introduc ao a topologi a diferecial elon lages lima

7/28/2019 Introduc Ao a Topologi a Diferecial Elon Lages Lima

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Introduo TopologiaDiferencial


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Prefacio

Existe, em Matematica, uma disciplina bastante ex-tensa e geral, chamada Topologia, que se ocupa da nocaode funcao contnua no seu sentido mais lato. Isto e, seuambito e a categoria de todos os espacos topologicos. Ora,em que pese a import ancia e a adequabilidade desse con-ceito, e impossvel demonstrar um teorema n ao trivial sobre

um espa co topologico qualquer, dada a extrema variedadede especies contidas no genero em quest ao. Assim, parapoder trabalhar honestamente, o top ologo precisa imporrestri coes ao tipo de espa cos que vai considerar. Segundoa natureza dessas restricoes, e tambem segundo o tipo deinstrumentos auxiliares empregados, podemos destacar osseguintes ramos da Topologia.

a) Topologia Geral. Aqui, as restri coes impostas aosespacos topologicos consistem em acrescentar um ou maisaxiomas que se referem diretamente aos conjuntos aber-tos do espaco, ora garantindo a existencia de um n umerosucientemente grande deles (axiomas de separa cao), oraevitando que existam abertos demais (compacidade), etc.De qualquer maneira, o que caracteriza a Topologia Geral


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e que os espa cos que ela estuda n ao possuem outra estru-tura sen ao a de espaco topologico, nem sao empregados

novos instrumentos de trabalho, sen ao praticamente aque-les provenientes da Teoria dos Conjuntos.

b) Topologia Combinat oria. Aqui sao estudados tiposespeciais de espacos topologicos, os poliedros, os quais saodotados de uma estrutura adicional, que poderamos cha-mar de localmente am. Um poliedro e uma reuni aonita de vertices, segmentos de reta, tri angulos, tetrae-

dros, etc., objetos genericamente designados com o nomede simplexos, os quais se acham regularmente dispostos,como num poliedro comum de espa co euclidiano. Conside-rando-se (num certo sentido!) a topologia de um simplexodo espaco euclidiano como trivial, resulta que, para estu-dar a topologia de um poliedro, n ao e necess ario penetrarno amago de cada um dos seus blocos constituintes, ossimplexos, mas apenas olhar para cada um deles como umelemento e ver como eles estao dispostos uns relativamenteaos outros (como os blocos de um brinquedo de armar) paraconstituir o poliedro. Conclui-se entao que, sob este pontode vista global, a no cao basica na topologia dos poliedrose o conceito de incidencia (tal segmento e lado de quaistri angulos?, tal triangulo e face de quais tetraedros?), me-diante o qual passa-se de um poliedro para o seu esquemaabstrato, formado por um numero nito de objetos, ligadospor uma rela cao unica, de incidencia. O estudo deste es-quema e, entao, um problema combinatorio, donde o nomedeste ramo da Topologia.

c) Topologia Algebrica. O que distingue a TopologiaAlgebrica da Topologia Geral e da Topologia Combinat oria(bem como da Topologia Diferencial, que abordaremos em


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seguida), nao e a natureza dos espa cos que ela considera,nem as estruturas adicionais que existam ou deixem de exis-

tir nesses espa cos, mas antes de tudo, o metodo de trabalho.A Topologia Algebrica e, `as vezes, mais geral do que a To-pologia Geral pois nela se consegue demonstrar teoremasnao triviais que se aplica, a todos os espa cos topologicos.Por outro lado (e aqui reside o motivo do paradoxo acima),a Topologia Algebrica nao e exatamente um ramo da Topo-logia, mas um metodo de transicao desta para a Algebra.A ideia b asica e a seguinte. As estruturas algebricas s ao,em geral, mais simples do que as estruturas topol ogias. Porexemplo, determinar se dois grupos abelianos dados sao ounao isomorfos (principalmente quando eles sao nitamentegerados) e, quase sempre, um problema mais simples doque o de determinar se dois espa cos topologicos dados saohomeomorfos ou nao. Uma vez admitida esta maxima,adquire grande interesse todo processo que permita substi-

tuir, sistematicamente, espa cos topologicos por grupos (porexemplo) e funcoes contnuas por homomorsmos, de modoque se dois espacos sao homeomorfos, ent ao os grupos a elesassociados por esse processo sao isomorfos. (Nao se podeesperar a validez da recproca, pois isto implicaria que aestrutura geral dos grupos seria t ao complicada como a es-trutura geral dos espacos topologicos). Um processo dessetipo e o que se chama um functor denido numa cate-goria topol ogica, com valores numa categoria algebrica. ATopologia Algebrica se ocupa do estudo desses functores.cujos exemplos mais conhecidos sao os grupos de homologiae de homotopia.

d) Topologia Diferencial. Este ramo da Topologia cara-cteriza-se pela estrutura adicional dos espa cos topologicos


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de que se ocupa (variedades diferenci aveis) e, consequen-temente, pelos metodos de trabalho, que s ao, inicialmente,

aqueles do Calculo Diferencial e Integral classico, coadjuva-dos pelos resultados da Topologia Algebrica. Trata-se aquide um retorno as origens do assunto pois, como se sabe,na primeira das memorias em que Poincare desenvolveu asbases da moderna Topologia, os espacos topologicos porele considerados eram subvariedades do espaco euclidiano,homeomorsmo para ele era o que hoje chamamos di-feomorsmo, e o esprito com que Poincare escreveu essamemoria, motivada sem d uvida por problemas de Analise, eo precursor do esprito atual da Topologia Diferencial. Pos-teriormente e que, devido a razoes puramente tecnicas, eleabandonou o ponto de vista diferencial, em prol do metodocombinat orio, por falta de recursos adequados de Topolo-gia Geral, entre os quais destaca-se a passagem do localao global permitida pela no cao recente de espa co para-

compacto.Estas notas, representam uma vers ao elaborada de um

curso dado no 3o Coloquio Brasileiro de Matem atica, emFortaleza, Ceara. Elas sao o que o ttulo diz: uma in-trodu cao a Topologia Diferencial. Nao sao inteiramenteauto-sucientes, pois pressupoem do leitor alguma famili-aridade com as no coes mais elementares sobre Variedades

Diferenciaveis, as quais podem ser encontradas na biblio-graa citada no Captulo I.O Captulo II contem a classica cao homot opica das

aplicacoes contnuas de uma variedade de dimens ao n naesfera S n . O Captulo III demonstra que a soma dos ndicesdas singularidades de um campo vetorial generico sobreuma variedade compacta M e um invariante de M , cha-


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mado a caracterstica de Euler. O Captulo IV demonstra oTeorema da Curvatura Integra. Para chegar ate estes resul-

tados, v arias ideias e tecnicas importantes s ao introduzidas,como a aproxima cao de funcoes e homotopias contnuas poroutras diferenci aveis, a nocao de grau, a integra cao de for-mas diferenciais, o conceito de transversalidade, o numerode interse cao de duas subvariedades, etc.

A rigidez implacavel do prazo em que estas notas de-veriam estar prontas nao permitiu dar-lhes, como era a

inte cao inicial, um ritmo de exposicao mais sossegado. Nes-te particular, o pecado mais grave e a falta de um desenvol-vimento adequado para os 3 exemplos do m do CaptuloIII.

Meus agradecimentos a Wilson Goes, pelo tempo recordecom que datilografou o trabalho.

Braslia, 21 de junho de 1961

Elon Lages Lima


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Prefacio da segunda edi cao

Alem de algumas correcoes e pequenas modicacoes,esta nova edi cao contem os paragrafos 5 e 6 do CaptuloIII, em substituicao aos 3 exemplos nais daquele captulo,que existiam na 1 a edicao. Tais par agrafos introduzem oconceito dendice de uma singularidade isolada qualquer deum campo vetorial contnuo, e demonstram que toda vari-edade cuja caracterstica de Euler e zero admite um campovetorial contnuo sem singularidades. Gostaria de agrade-cer a Oscar Valdivia e Augusto Wanderley, que corrigiramos originais desta edi cao e a Guilherme de la Penha, quefez os desenhos do texto. A feitura desta trabalho contoucom o apoio do Air Force Office of Scientic Research.

Rio de Janeiro, 1 o de outubro de 1961

Elon Lages Lima


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Sumario

I Variedades Diferenciaveis 1

II Homotopia 161 Introdu cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Homotopias em variedades diferenci aveis . . 233 O conceito de grau . . . . . . . . . . . . . . 284 Grau como razao entre volumes . . . . . . . 37

5 Classicacao homot opica de aplicacoes . . . 616 Variedades n ao orientaveis . . . . . . . . . . 79

III Campos Vetoriais 881 Generalidades e um teorema de Poincare e

Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882 O espaco brado tangente . . . . . . . . . . 983 Transversalidade e suas aplicacoes . . . . . . 106

4 A caracterstica de Euler de uma variedade . 1245 A nocao de grau local . . . . . . . . . . . . . 1346 Indice de uma singularidade isolada . . . . . 140

IV Curvatura Integral 1521 Introdu cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522 Curvatura gaussiana de uma hipersuperfcie 153

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viii SUMARIO

3 O grau da aplica cao normal . . . . . . . . . 1584 O Teorema da Curvatura Integra . . . . . . 160

5 Observa coes a respeito do teorema . . . . . 161

Referencias Bibliogracas 165


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Captulo I

VariedadesDiferenciaveis

Neste captulo, faremos uma r apida revis ao dos conceitose resultados b asicos sobre Variedades Diferenci aveis queserao usados nos captulos seguintes. Nao temos o in-tuito de fazer uma exposi cao sistematica nem completadesses preliminares. Sempre que for possvel, damos asindicacoes bibliogracas necessarias para que o leitor en-contre as demonstracoes aqui omitidas. De um modo ge-ral, as referencias para este captulo s ao Chern [4], Milnor[15], Pontrjagin [19], Honig [7], e as notas do autor [13].

(Vide lista de referencias bibliogracas no m deste vo-lume. Os numeros entre colchetes referem-se a essa lista).Estes s ao textos exposit orios sobre Variedades. Certasdemonstra coes podem tambem ser encontradas em [25].

Um sistema de coordenadas locais num espaco topolo-gico M e um homeomorsmo x : U Rn de um abertoU M sobre um subconjunto aberto x(U ) do espaco

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2 [CAP. I: VARIEDADES DIFERENCI AVEIS

euclidiano Rn ; se pU e x( p) = ( x1, . . . , x n ), os numeros

x1, . . . , x n chamam-se as coordenadas de p relativamente

ao sistema x.Um atlas de dimensao n sobre um espa co topologico M

e uma cole cao Ade sistemas de coordenadas locais x : U Rn tais que os abertos U cobrem M .Um atlas Asobre um espa co topologico M diz-se diferenci avel se, para todo par de sistemas de coordenadas

x : U Rn , y : V Rn em A, tais que U V = , ohomeomorsmo y

x 1 : x(U

V )

y(U

V ), chamado

mudanca de coordenadas , e uma aplica cao diferenciavel doaberto x(U V )Rn sobre o aberto y(U V )Rn .Advertencia: Neste captulo, e nos seguintes, diferenci a-vel signica C , ou seja, innitamente diferenci avel .

Se um atlas A, de dimensao n , e diferenci avel, ent aotodas as mudancas de coordenadas y

x 1, relativas asistemas x, y A, sao difeomorsmos (isto e, o homeo-morsmo inverso, x y 1, sendo tambem uma mudan cade coordenadas, e diferenciavel). Em particular, se y x 1 : (x1, . . . , x n ) (y1, . . . , yn ), ent ao o jacobianodet( yi /x j ) e = 0 em todos os pontos onde e denido.

Seja Aum atlas diferenci avel, de dimensao n , sobreum espa co topologico M . Um sistema de coordenadas lo-cais z : W R

n

, em M , diz-se admissvel relativamentea Ase, para todo sistema de coordenadas x : U Rn ,em A, com U W = 0, as mudancas de coordenadasz x 1 : x(U W ) z (U W ) e x z 1 : z (U W ) x(u W ) sao diferenciaveis. Um atlas A, sobre M , diz-sem aximo quando contem todos os sistemas de coordena-das locais em M que sao admissveis relativamente a A.


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Todo atlas diferenciavel esta contido num unico atlas dife-renciavel maximo: basta acrescentar-lhe todos os sistemas

de coordenadas locais admissveis.Uma variedade diferenci avel de dimensao n e um espa co

de Hausdorf M = M n , com base enumer avel, munido deum atlas m aximo diferenciavel, de dimensao n .

Exemplos de variedades diferenciaveis

1. O espaco euclidiano Rn . Seja A0 o atlas dife-renciavel sobre R

n

, formado pelo unico sistema de coorde-nadas x = identidade: Rn Rn . Seja Ao atlas m aximodiferenciavel sobre Rn que contem A0 . O espaco Rn , mu-nido do atlas A, e uma variedade diferenciavel de dimen-sao n .2. Subconjuntos abertos . Todo subconjunto aberto

A de uma variedade diferenci avel M n possui, de modo na-tural uma estrutura de variedade diferenci avel de mesmadimensao n . Basta tomar sobre A o atlas m aximo dife-renciavel formado pelos sistemas de coordenadas locaisx : U Rn , pertencentes ao atlas maximo de M n , tais queU A. Assim por exemplo, se considerarmos a variedadediferenciavel M (n, R ), formada por todas as matrizes reaisquadradas n n (ela nao e sen ao a variedade Rn

2

em novaroupagem), e o subconjunto aberto GL (n, R )M (n, R ),

formado pelas matrizes n n de determinante diferentede zero, vemos que GL (n, R ) possui uma estrutura natu-ral de variedade diferenci avel de dimensao n2. Na reali-dade, a estrutura mais simples possvel: GL (n, R ) e umaberto do espa co euclidiano Rn

2

. Como se sabe, as matri-zes x GL(n, R ) sao precisamente aquelas que possueminverso. Notemos que GL(n, R ) possui exatamente duas


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componentes conexas, uma delas formada pelas matrizescujo determinante e > 0, e a outra, pelas matrizes que tem

determinante < 0.

3. As esferas S n . Dada n > 0, S n e a esfera unit arian-dimensional, denida como o subconjunto S n R

n +1 ,formado pelos vetores x = ( x1, . . . , x n +1 )R

n +1 de modulo(= norma) unit aria: |x|2 = x1x1 + + xn +1 xn +1 = 1.Obteremos sobre S n um atlas diferenci avel A0 , com doissistemas de coordenadas locais. Sejam p = (0 , . . . , 0, 1)o polo norte de S n e q = (0 , . . . , 0, 1) o polo sul. Ossistemas de coordenadas serao as chamadas proje c oes es-tereogr acas : : S n p Rn e : S n q Rn . Te-remos (S n p) = Rn e (sn q ) = Rn . Denamos. Para cada ponto x = ( x1, . . . , x n +1 ), diferente de p,(x) = y = ( y1, . . . , yn ) R

n sera o ponto de interse caodo plano equatorial com a semi-reta

px. Uma formula

explcita para e a seguinte (x) = y = ( y1

, . . . , yn

), ondeyi = xi / (1 xn +1 ), i = 1 , . . . , n . Analogamente se de-ne a projecao estereogr aca , e se calcula sua expressaoanaltica. E um trabalho de rotina inverter essas f ormulase mostrar, por conseguinte, que e sao homeomors-mos, donde A0 = {, }e um atlas. Verica-se que A0e diferenci avel, logo esta contido num unico atlas maximo

A, que dene a estrutura diferenciavel de S n .

4. As variedades de dimensao 1 . Existem es-sencialmente duas variedades diferenciaveis conexas de di-mensao 1 que sao o crculo S 1 (ou seja, a esfera unit ariade dimensao 1) e a reta R . Este e um resultado bem co-nhecido, mas raramente demonstrado em p ublico. A unicareferencia que conhecemos e o artigo de H. Kneser no Bul-


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letin de la Societe Mathematique de Belgique, 1958, o qualtrata somente do caso C 0 (isto e, considera a continuidade,

mas nao a diferenciabilidade).5. O produto cartesiano de duas variedades . Se-

jam M m e N n variedades diferenci aveis. A sua variedade produto e o espa co topologico M N , munido da estruturade variedade diferenci avel de dimensao m + n , fornecidapelos sistemas de coordenadas locais

x

y : U

V

Rm + n , x

y( p, q ) = ( x( p), y(q )) ,

onde x : U Rm percorre um atlas sobre M e y : V Rnpercorre um atlas sobre N . Os sistemas de coordenadasx y constituem evidentemente um atlas em M N , dedimensao m + n , contido num unico atlas m aximo que de-ne a estrutura de variedade produto M m N n .De acordo com nossa denicao de variedade, o intervalofechado I = [0, 1] nao e uma variedade diferenciavel. Comefeito, nenhum sistema de coordenadas locais em I poderiaconter o ponto 0, nem o ponto 1, pois um aberto U I quecontenha, digamos o ponto 0, nao pode ser homeomorfo aum subconjunto aberto da reta. Muitas vezes, no texto,teremos de considerar o espa co produto M I , de umavariedade diferenci avel M m = M , pelo intervalo I = [0, 1].Como I nao e uma variedade, nao podemos usar o exemplo5 para dotar o produto M

I de uma estrutura de variedade

diferenciavel. O remedio e ampliar ligeiramente o conceitode variedade, de modo a incluir I , e portanto o produtoM I .

Para obter o conceito de variedade com bordo , bastaampliar, na deni cao anterior a no cao de sistema de coor-denadas locais num espa co topologico M , admitindo que


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x : U Rn seja um homeomorsmo do aberto U M sobre um aberto x(U ) de R ou um aberto x(U ) do semi-espaco Rn0 = {(x1, . . . , x n ) Rn ; xn 0}. As nocoes deatlas, atlas diferenciavel, atlas m aximo, etc, s ao denidasdo mesmo modo e o resultado da deni cao e um conceitomais geral de variedade diferenci avel. Dada M n , uma des-sas variedades no sentido amplo, consideramos o subconjunto aberto A M formado pelos pontos p M taisque existe um sistema de coordenadas x : U Rn , com p

U , e x(U ) = aberto do espaco euclidiano Rn . O conjunto fechado M = M A, chama-se o bordo de M . SeM for vazio, M sera uma variedade no sentido estrito.Se M = , diremos que M e uma variedade com bordo .Neste caso, sendo dim M = n , M e uma variedade dife-renciavel (sem bordo!) de dimens ao n 1, como facilmentese constata. Exemplo de variedade com bordo e o intervalofechado I = [0, 1], com I consistindo dos pontos 0 e 1.

Mais geralmente, a bola fechada Bn

= {xRn; |x| = 1}euma variedade com bordo, com B n = S n 1. Finalmente,

se M n e uma variedade sem bordo, M n I e uma variedadecom bordo, e (M I ) = ( M 0)(M 1). (Vide [15],[16], [19]).As unicas variedades com bordo que teremos ocasiao

de considerar ser ao as do tipo M I , onde M nao pos-sui bordo. A menos que o mencionemos explicitamente, otermo variedade signicara variedade diferenci avel, sembordo.

Seja M n uma variedade e p um ponto de M . Indique-mos com X p o conjunto de todos os sistemas de coorde-nadas locais x : U Rn , em M , tais que p U . Umvetor tangente a M no ponto p e uma fun cao v : X p Rn


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tal que, dados x, y X p se v(x) = ( 1, . . . , n ) e v(y) =

( 1, . . . , n ), tem-se

j =n

i=1

y j

x i i ,

as derivadas parciais sendo as de mudanca de coordenadas(x1, . . . , x n ) (y1, . . . , y n ), calculadas no ponto x( p)Rn .O conjunto M p de todos os vetores tangentes a M noponto p tem uma estrutura natural de espa co vetorial real,a soma u + v de dois vetores tangentes e o produto vde um numero real por um vetor tangente sendo denidoscomo as funcoes u + v : X p Rn e v : X p Rn tais que(u + v)(x) = u(x) + v(x) e (v)(x) = v(x).O espa co vetorial tangente M p tem a mesma dimens aon da variedade M . Com efeito, a cada sistema de co-ordenadas x

X p podemos associar uma base de M p ,

que indicaremos com

x 1 , . . . ,

x n , os vetores tangentes x i sendo denidos como funcoes

x i : X p Rn tais que

x i (y) =y 1

x i ( p), . . . ,y nx i ( p) para todo y

X p . Verica-se sem diculdade que se trata realmente de uma base e,na realidade, dados vM p , x

X p , v(x) = ( 1, . . . , n )se, e somente se, v = 1 x 1 + + n x n As vezes, parasermos mais precisos, escreveremos x i ( p) em vez de x i ,para salientar que estamos nos referindo a vetores de M p , ja que o sistema x : U Rn dene uma base x i (q ) paratodos os espacos M q , q U .

Seja E um espaco vetorial de dimens ao n . Seja B o conjunto das bases (sempre trabalharemos com bases ordena-das!) de E . Deniremos em B uma rela cao de equivalencia.Diremos que duas bases {e1, . . . , en}e {f 1, . . . , f n}do espaco


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vetorial E sao equivalentes (diremos, mais especicamente,

que elas sao coerentes) se e j =n

i=1 i j f i ( j = 1 , . . . , n ). onde

a matriz ( i j ) tem determinante > 0. E claro que B vairepartir-se em duas classes de equivalencia, pois uma ma-triz de mudan ca de bases ou tem determinante > 0, ou < 0.Uma orienta c ao no espaco vetorial E e uma dessas classesde equivalencia. Um espaco vetorial orientado e um parformado por um espa co vetorial E e uma orienta cao. Asbases de E pertencentes a esta orienta cao serao chamadaspositivas e as outras negativas .

Diremos que uma variedade diferenciavel M n e orient a-vel quando for possvel orientar cada espaco tangente M p , pM , de tal modo que a orienta cao dos M p varie continu-amente no sentido seguinte: se x : U Rn e um sistemade coordenadas locais em M , com U conexa, ent ao a base

x 1 ( p), . . . ,

x n ( p)

M p , associada ao sistema x, ou epositiva para todo pU , ou ent ao e negativa para todo pU . No primeiro caso, diremos que o sistema de co-ordenadas x : U Rn e positivo, e escreveremos x > 0.No segundo caso, diremos que x e negativo , e poremosx < 0. Diremos que M esta orientada quando se esco-lhe uma colecao de orienta coes nos espacos M p , do tipoacima. Esta cole cao e a orienta c ao de M .

Nem toda variedade diferenciavel e orient avel. O espacoeuclidiano (sendo, em particular, um espa co vetorial) e ori-entavel. Todo subconjunto aberto de uma variedade ori-entavel herda esta propriedade. A esfera S n e orient avel.Basta tomar uma orienta cao em Rn e orientar cada espacotangente ( S n ) p de modo que uma base positiva de ( S n ) p, aqual se faz seguir ao ultimo elemento a normal a ( S n ) p que


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aponta para fora de S n , de uma base positiva de Rn .Notemos que Rn possui uma orientacao natural, deni-

da pela base can onica {e1, . . . , en}, ondee1 = (1 , 0, . . . , 0), . . . , en = (0 , . . . , 0, 1).

O produto M n N n de duas variedades orientadasM e N possui uma orientacao natural, chamada a ori-entac ao produto . Se {e1, . . . , em}e uma base positiva deM p a

{f 1, . . . , f n

}e uma base positiva de N q , diremos que

{e1, . . . , em , f 1, . . . , f n }e uma base positiva de ( M N )( p,q) .Isto dene a orienta cao produto em M N .Sejam M m , N n variedades diferenci aveis. Uma aplica-

cao f : M N diz-se diferenci avel num ponto p M quando, dado um sistema de coordenadas y : V Rn ,em N , com f ( p) V , existe um sistema de coordena-das x : U

Rm em M , com p

U , tal que f (U )

V e a aplicacao composta y f x 1 : x(U ) y(V ) e dife-renciavel no ponto p. E claro que, se isto acontecer com umy e um x, acontecer a com quaisquer outros x , y tais quef (U ) V

. Diremos simplesmente que f e diferenci avelse ela o for em todos os pontos de M .

Uma aplica cao diferenciavel f : M m N n induz, emcada ponto pM , uma aplica cao linear f : M p N q , q =f ( p). As vezes, escreveremos f p em vez de f , para deixarclaro que estamos lidando com o ponto p. A denicao de f e a seguinte: tomemos um sistema de coordenadas y : V Rn em N , com pV . Seja x : U Rm um sistema decoordenadas em M , com pU , tal que f (U )V . Dadoum vetor vM p , escrevamos v =

n

j =1 j x j , e ponhamos


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f (v) =n

i=1 i y i , onde

i =m

j =1

y ix j

j (i = 1 , . . . , n ). E

facil ver que f e linear e que a deni cao de f nao dependedas escolhas de sistemas de coordenadas feitas.Dada uma aplica cao diferenciavel f : M m N n , di-remos que um ponto pM e um ponto regular de f sef : M p N q , q = f ( p), e uma aplica cao linear biunvoca.Isto, naturalmente, obriga m n . Diremos que um pontoq N e um valor regular da aplica cao diferenciavelf : M m

N n se, para cada p

F 1( p), a aplica cao li-near f : M p N q for sobre o espaco vetorial N q . Damaneira como esta deni cao esta formulada, se f 1(q ) forvazio, q sera automaticamente um valor regular de f . Se,porem, q N e um valor regular de f com f

1(q ) = ,entao m n .

Se uma aplica cao diferenciavel f : M m N n e tal quetodos os pontos p

M sao pontos regulares de f , diremos

que f e uma aplicac ao regular . (Nao daremos nome especiala uma aplica cao f : M N tal que todo ponto q N eum valor regular de f . Se tivessemos de adotar um nomeespecial, diramos que f e uma bracao).

Uma imers ao de uma variedade M m numa variedadeN n e uma aplicacao diferenciavel regular f : M m N nque e, alem disso, um homeomorsmo de M em N .

Uma subvariedade S s

de uma variedade M m

e um sub-conjunto S s M m , o qual possui uma estrutura pr opria

de variedade diferenci avel, relativamente `a qual a aplica caode inclusao : S M e uma imers ao. Por exemplo: assuperfcies regulares do espaco euclidiano Rn sao subva-riedades deste espa co. Um difeomorsmo f : M n N ne um homeomorsmo diferenci avel cujo inverso tambem e


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diferenciavel.Um fato b asico acerca de imersoes e o seguinte:

Teorema 1 (Whitney). Dada uma variedade diferenci avel M n , existe sempre uma imers ao f : M n R2n +1 .

Na realidade, quando M e compacta, qualquer aplica caocontnua g : M n R2n +1 pode ser arbitrariamente apro-ximada por uma imersao. Este resultado de aproximacaoe ainda v alido para variedades nao compactas, desde queenfraque camos a denicao de imersao, substituindo a

exigencia de que f : M n R2n +1 seja um homeomorsmopela condicao mais debil de que f seja apenas biunvoca.Para demonstra coes do Teorema 1, o leitor pode con-

sultar [25], pag. 112, [15], pag. 21. O caso compacto podeser visto em [19], pag. 16, e em [13], pag. 184.

Observaremos aqui que o metodo de demonstra cao deWhitney [25], exposto tambem por Milnor [15] permite, narealidade concluir um resultado mais forte, segundo o qual,dada uma variedade compacta M m e uma variedade qual-quer N 2m +1 , toda fun cao contnua f : M m N 2n +1 podeser uniformemente aproximada por uma imers ao g : M m N 2n +1 . O mesmo resultado vale sem a hip otese de compa-cidade de M , desde que o conceito de imersao seja tomadono sentido fraco acima mencionado.

Uma metrica riemanniana numa variedade diferencia-

vel M m

consiste num produto interno em cada espa co tan-gente M p . Indicando com u v o produto interno de doisvetores u, vM p , exigiremos que este produto varie dife-renciavelmente com o ponto p. Isto signica que, tomandoum sistema de coordenadas locais x : U Rn em M , o pro-duto interno gij ( p) = x i ( p) x j ( p) de dois vetores b asicosde M p deve ser uma funcao diferenciavel gij : U R .


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Um corolario do Teorema de Whitney e que toda varie-dade diferenci avel M n pode ser munida de uma metrica rie-

manniana. Com efeito, basta tomar uma imers ao f : M n R2n +1 e denir o produto interno de dois vetores u, vM pcomo u v = f (u) f (v), onde o produto interno do 2 omembro e aquele do espa co euclidiano R2n +1 .A import ancia do conceito de valor regular e, em grande

parte, devida ao teorema seguinte, cuja demonstra cao esimples. No caso em que M e N sao abertos do espa coeuclidiano, veja-se [13], pag. 55. A demonstracao do casogeral e a mesma.

Teorema 2. Seja f : M m N n uma aplica c ao dife-renci avel, e q N um valor regular de f , com f 1(q ) = .Ent ao f 1(q ) e uma subvariedade de dimens ao m n em M m .Podemos ainda acrescentar que, se M e N forem orien-

tadas, S = f 1(q ) possui uma orienta cao natural.O teorema mais profundo a respeito de valores regulares

e o que arma que eles existem, e em grande quantidade,qualquer que seja a aplica cao diferenciavel dada. Antesde enuncia-lo, daremos uma deni cao: diremos que umsubconjunto X M

n , numa variedade diferenciavel, temmedida nula quando, para todo sistema de coordenadas

x : U Rn

, em M , o conjunto x(U X ) tiver medida nulaem Rn . Para isto, basta que exista uma cobertura de X porabertos U , que sao domnios de sistemas de coordenadas,com m(x(U X )) = 0 em Rn . O complementar de umconjunto de medida nula e, evidentemente, denso em M .Uma reuni ao enumer avel de conjuntos de medida nula temtambem medida nula.


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13

Teorema 3 (Sard). Seja f : M m N n uma aplica c aodiferenci avel. O conjunto dos pontos de N que n ao s aovalores regulares de f tem medida nula em N .

Para demonstra coes deste importante teorema, vejam-se [11] e [19], pag. 19. Em [19], o Teorema de Sard e apre-sentado numa versao ligeiramente mais fraca, em termosda categoria de Baire. Em [11] encontram-se aplicacoesinteressantes do referido teorema. No caso de ser dim M =dim N , a demonstra cao do Teorema de Sard torna-se bem

mais simples. (Vejam-se [18] e [20], Chap. I). Exceto emdois casos, utilizaremos aqui somente esta versao mais ele-mentar. E imediato que o Teorema de Sard para variedadescom bordo segue-se diretamente do caso sem bordo.

A hipotese de que toda variedade diferenciavel M n deveter base enumeravel equivale a admitir que ela e paracom-pacta , isto e, que toda cobertura aberta de M pode serrenada por uma cobertura localmente nita. (Vide [2]).Utilizaremos a paracompacidade de M n sob o seguinte as-pecto:

Lema 1. Dada uma variedade diferenci avel M n , toda cobertura aberta de M pode ser renada por uma cober-tura enumer avel {U }, = 1 , 2, . . . , localmente nita, tal que existem sistemas de coordenadas x : U Rn , com x (U ) = B (3) = bola aberta de raio 3 em Rn , e, alem disso, se pusermos V = x 1 B (2)) e W = x 1 (B (1)) , os W ainda cobrir ao M .

Isto resulta diretamente da paracompacidade. E umfato de Topologia Geral, pura e simplesmente. Usamosagora a existencia de uma funcao diferenciavel : B (3) R tal que 0 1, (B (1)) = 1, (B (3) B (2)) = 0


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(Vide [13], pag. 164; [25], pag. 372). Denimos, para cada = 1 , 2, . . . , uma fun cao real diferenciavel : M

R ,

pondo ( p) = (x ( p)) se pU , e ( p) = 0 se p /U

.Em seguida, denimos novas fun coes : M R pondo,para todo pM :

( p) = ( p)

( p)

A colecao

{ ; = 1 , 2, . . .

}de funcoes reais diferenciaveis

e tal que 0 ( p) 1 para todo e todo p M , ( p) = 1 para todo pM e, alem disso, ( p) = 0 se

p /V . As funcoes {}formam o que se denomina umapartic ao da unidade subordinada a cobertura {V }. Su-bordinada a esta cobertura signica que cada anula-sefora de V . E claro que {} tambem e subordinada a

{U

}e, mais geralmente a qualquer cobertura

{Z

}tal

que V Z para todo .

Um lema que sera grandemente utilizado no texto e oseguinte:

Lema 2. Seja M n uma variedade conexa. Dados dois pon-tos quaisquer p, q M , existe um sistema de coordenadas x : U Rn em M , com p, q U e com x(U ) = Rn .

Nao sabemos dar uma referencia para a demonstra caodeste lema, embora ele seja bastante util e conhecido. Umesboco de demonstra cao e o seguinte: sendo M conexa,existe uma curva LM (= imers ao da reta em M ) quecontem p e q . Consideremos uma vizinhanca tubular T deL em M . (No caso de subvariedades do Rn , vizinhan castubulares s ao estudadas em [13], pags. 77 e 82. O caso


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15

geral e an alogo. Vide [19] pag. 82). A vizinhanca tubulare um espa co brado : T

L sobre L. Mas sabe-se que

todo espa co brado sobre a reta e trivial (Vide [22], pag.53). Logo T e difeomorfa ao produto L B n 1, onde B n 1(a bra) e uma bola aberta de dimens ao n 1. Sendo Ldifeomorfa a R , L B n 1 e difeomorfa a R B n 1 ou, sejaa Rn . O difeomorsmo composto x : T Rn demonstra oLema.


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Captulo II

Homotopia1 Introdu caoIndicaremos com I = [0, 1] o intervalo fechado 0 t 1.Sejam X e Y espacos topologicos. Duas aplicacoescontnuas f, g : X Y dizem-se homot opicas quando e-xiste uma aplica cao contnua

F : X I Y,do produto cartesiano X I em Y , tal que F (x, 0) = f (x)e F (x, 1) = g(x) para todo xX . Neste caso, F chama-seuma homotopia entre f e g. Para indicar que f e ho-mot opica a g, escreve-se

f g : X Y ou, simplesmente, f g.Usa-se tambem o smbolo F : f g para indicar que F e uma homotopia entre f e g.Seja Y X o conjunto de todas as aplicacoes contnuas

de X em Y . A relacao de homotopia e uma relacao de

16


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[SEC. 1: INTRODUC AO 17

equivalencia no conjunto Y X , pois sao validas as seguintespropriedades:

(1) Reexividade: f f , para toda f Y X ;

(2) Simetria: se f, g Y X e f g, ent ao gf ;

(3) Transitividade: dadas f ,g ,h Y X , se f g eg= h, ent ao f h.

As demonstra coes dessas propriedades se fazem de modo

direto. Dada f : X Y contnua, a aplicacao F : X I Y denida por F (x, t ) = f (x), xX , tI , e uma homo-topia entre f e f , o que demonstra (1). Para demonstrar(2), seja F : X I Y uma homotopia entre f e g. Ent ao,denamos G : X I Y pondo G(x, t ) = F (x, 1 t). Eclaro que G e contnua e, para todo x X , G(x, 0) =F (x, 1) = g(x), G(x, 1) = F (x, 0) = f (x), donde G e umahomotopia entre g e f . Finalmente, para demonstrar (3),sejam F : f g e G : gh homotopias. Deniremos umaaplicacao H : H I Y pondo H (x, t ) = F (x, 2t) para0 t 1/ 2 e H (x, t ) = G(x, 2t 1) para 1 / 2 t 1.A aplicacao H e bem denida pois, para t = 1 / 2, temosF (x, 2t) = G(x, 2t 1) = g(x). Alem disso, H e contnuaem cada um dos subconjuntos fechados A = {(x, t ) X I ; t 1/ 2} e B = {(x, t ) X I ; t 1/ 2} deX I . Logo, H e contnua em X I = AB . E, comoH (x, 0) = F (x, 0) = f (x), H (x, 1) = G(x, 1) = h(x) paratodo x X , tem-se H : f h, o que conclui a demons-tra cao.

Ilustraremos o conceito de homotopia com dois exem-plos simples. Em primeiro lugar, observaremos que, dadoum espaco topologico X arbitr ario, duas fun coes contnuas


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18 [CAP. II: HOMOTOPIA

quaisquer f, g : X Rn sao sempre homotopicas. Comefeito, basta denir F : X

I

Rn pondo F (x, t ) =

(1t)f (x) + tg(x), xX , tI . E claro que F e contnuae, alem disso, para todo x X , temos F (x, 0) = f (x) eF (x, 1) = g(x), donde F e uma homotopia entre f e g. Ahomotopia F , vista geometricamente, consiste em deslocarcada ponto f (x), ao longo do segmento de reta f (x)g(x),em movimento uniforme ( t = tempo) de modo a chegar emg(x) para t = 1. Nota-se, entao que o mesmo resultado eainda v alido se substituimos Rn por qualquer subconjuntoconvexo AR

n .Em seguida, mostraremos que, dado um espa co topologi-

co arbitr ario X e a esfera unit aria n-dimensional S n , se umafuncao contnua f : X S n e tal que f (X ) = S n , (isto e, sef nao e sobre S n ) ent ao f e homot opica a uma aplica caoconstante X q S n . Com efeito, se existe p S ntal que p /f (X ) ent ao f pode ser considerada como umaaplicacao contnua f : X S

n

p. Mas, usando a proje caoestereogr aca, temos o homeomorsmo S n p = Rn . U-sando o resultado anterior, concluimos que f e homot opicaa qualquer aplica cao contnua g : X S n p e, em par-ticular, a uma aplicacao constante. Isto tambem pode servisto diretamente, assim: seja q S

n o antpoda do ponto p. Ent ao, qualquer que seja yS

n p, o segmento de retaqy nao contem a origem 0

S n . Assim, para todo x

X ,e 0 t 1, o ponto tq +(1 t)f (x)Rn e sempre distintode zero. Logo, a aplicacao F : X I S n , denida por

F (x, t ) =tq + (1 t)f (x)|tq + (1 t)f (x)|

e contnua, e e uma homotopia entre f : X S n e aaplicacao constante x q S n .


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Quando se estudam os chamados grupos de homoto-pia, desempenha um papel fundamental a proposi cao se-

guinte, que constitui o exemplo mais simples da conexaoexistente entre a nocao de homotopia e o problema da ex-tens ao de funcoes contnuas.

Indicaremos com B n +1 = x Rn +1 ; |x| 1 a bola unit aria fechada de Rn +1 , cuja fronteira e a esfera S n .

Proposi cao 1. Seja X um espaco topol ogico qualquer.Uma aplica c ao contnua f : S n

X admite uma extens ao

contnua f : B n +1 X se, e somente se, f e homot opica a uma aplica c ao constante S n c, cX .Demonstra cao: Se f admite uma extensao contnuaf : B n +1 X , ent ao a aplicacao F : S n I X , de-nida por F (x, t ) = f (tx ) constitui uma homotopia entref e a aplicacao constante S n c, c = f (0) X . Re-ciprocamente, seja F : S n

I

X uma homotopia entre

f e uma aplica cao constante S n c, cX . Denindof : B n +1 X com f (x) = F x|x | , 1|x| , se 0 = xB n +1 ,e f (0) = c, vemos que f e contnua e estende f .

Indicaremos com o smbolo [f ] a classe de equivalenciade uma aplica cao f : X Y segundo a rela cao dehomotopia. A classe [f ] consiste pois de todas as aplicacoescontnuas de X em Y que sao homot opicas a f , e chama-se

a classe de homotopia de f . O espaco quociente de Y X

pela rela cao de homotopia, isto e, o conjunto de todas asclasses de homotopia [f ] das aplicacoes contnuas f de X em Y , sera indicado com [X, Y ].

O conjunto Y X das aplica coes contnuas de X em Y pode ser tornado um espaco topologico, por meio da chama-da topologia compact-open . (Para detalhes sobre essa topo-


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logia, vide [2]). Em todos os casos que consideraremos,X e Y serao espacos metricos localmente compactos, e

ela coincidira com a topologia da convergencia uniformenas partes compactas. Continuemos usando o mesmosmbolo para indicar o espaco topologico Y X com a to-pologia compact-open. Uma homotopia F : X I Y entre duas aplicacoes f, g : X Y pode ser interpretadacomo um arco

F : I Y X

no espaco topologico Y X

, ligando o ponto f ao ponto g.Com efeito, basta por F (t) = elemento de Y X tal queF (t)(x) = F (x, t ). Ve-se sem muita diculdade, a par-tir da maneira como foi denida a topologia em Y X , queF : I Y X e de fato contnua e que, reciprocamente, to-dos os arcos em Y X provem, desta maneira, de homoto-pias. (Mais profundo, e o resultado segundo o qual a cor-respondencia F

F acima descrita e, na realidade, um

homeomorsmo entre os espa cos Y (X I ) e (Y X )I .)Assim, cada classe de homotopia [ f ], com f : X Y contnua, e a componente conexa por arcos do ponto f no

espaco topologico Y X e o conjunto [X, Y ] e o conjunto dascomponentes conexas por arcos do espa co Y X .

No que se segue, nao faremos uso das considera coesacima feitas sobre Y X como espaco topologico as quais,

entretanto, fornecem uma maneira util e bem intuitiva devisualizar a no cao de homotopia.Um dos problemas mais importantes da Topologia e

o da classicacao das aplica coes de um espaco X numespaco Y por meio da rela cao de homotopia. Mais preci-samente, esse problema consiste em determinar condi coesnecessarias e sucientes para que duas aplica coes contnuas


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f, g : X Y sejam homot opicas, e obter informa coes sobrea estrutura do conjunto [ X, Y ], tais como numero de ele-mentos, opera coes algebricas que se podem denir natural-mente entre as classes de homotopia, etc. Grande parte daTopologia Algebrica que tem sido estudada nestes ultimos25 anos tem sido dedicada a tal problema. Um certo nume-ro de casos particulares importantes foram efetivamenteelucidados, mas uma solu cao completa para o problema,mesmo quando X e Y sao esferas do espaco euclidiano,ainda n ao foi obtida.

No presente captulo, estudaremos o problema da clas-sicacao de aplicacoes contnuas f : M n S n , onde M ne uma variedade diferenciavel compacta e conexa, de di-mensao n , e S n e a esfera unit aria n-dimensional. Trata-sede um caso particular do problema da classicacao, para oqual um resultado simples e completo foi obtido. H a doiscasos distintos a considerar:

(a) M n e orientavel. Orientaremos M n e mostrare-mos que, a cada aplica cao contnua f : M n S n , e possvelassociar um inteiro k Z , chamado o grau de f tal queduas aplica coes f, g : M n S n tem o mesmo grau se, esomente se, sao homot opicas, e que todo numero inteiro kpode ser obtido como o grau de alguma aplica cao contnuaf : M n S n . Assim fazendo, estabeleceremos uma corres-pondencia biunvoca

M n , S n Z .Em particular, o conjunto [ M n , S n ] e innito, enumer avel,e possui, de modo natural, uma estrutura de grupo cclico.

(b) M n nao e orientavel. Nese caso, nao e possveldenir o grau como um numero inteiro, mas deniremos


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uma especie de grau modulo 2: dividiremos as aplica coescontnuas f : M n

S n em duas classes, uma formada pelas

chamadas aplicacoes pares e outra das aplicacoes quechamaremos mpares. Mostraremos que duas aplica coescontnuas f, g : M n S n sao homot opicas se, e somentese, sao ambas pares, ou ambas mpares. Seja Z 2 = 0, 1o grupo de dois elementos. Associando a cada aplica caof : M n S n o elemento 0 ou o elemento 1 conforme f sejapar ou mpar, estabeleceremos uma correspondenciabiunvoca

M n , S n Z 2,pois e facil ver que existem aplicacoes pares e aplicacoesmpares.

O conceito de grau e devido a L. Brouwer, o qual de-monstrou que duas aplicacoes homotopicas tem o mesmograu. O fato de que duas aplica coes f, g : M n S n ,com o mesmo grau, sao homot opicas, foi demonstrado porH. Hopf, que caracterizou, mais geralmente, o conjunto[K n , S n ], onde K n e um poliedro n-dimensional qualquer.

Nosso procedimento ser a o seguinte: em primeiro lu-gar, reduziremos o problema da homotopia de aplica coescontnuas de uma variedade diferenci avel noutra a um pro-blema de aplica coes diferenciaveis e homotopias diferenci a-veis. Mostraremos que toda aplicacao contnua f : M m N

n

e homotopica a uma aplica cao diferenciavel g : M m

N n e que, se existe uma homotopia contnua F : M I N entre duas aplicacoes diferenciaveis f, g : M N , existetambem uma homotopia diferenci avel G : M I N .Em seguida, deniremos o grau (resp. o grau modulo2) de uma aplica cao diferenciavel f : M n N n , M ncompacta orientada (resp. nao orient avel). Como duas


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[SEC. 2: HOMOTOPIAS EM VARIEDADES DIFERENCI AVEIS 23

aplicacoes homotopicas ter ao o mesmo grau, deniremoso grau de uma aplica cao contnua simplesmente como o

grau de qualquer aplicacao diferenciavel que lhe seja ho-mot opica. Uma vez classicadas as aplicacoes diferencia-veis f : M n S n , segundo homotopias diferenci aveis, pormeio da nocao de grau, o caso geral de funcoes contnuassegue-se imediatamente das observacoes acima feitas.

2 Homotopias em variedades dife-renciaveis

O objetivo desta se cao e reduzir o problema da homotopiaem variedades diferenci aveis ao caso de aplicacoes e homo-topias diferenci aveis. Notemos que, se M m e uma variedadediferenciavel (sem bordo), o produto cartesiano M m I euma variedade diferenci avel com bordo. O bordo de M m

I

e igual a (M m 0)(M m 1). Uma homotopia diferenci avelentre duas aplicacoes diferenciaveis f, g : M m N n e sim-plesmente uma aplicacao diferenciavel F : M m I N tal que F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x) para todo x M . Neste caso, diz-se que f e g sao diferenciavelmente homot opicas . E imediato que esta relacao e reexiva esimetrica. Mas nao e obvio que seja transitiva. Demons-tremos, ent ao, o resultado seguinte:

Lema 1. Sejam f ,g ,h : M m N n aplicac oes diferenci a-veis e F : f g, G : g h homotopias diferenci aveis.Ent ao existe uma homotopia diferenci avel H : f h.Demonstra cao: Consideremos uma fun cao diferenciavelqualquer : [0, 1/ 2] [0, 1] com as seguintes propriedades:


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(a) (0) = 0, (1/ 2) = 1

(b) Todas as derivadas (r )

(t) se anulam nos pontos t = 0e t = 1 / 2.

Uma tal fun cao pode ser obtida pondo-se (t) = (2t),onde e a fun cao denida em [13], pagina 166. A expressaoexplcita de e a seguinte:

(t) =1b

t

0e 1/x (1 x) dx, com b =

t

0e 1/x (1 x) dx.

Salientamos porem que uma formula explcita que de afuncao nao tem maior interesse. Somente as propriedades(a) e (b) acima ser ao utilizadas. A partir das homotopiasF , G, e da funcao , deniremos uma homotopia H : M I N pondo, para xM e tI ,

H (x, t ) =F (x, (t)) se 0 t 1/ 2;G(x, (t 1/ 2)) se 1/ 2 t 1.Como F (x, (1/ 2)) = G(x, (0)) = g(x), H e bem de-

nida e contnua. Alem disso, H (x, 0) = F (x, (0)) = f (x),H (x, 1) = G(x, (1/ 2)) = G(x, 1) = h(x), para todo x M . Portanto, H e uma homotopia entre f e h. Restamostrar que H e diferenci avel. Isto e claro, exceto nospontos da forma ( x, 1/ 2). E, mesmo nesses pontos, n ao

ha duvidas quanto a existencia das derivadas parciais deH relativamente `as coordenadas de x. Devemos examinara existencia das derivadas parciais

r H t r (x, 1/ 2). Vejamos

a primeira derivada. Calculando as derivadas laterais noponto t = 1 / 2, obtem-se facilmente

H +

t(x, 1/ 2) = (0)

Gt

(x, 0) = 0 , pois (0) = 0;


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[SEC. 2: HOMOTOPIAS EM VARIEDADES DIFERENCI AVEIS 25

H

t(x, 1/ 2) =

12

F t

(x, 1) = 0 , pois 12

= 0 .

Assim existem e sao iguais as derivadas laterais de H em(x, 1/ 2). Segue-se que H e de classe C 1. Repetindo su-cessivamente o mesmo argumento, verica-se que todas asderivadas parciais laterais de H relativamente a t se anulampara t = 1 / 2, donde H C

, como queramos demonstrar.

Passemos, em seguida, ao teorema principal da secao.

Teorema 1. Sejam M m

e N n

variedades diferenciaveiscompactas. Entao:

(a) Toda aplica c ao contnua f : M m N n e homot opica a uma aplica c ao diferenci avel g : M m N n :(b) Se duas aplica c oes diferenci aveis f, g : M m N n s aohomot opicas, elas s ao diferenciavelmente homot opicas.

Demonstra cao: O Teorema 1 segue-se imediatamente doslemas que demonstraremos a seguir.

Lema 2. Seja M m uma variedade diferenci avel compacta e N n R

k uma superfcie regular compacta do espa co eu-clidiano Rk . Dada uma aplica c ao contnua e um n umero > 0, existe uma aplica c ao diferenci avel g : M

N tal

que |f (x) f (x)| < para todo xM .Demonstra cao: Seja T = T (N ) uma vizinhan ca tubularde N , de amplitude 2 , com < / 2. Todo ponto z R

k ,que dista menos de de algum ponto x N , pertence aT . Com efeito, o ponto x0 N que menos dista de z eo pe de um segmento normal zx0 . Como |z z 0| < ,


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tem-se z T . Em seguida, sendo f contnua e M com-pacta, existe uma cobertura aberta nita

{V 1, . . . , V r

}de

M , tal que |f (x) f (y)| < sempre que x, y pertencemao mesmo V i . Seja {1, . . . ,r }uma particao diferenciavelda unidade subordinada `a cobertura {V i}. Escolhamos, emcada conjunto V i , um ponto xi e denamos uma aplica caodiferenciavel h : M Rk , pondo, para cada xM ,

h(x) =r

i=1

i(x)f (xi).

Para determinar o grau de aproxima cao entre h e f , note-mos que, para cada xM ,

h(x) f (x) =i

i(x)f (x i) i

i(x)f (x)

=

i

i(x)[f (xi) f (x)],

pois i(x) = 1. Examinemos cada parcela do ultimosomat orio. Se x /V i , temos i(x) = 0, donde a parcela seanula. Se, por outro lado, xV i , ent ao |f (xi)f (x)| < .Assim, podemos escrever, para todo xM :

|h(x) f (x)| 0 com a seguinte propriedade:dado um espaco topol ogico X qualquer e duas aplica c oes contnuas f, g : X N tais que |f (x) g(x)| < para todo xX , ent ao f e g s ao homot opicas.Demonstra cao: Seja T = T (N ) uma vizinhan ca tubular

de N em Rk

. Seja > 0 um numero tal que se p, q N e |q p| < ent ao o segmento pq est a todo contidoem T . (Basta tomar < numero de Lebesgue de umacobertura de N por bolas abertas contidas em T ). Ent ao,se |f (x) g(x)| < para todo x X , o segmento dereta f (x)g(x) = {(1 t)f (x) + tg(x); 0 t 1} estacontido em T e portanto tem sentido denir uma aplica caoF : X

I

N pondo:

F (x, t ) = [(1 t)f (x) + tg(x)],onde : T N e a proje cao canonica da vizinhan ca tu-bular. E claro que F e contnua e, alem disso F (x, 0) =(f (x)) = f (x), F (x, 1) = (g(x)) = g(x), donde F e umahomotopia entre f e g.

Observa cao: Se X for uma variedade diferenci avel e f ,g forem aplicacoes diferenciaveis, ent ao a homotopia F etambem diferenciavel, como se ve pela express ao que a de-ne.

Mostremos agora como o Teorema 1 se deduz dos Lemasacima.


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Primeiro a parte (a). Dada f : M N contnua, consi-deramos uma imersao N

Rk . Pelo Lema 3, existe > 0

tal que toda aplicacao g : M N que diste menos de de f e homot opica a f . Com este , usamos o Lema 2 eobtemos uma aplica cao diferenciavel g : M N que distamenos de de f e portanto e homot opica a f .

Em seguida, a parte (b). Dadas f, g : M N dife-renciaveis, e uma homotopia (contnua) F : M I N entre f e g, consideramos uma imers ao N Rk e o numero dado pelo Lema 3. Depois, usando o Lema 2, obtemosuma homotopia diferenciavel g : M I N tal que

|F (x, t ) G(x, t )| < (*)para todo x M e t I . G e uma homotopia entre asaplicacoes diferenciaveis f (x) = G(x, 0) e g(x) = G(x, 1)de M em N . Em virtude da desigualdade (*), tem-se

|f (x)

f (x)

|< e

|g(x)

g(x)

|< para todo x

M .Segue-se (vide Observa cao seguinte ao Lema 3) que f f e gg diferenciavelmente. Como G : f g tambem dife-renciavalmente, o Lema 1 implica que f g diferenciavel-mente, o que encerra a demonstracao do Teorema 1.

Observa cao: O Teorema 1 e v alido sem a hipotese restri-tiva de que M e N sao compactas. Preferimos enuncia-locomo o zemos porque a demonstra cao e mais simples enao usaremos aqui sen ao o presente caso.

3 O conceito de grauRecapitularemos, inicialmente, a no cao de aplica cao pro-pria. Para demonstra coes destes fatos de Topologia Geral,


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[SEC. 3: O CONCEITO DE GRAU 29

veja-se [2], pag. 102 (Cap. I).

Sejam X , Y espacos localmente compactos. Uma apli-cacao contnua f : X Y diz-se pr opria quando a imageminversa f 1(K ) de todo compacto K Y e um compactoem X .

Indiquemos com X = X {}e Y = Y { }as com-pactica coes de Alexandroff dos espacos X e Y respectiva-mente. Uma aplica cao contnua f : X Y e pr opria se, esomente se, a aplica cao f : X

Y denida por f ( ) =

e f (x) = f (x) para x X for tambem uma aplicacaocontnua. Em particular, se X e Y sao metriz aveis (unicocaso que consideraremos) uma condicao necessaria e su-ciente para que f : X Y seja pr opria e a seguine: dadauma sequencia ( xn ) em X que nao possui subsequenciasconvergentes (isto e: uma sequencia divergente em X ),ent ao a sequencia ( f (xn )) e tambem divergente em Y . Em

linguagem intuitiva: se xn em X , ent ao f (xn ) em Y .Por exemplo, se X e compacto, toda aplicacao contnua

f : X Y e pr opria. Por outro lado, se Y e compacto ef : X Y e pr opria, ent ao X e necessariamente compacto,pois X = f 1(Y ).As aplicacoes proprias gozam de muitas propriedades

das aplica coes contnuas quaisquer denidas num espa cocompacto. Por exemplo, se f : X Y e pr opria e F X e fechado, entao f (F ) e fechado em Y . Isto resulta ime-diatamente da caracteriza cao das aplica coes proprias emtermos da compacticacao de Alexandroff. Em particular,uma aplica cao propria biunvoca f : X Y e um homeo-morsmo de X sobre f (X ).


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Finalmente, observaremos que se f : X Y e pr opria,se B

Y e um subconjunto aberto e A = f 1(B ), ent ao

a aplica cao f : A B , denida por f (x) = f (x), x A, e tambem pr opria. (Note-se que A, B sao localmentecompactos, por serem subconjuntos abertos de um espa colocalmente compacto). A demonstra cao e imediata.

Sejam M n , N n variedades diferenci aveis orientadas, damesma dimens ao n , e f : M n N n uma aplica cao dife-renciavel propria. Devemos denir o grau de f . Primei-ramente deniremos o grau de f relativamente a um valorregular pN . Depois mostraremos que, quando N e co-nexa, esse grau nao depende do valor regular p escolhido.

De acordo com o Teorema de Sard, o conjunto dos va-lores regulares pN da aplica cao f e denso em N . Alemdisso, sendo f propria, esse conjunto e aberto em N . Comefeito, os pontos x M onde a aplica cao linear tangentef x : M x N f (x) nao e sobre N f (x) formam um conjuntofechado F M , pois sao denidos pela condicao de anular-se neles o determinante jacobiano de f x . Assim, f (F ) efechado em N . Ora, o conjunto dos valores regulares de f e precisamente N f (F ).Seja, pois, p N um valor regular de f . A imageminversa f 1( p) e uma subvariedade compacta de dimens ao0 de M , donde consiste em um numero nito de pontos:

f 1( p) = { p1, . . . , p r }M.Em cada ponto pif

1( p), a aplica cao linear tangentef pi : M pi N p e um isomorsmo entre os espa cos vetoriaisorientados em questao. Diremos que o ponto pi e positivo( pi > 0) ou negativo ( pi < 0) conforme o isomorsmo f piconserve as orienta coes ou as inverta, respectivamente.


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Deniremos ent ao o grau de f no valor regular p como onumero algebrico de pontos em f 1( p), isto e, o n umero

de pontos positivos menos o n umero de pontos negativosem f 1( p). Usaremos a nota cao gr p(f ) para indicar essenumero.

Exemplos: 1) Seja f : M n M n a aplicacao identidade.Todo ponto pM n e um valor regular de f e gr p(f ) =1. Agora consideremos uma variedade N n que e igual aM n , mas com a orienta cao oposta . A aplicacao identidadeg : M n N n e tal que todo ponto p N e um valorregular mas o ponto p = f 1( p) e negativo. Assim, paratodo pN , gr p(g) = 1.

2) Seja S 1 = {(x, y) R2 ; x2 + y2 = 1}o crculounit ario do plano. Para cada inteiro nZ , consideremosa aplica cao f n : S 1 S 1 denida por f n (cos , sen ) =(cos(n), sen(n)). Pensando cada ponto z = ( x, y) =(cos , sen ) em S 1 como o numero complexo, de modulo1, z = x + iy = cos + i sen , tem-se f n (z ) = xn . Consi-deremos primeiro n = 0. Cada ponto pS

1 e um valorregular de f n pois, em termos de cada sistema de coordena-das locais , f n assume a forma n . Para cada pS 1,f 1( p) contem exatamente |n| pontos, todos positivos sen > 0, todos negativos se n < 0. Assim, gr p(f n ) = n paratodo p

S 1. Quando n = 0, f 0

e uma constante. Os va-lores regulares sao os pontos p = (0 , 1) e gr p(f 0) = 0 paratodos esses valores p.

3) Seja S n = {(x1, . . . , x n +1 ) Rn +1 ;n +1

i=1(xi)2 = 1}

a esfera unit aria n-dimensional. Denamos uma aplicacaodiferenciavel


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f : S n S n pondo f (x1, . . . , x n , xn +1 )=( x1, . . . , x n , xn +1 ).Em outras palavras: f e a reex ao relativamente ao hiper-plano xn +1 = 0. Consideremos o ponto p = (0 , . . . , 0, 1)em S n . Temos f 1( p) = p1 = (0 , . . . , 0, 1). Os espacosvetoriais tangentes ( S n ) p , (S n ) p1 e S n nos pontos p e p1sao paralelos: como subespa cos do Rn +1 tais que v =( 1, . . . , n , 0). No que diz respeito a orienta cao, diremosque uma base {e1, . . . , en}de um espaco tangente ( S n )q epositiva se, completando-a com o vetor normal v = q 0 queaponta para o exterior de S n , obtivermos uma base positiva{e1, . . . , en , v} de Rn +1 . Assim, por exemplo, see1 = (1 , 0, . . . , 0), . . . , en = (0 , . . . , 0, 1, 0), a base {e1, . . . ,en}e positiva para o espaco tangente ( S n ) p1 , pois v = p1 0 = (0 , . . . , 0, 1) determina a base positiva {e1, . . . , en , v}em Rn +1 . Por outro lado, no ponto p = (0 , . . . , 0, 1) =f ( p1), a mesma base {e1, . . . , en}, agora considerada comobase de (S n ) p , e negativa, pois w = p 0 = (0 , . . . , 0, 1)determina a base negativa {e1, . . . , en , w}para R

n +1. Ora,e facil ver que, indicando com f a transformacao linear

f p1 : (S n ) p1 (S n ) p induzida por f , tem-se f (e1) = e1, . . . ,f (en ) = en . Assim f inverte as orientacoes e, por conse-guinte, o ponto p1 e negativo. Podemos entao armar quegr p(f ) = 1.

4) Consideremos as variedades M , N , de dimensao 1,

conforme indica a gura seguinte, orientadas segundo assetas mostram, e a aplicacao f : M N que consiste deuma proje cao central denida pelo centro do crculo N .Cada ponto xM e positivo relativamente a f ; todos ospontos pN sao valores regulares de f . Mas, escolhendoconvenientemente o valor pN podemos ter gr p(f ) = 1 ougr p(f ) = 2. Isto contraria apenas aparentemente o teorema


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principal deste paragrafo, segundo o qual, para N conexa,gr p(f ) nao depende do valor regular p. Razao: a aplicacao

f deste exemplo n ao e pr opria (nem poderia ser, pois N ecompacta e N nao e).

M N f x( )

x

5) Sejam N a reta e M a variedade compacta de di-mensao 1 imersa no plano segundo mostra a gura abaixo.

M

N

f

As orienta coes de M e N acham-se assinaladas na gurapor meio das setas. A aplica cao f : M N e a proje caoperpendicular a N . Existem 6 pontos de N que nao saovalores regulares de f (a saber: as imagens por f dos pontosde M onde a tangente a M e perpendicular a N ). Para


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cada valor regular pN , constata-se imediatamente quegr p(f ) = 0. Observa-se porem que o numero de pontos na

imagem inversa f 1( p) de um valor regular p pode ser 0, 2,4 ou 6. Quando um ponto m ovel q percorre N , o numerode pontos em f 1(q ) sofre uma altera cao somente quandoq atinge um valor n ao-regular de f .

Teorema 2. Sejam M n , N n variedades orientadas, de mesma dimens ao, sendo N conexa, e f : M N uma aplicac ao diferenci avel pr opria. Ent ao o grau gr p(f ) e omesmo, qualquer que seja o valor regular pN

.

Demonstra cao: O Teorema 2 basea-se em 2 lemas, queenunciaremos a seguir.

Lema 4. Nas condic oes do Teorema 2, todo valor regu-lar pV possui uma vizinhan ca V , formada apenas por valores regulares, tal que gr q(f ) = gr p(f ) para todo q

V .

Demonstra cao: Seja f 1( p) = { p1, . . . , p r }. Em cadaponto pi , a aplicacao linear f , induzida por f , e biunvoca.Pelo Teorema da funcao inversa, existem vizinhancas W i pi , as quais podemos tomar conexas e duas a duas disjun-tas, tais que cada restricao f i = f |W i e um difeomorsmode W i sobre a vizinhan ca f (W i) do ponto p. Segue-se entaoque, para um i xo (1 i r ), todos os pontos de W i temo mesmo sinal relativamente a f . Basta portanto mos-trar que existe uma vizinhanca V de p tal que, para todoq V , f

1(q ) consta precisamente de r pontos q 1, . . . , q r ,com q i W i , isto e, q i = f

1(q ) W i . Ora, se tomarmosa vizinhan ca V contida em f (W i) f (W r ), veremosque, para todo q V e todo W i , f 1(q ) W i e n ao va-zio. Como f e biunvoca em W i , f 1(q ) W i constar a


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de um unico ponto q i . Mas f 1(q ) poderia conter outrospontos, fora de W = W 1

W r . Devemos ent ao mos-

trar que existe V p com f 1(V )W = W

1 W r .Ora, se tal V nao existisse, obteramos uma sequencia de

pontos yn = f (xn ) em N , com yn p e xn M W .Seja U uma vizinhan ca de p, cujo fecho U e compacto.Como yn p, podemos supor que yn U para todo n .Assim, cada xn F 1(U ). A aplicacao f sendo propria,f 1(U ) e compacto. Passando a uma subseq uencia, se ne-cessario, podemos ent ao admitir que xn

x

M . Te-mos f (x) = f (lim xn ) = lim f (xn ) = lim yn = p. Ent aox = pi para algum i, donde xW . Como W e aberto exn x, segue-se que xn W para todo n sucientementegrande. Isto contradiz a constru cao, segundo a qual toma-mos xn M W para todo n . Assim, a vizinhan ca V comf 1(V )W de fato existe, e o Lema 4 esta demonstrado.

Esc olio. A demonstra cao do Lema 4 contem, na reali-dade, o seguinte resultado: Se pN e um valor regular da aplicac ao diferenci avel f : M n N n , ent ao existe uma vizinhanca conexa V p tal que f 1(V ) = V 1 V r(reuni ao disjunta ) onde f aplica cada V i difeomorcamente sobre V .

Lema 5. Seja M n uma variedade orientada. Se f : M n

Rn e uma aplica c ao diferenci avel pr opria, com valores noespa co euclidiano Rn , ent ao gr p(f ) = gr q(f ) quaisquer que sejam os valores regulares p, q R

n .

Nao demonstraremos o Lema 5. Ele decorrer a dos re-sultados do Captulo III (vide Corol ario 2 do Teorema 5daquele captulo). Por outro lado, uma demonstra cao di-


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reta e bastante clara do Lema 5 pode ser encontrada em[11].

Mostremos agora como se deduz o Teorema 2 do Lema5. Dada a aplicacao f : M n N n e considerados os va-lores regulares p, q N , sendo N conexa, existem pontosa0 = p, a1, . . . , a s = q tais que, para cada i = 1 , . . . , s , a i 1e a i pertencem a uma mesma vizinhanca coordenada V i , di-feomorfa ao Rn . Alem disso, deslocando ligeiramente a i 1e a i , se necessario for, sem sair de V i , podemos supor que

todos os a i sao valores regulares de f , em virtude do Teo-rema de Sard. Pelo Lema 5, obtemos gr a i 1 (f ) = gr a i (f )para cada i, donde gr p(f ) = gr q(f ), como queramos de-monstrar.

Dadas as variedades orientadas M n , N n , sendo N cone-xa, e uma aplica cao diferenciavel propria f : M N , cha-maremos de grau de f ao numero gr (f ), igual a gr p(f ) paraqualquer valor regular p

N da aplica cao f . Em cirtudedo Teorema 2, o grau e bem denido. De agora por diante,quando nos referirmos ao grau de uma aplicacao, supore-mos implicitamente que f e pr opria e seu contradomnio econexo, mesmo quando isto n ao seja expressamente.

Teorema 3. Dadas f : M n N n e g : N n P n ,gr (g f ) = gr (f ) gr (g).Demonstra cao: Pelo Teorema de Sard, existe um ponto p P que e um valor regular de g e de g f simul-taneamente. Segue-se imediatamente que, se g 1( p) ={ p1, . . . , p r }, todos os pontos pi sao valores regulares def . Para cada pig 1( p), poremos f 1( pi) = { pi1, pi2, . . . , pis i }. Ent ao (gf ) 1( p) = { pij ; i = 1 , . . . , r ; j = 1 , . . . , s i}.Vemos que o sinal de pij relativamente a gf e o produto do


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[SEC. 4: GRAU COMO RAZAO ENTRE VOLUMES 37

sinal de pij relativamente a f pelo sinal de pi = f ( pij ) rela-tivamente a q . Seja i o sinal de pi , isto e, i = +1 se pie > 0 e i = 1 se pi < 0. Sejam, analogamente, ij o sinalde pij relativamente a f e ij = sinal de pij relativamentea g f . Temos gr (g) = i i e j ij = gr (f ), independen-temente de i, pelo Teorema 2. Alem disso, ij = ij i egr (g f ) = i,j ij = i j ij i = i gr (f ) i gr (f )

i = gr (f ) gr (g).Corolario. Dadas f : M n N n e g : P r Qr , seja f g : M P N Q denida por f g(x, y) = ( f (x), g(y)) .Ent ao gr (f g) = g(f ) gr (g).Demonstra cao: Temos f g = ( f j ) (i g), ondei : M M e j : Q Q indicam aplica coes identicas.Considerando cada variedade M P e N Q munidada orienta cao produto, e claro que gr (f

j ) = gr (f ) e

gr (i g) = gr (g). O Corolario segue-se ent ao do Teo-rema 3.Exemplo: 6) A aplicacao antpoda : S n S n , de-nida por (x1, . . . , x n +1 ) = ( x1, . . . , xn +1 ) tem grau(1)n +1 . Com efeito, emos = f 1 f 2 f n +1 , onde cadaf i : (x1, . . . , x i , . . . , x n +1 ) (x1, . . . , xi , . . . , x n +1 ) temgrau

1, em virtude do Exemplo 3. Pelo Teorema 3, temos

ent ao gr ( ) = ( 1)n +1 .

4 Grau como razao entre volumesInicialmente, faremos uma ligeira exposicao dos fatos dealgebra multilinear que vao ser necessarios para a inte-


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gracao de formas diferenciais numa variedade. Mais in-formacoes sobre algebra multilinear podem ser obtidas em

[3], [4], [7].Seja E um espa co vetorial (real) de dimens ao n .Uma forma r -linear em E e uma aplica cao

f : E E (r fatores) R,ou seja, uma fun cao real de r variaveis em E , a qual elinear separadamente em cada vari avel. Em termos maisexplcitos, para todo ndice i, 1 i r , e todo valor dosargumentos v1, . . . , v i , . . . , vr , deve-se ter

f (v1, . . . , vi + vi , . . . , vr ) = f (v1, . . . , vi , . . . , vr )++ f (v1, . . . , v i , . . . , vr )

f (v1, . . . , v i , . . . , vr ) = f (v1, . . . , vi , . . . , vr ),

sendo tambem um numero real arbitrario.Um exemplo de forma r -linear e o produto f =f 1 f 2 . . . f r de formas lineares f iE . Por deni cao, e:

f (v1, . . . , vr ) = f 1(v1) f 2(v2) . . . f r (vr ).O conjunto das formas r -lineares em E constitui, de

modo natural, um espaco vetorial Lr (E ), no qual a somade duas formas e o produto de uma forma por um numeroreal sao denidos da maneira usual, como opera coes sobrefuncoes reais.

Dada uma base {e1, . . . , en}em E , o conjunto de todasas formas r -lineares ei 1 ei 2 ei r que se podem obter comoprodutos de r elementos (nao necessariamente distintos)da base dual {e1, . . . , en} E tem n r elementos. E facil


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vericar que esses produtos constituem uma base de Lr (E ),de modo que este espa co tem dimens ao n r .Consideremos agora o subconjunto r (E ) Lr (E )composto das formas r -lineares alternadas . Uma forma

r -linear f Lr (E ) chama-se alternada quando satisfaz acondicao:f (v1, . . . , vi , . . . , v j , . . . , vr ) = f (v1, . . . , v j , . . . , vi , . . . , vr ),isto e, quando muda de sinal quando se permutam as posi-

coes de 2 de seus argumentos. Uma condi cao equivalente aesta consiste em exigir que f se anule sempre que dois dosseus argumentos assumem valores iguais.

Uma maneira util de obter uma forma r -linear alternadaf , a partir de r formas lineares f 1, . . . , f r E

, e tomar oproduto exterior f = f 1 f r das formas f i , o quale denido por:

f (v1, . . . , vr ) = det( f i(v j )) = f 1

(v1) . . . f 1

(vr )..........................f r (v1) . . . f r (vr )

Usando as propriedades elementares dos determinantes,

ve-se que f = f 1 f r , assim denida, e realmente umaforma r -linear alternada em E .O conjunto r (E ) das formas r -lineares alternadas,

como se ve facilmente, constitui um subespa co vetorial deLr (E ). Dada uma base {e1, . . . , en}em E , consideremos abase dual {e1, . . . , en} E . O conjunto de todos os pro-dutos exteriores ei1 ei r de r elementos da base dual{ei}, tais que i1 < < i r , constitui uma base de r (E ),com nr elementos. Por conseguinte, dim r (E ) = nr . Ser > n , e facil ver que r (E ) = {0}.


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Notemos que o produto exterior f = f 1 f r de rformas lineares muda de sinal se permutamos dois dos seuselementos:f 1f if jf r = f 1f jf if r .Isto equivale a dizer que f 1 f r = 0 sempre quedois dos fatores f i forem iguais. Alem disso, tem-se aspropriedades:

f 1

(f i + gi)

f r = f 1

f i

f r

+ f 1 gi f r ;f 1 (f i) f r = f 1 f i f r( real) .

Estas propriedades formais do produto exterior tambemresultam imediatamente da deni cao, tendo em conta aspropriedades elementares dos determinantes. Por outrolado, mencionemos que e possvel desenvolver a teoria dasformas r -lineares alternadas e produtos exteriores indepen-dentemente de determinantes. Na realidade, a maneiramais comoda de introduzir os determinantes e estudar suaspropriedades e atraves dessa algebra exterior.

Uma aplica cao linear A : E F , do espaco vetorial E num espa co vetorial F , induz uma aplica cao linearA(r ) = r (A) : r (F ) r (E ),

denida do seguinte modo: se f e uma forma r -linear al-ternada em F , A(r )(f ) e a forma r -linear alternada em E ,tal que

A(r )(f ) (v1, . . . , vr ) = f (Av1, . . . , Av r ), v1, . . . , vr E. (1)


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Estamos mais interessados nas formas n-lineares alter-nadas num espa co vetorial E de dimensao n . Elas consti-

tuem um espa co vetorial r (E ) cuja dimens ao e nn , ouseja, igual a 1. Dada uma base {e1, . . . , en}em E , tomamossua dual {e1, . . . , en}em E , e a forma n-linear alternadae = e1en e uma base de n (E ). Sejam f 1, . . . , f n for-mas lineares em E . Ent ao f 1 =

j 1 j e j , . . . , f n =

j n j e j

e, a partir das propriedades formais de produto exterior,ve-se que

f 1 f n = det( i j ) e1 en .Em particular, f 1 f n = 0 (para dim E = n)se, e somente se, f 1, . . . , f n sao linearmente independen-

tes em E . Reciprocamente, dados os vetores v1, . . . , vn E e uma forma n-linear alternada f = 0 em E , tem-sef (v1, . . . , vn ) = 0 se, e somente se, os vetores vi sao inde-pendentes. Com efeito, tem-se f = a e1 en , dondef (v1, . . . , vn ) = a det( ei(v j )).Sejam E e F espacos vetoriais da mesma dimens ao n ,e A : E F uma aplica cao linear. Escolhidas as bases{e1, . . . , en} em E e {f 1, . . . , f n} em F , se a matriz deA relativamente a essas bases e ( i j ), ent ao a matriz deA(n ) : n (F ) n (E ), relativamente `as bases {e1 . . . en}e {f

1

. . . f n

}, e det( i j ). (Como estes ultimos espa cos temdimensao 1, uma matriz identica-se a um numero real).

Passemos agora a considerar uma variedade diferenci a-vel M n . Dado um ponto p M , todo sistema de coor-denadas admissvel x : U Rn , valido numa vizinhan caV de p, dene uma base x 1 , . . . , x n no espaco tan-gente M p , chamada a base associada ao sistema x. A base


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dual desta, em M p , sera indicada com {dx1, . . . , d x n}. As-sim, dx1

dxn constituir a uma base para o espa co

uni-dimensional n (M p ) das formas n-lineares alternadas.Uma forma n-linear alternada qualquer p

n (M p ) exprimir-se-a, em termos dessa base, como

p = a dx1 dxn , (*)onde a e um n umero real. A prop osito, a coordenada a daforma p relativamente `a base dx1dxn e caracterizadapela igualdade:

s = p

x1, . . . ,

xn

,

isto e, a e o valor que a forma p assume na n-upla de ve-tores /x 1, . . . , /x n . Com efeito, p(/x 1, . . . , /x n )= adx1dxn (/x 1, . . . , /x n ) = adet( dx i(/x j ))= a

det( i j ) = a.

Se, noutro sistema de coordenadas y : W Rn , validona vizinhan ca W de p, a forma p assume a express ao p = b dy1 dyn , (**)

a relacao entre os coecientes a e b das express oes (*) e(**) e a seguinte:

a = b

det( yi /x j ), (***)

onde (yi /x j ) e a matriz jacobiana da mudan ca de co-ordenadas y x 1, o determinante acima sendo calculadono ponto x( p). Isto resulta simplesmente do fato de que,para cada i, dyi =

j

y ix j dx

j , donde dy1 dyn =det y

i

x j dx1 dxn , como ja vimos anteriormente.


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Uma forma diferencial exterior de grau n ou, simples-mente, uma forma diferencial de grau n numa variedade

M n e uma aplica cao

: p pn (M p ),que associa a cada ponto pM uma forma n-linear al-ternada p no espaco tangente M p . Dado um sistema decoordenadas x : U Rn em M , tem-se, para cada pU ,

p = a( p) dx1

dxn

,onde a : U R e uma fun cao real do ponto p U . Ofato de a( p) ser uma fun cao diferenciavel nao depende dosistema de coordenadas utilizado. Noutro sistema y : U Rn teramos, para todo pU , p = b( p)dy1dyn , comb( p) = a( p) det( x i /y j ) e b( p) seria ainda diferenci avel sea( p) o fosse. Diremos entao que uma forma diferencial ede classe C

se todo ponto p0M possui uma vizinhan cacoordenada na qual admite uma expressao como a acima,com a( p) diferenciavel.

Mesmo que nao o mencionemos explicitamente, todasas formas diferenciais que considerarmos serao de classeC .

Sejam M n , N n variedades diferenci aveis de mesma di-mensao, e f : M

N uma aplica cao diferenciavel. A cada

forma diferencial , de grau n , sobre N n , f faz correspon-der uma forma diferencial f , de mesmo grau, sobre avariedade M . Em cada ponto p M , (f

) p e a forman-linear alternada que associa a uma n-upla v1, . . . , vn devetores em M p o numero

(f ) p (v1, . . . , vn ) = f ( p) (f v1, . . . , f vn ),


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onde f viN f ( p) sao as imagens dos vetores pela aplica caolinear f : M p

N f ( p) , induzida por f no ponto p. A

aplicacao f e linear: f ( + ) = f + f ,f () = f (), escalar constante. Na realidade, paracada ponto pM , (f

) p nao e sen ao a forma que an-teriormente havamos indicado por ( f )(r )(f ( p)). Por con-seguinte, (vide f ormula (1) acima) se y : V Rn e umsistema de coordenadas em N e x : U Rn e um sistemaem M com f (U )V , podemos escrever:

= a dy1 dyn (a : V R uma fun cao C )e da: f = a det y

i

x j dx1 dxn . Mais precisamente,para cada pU , temos:

(f ) p = a(f ( p)) detyi

x j(x( p)) dx1 dxn .

Observamos, de passagem, que, qualquer que seja aforma diferencial , (f ) p e nula sempre que o ponto pnao for um ponto regular de f (isto e, f nao for biunvocaem p).

Devemos agora denir a integral M de uma formadiferencial , de grau n , sobre uma variedade orientadaM n , de dimensao n . Consideraremos inicialmente o caso

em que M e completa .A denicao de M sera feita em duas etapas.1) Suponhamos, em primeiro lugar, que existe um sis-

tema de coordenadas positivo x : U Rn , em M , tal que p = 0 para p M U . Podemos admitir (e o fare-mos) que x(U ) conjunto limitado em Rn . Temos ent ao


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= a dx 1dxn , a : U Rn e uma fun cao diferenciavelque tende para zero na fronteira de U . Por abuso denota cao, consideraremos tambem a = a(x1, . . . , x n ) comouma fun cao diferenciavel, denida no conjunto limitadox(U )R

n , a qual se estende continuamente ao compactox(U ), anulando-se na fronteira. Assim, a(x1, . . . , x n ) euma fun cao contnua e limitada no conjunto limitado x(U ),donde integr avel a. Poremos entao:

M = x(U ) a(x1, . . . , x n )dx1 . . . d x n ,

onde a integral do 2o membro e tomada no sentido comumde integral de uma fun cao numerica de n variaveis.

Resta mostrar que aa denicao de M nao depende dosistema de coordenadas escolhido. Com efeito, seja y : V Rn outro sistema positivo com p = 0 para todo pM V .Considerando W = U V , temos tambem p = 0 para todo pM W . Ent ao, escrevendo = b dy1 dyn , comb = b(y1, . . . , yn ) uma fun cao numerica denida em y(V ),temos:

x(U )

a dx 1 . . . d x n =

x(W )

a dx 1 . . . d x n e

y(V ) b dy1 . . . d yn = y(W ) b dy1 . . . d yn .Por outro lado, considerando-se o difeomorsmo y x 1 :x(W ) y(W ) cujo jacobiano e sempre > 0, o teoremaclassico de mudan ca de variavel nas integrais m ultiplas nos


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da

y(W ) b(y1, . . . , yn )dy1 . . . d yn =

x(W ) b(y1(x1 . . . x n ), . . . , yn (x1 . . . xn ))det yix j dx1 dxn .

Mas, pela formula de mudanca de coordenadas (***), acimaobtida, temos

b(y1(x1, . . . , x n ), . . . , y n (x1, . . . , x n ))detyi

x j

= b( p)detyi

x i= a( p) = a(x1, . . . , x n ).

Logo

y(M ) b(y1, . . . , yn )dy1 . . . d yn= x(W ) a(x1, . . . , x n )dx1 . . . d x n ,

como queramos demonstrar.

2) Seja, agora. uma forma diferencial arbitraria, degrau n , na variedade compacta M . Consideramos umacobertura nita {U 1, . . . , U r }de M por abertos onde valemsistemas de coordenadas x i : U i Rn , sendo cada xi(U i)limitado em Rn . Seja {1, . . . ,r }uma particao diferencia-vel da unidade, subordinada a essa cobertura. Tomamosas r formas diferenciais de grau n: = 1 , . . . , r = i.


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Cada fun cao i : M R sendo nula fora de U i , cada formai tambem e nula fora desse mesmo conjunto. Podemosent ao, pela primeira parte, integrar i e denimos

M = i i .Resta mostrar que o primeiro membro e bem denido,

independentemente da parti cao da unidade escolhida. Sejaent ao

{1, . . . , s

}uma nova particao da unidade, subordi-

nada a uma cobertura {V 1, . . . , V s}de M por vizinhan cascoordenadas do tipo que consideramos. Ponhamos j = j e ij = i j . Notemos que como i = j =1, para todo i e todo j , temos

iij = j e

jij =

i . Assim vale, sucessivamente: (usando o fato de que

=

para somas nitas, e integrais no espaco eucli-

diano)

i i = i j ij = i,j ij=

j i ij = j j ,o que mostra que a deni cao de M e, de fato, indepen-dente da particao da unidade escolhida.

Para sermos completos, devemos observar tambem que

a denicao de dada no caso 1), em que e nula fora deuma vizinhan ca coordenada U , coincide, neste caso, com a


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denicao geral de dada em 2). Com efeito, designe-mos momentaneamente a integral denida em 1) por ,e a denida em 2) por . Ent ao, dada nula fora deU , tomamos uma particao da unidade {i}em M . Cadaforma i e tambem nula fora de U e da, pela atividadeda integral no espa co euclidiano, temos:

= i i = i = ,como queramos demonstrar.

O leitor vericar a sem diculdade que M ( + ) = M + M e, se R , M = M .Abordemos o caso de uma variedade orientada n ao com-

pacta M n . Como se observa mesmo na reta, onde as formasdiferenciais de grau 1 identicam-se as funcoes reais, exis-tir ao formas integr aveis e formas nao-integr aveis. No casogeral, introduziremos primeiramente uma deni cao.

Diremos que uma forma diferencial de grau n , , emM , e positiva (ou, mais precisamente, n ao-negativa ), e es-creveremos 0, quando para todo sistema de coordena-das x : U Rn , pertencente a orienta cao de M , tivermos = a dx 1 dxn , com a( p) 0 para todo p U .Como M est a orientada, a propriedade de ser a( p) 0 naodepende do sistema de coordenadas escolhido.


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Deniremos, em primeiro lugar, a integral M de umaforma diferencial 0. Se existir uma vizinhan ca co-ordenada U , com x(U ) limitado, tal que p = 0 para pM U , deniremos M como em 1) acima. No casogeral, tomaremos uma particao diferenciavel da unidade

{1,2, . . . , i , . . . }, subordinada a uma cobertura local-mente nita e enumeravel {U 1, U 2, . . . , U i , . . . }, e poremos

M =

i=1 i.Bem entendido, no segundo membro temos uma serie de

numeros reais 0. Se esta serie for convergente, diremosque e integr avel e a soma da serie denir a a integral de sobre M . Se a serie for divergente, a igualdade acima sig-nicara t ao somente que nao e integr avel. Resta mostrarque o fato de ser integr avel e, no caso armativo, o valorda integral, depende somente de mas nao da parti cao daunidade considerada. Para tal, usaremos dois resultadosclassicos de An alise. O primeiro deles arma que, numaserie dupla de termos positivos, a convergencia e o valorda soma n ao dependem da ordem de soma cao. O segundodiz que, para integrais sobre um domnio limitado do Rn ,se f k e uma serie de funcoes contuas 0 cuja soma euma fun cao contnua f , tem-se f = f k = f k .(Este resultado e valido para integrais de Riemann, massua demonstracao e muito mais simples quando se usa aintegral de Lebesgue). Considerada, ent ao, outra particao


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da unidade {1, 2, . . . , j , . . . }, temos:

i i =

i j ji =

i j ji

= j i i j = j i i j

= j j .

Cada uma dessas igualdades e valida no sentido forte,isto e, se um dos membros for convergente, o outro tambem

sera e vale a igualdade. Ve-se portanto que M e bemdenida, para 0.Dada uma forma contnua qualquer em M , pode-mos escreve-la como diferen ca entre duas formas 0: =+

. Esta decomposi cao e unica se exigirmos que,

em cada ponto pM , no maximo uma das formas + e

seja = 0. Ent ao + chama-se a parte positiva e aparte negativa de . Se, num dado sistema de coordena-das x : U Rn , positivo, tem-se = a dx 1 dxn ,entao + = a+ dx1 dxn e = a dx1 dxn ,onde, para cada pU , a+ ( p) = max {a( p), 0}e a ( p) =min{a( p), 0}. Como as funcoes a+ e a sao contnuas(embora em geral n ao diferenciaveis), segue-se que as for-mas + e sao contnuas sempre que o for, mas naoserao sempre diferenciaveis, mesmo que o seja.

Diremos que e integr avel quando as formas positivas+ e o forem, e deniremos, neste caso,

M = M + m .


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E facil ver que a integral (de formas integraveis) e linear

nessas formas, e que

0

0. Se

0 e existir

um ponto pM tal que p > 0, ent ao M > 0.Discutiremos agora a existencia, em toda variedade ori-entada, de uma forma diferencial contnua de grau n ,estritamente positiva ( > 0).

Teorema 4. Uma variedade diferenci avel M e orient avel

se, e somente se, existe sobre M uma forma diferencial contnua , de grau n , tal que p = 0 para todo pM .Demonstra cao: Suponhamos que exista contnua, com p = 0 para todo pM , e mostremos que M e orient avel.Seja A o conjunto de todos os sistemas de coordenadasx : U Rn , admissveis em M , tais que U e conexa e aexpress ao de relativamente a x e = a dx 1 dxn ,com a( p) > 0 para todo p

U . Ve-se sem diculdade(usando a continuidade de ) que A e um atlas sobre M .Alem disso, se x : U Rn e y : V Rn pertencem aA , com U V = , para todo ponto p U V tem-se p = a( p)dx1 dxn = b( p)dy1 dyn , comb( p) = a( p) det( y1/x j ). Como a( p) > 0 e b( p) > 0,segue-se que det(yi /x j ) > 0 em todo ponto pU V .Por conseguinte, o atlas A e coerente, e portanto forneceuma orienta cao para a variedade M . Reciprocamente, su-ponhamos que M e orientavel, e seja A um atlas coe-rente sobre M , constituido pelos sistemas de coordena-das x : U Rn . Podemos admitir que as vizinhancasU formam uma cobertura localmente nita de M . Seja{}uma particao da unidade subordinada `a cobertura emquestao. Denamos a forma pondo, para cada pM ,


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p = ( p)dx1 dxn . E claro que, nesta expess ao,

comparecem efetivamente apenas as parcelas correspon-dentes aos ndices com p U . Alem disso, como oatlas A e coerente, se reduzirmos a expressao de p dadaacima ao mesmo sistema de coordenadas x , com pI ,teremos

p =

( p)detx ix j

dx1 dxn ,

onde a soma entre colchetes e evidentemente > 0. Segue-seque p = 0, para todo pM .

Corolario. Numa variedade orient avel M existe sempre uma forma diferencial contnua , de grau n , estritamente positiva ( > 0).

Com efeito, pelo Teorema 4, existe sempre uma formacontnua em M , com p = 0 para todo pM . Segue-seda que, em cada componente conexa de M , o sinal de naomuda. Denamos entao pondo = nas componentesconexas de M onde > 0, e = nas componentesde M onde < 0.Observa cao: Podemos denir uma orienta c ao numa vari-

edade M como uma classe de equivalencia de formas cont-nuas , sao equivalentes se p = ( p) p , com ( p) > 0para todo p M . O Teorema 4 estabelece uma cor-respondencia biunvoca entre as orienta coes denidas pormeio de atlas coerentes, e por formas diferenciais.

Um exemplo importante de forma contnua > 0 e dadopelo elemento de volume numa variedade riemanniana ori-


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entada. Seja pois M uma variedade de Riemann orien-tada. Motivados pelo caso elementar de R3, deniremos,

em cada espa co tangente M p , o volume (orientado) do pa-raleleppedo gerado por n vetores v1, . . . , vn M p atravesda formula

vol(v1, . . . , vn ) = det( vi v j ).O sinal do volume e tomado + se v1, . . . , vn , nesta ordem,denem a orienta cao positiva de M p ; ele sera quandoesses vetores, na ordem dada, determinam a orienta cao ne-gativa de M p . Se v1, . . . , vn sao linearmente dependentes,o volume devera ser nulo e devemos mostrar, correspon-dentemente, que nes

introduc ao a topologi a diferecial elon lages lima

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