A, 25 modos de escolher a letra da

pri m ei ra casa rest ant e, 24 para a segunda casa rest ant e, et c. A

resposta e 4×25×24×23×22 = 1214400. Pode-se ta mbem r epetir

o r aciocın io do ca so com r epe t ica o:

26×25×24×23×22−25×24×23×22×21−1×25×24×23×22 =1214400.

13. H a 26 modos de escolher cada letra e 10 modos de escolher

cada algarismo.

A resposta e 26 ¿ × 10 = 175 760 000.

14. Os 4 que preferem sentar de frente podem faz e-lo de 5 × 4 ×

3×2 = 120 modos; os que preferem s ent ar de costa s podem faze-lo

de 5 × 4 × 3 = 60 modos; os d ema is podem s e colocar nos lugar es

rest ant es de 3× 2× 1 = 6 modos.

A resposta e 120× 60× 6 = 43200.

15. O 0 aparece nas uni dades 222 vezes, nos numeros 10, 20,

30, . . . , 2200. Apar ece na s dezena s 220 vezes, nos n umeros 10x,

20x, . . . , 220x. Aparece nas centenas 200 vezes, nos n umeros 10xy

e 20xy.

A resposta e 222+ 220+ 200 = 642.

16. Note que como sao p erm itida s re peticoes, a cond icao do 5 fi-

gu r a r n o nu m e r o e t e r r ıvel, pois ele pode figur ar uma so vez, ou

duas, etc . . .´

E melhor fazer t odos os n umer os men os a queles emque o 5 n ao figura.

A resposta e 9× 10× 10× 10− 8× 9× 9× 9 = 3168.

17. Pa ra form ar um a colecao, voce deve decidir quantas “Veja”

fa r a o pa r t e da colecao, etc.




A quan tidade de r evista s “Veja” pode ser escolhida de 6 modos

(0, 1, 2, 3, 4, 5). A de “Epoca”, de 7 m odos. A de “Isto E”, de 5

modos. O n u m er o de colecoes e 6× 7× 5 = 210.

O n u m er o de colecoes n ao-vazias e 209.

18. H a 3 modos de escolher os dias de Matem at ica. Escolhidos

os di as, di gam os segundas e quart as, h a 2 modos de escolher o

h or ari o da aul a de Mat em atica da segunda e 2 modos de escolher

o hor ario da aula de Matem at i ca da qua rt a.

H a 2 modos de escolher os dias da F ısica (nao podem ser os

mesmos da Matem atica, sen ao a Qu ımica ficar ia com a s a ulas nomesmo dia); em um desses dias, a aula de F ısica so pode ser posta

no h or ar io de um un ico modo (pois a Mat em atica ja ocupou o outro

t em po) e, no out ro, pode ser post a de 2 m odos. Fi nal m ent e, a

Qu ımica so pode ser post a no hor a r i o d e u m unico modo – nos

tempos restantes.

A resposta e 3× 2× 2× 2× 1× 2× 1 = 48.

19. O casal J oao-Maria foi considerado diferente do casal Maria-

J oao. Isso e devido a ter mos tr aba lhado com o conceito de pr imei-

ra pessoa do casa l. Por isso a r esposta encontr ada e o dobro daresposta real.

20. H a t r es t i pos de cart oes: os que n ao podem ser virados de

cabeca pa ra baixo, os qu e vira dos de cabeca pa ra baixo cont inu am

represent an do o m esm o n um ero e os qu e vira dos de cabeca par a

bai xo passam a represent ar n um eros di ferent es. Se h a x, y e z

cart oes de cada um desses t ipos, respectivamente, a resposta e

x + y+z

2. E f acil calcula r y, z+ y e x+ y+ z:

z + y = 5 , pois os cart oes que vira dos de cabeca par a baixo

cont i nuam represent an do n um eros sao os formados apenas com

0, 1, 6, 8 e 9.

x+ y+ z = 10 .

y = 5 × 5 × 3, pois os cart oes que vira dos de cabeca pa ra bai-

xo continu am representa ndo o mesmo num ero devem t er nas ca-

s a s e xt r e m a s u m d os p a r e s 1 1, 0 0 , 8 8, 6 9 ou 9 6. N a s s egu n d a




e pen ul t im a casas, a m esm a coi sa. Fi nalm ent e, na casa cent ral

deve estar 0, 1 ou 8.

Resolvendo o sistem a, encont ra -se z = 3050 e

x+ y+z

2= 100 000− 1525 = 98475.

S e c ˜ a o 2

1.

a ) C a d a a n a g r a m a e um a p er mu ta cao simples das letra s C, A,

P, I, T, U, L, O. O n um ero de anagram as e P

= 8! = 40320.

b) A escolha da vogal inicial pode ser feita de 4 modos e, depois

disso, a vogal fina l pode ser escolhida de 3 modos. As r es-

t ant es sei s l et ras podem ser arrum adas ent re essas vogai s

seleciona das de P

= 6! = 720 modos.

A resposta e 4× 3× 720 = 8 640.

c) Os a na gra ma s podem comecar por vogal ou por consoan te.

No primeiro caso, devemos ar ru ma r as 4 vogais nos lugares

ımpares e as 4 consoantes n os lugares par es, o que pode ser

feito de 4! × 4! = 24 × 21 = 576 modos. O segun do caso e

a n alogo.

A resposta e 576+ 576 = 1152.

d) T udo se passa com o se C A P fosse um a l et ra s o. P or t a n t o

devem os arrum ar 6 obj et os, o bl oco C A P e as 5 l et ras de

ITULO. A resposta e 6! = 720.

e) Escolha inicialmente a ordem das letras C, A, P, o que podeser feito de 3! = 6 modos. Recai-se no item anterior. A res-

posta e 6× 720 = 4 320.

f) Tudo que se tem a fazer e a r r u m a r a s 6 le t r a s d e C I TU LO

a pos o PA. A res posta e 6! = 720.




g) Ao somar os que t em p em primeiro (7! = 5 040) com os que

t em a em segundo (7! = 5040), os que t em p em primeiro e

a em segundo (6! = 720) sao contados duas vezes. A respos-

t a e 5040 + 5040 − 720 = 9360. Pode-se t am b em fazer um

diagrama de conjuntos.

Fi g u r a 7 7

O r e t angul o de cont orno m a is claro represent a o conjunt o

dos ana grama s que tem p em pr imeiro lugar e o ret an gulo de

contorno ma is escur o representa o conjunto dos an agram as

q u e t em a em segund o lugar. A inter secao possui 6! = 720

elementos e cada ret angulo possui 7! = 5 040 elementos. Por-

tanto, as regioes do diagra ma t em 5040− 720 = 4 320, 7 20 e

4 320 elementos.

A resposta e 4 320+ 720+ 4320 = 9360.

h) Ao somar os que t em p em primeiro (7! = 5040) com os que

t em a em segundo (7! = 5 040) e o s q u e t em c em terceiro

(7! = 5 040), os que t em p em pr imeiro e a em segundo (6! =

720), bem como os qu e t em a em segun do e c em ter ceiro (6! =

720) e os que t em p em primeiro e c em terceiro (6! = 720),

sao conta dos duas vezes. Devemos, port ant o, descont a-los

um a vez. Mas, ao fazermos isso, os qu e t em p em pr imeiro e

a em segundo e c em terceiro (5! = 120) t er ao sido cont ados

t r es vezes e descont ados t r es vezes. Devemos cont a-los uma

vez.

A resposta e 5040+5040+5040−720−720−720+120 = 13080.

Poderıamos ter feito um diagrama de tr es conjun tos: os que

t em p em pr imeiro, os qu e t em a em segundo e os que t em c

em t erceiro lugar. Cada um desses conjuntos tem 7! = 5040

elem en tos, as in te r secoes dois a dois t em 6! = 720 elementos




e a in t er se cao dos tr es conjun tos tem 5! = 120 elementos. As

sete regioes i nt ernas do diagram a t erao 3 720, 3 720, 3 720,

600, 600, 600 e 120 elementos.

A resposta e 3 720+ 3720+ 3720+ 600+ 600+ 120 = 13080.

i) H a 3! = 6 ordens possıveis pa ra essas letras. A resposta e1

6

do t ot al de a nagram a s,1

6de 8!, que e igual a 6 720.

Tambem poder ıam os escolher 3 d a s 8 posicoes do anagrama

para colocar essas t r e s l e t r a s (C¿

= 56 m odos), coloca-las

na ordem apc (1 m odo) e arrum ar as 5 out ras l et ras nos 5

lugares restantes (5! = 120modos). A resp osta e 56×1×120 =

6720.

j) Ha 4! = 24 ordens possıveis para as vogais. A resposta e1

24

do t ot al de a nagram a s,1

24de 8!, que e igual a 1 680.

Tambem poder ıam os escolher 4 d a s 8 posicoes do anagrama

para colocar as vogais (C

= 70 modos), colocar as vogais

nos lugares escolhidos (1 modo, pois elas devem entrar em

ordem alfabet ica) e a rru m ar as 4 consoant es nos 4 l ugaresrest ant es ( 4! = 24 modos). A resposta e 70× 1× 24 = 1680.

2. A imagem do primeiro elemento de A pode ser selecionada de

n modos, a do segundo, de n− 1 modos, etc.

A resposta e n · (n− 1) . . . 1 = n!

3. Do total de ar ru ma coes (8! = 40320), devem ser descontadas

a q u e l a s n a s q u a i s e l a s fi c a m j u n t a s (2! × 7! = 10080, pois elas

podem ficar jun tas em 2! ordens possıveis). A resposta e 40320−

10080 = 30240.

4. Do total de ar ru ma coes com Helena e Pedro junt os (2! × 7! =

10080), devem ser desconta das a quelas na s quais H elena e Pedro

es t ao junt os e Vera e Pau lo t am bem est ao juntos (2! × 2! × 6! =

2 880). A resposta e 10080− 2880 = 7200.




5. Voce deve escolher 5 jogadores para o Esporte, depois escolher 5

dos que sobra ra m par a o Tupi e form ar o Minas com os restan tes.

A resposta e C

½

· C

½ ¼

· C

= 3003× 252× 1 = 756756.

O u, ent ao, ponha os 15 jogadores em fila: os 5 primeiros for-

ma m o Esport e, os 5 seguint es o Tupi, os 5 ultimos o Minas. Note

que, trocando a oredem dentro de cada bloco, voce m u d a a fi la ,

m a s n ao muda a divisao em times. A resposta e15!

5! 5! 5!= 756 756.

6. A resposta e a anterior dividida por 3! = 6, pois agora, trocan-

do os t imes entre si , a divisa o e a m esm a, ou sej a, a respost a e

7567566

= 126136.

7. Ponha os 20 objetos em fila, o que pode ser feito de 20! m odos:

os 3 primeiros formam o “primeiro” grupo de 3, os 3 seguintes

formam o “segundo” grupo de 3, etc.

Note que, trocando a ordem dos elementos dentro de cada gru-

po, voce m u d a a fi l a m a s n ao m uda a di vi sao em grupos. N ot e

t a m bem qu e tr ocan do os gru pos de 3 entr e si (o que pode ser feito

de 4! modos) e os de 4 ent re si (o que pode ser feito de 2! m odos),

voce m uda a fil a m as n ao muda a divisao em grupos.

A resposta e 20!(3!) ( 4!)¾ 4!2!

= 67897 830 000.

Voce t a m bem poderia pensar assim: H a C¿

¾ ¼

modos de es colher

o “pr imeiro” gru po de 3, C¿

½

modos de escolher o “segun do” gru po

de 3, etc. Note que tr ocan do os gru pos de 3 en tre si (o que pode

ser feito de 4! m odos) e os de 4 en tr e si (o que pode ser feito de 2!

modos), voce n ao muda a divisao em grupos.

A resposta eC¿

¾ ¼

C¿

½

C¿

½

C¿

½ ½

C

C

4!2!= 67897 830 000.

8. Devemos colocar os 12 times nos 12 lugares de uma matriz

6 × 2. Note que trocar as l inhas entre si , ou trocar em uma linhaa ordem dos element os, na o alt er a a selecao dos jogos.

A resposta e12!

6!(2!)

= 10395.

Voce t a m bem poderia pensar assim: Tenho 11 modos de esco-

lher o adversario do Botafogo; depois tenho 9 modos de escolher




o adversar io do primeiro (em ordem alfabetica) time que sobrou;

depois ten ho 7 . . .

A resposta e 11× 9× 7× 5× 3× 1 = 10395.

9. a) Para descobrir o lugar do 62 417 voce tem que conta r qua ntos

n umeros o antecedem. Antecedem-no todos os n u m er os come ca dos

em 1 ( 4! = 24), em 2 ( 4! = 24), em 4 ( 4! = 24), em 61 (3! = 6) e em

62 1 (2! = 2). Ant ecedem-no 24+ 24+ 24+ 6+ 2 = 80 n umeros. Ele

ocup a o 81o¯ lugar.

b) Vamos contar os n umer os (mas n ao um a um , nat u ral m ent e)

Co m ec ad os p or Qu a nt id ad e Ac um u la do

1 4!=24 24

2 4!=24 48

41 3!=6 54

42 3!=6 60

46 3!=6 66

0 66 o¯ n umer o escrito e o u ltim o (ou seja , o m a ior ) dos comeca dos

por 46.A resposta e 46 721.

c) 166 = 5× 33+ 1.

Porta nto, par a escrever 166 algarismos, devemos escrever 33

n umeros completos e mais um algarismo.

O 166o¯ algarismo escrito e o 1o

¯ algar ismo do 34o¯ n umero.

Os 4! = 24 primeiros n um er os comecam em 1 e os 23 s eguin tes

com eca m em 2. O 34 o¯ n u m er o come ca em 2.

A resposta e 2.

d) A som a das uni dades dos n umeros e (1 + 2 + 4 + 6 + 7) ·

4! =

480, pois cada um dos algarismos 1, 2, 4, 6, 7 aparece comoal gari sm o das uni dades em 4! numer os. Ana logamente, a soma

das dezena s e 480 dezenas, ou seja, 4 800. A das cent ena s e 48 000,

a das uni dades de m i l har e 480 000 e a das dezenas de milhar e

4 800 000.

A resposta e 480+ 4800+ 48 000+ 480 000+ 4800000= 5 333 280.




U m t ru que, boni t o m as t ruque, e grupar os 5! = 120 n umeros

em 60 casa is do seguin m odo: o conjuge de cada nu m e r o e o n u m e r o

que dele se obt em tr oca n do a posica o do 1 com o 7 e a posicao do

2 com o 6. Teremos 60 casais e a soma em cada casas e 88 888. A

resposta e 88888× 60 = 5 333 280.

10. H a m! modos de es colher a ordem da s mocas. Feito isso, deve-

mos arrumar em fila r+1 objetos, os r r a pa zes e o bloco da s m oca s,

o que pode ser feito de (r+ 1)! modos. A resposta e m!(r + 1)!.

11. a) Devemos colocar 6 n um eros em 6 l ugares. A respost a e6! = 720.

b) Agora, qua nd o mu da mos o cubo d e p osicao obtemos o mes-

mo da do. Por exemplo, considere um dad o com o 1 e o 6 em faces

opostas. Ant es, colocar o 1 em cima, n a face pr eta , e o 6 em baixo,

na face branca, era diferente de colocar o 6 em cima e o 1 embai-

xo. Agora n a o, e o m esmo dad o de cabeca par a baixo. A resposta

e anterior dividida pelo nu me r o d e posicoes de colocar um cubo.

Para det erm i nar esse numer o, repare que h a 6 modos de escolher

a face que fica em baixo e 4 modos de escolher nessa face a ares-

ta que fica de frente. O n u m er o de posicoes de colocar um cubo e

6× 4 = 24. A resposta e720

24= 30.

Podemos tam bem pensa r diret am ent e: Todo dado pode ser ima-

ginado com o 1 na face de baixo; se o 1 estiver em outro lugar,

sempre se poder a virar o dado par a que o 1 fique em ba ixo.

H a 5 modos de escolher o n um ero que ficar a na face oposta

ao 1, ou s eja, n a face de cima ; digamos qu e se t enh a escolhido o 6

para a face de cima. Agora devemos colocar os n umeros 2, 3, 4 e

5 nas 4 faces restantes: frontal, traseira, direita e esquerda. O 2

sempre podera ser ima gina do na face da frente; se o 2 estiver em

out ra face, bast a r odar o dado par a qu e o 2 fique na face da fren te.H a 3 m odos de es colher o numero que ficar a n a face oposta a 2,

ou s eja, n a face de tr as; digam os qu e ten ha mos escolhido o 4 par a

a face de tr as. Note que agora n a o h a mais movimentos poss ıveis

par a o dado: qua lquer movimento ou tirar a o 1 de baixo ou tirar a

o 2 da frente.




Agora tem os que colocar o 3 e o 5 na s faces direita e esquer da,

o que pode ser feito de 2 modos dist intos.

A resposta e 5× 3× 2 = 30.

c) Todo dad o pode se r ima gina do com o 1 em ba ixo, o que obriga

a coloca cao do 6 em cima. O 2 sempre pode ser posto na face da

fren te, o q u e obr iga a coloca cao do 5 na face de tr as. Agora temos

que colocar o 3 e o 5 na s faces direita e esquerda , o que pode ser

feito de 2 modos dist intos. A r esposta e 2.

12. Tetraedro: H a 4 modos de escolher a face que fica em baixo

e 3 m odos de escol her nessa face a arest a que fica de frent e. On u m er o de posicoes de colocar um tetraedro e 4× 3 = 12.

A resposta e4!

12= 2.

Octaedro: H a 8 modos de escolher a face que fica em ba ixo e 3

modos de escolher n essa face a ar esta que fica d e fren te. O nu m e r o

de p osicoes de colocar um octaedro e 8× 3 = 24.

Voce t a m bem poderia imaginar o octaedro com um vertice em

baixo. H a 6 m odos de escol her o vert i ce que fica em bai xo e 4

modos de escolher, dent re as ar estas que o cont e m , a a r e s t a q u e

fi ca d e fr e n t e. O n u me r o d e posicoes de colocar um octaedro e

6× 4 = 24.A resposta e

8!

24= 1680.

Dodecaedro: H a 12 modos de escolher a face que fica em baixo

e 5 m odos de escol her nessa face a arest a que fica de frent e. O

n u m er o de posicoes de colocar um dodecaedro e 12× 5 = 60.

A resposta e12!

60= 7 983 360.

Icosaedro: H a 20 modos de escolher a face que fica em baixo

e 3 m odos de escol her nessa face a arest a que fica de frent e. O

n u m er o de posicoes de colocar um icosaedro e 20× 3 = 60.

A resposta e20!

60 ·

13. P ¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ½

=9!

2!2!1!1!1!1!1!= 90720.

14. CÔ

Ò

.




15. H a C

= 70 modos de escolher as mat eri as para o pri m ei ro

dia e, depois disso, um so modo de escolher as do segun do dia. A

resposta e 70× 1 = 70.

16. Os segmentos que ligam dois vertices sao diagonais, arestas

ou diagona is de faces. Port an to o num ero de diagonais e o n u m e r o

de combin a coes de classe 2 dos vertices menos as arestas menos

as diagonais das faces.

a) O octaedr o regular e formado por 8 faces triangulares e pos-

sui 6 vertices e 12 a resta s. Como n a o h a diagonais de faces,a r esposta e C¾

− 12 = 15− 12 = 3.

b) O icosaedro regular e form ado por 20 faces t ri angul ares e

possui 12 vert i ces e 30 a rest as. C om o na o h a diagonais de

faces, a r esposta e C¾

½ ¾

− 30 = 66− 30 = 36.

c) O dodecaedro regular e formado por 12 faces pentagonais

e possui 20 vert i ces e 30 arest as. C om o cada face possui5(5− 3)

2= 5 diagona is e sao 12 faces, ha 5×12 = 60 diagonais

de faces. A resposta e C¾

¾ ¼

− 30− 60 = 190− 90 = 100.

d) O cubo e form ado por 6 faces qua dra das e possui 8 vert ices e

12 arestas. Como cada face possui 2 diagonais e s ao 6 faces,

h a 6× 2 = 12 diagona is de faces. A resposta e C¾

− 12− 12 =

28− 24 = 4.

e) O pri sm a hexagonal e formado por 6 faces quadrangulares

e duas faces hexagonai s e possui 12 vert i ces e 18 arest as.

Como cada face qua dra ngula r possui 2 diagonais e cada face

hexagonal possui6(6− 3)

2= 9 diagona is, h a 6×2+2×9 = 30

diagona is de faces. A resposta e C¾

½ ¾

− 18− 30 = 66− 48 = 18.

Tambem se poderia pensa r a ssim: Chama ndo as faces hexa-

gonais de A e B, as diagonai s l i gam um vertice de A a u m

vertice de B. H a 6 modos de escolher o vertice de A e, de-

pois d isso, 3 modos de escolher o vertice de B. A resposta e

6× 3 = 1.




17. A fu n cao fica det erm inada qua ndo se escolhem osm elementos

de IÒ

que form ar ao a imagem, o que pode ser feito de CÑ

Ò

modos.

Com efeito, escolhidos os elementos que formar a o a i m a g e m , a

fu n cao est a det erm i nada poi s f(1) deve ser i gual ao m enor dos

elementos escolhidos, f(2) deve ser igual ao menor dos elementos

resta ntes, etc.

A resposta e CÑ

Ò

.

18. Ignore o problema do 0 na primeira casa. A escolha dos luga-

res para os 4 pode ser feita de C¿

= 35 modos; depois disso, a esco-

lha dos lugares para os 8 pode ser feita de C¾

= 6 modos; as casasresta ntes podem ser pr eenchidas de 8× 8 = 64 modos, o que da ria

para r esult ado 35×6×64 = 13440. Devemos descontar os n umeros

comecad o em 0. P ar a form ar um n u me r o comeca do em 0, de vemos

escolher os lugares para os 4 (C¿

= 20 modos), par a os 8 (C¾

= 3

modos) e preen cher a casa rest an te (8 modos). Ha 20× 3× 8 = 480

n um eros comecados em 0. A resp osta e 13440− 480 = 12960.

19.

a) Basta escolher os p − 1 companheiros de a½

dentre os n − 1

demais elementos. A resposta e CÔ ¹ ½

Ò ¹ ½

.

b) Basta escolher os p elementos dentre os n − 1 elementos di-

ferentes de a½

. A resposta e CÔ

Ò ¹ ½

.

Tambem se poderia fazer o t otal das combinacoes e del as

subtrair aquelas das quais o elemento a½

participa, obtendo

a r esposta CÔ

Ò

−CÔ ¹ ½

Ò ¹ ½

.

c) Basta escolher os p − 2 companheiros de a½

e a¾

dent re os

n − 2 demais elementos. A resposta e CÔ ¹ ¾

Ò ¹ ¾

.

d) H a CÓ ¹ ½

Ò ¹ ½

com bi n a coes em que o el em ent o a½

fi g u r a e CÔ ¹ ½

Ò ¹ ½

combin a coes em qu e o elemen to a¾

figura. Somando, teremos

contado duas vezes as CÔ ¹ ¾

Ò ¹ ¾

combin a coes que cont em a ½ e a ¾ .

A resposta e 2CÔ ¹ ½

Ò ¹ ½

−CÔ ¹ ¾

Ò ¹ ¾

.

Tambem se p oderia fazer o tota l de combina coes CÔ

Ò

e excluir

a s CÔ

Ò ¹ ¾

que n ao cont em nem a½

n em a¾

. A resposta e CÔ

Ò

−

CÔ

Ò ¹ ¾

.




Tambem se poderia somar as combina coes que cont em a½

m a s n a o a¾

(CÔ ¹ ½

Ò ¹ ¾

), com as que cont em a¾

m a s n a o a½

, com

as que cont em ambos (CÔ ¹ ¾

Ò ¹ ¾

). A resposta e 2CÔ ¹ ½

Ò ¹ ¾

+CÔ ¹ ¾

Ò ¹ ¾

.

e) H a CÔ ¹ ½

Ò ¹ ¾

com bin a coes que cont em a½

m a s n a o a¾

e CÔ ¹ ½

Ò ¹ ¾

com-

bin a coes que cont em a¾

m a s n a o a½

. A resposta e 2CÔ ¹ ½

Ò ¹ ¾

.

Tambem s e poder ia conta r as combin acoes que cont em pelo

men os um dos dois element os e descont ar as que cont em am -

bos, obten do a resposta 2CÔ ¹ ½

Ò ¹ ½

−2CÔ ¹ ¾

Ò ¹ ¾

ou CÔ

Ò

−CÔ

Ò ¹ ¾

−CÔ ¹ ¾

Ò ¹ ¾

ou

2CÔ ¹ ½

Ò ¹ ¾

.

20.

a) Es sa s fun coes sao bijetoras. A resposta e n!.

b) Um elemento de B tem sua imagem inversa formada por dois

elementos e os dema is t em imagens inversas unit a r i a s . H a

n modos de escolher aquele elemento de B e C ¾

Ò · ½

modos de

escolher sua imagem inversa. Agora sobram n−1 elementos

em cada conjunto e a correspondencia entre eles, que deve

ser um-a-um, pode ser feita de (n − 1)! modos. A resposta en · C¾

Ò · ½

· (n− 1)! =n · (n+ 1)!

2·

c) H a duas possibilidades: um elemento de B tem sua imagem

i nversa form ada por t r es el em ent os e os dem ai s t em i m a-

gens inversas un itar ias ou dois element os de B t em imagens

inversa s forma das por dois elementos e os demais t em ima-

gens inversas unit ari as.

No primeiro caso h a n modos de escolher o elemen to de B e

C¿

Ò · ¾

modos de escolher sua imagem inversa. Agora sobram

n− 1 elemen tos em cada conjun to e a corr espondencia entreeles, que deve ser u m-a-um, pode ser feita de (n− 1)! modos.

No segundo caso h a C¾

Ò

modos de escolher os dois elemen tos de B e

C¾

Ò · ¾

·C¾

Ò

modos de escolher su as ima gens inversa s. Agora sobra m

n − 2 elementos em cada conjunto e a correspondencia entre eles,




que deve ser u m-a-um, pode ser feita de (n−2)! modos. A resposta

e

n· C¿

Ò · ¾

· (n− 1)! + C¾

Ò

· C¾

Ò · ¾

· C¾

Ò

· (n− 2)! =

=n · (n+ 2)!

6+n · (n− 1) · (n+ 2)!

8=

=n · (3n+ 1) · (n+ 2)!

24·

21. O n um ero de m odos de escolher 3 dos 20 pontos e C

¿

¾ ¼

= 1 140.Assim, o plano determinado pelos 8 pontos e contado C¿

= 56 ve-

zes. A resposta e 1140− 55 = 1085.

Poder-se-ia ta mbem contar separadamente os planos determi-

nados por tr es dentre os doze pontos (C ¿

½ ¾

= 220), por dois dentr e

os doze e um d ent re os oito (C ¾

½ ¾

· 8 = 528), por um dent re os doze e

dois den tr e os oito (12 ·C¾

= 336) e por tr es dent re os oito (1 plan o

apena s). A resposta e 220+ 528+ 336+ 1 = 1085.

22. Escolhida a ordem em que cada casal vai se senta r (mar ido a

direita , mu lher a esquerda ou vice-versa), o que pode ser feito de

2 × 2 × 2 = 8 modos, voce tem que formar uma fila (de 7 lugares)com 3 casa is e 4 lugar es vazios. H a 7 modos de colocar o primeiro

casa l, 6 de colocar o segundo e 5 de colocar o terceiro. A resposta

e 8× 7× 6× 5 = 1680.

23. Vamos arrumar primeiramente apenas as vogais, o que pode

ser feito de6!

3! 1! 1! 1!= 120 modos, e depois ent rem ear as consoan -

tes.

S e a s voga is e st ive r em , p or e xe mp lo, n a or d em A A U

A I O , h a ver a 7 possibilida des pa r a a coloca cao d o P, 6

par a o R e 5 para o G.A resposta e 120× 7× 6× 5 = 25200.

24. Marque, no conjunto {1 ,2 , . . . ,n}, com o sinal + os elementos

selecionados para o subconjunto e com o sinal − os elementos

n ao s eleciona dos. Voce tem que formar uma fila com p sinais +




e n − p sinais − , sem que haja dois sinais + a dja cent es. Fa ca

uma fila com os sinais − (u m un ico modo) e ent rem eie os sin ais

+ . H a n − p + 1 espa cos en tr e os sina is − (e antes do primeiro

e depois do ultimo) dos quais devemos selecionar p para colocar

os sinais + , o que pode ser feito de CÔ

Ò ¹ Ô · ½

modos. A resposta e

CÔ

Ò ¹ Ô · ½

.

25. a) Um grupo de 4 cientistas, ABCD, e barrado por pelo menos

um cadeado. Na situaca o d o n u m e r o m ınimo de cadeados, por

exat amen te u m cadeado. Batizemos esse cadeado de ABCD. A,

B, C e D n a o t em a chave desse cadeado e todos os outros cientistasa t em. Como a corr espondencia entre os cadeados e seus nomes e

um-a-um, basta contar quantos sao os nomes dos cadea dos, C

½ ½

=

330.

b) C ada ci ent i st a possui a s chaves dos cadeados que na o o

cont em n o nome, C

½ ¼

= 210.

Voce t a m bem poderi a pensar que h a 330 cadeados e de cada

cadea do ha 7 copias d e cha ves. O tota l de cha ves e 330× 7 = 2310.

Cada cient ista possui 2310÷ 11 = 210 chaves. Observe que n este

raciocınio part imos do fato de que todos os cient istas t em o mesm o

n umero de chaves.

26. Um bom nome para o professor que perten ce as bancas 1 e 2

e professor 1 − 2. O n umero de professores e C¾

= 28. E m c a d a

banca ha 7 pr ofessores.

27. H a 4! = 24 m odos de form ar um a roda com a s m eninas. O

primeiro men ino pode ser posto na r oda de 5 m odos; o segun do, de

4, etc. A resposta e 24× 5× 4× 3× 2× 1 = 2880.

28. O n um ero de rodas que podem ser forma da s sem a pa r ticipa ca o

de Vera e 4! = 24. H a 3 modos de colocar Vera na roda. A respostae 24× 3 = 72.

29. C h a m a n d o x de 1 + a, y de 1 + b e z de 1 + c, voce t e m d e

det er min a r solucoes inteiras e n ao-negativas par a a + b + c = 4.

A resposta e CR

¿

= C

= 15.




30. Defina , pa ra cada solucao, a folga, que e a diferenca ent r e o

valor m aximo que x+ y+ z poderia atingir e o valor que x+ y+ z

re alm ent e a tin ge. Por exemplo, a soluca o x = 1, y = 2, z = 1 t em

folga 2. Ca da soluca o da ineq u a ca o x + y + z ≤ 6 corresponde a

u m a solu ca o da equ a ca o x+ y+ z + f = 6 e vice-versa . A resposta

e CR

= C

= 84.

31. CR ¾ ¼

= C¾ ¼

¾

= 10626.





S e c ˜ a o 1

1. 600 = 450(1 + i) ¿ , donde i =

600

450

½ ¿

− 1 = 0,1006.

2. 1480 = A · 1,08 , donde A = 1480 · 1,08¹ = 932,65.

3. 2000 · 1,1¿

= 2 662,00

4. 4490 = 1400 · 1,06Ò , donde n =log( 4490/1400)

log 1,06= 20 meses.

5. Fixan do o p reco em 90, a vista pagam-se 70% de 90, ou seja,

63. A prazo, paga m-se tr es pr est a coes men sais de 30.

63 = 30 +30

1 + i+

30

(1 + i) ¾

.

Pondo x =

1

1 + i , obt em -se a equ a cao do segun do gra u 30x¾

+ 30x −33 = 0.

A r a iz positiva d essa equ a ca o e x =−5 +

√135

20= 0,66190.

Logo, i =1

x− 1 = 0,5108.

6. 9000 =P

1,02¿

+2P

1,02

, donde P = 9000/[1,02¹ ¿ + 2.1,02¹ ] =

3268,23.

As p r es t a coes sa o P e 2P, ou seja , R$ 3 268,23 e R$ 6 536,46,

7. Fixa n do o preco em 100 , devem os ter

100 − x <50

1,05+

50

1,05¾

·

Da ı, x > 7,03.




8. Fixemos o preco em 90 e t omemos a da ta focal u m m es apos a

compra.

Na da t a focal, o va lor da opcao a) e A = 90 e o va lor da opcao b)

e B = 30(1 + i) + 30 +30

1 + i·

B − A = 30i ¾

1 + i> 0. Logo, B > A e a op cao a ) deve ser preferi-

da .

9. Suponh am os u m client e com dua s pr esta coes , cada uma no

valor de 100, a vencer em 30 e 60 dias. O valor a tu al a pa gar acei-tan do a oferta seria de 60% de 200, ou seja, 120. Nao aceitando,

seria de100

1,27+

100

1,27 ¾

= 140,74. A oferta era vantajosa.

10.180

1,025+

200

1,025 ¾

= 365,97.

S e c ˜ a o 2

1. a ) 1 + 1 = (1 + i)½ ¾

. Da ı, i = 2½ ½ ¾

− 1 = 0,0595 = 5,95%.b) 1 + 0,39 = (1 + i)¿ . Da ı, i = 1,39½ ¿ − 1 = 0,1160 = 11,60%.

2. a ) 1 + I = (1 + 0,06)½ ¾ . Da ı, I = 1,06½ ¾ − 1 = 1,0122 = 101,22%.

b) 1 + I = (1 + 0,12) . Da ı, I = 1,12 − 1 = 0,5735 = 57,35%.

3. a) 30% ao an o com capita lizacao mensal significa 30%/12 =

2,5% ao m es .

1 + I = (1 + 0,025)½ ¾ . Da ı, I = 1,025 ½ ¾ − 1 = 0,3449 = 34,49%.

b) 30% ao an o com cap ita lizacao tr imestra l significa 30%/4 =

7,5% ao m es .

1 + I = (1 + 0,075) . Da ı, I = 1,075 − 1 = 0,3355 = 33,55%.

c) i ao a no capitalizados k vezes ao a no significa i/k por perıodo

de cap it a liza ca o.

1 + I =

1 +

i

k

. Da ı, I =

1 +

i

k

− 1.




S e c ˜ a o 3

1. a) Pondo a da ta focal u m m es ant es da compra ,900

1,04= P

1 − 1,04¹ ½ ¼

0,04· Da ı, P = 106,69.

b) Pondo a dat a focal n o ato da compr a,

900 = P1 − 1,04¹ ½ ¼

0,04· Da ı, P = 110,96.

c) Pondo a data focal um mes depois da compra, 900 × 1,04 =

P

1 − 1,04 ¹ ½ ¼

0,04 · Da ı, P=

115,40.

2. a ) 80 000 =P

0,006· Da ı, P = 480,00.

b)80000

1,006=

P

1,006· Da ı, P = 477,14.

3. Igualando o valor dos depositos ao das retiradas, na epoca do

ultimo deposito, obtemos

P1,01½ ¾ ¼ − 1

0,01= 500

1 − 1,01¹ ¿ ¼

0,01· Da ı, P = 211,31.

4. Igualando o valor dos depositos ao das retiradas, na epoca doultimo deposito, obtemos

P1,01 ¾ ¼ − 1

0,01=

1000

0,01· Da ı, P = 15,55.

5. P +P(1 + j)

1 + i+

P(1 + j)¾

(1 + i) ¾

+ · · · =P

1 −1 + i

1 + i

= P1 + i

i − j·

6. P r im eir a s olucao: Vam os comp ar ar os gast os em 4 an os: O fluxo

de caixa t rocan do o car ro de dois em dois an os e (em milha res de

reais): −18 0 − 4 0 14

Obs er ve que n o s egundo an o gas tamos 18 na compr a de u m

carro n ovo, ma s r ecebemos 14 na venda do velho.

O valor atual desse fluxo e −18 −4

1,15¾

+14

1,15

= −10,44.




O fluxo de caixa t rocan do o car ro somen te n o qua rt o ano e (em

milhares de reais):

−18 0 0 − 1 8.

Observe que n o quarto a no gastamos 2 em consertos, mas re-

cebemos 10 na venda do car ro. O valor at ua l desse fluxo e

−18 −1

1,15¿

+8

1,15

= −14,08.

Logo, e melhor t rocar de carr o de dois em dois an os.

Se gu n da solu cao: Vamos comparar os custos por ano:

O fluxo de caixa trocando o carro de dois em dois anos e (em,

milhares de reais):

−18 0 14

Vamos determinar o custo anual equivalente C.

Os flu xos −18 0 14 e 0 C sao equivalentes. Logo,

−18 +14

1,15

¾

= C1 − 1,15 ¹ ¾

0,15

e C = − 4,56.

O fluxo de caixa t rocan do o car ro somen te n o qua rt o ano e (em

milhares de reais):

−18 0 0 − 1 8

Vamos determinar o custo anual equivalente C.

Os fluxos −18 0 0 − 1 8 e 0 C C C C sao equiva-

lent es. Logo,

−18 −1

1,15¿

+8

1,15

= C1 − 1,15¹

0,15e C = − 4,93.

Logo, e melhor t rocar de carr o de dois em dois an os.




Ap e n d i c e

1. No Excel, a pos os comandos fÜ

, Financeira e Taxa, sur ge uma

caixa de d ialogo que deve ser preen chida do modo seguinte:

Nper: 6

Pgto: −120

VP: 600

Vf:

Tipo:

Estimativa:Aparecer a a ta xa, 0,0547=5,47%.

2. O fluxo de caixa, que deve ser posto em celulas adjacentes em

uma mesma coluna da planilha e:

500 0 − 60 − 60 − 60 − 60 − 60 − 60 − 60 − 60 − 60 − 60

(12 valores).

Apos os comandos fÜ

, Financeir a e TI R, sur ge um a caixa de

dia logo; ma rca n do com o botao esqu erd o do mouse o fluxo de caixa,

sur ge a ta xa 0,0290=2,90%.

3. No Excel, a pos os comandos fÜ

, Financeira e Taxa, sur ge uma

caixa de d ialogo que deve ser preen chida do modo seguinte:

Nper: 5

Pgto: −230

VP: 1000

Vf:

Tipo:

Estimativa:

Aparecer a a ta xa, 0,0485=4,85% ao mes .

1_sbm - elon lages lima - temas e problemas

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