Lima, Elon Lages

Análisis Real, Volumen 1.

Instituto de Matemática y Ciencias Afines, UNI, 1997.240pp. (Colección Textos del IMCA)

Textos del IMCA

Análisis Real

Volumen 1

Elon Lages Lima

Traducido por Rodrigo Vargas

IMCA Instituto de Matemática y Ciencias Afines

Copyright c©, 1997 by Elon Lages LimaImpreso en Chile / Printed in ChileCarátula: Rodolfo Capeto y Noni Geiger

Textos del IMCA

Editor: César Camacho

Con esta serie de textos el IMCA inicia sus trabajos contribu-yendo a la difución de la cultura matemática por medio de unaliteratura de alta calidad cient́ıfica.

Esta colección busca poner a disposición de alumnos y profe-sores universitarios, libros escritos con rigor y claridad, que sirvancomo textos de cursos de graduación.

La publicación de este libro contó con el apoyo decidido de laSociedad Brasileira de Matemática y de la Universidad Nacional deIngenieŕıa del Perú que compartieron su costo. A estas institucio-nes damos nuestro agradecimiento.

El Editor

Prefacio

Este libro pretende servir de texto para un primer curso de Análi-sis Matemático. Los temas tratados se exponen de manera simpley directa, evitando digresiones. Aśı espero facilitar el trabajo delprofesor que, al adoptarlo, no necesitará perder mucho tiempo se-leccionando los temas que tratará y los que omitirá. Grupos espe-ciales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentaciónmás completa y los alumnos, por aśı decirlo, normales que busquenlecturas complementarias pueden consultar el “Curso de AnálisisMatemático, vol. 1”que trata de la misma materia con un enfoquemás amplio, y que tiene aproximadamente el doble de tamaño.

Los lectores que tengo en mente son alumnos con conocimientosequivalentes a dos peŕıodos lectivos de Cálculo*, ya familiarizadoscon las ideas de derivada e integral en sus aspectos más elemen-tales, principalmente los cálculos con las funciones más conocidasy la resolución de ejercicios sencillos. También espero que tenganuna idea suficientemente clara de lo que es una demostración ma-temática. La lista de prerrequisitos termina diciendo que el lectordebe estar habituado a las notaciones usuales de la teoŕıa de con-juntos, tales como x ∈ A, A ⊂ B, A ∪ B, A ∩B, etc.

Una parte importante de este libro son sus ejercicios, que sirvenpara fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en el texto ycomo oporunidad para que el lector compruebe si realmente ha en-tendido lo que acabó de leer. En el caṕıtulo final se presentan lassoluciones, de forma completa o resumida, de 190 ejercicios selec-cionados. Los restantes son, en mi opinión, bastante fáciles. Natu-ralmente, me gustaŕıa que el lector sólo consultase las solucionesdespués de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada pro-

*N.T. dos cuatrimestres

blema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin éxito, el que nosconduce a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.

El procesamiento del manuscrito, por el sistema TEX, lo rea-lizaron Maŕıa Celano Maia y Solange Villar Visgueiro, supervisa-das por Jonas de Miranda Gomes, al que debo bastantes consejos yopiniones sensatas durante la preparación del libro. La revisión deltexto original en portugués la hicieron Levi Lopes de Lima, Ricar-do Galdo Camelier y Rui Tojeiro. A todas estas personas debo misagradecimientos cordiales.

La publicación de la edición original brasileña fue financiada porla CAPES; con su director, profesor José Ubirajara Alves, estoy endeuda por el apoyo y la compresión demostrados.

Rio de Janeiro

Elon Lages Lima

Prefacio a la edición en español

La iniciativa de editar este libro en español se debe al ProfesorCésar Camacho que, con su empeño caracteŕıstico, tuvo la idea,superviso la traducción, cuidó de la impresión y aseguró la publi-cación. Es a él, por lo tanto, que tengo la satisfación de manifestarmis agradecimientos.

También estoy agradecido a Lorenzo Diaz Casado, que hizo latraducción y a Roger Metzger y Francisco León por el trabajo derevisión.

Rio de Janeiro, noviembre de 1997.

Elon Lages Lima

Índice general

Caṕıtulo 1. Conjuntos finitos e infinitos 11. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Caṕıtulo 2. Números reales 131. R es un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. R es un cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . 153. R es un cuerpo completo . . . . . . . . . . . . . . . . 185. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Caṕıtulo 3. Sucesiones de números reales 251. Limite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. Ĺımites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. Operaciones con ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . 304. Ĺımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Caṕıtulo 4. Series de números 411. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . 443. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 454. Reordenaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Caṕıtulo 5. Algunas nociones de topoloǵıa 531. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9

10 ÍNDICE GENERAL

3. Puntos de acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Caṕıtulo 6. Ĺımites de funciones 69

1. Definición y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 69

2. Ĺımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3. Ĺımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Caṕıtulo 7. Funciones continuas 83

1. Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . 83

2. Funciones continuas en un intervalo . . . . . . . . . . 86

3. Funciones continuas en conjuntos compactos . . . . . 90

4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Caṕıtulo 8. Derivadas 101

1. La noción de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3. Derivada y crecimiento local . . . . . . . . . . . . . . 107

4. Funciones derivables en un intervalo . . . . . . . . . . 109

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Caṕıtulo 9. Fórmula de Taylor y aplicaciones de la de-rivada 117

1. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2. Funciones cóncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . 121

3. Aproximaciones sucesivas y el método de Newton . . . 127

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Caṕıtulo 10. La integral de Riemann 135

1. Revisión de sup e ı́nf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4. Condiciones suficientes para la integrabilidad . . . . . 145

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Caṕıtulo 11. Cálculo con integrales 1511. Teorema clásicos del Cálculo Integral . . . . . . . . . . 1512. La integral como ĺımite de sumas de Riemann . . . . . 1553. Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . 1574. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Caṕıtulo 12. Sucesiones y series de funciones 1711. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . 1712. Propiedades de la convergencia uniforme . . . . . . . . 1753. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804. Series trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Caṕıtulo 13. Soluciones de los ejercicios 193

Lecturas recomendadas 223

1

Conjuntos finitose infinitos

En este caṕıtulo se establecerá con precisión la diferencia entre con-junto finito y conjunto infinito. También se hará la distinción entreconjunto numerable y conjunto no numerable. El punto de partidaes el conjunto de los números naturales.

1. Números naturales

El conjunto N de los números naturales se caracteriza por lassiguientes propiedades:

1. Existe una función inyectiva s : N → N. La imagen s(n) decada número natural n se llama sucesor de n.

2. Existe un único número natural 1 ≤ N tal que 1 6= s(n) paratodo n ∈ N.

3. Si un conjunto X ⊂ N es tal que 1 ∈ X y s(X) ⊂ X (esto es,n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X) entonces X = N.

Estas afirmaciones pueden ser reformuladas aśı:

1

2 Conjuntos Finitos Cap. 1

1′. Todo número natural tiene un sucesor, que también es un núme-ro natural; números diferentes tienen sucesores diferentes.

2′. Existe un único número natural que no es sucesor de ninguno.

3′. Si un conjunto de números naturales contine el número 1 y tam-bién contiene el sucesor de cada uno de sus elementos, entoncesese conjunto contiene a todos los números naturales.

Las propiedades 1, 2, 3 de arriba se llaman axiomas de Peano.El axioma 3 es conocido como “principio de inducción”. Intuitiva-mente, éste significa que todo número natural puede obtenerse apartir del 1, tomando su sucesor s(1), el sucesor de éste, s(s(1))y aśı en adelante, en un número finito de etapas. (Evidentemente“número finito” es una expresión que, en este momento, no tienetodav́ıa significado. La formulación del axioma 3 es una maneraextraordinariamente hábil de evitar la introducción de un nuevoprincipio hasta que la noción de conjunto finito esté dada).

El principio de inducción es la base de un método para demos-trar teoremas sobre números naturales, conocido como el método deinducción (o recurrencia), que funciona aśı: “si una propiedad P esválida para el número 1 y si, suponiendo P válida para el númeron, como consecuencia se tiene que P también es válida para su su-cesor, entonces P es válida para todos los números naturales”.

Como ejemplo de demostración por inducción, probaremos quepara todo n ∈ N, se tiene s(n) 6= n. Esta afirmación es verdedaracuando n = 1, porque el axioma 2 se tiene 1 6= s(n) para todo n,luego, en particular, 1 6= s(1). Si suponemos verdadera la afirma-ción para algún n ∈ N, se cumple n 6= s(n). Como la función s esinyectiva, entonces s(n) 6= s(s(n)), esto es, la firmación es verdade-ra para s(n).

En el conjunto de los números naturales se definen dos opera-ciones fundamentales, la adición, que asocia a cada par de númerosnaturales (m,n) su suma m + n, y la multiplicación que hace co-rresponder al par (m,n) su producto m · n. Estas dos operacionesse caracterizan por las siguientes igualdades, que sirven como defi-

Sección 1 Números naturales 3

nición:

m+ 1 = s(m) ;

m+ s(n) = s(m+ n), esto es, m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1;

m · 1 = mm · (n + 1) = m · n+m.Con otras palabras: sumar 1 a m significa tomar su sucesor. Y

una vez conocida la suma m+ n también es conocido m+ (n+ 1),que es el sucesor de m + n. En cuanto a la multiplicación: multi-plicar por 1 no altera el número. Y conocido el producto m · n esconocido m · (n+ 1) = m · n+m. La demostración de la existenciade las operaciones + y · con las propiedades anteriores, aśı comosu unicidad, se hace por inducción. Los detalles se omiten aqui. Ellector interesado puede consultar el “Curso de Análisis Matemáti-co”, vol. 1, o las referencias bibliográficas de dicho libro, donde sedemuestran (inductivamente) las siguientes propiedades de la adi-ción y la multiplicación:

asociativa: (m+ n) + p = m+ (n+ p), m · (n · p) = (m · n) · p;distributiva: m · (n+ p) = m · n+m · p;conmutativa: m+ n = n+m, m · n = n ·m;ley de corte: m+ n = m+ p⇒ m = p, m · n = m · p⇒ n = p.

Dados dos números reales m,n se escribe m < n cuando existep ∈ N tal que m + p = n. Se dice que m es menor que n. La no-tación m ≤ n significa que m < n ó m = n. Se puede probar quem < n y n < p ⇒ m < p (transitividad) y que dados m,n ∈ Ncualesquiera, se cumple una, y sólo una, de estas tres posibilidades:m < n, m = n ó m > n.

Una de las propiedades más importantes de la relación de ordenm < n entre números naturales es el llamado principio de buenaordenación, enunciado y probado a continuación.

Todo subconjunto no vaćıo A ⊂ N posee un menor elemento,esto es, un elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A.

Para probar esta afirmación llamemos, para cada número n ∈ N,In al conjunto de los números naturales ≤ n. Si 1 ∈ A entonces

4 Conjuntos Finitos Cap. 1

1 es el menor elemento de A. Si 1 /∈ A entonces consideramos elconjunto X de los números naturales n tales que In ⊂ N−A. ComoI1 = {1} ⊂ N − A, vemos que 1 ∈ X . Por otra parte, como A noes vaćıo, conclúımos que X 6= N. Luego la conclusión del axioma 3no es válida. Se sigue que debe existir n ∈ X tal que n + 1 /∈ X .Entonces In = {1, 2, . . . , n} ⊂ N−A y n0 = n+1 ∈ A. Por lo tanton0 es el menor elemento del conjunto A.

2. Conjuntos finitos

Continuaremos usando la notación In = {p ∈ N; p ≤ n}. Unconjunto X se dice finito cuando es vaćıo o bien existen n ∈ N y unabiyección f : In → X . Escribiendo x1 = f(1), x2 = f(2), . . . , xn =f(n) tenemos X = {x1, . . . , xn}. La biyección f se llama enume-ración de los elemento de X , y el número n se llama número deelementos o cardinal del conjunto finito X . El Corolario 1 másadelante prueba que el cardinal está bien definido, esto es, que nodepende de la enumeración f escogida.

Lema 1. Si existe una biyección f : X → Y , entonces dados a ∈ Xy b ∈ Y también existe una biyección g : X → Y tal que g(a) = b.

Demostración: Sea b′ = f(a). Como f es sobreyectiva, existe a′ ∈X tal que f(a′) = b. Definamos g : X → Y como g(a) = b, g(a′) = b′y g(x) = f(x) si x ∈ X no es igual ni a a ni a b. Es fácil ver que ges una biyección.

Teorema 1. Si A es un subconjunto propio de In, no puede existiruna biyección f : A→ In.

Demostración: Supongamos, por reducción al absurdo, que elteorema sea falso y consideremos n0 ∈ N el menor número na-tural para el que existen un subconjunto propio A ⊂ In0 y unabiyección f : A→ In0 . Si n0 ∈ A entonces, por el Lema, existe unabiyección g : A→ In0 con g(n0) = n0. En este caso la restricción deg a A− {n0} es una biyección del subconjunto propio A− {n0} enIn0−1, lo que contradice la minimalidad de n0. Si, por el contrario,tuviésemos n0 /∈ A entonces tomaŕıamos a ∈ A con f(a) = n0 y la

Sección 2 Conjuntos finitos 5

restricción de f al subconjunto propio A − {a} ⊂ In0−1 seŕıa unabiyección en In0−1, lo que de nuevo contradice la minimalidad den0.

Corolario 1. Si f : Im → X y g : In → X son biyecciones, entoncesm = n.

En efecto, si tuviésemos m < n entonces In seŕıa un subconjuntopropio de In, lo que violaŕıa el Teorema 1, pues g

−1 ◦ f = Im → Ines una biyección. Análogamente se demuestra que no es posiblem < n. Luego m = n.

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Corolario 2. Sea X un conjunto finito. Una aplicación f : X → Xes inyectiva si, y sólo si, es sobreyectiva.

En efecto, existe una biyección ϕ : In → X . La aplicación f :X → X es inyectiva o sobreyectiva si, y sólo si, ϕ−1◦f ◦ϕ : In → Inlo es. Luego podemos considerar f : In → In. Si f es inyectivaentonces tomando A = f(In) tendremos una biyección f

−1 : A →In. Por el Teorema 1, A = In y f es sobreyectiva, Rećıprocamente,si f es sobreyectiva entonces, para cada x ∈ In podemos escogery = g(x) ∈ In tal que f(y) = e. Entonces g es inyectiva y, por loque acabamos de probar, g es sobreyectiva. Aśı, si y1, y2 ∈ In sontales que f(y1) = f(y2), tomamos x1, x2 con g(x1) = y1, g(x2) = y2y tendremos x1 = f ◦ g(x1) = f(y1) = f(y2) = f(g(x2)) = x2, dedonde y1 = g(x1) = g(x2) = y2, luego f es inyectiva.

Corolario 3. No puede existir una biyección entre un conjuntofinito y una parte propia de éste.

El Corolario 3 es una mera reformulación del Teorema 1.

Teorema 2. Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.

Demostración: En primer lugar probaremos el siguiente caso par-ticular: si X es finito y a ∈ X entonces X−{a} es finito. En efecto,existe una biyección f : In → X que, por el Lema, podemos su-poner que cumple f(n) = a. Si n = 1 entonces X − {a} es finito.Si n > 1, la restricción de f a In−1 es una biyección en X − {a},luego X − {a} es finito y tiene n− 1 elementos. El caso general seprueba por inducción sobre el número n de elementos de X . Este es

6 Conjuntos Finitos Cap. 1

evidente si X = ∅ ó n = 1. Supongamos el Teorema verdadero paraconjuntos de n elementos, sean X un conjunto de n + 1 elementose Y un subconjunto de X . Si Y = X no hay nada que probar. Encaso contrario, existe a ∈ X tal que a /∈ Y . Entonces también secumple Y ⊂ X − {a}. Como X − {a} tiene n elementos, se sigueque Y es finito.

Corolario 1. Dada f : X → Y , si Y es finito y f es inyectivaentonces X es finito; si X es finito y f es sobreyectiva entonces Yes finito.

En efecto, si f es inyectiva entonces es una biyección de X enel subconjunto f(X) del conjunto finito Y . Por otra parte, si fes sobreyectiva y X es finito entonces, para cada y ∈ Y podemoselegir x = g(y) ∈ X tal que f(x) = y. Esto define una aplicacióng : Y → X tal que f(g(y)) = y para todo y ∈ Y . Se concluye queg es inyectiva luego, por lo que acabamos de probar, Y es finito.

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Un subconjunto X ⊂ N se dice acotado cuando existe p ∈ N talque x ≤ p para todo x ∈ X .Corolario 2. Un subconjunto X ⊂ N es finito si, y sólo si, está aco-tado.

En efecto, si X = {x1, . . . , xn} ⊂ N es finito, tomando p =x1 + · · · + xn vemos que x ∈ X ⇒ x < p, luego X está acotado.Rećıprocamente, si X ⊂ N está acotado entonces X ⊂ Ip paraalgún p ∈ N, por tanto del Teorema 2 se sigue que X es finito.

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3. Conjuntos infinitos

Se dice que un conjunto es infinito cuando no es finito. Aśı, X esinfinito cuando ni es el conjunto vaćıo ni existe para ningún n ∈ Nuna biyección f : In → X .

Por ejemplo, en virtud del Corolario 2 del Teorema 2, el conjuntoN de los números naturales es infinito. Por el mismo motivo, sik ∈ N entonces el conjunto k · N de los múltiplos de k es infinito.Teorema 3. Si X es un conjunto infinito, entonces existe una apli-cación inyectiva f : N → X .

Sección 4 Conjuntos numerables 7

Demostración: Para cada subconjunto no vaćıo A ⊂ X escoge-mos un elemento xA ∈ A. A continuación, definimos f : N → Xinductivamente. Hacemos f(1) = xX y, suponiendo ya definidosf(1), . . . , f(n), escribimos An = X − {f(1), . . . , f(n)}. Como X esinfinito An no es vaćıo. Entonces definimos f(n + 1) = xAn . Estocompleta la definición de f . Para probar que f es inyectiva, seanm,n ∈ N, por ejemplo m < n. Entonces f(m) ∈ {f(1), . . . , f(n −1)} mientras que f(n) ∈ X − {f(1), . . . , f(n − 1)}, luego f(m) 6=f(n).

Corolario. Un conjunto X es infinito si, y sólo si, existe una bi-yección ϕ : X → Y es un subconjunto propio Y ⊂ X .

En efecto, sea X infinito y f : N → X una aplicación inyec-tiva. Escribimos, para cada n ∈ N, f(n) = xn. Consideremos elsubconjunto propio Y = X−{x1}. Definimos entonces la biyecciónϕ : X → Y tomando ϕ(x) = x si x no es ninguno de los xn yϕ(xn) = xn+1 (n ∈ N). Rećıprocamente, si existe una biyección deX en un subconjunto propio entonces X es infinito, en virtud delCorolario 3 del Teorema 1.

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Si N1 = N − {1} entonces ϕ : N → N1, ϕ(n) = n + 1, esuna biyección de N en su subconjunto propio N1 = {2, 3, . . .}. Deforma general, dado p ∈ N podemos considerar Np = {p + 1, p +2, . . .} y definir la biyección ϕ : N → Np, ϕ(n) = n + p. Estetipo de fenómenos ya eran conocidos por Galileo, el primero enobservar que “hay tantos números pares como números naturales”,que demostró que si P = {2, 4, 6, . . .} es el conjunto de los númerospares entonces ϕ : N → P , dada por ϕ(n) = 2n, es una biyección.Evidentemente, si I = {1, 3, 5, . . .} es el conjunto de los númeroimpares, entonces ψ : N → I, ψ(n) = 2n − 1, también es unabiyección. En estos dos últimos ejemplos, N− P = I y N− I = Pson infinitos, mientras que N− Np = {1, 2, . . . , p} es finito.

4. Conjuntos numerables

Un conjunto X se dice numerable cuando es finito o cuando exis-te una biyección f : N → X . En este caso, f se llama numeración delos elementos de X . Si escribimos f(1) = x1, f(2) = x2, . . . , f(n) =xn, . . . se tiene entonces X = {x1, x2, . . . , xn, . . .}.

8 Conjuntos Finitos Cap. 1

Teorema 4. Todo subconjunto X ⊂ N es numerable.

Demostración: Si X es finito no hay nada que demostrar. Encaso contrario, numeramos los elementos de X tomando x1 = me-nor elemento de X . Suponiendo definidos x1 < x2 < · · · < xn,escribimos An = X − {x1, . . . , xn}. Observando que A 6= ∅, puesX es infinito, definimos xn+1 = menor elemento de An. EntoncesX = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. En efecto, si existiese algún elemento deX diferente de todos los xn tendŕıamos que x ∈ An para todo n ∈ N,luego x seŕıa un número natural mayor que todos los elementos delconjunto infinito {x1, . . . , xn, . . .}, lo que contradice el Corolario 2de Teorema 2.

Corolario 1. Sea f : X → Y inyectiva. Si Y es numerable Xtambién lo es. En particular, todo subconjunto de un conjunto nu-merable es numerable.

En efecto, basta considerar el caso en que existe una biyecciónϕ : Y → N. Entonces ϕ ◦ f : X → N es una biyección de X enun subconjunto de N, que es numerable, por el Teorema 4. En elcaso particular X ⊂ Y , tomamos f : X → Y igual a la aplicacióninclusión.

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Corolario 2. Sea f : X → Y sobreyectiva. Si X es numerableentonces Y también lo es.

En efecto, para cada y ∈ Y podemos tomar x = g(y) ∈ Xtal que f(x) = y. Esto define una aplicación g : Y → X tal quef(g(y)) = y para todo y ∈ Y . De donde se concluye que g esinyectiva. Por el Corolario 1, Y es numerable.

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Corolario 3. El producto cartesiano de dos conjuntos numerableses un conjunto numerable.

En efecto, siX e Y son numerables entonces existen aplicacionessobreyectivas f : N → X y g : N → Y , luego ϕ : N × N → X × Ydada por ϕ(m,n) = (f(m), g(n)) es sobreyectiva. Por tanto, essuficiente probar que N× N es numerable. Para esto consideremosla aplicación ψ : N × N → N dada por ψ(m,n) = 3m · 2n. Por launicidad de la descomposición de un número en factores primos, ψes inyectiva. Se concluye que N× N es numerable. �

Sección 4 Conjuntos numerables 9

Corolario 4. La unión de una familia numerable de conjuntos nu-merables es numerable.

Tomando X =⋃∞

n=1Xn, definimos la aplicación sobreyectivaf : N× N → X haciendo f(m,n) = fn(m), El caso de unión finitase reduce al caso anterior ya que X = X1∪X2∪· · ·∪Xn∪Xn+1∪· · · .

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El Teorema 3 significa que el infinito numerable es el “menor”delos infinitos. En efecto, el teorema se puede reformular como sigue:

Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numera-ble.

Ejemplo 1. El conjunto Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} de los núme-ros enteros es numerable. Se puede definir una biyección f : N → Zcomo f(n) = (n− 1)/2 si n es impar y f(n) = −n/2 si n es par.

Ejemplo 2. El conjunto Q = {m/n : m,n ∈ Z, n 6= 0} de losnúmeros racionales es numerable. En efecto, si escribimos Z∗ =Z− {0} podemos definir una función sobreyectiva f : Z× Z∗ → Qcomo f(m,n) = m/n.

Ejemplo 3. (Un conjunto no numerable). Sea S el conjunto detodas las sucesiones infinitas formadas con los śımbolos 0 y 1, comopor ejemplo s = (0 1 1 0 0 0 1 0 . . .). Con otras palabras, Ses el conjunto de todas las funciones s : N → {0, 1}. Para cadan ∈ N, el valor s(n), igual a 0 ó 1, es el n-ésimo término de lasucesión s. Afirmamos que ningún subconjunto numerable X ={s1, s2, . . . , sn, . . .} ⊂ S es igual a S. En efecto, dado X , indiquemosmediante snn el n-ésimo término de la sucesión sn ∈ X . Formamosuna nueva sucesión s∗ ∈ X tomando el n-ésimo término de s∗ iguala 0 si snn = 0. La sucesión s

∗ no pertenece al conjunto X porquesu n-ésimo término es diferente del n-ésimo término de sn. (Esteargumento, debido a G. Cantor, es conocido como “método de ladiagonal”).

En el próximo caṕıtulo demostraremos que el conjunto R de losnúmeros reales no es numerable.

10 Conjuntos Finitos Cap. 1

5. Ejercicios

Sección 1: Números naturales

1. Usando el método de inducción, pruebe que

(a) 1 + 2 + · · ·+ n = n(n + 1)/2.(b) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.

2. Dados m,n ∈ N con n > m, pruebe que ó n es múltiplo de m oque existen q, r ∈ N tales que n = mq + r, r < m. Pruebe que qy r son únicos con esta propiedad.

3. Sea X ⊂ N un subconjunto no vaćıo tal que m,n ∈ X ⇔ m,m+n ∈ X . Pruebe que existe k ∈ N tal que X es el conjunto de losmúltiplos de k.

4. Dado n ∈ N, pruebe que no existe x ∈ N tal que n < x < n+ 1.

5. Obtenga el principio de inducción como consecuencia del princi-pio de buena ordenación.

Sección 2: Conjuntos finitos

1. Indicando mediant card X el número de elementos del conjuntofinito X , pruebe que:

(a) Si X es finito e Y ⊂ X , entonces card Y ≤ card X .(b) Si X e Y son finitos, entonces X ∪ Y es finito y

card (X ∪ Y ) = cardX + card Y − card (X ∩ Y ).

(c) Si X e Y son finitos, entonces X × Y es finito y

card(X × Y ) = cardX · card Y.

2. Sea P(X) el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos deX . Pruebe, usando el método deinducción, que si X es finito

entonces card P(X) = 2cardX .

3. Sea F(X ; Y ) el conjunto de las funciones f : X → Y . Si cardX =m y card Y = n, pruebe que card (F(X ; Y )) = nm.

Sección 4 Ejercicios 11

4. Pruebe que todo conjunto finito X de números naturales poseeun elemento máximo (esto es, existe x0 ∈ X tal que x ≤ x0∀ x ∈ X).

Sección 3: Conjuntos infinitos

1. Dada f : X → Y , pruebe que:

(a) Si X es infinito y f es inyectiva entonces Y es infinito.

(b) Si Y es infinito y f es sobreyectiva entonces X es infinito.

2. Sean X un conjunto finito e Y un conjunto infinito. Pruebe queexiste una función inyectiva f : X → Y y una función sobreyec-tiva g : Y → X .

3. Pruebe que el conjunto P de los números primos es infinito.

4. Dé un ejemplo de una sucesión decreciente X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃Xn ⊃ · · · de conjuntos infinitos cuya intersección

⋂∞n=1Xn sea

vaćıa.

Sección 4: Conjuntos numerables

1. Defina f : N×N → N mediante f(1, n) = 2n−1 y f(n+1, n) =2n(2n− 1). Pruebe que f es una biyección.

2. Pruebe que existe g : N → N sobreyectiva tal que g−1(n) esinfinito para cada n ∈ N.

3. Escriba N = N1 ∪ N2 ∪ · · · ∪ Nn ∪ · · · como unión inifnita desubconjuntos infinitos disjuntos dos a dos.

4. Para cada n ∈ N, sea Pn = {X ⊂ N : card X = n}. Prue-be que Pn es numerable. Concluya que el conjunto Pf de lossubconjuntos finitos de N es numerable.

5. Pruebe que el conjunto P(N) de todos los subconjuntos de N noes numerable.

6. Sea Y numerable y f : X → Y sobreyectiva tal que, para caday ∈ Y , f−1(y) es numerable. Pruebe que X es numerable.

12 Conjuntos Finitos Cap. 1

2

Números reales

El conjunto de los números reales se denotará por R. En este caṕıtu-lo haremos una descripción completa de sus propiedades; éstas,aśı como sus consecuencias, se utilizarán en los próximos caṕıtu-los.

1. R es un cuerpo

Esto significa que en R están definidas dos operaciones, llamadasadición y multiplicación, que cumplen ciertas condiciones, especifi-cadas a continuación.

La adición hace corresponder a cada par de elementos x, y ∈ R,su suma x + y ∈ R, mientras que la multiplicación asocia a estoselementos su producto x · y ∈ R.

Los axiomas a los que obedecen estas operaciones son:

Asociatividad: para cualesquiera x, y, z ∈ R se tiene (x + y) + z =x+ (y + z) y x · (y · z) = (x · y) · z.

Conmutatividad: para cualesquiera x, y ∈ R se tiene x+ y = y + xy x · y = y · x.

Elementos neutros: existen en R dos elementos distintos 0 y 1 talesque x+ 0 = x y x · 1 = x para cualquier x ∈ R.

13

14 Números reales Cap. 2

Inversos: todo x ∈ R posee un inverso aditivo −x ∈ R tal quex + (−x) = 0 y si x 6= 0, también existe un inverso multiplicativox−1 ∈ R tal que x · x−1 = 1.

Distributividad: para cualesquiera x, y, z ∈ R se tiene x · (y + z) =x · y + x · z.

De estos axiomas resultan todas las reglas familiares del cálculocon números reales. A t́ıtulo de ejemplo, establecemos algunas.

De la conmutatividad resulta que 0 + x = x y −x+ x = 0 paratodo x ∈ R. Análogamente, 1 · x = 1 y x−1 · x = 1 cuando x 6= 0.La suma x+ (−y) se indicará con x− y y se llama diferencia entrex e y. Si y 6= 0, el producto x · y−1 también se representará por x/yy se llamará cociente entre x e y. Las operaciones (x, y) → x − yy (x, y) → x/y se llaman, respectivamente, substracción y división.Evidentemente, la división de x por y sólo tiene sentido cuandoy 6= 0, pues el número 0 no tiene inverso multiplicativo.

De la distributividad se concluye que, para todo x ∈ R, se tienex · 0 + x = x · 0 + x · 1 = x · (0 + 1) = x · 1 = x. Sumando −x aambos miembros de la igualdad x ·+x = x obtenemos x · 0 = 0.

Por otro parte, si x · y = 0 podemos concluir que x = 0 ó y = 0.En efecto, si y 6= 0 entonces podemos multiplicar ambos miembrosde la igualdad por y−1 y obtenemos x · y · y−1 = 0 · y−1, de dondex = 0.

También es resultado de la distributividad la “regla de los sig-nos”: x · (−y) = (−x) · y = −(x · y) y (−x) · (−y) = x · y. Enefecto, x · (−y) + x · y = x · (−y + y) = x · 0, sumando −(x · y)a ambos miembros de la igualdad x · (−y) + x · y = 0 se tienex · (−y) = −(x · y). Análogamente, (−x) · y = −(x · y). Luego(−x) · (−y) = −[x · (−y)] = −[−(x · y)] = x · y. En particular(−1) · (−1) = 1. (Observación: la igualdad −(−z) = z, anterior-mente usada, resulta al sumar z a ambos miembros de la igualdad−(−z) + (−z) = 0.)

Si dos números reales x, y tienen cuadrados iguales, entonces

Sección 2 R es un cuerpo ordenado 15

x = ±y. En efecto, si x2 = y2 entonces 0 = x2−y2 = (x−y)(x+y),y como sabemos, el producto de dos números reales sólo es cero sial menos uno de los factores es nulo.

2. R es un cuerpo ordenado

Esto significa que existe un subconjunto R+ ⊂ R llamado con-junto de los números reales positivos, que cumple las siguientes con-diciones:

P1. La suma y el producto de números reales positivos son positi-vos. O sea, x, y ∈ R+ ⇒ x+ y ∈ R+ y x · y ∈ R+.

P2. Dado x ∈ R se verifica una, y sólo una, de las 3 alternativassiguientes: ó x = 0, ó x ∈ R+ ó −x ∈ R+.

Si indicamos mediante R− al conjunto de los números −x, don-de x ∈ R+, la condición P2 nos dice que R = R+ ∪R− ∪ {0}, y quelos conjuntos R+, R− y {0} son disjuntos dos a dos. Los númerosy ∈ R− se llaman negativos.

Todo número real x 6= 0 tiene cuadrado positivo. En efecto,si x ∈ R+ entonces x2 = x · x ∈ R+ por P1. Si x /∈ R+ en-tonces (como x 6= 0) −x ∈ R+, luego, también por P1, tenemosx2 = (−x) · (−x) ∈ R+. En particular, 1 es un número positivo,pues 1 = 12.

Se escribe x < y, y se dice que x es menor que y, cuandoy − x ∈ R+, esto es, y = x + z donde z es positivo. En este ca-so, también se escribe y > x, y se dice que y es mayor que x. Enparticular, x > 0 significa que x ∈ R+, esto es, que x es positivo,mientras que x < 0 quiere decir que x es negativo, esto es, que−x ∈ R+.

Se tiene las siguientes propiedades para la relación de ordenx < y en R:

O1. Transitiva: si x < y e y < z entonces x < z.

O2. Tricotomı́a: dados x, y ∈ R, ocurre una, y sóla una, de lassiguientes alternativas siguientes, ó x = y, ó x < y ó x > y.

16 Números reales Cap. 2

O3. Monotońıa de la adición: si x < y entonces, para todo z ∈ R,se tiene x+ z < y + z.

O4. Monotońıa de la multiplicación: si x < y entonces para todoz > 0 se tiene x · z < y · z. Si, por el contrario, z < 0 entoncesx < y implica x · z > y · z.

Demostración: O1. x < y e y < z significan y − x ∈ R+ ez − y ∈ R+. De P1 se sigue que (y − x) + (z − y) ∈ R+, estoes, z − x ∈ R+, o sea, x < z.

O2. Dados x, y ∈ R, ó y − x ∈ R+, ó y − x = 0 ó y − x ∈ R− (estoes, x − y ∈ R+). En el primer caso se tiene x < y, en el segundox = y y en tercero y < x. Por P2 estas posibilidades se excluyenmutuamente.

O3. Si x < y entonces y − x ∈ R+, de donde (y + z) − (x + z) =y − x ∈ R+, esto es x+ z < y + z.

O4. Si x < y y z > 0 entonces y − x ∈ R+ y z ∈ R+, luego(y− x) · z ∈ R+, o sea, yz − xz ∈ R+, lo que significa que xz < yz.Si x < y y z < 0 entonces y − x ∈ R+ y y − z ∈ R+, de dondexz − yz = (y − x)(−z) ∈ R+, lo que significa que yz < xz.

En general, x < y y x′ < y′ implican x + x′ < y + y′ puesyy′ − xx′ = yy′ − yx′ + yx′ − xx′ = y(y′ − x′) + (y − x)x′ > 0.

Si 0 < x < y entonces y−1 < x−1. Para probar esto observeprimero que x > 0 ⇒ x−1 = x(x−1)2 > 0. A continuación multi-plicando ambos miembros de la desigualdad x < y por x−1y−1 setiene y−1 < x−1.

Como 1 ∈ R es positivo, se sigue que 1 < 1+1 < 1+1+1 < · · · .Entonces podemos considerar N ⊂ R. Se tiene Z ⊂ R, pues 0 ∈ Ry n ∈ R ⇒ −n ∈ R. Además, si m,n ∈ Z, donde n 6= 0, entoncesm/n = mn−1 ∈ R, lo que no permite concluir que Q ⊂ R. Aśı,N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

En la próxima sección veremos que la inclusión Q ⊂ R es propia.

Sección 2 R es un cuerpo ordenado 17

Ejemplo 1. (Desigualdad de Bernoulli) Para todo número realx ≥ −1 y todo n ∈ N, se tiene (1 + x)n ≥ 1 + nx. Esto se de-muestra por inducción respecto a n. La desigualdad es obvia sin = 1. Suponiendo la desigualdad válida para n, multiplicamosambos miembros por el número (1 + x) ≥ 0 y obtenemos

(1 + x)n+1=(1 + x)n(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx+ x+ nx2= 1 + (n+ 1)x+ nx2

≥ 1 + (n+ 1)x .

Usando el mismo argumento se puede ver que (1 + x)n > 1 + nxcuando n > 1, x > −1 y x 6= 0.

La relación de orden de R nos permite definir el valor absoluto(o módulo) de un número real x ∈ R como sigue: |x| = x si x > 0,|0| = 0 y |x| = −x si x < 0. Con otras palabras, |x| = máx{x,−x}es el mayor de los números reales x y −x.

Se tiene −|x| ≤ x ≤ |x| para todo x ∈ R. En efecto, la desigual-dad x ≤ |x| es obvia, mientras que −|x| ≤ x resulta al multiplicarpor −1 ambos miembros de la desigualdad −x ≤ |x|. Aśı podemoscaracterizar |x| como el único número ≥ 0 cuyo cuadrado es x2.

Teorema 1. Si x, y ∈ R entonces |x+y| ≤ |x|+|y| y |x·y| = |x|·|y|.

Demostración: Sumando miembro a miembro las desigualdades|x| ≥ x e |y| ≥ y se tiene |x|+ |y| ≥ x+ y. Análogamente, de |x| ≥−x y |y| ≥ −y resulta |x|+|y| ≥ −(x+y). Luego |x|+|y| ≥ |x+y| =máx{x + y,−(x + y)}. Para probar |x · y| = |x| · |y| es suficientedemostrar que estos dos números tienen el mismo cuadrado, puesambos son ≥ 0. Ahora bien, el cuadrado de |x ·y| es (x ·y)2 = x2 ·y2,mientras que (|x| · |y|)2 = |x|2 · |y|2 = x2 · y2.

Teorema 2. Sean a, x, δ ∈ R. Se tiene |x − a| < δ si, y sólo si,a− δ < x < a+ δ.

Demostración: Como |x−a| es el mayor de los dos números x−ay −(x−a), afirmar que |x−a| < δ es equivalente a decir que se tienex−a < δ y −(x−a) < δ, o sea, x−a < δ y x−a > −δ. Al sumar a seconcluye: |x−a| < δ ⇔ x < a+δ y x > a−δ ⇔ a−δ < x < a+δ.

18 Números reales Cap. 2

De modo análogo se puede ver que |x− a| ≤ δ ⇔ a − δ ≤ x ≤a+ δ.

Usaremos la siguiente notación para representar tipos especialesde conjuntos de números reales, llamados intervalos:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} [a,∞) = {x ∈ R : a ≤ x}(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (a,+∞) = {x ∈ R : a < x}

(−∞,+∞) = R

Los cuatro intervalos de la izquierda están acotados, sus extre-mos son a, b; [a, b] es un intervalo cerrado, (a, b) es abierto, [a, b) escerrado por la izquierda y (a, b] cerrado por la derecha. Los cincointervalos a la derecha son no acotados : (−∞, b] es la semirrectacerrada a la derecha con origen en b. Los demás tienen denomina-ciones análogas. Cuando a = b, el intervalo [a, b] se reduce a unúnico elemento y se llama intervalo degenerado.

En términos de intervalos, el Teorema 2 afirma que |x− a| < δsi, y sólo si, x pertenece al intervalo abierto (a − δ, a + δ). Análo-gamente, |x− a| ≤ δ ⇔ x ∈ [a− δ, a + δ].

Es muy útil imaginar el conjunto R como una recta (la “rectareal”) y los número reales como sus puntos. Entonces la relación x <y significa que el punto x está a la izquierda de y (e y a la derecha dex), los intervalos son segmentos de la recta y |x− y| es la distanciadel punto x al punto y. Aśı, el significado del Teorema 2 es que elintervalo (a−δ, a+δ) está formado por los puntos que distan menosque δ del punto a. Tales interpretaciones geométricas constituyenun valioso auxilio para comprender los conceptos y teoremas delAnálisis Matemático.

3. R es un cuerpo completo

Nada de lo dicho hasta ahora nos permite distinguir R de Q,pues los número racionales también forman un cuerpo ordenado.A continuación acabaremos nuestra caracterización de R, descri-biéndolo como un cuerpo ordenado y completo, propiedad que no

Sección 3 R es un cuerpo completo 19

cumple Q.

Un conjunto X ⊂ R se dice acotado superiormente cuando exis-te b ∈ R tal que x ≤ b para todo x ∈ X . En este caso se dice que bes una cota superior de X . Análogamente, se dice que el conjuntoX está acotado inferiormente cuando existe a ∈ R tal que a ≤ xpara todo x ∈ X . Entonces el número a es una cota inferior deX . Si X está acotado superiormente e inferiormente se dice que esun conjunto acotado. Esto significa que X está contenido en algúnintervalo acotado de la forma [a, b], o, equivalentemente, que existek > 0 tal que x ∈ X ⇒ |x| ≤ k.

Sea X ⊂ R acotado superiormente y no vaćıo. Un número b ∈ Rse llama supremo del conjunto X cuando es la menor de las cotassuperiores de X . De forma expĺıcita, b es el supremo de X cuandose cumple las dos condiciones siguientes:

S1. Para todo x ∈ X se tiene x ≤ b.

S2. Si c ∈ R es tal que x ≤ c para todo x ∈ X , entonces b ≤ c.

La condición S2 admite la siguiente reformulación

S2′. Si c < b entonces existe x ∈ X tal que c < x.

En efecto, S2′ afirma que ningún número real menor que b puedeser una cota superior de X . A veces S2′ se escribe aśı: para todoε > 0 existe x ∈ X tal que b− ε < x.

Escribimos b = supX para indicar que b es el supremo del con-junto X .

Análogamente, si X es un conjunto no vaćıo acotado, inferior-mente se dice que un número real a es el ı́nfimo de X , y se escribea = ı́nfX , cuando es la mayor de las cotas inferiores de X . Esto esequivalente a las dos afirmaciones siguientes:

I1. Para todo x ∈ X se tiene a ≤ x.

I2. Si c ≤ x para todo x ∈ X , entonces c ≤ a.

La condición I2 se puede formular también aśı:

20 Números reales Cap. 2

I2′. Si a < c entonces existe x ∈ X tal que x < c.

De hecho, I2′ nos dice que ningún número mayor que a es unacota inferior de X . Equivalentemente: para todo ε > 0 existe x ∈ Xtal que x < a + ε.

Se dice que un número b ∈ X es el máximo del conjunto Xcuando b ≥ x para todo x ∈ X . Esto quiere decir que b es unacota superior de X que pertenece a X . Por ejemplo b es el máximodel intervalo [a, b], sin embargo el intervalo [a, b) no posee máximo.Evidentemente, si un conjunto X posee un máximo éste es su supre-mo. La noción de supremo sirve precisamente para substituir a laidea de máximo de un conjunto cuando éste no existe. El supremodel conjunto [a, b) es b. Se pueden hacer consideraciones totalmenteanálogas con relación al ı́nfimo.

Afirmar que el cuerpo ordenado R es completo significa afirmarque todo conjunto no vaćıo y acotado superiormente X ⊂ R poseeun supremo b = supX .

No es necesario postular también que todo conjunto no vaćıo yacotado inferiormente posee un ı́nfimo. En efecto, en este caso elconjunto Y = {−x : x ∈ X} no es vaćıo y está acotado superior-mente, luego posee un supremo b ∈ R. Entonces, como se puede verfácilmente, el número a = −b es el ı́nfimo de X .

A continuación veremos algunas consecuencias de la completitudde R.

Teorema 3.

i) El conjunto N ⊂ R de los número naturales no está acotadosuperiormente;

ii) El ı́nfimo del conjunto X = {1/n : n ∈ N} es igual a 0;

iii) Dados a, b ∈ R+, existe n ∈ N tal que n · a > b.

Demostración: Si N estuviese acotado superiormente, existiŕıac = supN. Entonces c − 1 no seŕıa una cota superior de N, estoes, existiŕıa n ∈ N tal que c − 1 < n. De donde c < n + 1, luego

Sección 3 R es un cuerpo completo 21

c no seŕıa una cota superior de N. Esta contradicción prueba i).Respecto a ii): 0 es, evidentemente, una cota inferior de X . Enton-ces basta probar que cualquier c > 0 no es un cota inferior de X .Ahora bien, dado c > 0, existe, por i), un número natural n > 1/c,de donde 1/n < c, lo que prueba ii). Finalmente, dados a, b ∈ R+usamos i) para obtener n ∈ N tal que n > b/a. Entonces na > b, loque demuestra iii).

Las propiedades i), ii) y iii) del teorema anterior son equivalentesy significan que R es un cuerpo arquimediano. En realidad, iii) sedebe al matemático griego Eudoxo, que vivió algunos siglos antesque Arqúımedes.

Teorema 4. (Principio de los intervalos encajados) Dadauna sucesión decreciente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · de intervaloscerrados y acotados, In = [an, bn], existe al menos un número realc tal que c ∈ In para todo n ∈ N.

Demostración: Las inclusiones In ⊃ In+1 significan que

a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1 .

El conjunto A = {a1, a2, . . . , an, . . .} está, por tanto, acotado supe-riormente; sea c = supA. Evidentemente, an ≤ c para todo n ∈ N.Además, como cada bn es una cota superior de A, tenemos c ≤ bnpara todo n ∈ N. Por tanto c ∈ In para todo n ∈ N.

Teorema 5. El conjunto de los números reales no es numerable.

Demostración: Demostraremos que ninguna función f : N → Rpuede ser sobreyectiva. Para esto, suponiendo f dada, construire-mos una sucesión decreciente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · de intervaloscerrados y acotados tales que f(n) /∈ In. Entonces, si c es un núme-ro real que pertenece a todos los In ningún valor de f(n) puedeser igual a c, luego f no es sobreyectiva. Para obtener los inter-valos, comenzaremos tomando I1 = [a1, b1] tal que f(1) < a1 y,suponiendo obtenidos I1, I2, . . . , In tales que f(j) /∈ Ij , considera-mos In = [an, bn]. Si f(n + 1) ∈ In, al menos uno de los extremos,por ejemplo an, es diferente de f(n + 1), esto es, an < f(n + 1).En este caso tomamos In+1 = [an+1, bn+1], donde an+1 = an ybn+1 = (an + f(n+ 1))/2.

22 Números reales Cap. 2

Un número se llama irracional cuando no es racional. Comoel conjunto Q de los números racionales es numerable, del teore-ma anterior resulta que existen números irracionales y, aún más,como R = Q ∪ (R − Q), los irracionales constituyen un conjuntono numerable (por tanto son la “mayoŕıa” de los números reales)pues la unión de dos conjuntos numerables es numerable. Eviden-temente, se pueden exhibir número irracionales expĺıcitamente. Enel Caṕıtulo 3, Ejemplo 15, veremos que la función f : R → R+,dada por f(x) = x2, es sobreyectiva. Luego existe un número realpositivo, expresado por

√2, cuyo cuadrado es igual a 2. Pitágoras

y sus disćıpulos demostraron que ningún número racional puede te-ner cuadrado igual a 2. (En efecto, si (p/q)2 = 2 entonces 2q2 = p2,donde p y q son enteros, lo que es absurdo pues el factor primo2 aparece un número par de veces en la descomposición de p2 enfactores primos y un número impar de veces en la de 2q2).

Corolario 1. Todo intervalo no degenerado no es numerable.

En efecto, todo intervalo no degenerado contiene un intervaloabierto (a, b). Como la función f : (−1, 1) → (a, b), definida comof(x) = 1

2[(b − a)x + a + b], es una biyección, basta probar que

(−1, 1) no es numerable. Ahora bien, la función ϕ : R → (−1, 1),dada por ϕ(x) = x/(1 + |x|), es una biyección cuya inversa es ψ :(−1, 1) → R, definida mediante ψ(y) = y/(1−|y|), pues ϕ(ψ(y)) =y e ψ(ϕ(x)) = x para cualesquiera y ∈ (−1, 1) y x ∈ R, como sepuede ver fácilmente.

�

Teorema 6. Todo intervalo no degenerado I contiene números ra-cionales e irracionales.

Demostración: Obviamente I contiene números irracionales, puesen caso contrario I seŕıa numerable. Para probar que I contienenúmeros racionales consideramos [a, b] ⊂ I, donde a < b se puedentomar irracionales. Tomemos n ∈ N tal que 1/n < b − a. Losintervalos Im = [m/n, (m+1)/n], m ∈ Z, cubren la recta real, estoes, R =

⋃

m∈Z Im. Por lo tanto existe m tal que a ∈ Im. Como a esirracional, tenemos m/n < a < (m + 1)/n. Como 1/n, la longituddel intervalo Im, es menor que b − a, se tiene que (m + 1)/n < b.Luego el número racional (m+ 1)/n pertenece al intervalo [a, b], ypor tanto al intervalo I.

Sección 5 Ejercicios 23

5. Ejercicios

Sección 1: R es un cuerpo.

1. Pruebe las siguientes unicidades:

(a) Si x+ θ = x para todo x ∈ R entonces θ = 0;(b) Si x · u = x para todo x ∈ R entonces u = 1;(c) Si x+ y = 0 entonces y = −x;(d) Si x · y = 1 entonces y = x−1.

2. Dados a, b, c, d ∈ R, si b 6= 0 y d 6= 0 pruebe que (a/b + c/d) =(ad+ bc)/bd y (a/b)(c/d) = (ac/bd).

3. Si a, b ∈ R, a 6= 0 y b 6= 0, pruebe que (ab)−1 = a−1 · b−1 yconcluya que (a/b)−1 = b/a.

4. Pruebe que (1−xn+1)/(1−x) = 1+x+ · · ·+xn para todo x 6= 1.

Sección 2: R es un cuerpo ordenado

1. Para cualesquiera x, y, z ∈ R, pruebe que |x−z| ≤ |x−y|+|y−z|.

2. Pruebe que ||x| − |y|| ≤ |x− y| para cualesquiera x, y ∈ R.

3. Dados x, y ∈ R, si x2 + y2 = 0 pruebe que x = y = 0.

4. Pruebe por el método de inducción que (1 + x)n ≥ 1 + nx +[n(n− 1)/2]x2 si x ≥ 0.

5. Para todo x 6= 0, pruebe que (1 + x)2n > 1 + 2nx.

6. Pruebe que |a− b| < ε⇒ |a| < |b|+ ε.

7. Usando que el trinomio de segundo grado f(λ) =∑n

i=1(xi +λyi)

2 es ≥ 0 para todo λ ∈ R pruebe la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

(

n∑

i=1

xiyi

)2

≤(

n∑

i=1

x2i

)(

n∑

i=1

y2i

)

Pruebe también que se tiene la igualdad si, y sólo si, existe λ talque xi = λyi para todo i = 1, . . . , n.

24 Números reales Cap. 2

8. Si a1/b1, . . . , an/bn pertenecen al intervalo (α, β) y b1, . . . , bn sonpositivos, pruebe que (a1 + · · · + an)/(b1 + · · · + bn) pertenecea (α, β). Con las mismas hipótesis, si t1, . . . , tn ∈ R+, pruebeque (t1a1 + · · ·+ tnan)/(t1b1 + · · ·+ tnbn) también pertenece alintervalo (α, β).

Sección 3: R es un cuerpo ordenado completo

1. Se dice que una función f : X → R está acotada superiormentecuando su imagen f(X) = {f(x) : x ∈ X} es un conjunto aco-tado superiormente. Entonces se escribe sup(f) = sup{f(x) :x ∈ X}. Pruebe que si f, g : X → R están acotadas superior-mente ocurre lo mismo con la suma f + g : X → R; además setiene sup(f + g) ≤ sup(f) + sup(g). Dé un ejemplo en el quesup(f + g) < sup(f) + sup(g). Enuncie y pruebe un resultadoanálogo con ı́nf.

2. Dadas funciones f, g : X → R+ acotadas superiormente pruebeque el producto f · g : X → R es una función acotada (superiore inferiormente) tal que sup(f · g) ≤ sup(f) sup(g) e ı́nf(f · g) ≥ı́nf(f) · ı́nf(g). Dé ejemplos en los que se tenga < en vez de =.

3. Con las hipótesis del ejercicio anterior demuestre que sup(f 2) =sup(f)2 e ı́nf(f 2) = ı́nf(f)2.

4. Dados a, b ∈ R+ con a2 < 2 < b2, tome x, y ∈ R+ tales quex < 1, x < (2 − a2)/(2a + 1) e y < (b2 − 2)/2b. Pruebe que(a+ x)2 < 2 < (b− y)2 y (b− y) > 0. A continuación, considereel conjunto acotado X = {a ∈ R+ : a2 < 2} y concluya que elnúmero real c = supX cumple c2 = 2.

5. Pruebe que el conjunto de los polinomios con coeficientes enteroses numerable. Un número real se llama algebraico cuando es ráızde un polinomio con coeficiente enteros. Pruebe que el conjuntode los números algebraicos es numerable. Un número real sellama trascendente cuando no es algebraico. Pruebe que existennúmeros trascendentes.

6. Pruebe que un conjunto I ⊂ R es un intervalo si, y sólo si,a < x < b, a, b ∈ I ⇒ x ∈ I.

3

Sucesionesde números reales

En este caṕıtulo se introducirá la noción de ĺımite en su forma mássimple, el ĺımite de una sucesión. A partir de aqúı, todos los con-ceptos importantes del Análisis Matemático, de una forma u otrase reducirán a algún tipo de ĺımite.

1. Limite de una sucesión

Una sucesión de números reales es una función x : N → R queasocia a cada número natural n un número real xn, llamado n-ési-mo término de la sucesión.

Se escribe (x1, x2, . . . , xn, . . .) o (xn)n∈N, o simplemente (xn), pa-ra indicar la sucesión cuyo n-ésimo término es xn.

No debe confundirse la sucesión (xn) con el conjunto {x1, x2, . . . ,xn, . . .} de sus términos. Por ejemplo, la sucesión (1, 1, . . . , 1, . . .) noes lo mismo que el conjunto {1}. O de otra forma: las sucesiones(0, 1, 0, 1, . . .) y (0, 0, 1, 0, 0, 1, . . .) son diferentes pero el conjunto desus términos es el mismo, igual a {0, 1}.

Una sucesión (xr) se dice acotada superiormente (respectiva-mente inferiormente) cuando existe c ∈ R tal que xn ≤ c (respec-tivamente xn ≥ c) para todo n ∈ N. Se dice que la sucesión (xn)

25

26 Sucesiones de números reales Cap. 3

está acotada cuando está acotada superior e inferiormente. Estoequivale a decir que existe k > 0 tal que |xn| ≤ k para todo n ∈ N.

Ejemplo 1. Si a > 1 entonces la sucesión (a, a2, . . . , an, . . .) está aco-tada inferiormente pero no superiormente. En efecto, multiplican-do ambos miembros de la desigualdad 1 < a por an obtenemosan < an+1. Se sigue que a < an para todo n ∈ N, luego (an) está aco-tada inferiormente por a. Por otra parte, tenemos a = 1 + d, cond > 0. Por la desigualdad de Bernoulli, para todo n ∈ N se tienean > 1+nd. Por tanto, dado cualquier c ∈ R podemos hacer an > csiempre que tomemos 1 + nd > c, esto es, n > (c− 1)/d.

Dada una sucesión x = (xn)n∈N, una subsucesión de x es la res-tricción de la función x a un subconjunto infinito de N′ = {n1 <n2 < · · · < nk < · · · } de N. Se escribe x′ = (xn)n∈N′ ó (xn1 , xn2, . . . ,xnk , . . .}, ó (xnk)k∈N para indicar la subsucesión x′ = x|N′. La nota-ción (xnk)k∈N indica que una subsuceción se puede considerar comouna sucesión, esto es, una función cuyo dominio es N.

Recordemos que N′ ⊂ N es infinito si, y sólo si, no está acotado,esto es, para todo n0 ∈ N existe nk ∈ N′ tal que nk > n0.

Ejemplo 2. Dado un número real a < −1, consideremos la sucesión(an)n∈N. Si N′ ⊂ N es el conjunto de los números pares y N′′ es elconjunto de los números impares entonces la subsucesión (an)n∈N′′sólamente está acotada superiormente.

Se dice que un número real a es el ĺımite de la sucesión (xn)cuando para todo número real ε > 0, dado arbitrariamente, se pue-de obtener n0 ∈ N tal que todos los términos xn con ı́ndice n > n0cumplen la condición |xn − a| < ε. Se escribe entonces a = ĺım xn.

Esta importante definición significa que, para valores muy gran-des de n, los términos xn permanecen tan próximos a a cuando sedesee. Más precisamente, estipulándose un error ε > 0, existe unı́ndice n0 ∈ N tal que todos los términos de la sucesión con ı́ndicen > n0 son valores aproximados de a con un error menor que ε.

Con śımbolos matemáticos, se escribe:

a = ĺım xn · ≡ · ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N;n > n0 ⇒ |xn − a| < ε,

Sección 1 Limite de una sucesión 27

en donde el śımbolo · ≡ · significa que lo que sigue es la definiciónde lo que antecede, ∀ significa “para todo” o “cualquier que sea”y ∃ significa “existe”. El punto y como quiere decir “tal que” y laflecha ⇒ significa “implica”.

Es conveniente recordar que |xn − a| < ε es lo mismo quea− ε < xn < a+ ε, esto es, xn pertenece al intervalo (a− ε, a+ ε).

Aśı, decir que a = ĺım xn significa que cualquier intervalo abiertocentrado en a contiene todos los términos xn de la sucesión exceptoun número finito de éstos (a saber, los de ı́ndice n ≤ n0, donde n0se escoge en función del radio ε del intervalo).

En vez de a = ĺım xn, también se escribe a = ĺımn∈N

xn, a = ĺımn→∞

xn,

ó xn → a. Esta última expresión se lee “xn tiende a a” o “xnconverge a a”. Una sucesión que posee ĺımite se llama convergente.En caso contrario se llama divergente.

Teorema 1. (Unicidad del ĺımite) Una sucesión no puede con-verger a dos ĺımites diferentes.

Demostración: Sea ĺım xn = a. Dado b 6= a podemos tomar ε > 0tal que los intervalo abiertos I = (a− ε, a+ ε) y J = (b− ε, b+ ε)sean disjuntos. Existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0, implica xn ∈ I.Entonces, para todo n ≥ n0, tenemos xn /∈ J . Luego no se tieneĺım xn = b.

Teorema 2. Si ĺım xn = a entonces toda subsucesión de (xn) con-verge a.

Demostración: Sea (xn1 , xn2, . . . , xnk , . . .) una subsucesión. Dadocualquier intervalo abierto centrado en a existe n0 ∈ N tal quetodos los términos xn, con n ≥ n0, pertenecen a I. En particular,todos los términos xnk con nk ≥ n0, también pertencen a I. Luegoĺım xnk = a.

Teorema 3. Toda sucesión convergente está acotada.

Demostración: Sea a = ĺım xn. Tomando ε = 1 vemos que existen0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ (a − 1, a + 1). Sean b el mayor y cel menor elemento del conjunto finito {x1, x2 . . . , xn0 , a− 1, a+ 1}.

28 Sucesiones de números reales Cap. 3

Todos los términos xn de la sucesión están contenidos en [c, b], luegola sucesión está acotada.

Ejemplo 3. La sucesión (2, 0, 2, 0, . . .), cuyo n-ésimo término esxn = 1 + (−1)n+1, está acotada. Sin embargo no es convergenteporque posee dos sucesiones constantes, x2n−1 = 2 y x2n = 0, conĺımites diferentes.

Ejemplo 4. La sucesión (1, 2, 3, . . .), con xn = n, no es convergenteporque no está acotada.

Una sucesión (xn) se llama monótona cuando se tiene xn ≤ xn+1para todo n ∈ N, o bien xn ≥ xn+1 para todo n ∈ N. En el pri-mer caso se dice que (xn) es monótona creciente, y en el segundocaso que (xn) es monótona decreciente. En particular, si tenemosxn < xn+1 (respec. xn > xn+1) para todo n ∈ N decimos que la su-cesión es estrictamente creciente (respc. estrictamente decreciente).

Toda sucesión monótona creciente (resp. decreciente) está aco-tada inferiormente (respec. superiormente) por su primer término.Para que esté acotada es suficiente que tenga una subsucesión acota-da. En efecto, sea (xn)n∈N′ una subsucesión acotada de una sucesiónmonótona (supongamos creciente) (xn). Tenemoos, xn ≤ c para to-do n ∈ N′. Dado cualquier n ∈ N existe n′ ∈ N′ tal que n < n′.Entonces xn ≤ xn′ ≤ c.

El próximo teorema nos da una condición suficiente para queuna sucesión converja. Cuando intentaba demostrarlo mientras pre-paraba sus clases, a mediados del siglo XIX, R. Dedekind percibió lanecesidad de una formalización rigurosa del concepto de númeroreal.

Teorema 4. Toda sucesión monótona y acotada es convergente.

Demostración. Sea (xn) monótona, supongamos que creciente, yacotada. Escribimos X = {x1, . . . , xn, . . .} y a = supX . Afirmamosque a = ĺım xn. En efecto, dado ε > 0, el número a − ε no es unacota superior de X . Luego existe n0 tal que a − ε < xn0 ≤ a. Aśı,n > n0 ⇒ a− ε < xn0 ≤ xn < a+ ε, de donde ĺım xn = a.

Análogamente, si (xn) es decreciente y acotada entonces ĺım xnes el ı́nfimo del conjunto de valores xn.

Sección 2 Ĺımites y desigualdades 29

Corolario. (Teorema de Bolzano.Weierstrass) Toda suce-sión acotada de números reales posee una subsucesión convergente.

En efecto, basta demostrar que toda sucesión acotada (xn) poseeuna subsucesión monótona. Decimos que xn es un término destacadode la sucesión (xn) si xn ≥ xp para todo p > n. Sea D el conjunto deı́ndices n tal que xn es un término destacado. Si D es un conjuntoinfinito, D = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · }, entonces la subsucesión(xn)n∈D es monótona decreciente. Por el contrario, si D es finitosea n ∈ N el mayor de los n ∈ D. Entonces xn1 , donde n1 = n + 1,no es destacado, luego existe n2 > n1 tal que xn1 < xn2 . A suvez, xn2 no es destacado, luego existe n3 > n2 con xn1 < xn2 <xn3 . Prosiguiendo obtenemos una sucesión estrictamente crecientexn1 < xn2 < · · · < xnk < · · · . �Ejemplo 5. La sucesión cuyo n-ésimo término es xn = 1/n esmonótona, estrictamente decreciente y acotada. Tenemos entoncesĺım 1/n = ı́nf{1/n;n ∈ N} = 0, por el Teorema 3, Caṕıtulo 2.Ejemplo 6. Sea 0 < a < 1. La sucesión (a, a2, . . . , an, . . .), formadapor las sucesivas potencias, de a es estrictamente decreciente y aco-tada, pues multiplicando 0 < a < 1 por an resulta 0 < an+1 < an.Afirmamos que ĺımn→∞ a

n = 0. En efecto, como 1/a > 1, del Ejem-plo 1 se deduce que, dado ε > 0 arbitrario existe n0 ∈ N tal que(1/a)n0 > 1/ε, o sea, an0 < ε. Se sigue que ĺım an = ı́nf{an;n ∈N} = 0.

2. Ĺımites y desigualdades

Sea P una propiedad referente a los términos de una sucesión(xn). Diremos que “para todo n suficientemente grande xn cumple lapropiedad P”para significar que “existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ xncumple la propiedad P”.

Teorema 5. Sea a = ĺım xn. Si b < a entonces, para todo n suficien-temente grande, se tiene b < xn. Análogamente, si a < b entoncesxn < b para todo n suficientemente grande.

Demostración: Tomando ε = a − b, tenemos ε > 0 y b = a − ε.Por la definición de ĺımite, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ a− ε <xn < a + ε ⇒ b < xn. La otra afirmación se prueba de formaanáloga.

30 Sucesiones de números reales Cap. 3

Corolario 1. Sea a = ĺım xn. Si a > 0 entonces, para todo nsuficientemente grande, se tiene xn > 0. Análogamente, si a < 0entonces xn < 0 para todo n suficientemente grande.

Corolario 2. Sean a = ĺım xn y b = ĺım yn. Si xn ≤ yn, para todon suficientemente grande entonces a ≤ b. En particular, si xn ≤ bpara todo n suficientemente grande entonces ĺım xn ≤ b.

En efecto, si tuviésemos b < a entonces tomaŕıamos c ∈ R talque b < c < a y tendŕıamos, por el Teorema 5, yn < c < xn paratodo n suficientemente grande, contradiciendo la hipótesis. �

Observación: Si tuviésemos xn < yn no podŕıamos concluir quea < b. Basta considerar xn = 0 e yn = 1/n.

Teorema 6. (Teorema del Sandwich.) Si ĺım xn = ĺım yn = a yxn ≤ zn ≤ yn para todo n suficientemente grande entonces ĺım zn =a.

Demostración: Dado cualquier ε > 0, existen n1, n2 ∈ N talesque n > n1 ⇒ a− ε < xn < a + ε y n > n2 ⇒ a− ε < yn < a + ε.Sea n0 = máx{n1, n2}. Entonces n > n0 ⇒ a− ε < xn ≤ zn ≤ yn <a+ ε⇒ zn ∈ (a− ε, a+ ε), luego ĺım zn = a.

3. Operaciones con ĺımites

Teorema 7. Si ĺım xn = 0 e (yn) es una sucesión acotada (conver-gente o no) entonces ĺım(xnyn) = 0.

Demostración: Existe c > 0 tal que |yn| ≤ c para todo n ∈ N.Dado cualquier ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |xn| < ε/c.Entonces, n > n0 ⇒ |xn · yn| = |xn| · |yn| < (ε/c) · c = ε. Luegoĺım(xnyn) = 0.

Ejemplo 7. Si xn = 1/n e yn = sin(n) entonces (yn) no es conver-gente, sin embargo como −1 ≤ yn ≤ 1, se tiene ĺım(xn · yn) =ĺım(sin(n)/n) = 0. Por otra parte, si ĺım xn = 0 pero (yn) noestá acotada, la sucesión producto (xn · yn) puede ser divergente(tome xn = 1/n e yn = n

2) o tender a cualquier valor c (tomexn = 1/n e yn = c · n).

Sección 3 Operaciones con ĺımites 31

Para uso posterior, observamos que, como resultado directo dela definición de ĺımite, se tiene:

ĺım xn = a⇔ ĺım(xn − a) = 0 ⇔ ĺım |xn − a| = 0.

Teorema 8. Si ĺım xn = a y ĺım yn = b entonces:

1. ĺım(xn ± yn) = a± b2. ĺım(xn · yn) = a · b3. ĺım

xnyn

=a

bsi b 6= 0.

Demostración: 1. Dado cualquier ε > 0, existen n1, n2 ∈ N talesque n > n1 ⇒ |xn − a| < ε/2 y n > n2 ⇒ |yn − b| < ε/2. Sean0 = máx{n1, n2}. Entonces n > n0 ⇒ n > n1 y n > n2, luego|(xn + yn)− (a+ b)| = |(xn − a) + (yn − b)| ≤ |xn − a|+ |yn − b| <ε2+ ε

2< ε. Por lo tanto, ĺım(xn + yn) = a+ b. El mismo argumento

sirve para (xn − yn).

2. Tenemos xnyn−ab = xn ·yn−xnb+xnb−ab = xn(yn−b)+(xn−a)b. Por el Teorema 3, (xn) está acotada. Además, ĺım(yn − b) =ĺım(xn − a) = 0. Se deduce del Teorema 7 y de la parte 1 queĺım(xnyn − ab) = ĺım[xn(yn − b)] + ĺım[(xn − a)b] = 0, de dondeĺım(xnyn) = ab.

3. Se cumple xn/yn−a/b = (xnb−yna)/ynb. Como ĺım(xnb−yna) =ab − ba = 0, para concluir que ĺım

(

xnyn

− ab

)

= 0, y por tanto que

ĺım(

xnyn

)

= ab, basta probar que (1/ynb) es una sucesión acotada.

Ahora, escribiendo c = b2/2, tenemos 0 < c < b2. Como ĺım ynb =b2, se sigue del Teorema 5 que, para todo n suficientemente grande,se tiene c < ynb, y por tanto 1/ynb < 1/c, lo que completa lademostración.

Ejemplo 8. Si xn > 0 para todo n ∈ N y ĺım(xn+1/xn) = a < 1entonces ĺım xn = 0. En efecto, tomemos c ∈ R con a < c < 1.Entonces 0 < xn+1/xn < c para todo n suficientemente grande.Se sigue que 0 < xn+1 = (xn+1/xn)xn < cxn < xn, luego, paran suficientemente grande, la sucesión (xn) es monótona y acotada.Sea b = ĺımxn. De xn+1 < c ·xn para todo n suficientemente grande

32 Sucesiones de números reales Cap. 3

resulta, haciendo n→ ∞, que b ≤ c · b, esto es, (1− c)b ≤ 0. Comob ≥ 0 y 0 < c < 1, conclúımos que b = 0.

Ejemplo 9. Como aplicación del ejemplo anterior, se obtiene que,si a > 1 y k ∈ N son constantes, entonces:

ĺımn→∞

nk

an= ĺım

an

n!= ĺım

n!

nn= 0.

En efecto, escribiendo xn =nk

an, yn =

an

n!y zn =

n!nn

resulta yn+1/yn =a/n + 1, luego ĺım(yn+1/yn) = 0 y, por el Ejemplo 8, ĺım yn = 0.

También tenemos xn+1/xn =(

1 + 1n

)k ·a−1, por tanto (por el Teore-ma 8) ĺım(xn+1/xn) = 1/a < 1. Del Ejemplo 8 se deduce ĺım xn = 0.Finalmente, zn+1/zn = [n/(n + 1)]

n, de donde ĺım(zn+1/zn) = 1/e.(vea el Ejemplo 12 más adelante). Como 1/e < 1, se sigue queĺım zn = 0.

Ejemplo 10. Dado a > 0 demostraremos que la sucesión dada porxn = n

√a = a1/n tiene ĺımite igual a 1. En efecto, se trata de una

sucesión monótona (estrictamente decreciente si a > 1 y crecientesi a < 1) y acotada, por lo tanto existe L = ĺım

n→∞a1/n. Se tiene

L > 0. En efecto, si 0 < a < 1 entonces a1/n > a para todo n ∈ N,de donde L ≥ a. Sin embargo, si a > 1 entonces a1/n > 1 para todon ∈ N, de donde L ≥ 1. Consideremos la subsucesión (a1/n(n+1)) =(a1/2, a1/6, a1/12, . . .). Como 1/n(n+1) = 1/n−1/(n+1), el Teorema2 y el apartado 3 del Teorema 8 nos dan:

L = ĺım a1/n(n+1) = ĺıma1/n

a1/(n+1)=L

L= 1.

Ejemplo 11. Sea 0 < a < 1. La sucesión cuyo término generales xn = 1 + a + · · · + an = (1 − an+1)/(1 − a) es estrictamen-te creciente y acotada, pues xn < 1/(1 − a) para todo n ∈ N.Además, ĺım

n→∞(1/(1− a) − xn) = ĺım

n→∞an/(1 − a) = 0, por lo tanto

ĺımn→∞

xn = ĺım(1 + a + · · ·+ an) = 1/(1− a).

La igualdad anterior también es válida cuando se tiene −1 <a < 1, esto es, |a| < 1. En efecto, el argumento se basa en queĺımn→∞

an = 0, lo que persiste cuando se tiene solamente |a| < 1, puesĺım |a|n = 0 ⇔ ĺım an = 0.

Sección 3 Operaciones con ĺımites 33

Ejemplo 12. La sucesión cuyo término general es

an = 1 + 1 +1

2!+ · · ·+ 1

n!

es, evidentemente, creciente. También está acotada pues

2 ≤ an ≤ 1 + 1 +1

2+

1

22+ · · ·+ 1

2n< 3.

Escribimos e = ĺım an. El número e es una de las constantesmás importantes del Análisis Matemático. Como acabamos de ver,se tiene 2 < e ≤ 3. En realidad la expresión de e con sus cuatroprimeros decimales es e = 2, 7182.

Ejemplo 13. Consideremos la sucesión cuyo término general esbn = (1 + 1/n)

n = [(n + 1)/n]n. Por la fórmula del binomio deNewton:

bn = 1 +n · 1n

+n(n− 1)

2!

1

n2+ · · ·+ n(n− 1)(n− 2) · · ·1

n!

1

nn

= 1 + 1 +1

2!

(

1− 1n

)

− 13!

(

1− 1n

)(

1− 2n

)

+ · · ·+ 1n!

(

1− 1n

)

· · ·(

1− n− 1n

)

.

Luego bn es una suma donde todos los sumandos son positivos.El número de sumandos, aśı como cada una de ellos, crece con n.Por tanto la sucesión (bn) es estrictamente creciente. Es claro quebn < an (ver el Ejemplo 12). Se sigue que bn < 3 para todo n ∈ N.Afirmamos que ĺım bn = ĺım an. En efecto, si n > p:

bn ≥ 1+1+1

2!

(

1− 1n

)

+· · ·+ 1p!

(

1− 1n

)(

1− 2n

)

· · ·(

1− p− 1n

)

.

Tomando un p cualquiera y haciendo n→ ∞, de la última desigual-dad obtenemos ĺım

n→∞bn ≥ 1+

1

2!+· · ·+ 1

p!= ap. Como esta desigual-

dad es válida para todo p ∈ N, se sigue que ĺımn→∞

bn ≥ ĺımp→∞

ap = e.

Pero como ya hemos visto que ba < an para todo n ∈ N, entoncesĺım bn ≤ ĺım an. Esto completa la prueba de ĺım bn = e.

34 Sucesiones de números reales Cap. 3

Ejemplo 14. Consideremos la sucesión cuyo n-ésimo término esxn = n

√n = n1/n. Tenemos xn ≥ 1 para todo n ∈ N. Esta sucesión

es estrictamente decreciente a partir del tercer término. En efecto,la desigualdad n

√n > n+1

√n + 1 es equivalente a nn+1 > (n + 1)n,

esto es, n > (1+1/n)n, que es verdad si n ≥ 3 pues, como acabamosde ver, (1+ 1/n)n < 3 para todo n. Por tanto existe L = ĺımn1/n yse tiene L ≥ 1. Consideremos la subsucesión (2n)1/2n tenemos:

L2 = ĺım[(2n)1/2n]2 = ĺım[21/n · n1/n] = ĺım 21/n · ĺımn1/n = L,

(cfr. Ejemplo 10.) Como L 6= 0, de L2 = L resulta L = 1. Conclui-mos por tanto que ĺım n

√n = 1.

Ejemplo 15. (Aproximaciones sucesivas de la ráız cuadrada.)El siguiente método iterativo para obtener, con error tan pequeñocuanto se desee, ráıces cuadradas de un número real a > 0 yaera conocido por lo babilonios 17 siglos antes de la era cristiana.Se toma de forma arbitraria un valor x1 > 0 y se define induc-tivamente xn+1 = [xn + a/xn]/2. Para demostrar que la sucesión(xn) aśı obtenida converge a

√a primero observamos que, para

todo x 6= 0, se tiene [x + a/x]2 ≥ 4a. En efecto, desarrollandoel cuadrado y pasando 4a al primer término, vemos que esta de-sigualdad es equivalente a afirmar que (x − a/x)2 ≥ 0, lo quees obvio. De aqúı resulta x2n+1 = [xn + a/xn]

2/4 ≥ a para todon ∈ N. Además, si x2 ≥ a entonces [x + a/x]2/4 = x2. En efecto,a ≤ x2 ⇒ [x + a/x]2/4 ≤ [x + x2/x]2/4 = x2. Como x2n+1 ≥ apara todo n, se sigue que x2n+2 ≤ x2n+1, luego xn+2 ≤ xn+1, puesestos números son ≥ 0. Por lo tanto, inclusive si x1 <

√a, siem-

pre se cumple x2 ≥ x3 ≥ x4 ≥ · · · , con x2n+1 ≥ a para todo n.Por lo tanto, existe c = ĺım xn. Haciendo n → ∞ en la igual-dad xn+1 = [xn + a/xn]/2 obtenemos c = [c + a/c]/2, de dondec2 = a, esto es ĺım xn =

√a. Aśı vemos que todo número real

a > 0 posee una ráız cuadrada real. Más aún, el proceso iterativoxn+1 = [xn + a/xn]/2 muestra rápidamente buenas aproximacionesde

√a, como se puede verificar tomando ejemplos concretos.

4. Ĺımites infinitos

Dada una sucesión (xn), se dice que “el ĺımite de xn es más infi-nito” y se escribe ĺım xn = +∞, para significar que, dado cualquier

Sección 4 Ĺımites infinitos 35

A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn > A.

Análogamente, ĺım xn = −∞ significa que, para todo A > 0dado, se puede encontrar n0 tal que n > n0 ⇒ xn < −A.

Se debe enfatizar que +∞ y −∞ no son números y que, siĺım xn = +∞ y ĺım ym = −∞, las sucesiones (xn) e (yn) no sonconvergentes.

Como ĺım(xn) = +∞ ⇔ ĺım(−xn) = −∞, limitaremos nuestroscomentarios al primer caso.

Si ĺım xn = +∞ entonces la sucesión (xn) no está acotadasuperiormente. El rećıproco es falso. La sucesión dada por xn =n+(−1)nn no está acotada superiormente, sin embargo no se tieneĺım xn = +∞, pues x2n−1 = 0 para todo n ∈ N. No obstante si (xn)es creciente, entonces (xn) no es acotada ⇒ ĺım xn = +∞.

En el Ejemplo 1 demostramos que las potencias a, a2, a3, . . . deun número a > 1 forman una sucesión que no está acotada y real-mente probamos que ĺım an = +∞.

Teorema 9.

(1) Si ĺım xn = +∞ y (yn) está acotada inferiormente entoncesĺım(xn + yn) = +∞.

(2) Si ĺımxn = +∞ y existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ Nentonces ĺım(xnyn) = +∞.

(3) Si xn > c > 0, yn > 0 para todo n ∈ N y ĺım yn = 0 entoncesĺım xn

yn= +∞.

(4) Si (xn) está acotada y ĺım(yn) = +∞ entonces ĺım xnyn = 0.

Demostración: (1) Existe c ∈ R tal que yn ≥ c para todo n ∈ N.Dado cualquier A >=, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn >a − c. Se sigue que n > n0 ⇒ xn + yn > A − c + c = A. Luegoĺım(xn + yn) = +∞.(2) Dado cualquier A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn >A/c. Luego n > n0 ⇒ xnyn > (A/c) · c = A, de donde ĺım(xnyn) =

36 Sucesiones de números reales Cap. 3

+∞.(3) Dado A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ yn < c/a. Entoncesn > n0 ⇒ xn/yn > c · A/c = A, de donde ĺım(xn/yn) = +∞.(4) Existe c > 0 tal que |xn| ≤ c para todo n ∈ N. Dado cualquierε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ yn > c/ε. Entoncesn > n0 ⇒ |xn/yn| < c · ε/c = ε, luego ĺım(xn/yn) = 0.

Las hipótesis de los diversos apartados del teorema anterior tie-nen por objeto evitar algunas de las llamadas “expresiones indeter-minadas”. En el apartado (1) se intenta evitar la expresión +∞−∞.De hecho, si ĺım(xn) = +∞ y ĺım(yn) = −∞ nada puede afirmarsesobre ĺım(xn+ yn). Este ĺımite puede no existir (como en el caso enque xn = n+ (−1)n e yn = −n), puede ser igual a +∞ (si xn = 2ne yn = −n), puede ser −∞ (tome xn = n e yn = −2n) o puede serun valor cualquiera c ∈ R (por ejemplo, xn = n + c e yn = −n).Debido a este compartamiento errático, se dice que +∞ − ∞ esuna expresión indeterminada. En los apartados (2), (3) y (4), lashipótesis excluyen los ĺımites del tipo 0 × ∞ (también evitado enel Teorema 7), 0/0 y ∞/∞, respectivamente, que constituyen ex-presiones indeterminadas en el sentido que acabamos de explicar.Otras expresiones indeterminadas frecuentes son ∞0, 1∞ y 00.

Los ĺımites más importantes del Análisis Matemático casi siem-pre aparecen en forma de expresiones indeterminadas. Por ejemplo,el número e = ĺım

n→∞(1 + 1/n)n es de la forma 1∞. Y, como veremos

más adelante, la derivada es un ĺımite del tipo 0/0.

Proseguimos con una afirmación sobre el orden de magnitud. Sik ∈ N y a es un número real > 1 entonces ĺım

n→∞nk = ĺım

n→∞an =

ĺımn→∞

n! = ĺımn→∞

nn. Todas estas sucesiones tienen ĺımite infinito. El

Ejemplo 9 nos dice que, para valores muy grandes de n, tenemosnk ≪ an ≪ n! ≪ nn, donde el śımbolo ≪ quiere decir “es una frac-ción muy pequeña de” o “es insignificante en comparación con”.Por eso se dice que el crecimiento exponencial supera al polinomial,el crecimiento factorial supera al exponencial con base constantepero es superado por el crecimiento exponencial con base creciente.Por otro lado, el crecimiento de nk (inclusive cuando k = 1) superaal crecimiento logaŕıtmico, como demostraremos a continuación.

Sección 5 Ejercicios 37

En el Caṕıtulo 9 probaremos la existencia de una función es-trictamente creciente log : R+ → R, tal que log(xy) = log x+ log yy log x < x para cualesquiera x, y ∈ R+. De aqúı resulta quelog x = log(

√x · √x) = 2 log√x, de donde log√x = (log x)/2.

Además, log x = log 1 + log x, de donde log 1 = 0. Como log es es-trictamente creciente, se tiene log x > 0 para todo x > 1. Tambiénse cumple log(2n) = n log(2), por tanto ĺım

n→∞log(2n) = +∞. Como

log es creciente, se sigue ĺımn→∞

log n = +∞.

Probaremos ahora que ĺımn→∞

logn

n= 0.

Para todo n ∈ N, tenemos log√n < √n. Como log√n =12logn, se deduce que logn < 2

√n. Dividiendo por n resulta que

0 < log n/n < 2/√n. Haciendo n→ ∞ se tiene ĺım

n→∞

logn

n= 0.

5. Ejercicios

Sección 1: Ĺımite de una sucesión.

1. Se dice que una sucesión (xn) es periódica cuando existe p ∈ Ntal que xn+p = xn para todo n ∈ N. Pruebe que toda sucesiónperiódica convergente es constante.

2. Dadas las sucesiones (xn) e (yn), defina (zn) como z2n−1 = xn yz2n = yn. Pruebe que si ĺım xn = ĺım yn = a entonces ĺım zn = a.

3. Pruebe que si ĺım xn = a entonces ĺım |xn| = |a|.

4. Si una sucesión monótona tiene una subsucesión convergente,pruebe que entonces la propia sucesión es convergente.

5. Un número a se llama valor de adherencia de la sucesión (xn)cuando es el ĺımite de alguna subsucesión de (xn). Para cada unade los conjuntos A,B y C dados a continuación encuentre suce-siones que tengan dichos conjuntos como valores de adherencia:A = {1, 2, 3}, B = N, C = [0, 1].

6. Para que un número real a sea valor de adherencia de la sucesión(xn) es necesario y suficiente que, para todo ε > 0 y k ∈ N, existan > k tal que |xn − a| < ε.

38 Sucesiones de números reales Cap. 3

7. Para que un número real b no sea valor de adherencia de lasucesión (xn) es necesario y suficiente que exista n0 ∈ N y ε > 0tales que n > n0 ⇒ |xn − b| ≥ ε.

Sección 2: Ĺımites y desigualdades

1. Si ĺımxn = a, ĺım yn = b y |xn−yn| ≥ ε para todo n ∈ N, pruebeque entonces |a− b| ≥ ε.

2. Sean ĺım xn = a y ĺım yn = b. Pruebe que si a > b entonces existen0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn < yn.

3. Si el número real a no es el ĺımite de la sucesión acotada (xn),pruebe que existe alguna subsucesión convergente de (xn) conĺımite b 6= a.

4. Pruebe que una sucesión acotada es convergente si, y sólo si,posee un único valor de adherencia.

5. ¿Cuáles son los valores de adherencia de la sucesión (xn) definidapor x2n−1 = n y x2n = 1/n? ¿Es esta sucesión convergente?

6. Dados a, b ∈ R+ defina inductivamente las sucesiones (xn) e(yn) como x1 =

√ab, y1 = (a + b)/2 y xn+1 =

√xnyn, yn+1 =

(xn + yn)/2. Pruebe que (xn) e (yn) convergen al mismo ĺımite.

7. Se dice que (xn) es una sucesión de Cauchy cuando, para todoε > 0, existe n0 ∈ N tal que m,n > n0 ⇒ |xm − xn| < ε.

(a) Pruebe que toda sucesión de Cauchy está acotada.

(b) Pruebe que una sucesión de Cauchy no puede tener dos va-lores de adherencia distintos.

(c) Pruebe que una sucesión (xn) es convergente si, y sólo si, esde Cauchy.

Sección 3: Operaciones con ĺımites

1. Pruebe que, para todo p ∈ N, se tiene ĺımn→∞

n+p√n = 1.

2. Si existen ε > 0 y k ∈ N tales que ε ≤ xn ≤ nk para todo nsuficientemente grande, pruebe que ĺım n

√xn = 1. Use esto para

calcular ĺımn→∞

n√n + k, ĺım

n→∞n

√

n√n, ĺım

n→∞n√

log n y ĺımn→∞

n√

n logn.

Sección 5 Ejercicios 39

3. Dado a > 0, defina inductivamente la sucesión (xn) mediantex1 =

√a y xn+1 =

√a + xn. Pruebe que (xn) es convergente y

calcule su ĺımite:

L =

√

a+

√

a+√a + · · ·

4. Sea en = (xn −√a)/

√a el error relativo de la n-ésima etapa

del cálculo de√a. Pruebe que en+1 = e

2n/2(1 + en). Concluya

que en ≤ 0, 01 ⇒ en+1 ≤ 0, 00005 ⇒ en+2 ≤ 0, 00000000125 yobserve la rapidez de la convergencia del método.

5. Dado a > 0, defina inductivamente la sucesión (xn) como x1 =1/a y xn+1 = 1/(a + xn). Considere c la ráız positiva de laecuación x2 + ax − 1 = 0, el único número positivo tal quec = 1/(a + c). Suponga que x1 < c (El caso x1 > c se puedetratar de forma análoga). Pruebe que x1 < x3 < · · · < x2n−1 <· · · < c < · · · < x2n < · · · < x4 < x2 y que ĺım xn = c. El númeroc se puede considerar como la suma de la fracción continua:

1

a+1

a+1

a +1

a+ . . .

6. Dado a > 0, defina inductivamente la sucesión (yn) mediantey1 = a e yn+1 = a + 1/yn. Demuestre que ĺım yn = a + c, dondec está definido como en el ejercicio anterior.

7. Defina la sucesión (an) inductivamente como a1 = a2 = 1 yan+1 = an+1 + an para todo n ∈ N. Escriba xn = an/an+1 ypruebe que ĺım xn = a, donde a es el único número positivo talque 1/(a + 1) = a. El término an se llama n-ésimo número deFibonacci y a = (−1+

√5)/2 es el número de oro de la Geometŕıa

Clásica.

Sección 4: Ĺımites infinitos

1. Pruebe que ĺım n√n = +∞.

40 Sucesiones de números reales Cap. 3

2. Si ĺım xn = +∞ y a ∈ R, pruebe que:

ĺımn→∞

[√

log(xn + a)− log√xn] = 0 .

3. Dados k ∈ N y A > 1, determine el ĺımn→∞

n!

nk · an . Suponiendo

que a > 1 y a 6= e, calcule ĺımn→∞

an · n!nn

y ĺımn→∞

nk · an · n!nn

.

4. Demuestre que ĺımn→∞

log(n+ 1)/ log(n) = 1.

5. Sean (xn) cualquier sucesión y (yn) una sucesión estrictamen-te creciente tal que ĺım yn = +∞. Suponiendo que ĺım(xn+1 −xn)/(yn+1 − yn) = a, pruebe que ĺım xn/yn = a. Concluya quesi ĺım(xn+1 − xn) = a entonces ĺım xn/n = a. En particular, deĺım log(1 + 1/n) = 0, concluya que ĺım(logn)/n = 0.

6. Si ĺım xn = a y (tn) es una sucesión de números positivos talque:

ĺım(t1 + · · ·+ tn) = +∞ ,entonces pruebe que:

ĺımt1x1 + · · ·+ tnxnt1 + · · ·+ tn

= a .

En particular, si yn =x1+···+xn

n, también se tiene ĺım yn = a.

4

Series de números

Una serie es una suma s = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · con un númeroinfinito de sumandos. Para que esto tenga sentido escribiremos s =ĺımn→∞

(a1 + · · ·+ an). Como todo ĺımite, éste puede existir o no. Poreso hay series convergentes y divergentes. Aprender a distingir lasunas de las otras es el objetivo principal de este caṕıtulo.

1. Series convergentes

A partir de una sucesión (an) de números reales dada formamosuna nueva sucesión (sn), donde

s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . , sn = a1 + a2 + · · ·+ an, etc .

Los números sn se llaman sumas parciales de la serie∑

an. Elsumando an es el n-ésimo término o término general de la serie.

Cuando existe el ĺımite s = ĺımn→∞

sn, decimos que la serie∑

an

es convergente y s =∑

an =∑∞

n=1 an = a1 + a2 + · · · + an + · · ·se llama suma de la serie. Si ĺım sn no existe decimos que

∑

an esuna serie divergente.

A veces es conveniente considerar series del tipo∑∞

n=0 an queempiezan en a0 en vez de a1.

Ejemplo 1. Como ya hemos visto (Ejemplos 11 y 12, Caṕıtulo 3),cuando |a| < 1 la serie geométrica 1 + a + a2 + · · · + an + · · · esconvergente y su suma es 1/(1 − a) y la serie 1 + 1 + 1/2! + · · ·+1/n! + · · · también es convergente, y su suma es igual a e.

41

42 Series de números Cap. 4

Ejemplo 2. La serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , cuyo término general es(−1)n+1, es divergente, pues la suma parcial sn es cero si n es par,e igual a 1 si n es impar. Por lo tanto no existe ĺım sn.

Ejemplo 3. La serie∑

1/n(n + 1), cuyo término general es an =1/n(n+ 1) = 1/n− 1/(n+ 1), tiene como n-ésima suma parcial:

sn =

(

1 +1

2

)

+

(

1

2− 1

3

)

+ · · ·+(

1

n− 1n+ 1

)

= 1− 1n+ 1

.

Por lo tanto ĺım sn = 1, esto es,∑

1/n(n+ 1) = 1.

Si an ≥ 0 para todo n ∈ N, las sumas parciales de la serie∑

anforman una sucesión creciente. Por lo tanto una serie

∑

an cuyostérminos no son negativos, converge si, y sólo si, existe una cons-tante k tal que a1+· · ·+an ≤ k para todo n ∈ N. Por esto usaremosla notación

∑

an < +∞ para expresar que la serie∑

an, tal quean ≥ 0, es convergente.

Si an ≥ 0 para todo n ∈ N y (a′n) es una subsucesión de (an)entonces

∑

an < +∞ implica∑

a′n < +∞.Ejemplo 4. (La serie armónica) La serie

∑

1/n es divergente.De hecho, si

∑

1n

= s fuese convergente entonces∑

12n

= t y∑

12n−1 = u también lo seŕıan. Además sn = tn + un, haciendo

n → ∞ tendŕıamos s = t + u. Pero t =∑

12n

= 12

∑

1n= s

2, por lo

tanto u = t = s2.

Por otra parte

u− t = ĺımn→∞

(un − tn)

= ĺımn→∞

[(

1− 12

)

+

(

1

3− 1

4

)

+ · · ·+(

1

2n− 1 −1

2n

)]

= ĺımn→∞

(

1

1 · 2 +1

3 · 4 + · · ·+1

(2n− 1)2n

)

> 0 ,

luego u > t. Lo que nos da una contradicción.

Teorema 1. (Criterio de comparación) Sean∑

an y∑

bnseries de términos mayores o iguales a 0. Si existen c > 0 y n0 ∈ Ntales que an ≤ cbn, para todo n > n0, entonces la convergenciade∑

bn implica la de∑

an, mientras que la divergencia de∑

animplica la de

∑

bn.

Sección 1 Series convergentes 43

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que an ≤ cbn paratodo n ∈ N.

Demostración: Las sumas parciales sn y tn, de∑

an y∑

bn res-pectivamente, forman sucesiones crecientes tales que sn ≤ ctn paratodo n > n0. Como c > 0, (tn) acotada implica (sn) acota