analise real vol. 1 - elon (latex)

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Prefacio

A finalidade deste livro e servir de texto para um primeiro curso deAnalise Matematica. Os assuntos nele tratados sao expostos de ma-neira simples e direta, evitando-se maiores digressoes. Assim, esperofacilitar o trabalho do professor que, ao adota-lo, nao precisara perdermuito tempo selecionando os topicos que ensinara e os que vai omitir.Turmas especiais, estudantes com mais experiencia, leitores que desejemuma apresentacao mais completa ou alunos em busca de leituras com-plementares poderao consultar o Curso de Analise, vol. 1, que tratade materia semelhante sob forma mais abrangente e e aproximadamenteduas vezes mais longo.

Os leitores que tenho em mente sao alunos com conhecimento equi-valente a dois perodos letivos de Calculo, de modo a terem familiaridadecom as ideias de derivada e integral em seus aspectos mais elementares,principalmente o calculo das funcoes mais conhecidas e a resolucao deexerccios simples. Espero, alem disso, que eles tenham uma nocao ra-zoavelmente clara do que seja uma demonstracao matematica. A listade pre-requisitos termina dizendo que o leitor deve estar habituado a`snotacoes costumeiras sobre conjuntos, tais como x A, A B, A Be A B, etc.

Uma parte importante do livro sao seus 268 exerccios. Eles servempara fixacao da aprendizagem, desenvolvimento de alguns temas esbo-cados no texto e como oportunidade para o leitor verificar se realmenteentendeu o que acabou de ler. Solucoes de 194 desses exerccios, deforma completa ou resumida, sao apresentadas no captulo final. Na-turalmente, gostaria que o recurso a`s solucoes que ofereco fosse feitosomente depois de um serio esforco para resolver cada problema. Eprecisamente esse esforco que, bem ou mal sucedido, conduz ao exito noprocesso de treinamento.

O processamento do manuscrito, pelo sistema TEX foi feito por Ma-ria Celano Maia e Solange Villar Visgueiro, sob a supervisao de Jonasde Miranda Gomes, ao qual devo varios conselhos e opinioes sensatas

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durante a preparacao do livro. A revisao do texto foi feita por LeviLopes de Lima, Ricardo Galdo Camelier e Rui Tojeiro. A todas estaspessoas, meus agradecimentos cordiais.

A publicacao deste livro foi financiada pela CAPES, a cujo DiretorGeral, professor Jose Ubyrajara Alves, muito devo pelo apoio e compre-ensao demonstrados.

Rio de Janeiro, agosto de 1989

Elon Lages Lima

Prefacio das edicoes posteriores

As sucessivas edicoes deste livro se beneficiaram de sugestoes e cor-recoes feitas por diversos colegas e estudantes que o utilizaram. A todosesses colaboradores, dentre os quais destaco Lorenzo Diaz, FlorencioGuimaraes, Aryana Cavalcante e Carlos Eduardo Belchior, meus agra-decimentos, extensivos a Rogerio Dias Trindade, que redigitou todo otexto para a decima edicao e a Maria Celano Maia e Priscilla Pomateli,que fizeram a revisao final. A decima primeira edicao recebeu maisalguns acrescimos e esclarecimentos.

Rio de Janeiro, marco de 2011

Elon Lages Lima

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Conteudo

Captulo 1. Conjuntos Finitos e Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Numeros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4. Conjuntos enumeraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Captulo 2. Numeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1. R e um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. R e um corpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. R e um corpo ordenado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

4. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Captulo 3. Sequencias de Numeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1. Limite de uma sequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Operacoes com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

5. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Captulo 4. Series Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

3. Testes de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4. Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Captulo 5. Algumas Nocoes Topologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1. Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

2. Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3. Pontos de acumulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

4. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5. O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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Captulo 6. Limites de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1. Definicao e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2. Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3. Limites no infinito, limites infinitos, expressoes indeterminadas . . . . 70

4. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Captulo 7. Funcoes Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1. Definicao e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2. Funcoes contnuas num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3. Funcoes contnuas em conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

4. Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Captulo 8. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1. A nocao de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2. Regras operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3. Derivada e crescimento local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4. Funcoes derivaveis num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Captulo 9. Formula de Taylor e Aplicacoes da Derivada . . . . . . 104

1. Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2. Funcoes convexas e concavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3. Aproximacoes sucessivas e metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

Captulo 10. A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

1. Revisao sobre sup e inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3. Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4. Condicoes suficientes de integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

Captulo 11. Calculo com Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1. Os teoremas classicos do Calculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2. A integral como limite de somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3. Logaritmos e exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4. Integrais improprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

5. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

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Captulo 12. Sequencias e Series de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

1. Convergencia simples e convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562. Propriedades da convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1593. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644. Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1696. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

Captulo 13. Sugestoes e Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

Sugestoes de Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Indice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

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Conjuntos Finitos e Infinitos

Neste captulo, sera estabelecida com precisao a diferenca entre con-junto finito e conjunto infinito. Sera feita tambem a distincao entreconjunto enumeravel e conjunto nao-enumeravel. O ponto de partida eo conjunto dos numeros naturais.

1 Numeros naturais

O conjunto N dos numeros naturais e caracterizado pelos seguintes fatos:

1. Existe uma funcao injetiva s : N N. A imagem s(n) de cadanumero natural n N chama-se o sucessor de n.

2. Existe um unico numero natural 1 N tal que 1 6= s(n) para todon N.

3. Se um conjunto X N e tal que 1 X e s(X) X (isto e,n X s(n) X) entao X = N.

Estas afirmacoes podem ser reformuladas assim:

1. Todo numero natural tem um sucessor, que ainda e um numeronatural; numeros diferentes tem sucessores diferentes.

2. Existe um unico numero natural 1 que nao e sucessor de nenhumoutro.

3. Se um conjunto de numeros naturais contem o numero 1 e contemtambem o sucessor de cada um dos seus elementos, entao esseconjunto contem todos os numeros naturais.

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2 Conjuntos Finitos e Infinitos Cap. 1

As propriedades 1, 2, 3 acima chamam-se os axiomas de Peano. Oaxioma 3 e conhecido como o princpio da inducao. Intuitivamente,ele significa que todo numero natural n pode ser obtido a partir de 1,tomando-se seu successor s(1), o sucessor deste, s(s(1)), e assim por di-ante, com um numero finito de etapas. (Evidentemente numero finitoe uma expressao que, neste momento, nao tem ainda significado. A for-mulacao do axioma 3 e uma maneira extremamente habil de evitar apeticao de princpio ate que a nocao de conjunto finito seja esclarecida.)

O princpio da inducao serve de base para um metodo de demons-tracao de teoremas sobre numero naturais, conhecido como o metodo deinducao (ou recorrencia), o qual funciona assim: se uma propriedadeP e valida para o numero 1 e se, supondo P valida para o numero n daresultar que P e valida tambem para seu sucessor s(n), entao P e validapara todos os numeros naturais.

Como exemplo de demonstracao por inducao, provemos que, paratodo n N, tem-se s(n) 6= n. Esta afirmacao e verdadeira para n = 1porque, pelo axioma 2, tem-se 1 6= s(n) para todo n logo, em particular,1 6= s(1). Supondo-a verdadeira para um certo n N, vale n 6= s(n).Como a funcao s e injetiva, da resulta s(n) 6= s(s(n)), isto e, a afirmacaoe verdadeira para s(n).

No conjunto N dos numeros naturais sao definidas duas operacoesfundamentais: a adicao, que associa a cada par de numeros (m,n) suasoma m + n, e a multiplicacao, que faz corresponder ao par (m,n) seuproduto m n. Essas operacoes sao caracterizadas pelas seguintes igual-dades, que lhes servem de definicao:

m+ 1 = s(m);

m+ s(n) = s(m+ n), isto e, m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1;

m 1 = m;m (n+ 1) = m n+m.

Noutros termos: somar 1 a m significa tomar o sucessor de m. Ese ja conhecemos a soma m + n tambem conheceremos m + (n + 1),que e o sucessor de m + n. Quanto a` multiplicacao: multiplicar por 1nao altera o numero. E se conhecemos o produto m n, conheceremosm (n + 1) = m n +m. A demonstracao da existencia das operacoes+ e com as propriedades acima, bem como sua unicidade, se fazpor inducao. Os detalhes serao omitidos aqui. O leitor interessado pode

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Secao 1 Numeros naturais 3

consultar o Curso de Analise, vol. 1, ou as referencias bibliograficas alicontidas, onde sao demonstradas (por inducao) as seguintes propriedadesda adicao e da multiplicacao:

associatividade: (m+ n) + p = m+ (n+ p), m (n p) = (m n) p;distributividade: m (n+ p) = m n+m p;comutatividade: m+ n = n+m, m n = n m;lei do corte: n+m = p+m n = p, n m = p m n = p.

Como exemplo, provemos a lei do corte para a adicao. Usaremosinducao em m. Ela vale para m = 1 pois n + 1 = p + 1 significas(n) = s(p), logo n = p pela injetividade de s. Admitindo-a valida param, suponhamos que n + m + 1 = p + m + 1. Entao, novamente pelainjetividade de s, tem-se n+m = p+m donde, pela hipotese de inducao,n = p.

Dados os numeros naturais m,n, escreve-se m < n quando existep N tal que n = m + p. Diz-se entao que m e menor do que n. Anotacao m n significa que m < n ou m = n. Prova-se que m < n, n

1, a restricao de f a In1 euma bijecao sobre X {a}, logo X {a} e finito e tem n 1 elementos.O caso geral se prova por inducao no numero n de elementos de X. Ele eevidente quando X = ou n = 1. Supondo o Teorema verdadeiro paraconjuntos com n elementos, sejam X um conjunto com n+ 1 elementose Y um subconjunto de X. Se Y = X, nada ha o que provar. Casocontrario, existe a X com a / Y . Entao, na realidade, Y X {a}.Como X {a} tem n elementos, segue-se que Y e finito.Corolario 1. Dada f : X Y , se Y e finito e f e injetiva entao X efinito; se X e finito e f e sobrejetiva entao Y e finito.

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Com efeito, se f e injetiva entao ela e uma bijecao de X sobre umsubconjunto f(X) do conjunto finito Y . Por outro lado, se f e so-brejetiva e X e finito entao, para cada y Y podemos escolher umx = g(y) X tal que f(x) = y. Isto define uma aplicacao g : Y X talque f(g(y)) = y para todo y Y . Segue-se que g e injetiva logo, peloque acabamos de provar, Y e finito.

Um subconjunto X N diz-se limitado quando existe p N tal quex p para todo x X.Corolario 2. Um subconjunto X N e finito se, e somente se, elimitado.

Com efeito, se X = {x1, . . . , xn} N e finito, pondo p = x1+ +xnvemos que x X x p logoX e limitado. Reciprocamente, seX Ne limitado entao X Ip para algum p N, segue-se pois do Teorema 2que X e finito.

3 Conjuntos infinitos

Diz-se que um conjunto e infinito quando nao e finito. Assim, X einfinito quando nao e vazio nem existe, seja qual for n N, uma bijecaof : In X.

Por exemplo, o conjunto N dos numeros naturais e infinito, em vir-tude do Corolario 2 do Teorema 2. Pelo mesmo motivo, se k N entaoo conjunto k N dos multiplos de k e infinito.Teorema 3. Se X e um conjunto infinito, entao existe uma aplicacaoinjetiva f : N X.Demonstracao: Para cada subconjunto nao-vazio A X, escolhemosum elemento xA A. Em seguida, definimos f : N X indutivamente.Pomos f(1) = xX e, supondo ja definidos f(1), . . . , f(n), escrevemosAn = X {f(1), . . . , f(n)}. Como X e infinito, An nao e vazio. Defi-nimos entao f(n + 1) = xAn . Isto completa a definicao de f . Paraprovar que f e injetiva, sejam m,n N, digamos com m < n. Entaof(m) {f(1), . . . , f(n 1)} enquanto f(n) X {f(1), . . . , f(n 1)}.Logo f(m) 6= f(n).Corolario. Um conjunto X e infinito se, e somente se, existe umabijecao : X Y sobre um subconjunto proprio Y X.

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Secao 4 Conjuntos enumeraveis 7

Com efeito, sejam X infinito e f : N X uma aplicacao injetiva.Escrevamos, para cada n N, f(n) = xn . Consideremos o subconjuntoproprio Y = X {x1}. Definamos a bijecao : X Y pondo (x) = xse x nao e um dos xn e (xn) = xn+1 (n N). Reciprocamente, seexiste uma bijecao de X sobre um seu subconjunto proprio entao X einfinito, em virtude do Corolario 3 do Teorema 1.

Se N1 = N{1} entao : N N1 , (n) = n+1, e uma bijecao de Nsobre seu subconjunto N1 = {2, 3, . . . }. Mais geralmente, fixando p Npodemos considerar Np = {p+1, p+2, . . . } e definir a bijecao : N Np ,(n) = n + p. Fenomenos desse tipo ja tinham sido observados porGalileu, que foi o primeiro a notar que ha tantos numeros pares quantosnumeros naturais, mostrando que se P = {2, 4, 6, . . . } e o conjunto dosnumeros pares entao : N P , dada por (n) = 2n, e uma bijecao.Evidentemente, se I = {1, 3, 5, . . . } e o conjunto dos numeros mpares,entao : N I, com (n) = 2n 1, tambem e uma bijecao. Nestesdois ultimos exemplos, N P = I e N I = P sao infinitos, enquantoN Np = {1, 2, . . . , p} e finito.

4 Conjuntos enumeraveis

Um conjunto X diz-se enumeravel quando e finito ou quando existeuma bijecao f : N X. Neste caso, f chama-se uma enumeracao doselementos de X. Escrevendo f(1) = x1 , f(2) = x2, . . . , f(n) = xn, . . .tem-se entao X = {x1, x2, . . . , xn, . . . }.Teorema 4. Todo subconjunto X N e enumeravel.Demonstracao: Se X e finito, nada ha para demonstrar. Caso con-trario, enumeramos os elementos de X pondo x1 = menor elementode X, e supondo definidos x1 < x2 < < xn , escrevemos An =X {x1, . . . , xn}. Observando que An 6= , pois X e infinito, defi-nimos xn+1 = menor elemento de An . Entao X = {x1, x2, . . . , xn, . . . }.Com efeito, se existisse algum elemento x X diferente de todos osxn , teramos x An para todo n N, logo x seria um numero naturalmaior do que todos os elementos do conjunto infinito {x1, . . . , xn, . . . },contrariando o Corolario 2 do Teorema 2.

Corolario 1. Seja f : X Y injetiva. Se Y e enumeravel entao Xtambem e. Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumeravele enumeravel.

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Com efeito, basta considerar o caso em que existe uma bijecao : Y N. Entao f : X N e uma bijecao de X sobre um subcon-junto de N, o qual e enumeravel, pelo Teorema 4. No caso particular deX Y , tomamos f : X Y igual a` aplicacao de inclusao.Corolario 2. Seja f : X Y sobrejetiva. Se X e enumeravel entao Ytambem e.

Com efeito, para cada y Y podemos escolher um x = g(y) X talque f(x) = y. Isto define uma aplicacao g : Y X tal que f(g(y)) = ypara todo y Y . Segue-se da que g e injetiva. Pelo Corolario 1, Y eenumeravel.

Corolario 3. O produto cartesiano de dois conjuntos enumeraveis e umconjunto enumeravel.

Com efeito, se X e Y sao enumeraveis entao existem sobrejecoesf : N X e g : N Y , logo : N N X Y , dada por (m,n) =(f(m), g(n)) e sobrejetiva. Portanto, basta provar que N N e enu-meravel. Para isto, consideremos a aplicacao : N N N, dada por(m,n) = 2m 3n. Pela unicidade da decomposicao de um numero emfatores primos, e injetiva. Segue-se que N N e enumeravel.Corolario 4. A reuniao de uma famlia enumeravel de conjuntos enu-meraveis e enumeravel.

Com efeito, dados X1, X2, . . . , Xn, . . . enumeraveis, existem sobreje-coes f1 : N X1 , f2 : N X2, . . . , fn : N Xn, . . . . Tomando X =n=1Xn , definimos a sobrejecao f : NN X pondo f(m,n) = fn(m).

O caso de uma reuniao finita X = X1 Xn reduz-se ao anteriorporque entao X = X1 Xn Xn .

O Teorema 3 acima significa que o enumeravel e o menor dosinfinitos. Com efeito, ele pode ser reformulado assim:

Todo conjunto infinito contem um subconjunto infinito enumeravel.

Exemplo 1. O conjunto Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . . } dos numerosinteiros e enumeravel. Uma bijecao f : N Z pode ser definida pondof(n) = (n 1)/2 para n mpar e f(n) = n/2 para n par.Exemplo 2. O conjunto Q = {m/n;m,n Z, n 6= 0} dos numerosracionais e enumeravel. Com efeito, escrevendo Z = Z{0}, podemosdefinir uma funcao sobrejetiva f : Z Z Q pondo f(m,n) = m/n.

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Secao 5 Exerccios 9

Exemplo 3. (Um conjunto nao-enumeravel.) Seja S o conjunto de to-das as sequencias infinitas, como s = (0 1 1 0 0 0 1 0 . . . ), formadas comos smbolos 0 e 1. Noutras palavras, S e o conjunto de todas as funcoess : N {0, 1}. Para cada n N, o valor s(n), igual a 0 ou 1, e o n-esimotermo da sequencia s. Afirmamos que nenhum subconjunto enumeravelX = {s1, s2, . . . , sn, . . . } S e igual a S. Com efeito, dado X, indique-mos com snm o n-esimo termo da sequencia sm X. Formamos umanova sequencia s S tomando o n-esimo termo de s igual a 0 se forsnn = 1, ou igual a 1 se for snn = 0. A sequencia s

nao pertence aoconjunto X porque seu n-esimo termo e diferente do n-esimo termo desn . (Este raciocnio, devido a G. Cantor, e conhecido como metodo dadiagonal.)

No captulo seguinte mostraremos que o conjunto R dos numerosreais nao e enumeravel.

5 Exerccios

Secao 1: Numeros naturais

1. Usando inducao, prove:

(a) 1 + 2 + + n = n(n+ 1)/2;(b) 1 + 3 + 5 + + 2n 1 = n2.

2. Dados m,n N com n > m, prove que ou n e multiplo de m ouexistem q, r N tais que n = mq+ r e r < m. Prove que q e r saounicos com esta propriedade.

3. Seja X N um subconjunto nao-vazio tal que m,n X m,m + n X. Prove que existe k N tal que X e o conjunto dosmultiplos de k.

4. Prove que, no segundo axioma de Peano, a palavra unico eredundante (admitindo-se, naturalmente, os demais axiomas).

5. Prove o princpio de inducao como uma consequencia do princpioda boa ordenacao.

6. Prove a lei de corte para a multiplicacao: mp = np m = n.

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Secao 2: Conjuntos finitos

1. Indicando com cardX o numero de elementos do conjunto finitoX, prove:

(a) Se X e finito e Y X entao cardY cardX.(b) Se X e Y sao finitos entao X Y e finito e

card(X Y ) = cardX + cardY card(X Y ).

(c) Se X e Y sao finitos entao X Y e finito e

card(X Y ) = cardX cardY.

2. Seja P(X) o conjunto cujos elementos sao os subconjuntos de X.Prove por inducao que se X e finito entao cardP(X) = 2cardX .

3. Seja F(X;Y ) o conjunto das funcoes f : X Y . Se cardX = me cardY = n, prove que cardF(X;Y ) = nm.

4. Prove que todo conjunto finito nao-vazio X de numeros naturaiscontem um elemento maximo (isto e, existe x0 S tal que x x0x X).

5. Prove o Princpio das Casas de Pombo: sem > n nao existe funcaoinjetiva f : Im In. (quando m > n, para alojar m pombos emn casas e preciso que pelo menos uma casa abrigue mais de umpombo).

Secao 3: Conjuntos infinitos

1. Dada f : X Y , prove:(a) Se X e infinito e f e injetiva entao Y e infinito.

(b) Se Y e infinito e f e sobrejetiva, entao X e infinito.

2. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove queexiste uma funcao injetiva f : X Y e uma funcao sobrejetivag : Y X.

3. Prove que o conjunto P dos numeros primos e infinito.4. De exemplo de uma sequencia decrescente X1 X2 Xn de conjuntos infinitos cuja intersecao

n=1Xn seja vazia.


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Secao 5 Exerccios 11

5. Prove que o conjunto X e infinito se, e somente se, nao e vazio nemexiste, seja qual for n N, uma aplicacao sobrejetiva f : In X.

Secao 4: Conjuntos enumeraveis

1. Defina f : N N N pondo f(1, n) = 2n 1 e f(m + 1, n) =2m(2n 1). Prove que f e uma bijecao.

2. Prove que existe g : N N sobrejetiva tal que g1(n) e infinito,para cada n N.

3. Exprima N = N1 N2 Nn como uniao infinita desubconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.

4. Para cada n N, seja Pn = {X N; cardX = n}. Prove que Pne enumeravel. Conclua que o conjunto Pf dos subconjuntos finitosde N e enumeravel.

5. Prove que o conjunto P(N) de todos os subconjuntos de N nao eenumeravel.

6. Sejam Y enumeravel e f : X Y tal que, para cada y Y , f1(y)e enumeravel. Prove que X e enumeravel.


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Numeros Reais

O conjunto dos numeros reais sera indicado por R. Faremos neste ca-ptulo uma descricao de suas propriedades que, juntamente com suasconsequencias, serao utilizadas nos captulos seguintes.

1 R e um corpo

Isto significa que estao definidas em R duas operacoes, chamadas adicaoe multiplicacao, que cumprem certas condicoes, abaixo especificadas.

A adicao faz corresponder a cada par de elementos x, y R, suasoma x + y R, enquanto a multiplicacao associa a esses elementos oseu produto x y R.

Os axiomas a que essas operacoes obedecem sao:

Associatividade: para quaisquer x, y, z R tem-se (x+y)+z = x+(y+z)e (x y) z = x (y z).Comutatividade: para quaisquer x, y R tem-se x+y = y+x e xy = yx.Elementos neutros: existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais quex+ 0 = x e x 1 = x para qualquer x R.Inversos: todo x R possui um inverso aditivo x R tal que x +(x) = 0 e, se x 6= 0, existe tambem um inverso multiplicativo x1 Rtal que x x1 = 1.Distributividade: para x, y, z R quaisquer, tem-se x(y+z) = xy+xz.


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Secao 2 R e um corpo ordenado 13

Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de mani-pulacao com os numeros reais. A ttulo de exemplo, estabeleceremosalgumas delas.

Da comutatividade resulta que 0 + x = x e x + x = 0 para todox R. Analogamete 1x = x e x1x = 1 quando x 6= 0. A soma x+(y)sera indicada por x y e chamada a diferenca entre x e y. Se y 6= 0, oproduto xy1 sera representado tambem por x/y e chamado o quocientede x por y. As operacoes (x, y) 7 x y e (x, y) 7 x/y chamam-se,respectivamente, subtracao e divisao. Evidentemente, a divisao de xpor y so faz sentido quando y 6= 0, pois o numero 0 nao possui inversomultiplicativo.

Da distributividade segue-se que, para todo x R, vale x 0 + x =x 0 + x 1 = x(0 + 1) = x 1 = x. Somando x a ambos os membrosda igualdade x 0 + x = x obtemos x 0 = 0.

Por outro lado, de x y = 0 podemos concluir que x = 0 ou y = 0.Com efeito se for y 6= 0 entao podemos multiplicar ambos os membrosdesta igualdade por y1 e obtemos x y y1 = 0 y1, donde x = 0.

Da distributividade resultam tambem as regras dos sinais:x (y) = (x) y = (x y) e (x) (y) = xy. Com efeito,x (y) + x y = x (y + y) = x 0 = 0. Somando (x y) a ambosos membros da igualdade x (y) + x y = 0 vem x (y) = (x y).Analogamente, (x) y = (x y). Logo (x) (y) = [x (y)] =[(x y)] = x y. Em particular, (1) (1) = 1. (Observacao: aigualdade (z) = z, acima empregada, resulta de somar-se z a ambosos membros da igualdade (z) + (z) = 0.)

Se dois numeros reais x, y tem quadrados iguais, entao x = y. Comefeito, de x2 = y2 decorre que 0 = x2 y2 = (x + y)(x y) e, comosabemos, o produto de dois numeros reais so e zero quando pelo menosum dos fatores e zero.

2 R e um corpo ordenado

Isto significa que existe um subconjunto R+ R, chamado o conjuntodos numeros reais positivos, que cumpre as seguintes condicoes:

P1. A soma e o produto de numeros reais positivos sao positivos. Ouseja, x, y R+ x+ y R+ e x y R+.

P2. Dado x R, exatamente uma das tres alternativas seguintes ocorre:ou x = 0, ou x R+ ou x R+.


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14 Numeros Reais Cap. 2

Se indicarmos com R o conjunto dos numeros x onde x R+, acondicao P2. diz que R = R+ R {0} e os conjuntos R+, R e {0}sao dois a dois disjuntos. Os numeros y R chamam-se negativos.

Todo numero real x 6= 0 tem quadrado positivo. Com efeito, sex R+ entao x2 = x x R+ por P1. Se x / R+ entao (como x 6= 0)x R+ logo, ainda por causa de P1., temos x2 = (x) (x) R+.Em particular 1 e um numero positivo porque 1 = 12.

Escreve-se x < y e diz-se que x e menor do que y quando yx R+,isto e, y = x+ z onde z e positivo. Neste caso, escreve-se tambem y > xe diz-se que y e maior do que x. Em particular, x > 0 significa quex R+, isto e, que x e positivo, enquanto x < 0 quer dizer que x enegativo, ou seja, que x R+.

Valem as seguintes propriedades da relacao de ordem x < y em R:

O1. Transitividade: se x < y e y < z entao x < z.

O2. Tricotomia: dados x, y R, ocorre exatamente uma das alterna-tivas x = y, x < y ou y < x.

O3. Monotonicidade da adicao: se x < y entao, para todo z R,tem-se x+ z < y + z.

O4. Monotonicidade da multiplicacao: se x < y entao, para todo z > 0tem-se xz < yz. Se, porem, z < 0 entao x < y implica yz < xz.

Demonstracao: O1. x < y e y < z significam yx R+ e zy R+.Por P1. segue-se que (yx)+ (z y) R+, isto e, zx R+, ou seja,x < z.

O2. Dados x, y R, ou y x R+, ou y x = 0 ou y x R (istoe, x y R+). No primeiro caso tem-se x < y, no segundo x = y e noterceiro y < x. Estas alternativas se excluem mutuamente, por P2.

O3. Se x < y entao y x R+, donde (y + z) (x+ z) = y x R+,isto e, x+ z < y + z.

O4. Se x < y e z > 0 entao y x R+ e z R+, logo (y x) z R+,ou seja, yz xz R+, o que significa xz < yz. Se x < y e z < 0 entaoy x R+ e z R+, donde xz yz = (y x)(z) R+, o quesignifica yz < xz.

Mais geralmente, x < y e x < y implicam x + x < y + y. Comefeito (y + y) (x+ x) = (y x) + (y x) R+.

Analogamente, 0 < x < y e 0 < x < y implicam xx < yy poisyy xx = yy yx + yx xx = y(y x) + (y x)x > 0.


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Secao 2 R e um corpo ordenado 15

Se 0 < x < y entao y1 < x1. Para provar, nota-se primeiro quex > 0 x1 = x (x1)2 > 0. Em seguida, multiplicando ambos osmembros da desigualdade x < y por x1y1 vem y1 < x1.

Como 1 R e positivo, segue-se que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < . . . .Podemos entao considerar N R. Segue-se que Z R pois 0 Re n R n R. Alem disso, se m,n Z com n 6= 0 entaom/n = m n1 R, o que nos permite concluir que Q R. Assim,N Z Q R.

Na secao seguinte, veremos que a inclusao Q R e propria.Exemplo 1. (Desigualdade de Bernoulli.) Para todo numero realx 1 e todo n N, tem-se (1 + x)n 1 + nx. Isto se prova porinducao em n, sendo obvio para n = 1. Supondo a desigualdade validapara n, multiplicamos ambos os membros pelo numero 1 + x 0 eobtemos

(1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx+ x+ nx2= 1 + (n+ 1)x+ nx2

1 + (n+ 1)x.

Pelo mesmo argumento, ve-se que (1 + x)n > 1 + nx quando n > 1,x > 1 e x 6= 0.

A relacao de ordem em R permite definir o valor absoluto (oumodulo)de um numero real x R assim: |x| = x se x > 0, |0| = 0 e |x| = x sex < 0. Noutras palavras, |x| = max{x,x} e o maior dos numeros reaisx e x.

Tem-se |x| x |x| para todo x R. Com efeito, a desigualdadex |x| e obvia, enquanto |x| x resulta de multiplicar por 1 ambosos membros da desigualdade x |x|. Podemos caracterizar |x| comoo unico numero 0 cujo quadrado e x2.Teorema 1. Se x, y R entao |x+ y| |x|+ |y| e |x y| = |x| |y|.Demonstracao: Somando membro a membro as desigualdades |x| xe |y| y vem |x|+ |y| x+ y. Analogamente, de |x| x e |y| yresulta |x|+|y| (x+y). Logo |x|+|y| |x+y| = max{x+y,(x+y)}.Para provar que |x y| = |x| |y|, basta mostrar que estes dois numerostem o mesmo quadrado, ja que ambos sao 0. Ora o quadrado de |x y|e (x y)2 = x2 y2, enquanto (|x| |y|)2 = |x|2|y|2 = x2 y2.


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Teorema 2. Sejam a, x, R. Tem-se |x a| < se, e somente se,a < x < a+ .Demonstracao: Como |x a| e o maior dos dois numeros x a e(x a), afirmar que |x a| < equivale a dizer que se tem x a < e (x a) < , ou seja, x a < e x a > . Somando a, vem:|x a| < x < a+ e x > a a < x < a+ .

De modo analogo se ve que |x a| a x a+ .Usaremos as seguintes notacoes para representar tipos especiais de

conjuntos de numeros reais, chamados intervalos:

[a, b] = {x R; a x b} (, b] = {x R;x b}(a, b) = {x R; a < x < b} (, b) = {x R;x < b}[a, b) = {x R; a x < b} [a,+) = {x R; a x}(a, b] = {x R; a < x b} (a,+) = {x R; a < x}

(,+) = ROs quatro intervalos da esquerda sao limitados, com extremos a, b:

[a, b] e um intervalo fechado, (a, b) e aberto, [a, b) e fechado a` esquerdae (a, b] e fechado a` direita. Os cinco intervalos a` direita sao ilimitados:(, b] e a semi-reta esquerda fechada de origem b. Os demais temdenominacoes analogas. Quando a = b, o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um unico elemento e chama-se um intervalo degenerado.

Em termos de intervalos, o Teorema 2 diz que |x a| < se, esomente se, x pertence ao intervalo aberto (a , a+ ). Analogamente,|x a| x [a , a+ ].

E muito conveniente imaginar o conjunto R como uma reta (a retareal) e os numeros reais como pontos dessa reta. Entao a relacao x < ysignifica que o ponto x esta a` esquerda de y (e y a` direita de x), osintervalos sao segmentos de reta e |x y| e a distancia do ponto xao ponto y. O significado do Teorema 2 e de que o intervalo (a ,a+ ) e formado pelos pontos que distam menos de do ponto a. Taisinterpretacoes geometricas constituem um valioso auxlio para a com-preensao dos conceitos e teoremas da Analise.

3 R e um corpo ordenado completo

Nada do que foi dito ate agora permite distinguir R de Q pois os numerosracionais tambem constituem um corpo ordenado. Acabaremos agora


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Secao 3 R e um corpo ordenado completo 17

nossa caracterizacao de R, descrevendo-o como um corpo ordenado com-pleto, propriedade que Q nao tem.

Um conjunto X R diz-se limitado superiormente quando existealgum b R tal que x b para todo x X. Neste caso, diz-se que b euma cota superior de X. Analogamente, diz-se que o conjunto X Re limitado inferiormente quando existe a R tal que a x para todox X. O numero a chama-se entao uma cota inferior de X. Se X elimitado superior e inferiormente, diz-se que X e um conjunto limitado.Isto significa que X esta contido em algum intervalo limitado [a, b] ou,equivalentemente, que existe k > 0 tal que x X |x| k.

Seja X R limitado superiormente e nao-vazio. Um numero b Rchama-se o supremo do conjunto X quando e a menor das cotas superio-res de X. Mais explicitamente, b e o supremo de X quando cumpre asduas condicoes:

S1. Para todo x X, tem-se x b;S2. Se c R e tal que x c para todo x X entao b c.

A condicao S2 admite a seguinte reformulacao:

S2 . Se c < b entao existe x X com c < x.Com efeito, S2 diz que nenhum numero real menor do que b pode

ser cota superior de X. A`s vezes se exprime S2 assim: para todo > 0existe x X tal que b < x.

Escrevemos b = supX para indicar que b e o supremo do conjuntoX.Analogamente, se X R e um conjunto nao-vazio, limitado inferior-

mente, um numero real a chama-se o nfimo do conjunto X, e escreve-sea = infX, quando e a maior das cotas inferiores de X. Isto equivale a`sduas afirmacoes:

I1. Para todo x X tem-se a x;I2. Se c x para todo x X entao c a.

A condicao I2 pode tambem ser formulada assim:

I2 . Se a < c entao existe x X tal que x < c.De fato, I2 diz que nenhum numero maior do que a e cota inferior

de X. Equivalentemente: para todo > 0 existe x X tal que x < a+.Diz-se que um numero b X e o maior elemento (ou elemento

maximo) do conjunto X quando b x para todo x X. Isto querdizer que b e uma cota superior de X, pertencente a X. Por exemplo,b e o elemento maximo do intervalo fechado [a, b] mas o intervalo [a, b)nao possui maior elemento. Evidentemente, se um conjunto X possui


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elemento maximo este sera seu supremo. A nocao de supremo serveprecisamente para substituir a ideia de maior elemento de um conjuntoquando esse maior elemento nao existe. O supremo do conjunto [a, b) eb. Consideracoes inteiramente analogas podem ser feitas em relacao aonfimo.

A afirmacao de que o corpo ordenado R e completo significa quetodo conjunto nao-vazio, limitado superiormente,X R possui supremob = supX R.

Nao e necessario estipular tambem que todo conjunto nao-vazio, limi-tado inferiormente, X R possua nfimo. Com efeito, neste caso oconjunto Y = {x; x X} e nao-vazio, limitado superiormente, logopossui um supremo b R. Entao, como se ve sem dificuldade, o numeroa = b e o nfimo de Y .

Em seguida veremos algumas consequencias da completeza de R.

Teorema 3.

i)O conjunto N R dos numeros naturais nao e limitado superiormente;ii) O nfimo do conjunto X = {1/n;n N} e igual a 0;iii) Dados a, b R+, existe n N tal que n a > b.Demonstracao: Se N R fosse limitado superiormente, existiria c =supN. Entao c 1 nao seria cota superior de N, isto e, existiria n Ncom c1 < n. Da resultaria c < n+1, logo c nao seria cota superior deN. Esta contradicao prova i). Quanto a ii), 0 e evidentemente uma cotainferior de X. Basta entao provar que nenhum c > 0 e cota inferior deX. Ora, dado c > 0, existe, por i), um numero natural n > 1/c, donde1/n < c, o que prova ii). Finalmente, dados a, b R+ usamos i) paraobter n N tal que n > b/a. Entao na > b, o que demonstra iii).

As propriedades i), ii) e iii) do teorema acima sao equivalentes e si-gnificam que R e um corpo arquimediano. Na realidade, iii) e devida aomatematico grego Eudoxo, que viveu alguns seculos antes de Arquime-des.

Teorema 4. (Intervalos encaixados.) Dada uma sequencia decres-cente I1 I2 In de intervalos limitados e fechadosIn = [an, bn], existe pelo menos um numero real c tal que c In paratodo n N.Demonstracao: As inclusoes In In+1 significam que

a1 a2 an bn b2 b1 .


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Secao 3 R e um corpo ordenado completo 19

O conjunto A = {a1, a2, . . . , an, . . . } e, portanto, limitado superior-mente. Seja c = supA. Evidentemente, an c para todo n N.Alem disso, como cada bn e cota superior de A, temos c bn para todon N. Portanto c In qualquer que seja n N.Teorema 5. O conjunto dos numeros reais nao e enumeravel.

Demonstracao: Mostraremos que nenhuma funcao f : N R pode sersobrejetiva. Para isto, supondo f dada, construiremos uma sequenciadecrescente I1 I2 In de intervalos limitados e fechadostais que f(n) / In . Entao, se c e um numero real pertencente a todosos In , nenhum dos valores f(n) pode ser igual a c, logo f nao e sobreje-tiva. Para obter os intervalos, comecamos tomando I1 = [a1, b1] tal quef(1) < a1 e, supondo obtidos I1 I2 In tais que f(j) / Ij ,olhamos para In = [an, bn]. Se f(n + 1) / In , podemos simplesmentetomar In+1 = In . Se, porem, f(n+ 1) In , pelo menos um dos extre-mos, digamos an , e diferente de f(n + 1), isto e, an < f(n + 1). Nestecaso, tomamos In+1 = [an+1, bn+1], com an+1 = an e bn+1 = (an +f(n+ 1))/2.

Um numero real chama-se irracional quando nao e racional. Comoo conjunto Q dos numeros racionais e enumeravel, resulta do teoremaacima que existem numeros irracionais e, mais ainda, sendo R = Q (R Q), os irracionais constituem um conjunto nao-enumeravel (por-tanto formam a maioria dos reais) porque a reuniao de dois conjuntosenumeraveis seria enumeravel. Evidentemente, numeros irracionais po-dem ser exibidos explicitamente. No Captulo 3, Exemplo 15, veremosque a funcao f : R R+, dada por f(x) = x2, e sobrejetiva. Logoexiste um numero real positivo, indicado por

2, cujo quadrado e igual

a 2. Pitagoras e seus discpulos mostraram que o quadrado de nenhumnumero racional pode ser 2. (Com efeito, de (p/q)2 = 2 resulta 2q2 = p2,com p, q inteiros, um absurdo porque o fator primo 2 aparece um numeropar de vezes na decomposicao de p2 em fatores primos e um numerompar de vezes em 2q2.)

Corolario. Todo intervalo nao-degenerado e nao-enumeravel.

Com efeito, todo intervalo nao-degenerado contem um intervaloaberto (a, b). Como a funcao f : (1, 1) (a, b), definida por f(x) =12 [(b a)x+ a+ b], e uma bijecao, basta mostrar que o intervalo aberto(1, 1) e nao-enumeravel. Ora, a funcao : R (1, 1), dada por


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(x) = x/(1 + |x|), e uma bijecao cuja inversa e : (1, 1) R, de-finida por (y) = y/(1 |y|), pois ((y)) = y e ((x)) = x paraquaisquer y (1, 1) e x R, como se pode verificar facilmente.Teorema 6. Todo intervalo nao-degenerado I contem numeros racio-nais e irracionais.

Demonstracao: Certamente I contem numeros irracionais pois docontrario seria enumeravel. Para provar que I contem numeros racionais,tomamos [a, b] I, onde a < b podem ser supostos irracionais. Fixemosn N tal que 1/n < b a. Os intervalos Im = [m/n, (m+1)/n],m Z,cobrem a reta, isto e, R =

mZ Im . Portanto existe m Z tal que

a Im . Como a e irracional, temos m/n < a < (m + 1)/n. Sendoo comprimento 1/n do intervalo Im menor do que b a, segue-se que(m+1)/n < b. Logo o numero racional (m+1)/n pertence ao intervalo[a, b] e portanto ao intervalo I.

4 Exerccios

Secao 1: R e um corpo

1. Prove as seguintes unicidades:

(a) Se x+ = x para algum x R, entao = 0;(b) Se x u = x para todo x R entao u = 1;(c) Se x+ y = 0 entao y = x;(d) Se x y = 1, entao y = x1.

2. Dados a, b, c, d R, se b 6= 0 e d 6= 0 prove que a/b + c/d =(ad+ bc)/bd e (a/b)(c/d) = ac/bd.

3. Se a 6= 0 e b 6= 0 em R, prove que (ab)1 = a1b1 e conclua que(a/b)1 = b/a.

4. Prove que (1 xn+1)/(1 x) = 1 + x+ + xn para todo x 6= 1.

Secao 2: R e um corpo ordenado

1. Para quaisquer x, y, z R, prove que |x z| |x y|+ |y z|.2. Prove que | |x| |y| | |x y| para quaisquer x, y R.3. Dados x, y R, se x2 + y2 = 0 prove que x = y = 0.4. Prove por inducao que (1+x)n 1+nx+[n(n1)/2]x2 se x 0.


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5. Para todo x 6= 0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.6. Prove que |a b| < |a| < |b|+ .7. Use o fato de que o trinomio do segundo grau f() =

ni=1 (xi +

yi)2 e 0 para todo R para provar a desigualdade de Cauchy-

Schwarz ( ni=1

xiyi)2 ( n

i=1

x2i)( n

i=1

y2i).

Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe tal quexi = yi para todo i = 1, . . . , n, ou entao y1 = = yn = 0.

8. Se a1/b1, . . . , an/bn pertencem ao intervalo (, ) e b1, . . . , bn saopositivos, prove que (a1+ +an)/(b1+ +bn) pertence a (, ).Nas mesmas condicoes, se t1, . . . , tn R+, prove que (t1a1 + +tnan)/(t1b1 + + tnbn) tambem pertence ao intervalo (, ).

Secao 3: R e um corpo ordenado completo

1. Diz-se que uma funcao f : X R e limitada superiormente quandosua imagem f(X) = {f(x);x X} e um conjunto limitado supe-riormente. Entao poe-se sup f = sup{f(x);x X}. Prove quese f, g : X R sao limitadas superiormente o mesmo ocorre coma soma f + g : X R e tem-se sup(f + g) sup f + sup g. Deum exemplo com sup(f + g) < sup f + sup g. Enuncie e prove umresultado analogo para inf.

2. Dadas as funcoes f, g : X R+ limitadas superiormente, proveque o produto f g : X R+ e uma funcao limitada (superior einferiormente) com sup(f g) sup f sup g e inf(f g) inf f inf g.De exemplos onde se tenha < e nao =.

3. Nas condicoes do exerccio anterior mostre que sup(f2) = (sup f)2

e inf(f2) = (inf f)2.

4. Dados a, b R+ com a2 < 2 < b2, tome x, y R+ tais quex < 1, x < (2 a2)/(2a + 1) e y < (b2 2)/2b. Prove que(a + x)2 < 2 < (b y)2 e b y > 0. Em seguida, considere oconjunto limitado X = {a R+; a2 < 2} e conclua que o numeroreal c = supX cumpre c2 = 2.

5. Prove que o conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros eenumeravel. Um numero real chama-se algebrico quando e raiz


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de um polinomio com coeficientes inteiros. Prove que o conjuntodos numeros algebricos e enumeravel. Um numero real chama-setranscendente quando nao e algebrico. Prove que existem numerostranscendentes.

6. Prove que um conjunto I R e um intervalo se, e somente se,a < x < b, a, b I x I.


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Sequencias de Numeros Reais

Neste captulo sera apresentada a nocao de limite sob sua forma maissimples, o limite de uma sequencia. A partir daqui, todos os conceitosimportantes da Analise, de uma forma ou de outra, reduzir-se-ao a algumtipo de limite.

1 Limite de uma sequencia

Uma sequencia de numeros reais e uma funcao x : N R, que associa acada numero natural n um numero real xn , chamado o n-esimo termoda sequencia.

Escreve-se (x1, x2, . . . , xn, . . . ) ou (xn)nN , ou simplesmente (xn),para indicar a sequencia cujo n-esimo termo e xn .

Nao se confunda a sequencia (xn) com o conjunto {x1, x2, . . . , xn, . . . }dos seus termos. Por exemplo, a sequencia (1, 1, . . . , 1, . . . ) nao e omesmo que o conjunto {1}. Ou entao: as sequencias (0, 1, 0, 1, . . . ) e(0, 0, 1, 0, 0, 1, . . . ) sao diferentes mas o conjunto dos seus termos e omesmo, igual a {0, 1}.

Uma sequencia (xn) diz-se limitada superiormente (respectivamenteinferiormente) quando existe c R tal que xn c (respectivamentexn c) para todo n N. Diz-se que a sequencia (xn) e limitada quandoela e limitada superior e inferiormente. Isto equivale a dizer que existek > 0 tal que |xn| k para todo n N.


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24 Sequencias de Numeros Reais Cap. 3

Exemplo 1. Se a > 1 entao a sequencia (a, a2, . . . , an, . . . ) e limitadainferiormente porem nao superiormente. Com efeito, multiplicando am-bos os membos da desigualdade 1 < a por an obtemos an < an+1.Segue-se que a < an para todo n N, logo (an) e limitada inferiormentepor a. Por outro lado, temos a = 1 + d, com d > 0. Pela desigualdadede Bernoulli, para todo n > 1 em N vale an 1 + nd. Portanto, dadoqualquer c R podemos obter an > c desde que tomemos 1 + nd > c,isto e, n > (c 1)/d.

Dada uma sequencia x = (xn)nN , uma subsequencia de x e a res-tricao da funcao x a um subconjunto infinito N = {n1 < n2 < n0 .Exemplo 2. Dado o numero real a < 1, formemos a sequencia(an)nN . Se N N e o conjunto dos numeros pares e N N e oconjunto dos numero mpares entao a subsequencia (an)nN e limitadaapenas inferiormente enquanto a subsequencia (an)nN e limitada ape-nas superiormente.

Diz-se que o numero real a e limite da sequencia (xn) quando, paratodo numero real > 0, dado arbitrariamente, pode-se obter n0 Ntal que todos os termos xn com ndice n > n0 cumprem a condicao|xn a| < . Escreve-se entao a = limxn .

Esta importante definicao significa que, para valores muito grandesde n, os termos xn tornam-se e se mantem tao proximos de a quanto sedeseje. Mais precisamente, estipulando-se uma margem de erro > 0,existe um ndice n0 N tal que todos os termos xn da sequencia comndice n > n0 sao valores aproximados de a com erro menor do que .

Simbolicamente, escreve-se:

a = limxn . . > 0 n0 N ; n > n0 |xn a| < .

Acima, o smbolo . . significa que o que vem depois e a definicaodo que vem antes. significa para todo ou qualquer que seja. significa existe. O ponto-e-vrgula quer dizer tal que e a seta significa implica.


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Secao 1 Limite de uma sequencia 25

Convem lembrar que |xn a| < e o mesmo que a < xn < a+ ,isto e, xn pertence ao intervalo aberto (a , a+ ).

Assim, dizer que a = limxn significa afirmar que qualquer intervaloaberto de centro a contem todos os termos xn da sequencia, salvo paraum numero finito de ndices n (a saber, os ndices n n0 , onde n0 eescolhido em funcao do raio do intervalo dado).

Em vez de a = limxn , escreve-se tambem a = limnN xn , a =limn xn ou xn a. Esta ultima expressao le-se xn tende para a ouconverge para a. Uma sequencia que possui limite diz-se convergente.Caso contrario, ela se chama divergente.

Teorema 1. (Unicidade do limite.) Uma sequencia nao pode con-vergir para dois limites distintos.

Demonstracao: Seja limxn = a. Dado b 6= a podemos tomar > 0tal que os intervalos abertos I = (a , a+ ) e J = (b , b+ ) sejamdisjuntos. Existe n0 N tal que n > n0 implica xn I. Entao, paratodo n > n0 , temos xn / J . Logo nao e limxn = b.Teorema 2. Se limxn = a entao toda subsequencia de (xn) convergepara o limite a.

Demonstracao: Seja (xn1 , . . . , xnk , . . . ) a subsequencia. Dado qual-quer intervalo aberto I de centro a, existe n0 N tal que todos ostermos xn, com n > n0 , pertencem a I. Em particular, todos os termosxnk , com nk > n0 tambem pertencem a I. Logo limxnk = a.

Teorema 3. Toda sequencia convergente e limitada.

Demonstracao: Seja a = limxn . Tomando = 1, vemos que existen0 N tal que n > n0 xn (a 1, a + 1). Sejam b o menor e co maior elemento do conjunto finito {x1, . . . , xn0 , a 1, a + 1}. Todosos termos xn da sequencia estao contidos no intervalo [b, c], logo ela elimitada.

Exemplo 3. A sequencia (2, 0, 2, 0, . . . ), cujo n-esimo termo e xn =1+ (1)n+1, e limitada mas nao e convergente porque possui duas sub-sequencias constantes, x2n1 = 2 e x2n = 0, com limites distintos.

Exemplo 4. A sequencia (1, 2, 3, . . . ), com xn = n, nao converge porquenao e limitada.

Uma sequencia (xn) chama-se monotona quando se tem xn xn+1para todo n N ou entao xn+1 xn para todo n. No primeiro caso,


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26 Sequencias de Numeros Reais Cap. 3

diz-se que (xn) e monotona nao-decrescente e, no segundo, que (xn) emonotona nao-crescente. Se, mais precisamente, tivermos xn < xn+1(respect. xn > xn+1) para todo n N, diremos que a sequencia ecrescente (respectivamente, decrescente).

Toda sequencia monotona nao-decrescente (respect. nao-crescente)e limitada inferiormente (respect. superiormente) pelo seu primeirotermo. A fim de que ela seja limitada e suficiente que possua umasubsequencia limitada. Com efeito, seja (xn)nN uma subsequencia li-mitada da sequencia monotona (digamos, nao-decrescente) (xn). Temosxn c para todo n N. Dado qualquer n N, existe n N tal quen < n. Entao xn xn c.

O teorema seguinte da uma condicao suficiente para que uma se-quencia convirja. Foi tentando demonstra-lo ao preparar suas aulas, nametade do seculo 19, que R. Dedekind percebeu a necessidade de umaconceituacao precisa de numero real.

Teorema 4. Toda sequencia monotona limitada e convergente.

Demonstracao: Seja (xn) monotona, digamos nao-decrescente, limi-tada. Escrevamos X = {x1, . . . , xn, . . . } e a = supX. Afirmamos quea = limxn . Com efeito, dado > 0, o numero a nao e cota su-perior de X. Logo existe n0 N tal que a < xn0 a. Assim,n > n0 a < xn0 xn < a+ e da limxn = a.

Semelhantemente, se (xn) e nao-crescente, limitada entao limxn e onfimo do conjunto dos valores xn .

Corolario. (Teorema de Bolzano-Weierstrass.) Toda sequencialimitada de numeros reais possui uma subsequencia convergente.

Com efeito, basta mostrar que toda sequencia (xn) possui uma sub-sequencia monotona. Diremos que um termo xn da sequencia dada edestacado quando xn xp para todo p > n. Seja D N o conjuntodos ndices n tais que xn e um termo destacado. Se D for um con-junto infinito, D = {n1 < n2 < < nk < }, entao a subsequencia(xn)nD sera monotona nao-crescente. Se, entretanto, D for finito sejan1 N maior do que todos os n D. Entao xn1 nao e destacado,logo existe n2 > n1 com xn1 < xn2 . Por sua vez, xn2 nao e destacado,logo existe n3 > n2 com xn1 < xn2 < xn3 . Prosseguindo, obtemos umasubsequencia crescente xn1 < xn2 < < xnk < .


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Secao 2 Limites e desigualdades 27

Exemplo 5. A sequencia cujo n-esimo termo e xn = 1/n e monotona,decrescente, limitada. Temos entao lim 1/n = inf{1/n;n N} = 0, peloTeorema 3, Captulo 2.

Exemplo 6. Seja 0 < a < 1. A sequencia (a, a2, . . . , an, . . . ), for-mada pelas potencias sucessivas de a, e decrescente, limitada pois mul-tiplicando 0 < a < 1 por an resulta 0 < an+1 < an. Afirmamosque limn an = 0. Com efeito, dado > 0, como 1/a > 1 segue-se do Exemplo 1 que, dado arbitrariamente > 0 existe n0 N talque (1/a)n0 > 1/, ou seja, an0 < . Segue-se que lim an = inf{an;n N} = 0.

2 Limites e desigualdades

Seja P uma propriedade referente aos termos de uma sequencia (xn).Diremos que para todo n suficientemente grande xn goza da proprie-dade P para significar que existe n0 N tal que n > n0 xn gozada propriedade P.

Teorema 5. Seja a = limxn . Se b < a entao, para todo n suficien-temente grande, tem-se b < xn . Analogamente, se a < b entao xn < bpara todo n suficientemente grande.

Demonstracao: Tomando = a b, temos > 0 e b = a . Peladefinicao de limite, existe n0 N tal que n > n0 a < xn < a+b < xn . A outra afirmacao se prova analogamente.

Corolario 1. Seja a = limxn . Se a > 0 entao, para todo n suficien-temente grande, tem-se xn > 0. Analogamente, se a < 0 entao xn < 0para todo n suficientemente grande.

Corolario 2. Sejam a = limxn e b = lim yn . Se xn yn para todo nsuficientemente grande entao a b. Em particular se xn b para todon suficientemente grande entao limxn b.

Com efeito, se fosse b < a entao tomaramos c R tal que b < c < ae teramos, pelo Teorema 5, yn < c < xn para todo n suficientementegrande, contradizendo a hipotese.

Observacao. Se fosse xn < yn nao se poderia concluir a < b. Bastatomar xn = 0, yn = 1/n.

Teorema 6. (Teorema do sanduche.) Se limxn = lim yn = a exn zn yn para todo n suficientemente grande entao lim zn = a.


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28 Sequencias de numeros reais Cap. 3

Demonstracao: Dado arbitrariamente > 0, existem n1, n2 N taisque n > n1 a < xn < a+ e n > n2 a < yn < a+ . Sejan0 = max{n1, n2}. Entao n > n0 a < xn zn yn < a + zn (a , a+ ), logo lim zn = a.

3 Operacoes com limites

Teorema 7. Se limxn = 0 e (yn) e uma sequencia limitada (convergenteou nao) entao lim(xn yn) = 0.Demonstracao: Existe c > 0 tal que |yn| c para todo n N. Dadoarbitrariamente > 0, existe n0 N tal que n > n0 |xn| < /c. Entaon > n0 |xn yn| = |xn| |yn| < (/c) c = , logo lim(xn yn) = 0.Exemplo 7. Se xn = 1/n e yn = sen(n) entao (yn) nao converge mas,como 1 yn 1, tem-se lim(xnyn) = lim(sen(n)/n) = 0. Por outrolado, se limxn = 0 mas yn nao e limitada, o produto xn yn pode divergir(tome xn = 1/n, yn = n

2) ou convergir para um valor qualquer (tomexn = 1/n e yn = c n).

Para uso posterior, observemos que, segundo resulta diretamente dadefinicao de limite, tem-se

limxn = a lim(xn a) = 0 lim |xn a| = 0.

Teorema 8. Se limxn = a e lim yn = b entao:

1. lim(xn yn) = a b.2. lim(xn yn) = a b.3. lim

xnyn

=a

bse b 6= 0.

Demonstracao: 1. Dado arbitrariamente > 0, existem n1, n2 Ntais que n > n1 |xn a| < /2 e n > n2 |yn b| < /2. Sejan0 = max{n1, n2}. Entao n > n0 n > n1 e n > n2 , logo |(xn + yn)(a + b)| = |(xn a) + (yn b)| |xn a| + |yn b| < /2 + /2 = .Portanto lim(xn + yn) = a+ b. Mesmo argumento para xn yn .2. Temos xnynab = xnynxnb+xnbab = xn(ynb)+(xna)b. PeloTeorema 3, (xn) e limitada. Alem disso, lim(yn b) = lim(xn a) = 0.Segue-se do Teorema 7 e da parte 1. que lim(xnyn ab) = lim[xn(yn b)] + lim[(xn a) b] = 0, donde lim(xnyn) = ab.


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Secao 3 Operacoes com limites 29

3. Vale xn/yna/b = (xnbyna)/ynb. Como lim(xnbyna) = abba =0, basta provar que (1/ynb) e uma sequencia limitada para concluir quelim(xn/yn a/b) = 0 e portanto que lim(xn/yn) = a/b. Ora, pondoc = b2/2, temos 0 < c < b2. Como lim ynb = b

2, segue-se do Teorema5 que, para todo n suficientemente grande, tem-se c < ynb e portanto1/ynb < 1/c, completando a demonstracao.

Exemplo 8. Se xn > 0 para todo n N e lim(xn+1/xn) = a < 1entao limxn = 0. Com efeito, tomemos c R com a < c < 1. Entao0 < xn+1/xn < c para todo n suficientemente grande. Segue-se que0 < xn+1 = (xn+1/xn)xn < c xn < xn logo, para n suficientementegrande, a sequencia (xn) e monotona limitada. Seja b = limxn . Dexn+1 < cxn para todo n suficientemente grande resulta, fazendo n,que b c b, isto e, (1 c) b 0. Como b 0 e 0 < c < 1, conclumosque b = 0.

Exemplo 9. Como aplicacao do exemplo anterior, ve-se que, se a > 1e k N sao constantes entao

limn

nk

an= lim

nan

n!= lim

nn!

nn= 0.

Com efeito, pondo xn = nk/an, yn = a

n/n! e zn = n!/nn vem yn+1/yn =

a/(n+ 1), logo lim(yn+1/yn) = 0 e, pelo Exemplo 8, lim yn = 0. Temos

tambem xn+1/xn =(1+ 1n

)k a1, portanto (pelo Teorema 8) lim(xn+1/xn) = 1/a < 1. Segue-se do Exemplo 8 que limxn = 0. Finalmente,zn+1/zn = [n/(n + 1)]

n, donde lim(zn+1/zn) = 1/e. (Veja Exemplo 13,abaixo.) Como 1/e < 1, segue-se que lim zn = 0.

Exemplo 10. Dado a > 0, mostremos que a sequencia dada por xn =na = a1/n tem limite igual a 1. Com efeito, trata-se de uma sequencia

monotona (decrescente se a > 1, crescente se a < 1), limitada, portantoexiste L = limn a1/n. Tem-se L > 0. Com efeito, se 0 < a < 1entao a1/n > a para todo n N, donde L a. Se, porem, a > 1 entaoa1/n > 1 para todo n N, donde L 1. Consideremos a subsequencia(a1/n(n+1)) = (a1/2, a1/6, a1/12, . . . ). Como 1/n(n+1) = 1/n1/(n+1),o Teorema 2 e o item 3 do Teorema 8 nos dao

L = lim a1/n(n+1) = lima1/n

a1/(n+1)=L

L= 1.

Exemplo 11. Seja 0 < a < 1. A sequencia cujo termo geral e xn =1 + a + a2 + + an = (1 an+1)/(1 a) e crescente, limitada, pois


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xn < 1/(1a) para todo n N. Alem disso, limn (1/(1a)xn) =limn an+1/(1a) = 0, portanto limn xn = limn (1+a+ +an) = 1/(1 a).

A igualdade acima vale ainda quando se tem 1 < a < 1, isto e, |a| p vale

bn 1 + 1 + 12!

(1 1

n

)+ + 1

p!

(1 1

n

)(1 2

n

). . .(1 p 1

n

).

Fixando arbitrariamente p N e fazendo n na desigualdadeacima obtemos limn bn 1 + 1 + 1/2! + + 1/p! = ap . Comoesta desigualdade vale para todo p N, segue-se que limn bn limp ap = e. Mas ja vimos que bn < an para todo n N. Logolim bn lim an . Isto completa a prova de que lim bn = e.


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Secao 4 Limites infinitos 31

Exemplo 14. Consideremos a sequencia cujo n-esimo termo e xn =nn = n1/n. Temos xn 1 para todo n N. Esta sequencia e de-

crescente a partir do seu terceiro termo. Com efeito, a desigualdadenn > n+1

n+ 1 e equivalente a nn+1 > (n+1)n, isto e, a n > (1+1/n)n,

o que e verdade para n 3 pois, como vimos acima, (1+1/n)n < 3 paratodo n. Portanto existe L = limn1/n e tem-se L 1. Considerando asubsequencia (2n)1/2n temos:

L2 = lim[(2n)1/2n]2 = lim[21/n n1/n] = lim 21/n limn1/n = L(Cfr. Exemplo 10.) Como L 6= 0, de L2 = L resulta L = 1. Conclumosportanto que lim n

n = 1.

Exemplo 15 (Aproximacoes sucessivas da raiz quadrada.) O seguintemetodo iterativo para obter, com erro tao pequeno quanto se deseje,valores aproximados para a raiz quadrada de um dado numero real a > 0,ja era conhecido pelos babilonios 17 seculos antes da era crista. Toma-se arbitrariamente um valor inicial x1 >

a e define-se indutivamente

xn+1 = [xn + a/xn]/2. Para mostrar que a sequencia (xn) assim obtidaconverge para

a, comecamos observando que, para qualquer x R,

a < x (a/x) < a < x. (Multiplique ambos os membros dadesigualdade

a < x por

a.) Em seguida notemos que, pondo y =

[x+ a/x]/2, y e a media aritmetica dos numeros a/x e x, logo e menordo que x e maior do que a media geometrica desses numeros, que e

a.

Logoa < y < x. Portanto temos uma sequencia decrescente

x1 > x2 > > xn > xn+1 > ,cujos termos sao todos maiores do que

a. Esta sequencia converge para

um numero real c. Fazendo n na igualdade xn+1 = [xn + a/xn]/2obtemos c = [c + a/c]/2, donde c2 = a, isto e, limxn =

a. Vemos

entao que todo numero real a > 0 possui uma raiz quadrada real. Maisainda, o processo iterativo xn+1 = [xn + a/xn]/2 fornece rapidamenteboas aproximacoes para

a, como se pode verificar tomando exemplos

concretos.

4 Limites infinitos

Dada uma sequencia (xn), diz-se que o limite de xn e mais infinitoe escreve-se limxn = +, para significar que, dado arbitrariamenteA > 0, existe n0 N tal que n > n0 implica xn > A.


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Analogamente, limxn = significa que, para todo A > 0 dado,pode-se achar n0 N tal que n > n0 xn < A.

Deve-se enfatizar que + e nao sao numeros e que, se limxn =+ e lim yn = , as sequencias (xn) e (yn) nao sao convergentes.

Como limxn=+ lim(xn)=, limitaremos nossos comenta-rios ao primeiro caso.

Se limxn = + entao a sequencia (xn) nao e limitada superior-mente. A recproca e falsa. A sequencia dada por xn = n + (1)nn eilimitada superiormente porem nao se tem limxn = +, pois x2n1 = 0para todo n N. Mas se (xn) e nao-decrescente entao (xn) ilimitada limxn = +.

No Exemplo 1, ao mostrar que as potencias a, a2, a3, . . . de umnumero a > 1 formam uma sequencia ilimitada superiormente, provou-se, na realidade, que lim an = +.Teorema 9.

(1) Se limxn = + e (yn) e limitada inferiormente entao lim(xn +yn) = +.

(2) Se limxn = + e existe c > 0 tal que yn > c para todo n Nentao lim(xnyn) = +.

(3) Se xn > c > 0, yn > 0 para todo n N e lim yn = 0 entaolim

xnyn

= +.

(4) Se (xn) e limitada e lim yn = + entao lim xnyn

= 0.

Demonstracao: (1) Existe c R tal que yn c para todo n N. Dadoarbitrariamente A > 0, existe n0 N tal que n > n0 xn > A c.Segue-se que n > n0 xn+yn > Ac+c = A, logo lim(xn+yn) = +.(2) Dado arbitrariamente A > 0, existe n0 N tal que n > n0 xn >A/c. Logo n > n0 xnyn > (A/c) c = A, donde lim(xnyn) = +.(3) Dado A > 0, existe n0 N tal que n > n0 yn < c/A. Entaon > n0 xn/yn > c A/c = A e da lim(xn/yn) = +.(4) Existe c > 0 tal que |xn| c para todo n N. Dado arbitrariamente > 0, existe n0 N tal que n > n0 yn > c/. Entao n > n0 |xn/yn| < c /c = , logo lim(xn/yn) = 0.

As hipoteses feitas nas diversas partes do teorema anterior tem porobjetivo evitar algumas das chamadas expressoes indeterminadas. No


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Secao 4 Limites infinitos 33

item (1) procura-se evitar a expressao +. De fato, se limxn = +e lim yn = nenhuma afirmacao geral pode ser feita sobre lim(xn +yn). Este limite pode nao existir (como no caso em que xn = n+ (1)ne yn = n), pode ser igual a + (se xn = 2n e yn = n), pode ser (tome xn = n e yn = 2n) ou pode assumir um valor arbitrarioc R (por exemplo, se xn = n+ c e yn = n). Por causa desse compor-tamento erratico, diz-se que + e uma expressao indeterminada.Nos itens (2), (3) e (4), as hipoteses feitas excluem os limites do tipo0 (tambem evitado no Teorema 7), 0/0 e/, respectivamente, osquais constituem expressoes indeterminadas no sentido que acabamos deexplicar. Outras expressoes indeterminadas frequentemente encontradassao 0, 1 e 00.

Os limites mais importantes da Analise quase sempre se apresentamsob forma de uma expressao indeterminada. Por exemplo, o numeroe = limn (1 + 1/n)n e da forma 1. E, como veremos mais adiante,a derivada e um limite do tipo 0/0.

Agora, uma observacao sobre ordem de grandeza. Se k N e a eum numero real > 1 entao limn nk = limn an = limn n! =limn nn. Todas estas sequencias tem limite infinito. Mas o Exemplo9 nos diz que, para valores muito grandes de n temos nk an n!nn, onde o smbolo quer dizer e uma fracao muito pequena de ou einsignificante diante de. Por isso diz-se que o crescimento exponencialsupera o polinomial, o crescimento fatorial supera o exponencial combase constante mas e superado pelo crescimento exponencial com baseilimitadamente crescente. Por outro lado, o crescimento de nk (mesmoquando k = 1) supera o crescimento logartmico, como mostraremosagora.

No Captulo 11 provaremos a existencia de uma funcao crescentelog : R+ R, tal que log(xy) = log x+ log y e log x < x para quaisquerx, y R+. Da resulta que log x = log(x x) = 2 logx, dondelog

x = (log x)/2. Alem disso, log x = log(1 x) = log 1 + log x, donde

log 1 = 0. Como log e crescente, tem-se log x > 0 para todo x > 1. Valetambem log(2n) = n log 2, portanto limn log(2n) = +. Como loge crescente, segue-se limn log n = +.

Provaremos agora que limn

log n

n= 0.


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Para todo n N, temos logn < n. Como logn = 12 log n,segue-se que log n < 2

n. Dividindo por n resulta que 0 < log n/n 0 e todo k N dados,exista n > k tal que |xn a| < .

7. A fim de que o numero real b nao seja valor de aderencia dasequencia (xn) e necessario e suficiente que existam n0 N e > 0tais que n > n0 |xn b| .

Secao 2: Limites e desigualdades

1. Se limxn = a, lim yn = b e |xn yn| para todo n N, proveque |a b| .

2. Sejam limxn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 Ntal que n > n0 xn < yn .

3. Se o numero real a nao e o limite da sequencia limitada (xn), proveque alguma subsequencia de (xn) converge para um limite b 6= a.


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4. Prove que uma sequencia limitada converge se, e somente se, possuium unico valor de aderencia.

5. Quais sao os valores de aderencia da sequencia (xn) tal que x2n1 =n e x2n = 1/n? Esta sequencia converge?

6. Dados a, b R+, defina indutivamente as sequencias (xn) e (yn)pondo x1 =

ab, y1 = (a + b)/2 e xn+1 =

xnyn, yn+1 = (xn +

yn)/2. Prove que (xn) e (yn) convergem para o mesmo limite.

7. Diz-se que (xn) e uma sequencia de Cauchy quando, para todo > 0 dado, existe n0 N tal que m,n > n0 |xm xn| < .(a) Prove que toda sequencia de Cauchy e limitada.

(b) Prove que uma sequencia de Cauchy nao pode ter dois valoresde aderencia distintos.

(c) Prove que uma sequencia (xn) e convergente se, e somente se,e de Cauchy.

Secao 3: Operacoes com limites

1. Prove que, para todo p N, tem-se limn n+pn = 1.

2. Se existem > 0 e k N tais que xn nk para todo n sufici-entemente grande, prove que lim n

xn = 1. Use este fato para cal-

cular limn nn+ k, lim n

n+

n, lim n

log n e lim n

n logn.

3. Dado a > 0, defina indutivamente a sequencia (xn) pondo x1 =a

e xn+1 =a+ xn. Prove que (xn) e convergente e calcule seu

limite

L =

a+

a+

a+

4. Seja en = (xna)/a o erro relativo na n-esima etapa do calculo

dea. Prove que en+1 = e

2n/2(1+ en). Conclua que en 0, 01

en+1 0, 00005 en+2 0, 00000000125 e observe a rapidez deconvergencia do metodo.

5. Dado a > 0, defina indutivamente a sequencia (xn) pondo x1 = 1/ae xn+1 = 1/(a + xn). Considere o numero c, raiz positiva daequacao x2+ax1 = 0, unico numero positivo tal que c = 1/(a+c).Prove que

x2 < x4 < < x2n < < c < < x2n1 < < x3 < x1 ,


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e que limxn = c. O numero c pode ser considerado como a somada fracao contnua

1

a+1

a+1

a+1

a+

6. Dado a > 0, defina indutivamente a sequencia (yn), pondo y1 = ae yn+1 = a + 1/yn . Mostre que lim yn = a + c, onde c e como noexerccio anterior.

7. Defina a sequencia (an) indutivamente, pondo a1 = a2 = 1 ean+2 = an+1 + an para todo n N. Escreva xn = an/an+1 eprove que limxn = c, onde c e o unico numero positivo tal que1/(c + 1) = c. O termo an chama-se o n-esimo numero de Fi-bonacci e c = (1 + 5)/2 e o numero de ouro da GeometriaClassica.

Secao 4: Limites infinitos

1. Prove que lim nn! = +.

2. Se limxn = + e a R, prove que

limn

[log(xn + a)

log xn

]= 0.

3. Dados k N e a > 0, determine o limite

limn

n!

nk an

Supondo a > 0 e a 6= e calcule

limn

an n!nn

e limn

nk an n!nn

(Para o caso a = e, ver exerccio 9, secao 1, captulo 11.)

4. Mostre que limn log(n+ 1)/ log n = 1.


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5. Sejam (xn) uma sequencia arbitraria e (yn) uma sequenciacrescente, com lim yn = +. Supondo que lim(xn+1xn)/(yn+1yn) = a, prove que limxn/yn = a. Conclua que se lim(xn+1xn) =a entao limxn/n = a. Em particular, de lim log(1+1/n) = 0, con-clua que lim(logn)/n = 0.

6. Se limxn = a e (tn) e uma sequencia de numeros positivos com

lim(t1 + + tn) = +,

prove que

limt1x1 + + tnxnt1 + + tn = a.

Em particular, se yn =x1 + + xn

n, tem-se ainda lim yn = a.


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4

Series Numericas

Uma serie e uma soma s = a1 + a2 + + an + com um numeroinfinito de parcelas. Para que isto faca sentido, poremos s=limn(a1+ +an). Como todo limite, este pode existir ou nao. Por isso ha seriesconvergentes e series divergentes. Aprender a distinguir umas das outrase a principal finalidade deste captulo.

1 Series convergentes

Dada uma sequencia (an) de numeros reais, a partir dela formamos umanova sequencia (sn) onde

s1 = a1 , s2 = a1 + a2, . . . , sn = a1 + a2 + + an , etc.Os numeros sn chamam-se as reduzidas ou somas parciais da seriean . A parcela an e o n-esimo termo ou termo geral da serie.Se existir o limite s = limn sn , diremos que a serie

an e

convergente e s =an =

n=1 an = a1 + a2 + + an + sera

chamado a soma da serie. Se lim sn nao existir, diremos quean e

uma serie divergente.A`s vezes e conveniente considerar series do tipo

n=0 an , que come-

cam com a0 em vez de a1 .

Exemplo 1. Como ja vimos (Exemplos 11 e 12, Captulo 3), quando|a| < 1 a serie geometrica 1+ a+ a2+ + an+ e convergente, com


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Secao 1 Series convergentes 39

soma igual a 1/(1 a), e a serie 1 + 1 + 1/2! + + 1/n! + tambemconverge, com soma igual a e.

Exemplo 2. A serie 1 1 + 1 1 + , de termo geral (1)n+1, edivergente pois a soma parcial sn e igual a zero quando n e par, e iguala 1 quando n e mpar. Portanto nao existe lim sn .

Exemplo 3. A serie

1/n(n+1), cujo termo geral e an = 1/n(n+1) =1/n 1/(n+ 1), tem n-esima soma parcial

sn =

(1 1

2

)+

(1

2 1

3

)+ +

(1

n 1n+ 1

)= 1 1

n+ 1

Portanto lim sn = 1, isto e,

1/n(n+ 1) = 1.Se an 0 para todo n N, as reduzidas da serie

an formam

uma sequencia nao-decrescente. Portanto uma seriean , de termos

nao-negativos, converge se, e somente se, existe uma constante k talque a1 + + an k para todo n N. Por isso usaremos a notacaoan < + para significar que a serie

an , com an 0, e convergente.

Se an 0 para todo n N e (an) e uma subsequencia de (an) entaoan < + implica

an < +.

Exemplo 4. (A serie harmonica.) A serie

1/n e divergente. De fato,se

1/n = s fosse convergente entao

1/2n = t e

1/(2n 1) = utambem seriam convergentes. Alem disso, como s2n = tn + un , fazendon teramos s = t + u. Mas t = 1/2n = (1/2) 1/n = s/2,portanto u = t = s/2. Por outro lado

u t = limn(un tn) = limn

[(1 1

2

)+(13 1

4

)+ +( 1

2n 1 1

2n

)]

= limn

(1

1.2+

1

3.4+

1

5.6+ + 1

(2n 1)2n)> 0,

logo u > t. Contradicao.

Teorema 1. (Criterio de comparacao.) Sejaman e

bn series

de termos nao-negativos. Se existem c > 0 e n0 N tais que an cbnpara todo n > n0 entao a convergencia de

bn implica a de

an

enquanto a divergencia dean implica a de

bn .

Demonstracao: Sem perda de generalidade, podemos supor an cbnpara todo n N. Entao as reduzidas sn e tn , de

an e

bn respec-

tivamente, formam sequencias nao-decrescentes tais que sn ctn para


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40 Series numericas Cap. 4

todo n N. Como c > 0, (tn) limitada implica (sn) limitada e (sn)ilimitada implica (tn) ilimitada, pois tn sn/c.Exemplo 5. Se r > 1, a serie

1/nr converge. Com efeito, seja c a

soma da serie geometrica

n=0(22r )

n. Mostraremos que toda reduzidasm da serie

1/nr e < c. Seja n tal que m 2n 1. Entao

sm 1 +(1

2r+

1

3r

)+

(1

4r+

1

5r+

1

6r+

1

7r

)+

+ +(

1

(2n1)r+ + 1

(2n 1)r),

sm < 1 +2

2r+

4

4r+ + 2

n1

2(n1)r=

n1i=0

(2

2r

)i< c.

Como a serie harmonica diverge, resulta do criterio de comparacaoque

1/nr diverge quando r < 1 pois, neste caso, 1/nr > 1/n.

Teorema 2. O termo geral de uma serie convergente tem limite zero.

Demonstracao: Se a seriean e convergente entao, pondo sn =

a1 + + an , existe s = limn sn . Consideremos a sequencia (tn),com t1 = 0 e tn = sn1 quando n > 1. Evidentemente, lim tn = s esntn=an . Portanto lim an= lim(sntn)= lim sn lim tn=ss=0.

O criterio contido no Teorema 2 constitui a primeira coisa a verificarquando se quer saber se uma serie e ou nao convergente. Se o termogeral nao tende a zero, a serie diverge. A serie harmonica mostra que acondicao lim an = 0 nao e suficiente para a convergencia de

an .

2 Series absolutamente convergentes

Uma seriean diz-se absolutamente convergente quando

|an| con-verge.

Exemplo 6. Uma serie convergente cujos termos nao mudam de sinale absolutamente convergente. Quando 1 < a < 1, a serie geometrica

n=0 an e absolutamente convergente, pois |an| = |a|n, com 0 |a| < 1.

O exemplo classico de uma serie convergentean tal que

|an| =+ e dado por (1)n+1/n = 1 1/2 + 1/3 1/4 + . Quandotomamos a soma dos valores absolutos, obtemos a serie harmonica, quediverge. A convergencia da serie dada segue-se do


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Secao 2 Series absolutamente convergentes 41

Teorema 3. (Leibniz.) Se (an) e uma sequencia monotona decrescenteque tende para zero entao

(1)n+1 an e uma serie convergente.

Demonstracao: Seja sn = a1 a2 + + (1)n+1an . Entao s2n =s2n2+a2n1a2n e s2n+1 = s2n1a2n+a2n+1 . Logo as reduzidas deordem par formam uma sequencia nao-decrescente (pois a2n1a2n 0)e as de ordem mpar uma sequencia nao-crescente (pois a2n+ a2n+1 0). Alem disso, como s2n = s2n1 a2n , temos s2n1 s2n = a2n 0.Isto mostra que

s2 s4 s2n s2n1 s3 s1e lim s2n = lim s2n1 pois lim an = 0. Logo (sn) converge e o teoremaesta provado.

Exemplo 7. Pelo Teorema 3, a serie(1)n+1 log(1 + 1/n) e con-

vergente. Mas ela nao e absolutamente convergente pois a reduzida deordem n da serie

log(1 + 1/n) =

log[(n+ 1)/n] e

sn = log 2 + log(32

)+ log

(43

)+ + log (n+ 1

n

)= log 2 + log 3 log 2 + log 4 log 3 + + log(n+ 1) logn= log(n+ 1).

Portanto lim sn = +.Uma serie convergente

an tal que

|an| = + chama-se condi-cionalmente convergente.

O teorema seguinte pode ser interpretado assim: se tomarmos umaserie convergente cujos termos sao todos 0 e, de uma maneira com-pletamente arbitraria, trocarmos os sinais de alguns dos seus termos(mesmo um numero infinito deles), obteremos ainda uma serie conver-gente.

Teorema 4. Toda serie absolutamente convergente e convergente.

Demonstracao: Seja |an| convergente. Para cada n N, definamos

os numeros pn e qn , pondo pn = an se an 0 e pn = 0 se an < 0;analogamente, qn = an se an 0 e qn = 0 se an > 0. Os numeros pne qn chamam-se, respectivamente, a parte positiva e a parte negativa dean . Entao pn 0, qn 0, pn + qn = |an| (em particular, pn |an| eqn |an|) e pn qn = an . (Note que, para cada n N, pelo menosum dos numeros pn, qn e zero.) Pelo Teorema 1, as series

pn e

qn


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sao convergentes. Logo e convergente a seriean =

(pn qn) =

pn qn .

Dada a seriean , definimos acima os numeros, pn = max{an, 0} e

qn = max{an, 0}, a parte positiva e a parte negativa de an . Sean

e condicionalmente convergente, deve-se terpn = + e

qn = +.

Com efeito, se apenas uma destas duas series (digamos, a primeira)convergisse, teramos

an =

pn

qn = s = . E se ambas,

pn eqn , convergissem, teramos

|an| = pn + qn < + ean seria absolutamente convergente.

3 Testes de convergencia

Teorema 5. Sejabn uma serie absolutamente convergente, com bn 6=

0 para todo n N. Se a sequencia (an/bn) for limitada (em particular,se for convergente) entao a serie

an sera absolutamente convergente.

Demonstracao: Se, para algum c > 0, tivermos |an/bn| c seja qualfor n N entao |an| c|bn|. Pelo criterio de comparacao (Teorema 1),a serie

an e absolutamente convergente.

Corolario. (Teste de dAlembert.) Seja an 6= 0 para todo n N. Se existir uma constante c tal que |an+1/an| c < 1 para todo nsuficientemente grande (em particular, se lim |an+1/an| < 1) entao aserie

an sera abolutamente convergente.

Com efeito, se, para todo n suficientemente grande vale |an+1|/|an| c = cn+1/cn, entao |an+1|/cn+1 |an|/cn. Assim a sequencia de numerosnao-negativos |an|/cn e nao-crescente a partir de uma certa ordem, logoe limitada. Como a serie

cn e absolutamente convergente, segue-se

do Teorema 5 quean converge absolutamente. No caso particular

de existir lim |an+1/an| = L < 1, escolhemos um numero c tal queL < c < 1 e teremos |an+1/an| < c para todo n suficientemente grande(Teorema 5 do Captulo 3). Entao recamos no caso ja demonstrado.

Observacao. Quando se aplica o teste de dAlembert, usualmente seprocura calcular lim |an+1/an| = L. Se L > 1 entao a serie diverge poisse tem |an+1/an| > 1, donde |an+1| > |an| para todo n suficientementegrande e da resulta que o termo geral an nao tende para zero. Se L = 1,o teste e inconclusivo. A serie pode convergir (como no caso

1/n2)

ou divergir (como no caso

1/n).


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Secao 3 Testes de convergencia 43

Exemplo 8. Seja an = 1/(n2 3n + 1). Considerando a serie conver-

gente(1/n2), como lim[n2/(n23n+1)] = lim[1/(13/n+1/n2)] = 1,

conclumos quean e convergente.

Exemplo 9. Segue-se do Exemplo 9 do Captulo 3 e do teste dedAlembert que as series

(an/n!),

(n!/nn) e

(nk/an), esta ultima

com a > 1, sao convergentes.

Teorema 6. (Teste de Cauchy.) Quando existe um numero real c talque n

|an| c < 1 para todo n N suficientemente grande (em particu-

lar, quando lim n|an| < 1), a serie an e absolutamente convergente.

Demonstracao: Se n|an| c < 1 entao |an| cn para todo n suficien-

temente grande. Como a serie geometricacn e convergente, segue-se

do criterio de comparacao quean converge absolutamente. No caso

particular de existir lim n|an| = L < 1, escolhemos c tal que L < c < 1

e teremos n|an| < c para todo n suficientemente grande (Teorema 5,

Captulo 3), recaindo assim no caso anterior.

Observacao. Tambem no teste de Cauchy, tenta-se calcular lim n|an| =

L. Se L > 1, a seriean diverge. Com efeito, neste caso, tem-se

n|an| > 1 para todo n suficientemente grande, donde |an| > 1, logoa serie

an diverge pois seu termo geral nao tende a zero. Quando

L = 1, a serie pode divergir (como no caso

1/n) ou convergir (como1/n2).

Exemplo 10. Seja an = (log n/n)n. Como n

an = log n/n tende a

zero, a seriean e convergente.

O teorema seguinte relaciona os testes de dAlembert e Cauchy.

Teorema 7. Seja (an) uma sequencia cujos termos sao diferentes dezero. Se lim |an+1|/|an| = L entao lim n

|an| = L.

Demonstracao: Para simplificar a notacao, suporemos que an > 0para todo n N. Dado > 0, fixemos numeros positivos K, M taisque L < K < L < M < L + . Existe p N tal que n p K p. Levando em conta que L < K, M < L+ , lim n = 1e lim n

= 1, conclumos que existe n0 > p tal que n > n0 L n0 L < nan < L + , o que


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prova o teorema quando L > 0. Se L = 0, basta considerar M em vezde K e M .

Exemplo 11. Resulta do Teorema 7 que limn/ nn! = e. Com efeito,

pondo an = nn/n! vem n/ n

n! = n

an . Ora

an+1an

=(n+ 1)n+1

(n+ 1)! n!nn

=(n+ 1)(n+ 1)n

(n+ 1) n! n!

nn=

(n+ 1

n

)n,

logo lim(an+1/an) = e, e da lim nan = e.

4 Comutatividade

Uma seriean diz-se comutativamente convergente quando, para qual-

quer bijecao : N N, pondo bn = a(n) , a seriebn e convergente.

(Em particular, tomando (n) = n, vemos quean e convergente.)

Resulta do que mostraremos a seguir que sean e comutativamente

convergente entaobn =

an qualquer que seja a bijecao . Esta e a

maneira precisa de afirmar que a somaan nao depende da ordem das

parcelas. Mas isto nem sempre ocorre.

Exemplo 12. A serie

1 12+

1

3 1

4+

converge para a soma s > 0, mas nao comutativamente. Com efeito,temos

s

2=

1

2 1

4+

1

6 1

8+ .

Podemos entao escrever

s = 1 12+

1

3 1

4+

1

5 1

6+

1

7 1

8+

s

2= 0 +

1

2+ 0 1

4+ 0 +

1

6+ 0 1

8+

Somando termo a termo vem

3s

2= 1 +

1

3 1

2+

1

5+

1

7 1

4+

1

9+

1

11 1

6+ .

A serie acima, cuja soma e 3s/2, tem os mesmos termos da serieinicial, cuja soma e s, apenas com uma mudanca na sua ordem.


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Secao 4 Comutatividade 45

Teorema 8. Sean e absolutamente convergente entao para toda

bijecao : N N, pondo bn = a(n) , tem-sebn =

an .

Demonstracao: Supomos inicialmente an 0 para todo n. Escreva-mos sn = a1+ +a

analise real vol. 1 - elon (latex)

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