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UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS

Currículo de Matemática da Cidade de São Paulo: uma

análise do Eixo Álgebra para o Ensino Fundamental

Tiago Cardoso Silveira

Orientador: Prof. Dr. Wagner Barbosa de Lima Palanch

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-graduação Stricto Sensu em Ensino

de Ciências da Universidade Cruzeiro do

Sul como parte dos requisitos para a

obtenção de título de Mestre em Ensino de

Ciências.

SÃO PAULO

2019

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA

BIBLIOTECA CENTRAL DA


S591c

Silveira, Tiago Cardoso.

Currículo de matemática da cidade de São Paulo: uma análise do eixo algebra para o ensino fundamental. / Tiago Cardoso Silveira. -- São Paulo, 2019.

112 p. : il.

Orientador: Prof. Dr. Wagner Barbosa de Lima Palanch.

Dissertação (Mestrado) – Ensino de ciências, Universidade Cruzeiro do Sul.

1. Currículo. 2. Álgebra. 3. Pensamento Algébrico. I. Palanch, Wagner Barbosa de Lima. II. Universidade Cruzeiro do Sul. Mestrado em ensino de ciências. III. Título.

CDU: 51(07)


PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

Currículo de Matemática da Cidade de São Paulo: uma

análise do Eixo Álgebra para o Ensino Fundamental

Tiago Cardoso Silveira

BANCA EXAMINADORA:

Prof. Dr. Wagner Barbosa de Lima Palanch

Universidade Cruzeiro do Sul

Presidente

Prof.ª Dra. Edda Curi

Universidade Cruzeiro do Sul

Titular Interno

Prof. Dr. Humberto Luís de Jesus

Secretaria Municipal de Educação de São Paulo

Titular Externo

À Coordenação de Aperfeiçoamento de

Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela

bolsa de estudos que permitiu o

desenvolvimento desta pesquisa.

AGRADECIMENTOS

Antes de agradecer a qualquer pessoa, sempre serei grato a Deus por todas

as conquistas que vieram e pelas que ainda hão de vir. Ao Deus que acredito, àquele

que sempre guiou meus passos, que me ampara nos momentos difíceis e me dá

sabedoria nos vários períodos de alegria, todo meu amor e gratidão.

Muitas são as pessoas a quem tenho que agradecer. Primeiramente,

expresso minha gratidão a meus pais, que sempre me conduziram a caminho do

estudo e do trabalho, que me ensinaram a melhor forma de seguir meus projetos com

dignidade, que, mesmo em sua vida simples como pessoas do campo, permitiram que

eu sonhasse, e, independentemente de demonstrarem, em seu olhar, preocupação

com minhas ambições, temendo uma decepção, e tristezas por todos os anos que

estive distante, quando me mudei para buscar novos projetos, apoiaram-me. Aos

meus amados pais, Arlindo e Marilene, todo meu amor e respeito e a certeza de que

sempre voltarei.

Sou muito grato também a meus irmãos, Júnior, Armando e Diego, fonte de

grande inspiração. Por todos os nossos anos de convivência e união, dedico a vocês

todas as minhas vitórias.

Durante toda minha vida profissional, contei com pessoas incríveis, seria

injusto se, por algum ato falho me esquecesse de citar alguém. Por isso, agradeço,

neste trabalho, a todos os meus maiores incentivadores, às pessoas com as quais

trabalhei nas escolas em Ibiassucê, Caetité, Guanambi, São Paulo e Santo André.

Enquanto estive na SME/Ibiassucê, diversos amigos me guiaram com sua

generosidade para que hoje eu estivesse escrevendo estas linhas de minha

dissertação. Membros da SME (2013‒2016), sou grato eternamente por tudo que

aprendi com vocês.

Após chegar a São Paulo, outro ciclo se iniciou em minha vida, quantas

mudanças tive que suportar. Graças a meus familiares que moram nesta cidade foi

possível resistir aos dias mais difíceis. A meus tios, primos, amigos e a minha

madrinha, meu eterno obrigado.

Dentro da UNICSUL, não posso deixar de citar os amigos que conheci, nossos

deliciosos papos em tantos almoços entre nossas aulas, amigos generosos, que me

ajudaram na adaptação em um novo universo, em especial, Alexandre Padilla, Manoel

Messias Araújo e Bianca Freire dos Santos.

Agradeço aos professores do Programa de Pós Graduação em Ensino de

Ciências e Ensino de Ciências e Matemática, que me receberam com tanto carinho,

em especial à Prof.a Dra. Célia Carolino Pires (in memoriam) e ao Prof. Dr. Elenilton

Godoy, que, por um período, foram meus orientadores, e à Suzete Borelli, que me

acolheu desde a primeira reunião do grupo de pesquisa e me proporcionou

oportunidades desde que aqui cheguei.

Minha gratidão pelos professores que aceitaram compor a banca: a Dra. Edda

Curi e ao professor Dr. Humberto Luís de Jesus, obrigado pelas orientações.

Sou grato aos colegas da Escola Interação e da Associação Parceiros da

Educação, a vocês, todo meu carinho e respeito. Tenho aprendido muito com o

convívio nessas instituições.

Expresso, ademais, minha gratidão a meu orientador, o Prof. Dr. Wagner

Palanch, que tem me conduzido de uma forma ímpar neste período. Poder aprender

com você tem sido uma conquista diária. Obrigado por sua generosidade, professor!

Encerro este texto rogando a Deus para que cuide de cada um com um

carinho especial. Em minhas orações diárias, nunca me esquecerei de agradecer pela

oportunidade de tê-los em minha vida. Deus os abençoe eternamente.

SILVEIRA, T.C. CURRÍCULO DE MATEMÁTICA DA CIDADE DE SÃO PAULO: UMA ANÁLISE DO

EIXO ÁLGEBRA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL. 2019. 112 f. Dissertação (Mestrado em

Ensino de Ciências) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2019.

RESUMO

Este trabalho, buscou analisar o eixo Álgebra prescrito no currículo da cidade de São

Paulo para o Ensino Fundamental, com o objetivo de verificar de que forma é feita

essa prescrição e analisar os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento para

averiguar se eles contribuem para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Para

subsidiar as ideias deste estudo sobre currículo, utilizamos, principalmente, os

trabalhos de Sacristán (2000) e Pacheco (2005), a fim de apresentar o currículo

prescrito. Outras pesquisas, como as de Blanton e Kaput (2005), Lins e Gimenez

(2005), Pontes (2006), Canavarro (2007), Ponte, Branco e Matos (2009) e Kieran

(1992, 2004, 2011), também fundamentam esta dissertação. Esta investigação

assume como metodologia a análise documental, com uma abordagem de estudo

qualitativo, olhando para o Currículo da Cidade (SÃO PAULO, 2017) como o objeto.

Como este trabalho propõe uma análise do eixo Álgebra, foi feito um recorte do

referido documento, de modo que são estudados os objetos de conhecimento e

objetivos de aprendizagem e desenvolvimento. Estes últimos são analisados à luz das

pesquisas de Blanton e Kaput (2005), que delimitam três categorias que permitem

olhar, de forma específica, para o desenvolvimento do pensamento algébrico: a

Aritmética generalizada, o pensamento funcional e a modelação. Foram analisados

36 objetivos prescritos no currículo da cidade de São Paulo para o eixo Álgebra, além

dos 21 objetivos de aprendizagem e desenvolvimento presentes nos eixos

articuladores. Como resultado da análise, percebe-se que os objetivos prescritos para

a Álgebra se apresentam de acordo com as pesquisas sobre o ensino da Álgebra no

Ensino Fundamental, possibilitando a utilização de padrões e generalizações em

diferentes contextos matemáticos e a construção e o desenvolvimento do pensamento

algébrico.

Palavras-Chave: Currículo. Ensino Fundamental. Álgebra. Pensamento Algébrico.

SILVEIRA, T.C. CURRÍCULO DE MATEMÁTICA DA CIDADE DE SÃO PAULO: UMA ANÁLISE

SOBRE O ENSINO DA ÁLGEBRA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL. 2019. 112 fls. Dissertação

(Mestrado em Ensino de Ciências) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2019.

ABSTRACT

This work aims to analyze the Algebra axis prescribed in the curriculum of the city of

São Paulo for High School, in order to verify how this prescription is made and to

analyze the learning and development objectives to determine if they contribute to the

development of algebraic thinking. Supporting the ideas of this curriculum study,

namely, the work of Sacristán (2000) and Pacheco (2005) is used, in order to present

the prescribed curriculum. Other researches, such as those of Blanton and Kaput

(2005), Lins and Gimenez (2005), Pontes (2006), Canavarro (2007), Ponte, Branco

and Matos (2009) and Kieran (1992, 2004, 2011) about this dissertation. This research

applies as methodology the documentary analysis, with a qualitative study approach,

looking at the City Curriculum (SÃO PAULO, 2017) as the object. As this paper

proposes an analysis of the Algebra axis, a cut has been made of this document, so

that objects of knowledge and learning and development objectives are studied. The

latter are analyzed in the light of Blanton and Kaput (2005) research, which delimits

three categories that allow us to look specifically at the development of algebraic

thinking: generalized arithmetic, functional thinking and modeling. Thirty-six goals

prescribed in the curriculum of the city of São Paulo for the Algebra axis are analyzed,

as well as the 21 learning and development objectives present in the articulating axes.

As a result of the analysis, it is perceived that the objectives prescribed for Algebra are

presented according to the research on the teaching of Algebra in High School, making

possible the use of patterns and generalizations in different mathematical contexts and

the construction and development of algebraic thinking.

Keywords: Curriculum. High School. Algebra. Algebraic Thinking.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – A OBJETIVAÇÃO DO CURRÍCULO NO PROCESSO DE SEU DESENVOLVIMENTO. ... 27

FIGURA 2 ‒ MATRIZ DOS SABERES. .............................................................................. 33

FIGURA 3 ‒ OS 5 P’S. .................................................................................................. 34

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 - DESCRIÇÃO DOS NÍVEIS DO SIGNIFICADO DE CURRÍCULO. 28

QUADRO 2 - OBJETOS DE CONHECIMENTO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E

DESENVOLVIMENTO POR ANO DE ESCOLARIDADE NO CICLO DE ALFABETIZAÇÃO PARA O

EIXO ÁLGEBRA. 42

QUADRO 3 – OBJETOS DE CONHECIMENTO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E

DESENVOLVIMENTO POR ANO DE ESCOLARIDADE NO CICLO INTERDISCIPLINAR PARA O EIXO

ÁLGEBRA. 44


DESENVOLVIMENTO POR ANO DE ESCOLARIDADE NO CICLO AUTORAL PARA O EIXO

ÁLGEBRA. 45


DESENVOLVIMENTO POR ANO DE ESCOLARIDADE PRESCRITO NOS EIXOS ARTICULADORES 49



QUADRO 7– OBJETOS DE CONHECIMENTO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E


QUADRO 8 - RELAÇÃO TEMPO X DISTÂNCIA 63

QUADRO 9 - VERTENTES FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO ALGÉBRICO. 67

QUADRO 10 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO 71

QUADRO 11 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 74






QUADRO 17– OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 93





LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AC Aula Complementar

BNCC Base Nacional Comum Curricular

CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

CEI Centro Educacional de Ibiassucê

CETEP Centro Territorial de Educação Profissional

CMLEM Colégio Modelo Luís Eduardo Magalhães

DCN Diretrizes Curriculares Nacionais

Dr. Doutor

Dra. Doutora

EUA Estados Unidos da América

EMEF Escola Municipal de Ensino Fundamental

EMEFM Escola Municipal de Ensino Fundamental e Médio

F. Folhas

LDB Leis de Diretrizes e Bases da Educação

NCTM Conselho Nacional de Professores de Matemática

PBA Programa Brasil Alfabetizado

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PNAIC Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa

PNE Plano Nacional de Educação

Prof. Professor

Prof.a Professora

PROGESTÃO Programa de Capacitação a Distância para Gestores Escolares

SMECE Secretaria Municipal de Educação, Cultura e Esportes

SP São Paulo

UNEB Universidade do Estado da Bahia

UNICSUL Universidade Cruzeiro do Sul

SUMÁRIO

1 APRESENTAÇÃO DA PESQUISA ........................................................................ 14

1.1 TRAJETÓRIA PROFISSIONAL E MOTIVAÇÃO PARA A PESQUISA ................................. 14

1.2 JUSTIFICATIVA, QUESTÃO E OBJETIVOS DA PESQUISA ............................................. 20

1.3 METODOLOGIA .................................................................................................. 21

1.4 ORGANIZAÇÃO DA PESQUISA ............................................................................... 23

2 CURRÍCULO .......................................................................................................... 25

2.1 NOSSO ENTENDIMENTO DE CURRÍCULO ................................................................ 25

2.2 O CURRÍCULO PRESCRITO .................................................................................. 30

3 O CURRÍCULO DA CIDADE DE SÃO PAULO ..................................................... 32

3.1 CONTEXTUALIZAÇÃO .......................................................................................... 32

3.2 CONCEPÇÕES PRESENTES NO CURRÍCULO DA CIDADE .......................................... 35

3.2.1 O currículo em espiral na perspectiva de Bruner ................................... 36

3.2.2 A organização em rede segundo Pires .................................................. 37

3.3 CICLOS DE APRENDIZAGEM .................................................................................. 38

3.4 ÁLGEBRA NO CURRÍCULO DO ENSINO FUNDAMENTAL DA CIDADE DE SÃO PAULO ...... 41

4 OS ESTUDOS SOBRE O ENSINO DA ÁLGEBRA NO ENSINO

FUNDAMENTAL ....................................................................................................... 55

4.1 PROCESSOS DO PENSAMENTO ALGÉBRICO .......................................................... 56

4.2 O PENSAMENTO ALGÉBRICO NA PERSPECTIVA DE BLANTON E KAPUT ..................... 57

4.2.1 Aritmética generalizada ou pensamento quantitativo ............................ 59

4.2.2 Pensamento funcional ......................................................................... 61

4.2.3 Modelação ........................................................................................... 64

4.3 OUTRAS IDEIAS SOBRE O ENSINO DA ÁLGEBRA .................................................... 65

5 ANÁLISE DO EIXO ÁLGEBRA NO CURRÍCULO DA CIDADE DE SÃO

PAULO ...................................................................................................................... 70

5.1 ARITMÉTICA GENERALIZADA ................................................................................. 71

5.2 PENSAMENTO FUNCIONAL ................................................................................... 82

5.3 MODELAÇÃO ...................................................................................................... 90

5.4 EIXOS ARTICULADORES ...................................................................................... 99

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 106

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 110

14

1 APRESENTAÇÃO DA PESQUISA

Neste capítulo, apresento minha trajetória. Além disso, nele, procuro definir a

estrutura desta dissertação, expondo a problematização, os objetivos de pesquisa e a

metodologia utilizada no desenvolvimento da investigação.

1.1 Trajetória profissional e motivação para a pesquisa

Ao iniciar este trabalho, acredito ser pertinente escrever sobre os caminhos que

passei até chegar aqui. Dessa forma, apresento um pouco das lutas e das conquistas

vivenciadas até o momento enquanto professor de Matemática, educador, orientador

e gestor.

Em 2007, iniciei meu curso de graduação em Licenciatura em Matemática na

Universidade do Estado da Bahia (UNEB), no Campus VI, localizado na cidade de

Caetité. Sempre foi meu desejo me tornar professor de Matemática, e ali estava dando

os primeiros passos para a realização desse sonho.

Em 2006 e 2007, tive a oportunidade de trabalhar, em pequenas substituições,

com o 5º ano do Ensino Fundamental. Em 2008, fui convidado por um antigo

professor, naquele momento gestor escolar, para lecionar Matemática para turmas do

7º ano do Ensino Fundamental II, no Centro Educacional de Ibiassucê (CEI), escola

onde estudei. Foi um ano de muitos desafios e aprendizados, estava pela primeira vez

em sala de aula com turmas dessa disciplina. Entre meus antigos professores, e agora

colegas, fui aprendendo o quão era desafiador e prazeroso trabalhar com crianças e

jovens da cidade onde nasci, muitas vezes, filhos de amigos e familiares.

Ainda nesse ano, trabalhei como coordenador-alfabetizador do Programa Brasil

Alfabetizado (PBA), no qual tive maior contato com alfabetizadores do programa.

Entre formações e visitas às escolas da sede e da zona rural, fui percebendo que

estava na profissão certa, pois me realizava com meu trabalho. Mesmo ainda tão

jovem, percebia que desenvolvia um trabalho muito importante para a cidade onde

nasci e para minha trajetória profissional.

15

Em 2009, a convite de um professor da UNEB que atuava como vice-diretor no

colégio, comecei a trabalhar no Colégio Modelo Luiz Eduardo Magalhães (CMLEM)

na cidade de Guanambi, dessa vez, com alunos do Ensino Médio, lecionava

Matemática e Física. Nessa instituição, tive a certeza de que estava no curso certo,

mesmo com tantos desafios e discursos desanimadores dos colegas de profissão, fui

me realizando dia a dia com o trabalho com adolescentes que até hoje tenho como

amigos.

Concomitante a meu trabalho no CMLEM, fazia pequenas substituições em

duas instituições na cidade onde morava e estudava, Caetité, em uma instituição

privada e no Colégio Modelo dessa cidade, além de trabalhar com monitoria de ensino

nas disciplinas de Cálculo Diferencial, Matemática e Geometria Analítica em duas

tardes na universidade. Todas essas experiências foram me formando enquanto

profissional e se juntavam a minha enorme felicidade em estar aprendendo

diariamente um pouco mais sobre a Matemática.

Em 2011, concluí minha graduação. Com isso, encerrei meu trabalho de

monitoria de ensino. Em 2012, também me transferi para o antigo CMLEM da cidade

de Caetité, que, naquele momento, chamava-se Centro Territorial de Educação

Profissional do Sertão Produtivo (CETEP). Continuava lecionando Matemática e

Física, mas agora para turmas do Médio-Técnico dos cursos de Enfermagem,

Agroecologia e Mineração.

Trabalhar com jovens e jovens adultos foi uma experiência grandiosa em minha

carreira, pois, em meio aos diversos conteúdos trabalhados, inúmeras conversas

surgiam a respeito da formação profissional e social de cada aluno. Nasciam em mim

as primeiras inquietações sobre a forma como a Matemática era pensada pelos

professores e sobre os responsáveis pelas decisões que definiriam o percurso dessa

ciência tão importante na formação social e científica da humanidade.

Paralelamente a isso, comecei a ministrar aulas de Matemática em dois

cursinhos pré-vestibulares: um nessa mesma cidade (Caetité) e outro em minha

cidade natal que distavam 36 km. Foram anos enriquecedores, trabalhando com

futuros profissionais, alunos com uma vontade enorme de conseguir uma vaga nas

16

universidades e seguir o projeto de se formar, passo tão importante e, muitas vezes,

difícil para a realidade daquelas pequenas cidades baianas.

No ano de 2013, fui convidado pelo prefeito de Ibiassucê a retornar para minha

cidade natal e lecionar Matemática para as turmas do Ensino Fundamental do CEI.

Iniciei um trabalho como professor de Matemática e Tecnologia no turno matutino e

assumi a vice direção no vespertino. Outra vez me senti incitado a mudar: voltaria a

morar em Ibiassucê e trabalharia na gestão escolar, cargo que não havia exercido e

demandava de mim enorme dedicação.

Minha função de vice-diretor era em um anexo do colégio, localizado na

comunidade de Santo Antônio, distante 12 km da sede do município. A gestora fazia

visitas esporádicas, normalmente a cada quinzena, a essa unidade. Logo, no convívio

diário com alunos, pais, funcionários e professores, eu exercia a função de diretor,

com todas as suas demandas e responsabilidades.

Como sempre, os desafios foram enormes; e ali comecei a pensar na

possibilidade de continuar meus estudos para que pudesse contribuir ainda mais com

meu trabalho. Iniciei, então, um curso de pós-graduação em Metodologia do Ensino

de Matemática e Física, em nível de especialização. Nesse momento, já estava

participando do Programa de Capacitação para Gestores Escolares (PROGESTÃO),

que se fazia necessário, visto que o contato com os demais gestores escolares iria

me fazer desenvolver um conhecimento para poder exercer minhas funções de vice-

diretor. Em 2016, concluí o PROGESTÃO, com a certificação de especialização em

Gestão Educacional.

Quando já estava realizado com meu trabalho na sala de aula e na vice direção

do CEI, outra vez minha vida profissional recebeu uma provocação: fui convidado a

assumir a Secretaria Municipal de Educação, Cultura e Esportes (SMECE) em 2015.

Por vários dias, pensei em não aceitar, mas depois vi que seria a maior oportunidade

ofertada a mim naquela pequena cidade do sudoeste baiano. Depois de alguns dias

de negociação, apresentei-me ao prefeito para assumir esse cargo, que foi muito

importante em minha vida profissional.

Na SMECE, tive a oportunidade de conviver com profissionais incríveis, em

especial com os professores Jésus Mário, Rone Dias e Elizângela Brito e com a

17

coordenadora Maria Isabel Andrade, entre tantas outras pessoas que agregaram

muito em minha carreira. Durante aquele período participei diretamente da rotina

administrativa e pedagógica da Secretaria, convivendo com professores, gestores,

pais, alunos e demais funcionários, participando de conselhos, reuniões, fóruns e

capacitação dos diferentes níveis de ensino. A SMECE é a responsável por todas as

atividades educacionais do município: Educação Infantil, Ensino Fundamental,

Educação de Jovens e Adultos, Educação Especial e Educação Quilombola. É

responsável por um total de 11 escolas.

A rotina da Secretaria de Educação fez nascer em mim a preocupação com os

documentos usados pelas escolas, pelos professores. Quais documentos oficiais nos

orientavam para o exercício de nossa profissão? Em que momento e em que contexto

eles foram produzidos? Será que eles representavam aquele público? Diante de

tantas inquietações, resolvi me distanciar para tentar viver outra realidade e, dessa

forma, aprender um pouco mais e, quem sabe, retornar a meu município para

colaborar com o desenvolvimento da educação dessa pequena cidade.

A partir dessas perguntas, decidi buscar por programas de mestrado com linhas

de pesquisa que pudessem me ajudar a desenvolver um pouco mais minhas ideias.

Encontrei na Universidade Cruzeiro do Sul a área de concentração que desenvolvia

projetos com currículos e formação de professores, que, naquele momento, parecia

proporcionar as respostas ou os novos caminhos a serem trilhados.

Escolhi estudar na cidade de São Paulo. Estudar em outro estado, pertencente

a uma região tão diferente culturalmente da minha, poderia me prover frutos ainda

impensáveis. A cidade de São Paulo sempre foi o local onde os nordestinos buscaram

melhores condições de vida. Para minha família, não foi diferente, aqui tenho

familiares que muito me apoiaram nestes meses de estudo.

Com a aprovação no processo seletivo, vieram todas as mudanças que o curso

me exigiu. Teria que mudar de cidade e estado, abandonar meu emprego etc. Em

fevereiro de 2017, iniciei as aulas do programa, muito entusiasmado com o que viria.

Foram momentos enriquecedores. Tive conversas com grandes profissionais que eu

já admirava e com outros tantos que tive o prazer de conhecer, as quais, sem dúvidas,

colaboraram para que eu pudesse, enfim, seguir um projeto de pesquisa que reunisse

18

minhas inquietações, amparadas por trabalhos já publicados. Com isso, minha

pesquisa poderia se desenvolver.

Ao iniciar os estudos no Mestrado, estava sempre caminhando para as

conversas acerca do currículo. Já instalado em uma nova cidade, comecei a me

interessar pelas mudanças ocorridas recentemente na rede municipal de ensino da

cidade de São Paulo, principalmente em relação ao eixo Álgebra, que passou a ser

prescrito para todo o Ensino Fundamental.

Como professor dos anos finais do Ensino Fundamental e do Médio, a maneira

como a Álgebra vem sendo ensinada sempre me chamou atenção dentro da sala de

aula, principalmente nas formações que tínhamos com os articuladores1 de área, nas

quais trocávamos nossas experiências de sala de aula. Trabalhar com a Álgebra é

sempre um momento delicado, pois, segundo Kieran (1992), existem três potenciais

contribuintes para as dificuldades que os alunos têm quando estudam essa matéria:

a aprendizagem, o ensino e o conteúdo.

Muitas vezes, a Álgebra é vista como algo “sem significado” pelos alunos.

Talvez isso se deva aos professores ensinarem a Álgebra que está nos livros

didáticos, o que, segundo Kieran (1992), leva-nos a pensar que a dificuldade em

Álgebra pode ser atribuída à forma como ela é disposta na maioria dos materiais

curriculares. Para House (1995), a Álgebra vem sendo discutida há muito tempo;

porém, o que de fato acontecia era um rearranjo dos conteúdos.

Pensando em todas essas leituras e nas discussões que tivemos na disciplina

Tópicos em Álgebra e Geometria, do Programa de Pós Graduação da Universidade

Cruzeiro do Sul, e nas mudanças que ocorriam no Brasil, com as discussões sobre a

Base Nacional Comum Curricular, e no mundo em relação ao ensino da Álgebra,

resolvi me aprofundar ainda mais nessa temática. Buscava respostas, enquanto

professor, para essas transformações da organização curricular desencadeada pela

BNCC, procurava entender como esse novo eixo foi prescrito e quais alterações ele

produziria para a Educação Matemática.

1 Articuladores de área são professores especialistas que trabalham com a formação continuada no

município de Ibiassucê. Os encontros são semanais e são chamados de AC (Aulas Complementares).

19

Enquanto professor, sinto-me desafiado a todo instante pela forma como

fazemos a Matemática em sala de aula. Quais os documentos que nos orientam, que

determinam o que será ensinado? Quais as orientações de como deve ser trabalhado

para atender às necessidades de alunos cada vez mais dinâmicos, mais conectados

em uma era totalmente digital? Intriga-me entender como a organização curricular se

faz nas escolas e como os docentes de Matemática estão se atualizando para atender

a tantas demandas que surgem a todo instante.

Durante anos lecionando, muitas perguntas se faziam presentes em minha

rotina profissional, uma delas era: de que forma os alunos poderiam desenvolver uma

visão mais crítica do pensamento matemático? A Álgebra vista como mecânica não

possibilita, muitas vezes, que os alunos formulem suas questões, suas próprias

perguntas, e busquem meios para resolvê-las. Tradicionalmente, a Matemática é

recheada de fórmulas, regras, sinais etc. É uma área que causa muito desconforto; e,

quando iniciamos o trabalho com a Álgebra, ela torna-se a vilã, pois introduzir letras

em cálculos matemáticos é, para muitos alunos, difícil de compreender. Buscando

respostas para tentar solucionar esse desconforto com o trabalho com a Álgebra,

encontramos possíveis soluções em Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), Lins e

Gimenez (2005), Canavarro (2007), Carraher e Schliemann (2015), Ponte, Branco e

Matos (2009), Kieran et al. (2016), Blanton e Kaput (2005), entre tantos outros

pesquisadores que discorrem sobre o trabalho com a Álgebra desde os primeiros anos

do Ensino Fundamental.

Assim, proponho, neste estudo, a introdução do ensino da Álgebra associado

ao desenvolvimento aritmético, buscando construir nos alunos o saber matemático a

partir de generalizações que compõem o pensamento algébrico. É importante

ressaltar que, para esses autores, o pensamento algébrico não significa apenas

utilizar letras em problemas matemáticos, mas elaborar conceitos que permitirão que

os alunos aprendam as relações algébricas e também as aritméticas. Esse pensar

matemático com foco em Álgebra é conhecido como pensamento algébrico. Falarei,

com mais detalhes, sobre ele nos próximos capítulos.

20

1.2 Justificativa, questão e objetivos da pesquisa

O ensino de Álgebra sempre esteve prescrito para ser iniciado no sexto ano do

Ensino Fundamental, etapa final desse ciclo educacional. Os alunos temem estudar a

Álgebra, por não entender o porquê de tantos números associados a letras que ora

tem um significado, ora outro (LINS; GIMENEZ, 2005). São tantas fórmulas, regras,

exercícios e mais exercícios a serem resolvidos até que os longos anos do

Fundamental se encerrem, e, com eles, vá-se a temida Álgebra.

Nesse mundo altamente digital em que vivemos, a Matemática desempenha

um importante papel no desenvolvimento científico e tecnológico. Porém, nós,

professores, percebemos em nossa prática de sala de aula que os alunos da

educação básica muitas vezes não compreendem a importância de aprender essa

ciência essencial na atualidade, talvez pela forma como ela ainda é trabalhada em

nosso sistema educacional e/ou por sua exígua relação (apresentada) com o cotidiano

dos alunos, não permitindo que estes a vejam como uma ciência tão importante para

o desenvolvimento tecnológico de uma nação.

No Brasil, essa discussão está cada vez mais presente nos encontros de

Educação Matemática, nas escolas e nas universidades. Com isso, inicia-se uma

mudança curricular por meio do qual passamos a ter a Álgebra já nos primeiros anos

do Ensino Fundamental, com a homologação da Base Nacional Comum Curricular

(BNCC).

A BNCC apresenta uma possível organização curricular a ser trabalhada

durante os nove anos do Ensino Fundamental (BRASIL, 2018). Busca desenvolver no

aluno muito mais que conhecimentos escolares, que são muito importantes sem

dúvida. Ela tem uma preocupação de fazer com que esse indivíduo se torne um ser

participativo em seu contexto social.

As atuais mudanças que ocorrem no Brasil com a BNCC e com o currículo da

cidade de São Paulo não só destacam a Álgebra, o trabalho com a Estatística e a

Probabilidade e com a Geometria também se apresenta como importante para o

ensino.

21

Optamos por analisar o Currículo da Cidade com um recorte para o eixo

Álgebra. Desse modo, poderemos verificar de que forma o currículo se apresenta e

constatar se, a partir desse documento, é possível trabalhar o desenvolvimento do

pensamento algébrico já nos primeiros anos de escolaridade.

A partir disso, elaboramos nossa questão de pesquisa: como a Álgebra é

apresentada no currículo da cidade de São Paulo? Para isso, procuramos investigar

se esse documento foi elaborado à luz de recentes pesquisas sobre o ensino da

Álgebra, em especial no Brasil e em países como Portugal, Espanha e EUA.

Trataremos também de como está estruturado o Currículo da Cidade.

O Currículo da Cidade tem uma organização curricular em forma de rede,

possibilitando que o aluno volte a qualquer conteúdo durante toda a vida escolar para

sanar dúvidas ou relembrar conceitos já trabalhados. Além disso, tem uma

estruturação em rede, os conteúdos estão organizados de forma não linear, abrindo

mão da ideia de pré-requisito, o que indica a necessidade de um maior diálogo com

outros eixos e o incentivo à interdisciplinaridade. Trataremos da ideia de organização

em rede com mais detalhes nos próximos capítulos.

Nessa perspectiva, nosso trabalho tem por objetivo identificar como a Álgebra

aparece no currículo do Ensino Fundamental da cidade de São Paulo (2017). Também

tenciona verificar como é recomendado o ensino de Álgebra no currículo do Ensino

Fundamental da cidade de São Paulo.

1.3 Metodologia

Faremos uma pesquisa qualitativa de análise documental. Acreditamos que

essa metodologia nos garante um estudo fidedigno do material analisado. Segundo

Creswell (2010), ela possibilita ao pesquisador fazer uma abordagem consistente para

verificar com precisão os resultados obtidos.

Para Gil (2008, p. 45), a pesquisa documental é, de fato, a análise “[...] de

materiais que não receberam ainda um tratamento analítico, ou que ainda podem ser

reelaborados de acordo com os objetos da pesquisa”. Cellard (2008) concorda com

as ideias de Gil (2008) e as completa dizendo que a análise documental é um método

22

que permite uma influência mínima do pesquisador, mesmo que este tenha se

envolvido com o documento pesquisado.

Já os autores Sá-Silva, Almeida e Guindani (2009, p. 14) afirmam que a

pesquisa documental “[...] propõe-se a produzir novos conhecimentos, criar novas

formas de compreender os fenômenos e dar a conhecer a forma como estes têm sido

desenvolvidos”. Severino (2016, p. 131), por sua vez, assinala que ela é uma fonte de

investigação no sentido amplo, pois os conteúdos dos textos “ainda não tiveram

nenhum tratamento analítico”. Com ela, temos, nesta dissertação, a possibilidade de

desenvolver um estudo a partir de informações com alto grau de confiabilidade,

analisando o Currículo da Cidade (SÃO PAULO, 2017).

Creswell (2010) descreve como é conduzida a pesquisa qualitativa com foco

na análise de documentos. O autor aponta que a análise documental “envolve

preparar os dados para a análise, conduzir diferentes análises, ir cada vez mais fundo

no processo de compreensão dos dados, [...] representar os dados e realizar uma

interpretação do significado mais amplo dos dados. ” (CRESWELL, 2010, p.216).

A análise dos dados numa pesquisa documental é um processo permanente,

envolve, dentro de uma abordagem qualitativa, uma reflexão contínua sobre os dados

pesquisados e demanda anotações durante todo o processo de leitura. Acontece

concomitantemente à produção das informações pesquisadas que se fazem

necessárias para a elaboração do texto científico.

Acreditamos na pesquisa qualitativa para a elaboração de nosso trabalho, pois,

assim como Ludke e André (1986), entendemos que o pesquisador é um importante

instrumento na coleta dos dados. Ele busca fontes confiáveis de pesquisa e faz uma

análise fidedigna do texto, uma vez que a interpretação dos dados é parte fundamental

da pesquisa qualitativa.

O pesquisador qualitativo busca diferentes vieses para observar seu trabalho,

uma vez que adota diferentes estratégias de investigação e busca uma visão ampla

do objeto pesquisado. A análise dos dados qualitativos é feita concomitantemente à

coleta dos dados, permitindo interpretações e produção de relatórios à medida que a

pesquisa se desenvolve.

23

Durante todo o processo, debruçamo-nos sobre o Currículo da Cidade de São

Paulo (2017) para analisar de que forma o documento sugere a introdução do eixo

Álgebra para o Ensino Fundamental. Analisamos cada objetivo de aprendizagem e

desenvolvimento prescrito para os três ciclos em que o Currículo da Cidade é dividido,

anotando criteriosamente cada nova informação que surgia.

Após a leitura do documento, passamos a buscar autores que pudessem

subsidiar nossa pesquisa. Logo após, iniciamos nossa análise documental, sempre

procurando verificar se o eixo Álgebra do Currículo da Cidade (SÃO PAULO, 2017)

vai ao encontro das pesquisas sobre o ensino da Álgebra e sobre o desenvolvimento

do pensamento algébrico.

Para fins de estudo, olharemos para o Currículo da Cidade de São Paulo (2017)

como principal fonte de pesquisa. Buscamos responder a nossas inquietações

enquanto pesquisadores no que tange ao ensino da Álgebra no Ensino Fundamental,

à luz de pesquisas sobre o tema.

1.4 Organização da pesquisa

Além deste capítulo que apresenta o trabalho, nossa dissertação terá outros

quatro. Descrevemo-lo nas próximas linhas.

No Capítulo 2, traremos a ideia de currículo na concepção de alguns autores,

principalmente na de Sacristán (2000) e na de Pacheco (2005).

No Capítulo 3 discorreremos sobre o Currículo da Cidade e sobre sua

organização. Além disso, faremos um recorte dos objetos de conhecimento e dos

objetivos de aprendizagem do eixo Álgebra para o Ensino Fundamental de nove anos,

dividindo este em três ciclos, de acordo a proposta do documento: Ciclo de

Alfabetização, Ciclo Interdisciplinar e Ciclo Autoral.

No Capítulo 4, apresentaremos um pouco sobre o ensino da Álgebra, sobre o

modo como esse eixo era tradicionalmente prescrito para o sistema de educação

brasileiro. Abordaremos os trabalhos de alguns autores, principalmente o de Blanton

e Kaput (2005), que nos mostram categorias do pensamento algébrico.

24

No capítulo 5, optamos por analisar o eixo Álgebra. Para tanto, separamos os

objetos de conhecimentos e os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento em

cada ciclo. Assim, poderemos entender que cada etapa escolar tem suas

peculiaridades e deve ser olhada com bastante atenção. Com o suporte teórico de

Blanton e Kaput (2005), analisaremos o eixo Álgebra prescrito no Currículo da Cidade

de São Paulo (2017), fazendo um paralelo com a categorização do desenvolvimento

do pensamento algébrico desses autores. Veremos se as três categorias por eles

estabelecidas: a aritmética generalizada, o pensamento funcional e a modelação são

contempladas no documento.

Nas considerações finais, sistematizamos os resultados desta pesquisa e

sinalizamos algumas contribuições para o desenvolvimento do pensamento algébrico

e o ensino da Álgebra para o Ensino Fundamental.

25

2 CURRÍCULO

Iniciaremos este capítulo com uma abordagem sobre o conceito de currículo na

concepção de alguns autores, que fazem importantes contribuições para a teoria

curricular. Dentre eles: Gimeno Sacristán (2000) e José Augusto Pacheco (2005).

Estes autores nos ajudarão a entender como se dá o processo de organização

curricular.

2.1 Nosso entendimento de currículo

Para entendermos melhor como acontece o processo de organização

curricular, buscamos respostas em autores que desenvolvem trabalhos dentro desse

viés da educação.

De acordo com Sacristán, o currículo

é uma práxis antes que um objeto estático emanado de um modelo coerente de pensar a educação ou as aprendizagens necessárias das crianças e dos jovens, que tampouco se esgota na parte explícita do projeto de socialização cultural nas escolas. É uma prática, expressão da função socializadora e cultural que determinada instituição tem, que reagrupa em torno dela uma série de subsistemas ou práticas diversas, entre as quais se encontra a prática pedagógica desenvolvida em instituições escolares que comumente chamamos ensino (2000, p. 15-16).

Segundo o autor, o currículo não se limita apenas a um documento norteador

de conteúdos, mas como guia na rotina de cada instituição escolar, sendo o professor

um importante personagem no desenvolvimento da educação escolarizada. O

currículo prescrito guiará o caminho a seguir, porém, cada membro do processo de

ensino-aprendizagem fará com que cada momento seja único, pois estes modificam

o contexto da aula de forma particular com interferência na sua bagagem cultural,

social e política.

Pacheco reforça a concepção de Sacristán quando afirma que

na ideia de currículo como práxis mais se reforça a interdependência do processo de desenvolvimento do currículo, compreendido como uma problemática e visto como um percurso em que professores, alunos, pais e outros atores da comunidade educativa têm a liberdade para negociar e determinar os conteúdos curriculares já que as escolas estariam organizadas para a aprendizagem reflexiva. (PACHECO, 2005, p. 44)

26

O currículo proposto aos sistemas de ensino é um documento baseado em

concepções políticas, sociais e culturais, e determinado por um conjunto de valores

dominantes que regem os processos educativos. Não é apenas uma seleção de

conteúdos organizados. Segundo Pacheco (2005), além dessa organização dos

conteúdos, ele é responsável pela unificação de uma proposta a todos os alunos de

um programa de ensino que contém os objetivos a serem alcançados e as habilidades

que devem ser desenvolvidas, na busca de um projeto global de educação.

Ribeiro (1990, p. 6 apud PACHECO, 2005, p. 45) define o desenvolvimento

curricular “como um processo dinâmico e contínuo que engloba diferentes fases,

desde a justificação do currículo até à sua avaliação e passando, necessariamente,

pelos momentos de concepção-elaboração e implementação”. Após essa

implementação curricular na prática educativa, ou concomitante a ela, far-se-á a

devida avaliação dessa realização.

Canavarro e Ponte (2005) introduzem uma ideia que nos ajudam a

compreender o conceito de currículo e sua relação com o protagonismo do professor

na tomada de decisão, enquanto mediador, entre o conhecimento que está nos

documentos oficiais e os alunos. Acerca dessas ideias, eles comentam que

para compreender o currículo é preciso ter em conta os diversos sistemas que o configuram. Olhar apenas para uma vertente leva facilmente a conclusões erradas. Cada contexto e, talvez mais importante, cada grupo de atores, tem a sua versão do currículo. Por exemplo, olhar para o currículo na sua vertente teórica e prescritiva, emanada do contexto político-administrativo, deixa de fora a realidade da prática escolar, isto é, o que acontece efetivamente no terreno: o político pretende prescrever mudanças da prática, mas o professor é quem concretiza o currículo na sala de aula e, só por isso, já aí lhe imprime a sua interpretação. (CANAVARRO; PONTE, 2005, p. 4)

O currículo passa a ser modificado dentro de um sistema de ensino;

professores e alunos lhe dão, em seu contexto social e cultural, um sentido real,

concreto. A realidade de cada instituição, de cada professor e aluno, faz com que o

currículo funcione ou não, pois é necessário que exista uma interação entre os

protagonistas e os elementos pertencentes àquela circunstância.

Sacristán (2000, p.101) aponta que o “currículo pode ser visto como um objeto

que cria em torno de si campos de ação, nos quais múltiplos agentes e forças se

expressam em sua configuração, incidindo sobre aspectos distintos”. A construção

27

curricular se dá a partir de seis momentos, níveis ou fases no processo de

desenvolvimento.

Para que possamos compreender melhor o significado dessas fases do

desenvolvimento do currículo, apresentamos, na Figura 1, um modelo proposto pelo

autor. O pesquisador o constrói a partir da interseção das partes de um currículo em

um todo.

Figura 1 – A objetivação do currículo no processo de seu desenvolvimento.

Fonte: Sacristán (2000, p. 105).

A organização curricular sofre influência da sociedade e também a influencia

culturalmente. É importante, a partir dessa organização, perceber a possibilidade de

uma proposta que visa unificar o ensino para todos os alunos, respeitando suas

peculiaridades.

Para melhor elucidar as ideias apresentadas na Figura 2, denominada “A

objetivação do currículo no processo de seu desenvolvimento”, apresentaremos uma

descrição (Quadro 1) sobre os seis níveis propostos pelo autor. Ele divide essas fases

desde a prescrição do currículo até o momento em que, de fato, este acontece na sala

28

de aula, onde o professor tem o contato com o aluno, que é o sujeito para o qual o

currículo é pensado. Para Sacristán (2000), a organização curricular se divide nas

seguintes fases: o currículo prescrito, o currículo apresentado aos professores, o

currículo moldado pelos professores, o currículo em ação, o currículo realizado e o

currículo avaliado.

Quadro 1 - Descrição dos níveis do significado de currículo.

O currículo prescrito. Em todo sistema educativo, como consequência das relações

inexoráveis às quais está submetido, levando em conta sua ligação social, existe

algum tipo de prescrição ou orientação do que deve ser seu conteúdo,

principalmente em relação à sua escolaridade obrigatória. São aspectos que atuam

como referência na ordenação do sistema curricular, servem de ponto de partida

para elaboração de materiais, controle de sistema, etc.

O currículo apresentado aos professores. Existe uma série de meios, elaborados

por diferentes instâncias, que costumam traduzir para os professores o significado

e os conteúdos do currículo prescrito, realizando uma interpretação deste. As

prescrições costumam ser muito genéricas e, nessa mesma medida, não são

suficientes para orientar a atividade educativa nas aulas. O próprio nível de

formação do professor e as condições de seu trabalho tornam muito difícil a tarefa

de configurar a prática a partir do currículo prescrito. O papel mais decisivo neste

sentido é desempenhado, por exemplo, pelos livros-texto.

O currículo moldado pelos professores. O professor é um agente ativo muito

decisivo na concretização dos conteúdos e significados dos currículos, moldando a

partir de sua cultura profissional qualquer proposta que lhe é feita, seja através da

prescrição administrativa, seja do currículo elaborados pelos materiais, guias, livros-

texto, etc. independentemente do papel que consideramos que ele há de ter nesse

processo de planejar a prática, de fato é um “tradutor”, que intervém na configuração

dos significados das propostas curriculares. O plano que os professores fazem do

ensino, ou o que entendemos por programação, é um momento de especial

significado nessa tradução. Os professores podem atuar em nível individual ou

29

como grupo que organiza conjuntamente o ensino. A organização social do trabalho

docente terá consequências importantes para a prática.

O currículo em ação. É na prática real, guiada pelos esquemas teóricos e práticos

do professor, que se caracteriza nas tarefas acadêmicas, as quais como elementos

básicos, sustentam o que é a ação pedagógica, que podemos notar no significado

real do que são as propostas curriculares. O ensino interativo é o que filtra a

obtenção de determinados resultados, a partir de qualquer proposta curricular. É o

elemento do qual o currículo se transforma em um método ou no qual, desde outra

perspectiva, se denomina introdução. A análise desta fase é a que dá o sentido real

à qualidade do ensino, acima de declarações, propósitos, dotação de meios, etc. A

prática ultrapassa os propósitos do currículo, devido ao complexo tráfico de

influências, às interações, etc., que se produzem na mesma.

O currículo realizado. Como consequência da prática se produzem efeitos

complexos dos mais diversos tipos: cognitivo, afetivo, social, moral, etc. São efeitos

aos quais, algumas vezes, se presta atenção porque são considerados

“rendimentos” valiosos e proeminentes do sistema ou dos métodos pedagógicos.

Mas, a seu lado, se dão muitos outros efeitos que, por falta de sensibilidade para

com os mesmos, e por dificuldade de apreciá-los (pois muitos deles, além de

complexos e indefinidos, são efeitos a médio e longo prazo), ficarão como efeitos

ocultos do ensino. As consequências do currículo se refletem em aprendizagens

dos alunos, mas também afetam os professores, na forma de socialização

profissional, e inclusive se projetam no ambiente social, familiar, etc.

O currículo avaliado. Enquanto mantenha uma constância em ressaltar

determinados componentes sobre outros, acaba impondo critérios para o ensino do

professor e para a aprendizagem dos alunos. Através do currículo avaliado se

reforça um significado definido na prática do que é realmente. As aprendizagens

escolares adquirem, para o aluno, desde os primeiros momentos de sua

escolaridade, a peculiaridade de serem atividades e resultados valorizados. O

controle do saber é inerente à função social estratificadora da educação e acaba

por configurar toda uma mentalidade que se projeta, inclusive, nos níveis de

30

escolaridade obrigatória e em práticas educativas que não têm uma função seletiva

nem hierarquizadora.

Fonte: Sacristán (2000, p. 104-106).

A partir da descrição de cada fase do significado do currículo segundo

Sacristán (2000), é possível perceber que cada nível permite desenvolver atuações

que, com a prática, inter-relacionam-se desde o documento prescrito até o currículo

avaliado. Nesse contexto, precisamos levar em conta o protagonismo do professor

como principal elo de ligação entre o currículo prescrito e o aluno.

2.2 O currículo prescrito

Em uma sociedade tão diversificada, encontrar um currículo que atenda a todos

é uma tarefa difícil, mas de grande importância para que haja uma unificação na

proposta de educação nacional.

O currículo prescrito para o sistema educativo e para os professores, mais evidente no ensino obrigatório, é a sua própria definição, de seus conteúdos e demais orientações relativas aos códigos que organizam, que obedecem às determinações que procedem do fato de ser um objeto regulado por instâncias políticas e administrativas. (SACRISTÁN, 2000, p 109)

Para Sacristán (2000, p. 109), “ordenar a distribuição do conhecimento através

do sistema educativo é um modo não só de influir na cultura, mas também em toda a

ordenação social e econômica de um país”. Porém, sabemos que vivemos em um

país de grandes dimensões territoriais. Por consequência, há uma diversidade cultural

que dificulta um documento comum, fazendo com que esse currículo tenha,

obrigatoriamente, uma preocupação com todas as fases da vida escolar do aluno para

que todos possam ter, ao longo de sua vida acadêmica, oportunidades iguais para

seu desenvolvimento social, cultural e profissional.

O currículo prescrito tem a função de nortear os professores nos

desenvolvimentos dos conteúdos a serem trabalhados, de forma organizada e lógica.

Assim, é possibilitado aos alunos um avanço na construção de suas habilidades em

cada fase de sua vida escolar.

Os professores utilizam do currículo prescrito para se organizar em sua rotina

e também para avaliar o desempenho e, por consequência, o avanço ou não dos

31

alunos. É importante salientar que, com as mudanças ocorridas no currículo da

educação básica, faz-se necessário que esse instrumento enfatize a necessidade de

capacitação constante dos professores.

O aperfeiçoamento da própria técnica pedagógica para elaborar os currículos argumenta que um currículo, como plano tangível expressado documentalmente, não deve limitar-se à especialização de tópicos de conteúdos, mas deve conter um plano educativo completo. (SACRISTÁN, 2000, p. 115)

A escola, de posse do currículo prescrito, deve, como um todo, organizar-se

para que o trabalho se desenvolva satisfatoriamente. Professores engajados em sua

própria formação continuada permitem novas discussões e a elaboração de novos

métodos que atendam à demanda de alunos cada dia mais exigentes e, ao mesmo

tempo, dependentes da escola e das tecnologias. Com a ajuda dos professores, a

direção e todo o corpo administrativo devem procurar, baseados no currículo prescrito,

novas possibilidades para o trabalho na unidade de ensino e para a obtenção de uma

melhoria na qualidade da educação.

Para o Currículo da Cidade (SÃO PAULO, 2017), todos os envolvidos na

educação ― como: governo, professores, alunos e demais membros da comunidade

escolar ― têm o dever de conhecer e buscar a implementação do currículo na unidade

de ensino. Para tanto, deve ser feito um estudo do documento, com posicionamento

crítico.

A direção faz seu papel administrativo organizando, gerindo e orientando o

trabalho dos professores. Estes, por sua vez, se preocupam com o desenvolvimento

direto dos conteúdos, da formação acadêmica e social dos alunos, tendo como auxilio

a colaboração ativa de todos os participantes da comunidade escolar, objetivando o

pleno desenvolvimento dos alunos. Os estudantes, por outro lado, devem buscar, de

forma autônoma, o progresso no meio acadêmico, social, cultural e profissional.

32

3 O CURRÍCULO DA CIDADE DE SÃO PAULO

Para iniciar nossas discussões sobre a forma como a Álgebra aparece prescrita

no currículo do Ensino Fundamental da cidade de São Paulo, é importante, antes de

tudo, entendermos o momento de sua criação e a forma como esse documento foi

elaborado e como se estrutura.

3.1 Contextualização

A cidade de São Paulo possui, em sua rede de ensino, 430 mil estudantes

matriculados no Ensino Fundamental. Para trabalhar com esses alunos, a rede possui

23.917 professores distribuídos em 547 EMEF2, além de 8 EMEFM3.

Para a atualização do Currículo de Matemática da Cidade de São Paulo, levou-se em consideração a formação dos estudantes da Educação Básica e as concepções da Matemática como área do conhecimento, destacando suas potencialidades formativas e sua utilidade no cotidiano da sociedade. Nesse processo, a Matemática e as outras áreas de conhecimento trouxeram contribuições para a ampliação do desenvolvimento cognitivo dos estudantes, de maneira a possibilitar-lhes a análise e a tomada de decisões para intervir na realidade, além de propiciar o desenvolvimento de valores sociais, emocionais, estéticos, éticos e científicos. (SÃO PAULO, 2017, p. 63)

O currículo da cidade foi discutido e elaborado durante o ano de 2017 por

diversos profissionais e disponibilizado aos professores da rede municipal para que

apresentassem suas contribuições. Estes foram amparados pela equipe técnica da

Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.

Para garantir que todos se sintam inseridos nas propostas contidas no

documento, o Currículo da Cidade foi construído de forma coletiva e teve como

premissas para sua construção: a continuidade, a relevância, a colaboração e

contemporaneidade. Buscando o atendimento a todos os estudantes da rede, o

documento procurou se alinhar às propostas da Base Nacional Comum Curricular

(BNCC), homologada dias depois da publicação do Currículo da Cidade.

2 Escola Municipais de Ensino Fundamental. 3 Escola Municipais de Ensino Fundamental e Médio.

33

Com a necessidade cada dia mais latente de uma escola que respeite todas as

peculiaridades dos mais variados alunos, a atualização do currículo se fez necessária.

Busca-se atender a todo o alunado da rede, com base no entendimento de que a

educação é “um campo aberto à diversidade” (SÃO PAULO, 2017, p. 12). Com isso,

tenciona-se que todos aprendam conteúdos diferentes de formas distintas. Dessa

forma, o currículo está estruturado em três conceitos norteadores, a saber: Educação

Integral, Equidade e Educação Inclusiva.

O Currículo da Cidade foi escrito com o entendimento de que deve ser um

documento não linear, com os conteúdos determinados, mas sem a necessidade de

pré-requisito na elaboração dos conteúdos. As disciplinas podem e devem ser

trabalhadas com o pensamento de que as descobertas devem ser feitas por parte dos

alunos. Além disso, há a ideia de currículo em rede (PIRES, 2000) como processo

permanente de busca do alunado. O professor é dado como protagonista de sua

elaboração, objetivando o pleno desenvolvimento do educando enquanto ser principal

de todo o estudo e o foco nas principais mudanças propostas para o município.

A Figura 2 apresenta a Matriz de Saberes (SÃO PAULO, 2017, p. 33). Esta

indica o que a criança e os adolescentes devem aprender e/ou desenvolver durante o

Ensino Fundamental.

Figura 2 ‒ Matriz dos Saberes.

Fonte: São Paulo (2017, p. 33).

34

Com uma análise da figura, é possível perceber que o documento pretende que

os alunos sejam capazes de desenvolver o pensamento crítico e a criatividade no

momento de resolução de situações-problema. Assim, podem buscar diferentes

caminhos para chegar às respostas e, dessa forma, adquirir seu conhecimento com

mais autonomia ao longo dos anos de estudo.

A partir da interação com os demais sujeitos pertecentes a determinado

contexto, é importante entender as diferenças de cada ser, suas limitações e suas

potencialidades, inclusive suas próprias características, o que garante o

autoconhecimento. Conhecer a si mesmo é também se permitir entender o outro e

suas peculiaridades, o que se faz importante nos dias de hoje para que possamos

formar não só bons alunos, mas seres humanos dotados da capacidade de interagir

com todos, respeitando cada pessoa, entendendo os limites de cada um. É importante

compreender que tais barreiras, muitas vezes, são ocasionadas por contextos que,

apesar de estarem em uma mesma unidade escolar, podem ser, em âmbito social,

político e cultural, tão diferentes.

Essa matriz dos saberes serviu de base para a construção dos objetivos de

aprendizagem e desenvolvimento. Estes contam com os chamados temas

inspiradores ou 5 P’s: Pessoas, Planetas, Prosperidade, Paz e Parceria.

Figura 3 ‒ Os 5 P’s.

Fonte: São Paulo (2017, p. 37).

35

Os 5 P’s dialogam com os objetos do conhecimento e com os propósitos de

aprendizagem e desenvolvimento para garantir que esses alunos se formem como

seres capazes de pensar num mundo de forma crítica e contribuam efetivamente com

o futuro. O material especifica o significado desses cinco conceitos:

Pessoas: garantir que todos os seres humanos possam realizar o seu potencial em dignidade e igualdade, em um ambiente saudável. Planeta: proteger o planeta da degradação, sobretudo por meio do consumo e da produção sustentáveis, bem como da gestão sustentável dos seus recursos naturais. Prosperidade: assegurar que todos os seres humanos possam desfrutar de uma vida próspera e de plena realização pessoal. Paz: promover sociedades pacíficas, justas e inclusivas que estão livres do medo e da violência. Parceria: mobilizar os meios necessários para implementar esta Agenda por meio de uma Parceria Global para o Desenvolvimento Sustentável. (SÃO PAULO, 2017, p.36)

É de extrema importância que a escola esteja preocupada também com a

questão da socialização de seus alunos. Não podemos mais pensar em educação

sem levantar questões relacionadas a problemas que toda a sociedade deve estar em

alerta para garantir um futuro melhor a todos nós.

O currículo apresenta uma proposta que tenta, por meio da educação, sanar

problemas locais e, por consequência, buscar soluções que colaborem com a

resolução de situações maiores. É importante permitir que nossos alunos tenham em

mente o mundo em que vivem, os problemas que estamos enfrentando e o modo

como nós, juntos, devemos buscar soluções para dias melhores.

A escola passa a ser mais que uma instituição responsável pela escolarização.

Em muitos casos, é a principal fonte de educação, de formação dos valores humanos.

Isso porque as crianças passam cada vez mais tempo dentro das escolas do que com

as próprias famílias.

3.2 Concepções presentes no Currículo da Cidade

O Currículo da Cidade foi elaborado com base em algumas concepções. É um

currículo não linear, ou seja, seus conteúdos não precisam ser ensinados na mesma

ordem em que são prescritos. É um currículo em espiral; dessa forma, é assegurada

a possibilidade de voltar a qualquer momento para outro conceito para que o ensino

ocorra de maneira significativa, e ainda é permitido o ensino flexível dos conteúdos.

36

Esse material não deve ser um documento rígido, pelo contrário, deve ser vivo e

permitir que os professores o adaptem para melhor atender às necessidades de seu

alunado. Vejamos o trecho que explica essa organização:

Essa ordem sequencial que aparece no documento é apenas um indicativo para organização, não significa que na sala de aula esses objetivos devam ser organizados nessa sequência. Eles apresentam uma organização de um ano para o outro, de modo que sua redação revela que aquilo que se espera da aprendizagem num ano seja mais simples do que o que se espera da aprendizagem no ano subsequente. A progressão não é linear, mas indica uma visão em espiral do conhecimento, propondo a revisitação dos conhecimentos anteriores à medida que avança no ano subsequente. Além disso, num mesmo ano de escolaridade, os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento apresentam um encadeamento para que a compreensão de um determinado conceito decorra de uma rede de significados proporcionada por esse encadeamento. (SÃO PAULO, 2017, p. 59)

Apresentaremos, nas seções subsequentes, um embasemento teórico que nos

auxilie a compreender essas características curriculares. Primeiro, exporemos a ideia

de currículo em espiral de Bruner (1960,1966). Em seguida, introduziremos o conceito

de currículo em rede de Pires (2000).

3.2.1 O currículo em espiral na perspectiva de Bruner

Jerome Bruner, psicólogo norte-americano, é considerado um dos principais

líderes da revolução cognitiva. As ideias do autor influenciaram fortemente as

pesquisas em Educação sobre a construção dos significados, sobre o modo como as

pessoas interpretam o mundo em que vivem. O autor afirma que os professores

devem compreender, primeiramente, como os alunos pensam e só depois se voltar

para o modo como os conteúdos devem ser ensinados. Para Bruner (1960), o

conhecimento está vinculado às experiências que o ser humano vive.

A teoria de ensino de Bruner (1960) é prescritiva, buscando determinar as

melhores formas de ensinar. O autor afirma que o ensino estruturado é fundamental

para uma boa aprendizagem.

No ensino estruturado, o professor planeja o processo de ensino-

aprendizagem, organiza os conteúdos a serem ministrados em uma sequência que

favoreça a aprendizagem do aluno. Em sala de aula, Bruner (1966) sugere um

encadeamento de procedimentos de estudo, pesquisa e avaliação do processo, a fim

de garantir o sucesso na aprendizagem.

37

Bruner (1966) defende um ensino com estrutura consistente. Para o autor, a

estruturação do processo pedagógico é fundamental para ajudar os alunos a

aprenderem. Ele defende que o currículo seja bem planejado, organizado em etapas

e dividido em pequenos passos. Bruner (1966) considera essa ordenação como algo

mais eficiente, útil e significativo.

O autor acredita em uma estruturação que tenha foco nos conceitos centrais

de cada conteúdo. Uma vez compreendidas as ideias fundamentais de um tema, os

estudantes terão mais facilidade em entender as ideias secundárias. Esse ponto de

vista nos remete ao conceito de aprendizagem em espiral defendido por Bruner, como

vimos anteriormente.

O pesquisador argumenta que o ensino dos eixos temáticos deve ocorrer no

formato de espiral nas escolas. Dessa forma, a cada ano, os professores devem

retomar os mesmos temas do ano anterior, acrescentando novas informações, novas

atividades de estudo, para agregar novos conhecimentos àquilo que os alunos já

sabem sobre certo assunto.

O Currículo da Cidade de São Paulo, seguindo a ideia de currículo em espiral,

propõe que se inicie com as ideias básicas de cada tema, e, a cada ano, novos

conceitos sejam agregados aos anteriores. No que se refere ao eixo Álgebra, também

percebemos essa característica em espiral. A Álgebra aparece prescrita desde o

primeiro ano do Ensino Fundamental e é apresentada durante todos os anos

seguintes, de forma que o professor trabalhe com esse tema a cada ano letivo. Assim,

retoma o que foi estudado anteriormente e apresenta novas ideias, contribuindo para

a aprendizagem do aluno e para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

3.2.2 A organização em rede segundo Pires

Outro entendimento da organização curricular proposto pelo documento é a

concepção de um currículo em rede de significados. A professora e pesquisadora

Célia Maria Carolino Pires (2000), em seu livro intitulado Currículos de Matemática:

da organização linear à ideia de rede, estuda como o currículo da Matemática foi

apresentado durante anos no Brasil. O modelo proposto por Pires (2000) é o currículo

em rede, que, como afirma a autora, opõe-se à ideia de linearidade, ainda hoje

dominante em nosso país, principalmente na Matemática.

38

Pires (2000) assinala que o currículo linear apresenta os conteúdos em uma

sequência. Nele, para ser aprendido um conteúdo, devem existir outros como pré-

requisitos, apontando um único caminho para esse processo de ensino-

aprendizagem. Segundo a autora, na época de seu trabalho ainda era muito comum

que professores defendessem a organização linear dos temas, com o argumento de

que o aluno aprende melhor quando há essa organização “lógica”.

Para a pesquisadora, os conteúdos têm sim que ter como suporte outros

conhecimentos, mas cabe ao aluno buscar esses conceitos por meio de pesquisas.

Assim, o professor sai da condição de detentor do saber e passa a mediar o processo

de aquisição do conhecimento. Pires (2000) defendia que,

O conhecimento é apresentado como uma rede cujos pontos vão se construindo em várias direções, em vários sentidos, cuja formação se altera e se reestrutura praticamente a cada vez que um “ponto” é incorporado a ela; é um sistema, enfim, que passa por momentos de caos e de alguma estabilidade. (PIRES, 2000, p. 117)

Aqui os conteúdos são apresentados como pontos conectados por uma rede.

Desse modo, existem diversos caminhos a serem trilhados, e não se exige uma ordem

entre os conteúdos a serem trabalhados.

Para Pires (2000), os primeiros desenhos a serem feitos devem partir dos

professores e dos gestores escolares, que planejam os conteúdos a serem

trabalhados e a forma com que esse trabalho deve ser realizado. Assim, são

produzidos mapas dessas redes, de forma que os temas sejam flexíveis e permitam

que, a qualquer momento, sejam feitas mudanças, adaptações nos mapas.

3.3 Ciclos de aprendizagem

O Currículo da Cidade se organiza em três ciclos. Cada um, conta com três

anos escolares: Ciclo de Alfabetização (1º, 2º e 3º ano), Ciclo Interdisciplinar (4º, 5º e

6º ano) e Ciclo Autoral (7º, 8º e 9º ano).

A organização do Ensino Fundamental em ciclos acontece na Rede Municipal de Ensino de São Paulo desde 1992, quando foram criados os Ciclos Inicial, Intermediário e Final, tendo a psicologia de Piaget (1976), Wallon (1968) e Vygotsky (1988) como bases de fundamentação. Os ciclos são vistos como processos contínuos de formação, que coincidem com o tempo de desenvolvimento da infância, puberdade e adolescência e obedecem a movimentos de avanços e recuos na aprendizagem, ao invés de seguir um

39

processo linear e progressivo de aquisição de conhecimentos. (SÃO PAULO, 2017, p. 40)

Pensando em oferecer aos estudantes um maior tempo para a aprendizagem

em cada ciclo e respeitando as necessidades de cada indivíduo bem como suas

características socioculturais, o currículo dividiu todo o Ensino Fundamental em ciclos

com igual período. Dessa forma, todos têm a oportunidade de ter seu tempo

resguardado, uma vez que cada aluno aprende num ritmo próprio.

No Ciclo de Alfabetização, os alunos iniciam seu percurso escolar no Ensino

Fundamental. As questões que se apresentam importantes para esse ciclo são o

desenvolvimento da leitura e da escrita, da alfabetização na língua materna e da

Matemática. É assegurado aos estudantes o estabelecimento de suas relações

afetivas e sociais nos mais variados espaços de convivência (SÃO PAULO, 2017).

Em consonância com as propostas do Pacto Nacional pela Alfabetização na

Idade Certa (BRASIL, 2013), o Currículo da Cidade entende que a infância é o período

em que relações são criadas. Nesse momento, as crianças são dotadas de grande

potencial a ser explorado ainda no início de sua vida escolar, com atividades lúdicas

que permitam a descoberta de um novo mundo e o autoconhecimento de cada um

como pessoa pertencente a um universo.

Neste ciclo, o foco é na alfabetização matemática, que leva em consideração os conhecimentos matemáticos que a criança traz de suas vivências e agrega novos conhecimentos que se articulam aos anteriores, possibilitando o desenvolvimento das crianças e sua participação na sociedade. (SÃO PAULO, 2017, p. 83)

As atividades para esse ciclo devem explorar o a alfabetização matemática.

Isso é feito por meio de atividades e brincadeiras que ajudem nessa descoberta.

Com a passagem para o Ciclo Interdisciplinar, os alunos passam a participar

de atividades cada vez mais complexas. É priorizada a concretização do que foi

explorado no ciclo anterior para que, ao chegar ao próximo estágio, não haja tanto

impacto, como é comum acontecer.

Nesse ciclo, um trabalho interdisciplinar é sugerido para que exista um maior

diálogo entre os eixos a serem ensinados e para que eles possam significar algo

realmente importante para os alunos. O documento sugere que professores

polivalentes se unam a professores especialistas, principalmente os que atuam no

40

quarto e no quinto ano para que troquem experiências e conhecimentos no que tange

aos saberes pedagógicos e/ou específicos.

No Ciclo Interdisciplinar, a capacidade de raciocinar dos estudantes é ampliada, principalmente no que se refere aos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento que envolvem o uso de justificativas, com exemplos, contraexemplos, análise de casos e formulação de hipóteses, justificando-as com exemplos e deduções informais. A argumentação se fortalece e o professor pode fazer intervenções com questões do tipo: “Como fizeram? Justifique sua resposta” ou “O que acontecerá se...? Isso acontece sempre?”. (SÃO PAULO, 2017, p. 97)

As crianças, nessa fase, já costumam questionar o porquê de aprender

determinado conteúdo, a importância daquele conhecimento. Estabelecer um diálogo

com outros eixos possibilita mostrar de que forma a descoberta de cada conteúdo

contribui para sua vida acadêmica e social. É importante aproximar os conteúdos à

realidade do aluno para que ele perceba a escola dentro de sua rotina.

A escola tem papel fundamental na orientação dos discentes que estão nesse

momento tão delicado e importante que é o desenvolvimento educacional. É

imprescindível a construção do ser humano que futuramente participará de modo

efetivo das decisões essenciais para a sociedade como um todo (SÃO PAULO, 2017).

A última fase é chamada de Ciclo Autoral, destinado ao ensino de alunos do

sétimo ao nono ano. Encerrando o Ensino Fundamental e objetivando solidificar as

experiências vividas durante todos os anos anteriores, esse ciclo deve permitir que os

conteúdos sejam mais explorados pelos próprios alunos. Estes devem buscar o

conhecimento associando-o ao contexto social em que vivem.

A leitura, a produção textual, as demais áreas do conhecimento assim como o

desenvolvimento da Matemática devem estar, nesse momento, muito claros para os

jovens que estão estudando nos últimos anos do Ensino Fundamental. É nessa idade

que muitos adolescentes estão se descobrindo enquanto seres pertencentes a

determinados grupos. Há, nessa faixa etária, a identificação, a descoberta, a

aceitação ou a negação de suas características.

No Ciclo Autoral, é fundamental criar situações em que os estudantes possam fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo relações entre esses aspectos e desenvolvendo ideias mais complexas, levando em conta as vivências anteriores e os conhecimentos matemáticos já construídos. Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento deste ciclo permitem articular diversos aspectos dos objetos

41

de conhecimento com a finalidade de desenvolver as ideias fundamentais da Matemática, como equivalência, representação, ordem, proporcionalidade, variação e interdependência, entre outras. (SÃO PAULO, 2017, p. 110)

Ao longo desse ciclo, os alunos desenvolverão o Trabalho Colaborativo de

Autoria (TCA). Articulando saberes consolidados durante o Ensino Fundamental, o

TCA ― comprometido com a intervenção social ― busca a formação de cidadãos

autônomos, críticos e participativos.

A educação funciona como um alicerce para o crescimento desses jovens.

Olhar para todo o percurso é também enxergar a história desses adolescentes e notar

que a escola, enquanto instituição formadora, foi também a responsável por muitas

escolhas feitas por esses alunos.

3.4 Álgebra no currículo do Ensino Fundamental da cidade de São Paulo

A Álgebra é tradicionalmente prescrita apenas a partir do 6º ano do Ensino

Fundamental. Os alunos passaram pelos anos iniciais sem que, de fato, tivessem esse

conteúdo institucionalizado no currículo escolar, o que sugere que o pensar

matemático (aritmético) se difere do pensar algébrico, criando uma ruptura nas duas

áreas.

Pesquisadores como Kieran (1992), Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) e Ponte,

Branco e Matos (2009), apresentam, em seus estudos, reflexões sobre a importância

da implementação de um currículo que contemple a Álgebra e o aprimoramento do

pensamento algébrico. Segundo Ponte (2006), aprender a Álgebra inclui igualmente

a capacidade de lidar com outros conteúdos matemáticos e a competência de usá-los

na interpretação e na resolução de problemas matemáticos ou de outros domínios.

Para Lins e Gimenez (2005), iniciar o estudo da Álgebra nos primeiros

anos do Ensino Fundamental é ir contra tudo que era feito até agora. Segundo esses

autores, o momento ideal é justamente o começo da vida escolar para que, ao longo

do Ensino Fundamental, o aluno desenvolva importantes conceitos que o ajudarão no

trabalho com a Matemática e também em situações dentro de sua realidade social.

Concordamos com a importância de trabalhar a Álgebra nos primeiros anos do

Ensino Fundamental para seu pleno desenvolvimento durante toda a vida escolar

42

desde os primeiros contatos acadêmicos com a Matemática. Dessa maneira, é

possível que a criança elabore as generalizações necessárias para a construção do

pensamento algébrico, que deverá ser lapidado durante os demais anos de estudo.

Apresentaremos um recorte para mostrar os objetos de conhecimento bem

como as metas de aprendizagem e desenvolvimento do eixo Álgebra de cada ciclo.

Esses objetivos serão citados aqui; porém, no capítulo de análise, voltaremos com a

categorização proposta pela pesquisa, a fim analisarmos se o currículo de

Matemática da cidade de São Paulo possibilita a aprendizagem da Álgebra na

perspectiva dos pesquisadores Blanton e Kaput (2005), que subsidiarão nosso

trabalho.

Quadro 2 - Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento por ano de escolaridade no Ciclo de Alfabetização para o eixo

Álgebra.

Ano Objetos de conhecimento Objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento

1°

Padrões numéricos ou figurais

(EF01M14) Organizar e ordenar objetos

familiares ou representações figurais por

meio de atributos, tais como cor, formato e

medida.

Regras de formação de uma

sequência numérica ou figural

(EF01M15) Investigar e descrever oralmente

um padrão (ou uma regularidade) e identificar

elementos ausentes em sequências

recursivas numéricas ou figurais

2°

Sequências repetitivas e

sequências recursivas:

construção, identificação,

descrição de padrões e

regularidades e determinação

de elementos ausentes

(EF02M13) Construir sequências de números

naturais, em ordem crescente ou

decrescente, a partir de um número qualquer,

utilizando uma regularidade estabelecida.

(EF02M14) Descrever oralmente um padrão

(ou regularidade) de sequências numéricas

ou figurais, repetitivas ou recursivas, por meio

de palavras ou de representações pessoais.

43

(EF02M15) Descrever elementos ausentes

em sequências numéricas ou figurais,

repetitivas ou recursivas, por meio de

palavras ou de representações pessoais e

continuar a sequência a partir de um padrão.

3°

Identificação e descrição de

regularidades em sequências

numéricas recursivas

(EF03M12) Investigar regularidades em

sequências ordenadas de números naturais,

resultantes da realização de adições ou de

subtrações sucessivas de um mesmo

número.

Relação de igualdade em

diferentes sentenças

matemáticas envolvendo

adições ou subtrações

(EF03M13) Descrever um padrão (ou

regularidade) de uma sequência numérica ou

figural recursiva e determinar elementos

faltantes ou seguintes.

(EF03M14) Compreender a ideia de

igualdade para escrever diferentes sentenças

de adições ou de subtrações de dois números

naturais que resultem na mesma soma ou

diferença.

Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 86-96).

Após essa fase de alfabetização, o currículo da cidade de São Paulo apresenta

o Ciclo Interdisciplinar, definido como a fase de transição entre a alfabetização e o

Ciclo Autoral.

A seguir, apresentaremos o Quadro 3 com os objetos de conhecimento e os

objetivos de aprendizagem e desenvolvimento desse ciclo, fazendo uma descrição

com base no que é proposto pelo documento.

44

Quadro 3 – Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento por ano de escolaridade no Ciclo Interdisciplinar para o eixo Álgebra

Ano Objetos de conhecimento Objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento

4°

Sequência numérica recursiva

formada por múltiplos de um

número natural

(EF04M15) Explorar regularidades, em

sequências numéricas recursivas,

compostas por múltiplos de um número

natural.

Propriedades da igualdade

(EF04M16) Investigar o número

desconhecido que torna verdadeira uma

igualdade que envolve as operações

fundamentais com números naturais.

5°

Propriedades da igualdade

(EF05M11) Investigar que uma igualdade

não se altera ao adicionar ou subtrair,

multiplicar ou dividir os seus termos por um

mesmo número.

Variação de grandezas

(EF05M12) Solucionar problemas que

envolvam ampliação ou redução de

quantidades de forma proporcional.

Proporcionalidade

(EF05M13) Solucionar problemas

envolvendo a partilha de uma quantidade em

duas partes desiguais, tais como dividir uma

quantidade em duas partes, de modo que

uma seja o dobro da outra.

45

6°

Noções de divisibilidade

(EF06M13) Investigar se há grupos de

números naturais para os quais as divisões

por um determinado número resultam em

restos iguais, identificando regularidades.

Sinais de associação

(EF06M14) Compreender e utilizar os sinais

de associação (parênteses, colchetes e

chaves) para estabelecer uma ordem de

prioridade entre as operações numa

expressão numérica.

Variação de grandezas: direta

e inversamente proporcionais

ou não proporcionais

(EF06M15) Investigar relações de

proporcionalidade direta, inversa ou de não

proporcionalidade entre duas grandezas.


Nesse ciclo, já percebemos generalizações importantes para o

desenvolvimento do pensamento algébrico. A Álgebra aqui se apresenta como

conteúdo ligado à Aritmética. As relações matemáticas já começam a se formar no

ciclo interdisciplinar e serão mais fortemente apresentadas no ciclo seguinte.

Quadro 4 – Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento por ano de escolaridade no Ciclo Autoral para o eixo Álgebra.

ANO OBJETOS DO CONHECIMENTO OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E

DESENVOLVIMENTO

7º Linguagem algébrica: expressões,

variável e incógnita

(EF07M10) Identificar diferentes usos

para as letras ou símbolos, em situações

que envolvam generalização de

propriedades, incógnitas, fórmulas,

relações numéricas e padrões.

46

Funções da Álgebra

(EF07M11) Traduzir e resolver um

problema em linguagem algébrica,

usando equações do 1º grau.

Equações polinomiais do 1º grau

(EF07M12) Solucionar equações do 1º

grau compreendendo o significado de

incógnita e da raiz.

(EF07M13) Compreender a ideia de

variável, representada por letra ou

símbolo, para expressar relação entre

duas grandezas, diferenciando-a de

incógnita.

Proporcionalidade

(EF07M14) Utilizar a simbologia

algébrica para expressar regularidades

encontradas em sequências numéricas.

(EF07M15) Solucionar e elaborar

problemas que envolvam variação de

proporcionalidade direta e inversa entre

duas grandezas, utilizando sentença

algébrica para expressar a relação entre

elas.

8º

Valor numérico de expressões

algébricas

(EF08M07) Construir procedimentos

para calcular o valor numérico de

expressões algébricas, utilizando

propriedades conhecidas.

Sistema de equações polinomiais

de 1º grau: resolução algébrica e

representação no plano cartesiano

(EF08M08) Traduzir um problema por

sistemas de equações do primeiro grau

com duas incógnitas e resolvê-lo,

utilizando inclusive o plano cartesiano

como recurso e discutindo a validade das

raízes.

Padrões e relações algébricas

(EF08M09) Produzir e interpretar escritas

algébricas, em situações que envolvem

generalização de propriedades,

47

incógnitas, fórmulas, relações numéricas

e padrões.

Inequação de 1º grau: resolução

algébrica e representação no

plano cartesiano, discussão das

raízes

(EF08M10) Traduzir um problema que

envolva inequações do primeiro grau,

resolvê-lo utilizando inclusive o plano

cartesiano como recurso, discutindo e

validando o significado das soluções.

Equação de 1° Grau

(EF08M11) Associar uma equação linear

de 1º grau com duas incógnitas a uma

reta no plano cartesiano.

Variação de grandezas: direta e

inversamente proporcionais ou

não proporcionais

(EF08M12) Identificar a natureza da

variação de duas grandezas, direta ou

inversamente proporcionais ou não

proporcionais, expressando a relação

existente por meio de sentença algébrica,

e representá-la no plano cartesiano.

(EF08M13) Elaborar problemas que

envolvam grandezas direta ou

inversamente proporcionais e resolvê-los

por meio de estratégias variadas.

Expressões algébricas: fatoração

e produtos notáveis

(EF08M14) Compreender e utilizar os

processos de fatoração e de produtos

notáveis de expressões algébricas com

base em suas relações.

9º

Representação em sistema de

coordenadas cartesianas da

variação de grandezas

(EF09M08) Representar a variação de

duas grandezas, analisando e

caracterizando o comportamento dessa

variação.

48

(EF09M09) Relacionar expressões

algébricas e gráficas em planos

cartesianos, explorando os significados

de intersecção e declive, com uso de

tecnologias digitais ou não.

Equação de 2º grau

(EF09M10) Resolver e elaborar

problemas que possam ser

representados por equações polinomiais

de 2º grau, discutindo o significado das

soluções, incluindo a fatoração e o

cálculo mental quando possível.

Frações algébricas: operações

(EF09M11) Construir procedimentos de

cálculo para operar com frações

algébricas, estabelecendo analogias com

procedimentos numéricos.

Problemas envolvendo sistemas

de equação do 1° e 2° grau

(EF09M12) Analisar, interpretar, formular

e resolver problemas que incluam

sistemas de equações de 1º e 2º graus.

(EF09M13) Analisar e representar

padrões e funções utilizando expressões

algébricas, palavras, tabelas e gráficos.


O currículo de Matemática, apresenta também os Eixos Articuladores:

Além dos eixos estruturantes, o currículo de Matemática apresenta também os eixos articuladores, que permitem estabelecer relações tanto intramatemática como extramatemática, possibilitando uma articulação entre os vários eixos da Matemática (intramatemática) e da Matemática com outras áreas do conhecimento (extramatemática). (SÃO PAULO, 2017, p. 78)

Os Eixos Articuladores auxiliam para que os alunos possam viver experiências

dentro e fora do ambiente escolar, proporcionando um posicionamento crítico e ético

na sociedade. Esses eixos contribuem para a formação integral do estudante e

também para sua formação matemática.

49

Os eixos articuladores, ancorados nos princípios éticos, políticos e estéticos, preconizados nas Diretrizes Curriculares Nacionais (2013), na BNCC (2017), no documento Educação para os Objetivos de Desenvolvimento Sustentável (ODS) e na Matriz de Saberes deste Currículo, apresentam objetivos de aprendizagem e desenvolvimento que se inter-relacionam e se integram na construção de conhecimentos e na formação de valores e atitudes.

Os eixos articuladores do Currículo da Cidade para Matemática são:

Jogos e brincadeiras;

Processos matemáticos;

Conexões extramatemática.

Nos próximos quadros, apresentaremos os objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento, presentes nos Eixos Articuladores do Currículo da Cidade.

Acreditamos que a Álgebra se faz presente nesses eixos, assumindo atividades

diversas para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

O quadro 5, apresenta os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento

prescritos para os anos do Ciclo de Alfabetização.

Quadro 5 – Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento por ano de escolaridade prescrito nos Eixos Articuladores.

Ano Eixos

Articuladores

Objetos de

conhecimento

Objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento

1º ano

Jogos e

Brincadeiras

Jogos e

brincadeiras

tradicionais infantis

da cultura popular

(EF01M34) Participar de jogos

e brincadeiras tradicionais que

explorem contagens, cálculos

rápidos, movimentos etc.,

realizando adivinhações,

decifrando charadas,

levantando hipóteses e

testando-as.

(EF01M35) Explorar diferentes

formas de registro de jogos e

50

brincadeiras: elaboração de

texto coletivo das regras do

jogo, registros por meio de

tabelas e gráficos.

Processos

Matemáticos

Estratégias e

procedimentos de

resolução de

problemas

(EF01M38) Explicar oralmente

as estratégias e os processos

de raciocínios utilizados na

resolução de um problema.

(EF01M39) Explicar oralmente

os registros feitos e as

respostas obtidas na resolução

de um problema.

2º ano

Jogos e

Brincadeiras

Jogos de

estratégia

EF02M32) Realizar jogos de

estratégia em que o objetivo é

a descoberta de um “caminho”

para vencê-lo e justificar a

decisão do “caminho” tomado.

(EF02M33) Realizar jogo de

quebra-cabeça usando

estratégias e analisando

possibilidades de encaixe de

peças.

Processos

Matemáticos

Estratégias e

procedimentos de

resolução de

problemas e

validação de

resultados

(EF02M36) Expressar,

oralmente e de forma

organizada, o processo

desenvolvido na resolução de

um problema e justificar a

resposta, usando vocabulário

pessoal.

51

Elaboração de

enunciados de

problemas

(EF02M37) Elaborar

coletivamente perguntas para

um problema apresentado pelo

professor e resolvê-lo,

verificando a validade da

solução.

3º ano

Processos

Matemáticos

Formulação de

enunciados de

problemas a partir

de sentenças

matemáticas

(EF03M36) Formular

coletivamente o enunciado de

um problema a partir de uma

sentença matemática e

resolvê-lo, analisando a

plausibilidade dos resultados.

(EF03M37) Investigar a

validade da propriedade

comutativa da adição a partir de

regularidades.

Pequenas

investigações em

contextos

numéricos

Fonte: Adaptado de São Paulo (2017, p. 88-96).

No próximo quadro, descreveremos os objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento dos Eixos Articuladores, presentes no Ciclo Interdisciplinar.

Quadro 6 – Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento por ano de escolaridade prescrito nos Eixos Articuladores.

Ano Eixos

Articuladores

Objetos de

conhecimento


desenvolvimento

4º ano

Jogos e

Brincadeiras

Jogos

probabilísticos

(EF04M35) Analisar o que é

certo, provável, pouco provável

ou impossível de acontecer em

um jogo.

52

(EF04M36) Antecipar as

ocorrências que favorecem

ganhar um jogo, justificando a

escolha.

Processos

Matemáticos

Investigações em

contextos

numéricos



associativa da adição e da

multiplicação, a partir de

regularidades.

(EF04M40) Investigar

regularidades em

multiplicações por 0 e por 1 e

produzir um texto comunicando

as conclusões obtidas.

5º ano

Jogos e

Brincadeiras

Jogos de

estratégia e de

conhecimento

(EF05M36) Realizar jogos de

tabuleiro (estratégia e

conhecimento) e justificar as

estratégias usadas e a

antecipação de jogadas.

(EF05M37) Formar triângulos,

quadrados e retângulos com

um número limitado de peças

do Tangram (ou outro tipo de

quebra-cabeça), justificando a

escolha das peças.

Processos

Matemáticos

Resolução de

problemas usando

a linguagem

matemática

Pequenas

investigações em

(EF05M40) Justificar a

linguagem matemática e as

estratégias usadas na

resolução de um problema.

53

contextos

numéricos e

geométricos



distributiva da multiplicação

em relação à adição (ou

subtração) e a mesma

propriedade para a divisão em

relação à adição (ou

subtração), a partir da

observação de regularidades.

6º ano Processos

Matemáticos

Investigações em

contextos

numéricos e

algébricos

(EF06M40) Investigar se as

relações de dobro de um

número e quadrado de um

número são ou não

equivalentes, justificando sua

resposta.


existência de quadrados

perfeitos em uma sequência

figural, observando

regularidades e associando-os

à raiz quadrada exata.


No quadro 7, serão apresentados os objetos de conhecimento e os objetivos

de aprendizagem e desenvolvimento prescritos para o Ciclo Autoral.

54

Quadro 7– Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento por ano de escolaridade prescrito nos Eixos Articuladores.

Ano Eixos

Articuladores

Objetos de

conhecimento


desenvolvimento

7º ano Jogos e

Brincadeiras

Jogos de

estratégia e de

conhecimento

(EF07M35) Realizar jogos,

envolvendo tecnologias digitais

que permitam ampliar e reduzir

figuras geométricas planas,

propondo discussões sobre as

deformidades e argumentando

sobre elas.

Processos

Matemáticos

Investigações

numéricas e

algébricas

(EF07M38) Investigar se duas

expressões algébricas, obtidas

para descrever a regularidade

de uma mesma sequência

numérica, são ou não

equivalentes, justificando seus

procedimentos.

8º ano Processos

Matemáticos

Investigações em

contextos

numéricos e

geométricos

(EF08M38) Investigar se duas

expressões algébricas, obtidas

para descrever a regularidade

de uma mesma sequência

numérica, são ou não

equivalentes, justificando seus

procedimentos.

9º ano Jogos e

Brincadeiras

Jogos de

estratégia e de

conhecimento

(EF09M35) Realizar jogos que

envolvem estratégias de

percepção de regularidades e

percepção do processo de

generalização.


55

4 OS ESTUDOS SOBRE O ENSINO DA ÁLGEBRA NO ENSINO

FUNDAMENTAL

Nos últimos anos, vários estudos têm sido realizados para compreender o

ensino da Álgebra. Isso ocorre devido à grande preocupação com o desenvolvimento

de um currículo voltado ao ensino desse eixo desde os primeiros anos do Ensino

Fundamental, já que, no Brasil, a Álgebra estava prescrita para ser trabalhada com os

alunos durante os anos finais do Ensino Fundamental (6º ao 9º ano).

Pesquisadores como Blanton e Kaput (2005), Ponte, Branco e Matos (2009),

Kieran (1992) e Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) fazem, em suas pesquisas,

reflexões sobre a importância da implementação de um currículo que contemple a

Álgebra.

Concordando com os autores que citamos no parágrafo anterior, Lins e

Gimenez (2005, p.11) afirmam que “[...] a introdução da Álgebra é o grande momento

de corte na educação matemática escolar, e que a reação usual é deixar para depois,

ao invés de antecipar essa introdução”. Acreditamos no ensino da Álgebra nos

primeiros anos do Ensino Fundamental para o pleno desenvolvimento do educando

durante toda a vida escolar. Isso inclui a introdução desse eixo desde os primeiros

contatos dos estudantes com a Matemática para que se possa proporcionar às

crianças as generalizações necessárias para a construção do pensamento algébrico

a partir de experiências diárias, o que permite a criação de generalizações importantes

para o efetivo aprendizado da Álgebra.

Após países como EUA, Portugal e Espanha desenvolverem currículos que

apresentam a Álgebra já nos primeiros anos do Ensino Fundamental, no Brasil,

fortaleceu-se uma série de discussões sobre a importância de desenvolver o

pensamento algébrico durante todo o Ensino Fundamental. Vários são os trabalhos

que mostram o quanto os países citados anteriormente desenvolvem seus currículos

com o olhar para a Álgebra e para o pensamento algébrico a partir do primeiro ano de

escolaridade.

56

Documentos curriculares como as Diretrizes Curriculares Nacionais (2006) e os

Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) ainda não continham a Álgebra como um

componente curricular para os anos iniciais do Ensino Fundamental. Nos PCN (1997),

sugere-se o desenvolvimento do pensamento algébrico, sem descrever a importância

desse pensamento dentro do contexto da educação matemática.

Com a homologação da Base Nacional Comum Curricular, em dezembro de

2017, amparada por recentes pesquisas sobre o ensino da Álgebra e o pensamento

algébrico, a educação matemática brasileira inicia um novo período. Com ela, define-

se a Álgebra como uma unidade temática já nos anos iniciais, e são apresentados os

objetivos a serem alcançados e as habilidades a serem desenvolvidas.

Apresentaremos o pensamento algébrico na visão de Blanton e Kaput (2005)

para melhor entendermos a importância de permitir que os alunos construam esse

tipo de pensamento já no início de sua vida escolar. Desse modo, os estudantes

podem, durante todo o Ensino Fundamental, apropriar-se de novos conceitos e ganhar

cada vez mais independência na tomada de decisões para a resolução tanto de

atividades escolares quanto de problemas de ordem prática relacionados com o meio

em que cada um está inserido.

Trataremos também das ideias de Blanton e Kaput (2005) a respeito do

pensamento algébrico, das categorias para avaliar o desenvolvimento ou não do

pensar algebricamente. Segundo os autores, o pensamento algébrico pode ser

analisado a partir de categorias e subcategorias que, se cumpridas, garantem a

aprendizagem da Álgebra.

Essas categorias e suas subcategorias servirão para nossa análise do currículo

da cidade de São Paulo. A partir dessas vertentes, identificaremos se o documento

possibilita aos alunos da rede o desenvolvimento do pensamento algébrico e, por

consequência, a aprendizagem dos conteúdos pertencentes ao eixo da Álgebra.

4.1 Processos do pensamento algébrico

Blanton, Levi e Crites (2011) dão foco aos processos de generalização,

representação, justificação e raciocínio com estrutura matemática e relações. No

entanto, a maior parte da pesquisa sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico

57

centra-se na generalização. Esta, para os autores, é um processo inerente a todas as

atividades da Álgebra, bem como a todas as atividades matemáticas.

Em consonância com o significado dado à generalização no pensamento

algébrico, Kaput (2008) enfatiza que um aspecto crítico que faz uma atividade ser

algébrica é a generalização deliberada, que se apresenta quando, de fato, o aluno

consegue generalizar situações matemáticas em diferentes contextos. Por exemplo,

quando o estudante é questionado se o resultado da soma 3 + 2 é um número par ou

ímpar, espera-se que o entendimento dos conceitos leve o discente a perceber a

mesma resposta em outra soma, como 2589 + 3458, sem que tenha que encontrar o

valor dessa adição. O uso de números pode ser qualificado como algébrico, na medida

em que seu propósito não está no cálculo por si só, mas na representação de um

exemplo genérico.

A partir deste momento, seguiremos apresentando as ideias sobre o

desenvolvimento do pensamento algébrico sob o olhar dos pesquisadores norte-

americanos Maria Blanton e James Kaput. Esses autores criaram quatro categorias

que caracterizam essa construção:

a) o uso da aritmética como um domínio para expressar e formalizar generalizações (aritmética generalizada); b) a generalização de padrões numéricos para descrever relações funcionais (pensamento funcional); c) a modelação como um domínio para expressar e formalizar generalizações; d) a generalização sobre sistemas matemáticos a partir de cálculos e relações. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 413)

Daremos continuidade a nossos estudos com um foco nas pesquisas desses

autores. Frisamos que eles subsidiarão nossa análise no próximo capítulo desta

dissertação. Utilizaremos as três primeiras categorias propostas por Blanton e Kaput

(2005), pois elas estão relacionadas à Educação Básica.

4.2 O pensamento algébrico na perspectiva de Blanton e Kaput

Blanton e Kaput (2005) apresentam três categorias que caracterizam a

aquisição ou o desenvolvimento do pensamento algébrico, a saber: Aritmética

generalizada ou pensamento quantitativo, pensamento funcional e modelação.

Segundo os autores, essas categorias e suas subcategorias podem definir se o

58

trabalho com a Álgebra irá resultar numa aprendizagem significativa para o aluno; só

assim, como apontam Ponte Branco e Matos (2009), haverá, de fato, a aquisição do

pensamento algébrico.

Lins e Gimenez (2005) reconhecem a Álgebra como uma atividade humana.

Dessa forma, o conhecimento está no sujeito e não no objeto. Kaput (2008) corrobora

essas ideias. Para ele, o aluno não demonstra aprender a Álgebra apenas quando

resolve uma equação. Segundo o autor, conseguir encontrar o valor da incógnita x em

uma equação do 1º grau do tipo 2x + 5 = 17 não gera, necessariamente, o pensar

matemático e, nesse caso específico, a apropriação do pensamento algébrico.

É possível, então, que o aluno solucione a questão reproduzindo passos

apresentados pelo professor na resolução de uma equação como o exemplo anterior

e não se aproprie dos conceitos necessários para a aprendizagem. Concordamos com

os autores quando afirmam que o aluno constrói um conhecimento matemático ao

compreender o significado de sua resolução, ao construir um sentido para o valor

encontrado. O pensamento algébrico está além da operacionalização matemática, é

preciso perceber as relações existentes inseridas nessas resoluções.

Para Blanton e Kaput (2005), à medida que os alunos adquirem novas

experiências matemáticas, torna-se possível criar e/ou perceber novas relações e

generalizações. A Álgebra pode e deve estar interligada com as outras áreas da

Matemática, como a Aritmética e a Geometria. Esse vínculo permite, na visão desses

pesquisadores, uma caracterização do pensamento algébrico, pois estudar a Álgebra

em diferentes contextos colabora para a construção de importantes generalizações

matemáticas.

Arcavi (2005) ressalta que a Álgebra, assim como toda a Matemática, utiliza a

linguagem simbólica. Porém, os símbolos não devem ser os objetos que definem o

pensamento algébrico. Esse tipo de raciocínio é delimitado pela compreensão de que

os símbolos permitem criar generalizações para que o pensar matemático ganhe

sentido para os alunos e, assim, possa, a partir de novos conhecimentos, gerar novas

relações em busca da constituição do pensamento algébrico.

Canavarro (2007) reforça esse pensamento quando revela em suas pesquisas

duas ideias que colocam a linguagem simbólica como elemento constituidor do

59

pensamento algébrico. Assim, para a pesquisadora, os símbolos são sim muito

importantes para a Matemática, mas devem ser olhados de acordo com o significado

que dão e não com sua operacionalização apenas.

Entendemos ser importante descrever cada vertente, pois essas categorias

serão o objeto de nosso olhar para o currículo da cidade de São Paulo. Nas próximas

seções, expomos essa classificação com a perspectiva dos pesquisadores Blanton e

Kaput (2005).

4.2.1 Aritmética generalizada ou pensamento quantitativo

Na Álgebra, a Aritmética generalizada não inclui apenas números, quantidades,

operações, propriedades, igualdade e representações ou diagramas relacionados,

mas também engloba variáveis, expressões e equações, dependendo se os símbolos

alfanuméricos foram integrados no ambiente de aprendizagem. Algumas pesquisas

recentes na área da Matemática estão situadas na Aritmética de jovens estudantes,

no trabalho com número e operações de adição e subtração, e se estendem à

experimentação com o uso de variáveis para representar quantidades desconhecidas.

Blanton e Kaput (2005) conduziram um experimento de ensino relacionado à

Álgebra. Com isso, descobriram que quase 75% dos alunos da 3ª série que

participaram do programa de intervenção aprenderam a representar quantidades

desconhecidas com notação variável, apesar de terem atribuído um valor numérico

específico para o desconhecido no início do estudo.

Com uma investigação que incluiu estudantes de 12 a 14 anos, os

pesquisadores demonstraram que a exposição precoce ao pensamento algébrico nos

anos iniciais leva a uma generalização mais sofisticada envolvendo os símbolos

alfanuméricos da Álgebra nos anos finais do Ensino Fundamental. Nessa perspectiva,

o pensamento algébrico está diretamente ligado às atividades com a Aritmética. Para

os autores, o potencial algébrico encontrado na Aritmética deve ser explorado

sistematicamente para que sejam percebidas as generalizações existentes nessas

áreas do conhecimento matemático. Essa vertente é mais comum de ser apresentada

nos primeiros anos do Ensino Fundamental, nos quais a Álgebra é, de fato, inserida

em situações em que os alunos, ainda imaturos, estão dando os primeiros passos

acadêmicos.

60

Dessa forma, é possível iniciar a construção do pensamento algébrico em

casos como o exemplo dado por Canavarro (2007), que dita que a representação do

número 41 pode ser percebida como uma propriedade comutativa da adição 33 + 8 =

8 + 33, o que permite futuras generalizações matemáticas. A proposta da Aritmética

generalizada é justamente fazer com que características da Álgebra sejam percebidas

e trabalhadas dentro de um contexto aritmético e, aos poucos, desenvolvam novas

relações.

Para a categoria da Aritmética generalizada, Blanton e Kaput (2005)

desenvolveram cinco subcategorias que facilitam a percepção de conceitos algébricos

dentro da aritmética, o que nos permitirá analisar o Currículo da Cidade (SÃO PAULO,

2017), olhando para seus objetivos de aprendizagem e desenvolvimento, buscando

encontrar, ou não, pontos comuns às vertentes reveladas pelos autores.

Blanton e Kaput (2005) explicam cada subcategoria da Aritmética generalizada.

Acreditamos que a descrição das subcategorias permite um maior entendimento das

ideias dos autores.

A primeira delas é explorar propriedades e relações de números inteiros. Esse

aspecto caracteriza-se pela generalização sobre somas e produtos de números pares

e ímpares, pela generalização de propriedades, como o resultado de uma subtração

de um número por ele mesmo, chegando a se formalizar com a construção a – a = 0,

e pela decomposição de números inteiros em possíveis somas.

A segunda é explorar propriedades das operações com números inteiros.

Nesse fator, concentra-se a exploração de relações entre operações aritméticas com

números inteiros, como a comutatividade da adição e da multiplicação ou a

propriedade distributiva da adição em relação à multiplicação, e as generalizações em

operações, como adicionar ou subtrair o mesmo valor.

A terceira relaciona-se à ação de explorar a igualdade como expressão de uma

relação entre quantidade. Nesse caso, encontramos o desenvolvimento do papel

algébrico do sinal de =, usando a ideia de equivalência entre expressões numéricas

do tipo 8 + 4 = □ + 5. Da mesma forma, achamos o tratamento de equações como

objetos que expressam relações entre quantidades, como (3 x n) + 2 = 14.

61

A quarta engloba a ação de tratar o número algebricamente. Esse gesto

consiste em compreender o número como número generalizado, enfatizando sua

estrutura, e não seu valor. Por exemplo, um aluno se depara com as seguintes

questões: 7 + 5 é par ou ímpar? E 45678 + 85631, é par ou ímpar? A resposta dele

deve ser baseada na estrutura dos números, e não no resultado das adições.

A quinta envolve resolver expressões numéricas com número desconhecido

(equações simples). Nessa subcategoria, concentra-se a resolução de equações

polinomiais do 1º grau simples com uma incógnita e a resolução de equações com

incógnitas repetidas, por exemplo, se V + V = 4, quanto é V + V + 6?

Por fim, há a resolução de equações no contexto da reta numérica. Isso envolve

completar puzzles numéricos nos quais faltam números, por exemplo, o quadrado

mágico.

Com essas subcategorias, podemos enxergar melhor as relações existentes

entre os conhecimentos aritméticos e os algébricos, percebendo os conceitos da

Álgebra dentro de outra área do conhecimento matemático. Segundo Blanton e Kaput

(2005), essas subcategorias nos permitem analisar se há o desenvolvimento do

pensamento algébrico, especialmente no Ensino Fundamental.

4.2.2 Pensamento funcional

Em uma perspectiva funcional sobre o conteúdo matemático da Álgebra, as

representações como tabelas, gráficos e outros diagramas orientados a funções são

muito importantes. Os objetos de variável, expressão e equação também estão

envolvidos, mas como uma interpretação da Aritmética generalizada sobre o que foi

realizado. Blanton, Levi e Crites (2011, p. 13) argumentam que o pensamento

funcional implica “generalizar relacionamentos entre quantidades, expressando essas

relações em palavras, símbolos, tabelas ou gráficos, e raciocinar com essas várias

representações para analisar o comportamento funcional”.

Blanton et al. (2015a) enfatizam que até mesmo alguns dos alunos da primeira

série são capazes de generalizar várias relações funcionais entre quantidades e que

seus níveis iniciais de compreensão poderiam se tornar mais sofisticados com o apoio

de instruções bem planejadas. A trajetória que pode servir como uma estrutura para

62

o trabalho relacionado ao desenvolvimento do pensamento funcional das crianças

envolve diferentes níveis de sofisticação na generalização das relações funcionais.

É necessário especificar se as crianças podem: (a) notar características

matemáticas em uma tarefa; (b) entender as relações entre quantidades por meio do

pensamento recursivo ou do pensamento funcional; (c) observar a regularidade em

instâncias particulares ou, de outra forma, em todas as instâncias; (d) descrever uma

relação funcional de maneira generalizada; (e) elaborar a comparação entre duas

quantidades e a relação funcional entre elas; (f) lidar com o funcionamento de um

objeto, compreendendo os limites da generalidade. Compreender as características

de tais níveis é significativo, porque revela quão sofisticadamente as crianças e os

jovens condensam as relações funcionais.

Para Blanton e Kaput (2005), as generalizações caracterizam o pensamento

algébrico com o conceito de funções. Embora ele seja trabalhado mais fortemente nos

anos finais do Ensino Fundamental, é possível ensinar essas ideias desde os

primeiros anos escolares, respeitando o tempo de aprendizagem de cada criança e

as experiências adquiridas.

O pensamento funcional destaca a simbolização das quantidades, as

operações com expressões simbólicas, a linguagem gráfica, as relações funcionais e

a previsão de resultados desconhecidos por meio de dados conhecidos, além de

descrever padrões aritméticos e geométricos. Assim como a Aritmética generalizada,

ele possui cinco subcategorias. Nos estudos de Blanton e Kaput (2005), são

apresentadas essas classificações, a fim de tornar mais fácil a percepção do

pensamento funcional, que caracteriza o pensamento algébrico.

A primeira envolve simbolizar quantidades e operar com as expressões

simbólicas, ou seja, usar símbolos para realizar operações com tais estruturas. Aqui

o professor pode trabalhar com os alunos a ideia representação de valores

desconhecidos. Por exemplo, quando, em uma sequência, temos + + 4 = 10, os

alunos deverão identificar qual valor representa o símbolo e notar que este assume

o mesmo valor nos dois momentos.

A segunda relaciona-se a representar dados graficamente, refere-se à

construção de gráficos e à utilização destes e de pares ordenados para o estudo de

63

funções. Ao estudar as funções, os alunos têm a oportunidade de observar as

informações tanto de uma perspectiva aritmética, quando é sugerida a substituição

por valores numéricos, quanto de um viés algébrico, quando se analisa o

comportamento da função no plano cartesiano ou no uso de tabelas.

A terceira consiste em descobrir relações funcionais, em utilizar dados e tabelas

para desvendar relações, além de fazer a tabulação de informações constatadas para

o estudo das conexões. Ao ler os dados de uma tabela, os alunos percebem o padrão

de sua construção, o que possibilita a generalização das situações.

Observemos um exemplo em que os alunos são desafiados a descobrir o

padrão dos dados de uma tabela. Quando o professor pede aos alunos que,

analisando a tabela de uma situação (Tabela 1), plotem as informações em um plano

cartesiano.

Quadro 8 - Relação tempo x distância

Tempo (s) 0 3 6 9 12

Distância

(m)

0 60 120 180 240

Fonte: o autor, 2019.

A quarta é relativa à previsão de resultados desconhecidos usando dados

conhecidos. Para Almeida e Santos (2017, p. 45), “corresponde à formulação de

conjecturas sobre o que não se sabe, a partir do que se sabe sem, necessariamente,

repetir todo o processo anterior”.

O professor pode trabalhar com os alunos as possibilidades de determinada

situação. Por exemplo: indique todas as maneiras de se vestir tendo 3 camisas, 2

calças e 2 sapatos diferentes. O docente oferece as informações, e os alunos buscam

o entendimento da situação, que pode ser resolvida usando a árvore das

possibilidades (pensamento combinatório) ou ainda a multiplicação dos termos

(operacionalização aritmética) para encontrar as 12 maneiras diferentes de se vestir.

64

A última subcategoria envolve identificar e descrever padrões numéricos e

geométricos. Está relacionada ao reconhecimento de regularidades de sequências

numéricas, com a descoberta de padrões em sequências de figuras geométricas e/ou

em conjuntos de expressões numéricas. Para buscar encontrar os elementos de uma

sequência, é necessário perceber o padrão imposto para sua criação. Por exemplo,

na sequência dos múltiplos de 4, o aluno percebe a regularidade de crescimento

somando o número 4, tendo, então: 0, 4, 8, 12, 16...

A categoria analisada nesta seção, o pensamento funcional, permite verificar

se o pensamento algébrico está tomando forma a partir do trabalho com a Álgebra

inserida, em alguns momentos, em outros contextos, como o geométrico e o

aritmético. Os alunos passam a ter e/ou a desenvolver o raciocínio matemático a partir

de generalizações. O uso das funções é o cerne do pensamento funcional e engloba

não apenas a operacionalização, mas também seu entendimento, a compreensão dos

conceitos e sua incorporação.

Por fim, Blanton e Kaput (2005) apresentam a última vertente, a modelação.

Trataremos dela a seguir, objetivando obter recursos para analisar todos os objetivos

de aprendizagem e desenvolvimento do eixo Álgebra presente no currículo da cidade

de São Paulo (2017).

4.2.3 Modelação

Para Kaput (2008), a modelação está diretamente ligada às outras duas

vertentes apresentadas anteriormente. Modelar é representar as mais diferentes

situações possíveis dentro de um contexto algébrico ou aritmético, desde as mais

simples resoluções aritméticas até as generalizações funcionais, que são mais

claramente vistas como conhecimento algébrico.

Para Canavarro (2007, p. 106), essas “representações não convencionais”

permitem aos alunos organizarem seu pensamento. Imagine, por exemplo, que o

professor, ao trabalhar com o cálculo de área e volume de figuras geométricas,

questiona a turma sobre o que aconteceria se as medidas aumentassem ou

diminuíssem. Os alunos, a partir da generalização construída com a mediação do

professor, seriam capazes de resolver os questionamentos com as observações.

65

Vejamos outra exemplificação. O docente, fazendo medições, solicita que os

alunos tentem descobrir a numeração do calçado de uma pessoa. Após alguns

exemplos, os alunos poderão chegar a um padrão que permitirá que esse cálculo seja

realizado mais rapidamente. É possível ainda chegar à fórmula generalizada como N

= 5𝑝+28

4, na qual N é o número do sapato e p é o tamanho do pé em cm.

Essas são algumas situações cotidianas que contribuem para o

desenvolvimento do pensamento algébrico, dentro da vertente modelação proposta

por Blanton e Kaput (2005).

Nessa perspectiva, a generalização é realizada a partir de situações matemáticas ou de fenômenos, como, por exemplo, a generalização de regularidades em situações do dia a dia na qual a regularidade é secundária relativamente ao objetivo mais geral da tarefa. (ALMEIDA; SANTOS, 2017, p. 46)

Concordamos com Blanton e Kaput (2005) quando assinalam que a modelação

algébrica é muito mais que a resolução a partir do entendimento de símbolos e regras

matemáticas. Um problema algébrico pode ser representado por uma linguagem

gestual, pictórica, natural, numérica ou ainda simbólica, criando relações na resolução

de problemas e generalizando os cálculos.

Não negamos aqui a importância da linguagem simbólica. Pelo contrário,

estamos de acordo com Carraher e Schliemann (2015), que afirmam que os símbolos

são essenciais para toda a Matemática. Porém, faz-se necessário que eles

representem algo significativo para o aluno para que este construa um pensamento

algébrico. Essa construção, muitas vezes, acontece antes mesmo da apresentação

de símbolos e números às crianças. Logo no início da vida escolar, os estudantes

podem e devem iniciar o desenvolvimento do pensamento algébrico com diferentes

representações, como a figural.

4.3 Outras ideias sobre o ensino da Álgebra

Historicamente, a Matemática e seus eixos temáticos desenvolviam-se a partir

da necessidade de contar, medir, guardar e organizar que os povos antigos percebiam

no decorrer do crescimento de suas cidades. Por muito tempo, a Matemática era vista

apenas como instrumento para calcular e resolver problemas sem que se enxergasse

66

a importância de desenvolver novas habilidades como manipulação de símbolos,

interpretação criativa dos símbolos e dos gráficos ou ainda que se percebesse as

relações entre os objetos, o que permite a aproximação da Matemática com a

realidade de cada um.

Essa supervalorização das técnicas vem perdendo força a partir de novos

estudos sobre o pensamento algébrico. Ponte, Branco e Matos comentam sobre esse

raciocínio:

através de processos de conjectura e argumentação, se estabelecem generalizações sobre os dados e relações matemáticas, expressas através de linguagens cada vez mais formais. Este processo de generalização pode ocorrer com base em situações aritméticas, geométricas, de modelação matemática e em quaisquer outras situações matemáticas lecionadas desde o primeiro ano de escolaridade. (PONTE, BRANCO e MATOS, 2009, p. 197)

Kaput (1999) identifica cinco traços do pensamento algébrico que estão

intimamente relacionados: a generalização e a formulação de padrões e restrições; a

manipulação de formalismos, guiada sintaticamente; o estudo de estruturas abstratas;

e o estudo de funções. Essa percepção produz uma enorme responsabilidade à

educação. Universalizar o pensamento algébrico é uma tarefa necessária, mas de

extrema complexidade, haja vista diversos fatores sociais, políticos e culturais

presentes na realidade das escolas, das famílias e dos alunos brasileiros. Essa ação

é, de fato, um grande desafio para a Educação Matemática; porém, tem tomado

grandes proporções graças às inúmeras pesquisas realizadas, o que mostra o

crescente interesse dos educadores a respeito desse tema.

Umas das grandes dificuldades dos alunos na aprendizagem dos conceitos

algébricos é a mudança dos sentidos dos símbolos em campos diferentes. Ponte,

Branco e Matos (2009), Van de Walle (2009) e Kaput (1999) consideram como o

objetivo do ensino da Álgebra no Ensino Fundamental o desenvolvimento do

pensamento algébrico, que, como já afirmamos, vai além da manipulação de

símbolos.

A Álgebra é vista, às vezes, como uma área que usa excessivamente símbolos,

mas, na verdade, os símbolos já são muito usados também na Aritmética. As

generalizações, nesse campo, fazem-se muito importantes. Com o desenvolvimento

67

delas, o aluno consegue compreender melhor as relações matemáticas para que o

que antes era decorado passe a ser compreendido e lhe traga algum significado.

Temos, enquanto professores, que ter cuidado para que seu uso dos símbolos

não seja apenas mecânico. A linguagem simbólica exige uma interpretação minuciosa

em cada questão, e a manipulação pode fazer com que a aprendizagem caia no

formalismo, o que contraria todas as pesquisas apresentadas até aqui sobre o

desenvolvimento do pensamento algébrico em alunos durante todo o Ensino

Fundamental.

É importante que os professores entendam a importância de permitir ao aluno

a constituição do pensamento algébrico. É necessário que os alunos sejam capazes

de representar e raciocinar algebricamente, além de terem a habilidade de resolver

problemas em diversas situações, que envolvam os vários conceitos

matemáticos/algébricos a partir dos primeiros anos de escolaridade e desenvolvê-los

durante os anos seguintes.

Os estudos de Ponte, Branco e Matos (2009) apontam também para a

importância de os alunos ganharem maturidade com os conhecimentos adquiridos

tanto na escola quanto no meio social em que estão inseridos para que possam

perceber as generalizações existentes no contexto da Álgebra e também nas outras

áreas da Matemática. Assim, os conteúdos deixarão de fazer parte somente da rotina

escolar e pertencerão também à vida do estudante.

Quadro 9 - Vertentes fundamentais do pensamento algébrico.

Representar

Ler, compreender, escrever e operar com símbolos usando as

convenções algébricas usuais.

Traduzir a informação representada simbolicamente para outras

formas de representação (objetos, linguagem verbal e numérica,

tabelas, gráficos) e vice-versa.

Evidenciar o sentido do símbolo, nomeadamente interpretando os

diferentes sentidos deste em diversos contextos.

Raciocinar

Relacionar (em particular, analisar propriedades).

Generalizar e agir sobre as generalizações, revelando a

compreensão das regras.

68

Deduzir.

Resolver

problemas e

modelar

situações

Usar expressões algébricas, equações, inequações, sistemas (de

equações e de inequações), funções e gráficos na interpretação e na

resolução de problemas matemáticos e de outros domínios

(modelação).

Fonte: Ponte, Branco e Matos (2009).

Após apresentar essas vertentes, frisamos que se faz necessário que o ensino

de Álgebra inicie nos primeiros anos do Ensino Fundamental. Assim, ao longo de sua

vida escolar, os alunos podem construir os significados algébricos e partir de seus

conhecimentos oriundos de sua vida social para moldar o conhecimento, de modo que

este sirva de ferramenta para o desenvolvimento acadêmico, social e profissional. O

que se espera é que a Álgebra faça sentido na vida, não só escolar, do indivíduo.

Para tal, decidimos analisar o eixo Álgebra presente no currículo do Ensino

Fundamental da cidade de São Paulo. Analisaremos o documento para verificar se a

organização curricular conduz à aprendizagem da Álgebra e ao desenvolvimento do

pensamento algébrico. Amparamo-nos em algumas pesquisas, principalmente nos

estudos de Blanton e Kaput (2005), que apresentam as mencionadas categorias, para

avaliar se o conteúdo permite pensar algebricamente, e na pesquisa de Pontes,

Branco e Matos (2009), que acreditam que a aprendizagem da Álgebra é representada

pelo desenvolvimento do pensamento algébrico.

Esses autores servem de fundamentação para nossa tabulação no capítulo

destinado à análise do currículo. Utilizaremos a definição das categorias apresentadas

por Blanton e Kaput (2005) quando expõem a Aritmética generalizada ou pensamento

quantitativo, o pensamento funcional e a modelação como recursos para avaliar a

aprendizagem da Álgebra.

Nosso propósito é verificar em qual categoria cada um dos objetivos de

aprendizagem e desenvolvimento apresentados no Currículo da Cidade pertence ou

ainda constatar se algum (uns) deles não satisfazem essas vertentes. Os autores

introduzem subcategorias para refinar nosso olhar sobre o documento. Achamos,

69

então, que esses estudos nos dão sustentação para concluirmos se o documento

permite o desenvolvimento do pensamento algébrico a partir do primeiro ano do

Ensino Fundamental e se esse pensamento se fortalece à medida que os estudantes

ganham mais experiência com as atividades dentro e fora da escola.

70

5 ANÁLISE DO EIXO ÁLGEBRA NO CURRÍCULO DA CIDADE DE

SÃO PAULO

No Capítulo 4, apresentamos as categorias que revelam as características do

pensamento algébrico na perspectiva de Blanton e Kaput (2005): a Aritmética

generalizada, o pensamento funcional e a modelação. Neste capítulo, faremos uma

relação entre essas categorias e os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento

prescritos no currículo da cidade de São Paulo (2017), no que diz respeito ao eixo

Álgebra, apresentado nos quadros anteriores.

Organizaremos os dados desses quadros em ciclos, sendo eles o Ciclo de

Alfabetização, o Ciclo Interdisciplinar e o Ciclo Autoral, como está organizado no

documento curricular. Estes, por sua vez, serão divididos por ano, para que possamos

olhar para cada objetivo de aprendizagem e desenvolvimento. Os objetivos serão

dispostos por sua representação simbólica, assim como indicado no Currículo da

Cidade, e serão descritos. O currículo da cidade de São Paulo apresenta as siglas no

seguinte formato: EF0XMXX4.

Esses elementos caracterizadores, trazidos por Blanton e Kaput (2005) nos

informarão se o que está prescrito no currículo pode contribuir para o desenvolvimento

do pensamento algébrico. Essa interpretação dos dados concorda com o pressuposto

de Ponte, Branco e Matos (2009) de que o aprendizado real da Álgebra só acontece

se houver, de fato, o desenvolvimento do pensamento algébrico. Para os autores,

aprender Álgebra não é necessariamente trabalhar com letras, mas perceber as

generalizações e a relação existente com outras áreas da Matemática. Dessa forma,

o aluno consegue aprender a Álgebra inclusive a partir de outros conteúdos, que,

muitas vezes, parecem estar tão distantes desse tema.

4 No Currículo da Cidade, os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento estão identificados por

uma sigla: EF0XMXX, na qual EF corresponde ao Ensino Fundamental, 0X ao ano de escolaridade e o MXX ao Componente Curricular Matemática. Essa sigla é seguida pela sequência de objetivos de aprendizagem e desenvolvimento desse componente.

71

5.1 Aritmética generalizada

Os alunos matriculados do primeiro ao terceiro ano, pertencem ao Ciclo de

Alfabetização. A partir do ingresso nesse ciclo de aprendizagem, os discentes passam

a ter contato com conteúdos que desenvolverão não somente o aspecto cognitivo,

mas também enquanto seres sociais pertencentes e participantes ativos da sociedade

em que estão inseridos.

Nos quadros a seguir, apresentaremos os objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento do eixo Álgebra para os alunos do Ensino Fundamental.

Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento serão apresentados ano a

ano. Assim, poderemos observar se o currículo está organizado de forma que

possibilite a aprendizagem da Álgebra à luz das pesquisas de Blanton e Kaput (2005).

Quadro 10 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento

Ciclo de Alfabetização

Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano

(EF01M15) Investigar e descrever oralmente um padrão (ou uma

regularidade) e identificar elementos ausentes em sequências recursivas

numéricas ou figurais.

1º

(EF02M13) Construir sequências de números naturais, em ordem

crescente ou decrescente, a partir de um número qualquer, utilizando

uma regularidade estabelecida.

2º

(EF03M12) Investigar regularidades em sequências ordenadas de

números naturais, resultantes da realização de adições ou de subtrações

sucessivas de um mesmo número.

3º

72

(EF03M13) Descrever um padrão (ou regularidade) de uma sequência

numérica ou figural recursiva e determinar elementos faltantes ou

seguintes.

3º

(EF03M14) Compreender a ideia de igualdade para escrever diferentes

sentenças de adições ou de subtrações de dois números naturais que

resultem na mesma soma ou diferença.

3º

Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 85-94)

O objetivo EF01M15 revela o início do trabalho algébrico dentro do contexto

aritmético. Esse objetivo, prescrito para o primeiro ano do Ensino Fundamental, indica

um trabalho de investigação matemática usando sequências numéricas ou mesmo

sequências figurais. Os alunos, ainda começando o contato com a Matemática

escolar, devem descrever os padrões observados pela linguagem oral.

Para Blanton e Kaput (2005), a aritmética generalizada consiste em tratar o

número algebricamente, ou seja, estudar o número por seu conceito e não somente

por seu valor. Segundo os autores, por exemplo, perceber a generalidade da

sequência dos números naturais, o padrão de sua formação e não somente o valor

numérico de cada algarismo, é essencial para a aprendizagem matemática.

Já para o segundo ano do Ensino Fundamental, o documento prescreve o

objetivo EF02M13, que indica a construção de sequências numéricas a partir de um

número natural. Aqui, o aluno, amparado nos conhecimentos já adquiridos, deve

conseguir perceber o padrão existente nesse primeiro conjunto numérico e seguir com

a sequência numérica. De acordo com Blanton e Kaput (2005), assim como

sinalizamos no objetivo do ano anterior, é importante para o desenvolvimento do

pensamento algébrico tratar o número algebricamente, perceber padrões em

sequências e reconhecer a generalização presente nessas estruturas.

Para concluir nosso olhar sob a ótica da Aritmética generalizada no Ciclo de

Alfabetização, descreveremos os três objetivos de aprendizagem prescritos para o

terceiro ano do Ensino Fundamental. São eles: EF03M12, EF03M13 e EF03M14.

73

Para esse ano, o documento sugere um trabalho ainda maior de investigação.

O texto nos aponta a necessidade de fazer com que o aluno busque as regularidades

existentes nas sequências de números naturais.

A adição e a subtração aparecem, em alguns objetivos, para promover a ideia

de generalização do resultado dessas operações, quando por exemplo, o aluno estiver

buscando encontrar a relação entre soma e subtração de números pares e ímpares

para perceber uma regularidade no resultado. Elas permitem a construção do padrão

que deverá ser percebido pelos alunos, a qual, para Blanton e Kaput (2005),

enquadra-se na subcategoria de explorar a igualdade como expressão de uma relação

entre quantidade.

Conforme os autores, “a aprendizagem de números é construída à medida que

os alunos trabalham com quantidades específicas e o professor prepara o terreno para

o próximo passo, a expressão formal da generalização”. (BLANTON; KAPUT, 2005,

p. 422 - Tradução nossa).

Perceber a existência de regularidades e encontrar elementos faltantes nessas

sequências, bem como entender o conceito de igualdade, são conhecimentos

apontados no documento como objetivos a serem trabalhados nesse ano, que encerra

o primeiro ciclo escolar. Para Blanton e Kaput (2005), a Aritmética generalizada

caracteriza-se pela capacidade de explorar a compreensão do sinal de igualdade,

expressando uma relação de quantidade. É também uma característica do

pensamento quantitativo explorar as propriedades dos números e reconhecer

elementos desconhecidos em sequências numéricas ou figurais.

O próximo ciclo a ser analisado é o Interdisciplinar, uma etapa de transição,

que antecede o último ciclo de aprendizagem. Segundo o Currículo da Cidade (2017,

p. 97), tem a função de desenvolver os conteúdos que já foram trabalhados no Ciclo

de Alfabetização e dar continuidade ao ensino. Ele deve proporcionar aos alunos a

aquisição da autonomia escolar, a participação na resolução de situações-problema

no ambiente escolar e daquelas que estão presentes em seu dia a dia.

O Quadro 11 descreve os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento do

Ciclo Interdisciplinar para serem analisados a partir do suporte teórico de Blanton e

Kaput (2005).

74

Quadro 11 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.

Ciclo Interdisciplinar


(EF04M15) Explorar regularidades, em sequências numéricas

recursivas, compostas por múltiplos de um número natural.

4º

(EF04M16) Investigar o número desconhecido que torna verdadeira uma

igualdade que envolve as operações fundamentais com números

naturais.

4º

(EF05M11) Investigar que uma igualdade não se altera ao adicionar ou

subtrair, multiplicar ou dividir os seus termos por um mesmo número.

5º

(EF05M12) Solucionar problemas que envolvam ampliação ou redução

de quantidades de forma proporcional.

5º

(EF05M13) Solucionar problemas envolvendo a partilha de uma

quantidade em duas partes desiguais, tais como dividir uma quantidade

em duas partes, de modo que uma seja o dobro da outra.

5º

(EF06M13) Investigar se há grupos de números naturais para os quais

as divisões por um determinado número resultam em restos iguais,

identificando regularidades.

6º

(EF06M14) Compreender e utilizar os sinais de associação (parênteses,

colchetes e chaves) para estabelecer uma ordem de prioridade entre as

operações numa expressão numérica.

6º

75

(EF06M15) Investigar relações de proporcionalidade direta, inversa ou de

não proporcionalidade entre duas grandezas.

6º


No Ciclo Interdisciplinar, os objetos de aprendizagem e desenvolvimento dão

continuidade ao que foi proposto no Ciclo de Alfabetização. Nele os alunos começam

a fortalecer sua autonomia em atividades matemáticas, com a inserção de novos

conceitos.

Gradualmente, os alunos ganham mais autonomia na aquisição do

conhecimento, tornando-se capazes de, aos poucos, buscarem novas formas de

aprender. Uma participação colaborativa entre docentes especialistas e professores

polivalentes é a aposta para esse ciclo:

O projeto de docência compartilhada entre professores polivalentes e especialistas tem o objetivo de minimizar o efeito da transição entre o Ciclo de Alfabetização e o Ciclo Autoral. A troca entre esses profissionais permite aos docentes compartilhar saberes de diferentes dimensões: os conhecimentos do conteúdo matemático, se o professor for especialista na área de Matemática, com os conhecimentos pedagógicos sustentados pelo professor polivalente. Se os professores trabalharem juntos e de forma colaborativa, compartilhando seus saberes, poderá haver um ganho significativo nas aprendizagens dos estudantes, principalmente dos que apresentam mais dificuldades com a área. (SÃO PAULO, 2017, p. 97)

Os professores especialistas podem contribuir com os pedagogos com seus

conhecimentos na área e receberem, em contrapartida, um suporte pedagógico dos

professores educadores dos Anos Iniciais. A parceria se faz fundamental para que os

alunos tenham a possibilidade de desenvolver seus conhecimentos matemáticos, que

também subsidiam o desenvolvimento das aprendizagens no ciclo autoral.

Nesse ciclo, os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento evoluem e

envolvem a descrição de processos matemáticos e de relações entre a língua materna

e a linguagem matemática e vice-versa. Assim, há a ampliação das formas de

representação matemática e do rigor que elas exigem, expandindo a alfabetização

matemática para um letramento matemático (SÃO PAULO, 2017).

Com a apresentação de conceitos matemáticos aprendidos nos anos

anteriores, é possível trabalhar as propriedades das quatro operações fundamentais

na resolução de problemas cotidianos, bem como introduzir a ideia de

76

proporcionalidade, buscando generalizações matemáticas, o que caracteriza o

pensamento algébrico para Blanton e Kaput (2005).

Para o quarto ano do Ensino Fundamental, os objetivos EF04M15 e EF04M16

são reconhecidos como pertencentes à categoria aritmética generalizada. Para

embasar tal afirmação, usamos esta exposição de Blanton e Kaput (2005, p. 413,

tradução nossa):

Nesse ciclo, o documento continua sugerindo uma postura de investigação por

parte dos alunos para que eles possam buscar entender os padrões existentes dentro

de determinadas sequências numéricas, bem como perceber as propriedades

existentes nelas. Eles devem notar propriedades como a dos múltiplos e reconhecer

números desconhecidos nessas sequências para encontrar as generalizações

existentes e, assim, compreender os conceitos não apenas pela operacionalização

aritmética. Blanton e Kaput (2005) descrevem essas características como uma das

vertentes do desenvolvimento do pensamento algébrico. Nomeiam-nas na

subcategoria de resolução de expressões numéricas com número desconhecido da

vertente aritmética generalizada.

Ainda no Ciclo Interdisciplinar, apresentamos os objetivos de aprendizagem

EF05M11, EF05M12 e EF05M14. Eles apontam, além da investigação, a busca por

soluções de problemas em situações que envolvam as quatros operações

fundamentais. Para Blanton e Kaput (2005, p. 421, tradução nossa), “essas situações

refletem o pensamento algébrico por causa da ênfase nas relações entre as

operações com os números, não nos resultados de cálculos específicos”. Nesse

sentindo, trabalho proposto para o quinto ano se enquadra na subcategoria “explorar

a igualdade como expressão de uma relação entre quantidades”.

Esses objetivos nos indicam a necessidade de o aluno compreender, de fato,

como trabalhar com a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Para tanto, ele

deve perceber as características dessas operações e, dessa forma, utilizar a

generalização matemática (Blanton e Kaput, 2005) nos diversos problemas que

aparecerão.

O último ano desse ciclo, sexto ano, introduz, no âmbito da Aritmética

generalizada, outros três objetivos de aprendizagem. O EF06M13 aponta a

77

necessidade de investigar regularidades dentro dos divisores de um número natural,

de perceber como se comportam os restos dessas divisões e, assim, entender como

a generalização desses conteúdos contribuem para a aprendizagem matemática. Já

o objetivo EF06M14 aborda o uso dos símbolos, o que é de grande importância para

a resolução de problemas que envolvam as expressões numéricas; entender a ordem

de prioridade que cada símbolo permite ao aluno à compreensão do problema

proposto. Ainda nesse ciclo, o objetivo EF06M15 trata da busca por relações de

grandezas proporcionais, a fim de conduzir uma aprendizagem a partir de

generalizações importantes.

Blanton e Kaput (2005) apontam como definidores da categoria aritmética

generalizada a resolução de expressões numéricas, a busca pelo descobrimento de

valores desconhecidos, a interpretação e não apenas a operacionalização dos

símbolos. Além disso, sublinham a busca por padrões que levem os alunos à

generalização, que, segundo os autores, é essencial para o desenvolvimento do

pensamento algébrico. Tendo isso em vista, os objetivos do currículo estudado estão

de acordo com as indicações dos autores.

A última etapa apresentada pelo Currículo da Cidade é o Ciclo Autoral.

Trabalhando com os três últimos anos do Ensino Fundamental, esse ciclo busca

consolidar os conhecimentos matemáticos estruturados durante os anos anteriores.

Com alunos dessa faixa etária, é importante abordar questões rotineiras para dentro

das salas de aulas para que a escola não seja uma instituição isolada da sociedade,

mas pertença a esta ativamente.

Poder resolver situações-problema com raciocínio crítico é um grande desafio

para toda a estrutura educacional. Porém, é importante que os discentes, nessa fase

escolar, participem como protagonistas em seu processo de ensino e aprendizagem,

buscando novas formas de aprender de maneira significativa.

Com o intuito de consolidar as aprendizagens desenvolvidas nos anos

anteriores, bem como ampliá-las, o Ciclo Autoral apresenta a maior quantidade de

objetivos de aprendizagem e desenvolvimento em relação ao eixo Álgebra. Esse dado

é percebido quando fazemos uma comparação deste ciclo com os ciclos anteriores o

que, tradicionalmente, já ocorria com o ensino de Álgebra.

78

São propostas, para essa etapa do ensino, a utilização da linguagem algébrica

na tradução e na resolução de questões, a construção de procedimentos para cálculos

e a interpretação algébrica. O que se mostra como avanço é o fato de, nesse

momento, os alunos estarem bem mais familiarizados com a Álgebra, pois a tem

estudado desde o início da vida escolar. Dessa forma, espera-se que os discentes

apresentem mais autonomia nas interpretações algébricas e que hajam tido um

progresso no desenvolvimento do pensamento algébrico no decorrer de todo o Ensino

Fundamental.

No Ciclo Autoral, os alunos passam a ter acesso, cada vez mais, a padrões

matemáticos, análises gráficas, expressões numéricas e algébricas, além de

trabalharem com a ideia de função e equação. Essas relações são apresentadas

desde o primeiro ano e, aos poucos, são consolidadas. Esse ciclo permite um trabalho

mais específico com as relações algébricas, muitas vezes oriundas dos primeiros

contatos, importantíssimos, com a Aritmética nos Anos Iniciais.

Analisaremos o Quadro 12 para verificarmos se os objetivos de aprendizagem

e desenvolvimento prescritos estão de acordo com a categoria Aritmética

generalizada. Veremos se eles permitem o desenvolvimento do pensamento algébrico

a partir dos estudos de Blanton e Kaput (2005) e, dessa forma, a construção do

conhecimento da Álgebra.


Ciclo Autoral


(EF07M12) Solucionar equações do 1º grau compreendendo o

significado de incógnita e da raiz.

7º

79

(EF07M15) Solucionar e elaborar problemas que envolvam variação de

proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas, utilizando

sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

7º

(EF08M07) Construir procedimentos para calcular o valor numérico de

expressões algébricas, utilizando propriedades conhecidas.

8º

(EF08M08) Traduzir um problema por sistemas de equações do primeiro

grau com duas incógnitas e resolvê-lo, utilizando inclusive o plano

cartesiano como recurso e discutindo a validade das raízes.

8º

(EF08M09) Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que

envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações

numéricas e padrões.

8º

(EF08M10) Traduzir um problema que envolva inequações do primeiro

grau, resolvê-lo utilizando inclusive o plano cartesiano como recurso,

discutindo e validando o significado das soluções.

8º

(EF08M12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, direta

ou inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a

relação existente por meio de sentença algébrica, e representá-la no

plano cartesiano.

8º

(EF08M13) Elaborar problemas que envolvam grandezas direta ou

inversamente proporcionais e resolvê-los por meio de estratégias

variadas.

8º

(EF08M14) Compreender e utilizar os processos de fatoração e de

produtos notáveis de expressões algébricas com base em suas relações.

8º

80

(EF09M10) Resolver e elaborar problemas que possam ser

representados por equações polinomiais de 2º grau, discutindo o

significado das soluções, incluindo a fatoração e o cálculo mental quando

possível.

9º

(EF09M11) Construir procedimentos de cálculo para operar com frações

algébricas, estabelecendo analogias com procedimentos numéricos.

9º

(EF09M12) Analisar, interpretar, formular e resolver problemas que

incluam sistemas de equações de 1º e 2º graus.

9º

(EF09M13) Analisar e representar padrões e funções utilizando

expressões algébricas, palavras, tabelas e gráficos.

9º


O Ciclo Autoral estabelece relações com o que já foi construído e permitindo o

desenvolvimento de conhecimentos mais complexos. Os alunos têm a possibilidade

de trabalhar com uma maior quantidade de conteúdos algébricos. Além disso, é dada

a eles e oportunidade de usar a generalização matemática a partir de estruturas que

vem sendo construídas durante os anos anteriores, como: construções gráficas e

análise de situações que envolvem padrões aritméticos e algébricos.

O aluno precisa não só operacionalizar a Matemática presente na equação,

mas também conseguir representá-la de outra forma, por exemplo, usando a

representação gráfica ao demonstrar no plano cartesiano seu comportamento

(Blanton e Kaput, 2005). Várias estratégias podem ser criadas para essa

demonstração, configurando, assim, a modelação matemática para o

desenvolvimento do pensamento algébrico.

Ainda para o último ano do Ensino Fundamental, o Currículo da Cidade

apresenta a construção, análise, interpretação e representação algébrica que ajudem

no desenvolvimento de conteúdos como sistemas de equação, frações algébricas e

funções, com diferentes representações.

81

Para iniciar nossa análise dos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento

do último ciclo prescrito pelo currículo da cidade de São Paulo (2017), apontaremos

os objetivos EF07M12 e EF07M15. Eles expõem a busca de soluções para problemas

envolvendo as equações do 1º grau e ainda grandezas direta ou inversamente

proporcionais.

Segundo Blanton e Kaput (2005), trabalhar com a Álgebra em um contexto

aritmético, na Aritmética generalizada, é conseguir olhar para os conteúdos e permitir

que os alunos encontrem similaridades que contribuam para a aprendizagem. Não

basta apenas resolver os problemas propostos, é importante que os estudantes

percebam que existem generalizações entre diferentes situações matemáticas que

contribuirão para a aquisição do conhecimento.

Os autores chamam a atenção para o uso dos símbolos que na Álgebra fazem-

se muito presentes. Nesse ciclo, os conteúdos introduzem muitas operações a serem

resolvidas e se o aluno tiver construído desde os primeiros anos a percepção das

propriedades dessas operações, conseguirá resolver os problemas propostos.

Para o oitavo ano do Ensino Fundamental, encontramos uma maior quantidade

de objetivos que atendem às características da Aritmética generalizada. São sete

objetivos classificados, a saber: EF08M07, EF08M08, EF08M09, EF08M10,

EF08M12, EF08M13 e EF08M14. Esses objetivos indicam uma continuidade dos

trabalhos já apresentados no Ciclo Interdisciplinar. Incluem a busca por entender as

relações existentes entre os diversos conteúdos, a interpretação das questões

propostas e o reconhecimento de padrões importantes para a resolução de

problemas. Tudo isso permite-nos a olhar para eles e perceber que esses objetivos

de aprendizagem e desenvolvimento convidam a investigações que nos levam às

generalizações que são, para Blanton e Kaput (2005), a principal característica do

pensamento algébrico, como já afirmado.

Ainda para esses autores, a resolução de expressões numéricas e equações

proporciona um olhar para a Álgebra sob a perspectiva da Aritmética generalizada,

como aparece nos objetivos EF09M10, EF09M12 e EF09M13. Já o objetivo EF09M11

trata do número algebricamente (Blanton e Kaput, 2005), ou seja, do estudo das

frações algébricas olhando para as generalizações e não apenas para seu valor

82

numérico. Os quatro objetivos apresentados neste parágrafo compõem aqueles que

entendemos demonstrar as características do pensamento quantitativo para o 9º ano

do Ensino Fundamental.

5.2 Pensamento Funcional

Para continuar nossa análise sobre os objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento presentes no currículo de Matemática da cidade de São Paulo

(2017), à luz da categoria do pensamento funcional de Blanton e Kaput (2005),

apontamos os objetivos prescritos para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental.




(EF01M14) Organizar e ordenar objetos familiares ou representações

figurais por meio de atributos, tais como cor, formato e medida.

1º




1º




2º

(EF02M14) Descrever oralmente um padrão (ou regularidade) de

sequências numéricas ou figurais, repetitivas ou recursivas, por meio de

palavras ou de representações pessoais.

2º

83

(EF02M15) Descrever elementos ausentes em sequências numéricas ou

figurais, repetitivas ou recursivas, por meio de palavras ou de

representações pessoais e continuar a sequência a partir de um padrão.

2º

(EF03M12) Investigar regularidades em sequências ordenadas de

números naturais, resultantes da realização de adições ou de subtrações

sucessivas de um mesmo número.

3º



seguintes.

3º




3º


As indicações feitas em EF01M14 e EF01M15 direcionam o olhar à

investigação matemática em sequências numéricas ou figurais, especificamente à

identificação e à descrição de padrões numéricos e geométricos. A descoberta dessas

regularidades é, para Blanton e Kaput (2005), característica do pensamento funcional,

que dá a oportunidade aos alunos de observar, sob diferentes perspectivas, os

conteúdos matemáticos trabalhados.

Ainda nessa perspectiva, os objetivos destacados para o segundo ano do

Ensino Fundamental têm características do pensamento algébrico, como: simbolizar

quantidades e operar com as expressões simbólicas, descobrir relações funcionais e

prever resultados desconhecidos usando dados conhecidos. Essas características

estão presentes nos objetivos EF02M13, EF02M14 e EF02M15. Blanton e Kaput

(2005, p. 426, tradução nossa) afirmam:

Encontrar, descrever, justificar e simbolizar relações matemáticas entre quantidades que variam é crucial para o ensino da matemática escolar, porque cria fundamentos conceituais para as situações que promovem o pensamento funcional, que ocorre em graus posteriores. Em particular, traz à

84

tona relacionamentos e estrutura em dados que permitem aos alunos modelar o mundo físico e pensar em abstrações além das restrições concretas de números específicos.

A investigação de regularidades, a busca de padrões numéricos ou figurais e

ainda a procura por valores desconhecidos são também traços do pensamento

funcional, apontados por Blanton e Kaput (2005). Eles encontram-se descritos nos

objetivos de aprendizagem e desenvolvimento do terceiro ano do Ensino

Fundamental. Esses objetivos estão prescritos com os códigos EF03M12, EF03M13

e EF03M14.

A seguir, os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento indicados para o

Ciclo Interdisciplinar serão analisados também sob a perspectiva do pensamento

funcional (BLANTON; KAPUT, 2005).






4º



naturais.

4º



5º



5º

85




5º




6º


não proporcionalidade entre duas grandezas

6º


Ao analisar a categoria do pensamento funcional para o Ciclo Interdisciplinar,

notamos que os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento indicados nele

consolidam outros propostos no ciclo anterior. A proposta de investigação faz-se ainda

mais presente nos textos, bem como a busca por soluções de problemas envolvendo

o trato com os números. O que chama a atenção é a maneira como é feita a

prescrição, permitindo que os alunos desenvolvam suas estratégias para chegar a

uma generalização dos conteúdos propostos. Para Blanton e Kaput (2005), não é

apenas a resolução das questões que importa, mas maneira como elas são

trabalhadas, o caráter algébrico dado aos diferentes contextos. Os autores afirmam:

“entendemos que, nos casos em que os alunos usam generalizações matemáticas

para construir outras generalizações, promove-se um nível sofisticado de pensamento

algébrico”. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 427, tradução nossa).

Encontramos no Ciclo Interdisciplinar várias situações em que os alunos terão

que buscar regularidades para aplicar nas diferentes atividades propostas, o que,

como apontado anteriormente, segundo Blanton e Kaput (2005) promove um nível

sofisticado de pensamento algébrico. Esses padrões estão sugeridos em objetivos

de aprendizagem e desenvolvimento como: EF04M15 e EF04M16 que tratam das

sequências de números naturais, as quatro operações fundamentais ― EF05M11,

EF05M12 e EF05M13 que traz a adição, subtração, multiplicação e divisão e

proporcionalidade ― e ainda a divisibilidade e as grandezas direta e inversamente

proporcionais (EF06M13 e EF06M15).

86

No Quadro 15, apresentamos os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento

presentes no Ciclo Autoral que, conforme nossa análise, enquadram-se na categoria

do pensamento funcional, baseado no trabalho de Blanton e Kaput (2005).


Ciclo Autoral


(EF07M10) Identificar diferentes usos para as letras ou símbolos, em

situações que envolvam generalização de propriedades, incógnitas,

fórmulas, relações numéricas e padrões.

7º

(EF07M11) Traduzir e resolver um problema em linguagem algébrica,


7º

(EF07M12) Solucionar equações do 1º grau compreendendo o

significado de incógnita e da raiz.

7º

(EF07M13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou

símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a

de incógnita.

7º

(EF07M14) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades


7º

(EF07M15) Solucionar e elaborar problemas que envolvam variação de

proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas, utilizando

sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

7º

87



7º




8º




8º




8º

(EF08M11) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas

a uma reta no plano cartesiano.

8º




plano cartesiano.

8º



variadas.

8º



8º

88

(EF09M08) Representar a variação de duas grandezas, analisando e

caracterizando o comportamento dessa variação.

9º

(EF09M09) Relacionar expressões algébricas e gráficas em planos

cartesianos, explorando os significados de intersecção e declive, com

uso de tecnologias digitais ou não.

9º




possível.

9º



9º



9º



9º


Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento prescritos para o sétimo ano

do Ensino Fundamental que, para nós, pertencem a categoria do pensamento

funcional são: EF07M10, EF07M11, EF07M12, EF07M13, EF07M14 e EF07M15.

Percebemos nesses objetivos características do pensamento funcional apontadas por

Blanton e Kaput (2005): a utilização de símbolos, o uso de números conhecidos para

encontrar valores desconhecidos, as diferentes representações, como a gráfica, e a

busca por padrões.

Para os autores,

o pensamento funcional dá foco ao processo em que tarefas aritméticas ganham um caráter generalizado, esses padrões e as relações estabelecidas

89

produzem um parâmetro nas tarefas matemáticas, levando os alunos a aprenderem, de fato, o conteúdo. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 414, tradução nossa)

A prescrição desses objetivos, em nossa análise, permite que os alunos

busquem, a partir de situações-problema, as soluções por diferentes estratégias

matemáticas. Quando, por exemplo, o aluno estiver calculando a raiz de uma

equação, a representação desta no plano cartesiano poderá contribuir para a

visualização do conjunto-solução desse problema.

Essa construção poderá ser feita tanto no caderno quanto no computador, com

ajuda de um software que permita essa representação.

Assim como os objetivos de aprendizagem do ano anterior, aqueles prescritos

para o oitavo ano do Ensino Fundamental indicam a possibilidade de o aluno investigar

o que é proposto, buscar diferentes formas de resolução dos problemas e encontrar

as generalizações necessárias para a aprendizagem.

O pensamento algébrico busca encontrar, descrever, justificar e simbolizar relações matemáticas entre quantidades. É crucial para o ensino da matemática escolar, porque cria fundamentos conceituais para a formalização do pensamento funcional que ocorre em graus posteriores. Em particular, traz à tona relacionamentos e estrutura em dados que permitem aos alunos modelar o mundo físico e pensar em abstrações além das restrições concretas de números específicos. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 426, tradução nossa)

Isso fica evidente nos objetivos de EF08M08 a EF08M14, quando o texto

sugere a elaboração de problemas, a interpretação das situações matemáticas dadas

e a busca por generalizações e padrões para a resolução de questões similares.

Para o nono ano do Ensino Fundamental, temos os objetivos de aprendizagem

e desenvolvimento do EF09M08 até o EF09M13. Neles a representação matemática

por meio de tabelas e/ou gráficos aparece com frequência, pois os conteúdos

permitem diferentes estratégias de resolução.

Blanton e Kaput (2005, p. 424, tradução nossa) mencionam esse tipo de

representação:

Embora a representação gráfica não seja um raciocínio inerentemente algébrico, nós a definimos, ela é incluída porque representa uma maneira de codificar informações (graficamente) que permite a análise de relações funcionais. Nesse sentido, desempenha um papel de apoio para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

90

Os alunos têm a possibilidade de utilizar diversas representações para

encontrar padrões matemáticos importantes para configurar o pensamento funcional:

a representação figural, a língua materna e a representação gráfica. Analisar as

informações dos gráficos observando o plano cartesiano e/ou as tabelas, com ou sem

o uso de tecnologias, resolvendo questões por meio de analogias com outros

procedimentos numéricos, é uma das possibilidades que os objetivos oferecem para

que os alunos consigam desenvolver o pensamento algébrico.

5.3 Modelação

A modelação, segundo Blanton e Kaput (2005), apresenta-se como uma

categoria ligada tanto à Aritmética generalizada quanto ao pensamento funcional. Por

isso, modelar é, para esses autores, buscar diferentes abordagens para um mesmo

conteúdo matemático.

Para Blanton e Kaput (2005), compreender o sentido das operações

matemáticas é fator essencial para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Isso

porque o pensamento quantitativo e o pensamento funcional proporcionam não só a

operacionalização numérica, mas também a descoberta do sentido matemático em

diversos contextos; e, segundo os autores, a modelação está vinculada à existência

das duas categorias anteriores.

Os autores descrevem a modelação como

uma categoria do desenvolvimento do pensamento algébrico que envolve também generalizar regularidades, buscar situações ou fenômenos matemáticos nos quais a própria regularidade é secundária, sendo isso a maior característica da modelação. (BLANTON e KAPUT, 2005, p. 414, Tradução nossa)

No Quadro 16, apresentamos os objetivos de aprendizagem prescritos no Ciclo

de Alfabetização do currículo da cidade de São Paulo (2017) que, segundo nossa

análise, enquadra-se dentro da categoria modelação, definida por Blanton e Kaput

(2005) quando tratam do desenvolvimento do pensamento algébrico.

91







1º




2º

(EF02M15) Descrever elementos ausentes em sequências numéricas ou

figurais, repetitivas ou recursivas, por meio de palavras ou de

representações pessoais e continuar a sequência a partir de um padrão.

2º



seguintes.

3º




3º


O objetivo de aprendizagem e desenvolvimento EFM01M15, proposto para o

primeiro ano do Ensino Fundamental, evidencia as características da categoria

modelação quando propõe um trabalho do pensamento funcional dentro de um

contexto da aritmética generalizada, pois, de acordo com Blanton e Kaput (2005) o

aluno poderá desenvolver o pensamento algébrico de diferentes maneiras

(modelação), buscando regularidades importantes para a aprendizagem do conteúdo.

92

Isso também acontece com os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento

prescritos para o segundo ano do Ensino Fundamental, EF02M13 e EF02M15. Eles

tratam da busca e da construção de regularidades matemáticas dentro do contexto da

sequência dos números naturais, a fim de chegar a uma generalização importante que

permita aos alunos resolverem outras situações por analogia, o que para Blanton e

Kaput (2005) é uma das características da modelação.

Essa categoria também é vista nos objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento do terceiro ano do Ensino Fundamental, com os códigos EF03M13

e EF03M14, nos quais são propostos a continuação e a ampliação do pensamento

algébrico inserido na sequência dos números naturais.

Apenas a resolução das atividades a partir da adição e da subtração não nos

garante que os alunos tenham, de fato, aprendido o conteúdo matemático. É preciso

ir além, fazer com que eles compreendam os padrões matemáticos que envolvam

esse conteúdo. Dessa forma, haverá, aos poucos, a generalização matemática,

possibilitando que os alunos utilizem essas regularidades em outros momentos.

Para Kaput (2008), o caminho envolve introduzir a Álgebra ao longo de todo o

currículo desde o início da vida escolar. Nesse sentido, o Currículo da Cidade, atende

ao proposto pelo autor, visto que a Álgebra é proposta desde o primeiro ano do Ciclo

de Alfabetização, com o objetivo de principiar o trabalho com o desenvolvimento do

pensamento algébrico por meio de representação numérica e/ou figural.

Percebemos que os conteúdos são organizados, inicialmente, com situações

mais próximas à realidade dos alunos para que esse pensamento seja constituído por

eles no decorrer de suas conquistas escolares. Ainda nesse ciclo, o aluno ora é

provocado a responder oralmente sobre sequências numéricas ou figurais, ora é

estimulado a escrever suas conclusões. Dessa forma, vai conquistando o

conhecimento algébrico a partir de suas produções, com o auxílio do professor.

Para Kieran et al. (2016), a Álgebra passou a ser encarada não apenas como

um conjunto de técnicas e cálculos, mas também como uma forma de pensar e

raciocinar sobre situações matemáticas que aparecem dentro e fora da escola. Essas

situações contribuem para o desenvolvimento do pensamento algébrico do aluno.

Ainda segundo os autores, conseguir aproximar o conhecimento escolar com a

93

realidade do estudante é uma importante tarefa que os professores exercitam no

decorrer de sua vida profissional, o que faz com que os discentes percebam o

conhecimento formal inserido em sua realidade, e possibilita uma aprendizagem com

mais sentido.

No Ciclo da Alfabetização, percebemos que os objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento detalham os objetos de conhecimento e nos levam a entender que

os alunos são desafiados a desenvolver os saberes matemáticos a partir de

conhecimentos prévios pois sugerem tarefas de investigação, a busca por padrões.

Dessa forma, é possível que já nos primeiros anos escolares os discentes tenham a

possibilidade de iniciar o desenvolvimento da autonomia na resolução de questões

matemáticas.

Esse trabalho, como apresentado na análise dos objetivos, inicia-se com o trato

da Álgebra usando o conhecimento já adquirido pelos alunos em seu contexto de vida.

Aos poucos, ele é formalizado em concomitância com o trabalho aritmético, usando

diferentes representações para desenvolver as generalizações matemáticas a partir

de situações diversas. Para Blanton e Kaput (2005, p. 427) os estudantes passam a

“alcançar um nível de abstração em que eles poderiam argumentar com uma

generalização para produzir uma outra generalização”.

Com a discussão desses objetivos, encerramos a análise proposta para o Ciclo

de Alfabetização. Para o Ciclo Interdisciplinar, apresentamos a seguir os objetivos de

aprendizagem e desenvolvimento apontados como pertencentes à categoria da

modelação.

Quadro 17– Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.





4º

94



naturais.

4º



5º



5º




5º




6º


não proporcionalidade entre duas grandezas.

6º


Os objetivos EF04M15 e EF04M16, que são propostos no quarto ano do Ensino

Fundamental, apontam características da modelação. Esta, segundo Blanton e Kaput

(2005), está diretamente ligada à Aritmética generalizada e ao pensamento funcional.

Esses objetivos de aprendizagem e desenvolvimento apontam para a

continuidade do trabalho com as sequências de números naturais, agora buscando

regularidades com os múltiplos dos números naturais. Percebendo os padrões

existentes dentro desse contexto, os alunos constatarão as operações fundamentais

da Aritmética. A procura de números desconhecidos dentro da sequência numérica

sugere ir ao encontro de uma generalização que permita ao aluno entender o conteúdo

e reaplicá-lo em situações análogas.

95

No quinto ano, o objetivo EF05M11 ainda aponta características daquilo que

foi ensinado no quarto ano. Desse modo, reforça-se a ideia de perceber as

regularidades para que se consolide a aprendizagem.

Já os objetivos EF05M12 e EF05M13 indicam o trabalho com as primeiras

ideias da divisão em partes iguais e/ou proporcionais. O aluno, quando compreende

os conceitos de grandezas proporcionais, aprende outra possibilidade de resolver

questões com um viés aritmético. Apenas sua operacionalização não garante que a

modelação aconteça; porém, para Blanton e Kaput (2005), poder resolver problemas

matemáticos com diferentes estratégias é uma forma de modelar a Matemática.

Para o sexto ano, o documento sugere investigações com a Aritmética. Elas

possibilitam ao aluno a compreensão dos conteúdos. Saber como se comporta

determinada situação matemática faz com que o discente perceba resultados até

mesmo antes de calculá-los. Por exemplo, ao entender de que forma é possível ter o

resto de uma divisão, o educando consegue criar estratégias para resolver divisões

futuras.

Isso também acontece quando há o entendimento das grandezas direta ou

inversamente proporcionais. Por analogia e com a mediação do professor, os alunos

conseguirão resolver outras situações, desde que tenha havido o entendimento do

conteúdo.

Analisando os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento prescritos para

esse ano escolar, espera-se que os estudantes tenham desenvolvido estratégias nos

anos anteriores e consigam formular as generalizações importantes para a resolução

dos problemas e a aquisição do conhecimento matemático. Com isso, poderão

configurar a aprendizagem algébrica.

Passemos agora para a análise da presença da modelação no Ciclo Autoral. O

Quadro 18, lista os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento em que ela pode

ser notada.

96


Ciclo Autoral


(EF07M10) Identificar diferentes usos para as letras ou símbolos, em

situações que envolvam generalização de propriedades, incógnitas,

fórmulas, relações numéricas e padrões.

7º

(EF07M11) Traduzir e resolver um problema em linguagem algébrica,


7º

(EF07M13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou

símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a

de incógnita.

7º

(EF07M14) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades


7º



8º




8º




8º

97




8º

(EF08M11) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas

a uma reta no plano cartesiano.

8º




plano cartesiano.

8º



variadas.

8º



8º

(EF09M08) Representar a variação de duas grandezas, analisando e

caracterizando o comportamento dessa variação.

9º

(EF09M09) Relacionar expressões algébricas e gráficas em planos

cartesianos, explorando os significados de intersecção e declive, com

uso de tecnologias digitais ou não.

9º




possível.

9º

98



9º



9º



9º


Para iniciar a análise dos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento do

Ciclo Autoral, apresentamos as características encontradas que configuram a

modelação, de acordo com os parâmetros de Blanton e Kaput (2005).

Supomos que essa categoria, a modelação, reflita mais a capacidade dos alunos de raciocinar algebricamente e, devido à sua complexidade, o pensamento algébrico estava se tornando um hábito mental para os estudantes, a partir da resolução de diferentes situações. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 428 – tradução nossa)

Para o sétimo ano do Ensino Fundamental, encontramos objetivos sugerindo

diferentes abordagens para a resolução de situações matemáticas. O uso de

diferentes estratégias contribui para a generalização das propriedades aprendidas

(EF07M10 e EF07M11).

Ainda no sétimo ano, destacamos os objetivos EF07M13 e EF07M14, que

propõem a ideia de encontrar números desconhecidos mediante valores conhecidos

por meio de símbolos que representam números. Aqui verificamos um olhar algébrico

em um contexto aritmético. Essa confluência de áreas da Matemática se adequa às

afirmações de Blanton e Kaput (2005).

Ainda nessa perspectiva, apresentamos os objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento para o oitavo ano do Ensino Fundamental. Eles vão do EF08M07 ao

EF08M14. Todos apresentam características dessa vertente do pensamento

algébrico.

99

Nesses objetivos de aprendizagem e desenvolvimento encontramos as

diferentes representações para uma equação e uma inequação do 1º grau e para os

sistemas de equações do primeiro grau. Essas representações, de acordo com a

proposta curricular, podem ser tanto as algébricas quanto a gráfica, usando o plano

de coordenadas cartesianas para expressar a solução das questões. Dessa maneira,

é possível que o aluno visualize as interseções com os eixos cartesianos e também

as coordenadas do conjunto-solução do sistema. Além disso, as diferentes maneiras

de resolver questões que envolvam o cálculo com grandeza direta ou inversamente

proporcionais e a generalização da fatoração dos produtos notáveis aparecem ainda

prescritos para o oitavo ano e se enquadram na categoria da modelação: “Usando

generalizações para resolver tarefas algébricas, justificativa, prova e teste de

conjecturas e generalizando um processo matemático”. (BLANTON; KAPUT, 2005, p.

428)

Encontramos no nono ano do Ensino Fundamental as mesmas características

observadas para o oitavo ano. Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento

prescritos para esse ano escolar apontam características como: a representação em

diferentes situações no contexto algébrico e no aritmético e a generalização de

regularidades matemáticas, que, para Blanton e Kaput (2005), pois descrevem a

modelação. De EF09M08 até EF09M13, verificamos a sugestão de leituras,

interpretações e análises diversas, em diferentes perspectivas, para chegar a um

mesmo resultado: a generalização.

5.4 Eixos Articuladores

Ainda sobre os objetivos prescritos no currículo da cidade de São Paulo,

exporemos nossa análise dos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento para os

eixos articuladores. Nesta seção, optamos por apresentá-los divididos em ciclos e em

anos escolares, assim como os demais objetivos de aprendizagem e desenvolvimento

estudados até este momento, mas sem subdividi-los nas categorias que definem o

pensamento algébrico na perspectiva de Blanton e Kaput (2005).

Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento que aparecem nos eixos

articuladores e que foram classificados por nós como pertencentes aos objetivos de

aprendizagem e desenvolvimento relacionados à Álgebra apresentam características

100

de um trabalho voltado para investigações matemáticas. Estas permitem que os

alunos busquem estratégias para jogos matemáticos, padrões para a resolução de

situações problemas e generalização matemática.

Entendemos que esses objetivos apresentam características das categorias

estudadas até aqui. Assim, descreveremos os aspectos que comprovam nossa visão.

Analisaremos os próximos quadros que apresentam os objetivos prescritos para os

eixos articuladores, à luz das categorias dos pesquisadores Blanton e Kaput (2005).




(EF01M34) Participar de jogos e brincadeiras tradicionais que

explorem contagens, cálculos rápidos, movimentos etc., realizando

adivinhações, decifrando charadas, levantando hipóteses e testando-

as.

(EF01M35) Explorar diferentes formas de registro de jogos e

brincadeiras: elaboração de texto coletivo das regras do jogo,

registros por meio de tabelas e gráficos.

1º ano

(EF01M38) Explicar oralmente as estratégias e os processos de

raciocínios utilizados na resolução de um problema.

(EF01M39) Explicar oralmente os registros feitos e as respostas

obtidas na resolução de um problema.

101

(EF02M32) Realizar jogos de estratégia em que o objetivo é a

descoberta de um caminho para vencê-lo e justificar a decisão do

caminho tomado.

(EF02M33) Realizar jogo de quebra-cabeça usando estratégias e

analisando possibilidades de encaixe de peças.

2º ano (EF02M36) Expressar, oralmente e de forma organizada, o processo

desenvolvido na resolução de um problema e justificar a resposta,

usando vocabulário pessoal.

(EF02M37) Elaborar coletivamente perguntas para um problema

apresentado pelo professor e resolvê-lo, verificando a validade da

solução.

(EF03M36) Formular coletivamente o enunciado de um problema a

partir de uma sentença matemática e resolvê-lo, analisando a

plausibilidade dos resultados.

(EF03M37) Investigar a validade da propriedade comutativa da

adição a partir de regularidades.

3º ano


Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento que aparecem nos Eixos

Articuladores do Ciclo de Alfabetização introduzem a ideia da investigação

matemática. Os alunos deverão trabalhar importantes conceitos matemáticos dentro

de atividades diferenciadas.

Podemos perceber a existência de características da Aritmética generalizada

quando, por exemplo, nos objetivos EF01M34 e EF01M35, o aluno é desafiado a

reconhecer a presença de cálculos matemáticos em jogos e brincadeiras e quando,

em EF01M38 e EF01M39, é convidado a explicar oralmente os procedimentos

utilizados nessas atividades. Notamos que o trato dos números é feito dentro de um

contexto do pensamento funcional e da modelação.

102

Para o segundo ano, os objetivos EF02M32 e EF02M33 sugerem a descoberta

de estratégias necessárias para o desenvolvimento dos jogos de caminhos

matemáticos e de quebra-cabeça. As buscas pelas estratégias matemáticas utilizadas

para a realização dos jogos definem uma das características da modelação, segundo

Blanton e Kaput (2005).

Ainda nesse ciclo, os objetivos EF03M36 e EF03M37 indicam o

reconhecimento do número como algébrico (Aritmética generalizada) e a utilização da

propriedade comutativa para descobrir regularidades matemáticas (pensamento

funcional). Para Blanton e Kaput (2005), com a percepção dessas duas vertentes do

pensamento algébrico, podemos visualizar também a outra categoria, a modelação,

na qual a Matemática é usada, dentro de um contexto algébrico, em diferentes

possibilidades.

O Quadro 20 é um recorte dos objetivos prescritos no Ciclo Interdisciplinar, para

os Eixos Articuladores que, em nossa visão, contêm um viés algébrico.




(EF04M40) Investigar regularidades em multiplicações por 0 e por 1

e produzir um texto comunicando as conclusões obtidas. 4º ano

(EF05M36) Realizar jogos de tabuleiro (estratégia e conhecimento) e

justificar as estratégias usadas e a antecipação de jogadas.

(EF05M37) Formar triângulos, quadrados e retângulos com um

número limitado de peças do Tangram (ou outro tipo de quebra-

cabeça), justificando a escolha das peças. 5º ano

(EF05M40) Justificar a linguagem matemática e as estratégias

usadas na resolução de um problema.

103

(EF05M41) Investigar a validade da propriedade distributiva da

multiplicação em relação à adição (ou subtração) e a mesma

propriedade para a divisão em relação à adição (ou subtração), a

partir da observação de regularidades.

(EF06M40) Investigar se as relações de dobro de um número e

quadrado de um número são ou não equivalentes, justificando sua

resposta.

6º ano (EF06M41) Investigar a existência de quadrados perfeitos em uma

sequência figural, observando regularidades e associando-os à raiz

quadrada exata.


O objetivo EF04M40, prescrito para o quarto ano do Ensino Fundamental

aponta o trabalho com regularidades matemáticas, configurando assim uma

característica da Aritmética generalizada. A sugestão de expressar as ideias em forma

de texto produz a possibilidade de representar a situação matemática de outra

maneira, sendo essa uma das subcategorias do pensamento funcional.

Para o quinto ano, os objetivos sugerem o trabalho com jogos, como o tabuleiro

e o Tangram, para a construção de alguns conceitos matemáticos importantes como

o reconhecimento das características das figuras geométricas planas. Além disso,

reforçam a justificação dos procedimentos matemáticos por meio de uma

representação na língua materna. A investigação matemática também é utilizada

pelos objetivos dos Eixos Articuladores como proposta de atividades.

Finalizando o Ciclo Interdisciplinar, o sexto ano propõe, nos objetivos EF06M40

e EF06M41, novamente atividades de investigação. Como já afirmado, para Blanton

e Kaput (2005), o desenvolvimento do pensamento algébrico passa pelas diversas

representações que podemos dar aos números e não apenas pela operacionalização

matemática. O conhecimento matemático, segundo os autores, acontece quando os

alunos conseguem enxergar as generalizações existentes em diferentes situações e

podem reaplicá-las por analogia.

104

O Ciclo Autoral, etapa final do Ensino Fundamental, com seus objetivos de

aprendizagem e desenvolvimento, busca consolidar o desenvolvimento de

pensamento algébrico com atividades diferenciadas que atendam às necessidades

dos alunos.

No quadro 21, apresentamos os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento

propostos nos Eixos Articuladores do Ciclo Autoral.


Ciclo Autoral


(EF07M35) Realizar jogos, envolvendo tecnologias digitais que

permitam ampliar e reduzir figuras geométricas planas, propondo

discussões sobre as deformidades e argumentando sobre elas.

7º ano (EF07M38) Investigar se duas expressões algébricas, obtidas para

descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica, são

ou não equivalentes, justificando seus procedimentos.

(EF08M38) Investigar se duas expressões algébricas, obtidas para

descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica, são

ou não equivalentes, justificando seus procedimentos.

8º ano

(EF09M35) Realizar jogos que envolvem estratégias de percepção

de regularidades e percepção do processo de generalização. 9º ano


Analisaremos a seguir as prescrições para as turmas do sétimo ao nono ano

do Ensino Fundamental da cidade de São Paulo.

Os objetivos EF07M35 e EF09M35 propõem jogos e atividades digitais que

colaborem com a aprendizagem matemática. Os alunos, utilizando softwares

matemáticos, podem construir e/ou continuar a construção do pensamento algébrico

105

com ferramentas que possibilitam a percepção de conceitos matemáticos. Essa é uma

característica do pensamento algébrico encontrada em uma das vertentes da

modelação. Já os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento EF07M38 e

EF08M38 investigam regularidades nas sequências numéricas; e, o que proporciona

a generalização e, como vimos anteriormente, é a principal característica do

pensamento algébrico (BLANTON; KAPUT, 2005).

Encerrando nossa análise, percebemos que os objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento apresentados pelo currículo da cidade de São Paulo para o eixo

Álgebra e também para os eixos articuladores proporcionam, no decorrer de todos os

anos do Ensino Fundamental, o desenvolvimento do pensamento algébrico e,

consequentemente, a aprendizagem da Álgebra. Observamos que todos os objetivos

analisados enquadram-se em pelo menos uma das vertentes do pensamento

algébrico propostas por Blanton e Kaput (2005) ― Aritmética generalizada,

pensamento funcional e modelação.

Ressaltamos que todos os objetivos dos Eixos Articuladores enquadram-se nas

três categorias propostas por Blanton e Kaput (2005), por se tratar de eixos que

propõem um trabalho diferenciado com os conteúdos matemáticos, inseridos em

situações como jogos, atividades com tecnologia e representação das resoluções por

meio de textos.

Dessa forma, concluímos, à luz das pesquisas de Blanton e Kaput (2005), que

o currículo prescrito da cidade de São Paulo para o ensino de Álgebra proporciona a

aprendizagem dos conteúdos desse eixo temático. Com isso, contribui para o

desenvolvimento do pensamento algébrico nos alunos da rede municipal de ensino.

106

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A última seção desta dissertação visa expor nossas conclusões sobre o

trabalho e ainda apontar questões que nos chamaram a atenção no decorrer das

leituras e da análise do documento. Com isso sinaliza um caminho para que futuros

estudos possam ser desenvolvidos buscando respostas para novas inquietações.

Decidimos estudar, neste trabalho, o currículo prescrito da rede municipal de

ensino de São Paulo, fazendo um recorte. Enfocamos o eixo Álgebra, pois as

pesquisas sobre o ensino dessa temática têm se tornado cada vez mais frequentes,

visto que ela passou a ser prescrita para todo o Ensino Fundamental após a

homologação do Currículo da Cidade em 2017.

Com o desenvolvimento desta dissertação, procuramos responder ao seguinte

questionamento: como a Álgebra é apresentada no currículo da Cidade de São Paulo?

Com base nessa indagação, elaboramos este objetivo de pesquisa:

● Analisar os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento para averiguar se eles

contribuem para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

A partir disso, optamos por uma pesquisa qualitativa, com uma análise

documental do currículo da cidade de São Paulo (2017). Com essa perspectiva,

analisamos os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento apresentados no eixo

Álgebra para todos os anos do Ensino Fundamental.

Estudar o currículo prescrito de Álgebra da cidade de São Paulo, no Eixo

Álgebra, possibilitou identificar as concepções que norteiam o discurso sobre seu

ensino. Também permitiu que notássemos aspectos importantes como: a busca por

padrões, o estudo das propriedades envolvendo as operações matemáticas, as

representações da solução de uma equação, todas essas características conduzem

ao desenvolvimento do pensamento algébrico.

Assim, partimos do pressuposto de que, ao elaborar um currículo que atenda à

necessidade de trabalhar com a Álgebra a partir do primeiro ano do Ensino

107

Fundamental, é importante incorporar as pesquisas desenvolvidas nos últimos anos

sobre a temática.

As categorias: aritmética generalizada, pensamento funcional e modelação,

apresentadas por Blanton e Kaput (2005) nos deram a possibilidade de analisar de

que forma a Álgebra está apresentada no currículo da Cidade de São Paulo, e verificar

se esse eixo permite o desenvolvimento do pensamento algébrico. Conseguimos

observar cada objetivo de aprendizagem e desenvolvimento, prescrito para todos os

anos do Ensino Fundamental, classificando-os a partir dessas vertentes do

pensamento algébrico.

Após a análise dos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento, ano a ano,

percebemos o currículo da Cidade de São Paulo, proporciona o desenvolvimento do

pensamento algébrico e, por consequência, a aprendizagem da Álgebra.

Neste sentido, julgamos ricas as recomendações apresentadas no Currículo da

Cidade, para o trabalho com a Álgebra em todo o Ensino Fundamental. Sendo assim,

consideramos ser essencial estudar o currículo prescrito visto que, como já

evidenciamos, é dele que resultam as outras fases da construção curricular. Além

disso, para que proporcionemos o desenvolvimento da aprendizagem dos alunos, o

papel do professor é de extrema importância, dessa maneira, é necessário a formação

continuada, a fim de propiciar aos professores subsídios que os auxiliarão nas

intervenções, nas situações ofertadas aos estudantes as quais, possibilitam a busca

por generalizações matemáticas, que são, efetivamente, as principais características

do pensamento algébrico.

Entendemos que um grande desafio, é encontrar formas de tornar a Álgebra

acessível para todos os alunos, permitir que os discentes desenvolvam o pensamento

algébrico a partir de situações propostas ao longo dos anos escolares. O currículo da

Cidade de São Paulo nos fez perceber que o grande objetivo de ensinar a Álgebra é

desenvolver o pensamento algébrico nos alunos e este documento possibilita o

trabalho com esse eixo de forma que o pensamento algébrico seja criado e

desenvolvido.

O pensamento algébrico é visto como uma formação do pensamento, podendo

ser trabalhado a partir do início da vida escolar da criança. Para que os conteúdos

108

aprendidos façam sentido é importante permitir que os alunos elaborem suas

descobertas, criem suas estratégias e consigam generalizar situações matemáticas

como encontramos nos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento do currículo da

cidade de São Paulo.

Entendemos, também, que não basta ensinar a Álgebra com o cálculo, é

preciso fazer um trabalho que permita que os alunos percebam as generalizações

dentro de atividades matemáticas. Dessa forma, garante-se a aprendizagem e o

desenvolvimento do pensamento algébrico.

Durante nossa pesquisa, percebemos que, para que os professores

desenvolvam atividades que contribuam para o desenvolvimento do pensamento

algébrico, terão que modificar suas práticas em sala de aula. É necessário relacionar

atividades de outros eixos com a Álgebra, e perceber a Álgebra dentro de situações

apresentadas nos demais eixos, dando dessa forma a possibilidade do aluno de

construir regularidades, conjecturas, generalizações.

Após analisar o Currículo da Cidade entendemos que, quando o aluno é

apresentado aos conteúdos de forma que estes possam ser percebidos em diferentes

contextos, quando os alunos passam a buscar padrões matemáticos, estes conceitos

passam a constituir uma base importante para o pensamento algébrico. Este

pensamento será desenvolvido no decorrer dos anos posteriores, dado ao aluno mais

autonomia da tomada de decisões.

Diante de tudo que mencionamos e no decorrer de nossas análises, uma

questão nos chamou a atenção: quais os conhecimentos que os professores possuem

para trabalhar com o eixo Álgebra?

Canavarro (2007, p. 110) aponta que,

O desenvolvimento do pensamento algébrico é uma importante função que o professor deve assumir. Na exploração matemática das tarefas realizadas pelos alunos tendo em vista este propósito, é importante que o professor lhes dê a conhecer “objetos” como tabelas diversas, retas numéricas, diagramas, gráficos de vários tipos, artefatos visuais, materiais concretos.

Estes objetos tornam-se referência sobre o pensamento algébrico dos alunos.

Entendemos que faz-se necessário o estudo do currículo por parte dos professores,

bem como, estudar maneiras de desenvolver o pensamento algébrico dos alunos com

109

atividades que exijam deles a principal característica do pensamento algébrico, a

generalização.

Agora esse eixo passa a ser institucionalizado a partir do primeiro ano e a

formação inicial dos pedagogos, em relação às especificidades matemáticas, é muito

pequena como é possível observar nos currículos dos cursos de graduação apontados

por Curi (2005). Portanto, faz-se necessário encontrar uma maneira de conciliar a

formação docente e as propostas desse eixo.

Entendemos que se faz necessário que os professores desenvolvam atividades

que permitam a identificação de padrões por parte dos alunos, modificação e

adaptação de estratégias na resolução das questões, desenvolvendo o pensamento

algébrico em situações aritméticas.

Esperamos que este trabalho contribua com professores e pesquisadores que

buscam estudos relacionados ao currículo da Matemática. Também tencionamos que

ele colabore com quem procura, especificamente, investigações sobre o ensino da

Álgebra.

110

REFERÊNCIAS

ALMEIDA, J. R.; SANTOS, M. C. Pensamento Algébrico: em busca de uma definição. RPEM, Campo Mourão, v. 6, n. 10, p. 34-60, jan./jun. 2017.

ARCAVI, A. El desarrollo y el uso del sentido de los símbolos. In: Conferência plenária noencontro de investigação em educação matemática. Caminha, Portugal, 2005. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/DA/DA-bibliografia.htm>. Acesso em 08 de nov. 2018.

BLANTON, M. et al. A learning trajectory in six-year-olds’ thinking about generalizing functional relationships. Journal for Research in Mathematics Education, Reston, v. 46, p. 511-558, 2015.

______. Developing essential understanding of algebraic thinking for teaching mathematics in grades 3–5. National Council of Teachers of Mathematics: Reston, 2011. (Essential understandings series).

BLANTON, M. L.; KAPUT, J. Characterizing a classroom practice that promotes algebraic reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, Reston, v. 36, n. 5, p. 412-446, 2005.

______. J. Elementary grade students’ capacity for functional thinking. In: CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 2004, Bergen. Proceedings… Bergen: PME, 2004. p. 135-142. v. 2.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais : introdução aos parâmetros curriculares nacionais / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC/SEF, 1997

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, 2018. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc/>. Acesso em: 21 mar. 2018.

BRUNER, J. The process of education. Cambridge: Harvard University Press, 1960.

______. Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Harvard University Press, 1966.

CANAVARRO, A. P. O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos primeiros anos. Quadrante, Lisboa, v. XVI, n. 2, p. 81-118, 2007.

CANAVARRO, A. P.; PONTE, J. P. O papel do professor no currículo de matemática. Lisboa: Universidade de Lisboa, 2005. Disponível em: <http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/4085/1/05-Canavarro-Ponte(GTI).pdf>. Acesso em: 29 mar. 2018.

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/DA/DA-bibliografia.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/DA/DA-bibliografia.htm

111

CARRAHER, D. W.; SCHLIEMANN, A. D. Powerful ideas in elementary school mathematics. In: ENGLISH, L. D.; KIRSHNER, D. (Ed.). Handbook of international research in mathematics education. 3. ed. New York: Taylor & Francis, 2015. p. 191-218.

CELLARD, André. A análise documental. In: POUPART, J. (Org.). A pesquisa qualitativa: enfoques epistemológicos e metodológicos. Petrópolis: Vozes, 2008. p. 28.

CRESWELL, J. W. Projetos de pesquisa: métodos qualitativos, quantitativos e misto. 3. ed. Porto Alegre: Artmed, 2010.

CURI, E. A formação matemática de professores dos anos iniciais do ensino fundamental face às novas demandas brasileiras. Revista Iberoamerica de Educación, Madrid, n. 37/5, p. 1-9, 2005. Disponível em: Acesso em: 36 de mar de 2019

FIORENTINI, D.; MIORIM, A.; MIGUEL, A. Contribuição para um repensar… a educação algébrica elementar. Pro-posições, Campinas, v. 4, n. 1, p. 78-90, 1993.

GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2008.

HOUSE, P. A. Álgebra: ideias e questões. In: COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Org.) As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. p. 1-8.

KAPUT, J. Teaching and learning a new algebra. In: FENNEMA, E.; ROMBERG, T. A. Mathematics classrooms that promote understanding. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum, 1999. p. 133-155.

______. What is algebra? What is algebraic reasoning? In: KAPUT, J. J.; CARRAHER, D. W.; BLANTON, M. L. (Ed.). Algebra in the early grades. New York, NY: Lawrence Erlbaum, 2008. p. 5-17.

KIERAN, C. The learning and teaching of school algebra. Montreal: Université du Quebec à Montréal, 1992.

KIERAN et al. Research into its Nature, its Learning, its Teaching. London: Springer Open, 2016.

LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI. 4. ed. Campinas: Papirus, 2005.

LUDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: Editora Pedagógica e Universitária, 1986.

PACHECO, J. A. Currículo: teoria e práxis. Porto: Porto Editora, 2005.

PIRES, C. M. C. Currículos de Matemática: da organização linear à ideia de rede. São Paulo: FTD, 2000.

PONTE, J. P. Estudos de caso em educação matemática. Bolema, Rio Claro, SP, v. 19, n. 25, p. 105-132, 2006.

112

PONTE, J. P.; BRANCO, N.; MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. Lisboa: DGIDC, 2009.

SÁ-SILVA, J. R.; ALMEIDA, C. D.; GUINDANI, J. F. Pesquisa documental: pistas teóricas e metodológicas. Rev. Bras. de História & Ciências Sociais, Santa Vitória do Palmar, n. I, p. 1-15, jul. 2009.

SACRISTÁN, J. G. O currículo: uma reflexão sobre a prática. 3. ed. Tradução Ernani F. da Fonseca Rosa. Porto Alegre: Artmed, 2000.

SÃO PAULO (Cidade). Secretaria Municipal de Educação. Coordenadoria Pedagógica. Currículo da Cidade: Ensino Fundamental: Matemática. São Paulo, 2017.

SEVERINO, A. J. Metodologia do trabalho científico. São Paulo: Cortez, 2016.

VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.

universidade cruzeiro do sul programa de pÓs …

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