l1L-..--~~~Colunas

...'P-­.- 11.1 INTRODUÇÃO

Figura 11.1 Flambagem de uma colunadevido a um carregamento axial decompressão P

P. P,B ~.- B~

t.

Estruturas que suportam carregamentos podem falhar de várias formas,dependendo do tipo da estrutu ra, das condições de apoio, dos tipos de carre­gamentos e dos materia is usados. Por exemplo, um eixo em um veículopode fratu rar repe ntinamente devido a ciclos repetidos de carregamento ouuma viga pode defletir excessivamente, de forma que a estrutura fique inca­paz de realizar suas funções desejadas. Esses tipos de falhas são prevenidosdimen sionando-se as estruturas de forma que as tensões máximas e os des ­locamentos máximos permaneçam dentro dos limites toleráveis. Dessaform a, a r esist ên cia e a r igidez são fato res importantes no dimensiona­mento, como discutido ao longo dos capítulos anteriores .

Outro tipo de falha é a fla m bagem, que é o assunto deste capítu lo. Ire­mos considerar especificamente a flambagem de colunas, que são membroslongos e esbeltos carregados axialmente em compressão (Figura 11.1a). Seum membro em compressão for relativamente esbelto, ele pode defletir late­ralmente e falhar por flexão (Figura 1.11b) , em vez de falhar por compres­são dir eta do material. Você pode demonstrar esse comportament ocomprimindo uma régua de plástico ou qualquer outro objeto esbe lto.Quando a flexão lateral ocorre, dizemos que a colunaflambou. Sob um car­regamento axial crescente, as deffex ões laterais irão aumentar também, ceventualm ente a coluna irá romper compl etamente.

O fenômeno de flambagem não é limitado a colunas. A flambagempode ocorrer cm vários tipos de estruturas c pode tomar muitas formas.Quando você pisa no topo de uma lata de alumínio vazia. as paredes finas ecilíndricas flambam sob seu peso e podem romper. Quando uma grandeponte rompeu algun s anos atrás . investigadores descobriram que a falha foicausada pela flambagem de uma placa de aço fina que dobrou sob tensõesde compressão. A flamb agem é uma das maiores causas de falhas em estru­turas, e por isso a possibilidade de flambagem deve ser considerada nodimensionamento.

(b)

,

(a )

A "--~

11.2 FlAMBAGEM EESTABILIDADE

Para ilustrar os conceitos fundamentais de flambagem e estabilidade, iremos analisar a estrutura idealizada. ou modelode flam bagem, ilustrada na Figura 11.2a. Essa estrutura hipotética consiste de duas barras rígidas AB e CD, com com­primento L/2 cada. Elas são unidas em B por um pino e mantidas na posição vertical por uma mola rotacional tendo

545

54 6 MECÂNICA DOSMATERIAIS

rigidez fJR .* Essa estrutura é análoga à coluna da Figura l L la, porq ue ambas as estruturas têm apoios simples nasextremidades e são comprimidas por um carre gamento axial P. No entanto, a elasticidade da estrutura idealizada está"concentrada" na mola rotacional. ao passo que uma coluna real pode fletir ao longo de todo o seu comprimento(Figura 1Ll b).

Na estrutura idealizada. as duas barras estão perfeitamente alinhadas e o carregamento axial P tem sua linha deação ao longo do eixo longitudinal (F igura 11 .2a). Conseqüentemente, a mola está relaxad a e as barras estão em com­pressão direta .

Agora suponha que a estrutura é perturbada por alguma força externa que faz o ponto B mover-se lateralmentepor uma pequena distância (Figura I l. 2b), As barras rígidas giram através de pequenos ângulos (j e um momento édesenvolvido na mola. A direção desse momento é de tal forma que tende a retornar a estrutura para sua posição retaoriginal, e por isso é chamado de momento restaurador. Ao mesmo tempo, entretanto. a tendê ncia da força de com­pressão axial é de aumentar o deslocamento lateral.

p

c~ ~

II.PR 1"2

B -+-

A~t.2

(a )

p

(b)

p

(o)

I

Figura 11.2 Flambagem de uma estrutura idealizada consistindo de duas barras rígidas e uma mola rotacional

Dessa forma, essas duas ações têm efeitos opostos - o momento restaurador tende a diminuir o deslocamento e aforça axial tende a alimentá-lo.

Agora considere o que ocorre quando a força perturbadora é removida. Se a força axial P for relativamentepequena, a ação do momento restaurador irá predominar sobre a açâo da força axial e a estrutura irá retomar à suaposição reta inicial, Sob essas condições, a estrutura é chamada de estáve l. No entanto, se a força axial P for grand e,o deslocamento lateral do ponto B irá aumentar e as barras irão girar através de ângulos cada vez maiores até que aestrutura colapse. Sob essas condições, a estrutura é chamada de instá vel e falha por flambagem lateral.

Carregame nto Crit ico

A transição entre as condições estável e instável ocorre em um valor especial da força axial conhecido como carrega­mento crítico (denotado pelo símbolo Per)' Podemos determinar o carregamento crítico considerando a estrutu ra naposição perturbada (Figura 11.2b) e investigando seu equilíbrio.

Primeiro. consideramos toda a esrrurura como um corpo livre e somamos os momentos em relação ao suporte A.Esse passo leva à conclusão de que não há reação horizo ntal no apoio C. Segundo, consideramos a barra BC como umcorpo livre (Figura 11.2c) e notamos que ela está submetida à aç ão das forças axíaís P e do momento MB na mola. Omomento MB é igual à rigidez rotacional f3R vezes o ângu lo de rotação da mola; dessa forma

Ca)

• A relaç ão geral paro. uma mola rotacional é M = P1I 9, em que .U é o momento agindo na mola. PR vezes o ângulo de rotação é a rigid ez rota­cional da mola e 9 é o ângulo através do qual a mola gira. Dessa forma. a rigidez rotacional tem unidades de momento dividi do pelo ângulo.co mo lb-in.jrad ou i\ ·mIrad. A relação análoga para urna mola de translação é F = {JiJ, em '1ue F é a força agindo na mola. p é a rigidez de tranS­leçâo da mola (ou constante da mola), ó é ii vanação no co mprimento da mola. Dessa form a. a rigide z de translação tem unidades de força dr.; ­dida por comprimento, como lb/in. ou X/mo

•I

d

[

CAPiTULO 11 Colunas 5 47

es.. Uma vez que o ângu lo f) é uma qu antidade pequena. o deslocamento lateral do ponto B é (}L / 2. Por isso. obtemos aseg uinte equação de equi líbrio somando momentos sobre o ponto B (Figura 11.2c):

MR - P ( ~ ) ~ O (b)

ou. substituindo da Equ ação (a),

oe (l U )

Uma solução dessa equ ação é 9 = O. o que significa que a estrutura está em equi líbrio quando está perfe itamente rela ,independentemente da magnitude da força P.

Uma segunda solução é obtida fazendo o termo entre parênteses igual a zero e resolvendo para o carregamento P.que é o carregamento critico:

'\.... Equilíbrio estável

(11.2)

B

-;Equilíbrio neutro

o~ - ---;,- - - --c

Figura 11.3 Diagrama de equihbrio para flambagem de uma estrutura idea lizada

4 f3RPCr= T

Nesse valor do carregamento a estru tura es tá em equilíbr io independentemente da magnitude do ângulo ()(desde queo ângulo permaneça peq ueno, porque fizemos essa supos ição ao deduzir a equação bj.

Da análise anterior vemos que o carregamento critico é o único carregamellto para o qual a estrutura es tará emequilíb rio na posição pert urbada. Nesse valor do carregamento, o efeito restaurador do momento na mola apenas seiguala ao efeito de tlambagem do carregamento axia l. Por isso, o carre gamento critico representa a fronte ira entre ascondições estável e instável.

Se o carregamento axia l for menor que Per. o efe ito do momento na mola predomina e a estru tura re toma à posi­ção vertical após um disrürbio leve; se o carre gamento axial for maior do que Per. o efeito da força axial predom ina ea estrutura flamba:

Res u m o

Vamos resumir o comportamento da estru tura idealizada (Figura 11.2a) à medida que o carregamento axial P aumentade zero até um valor grande.

Q uando o carregamento axial é menor do que o carregamento critico (O < P < Per>, a es trutura está em equilíbrioquando é perfeitamente reta. Como o equ ilíbrio é est ável, a estrutura retoma à sua posição inicial após ser perturbada .Dessa forma. a estru tura es tá em equilíbri o apenas qu ando é perfeitamente reta ({} = O).

Q uando o carregamento axial é maior do que o carregamemc críti co (P > Per)' a estru tura ainda está em equilt­brio qu ando O= O(porque ela est á em compressão direta e não há momento na mola), mas o equilíbrio é instável enão pode ser mantido . O menor distúrbio fará a estrutura flambar.

/Equilíbrio instávelp

B

Se P < P~-n a estrutura é estávelSe P > P<:r> a estrutura é instável

Da Eq uação (11.2) vemos que a es tabilidade da estrutura é aumentada ou aumentando sua rigidez ou diminuindo seucomprimento. Posteriorm ente neste capítulo. quando determi narmos carregamentos criticas para vários tipos de colu­nas . veremos que se aplicam essas mesmas observaçõe s.

•

54 8 MECÂNICA DOS MATERIAIS

No carregamento critico (P = Pcc)' a estrutura está em equilíbrio mesmo quando o ponto B é deslocado lateral­mente por um a pequena quant idade. Em outras palavras. a estrutura está em equilíbrio para qualquer ângulo pequenoe. incluindo e= O. No entanto, a estrutura não é nem estável nem instável - ela está na fronteira entre estabilidade einstabilidade, Essa condição é chamada de equilíb r io neutro.

As condições de equilíb rio para a estrutura idealizada são mostradas no gráfico do carregamento axial P versus oângulo de rotação ()(Figura 11.3). As duas linhas grossas. uma vertical e uma horizontal, representam as condições deequilíbrio. O ponto B, em que o diagram a de equilíbrio se ramifica, é chamado de ponto de bifurcação.

A linha hori zontal para equi líbrio neutro estende-se para a esquerda e direita do eixo vertical porque o ângulo epode ser horário ou antí-horãrio. A linha estende-se apenas por uma pequena dis tância. entretanto, porque nossa análiseé base ada na suposição de que () é um ângulo peque no. (Essa supos ição é bem válida , porque (} é. de fato, pequenoquando a estru tura acaba de sair de sua posição vertical. Se a flambagem contin uar e (J ficar grande, a linha chamada de"Equilíbrio neutro" curva-se para cima, como ilustrado mais adiante na Figura 11.11 da Seção 11.3.)

As três condições de equ ilíbrio representadas pe lo diagrama da Figura 11.3 são análogas àquelas de uma bolacolocada sobre uma superfície lisa (Figura 11.4). Se a superfície for côncava, com o o interior de um prato, o equilí­brio é estável e a bola sempre re torna para o ponto mais baixo quando perturbada . Se a superfície for convexa, comouma cúpu la. a bola pode teoricamente estar em equilibrio no topo da superfície, mas o equ ilíbrio é instável e, na rea li­dade, a bola sempre rola. Se a superfície for perfeitamente plana, a bola está em eq uilíbrio neutro e perm anece ondefor colocada.

Figura 11.4 Bola em equilíbrio estável, insul vel e neutro

Como veremos na próxima seção, o comportamento de uma coluna ideal elástica é anál ogo àquele do modelo deflambagem ilustrado na Figura 11.2. Além disso, muitos outro s tipos de sistemas mecânicos e estruturais ajustam-se aesse modelo .

11 .3 COLUNAS COM EXTREMIDADES APOIADAS POR PINOS

Começamos nossa investigação do comportamento de estabilidade de colunas analisand o uma coluna esbelta comextremidades apoiadas por pinos (Figura ll .Sa). A coluna é carregada por uma força vertical P que é aplicada atravésdo cenrróíde da seção transversal da extremidade. A coluna é perfeitamente reta e é feita de um material elástico linearque segue a lei de Hooke. Uma vez que assumimos que a coluna não tem imperfeições . ela é chamada de coluna ideal .

JII

•

Figura 11.5 Coluna com extremidades apoiadas por pinos: (a) coluna ideal, (b) forma em flambagem e (c) força axial P emomento fletor M agindo na seçâo transversal

Ip

B

)'--...J ' o

(a)

I.

IXp

(b)

p

-"- jo -

IX

I.,"- J\-'-

(e)

te

••

e

»­...,.'"

CAPfTULO 11 Colunas 549

Para fins de análise, construímos um sistema de coordenadas com sua ori gem no apoio A e com o eixo x ao longodo eixo longitudinal da coluna. O eixo y é direcionado para a esquerda na figura, e o eixo z (não ilustrado) sai doplano da figura em dire ção ao leit or. Assumimos que o plano xy é um plano de simetria da coluna e que qualquer fle ­xão ocorre nesse plano (Figura 11.5b) . O eixo de coordenadas é idêntico àque le usado em no ssas discussões anterio­res de vigas, como pode ser visto girando-se a coluna através de um ângulo de 90°.

Quando o carregamento axial P possu i um valor peque no, a coluna permanece perfeitamente reta e sofre com­pressão axial direta. As únicas tensões são as tensões de compressão uni fonTIes obtidas a partir da equação (T = P/A .A coluna está em equilíbrio estável, o que significa que ela retoma à posição ~eta apó s uma perturbação. Por exem ­plo, se aplicarmos um peq ueno carregamento lateral e fizermos a coluna fletir, a deflexão irá desaparecer e a colunairá retomar à sua posição inicial quando o carregam ento lateral for removido.

À medida que o carregamento axial P for gradualm ente aumentado , atin gimos uma condição de equilíbrio neu­tro em que a coluna pode ter uma forma fletid a. O valor correspondente do carregamento é o carregamento críticoPcc" Nesse carr egamento a coluna pode sofrer pequenas deffex ões la tera is sem variação na força axial. Por exemplo,um pequeno carregamento lateral irá produzir um perfil flexionado que não desaparece quando o carregam ento éremovido. Dessa form a. o carregamento crítico pode manter a coluna em equilíbrio 01/ na posição reti línea ou em umaposição levemente flexionada.

Em valores mais altos de carregamento, a coluna é instável e pode romper por flarnbagem, isto é, por flex ãoexcessiva. Para o caso ideal que estamos discutindo . a coluna estará em equilíbrio na posição reti línea mesmo quandoa força axial P for maior do que o carregamento critico. Entretanto, uma vez que o equilíbrio é instável. o menor dis­túrbio imaginável fará com que a coluna sofra deflexão para um dos lados. Uma vez que isso ocorra. as defle xões irãoaumentar ime diatamente e a coluna irá fa lhar por flambagem. O comportamento é simi lar àquele descri to na seçãoanterior para o modelo de flambagem idealizado (Figura 11.2).

O comportamento de uma coluna ideal comprim ida por um carregam ento axial P (Figuras 11.5a e b) pode serresumido da seguinte maneira:

Se P < Pw a coluna está em equilíbrio instável na pos ição reta .SeP = Pw a colun a es tá em equilíb rio neutro tanto na posição retilínea quanto na po siç ão levemente flexi o­

nada .Se P > Pw a coluna está em equilíbrio instável na posição retilínea e irá flambar sob a menor perturbação.

Naturalmente. um a coluna real não se comporta dessa man eira ideal izada porque imperfe ições estã o sempre pre sen­tes. Por exemplo. a coluna não é perfeitam ente reta. e o carregamento não es tá exatamente no centr óide. Todavia,começamos estudan do colunas ideais porqu e elas forn ecem introspecção no comportamento de colun as rea is .

Eq ua ção Diferencia l para Flam bagem de Coluna

em que M é o momento fletor em qualquer seção tra nsversal, v é a defle xão latera l na díreç êoy e E/ é a rigidez de fle­xão para flexão no plano x)' .

O momento fletor M a uma distância .r a part ir da extremidade A da coluna flambada é ilustrado agindo na suadireção positiva na Figura I L5c. Note que a convenção de sinal de momento fletor é a mesm a que a usada em capítu­los anteriores, isto é, momento fleto r positivo produz curvatura positiva (veja as Figuras 9.3 e 9.4). A força axial Pagindo na seção transversal também é mostrada na Figura II.Sc. Uma vez que não há forças hor izontais agind o nosapoios, não há forças de cisalhamento na coluna. Por isso , do equilíbrio de momentos em relação a A, obtemos

Para determ inar os carregamentos cr ítico s correspondentes às formas defletidas para uma coluna real apoiada porpinos (Fig ura 11.5a). usamos um a das equações diferenciais da curva de deflexão de uma viga (veja as Equa ções9.12a, b e c na Seçâ o 9.2). Es sas equações são aplicáveis a uma coluna flamb ada porque a coluna flete como se fosseuma viga (Figura 11.5b).

Embora ambas as equações diferenciais de quarta ordem (a equação de carregamento) e de tercei ra ordem (equa­ção da força de cí salhamento) sejam adequadas para analisar colunas, iremos usar a equ ação de segunda ordem (aequação de mome nto fletor) porque sua solução geral é normalmente a mais simples . A equação de momento fletor(Eq uação 9.12a) é

em que v é a deflexão na seçâo transversal.

E/v" = M

M +Pv =O ou M = r-Pv

(11.3)

(li A )

550 MECÂNICA DOSMATERIAIS

Figura 11.6 Coluna com extremidadesapoiadas por pinos (direção alternativade flambagem)

IXP '

Bh\

I -v~

A)y-~

(a)

.r

(b)

Essa mesma expressão para o momento tletor é obtida se assumirmosque a coluna f1 amba para a direi ta em vez de para a esquerda (Figura 11.6a).Quando a coluna deflete para a direita, a deflexão propriamente dita é -t- v,mas o momento da força axial sobre o ponto A também muda de sina l.Dessa forma, a equação de equilíbrio para os momentos em relação ao pontoA (veja a Figura 11.6b) é I

M - P(- , ) ~ O

que fornece a mesma expressão para o momento fletor M como antes .A equação diferencial da curva de deflexão (Equação 11.3) agora

se tom a

E/v" + Pv = O 01.5)

Resolvendo essa equação, que é uma equação diferencial linear homogéneade segunda ordem com coefi cientes constantes, podemos determinar a mag­nitude do carr egamento crítico e o perfil defletid o da coluna flambada.

Note que estamos analisand o a flambagem de colunas resolvendo amesma equação diferencial básica que resolvemos nos Capítulos 9 e 10 aoencontrar deflex ões de vigas. Entretant o, há um a diferença fundamenta l nosdois tipos de análises . No caso de dcflexôes de vigas, o momento fletor Maparecendo na Eq uação (11 .3) é uma funç ão dos carregamentos apenas - elenão depende das deflexões da viga. No caso de flambagem, o momento f1 e­tor é uma função das próprias deflex ões (Equação 11.4). Dessa forma, agoraencontramos um novo aspecto da análise de flexão. Em nosso trab alho ante­rior, o perfi l defletido da estrutura não foi con siderado, e as equações deequilíbrio for am baseadas na geomet ria da estrutura niio-deformada. Agora,no entanto, a geometria da estrutura deformada é levada em conta ao seescrever equações de equilíbrio.

Solução da Equação Dife rencial

Por conve niência, ao esc rever a sol ução geral da equ ação difer encial (Equa­ção 11.5), introduzimos a notação

f,(2=-.f.... ouEl

k > /P{ ti (l 1.6a, b)

em que k é sempre tomado como uma quantidade positiva. Note que k temunidades de recíproco comprimento, e por isso qu antidades como ler: e kLsão adim ension aís.

Usando essa notação, podemos reescrever a Equa ção (11.5) na forma

Da matemática , sabemos que a solução dessa equação é

v = C] sen êr + C2 cos o-

(1 1.7)

(11.8)

em que C ] e C2 são constantes de integração (a serem calcu ladas a partir dascondições de contorno, ou condições de extremidade, da coluna). Note que onúmero de constantes arbi trárias na solução (duas nesse caso) está de acordocom a ordem da equação diferencial. Note também que po demos verificar asolu ção substituindo a expressão por v (Equação 11.8) na equação diferen­cial (Equação 11.7) e reduzindo-a a uma identidade.

Para calcular as constantes de integ ração que aparecem na solução(Equação 11.8), usamos as condições de contorno nas extremidades dacoluna; isto é, a defl exão é zero quando x = Oe x = L (veja Figura 11.5b):

CAPiTULO 11 Colunas 55 1

(c)

(d)

(a. b)

Dessa equação concluímos que ou CI = Oou sen kL = O. Iremos considerarambas as possibilidades.

Caso /. Se a constante C 1 for igual a zero. a deflexão l ' também é zero(veja a Equação e), e por isso a coluna permanece rela. Além disso. notamosque quando C. for igual a zero. a Equação (d) é satisfeita para qualquervalor da quan tidade kL. Conseqüentemente. o carregamento axial P podetambém ter qualquer valor (veja a Equação 11.6b). Essa solução da eq uaçãodiferencial (conhecida em matemática como a soluç ão triviatv é represen­tada pelo eixo vertical do diagrama de carregamento-deflexão (Figura 11.7).Ele fornece o componamento de uma coluna ideal que está em equihbrio(ou está vel ou instável) na posição rerilínea (sem deflexão) sob a ação docarregamento de compressão P.

Caso 2. A segunda possibilidade para satisfazer a Equação (d) é dadapela equação a seguir. conhecida como eq uação de ttambagem:

\'(0) = O e \'(L ) = O

A primeira condição fornece Cz = O. e por isso

l' = C1 sen I r

A segunda condição fornece

C1senkL= O

"o

p ',/'Equillbrio instável

'\.... Equihbrio estável

B-+-'C

Equ i1Jb rio neutro

~ -~---~

Figura 11.7 Diagrama de carregamento­deflexão para uma coluna ideal, elásticalinear

•..sen U = O (11.9)

Essa equação é satisfeita quando kL = O. tt; 2r.. _... No entanto, uma vezque kL = Osignifica que P = O, essa solução não é de interesse. Por isso, assoluções que iremos considerar são

(e)

(11.10)II = 1, 2, 3•. . .

n = 1, 2. 3, . . .kL = II1T

ou (veja a Equação 11.6a):

nn '-"",~'E~'Ip ~ -

L'Essa fórmula fornece os valores de P que satisfazem a equação de flam­bagem e fornece soluções (outras que não a solução trivial) para a equaçãodiferencial.

A equação da curva de deflexão (das Equações c e e) é

0=

e tf. C k C111TX

1' = r sen 'x= I sen --L

11 = L 2. 3.... (11.11)

•

•

Apenas quando P tem um dos valores dados pela Equação (11.10) é teorica­mente possível que a coluna tenha uma forma flexionada (dada pela Equação11.11). Para lodos os outros valores de P, a coluna está em equilíbrio apenasse permanecer rela. Por isso, os valores de P dados pela Equação (11.10) sãoos ca rregamentos críticos para essa coluna.

Carregam entos Crít icos

O menor carregamento critico para uma coluna com extremidades apoiadaspor pinos (Figura 11.8a) é obtido quando 11 = 1:

P. = ~EJ<:r L.2 (11.12)

5 52 MECÂNICA DOS MATERIAIS

A fonna em flambagem correspondente (algumas vezes chamada de forma modal) é

C trx\. = I sen -

L(1 1.1 3)

como ilustrado na Figura Il .8b. A cons tante C 1 representa a deflexão no ponto médio da coluna e pode ter qualquervalor pequeno, tanto positivo quanto negativo. Por isso, a parte do diagrama de carregamento-deflexão correspon­dendo a Pc;r é uma linha reta horizontal (Figura 11.7 ). Dessa form a. a deflexão no carregamento critico é indefinida.embora deva permanecer peque na para que nossas equações sejam válidas. Acima do ponto de bifurca ção B , o equilf­brio é instável. e abaixo do ponto B, é estável. A flambagem de uma coluna apoiada por pinos no primeiro mod o échamado de caso fundamental de flambagem de colun a.

p

B 1'1-

A. !"- A.

,AR-~-

F

(.) (b) (o)

f igura 11.8 Fonnas em flambagern para uma coluna ideal com extremidades apoiadas por pinos: (a) inicialmente coluna rela. (b)forma em flambagem para 11 = 1 e (c) forma cm flam bagem para /I = 2

o tipo de flamhagem descrito nesta seção é chamado de flambagem de Euler, e o carregamento crítico para umacoluna elástica ideal é com freq üência chamado de carregamento de Eule r . O famoso matem ãrico Lconhard Euler(1707-1783). geralmente reconhecido como o maior mate mático de todos os tempos. foi a primeira pessoa a investi­gar a flambagem de uma coluna esbelta e determinar seu carregamento crítico (Euler publicou seus resultados em1744); veja a Ref. 11.1.

Tomando-se valores maiores do índice n nas Equações ( 11 .10) e (11.11), obtemos um número infinito de carrega­mento s críticos e formas modais corres pondentes. A forma modal para II = 2 apresenta duas meia-ondas, como ilus­trado na Figura 11.8c. O carregamento critico corres pondente é qua tro vezes maior do que o carregamento críti copara o caso fundamental. As magnitude s dos carregamentos críticos são proporcionais ao quadrado de n, e o númerode meia-ondas na form a em tlambagcm é igua l a 1/ .

Formas em flambagem para os modo s mais altos com freqüência não são de utilidade prática porque a colunatlamba quando o carregamento axial P atinge seu menor valor critico. A única forma de obter modos de flambagemmais altos do que o primeiro é fornecendo apoio lateral da coluna em pontos intermed iários. como no ponto médio daco luna mostrado na Figura 11.8 (veja Exemplo 11.1 no final desta seçâo).

Da Equação (11.12) vemos que o carregamento crít ico de uma coluna é proporcional à rigidez de flexão EI einversamente proporcional ao quadrado do comprimento. De particular interesse é o falo de que a resistência do mate­rial . repre sentada por uma quantidade como a tensão limite de proporcionalidade ou tensão de escoamento, não apa­rece na equação para o carregamento crítico. Por isso, aumentar uma propri edade de resistência não aument a ocarregamento crítico de uma coluna esbelta. Ele pode ser aumentado apenas aumentando a rigidez de flexão, red u­zindo o comprimento ou fornecendo apoio lateral adicional.

A rigidez de flexão pode ser aumenrada usando um material "mais rígido" (isto é. um material com maiormódu lo de elasticidade E) ou distrib uindo o material de maneira a aumentar o momento de inércia I da seção trans­versal, da mes ma forrna que uma viga pode ser feita mais rígida aumentando o mom ento de inércia. O momento deinércia é aumentado distri buindo o material mais distante do centróide da seç ão transversal. Dessa forma, um mem ­bro tubu lar vazado é geralmente mais econômico para ser usado como uma coluna do que um membro sólido tendo amesma área de seção transversal.

Figura 11.9 Seções transversais decolunas mostrando eixos centroidaisprincipais com /1 > h

2

c

2

c

2

2

CAPíTULO 11 Colunas 553

Reduzir a espessura de um membro tubular e aume ntar suas dimensõeslaterais (enquanto se mantém a área de seção transversal constante) tambémaumentam o carregamento crítico porque o momento de inércia é aumen ­tado. Esse processo tem um limite prático, no entanto, porq ue eventual­mente a própria parede ficará instável. Quando iss~ocorre, surgeflambagem localizada em forma de pequenas ondulações ou rugas-nas pare­des da col una . Dessa forma, devemos distinguir entre f lambagem total deuma coluna, que está ilustrada na Figura 11.8, e jJamhagem local de suasparte s. A última exige investigações mai s detalhadas, como aquelas descritasnas Refs. 11.4, 11.5 e 11.6 e em livros-textos atua is de flamhagem e estabili ­dade . Neste capítulo consideramos apenas a flambagem total de colu nas .

Na análise anteri or assumi mos que o plano .ry era um plano de sime triada coluna e que a flambagem ocorria nesse plano (Figura 11.8) . A supo siçãoanterior será satisfeita se a coluna tiver apoios laterais perpendicul ares aoplano da figura, de forma que a coluna está restringida para flambar noplano -l,.}'. Se a colu na estiver apoiada apenas em suas extremidades e estiverlivre para flambar em qualque r dir eção, então a flexão ocorrerá sob re o eixocentroida l principal tendo menor momento de inércia.

Por exemplo, considere a seç ão transversal retangular e de flanges lar­go s mo strada na Figura 11.9. Em cada caso, o momento de inércia /1 émaior que o momento de inércia / 2; dessa maneira, a coluna irá flambar noplano l~ I, e o menor momento de inércia /2 deve ser usado na fórmul a parao carregamento crítico. Se a seção transversal for quadrada ou circular,todos os eixos centroidais têm o mesmo momento de inércia e a flam bagempode ocorrer em qualquer plano longitudinal.

Tensão Crítica

Após encontrar o carregamento crít ico para uma coluna, podemos ca lcular atensão crítica correspondente dividindo o carregamento pela área de seçãotran sversal. Para o caso fundamental de flambagem (Figura 11.8b), a tensãocrítica é

em que I é o momento de inércia para o eixo principal sobre o qual a flam­bagem ocorre . Essa equação pode ser escrita de man eira mais usual introdu­zindo a notação

r> fI\ A

(11.14)

(11.1 5)

a o

cm que r é o raio de giraçã o da seç ão transversal no plano de flexão.*Logo. a equação para a tensão crí tica se toma

em que L lr é uma razão adimens ional chamada de r azão de esbeltez:

Razão de esbeltez = Lr

* O raio de giração é descrito na Seção 12.4 .

(11.17)

"T""55 4 MECANICADOSMATERIAIS

o 50 100 150 200 250L

Figura 11.10 Gráfico da curva de Euler(da Equação 11.16) para aço estruturalcom E = 30 X 10-1ksi e O'pI : 36 ksi

Efeitos de Grandes Deflexões, Imperfeições e ComportamentoInelástico

Note que a razão de esbeltez depende apenas das dimens ões da coluna. Umacoluna que é long a e esbelta terá uma maior razão de esbeltez e por issouma ba ixa tensão crítica. Uma coluna que é curta e não-esbelta rerã umabaixa razão de esbeltez e irá flambar em uma alta tensão. Valores típi cos darazão de esbeltez para colunas rea is estão entre 30 e 150.

A tensão crítica é a tensão de compressão méd ia na seção rransversaí-no__. 'instante em que o carre gamento atinge seu valor crítico. Podemos traçar umgráfico dessa tensão como função da razão de esbeltez e obter uma curvaconhecida como curva de Euler (Figura 11.10). A curva ilustrada na figuraé traçada para um aço estrutural com E = 30 x 1& ksi . A curva é válidaapenas quando a tensão criti ca é menor do que o limite de proporcionalidadedo aço , porque as equações foram deduzidas usando-se a lei de Hooke. Porisso . desenhamos uma linha horizontal no gráfico no limite de proporciona­lidade do aço (assumido como 36 ksi ) e terminamos a curva de Euler nessenível de tensão.*

91~10

20

(

u pJ: 36 ksi

Curvade Euler.. ... . ; E : 30 xuiksi

30 J

pB

D

D

Figura 11.11 Diagrama de carregamento­deflexão para colunas: Linha A, colunaideal elástica com pequenasdeflcxõcs:CurvaB, coluna ideal elástica comgrandes detlexões: Curva C. colunaelástica com imperfeições: e CurvaD,coluna íncl ãsnca com imperfeições

As equações para os carregamentos crüicos foram deduzidas para colunasideais, isto é. colunas para as quais os carregamentos são aplicados precisa­mente , a construção é perfeita e o material segue a lei de Hooke. Com o con­seqü ência. concluímos que as magnitudes das pequena.. deflexões naflamhagem eram indefinidas.** Dessa form a, quando P = PL"T' a colunapode ter qualquer pequena deflexão. uma cond ição representada pela linhahorizontal chamada de A no diagrama de carregamento-deflexão da Figura11.11. (Nessa figura, mostramos apenas a metad e direita do diagrama, masas duas metades são simétricas em relação ao eixo vertical .)

A teoria para colunas ideais é limitada para pequenas deflexões porqueusamos a segund a derivada r" para a curvatura. Uma análise mais exala.baseada na expressão exata para curvatura (Equação 9. 13 na Seção 9.2),mo stra que não há indefinição nas mag nitudes das deflexões em flamhagem.Em vez disso, para uma coluna ideal e elástica linear. o diagrama de carre­gamento-deflexão cresce de acordo com a curva B da Figura 11.1l . Dessaforma, depo is que uma coluna elástica linear começa a flambar, um carrega·men to crescente é necessário para causar aumento nas deflexões.

Agora suponha que a coluna não é construída perfeitam ente; por exem­plo , a coluna pode ter uma imperfe ição na fonna de uma peque na curvaturainicial, de modo que a coluna des carregada não seja perfeitamente reta . Taisimperfeições produzem deflexõ es a parti r do começo do carregamento,como mostrado pela curva C na Figura 11.1l . Para pequenas deflexões. acurva C apro xima-se da linha A como uma assíntora. Entretanto, à medidaque as deflexõcs se tomam gran des , ela se aproxima da curva B . Quantomaiore s as imperfeiçõe s, mais a curva C move-se para a direita, distante dalinh a vertical. De maneira contrária , se a coluna for constru ída com conside­rável precisão. a curva C aprox ima -se do eixo vertical e da linha horizontalchamada de A. Comparan do as linhas ,1, B e C. vemos que para fins práticoso carregamento critico representa a máxima capacidade de suportar carrega­mentos de uma coluna elástica. porq ue grandes deflexões não são aceitáveisna maioria das aplicações.

• A curva de Euler não é uma forma geométrica comum. Algumas vezes d a é erroneamentechamada de hipérbole. mas hipérboles são traçadas de equações polinomiais de segundo graucom duas variávei s. ao passo que a curva de Euler é um traçado de uma equação de terceirograu com duas vari áveis .

... :"a termino logia matemãuca, resolvemos um probltmo dt ourom/or linear, O carregamento

critico é um Qutom/ar e a forma modal em flambagem correspondente é uma QutofunçiiQ.

CAPiTULO 11 Colunas 555

(b )

P '

Finalmente. considere o qu e ocorre quando as tensões excedem o limi tede proporcionalidade e quando o material não segue mais a lei de Hooke. Éclaro que o diagrama de carregamento-deflexão não muda até Onível de car ­regamento em que o limi te de proporcionalidade é alcançado. Então a curvapara compo rtamento inelástico (curva D ) diverge da curv a.elástica. continuasubindo, atinge um máximo e vira para baixo. ---~

Os formatos precisos das curvas na Figura 11.11 dependem das proprie­dades do materi al e das dimensões da coluna. ma" a natureza geral do com­portamento es tá representada pela'> curvas mostradas.

Apenas colunas extremamente esbeltas perm anecem elásticas até o car­regam ento crít ico. Colunas mais comuns comportam-se inelasticem ente eseguem uma curva como a curv a D. Dessa forma. o máximo carregamentoque pode ser suportado por uma coluna inelásrica pode ser conside ravel­mente menor do que o carregamento de Euler para essa mesma coluna.Além disso, a parte descendente da curva D representa ruptura repe ntina ecatastrófica, porque tem-se carregamentos cada vez menores para desenvol ­ver deflex ões cada vez maiores . Em contraste. as curvas para colunas elásti­cas são bem estáveis, porque elas conti nuam para cima à medida que asdeflexões aumentam, e por isso elas suportam carregamento s cada vezmaiores para causar um aumento na deflexão. (A flambagem inel ãstica édescrita com mais detalhes nas Seções 11.7 e 11.8. )

Perfis ótimos de Colunas

Membros em compressão têm com frequ ência as mesmas seções tra nsver­sais ao longo de seus comprim entos. e por isso apenas as colunas prismáti­cas são analisadas neste capítulo. Entretanto. colunas prismáticas não são operfil ôrimo se for desejado um mínimo peso. O carregamento crítico deuma co luna consistindo de uma dada quantidade de material pode seraumentado vari ando o perfil. de forma que a coluna tenh a maiores seçõestransversais nas regiões em que os momentos fletores são maio res. Co nsi­dere, por exemplo. uma coluna de seção transversal c ircular sólida comextremidades apoiadas por pinos. Uma coluna com o formato mostrado naFigura 11,12a terá maior carregamento crítico do que uma coluna pri smáticade mesmo materia l. Como meio de aprox imar esse formato õrimo, as colu­nas prismáticas são algumas veze s reforçadas sobre parte de uma porção deseus comprimentos (Figura 11.12b).

Agora considere uma coluna prismática com extremidades apo iadas porpinos que está livre para flambar em qualquer direção lateral (Figura11.13a). Assum a também que a coluna possui uma seção tran sversal sólida,como um círculo. quadrado. triângulo, retângulo ou hex ágono (FiguraI 1.I3b). Surge uma questão interessante: Para uma dada seç ão tran sversal.qual desses perfi s toma a coluna mais eficiente? Ou. em termos mais preci­sos . qual seção transversal fornece o maior carre gamento crítico? logica­mente. es tamos ass umindo que o carregamento critico é calculado a partirda fónnula de Euler Per = "':-El/U usando o menor momento de inérciapara a seção transversal.

Embora uma resposta comum a essa questão seja "0 perfi l c irc ular",você pode prontamente demonstrar que uma seç ão transversal no formarade um triângulo equi láte ro fornece um carregamento crítico 21% maior doque uma seção transversal circular de mesma área (vej a o Problema 11.3­10). O carregamento criti co para um triângulo equilátero també m é maiordo qu e os carre gamentos obtidos para os outros perfis: dessa forma. umtriângulo equil átero é a seção transversal ótima (baseado apenas em consi­derações teóricas) . Para uma análi se matemática de perfis õrimos de colu­nas, inclu ind o col unas com seções transversais vari áveis. veja a Ref. 11.7.

(b)

P

•

OD6Do

P

•

(a)

Figura 11.12 Colunas não-prismáticas

Figura 11.13 Qual formato de seçãotransversal é o formato ótimo para umacoluna prismática?

..." ..

r-

I 556 MEcANICA DOS MATERIAIS

Exemplo 11.1

Uma coluna longa e esbelta ABC é apoiada por pinos nas extremidades e comprimida por um carregamento axial P (Figura11.14). Um apoio lateral é colocado no ponto médio B no plano da figura. Entretanto. são fornecidos apoios laterais perpendicula-res ao plano da figura apenas nas extremidades. A coluna é construída de uma seçãc de flange largo de aço (W 8 x 28) lendomódulo de elasticidade E :: 29 x 10) ksi e limite de proporcionalidade O"pl = 42 ksi. O comprimento total da coluna é L = 25..ft.- - · ~·/

Determine o carregamento admissívelP.<lm usandown Iator de segurança de n ;; 2.5 em relação à flambagem de Euler da coluna.

•x

c••

(a)

-, LI; 'i - 125 ft

r

L2 ",, 12.5 ft

I,

2

W 8 x 28 1

T IJ -

r2

Section X-X

(b)

Figura 11.14 Exemplo 11.1. Flambagcm de Euler de uma coluna esbelta

SoluçãoPor causa da maneira como está suportada, essa coluna pode f1ambar em qualquer dos dois planos principais de flambagem.

Como uma possibilidade. ela pode üambar no plano da figura. e nesse caso a distância entre os apoios laterais é LI2 = 12.,5 fi e aflexão ocorre sobre o eixo 2-2 (veja a Figura 11.& para a forma do modo de flambagcm). Como segunda possibilidade, da pedeIlambar perpendicularmente ao plano da figura sobre o eixo 1· 1. Como o único apoio lateral nessa direçãc está nas extremidades,a distância entre os apoios laterais é L = 25 fi (veja a Figura 11.8b para a forma do modo de flambagern).

Propriedades da coluna . Da Tabela E.I. Apêndice E, obtemos os momentos de inércia a seguir e a área de seçâo transversalpara a coluna W 8 X 28:

12 = 21.7 in." A = 8.25 in.2

Carregamentos críticos. Se a coluna flambar no plano da figura, o carregamento crítico é

Substituindo valores numéricos. obtem os

4 7T2(29 X 103 ksi)(21.7 in...\)

[(25 ft)(12 in./fl)f= 276 k

Se a coluna flambar perpendicularmente ao plano da figura, o carregamento crítico é

Por isso. o carregamento critico para a coluna (o menor dos dois valores anteriore s) é

Pu = 276 k

e a flambagem ocorre no plano da figura.Tensões críti cas. Uma vez que os cálculos para os carreg amentos crfricos são válidos apenas se o materi al seguir a lei de

Hooke, precisamos verificar se as tensões críticas não excedem o limite de propo rcionalidade do material. 1'0 caso do maior car­regamento critico. obtem os a tensão crític a a segu ir:

CAPíTULO 11 Colun as 55 7

312 k = 37.8ksi8,25 ín."

Uma vez que essa tensão é menor do que o limite de proporcionalidade (LTrl = 42 ksi), ambos os cálculos de carTegarrlê~(Q criticosão satisfatórios.

Carregamento admiss ivel. O carregamento axial admissível para a coluna, baseado na flambagem de Euler, é

P. = P c, = 276 k = 11O k,,,1m II 2,5 -

em que n = 2,5 é o fator de segurança desejado.

11.4 COLUNAS COM OUTRAS CONDiÇÕES DE APOIO

"'"'

A flamhagem de uma coluna com extremidades apoiadas por pinos (descrita na seção anterior) é geralmente conside­rada o caso mais básico de f1amhagem. Entretanto, na prática encontramos muitas outras condições de extremidade,como extremidades engastadas, extremidades livres e apo ios elásticos. Os carregamentos críticos para colunas comvári os tipos de condições de apoio podem ser determi nados a partir da equação diferencial da curva de deflexão atra­vés do mesmo procedimento que usamos ao anal isar uma coluna apoia da por pinos.

O procedimento é o seguinte. Primeiro, assumindo que a coluna já está no estado de flambagem, obtemos umaexpressão para o momento fletor na coluna. Segundo , obtemo s a equação diferencial da curva de deflexão , usando aequação de momento fletor (E/v" = Af). Em terceiro lugar, resolvemos a equação e obtemos sua solução geral, quecontém duas constantes de integração mais outras quantidades desc onhecidas. Em quarto lugar, aplicamos as condi­ções de contorno pertinentes à deflexão v e à inclinação v' e obtemos um conjunto de equações simultâneas. Final­mente, reso lvemos essas equações para obter o carregamento crítico e a forma defletida da coluna flambada.

Esse procedimento matemático direto é ilustrado na discussão a segu ir sobre três tipos de colunas.

Coluna Engastada na Base e Livre no Topo

o primeiro caso que iremos con siderar é uma coluna ideal que está engastada na base, livre no topo e está submetidaa um carregamento axial P (Figura 11.15a).* O perfi l dcflctido da coluna flambada é ilustrado na Figura 11.15b. Apartir dessa figura vemos que o momento fletor a uma distância x da base é

M = P( o - v) (11.18)

25 ff!-El4L2

(d)

L3

(c)

\i s ~1'1- -+:\1 1-: 1 3

y_~-.-i_

x

(b)

AJ - - -

rr'EIP" == 4L2

L

•

I"

p

A

B

Figu ra 11.1 5 Coluna ideal cngasrada na base e livre no topo: (a) inicialmente uma coluna reta, (b) modo de flambagem paran = 1, (c) modo de flambagem para n = 3 e (d) modo de flambage m para li = 5

* Essa coluna é de especial interesse porqu e foi a primeira analisada por Eu ler, em 1744.