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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

Lucas da Rosa Ribeiro

ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE LAJES RETANGULARES MEDIANTE ANALOGIA DE GRELHAS

Santa Maria, RS 2017


ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE LAJES RETANGULARES

MEDIANTE ANALOGIA DE GRELHAS

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado ao Curso de Engenharia

Civil, Área de Concentração em

Estruturas e Construção Civil, da

Universidade Federal de Santa Maria

(UFSM, RS), como requisito parcial para

a obtenção do título de Engenheiro

Civil.

Orientador: Prof. Dr. João Kaminski Júnior




Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil, Área de Concentração em Estruturas e Construção Civil, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para a obtenção do título de Engenheiro Civil.

Aprovado em 22 de dezembro de 2017:

__________________________________________ João Kaminski Júnior, Dr. (UFSM)

(Presidente/Orientador)

__________________________________________ Almir Barros da Silva Santos Neto, Dr. (UFSM)

__________________________________________ Marco Antônio Silva Pinheiro, Dr. (UFSM)


RESUMO


AUTOR: Lucas da Rosa Ribeiro ORIENTADOR: João Kaminski Júnior

A crescente complexidade e ousadia da arquitetura moderna exigem que a análise das lajes e dos demais elementos estruturais em concreto armado represente da forma mais fiel possível a realidade a qual estarão submetidos. Desta forma, é imprescindível o uso de computadores devido à grande dinamização que estes proporcionam em um projeto estrutural e, principalmente, garantir que os acadêmicos e futuros Engenheiros Estruturais sejam habituados desde a sua formação ao manuseio dos softwares com tais finalidades. Neste contexto, este trabalho tem como objetivo elaborar uma rotina computacional em Fortran para a análise de lajes retangulares de concreto armado por analogia de grelhas. Além do programa desenvolvido apresentar os deslocamentos, as reações nos apoios e as ações de extremidade de barra, que são os resultados tipicamente mostrados, também são expressas todas as etapas da solução do problema, tal como as matrizes de rotação e de rigidez das barras, a matriz de rigidez global, os vetores de carga e as matrizes referentes à solução do sistema de equações pelo método Cholesky. Ao comparar os resultados do programa desenvolvido com os obtidos pelo programa ANSYS e segundo trabalhos diversos da literatura nacional, percebe-se que a rotina computacional elaborada é eficiente, viabilizando-se assim a sua aplicabilidade.

Palavras-chave: Analogia de grelhas; lajes de concreto armado; análise

matricial de estruturas.

ABSTRACT

COMPUTATIONAL ROUTINE FOR THE ANALYSIS OF RECTANGULAR SLABS BY GRILLAGE ANALOGY

AUTHOR: Lucas da Rosa Ribeiro ADVISOR: João Kaminski Júnior

The growing complexity and boldness of the modern architecture demand that the analysis of concrete slabs, and all of the remaining reinforced concrete structural members, portray the reality which they will be submitted to as faithful as possible. Thus, it is indispensable the use of computers due to the great promotion they afford to a structural project and, mainly, ensure the academics and future Civil Engineers to be accustomed since their academic education to the handling of this kind of software’s. In this context, the objective of this work is the elaboration of a computational routine in Fortran language aimed to the analysis of reinforced concrete rectangular floor panels by the grid analogy. Besides the developed program displaying the displacements, the nodal reactions and the member end actions, which are the typical showed results, all the steps related to the solution of the problem are also expressed, like the rotation and stiffness matrices of every bar, the global stiffness matrix, the load vectors, and also the matrices related to the solution of the system of equations by the Cholesky method. After comparing the results of the developed program to those obtained by the software ANSYS and according to several works included on national similar works, it was noticed that the computational routine is efficient, making feasible its applicability.

Keywords: Grid analogy; matrix analysis of structures; reinforced concrete slabs.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 7

1.1 PROBLEMA.............................................................................................. 8 1.2 OBJETIVOS ............................................................................................. 8 1.2.1 Objetivo Geral ...................................................................................... 8 1.2.2 Objetivos Específicos ......................................................................... 9

1.3 JUSTIFICATIVA ....................................................................................... 9 2 REVISÃO DE LITERATURA ..................................................................... 10

2.1 Análise Estrutural ................................................................................... 10 2.2 Método da Rigidez e Análise Matricial de Grelhas ................................. 10 2.3 Teoria das Placas ................................................................................... 12 2.4 Análise de Lajes por Tabelas ................................................................. 13 2.5 Analogia de Grelhas ............................................................................... 14 3 PROGRAMA ANALOGIA DE GRELHAS ................................................. 18

3.1 Descrição Geral do Programa ................................................................ 18 3.2 Discretização .......................................................................................... 19 3.3 Propriedades Físicas e Geométricas das Barras ................................... 20 3.4 Vinculações ............................................................................................ 23 3.5 Carregamentos ....................................................................................... 24 3.6 Comparação dos Resultados ................................................................. 25 4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ................................................................. 27 4.1 Exemplo 1 – Laje de Silva, Figueiredo Filho e Carvalho ........................ 27 4.1.1 Caso 01 – Comparação entre FORTRAN, ANSYS e Tabelas ......... 29 4.1.2 Caso 02 – Influência da Malha .......................................................... 31 4.1.3 Caso 03 – Módulo de Deformação Transversal do Concreto ........ 35 4.1.4 Caso 04 – Vigas Verticalmente Indeslocáveis ................................ 36 4.1.5 Caso 05 – Vigas Verticalmente Deslocáveis ................................... 38 4.2 Exemplo 2 – Pavimento de Mazzilli ........................................................ 43 4.2.1 Laje 1 .................................................................................................. 46 4.2.2 Laje 2 .................................................................................................. 49 4.2.3 Laje 3 .................................................................................................. 52 4.2.4 Síntese dos Resultados .................................................................... 57

4.3 Exemplo 3 – Laje de Kimura................................................................... 60 4.4 Exemplo 4 – Laje com uma borda livre .................................................. 65 6 CONCLUSÃO ............................................................................................ 72 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 73 APÊNDICE A – Manual do Usuário do Programa Analogia de Grelhas ..... 75 ANEXO 1 – Tabelas de Bares Adaptadas por Pinheiro (1994) .................... 85

7

1 INTRODUÇÃO

Ao realizar um projeto de estruturas, o Engenheiro deve garantir que a mesma

desempenhe as suas funções de forma segura, eficiente, e com o máximo de

economia na sua execução. Caso se adote um modelo inadequado na etapa de

análise estrutural, os resultados poderão acarretar em um superdimensionamento,

onde não há economia e, dependendo da situação, nem segurança; ou senão em

subdimensionamento, onde não há segurança e nem eficiência.

A análise estrutural de lajes visa obter os esforços internos atuantes, reações

de apoio nos bordos e os deslocamentos, sendo estes caracterizados pelas rotações

nos bordos e pela flecha máxima.

Um método empregado durante muitos anos na análise de lajes maciças

consiste do uso de tabelas de lajes isoladas, comumente retangulares, associadas a

uma série de hipóteses e simplificações, tal como a consideração de que as lajes se

apoiam sobre vigas rígidas e indeformáveis. Com a finalidade de determinar o

comportamento das lajes de forma mais precisa, avaliando o comportamento do

pavimento de forma integrada, podem ser utilizados alguns métodos numéricos, tais

como a analogia de grelhas no método da rigidez e o método dos elementos finitos.

No entanto, durante muito tempo a implementação destes métodos era inviável

devida às limitações da capacidade de processamento dos computadores da época,

o que não é um problema atualmente.

A analogia de grelhas possui uma série de vantagens se comparado a outros

métodos numéricos, tais como o fato de possuir uma simples formulação e por não

ser necessário um alto grau de especialização, por parte do usuário, para realizar a

modelagem e a análise dos resultados. Tal metodologia consiste em substituir um

pavimento composto de lajes e vigas por uma grelha equivalente, simulando-se uma

estrutura considerada como placa por uma série de elementos de barras.

Assim sendo, este trabalho possui como foco a elaboração de um programa

educativo em FORTRAN voltado à análise de lajes retangulares de concreto armado

mediante analogia de grelhas e, posteriormente, comparar e validar os resultados com

a análise de lajes retangulares presentes na literatura, com os resultados gerados em

um programa computacional que utiliza o método dos elementos finitos, o programa

ANSYS, assim como pelas tabelas de Bares adaptadas por Pinheiro (1994).

8

1.1 PROBLEMA

As lajes de concreto armado, por constituírem um dos elementos estruturais

mais comuns e por serem responsáveis pelo consumo de até dois terços do concreto

de uma obra, requerem especial atenção no que diz respeito à economia e eficiência

(FRANÇA e FUSCO, 1997).

O constante aumento da complexidade e da ousadia da arquitetura moderna

exigem que a análise das lajes e dos elementos estruturais em concreto armado

represente da forma mais fiel possível a realidade a qual estarão submetidos, onde

cada elemento é responsável por uma parcela do comportamento global da estrutura.

Desta maneira, nota-se o quão necessário é a elaboração de softwares cada

vez mais precisos para garantir a representação mais exata possível da resposta da

estrutura frente às diversas ações as quais estarão submetidas, assim como para

evitar uma análise cujos excessos de simplificações acarretem em uma estrutura

insegura ou antieconômica.

Ademais, os atuais acadêmicos e futuros Engenheiros Estruturais devem ser

habituados desde a sua formação à elaboração, manuseio e interpretação dos

resultados gerados em softwares de análise estrutural. A análise matricial empregada

nos mesmos envolve diversas etapas complexas que podem ser de difícil

compreensão caso não sejam bem definidas. No entanto, estas são geralmente

omitidas na geração dos resultados, de modo que a visualização se restrinja

comumente aos deslocamentos, reações de apoio e diagramas dos esforços

solicitantes.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo Geral

Desenvolver uma rotina computacional capaz de gerar e analisar lajes

retangulares de concreto armado empregando o método da rigidez e a analogia de

grelhas.

9

1.2.2 Objetivos Específicos

- Implementar em linguagem FORTRAN a analogia de grelhas no método da

rigidez para a resolução de lajes retangulares de concreto armado;

- Validar as análises do programa aqui desenvolvido mediante comparação

com a análise gerada por um programa já consolidado, o ANSYS;

- Validar as análises geradas pelo programa aqui desenvolvido mediante

comparação com a análise a partir do uso das tabelas de Bares adaptadas por

Pinheiro (1994);

1.3 JUSTIFICATIVA

Durante muito tempo, a indisponibilidade de recursos computacionais

adequados acarretou na consideração da análise estrutural de lajes e vigas a partir

do conceito de apoios rígidos e do isolamento da laje em relação ao restante do

pavimento, o que acarretava em uma série de simplificações na análise e no posterior

dimensionamento.

Sabendo que a solução padronizada a partir destes antigos conceitos não é

uma representação adequada da realidade, surgiu a necessidade de empregar um

método que garanta soluções particulares para cada projeto, que seja de fácil

implementação e que, a partir da consideração do pavimento como um todo, forneça

soluções mais precisas e próximas da realidade.

Assim, foi empregada a analogia de grelhas com o intuito de,

simplificadamente, garantir uma análise confiável às finalidades práticas.

Portanto, este trabalho se justifica por promover uma validação da já

consolidada analogia de grelhas mediante a elaboração de uma rotina computacional

dedicada à aplicação deste método. Também será possibilitado um melhor

entendimento deste processo aos estudantes, assim como a compreensão das suas

etapas de resolução e suas vantagens em relação ao método por tabelas.

10

2 REVISÃO DE LITERATURA

2.1 Análise Estrutural

A análise estrutural tem como objetivo a determinação dos esforços e das

deformações que ocorrem em uma estrutura devido às solicitações nela aplicada.

Para tal, é necessário elaborar um modelo estrutural para idealizar a estrutura,

devendo este modelo possuir propriedades materiais, detalhes, carregamentos e

condições de fronteira o mais próximo possível da realidade (CHEN, 2003).

Segundo Kimura (2007), a análise estrutural é uma etapa de vital importância

em um projeto estrutural, posto que de nada adianta realizar um dimensionamento

refinado caso os esforços previamente definidos não traduzam a realidade a qual a

estrutura estará submetida. Uma análise estrutural inadequada acarretará em um

dimensionamento de armaduras igualmente inadequado.

Todas as estruturas reais são tridimensionais, porém, visando à obtenção de

um modelo simplificado à análise estrutural, é comum idealizar a estrutura em estudo

por estruturas reticuladas, ou seja, formadas apenas por barras. Tais estruturas

podem ser lineares (vigas), planas (grelhas e treliças planas) ou espaciais (pórticos e

treliças espaciais), conforme a ordem de grandeza das dimensões do elemento

estrutural considerado.

2.2 Método da Rigidez e Análise Matricial de Grelhas

Grelhas são estruturas reticuladas pertencentes a um plano horizontal,

convenientemente denotado por X-Z, e que recebem cargas perpendiculares a este

plano. Os carregamentos podem ser cargas distribuídas aplicadas nas barras,

momentos aplicados diretamente nos nós ou nos vãos, e cargas concentradas

aplicadas nos vãos ou nos nós da grelha.

Na Figura 1 estão indicados os eixos globais e locais para a barra “i” de uma

grelha, assim como a identificação de seus graus de liberdade (GDL).

11

Figura 1: Barra “i” de grelha nos sistemas de referência global e local

Fonte: Kaminski, 2015

Cada nó de uma grelha possui 3 GDL, sendo eles o deslocamento vertical

segundo o eixo Y local e as rotações em torno dos eixos X e Z locais. Assim sendo,

cada barra possui seis GDL e a matriz de rigidez de barra SM, que se obtém mediante

a imposição de deslocamentos unitários às barras bi engastadas, um de cada vez,

possui dimensão 6 x 6.

A numeração arbitrária dos GDL segue a numeração aleatória dos nós,

priorizando-se o giro em torno de X local, o deslocamento vertical em Y local e,

finalmente, o giro em torno de Z local. Entretanto, para que seja possível a automação

da análise, é necessário garantir a numeração prioritária dos GDL mediante o

processo de indexação dos mesmos.

Pelo fato das barras de uma grelha poderem assumir qualquer direção no plano

horizontal X-Z, é necessária a determinação da matriz de rotação R para cada uma

das barras. A partir da matriz R e da numeração prioritária dos GDL, é possível definir

a matriz de rigidez de barra no sistema de coordenadas globais por:

𝑆𝑀𝑖 = 𝑅𝑖𝑇 ∙ 𝑆𝑀𝑖

𝐿 ∙ 𝑅𝑖 (1)

A determinação de todas as matrizes SM em coordenadas globais é necessária

para se obter a matriz de rigidez global SJ de forma automática. Tal matriz é uma

propriedade da estrutura que independe do carregamento aplicado, sendo simétrica

(estrutura em equilíbrio) e obtida pela soma dos coeficientes de rigidez de cada matriz

𝑆𝑀𝑖, que são adicionados em posições específicas dentro de 𝑆𝐽.

12

Quanto ao carregamento da grelha, este é representado pelo vetor de cargas

𝐴𝐶, que resulta da soma do vetor de ações nodais 𝐴 (ações diretamente aplicadas

nos nós da grelha) e do vetor de ações nodais equivalentes 𝐴𝐸 (reações e momentos

de engaste perfeito na estrutura restringida, porém com sinal contrário). O vetor 𝐴𝐶

também deve estar na numeração prioritária. A partir de 𝑆𝐽 e 𝐴𝐶 é possível calcular os

deslocamentos em coordenadas globais:

𝐴𝐶 = 𝑆𝐽 ∙ 𝐷𝑇 (2)

Considerando que os deslocamentos de rotação e de translação são nulos nos

apoios, é possível particionar as matrizes 𝐴𝐶, 𝑆𝐽, e 𝐷𝑇, obtendo-se:

𝐴𝐶 = 𝑆 ∙ 𝐷 (3)

Pelo fato de 𝑆 ser uma matriz simétrica, este sistema de equações lineares

também é simétrico, o que torna muito recomendado utilizar o Método Cholesky para

a resolução do mesmo. Resolvido o sistema de equações, determinam-se as reações

de apoio 𝐴𝑅 por:

𝐴𝑅 = 𝐴𝑅𝐿 + 𝑆𝑅𝐷 ∙ 𝐷 (4)

Após a determinação de 𝐷 e 𝐴𝑅, realiza-se uma indexação inversa para

apresentar os resultados segundo a numeração arbitrária inicialmente definida. Tais

resultados seriam os deslocamentos e as reações de apoio propriamente ditas, as

ações de extremidade de barra 𝐴𝑀 e os diagramas de esforço cortante e de momento

fletor.

2.3 Teoria das Placas

Placas são elementos estruturais planos com duas dimensões muito superiores

à terceira, cujos carregamentos são aplicados segundo a direção perpendicular à sua

superfície (REIS, 2007).

A análise estrutural rigorosa destes elementos estruturais envolve a resolução

da equação diferencial de Lagrange. Tal equação foi obtida segundo uma série de

13

hipóteses elaboradas por Kirchoff-Love e de relações entre esforços e deslocamentos

da Resistência dos Materiais.

𝜕4𝜔

𝜕𝑥4+ 2

𝜕4𝜔

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+

𝜕4𝜔

𝜕𝑦4=

𝑞

𝐷

𝐷 = −𝐸ℎ3

12(1 − 𝜐2)

(5)

onde:

D = Expressão que define a rigidez à flexão da placa;

E = Módulo de deformação longitudinal do concreto;

h = Altura da laje;

𝜈 = Coeficiente de Poison do concreto.

Assim sendo, a solução do problema consiste em definir uma expressão à

superfície deformada que satisfaça tanto esta equação diferencial de quarta ordem

como as condições de contorno da placa (REIS, 2007).

2.4 Análise de Lajes por Tabelas

Hennrichs (2003) afirma que a resolução das equações diferenciais aos

problemas aplicados de Engenharia é complexa e pouco prática. Ademais, condições

de contorno, geometrias ou carregamentos diferentes dos usuais praticamente

impossibilitam este procedimento.

Desta forma, as lajes de concreto armado foram por muito tempo analisadas

mediante tabelas de lajes isoladas com condições de apoio simples, engastadas ou

livres, tais como as desenvolvidas por Czerny, Stiglat/Wippel, Bares, Szilard,

Timoshenko, entre outros.

No caso de painéis contínuos, os resultados são corrigidos com a finalidade de

simular simplificadamente esta continuidade, o que pode acarretar em grandes

discrepâncias nos esforços e deslocamentos para determinadas situações (REIS,

2007).

14

2.5 Analogia de Grelhas

O uso de métodos numéricos ao cálculo de estruturas foi possibilitado após o

surgimento dos computadores de grande porte e, posteriormente, dos

microcomputadores (BARBOZA, 1992).

A análise de grelhas equivalentes de lajes, por ser realizada em programas

computacionais, segue a rotina automática descrita anteriormente. A grelha

equivalente pode ser gerada de forma automática a partir dos dados iniciais referentes

à laje e à malha que se deseja gerar, assim como pode ser montada manualmente

pelo usuário, o que é mais demorado.

Tal metodologia consiste em simular uma estrutura considerada como placa

por uma série de elementos de barras cujo conjunto forma uma grelha. Este

procedimento foi usado por Euler, em 1766, para a solução de problemas de

membranas elásticas, e também por Hrennikoff, em 1941, para a análise de placas

através de uma formulação conhecida por "Latticce Analogy" (COELHO, 2013).

Hambly (1976) afirma que um painel de laje, que é estruturalmente contínuo

nas duas dimensões, pode ser analisado pelo procedimento aproximado da analogia

de grelhas, pois a solução rigorosa das equações diferenciais necessárias dificilmente

é possível.

A resolução de uma laje por analogia de grelha requer que a mesma seja

discretizada em uma série de faixas com uma largura pré-determinada, as quais serão

substituídas por barras que passam exatamente pelos seus centros de gravidade.

As vinculações dos nós da grelha equivalente seguem a vinculação dos bordos

da laje, podendo ser livres, simplesmente apoiados, ou engastados. Já os

comprimentos dos bordos considerados na análise são os vãos efetivos, onde o item

14.7.2.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014) recomenda que:

𝑙𝑒𝑓 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 (6)

Os valores de 𝑎1 e 𝑎2 são obtidos a partir de cada extremidade do vão.

𝑎1 ≤ {0,5 𝑡1

0,3 ℎ 𝑎2 ≤ {

0,5 𝑡2

0,3 ℎ (7)

15

Figura 2: Parâmetros referentes à definição do vão teórico

Fonte: Adaptado da NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 90)

Cada barra deve ter seu momento de inércia à flexão (Iz) determinado a partir

da largura das faixas especificadas e da altura associada as mesmas.

𝐼𝑍 =𝑏ℎ3

12 (8)

No caso do momento de inercia à torção (IX), este não é uma simples

propriedade da seção transversal da peça.

Hambly (1976) indica que o momento de inércia à torção das barras referentes

às faixas de laje devem ser o dobro do momento de inércia à flexão, garantindo-se

resultados coerentes aos obtidos pela teoria da elasticidade.

𝐼𝑥 = 2 𝐼𝑧 (9)

Figura 3 - Seção transversal de uma faixa de laje

Fonte: Autor

16

No caso das barras relacionadas às vigas, cuja seção transversal típica está

indicada na Figura 4, Gere e Weaver (1980) recomendam a seguinte fórmula.

𝐼𝑋 = 𝛽ℎ𝑏3 (10)

Onde:

𝛽 =1

3− (0,21

𝑏

ℎ) (1 −

𝑏4

12ℎ4) (11)

Figura 4 - Seção transversal de um viga retangular usual

Fonte: Autor

Deve ser destacado que (10) considera ℎ como a maior dimensão da seção

transversal e 𝑏 como a menor. Tratando-se de uma viga chata, cuja largura supera a

altura, a formulação adequada é a representada por (12).

𝐼𝑋 = 𝛽𝑏ℎ3 (12)

Para seções retangulares alongadas, cuja maior dimensão é

consideravelmente superior a menor, o valor de 𝛽 tende a 1/3. Tendo isto em vista,

Silva et al (2003) considera IX de modo simplificado segundo a expressão (13),

independentemente da relação entre a altura e a largura das vigas.

17

𝐼𝑋 =ℎ𝑏3

3 (13)

Tendo em vista a redução da rigidez à torção das vigas devido a fissuração,

Carvalho (1994) indica que, no estádio II, considere-se 10% do valor integral,

enquanto que o item 14.6.6.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014), por sua vez, recomenda a

consideração de 15% deste valor.

No que diz respeito aos módulos de elasticidade longitudinal e transversal, o

item 8.2.9 da NBR 6118 (ABNT, 2014) indica que a seguinte relação para Gc e Ec,

caso o coeficiente de Poison 𝜈 seja igual a 0,2:

𝐺𝑐 =𝐸𝑐

2,4 ∴ 𝐺𝑐 ≈ 0,4 𝐸𝑐 (14)

Quanto ao carregamento uniformemente distribuído sobre a área da laje, é

possível distribuir o mesmo na forma de cargas concentradas aplicadas diretamente

nos nós ou na forma de cargas uniformemente distribuídas sobre as barras, de modo

que a conversão de carga distribuída sobre a superfície para as supracitadas se faz

mediante um processo de áreas de influência.

18

3 PROGRAMA ANALOGIA DE GRELHAS

3.1 Descrição Geral do Programa

O Programa Analogia de Grelhas foi desenvolvido na linguagem FORTRAN

utilizando o compilador Microsoft Visual Studio 2010, tendo como base um programa

já existente, denominado Programa Grelhas, cujo objetivo consiste em realizar a

análise de grelhas, tendo sido idealizado pelo aluno Gilvano Dal Ongaro em seu

Trabalho de Conclusão de Curso orientado pelo Prof. Dr João Kaminski Júnior.

Inicialmente foi realizada uma adaptação deste programa, tornando os eixos

XYZ e a ordem de prioridade dos deslocamentos dos nós compatíveis com as

convenções adotadas pelo Prof. Orientador e por uma série de autores. Tal adaptação

gerou a segunda versão deste programa, denominado Programa Grelhas V2.

Feito isso, implementou-se a analogia de grelhas no programa supracitado.

Enquanto o programa original analisa uma grelha informada pelo usuário a partir de

um arquivo texto de entrada, o Programa Analogia de Grelhas lê os dados referentes

à laje de concreto armado, a transforma automaticamente em uma grelha equivalente,

analisa a mesma e, posteriormente, escreve os resultados organizadamente em um

uma série de arquivos de saída.

Um total de 12 arquivos textos estão associados a este programa, sendo 1

referente aos dados de entrada e 11 associados aos resultados, a saber:

- 01. Dados_Entrada: Contém os dados iniciais referentes à laje a ser

analisada, tais como as dimensões da laje e das vigas de bordo, a malha desejada na

discretização, intenção de considerar ou não as vigas de bordo, intenção de

considerar ou não a deslocabilidade vertical das vigas de bordo, considerações a

respeito dos momentos de inércia dos elementos placa e viga, módulos de

elasticidade longitudinal e transversal do concreto, condições de apoio,

carregamentos e coeficientes de majoração de ações permanentes e variáveis;

- 02. Dados_Grelhas_V2: Este arquivo contém os dados de entrada ao

Programa Grelhas V2, que serviu de referência a este;

- 03. ANSYS_BEAM4: Arquivo texto com os dados da grelha equivalente a

serem lidos e analisados como elementos BEAM 4 no ANSYS;

- 04. Dados_TBares: Contém os parâmetros necessários à análise da laje

segundo às tabelas de Bares adaptadas por Pinheiro (1994);

19

- 05. Discretização: Indica os dados intrínsecos gerados à grelha equivalente,

tais como as coordenadas dos nós, conectividades das barras e suas propriedades

geométricas, carregamentos atuantes por nó e por barra, entre outros;

- 06. AM-Matrizes_Barras: Referente à análise matricial, contém as matrizes de

rigidez de barra nas coordenadas local e global, assim como as matrizes de rotação

R das mesmas.

- 07. AM-Matriz_Rigidez: Este arquivo texto indica as submatrizes S e SRD da

matriz de rigidez global SJ da grelha equivalente. Pelo fato desta matriz possuir uma

grande quantidade de colunas, recomenda-se um software alternativo ao Bloco de

Notas para assegurar a adequada visualização de seus dados, sendo indicado o

Notepad++;

- 08. AM-Vetores_Cargas: Contém os vetores associados aos carregamentos

e às ações nodais equivalentes;

- 09. AM-Choleski: Indica a matriz C associada ao método Choleski empregado

na resolução do sistema simétrico. Semelhante ao arquivo 07, indica-se o Notepad++

para garantir a adequada visualização de seus valores;

- 10. AM-Deslocamentos_Reações: Contém os deslocamentos e as reações de

apoio em todos os nós da grelha equivalente;

- 11. AM-Ações_Extremidade_Barra: Contém os vetores de extremidade de

barra em coordenadas locais e globais de todas as barras;

- 12. Resultados: Apresenta a forma como a laje foi discretizada, um resumo

dos dados iniciais, assim como o deslocamento transversal máximo (flecha) e o nó

onde este se verifica.

3.2 Discretização

A discretização da laje é realizada em função da malha especificada nos dados

de entrada, onde a quantidade de faixas determinadas nas direções X e Y irá definir

o número de nós e de barras, assim como o quão refinado serão os resultados.

Caso as vigas de bordo sejam desconsideradas na análise, a grelha

equivalente terá o formato apresentado na Figura 5. Cada fileira de barras está

associada ao centro geométrico de alguma das várias faixas geradas, cujos extremos

podem estar simplesmente apoiados, engastados ou livres.

20

Figura 5 - Discretização da laje desconsiderando as vigas

Fonte: Autor

Se as vigas forem consideradas, o aspecto da grelha equivalente passa a ser

conforme o apresentado na Figura 6.

Figura 6 - Discretização considerando as vigas de bordo

Fonte: Autor

As barras de cor verde, no entorno da grelha e que caracterizam um formato

retangular fechado a mesma, são referentes às vigas de bordo.

3.3 Propriedades Físicas e Geométricas das Barras

Os elementos de barra obtidas pela discretização da laje têm os módulos de

elasticidades definidos a partir dos valores informados nos dados de entrada,

enquanto que os momentos de inércia são calculados considerando-se o centro

geométrico da seção transversal das faixas.

Os valores dos momentos de inércia serão calculados segundo as expressões

(8) e (9) definidas previamente. Apesar de ser opcional o valor do coeficiente de

21

proporcionalidade entre Iz e Ix, a recomendação de Hambly (1976) será adotada em

todos os exemplos.

Quanto aos elementos viga, os módulos de deformação e o peso específico do

concreto serão os mesmos empregados à laje. Tratando-se dos momentos de inércia,

emprega-se a expressão (8) para IZ e é possível escolher entre (10) ou (13) para IX.

Cada viga é discretizada por uma única fileira de barras segundo a sua direção

longitudinal, cujo centro geométrico pode ser considerado como o da própria viga,

onde há uma excentricidade associada, ou como o da laje.

Tal excentricidade se deve a este programa utilizar análise matricial voltada

especificamente às grelhas que, por definição, são estruturas planas. Ao representar

uma laje com vigas de bordo por um reticulado cujas barras passam exatamente pelos

seus centros de gravidade, surge uma excentricidade devido ao desalinhamento entre

estes elementos estruturais, conforme a Figura 7 a seguir.

Figura 7 - Desalinhamento entre os eixos da viga e da laje

Fonte: Autor

Uma rotina de análise matricial voltada aos pórticos espaciais poderia

considerar este desalinhamento pelo fato de ser uma estrutura tridimensional. Já

neste caso, a consideração deste aspecto pode ser feita mediante o Teorema de

Steiner, onde os momentos de inércia dos elementos viga são calculados

considerando o centro de gravidade da laje, conforme (15) e (16):

22

𝐼𝑍 =𝑏ℎ3

12+ 𝐴𝑑² (15)

onde:

- 𝐼𝑍: momento de inércia à flexão;

- 𝑏: base do elemento viga, equivalente à sua largura;

- ℎ: altura do elemento viga;

- 𝐴: área da seção transversal do elemento viga;

- 𝑑: distância entre os eixos da laje e da viga.

𝐼𝑋 = 𝛽ℎ𝑏³ + 𝐴𝑑² (16)

onde:

- 𝐼𝑋: momento de inércia à torção;

- 𝛽: Coeficiente de Gere e Weaver (1980);

- ℎ: Maior dimensão da seção transversal da viga;

- 𝑏: Menor dimensão da seção transversal da viga;

- 𝐴: área da seção transversal do elemento viga;

- 𝑑: distância entre os eixos da laje e da viga.

Tal forma de compensação resulta num acréscimo dos momentos de inércia IZ

e IX, visto que a estrutura original passa a ser considerada com vigas de bordos mais

rígidas e com seus centros de gravidade no mesmo plano do da laje, conforme

mostrado na Figura 8.

Figura 8 - Compensação da excentricidade segundo teorema de Steiner

Fonte: Autor

23

3.4 Vinculações

As vinculações são definidas em função da consideração ou não das vigas na

análise e, quando incluídas, da consideração ou não de suas deslocabilidade verticais.

Caso as vigas não sejam consideradas, considera-se a laje simplesmente

apoiada, engastada ou livre nos bordos. Se forem adotadas vigas verticalmente

indeslocáveis, também se considera a laje simplesmente apoiada, engastada ou livre

nos bordos. Na Figura 9 está representada a vinculação para estes dois casos.

Figura 9 - Vinculações segundo análises desconsiderando as vigas (esquerda) e

considerando-as verticalmente indeslocáveis (direita)

Fonte: Autor

Tratando-se de vigas verticalmente deslocáveis, considera-se o conjunto laje-

vigas de bordo apoiado nos cantos, simulando-se a presença de pilares verticalmente

indeslocáveis conforme mostra a Figura 10.

Figura 10 - Vinculação para análise considerando vigas verticalmente deslocáveis

Fonte: Autor

24

Neste caso, é possível definir os cantos que contarão com os pilares, assim

como se a vinculação aos mesmos se faz mediante apoio simples ou engaste.

3.5 Carregamentos

No arquivo texto de entrada de dados são informados a espessura da laje e o

peso específico do concreto (necessários ao peso próprio da laje), carregamentos

permanente e variável uniformemente distribuídos sobre a área da laje, assim como

os coeficientes de majoração de ações.

Caso sejam consideradas vigas verticalmente deslocáveis na análise, calcula-

se o peso próprio das vigas em função de suas dimensões e do peso específico do

concreto. Neste caso, também é possível informar carregamentos uniformemente

distribuídos nos bordos (simulando gradis ou paredes sobre as vigas) e momentos

distribuídos (empregados para representar simplificadamente o engaste do bordo).

Os carregamentos uniformemente distribuídos sobre a laje são representados

por ações concentradas aplicadas diretamente nos nós da grelha equivalente. Tais

ações concentradas são definidas em função do carregamento informado e da área

de influência de cada nó. A Figura 11 ilustra como se considera a área de influência

de cada nó, considerando ou não as vigas de bordo.

Figura 11 - Áreas de influência de cada nó ao cálculo das ações concentradas

atuantes aos casos sem vigas (esquerda) e com vigas (direita)

Fonte: Autor

Tratando-se de análise considerando vigas verticalmente deslocáveis,

considera-se o peso próprio das vigas a partir de suas dimensões e do peso específico

25

do concreto, desconsiderando-se a parcela já considerada ao peso próprio da laje,

conforme exposto na Figura 12.

Figura 12 - Trecho da viga considerado no cálculo do seu peso próprio

Fonte: Autor

A consideração de cargas permanentes uniformemente nos bordos se faz

mediante aplicação de cargas distribuídas nas barras dos bordos da grelha

equivalente, sendo definidas em função do carregamento informado e do comprimento

das barras.

Os momentos distribuídos nos bordos são considerados de forma semelhante,

sendo função do valor do momento informado e do comprimento das barras. Caso se

deseje representar o engastamento do bordo, é necessária a determinação prévia do

momento negativo referente a este vínculo, que pode ser mediante as tabelas de

Bares; análise pelo próprio programa, porém desconsiderando as vigas ou

considerando-as verticalmente indeslocáveis; ou por resultados prévios disponíveis

na literatura.

3.6 Comparação dos Resultados

Os resultados são validados pela comparação aos obtidos pelas tabelas de

Bares e adaptadas por Pinheiro (1994), dispostas no Anexo 1; pela análise gerada no

ANSYS 18.1; mediante resultados prévios presentes na literatura, quando disponíveis.

Conforme mencionado anteriormente, o programa emite um arquivo texto com

os parâmetros necessários à análise pelas Tabelas de Bares, restando apenas a

busca nas tabelas pelo tipo de laje e dos valores λ ou 𝛾, referentes à relação entre

26

as dimensões em planta da laje sem bordas livres e com bordas livres,

respectivamente.

Já a análise no ANSYS 18.1 é possibilitada devido à sub-rotina desenvolvida

justamente para escrever um arquivo texto passível de ser lido por este, garantindo a

geração automática da grelha equivalente e de todos os parâmetros a ela associados,

tais como propriedades geométricas, vinculações e carregamentos. Além de se

possibilitar a visualização tridimensional da grelha equivalente, torna-se possível a

obtenção dos diagramas de esforço cortante, de momento de torção e de momento

fletor, assim como de sua deformada.

Tratando-se de resultados disponíveis na literatura, três exemplos serão

empregados para validar os resultados desta monografia. Deve ser destacado que

diferenças mínimas nos resultados são aceitáveis devido às inevitáveis discrepâncias

nas considerações adotadas entre os programas distintos de analogia de grelhas.

27

4 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Após a elaboração do programa em FORTRAN de acordo com as

considerações retrocitadas, foram escolhidos quatro exemplos para validar os

resultados mediante comparação às tabelas de Bares, à análise realizada no ANSYS

e, dependendo do exemplo, a resultados prévios disponíveis na literatura.

Os três primeiros exemplos foram retirados da literatura nacional. O primeiro foi

analisado por Silva et al (2003) em um trabalho publicado em um Simpósio nacional,

o segundo foi empregado em quatro dissertações de mestrado (REIS, 2007 apud

MAZZILLI, 1988; BARBOZA, 1992; REIS, 2007), uma tese de doutorado

(CARVALHO, 1994) e em um livro sobre Concreto Armado (CARVALHO e

FIGUEIREDO FILHO, 2014), enquanto que o terceiro exemplo foi concebido por

Kimura (2007) em um livro de sua autoria.

Já o último exemplo, que consiste de uma laje com uma borda livre, foi retirado

das Notas de Aula da disciplina de Concreto Armado B, ministrada na Universidade

Federal de Santa Maria por Santos Neto (2016).

4.1 Exemplo 1 – Laje de Silva, Figueiredo Filho e Carvalho

A laje considerada neste primeiro exemplo foi retirada do artigo “A Utilização

da Analogia de Grelha para Análise de Pavimentos de Edifícios em Concreto Armado”,

apresentado no V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto (SILVA et al, 2003).

Na Figura 13 está representada a laje deste exemplo. Deve ser observado que

no trabalho de Silva et al (2003) a referida laje, nos casos em que as vigas não foram

consideradas, possui como vão efetivo o valor de 3,00 m nas duas direções, de modo

que tais comprimentos foram obtidos ao considerar a distância entre os eixos das

vigas. Visando a melhor comparação dos resultados, tal procedimento também será

aqui realizado.

28

Figura 13 - Laje de Silva et al (2003)

Fonte: Silva et al (2003)

A laje em questão será analisada segundo cinco casos, a saber:

- Caso 01: Comparação inicial entre os resultados do Programa Analogia de

Grelhas, do modelo no ANSYS e do procedimento das Tabelas de Bares;

- Caso 02: Verificar a influência da malha adotada;

- Caso 03: Analisar a influência da relação entre os módulos de deformação

longitudinal e transversal do concreto;

- Caso 04: Estudar o comportamento da laje ao considerar vigas verticalmente

indeslocáveis no entorno, assim como a influência de suas propriedades;

- Caso 05: Estudar o comportamento da laje ao considerar vigas verticalmente

deslocáveis nos bordos, assim como verificar a influência de suas propriedades.

Os dados iniciais serão os seguintes:

- Dimensões da laje: 2,80m x 2,80m x 0,08m;

- Vigas de bordo com seção 20 x 30 cm;

- Laje simplesmente apoiada em todo o contorno;

- 𝐸𝑐 = 3,2 𝑥 107𝑘𝑁/𝑚²;

- 𝐺𝑐 = 1,28 𝑥 107𝑘𝑁/𝑚²;

- 𝛾𝑐 = 25 𝑘𝑁/𝑚³;

- Carga permanente sobre a laje = 1,00 kN/m²;

- Carga acidental sobre a laje = 3,00 kN/m².

29

4.1.1 Caso 01 – Comparação entre FORTRAN, ANSYS e Tabelas

Visando uma validação inicial do programa desenvolvido, a laje é analisada

segundo uma malha 15 x 15 e sem a consideração das vigas de bordo. Na Figura 14

está indicado o modelo gerado no ANSYS a partir do arquivo texto

03.ANSYS_BEAM4.

Figura 14 - Modelo sem vigas do Caso 01

Fonte: Autor

No Quadro 1 a seguir estão indicados os momentos máximos no meio do vão

e as flechas obtidas por Silva et al (2003), pelas tabelas de Bares, pelo Programa

Analogia de Grelhas e pelo ANSYS 18.1 com precisão de três casas decimais.

Quadro 1 – Resultados do Caso 01

Parâmetro Tabelas (B) Programa (A) ANSYS A / B

Flecha

(mm) 1,412 1,733 1,733 1,23

Mx = My

(kNm/m) 2,284 2,023 2,023 0,89

Fonte: Autor

30

Nota-se que os valores obtidos no programa desenvolvido são iguais aos do

ANSYS, o que valida a análise matricial. Em comparação às tabelas de Bares

disponíveis no Anexo 1, a flecha resultou aproximadamente 23% superior, enquanto

que os momentos no meio do vão foram 11% menores.

A Figura 15 apresenta o Diagrama de Momentos Fletores (DMT) gerado no

ANSYS, onde as regiões com cor vermelha representam os maiores momentos

positivos.

Figura 15 - Diagrama de Momento Fletor

Fonte: Autor

O DMF apresentado é condizente com a realidade, pois os momentos são nulos

nos bordos simplesmente apoiados, assim como seus momentos positivos máximos

são iguais e localizados no meio do vão da laje quadrada.

O Diagrama de Momentos de Torção (DMT) está ilustrado a seguir na Figura

16 onde, semelhante ao DMF, os maiores momentos positivos são representados pela

cor vermelha e os negativos pela cor azul.

31

Figura 16 - Diagrama de Momento de Torção

Fonte: Autor

Assim como o DMF, o DMT também condiz à realidade, visto que os quatro

cantos onde coincidem bordos simplesmente apoiados momentos volventes

relevantes, alcançando valores de 2,167 kNm/m.

4.1.2 Caso 02 – Influência da Malha

Neste caso serão consideradas as malhas 1 (4 x 4, faixas de 75 cm), 2 (6 x 6,

faixas de 50 cm), 3 (10 x 10, faixas de 30 cm), 4 (20 x 20, faixas de 15 cm), 5 (30 x

30, faixas de 10 cm) e 6 (50 x 50, faixas de 6 cm), todas representadas na Figura 17.

32

Figura 17 - Malhas utilizadas no Caso 02

Fonte: Autor

No Quadro 2 estão indicados os valores dos deslocamentos transversais

máximos (flechas elásticas) obtidos para cada malha e conforme os resultados

presentes no trabalho de Silva et al (2003), as tabelas de Bares, o programa

desenvolvido e o ANSYS.

Quadro 2 – Flechas do Caso 02 (mm)

Malha Silva et al (2003)

(C)

Tabelas

(B)

Programa

(A) ANSYS A / B A / C

1 (4 X 4) 2,106

1,412

1,993 1,993 1,411 0,946

2 (6 X 6) 1,941 1,877 1,877 1,329 0,967

3 (10 X 10) 1,799 1,770 1,770 1,254 0,984

4 (20 X 20) 1,693 1,689 1,689 1,196 0,998

5 (30 X 30) Não analisado 1,662 1,662 1,177 -

6 (50 X 50) Não analisado 1,641 1,641 1,162 -

Fonte: Autor

33

A redução da flecha com o aumento da densidade da malha é notável, assim

como a proximidade dos valores da rotina computacional com o resultado obtido pelas

tabelas de Bares e com os obtidos no trabalho de Silva et al (2003).

A variação dos deslocamentos transversais máximos conforme a malha

adotada pode ser melhor visualizada pelo gráfico da Figura 18 abaixo.

Figura 18 - Variação da flecha máxima com a malha

Fonte: Autor

Percebe-se que a variação da flecha com o aumento da densidade da malha

decresce a partir da malha 4 (20 x 20), a partir da qual os valores passam a convergir

a uma flecha ligeiramente superior a 1,6 mm. Nota-se que o valor ao qual os

deslocamentos máximos convergem é cerca de 16% superior ao obtido nas tabelas

de Bares.

Já no Quadro 3 estão indicados os valores dos momentos fletores positivos

máximos obtidos em cada malha. Pelo fato da laje ser quadrada e de não se

considerar a rigidez das vigas, tais momentos fletores são iguais nas duas direções.

1,993

1,877

1,770

1,6891,662

1,641

1,500

1,600

1,700

1,800

1,900

2,000

2,100

4 X 4 6 X 6 10 X 10 20 X 20 30 X 30 50 X 50

Flec

ha

(mm

)

Malhas

34

Quadro 3 - Momentos fletores positivos máximos do Caso 02 (kNm/m)

Malha Silva et al (2003)

(C)

Tabelas

(B)

Programa


1 (4 X 4) 2,895

2,284

3,263 3,263 1,429 1,127

2 (6 X 6) 2,636 2,786 2,786 1,220 1,057

3 (10 X 10) 2,450 2,490 2,490 1,090 1,016

4 (20 X 20) 2,320 2,334 2,334 1,022 1,006

5 (30 X 30) Não analisado 2,293 2,293 1,004 -

6 (50 X 50) Não analisado 2,264 2,264 0,991 -

Fonte: Autor

Assim como as flechas, os momentos fletores positivos máximos têm seus

valores reduzidos conforme se aumenta a densidade da malha, assim como os

resultados da rotina computacional são muito semelhantes aos obtidos por Silva et al

(2003). Tal variação é melhor visualizada no gráfico da Figura 19.

Figura 19 - Relação entre momentos fletores máximos e as malhas

Fonte: Autor

Nota-se que a variação do momento fletor das malhas anteriores à malha 4 (20

x 20) é ainda mais acentuada que a variação das flechas. No entanto, a estabilização

dos valores a partir desta permanece, visto que os valores convergem a um momento

3,263

2,786

2,490

2,334 2,293 2,264

2,100

2,300

2,500

2,700

2,900

3,100

3,300

3,500

4 X 4 6 X 6 10 X 10 20 X 20 30 X 30 50 X 50

Mo

men

to F

leto

r P

osi

tivo

Máx

imo

(kN

m/m

)

Malhas

35

fletor positivo máximo ligeiramente superior a 2,260 kNm/m. Tal resultado é cerca de

1% inferior ao obtido pelas tabelas de Bares.

4.1.3 Caso 03 – Módulo de Deformação Transversal do Concreto

Nos casos anteriores foram seguidas às recomendações do item 8.2.9 da NBR

6118 (ABNT, 2014), com relação Gc/Ec igual a 0,4. Neste caso serão verificadas as

diferenças ao reduzir esta relação para 0,2. Tendo em vista a tendências dos

resultados convergirem a partir da malha 4 definida no caso anterior, esta será aqui

empregada.

No Quadro 4 a seguir estão mostrados os valores das flechas e dos momentos

fletores no meio do vão para cada relação 𝐺𝑐/𝐸𝑐 considerada, lembrando que tais

momentos são iguais pelo fato da laje ser quadrada e pelas vigas não estarem sendo

consideradas.

Quadro 4 - Resultados do Caso 03

Parâmetro Tabelas

(C) 𝐺𝑐/𝐸𝑐

Silva et al (2003)

(B)

Programa


Flecha

(mm) 1,412

0,4 1,693 1,689 1,689 0,998 1,196

0,2 2,128 2,134 2,134 1,003 1,511

Mx = My

(kNm/m) 2,284

0,4 2,320 2,334 2,334 1,006 1,021

0,2 2,973 2,996 2,996 1,008 1,312

Fonte: Autor

Percebe-se que a redução de Gc/Ec de 0,4 para 0,2 acarreta em flechas e

momentos fletores máximos muito mais distantes dos valores obtidos pelas tabelas

de Bares, em torno de 51% e 31%, respectivamente.

O aumento da flecha e dos momentos fletores são consequência da redução

da rigidez à torção das barras que, por sua vez, ocorre pela redução do módulo de

deformação transversal. A redução da rigidez à torção leva à redução dos momentos

de torção e, consequentemente, ao aumento dos momentos fletores e da flecha para

garantir o equilíbrio da grelha (SILVA et al, 2003).

36

4.1.4 Caso 04 – Vigas Verticalmente Indeslocáveis

Neste caso será considerado Gc/Ec = 0,4, a malha 4 definida no Caso 02, assim

como as vigas de seção 20 x 30 indeslocáveis verticalmente. Seus momentos de

inércia serão definidos considerando o CG da própria viga e, em uma análise posterior,

o CG da laje, onde será feita a compensação pelo Teorema de Steiner.

Também serão verificados os resultados ao considerar as vigas com momento

de inércia à torção no Estádio I, adotando-se o valor calculado da seção retangular,

ou no Estádio II, adotando-se 10% do valor referente ao Estádio I (CARVALHO, 1994).

Embora o item 14.6.6.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014) indique o uso de 15% do

momento de inércia à torção das vigas devido à fissuração, será empregada a

recomendação de Carvalho (1994) pelo fato desta ter sido utilizada por Silva et al

(2003), permitindo a melhor comparação dos resultados.

Na Figura 20 está indicada a grelha gerada no ANSYS referente ao caso aqui

analisado.

Figura 20 - Modelo referente ao Caso 04

Fonte: Autor

37

O Quadro 5 contém os valores de flecha e momento fletor positivo máximo

obtidos ao considerar o momento de inércia à torção das vigas calculado no Estádio I

e no Estádio II, assim como adotando-se o eixo das vigas e das lajes no cálculo deste

e do momento de inércia à flexão.


Parâmetro Tabelas

(C)

Eixo

Adotado

para Ix e Iz

das Vigas

Programa ANSYS

A / C B / C Estádio

I (A)

Estádio

II (B)

Estádio

I

Estádio

II

Flecha

(mm) 1,147

Eixo da Viga 0,609 1,145 0,609 1,145 0,531 0,998

Eixo da Laje 0,546 0,605 0,546 0,605 0,476 1,399

Mx = Mz

(kNm/m) 2,059

Eixo da Viga 1,171 1,747 1,171 1,747 0,569 0,848

Eixo da Laje 1,104 1,167 1,104 1,167 0,536 0,567

Fonte: Autor

Observa-se que a única combinação de considerações cujos resultados são

próximos aos obtidos pelas tabelas de Bares é aquela que considera,

simultaneamente, os momentos de inércia calculados adotando-se o eixo das vigas,

assim como as vigas no Estádio II ao cálculo do momento de inércia à torção.

Para esta combinação, a flecha obtida pela rotina computacional é 0,002%

inferior à obtida pelas tabelas de Bares, enquanto que os momentos máximos são

15% inferiores.

Em todas as situações as flechas e momentos máximos são superiores ao

considerar as vigas no Estádio II. A razão para tal é a redução dos momentos de

torção e consequente aumento dos momentos fletores devido à redução da rigidez à

torção das vigas por fissuração.

Da mesma forma, as flechas e momentos fletores também são superiores ao

considerar os momentos de inércia calculados segundo os eixos das vigas, sem a

compensação pelo Teorema de Steiner. Isto se deve à majoração dos momentos de

inércia ao considerar o eixo da laje, o que acaba por reduzir tanto os momentos de

torção como os fletores e, consequentemente, a flecha máxima.

Os Diagramas de Momento de Torção e Fletor estão indicados,

respectivamente, na Figura 21 a seguir, onde apenas as barras referentes às lajes

foram consideradas.

38

Figura 21 - Diagramas de momento de torção (à esquerda) e fletor (à direita) da laje

Fonte: Autor

Percebe-se que a consideração de vigas verticalmente indeslocáveis manteve

a fidelidade ao comportamento real deste tipo de laje, visto que o DMT indica

momentos volventes consideráveis nos cantos dos bordos simplesmente apoiados

(em torno de 1,284 kNm/m) e o DMF apresenta os momentos positivos máximos no

meio do vão.

Nota-se, no entanto, a presença de momentos fletores negativos próximos ao

meio dos bordos simplesmente apoiados. Tais momentos decorrem da ligação rígida

entre as barras referentes às faixas da laje e às vigas.

4.1.5 Caso 05 – Vigas Verticalmente Deslocáveis

Neste caso foi considerada a deslocabilidade vertical das vigas de bordo, cujas

vinculações aos pilares situados nos cantos foram consideradas ora por apoio

simples, caracterização uma ligação totalmente flexível aos pilares, ora engastada,

definindo uma ligação totalmente rígida aos mesmos.

A Figura 22 ilustra a grelha equivalente deste caso gerada no ANSYS.

39

Figura 22 - Modelo com vigas verticalmente deslocáveis do Caso 05

Fonte: Autor

Abaixo, no Quadro 6, estão indicados os valores de flecha e momento fletor

positivo máximo no meio do vão considerando os momentos de inércia à torção das

vigas nos Estádios I ou II, assim como as ligações entre vigas deformáveis e pilares

indeformáveis totalmente flexíveis (apoios simples) ou rígidas (engastes).


Parâmetro Tabelas

Silva et al (2003) Ligação

Viga

Pilar

Programa ANSYS

Estádio

I

Estádio

II

Estádio

I

Estádio

II

Estádio

I

Estádio

II

Flecha

(mm) 1,147 1,576 1,914

Apoio

Simples 1,054 1,426 1,054 1,426

Engaste 0,606 1,153 0,606 1,153

Mx = Mz

(kNm/m) 2,284 1,693 2,093

Apoio

Simples 1,742 2,138 1,742 2,138

Engaste 1,190 1,780 1,190 1,780

Fonte: Autor

Embora os valores de flecha e momento fletor obtidos na rotina computacional

tenham sido semelhantes ao obtido pelas tabelas de Bares (principalmente ao

considerar vigas simplesmente apoiadas e Estádio II ao cálculo de IX), nota-se uma

considerável diferença na flecha obtida pelo programa e por Silva et al (2003).

40

Deve ser destacado que as flechas indicadas no Quadro 6 anterior decorrem

da subtração da flecha total do conjunto laje-vigas pela flecha das vigas. Silva et al

(2003) não informam se este procedimento foi realizado em suas análises, o que pode

ser a razão das discrepâncias observadas, haja vista que a flecha total (principalmente

do conjunto laje-vigas simplesmente apoiados sobre os pilares indeformáveis) é muito

semelhante aos valores por eles obtidos.

No Quadro 7 estão indicadas as flechas totais do conjunto laje-vigas calculadas

pela rotina computacional em comparação aos valores de Silva et al (2003),

evidenciando as afirmações do parágrafo acima.

Quadro 7 - Flecha total do modelo do Caso 05

Parâmetro Silva et al (2003) Ligação Viga

Pilar

Programa Analogia de Grelhas

Estádio I Estádio II Estádio I Estádio II

Flecha Total

(mm) 1,576 1,914

Apoio Simples 1,641 1,978

Engaste 0,703 1,258

Fonte: Autor

Quanto aos momentos fletores na laje, a Figura 23 ilustra a sua distribuição

segundo as suas duas direções, sem considerar as barras das vigas na visualização.

Figura 23 - Diagrama de momento fletor das barras da laje ao longo do eixo X global

(esquerda) e eixo Z global (direita)

Fonte: Autor

41

Apesar da região dos momentos fletores positivos máximos (em vermelho)

apresentar um aspecto “alongado” nas duas direções, estes ainda são simétricos e

iguais nas duas direções, o que é fidedigno à realidade deste tipo de laje. Também é

possível observar, semelhante ao caso anterior, os momentos fletores negativos junto

às vigas.

A Figura 24 a seguir ilustra o Diagrama de Momentos de Torção da laje aqui

analisada, sendo desconsideradas as barras relacionadas às vigas na visualização.

Figura 24 - Diagrama de momento de torção da laje

Fonte: Autor

Semelhante às análises sem vigas e com vigas indeslocáveis verticalmente, os

momentos volventes decorrentes dos momentos de torção são notáveis nos cantos

com os bordos simplesmente apoiados, com valores em torno de 0,977 kNm/m

(considerando vigas no Estádio II quanto à torção).

O Diagrama de Momentos Fletores das vigas de bordo é possível de ser obtido

na análise considerando as vigas verticalmente deslocáveis, sendo ilustrado a seguir

na Figura 25.

42

Figura 25 - Diagrama de momento fletor das vigas

Fonte: Autor

Nota-se que o DMF de todas as vigas é igual, visto que possuem as mesmas

vinculações, apresentam as mesmas propriedades físicas e geométricas, e estão

sujeitas aos mesmos carregamentos. O momento fletor positivo máximo no meio de

seus vãos é aproximadamente 8,47 kNm.

Considerando o procedimento simplificado à determinação do momento fletor

máximo no meio das vigas a partir de uma área de influência da laje sobre as vigas

de 2,56 m², conforme a Figura 26 a seguir, obtém-se 5,46 kNm, de modo que o valor

calculado pela rotina computacional é 55% superior.

Figura 26 - Momento fletor das vigas mediante processo simplificado

Fonte: Autor

Ai = 2,56 m²

P = 6,00 kN/m²

5,46

5,39 kN/m

43

Tal diferença decorre das diversas simplificações adotadas neste último

método, tal como as áreas de influência e a não consideração dos demais elementos

estruturais do pavimento. Nota-se também que enquanto no DMF da Figura 26 o

momento fletor sobre os apoios é nulo, no DMF da Figura 25 estes equivalem a 0,84

kNm/m, sendo consequência dos momentos de torção e, sobretudo, da análise

conjunta envolvendo laje e vigas.

4.2 Exemplo 2 – Pavimento de Mazzilli

Este pavimento foi empregado em uma série de dissertações nacionais de

mestrado, tendo sido inicialmente concebido por Mazzilli em seu trabalho intitulado

“Influência da Flexibilidade das Vigas de Apoio no Cálculo de Estruturas de Edifícios”

(REIS, 2007 apud MAZZILLI, 1988), onde o mesmo foi resolvido pelo método dos

elementos finitos.

Posteriormente, Barboza (1992) utilizou este pavimento tanto para explicar o

funcionamento de seu programa desenvolvido em linguagem de programação Pascal,

como para estudar a interação entre lajes e vigas mediante analogia de grelhas.

Carvalho (1994) empregou novamente este pavimento ao estudo por analogia

de grelha linear e não-linear com variações no valor do módulo de deformação

transversal G.

Com o intuito de estudar a análise de pavimentos considerando-se a interação

laje-viga-pilar, Reis (2007) reutilizou este pavimento empregando a analogia de

grelhas, método dos elementos finitos e processos simplificados.

Tal exemplo também é analisado no capítulo 7 do livro intitulado “Cálculo e

Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118:

2014” desenvolvido por Carvalho e Figueiredo Filho (2014).

Constituído por oito pilares, seis vigas e três lajes, o pavimento está

representado na Figura 27 a seguir.

44

Figura 27 - Pavimento de Mazzilli

Fonte: Adaptado de Reis (2007)

Embora os autores dos trabalhos supracitados tenham geralmente analisado

todo o pavimento simultaneamente, suas lajes serão analisadas individualmente

devido às limitações do programa desenvolvido.

Cada uma das três lajes será analisada segundo quatro casos, a saber:

- Caso 01: Vigas de bordo desconsideradas;

- Caso 02: Consideração de vigas de bordo verticalmente indeslocáveis;

- Caso 03: Consideração de vigas de bordo verticalmente deslocáveis e

supostas simplesmente apoiadas nos pilares;

- Caso 04: Consideração de vigas de bordo verticalmente deslocáveis e

supostas engastadas nos pilares;

45

Em todos os casos os momentos de inércia à torção dos elementos viga serão

determinados considerando-se o Estádio II, assim como será adotado apenas o centro

de gravidade da própria viga.

No Caso 04, onde as vigas são verticalmente deslocáveis, os bordos

engastados serão representados por momentos distribuídos nos respectivos bordos,

simulando-se de modo simplificado o efeito de engastamento.

A convenção dos esforços é baseada na adotada por Reis (2007), sendo

representada abaixo na Figura 28.

Figura 28 - Convenções adotadas aos momentos fletores do Exemplo 2

Fonte: Autor

Os resultados obtidos na análise individual de cada laje serão comparados

àqueles obtidos pelo modelo 2B definido por Reis (2007), onde as lajes são analisadas

individualmente mediante analogia de grelhas com barras espaçadas de 50 cm, assim

como pelas tabelas de Bares.

46

4.2.1 Laje 1

Esta laje quadrada possui os bordos superior e esquerdo simplesmente

apoiados, enquanto que o inferior e o direito são engastados. Tais características a

classificam como laje tipo 3 nas tabelas de Bares do Anexo 1, cuja relação entre o

menor e o maior vão vale 1,00.

O modelo da laje gerado no ANSYS, considerando a análise por vigas

indeslocáveis verticalmente, está representado na Figura 29.

Figura 29 - Modelo considerando vigas verticalmente indeslocáveis da Laje 1

Fonte: Autor

No Quadro 8 a seguir estão indicados os valores das flechas e dos momentos

fletores positivo e negativo, conforme a simbologia apresentada na Figura 28.

Quadro 8 - Resultados da Laje 1

Parâmetro Tabelas Reis

(2007)

Considerações Quanto às

Vigas Programa ANSYS

Flecha

(cm) 1,063 1,260

Sem Vigas 1,211 1,211

Vigas Indeslocáveis 1,198 1,198

Vigas Deslocáveis sobre

Apoios Simples 1,118 1,118

Vigas Deslocáveis Engastadas 0,945 0,945

47


(continuação)

Parâmetro Tabelas Reis

(2007)


Vigas Programa ANSYS

Mx1 = Mz1

(kNm/m) 9,684 10,830

Sem Vigas 6,331 6,331





Xx1 = Xz1

(kNm/m) 25,164 26,270

Sem Vigas 25,714 25,714





Fonte: Autor

A análise desconsiderando as vigas resultou em uma flecha 14% superior à

obtida pelas tabelas de Bares, assim como em momentos fletores positivos 35%

inferior. Embora tais valores apresentem uma considerável discrepância, o momento

fletor negativo nos bordos engastados resultou apenas 2% superior.

Comparando aos resultados de Reis (2007), a flecha resultou 4% inferior, os

momentos fletores positivos foram 42% inferiores e os momentos fletores negativos

2% inferiores. A análise desconsiderando as vigas foi a que mais se afastou dos

obtidos por Reis (2007).

Ao considerar vigas verticalmente indeslocáveis, obtém-se uma flecha 13%

superior a determinada pelas tabelas de Bares, assim como momentos fletores

positivos 2% superiores e momentos fletores negativos praticamente idênticos. Esta

foi a análise cujos resultados foram mais similares aos das tabelas de Bares.

Ao comparar os resultados da rotina computacional com os obtidos por Reis

(2007), nota-se que a flecha é 5% inferior, os momentos Mx1 e Mz1 são 9% inferiores

e os momentos Xx1 e Xz1 são inferiores em 2%. Assim como esta análise foi a que

mais se aproximou dos valores das tabelas de Bares, esta foi a que mais se aproximou

dos valores determinados por Reis (2007).

Quanto às análises considerando vigas verticalmente deslocáveis sobre pilares

indeformáveis, foram adicionados momentos uniformemente distribuídos equivalentes

48

a 25,347 kNm/m sobre os bordos inferior e direito para simular a continuidade das

lajes. Tal valor foi obtido pela média aritmética dos momentos fletores negativos

obtidos nas análises anteriores e também pelas tabelas de Bares.

Ao considerar as vigas simplesmente apoiadas nos pilares a flecha e os

momentos fletores positivos resultam 5% e 8% superiores aos obtidos pelas tabelas

de Bares, respectivamente. No entanto, ao considera-las engastadas nos pilares, a

flecha e os momentos fletores positivos passam a resultar 11% e 5% inferiores.

Nota-se que mais uma vez os valores das tabelas de Bares se situam entre os

obtidos ao considerar as vigas deslocáveis simplesmente apoiadas e ao considera-

las engastadas nos mesmos.

Este comportamento por pouco não se verifica ao comparar os resultados com

os de Reis (2007), visto que a flecha e os momentos positivos calculados pela rotina

computacional são 11% e 3% inferiores ao considerar as vigas simplesmente

apoiadas, e são 25% e 15% inferiores ao considera-las engastadas.

O Diagrama de Momentos de Torção e Fletores, obtido pela análise por vigas

indeslocáveis e considerando a visualização apenas das barras referentes à laje, está

indicado na Figura 30.

Figura 30 - Diagramas de momento de torção e fletor da Laje 1

Fonte: Autor

Os diagramas são condizentes ao comportamento real deste tipo de laje, visto

que os momentos volventes relevantes estão no canto onde há o encontro de dois

bordos simplesmente apoiados; os momentos fletores Mx1 e Mz1 estão ligeiramente

49

afastados do centro da laje e em direção ao canto com os bordos simplesmente

apoiados; e os momentos fletores negativos nos bordos engastados são muito

superiores aos dos bordos simplesmente apoiados.

4.2.2 Laje 2

A laje aqui analisada é retangular, armada em duas direções, simplesmente

apoiada nos bordos inferior e esquerdo, e engastada nos bordos superior e direito.

Segundo as tabelas de Bares esta laje também é do tipo 3, porém a relação entre o

maior e o menor vão teórico equivale a aproximadamente 1,50.

Em todas as análises foi utilizada uma malha 20 x 15, conforme ilustra a Figura

31 a seguir, onde foi representado no ANSYS a análise considerando as vigas de

bordo verticalmente indeslocáveis.

Figura 31 - Modelo com vigas verticalmente indeslocáveis da Laje 2

Fonte: Autor

50

No Quadro 9 a seguir estão indicados os resultados referentes às flechas e aos

momentos fletores da laje 2.


Parâmetro Reis

(2007) Tabelas


Vigas Programa

ANSYS

18.1

Flecha

(mm) 4,300 3,583

Sem Vigas 4,195 4,195





Mx2

(kNm/m) 4,500 3,493

Sem Vigas 3,471 3,471





Mz2

(kNm/m) 8,820 7,343

Sem Vigas 9,718 9,718





Xx2

(kNm/m) 17,510 16,160

Sem Vigas 17,065 17,065





Xz2

(kNm/m) 12,880 12,512

Sem Vigas 12,687 12,687





Fonte: Autor

Considerando a análise sem vigas e os resultados das tabelas de Bares, nota-

se que a flecha é 17% maior, Mx2 é praticamente o mesmo, Mz2 é 32% superior, Xx2

é 6% maior e Xz2 é 1% mais elevado. Exceto por Mz2, a análise sem vigas resultou

em valores bastante similares.

51

Ao comparar os resultados desta análise com os resultados de Reis (2007),

nota-se que a flecha é 2% menor, Mx2 é 23% inferior, Mz2 é 10% maior. Xx2 é 2,5%

menor e Xz2 é 1,5% inferior. Nesta comparação as discrepâncias foram maiores que

a realizada previamente às tabelas de Bares.

A consideração de vigas verticalmente indeslocáveis, comparada às tabelas de

Bares, apresentou flecha 18% maior, Mx2 7,5% superior, Mz2 28% mais elevado, e

Xx2 e Xz2 cerca de 10% superiores. Já ao comparar com os resultados de Reis (2007)

a flecha passa a ser 2% inferior, Mx2 é 16,5% menor, Mz2 é 6% superior, e Xx2 e Xz2

são cerca de 5% mais elevados. Nota-se que as discrepâncias da análise por vigas

verticalmente indeslocáveis foram maiores que às observadas na laje 1.

Visando a simulação do engastamento ao considerar vigas verticalmente

deslocáveis, foram considerados momentos uniformemente distribuídos sobre os

bordos superior e direito iguais a 17,383 kNm/m e 12,841 kNm/m, respectivamente.

Tais momentos foram obtidos pela média aritmética dos valores de Xx2 e Xz2

previamente calculados.

Independente de considerar as vigas simplesmente apoiadas ou engastadas

sobre os pilares indeformáveis, os resultados obtidos por estas análises foram os que

mais se distanciaram dos valores obtidos tanto pelas tabelas de Bares como por Reis

(2007).

Na Figura 32 estão representados os Diagramas de Momentos de Torção e

Fletores gerados no ANSYS, os quais foram obtidos pela análise por vigas

verticalmente indeslocáveis e foi desconsiderada a visualização das barras das vigas.

Figura 32 - Diagramas de momento de torção (esquerda) e fletor (direita) da Laje 2

Fonte: Autor

52

Assim como na laje 1 é possível observar o canto onde há o encontro de bordos

simplesmente apoiados com os momentos volventes de maior intensidade, os

momentos fletores positivos distanciados dos bordos engastados e também os

momentos fletores negativos nos mesmos.

No entanto, observa-se que os momentos volventes nos cantos relacionados

ao encontro dos bordos engastados e simplesmente apoiados são superiores aos

verificados na Laje 1, principalmente ao longo de sua menor direção. Tal

comportamento é consequência da geometria retangular da laje.

4.2.3 Laje 3

A última laje deste pavimento é retangular e pode ser considerada armada em

uma direção, visto que sua maior dimensão é o dobro da menor. Quanto às

vinculações, ela é simplesmente apoiada nos bordos superior, inferior e direito, sendo

engastada apenas no bordo esquerdo.

Duas representações de modelos gerados no ANSYS estão ilustradas na

Figura 33, onde a primeira considera análise por vigas verticalmente indeslocáveis e

a segunda as considera verticalmente deslocáveis.

Figura 33 - Modelos com vigas indeslocáveis (à esquerda) e deslocáveis (à direita) da

Laje 3

Fonte: Autor

53

Percebe-se que, no modelo considerando a deslocabilidade vertical das vigas,

há um pilar situado próximo ao meio do bordo esquerdo, sendo uma representação

do pilar P5 apresentado na Figura 27 previamente.

Como o programa desenvolvido em FORTRAN possibilita a inserção de pilares

apenas nos cantos da laje, foi realizada uma modificação pontual e única na rotina

computacional afim de garantir a inserção deste pilar P5 e possibilitar a análise com

vigas verticalmente deslocáveis desta laje.

Apesar da laje poder ser considerada como armada em uma direção, foram

empregadas as tabelas de Bares na determinação de sua flecha e dos seus esforços,

considerando-a como laje tipo 2B e empregando uma relação entre vãos igual a 2,00.

No Quadro 10 estão indicados os resultados obtidos.


Parâmetro Reis (2007) Tabelas Considerações Quanto

às Vigas Programa ANSYS 18.1

Flecha

(cm) 1,330 1,143

Sem Vigas 1,262 1,262


Vigas Deslocáveis SA 4,934 4,934

Vigas Deslocáveis E 1,800 1,800

Mx3

(kNm/m) 17,170 14,496

Sem Vigas 19,215 19,215




Mz3

(kNm/m) 6,140 3,612

Sem Vigas 4,680 4,680




Xz3

(kNm/m) 31,190 29,602

Sem Vigas 35,097 35,097




Fonte: Autor

54

A análise desconsiderando as vigas apresenta consideráveis diferenças se

comparada ao resultado das tabelas de Bares, visto que a flecha é 10% maior e os

momentos Mx3, Mz3 e Xz3 são cerca de 30% superiores. Tais diferenças são

ligeiramente menores ao compará-la aos resultados de Reis (2007), visto que a flecha

é 5% menor, Mx3 é 12% maior, Mz3 é 24% inferior e Xz3 é cerca de 12,5% superior.

Comportamento semelhante é observado na análise por vigas verticalmente

indeslocáveis, onde há notáveis diferenças com os resultados das tabelas de Bares

(flecha 13% maior e momentos até 30% superiores) e discrepâncias ligeiramente

menores ao se comparar com os resultados de Reis (2007), onde a flecha é 3%

menor, Mx3 é 11% maior, Mz3 é 21% inferior e Xz3 também é 12,5% superior.

Uma representação da flecha ao longo da laje e o Diagrama de Momentos

Fletores, um considerando as barras ao longo do menor vão da laje e outro as barras

do maior vão, estão indicados na Figura 34 a seguir, sendo estes obtidos segundo a

análise por vigas de bordo verticalmente indeslocáveis, assim como desconsiderando

a visualização das barras das vigas no DMF.

Figura 34 - Representação da variabilidade das flechas (à esquerda) e diagramas de

momento fletor da Laje 3 ao longo do eixo X (no meio) e do eixo Z (à direita), ao

considerar vigas verticalmente indeslocáveis nos bordos

Fonte: Autor

55

Nesta análise a variabilidade da flecha ao longo da laje e a distribuição de

momentos fletores são fidedignas ao esperado de uma laje engastada ao longo de um

de seus maiores bordos e simplesmente apoiadas nos demais, visto que tanto a flecha

como os máximos momentos fletores positivos ao longo da menor direção estão

próximos ao meio do vão, ligeiramente afastados do bordo engastado.

No entanto, grandes diferenças são observadas ao considerar a

deslocabilidade vertical das vigas de bordo, conforme ilustra a representação dos

deslocamentos transversais ao longo da laje e o Diagrama de Momentos Fletores da

Figura 35 a seguir, este último desconsiderando as barras referentes às vigas na

visualização.

Figura 35 - Representação da variabilidade das flechas (à esquerda) e diagramas de

momento fletor da Laje 3 ao longo do eixo X (no meio) e do eixo Z (à direita), ao

considerar vigas verticalmente deslocáveis nos bordos

Fonte: Autor

Percebe-se que nesta laje, e apenas nesta laje, a análise considerando a

deslocabilidade vertical das vigas de bordo acarretou em um comportamento

completamente distinto daqueles observados ao considera-las verticalmente

indeslocáveis, conforme observado na Figura 34, assim como ao desprezá-las. Isto

se deve à presença do pilar P5 entre os extremos da viga V5.

56

Nota-se que tanto a flecha máxima como os momentos fletores positivos

máximos ao longo da maior direção estão situados no meio do vão da viga V6, ou

seja, no bordo oposto à viga V5 e aos pilares P2, P5 e P7. Desta forma, a flecha

máxima da laje coincide com a flecha máxima da viga V6.

Também se observa que os momentos fletores positivos ao longo da maior

direção passam a ser tão relevantes quanto aqueles ao longo de seu menor vão que,

por sua vez, não apresentam grandes alterações.

Quanto aos momentos fletores negativos, estes passam a apresentar maiores

valores e a serem distribuídos segundo um maior trecho do bordo esquerdo. Ademais,

percebe-se que há momentos fletores negativos nas proximidades do pilar P5 ao

analisar o DMF das barras ao longo do maior vão.

Na Figura 36 a seguir está indicado o Diagrama de Momentos Fletores

considerando somente as barras das vigas de bordo na visualização.

Figura 36 - Diagrama de momento fletor das vigas de bordo da Laje 3

Fonte: Autor

O comportamento do DMF das vigas se apresenta conforme o esperado. Os

bordos superior e inferior, respectivos à V1 e V3, demonstram o típico DMF de vigas

engastadas-apoiadas, com um momento fletor negativo no extremo engastado e uma

região com momentos fletores positivos conforme se aproxima do extremo

simplesmente apoiado.

57

Já o bordo esquerdo, representado pela viga V5, apresenta o DMF esperado

de uma viga contínua com apoios simples nos extremos (pilares P2 e P7) e um terceiro

apoio simples entre estes (pilar P5). É notável o momento fletor negativo sobre o apoio

intermediário, assim como as regiões de momentos fletores positivos entre este e os

apoios extremos. Nota-se também que o trecho entre P2 e P5, por apresentar maior

comprimento, possui maiores momentos fletores positivos se comparado aos do

trecho entre P5 e P7.

Quanto ao bordo direito, representado pela viga V6, percebe-se o maior

momento fletor positivo observado em todas as vigas. Tal comportamento é esperado,

visto que o vão desta viga bi apoiada é o maior de todo o pavimento.

4.2.4 Síntese dos Resultados

Com base nos esforços obtidos e nas flechas máximas determinadas para cada

laje, a análise desconsiderando a presença das vigas acarretou nos resultados

expostos na Figura 37.

Figura 37 - Resultados obtidos ao desconsiderar as vigas na análise

Fonte: Autor

Quanto à análise a partir de vigas verticalmente indeslocáveis, obteve-se os

resultados expostos na Figura 38.

58

Figura 38 - Resultados ao considerar as vigas verticalmente indeslocáveis

Fonte: Autor

Na Figura 39 estão ilustrados os resultados referentes à análise por vigas

verticalmente indeslocáveis e simplesmente apoiadas nos pilares.

Figura 39 - Resultados ao considerar as vigas verticalmente deslocáveis sobre apoios

simples

Fonte: Autor

59

Já os resultados obtidos ao considerar as vigas verticalmente deslocáveis e

engastadas nos pilares estão representados na Figura 40.

Figura 40 - Resultados ao considerar as vigas verticalmente deslocáveis engastadas

nos pilares

Fonte: Autor

Percebe-se que, de modo geral, os valores de um mesmo esforço ou flecha

são semelhantes entre si, excetuando-se aqueles referentes à laje 3 analisada

segundo vigas verticalmente deslocáveis.

Também é notável que os momentos fletores negativos em um bordo comum,

tal como ocorre com Xx1 e Xx2, Xz1 e Xz3, e Xz2 e Xz3, são distintos conforme a laje.

No entanto, devido à continuidade das lajes os valores deveriam resultar os mesmos,

tal como ocorre em uma viga continua com apoio simples no meio do vão.

Isto se deve às limitações da rotina computacional, visto que não é possível

analisar todo um pavimento, mas apenas as lajes isoladas. Assim como é realizado

aos métodos simplificados, é necessário realizar a compatibilização dos momentos

fletores negativos antes de prosseguir ao dimensionamento.

60

4.3 Exemplo 3 – Laje de Kimura

Kimura (2007) definiu, em seu livro “Informática Aplicada em Estruturas de

Concreto Armado”, um edifício hipotético de um único pavimento composto por uma

laje, quatro vigas de bordo e quatro pilares nos cantos, com o intuito de demonstrar

como ocorre a distribuição de esforços nas vigas.

A laje é quadrada, tem 15 cm de espessura e está submetida a um

carregamento uniformemente distribuído de 10 kN/m². As vigas horizontais (V1 e V2)

têm dimensão de 20cm x 40cm, enquanto que as verticais (V3 e V4) têm 20 cm x 80

cm. A distância entre os eixos das vigas vale 4,00 m.

Na Figura 41 está indicado o pavimento considerado neste exemplo.

Figura 41 - Laje de Kimura

Fonte: Kimura (2007)

Visando enfatizar a distribuição dos esforços da laje, o peso próprio das vigas

será desconsiderado em todas as análises, o que também exigiu uma pequena

alteração pontual e única na rotina computacional elaborada.

Pelo fato da laje ser quadrada, o método das charneiras plásticas acarreta em

uma igual distribuição do carregamento da laje sobre as quatro vigas visto que,

conforme ilustra a Figura 42, as áreas de influência de cada uma são iguais. Ao adotar

esta metodologia, assume-se que cada viga estará sujeita a uma carga

61

uniformemente distribuída de 15,588 kN/m e apresentará um momento fletor máximo

de 29,485 kNm.

Figura 42 - Momento fletor das vigas definidos de modo simplificado

Fonte: Autor

Quanto à análise pelas tabelas de Bares adaptadas por Pinheiro (1994), o fato

dela ser simplesmente apoiada nos bordos a classifica como laje tipo 1, enquanto que

o fato de ser quadrada faz com que a relação entre o maior e o menor vão seja igual

a 1,00.

Kimura (2007) não menciona os dados referentes aos módulos de elasticidade

longitudinal e transversal do concreto, de modo que foram empregados os mesmos

valores definidos no Exemplo 2 (Ec = 30 GPa, ν=0,2 e Gc = 12 GPa). Da mesma forma,

Kimura (2007) não informa os valores da flecha e dos momentos fletores positivos

máximos, o que impede a comparação específica destes resultados.

O vão efetivo será definido segundo as recomendações do item 14.7.2.2 da

NBR 6118 (ABNT, 2014) e, da mesma forma, a rigidez à torção das barras referentes

às vigas será calculada considerando-as no Estádio II, conforme o item 14.6.6.2 da

NBR 6118 (ABNT, 2014).

Assim como Kimura (2007), o objetivo deste exemplo é analisar a distribuição

dos esforços nas vigas em função de suas respectivas rigidezes. Para tal, foram

realizadas duas análises, a primeira desconsiderando as vigas e a segunda

Ai = 4,41 m²

P = 13,75 kN/m²

L = 4,20 m

15,588 kN/m

29,485 kNm

62

considerando-as verticalmente deslocáveis e simplesmente apoiadas, ou seja, sobre

pilares indeformáveis e indeslocáveis.

Os dois modelos gerados no ANSYS estão dispostos na Figura 43.

Figura 43 - Modelo desconsiderando as vigas (à esquerda) e deslocáveis (à direita)

Fonte: Autor

As flechas e os momentos fletores positivos máximos obtidos estão

representados no Quadro 11 a seguir.

Quadro 11 - Resultados do Exemplo 3

Parâmetro Tabelas Considerações Quanto

às Vigas de Bordo Programa ANSYS

Flecha (mm) 1,480 Sem Vigas 1,770 1,770

Vigas Deslocáveis 2,059 2,059

Mx (kNm/m) 8,801 Sem Vigas 8,992 8,992


Mz (kNm/m) 8,801 Sem Vigas 8,992 8,992


Fonte: Autor

Nota-se que na análise desconsiderando as vigas de bordo a flecha é 19,5%

superior à definida pelas tabelas de Bares, e que os momentos fletores positivos são

iguais nas duas direções e 2% superiores se comparado ao obtido mediante as citadas

tabelas.

63

A Figura 44 a seguir demonstra o Diagrama de Esforço Cortante das barras

mais próximas às vigas, desconsiderando-se as demais barras na visualização com o

intuito de focar apenas nos esforços situados nos extremos da laje, junto às vigas,

assim como o Diagrama de Momento Fletor de todas as barras.

Figura 44 - Diagrama de esforço cortante das barras mais próximas aos bordos (à

esquerda) e diagrama de momento fletor da laje (à direita) ao desconsiderar as vigas

Fonte: Autor

Percebe-se que a variação do esforço cortante nas barras extremas da laje

analisada sem as vigas é a mesma em todas. Somando isto ao fato dos momentos

fletores positivos terem resultado os mesmos nas duas direções, nota-se que a análise

de uma laje quadrada, desconsiderando as vigas de bordo e suas propriedades

geométricas, acarreta em uma igual distribuição de seu carregamento sobre os seus

bordos, independentemente de suas rigidezes.

Ao considerar as vigas de bordo verticalmente deslocáveis na análise, percebe-

se que a flecha obtida passa a ser 39% superior ao obtido pelas tabelas de Bares e,

diferentemente da análise anterior, os momentos fletores positivos passam a ser

diferentes nas duas direções.

Enquanto Mx é 61% superior ao valor determinado pelas tabelas de Bares, Mz

é 25% inferior ao mesmo. É notável que o momento fletor aumenta consideravelmente

na direção perpendicular às vigas mais rígidas e, inversamente, diminui na direção

perpendicular às vigas menos rígidas.

64

O Diagrama de Momentos Fletores das barras da laje, segundo as direções X

e Z e desconsiderando a visualização das barras relacionadas às vigas, estão

ilustrados na Figura 45.

Figura 45 - Diagrama de momento fletor da laje ao longo do eixo X (à esquerda) e do

eixo Z (à direita), considerando as vigas de bordo verticalmente deslocáveis

Fonte: Autor

Quanto aos esforços nas vigas de bordo, a Figura 46 ilustra o Diagrama de

Esforço Cortante e o Diagrama de Momento Fletor das barras referentes às vigas,

desconsiderando-se as barras relacionadas à laje na visualização.

Figura 46 - Diagrama de esforço cortante (à esquerda) e de momento fletor (à direita)

das vigas de bordo

Fonte: Autor

65

Diferente dos diagramas expostos na Figura 44, referente à análise

desconsiderando as vigas de bordo, percebe-se que as vigas mais rígidas, V3 e V4,

estão submetidas aos maiores esforços cortantes e momentos fletores. Isto ocorre

devido a maior contribuição do carregamento da laje a estes bordos, o que, por sua

vez, se deve única e exclusivamente as maiores rigidezes dos mesmos, visto que o

peso próprio das vigas foi totalmente desconsiderado.

Quanto ao valor dos momentos fletores máximos nas vigas, todos são muito

superiores ao obtido pelo processo das áreas de influência. Para as vigas V1 e V2, o

maior momento fletor positivo, equivalente a 34,036 kNm/m, é 15% superior ao obtido

pelos processos simplificados, enquanto que para V3 e V4, equivalente a 48,284

kNm/m, é 64% superior.

4.4 Exemplo 4 – Laje com uma borda livre

A laje analisada neste exemplo foi retirada de uma das Notas de Aula da

disciplina de Concreto Armado B da Universidade Federal de Santa Maria (SANTOS

NETO, 2016). Esta possui uma borda livre, um bordo simplesmente apoiado e dois

bordos engastados, conforme representado na Figura 47 a seguir.

Figura 47 - Laje do Exemplo 4

Fonte: Adaptado de Santos Neto (2016)

Os módulos de elasticidade longitudinal e transversal serão considerados os

mesmos dos exemplos 2 e 3 (Ec = 30 GPa, ν=0,2 e Gc = 12 GPa). As seções das

66

vigas foram admitidas como 20 x 40, posto que não foram informadas no exemplo de

referência.

Quanto aos carregamentos, as cargas permanentes e variáveis exercem um

total de 4,0 kN/m² sobre a laje, de modo que a laje de 10cm de espessura acarretará

em um carregamento total de 6,0 kN/m².

Visando uma análise semelhante à realizada por Santos Neto (2016), os vãos

teóricos serão definidos considerando-se os eixos das vigas.

As nomenclaturas convencionadas aos momentos fletores estão indicadas na

Figura 48 a seguir.

Figura 48 - Convenções adotadas aos momentos fletores da laje do Exemplo 4

Fonte: Autor

Ao proceder a análise pelas tabelas do Anexo 1, nota-se que esta laje não se

enquadra nos casos básicos, enumerados de 7 a 10 e de 19 a 22, das tabelas de

Bares adaptadas por Pinheiro (1994). Portanto, é necessário utilizar a Tabela A-22

proposta por Pinheiro (1994) com a finalidade de abranger situações previamente não

consideradas.

A tabela supracitada permite a obtenção de todos os momentos fletores

relevantes a este tipo de laje. Caso se deseje obter as reações de apoio, é necessário

utilizar a Tabela A-24, também desenvolvida por Pinheiro (1994). A flecha máxima, no

entanto, não é possível de se obter por nenhuma das tabelas do Anexo 1.

67

Os dados iniciais para esta análise simplificada são o carregamento

uniformemente distribuído sobre a laje, o valor deste carregamento e os vãos teóricos.

Tais informações definem carregamento tipo 1 e uma relação entre o vão oposto à

borda livre e entre o vão adjacente igual a aproximadamente 1,50.

Já a análise pela rotina computacional desenvolvido será realizada segundo

três etapas: uma desconsiderando as vigas de bordo, outra considerando-as

verticalmente indeslocáveis e a última as considerando verticalmente deslocáveis

sobre apoios simples. Os modelos no ANSYS referentes às análises considerando as

vigas estão ilustrados na Figura 49.

Figura 49 - Modelo com vigas indeslocáveis (à esquerda) e deslocáveis (à direita)

Fonte: Autor

Os resultados obtidos estão apresentados no Quadro 12 a seguir.


Parâmetro Tabelas Considerações Quanto às

Vigas de Bordo Programa ANSYS

Flecha Total

(mm) -

Sem Vigas 1,153 1,153



Flecha Total

Subtraída das

Vigas (mm)

-

Sem Vigas 1,153 1,153



68


(continuação)

Parâmetro Tabelas

Considerações

Quanto às Vigas de

Bordo

Programa ANSYS

Mx

(kNm/m) 0,623

Sem Vigas 0,617 0,617



Mz

(kNm/m) 2,935

Sem Vigas 4,435 4,435



Mr

(kNm/m) 3,600

Sem Vigas 5,232 5,232



Xz

(kNm/m) 4,197

Sem Vigas 3,226 3,226



Xx

(kNm/m) 5,745

Sem Vigas 8,368 8,368



Xr

(kNm/m) 7,232

Sem Vigas 9,370 9,370



Fonte: Autor

Visto que não é possível obter a flecha deste tipo de laje pelas tabelas

propostas por Pinheiro (1994), não há um valor de comparação quanto a este

parâmetro. Nota-se, no entanto, que os três valores obtidos na rotina computacional

são muito semelhantes entre si

Quanto aos momentos fletores positivos Mx, ao longo do maior vão, as análises

desconsiderando as vigas e considerando-as verticalmente indeslocáveis apresentam

um erro de, no máximo, igual a 5% se comparado aos valores obtidos por tabelas. No

entanto, ao considerar a deslocabilidade das vigas de bordo o valor obtido passa a

ser 80% superior.

Os momentos fletores positivos Mz, referentes ao menor vão, se comportam de

maneira semelhante, apresentando erro máximo de 15% ao considerar as duas

69

análises com vigas. O maior erro está associado à análise sem vigas, cujo valor é 51%

superior ao definido segundo a Tabela A-22.

Já os valores do momento fletor positivo na borda livre Mr foram praticamente

invariáveis para as análises realizadas, sendo aproximadamente 45% superiores ao

valor calculado a partir das tabelas.

No tocante dos momentos fletores negativos Xx e Xz, percebe-se que os

valores de Xz foram inferiores ao valor de referência, enquanto que os valores de Xx

foram todos superiores. Embora os resultados de Xx tenham apresentado pouca

variação com as análises, é notável que a análise sem vigas acarretou em um valor

consideravelmente elevado para Xz, sendo cerca de 45% maior que o valor definido

pela Tabela A-22.

Deve ser destacado que, nas análises considerando vigas verticalmente

deslocáveis, o engastamento dos bordos esquerdo e inferior foi simulado mediante à

inserção de momentos fletores uniformemente distribuídos nos referidos bordos, cujos

valores foram definidos pela média aritmética dos valores de Xx e Xz definidos nas

análises anteriores.

Quanto ao momento fletor negativo Xr, referente ao canto da borda engastada

junto à borda livre, a análise considerando vigas indeslocáveis apresentou a menor

discrepância, com Xr 10% maior que o valor de referência. A análise sem vigas

resultou em um valor 29,5% superior, enquanto que a consideração de vigas

deslocáveis levou a um resultado 56% mais elevado.

Nota-se que, no caso de uma laje com borda livre, a rotina computacional levou

a resultados com diferenças ligeiramente maiores se comparado aos valores obtidos

pela tabela A-22, sendo a análise com vigas indeslocáveis a que mais se aproximou

destes.

Na Figura 50 estão indicados os Diagramas de Momento Fletor para as barras

de ambas as direções da laje, considerando a análise por vigas indeslocáveis pelo

fato desta ter resultado nos valores mais semelhantes aos de referência. As barras

referentes às vigas foram desconsideradas na visualização dos DMFs.

70

Figura 50 - Diagrama de momento fletor das barras ao longo do eixo X (à esquerda)

e do eixo Z (à direita)

Fonte: Autor

Tais diagramas são condizentes à realidade desta laje, visto que a distribuição

do momento fletor na borda oposta à borda livre é praticamente simétrica; o momento

fletor negativo na borda inferior apresenta valores crescentes conforme se aproxima

da borda livre, convergindo à Xr; os momentos fletores positivos ao longo do menor

vão também são crescentes em direção à borda livre, convergindo à Mr.

Quanto ao Diagrama de Momento Fletor das vigas, este é indicado na Figura

51 a seguir, o qual foi obtido pela análise por vigas verticalmente deslocáveis e

somente as barras referentes as mesmas foram consideradas na visualização.

Figura 51 - Diagrama de momento fletor das vigas de bordo do Exemplo 4

Fonte: Autor

71

O comportamento do DMF das vigas segue o esperado, visto que V1 e V2

apresentam a configuração típica de vigas biapoiadas e V3 apresenta o

comportamento de vigas engastadas-apoiadas.

Nota-se que o momento fletor positivo máximo de V2 é superior ao de V1, o

que é esperado pelo fato do bordo inferior ser definido por um engaste. Tal vinculação

é caracterizada, neste caso, pela continuidade devido a uma laje adjacente,

acarretando na consequente contribuição adicional da mesma ao carregamento de

V2.

72

6 CONCLUSÃO

O programa desenvolvido busca gerar uma grelha equivalente a uma laje

isolada e, em seguida, analisa-la. Sua eficácia foi comprovada pela validação dos

resultados com o programa ANSYS 18.1 e também com resultados prévios presentes

na literatura nacional.

Tanto o arquivo texto de entrada como os 11 arquivos texto de saída foram

elaborados com o intuito de garantir uma fácil compreensão do estudante quanto à

rotina computacional, apresentando de forma clara, objetiva e organizada todos os

resultados referentes às diversas etapas da análise matricial, à síntese dos resultados

da laje, assim como aos dados necessários à análise pelas tabelas de Bares

adaptadas por Pinheiro (1994), e ao ANSYS.

Em todos os exemplos as grelhas equivalentes possuíam uma grande

quantidade de nós, barras e graus de liberdade, tanto que em vários casos é

necessário utilizar o software Notepad++ para possibilitar a visualização das matrizes

de rigidez S e SRD, assim como a matriz C de Choleski.

Apesar do grande volume de dados processados, a linguagem de programação

FORTRAN possibilitou um processamento rápido e preciso. Excetuando-se a malha

6 do Exemplo 1 (50 x 50), cuja compilação demorou cerca de 1 minuto e 50 segundos,

os demais casos levavam em média 3 segundos, no máximo 10 segundos.

Em todos os exemplos a eficácia do Programa Analogia de Grelhas foi

comprovada, visto que todos os resultados se situaram próximos aos valores obtidos

pelas tabelas de Bares e posteriormente adaptadas por Pinheiro (1994), assim como

aos resultados prévios contidos na literatura. A única exceção foi a laje L3 do Exemplo

2, visto que a presença de um pilar adicional no meio de um dos bordos alterou

substancialmente a distribuição de esforços, permitindo afirmar que a eficácia dos

resultados mediante as tabelas supracitadas se torna duvidosa ao se tratar de lajes

cujas vigas de bordo não estejam vinculadas em pilares situados apenas nos cantos.

Em vista de todo o exposto e sabendo do crescente uso de softwares na

Engenharia Estrutural, é fundamental que os acadêmicos e futuros Engenheiros

Estruturais sejam habituados a associar todo o conhecimento teórico e prático

adquirido em sua formação na elaboração de novas rotinas computacionais, no

manuseio dos programas disponíveis e na interpretação correta de seus resultados,

os quais foram os objetivos deste trabalho.

73

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1994. CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118: 2014. 4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2014, 415 p. CHEN, W. F. The Civil Engineering Handbook. 2. ed. New York: CRC Press, 2003.

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74

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Paulo: 2003. Disponível em < http://coral.ufsm.br/decc/ECC840/Downloads/Analogia_ grelha_pavimentos.pdf>. Acesso em: 10 dez. 2017.

http://coral.ufsm.br/decc/ECC840/Downloads/Analogia_

75

APÊNDICE A – Manual do Usuário do Programa Analogia de Grelhas

Este manual foi elaborado com o intuito de instruir adequadamente como criar

os arquivos de entrada de dados e a obter os resultados finais no Programa Analogia

de Grelhas. Tal programa utiliza arquivos texto (extensão .txt) tanto à entrada como à

saída de dados.

As estruturas analisadas no programa são grelhas equivalentes às lajes

informadas no arquivo de entrada de dados. Tais estruturas são planas e o

carregamento é aplicado perpendicularmente a este plano.

Observações:

- Não utilizar sinais gráficos (acentuação) no nome e/ou conteúdo dos arquivos;

- Sempre empregar ponto (.) como separador decimal;

- Vírgulas (,) são utilizadas para separar diferentes dados;

- Sempre utilizar as unidades que estão indicadas no corpo do arquivo texto

“01.Dados_Entrada.txt”, garantindo-se que os deslocamentos sejam obtidos em

metros, as reações de apoio e ações de extremidade de barra em kilonewtons.

1º Passo – Arquivo 01.Dados_Entrada.txt

Inicialmente é necessário assegurar que haja a pasta “Analogia de Grelhas” e,

dentro desta, três arquivos também denominados “Analogia de Grelhas”, um sendo

outra pasta de arquivos, outro sendo um arquivo do tipo “Fortran Source”, e o terceiro

sendo tipo “Microsoft Visual Studio Solution”. O arquivo 01.Dados_Entrada.txt está na

pasta de arquivos “Analogia de Grelhas”, não devendo ser deletado.

Tal arquivo texto pode ser aberto com o Bloco de Notas do Windows ou, caso

desejado, com o Notepad++. Com o arquivo aberto, notar-se-ão diversos parâmetros

a serem preenchidos, todos precedidos de uma exclamação (!). Tais parâmetros não

devem ser alterados, posto que vários possuem indicações a respeito das unidades e

das opções a serem lidas pelo programa.

A seguir estão indicados os parâmetros supracitados, os quais servem de base

caso o referido arquivo ou algumas de suas linhas pré-definidas sejam deletadas.

76

! Nome da Estrutura [Digitar o nome da estrutura] ! Número de Faixas Perpendiculares a X e Paralelas a Z [Inteiro maior que zero, referente às subdivisões da laje desconsiderando as vigas] ! Número de Faixas Perpendiculares a Z e Paralelas a X [Inteiro maior que zero, referente às subdivisões da laje desconsiderando as vigas] ! Consideração das Vigas na Análise (0 = Não Considerar; 1 = Considerar) [Escolher entre 0 ou 1] ! Vínculo do Bordo Superior (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) [Escolher entre 0, 1 ou 2] ! Espessura do Bordo Superior (cm) [Real maior que zero] ! Altura da Viga Superior (cm) [Real maior que zero, igual a espessura da laje caso o bordo seja livre] ! Vínculo do Bordo Inferior (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) [Escolher entre 0, 1 ou 2] ! Espessura do Bordo Inferior (cm) [Real maior que zero] ! Altura da Viga Inferior (cm) [Real maior que zero, igual a espessura da laje caso o bordo seja livre] ! Vínculo do Bordo Esquerdo (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) [Escolher entre 0, 1 ou 2] ! Espessura do Bordo Esquerdo (cm) [Real maior que zero] ! Altura da Viga Esquerda (cm) [Real maior que zero, igual a espessura da laje caso o bordo seja livre] ! Vínculo do Bordo Direito (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) [Escolher entre 0, 1 ou 2] ! Espessura do Bordo Direito (cm) [Real maior que zero] ! Altura da Viga Direita (cm) [Real maior que zero, igual a espessura da laje caso o bordo seja livre] ! Deslocabilidade Vertical das Vigas (0 = Indeslocáveis; 1 = Deslocáveis) [Escolher entre 0 ou 1] ! Pilar no Canto Superior Esquerdo [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) [Escolher entre 0 ou 1] ! Pilar no Canto Superior Direito [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) [Escolher entre 0 ou 1]

77

! Pilar no Canto Inferior Esquerdo [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) [Escolher entre 0 ou 1] ! Pilar no Canto Inferior Direito [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) [Escolher entre 0 ou 1] ! Condição de Apoio das Vigas nos Pilares [Vigas Deslocáveis] (1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) [Escolher entre 1 ou 2] ! Valor de 'Alpha' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos Viga (1 para Estádio I // 0.15 para Estádio II [item 14.6.6.2 da NBR 6118: 2014]) [Real maior que zero] ! Valor de 'Beta' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos Viga (0 = 1/3; 1 = Calcular segundo a fórmula de Gere e Weaver [1980]) [Escolher entre 0 ou 1] ! Eixo Z Considerado às Vigas (0 = CG Viga; 1 = CG Laje - Compensação Mediante Teorema de Steiner) [Escolher entre 0 ou 1] ! Vão Efetivo da Laje (0 = Distância entre os Eixos das Vigas; 1 = Conforme item 14.7.2.2 da NBR 6118: 2014) [Escolher entre 0 ou 1] ! Comprimento da Laje ao Longo de X (m) [Real maior que zero, desconsiderando a largura das vigas] ! Comprimento da Laje ao Longo de Z (m) [Real maior que zero, desconsiderando a largura das vigas] ! Espessura da Laje (cm) [Real maior que zero] ! Módulo de Elasticidade Longitudinal (kPa) [Real maior que zero, podendo ser expresso em notação científica (E)] ! Módulo de Elasticidade Transversal (kPa) [Real maior que zero, podendo ser expresso em notação científica (E)] ! Valor de 'Alpha' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos de Placa (Recomenda-se 2) [Real maior que zero] ! Carga Distribuida na Laje Decorrente de Ações Permanentes (kN/m²) [Real maior que zero] ! Carga Distribuida na Laje Decorrente da Sobrecarga de Utilização (kN/m²) [Real maior que zero] ! Peso Próprio do Concreto Armado (Recomenda-se 25 kN/m³) [Real maior que zero] ! Carga Distribuida no Bordo Superior (kN/m) [Real] ! Carga Distribuida no Bordo Inferior (kN/m) [Real] ! Carga Distribuida no Bordo Esquerdo (kN/m)

78

[Real] ! Carga Distribuida no Bordo Direito (kN/m) [Real]

! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Superior (kNm/m) [Real] ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Inferior (kNm/m) [Real] ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Esquerdo (kNm/m) [Real] ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Direito (kNm/m) [Real] ! Coef. de Majoração das Ações Permanentes [Real maior que zero] ! Coef. de Majoração das Ações Variáveis [Real maior que zero]

Nota-se que há parâmetros que exigiram mais de uma linha para serem

expressos acima, porém no bloco de notas os textos referentes aos mesmos devem

ocupar uma única linha. Quanto aos espaços presentes entre cada parâmetro e o

dado anterior, estes devem ser mantidos afim de facilitar a visualização.

Com o objetivo de exemplificar tal etapa, será mostrado um exemplo hipotético

e a respectiva entrada de dados referente ao mesmo. O exemplo, referente a uma laje

em balanço com vigas nos bordos de menor comprimento, está indicado a seguir:

79

Dados Iniciais:

- Carga Permanente sobre a laje = 1 kN/m²;

- Carga Acidental sobre a laje = 2 kN/m²;

- Gradil sobre V1, V2 = 0,5 kN/m;

- Gradil sobre borda livre = (0,5 + 2,5 kN/m);

- Parede de alvenaria sobre V3 = 7,9 kN/m;

- Momento Uniformemente Distribuído ao longo de V2 = 11,714 kNm;

- Módulo de Elasticidade Longitudinal = 30.000 kN/m²

- Módulo de Elasticidade Transversal = 12.000 kN/m²

- Vigas consideradas verticalmente deslocáveis;

- Vãos efetivos segundo o item 14.7.2.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014);

- Momentos de inércia das vigas segundo seus respectivos CGs;

- Momento de inércia à torção das vigas considerando-as no Estádio II;

! Nome da Estrutura EXEMPLOMARQUISE ! Número de Faixas Perpendiculares a X e Paralelas a Z 16 ! Número de Faixas Perpendiculares a Z e Paralelas a X 40 ! Consideração das Vigas na Análise (0 = Não Considerar; 1 = Considerar) 1 ! Vínculo do Bordo Superior (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) 1 ! Espessura do Bordo Superior (cm) 12 ! Altura da Viga Superior (cm) 35 ! Vínculo do Bordo Inferior (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) 1 ! Espessura do Bordo Inferior (cm) 12 ! Altura da Viga Inferior (cm) 35 ! Vínculo do Bordo Esquerdo (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) 2 ! Espessura do Bordo Esquerdo (cm) 20

80

! Altura da Viga Esquerda (cm) 50 ! Vínculo do Bordo Direito (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) 0 ! Espessura do Bordo Direito (cm) 10 ! Altura da Viga Direita (cm) 10 ! Deslocabilidade Vertical das Vigas (0 = Indeslocáveis; 1 = Deslocáveis) 1 ! Pilar no Canto Superior Esquerdo [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) 1 ! Pilar no Canto Superior Direito [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) 0 ! Pilar no Canto Inferior Esquerdo [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) 1 ! Pilar no Canto Inferior Direito [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) 0 ! Condição de Apoio das Vigas nos Pilares [Vigas Deslocáveis] (1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) 1 ! Valor de 'Alpha' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos Viga (1 para Estádio I // 0.15 para Estádio II [item 14.6.6.2 da NBR 6118: 2014]) 0.15 ! Valor de 'Beta' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos Viga (0 = 1/3; 1 = Calcular segundo a fórmula de Gere e Weaver [1980]) 0 ! Eixo Z Considerado às Vigas (0 = CG Viga; 1 = CG Laje - Compensação Mediante Teorema de Steiner) 0 ! Vão Efetivo da Laje (0 = Distância entre os Eixos das Vigas; 1 = Conforme item 14.7.2.2 da NBR 6118: 2014) 1 ! Comprimento da Laje ao Longo de X (m) 1.60 ! Comprimento da Laje ao Longo de Z (m) 4.00 ! Espessura da Laje (cm) 10 ! Módulo de Elasticidade Longitudinal (kPa) 30E6 ! Módulo de Elasticidade Transversal (kPa) 12E6

81

! Valor de 'Alpha' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos de Placa (Recomenda-se 2) 2 ! Carga Distribuida na Laje Decorrente de Ações Permanentes (kN/m²) 1 ! Carga Distribuida na Laje Decorrente da Sobrecarga de Utilização (kN/m²) 2 ! Peso Próprio do Concreto Armado (Recomenda-se 25 kN/m³) 25 ! Carga Distribuida no Bordo Superior (kN/m) 0.5 ! Carga Distribuida no Bordo Inferior (kN/m) 0.5 ! Carga Distribuida no Bordo Esquerdo (kN/m) 7.9 ! Carga Distribuida no Bordo Direito (kN/m) 2.5

! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Superior (kNm/m) 0 ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Inferior (kNm/m) 0 ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Esquerdo (kNm/m) 11.714 ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Direito (kNm/m) 0 ! Coef. de Majoração das Ações Permanentes 1 ! Coef. de Majoração das Ações Variáveis 1

Observações:

- Os bordos/vigas associados à laje são, genericamente, denominados

“superior”, “inferior”, “esquerdo” e “direito”, de modo que tal nomenclatura é referente

à visualização da laje em planta. No exemplo supracitado, o bordo superior está

associado à V1, o bordo inferior à V2, esquerdo à V3 e direito à borda livre.

- No caso de bordas livres, ainda é necessário inserir a largura desejada ao

bordo em questão, a qual pode ser, por recomendação, igual à largura das faixas de

laje (comprimento da laje dividido pelo número de faixas) ou inferior as mesmas;

82

- O momento uniformemente distribuído no bordo esquerdo (referente à V3) foi

definido pela análise aproximada de uma viga engastada.

2º Passo: Execução do Programa

Conforme mencionado anteriormente, há três arquivos no interior da pasta

principal “Analogia de Grelhas”. Inicialmente é necessário clicar com o botão direito

sobre o arquivo “Analogia de Grelhas” tipo Microsoft Visual Studio Solution e executá-

lo com o software Microsoft Visual Studio 2010.

Feito isto, abrir a pasta de arquivos “Analogia de Grelhas” (um dos três arquivos

mencionados, não a pasta principal) e identificar o arquivo “Analogia de Grelhas” tipo

Fortran Source. Clicar neste arquivo com o botão direito e executá-lo novamente com

o Microsoft Visual Studio 2010.

83

Com o programa aberto, conferir os dados do arquivo 01.Dados_Entrada para

verificar a coerência dos dados informados. Selecionar o Programa Analogia de

Grelhas e conferir se, no local indicado abaixo, está selecionada a opção “release”.

Caso contrário, certificar-se de que está é a opção escolhida.

Compilar o programa clicando sobre o ícone indicado abaixo ou com a tecla

(F5) e aguardar o término do processamento. Tal etapa demora cerca de 5 segundos.

84

Após a compilação, todos os 11 arquivos textos de saída de dados estarão

disponíveis para visualização.

85

ANEXO 1 – Tabelas de Bares Adaptadas por Pinheiro (1994)

universidade federal de santa maria centro de …coral.ufsm.br/engcivil/images/pdf/2_2017/tcc_lucas...

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