exercícios de formas diferenciáveis
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Exercícios de Formas DiferenciáveisTRANSCRIPT
-
4aFicha de Exerccios de AMIII
19 de Novembro de 2001
1. Mostre que se f : A En [0,+[ e mensuravel entao o conjunto
B ={(x1, . . . , xn, xn+1) En+1 : (x1, . . . , xn) A, 0 xn+1 f(x1, . . . , xn)}
satisfaz Vn+1(B) =AfdVn. Use este resultado para calcular a medida dos seguintes
conjuntos ilimitados:
(a)
{(x, y) E2 : x 1, |y| 1
x2
};
(b)
{(x, y) E2 : x e, |y| 1
log x
};
(c){(x, y, z) E3 : 0 z ex2y2
}.
2. Decida se as funcoes seguintes sao ou nao integraveis nos conjuntos indicados, e calcule osintegrais caso existam:
(a)senx
xem [1,+[;
(b)1
x2 + y2em
{(x, y) E2 : 0 < x2 + y2 < 1};
(c)ex
2y2z2
x2 + y2 + z2em E3 \ {(0, 0, 0)}.
3. Calcule a derivada das seguintes funcoes:
(a) F (x) =
x31
ext2
dt (x > 0);
(b) G(x) =
xlog x
ex2t2
tdt (x > 1).
4. Calcule os seguintes integrais para todo o n N:
(a)
+0
xnexdx;
(b)
+
x2n
(1 + x2)n+1dx.
1
-
5. Considere as funcoes
f(x) =
x0et
2
dt; g(x) =
10
ex2(t2+1)
t2 + 1dt; F (x) = f2(x) + g(x).
(a) Mostre que F e constante.
(b) Mostre que limx0 F (x) =pi4 .
(c) Mostre que limx+ g(x) = 0.
(d) Conclua que
+0
et2
dt =
2.
6. Calcule os seguintes produtos exteriores:
(a) (dx+ dy) (dx dy);(b) (dx+ 2dy + 3dz) (dx 12dy + dz);(c) (xdy dz + ydz dx+ zdx dy) (yz2dx+ x2zdy + xy2dz);(d) (dx1 dx2 + dx3 dx4) (dx1 dx3 3dx2 dx4).
7. Dado um vectorv = v1e1 + v
2e2 + v
3e3 E3
definimos o 1-covectorv = v
1dx1 + v2dx2 + v3dx3
e o 2-covectorv = v
1dx2 dx3 + v2dx3 dx1 + v3dx1 dx2.Mostre que
(a) v w = vw, onde designa o produto externo de vectores em E3;(b) v w = (v w)dx1 dx2 dx3.
8. Mostre quedx1 . . . dxn(v1, . . . ,vn) = det(v1, . . . ,vn).
9. Calcule os pull-backs pelas funcoes indicadas das seguintes formas diferenciais:
(a) yzdx+ xzdy + xydz pela funcao (x, y, z) = g(t) = (sen t, cos t, t);
(b) ydx+ xdy pela funcao (x, y) = g(r, ) = (r sen , r cos );(c) dx dy + dy dz + dz dx pela funcao (x, y, z) = g(r, ) = (r cos , r sen , );(d) dx dy dz pela funcao (x, y, z) = g(r, , ) = (r sen cos, r sen sen, r cos ).
10. Calcule as derivadas exteriores das seguintes formas diferenciais:
(a) yzdx+ xzdy + xydz;
(b) ydx+ xdy;(c) zdx dy + xdy dz + ydz dx;(d) x1x2x3x4(dx1 dx2 dx3 + dx1 dx2 dx4 + dx1 dx3 dx4 + dx2 dx3 dx4).
2
-
Resolucao Sumaria da 4a Ficha de Exerccios de AMIII
26 de Novembro de 2001
1. Mostre que se f : A En [0,+[ e mensuravel entao o conjunto
B ={(x1, . . . , xn, xn+1) En+1 : (x1, . . . , xn) A, 0 xn+1 f(x1, . . . , xn)}
satisfaz Vn+1(B) =AfdVn. Use este resultado para calcular a medida dos seguintes
conjuntos ilimitados:
Resolucao: Pelo Teorema de Fubini temos
Vn+1(B) =
B
1dVn+1 =
A
f(x1,...,xn)0
1dxn+1dVn =
A
f(x1, . . . , xn)dVn.
(a)
{(x, y) E2 : x 1, |y| 1
x2
};
Resolucao: A area deste conjunto e portanto
2
[1,+[
1
x2dx = 2 lim
n+
n1
1
x2dx = 2 lim
n+
[1x
]n1
= 2 limn+
(1 1
n
)= 2.
(b)
{(x, y) E2 : x e, |y| 1
log x
};
Resolucao: A area deste conjunto e
2
[e,+[
1
log xdx = 2 lim
n+
ne
1
log xdx = 2 lim
n+
logn1
1
yeydy.
A funcao integranda f(y) = 1yey satisfaz
f (y) =1
yey 1
y2ey = (y 1) 1
y2ey > 0 para y > 1,
e portanto no conjunto de integracao f(y) f(1) = e. Logo a medida do conjunto emaior ou igual que
2 limn+
logn1
e dy = 2 limn+ e(logn 1) = +,
e portanto e +.(c)
{(x, y, z) E3 : 0 z ex2y2
}.
1
-
Resolucao: O volume deste conjunto e
E2
ex2y2dV2 = lim
n+
{x2+y2n2}
ex2y2dV2 = lim
n+
n0
20
er2
rddr
= 2 limn+
[12er
2
]n0
= limn+
(1 en2
)= .
2. Decida se as funcoes seguintes sao ou nao integraveis nos conjuntos indicados, e calcule osintegrais caso existam:
(a)senx
xem [1,+[;
Resolucao: Recorde-se que uma funcao e integravel sse o seu modulo o for. Uma vez
que | senx| 22 para
x +n=1
[
4+ n,
3
4+ n] [1,+[
e imediata a conclusao de que
[1,+[
| senx|x
dx
+n=1
[pi4+n, 3pi
4+n]
2
2xdx
+n=1
2
2
134 + n
2= +,
e portanto a funcao nao e integravel.
(b)1
x2 + y2em
{(x, y) E2 : 0 < x2 + y2 < 1};
Resolucao: Uma vez que a funcao nao muda de sinal, temos
{0
-
(a) F (x) =
x31
ext2
dt (x > 0);
Resolucao: Aplicando o Teorema Fundamental do Calculo e a Regra de Leibniz, temos
F (x) = ex(x3)
2
+
x31
(t2)ext2dt = ex7 x31
t2ext2
dt.
(b) G(x) =
xlog x
ex2t2
tdt (x > 1).
Resolucao: Aplicando o Teorema Fundamental do Calculo e a Regra de Leibniz, temos
G(x) =ex2x2
x e
x2(log x)2
log x+
xlog x
(2xt2)ex2t2
tdt
=ex4
x e
x2(log x)2
log x 2x
xlog x
tex2t2dt.
4. Calcule os seguintes integrais para todo o n N:
(a)
+0
xnexdx;
Resolucao: Comecamos por notar que +0
exdx = limn+
[e
x
]n0
=1
e que portanto aplicando a Regra de Leibniz
dn
dn
+0
exdx =dn
dn
(1
) +0
(x)nexdx = (1)nn!
n+1.
Fazendo = 1 vem +0
xnexdx = n!.
(b)
+
x2n
(1 + x2)n+1dx.
Resolucao: Comecamos por notar que +
1
1 + x2dx = lim
n+
[arctg (
x)
]nn
=
e que portanto aplicando a Regra de Leibniz
dn
dn
+
1
1 + x2dx =
dn
dn
(
)
+
(1)nn!x2n(1 + x2)n+1
dx = (1)n 12
3
2. . .
2n 12
2n3
2 .
Fazendo = 1 vem +
x2n
(1 + x2)n+1dx =
(2n 1)(2n 3) . . . 32nn!
.
3
-
5. Considere as funcoes
f(x) =
x0et
2
dt; g(x) =
10
ex2(t2+1)
t2 + 1dt; F (x) = f2(x) + g(x).
(a) Mostre que F e constante.
Resolucao: Aplicando o Teorema Fundamental do Calculo e a Regra de Leibniz, temos
F (x) = 2f(x)f (x) + g(x) = 2ex2
x0et
2
dt+
10
2x(t2 + 1)ex2(t2+1)t2 + 1
dt
= 2ex2
x0et
2
dt 2ex2 10ex
2t2xdt = 2ex2
x0et
2
dt 2ex2 x0eu
2
du = 0
onde fizemos a mudanca de variavel u = xt no segundo integral.
(b) Mostre que limx0 F (x) = 4 .Resolucao: A funcao integranda em g(x) e majorada pela funcao constante igual a1, que e integravel em [0, 1]. Podemos portanto aplicar o Teorema da ConvergenciaDominada para concluir que
limx0
g(x) =
10
limx0
ex2(t2+1)
t2 + 1dt =
10
1
t2 + 1dt = [arctg x]10 =
4.
Uma vez que o integral indefinido de uma funcao contnua e contnuo, a funcao f econtnua e portanto limx0 f(x) = f(0) = 0. Logo limx0 F (x) = 02 + 4 =
4 .
(c) Mostre que limx+ g(x) = 0.Resolucao: Podemos novamente aplicar o Teorema da Convergencia Dominada emg(x) para concluir que
limx+ g(x) =
10
limx+
ex2(t2+1)
t2 + 1dt =
10
0dt = 0.
(d) Conclua que
+0
et2
dt =
2.
Resolucao: Uma vez que F e constante e limx0 F (x) = 4 , vemos que F (x) =4
para todo o x R. Logo
4= lim
x+F (x) = limx+ f2(x) + g(x) =
(lim
x+ f(x))2
+ 0.
Como a integranda em f(x) nao muda de sinal, temos
limx+ f(x) = limx+
x0et
2
dt =
+0
et2
dt.
Portanto, +0
et2
dt =
4=
2.
6. Calcule os seguintes produtos exteriores:
4
-
(a) (dx+ dy) (dx dy);Resolucao: dx dy + dy dx = 2dx dy.
(b) (dx+ 2dy + 3dz) (dx 12dy + dz);Resolucao: 12dx dy + dx dz + 2dy dx + 2dy dz + 3dz dx 32dz dy =52dx dy 2dx dz + 72dy dz.
(c) (xdy dz + ydz dx+ zdx dy) (yz2dx+ x2zdy + xy2dz);Resolucao: xyz2dydzdx+yx2zdzdxdy+zxy2dxdydz = xyz (x+ y + z) dxdy dz.
(d) (dx1 dx2 + dx3 dx4) (dx1 dx3 3dx2 dx4).Resolucao: 0.
7. Dado um vectorv = v1e1 + v
2e2 + v
3e3 E3
definimos o 1-covectorv = v
1dx1 + v2dx2 + v3dx3
e o 2-covectorv = v
1dx2 dx3 + v2dx3 dx1 + v3dx1 dx2.Mostre que
(a) v w = vw, onde designa o produto externo de vectores em E3;Resolucao: Tem-se
v w =(v1dx1 + v2dx2 + v3dx3
) (w1dx1 + w2dx2 + w3dx3)= (v2w3 v3w2)dx2 dx3 + (v3w1 v1w3)dx3 dx1 + (v1w2 v2w1)dx1 dx2= vw,
ja que o produto externo de v por w e dado por
vw =
e1 e2 e3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
= (v2w3v3w2)e1+(v3w1v1w3)e2+(v1w2v2w1)e3.
(b) v w = (v w)dx1 dx2 dx3.Resolucao: Tem-se
v w =(v1dx1 + v2dx2 + v3dx3
) (w1dx2 dx3 + w2dx3 dx1 + w3dx1 dx2)=(v1w1 + v2w2 + v3w3
)dx1 dx2 dx3 = (v w)dx1 dx2 dx3.
8. Mostre quedx1 . . . dxn(v1, . . . ,vn) = det(v1, . . . ,vn).
Resolucao: Sabemos que
dxi1 . . . dxik = k! Alt (dxi1 . . . dxik) .5
-
Portanto
dx1 . . . dxn(v1, . . . ,vn) = n! Alt(dx1 . . . dxn) (v1, . . . ,vn)
= n!1
n!
n
sgn()(dx1 . . . dxn) (v(1), . . . ,v(n))
=n
sgn()dx1(v(1)
). . . dxn
(v(n)
)
=n
sgn()v1(1) . . . vn(n) = det(v1, . . . ,vn).
9. Calcule os pull-backs pelas funcoes indicadas das seguintes formas diferenciais:
(a) yzdx+ xzdy + xydz pela funcao (x, y, z) = g(t) = (sen t, cos t, t);
Resolucao: Tem-se
g(yzdx+ xzdy + xydz) = t cos td(sen t) + t sen td(cos t) + sen t cos td(t)
= t cos2 tdt t sen2 tdt+ 12sen(2t)dt =
[t cos(2t) 1
2sen(2t)
]dt.
(b) ydx+ xdy pela funcao (x, y) = g(r, ) = (r sen , r cos );Resolucao: Tem-se
g(ydx+ xdy) = r sen d(r cos ) + r cos d(r sen )= r sen cos dr + r2 sen2 d + r cos sen dr + r2 cos2 d = r2d.
(c) dx dy + dy dz + dz dx pela funcao (x, y, z) = g(r, ) = (r cos , r sen , );Resolucao: Tem-se
g(dx dy + dy dz + dz dx) = d(r cos ) d(r sen ) + d(r sen ) d + d d(r cos )= (cos dr r sen d) (sen dr + r cos d) + sen dr d + cos d dr= r cos2 dr d r sen2 d dr + (sen cos )dr d= (r + sen cos )dr d.
(d) dx dy dz pela funcao (x, y, z) = g(r, , ) = (r sen cos, r sen sen, r cos ).Resolucao: Tem-se
g(dx dy dz) = d(r sen cos) d(r sen sen) d(r cos )= (sen cosdr + r cos cosd r sen send) (sen sendr + r cos send + r sen cosd) (cos dr r sen d)
= r2 sen3 cos2 dr d d + r2 cos2 sen cos2 d d dr+ r2 sen3 sen2 d dr d r2 cos2 sen sen2 d d dr
= (r2 sen3 + r2 cos2 sen )dr d d = r2 sen dr d d.
10. Calcule as derivadas exteriores das seguintes formas diferenciais:
6
-
(a) yzdx+ xzdy + xydz;
Solucao: 0.
(b) ydx+ xdy;Solucao: 2dx dy.
(c) zdx dy + xdy dz + ydz dx;Solucao: 3dx dy dz.
(d) x1x2x3x4(dx1 dx2 dx3 + dx1 dx2 dx4 + dx1 dx3 dx4 + dx2 dx3 dx4).Solucao: (x1x2x3 + x1x2x4 x1x3x4 + x2x3x4)dx1 dx2 dx3 dx4.
7
-
5aFicha de Exerccios de AMIII
6 de Novembro de 2002
1. Decida se as seguintes formas diferenciais definidas em E3 sao ou nao exactas. Em casoafirmativo, calcule um potencial.
(a) yzdx+ xzdy + xydz;
(b) zdx dy ydx dz + xdy dz;
(c) 2dx dy + yzdx dz + xzdy dz;
(d) x2yezdx dy dz.
2. Seja f : E3 R um campo escalar e v : E3 E3 um campo vectorial. Recorde que sev = v1e1 + v
2e2 + v
3e3, podemos definir a 1-forma v = v
1dx+ v2dy + v3dz e a 2-formav = v
1dy dz + v2dz dx+ v3dx dy. Mostre que:
(a) df = f , onde f designa o gradiente de f .
(b) dv = v, onde
v =
e1 e2 e3
x
y
z
v1 v2 v3
=
(v3
y
v2
z
)e1+
(v1
z
v3
x
)e2+
(v2
x
v1
y
)e3
e o rotacional de v.
(c) dv = ( v)dx dy dz, onde
v =v1
x+
v2
y+
v3
z
e a divergencia de v.
(d) (f) = 0.
(e) ( v) = 0.
3. Mostre a 1-forma =
y
x2 + y2dx+
x
x2 + y2dy
(definida em E2 \ {(0, 0)}) e fechada mas nao e exacta. (Sugestao: Mostre primeiro quese = df entao
= 0 para qualquer curva fechada ).
1
-
4. Calcule os integrais das formas diferenciais dadas ao longo das variedades indicadas comuma orientacao a` sua escolha:
(a) ydx+ xdy ao longo de {(x, y) E2 : x2 + y2 = 1};
(b) xdx+ ydy + zdz ao longo de {(x, y, z) E3 : x = z, x2 + y2 = 1};
(c) dx dy ao longo de {(x, y, z) E3 : x2 + y2 + z2 = 9};
(d) zdx dy ydx dz + xdy dz ao longo de {(x, y, z) E3 : z = x2 + y2, z 1}.
5. Calcule a area da superfcie curva de um cone circular recto de altura h > 0 e raio da basea > 0.
6. Escreva a area do elipsoide de semieixos a, b, c R+ como um integral iterado.
7. Prove o Segundo Teorema de Pappus: a area de uma superfcie de revolucao gerada por umacurva plana e igual a 2dL, onde L e o comprimento da curva plana e d e a distancia doseu centroide ao eixo de rotacao. Aproveite este resultado para calcular a area da superfciedo toro
T ={(x, y, z) E3 : (
x2 + y2 R)2 + z2 r2
}
(0 < r < R).
8. Seja S a superfcieS =
{(x, y, z) E3 : z = x2 + y2, z 1
}.
Calcule:
(a) A area de S;
(b) O centroide de S.
9. Calcule o trabalho realizado pela forca
F(x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y)
ao longo da curva
C = {(x, y, z) E3 : x = cos , y = sen , z = 2, 0 2}
percorrida no sentido dos valores de z decrescentes.
10. O campo de velocidades de um fluido e descrito pelo campo vectorial
v = (x, y,2z).
Supondo que o fluido possui densidade constante igual a 1, calcule a massa de fluido queatravessa a superfcie
S = {(x, y, z) E3 : z = xy, x2 + y2 1}
por unidade de tempo no sentido dos valores de z decrescentes.
2
-
Resolucao Sumaria da 5a Ficha de Exerccios de AMIII
16 de Janeiro de 2002
1. Decida se as seguintes formas diferenciais definidas em E3 sao ou nao exactas. Em casoafirmativo, calcule um potencial.
(a) yzdx+ xzdy + xydz;
Resolucao: Como E3 e um conjunto em estrela, segue-se do Lema de Poincare queesta 1-forma sera exacta sse for fechada. Ora
d(yzdx+ xzdy + xydz)
= zdy dx+ ydz dx+ zdx dy + xdz dy + ydx dz + xdy dz= (z z)dx dy + (y y)dx dz + (x x)dy dz = 0,
pelo que a forma e exacta. Para calcular um potencial, notamos que se
yzdx+ xzdy + xydz = df =f
xdx+
f
ydy +
f
zdz
entao teremos
fx
= yz
fy
= xz
fz
= xy
f = xyz + C(y, z)
xz + Cy
= xz
xy + Cz
= xy
f = xyz + C
para alguma constante C R.(b) zdx dy ydx dz + xdy dz;
Resolucao: Uma vez que
d(zdx dy ydx dz + xdy dz)= dz dx dy dy dx dz + dx dy dz= 3dx dy dz 6= 0,
a forma nao e fechada e portanto nao pode ser exacta.
(c) 2dx dy + yzdx dz + xzdy dz;Resolucao: Como E3 e um conjunto em estrela, esta 1-forma sera exacta sse forfechada. Ora
d(2dx dy + yzdx dz + xzdy dz) = zdy dx dz + zdx dy dz = 0
1
-
pelo que a forma e exacta. Para calcular um potencial = Adx+Bdy+Cdz, notamosque uma vez que + df e tambem um potencial (qualquer que seja a funcao C
f : E3 R), podemos sempre escolher um potencial tal que por exemplo C = 0 (seinicialmente C 6= 0, basta encontrar uma funcao f satisfazendo a equacao f
z= C
e considerar o potencial + df). Supondo entao = Adx+Bdy, temos
2dxdy+yzdxdz+xzdydz = d = Az
dxdzBz
dydz+(B
x A
y
)dxdy
e portanto
Bx A
y= 2
Az
= yz
Bz
= xz
z22 + x ( z22
)
y= 2
A = y z22 + (x, y)B = x z22 + (x, y)
x
y= 2
A = yz22 + (x, y)B = xz22 + (x, y)
.
Um potencial pode portanto ser obtido fazendo = 0 e = 2x, i.e.,
= yz2
2dx+
(xz
2
2+ 2x
)dy.
(d) x2yezdx dy dz.Resolucao: Uma vez que a derivada exterior desta 3-forma e uma 4-forma em E3, enecessariamente nula. Portanto esta 3-forma e fechada, e uma vez que E3 e em estrela, eexacta. Procurando um potencial da forma
= fdx dy
rapidamente se obtem
f
zdz dx dy = x2yezdx dy dz f
z= x2yez f = x2yez + C(x, y).
Portanto um potencial e por exemplo
= x2yezdx dy
2. Seja f : E3 R um campo escalar e v : E3 E3 um campo vectorial. Recorde que sev = v1e1 + v
2e2 + v3e3, podemos definir a 1-forma v = v
1dx+ v2dy + v3dz e a 2-formav = v
1dy dz + v2dz dx+ v3dx dy. Mostre que:(a) df = f , onde f designa o gradiente de f .
Resolucao: Tem-se
f = fx
e1+fy
e2+fz
e3=
f
xdx+
f
ydy +
f
zdz = df.
2
-
(b) dv = v, onde
v =
e1 e2 e3
x
y
z
v1 v2 v3
=
(v3
y v
2
z
)e1+
(v1
z v
3
x
)e2+
(v2
x v
1
y
)e3
e o rotacional de v.
Resolucao: Tem-se
dv = d(v1dx+ v2dy + v3dz)
=v1
ydy dx+ v
1
zdz dx+ v
2
xdx dy
+v2
zdz dy + v
3
xdx dz + v
3
ydy dz
=
(v3
y v
2
z
)dy dz +
(v1
z v
3
x
)dz dx+
(v2
x v
1
y
)dx dy
= v.
(c) dv = ( v)dx dy dz, onde
v = v1
x+v2
y+v3
z
e a divergencia de v.
Resolucao: Tem-se
dv = d(v1dy dz + v2dz dx+ v3dx dy)
=v1
xdx dy dz + v
2
ydy dz dx+ v
3
zdz dx dy
=
(v1
x+v2
y+v3
z
)dx dy dz.
(d) (f) = 0.Resolucao: Basta notar que
(f) = df = d(df) = 0.
(e) ( v) = 0.Resolucao: Basta notar que
( v)dx dy dz = dv = d(dv) = 0.
3. Mostre a 1-forma = y
x2 + y2dx+
x
x2 + y2dy
(definida em E2 \ {(0, 0)}) e fechada mas nao e exacta. (Sugestao: Mostre primeiro quese = df entao
= 0 para qualquer curva fechada ).
3
-
Resolucao: Para ver que e fechada basta calcular a sua derivada exterior:
d = x2 + y2 2y2(x2 + y2)2
dy dx+ x2 + y2 2x2(x2 + y2)2
dx dy = 0.
Seguindo a sugestao, suponhamos entao que e uma curva fechada, e seja g :]0, 1[ Enuma parametrizacao prolongavel por continuidade a [0, 1] com g(1) = g(0). Se = df ,temos portanto
=
]0,1[
g =
]0,1[
gdf =
]0,1[
d(gf) =
]0,1[
d(f g)
=
]0,1[
d(f g)dt
dt =
10
d(f g)dt
dt = f(g(1)) f(g(0)) = 0.
Para mostrar que nao e exacta, basta portanto encontrar uma curva fechada tal que 6= 0. Tomemos por exemplo a circunferencia de raio 1: uma parametrizacao e por
exemplo g :]0, 2[ E2 dada por
g() = (cos , sen )
e portanto
=
]0,2[
g =
]0,2[
sen sen2 + cos2
d(cos ) +cos
sen2 + cos2 d(sen )
=
]0,2[
sen2 d + cos2 d =
]0,2[
d =
20
d = 2 6= 0.
4. Calcule os integrais das formas diferenciais dadas ao longo das variedades indicadas comuma orientacao a` sua escolha:
(a) ydx+ xdy ao longo de {(x, y) E2 : x2 + y2 = 1};Resolucao: Uma parametrizacao e por exemplo g :]0, 2[ E2 dada por
g() = (cos , sen )
e portanto o integral pedido vem
]0,2[
g(ydx+ xdy) =
]0,2[ sen d(cos ) + cos d(sen )
=
]0,2[
sen2 d + cos2 d =
]0,2[
d =
20
d = 2.
(b) xdx+ ydy + zdz ao longo de {(x, y, z) E3 : x = z, x2 + y2 = 1};Resolucao: Uma parametrizacao e por exemplo g :]0, 2[ E3 dada por
g() = (cos , sen , cos )
4
-
e portanto o integral pedido vem
]0,2[
g(xdx+ ydy + zdz) =
]0,2[
cos d(cos ) + sen d(sen ) + cos d(cos )
=
]0,2[
cos sen d = 2
0cos sen d =
[cos2
2
]20
= 0.
Este resultado poderia tambem se obtido notando que estamos a integrar uma formaexacta ao longo de um caminho fechado:
xdx+ ydy + zdz = d
(x2
2+y2
2+z2
2
).
(c) dx dy ao longo de {(x, y, z) E3 : x2 + y2 + z2 = 9};Resolucao: Uma parametrizacao e por exemplo g :]0, []0, 2[ E3 dada por
g(, ) = (sen cos, sen sen, cos )
e portanto o integral pedido vem
]0,[]0,2[
g(dx dy) =
]0,[]0,2[d(sen cos) d(sen sen)
=
]0,[]0,2[
(cos cosd sen send) d(cos send + sen cosd)
=
]0,[]0,2[
sen cos d d =
0
20
sen cos dd
= 2
[sen2
2
]0
= 0.
(veremos mais tarde que o facto de este integral ser zero pode ser visto como umaconsequencia de estarmos a integrar uma forma exacta sobre uma variedade compacta:dx dy = d(xdy)).
(d) zdx dy ydx dz + xdy dz ao longo de {(x, y, z) E3 : z = x2 + y2, z 1}.Resolucao: Uma parametrizacao e por exemplo g : {(u, v) E2 : u2 + v2 < 1} E3dada por
g(u, v) = (u, v, u2 + v2)
5
- e portanto o integral pedido vem{u2+v2
-
O pull-back por esta parametrizacao de um elemento de volume compatvel com a orientacaopor ela induzida e
gdV2 =
detG(, )d d,onde G e a matriz 2 2 dada por
G11 =g
g
= (a cos cos, b cos sen,c sen ) (a cos cos, b cos sen,c sen )= a2 cos2 cos2 + b2 cos2 sen2 + c2 sen2 ;
G12 = G21 =g
g
= (a cos cos, b cos sen,c sen ) (a sen sen, b sen cos, 0)= (b2 a2) sen cos sen cos;
G22 =g
g
= (a sen sen, b sen cos, 0) (a sen sen, b sen cos, 0)= a2 sen2 sen2 + b2 sen2 cos2 .
Portanto
detG(r, ) =
a2 cos2 cos2 + b2 cos2 sen2 + c2 sen2 (b2 a2) sen cos sen cos
(b2 a2) sen cos sen cos a2 sen2 sen2 + b2 sen2 cos2
= a2b2 sen2 cos2 + a2c2 sen4 sen2 + b2c2 sen4 cos2
e a area da superfcie e
]0,[]0,2[
a2b2 sen2 cos2 + a2c2 sen4 sen2 + b2c2 sen4 cos2 d d
=
0
20
sen a2b2 cos2 + a2c2 sen2 sen2 + b2c2 sen2 cos2 dd.
7. Prove o Segundo Teorema de Pappus: a area de uma superfcie de revolucao gerada por umacurva plana e igual a 2dL, onde L e o comprimento da curva plana e d e a distancia doseu centroide ao eixo de rotacao. Aproveite este resultado para calcular a area da superfciedo toro
T ={(x, y, z) E3 : (
x2 + y2 R)2 + z2 r2
}
(0 < r < R).
Resolucao: Se a curva e parametrizada por c :]0, 1[ E2,
c(t) = (u(t), v(t))
uma parametrizacao da superfcie de revolucao gerada pela curva e g :]0, 1[]0, 2[ E3dada por
g(t, ) = (u(t) cos , u(t) sen , v(t)).
O pull-back por esta parametrizacao de um elemento de volume compatvel com a orientacaopor ela induzida e
gdV2 =
detG(t, )dt d,
7
-
onde G e a matriz 2 2 dada por
G11 =g
t gt
= (u cos , u sen , v) (u cos , u sen , v) = (u)2 + (v)2;
G12 = G21 =g
t g
= (u cos , u sen , v) (u sen , u cos , 0) = 0;
G22 =g
g
= (u sen , u cos , 0) (u sen , u cos , 0) = u2.
Portanto
detG(r, ) =
(u)2 + (v)2 0
0 u2
= u2((u)2 + (v)2
)
e a area da superfcie e
]0,1[]0,2[
u2 ((u)2 + (v)2)dt d =
10
20
u
(u)2 + (v)2ddt
= 2
10u
(u)2 + (v)2dt.
Ora o pull-back de um elemento de volume da curva compatvel com a parametrizacao c e
dc
dt dcdtdt =
(u)2 + (v)2dt
e a coordenada u do seu centroide e portanto
uC = d =1
L
]0,1[
u
(u)2 + (v)2dt =1
L
10u
(u)2 + (v)2dt.
Concluimos que a area da superfcie e 2dL. No caso do toro, d = R e L = 2r, pelo que aarea da superfcie do toro e 42rR. E tambem facil ver que a superfcie conica do exerccio5 se pode obter por rotacao do segmento de recta unindo os pontos (0, 0) e (a, h), pelo qued = a2 e L =
a2 + h2, vindo a area do cone 2 a2
a2 + h2 (em conformidade com o que
ja havamos obtido).
8. Seja S a superfcieS =
{(x, y, z) E3 : z = x2 + y2, z 1} .
Calcule:
(a) A area de S;
Resolucao: Uma parametrizacao desta superfcie e por exemplo g :]0, 1[]0, 2[ E3dada por
g(r, ) = (r cos , r sen , r2).
O pull-back por esta parametrizacao de um elemento de volume compatvel com aorientacao por ela induzida e
gdV2 =
detG(r, )dr d,
8
-
onde G e a matriz 2 2 dada por
G11 =g
r gr
= (cos , sen , 2r) (cos , sen , 2r) = 1 + 4r2;
G12 = G21 =g
r g
= (cos , sen , 2r) (r sen , r cos , 0) = 0;
G22 =g
g
= (r sen , r cos , 0) (r sen , r cos , 0) = r2.
Portanto
detG(r, ) =
1 + 4r2 0
0 r2
= r2(1 + 4r2
)
e a area da superfcie e
V2(S) =
S
dV2 =
]0,1[]0,2[
r
1 + 4r2dr d = 1
0
20
r
1 + 4r2ddr
= 2
[1
12
(1 + 4r2
) 32
]10
=
6
(5
3
2 1).
(b) O centroide de S.
Resolucao: Por simetria o centroide situa-se no eixo dos zz, i.e., xC = yC = 0. Como
S
zdV2 =
]0,1[]0,2[
r2r
1 + 4r2dr d = 1
0
20
r3
1 + 4r2ddr
= 2
10u1 + 4u
du
2=
[u1
6(1 + 4u)
3
2
]10
1
0
1
6(1 + 4u)
3
2du
=
65
3
2 [1
60(1 + 4u)
5
2
]10
=
65
3
2 160
(5)5
2 + 1
60=
125
3
2 +
60
temos
zC =1
V2(S)
S
zdV2 =125
3
2 + 606
(5
3
2 1) = 125
3
2 + 110
53
2 1.
9. Calcule o trabalho realizado pela forca
F(x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y)
ao longo da curva
C = {(x, y, z) E3 : x = cos , y = sen , z = 2, 0 2}
percorrida no sentido dos valores de z decrescentes.
Resolucao: Uma parametrizacao desta curva e por exemplo g :]0, 2[ E3 dada por
g() = (cos , sen , 2),
9
-
que no entanto corresponde a`s orientacao inversa da pretendida. O integral de linha de Fao longo da curva com esta orientacao e
C
(y + z)dx+ (x+ z)dy + (x+ y)dz
=
]0,2[
(sen + 2)d(cos ) + (cos + 2)d(sen ) + (cos + sen )d(2)
=
20
( sen2 2 sen + cos2 + 2 cos + 2 cos + 2 sen )d
=
20
cos(2)d + [2 cos + 2 sen ]20 = 4,
pelo que o trabalho realizado e entao 4.10. O campo de velocidades de um fluido e descrito pelo campo vectorial
v = (x, y,2z).Supondo que o fluido possui densidade constante igual a 1, calcule a massa de fluido queatravessa a superfcie
S = {(x, y, z) E3 : z = xy, x2 + y2 1}por unidade de tempo no sentido dos valores de z decrescentes.
Resolucao: Uma parametrizacao desta superfcie e por exemplo g : {(u, v) E2 : u2+v2 0;nesse caso, no ponto (0, 0, 1) = g(0, 0) a normal exterior unitaria e n = (0, 0,1), en = dx dy. Uma vez que
gn = d(
z2 1 cos ) d
(z2 1 sen
)= zdz d = 1d dz
para (, z) = (0, 0), e 1 > 0, concluiramos que g induz a orientacao correspondentea n.
(b) E facil ver que F = 0. A superfcie S e um pedaco de um hiperboloide cujo eixo e oeixo dos zz, e o seu bordo e constitudo por uma circunferencia C1 de raio
3 contida
no plano z = 2 e uma circunferencia C2 de raio8 contida no plano z = 3. Para
aplicar o Teorema da Divergencia (que so pode ser aplicado a superfcies que limitamvolumes), adicionamos a S os dois crculos D1 e D2 contidos nos planos z = 2 ez = 3 e cujos bordos sao C1 e C2. A normal unitaria indicada corresponde entao a`normal unitaria exterior n ao volume V limitado por D1 S D2. Note-se que, emD1, n = (0, 0,1) e, em D2, n = (0, 0, 1). Por outro lado, F(x, y, 2) = (2x, 2y,4)e F(x, y, 3) = (3x, 3y,9). Pelo Teorema da Divergencia tem-se entao
D1
F n dV2 +S
F n dV2 +D2
F n dV2 =V
F dV3 = 0,
4
-
ou seja, S
F n dV2 = D1
4dV2 D2
(9)dV2= 9V2(D2) 4V2(D1).
Como D1 e D2 sao crculos de raios sqrt3 e8, V2(D1) = 3 e V2(D2) = 8, e
portanto S
F n dV2 = 72 12 = 60,em conformidade com o nosso calculo anterior.
(c) Note-se que F = 0. Como F esta definido em E3, que e um conjunto em estrela,conclumos que F e um campo rotacional. Se A e um potencial vector para F, i.e.,se G = A, entao devemos ter
F = dA dA = xzdy dz + yzdz dx z2dx dy,ou seja,
A3y
A2z
= xz
A1z
A3x
= yz
A2x
A1y
= z2Como e sabido, o facto de o potencial vector estar definido a menos de um gradiente(ou equivalentemente de A estar definido menos de uma derivada exterior) permite-nos sempre assumir que uma das componentes deste se anula. Escolhemos por exemploA3 = 0. Entao obtem-se
A2
z= xz
A1z
= yz
A2x
A1y
= z2
A2 = xz22 + f(x, y)A1 =
yz2
2 + g(x, y)
z22 + fx z2
2 gy = z2
Portanto podemos por exemplo escolher f = g = 0, e um potencial vector para G eentao
A =
(yz2
2,xz
2
2, 0
).
Pelo Teorema de Stokes,S
F n dV2 =C1
A dg +C2
A dg
onde as orientacoes de C1 e C2 devem ser compatveis com a normal unitaria n.Mais precisamente, C1 deve ser percorrida no sentido directo quando vista do semieixopositivo dos zz, e C2 no sentido inverso. Uma parametrizacao para C1 e g() =(3 cos ,
3 sen , 2), e portanto
C1
A dg = 2
0(23 sen ,2
3 cos , 0) (
3 sen ,
3 cos , 0) d
=
20
(6)d = 12.
5
-
Uma parametrizacao para C2 e g() =(
3 cos ,3 sen , 1
); o sentido de C2 cor-
respondente a esta parametrizacao e no entanto o contrario a`quele que pretendemos,pelo que
C2
A dg = 2
0
(9
2
8 sen ,9
2
8 cos , 0
)(8 sen ,
8 cos , 0
)d
=
20
36d = 72.
Portanto mais uma vez conclumos queS
F n dV2 = 60.
4. Seja
M ={(x, y, z) E3 : (
x2 + y2 2)2 + z2 = 1
}Calcule o fluxo do campo vectorial
F(x, y, z) = (xesin z2
,yesin z2 , z)
atraves de M no sentido da normal exterior.
Resolucao: M e o bordo do toro solido
T ={(x, y, z) E3 : (
x2 + y2 2)2 + z2 1
},
e F = esin z2 esin z2 + 1 = 1.
Logo M
F n dV2 =T
F dV3 =T
1 dV3 = V3(T ) = 2 2 12 = 42
(onde usamos o Teorema de Pappus).
5. Use o Teorema de Stokes para calcularM com a orientacao correspondente a` normal
exterior, ondeM =
{(x, y, z) : x2 + y2 = 1, z 0}
e = xezdy dz + yezdz dx
Resolucao: Comecamos por observar que o integral pedido e apenas o fluxo do campoF = (e
zx, ezy, 0) para fora da superfcie cilndrica infinita M , e que portanto o integralpedido sera
M
=
M
(ezx, ezy, 0) (x, y, 0)dV2 =M
ezdV2 =
+0
20
ezddz = 2.
No entanto, queremos usar o Teorema de Stokes para calcular o integral. Uma forma de ofazer e notar que
d = 2ezdx dy dz.
6
-
Seja h > 0 e
D0 ={(x, y, z) : x2 + y2 1, z = 0} ;
Mh ={(x, y, z) : x2 + y2 = 1, 0 z h} ;
Dh ={(x, y, z) : x2 + y2 1, z = h} ;
Ah ={(x, y, z) : x2 + y2 1, 0 z h} .
Entao Ah = D0 Mh Dh e portanto pelo Teorema de StokesAh
d =
D0
+
Mh
+
Dh
.
A orientacao correspondente a` normal exterior emMh induz em Ah a orientacao usual (dadapelo elemento de volume dV3 = dx dy dz). Uma vez que F e tangente a D0, Dh,D0
=Dh
= 0, e portanto
Mh
=
Ah
d =
Ah
2ezdx dy dz =Ah
2ezdxdydz =
h0
10
20
2ezrddrdz =
= 2[r2]10
[ez]h0= 2
(1 eh
).
E facil ver que por exemplo o Teorema da Convergencia DominadaM
= limh+
Mh
= limh+
2(1 eh
)= 2
(como teria que ser).
Outra forma de calcular o integral usando o Teorema de Stokes e a seguinte: como vimos,
d 2ezdx dy dz = 0 d( + 2ezdx dy) = 0
pelo que a 2-forma = 2ezdx dy
e fechada. Uma vez que o seu domnio (E3) e em estrela, concluimos que e exacta. Alemdisso o integral de ezdx dy ao longo de M corresponde ao fluxo do campo vertical(0, 0, 2ez) atraves de M ; uma vez que este campo e tangente a M , o fluxo e nulo.Portanto
M
=
M
.
Calculemos um potencial para : se
= 1dx+ 2dy + 3dz
e tal que d = entao devemos ter
d = xezdy dz + yezdz dx+ 2ezdx dy,
7
-
ou seja,
3y 2
z= xez
1z 3
x= yez
2x 1
y= 2ez
Como e sabido, o facto de o potencial estar definido a menos da derivada exterior de umafuncao permite-nos sempre assumir que uma das componentes deste se anula. Escolhemospor exemplo 2 = 0. Entao obtem-se
3y
= xez
1z 3
x= yez
1y
= 2ez
3 = xyez + f(x, z)
2yez + gz yez f
x= yez
1 = 2yez + g(x, z)
Portanto podemos por exemplo escolher f(x, z) = g(x, z) = 0. Um potencial para eentao
= 2yezdx+ xyezdz.Apesar de M ser uma variedade com bordo,
M = C0 ={(x, y, z) : x2 + y2 = 1, z = 0
},
nao podemos aplicar directamente o Teorema de Stokes, uma vez que este teorema so evalido para variedades com bordo compactas, i.e., limitadas (de certa forma, M possui partedo bordo no infinito). Podemos no entanto aplica-lo a Mh, cujo bordo e Mh = C0Ch,com
Ch ={(x, y, z) : x2 + y2 = 1, z = h
}.
Pela regra da mao direita facilmente se conclui que a orientacao correspondente a` normalexterior em M induz a orientacao que corresponde a percorrer C0 no sentido directo noplano xOy e Ch no sentido oposto. Portanto
Mh
=
C0
+
Ch
=
]0,2[
2 sen d(cos )
]0,2[2 sen ehd(cos )
=
20
2 sen2 d eh 2
02 sen2 d = 2
(1 eh
)e consequentemente
M
=
M
= limh+
Mh
= limh+
2(1 eh
)= 2.
6. Seja M = {(x, y, z) E3 : x = y2 + z2, x 1}. Usando o teorema de Stokes,(a) Calcule
M
zdx dy + xdz dy onde e a orientacao determinada pela normal a Mque tem primeira componente positiva.
(b) CalculeM
ydz sendo M percorrida no sentido que visto da origem e a dos ponteirosdo relogio.
8
-
Resolucao:
(a) Claramente tem-se d(xzdy) = zdx dy + xdz dy, logo pelo teorema de Stokes,M
zdx dy + xdz dy =M
xzdy,
onde e a orientacao induzida em M pela orientacao de M . Tem-se
M = {(x, y, z) E3 : x = y2 + z2, x = 1} = {(1, y, z) E3 : y2 + z2 = 1}.
Uma vez que a orientacao dada a M corresponde a` normal que aponta para dentro doparaboloide, pela regra da mao direita, a circunferencia M deve ser percorrida numsentido que, visto de um ponto no semieixo positivo dos xx longe da origem, parece ocontrario ao dos ponteiros do relogio.
A parametrizacao g :]0, 2[ M definida por
g() = (1, cos , sen )
percorre M no sentido desejado, logoM
xzdy =
20
g(xzdy)
=
20
sen d(cos )
=
20
sen2 d
= .
(b) Pelo teorema de Stokes, M
ydz =
M
dy dz
onde e a orientacao de M que induz a orientacao dada em M . Pela regra damao direita vemos que e a orientacao correspondente a` normal que tem componentesegundo x positiva.
Uma parametrizacao para M e por exemplo g :]0, 1[]0, 2[M definida por
g(r, ) = (r2, r cos , r sen ).
Como
g
r g
=
e1 e2 e3
2r cos sen
0 r sen r cos
9
-
a primeira componente de gr g
e r > 0. Conclui-se que g induz a orientacao e
portanto,M
dy dz =
]0,1[]0,2[+g(dy dz)
=
]0,1[]0,2[+
d(r cos ) d(r sen )
=
]0,1[]0,2[+
(cos dr r sen d) (sen dr + r cos d)
=
]0,1[]0,2[+
rdr d
=
10
20
rddr
= .
7. SejaM = {(x, y, z) E3 : x2+y2+z2 = 1, z 0}. Use o Teorema de Stokes para calcularM
(1 + z2)dx dy onde e a orientacao determinada pela normal exterior a` esfera.Resolucao:
A forma (1+z2)dxdy nao e fechada e portanto nao e exacta. No entanto, para (x, y, z) M temos
1 + z2 = 1 + (1 x2 y2) = 2 x2 y2,pelo que
M(1 + z2)dx dy =
M
(2 x2 y2)dx dy.
A forma (2 x2 y2)dx dy e fechada em E3, que e um conjunto em estrela, e portantoe exacta.
E facil adivinhar um potencial para esta forma: d((2x 13x3
)dy) = (2 x2)dx dy e
d(13y3dx) = y2dx dy, logo
1
3y3dx+
(2x 1
3x3)dy
e um potencial para (2 x2 y2)dx dy.Pela regra da mao direita, a orientacao induzida por em M = {(x, y, 0) E3 :x2 + y2 = 1} e aquela que vista de um ponto com coordenada z positiva parece o sentidoanti-horario. Uma parametrizacao para M e por exemplo g :]0, 2[ M dada por
g() = (cos , sen , 0)
e claramente a orientacao induzida por esta parametrizacao e . Pelo teorema de Stokes,
10
-
conclumos queM
(1 + z2)dx dy =M
(2 x2 y2)dx dy
=
M
1
3y3dx+
(2x 1
3x3)dy
=
20
1
3sen3 d(cos ) +
(2 cos 1
3cos3
)d(sen )
=
20
(13
(sen4 + cos4
)+ 2 cos2
)d
=
20
(13
(1 2 cos2 sen2 )+ 2 cos2 ) d 2
0
(13
(1 1
2sen2(2)
)+ 2 cos2
)d
= 13
(2 1
2
)+ 2 =
3
2,
onde usamos a identidade
cos4 + sen4 =(cos2 + sen2
)2 2 cos2 sen2 = 1 2 cos2 sen2 .8. Seja M = {(x, y, z, w) E4 : w2+1 = x2+y2+z2, 0 w 2}. Calcule
Mdxdydz
onde e a orientacao de M dada pela normal que aponta na direccao do eixo dos ww.
Resolucao:
SejaV = {(x, y, z, w) E4 : w2 + 1 x2 + y2 + z2, 0 w 2}.
Entao V e um conjunto compacto e
V = M
T1
T2
onde
T1 = {(x, y, z, w) E4 : w2+1 x2+y2+z2, w = 0} = {(x, y, z, 0) E4 : x2+y2+z2 1}
e
T2 = {(x, y, z, w) E4 : w2+1 x2+y2+z2, w = 2} = {(x, y, z, 2) E4 : x2+y2+z2 5}.
Uma vez que d(dx dy dz) = 0, pelo teorema de Stokes tem-seV
dx dy dz = 0
qualquer que seja a orientacao escolhida para V . Pela aditividade do integral conclui-seque
Mdx dy dz +
T1
dx dy dz +T2
dx dy dz = 0
11
-
onde designa a orientacao determinada em cada hipersuperfcie pela normal interior a V .
O espaco tangente a T1 e T2 e, em qualquer ponto, {(x, y, z, 0) E4} pelo que dxdydze um elemento de volume para T1 e T2. Resta saber se e o elemento de volume compatvelcom as orientacoes . A normal unitaria interior a T1 e (0, 0, 0, 1), logo o elemento devolume correspondente a` orientacao determinada por esta normal e (1)411dxdydz =dx dy dz. Da mesma forma vemos que o elemento de volume para T2 determinadopela orientacao e dx dy dz. Assim, tem-se
Mdx dy dz =
T1
dx dy dz T2
dx dy dz
=
T1
dx dy dz T2
dx dy dz
=
T1
dxdydz T2
dxdydz
= V3(T1) V3(T2)=
4
3 4
3
53.
9. SejaV = {(x, y, z) E3 : x2 + y2 + z2 1, x 0, y 0, z 0}.
Calcule o fluxo do campo vectorial
F(x, y, z) = ( 1x2 + y2 + z2
, 0, 0)
atraves de V no sentido da normal exterior a V .
Resolucao:
Nao se pode aplicar directamente o teorema da divergencia porque F nao e de classe C1
em V . No entanto, podemos aplicar o teorema da divergencia a regioes
V = {(x, y, z) E3 : 2 x2 + y2 + z2 1, x 0, y 0, z 0}
e passar ao limite quando 0:Temos V = T1
T2T3S, onde
T1 = {(x, y, 0) E3 : x2 + y2 1, x 0, y 0};T2 = {(0, y, z) E3 : y2 + z2 1, y 0, z 0};T3 = {(x, 0, z) E3 : x2 + z2 1, x 0, z 0};S = {(x, y, z) E3 : x2 + y2 + z2 = 1, x 0, y 0, z 0},
Temos tambem V = T1,T2,
T3,
SS, onde Ti, designa a porcao de Ti a uma
distancia da origem, e
S = {(x, y, z) E3 : x2 + y2 + z2 = 2, x 0, y 0, z 0}.
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O campo F e paralelo a T1 e T3, pelo que trivialmente temos para i = 1, 3
0 = lim0
Ti,
F n =Ti
F n.
Por outro lado F e perpendicular a T2 pelo que
lim0
T2,
F (1, 0, 0) = lim0
T2,
1y2 + z2
dV2.
Uma vez que a funcao 1y2+z2
e integravel em T2 (como facilmente se verifica utilizando
coordenadas polares), pelo teorema da convergencia monotona conclui-se que
lim0
T2,
F (1, 0, 0) =T2
F (1, 0, 0).
Finalmente, tem-se S
F n
S
|F|dV2
=
S
1
dV2
=42
8
1
=
2
pelo que
lim0
S
F n = 0.
Uma vez que podemos aplicar o teorema da divergencia a V, conclui-se queV
F n = lim0
V
F n = lim0
V
F.
Ora F(x, y, z) = x
(x2 + y2 + z2)3
2
;
logo, usando coordenadas esfericas, obtemosV
F =V
x
(x2 + y2 + z2)3
2
dV3
=
1
2
0
2
0
r sen cos
r3r2 sen dddr
= (1 )(
2
0cosd
)( 2
0sen2 d
)
= (1 )4,
e portanto V
F n = 4.
13
-
10. Seja V E3 uma variedade-3 com bordo compacta e : V [0,+[ E3 uma aplicacaode classe C1, tal que para cada t [0,+[ a aplicacao t : V E3 dada por t(x, y, z) =(x, y, z, t) e injectiva e com derivada injectiva. modela a evolucao de uma porcao defluido com o tempo: no instante t, o fluido ocupa a posicao t(V ) em E
3.
O campo vectorial vt : t(V ) E3 definido por
vt(t(x, y, z)) =
t(x, y, z, t).
designa-se por campo de velocidades do fluido.
Prove o Teorema de Liouville: Se vt = 0 entao para todo o T 0, tem-seV3(T (V )) = V3(0(V )).
Isto e, se a divergencia do campo de velocidades e 0, entao o volume ocupado pela porcaode fluido mantem-se constante.
Resolucao:
Comecamos por observar que : V [0, T ] E4 dada por(x, y, z, t) = ((x, y, z, t), t)
parametriza uma variedade com bordo M cujo bordo e
M = 0(V ) {0}
(V [0, T ])
T (V ) {T}.e que
v t
= (vt, 1).
Uma vez que a ultima componente de v e constante, temos vt = v = 0. Alem disso,uma vez que (0, 0, 0,1) sao as normais unitarias a 0(V ){0} e T (V ){T}, podemosescrever
V3(T (V )) V3(0(V )) =(V{0})
v (0, 0, 0,1) +(V{T})
v (0, 0, 0, 1)
=
(V{0})
v n +(V{T})
v n
onde n designa a normal exterior a M . Uma vez que v = t
e claramente tangentea (V [0, T ]) (se fixarmos (x, y, z) V entao (x, y, z, t) descreve uma curva em(V [0, T ])), obtemos do Teorema da Divergencia
V3(T (V )) V3(0(V )) =(V{0})
v (0, 0, 0,1) +(V{T})
v (0, 0, 0, 1)
=
M
v n dV3 (V[0,T ])
v n dV3
=
M
v dV4 0 = 0,
o que conclui a demonstracao.
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