Universidade Tecnolgica Federal do Paran

Curso de Engenharia de Computao

Vitor Vinicius Gomes da Silva

Cnicas e Qudricas

Cornlio Procpio

2014

Universidade Tecnolgica Federal do Paran

Curso de Engenharia de Computao

Vitor Vinicius Gomes da Silva

Cnicas e Qudricas

Trabalho individual elaborado pelo

aluno Vitor Vinicius Gomes da Silva, RA

1581775 como completo nota final da

disciplina Geometria Analtica e lgebra

Linear, 2 Semestre de 2014, lecionada

pela Prof. Daniele Silva

Cornlio Procpio

2014

Introduo

Este trabalho tem como objetivo enunciar as diversas caractersticas observadas

na Cnicas e Qudricas, assunto este muito importante para a lgebra e o

Clculo em geral. O estudo destes tem como objetivo explicar com so

originadas as mais diversas forma de objeto e espao existentes na natureza e

no meio modificado pelo homem.

Sumrio

Introduo.................................................................................................................... 3

Cnicas ........................................................................................................................ 5

Definio: ..................................................................................................................... 5

Elipse............................................................................................................................ 6

Equaes Usadas em Elipses .............................................................................. 6

Excentricidade ......................................................................................................... 7

Hiprbole...................................................................................................................... 7

Equaes Usadas em Hiprboles........................................................................ 7

Excentricidade ......................................................................................................... 8

Parbola....................................................................................................................... 8

Equaes Usadas em Parbolas ......................................................................... 8

Qudricas ........................................................................................................................ 9

Superfcies................................................................................................................... 9

Esfrica..................................................................................................................... 9

Cilndrica .................................................................................................................. 9

Cnica....................................................................................................................... 9

Rotao .................................................................................................................... 9

Elipsoide ................................................................................................................. 10

Hiperboloide de uma folha .................................................................................. 10

Hiperboloide de duas folhas................................................................................ 10

Cone........................................................................................................................ 10

Paraboloide ............................................................................................................ 11

Paraboloide ............................................................................................................ 11

Paraboloide Hiperblico ou Sela ........................................................................ 11

Paraboloide Degenerado..................................................................................... 11

Qudrica Degenerada .......................................................................................... 12

Cilindro.................................................................................................................... 12

Referncias ................................................................................................................... 13

Cnicas

Em geometria, as cnicas so curvas geradas ou encontradas, na interseco

de um plano que transpassa um cone.

Nesta superfcie afunilada e em outras, existem trs tipos de cortes que podem

ser obtidos pelo processo de interseco no plano e resultam nas

representaes na figura abaixo:

Definio:

1. Elipse: Cnica definida na interseo de um plano que atravessa a

superfcie de um cone;

2. Parbola: Cnica tambm definida na interseco de um plano que

penetra a superfcie de um cone;

3. Hiprbole: Cnica definida na interseo de um plano que penetra

um cone em paralelo ao seu eixo.

4. Circunferncia: Uma elipse perfeita, cuja excentricidade nula.

Elipse

Uma elipse um tipo de seo cnica. Uma superfcie cnica que cortada com

um plano que no passe pela base e que no intercepte as duas folhas do cone,

a interseco entre o cone e o plano uma elipse. Em resumo, a interseco

de uma superfcie cnica com um plano que a corta numa curva fechada como

demonstrado nas figuras abaixo:

Em algumas caractersticas, possvel considerar o crculo e o segmento de reta

como casos especiais de elipses. No caso do crculo, o plano que corta o cone

paralelo sua base. Veja na imagem abaixo:

A elipse possui dois focos, que no caso do crculo so sobrepostos. O segmento

de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta

que passa pelo ponto mdio do eixo maior e perpendicular a ele chama-se eixo

menor.

Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo

menor, obtm-se elipses cada vez mais prximas de um segmento de reta. A

elipse tambm a interseco de uma superfcie cilndrica com um plano que a

corta numa curva fechada.

As medidas da elipse so dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo

chamadas, respetivamente, de semieixo maior (a) e semieixo menor (b).

Equaes Usadas em Elipses

Algebricamente, uma elipse a curva no plano cartesiano definida por uma

equao da forma:

2 + + 2 + + + = 0

Onde:

1. B

(

)

2

+ (

)

2

= 1

Onde, o ponto (k, x) representa o centro da elipse; a e b so os semieixos da

elipse.

Excentricidade: =

Como a equao a=b+c tambm vlida para elipses, ento: =

=

22

Sendo c

3. Definindo um par de pontos (x, y) na elipse, o sistema resultante possui

mais de uma soluo;

Hiprbole de abertura Leste-Oeste: ()2

()2

2= 1

Hiprbole de abertura Norte-Sul: ()2

()2

2= 1

Onde, (h, k) o centro da hiprbole; a semieixo maior e b o menor, b pode

ser maior que a.

Excentricidade: = 1 +

ou =

Caso a hiprbole seja retangular com os eixos de coordenadas paralelos com

suas assntotas, ento vale a seguinte equao:

( )( ) =

Parbola

A parbola uma seo cnica gerada pela interseo de uma superfcie cnica

de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone, a chamada

geratriz. Uma parbola tambm pode ser definida como o conjunto dos pontos

que so equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada

(chamada de diretriz). Em resumo a parbola uma curva plana. Veja a

representao de uma parbola com suas propriedades reflexivas, a diretriz (em

verde), as linhas conectando o foco e e a diretriz parbola (em azul) nas

figuras abaixo:

Equaes Usadas em Parbolas

Em geral, uma parbola uma curva no plano cartesiano definida por uma

equao irredutvel da forma:

2 + + 2 + + + = 0

Onde, B = 4AC

Em coordenadas cartesianas, uma parbola com um eixo paralelo ao eixo y com

vrtice (h, k), foco (h, k + p), e diretriz y = k - p, com p sendo a distncia entre o

vrtice e o foco, possui a equao:

( )2 = 4( ) ou ( ) = (1/4)( )

Podendo ainda ser escrita na forma mais comum: = 2 + +

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Parabola.svghttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Parabola_showing_focus_and_reflective_property.png

Qudricas

Em geometria, qudrica ou superfcie qudrica o conjunto dos pontos do

espao tridimensional cujas coordenadas formam um polinmio de segundo

grau de no mximo trs variveis denominada de equao cartesiana da

superfcie.

2 + 2 + 2 + + + + + + + = 0

De modo informal, as superfcies quadrticas so as regies formadas quando

as cnicas se movimentam no espao. A partir da equao geral do segundo

grau nas trs variveis x,y,z possvel representar uma superfcie quadrtica.

Superfcies

Podemos observar que se a superfcie quadrtica formada pela equao geral

for cortada por um plano, a curva de interseo ser uma cnica. Sendo assim

obtemos as seguintes superfcies:

Esfrica

A superfcie esfrica S de centro C e raio r > 0 o lugar geomtrico dos pontos

do espao que mantm a distncia r de C.

Seja

= (, , ) = (0,0, 0)

Ento d(P, C) = r, ou seja, a equao implcita de S :

( 0)2 + ( 0)

2 + ( 0)2 =

Se aproximarmos um plano , de uma superfcie esfrica de modo que este

toque a superfcie em apenas um ponto Pt, este ponto chamado ponto de

tangncia onde vlido:

= {}

Se por acaso o plano tocar a superfcie em mais de um ponto, ento o plano secante superfcie. Isto acontece quando d(C,) =

Cilndrica

denominada uma superfcie cilndrica se existir uma curva C e uma reta r tais

que a superfcie seja a unio de retas paralelas a r que passem por C. C

chamada diretriz da superfcie S e as retas paralelas a r so geratrizes de S.

Se a curva C for uma qudrica plana, ento a superfcie ser uma qudrica no

espao.

Cnica

Uma superfcie S dita cnica se ela for formada a partir de uma curva C e um

ponto V no pertencente a C tal que S a unio das retas VQ, onde Q percorre

C. Se a curva C for uma qudrica plana, ento a superfcie ser uma qudrica

no espao.

Rotao

Uma superfcie S uma superfcie de rotao se existem uma reta r e uma

curva C tal que S a unio das circunferncias com centro em r e que

tangenciam C.

Onde r o eixo de rotao de S. A interseo de S com o semiplano de origem

r um meridiano de S. S ser uma qudrica quando C, alm de ser uma

qudrica, ainda tem r como eixo de simetria.

Elipsoide

Equao:

+

+

= 1 2 + + 2 = sendo ab ou ac ou cb

Representao grfica:

Hiperboloide de uma folha

Equao: 2 + 2 2 =

Representao grfica:

Hiperboloide de duas folhas

Equao: 2 2 + 2 =

Representao grfica:

Cone

Equao: 2 + 2 2 =

Representao grfica:

Paraboloide

Equao: 2 + =

Representao grfica:

Paraboloide

Equao: 2 + =

Representao grfica:

Paraboloide Hiperblico ou Sela

Equao: 2 + =

Representao grfica:

Paraboloide Degenerado

Equao: 2 + =

Representao grfica:

Qudrica Degenerada Equao: + + = 0

Representao grfica:

Cilindro

Equao: 2 + 2 + + =

Representao grfica:

Referncias

Edio. (10 de Agosto de 2014). Cnicas - Ensino Mdio - S Matemtica.

Fonte: S Matemtica:

http://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas.php

Marcelo Manzali Bonaccorsi, R. A. (10 de Agosto de 2014). Qudricas. Fonte:

Matemtica UFMG:

http://www.mat.ufmg.br/~syok/cursos/mat039/quadricas/quadricas.htm

UFRGS, I. d. (10 de Agosto de 2014). Clculo e Geometria Analtica IIA . Fonte:

www.mat.ufrgs.br: http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/quadrica/

Venturi, J. J. (2003 Edicao 5). Cnicas e Qudricas. Curitiba:

http://geometriaa.dominiotemporario.com/livros/cq.pdf. Fonte:

http://geometriaa.dominiotemporario.com/livros/cq.pdf

Wikipdia, a. e. (10 de Agosto de 2014). Cnica. Fonte: Wikipedia:

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3nica

Wikipdia, a. e. (10 de Agosto de 2014). Qudrica. Fonte: Wikipedia:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%A1drica

IntroduoCnicasDefinio:ElipseEquaes Usadas em Elipses

HiprboleEquaes Usadas em Hiprboles

ParbolaEquaes Usadas em Parbolas

QudricasSuperfciesCilndricaCnicaRotaoElipsoideHiperboloide de uma folhaHiperboloide de duas folhasConeParaboloideParaboloideParaboloide Hiperblico ou SelaParaboloide DegeneradoQudrica DegeneradaCilindro

Referncias