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Universidade Federal do ABC

Curso de Engenharia Aeroespacial

Material de leitura da disciplina de Graduação:

Métodos Computacionais para Análise Estrutural

Tópico: Dinâmica de vigas pelo método dos elementos finitos

Professor: Dr. Juan Avila

Maio de 2020

Métodos Computacionais para Análise Estrutural, Prof. Juan Avila

2

1 Equação de movimento de vigas

A Figura 1 mostra uma viga plana e seu sistema global de coordenadas XY. A viga é

submetida a uma carga distribuída variante no tempo, ( , )q X t . Considerando um

comportamento elástico-linear para a estrutura e ao discretizar a mesma com dois

elementos finitos de viga, deseja-se deduzir as equações de movimento de elementos

finitos usando o princípio dos trabalhos virtuais. As deformações axiais e de cisalhamento

não são consideradas no estudo do comportamento da viga. As condições de contorno e

as reações de apoio também não são consideradas nesta fase de obtenção das equações de

movimento.

A viga tem área de seção transversal A, momento de inércia de área I, comprimento LT,

densidade e módulo de elasticidade E.

Figura 1. Viga plana submetida a carga dinâmica distribuída.

A Figura 2 mostra duas configurações de equilíbrio da viga: inicial e no instante de tempo

t . A primeira é definida por uma linha reta que coincide com o eixo X e a segunda é

definida por seis deslocamentos nodais 1 2 3 4 5 6, , , , e D D D D D D . A curva de deflexão

da viga sobre cada elemento finito é aproximada por interpolação hermitiana cúbica

usando os deslocamentos nodais do elemento.


3

Figura 2. Configurações de equilíbrio e deslocamentos nodais.

Se nós “congelamos” a configuração da viga no instante de tempo t e em seguida

aplicamos um sistema de deslocamentos virtuais dados por

1 2 3 4 5 6, , , , e D D D D D D , então uma configuração virtual da viga é definida,

vide Figura 3. Consequentemente, todas as forças atuantes na viga, tanto internas quanto

externas, as quais estão em equilíbrio dinâmico, realizam trabalhos devido à imposição

de um movimento virtual adicional.

Figura 3. Configuração no instante de tempo t e configuração virtual.


4

O princípio dos trabalhos virtuais declara que se uma estrutura está em equilíbrio, o

trabalho virtual das forças internas, INTW , é igual ao trabalho virtual das forças externas,

EXTW , para qualquer movimento infinitesimal imposto virtualmente à estrutura,

INT EXTW W (1)

Para o caso da viga, o trabalho virtual das forças internas é a soma dos trabalhos virtuais

individuais realizados pelas tensões, tensãoW , forças de inércia, inerciaW , e forças de

amortecimento estrutural, .amortecW . O trabalho virtual das forças externas é o realizado

pela carga distribuída, arg

.c adistrib

W . Assim, a Equação 1 é escrita como,

. arg.

tensão inercia amortec c adistrib

W W W W (2)

Trabalho realizado pelas tensões internas

A Figura 4 mostra um segmento diferencial do elemento finito 1, nas suas posições inicial,

no instante de tempo t e virtual. Mostra-se também o sistema local de coordenadas xy do

elemento finito. A deflexão, rotação e momento fletor na posição x do elemento finito (a

face esquerda) são: v , dv dx e M, respetivamente, e as mesmas na posição x dx (a

face direita): v dv , d e M dM . As rotações virtuais em ambas posições são,

e ( )d .


5

Figura 4. Segmento diferencial do elemento finito 1.

A tensão interna que atua na face esquerda do segmento diferencial da Figura 4 é

representada pelo momento M, e o trabalho realizado pela mesma é M . O trabalho

realizado pelo momento atuante na face direita deste segmento diferencial é ( )M d

. Então o trabalho líquido realizado pelas tensões atuantes neste segmento diferencial de

viga é ( )M d Md , ou,

2

2

2

2

( ) ( )

( )

M d Md M d

dM dx

dx

dM dx

dx

d vM dx

dx

d vM dx

dx

(3)

O trabalho total realizado pelas tensões no elemento finito 1 é, usando a Equação 3

2(1)

20

( )L

tensão

d vW M dx

dx

(4)


6

Como o momento está relacionado com a curvatura através de 2

2

d vM EI

dx , então a

última expressão torna-se,

2 2(1)

2 20

( )L

tensão

d v d vW EI dx

dx dx

(5)

A deflexão v na posição x, vide Figura 4, é interpolada a partir dos deslocamentos nodais

do elemento finito 1 como,

1

2

1 2 3 4

3

4

[ ]{ }

D

Dv N N N N

D

D

N d

(6)

onde [ ]N é a matriz de funções de forma (funções cúbicas hermitianas) e { }d é o vetor

de deslocamentos nodais.

Ao determinar a segunda derivada da deflexão dada pela Equação 6, obtém-se a curvatura

na posição x,

2

2[ ]{ }

d vN d

dx , (7)

cuja variação é expressa como,

2

2[ ]{ }

d vN d

dx

. (8)

Introduzindo as Equações 7 e 8 na Equação 5 resulta,

(1)

0

[ ]

(1) (1) (1)

{ } [ ] [ ] { }

{ } [ ] { }

LT T

tensão

k

T

W d N EI N dx d

d k d

(9)

onde (1)[ ]k é a matriz de rigidez do elemento 1,


7

2 2

(1)

3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2[ ]

12 6 12 6

6 2 6 4

L L

L L L LEIk

L LL

L L L L

(10)

Procede-se analogamente para determinar o trabalho realizado pelas tensões no elemento

finito 2, resultando,

(2) (2) (2) (2){ } [ ] { }T

tensãoW d k d (11)

Trabalho virtual realizado pelas forças de inércia

Em problemas de dinâmica de vigas planas, um elemento diferencial de viga possui três

componentes de aceleração, duas translacionais nas direções dos eixos X e Y e uma

angular ao redor de um eixo normal ao plano do papel. Em muitas aplicações de

engenharia, a aceleração transversal ao eixo da viga tem maior influência no

comportamento da estrutura em comparação aos efeitos dos outros componentes de

aceleração os quais são desprezados. Nesta disciplina, considera-se somente a aceleração

na direção do eixo Y enquanto que as acelerações na direção do eixo X e ao redor de eixos

normais ao plano do papel são omitidas.

A Figura 5 mostra o mesmo segmento diferencial da Figura 4 nas suas posições inicial,

no instante de tempo t e virtual. Este segmento diferencial de viga tem massa dV e, no

instante de tempo t, sua aceleração é v . A força de inércia que atua neste segmento

diferencial é v dV , e seu trabalho realizado através da deflexão virtual v é v v dV

. Então, o trabalho virtual total realizado pelas forças de inércia atuantes no elemento

finito 1 é,

(1)

inerciaV

W v v dV (12)


8

Figura 5. Forças de inércia e de amortecimento atuantes em um segmento diferencial de

viga.

A aceleração do segmento diferencial de viga é interpolada a partir das acelerações nodais

como,

[ ]{ }v N d (13)

e a deflexão virtual é dada por, ao aplicar o operador variacional à Equação 6,

[ ]{ }

{ } [ ]T T

v N d

d N

. (14)

Introduzindo as Equações 13 e 14 na Equação 12 obtém-se,

(1)

[ ]

(1) (1) (1)

{ } [ ] [ ] { }

{ } [ ] { }

T T

inerciaV

m

T

W d N N dV d

d m d

(15)

onde (1)[ ]m é a matriz de massas consistentes do elemento finito 1,

(1)

0

2 2

2 2

[ ] [ ] [ ]

156 22 54 13

22 4 13 3

54 13 156 22420

13 3 22 4

LTm N N Adx

L L

L L L Lm

L L

L L L L

, (16)


9

e m é a massa do elemento finito, m AL .

Analogamente, o trabalho virtual realizado pelas forças de inércia que atuam no elemento

finito 2 é,

(2) (2) (2) (2){ } [ ] { }T

inerciaW d m d . (17)

Trabalho virtual realizado pelas forças de amortecimento estrutural

Quando a viga é posta para vibrar livremente sua amplitude de vibração diminui com o

tempo devido à propriedade de amortecimento intrínseco do material.

Assume-se que uma força distribuída por unidade de volume, sendo proporcional à

velocidade da viga, dada por cv atua para amortecer o movimento da estrutura, onde c é

o coeficiente de amortecimento e v é a velocidade em um ponto da viga. Este modelo de

amortecimento que é proporcional à velocidade é o viscoso.

Na Figura 5, o segmento diferencial de viga possui velocidade v e a força de

amortecimento que atua no mesmo é cvdV . O trabalho realizado por esta força através

da deflexão virtual v é v cvdV , e o trabalho virtual total das forças de amortecimento

que atuam no elemento 1 é,

(1)

.0

L

amortecW v cvdV (18)

A velocidade do segmento diferencial de viga é interpolada a partir das velocidades

nodais como,

[ ]{ }v N d (19)

A Equação 19 ao ser substituída na Equação (18) resulta,

(1)

.

[ ]

(1) (1) (1)

{ } [ ] [ ] { }

{ } [ ] { }

T T

amortecV

c

T

W d c N N dV d

d c d

(20)

onde 1[ ]c é a matriz de amortecimento estrutural do elemento 1.


10

Analogamente, o trabalho virtual da força de amortecimento distribuída que atua no

elemento 2 é,

(2) (2) (2) (2)

. { } [ ] { }T

amortecW d c d . (21)

Trabalho virtual realizado pelas forças externas

A carga distribuída q(x) atuante sobre o elemento finito 1 no instante de tempo t também

realiza trabalho devido à imposição de deslocamentos adicionais na direção transversal,

(1)

arg0

.

( )L

c adistrib

W v q x dx . (22)

Ao introduzir a deflexão virtual (Equação 14) na Equação 22 resulta,

(1)

arg0

.

{ }

(1) (1)

{ } [ ] ( )

{ } { }

LT T

c adistrib

r

T

W d N q x dx

d r

(23)

onde (1){ }r é o vetor de cargas nodais consistente do elemento finito 1.

Analogamente tem-se o vetor de cargas nodais para o elemento finito 2,

(2) (2) (2)

arg.

{ } { }T

c adistrib

W d r . (24)

Princípio dos trabalhos virtuais

Introduzindo as expressões de trabalhos virtuais para os dois elementos finitos dadas pelas

Equações 9, 11, 15, 17, 20, 21, 23 e 24 na Equação 2, obtém-se,

(1) (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) (1) (2) (2) (2)

(1) (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) (2) (2)

{ } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] { }

{ } [ ] { } { } [ ] { } { } { } { } { }

T T T T

T T T T

d k d d k d d m d d m d

d c d d c d d r d r

(25)


11

A Equação 25 pode ser escrita como, após o processo de expansão e soma de matrizes e

vetores,

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { }T T T TD M D D C D D K D D R (26)

com 1 2 3 4 5 6{ }T

D D D D D D D sendo o vetor de deslocamentos

virtuais, nodais e globais.

Eliminando { }TD da Equação 26, obtém-se,

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }M D C D K D R (27)

onde,

{ },{ } e { }D D D são os vetores de deslocamentos, velocidades e acelerações nodais

globais;

[ ]M é a matriz de massas consistentes globais;

[ ]C a matriz de amortecimento estrutural global;

[ ]K a matriz de rigidez global e,

[ ]R o vetor de cargas nodais globais.

A Equação 27 consiste em um sistema de 6 equações diferenciais de segunda ordem

acopladas as quais devem ser resolvidas numericamente para obter a história de resposta

da viga, uma vez aplicada as condições de contorno.


12

2. Vibração livre não amortecida

A Figura 6a mostra a mesma viga estudada na seção anterior, antes de aplicar o

carregamento externo, porém agora incluindo um grupo de condições de contorno. O

extremo esquerdo da viga é fixo e o direito articulado, ou seja, a viga tem três graus de

liberdade dados pelos deslocamentos nodais 3D , 4D e 6D .

A Tabela 1 apresenta os dados da viga.

Tabela 1. Características físicas e geométricas da viga

Parâmetro Valor

Comprimento total, TL

200 in

Momento de inércia de área, I

4100 in

Módulo de elasticidade, E

66,58 10 psi

Massa por unidade de comprimento, m 20,1 lb.s /in/in


13

Figura 6. Modos de vibração natural da viga: b) primeiro, c) segundo e d) terceiro.


14

A Figura 6b mostra a viga submetida a um grupo de deslocamentos iniciais 3D , 4D e 6D

. Quando tais deslocamentos inicias são removidos, os deslocamentos nodais 3D , 4D e

6D começam a oscilar sincronizadamente com frequência circular e amplitudes de

oscilação iguais a seus deslocamentos iniciais impostos,

3 3

4 4

6 6

sen( )

sen( )

sen( )

D D t

D D t

D D t

(28)

A sincronização dos deslocamentos nodais significa que todos eles atingem ao mesmo

tempo seus valores máximos, mínimos, ou quando passam pela posição de equilíbrio

inicial.

A viga oscilará harmonicamente com sua frequência de vibração natural , e a forma

que adota a mesma quando seus deslocamentos nodais atingem seus valores picos é o

modo de vibrar.

Se tivéssemos escolhido como deslocamentos iniciais ao grupo mostrado na Figura 6c,

então, após a remoção dos mesmos, a viga oscilará com outra frequência natural e seu

modo de vibrar será diferente. Ou mesmo é dito quando os deslocamentos iniciais são os

mostrados na Figura 6d. Como este modelo de elementos finitos tem três graus de

liberdade, então é possível obter somente três modos de vibrar cada um deles com sua

própria frequência natural.

Segue o procedimento para determinar as frequências naturais e modos de vibrar da viga.

Os vetores de deslocamentos (a Equação 28 escrita em forma de vetor), velocidades

acelerações nodais são,

{ } { } sen( )D D t , (29)

{ } { } cos( )D D t , (30)

2{ } { } sen( )D D t . (31)

A equação para análise de vibração livre deste problema é obtida ao cancelar as forças

externas e de amortecimento da Equação 27, e é dada por


15

[ ]{ } [ ]{ } {0}M D K D (32)

Ao substituir as Equações 29 e 31 na Equação 32 obtém-se,

2[ ]{ } sen( ) [ ]{ } sen( ) {0}M D t K D t .

e ao eliminar sen( )t ,

2[ ]{ } [ ]{ }K D M D (33)

A última equação é um sistema de equações algébricas homogêneas em 3D , 4D e 6D , e

define um problema de autovalores de ordem 3, onde 2 é o autovalor e { }D é o

correspondente autovetor.

A Equação 33 declara que para a frequência de vibração natural , no instante de tempo

onde as amplitudes dos deslocamentos nodais atingem seus valores picos, as forças de

inércia, o lado direito da equação, são equilibradas pelas forças elásticas, o lado esquerdo

da equação. Especificamente, olhando para o movimento de translação do nó 2, quando

ocorre o deslocamento máximo, onde a velocidade é zero e a desaceleração é máxima, a

força de inércia que tende a aumentar a amplitude da oscilação é equilibrada pela força

elástica.

Solução do problema de autovalores

A Equação 33 é escrita como,

2[ ] [ ] { } {0}K M D (34)

e para obter uma solução não trivial, o determinante da matriz de coeficientes deve ser

zero,

2det [ ] [ ] 0K M . (35)

Um polinômio de grau 3 em 2 é obtido cujas raízes 2

1 , 2

2 e 2

3 são os autovalores.

Ao resolver este polinômio obtém-se,

1 2 331,556 rad/s, 118,443 rad/s e 315,625 rad/s


16

com as matrizes de massa e rigidez globais dadas por, após aplicar as condições de

contorno,

2 2

3

2 2

24 0 6

[ ] 0 8 2

6 2 4

LEI

K L LL

L L L

, 2 2

2 2

312 0 13

[ ] 0 8 3420

13 3 4

Lm

M L L

L L L

(36)

Introduzindo 1 na Equação 34 e assumindo que 3 1D , obtém-se um sistema de três

equações com duas incógnitas, 4D e 6D . Considerando as duas primeiras equações, após

sua solução, obtém-se que 4 0,0054D e 6 0,0197D . O mesmo procedimento é

repetido com as outras frequências naturais para determinar os respetivos modos de

vibrar. Seguem os resultados da análise de autovalores.

1 1

2 2

3 3

1

31,556 , { } 0,0054

0,0197

1

118,443 , { } 0,0954

0,1067

1

315,625 , { } 0,1280

0,2082

D

D

D

(37)

Estes resultados são representados graficamente na Figura 6, onde se mostra os primeiros

três modos de vibrar da viga discretizada com dois elementos finitos.


17

3 Cálculo de história de resposta por integração direta implícita: Método da

aceleração média constante

A viga em estudo é submetida em seu centro a uma carga concentrada variante no tempo

como mostra a Figura 7. A viga é discretizada com um número de elementos finitos.

Deseja-se determinar a história de resposta da viga por um período de tempo determinado.

História de reposta refere-se à variação ao longo do tempo dos deslocamentos,

velocidades e acelerações nodais.

Figura 7. Viga submetida a carga concentrada variante no tempo.

Em vez de determinar a resposta da viga como uma função contínua do tempo, a mesma

é determinada em pontos discretos de tempo, ao integrar as equações de movimento

sequencialmente sobre cada um dos intervalos de tempo estabelecidos.

A Figura 8a mostra o eixo do tempo discretizado uniformemente com intervalos de tempo

t , N é o número total de pontos discretos de tempo. Ao especificar o tempo em um

ponto discreto deve-se indicar somente o número de intervalos de tempo transcorridos até

esse tempo, assim o tempo transcorrido de n t é especificado pela palavra “tempo n”.


18

Figura 8. Pontos discretos de tempo e aproximação do movimento nos intervalos de

tempo.

Definição do problema

No tempo n, os vetores de deslocamentos, velocidades e acelerações nodais são

quantidades conhecidas dadas por { }nD , { }nD e { }nD , respetivamente. Deseja-se

determinar as mesmas quantidades vetoriais no tempo n+1, ou seja, 1{ }nD ,

1{ }nD e

1{ }nD .


19

Para isso a equação de movimento da viga, dada pela Equação 27, deve ser estabelecida

no tempo n+1, assim,

1 1 1 1[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }n n n nM D C D K D R (38)

Na última equação, o único vetor conhecido é o vetor de cargas nodais no tempo n+1,

1{ }nR . O vetor 1{ }nD é a incógnita, e os vetores 1{ }nD e 1{ }nD deverão ser expressos

como função desta incógnita e da resposta conhecida no tempo n. Expressões para 1{ }nD

e 1{ }nD serão obtidas ao assumir uma variação para a aceleração da viga entre os tempos

n e n+1.

Determinação de 1{ }nD e 1{ }nD

A aceleração do grau de liberdade i da viga entre os tempos n e n+1, e de todos os

outros graus de liberdade, é aproximada por uma constante igual à média aritmética das

acelerações nos tempos n, n

iD , e n+1, 1n

iD , e é dada por,

1

( )2

n n

i ii

D DD

(39)

onde é a coordenada tempo com origem no tempo n, e 0 t , vide Figura 8b.

A velocidade do grau de liberdade i no tempo é obtida ao integrar a Equação 39, com

condição inicial ( ) n

i iD D em 0 ,

1

( )2

n nn i i

i i

D DD D

(40)

e o deslocamento é obtido ao integrar a última equação, com condição inicial ( ) n

i iD D

em 0 ,

2

1( )4

n n n n

i i i i iD D D D D

(41)

Ao avaliar as Equações 40 e 41 em t , obtém-se, respetivamente, a velocidade e

aceleração no tempo n+1, vide Figuras 8c e 8d,


20

11

2

n nn n i ii i

D DD D t

(42)

2

1 1

4

n n n n n

i i i i i

tD D D t D D

(43)

Então, os vetores de velocidade e deslocamento nodal no tempo n+1 são expressos como,

tomando como base as equações escalares 42 e 43,

11 { } { }

{ } { }2

n nn n D D

D D t

(44)

2

1 1{ } { } { } { } { }4

n n n n n tD D D t D D

(45)

Da equação 45 obtém-se,

1 1

2

4{ } { } { } { } { }n n n n nD D D D t D

t

(46)

e a Equação 44 resulta, depois de introduzir a última equação, (c)

1 12 2{ } { } { } { }n n n nD D D D

t t

. (47)

Obtenção da solução

Ao substituir as Equações 46 e 47 na Equação 38 obtém-se, depois de fazer um arranjo

de termos,

1 1

2 2

[ 3]

[ 1] [ 2][ ]

4 2 4 2 4[ ] [ ] [ ] { } { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } [ ]{ }

eff

n n n n n

a

a aK

M C K D R M C D M C D M Dt t t t t

(48)

ou


21

1 1

{ }

[ ]{ } { } [ 1]{ } [ 2]{ } [ 3]{ }eff

eff n n n n n

R

K D R a D a D a D . (49)

Da última equação obtém-se a solução,

1 1{ } [ ] { }n eff effD K R (50)

onde [ ]effK é a matriz de rigidez efetiva e { }effR , o vetor de cargas efetivas.

Uma vez calculada a solução dada pela Equação 50, a mesma é introduzida nas Equações

46 e 47 para obter os vetores de aceleração e velocidade nodal, 1{ }nD e 1{ }nD , e

assim a resposta no tempo n+1.

Com a resposta recentemente calculada no tempo n+1, procede-se da mesma maneira

para determinar a resposta no tempo n+2, e assim sucessivamente até o último ponto de

tempo discreto.

Condições iniciais

As condições iniciais, dadas pelos vetores de deslocamento e velocidade nodal no tempo

0, isto é 0{ }D e 0{ }D , são usadas para determinar a aceleração no tempo 0 ao declarar

a equação de equilíbrio dinâmico também no tempo 0,

0 1 0 0 0{ } [ ] { } [ ]{ } [ ]{ }D M R K D C D . (51)


22

4 Simulação de comportamento dinâmico

As formulações desenvolvidas acima foram implementadas no MATLAB a fim de

simular, com qualquer número de elementos finitos, o comportamento dinâmico da viga

submetida a uma carga externa variante no tempo. O amortecimento estrutural não é

considerado e será tratado na próxima seção.

Esta seção apresenta os resultados das simulações conduzidas.

4.1 O problema

A viga em estudo é submetida em seu centro a uma força concentrada variante no tempo

com perfil dado na Figura 9. O perfil da força concentrada é de 10000 lb aplicada

repentinamente por um tempo de 0,1 s e removida linearmente no tempo de 0,1 s.

O tempo de simulação é de 1 s e o passo de tempo é 0,003 st . A viga é discretizada

com 20 elementos finitos.

Deseja-se determinar 1) as frequências naturais e modos de vibrar e 2) a resposta da viga

em seu centro.

As propriedades físicas e geométricas da viga são dadas na Tabela 1.

Figura 9. Discretização da viga e perfil da carga dinâmica.


23

4.2 Frequências naturais e modos de vibrar

Na Seção 2 foi conduzida manualmente uma análise de autovalores da viga usando dois

elementos finitos. Seguem os resultados obtidos com 20 elementos finitos usando o

comando eig do MATLAB para determinação de autovalores e autovetores.

As primeiras cinco frequências naturais são dadas na Tabela 2 a qual também mostra os

resultados analíticos. A obtenção destes últimos é discutida no final desta seção. Observa-

se que ambos resultados são os mesmos aproximadamente, com erros da ordem de casas

decimais. Ao comparar estes resultados com os obtidos usando dois elementos finitos,

ver Equação 37, observa-se que com dois elementos finitos somente a primeira frequência

natural ( 31,556 rad/s) é bem reproduzida enquanto que a segunda e terceira frequência

natural são mal reproduzidas. Sabe-se que com o aumento do número de elementos finitos

cada vez mais as frequências naturais de ordem superior são bem reproduzidas.

Tabela 2. Frequências naturais

Modo de vibrar Frequência natural

numérica

rad/s

Frequência natural

analítica

rad/s

1 31,267 31,254

2 101,326 101,325

3 211,417 211,407

4 361,568 361,519

5 551,834 551,660

A Figura 10 mostra graficamente os primeiros três modos de vibrar da viga. Estes

resultados são bem comparados com os resultados analíticos dados na Tabela 17.5 do

livro de Paz e Kim (2019).


24

Figura 10. Modos de vibrar da viga. Modo 1: 31,267 rad/s, Modo 2: 101,326 rad/s,

Modo 3: 211,417 rad/s.

As frequências naturais analíticas foram calculadas usando a seguinte expressão, Paz e

Kim (2019),

4n n

EIC

mL , (52)

onde o subscrito n indica o número de modo de vibrar, m é a massa por unidade de

comprimento (já definida anteriormente) e Cn é um coeficiente dado na Tabela 3.


25

Tabela 3. Coeficientes associados às frequências naturais.

4.3 História de resposta

Inicialmente discute-se como é que foi escolhido o intervalo de tempo 0,003 st .

Como a força externa é uma carga impulsiva com período (ou duração) de 0,2 s, vide

Figura 9, então espera-se que a viga oscile livremente com período próximo ao período

da carga impulsiva. Em termos de frequência, espera-se que a viga oscile com frequência

próxima de 31,42 rad/s 2 0,2 . Como este valor de frequência praticamente

coincide com a primeira frequência natural que é de 31,267 rad/s, vide Tabela 2, conclui-

se que o comportamento dinâmico da viga terá como modo dominante ao primeiro modo

de vibrar da estrutura.

Como a viga oscila predominantemente no primeiro modo de vibrar tal como foi previsto,

então seu período de oscilação será de 0,201 s 2 31,267 . O intervalo de tempo t

deve ser escolhido pequeno o suficiente para capturar o movimento durante um período

de oscilação. Resulta razoável escolher t como a décima parte do período de oscilação

dominante da viga, isto é 100,201 0,0201 st .

Em muitos problemas de dinâmica estrutural usualmente os primeiros modos de vibrar

são excitados e o intervalo de tempo é escolhido de forma a se ter uma boa resolução do

maior modo de vibrar envolvido. Neste exemplo, a pesar de não ser necessário, tomou-se

como base os primeiros três modos de vibrar da viga para determinar o intervalo de tempo

da simulação, resultando ser 211,4172 /10 0,003 t s .

Número de modo

de vibrar, n

nC

1 15,4128

2 49,9648

3 104,2477

4 178,2697

5 272,0309


26

A Figura 11 mostra a resposta do nó central da viga (deflexão e rotação) onde a carga é

aplicada, e a Figura 12 mostra uma ampliação da história da deflexão. Observa-se que o

sinal de deflexão tem um transiente com duração de 0,216 s, duração parecida ao período

da excitação que é um resultado razoável. Após o transiente, o sinal entra em regime

permanente com período de oscilação aproximadamente igual ao período do primeiro

modo de vibrar tal como foi previsto. Isto é verificado ao medir o intervalo de tempo

entres dois picos consecutivos do sinal.

Em relação ao sinal de rotação em regime estacionário, observa-se que cada vez que nó

central atinge sua deflexão máxima a rotação também é máxima, analogamente, quando

a deflexão é mínima a rotação também é mínima. Estes resultados foram observados em

todos os nós da viga. Resumindo, todos os graus de liberdade da viga possuem

movimentos sincronizados.

Ao ver um vídeo do movimento da viga disponibilizado no site da disciplina, conclui-se

que a mesma oscila em seu primeiro modo de vibrar com um envelope similar ao de uma

média onda senoidal sem o aparecimento de pontos de deslocamento zero.


27

Figura 11. Perfil de carga e, deflexão e rotação no centro da viga.


28

Figura 12. Deflexão dinâmica e “deflexão estática” do nó central da viga.

A Figura 12 mostra também uma linha horizontal para representar a “deflexão estática”

da viga em seu centro. Esta deflexão foi obtida por resistência dos materiais, ao aplicar

uma carga igual à amplitude máxima da carga dinâmica, e tem um valor de 1,1082 in.


29

5 Amortecimento estrutural

Muitos problemas de dinâmica estrutural não linear devem ser resolvidos no domínio do

tempo, primeiro, ao discretizar as equações de movimento por elementos finitos, e em

seguida, ao integrar as equações resultantes usando o esquema da aceleração média

constante. Para isso, a matriz de amortecimento estrutural deve ser disponibilizada.

Diferentemente das matrizes de massa e rigidez globais, a matriz de amortecimento global

não é obtida por montagem das matrizes dos elementos individuais. É muito difícil obter

uma matriz de amortecimento que tome em conta, além da caraterística inerente de

dissipação de energia do material, os efeitos do atrito entre as conexões, das trincas, dos

esforços de componentes não estruturais e da interação com o meio fluido. Uma solução

é construir a mesma fazendo uso das razões de amortecimento associadas a cada um dos

modos de vibrar da estrutura. As razões de amortecimento são obtidas experimentalmente

ao excitar a estrutura em seus modos de vibrar.

Um modelo simples de amortecimento estrutural consiste em combinar linearmente as

matrizes de massa e rigidez globais e é dado por,

[ ] [ ] [ ]C M K , (53)

onde e são parâmetros a serem determinados a partir do conhecimento das razões

de amortecimento. Este é o modelo de amortecimento de Rayleigh.

Ao calcular a resposta de uma estrutura pelo método de superposição modal, as razões de

amortecimento não podem ser introduzidas diretamente nas equações de movimento da

estrutura, as quais são acopladas, e sim são introduzidas na forma “diagonal” das mesmas.

Para diagonalizar ou desacoplar as equações originais de movimento, as matrizes de

massa, rigidez e amortecimento devem satisfazer com os modos de vibrar a condição de

ortogonalidade. Pode-se mostrar que tanto as matrizes de massa e rigidez quanto a de

amortecimento dada pela Equação 53 satisfazem a condição de ortogonalidade. Os

parâmetros e da matriz [ ]C , Equação 53, deverão ser obtidos a partir da

ortogonalização desta matriz.


30

5.1 Desacoplamento das equações de movimento

Esta seção apresenta resumidamente o desacoplamento da equação de movimento da viga

dada pela Equação 27 a qual é repetida aqui por conveniência,

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }M D C D K D R . (54)

A matriz modal [ ] , composta de todos os modos de vibrar ou vetores modais que

resultaram da análise de autovalores, é usada para desacoplar a última equação. Cada uma

das colunas de [ ] é um vetor modal e o n-essimo vetor modal, que está associado à

frequência natural n , é { }n . Pelo teorema de expansão modal, o vetor de deslocamentos

{ }D é relacionado linearmente com o vetor de coordenadas modais { }q através da matriz

modal,

{ } [ ]{ }D q . (55)

Ao premultiplicar a Equação 54 pela transposta do vetor modal { }n e ao introduzir na

equação resultante a Equação 55, obtém-se,

{ } [ ][ ]{ } { } [ ][ ]{ } { } [ ][ ]{ } { } { }T T T T

n n n nM q C q K q R (56)

As propriedades de ortogonalidade dos vetores modais com as matrizes de [ ]M , [ ]K e

[ ]C são dadas por,

{ } [ ]{ } 0,

{ } [ ]{ } 0,

{ } [ ]{ } 0,

T

n m

T

n m

T

n m

M m n

K m n

C m n

(57)

onde o subscrito m indica outro vetor modal diferente de n.

A Equação 56 toma a seguinte forma escalar, usando as propriedades de ortogonalidade

agora últimas definidas,

n n n n n n nM q C q K q R (58)

onde

{ } [ ]{ }T

n n nM M , (59)


31

2{ } [ ]{ }T

n n n n nK K M , (60)

{ } [ ]{ } 2T

n n n n n nC C M e (61)

{ } { }T

n nR R . (62)

A Equação 58 é escrita na forma clássica de vibração de sistema com um grau de

liberdade,

22n n n n n n n nq q q R M , (63)

onde n é a razão de amortecimento do vetor modal n .

Um conjunto de N-equações diferenciais com a forma da última equação é obtido ao

repetir o processo de ortogonalização com os N-vetores modais disponíveis, assim obtém-

se as equações de movimento desacopladas.

5.2 Ortogonalização do amortecimento

A matriz de amortecimento de Rayleigh dada pela Equação 53 deve satisfazer a condição

de ortogonalidade, então,

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ }T T T

n n n n n nC M K (66)

ou, considerando a Equação 61,

2 n n n n nM M K . (67)

A última equação é escrita como, usando a Equação 60,

1

2n n

n

(68)

Esta equação relaciona a razão de amortecimento, n , com a frequência de vibração

natural, n , ambos associados ao n-éssimo modo de vibrar. Então, identifica-se a relação

funcional entre a razão de amortecimento e a frequência natural como,


32

1

2

. (69)

A fim de determinar os parâmetros e deste modelo, deverão ser escolhidas duas

razões de amortecimento, i e j , com suas respetivas frequências, i e j , para montar

duas equações que forneçam com sua solução simultânea ditos parâmetros. A Figura 13

mostra um gráfico do modelo de amortecimento.

Na prática, as frequências i e j são escolhidas tendo em conta os modos de vibração

que dominam a resposta da estrutura. Por exemplo, suponha-se que a resposta da estrutura

é dominada pelos cinco primeiros modos de vibrar, então recomenda-se escolher as

propriedades do primeiro e quarto modo de vibrar. Além disso suponha-se que a razão de

amortecimento não muda significativamente na faixa dos primeiros cinco modos de

vibrar (isto é comum acontecer na prática), então recomenda-se usar como referência a

razão de amortecimento do primeiro modo e atribuir ao quarto modo o valor do primeiro.

Como resultado tem-se que a razão de amortecimento para o segundo e terceiro modo

será um pouco menor que a do primeiro e a razão de amortecimento do quinto modo será

um pouco maior que a do quarto. A razão de amortecimento para modos maiores do que

o quinto incrementará monotonamente com a frequência, e a correspondente resposta

modal será essencialmente eliminada devido a seu alto amortecimento.

Figura 13. Modelo de amortecimento de Rayleigh.


33

5.3 Resultados das simulações

Para a viga em estudo considera-se (com fins didáticos) que os três primeiros modos de

vibrar compõem principalmente a resposta dinâmica, a pesar de que a resposta se dá

somente no primeiro modo como já foi visto. Como muitas estruturas de engenharia tem

baixas razões de amortecimento de até 10 %, então aqui considerou-se uma razão de

amortecimento de 5% para o primeiro e o terceiro modo. Seguem as frequências naturais

(Tabela 2) e as respetivas razões de amortecimento a serem utilizada na Equação 69.

1 1/s ,31,2 67 ra ,d 0 05

3 3rad/s , 211 0,,417 05

Como resultado obtém-se, 2,7239 e 44,1206 10 .

A Figura 14 mostra a comparação de respostas, para a deflexão no centro da viga, com e

sem amortecimento estrutural.

Figura 14. Resposta da viga com e sem amortecimento estrutural.

universidade federal do abc curso de engenharia...

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