JUCELI DE FATIMA BRUNATTO BUBNIAK

CONICAS E GEOMETRIA DINAMICA

Monografia apresentada como requisitoparcial a obtenc;ao do titulo de Especialistaem Educac;ao Matematica, Curso de P6s-Gradua9ao em Educac;ao Matematica,Universidade Tuiuti do Parana.

Qrientador: Prof. Dr. Jorge Bernard

Co-Orientador: Prof. Rui Alberto E. Tavares

CURITIBA

2002

SUMARIO

LlSTA DE TABELAS E ILUSTRACOES

RESUMO vi

INTRODUCAo

1.1 OBJETIVOS

1.2 IMPORTANCIA DO TRABALHO

1.3 ORGANIZACAo DA MONOGRAFIA 2

2 UMA BREVE HISTORIA DAS CONICAS 3

21 APOLONIO DE PERGA 4

2.2 ALGUMAS DEMONSTRACOES DE APOLONIO 5

3 AS CONICAS E SUAS DEFINICOES 10

3.1 EQUACAO CANONICA DAS CONICAS 11

3.2 CONICAS COM CENTRO GENERICO 13

3.3 PARABOLA E 0 ENSINO MEDIO 14

4 AS CONICAS NO CABRI GEOMETRE 16

4.1 CABRI-GEOMETRE NA SALA DE AULA 16

4.2 CONICAS COMO LUGAR GEOMETRICO 17

5 AS CONICAS E 0 MUNDO REAL 21

6 ATIVIDADE DESENVOLVIDA 24

CONCLUSOES 26

REFERENCIAS 27

iv

RESUMO

Este trabalho apresenta urn estudo sabre as s8yoes cbnicas utilizando comoferramenta 0 software Cabri-Geometre. No ensina media a geometria analitica econsiderada dificil pelos as alunos, vista que exige a raciocfnio algebrico e acompreensao das transforma90es geometricas no espago cartesiano. 0 objetivodeste trabalho e levar 80 educando e ao professor urn t6pico enriquecedor, ende 0aluno pade interagir com 0 ambiente computacional, explorar e visualizar situ8goesque sedam impossiveis em midias convencionais. Alem disso, a abordagemproposta permitiu a alunos do ensina media conhecer aspectos matem.aticos eaplica96es da geometri8. A realiz8gao destas atividades proporcionou urna mudang8de postura nos educandos, atuando como elemento de motiva~ao para as aulas.

Palavras-chave: Cabri-Geometre, Geometria Dinamica, Seyoes Cbnicas, Ensino

Media, Cam put adores e sala de aula.

vi

1 INTRODUC;Ao

1.1 OBJETIVOS

o ensina da matematica vern 58 transformando atraves dos tempos,

incorporando novas recursos e novas tecnologias na rela<;:ao

professor/aluno/conhecimento. Com iS50, contribui-se para que a matematica

assuma a papel que a sociedade espera dela, au seja, estar ao alcance dos alunos

e tornar-S8 pratica em suas vidas, ajudando-os em suas relary6es com 0 meio social

em que vivem. Para isso contribuir com a aprendizagem da matematica este

trabalho apresenta urn estudo sobre as sec;6es coni cas, utilizando a geometria

dinamica como ferramenta para auxiliar no processo ensina aprendizagem.

Neste trabalho procurou-se levar 0 educando a explorar e visualizar as

s8<;:oes c6nicas atraves dos recurSO$ do software Cabri-Geometre, pais

tradicionaJmente existem estudantes e professores que tem dificuldade de

compreender e abordar este conteudo no ens ina media.

1.2 IMPORTANCIA DO TRABALHO

Pensando na educa<;ao atuaJ e nas suas transforma<;oes, a maneira

tradicional de ensinar matematica nao mais satisfaz as necessidades dos indivfduos

e da sociedade, pOis hoje nao se exige apenas conhecimentos teoricos, mas

tambem conhecimentos praticos e principal mente de tecnologia.

Sendo assim, as mudan9as devem iniciar na escola com a objetivo de farmar

individuos capazes de se adaptarem as necessidades a que estao submetidos.

Par isso este trabalho propoe que a educando construa seu proprio

conhecimento e utilize 0 computador como mediador no processo ensino-

aprendizagem. Par intermedio da tecnologia, recurso valioso para a forma<;ao dos

individuos, e de novas metodologias, como a geometria dinamica e passivel abordar

o conteuda de se0es conicas na ensina media de forma que constru<;.oes

geometricas possam ser visualizadas dinamicamente, contribuindo para a sucesso

no aprendizado da matematica.

1.3 ORGANIZAc;:iio DA MONOGRAFIA

Este trabalho foi organizado em mais seis capitulos, ah§m desta introdUl;ao.

o segundo capitulo descreve uma breve hist6ria das S890es cenicas,

trazendo tarnbam demonstra96es e 0 teorema de Apol6nio de Perga.

o terceiro capitulo define as conicas, suas equac;:6es e traz urn relatc da

parabola e 0 ensina media.

No quarto capitulo sao feitas considerae;:6es sobre 0 software Cabri-

Geometre, colocando-o como ferramenta que utilizada em sala de aula permite

ampliar 0 conhecimento do aluno. Ainda, as cbnicas sao formal mente definidas

como lugares geometricos.

o quinto capitulo caracteriza a importancia das cenicas no mundo real e suas

aplicayees.

o sexto capitulo descreve e analisa uma atividade realizada em sala de aula

com auxilio do computador.

o setima capitulo apresenta as conclus6es e as sugest6es de trabalhas

futuros.

2 UMA BREVE HISrORIA DAS CONICAS

De acordo com (Venturi, 1994) diz a lenda que as sec;6es conicas originaram-

S8 em Atenas no ano de 430 ae, par ocasiao de uma peste. Atrav8S do oracula de

Delfos, Zeus anunciou aos sofridos cidadaos que a fim da peste estava

condicionado a constru~ao de um altar a Apolo cujo tamanho fosse 0 dobro daquele

ja existente, que tinha a forma de um cuba. Os atenienses rapidamente dobraram as

medidas das arestas do cuba, conforme S8 observa da figura 1.

Figura 1. 0 problema da duplica<;ao do cubo.

A peste em vez de S8 amainar , recrudesceu. Qual foi 0 erro? Em vez de

dobrar 0 volume do cubo, os atenienses octophcaram 0 altar. Pais, para a == 1, tem-

S8 que Vcubo = 13 = 1 e para a = 2, tern-S8 que VcuOo = 23 = 8. A complexidade do

problema S8 deve ao fato de que as 9reg05 procuravam uma soluc;ao geometrica. 0

gebmetra grego Menecrno resolveu ° problema com 0 tra9ado de uma parabola e de

urna hiperbole MeneclT!o obteve geometricamente 0 ponto de interse980 da parabola

x' = 2y com a hiperbole xy = 1. A solu~ao e x = V2. A solu~ao deste problema e

trivial com os recursos da algebra: procura-se a aresta (x) de urn cubo, cujo volume

seja 0 dobro do volume de urn cubo de a ::: 1 (Vcubo = a3): x3 = 2 =13 e

x = ;fi = 1,26.

Figura 2. Solu,ao do problema da duplicac;:ao do cubo.

2.1 APOLONIO DE PERGA

Dentre as matematicos mais importantes do helenismo destacam-se:

Euclides, Arquimedes e Apolonio. Este ultimo chamado de "0 grande geometra"

devido a sua ramosa obra 0 Tratado das Se(;oes C6nicas, considerada uma das

principais obras cientificas da Antiguidade, dando assim 0 direito de sar a mais

erninente figura da geometria pura na Giencia greg8.

Apolonio, que nasceu em Perga, na Asia Menor e viveu em Alexandria nos

finais do seculo XIII antes de cristo, mostrou pela primeira vez que de um unieD cone

podem ser obtidas todas as tres especies de s8<;:oes cbnicas, a elipse, a parabola e

a hiperbole, simplesmente variando a inclina<;ao do plano de secyao. Esse foi 0

passo importante para relacionar as tres tipos de curvas.

Ate entaD 0 cone utilizado era de uma so folha. Apol6nia introduziu a cane

duplo (de duas folhas) apresentando assim a hiperbale, que nos e familiar. 0

interesse pelo estudo das oonicas remonta epocas mUlto recuadas, talvez ao seculo

quarto aC. Prado atrib'uiu ao matematico grego Menecmo, disci pula de Eudoxia de

Cnide, a fata de ter sido a primeiro a considerar as c6nicas na resoluyao de

problemas como a duplicayac do cuba, que a conduziu ao estudo da intersegao de

uma hiperbole com uma parabola. No entanto, devemos a Apol6nio de Perga as

generaliza<;6es, as construgoes e as teoremas referentes as segoes feitas par planas

na superficie de urn cone circular e, ate mesmo as denominagoes de eJipse,

hiperbole e parabola as curvas resultantes de segoes planas nao perpendiculares ao

eixo do cone. Leibniz sintetiza sua admirayaa irrestrita pel a genic de Perga com a

frase: "Qui Archemiedem e Ap%nius intelligit, recen/iorum summorum inventa

parcius mirabitur". Qutros genios mate maticos como Gauss, Gino Loria, Newton,

Poncelet, Quetelet, Braunmul, Fagnano, Euler, Dandelin dedicaram especial atenyao

ao Teorerna de Apolbnio com muitas demonstrayoes que serviram para valorizar 0

trabalho original de seu autor.

Por sugestao Arquimedes Apolbnio introduziu os nomes a Elipse, Parabola e

Hiperbole. As palavras elipse, parabola e hiperbole nao foram inventadas

expressamente; foram adaptadas de uso anterior, provavelmente pelos pitagoricos,

na soluyao de equac;oes e areas. Ellipsis (significando falta) tinha sido usada quando

urn retangulo de area dada era aplicado em um quadrado (ou outra figura

especificada ), e hyperbola (um lan~amento ah;m) tinha sido a palavra usada quando

a area excedia 0 segmento. A palavra parabola (indicando colocar ao lado ou

comparaC;ao) nao indicava nem excesso nem deficiencia. Apolbnio aplicou estas

palavras num contexto novo como nomes para as sey6es planas

2.2 ALGUMAS DEMONSTRA90ES DE APOLONIO

De acordo com (Boyer, 1996) Apolbnio mostrou em um de seus livros que

todo cone circular obliquo tern nao 56 uma infinidade de sec;6es circulares paralelas

a base, mas tambern um outro conjunto infinito de s€c;oes circulares dadas pelo que

ele chamou de sec;oes subcontrarias.

Seja BFC a base do cone circular obliquo e seja ABC uma seyao triangular do

cone (conforme mostrado na figura 3). 5eja P qualquer ponto de uma sec;ao circular

OPE para lela a BFC e seja HPK uma se~ao por um plano tal que os triimgulos AHK

e ABC sao semelhantes mas de orientayoes contrarias. Apolbnio chamou a seC;ao

HPK de seC;ao subcontraria e mostrou que e urn circulo. E faci! prova-Io usando a

semelhanl'a de triimgulos HMO e EMK da qual resulta que: HM.MK ; OM .ME ;

PM2, a propriedade caracteristica do circulo. 5e pusermos HM = x, HK = a e PM = Y

entao I; x (a - x) OU x'+ I; ax, que e a equal'aO do drculo.

/~~:BE:3c

Figura 3. Segoes subcontrarias do cone obliquo

Apol6nio, como seus predecessores, obtinha as cbnicas a partir de um cone

no espago tridimensional, mas dispensou 0 cone quando deduziu uma propriedade

plana fundamental. Seja ABC uma se,iio iriangular de um cone circular obi iquo,

conforme mostrado na figura 4 e seja P qualquer ponto sobre uma se,iio HPK

cortando todos as elementos do cone .Prolongue-se HI( ate encontrar Be em G e

par P passe-S8 urn plano horizontal que corta 0 cone no circulo OPE e a plano HPK

na reta PM Trace-se DME um diametro do circulo perpendicular a PM Entiio da

semelhan,a dos triangulos MEK e KCG temos /viI:; = CG .MK KG

Da propriedade do circulo temos PM'=(HM BG/HG)(MKCG)/KG.

Se PM = y, HM = x e HK = 2a, a propriedade na senten,a precedente

equivale a equa,iio y' = kx (2a - x) que conhecemos como a equa,iio de uma elipse

com H como vertice e HK como eixo maior. De modo semelhante, Apolbnio obteve

para a hiperbole 0 equi"alente da equa,iio y' = kx Ix - 2a).

,~i~K'

B~C---------:::"G

Figura 4. Se,iio triangular do cone obliquo.

Apol6nio mostrou que os pontos medias de um conjunto de cordas para ~~o a. ~,~::;.

urn diarnetro de urna elipse ou hiperbole forrnarao urn segundo diametro, os r aI ~'(!.

sendo chamados "diametros conjugados" Apol6nio ern geral usava urn par de

diametros conjugados como equivalentes de eixos de coordenadas obllquas. 0

sistema de diametros conjugados farnecia um quadro de referenda

excepcionalmente uti I para urna conica, pois Apolonio mostrou que se urna reta e

tra,ada par uma extremidade de um diametro de uma elipse au hiperbole

paralelamente ao conjugado, a reta tocara a conica e nenhuma Qutra reta pode cair

entre ela e a conica, isto a, a reta sera tangente a conica .

Apolonio conhecia as propriedades da hiparbole referida as assintotas como

eixos, dadas, para hiperbole equilatera, pela equa!y8o xy = c2 Nao podia saber, que

urn dia essa rela980 equivalente a lei de Boyle, seria fundamental no estuda dos

gases, ou que seu estudo da eJipse seria essencial para a moderna astronomia.

Segundo Apolonio, se P e qualquer ponto sabre qualquer hiperbole, com

centro C, a tangente em P cartare. as assintotas em pontos L e L' (conforme figura 5)

que sao eqOidistantes de P, toda corda QQ' paralela a CP encantrare. as assintotas

em pontos K e K' tais que OK ; O'K' e OK OK' ; CP'o No caso da elipse por

exemplo, se 0 e um ponto da curva (conlorme ligura 6), Apolonio tra,ava uma

perpendicular ON de 0 ao eixo AA' e achava 0 conjugado harmonica T de N com

rela,ao a A e A' Isto e ele achava a ponto T da reta AA' estendia tal que

AT/A'T;NAlNA'; em outras palavras determinava a ponto T que divide a segmento

AA' externamente na mesma razao em que N a divide internamente. Areta T e Q

sera entaD a tangente da elipse. 0 caso em que Q nao jaz sabre a curva pode ser

reduzido a esse por meio de propriedades familiares da divis80 harmonica.

,'~

""''',''

Figura 5, Diametro conjugado da Hiperbole.

Figura 6. Razao Harmonica da Elipse.

Apolonio provou urn teorema relativQ a normal de urna parabola que e parte

de cursos de calculos. Em terminologia moderna a teorema afirma que a subnormal

da parabola Y;2px par qualquer ponto P sabre a curva e constante e igual a p; na

. linguagem de Apolonio essa propriedade se exprime mais ou menos assim: se A e 0

vertice de uma parabola y;2px e se G e um ponto no eixo tal que AG > p, e se N eum ponto entre A e G tal que NG;p, e se NP e tral'ado perpendicularmente ao eixo,

encontrando a parabola em P (conforme se observa da figura 7), entao PG e 0

segmenta de reta minima de G a curva e portanto e normal a parabola em P.

~

c·······~·~o .~.

Figura 7. Normal a parabola par um ponto do eixo.

A prova de Apolonio mostra que se P' e qualquer outro ponto da parabola,

P'G cresce quando P' de qualquer dos dois lados. Uma prova do teorema

corresponde, mas mais complicado, referente a normal a uma elipse ou hiperbole de

um ponto sabre 0 eixo e dada entao; e mostra-se que se P e um ponto sabre a

conica, s6 uma normal pode ser trayada par P, quer seja considerada como minima

au um maximo, e essa normal e perpendicular a tangente em P.

Apolonio mostrou como construir uma normal a uma se<;8o cbnica de um

ponto Q fora da parabola y' = 2px, e para Q fora da parabola e nao sobre 0 eixo,

tral'a-se a perpendicular QM ao eixo AK, mede-se MH=p, e levanta-se HR

perpendicular a HA (conforme se observa na figura 8). Entao par Q tral'a-se a

hiperbole retangular com assintotas HA e HR, que carta a parabola num ponto P. A

reta QP e a normal pedida, como prova mostrando que NK=HM=p. Se a ponto Q

esta dentro da parabola, a constrUy80 e semelhante, s6 que P cai entre Q e R.

H MAN K

Figura 8. Normal a parabola par urn ponto qualquer.

10

3 AS CONICAS E SUAS DEFINI<;OES

Segundo [Lima, 19921 uma S8g8.0 c6nica ou, simplesmente, uma coniea euma curva obtida cortando-se qualquer cone de duas folhas par urn plano que nao

passa pel a vertice, chamado de plano secante.

Se 0 plano secante e paralel0 a uma geratriz do cone, a conlea e urn

parabola, conforme S8 observa da figura 9.

Figura 9. Seyao da Parabola.

Se a plano secante nao e paralelo a uma geratriz e corta 56 uma das folhas

do cone, a conlea e uma elipse, conforme S8 constata da figura 10

·Figura 10. SeyaO da Elipse.

S8 0 plano secante nao e paralelo a uma geratriz e corta ambas folhas de

cone, a coniea e uma hiperbole, conforme S8 visualiza na figura 11.

II

Figura 11. Se«iio da Hip'"bole.

3.1 EQUA<;:AO CANONICADAS CONICAS

A fim de determinar mais facilmente as equagoes das conicas, escolhemos,

para a elipse e hiperbole, urn sistema de coordenadas tal que as fo.cos estejam no

eixo x e eqOidistantes da origem. Para a parabola escolhemos urn sistema tal que 0

fOCD esteja no eixo x e a origem eqOidistante do foco e da diretriz .Assim obtemos

as equagoes a seguir,chamadas equa96es can6nicas ou reduzidas das c6nicas.

a) Elipse E: determinada par seus focos {.; (-c,o) e F, = (c,o),onde c ~ 0 e

pela constante 20 > 2(; ,tern a equa980 reduzida ~ + ~ = 1, com a~ = b! + c:a- b-

Sao elementos da elipse: 0 centro ('=(0,0), as vertices A, = (-a,O)

.4, = (a,O) , 8, =(0,-1» e 8, =(0,1», os focos F, = (-c,O) e {.; = (c,O) , 0 eixo maior

AI A! , 0 eixo menor: /31H~ e a excentricidade: e = £ , conforme S8 constata da figuraa

12

B2

Figura 12. Elementos da Elipse.

12

Observe que 0 :::;e < 1 Note tambem que S8 e e aproximadamente 0, entao e

e muito menor do que a e portanto b1 e aproximadamente igual a (/2 lsto significa

que, neste casa, a elipse E e mais redonda (S9 e=O, e urn drculo). Analogamente,

S8 e e aproxim.adamente 1,entao a e aproximadamente igual a c, e portanto, h~ eaproxirl)adamente O. lsto significa que, neste casa, a elipse E e mais alongada. De

acordo com [SWOKOWSKI, 1994J a distancia entre dais pontos e dada pel a formula

d(P1,P2) = ~(x2 - X1)2 + (y2 - y1)2 . Mediante a procedimentos algebricos descritos

2 2em [VENTURI, 1994J obtem-se a equac;ao reduzida da elipse: .::,+ r, = 1.

a b

b) Parabola P: determinada par seu foco F=(p,O) e por sua geratriz 0 x=-p,

tern a equ8c;ao reduzida y~ ::::4px.

Sao elementos da parabola' a diretriz' f)' x:::: -I', 0 vertice: V·= (0,0), a foco:

F = (p,O), conforme se observa na figura 13

Figura 13. Elementos da Parabola.

c) Hiperbole H: determinada por seus focos J'; = (-c,O) e J.; = (c,o),e pel a

constante 20< 2c, temaequ8980reduzida ~-~=l,com b1 ::::c2 _a2

£1- h-

Sao elementos da hiperbole: a centro C=(O,O), as vertices

v~ := (CI,O), as focos: J.; = (-c,O) e l~ = (a,O) , as assintotas: y = _!!..x e y = ~x e aa a

excentricidade: e =.:., conforme S8 obs~rva na figura 14.a

Observe que e>1. Note tambem que S8 ee aproximadamente 1,entao e eaproximadamente ae portanto b! e aproximadamente igual a zero.lsso significa

que, neste casa, a hiperbole H e muito fechada.

Analogamente, S8 e e muito major do que 1,entao e e muito major do que a e

portantob1 e muito maior do que 0; iSl0 significa que, neste caso, a hiperbole H e

muito aberta.

Figura 14. Elementos da Hiperbole.

3.2 CONICAS COM CENTRO GENERICO

As equ8<;oes das c6nicas descritas anteriormente tern todas focos no eixo x

e centro ou vertice em (0,0). Analisamos agora 0 casa em que 0 centro ou 0 vertice eum ponto (h, k) qualquer do plano e as focos estao na reta y = k para lela ao eixo x

ou na reta x = h paralela 80 eixo y

As equa90es com um centro generico em (h, k) e focos na reta y = k sao

• Elipse: (x-~)' + (Y-,k), com a' ~b' +c';(r h-

14

• Parabola: (y-h)' =4p(x-h},

Hiperbole: (x- ;')' _ (y~k) = I com b' = c' -0'.0- b-

As equ890es respectivas com centro ou vertices generico em (h, k) mas focos

na reta x = II sao obtidas trocando x ~ It par Y - k nas equ890es aeima.

3.3 PARABOLA E 0 ENSINO MEDIO

A parabola e a conica mais trabalhada no ensina media e, muitas vezes,

tambem a (mica, conforme menciona [GOULART, 1999]. Ocorre que, nesse nivel, a

maioria dos livros didaticos apresenta a equ89f1o y = ax1 + bx + c, ,do segundo grau

em x e simples mente afirma que 0 gn3fico da mesma e urna curva denominada

parabola e nao caracteriza como lugar geometrico

Partindo da equ8980 y=ax2+bx+c,vamos obter sua forma conica e assim

caracteriza-Ia como parabola; tambem reconhecemos seus elementos, bern como

suas eventuais interse90es com a eixo x (raizes).

Completando a quadrado no lado direito da equa9ao Y = ax~+bx+c,obtemos

{, 0 1>') b'Y= x-+-x+-----, +c--,que

b 4a~ 4aequivalente equac;ao

40c-c' ( b)'Y - --- = a x +- ,e esta par sua vez, reconhecemos com sendo a equa9ao4a 2a

.. . .. ( b 4aC-b') ( h -!'.)canonlca de uma parabola ,com vertlce no ponto --,--- = --,- e20 40 20 4a

com p = ....!...-, onde t:.. = h ~ - 4ac e a discriminante de y = ax" + bx + c40

Agora, e facil obter as raizes da equa9E1o y = ax" + bx+ c,ou seja, deduzir a

formula de Bhaskara: queremos encontrar todos as possiveis valores de x para as

quais J = o. As equa90es a seguir sao equivalentes: y = 0, ax: + hx + c = 0,

40c-I>' ( b)'----=a xl--4a 20

J 5

Oividinda esta ultima equac;ao per a e reescrevenda e terma da esquerda,

h'-40c ( bJ'obtemos: --, - = x + ~40- 20

Na ultima equa980 do lado direito da igualdade e sempre positive ou nule e,

portanto, 0 mesme deve ocorrer com 0 lado esquerdo. Como 40~ > O,estabelecemos

Assim, se

b~ - 4ac:2: 0, nossa equac;ao tem solu980 e, para obte-Ia, extraimos a raiz quadrada

dos dais lados de

1>'-4oc ( b)'---= \"'+~4a2 • 20 ~I bl\I~=x+~,

e

x=-!!.+ Ib~-~OC = -b+~portanto, 0 \ 4(,. 20

b /b' -4{/c -I>-~

x=-~-\ ~ = 20 'que e a f6rmula de Bhaskara.

ou

16

4 AS CONICAS NO CABRI GEOMETRE

4.1 CABRI-GEOMETRE NA SALA DE AULA

Nas series finais do Ensino Fundamental e no Ensino Media, a Geometria

AnaHtica e considerada dificil e pouco dinamica, pois exige do a\uno raciocinio

algebrico, e a compreensao das tranSTormac;:oes geometricas. Pensando em

situ8¢8S como estas, podemos utilizar 0 software Cabri-Geometre como uma

ferramenta desafiadora na sala de aula, nas construc;:oes geometricas, como par

exemplo na manipulag6es de figuras conicas, apresentando situ8goes que desafiam

o raciocinio do adolescente, cabe aD professor contextualizar certas situ8g6es, de

pesquisa que envoi va a experimentag30 e a observ8g8o, isto exige uma nova

postura do professor no ambiente computacional, ande a formac;:ao de

conhecimentos matematicos e educacionais e necessaria para que se possa saber

resolver novos problemas que decorrem da \irnitat;80 do cornputador

[SANGIACOMO,1999].

No Cabri-Geametre ha urn comando chamado "conicas" que e baseado em

um tearema da geometria projetiva que diz que par meio de cinco pontos e possive!

canstruir qualquer conica. Nesta forma de construir c6nicas a a\uno pode visua\izar

que, a medida que as pontcs sao movimentados ocorrem as transformat;oes de uma

conica em outra (fjgura 15) a que e impassive! visua!izar com as metod os

tradicionais, cabendo ao professor enriquecer suas aulas !evando experiencias como

essas para seus alunos [SILVA, 1998].

Figura 15. Cabri-Geometre e a ferramenta c6nicas.

17

4.2 CONICAS COMO LUGAR GEOMETRICO

o software Cabri·Geometre possibilita a usa de varias ferramentas para S8

trabalhar com a geometria plana, no Ensino Fundamental e Media [BONGIOVANNI,

1999; LOURENC;O, 20001. Uma delas e a possibilidade de se construir a lugar

geometrico de pontcs que S8 movem no plano segundo uma propriedade qualquer,

sendo assim 0 professor pode facilmente mostrar a seus alunos propriedades

importantes da geometria plana, as quais as alunos nao conseguem compreender

nos metod as tradicionais. Par exemplo, a partir das defini90es das c6nicas

(parabola, elipse e hiperbole), podemos facilmente construir essas cbnicas:

Parabola: define-s8 como 0 conjunto de pontcs P do plano tais que a

distancia ell de P a urn ponto fixe F, chama do de foco da parabola ,13 igual a

disUmcia d2 de Pauma reta fixa D chamada diretriz da parabola.

Utilizando a definiyao dada acima e seguindo os passos abaixo, e passivel

construir uma parabola utilizando como ferramenta "Iugar geometrico"

a) Construa um ponto F, foco da parabola, em um ponto qualquer de sua

regiao de trabalho;

b) construa a reta d, diretriz da parabola;

c) construa um ponto x, sobre a reta d;

d) construa a reta t, perpendicular a d pelo ponto x;

e) construa a mediatriz m dos pontos Fe x;

f) construa interseyao P das retas met;

g) selecione a ferramenta lugar geometrico (L.G.) no botao das construcyoes;

h) indique a ponto P (fica piscando);

i) indique 0 ponto x - sugere a curva L.G., esta curva normal mente em

vermelho, muitas vezes tern um aspecto nao muito uniforme (depende da

quanti dade de pontos utilizados na construyao do L.G .. Esta quantidade e

escolhida no menu 0P90es;

j) selecione a opcyao cbnicas (botao curvas );

k) esconda a curva lugar geometrico e todos os tracyos auxiliares, deixando

apenas a foco Fe a diretriz d e a curva em azul;

18

I) movimente 0 foco F e a diretriz de verifique como a curva varia

Figura 16. Exemplo de Parabola no Cabri-Geometre.

Elipse: Define-S8 como 0 conjunto de pontcs P do plano t8i5 que e constante

a soma "I + d~ das distancias dl e d~, respectivamente, de P a dais pontcs fixos

"'1 e «'~,chamamos focos da elipse.

Para construir a elipse utilizaremos como no casa anterior, a ferramenta lugar

geometrico:

a) erie urn segmento Ai"i,

b) erie urn ponto X sabre 0 segmento AB,

e) erie as pontos I~ e I'; ,observando que d(/';, r-; )<AB;d) com 0 auxilio do compasso trans porte 0 segmento AX com origem em F[

e 0 segmento BX com origem em Fo.'

e) construa as inters8Qoes de PeP' das duas circunferencias ;

f) construa 0 Lugar Geometrico dos pontcs P e P' em relay8lo a X I

g) construa a conica de cinca pontcs sabre 0 Lugar Geometrico (sugere a

elipse azul);

h) modifique a espessura e a cor, segundo sua vontade;

19

i) aculte os trac;os auxiliares, deixando apenas 0 segmento AR ,0 ponto X, FI

e I'~e a curva.

Figura 17. Exemplo de Elipse no Cabri-Geometre.

Hiperbole: Define-s8 como 0 conjunto de todos as pontcs P do plano tais que

e constante 0 modulo da diferen98 ldl - dzl das distancias dl e dJ, respectivamente,

de P a dois pontcs fixos I'; e /;~ 1 chamados focos da hiperbole.

Para construir a hiperbole utilizaremos, como nos caSDS anteriores, as

ferramentas compasso e lugar geometrico:

a) erie a reta r,

b) erie os pontos A, Be X sobre a reta r.

c) erie as pontcs j.; e /-~ sobre sua tela;

d) transporte, com a auxflio do compasso, 0 segmento AX para a origem {.;

e 0 segmento XB para a origem f~;

e) construa as inters8c;oes PeP' das drcunferencias transportadas;

f) construa a Lugar Geometrico dos pontos PeP' em rela9ao ao ponto X;

g) construa a c6nica de cinco pontos sobre 0 lugar geometrico, dando origem

il hiperbole da figura abaixo;

h) modifique a espessura e a cor da curva personalizando-a.

Figura 18. Exemplo de Hiperbole no Cabri-Geometre.

20

5 AS CONICAS E 0 MUNDO REAL

o interesse pelo estudo das c6nicas ramonta a epocas remotas. De fato estas

curvas desempenham urn papal importante em varios dominios: a propria

matematica, a fisica, a Astronomia, a Economia, a Engenharia e muitas Dutras

situ8<;oes, pelo que naG e de estranhar que 0 interesse pelo seu estudo seja taoantigo.

Suponhamos que temas urna lanterna direcionada para urna parede, entao 0

feixe de luz emitido desen,hara nessa parede urna curva coniea, conforme S8

observa da figura 19. Este fata aconteee porque a feixe de luz emitido pel a lanterna

forma urn cone, e tambem porque funciona como urn plano que carta a cone

formado. Dependendo da inclina<;8o, da lanterna relativamente a parede, assim S8

obtem urna circunferencia, uma elipse, uma parabola ou uma hiperbole.

Figura 19. Ap1ical'80 de elipse: lanterna.

Na Astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem

6rbitas elipticas, as quais tern 0 sol num dos facos. Na figura 20 visualiza-se uma

constrw;:ao representando 0 mavimenta da Lua a radar da Terra e da Terra em torno

do Sol.

•Figura 20. Aplical'ao de elipse: movimento planetario.

22

Os satelites enviados para 0 espa90 percorrem trajetorias elipticas, mas nem

todos as objetos que circulam no espayo tern orbitas e!fpticas. Existem cametas que

percorrem trajet6rias hiperb61icas, 0$ quais ao passarem perto de· algum planeta

com grande densidade alteram a sua trajet6ria para outra hiperbole com urn fOGO

situa.do nesse planeta. Como a parabola e urn casa de equilibrio entre a elipse e a

hiperbole (8 excentricidade da parabola e igua\ a um),a probabilidade de 8x;stir

algum satelite com orbita parab61ica e quase nula. Mas isso nao impede a existencia

de sate lites com esta trajetoria.

Tambem as trajet6rias dos projeteis num ambiente sob a 8c;ao da forg8 da

gravidade sao parab6licas, conforme 58 observa da figura 21. Por vezes, as

diferen<;as entre as trajetorias elipticas e as parab61icas sao quase indiscerniveis,

podendo ser facilmente verificadas em alguns fatos como, a jato de agua de uma

mangueira, cuja abertura esta inclinada para cima. A balistjca (ciemcia que estuda as

trajet6rias de projsteis) faz uso desse fato para determinar 0 local da queda de um

projsti!.

Figura 21. Aplica9ao de parabola: balistica.

23

Fazendo usa da prapriedade refletara da parabola Arquimedes construiu

espelhos parab6licos, as quais par refletirem a luz solar para urn s6 ponto, foram

usados para incendiar os barcos romanos quando das invasoes de Siracusa.

Lembre-se que a concentrar;:ao de energia gera calor.

De fato, as propriedades refletoras das conicas, e nao somente as da

parabola, tem contribuido para a constru9210 de telescopios, antenas, radares, farois,

lanternas, etc. Na figura 22 mostra-se como exemplo de apllcagao uma antena

parab6lica.

Figura 22. Aplicagao de parabola: antena parab6lica.

o cesto hiperb6lico, mostrado na figura 23, e uma superiicie descrita par uma

hiperbole girando em tomo do eixo nao transversa dessa curva. Esta superficie

gerada denomina-se hiperboloide de revolU!;ao de uma folha, possuindo aplicagoes

em varias areas.

Figura 23. Aplicagao da hiperbole: cesto hiperb6lico.

24

6 ATIVIDADE DESENVOLVIDA

Tradicionalmente da-se pouca importancia as s8<;oes c6nicas nos curriculos

eseelares. E lament ave I nao oferecer esse conteudo programatico aos alunos

talentosos que tern habilidade para apreciar a sua magia geometrica, principalmente

nas series iniciais do ensina medio. Fai desenvolvida uma experiencia pedagogica

sabre as cbnicas com as alunos da "Ia serie do ensina media do Colegio Estadual

Profa. Maria Luiza Franco Pacheco, situado no municipio de Balsa Nova - Parana.

Nesta atividade as alunos visualizaram e puderam explorar as figuras cbnicas

utilizando como ferramenta 0 software Cabri-Geometre, conforme S8 observa da

figura 24.

~.

Figura 24. Alunos visualizando as cbnicas no Cabri-Geometre.

No primeiro momenta da atividade foram mostradas transparEmcias sobre a

historia das cbnicas, as desenhos das sec;6es cbnicas e textos sabre aplicac;6es.

Percebeu-se que a introdu<;ao do computador no en sino desse conteudo serviu

como forma de reorganizar 0 trabalho docente. Alem disso, os aspectos dinamicos

do software atuaram como excelente agente de motivar;ao, dado que 0 grupo de

alunos nao passufa contata frequente com a informatica.

Na segunda fase da experiemcia as estudantes puderam explorar outros

exemplos de figuras conicas desenvolvidas no Cabri, sendo que algumas delas com

25

animagoes. Entre as quais, destacou-se a representagao do movimento ellptico da

Terra em torno do Sol. Embora os alunos nao conhecessem a software, a

mecanismo de funcjonamento da ferramenta cbnicas fOl rapidamente compreendido

e utilizado, Na figura 25 observa-se urn aluno que movirnentando a construyao

geornetrica percebeu 0 dinamismo das cbnicas que podem converter -se de

hiperbole, para parabola e para elipse.

Figura 25. Explorando 0 comando cbnicas.

Neste capitulo, procurou-se relatar uma experiencia bem sucedida e

gratificante no que se refere ao estudo de cbnicas utilizando a geometria djnamica.

26

7 CONCLUSOES

Neste trabalho foram apresentadas as s8<;oes conicas, sua hist6ria, suas

equ8c;:oes, bern como suas defini<;oes como lugar geometrico e suas aplicayaes no

mundo real. Utilizando-se de representa<;oes dinamicas, uma atividade foi

desenvolvida com alunos do ensina media baseada na explora98o, visualiz8<;2IO e

construry8o de conceitos geometricos. A fundamentayao teorica leve par base 0

construcionismo que procura focar a construc;:ao do conhecimento atraves da

explorayao, visualizayao e do usa do computador. No decorrer do trabalho

percebeu-se 0 quanta a geometfi8 dinamica auxiliou na construC;:2Io de

conhecimentos mate maticos no ensina media e atuou como agente de motiv8gao.

A criac;:ao de estrategias desenvolvidas na sala de aula e no laboratorio de

informatica possibilitou ao aluno a constru9ao do conhecimento da geometria no

ensino medio, assim sugere-se como trabalhos futures a realiza9ao de estudos e

pesquisas em outros conteudos do ensino medio. Neste estudo nao foram

realizadas comparat;:oes com outras metodologias e softwares, 0 que podera ser

desenvolvido em futures trabalhos de pesquisas.

REFERENCIAS

[1) BONGIOVANNI, Vincenzo et al. Oescobrindo 0 Cabri-Geometre: Caderno de

Atividades. Sao Paulo: Ed. FlO, 1999

[2) BOYER, Carl B. Historia da Matematica. Sao Paulo: Edgard Blucher, 1996.

[3) GOULART, Marcio C. Matematica no ensino medio. Sao Paulo: Scipione, 1999.

[4) LIMA, Elon Lages. Coordenadas no plano. Rio de Janeiro: SBM, 1992.

[5) LOURENCO, Marcos L. Cabri-Geometre II: introdu9ao e atividades.

Catanduva: FAFICA, 2000.

[6) SANGIACOMO, Ligia et al. Explorando a geometria elementar com 0

dinamismo do Cabri-Geometre. Sao Paulo: PROEM, 1999.

[7) SILVA, Maria C. L. et al. Explorando conceitos da geometria elementar com 0

software Cabri-Geometre. Sao Paulo: EDUC, 1998.

[8) SWOKOWSKI, Earl W Calculo com Geometria Analitica. Sao Paulo: McGraw-

Hill,1994.

[9) VENTURI, Jacir J. Conicas e Quadricas. Curitiba: Ed. Unificado, 1994.