homologia básica - elon lages lima

8/12/2019 Homologia Bsica - Elon Lages Lima

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Conteudo

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Captulo I . Homologia f ormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Complexo de cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Homotopia algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Sequencias exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4. Cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5. Limites indutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Captulo II. Cohomologia de deRham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

1. O complexo de deRham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Invariancia homotopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. A sequencia de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

4. Cohomologia com suportes compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5. Recobrimentos vs cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6. O Teorema de Jordan-Brouwer topolo g i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

7. O Teorema de Dualidade de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8. O grau de uma aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629. Cohomologia de um compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10. A sequencia exata de Cech-Alexander-Spanier . . . . . . . . . . . . . 71

Captulo III. Homologia Simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

1. Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2. O complexo simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3. Primeiros exemplos de homologia simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4. Subdivisao b aricentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5. Aproximacao simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 10

6. Pseudo-variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 18

7. O Teorema dos Pontos Fixos de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8. Homologia ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9. Cohomologia simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

10. O anel de cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


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Captulo IV. Homologia Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

1. Primeiras definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2. Invariancia homoto p i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3

3. Subdivisao baricentrica em homologia singular . . . . . . . . . . . . . 155

4. Cohomologia singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5. Teorema de deRham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6. Cohomologia em termos da homologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Indice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189


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Prefacio

A Topologia Algebrica pode ser considerada como o estudo de

functores, cada um dos quais vai de uma categoria de espacos

topologicos a uma categoria de natureza algebrica. Um exemplo de

functor desse tipo e o grupo fundamental, visto no livro [GFER],

publicado pelo Projeto Euclides.

O presente livro se ocupa de grupos de homologia. Uma teoria

de homologia e um metodo de associar, a cada espaco topologico

de uma certa categoria, uma serie de grupos (ou, mais geralmente,

modulos), chamados os grupos de homologia desse espaco, de tal

maneira que espacos homeomorfos tem grupos de homologia isomor-

fos. Diferentemente do grupo fundamental, os grupos de homologia

sao abelianos.

No Captulo I sao apresentadas, de modo abstrato, as nocoes

algebricas e a linguagem homologica adequada, para uso nos trescaptulos seguintes, cada um dos quais dedicado a uma teoria de

homologia referente a um tipo de espaco topologico.

Os Captulos II, III e IV sao basicamente independentes, po-

dendo ser lidos em qualquer ordem, embora o procedimento re-

comendavel seja seguir a ordem em que sao apresentados.

O Captulo II trata da cohomologia de deRham, que e baseada

nas formas diferenciais numa variedade. Para simplificar a apre-

sentacao (sem perder a generalidade), as variedades aqui conside-

radas acham-se todas mergulhadas no espaco euclidiano. Isto fazcom que os seus espacos tangentes sejam mais visveis e, principal-

mente, poe a nossa disposicao a vizinhanca tubular, instrumento

conveniente em varias situacoes. Neste captulo sao demonstra-

dos teorema classicos importantes como as dualidades de Poincare


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e de Alexander, o teorema de separacao de Jordan-Brouwer e ainvariancia topologica dos abertos do espaco euclidiano. E ainda

mostrado como, mediante uma passagem ao limite, pode-se adap-

tar a cohomologia de deRham a conjuntos que nao sao variedades,

como os compactos do espaco euclidiano. Este captulo tambem

comeca a evidenciar a utilidade da sequencia de Mayer-Vietoris,

que sera amplamente empregada no restante do livro.

O Captulo III estuda os grupos de homologia dos poliedros. As

cadeias simpliciais nos levam de volta as ideias seminais de Poincare,

que foram aperfeicoadas, estendidas e aprofundadas sucessivamentepor Emmy Noether, S. Lefschetz, H. Hopf, J. Alexander e outros.

E introduzido o anel de cohomologia e e demonstrado o teorema

dos pontos fixos de Lefschetz.

O Captulo IV se ocupa da homologia singular, cuja abrangencia

inclui qualquer espaco topologico. E completada a tarefa de es-

tabelecer a compatibilidade das tres teorias estudadas no livro,

provando-se que, num espaco triangulavel, os grupos de homologia

simplicial e singular sao isomorfos e dando-se uma demonstracao

do Teorema de deRham segundo o qual, numa variedade, os grupos

de cohomologia singular sao isomorfos aos grupos de cohomolo-

gia de deRham. E tambem demonstrado o teorema de Poincare,

mostrando que o grupo de homologia singular de dimensao 1 e o

grupo fundamental abelianizado.

Este livro foi concebido como um texto introdutorio de Topolo-

gia Algebrica, ao nvel do incio de pos-graduacao.

Agradeco ao professor Cesar Camacho e aos estudantes do IMPA

Jorge Eric e Renato Vianna pelo leitura crtica do manuscrito. A

digitacao ficou a cargo de Wilson Goes, a quem tambem agradeco.

Rio de Janeiro, maio de 2009

Elon Lages Lima


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Captulo I

Homologia formal

Neste captulo sera feita uma breve apresentacao dos conceitos e

fatos basicos nos quais se fundamentam as diversas maneiras de de-

senvolver a teoria da homologia (e da cohomologia). De certo modo,

os captulos seguintes tratam de casos particulares das nocoes gerais

introduzidas aqui.

1 Complexo de cadeias

Seja A um anel comutativo com unidade. Um complexo de

cadeias com coeficientes em A e uma sequencia C = (Cp, p) de

A-modulos Cp, p 0, inteiro, e homomorfismos p : Cp Cp1tais que p p+1= 0. Escreve-se

C: Cp+1p+1Cp

pCp1 C1

1C000.

Cada elementox Cp e chamado uma p-cadeiaou uma cadeiade dimensao p. Se px = 0, diz-se que x e um p-ciclo ou simples-

mente um ciclo.

O conjuntoZp dosp-ciclos e um submodulo deCp. De fato, Zpe o nucleo do homomorfismo p : Cp Cp1.

1


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2 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL

Se y = p+1 x, diz-se que a p-cadeia y e o bordo da (p+ 1)-cadeia x. O conjuntoBp das p-cadeias que sao bordos de (p+ 1)-

cadeias e um submodulo de Cp; Bp e a imagem do homomorfismo

p+1 : Cp+1 Cp.

Cada homomorfismo p : Cp Cp1 e chamado de operador-

bordo. A menos que seja necessario ser mais explcito, escreve-se

em vez de p, de modo que x= 0 para toda cadeia x Cp.

A relacao fundamentalp p+1 = 0 significa que todo bordo e

um ciclo, ou seja, que Bp Zp.

O A-modulo quociente Hp =Hp(C) =Zp/Bp chama-se o grupode homologiap-dimensional do complexoCcom coeficientes em A.

Seus elementos sao as classes de homologia

[z] =z+ Bp = {z+ x ; x Cp+1}

dos ciclos z Zp. Se z e z sao ciclos p-dimensionais, tem-se

[z] = [z] se, e somente se,z z=xpara algumx Cp+1. Diz-se

entao que ze z sao ciclos homologos.

Se, para cada p0, tivermos um submodulo Cp

Cp tal que

Cp+1C

p entao, pondo

p = p| C

p, a sequenciaC = (Cp,

p) e

um complexo de cadeias, chamado um subcomplexo deC.

Considerando, para cada p 0, o A-modulo quociente Cp =

Cp/C

p, existe um unico homomorfismop : Cp Cp1 que torna

comutativo o diagrama abaixo

Cpp

Cp1

j j

Cp p Cp1 ,onde j e a aplicacao quociente. Por definicao (jx) = j(x). E

claro quepp+1= 0, logo a sequencia C= (Cp, p) e um complexo

de cadeias, chamado o quocientedeCpor C.


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[SEC. 1: COMPLEXO DE CADEIAS 3

Sejam X= (Xp, p) e Y= (Yp, p) complexos de cadeias, cujosoperadores-bordo indicamos com o mesmo smbolo p = . Um

morfismof: X Y e uma sequencia de homomorfismosfp : Xp

Yptais quefp(x) = fp+1(x) para todox Xp. Isto significa que,

no diagrama abaixo, todos os retangulos sao comutativos

Xp+1

Xp

Xp1 X0

fp+1

fp

fp1

f0

Yp+1

Yp

Yp1 Y0

Segue-se das relacoes fp(x) = fp1(x) e fp(x) = fp+1(x)

que, para todo p 0, o homomorfismo fp : XpYp transforma p-

ciclos de X emp-ciclos de Y ep-bordos tambem, ou seja, fp(Zp(X))

Zp(Y) e fp(Bp(X)) Bp(Y); logo fp induz, por passagem ao

quociente, um homomorfismo (fp) : Hp(X) Hp(Y), definido por

(fp)[z] = [fp(z)] para toda classe [z] Hp(X) de um ciclo z

Zp(X).

Frequentemente se escreve apenas f : Hp(X) Hp(Y).

O homomorfismo induzido f : Hp(X) Hp(Y) e natural no

seguinte sentido: se g : Y W e outro morfismo entre complexos

de cadeias, induzindo, para cadap0 o homomorfismo g: Hp(Y)

Hp(W) entao o morfismo compostogf: X Winduz o homomor-

fismo (gf) : Hp(X) Hp(W) e tem-se (gf)=gf. Evidente-

mente, se id: X X e o morfismo identidade, entao id : Hp(X)

Hp(X) e a aplicacao identidade.

Segue-se imediatamente que se o morfismo f: X Yadmite o

morfismo inverso g : Y X entao f : Hp(X) Hp(Y) e invertvel

para todo p 0 sendo (f)1 =g.

Exemplos obvios de morfismos entre complexos de cadeias seobtem a partir de um subcomplexoC C. A aplicacao de inclusao

i :C Ce a projecao j :C C/C sao morfismos.

E da maior relevancia ressaltar que, embora i :Cp Cp seja in-

jetivo e j : Cp Cp/Cp seja sobrejetivo, essas propriedades nao sao


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necessariamente herdadas pelos homomorfismos induzidos i: Hp(C)Hp(C) e j : Hp(C) Hp(C/C).

Exemplo 1. Seja A o anel Z dos inteiros. Consideremos o com-

plexo Cno qual C0 e o grupo abeliano livre gerado pelos smbolos

a, b, c (que podemos imaginar como os vertices do triangulo abc),

C1 e o grupo abeliano livre gerado pelos smbolos ab, bc, ca (lados

do triangulo) e C2 e o grupo cclico cujo gerador livre chamamos

de abc. Os grupos Cp com p > 2 sao todos iguais a zero. Os

operadores-bordo2 : C2 C1, 1 : C1 C0 sao definidos assim:

(abc) =ab + bc + ca

(ab) =b a, (bc) =c b e (ca) =a c.

Obviamente,a = b= c= 0.

Ve-se sem dificuldade que = 0 em todas as dimensoes. Na

verdade, basta verificar que ((abc)) = 0.

E claro que, em dimensao 2, a cadeia nula e o unico ciclo, de

modo que H2(C) = {0}. Vejamos quais sao os ciclos de dimensao

1. Uma cadeia x C1 e da forma x= m ab+n bc+p ca, onde

m,n,p Z. Tem-se

x = (m ab + n bc +p ca) =m b m a + n c n b

+p a p c= (p m)a + (m n)b+ (n p)c.

Portanto x = 0 m = n = p x = m(ab+ bc+ ca).

Assim, o ciclo z = ab+ bc + ca e o gerador de Z1(C). Como se

tem z=(abc), segue-se que Z1(C) = B1(C), portanto o grupo de

homologia H1(C) =Z1(C)/B1(C) e nulo.

Falta calcular H0(C). Toda 0-cadeia e, por definicao, um ciclo.

PortantoZ0(C) e o grupo abeliano livre gerado pora,bec. Ja vimosque o bordo de uma 1-cadeia generica x = m ab+ n bc+p ca

tem a forma y = x = (p m)a+ (m n)b+ (n p)c. Como

(p m) + (m n) + (n p) = 0, conclumos que se uma 0-cadeia

y = k1 a + k2 b + k3 ce um bordo entaok1 + k2 + k3= 0. (A soma


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[SEC. 2: HOMOTOPIA ALGEBRICA 5

k1+ k2+ k3 chama-se o ndice da cadeia y.) Ora, mudando brus-camente de notacao, um exerccio elementar mostra que o sistema

de tres equacoes lineares x y = k1, y z= k2, z x= k3 tem

solucao se, e somente se, k1+k2+k3 = 0. Portanto uma 0-cadeia

e um bordo se, e somente se, seu ndice e zero. (Ou ainda: duas

0-cadeias sao homologas se, e somente se, tem o mesmo ndice.)

Assim, o homomorfismo In : C0 Z, que associa a cada 0-cadeia

seu ndice, tem como nucleo o conjunto B0 das cadeias que sao

bordos. Passando ao quociente, obtemos o isomorfismoC0/B0 Z,

ou seja, H0(C) Z, poisC0 = Z0.Em suma: os grupos de homologia do complexoC sao H0(C) =

Z, H1(C) =H2(C) ={0}.

Exemplo 2. Consideremos agora o subcomplexo C Cno qual

C2 = {0}, C1 = C1 e C

0 = C0. Entao H2(C

) = {0} e H0(C) =

H0(C) Zmas, como 2= 0, tem-se B1={0}, portantoH1(C

) =

Z1 Z. Assim, os grupos de homologia do subcomplexo C Csao

isomorfos a Z nas dimensoes 0 e 1 e nulos nas demais dimensoes.

Isto nos da um exemplo em que o homeomorfismo i : H1(C)

H1(C), induzido pela inclusao i : C C, nao e injetivo.Ainda neste exemplo, no complexo quociente C = C/C tem-se

C2 = C2, C1 = C0 = {0}. Portanto H1(C) = H0(C) = {0} e

H2(C) e o grupo cclico infinito gerado pela classe de homologia

do 2-ciclo j(abc) C2, onde j : C2 C2 = C2/C2 e a aplicacao

quociente. Portanto o homomorfismo induzido j : H2(C) H2(C)

nao e sobrejetivo.

2 Homotopia algebrica

Sejam X = (Xp, p) e Y = (Yp, p) complexos de cadeias e

f, g : X Y morfismos entre eles. Uma homotopia algebrica en-

tre f e g e uma sequencia de homomorfismos de A-modulos D =

Dp : Xp Yp+1 tais que p+1Dp+ Dp1p = fp gp, ou simples-


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menteD + D=f g : Xp Yp para todo p 0.

D

Xp Xp-1

D

Yp+1 Yp

f-g

A principal utilidade deste conceito reside no fato de que se

f, g : X Y sao morfismos algebricamente homotopicos, isto e, se

existe uma homotopia algebrica entre f e g, entao os homomorfis-mos induzidos por f e g nos grupos de homologia coincidem, ou

seja, tem-se f=g : Hp(X) Hp(Y) para p= 0, 1, 2, . . .

Com efeito, sabendo que Dx + Dx= fp(x) gp(x) para toda

p-cadeia x Cp(X), se z Zp(X) e um p-ciclo tem-sez= 0 logo,

escrevendo y = Dx, resulta da que fp(z) gp(z) = y . Assim,

quando os morfismos f e g sao algebricamente homotopicos, as

imagensfp(z) egp(z) de todo ciclo z Zp(X) sao ciclos homologos.

Logo,

f[z] = [fp(z)] = [gp(z)] =g[z],

portanto f=g.

Nos captulos que se seguem, veremos diversas situacoes nas

quais a nocao de homotopia algebrica revelara sua utilidade.

3 Sequencias exatas

Uma sequencia de homomorfismos de A-modulos

Mp+1

fp+1M

p

fpM

p1. . .

chama-se exataquando o nucleo de cada homomorfismo fp e igual

a imagem do homomorfismo anterior fp+1.

Um complexo de cadeias cujos grupos de homologia sao iguais

a zero em todas as dimensoes e uma sequencia exata.


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[SEC. 3: SEQUENCIAS EXATAS 7

Numa sequencia exata, o homomorfismo fp e injetivo se, e so-mente se, fp+1 = 0. Por sua vez, fp+1 e sobrejetivo se, e so-

mente se, fp = 0. Em particular, as sequencias 0 M f N

e M g N 0 sao exatas se, e somente se, f e injetivo e g e

sobrejetivo. Portanto, a sequencia 0 M fN 0 e exata se,

e somente se, f e um isomorfismo entre os A-modulos M e N.

Uma sequencia exata do tipo 0 M iN

jP0 chama-

se curta. Neste caso, i e injetivo, j e sobrejetivo e j1(0) = i(M).

O exemplo tpico de uma sequencia exata curta e aquele em que

M e um submodulo de N, i : MN e a inclusao, P =M/N e omodulo quociente e j : MP=M/N e a aplicacao quociente.

Ummorfismo entre duas sequencias exatas (Mp, fp) e (Np, gp) e

uma sequencia = (p) de homomorfismos p : Mp Np tais que

p1 fp=gp p para todo p 0.

Mpfp

Mp1

p

p1

Npgp

Np1 ,

Sequencias exatas sao um instrumento de uso cotidiano em

Topologia Algebrica. No que se segue, ao emprega-las, nos valere-

mos principalmente de duas de suas propriedades, que estabelecere-

mos agora. Uma delas e o Lema dos Cinco e a outra e a Sequencia

Exata de Homologia associada a uma sequencia exata curta de mor-

fismos entre complexos de cadeias.

Lema dos cinco. Num morfismo entre sequencias exatas de A-

modulos,M5

f5 M4f4 M3

f3 M2f2 M15 4 3 2 1

N5 g5

N4 g4

N3 g3

N2 g2

N1

,

se 1, 2, 4 e5 sao isomorfismos entao 3 tambem e um iso-

morfismo.


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Demonstracao: Seja x M3 tal que 3x= 0. (Por simplicidade,escrevemos f x em vez de f(x).) Entao 2f3x = g33x = 0 logo

f3x = 0 (pois 2 e injetivo) donde x = f4x para algum x M4.

Temosg44x=3f4x= 3x= 0, logo 4x=g5y, y N5 . Como

5 e sobrejetivo, temos y = 5=x,

=x M5. Entao 4x = g5y =

g55=x = 4f5

=x, donde x = f5

=x pois 4 e injetivo. Segue-se que

x =f4x= f4f5=x = 0. Portanto 3 e injetivo. A demonstracao de

que 3 e sobrejetivo e deixada a cargo do leitor.

Em seguida, estabeleceremos a existencia da sequencia exata

de homologia associada a uma sequencia exata curta de morfismosentre complexos de cadeias.

Teorema 1. Seja 0 C i C

j C 0 uma sequencia

exata curta de morfismos entre complexos de cadeias. Existe, para

cada p > 0, um homomorfismo : Hp(C) Hp1(C) tal que a

sequencia

Hp(C)

iHp(C) jHp(C

) Hp1(C

) iHp1(C)

e exata.

Demonstracao: Primeiro definiremos o homomorfismo: Hp(C)

Hp1(C) e depois verificaremos a exatidao da sequencia.

Dada a classe [z] Hp(C), existe x Cp tal que jx = z.

Como j x= jx = z = 0, segue-se que existe z Cp1 tal que

iz = x Cp1. Tem-sez Zp1. Com efeito, i(z) = iz =

x = 0; sendo i injetivo, resulta que z = 0. Poe-se entao, por

definicao, [z] = [z].

Cp

Cp-1

Cp

Cp-1

x z

xz

i

j


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Devemos verificar que : Hp(C) Hp1(C) esta bem definido,ou seja, que as escolhas de z na classe [z] e da cadeia x tal que

jx = z nao afetam o valor de [z] Hp1(C). A escolha mais geral

possvel em [z] seria da forma z +w = z +jw = z +jw ,

w Cp+1, consequentemente a escolha mais geral de x Cp seria

da forma x1 =x +w+i(y), y Cp, que daria jx1 =z

+w.

Neste caso, teramos x1 =iz +iy =i(z +y). Portanto, com

as novas escolhas, teramos ainda [z + w ] = [z + y ] = [z] =

[z]. Poupamo-nos (e ao leitor) da verificacao de que e um

homomorfismo de A-modulos.A prova da exatidao da sequencia de homologia tem tres etapas.

1) Em Hp(C) j Hp(C)

Hp1(C) o nucleo de e igual a

imagem dej.

1a) j = 0. De fato, se [z] = j[z] = [jz] com z= 0 entao

z= i 0, logo [z] = [z] = 0.

1b) O nucleo de esta contido na imagem de j. Com efeito,

se 0 = [z] = [z] entao z = w para algum w Cp. Logo,

tomando x Cp tal que jx = z tem-se x = iz =i w =(iw).

Da (x iw ) = 0. Assim z = x iw e um ciclo em Cp comjz= jx jiw =j x, donde j[z] = [z].

2) Em Hp(C) Hp1(C)

i Hp1(C) tem-se nucleo de i =

imagem de.

2a) i= 0. De fato, para todo [z] Hp(C) tem-se[z] = [z],

onde z Zp, iz = x e jx = z. Logoi[z

] = i[z] = [iz] =

[x] = 0 Hp1(C). Logo imagem de nucleo de i.

2b) Se 0 = i[z] = [iz],z Zp1, entao iz

= x, x Cp. Pondo

z

=jx, temos[z

] = [z

]. Logo nucleo de i imagem de .3) EmHp(C)

iHp(C) jHp(C)tem-se nucleo dej = imagem

dei.

3a) Comoj i = (j i) = 0 = 0, vemos que imagem de i

nucleo de j.


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3b) Se 0 = j[z] = [jz] entao existe x Cp+1 tal que jz =x . Como j e sobrejetivo, tem-se x =jx para algum x Cp+1.

Portantojz= jx = jx, logoj(z x) = 0. Pela exatidao, existe

z Cp tal que z x = iz. Ora, como i e injetora e vale

iz = iz =(z x) =z x= 0 0 = 0,

segue-se que z = 0. Assimz Zp ei[z] = [iz] = [z x] = [z].

Portanto nucleo de j imagem de i.

As vezes e conveniente escrever [z] = [i1j1z]. Evidente-

mente,i1 ej1 nao sao aplicacoes unvocas porem a classe de ho-

mologia [z] esta bem definida por esta formula, como acabamos

de ver.

Ha dois exemplos particularmente importantes de sequencias

exatas de homologia. O primeiro e quando se tem um subcomplexo

C Ce se tomaC =C/C. Neste caso,i :C C e a aplicacao de

inclusao e j : C C e a aplicacao quociente. A sequencia exata

de homologia associada a sequencia exata curta 0 C i C

j

C/C 0 chama-se a sequencia exata do par (C, C) e os grupos dehomologia Hp(C/C) = Hp(C) chamam-se os grupos de homologia

relativado par (C, C).

O segundo exemplo e o da sequencia de Mayer-Vietoris, que

desempenhara um papel central nos captulos seguintes.

Para obter a sequencia de Mayer-Vietoris, parte-se de dois sub-

complexos C, C C, tais que C = C +C, isto e, tem-se Cp =

Cp+C

p para todo p 0. Entao os A-modulos C

p C

p , com o

mesmo operadordeC, formam um complexoC C. Tambem as

somas diretas Cp Cp , cujos elementos escreveremos como pares(x, x) comx Cp e x

Cp, munidas do operador : C

p C

p

Cp1 C

p1, dado por (x, x) = (x , x ), formam o complexo

CC, cujos grupos de homologia sao Hp(CC) Hp(C)Hp(C)

como facilmente se verifica.


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Os morfismos i :C C C C e j : C C C, dados pori(x) = (x, x) e j(x, y) =x y, compoem a sequencia curta

0 C C i C C

j C 0,

que e exata como se ve imediatamente. Dela resulta a sequencia

exata de homologia

Hp(CC)

iHp(C)Hp(C

) j Hp(C)

Hp1(C

C)

chamada a sequencia de Mayer-Vietorisdo terno (C, C, C). Nela,

usamos a notacao em vez de . Os homomorfismos ie j sao

obvios: i[z] = ([z], [z]) e j([z], [w]) = [z w]. Quanto a , tem-se

[z] = [x] = [y ] onde x y=z, x Cp, y C

p e x = y.

A sequencia exata de homologia e natural, no sentido seguinte.

Dado um morfismo

0 X i X

j X 0

0 Y

i Y

j Y 0

entre duas sequencias exatas curtas de complexos de cadeias, os

homomorfismos induzidos em homologia por, e determinam

um morfismo entre as sequencias exatas de homologia. Noutras

palavras, o diagrama abaixo e comutativo.

Hp(X) i Hp(X)

j Hp(X)

Hp1(X)

Hp(Y)

i Hp(Y) j

Hp(Y) Hp1(Y)

Pelo morfismo entre as duas sequencias curtas, temosi= i

e j = j , donde i = i e j = j . Para


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provar que = , escreveremos [z] = [i1j1z].Entao

[z] =[i

1j1z] = [i1j1z] = [i1j1z]

= [i1j1z] = [i1j1z] =[z

].

Resulta da a naturalidade da sequencia de Mayer Vietoris: se

X = X +X e Y = Y +Y entao um morfismo : X Ytal que

(X) Y e (X) Y induz um morfismo entre as sequencias

de Mayer-Vietoris de (X,X

,X

) e (Y,Y

,Y

).

4 Cohomologia

Um complexo de cocadeias e uma sequencia C = (Cp, p),

p 0, de A-modulos Cp e homomorfismos p : Cp Cp+1 tais

que p+1 p = 0. Frequentemente escreve-se simplesmente em

vez de p:

C0 0

C1 1

Cp1 p1

Cp p

Cp+1

. . . .

Cada elemento u Cp chama-se uma cocadeia de dimensao p,

ou uma p-cocadeia. Se pu = 0, diz-se que u e um p-cociclo. O

conjuntoZp =Zp(C) dosp-cociclos e um submodulo deCp, nucleo

do homomorfismo p. A imagem Bp do operador p1 tambem e

um submodulo deCp e a relacao = 0 significa queBp Zp. O

modulo quocienteHp(C) =Zp/Bp chama-se ogrupo de cohomologia

de dimensao p do complexo C. Seus elementos sao as classes de

cohomologia [u] ={u+v ; vCp1} dos cociclos u Zp. Tem-se

[u] = [u] se, e somente se, u u =v para algumv Cp1. Nestecaso, diz-se que u e u sao cociclos cohomologos.

As nocoes e os fatos relativos a cohomologia sao analogos aqueles

ja estabelecidos para a homologia, levando-se em conta apenas que

o operador cobordo : Cp1 Cp aumenta a dimensao, enquanto


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[SEC. 4: COHOMOLOGIA 13

que o operador bordo : Cp Cp1 diminui. Isto causa pequenasmudancas.

Por exemplo, se X e Y sao complexos de cocadeias, o homomor-

fismo induzido em cohomologia por um morfismo f: X Y entre

complexos de cocadeias e designado por f : Hp(X) Hp(Y) em

vez de f.

Uma homotopia algebrica entre os morfismos f, g : X Y e

uma sequencia de homomorfismos D : Xp Yp1 tal que D +

D= f g. (No caso de cadeias, tnhamosD : Xp Yp+1.) Nova-

mente, e claro que se f , g : X Ysao algebricamente homotopicosos homomorfismos induzidos f, g : Hp(X) Hp(Y) sao iguais.

Finalmente, a sequencia exata de cohomologia determinada pela

sequencia exata curta 0 C i C

j C 0 de morfismos entre

complexos de cocadeias tem a forma

Hp(C) iHp(C)

j

Hp(C) Hp+1(C) . . . .

Um importante exemplo de complexo de cocadeias se obtem a

partir de um complexo de cadeias C = (Cp, p), formado por A-

modulos. Para cada p 0, pomos Cp = Hom(Cp; A) = modulodual de Cp , cujos elementos sao os homomorfismos u : Cp A.

O operador = p : Cp Cp+1 e o adjunto de : Cp+1 Cp,

ou seja, se u Cp entao u Cp+1 e o homomorfismo (funcional

A-linear) definido por (u)x= u(x) para toda cadeia x Cp+1.

Isto nos da o complexo de cocadeias C = (Cp, p), cujos grupos

de cohomologia Hp(C) sao chamados os grupos de cohomologia do

complexo de cadeiasC.

A todo morfismo f: X Yentre complexos de cadeias corres-

ponde o morfismo adjunto f

: Y

X

.Para cada p 0, fp: Y

p Xp e definido porfp v

x= v fp(x), v Y

p , x Xp .

Noutras palavras, fp v=v fp.


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O homomorfismo em cohomologia induzido pelo morfismo ori-ginal f: X Y e f : Hp(Y) Hp(X), f = (f) , ou seja,

f[v] = [fv] para todo p-cociclo vZp(Y). Se g : Y Z e outro

morfismo de cadeias, tem-se (g f) =f g : Hp(Z) Hp(X).

No contexto da cohomologia obtida a partir de um complexo

de cadeias, deve-se observar que dada a sequencia de A-modulos e

transformacoes A-lineares

. . .Mp+1fp+1 Mp

fpMp1. . . ,

se ela e exata, nao se segue geralmente que seja tambem exata a

sequencia dual

Hom(Mp1; A) fp Hom(Mp; A)

fp+1 Hom(Mp+1; A) ,

na qual fp e o homomorfismo adjunto de fp.

Um exemplo simples e o da sequencia exata de grupos (Z-

modulos) 0 Z f Z

g Z2 0, onde Z2={0, 1} e o grupo dos

inteiros modulo 2, f(n) = 2n e g e a pro jecao canonica: g(n) = 0

se n e par e g(n) = 1 se n e mpar. A sequencia dual e

0 Hom(Z2;Z) g

Hom(Z;Z) f

Hom(Z;Z) 0.

O grupo Hom(Z2;Z) e zero e Hom(Z;Z) e cclico infinito (iso-

morfo a Z), gerado pelo homomorfismo identidade u : Z Z.

Como f: Z Z e a multiplicacao por 2, o mesmo se d a com

f : Hom(Z;Z) Hom(Z;Z), logof nao e sobrejetivo e a sequen-

cia nao e exata.

De um modo geral, se a sequencia deA-modulosM1f

M2g

M3 e exata entaog f= 0 de modo que, considerando a sequenciadual

Hom(M3; A) g

Hom(M2; A) f

Hom(M1; A)

temos f g = (g f) = 0, logo Im(g) N(f). Se quisermos

mostrar que esta sequencia tambem e exata, restara provar que


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N(f) Im(g). Para isto, tomamos v Hom(M2; A) tal quef(v) = 0 e procuramos achar u Hom(M3; A) com g(u) = v.

Nossa hipotese sobrev significa quev(f(x)) = 0 para todo x M1,

ou seja, que o homomorfismo v : M2 A se anula sobre a imagem

de f. Pela exatidao da sequencia inicial, essa imagem coincide

com o nucleo de g. Portanto v(y) = 0 para todo y M2 tal

que g(y) = 0. Ou ainda: sey, y M2 sao tais que g(y) = g(y)

entaov(y) =v(y). Ora, estamos em procura de um homomorfismo

u : M3 A tal que u(g(y)) =v(y) para todo y M2. Acabamos

de ver que esta igualdade define univocamente um homomorfismou : Im(g) A. Se este homomorfismo puder ser estendido a todo

o M3, (nao importa de que modo) teremos g(u) =v.

Assim, o problema de saber se a dual da seq uencia exata de

A-modulos M1f

M2g

M3 e ainda exata reduz-se a indagar

se um homomorfismo definido no submodulo g(M2) M3 pode ser

estendido a todo o modulo M3. Nem sempre isto e possvel. Por

exemplo, se P Z e o subgrupo formado pelos inteiros pares, o

homomorfismo h : P Z, definido por h(2n) = n, nao pode ser

estendido a todo o grupo Z.Na sequencia exata M1

fM2

gM3ha um caso em que todo

homomorfismo h : g(M2) P, definido no submodulo g(M2)

M3, pode ser estendido a um homomorfismo h : M3 P, definido

em todo o modulo M3. E quando existe um submodulo N M3tal queM3 = g(M2) N. Entao define-se a extensao simplesmente

fazendo-a assumir o valor zero em cada y N, lembrando que

os elementos de M3 se escrevem de modo unico como x+ y com

x g(M2) e y N.

Uma sequencia exata M1f

M2g

M3 chama-se separavelquando existe um submodulo NM2 tal que M2 = f(M1) N.

No caso de uma sequencia exata curta, como

(*) 0 M1f

M2g

M3 0,


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dizer que ela e separavel significa que existe um submoduloNM2tal queM2=f(M1)N. Neste caso, a sequencia dada eequivalente

a

(**) 0 M1f

M1 M3g

M3 0,

onde f(x) = (x, 0) e g(x, y) = y, ou seja, existe um isomorfismo

h : M2 M1 M3 que torna comutativo o diagrama

M

f

1

M2

M3

00

M3

M1

h

g

gf

.

Com efeito, sendo f: M1 f(M1) um isomorfismo e sabendo

que todo z M2 se escreve, de modo unico, como z = x+ y,

onde x f(M1), isto e, g(x) = 0, e y N, pomos h(z) = h(x+y) = (f1(x), g(y)). O homomorfismo h, assim definido, cumpre

h f=f eg h= g, ou seja, torna comutativo o diagrama acima.

A verificacao de que h e bijetivo recai imediatamente na exatidao

da sequencia (*) dada inicialmente.

Portanto (**) e o modelo padrao de uma sequencia exata curta

separavel.

Lema 1. Se a imagem g(M2) e um m odulo livre (em particular,

seA e um corpo, logo osA-modulos sao espacos vetoriais) entao a

sequencia exataM1f

M2g

M3 e separ avel. Em particular, seo modulo M3 e livre ent ao a sequencia exata curta

0 M1 M2 M3 0

e separ avel.


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Demonstracao: Seja (a)L uma base do A-modulo g(M2). De-finamos um homomorfismo : g(M2) M2 escolhendo, para cada

L, um elemento (a) M2 tal que g((a)) = a. As-

sim g((z)) = z para todo z g(M2). Seja N a imagem de .

Afirmamos que M2 = f(M1) N. De fato, em primeiro lugar,

todo x M2 se escreve como x = (g(x)) + (x (g(x))), com

(g(x)) Neg(x(g(x))) =g(x)g((g(x))) =g(x)g(x) = 0,

logo x (g(x)) f(M1) por exatidao. Em segundo lugar, se

y f(M1) N entao y = f(x), x M1, e y = (z), z g(M2),

logo z=g((z)) =g(y) =g(f(x)) = 0 e da y = (z) =(0) = 0.Um importante caso particular deste lema e o

Corolario 1. SejaCB um submodulo. Se o modulo quociente

B/C e livre ent aoC e um somando direto emB, isto e, existe um

submoduloC B tal queB =C C.

Com efeito, se i : CB e a inclusao e j : B B/C e a proje-

cao natural entao a sequencia 0 C i B

j B/C 0 e

exata.

Teorema 2. Se M3 e um A-modulo livre (em particular, se A eum corpo) e a sequencia 0 M1

f M2

g M3 0 e exata,

entao a sequencia dual

0 Hom(M3; A) g

Hom(M2; A) f

Hom(M1; A) 0

e exata.

Demonstracao:

(1) g e injetivo: Sejau : M3 A um homomorfismo tal que

g(u) = 0, isto e, u(g(x)) = 0 para todo x M2. Como g e

sobrejetivo, isto significa que u= 0.(2) Im(g) = N(f). Sao duas inclusoes a serem verificadas.

A primeira, Im(g) N(f), significa que f g = 0, o que e

claro porque f g = (g f) = 0 pois g f = 0. Para provar

queN(f) Im(g), tomemos um homomorfismo v : M2 A tal


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que f(v) = 0, ou seja, v f= 0. Como g e sobrejetivo, podemosdefinir o homomorfismo u : M3 A pondo u(g(x)) = v(x) para

todo x M2. Esta definicao e legtima pois se y M2 e tal que

g(y) = g(x) entao g(x y) = 0 e da, pela exatidao da sequencia

inicial, existe z M1 tal que x y= f(z). Comov f= 0, vemos

quev(x y) =v(f(z)) = 0, portantov(x) =v(y), mostrando assim

que o homomorfismou : M3 Aesta bem definido, sendo claro que

u g= v, isto e, v= g(u).

(3) f e sobrejetivo. Aqui fazemos uso do Lema 1, segundo o

qual a sequencia exata 0 M1f

M2g

M3 0 e separavel,logo e equivalente a sequencia exata padrao 0 M1 M1

M3 M3 0 e a sobrejetividade de f equivale a dizer que

todo homomorfismo u : M3 A se estende a um homomorfismo

u : M1 M3 A, o que e inteiramente obvio.

Observacao: Se E e um espaco vetorial sobre o corpo K, e praxe

escrever E em vez de Hom(E; K).

5 Limites indutivos

Umaquase-ordemnum conjuntoL e uma relacao binaria em

Lque e reflexiva ( para todo L) e transitiva (se, , L

sao tais que e entao ). Uma quase-ordem anti-

simetrica ( e implicam = ) chama-se uma relacao

de ordem.

Diz-se que a quase-ordem efiltrantequando, dados quaisquer

, L, existe L tal que e .

Exemplo 3. Seja L o conjunto dos intervalos abertos da reta quecontem 0 e tem comprimento 1. Dados I, JL, se escrevermos

IJpara significarIJ, obteremos uma relacao de ordem emL,

a qual nao e filtrante. Se, entretanto, convencionarmos que IJ

significa JI, obteremos uma relacao de ordem filtrante em L.


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[SEC. 5: LIMITES INDUTIVOS 19

Exemplo 4. Seja V o conjunto das vizinhancas abertas de umdeterminado conjunto X Rn. DadosU, V V, escrevendo UV

para significar que X V U, obtemos uma relacao de ordem

filtrante em V. A opcao de escrever UV quando V U traduz

o fato de que V esta mais proxima de Xdo que U, ou que e uma

melhor aproximacao aberta de X.

Exemplo 5. Seja C o conjunto das coberturas abertas de um

conjunto X Rn. Dadas as coberturas , C, ponhamos

para exprimir que refina, isto e, para cada Bexiste A

tal que B A. A relacao e uma quase-ordem filtrante em

C. Com efeito, dadas , C, o conjunto das intersecoes A B,

com A e B , e uma cobertura aberta de X que refina e

, ou seja, tem-se e . Note que esta quase-ordem nao

e anti-simetrica, ou seja, nao e uma ordem.

Dada uma quase-ordem no conjuntoL, um subconjuntoL

L diz-se cofinal quando, para todo L, existe L tal que

.

Exemplo 6. No Exemplo 3, se IJ significaIJ, os intervaloscom extremos racionais formam um conjunto cofinal. SeIJquer

dizer JIentao os intervalos do tipo (1/n, 1/n) constituem um

conjunto cofinal. No Exemplo 4, se Xfor compacto, as vizinhancas

abertas de X que tem fecho compacto formam um conjunto cofi-

nal em V. No Exemplo 5, seX e uma superfcie, o conjunto das

coberturas abertas localmente finitas e cofinal em C.

Uma famlia (E)L deA-modulos chama-se umsistema indu-

tivo quando

1o) O conjunto L dos ndices e munido de uma quase-ordemfiltrante.

2o) Para cada par de ndices, L com e dado um

homomorfismo : E E de modo que = id: E E e

=: E E se .


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Dado o sistema indutivo (E)L, definimos na reuniao disjuntaL

E uma relacao de equivalencia dizendo que x E e equiva-

lente a y E quando existe L, com e , tal que

(x) = (y). Indicaremos com x a classe de equivalencia do

elemento x E segundo esta relacao. O conjunto E das classes

de equivalencia x dos elementos x E, L, chama-se o limite

indutivo do sistema (E)L. Escreve-se E= limE.

Quando se escreve um elemento de E= lim

E sob a forma x,

diz-se que x E representa a classe x. Se e y = (x),

entao o elemento y E representa a mesma classe, pois x=

y.

O limite indutivo E= lim

E possui uma estrutura natural de

A-modulo: dados x =

y E, como L e filtrante, podemos supor

que os representantesx,y pertencem ao mesmo moduloEe entao

pomos x+

y = (x+ y) e, se a A, a

x = (a x). Nao ha

dificuldade em verificar que estas operacoes estao bem definidas e

fazem de E= lim

E um A-modulo.

Em particular, a classe x de x E e o zero de A-modulo E,

se, e somente se, existe tal que (x) = 0 E. Noutras

palavras, o elemento neutro da adicao em E = lim

E pode ser

representado pelo elemento neutro 0 E para algum L.

Seja E= lim E. Para cada L, existe um homomorfismo

: EE, definido por (x) = x, x E. Valem as seguintes

propriedades:

a) Se entao = ;

b) E=L (E);c) Se x E e tal que (x) = 0 entao existe L tal que

e (x) = 0.

Podemos tambem considerar sistemas indutivos de complexos.

Para fixar ideias, vejamos um sistema indutivo (C)L de com-


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[SEC. 5: LIMITES INDUTIVOS 21

plexos de cocadeias. Para cada L, temos um complexo

C : C0C

1 C

r

dCr+1

e, quando , um morfismof : C Ctal quef= id: C

C e f=f f : C C quando .

O limite indutivo do sistema (C)L e o complexo

C: C0 C1 Cr dCr+1 ,

onde Cr = lim

Cr e d : Cr Cr+1 e definido por d(x) = (dx),

com x Cr logo dx Cr+1 .

Escreve-seC= limL

C= lim C.

Se E = limL

E, definir um homomorfismo f: E F, com

valores no A-modulo F, equivale a definir, para cada L, um

homomorfismo f : E Fde tal modo que valha a relacao f =

f sempre que . Com efeito, dadof, obtem-sefpondo

f= f. Reciprocamente, dados osf, definimosfassim: para

cadax Eexiste algumx Etal que(x) =x. Entao pomosf(x) =f(x). A relacao f= f mostra que esta definicao e

legtima, isto e, que a escolha de x nao afeta o valor f(x).

O homomorfismo f: lim E F, definido a partir dos f : E

F, e sobrejetivo se, e somente se, F = f(E) e e injetivo se, e

somente se,f(x) = 0 implica que existe tal que (x) = 0.

Por exemplo, se L L e um subconjunto cofinal, o limite

indutivo E = limL

E e isomorfo a E = limL

E. Para chegar a

esta conclusao, definimos o homomorfismo f: E Epondo, para

cada L, f = : E E. Como se ve sem dificuldade,o homomorfismo f e sobrejetivo e injetivo, logo e um isomorfismo

entreE e E.

Um exemplo util de isomorfismo e o seguinte. A partir de um

sistema indutivo (C)L de complexos de cocadeias, obtemos um


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complexo C= lim C, o qual possui grupos de cohomologiaHr(C) =Hr(lim C), r = 0, 1, . . . . Por sua vez, para cada r = 0, 1, 2, . . . ,

os grupos de cohomologia Hr(C), L formam um sistema in-

dutivo, o qual possui o limite lim

Hr(C). Afirmamos que existe

um isomorfismo natural f: lim

Hr(C) Hr(lim

C). Afim de

definir f, basta considerar, para cada L, o homomorfismo

f : Hr(C) Hr(lim

C), definido por f[z] = [

z], onde z Cr

e um cociclo de dimensao r, [z] Hr(C) e sua classe de coho-

mologia e z= (z) e sua imagem em lim

Cr

pelo homomorfismo

natural : Cr lim

Cr. Os homomorfismosf cumprem obvia-

mente a condicao f = f quando , logo determinam

um homomorfismo f: lim

Hr(C) Hr(lim

C). Como se ve sem

dificuldade, f e um isomorfismo.

Assim, o processo de tomar o limite indutivo de complexos co-

muta com o de tomar grupo de cohomologia. Resulta da, em par-

ticular, que o limite indutivo de um sistema de sequencias exatas

e ainda uma sequencia exata pois esta e, em ultima analise, um

complexo cujos grupos de cohomologia em dimensao> 0 sao nulos.


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Captulo II

Cohomologia de deRham

A cohomologia de deRham sera nosso primeiro exemplo de uma

situacao especfica na qual se usam os conceitos gerais expostos no

captulo anterior.

Este assunto e geralmente apresentado no contexto aparente-

mente mais geral de variedades diferenciaveis. (Em vez de su-

perfcies no espaco euclidiano, como faremos aqui.) A opcao que

fizemos permite utilizar, sem mudanca de terminologia ou notacao,as nocoes ja introduzidas e os resultados ja demonstrados em [AR2]

e, principalmente, [AR3], textos que contem os pre-requisitos para

este captulo.

Alem disso, como e bem conhecido, toda variedade diferenciavel

e difeomorfa a uma superfcie contida num espaco euclidiano de di-

mensao suficientemente alta, portanto nao ha perda essencial de

generalidade em nossa exposicao. Uma vantagem adicional das su-

perfcies e a existencia da vizinhanca tubular, cuja utilizacao em

ocasioes oportunas simplifica argumentos e permite demonstracoes

convincentes, como vimos nos Captulos 4 e 5 de [AR3].

Advertencia: no que se segue, salvo mencao explcita em con-

trario, superfcies e formas serao sempre supostas diferenciaveis e

diferenciavelsignifica de classe C.

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24 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DERHAM

1 O complexo de deRham

A diferenciacao exterior d : r(M) r+1(M) e uma trans-

formacao linear definida no espaco vetorial r(M), cujos elementos

sao as r-formas na superfcie m-dimensional M. Como dd = 0

para toda r(M), a sequencia

(M) : 0(M) d1(M) m1(M)

dm(M) 0

e um complexo de cocadeias, chamado o complexo de deRham da

superfcie M.Lembremos que 0(M) e o conjunto das funcoes diferenciaveis

f: M Re r(M) = 0 se r > m= dim M.

O nucleo Zr(M) de d : r(M) r+1(M) e a imagem Br(M)

de d : r1(M) r(M) sao, respectivamente, o conjunto das r-

formas fechadase das r-formas exatas. Tem-seBr(M) Zr(M) e

o espaco quociente

Hr(M) =Zr(M)

Br(M)

chama-se o grupo de cohomologia de deRham da superfcie M emdimensaor(muito embora seja um espaco vetorial). Seus elementos

sao as classes de cohomologia

[] ={+ d; r1(M)}

das formas fechadas Zr(M).

Exemplo 1. O caso mais simples da cohomologia de deRham

e H0(M). Tem-seB0(M) = 0 e Z0(M) e o conjunto das funcoes

diferenciaveisf: M R tais quedf= 0. LogoH0(M) =Z0(M) =

conjunto das funcoes localmente constantes, ou seja, constantes em

cada componente conexa deM. Em particular, seM e conexa entao

H0(M) = R. No caso geral, em queM =

L

M e a reuniao de

suas componentes conexas, tem-se H0(M) =

L

R onde R = R


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[SEC. 2: INVARIANCIA HOMOTOPICA 25

para todo L. Explicitamente, cada elemento de H0(M) e umafamlia x = (x)L onde x R para todo L. (Note que L

e enumeravel.) Se M = M1 Mk possui apenas um numero

finito k de componentes conexas entao H0(M) = Rk.

Exemplo 2. SejaM= R2{0}. Sabemos queH0(M) = R poisM

e conexa. Vejamos H1(M). A cada forma fechada = adx+bdy

em M, facamos corresponder o numero () =

S1. A corres-

pondencia : Z1(M) R assim definida e uma transformacao li-

near nao-nula, portanto sobrejetiva. Seu nucleo contemB

1

(M) poisa integral de uma forma exata ao longo do caminho fechado S1 e

zero. Logo duas formas cohomologas e tem a mesma imagem

() = (). Entao, por passagem ao quociente, podemos definir

uma transformacao linear : H1(M) R, pondo ([]) = ()

para toda Z1(M). Alem de sobrejetiva, e tambem injetiva.

De fato, se ([]) =

S1 = 0, afirmamos que

= 0 para qual-

quer caminho fechadoem M= R2{0}. Para ver isto lembremos

que, como esta no Captulo 1 de [AR3], e livremente homotopico

em R2 {0} a um caminho do tipo : [0, 2] S1 R2 {0},

(s) = (cos ks, sen ks), para algum k Z. Sendo assim, = = k

S1

= 0. Portanto e exata em M= R2 {0}, ou seja,

[] = 0. Finalmente, tem-se ainda H2(M) = 0 pois, como veremos

logo a seguir, os grupos de cohomologia de deRham sao invariantes

homotopicos e M = R2 {0} tem o mesmo tipo de homotopia da

superfcie unidimensional S1, para a qual, evidentemente, vale

H2(S1) = 0.

2 Invariancia homotopica

Como sabemos, uma aplicacao diferenciavel f: M N entre

as superfcies M, N induz, para cada r 0, uma transformacao

linear f : r(N) r(M), que associa a cada r-forma em N o


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seu pullback f r(M), onde

(f)(p)(v1, . . . , vr) =(f(p))(f(p)v1, . . . , f

(p)vr),

para todo p Me quaisquer v1, . . . , vr TpM.

E uma propriedade essencial da diferenciacao exterior sua in-

variancia por mudanca de coordenadas, expressa pela igualdade

f(d) = d(f), em virtude da qual f e um morfismo do com-

plexo de deRham (N) em (M). Como tal,f induz, para cada

r 0, um homomorfismo

f : Hr(N) Hr(M),

indicado com a mesma notacao f. Quando ha necessidade de ser

mais preciso, escreve-se fr em vez de f. O homomorfismo acima,

definido por f([]) = [f], e naturalno sentido de que se tem

(g f) = f g para f: M N e g : N P diferenciaveis.

Em particular, se f: M N e um difeomorfismo e g : N M

e seu inverso entao f : Hr(N) Hr(M) e, para todo r 0, umisomorfismo cujo inverso e g : Hr(M) H(N) pois g f =

(f g) = (idN) = idHr(N) ef g = (g f) = (idM) = idHr(M).

Esta observacao caracteriza H(M) como um invariante dife-

renciavel. Mais geralmente (porem ainda nao definitivamente, con-

forme o Teorema 1 abaixo), Hr(M) e um invariante do tipo de

homotopia diferenciavel de M.

Isto significa que sef: MNeg : NMsao aplicacoes dife-

renciaveis tais que g f: MM e f g : NN sao ambas dife-

renciavelmente homotopicas as aplicacoes identidades pertinentesentao, para todo r 0, f : Hr(N) Hr(M) e g : Hr(M)

Hr(M) sao isomorfismos, um inverso do outro.

Na verdade, bem mais do que isto pode ser dito. Mostraremos

agora o seguinte:


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[SEC. 2: INVARIANCIA HOMOTOPICA 27

Teorema 1. Uma aplicacao contnuaf: M N induz, para cadar 0, um homomorfismo f: Hr(N) Hr(M). Se g : M N

e tambem contnua e homot opica a f (em classe C0) entao g =

f : Hr(N) Hr(M). Consequentemente, seM eN tem o mesmo

tipo de homotopia(em particular, se sao homeomorfas)entaoHr(M)

eHr(N) sao isomorfos para todo r 0.

Demonstracao: Isto resulta das seguintes observacoes:

A) Pelo Teorema 8, Captulo 4 em [AR3], se as aplicacoes dife-

renciaveis f, g : M N sao homotopicas (homotopia C0

) entaoelas sao diferenciavelmente homotopicas. Logo, pelo Teorema 3

loc. cit., para toda forma fechada Zr(N), existe r1(M)

tal que g f= d, portantog[] =f[]. Assim, aplicacoes

diferenciaveis que saoC0-homotopicas induzem o mesmo homomor-

fismo em cohomologia.

B) Toda aplicacao contnua f: M N e homotopica a uma

aplicacao diferenciavel.

Com efeito, seja V(N) uma vizinhanca tubular de N Rs.

Definamos a funcao contnua : M R+ pondo, para cada x M, (x) = d(f(x), Rs V(N)). Pelo Teorema de Aproximacao

([AR3], Cap. 4, Teor. 6), existe g : M N diferenciavel tal que

|g(x) f(x)| < (x) para todo x M. Entao, para todo x

M, o segmento de reta [f(x), g(x)] esta contido em V(N). Seja

: V(N) Na projecao natural. A aplicacaoH: M[0, 1] N,

dada por H(x, t) =((1 t)f(x) + tg(x)), e uma homotopia entre

fe a aplicacao diferenciavel g.

Uma vez estabelecidas A) e B), o homomorfismof : Hr(N)

Hr(M), induzido pela aplicacao contnua f: M N, e definidoassim: toma-se uma aplicacao diferenciavel g : M N que seja

homotopica afe poe-se, por definicao,f =g : Hr(N) Hr(M).

Deve-se observar que o homomorfismo f independe da escolha

de g, em virtude da transitividade da relacao de homotopia: se


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g, h : M N sao diferenciaveis e homotopicas a f entao g h,logo g =h.

Do mesmo modo se mostra que se f: MN e g : NP sao

aplicacoes contnuas entao (g f) =f g e que se f , g : MN

sao homotopicas entao f = g. Em particular, se f: M N e

uma equivalencia homotopica entao f : Hr(N) Hr(M) e um

isomorfismo para todo r 0.

Um caso especial merece destaque: se f: MN e um homeo-

morfismo entao f e um isomorfismo de Hr(N) sobre Hr(M) para

todor 0. Assim, embora a estrutura diferencial tenha sido forte-mente utilizada na definicao de cohomologia de deRham, os grupos

Hr(M) sao invariantes topologicos.

Exemplo 3. Podemos agora completar o Exemplo 2. Como S1 e

R2 {0} tem o mesmo tipo de homotopia, valeHr(R2 {0})

Hr(S1) para todo r 0. Ora, H2(S1) = 0 pois dim S1 = 1. Por

outro lado, da resulta tambem que H1(S1) Rpois ja vimos que

H1(R2{0}) R. Mais geralmente, Rn+1{0} eSn tem o mesmo

tipo de homotopia, seja qual forn >0. LogoHn+1(Rn+1{0}) = 0.

Alem disso, e claro que, para todo r > 0, vale Hr

(Rn

) = 0 poisRn e contratil, ou seja, tem o mesmo tipo de homotopia de um

ponto.

A cohomologia de deRham possui ainda uma estrutura multi-

plicativa, induzida pelo produto exterior de formas diferenciais. Se

Zr(M) e Zs(M) sao formas fechadas em M entao o pro-

duto exterior e tambem uma forma fechada, pois d( ) =

d + (1)r d = 0. Alem disso, se r1(M) e

s1(M),

(+ d) (+ d) = + d+ d + d d

= + d[(1)r + + d]

= + d,

logo o produto exterior de formas fechadas conserva a relacao de


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[SEC. 3: A SEQUENCIA DE MAYER-VIETORIS 29

formas cohomologas, ou seja, a aplicacao bilinear

: Hr(M) Hs(M) Hr+s(M),

dada por [] [] = [ ], esta bem definida.

Este produto exterior de classes de cohomologia dota a soma

direta

H(M) =H0(M) H1(M) Hm(M), m= dim M,

de uma estrutura de algebra sobre os reais, usualmente conhecidacomo o anel de cohomologia de deRham da superfcie M. O ho-

momorfismo f : H(N) H(M), induzido por uma aplicacao

contnua f: M N, respeita essa multiplicacao, ou seja, tem-se

f([] []) =f[] f[].

Quando o espaco vetorialHr(M) tem dimensao finita, o numero

r = dim Hr(M) chama-se or -esimonumero de Bettida superfcie

Me a soma alternada (M) =0 1+ + (1)m m chama-se

a caracterstica de Eulerda superfcie M.

3 A sequencia de Mayer-Vietoris

Sejam U, V Mabertos na superfcie M, tais que M=U V.

Para cadar 0, consideremos os morfismos : r(M) r(U)

r(V) e : r(U) r(V) r(UV), definidos por () =

(|U, |V) e(,) =|(U V) |(U V), lembrando que|W

significa a restricao da forma ao conjunto aberto W M. Os

morfismos e dao origem a sequencia curta

0 r(M) r(U) r(V) r(U V) 0,

a qual afirmamos ser exata. E obvio que e injetivo e que sua

imagem e igual ao nucleo de. Resta apenas provar que e sobre-

jetivo.


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Para isto, tomamos uma particao diferenciavel da unidadeU+V = 1 estritamente subordinada a coberturaM=UV, portanto

supp. U U e supp. V V. Dada qualquer r(UV),

definimos as formas 1 r(U) e 2 r(V) pondo:

1 = V em U V e 1= 0 em U (U V),

2 = U em U V e 2 = 0 em V (U V).

Tem-se1|(UV)2|(UV)=V +U=, logo(1, 2)=.

Como vimos no Captulo I, esta sequencia exata curta da origema uma sequencia exata de cohomologia

Hr(M) Hr(U)Hr(V)

Hr(UV)

Hr+1(M) . . .

que chamaremos asequencia de Mayer-Vietorisassociada a decom-

posicao M=U V.

Os homomorfismos e sao definidos por ([]) = ([|U],

[|V]) e ([1], [2]) = [1|(U V) 2|(U V)].

Por sua vez, : Hr(U V) Hr+1(M) e definido assim: dada

r(U V) fechada, como e sobrejetivo, existem formas1r(U) e 2 r(V), nao necessariamente fechadas, tais que =

1|(UV)2|(UV). Entao 0 =d = d1|(UV)d2|(UV)

portantod1ed2sao (r+1)-formas emUe em V respectivamente,

as quais sao obviamente fechadas e coincidem emUV logo definem

conjuntamente uma forma fechada em M =U V, cuja classe de

cohomologia e [].

Exemplo 4. Vamos usar a sequencia de Mayer-Vietoris a fim de

calcular os gruposHr(M) quandoM=R2{p, q}, ondep= (1, 0)

e q= (1, 0). Para isso, tomaremosM = U V com U = {(x, y)M; x < 1/2} e V = {(x, y) M; s > 1/2}. Evidentemente,

U e V sao homeomorfos a R2 {0}, logo seus grupos Hr(U) e

Hr(V) ja foram calculados no Exemplo 2. Alem disso, U V =

{(x, y) R2; 1/2 < x < 1/2} tem o mesmo tipo de homotopia


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de um ponto, portanto Hr(U V) = 0 ser >0 e H0(U V) = R.Como M e conexa, temos H0(M) = R. O calculo deH2(M) se faz

olhando para o trecho

H1(U V) H2(M) H2(U) H2(V), ou seja, 0 H2(M) 0,

da sequencia de Mayer-Vietoris. Da exatidao resulta queH2(M) =

0. Para calcular H1(M), usamos o trecho

H0(U) H0(V) H0(U V)

H1(M)

H1(U)

H1(V) 0,

(lembrando queH1(U V) = 0), que equivale a sequencia exata

R R R

H1(M)

R R 0,

na qual(x, y) =x y, logonao e identicamente nulo, portanto

e sobrejetivo. Por exatidao, o nucleo de e todo o R, logo e

identicamente nulo e entao e injetivo. Mas e tambem sobreje-

tivo pois a ultima flexa e igual a zero. Assim, : H1(M) RR

e um isomorfismo.

Resumindo: seM e o plano menos dois pontos entaoH0(M) =

R, H1(M) = R2 e Hr(M) = 0 se r 2.

A partir da, por invariancia topologica ou por tipo de homo-

topia, se pode calcular a cohomologia de outras superfcies, como

por exemplo aquela obtida do cilindro R S1 retirando-se dele um

disco fechado.

Exemplo 5. Se M e uma superfcie simplesmente conexa entao

H1(M) = 0. Quando M e um aberto do espaco euclidiano, este e

o Corolario 4, Captulo 1 em [AR3]. No caso geral, tomamos umavizinhanca tubular V M no espaco euclidiano em que M esta

contida. Entao V e tambem simplesmente conexa pois a projecao

: V M e uma equivalencia homotopica. Dada 1(M)

fechada, sua extensao e uma forma fechada em V, portanto,


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em virtude do corolario acima mencionado, existe f: V R talque df = . Entao, g = f|M e tal que = dg. Assim, toda

1-forma fechada em M e exata, ou seja, H1(M) = 0.

Exemplo 6. Grupos de cohomologia da esferaSm. Ja os conhece-

mos quando m = 1: H0(S1) = R, H1(S1) = R e Hr(S1) = 0 se

r >1. Portanto suporemos m 2, o que nos da logo H1(Sm) = 0.

Usaremos uma decomposicaoSm =U V, ondeU eV sao abertos

contrateis e U Vtem o mesmo tipo de homotopia de Sm1. Por

exemplo, podemos tomar U = Sm {a} e V = Sm {b}, com

a = (0, . . . , 0, 1) e b = (0, . . . , 0, 1), ou entao fixar um numero (0, 1) e por U = {x = (x1, . . . , xm+1) Sm; xm+1 < },

V = {x = (x1, . . . , xm+1 Sm; xm+1 > }. Assim, teremos

Hr(U) = Hr(V) = 0 se r > 0, H0(U) = H0(V) = R e, como

m 2, H0(U V) = R. Logo, o trecho abaixo da sequencia de

Mayer-Vietoris, com r 2,

Hr1(U) Hr1(V) Hr1(U V) Hr(Sm) Hr(U) Hr(V)

pode ser escrito como

0 Hr1(Sm1) Hr(Sm) 0

e da resulta que Hr(Sm) e isomorfo a Hr1(Sm1). Portanto,

Hm(Sm) Hm1(Sm1) H1(S1) = R (onde o smbolo

significa e isomorfo a). Se, porem, tivermos r < m, da resul-

tara m r+ 1 2, logo

Hr(Sm) Hr1(Sm1) H1(Smr+1) = 0.

Resumindo: Hm

(Sm

) = R para todo m > 0 e Hr

(Sm

) = 0 s e0< r < m.

Como observamos na Secao 2, os grupos de cohomologia de

deRham de uma superfcie, embora tenham sido definidos por meio

de instrumentos do Calculo Diferencial, sao invariantes topologicos:


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todo homeomorfismo h : M N entre duas superfcies induz umisomorfismoh : Hr(N) Hr(M). Ou seja: superfcies homeomor-

fas tem a mesma cohomologia. Segue-se da que se m = n entao

as esferas Sm e Sn nao sao homeomorfas. Consequentemente, nao

pode haver um homeomorfismo entre espacos euclidianosRm e Rn

de dimensoes diferentes m e n. De fato, se considerarmos, medi-

ante a projecao estereografica os espacos Rm = Sm {p} e Rn =

Sn {q} como esferas com um ponto omitido, todo homeomor-

fismoh : Rm Rn se estenderia a um homeomorfismoh : Sm Sn

pondo-seh(p) =qeh(x) =h(x) se x=p.Exemplo 7. Seja T =S1 S1 o toro bidimensional. Por meio da

sequencia de Mayer-Vietoris, vamos determinar as dimensoes dos

espacos vetoriais H1(T) e H2(T). Para isto, tomemos T =U V,

onde U e V sao abertos difeomorfos a cilindros, tais que U V e

a reuniao de dois cilindros disjuntos. Lembrando que cada cilindro

tem o mesmo tipo de homotopia deS1, vemos que a sequencia exata

H0(U) H0(V) AH0(U V)

BH1(T)

CH1(U)

H1

(V)

D

H1

(U V)e equivalente a

R2 A R2

BH1(T)

C R2

D R2.

Acima temosA(x, y) = (x y, x y) e D(u, v) = (u v, u v).

Pela exatidao, dimIm(C)=dimN(D) = 1. Usando o Teorema

do Nucleo e da Imagem, vemos que dimN(C) = dimIm(B) =

2 dimN(B) = 2 dimIm(A) = 2 1 = 1. Da resulta que

dim H1(T) = dimN(C) + dimIm(C) = 1 + 1 = 2. Para obter a

dimensao de H2(T), usamos a sequencia exata

H1(U) H1(V) EH1(U V)

H2(T) H2(U) H2(V)

ou seja, R2 ER2

H2(T) 0. TemosE(x, y) = (x y, x y),

logo dimIm(E) = 1 = dimN() e da dimIm() = 1.


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Figura 1.

U

V

U V

U V

T =U V

Mas, pela exatidao da sequencia, e sobrejetivo, portantoIm() =

H2(T) e da dim H2(T) = 1.

Uma transformacao linear entre dois espacos vetoriais de di-

mensao 1, ou e um isomorfismo ou e identicamente nula. Re-

sulta desta observacao que a integracao define um isomorfismo

: H2(T) R, dado por ([]) =

T . De fato, a transformacao

linear esta bem definida, pois se [] = [] entao = + d e,

como

Td = 0, temos

T

=

T. Alem disso, nao e iden-

ticamente nula pois a forma elemento de area de T tem integral

diferente de zero. Pelo Exemplo 7, temos dim H2(T) = dimR = 1,

logo e um isomorfismo.Um caso analogo e o da esfera Sm. Novamente a integracao

define um isomorfismo : Hm(Sm) R, onde ([]) =

Sm.

Podemos mesmo ir um pouco adiante e notar que a projecao radial

f: Rm+1{0} Sm,f(x) =x

|x| e uma equivalencia homotopica,


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logoHm(Rm+1 {0}) tem a mesma dimensao deHm(Sm), ou seja,1. Entao : Hm(Rm+1 {0}) R, ([]) =

Sm

, e um isomor-

fismo.

Mais geralmente, se B Rm+1 e uma bola fechada de centro

0 entao claramente Rm+1 B tem o mesmo tipo de homotopia de

Rm+1 {0} e a aplicacao : Hm(Rm+1 B) R, ([]) =

S,

e um isomorfismo, se S e qualquer esfera de centro 0 contida em

Rm+1 B (ou seja, de raio maior do que o deB). Nao importa qual

a esfera S que se tome nessas condicoes: em virtude do Teorema

de Stokes tem-se S = S pois S e S formam o bordo de umacapsula esferica do tipo S [0, 1].

Em particular, se m(Rm+1 B) e tal que

S = 0 para

alguma (e portanto qualquer) esfera de centro 0 e raio maior que o

de B entao existe m1(Rm+1 B) tal que = d.

Ainda com auxlio da sequencia de Mayer-Vietoris, mostraremos

a seguir que se a superfcie M e compacta entao, para todo r 0,

o espaco vetorial Hr(M) tem dimensao finita.

Nossa argumentacao se baseara na existencia de coberturas aber-

tas simples em toda superfcie.Uma cobertura aberta M =L

A da superfcie M chama-

se simples quando toda intersecao finita A1 Ak, com

1, . . . , k L, e contratil.

Comecamos estabelecendo o

Lema 1. Sejaf: UVum difeomorfismo entre os abertosU, V

Rn. Para todo a U, existe r > 0 tal que a imagem f(B) de

qualquer bolaB =B(a; s) com0< s r, e um aberto convexo.

Demonstracao: Ponhamos g = f1 : V U, b = f(a) e con-

sideremos a funcao : V R definida por (y) = |g(y) a|2 =

g(y) a, g(y) a. Temos yj

(y) = 2 gyj

(y), g(y) a e

2

yiyj(y) = 2

2g

yiyj(y), g(y) a

+ 2

g

yi(y),

g

yj(y)

.


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Como g(b) =a, vemos que

2

yiyj(b) = 2

g

yi(b),

g

yj(b)

.

Assim, a matriz hessiana de no pontob e igual a matriz de Gram

dos vetores linearmente independentes gy1

(b), . . . , gyn

(b), logo e po-

sitiva (cfr. [AL], pag. 213). Existe, portanto, uma bolaB de centro

bcontida emV, tal que a matriz hessiana de e positiva em todos

os pontos de B . Entao a funcao : B R e convexa (cfr. [AR2],

pag. 77). Seja B = B(a; r) U tal que f(B) B . Afirmamosque f(B) e um conjunto convexo. Com efeito, se y1 = f(x1) e

y2=f(x2), comx1, x2 B , e 0t 1 entao, pela convexidade de

em B, temos

|g((1 t)y1+ty2) a|2 = ((1 t)y1+ ty2) (1 t)(y1) + t(y2)

= (1 t)|g(y1) a|2 + t|g(y2) a|

2

= (1t)|x1a|2+t|x2a|

2 < (1t)r2+tr2

=r2.

Portanto g((1 t)y1+ ty2) B, logo (1 t)y1+ ty2 f(B) e

f(B) e convexo.

Evidentemente, se 0 < s r entao f(B(a; s)) tambem e con-

vexo.

No teorema abaixo, em que M Rn e uma superfcie m-

dimensional, usamos a vizinhanca tubular local V(U). Nela, U =

(U0) e um aberto emM, imagem de uma parametrizacao : U0

M, com U0 Rm aberto. Tem-se n m campos de vetores

v1, . . . , vnm : U Rn, diferenciaveis, tais que, para cada y U,

{v1(y), . . . , vnm(y)} TyM e uma base ortonormal. A partir da,

define-se uma aplicacao : U0 Rnm Rn, pondo (x, 1, . . . ,

nm) = (x) +nmi=1

i vi((x)). Fixadoa=(x0) U, podemos

restringir suficientemente o abertoU0 x0em Rm e o numero >0


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de modo que : U0B(0; ) V(U) Rn seja um difeomorfismo,com (x, 0) = (x) para todo x U0. transforma isometrica-

mente cada bola (n m)-dimensional x B(0; ), x U0, na bola

normal B((x); ) T(x)M. A projecao natural : V(U) U

e definida por = 1 1, onde 1 : U0 B(0; ) U0 e a

projecao sobre o primeiro fator. Temos V(U) =

yU

B(y; ) e

(B(y; )) =y. (Veja mais detalhes no Captulo 4 de [AR3].)

Teorema 2. Toda cobertura aberta de uma superfciem-dimensio-

nalM Rn

pode ser refinada por uma cobertura simples.Demonstracao: Para cada ponto a= (x0) M. tomemos uma

vizinhanca tubular local V(U), com a U e U = (U0) contido

em algum aberto da cobertura dada. Pelo Lema 1, existe uma bola

n-dimensional B U0 B(0; ), com centro (x0, 0), tal que (B)

e convexo. Entao W0 = B (U0 0) e uma bola m-dimensional

aberta, logo e difeomorfa a Rm. Seja W = (W0). Como 1(B) =

W0, tem-se ((B)) = W. O aberto W M contem a e e -

convexo, no seguinte sentido: para quaisquer y1, y2 W et [0, 1],

tem-se((1t)y1+ty2) W. (Note que (1t)y1+ty2 (B) pois(B) e convexo e y1, y2 (B)). Sabemos queW e contratil por

ser difeomorfo a Rm porem, mais geralmente, e facil ver que todo

conjunto -convexo e contratil. Alem disso, toda intersecao finita

de conjuntos-convexos e ainda um conjunto-convexo. (Observe

que se U U = entao V(U) V(U) = V(U U), onde =

min{, }.) Portanto, os conjuntos W assim obtidos formam uma

cobertura simples de Mque refina a cobertura inicialmente dada.

Teorema 3. Se a superfcieM e compacta ent ao, para todor 0,

Hr

(M) e um espaco vetorial de dimensao finita.Demonstracao: Por compacidade,Madmite uma cobertura aber-

ta simples finita M=U1 Uk . O teorema sera demonstrado

por inducao. Supondo-o valido para um certo valor de k , sejaM=

U1 Uk+1. EscrevamosV =U1 Uk, de modo queM=


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[SEC. 4: COHOMOLOGIA COM SUPORTES COMPACTOS 39

fechada. Temos (x) =f(x)dx, onde f: R Rtem suporte com-pacto. Afirmamos que e exata se, e somente se,

R

f(x)dx = 0.

De fato, em primeiro lugar, se = dg, ondeg : R Rtem suporte

compacto, entao, tomando [a, b] supp. g, teremosR

f(x)dx =R

dg =b

ag(x)x = g(b) g(a) = 0. Reciprocamente, se tiver-

mosR

=b

af(x)dx= 0 (onde supp. f [a, b]) entao, definindo

g : R R por g(x) =x

a f(t)dt, teremos obviamente g(x) = 0 se

x a e, se for x > b, sera g(x) =

b

af(t)dt =

R

f(t)dt = 0, logo

g tem suporte compacto. Alem disso, pelo Teorema Fundamen-

tal do Calculo, vale g(x) = f(x) portanto dg = e e exata.Isto mostra que a transformacao linear A0 :

1c (R) R, definida

por A0 =R

, tem como nucleo o subespaco B1c (R) das formas

exatas com suporte compacto. Como obviamente A0 nao e identi-

camente nula (e portanto e sobrejetiva), segue-se que A0 induz um

isomorfismo A : H1c (R) R, onde A [] =R

.

O exemplo acima ja mostra que a cohomologia com suportes

compactos nao e um invariante do tipo de homotopia, pois um

espaco contratil como Rtem cohomologia H1c (R)= 0.

Na verdade, uma aplicacao diferenciavel f: MN nao induz,em geral, um homomorfismo f : Hrc (N) H

rc (M) como no caso

da cohomologia usual pois se e uma forma com suporte compacto

em N nao e sempre verdade que seu pullback f tambem tenha

suporte compacto. Um exemplo disso ocorre com a aplicacao de

EulerE: R S1, definida porE(t) = (cost, sent). Se =ydx +

xdy 1(S1) e a forma elemento de angulo em S1 entao tem

obviamente suporte compacto mas o mesmo nao se da comE =

dt em R.

Para tratar da cohomologia com suportes compactos, as aplica-coes adequadas sao as chamadas proprias.

Uma aplicacao contnua f: X Y, entre subconjuntos X

Rm eY Rn, chama-sepropriaquando a imagem inversa f1(K)

de cada subconjunto compactoKY e um subconjunto compacto


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deX. Equivalentemente,fdiz-se propria quando toda sequencia depontos xk X sem subsequencia convergente e transformada por

f numa sequencia (f(xk)) que tambem nao possui subsequencia

convergente em Y. Se X e compacto, nao ha sequencia sem sub-

sequencia convergente em X, logo toda aplicacao contnua f: X

Y e propria.

Se a aplicacao diferenciavel f: MN e propria e rc(N)

entao f rc(M) pois supp. f e um subconjunto fechado do

compacto f1(supp. ). Portanto finduz um morfismo f : c (N)

c (M), logo um homomorfismo f : Hrc (N) H

rc (M) em cada

dimensao r 0. Se g : N P e outra aplicacao diferenciavel

propria, vale (gf) =fg : Hrc (P) Hrc (M).

No que diz respeito a homotopias, nao e verdade em geral que

duas aplicacoes diferenciaveis proprias e homotopicas induzam o

mesmo homomorfismo na cohomologia com suportes compactos.

Por exemplo,f, g : R R, definidas porf(x) =x e g(x) =x, sao

proprias e homotopicas (pois R e contratil) mas f, g : H1c (R)

H1c

(R) sao tais quef[] = [] eg[] =[], logof =g, ja que

H1c (R)= 0.

Para que se tenhaf =g, deve-se supor que as aplicacoes dife-

renciaveis f, g : M N, alem de proprias e homotopicas, sejam

propriamente homotopicas, isto e, que a homotopiaH: M[0, 1]

N entre f e g seja uma aplicacao propria.

Com efeito, a prova de que aplicacoes diferenciaveis homotopicas

induzem o mesmo homomorfismo em cohomologia tem por base o

Teorema 2 do Captulo 3 em [AR3], no qual se estabelece uma

homotopia algebrica entre f e g. No final daquela demonstracaose faz uso do homomorfismoH, induzido pela homotopiaH: M

N entre f e g. Neste ponto, e necessario (e suficiente) supor que

H e uma aplicacao propria, ou seja, que f e g sao propriamente

homotopicas.


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Note-se que se a homotopiaH: M [0, 1] N e propria entao,para cadat [0, 1], a aplicacaoHt : MN, ondeHt(x) =H(x, t),

e propria. Em particular, f = H0 e g = H1 sao proprias. A

recproca e falsa: e possvel que, para todo t [0, 1],Htseja propria

sem que H: M [0, 1] No seja.

Exemplo 9. Se 0 r < mentaoHrc (Rm) = 0. Isto e claro quando

r= 0 pois Rm nao e compacto.

Seja 0 < r < m. Dada a forma fechada rc(Rm), pelo

Lema de Poincare existe uma forma r1(Rm) tal que d =

. O suporte de , entretanto, pode nao ser compacto. Devemosencontrar uma (r 1)-forma com suporte compacto em Rm cuja

diferencial seja igual a .

Vejamos inicialmente o casor = 1. Entao : Rm R e simples-

mente uma funcao C. Seja B Rm uma bola fechada de centro

0 tal que supp. int. B. Como d = se anula no conjunto

conexo Rm B, a funcao e constante, digamos com (x) = c,

para todo x Rm B. Entao a funcao : Rm R, definida por

(x) =(x) c, se anula em Rm B logo tem suporte compacto

e, alem disso, d=d = .Consideremos, em seguida, o caso em que 1 < r < m. Entao

tomamos bolas fechadas B =B[0; ], B =B[0;2] e C=B[0;3]

tais que supp. int. B, e uma funcao f: Rm [0, 1] de classe

C, tal quef(B ) = 0 ef(Rm C) = 1. Lembremos qued = se

anula fora do suporte de , logo a restricao |(Rm B) e fechada.

Como Rm B tem o mesmo tipo de homotopia de Sm1 e o grau de

er 1< m 1, vemos que e exata em Rm B, ou seja, existe

r2(Rm B) tal que d=. Entao a forma, de grau r 1

em Rm, definida por = em B e = d(f) em Rm B,

tem suporte compacto, contido em C, pois

x Rm Cf(x) = 1 (x) =(x)d(x) =(x)(x) = 0.

Alem disso, em todos os pontos de Rm, tem-se d = d

dd(f ) =d = .


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A cohomologia m-dimensional de Rm com suportes compactosesta contida no

Teorema 4. SejaMuma superfciem-dimensional conexa e orien-

tada(compacta ou nao). A transformacao linearA : Hmc (M) R,

definida porA[] =

M, e um isomorfismo.

Demonstracao: Em primeiro lugar, A esta bem definida pois

[] = [] = + d

M

=

M

+

M

d=

M

.

Em segundo lugar, A nao e identicamente nula. Se M e compacta,basta tomar = elemento de volume para se ter

M

= 0. Em

geral, um modo facil de obter mc (M) com

M = 0 consiste

em tomar uma parametrizacao : B(0;3) U M, uma funcao

: M[0, 1] de classeC com((x)) = 1 se |x| 1, ((x)) = 0

se 2 |x| 3, (p) = 0 se p /U e por (p) =(p)dx1 dxmpara p U, (p) = 0 quando p MU. Como dimR = 1,

A e sobrejetiva. Resta mostrar que A e injetiva, isto e, que se

mc (M) e tal que

M

= 0 entao existe m1c (M) com

= d.

Consideraremos inicialmente o caso em que M = Rm. Pelo

Lema de Poincare, existe m1(Rm) tal que d = , mas o

suporte de pode nao ser compacto. Tomamos entao uma bola

fechada B, de centro 0, contendo supp. em seu interior. TemosRm

=

B. Seja S = B . Pelo Teorema de Stokes, ve-se

que

S =

B

d =

B =

Rm

= 0. Como foi observado

na Secao 3, resulta da que a restricao de a Rm B e exata:

existe m2(Rm B ) tal que d = |(Rm B). A partir

da a demonstracao segue como no Exemplo 9: consideramos bo-

las fechadas B = B[0; ], B = B[0;2] e C = B[0;3] tais quesupp. int. B e uma funcaof: Rm [0, 1] de classeC, tal que

f(B) = 0 e f(Rm C) = 1. Entao definimosm1(Rm) pondo

= d(f ) em Rm B e = em B. Vemos que tem

suporte compacto, pois se anula fora de C, e d=d = .


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Vejamos agora o caso geral, em que M e qualquer superfciem-dimensional orientada e conexa.

Tomamos um aberto U0 M difeomorfo a Rm e uma forma

0 mc (M) com supp. 0 U0 e

M0 = 1. Mostraremos entao

que toda m-forma com suporte compacto em M e cohomologa a

um multiplo constante de 0. Ou seja, dada arbitrariamente

mc (M), existem k R e m1c (M) tais que = k 0+ d.

Usando particao da unidade, vemos que basta provar isto quando

o suporte de esta contido num aberto U Mdifeomorfo a Rm,

pois toda mc (M) e soma de formas deste tipo.

Figura 2.

U0

U

W3W2W1

Como M e conexa, existe uma cadeia de abertos W0=U0,

W1, . . . , W r = U em M, todos difeomorfos a Rm, tais que Wi1

Wi = , i = 1, . . . , r. Para cada um desses valores de i, tomemos

uma forma i mc (M), com suporte contido em Wi1 Wi, tal

que

Mi = 0. Resulta do que vem de ser provado acima que,

escrevendo quando e sao formas cohomologas com su-

porte compacto, existem constantes k1, . . . , kr para as quais valem

as relacoes

1 k1 0, 2 k2 1, . . . , = kr r,portanto k 0 onde k=k1 k2 . . . , kr.

Fica assim estabelecido que dim Hmc (M) 1. Mas ja vimos que

a transformacao linearA : Hmc (M) R, definida porA[] =

M,

e sobrejetiva. Logo dim Hmc (M) = 1 e A e um isomorfismo.


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Resulta do Teorema 4 que se M e m-dimensional, compacta,orientada e conexa entao uma forma m(M) tal que

M

= 0

e exata.

Uma importante consequencia do Teorema 4 e a

Invariancia da dimensao: Se as superfcies diferenciaveisM e

N sao homeomorfas entao dim. M = dim. N. Em particular, se

U Rm eV Rn sao abertos homeomorfos entao m= n.

5 Recobrimentos vs cohomologia

SejamMeMsuperfcies. Uma aplicacao :MMchama-seum recobrimento quando M e conexa e todo ponto y M possui

uma vizinhanca V cuja imagem inversa 1(V) =

V e reuniao

disjunta de abertos V, cada um dos quais e aplicado por home-

omorficamente sobreV.

Segue-se imediatamente da definicao que todo recobrimento

:

MM e uma aplicacao sobrejetiva.

Chamaremos recobrimento diferenciavela uma aplicacao de re-cobrimento :M Mque seja um difeomorfismo local entre assuperfciesM e M. Ele se chamara regularquando para quaisquerx1, x2 M com (x1) = (x2) existir um difeomorfismo g :M M (dito um automorfismo de recobrimento) tal que g = eg(x1) = x2. Diz-se ainda que o recobrimento e finito quando,

para todo y M, a fibra 1(y) for um conjunto finito. Neste

caso, o conjuntoG dos automorfismos de recobrimento e um grupo

finito e, alem disso, a aplicacao :

M M e propria, logo induz

homomorfismos

: H

r

(M) Hr

(M) e : Hrc (M) Hrc (M).(Nossa referencia para estes fatos e [GFER].)Teorema 5. Seja :MMum recobrimento diferenciavel, regu-lar e finito. Para todor 0, o homomorfismo induzido : Hr(M)

Hr(M) e injetivo.


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[SEC. 5: RECOBRIMENTOS V SCOHOMOLOGIA 45

Demonstracao: Indiquemos com |G| o numero de elementos dogrupo G de automorfismos do recobrimento . Tem-se g G se, e

somente se, g :MM e um homeomorfismo (portanto um difeo-morfismo) tal que g = . Se r(M) e uma forma fechada

tal que = d e exata, introduzamos a forma = 1|G|

gG

g.

Levando em conta que g = ( g) = para todo g G,

constatamos que

d= 1

|G| gG g(d) =

1

|G| gG g =

1

|G| gG == d.

Alem disso, e claro que h= para todo h G. Isto se exprime

dizendo que a forma einvariantesob o grupo G. Em consequencia

disto, mostraremos que existe r1(M) tal que = .

Com efeito, a igualdadeg= significa que, para todox Me quaisquerv1, . . . , vr1 TxM, tem-se (g(x))(g(x)v1, . . . , g(x)vr1) = (x)(v1, . . . , vr1). Entao definimos r1(M) pondo,

para cada y = (x) M e quaisquer w1 = (x) v1, . . . , wr1 =

(x)vr1,(y)(w1, . . . , wr1) = (x)(v1, . . . , vr1). Como (x) :

TxMTyM e um isomorfismo, as escolhas dos vitais que (x)vi=wi sao unicas. Assim, a unica arbitrariedade cometida na definicao

de foi a de termos escrito y = (x) em vez de y = (g(x)) com

algum g G. (Neste momento estamos usando o fato de que o

recobrimento e regular.) Se tivessemos posto y = (g(x)), como

wi =(x)vi = ( g)(x)vi = (g(x)) g(x)vi, i= 1, . . . , r 1,

nossa definicao forneceria o mesmo resultado, pois

(y) (w1, . . . , wr1) = (g(x)) (g(x) v1, . . . , g

(x) vr1)

= (x) (v1, . . . , v

r1).

Assim, a forma r1(M) tal que = esta bem definida.

Para finalizar, mostraremos que = d. Como e um difeo-

morfismo local, logo (x) : TxM TyM, y = (x), e um iso-morfismo para todo x M, segue-se que : r(M) r(M) e


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injetiva (na verdade, um isomorfismo sobre as r-formas invariantesemM). Portanto, para concluir que = d, basta mostrar que= (d), ou seja, qued = d(). Mas ja vimos que=

e que d= d. Logo, temos =d.

Assim, [] = 0 em Hr(M) implica [] = 0 em Hr(M) e einjetivo.

Teorema 5c. Se :M M e um recobrimento diferenciavel,regular e finito entre as superfcies

M eM entao, para todo r 0,

o homomorfismo induzido : Hrc (M) Hrc (M) e injetivo.Demonstracao: Embora rc(M) seja um subespaco vetorial de

r(M) e a definicao de : Hrc (M) Hrc (M), e ate a notacao que

usamos, seja formalmente a mesma de : Hr(M) Hr(M), naoe verdade que o primeiro desses homomorfismos seja uma restricao

do segundo, mesmo porqueHrc (M) nao e um subespaco deHr(M).

Entretanto, se revirmos, passo a passo, a demonstracao do Teo-

rema 5, perceberemos que se a r-forma emMtiver suporte com-

pacto e = d, onde tem suporte compacto em

M, entao o

argumento la desenvolvido nos fornece uma (r 1)-forma em M

com suporte compacto, tal que d = , o que prova o Teorema5c.

Um caso particular interessante ocorre quando o recobrimento

:M M tem duas folhas, isto e, a imagem inversa 1(y) ={x1, x2} de cada ponto y M tem dois elementos. Neste caso,

o grupo G dos automorfismos do recobrimento tem dois elemen-

tos, a saber, a aplicacao identidade id:MMe o difeomorfismog :

M

M, que associa a cada ponto x1

M o outro ponto

x2M tal que (x2) =(x1). Tem especial relevancia a situacaoem queM e orientada,M e conexa e, para todox1M, o isomor-fismo g(x1) : Tx1M Tx2M inverte orientacao. Diz-se entao que :MM e o recobrimento duplo orientado de M.

Observemos que se o recobrimento :MMtem duas folhaseM e conexa entaoMtem, no maximo, duas componentes conexas.


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x= (x1, . . . , xm+1) e um difeomorfismo local tal que(x) =(y)y = x, logo e um recobrimento de duas folhas e a involucao

sem ponto fixo g : Sm Sm tal que g = e simplesmente

a aplicacao antpoda g(x) = x, a qual, como se sabe, preserva

orientacao quando m e mpar e inverte se m e par. Portanto o

espaco projetivo Pm e orientavel quandom e mpar e, quando m e

par, Pm e nao-orientavel e a aplicacao natural : Sm Pm e um

recobrimento duplo orientado. Querm seja par ou mpar, quando

0 < r < m tem-se Hr(Sm) = 0 e, como : Hr(Pm) Hr(Sm)

e injetivo, da resulta que Hr

(Pm

) = 0. Resta calcular Hm

(Pm

).Sem e mpar,Hm(Pm) tem dimensao 1 como ocorre com qualquer

superfcie m-dimensional compacta orientavel. E se m e par, tem-

se Hm(Pm) = 0 como resulta do teorema seguinte. Nele se usa o

fato de que toda superfcie nao-orientavel possui um recobrimento

duplo orientado. (Vide [GFER], Captulo 6.)

homologia básica - elon lages lima

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