universidade cruzeiro do sul programa de pÓs

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

DOUTORADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

DIFICULDADES E ERROS DE ALUNOS DO 1º ANO DA

EDUCAÇÃO PROFISSIONAL TECNOLÓGICA DE NÍVEL

MÉDIO NA MODALIDADE INTEGRADA EM MATEMÁTICA:

REFLEXÕES E DESAFIOS

Maria Luisa Perdigão Diz Ramos

Orientadora: Profa. Dra. Edda Curi

Tese apresentada ao Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática, da Universidade Cruzeiro do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Ensino de Ciências e Matemática.

SÃO PAULO 2014

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA

FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA



PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

DIFICULDADES E ERROS DE ALUNOS DO 1º ANO DA

EDUCAÇÃO PROFISSIONAL TECNOLÓGICA DE NÍVEL

MÉDIO NA MODALIDADE INTEGRADA EM MATEMÁTICA:

REFLEXÕES E DESAFIOS

Maria Luisa Perdigão Diz Ramos

Tese de Doutorado defendida e aprovada

pela banca examinadora em 07/11/2014.

BANCA EXAMINADORA:

_________________________________________ Profa. Dra. Edda Curi Universidade Cruzeiro do Sul Presidente

_________________________________________ Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro Universidade Federal do ABC

_________________________________________ Prof. Dr. Armando Traldi Júnior Instituto Federal de São Paulo

_________________________________________ Profa. Dra. Cíntia Aparecida Bento dos Santos Universidade Cruzeiro do Sul

_________________________________________ Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato Universidade Cruzeiro do Sul

Dedico este trabalho a todos os professores que acreditam na possibilidade de

reconstruir o conhecimento do aluno por meio de uma visão pedagógica do erro.

AGRADECIMENTOS

Ao meu bom DEUS, luz presente em meus momentos de incerteza.

Ao meu pai Serafin (saudades) e à minha mãe Grassy, que nos

ensinaram a buscar aquilo em que acreditamos e desejamos.

Ao meu marido Írio, minha luz e meu companheiro, que me auxiliou nas

correções de redação e na construção de ideias deste trabalho. Aos meus filhos,

Tadeu e Rubens, o carinho e a paciência com que souberam entender a minha

ansiedade e, principalmente, a minha ausência.

Aos meus entes queridos, que estiveram sempre ao meu lado,

fortalecendo-me nas horas mais difíceis e compreendendo a minha ausência em

muitos momentos desses últimos anos.

À minha orientadora, professora Dra. Edda Curi, os conhecimentos

recebidos, a paciência e a disponibilidade dispensadas a mim.

Aos professores do curso, todo conhecimento repassado que contribuiu

não somente para a elaboração deste trabalho, mas também para o crescimento de

minha vida pessoal e profissional.

Aos professores que fizeram parte da banca, muito obrigada pelas

preciosas contribuições.

Aos meus queridos alunos, sem os quais a pesquisa da forma como foi

conduzida não se realizaria: muito obrigada.

Aos meus onze colegas de CEFET-MG e companheiros de jornada de

doutorado, a amizade, a força e os ensinamentos, que Deus lhes abençoe.

A todos os professores, colegas e amigos, as palavras animadoras e a

ajuda dada nas horas de dúvidas; em especial ao meu colega e amigo Maurílio, por

todo apoio oferecido dentro do CEFET-MG.

À minha Instituição, o apoio financeiro.

“Se você não entende, não vê

Se não me vê, não entende...”

“Primeiros Erros” – Francisco José Zambianchi (Kiko Zambianchi).

RAMOS, M. L. P. D. Dificuldades e erros de alunos do 1º ano da educação profissional tecnológica de nível médio na modalidade integrada em matemática: reflexões e desafios. 2014. 256 f. Tese (Doutorado em Ensino de

Ciências e Matemática). Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2014.

RESUMO

O presente estudo consiste de uma pesquisa qualitativa que tem como objetivo

identificar, analisar e classificar os tipos de erros matemáticos cometidos por alunos

do 1º ano da educação profissional tecnológica de nível médio do curso Técnico em

Eletrotécnica do CEFET-MG, em conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional.

Além disso, tem como finalidade categorizar os erros identificados usando o Modelo

de Análise Didática dos Erros – MADE. O método usado neste trabalho foi a análise

de conteúdo dos dados obtidos por meio de um teste investigativo. Foi aplicado um

questionário que teve como objetivo traçar o perfil dos alunos e levantar as

dificuldades que eles relataram ter nos conteúdos oriundos do Ensino Fundamental

e nos conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional do Ensino Médio.

Consideramos o erro como uma forma de os alunos revelarem suas dificuldades em

um determinado conteúdo. A partir dessa consideração, realizamos a análise de

erros de um teste investigativo com o objetivo de identificar os erros cometidos pelos

alunos e, assim, responder nossa pergunta central: “O que revelam os erros

matemáticos apresentados por alunos do 1º ano da educação profissional

tecnológica de nível médio na modalidade integrada do curso Técnico em

Eletrotécnica ao resolverem atividades que envolvem conteúdos propostos na 1ª

avaliação institucional?” Como resultado, foi possível perceber que os alunos

apresentaram erros matemáticos em conteúdos provenientes do Ensino

Fundamental e também nos conteúdos referentes ao 1º ano do Ensino Médio, como,

por exemplo, erros relativos ao conceito de função, além de dificuldades na

elaboração de expressões a partir de situações-problema. Vimos, também, que nem

sempre o aluno consegue identificar o seu erro e nem mesmo perceber que errou.

Por isso, é importante o professor identificar, analisar e tratar didaticamente o erro

do aluno, pois, somente assim, será possível reconstruir o conhecimento e suprimir a

recorrência do erro.

Palavras-Chave: Dificuldade. Erro. Análise de erros. Funções. Ensino Médio.

RAMOS, M. L. P. D. Difficulties and errors in Mathematics committed by first year students enrolled in the professional and technological integrated secondary education: reflections and challenges. 2014. 256 f. Tese (Doutorado

em Ensino de Ciências e Matemática). Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2014.

ABSTRACT

The present study is a qualitative research that aims to identify, analyze and classify

the types of mathematical errors committed by students from the first year of the

professional and technological secondary education. We specifically analyzed the

errors committed by students enrolled in the Electrotechnical program from CEFET-

MG in the contents proposed in the first institutional exam. Besides, we intended to

categorize the errors identified using a Model of Didactic Analysis of Errors – MADE.

The method used in this study was the content analysis of the data obtained by an

investigative test. A questionnaire was applied in order to define the students' profile

and enumerate the difficulties reported by them both in the content corresponding to

Elementary School and in the content proposed in their first institutional exam in High

School. We consider the error as a way for students to reveal their difficulties in a

particular content. Based on this assumption, we examined the errors of an

investigative test in order to identify the errors committed by students and thus

answer our central question: “What can be revealed by the mathematical errors

committed by first year students enrolled in the Electrotechnical program of the

professional and technological integrated secondary education when solving

activities relating to contents proposed in their first institutional exam?” As a result, it

was revealed that students committed mathematical errors in contents corresponding

to Elementary Education and also in the content concerning the first year of High

School, such as errors involving the concept of function, besides difficulties in the

preparation of expressions from problem-situations. We also observed that students

cannot always identify their error nor even realize they committed an error. Therefore,

it is important that teachers identify, analyze and didactically handle students’ errors.

That is the only way to be able to reconstruct the knowledge and suppress the

recurrence of errors.

Keywords: Difficulty. Error. Error Analysis. Features. High School.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Modelo de Análise Didática dos Erros – MADE ......................................62

Figura 2 – Resposta Padrão da Questão 1 Apresentada por A7.............................105

Figura 3 – Resposta Padrão da Questão 2 Apresentada por A31...........................106

Figura 4 – Resposta Padrão da Questão 4 Apresentada por A7.............................108





Figura 9 – Resposta Padrão da Questão 10 Apresentada por A31.........................115

Figura 10 – Resposta Padrão da Questão 12 Apresentada por A18.......................117










Figura 20 – Resposta Apresentada por A6..............................................................128

Figura 21 – Resposta Apresentada por A17............................................................129













LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Contraposição entre Pedagogia do êxito e Pedagogia do erro...............58

Quadro 2 – Relação entre Instrumento I e Instrumento II.........................................80

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Classificação das Respostas Apresentadas no Instrumento II................87

Tabela 2 – Tipos de Erros Identificados no Teste Investigativo.................................88

Tabela 3 – Conteúdos e Nº de Alunos que Apontaram Grau de Dificuldade

entre Médio e Alto..................................................................................101

Tabela 4 – Erros Ligados a Conteúdos Abordados no Ensino Fundamental..........127

Tabela 5 – Erros Ligados a Conteúdos de Conjuntos Numéricos e Intervalos

Reais Abordados no Ensino Médio........................................................138

Tabela 6 – Erros Ligados a Conteúdos de Equações, Inequações e Funções

Abordados no Ensino Médio..................................................................145

Tabela 7 – Erros Provenientes de Dificuldades Diversas........................................173

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – AS ESCOLHAS ................................................................................ 17

1.1 – Escolhas Profissionais ...................................................................................... 17

1.2 – Pequeno Histórico do “Locus” Escolhido para a Realização da Pesquisa ....... 19

1.3 – Relevâncias do Tema ....................................................................................... 20

1.3.1 – Lacunas Observadas ..................................................................................... 22

1.3.2 – Revisão da Literatura sobre Análise de Erros ............................................... 23

1.3.2.1 – Revisão na Literatura Internacional ............................................................ 26

1.3.2.2 – Revisão na Literatura Nacional................................................................... 30

1.3.3 – Sondagem Preliminar Realizada na Escola Investigada ............................... 36

1.4 – Delimitação do Problema de Pesquisa ............................................................. 39

1.5 – Participantes da Pesquisa ................................................................................ 41

1.6 – Considerações Baseadas nas Pesquisas que Envolvem Análise de Erros ...... 41

1.7 – Organização do Trabalho ................................................................................. 44

CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA QUE SUSTENTA A INVESTIGAÇÃO .................................................................................................................................. 46

2.1 – Dificuldade e Erro: seus significados ................................................................ 46

2.2 – Teorias e Acepções do Erro no Processo de Aprendizagem ........................... 49

2.3 – O Erro sob Olhares Opostos ............................................................................ 55

2.4 – Análise de Erros na Produção Escrita .............................................................. 60

2.5 – Formas de Analisar os Erros ............................................................................ 61

2.6 – As Três Fases do Tratamento Didático do Erro ............................................... 69

2.7 – Considerações Sobre o Erro ............................................................................ 72

CAPÍTULO 3 – METODOLOGIA DA PESQUISA ...................................................... 75

3.1 – A Pesquisa Científica de Cunho Qualitativo ..................................................... 75

3.2 – Instrumentos de Coleta de Dados .................................................................... 77

3.3 – Critérios para Análise de Dados ....................................................................... 82

3.3.1 – A Análise de Conteúdo .................................................................................. 82

3.3.2 – A Análise de Erros ......................................................................................... 84

3.3.3 – Procedimentos Metodológicos....................................................................... 86

3.4 – Descrição das Etapas de Investigação ............................................................. 91

CAPÍTULO 4 – ANALISANDO E REFLETINDO SOBRE OS DADOS ...................... 94

4.1 – Analisando os Dados do Instrumento I ............................................................. 94

4.1.1 – Perfil dos Alunos Participantes ...................................................................... 94

4.1.2 – Grau de Dificuldade nos Conteúdos do Ensino Fundamental ....................... 97

4.1.3 – Grau de Contribuição dos Conteúdos do Ensino Fundamental no Ensino

Médio.............................................................................................................98

4.1.4 – Grau de Dificuldade nos Conteúdos do Ensino Médio .................................. 99

4.1.5 – Analisando e Refletindo sobre as Dificuldades Declaradas pelos Alunos ... 101

4.2 – Analisando os Dados do Instrumento II .......................................................... 103

4.2.1 – Apresentando as Questões ......................................................................... 104

4.2.1.1 – Questão 1:Situação-Problema com Conjuntos Numéricos ....................... 104

4.2.1.2 – Questão 2: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais ............................... 106

4.2.1.3 – Questão 3: Análise do Gráfico de uma Função ........................................ 107

4.2.1.4 – Questão 4: Gráfico de Função Definida por mais de uma Sentença ........ 108

4.2.1.5 – Questão 5: Função Composta .................................................................. 109

4.2.1.6 – Questão 6: Inequação-Quociente ............................................................. 110

4.2.1.7 – Questão 7: Situação-Problema com Função Polinomial do 2º Grau ........ 111

4.2.1.8 – Questão 8: Análise do Gráfico de Função Polinomial do 2º Grau ............ 111

4.2.1.9 – Questão 9: Inequação-Produto................................................................. 113

4.2.1.10 – Questão 10: Situação-Problema com Função Polinomial do 2º Grau .... 114

4.2.1.11 – Questão 11: Equação Modular ............................................................... 116

4.2.1.12 – Questão 12: Situação-Problema com Inequação Modular ..................... 116

4.2.1.13 – Questão 13: Gráfico de Função Modular ................................................ 117

4.2.1.14 – Questão 14: Potenciação ....................................................................... 118

4.2.1.15 – Questão 15: Situação-Problema com Função Exponencial ................... 119

4.2.1.16 – Questão 16: Equação Exponencial ........................................................ 120

4.2.1.17 – Questão 17: Inequação Exponencial ...................................................... 121

4.2.1.18 – Questão 18: Inequação Logarítmica ....................................................... 122

4.2.1.19 – Questão 19: Gráficos de Função Logarítmica e Função Exponencial .... 123

4.2.1.20 – Questão 20: Situação-Problema com Equação Logarítmica .................. 124

4.2.2 – Erros na Resolução de Atividades Matemáticas ......................................... 126

4.2.2.1 – Categoria 1 – Erros Ligados a Conteúdos Abordados no Ensino

Fundamental..............................................................................................126

4.2.2.2 – Categoria 2 – Erros Ligados a Conteúdos de Conjuntos Numéricos e

Intervalos Reais Abordados no Ensino Médio...........................................138

4.2.2.3 – Categoria 3 – Erros Ligados a Conteúdos de Equações, Inequações e

Funções Abordados no Ensino Médio......................................................144

4.2.2.4 – Categoria 4 – Erros Provenientes de Dificuldades Diversas .................... 172

4.3 – Categorizando os Erros a partir do MADE ..................................................... 177

4.3.1 – Momento de Entrada ................................................................................... 177

4.3.1.1 – Categoria de Erro de Compreensão Conceitual ....................................... 178

4.3.1.2 – Categoria de Erro de Compreensão Léxica ............................................. 179

4.3.2 – Momento de Organização ........................................................................... 180

4.3.2.1 – Categoria de Erro de Análise/Síntese ...................................................... 180

4.3.3 – Momento de Execução ................................................................................ 181

4.3.3.1 – Categoria de Erro Mecânico ..................................................................... 181

4.3.3.2 – Categoria de Erro Operacional ................................................................. 182

4.3.3.3 – Categoria de Erro Estratégico .................................................................. 183

4.4 – Relacionando os Resultados com a Literatura ............................................... 184

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 195

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 202

APÊNDICES ............................................................................................................ 209

APÊNDICE A ........................................................................................................... 210

APÊNDICE B ........................................................................................................... 212

APÊNDICE C .......................................................................................................... 215

APÊNDICE D .......................................................................................................... 220

ANEXOS ................................................................................................................. 242

ANEXO A ................................................................................................................ 243

ANEXO B ................................................................................................................ 245

ANEXO C ................................................................................................................ 250

17

CAPÍTULO 1 – AS ESCOLHAS

Neste capítulo, descrevemos as escolhas que foram importantes para a

definição do tema abordado neste trabalho. Iniciamos com a trajetória pessoal e

profissional da pesquisadora. Logo após, traçamos um pequeno histórico do local

onde a pesquisa foi realizada. Por meio de uma sondagem com alunos reprovados

na disciplina de Matemática, da leitura realizada em um artigo de mapeamento na

mesma área e da revisão na literatura sobre análise de erros, expomos as

justificativas referentes à escolha do tema. Em seguida, apresentamos a delimitação

do problema, as considerações baseadas nas pesquisas que envolvem análise de

erros e, por último, delineamos a organização da tese.

1.1 – Escolhas Profissionais

Minha1 vida profissional teve início quando frequentava o último ano do

curso Técnico em Contabilidade na escola pública Instituto Municipal de

Administração e Contabilidade – IMACO, localizada no município de Belo Horizonte.

Atuava no setor de contabilidade em uma agência de turismo, permanecendo lá até

minha aprovação nos cursos de Engenharia Elétrica – PUC Minas e Matemática –

UFMG no início do ano de 1982. Como não foi possível frequentar os dois cursos

simultaneamente e ainda continuar trabalhando, optei pelo curso de Engenharia

Elétrica. Devido à incompatibilidade de horários de trabalho e escola fui obrigada a

me recolocar no mercado de trabalho, quando passei a trabalhar no Banco Real em

regime de horário bancário (seis horas por dia).

No 6º período do curso, paralelamente ao meu emprego, fiz seis meses

de estágio obrigatório na empresa de siderurgia Belgo Mineira. No último ano do

curso, iniciei estágio, em tempo integral, na empresa Paulo Abib Engenharia,

deixando de atuar nesse momento como técnico em contabilidade. Ao término do

curso de engenharia, fui contratada como engenheira eletricista nesta empresa na

1 Será usado neste item o discurso na primeira pessoa do singular, por considerá-lo mais adequado

ao texto narrativo da trajetória profissional da pesquisadora.

18

área de Automação Industrial, permanecendo lá por nove anos. Nesse período, atuei

no desenvolvimento e implantação de projetos de diversas empresas, entre elas:

AÇOMINAS – Ouro Branco, USIMINAS – Ipatinga, Companhia Vale do Rio Doce –

Vitória, Mineração Morro Velho – Nova Lima.

O trabalho exercido na empresa exigia a minha atuação in loco quando da

implantação dos projetos desenvolvidos, obrigando-me a afastar de minha família

por longos períodos; esse fato trazia então grandes transtornos, pois já era mãe de

duas crianças. Devido a isso, resolvi mudar de profissão. Enquanto atuava como

engenheira autônoma na empresa ATAN Engenharia, fiz o curso de graduação de

Formação de Professores, oferecido pelo Centro Federal de Educação Tecnológica

de Minas Gerais – CEFET-MG, no qual pude me licenciar em disciplinas ligadas ao

meu curso de engenharia elétrica. Ao término do curso, fui aprovada no concurso

público para professora de 1º e 2º graus2 nesta instituição de ensino, lecionando

disciplinas do curso Técnico em Informática Industrial.

Como docente, lecionei em cursos técnicos, graduação e em cursos de

especialização. De 1997 até 2005, lecionei no curso Técnico em Informática

Industrial, no curso de graduação de Tecnólogo de Qualidade e em cursos de

especialização na área de informática. Desde 2006 venho lecionando no curso

Técnico em Eletrotécnica.

Ao ingressar na educação, logo após o curso de Formação de

Professores, fiz o curso de especialização em Gestão Educacional no CEFET-MG.

Em seguida, tornei-me mestre na área de Manutenção Integrada por Computador –

CIM na mesma instituição. Até então, minha formação e minha experiência

profissional conduziam os meus estudos para a área ligada à minha formação inicial,

Engenharia Elétrica.

A partir do momento em que comecei a lecionar no curso Técnico em

Eletrotécnica, o meu contato passou a ser com alunos do 1º ano do nível médio, pois

até o momento lecionava no curso Técnico em Informática Industrial para alunos do

2º e 3º anos do nível médio. Com esse contato pude perceber as dificuldades que

2 A denominação atual é “Professor do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico”.

19

esses alunos apresentam na disciplina de Matemática. Essa situação de incômodo

foi o motivo pelo qual ingressei no doutorado com o propósito de desenvolver esta

pesquisa com os alunos do curso Técnico em Eletrotécnica dessa instituição.

1.2 – Pequeno Histórico do “Locus” Escolhido para a Realização da Pesquisa

O CEFET-MG teve a sua 1ª sede, em 1910, localizada à Avenida Afonso

Pena, 1533, antigo prédio do Club Floriano Peixoto, esquina com Guajajaras, em

área nobre da cidade. A Escola iniciou suas atividades com 20 alunos inscritos. Os

cursos inicialmente oferecidos foram o primário e o de desenho e as oficinas de

trabalhos manuais: carpintaria, marcenaria, ourivesaria, sapataria e ferraria (CEFET-

MG, 2013).

Hoje o CEFET-MG, com mais de 100 anos de história, possui 11

unidades no estado de Minas Gerais e oferta vagas em três modalidades do 2º grau:

Integrada: É assim denominada porque os alunos cursam

simultaneamente o Ensino Técnico e o Ensino Médio dentro da mesma instituição, e

para isso o aluno já tem que ter concluído o Ensino Fundamental, implicando uma

única matrícula. Nessa modalidade está incluída a Educação de Jovens e Adultos

(EJA) destinada a alunos com idade mínima de 18 anos completos, que concluíram

o Ensino Fundamental e pretendem fazer o Curso Técnico de forma integrada ao

Ensino Médio no CEFET-MG.

Concomitância Externa: É oferecida aos alunos que concluíram o 1º ano

do Ensino Médio e estão regularmente matriculados no 2º ou 3º anos do Ensino

Médio em outra instituição, ou seja, em uma instituição externa ao CEFET-MG,

cursando somente as disciplinas do curso técnico nessa instituição.

Subsequente: É oferecida aos alunos que já concluíram o Ensino Médio.

Esses alunos cursam somente as disciplinas técnicas no CEFET-MG.

Os cursos na modalidade Concomitância Externa e Subsequente têm,

portanto, uma duração menor do que os cursos na modalidade Integrada. A duração

dos cursos na modalidade Integrada é de três anos em sala de aula (exceto EJA,

que é de quatro anos), enquanto para as outras modalidades a duração é de dois

20

anos. Em qualquer uma das modalidades, além do período em sala de aula, o aluno

tem de cumprir também seis meses e 480 horas de Estágio Curricular Obrigatório –

ECO para receber o diploma de técnico.

Na modalidade Integrada nos campi de Belo Horizonte (Campus I e

Campus II) são oferecidas vagas em 15 cursos, sendo que para os cursos noturnos

de Edificações e Mecânica as vagas ofertadas são para a Educação de Jovens e

Adultos (EJA). As vagas oferecidas aos candidatos na modalidade Integrada no

turno diurno são para os seguintes cursos: Edificações, Eletrônica, Eletrotécnica,

Equipamentos Biomédicos, Estradas, Hospedagem, Informática, Mecânica,

Mecatrônica, Meio Ambiente, Química, Redes de Computadores e Transportes e

Trânsito.

O curso Técnico em Eletrotécnica, no qual esta pesquisa foi focada, já

existe no CEFET-MG, na unidade de Belo Horizonte, desde 1959. Na modalidade

Integrada passou a ser ofertado em 2006, apresentando uma taxa média de oito

candidatos/vaga no processo seletivo anual. A cada ano ingressam, em média, 72

alunos que compõem duas turmas de 36 cada uma.

1.3 – Relevâncias do Tema

Para desenvolvermos esta tese, guiamo-nos pelas seguintes palavras

“Uma pesquisa educativa deve atender não apenas ao crescimento do ‘corpus

científico’, à contribuição de novos conhecimentos, mas à inovação e à melhoria dos

processos de ensinar e aprender. Ela persegue a mudança” (DE LA TORRE, 2007,

p. 153). E com o objetivo de inovar e melhorar os processos de ensino e

aprendizagem de Matemática é que realizamos a investigação aqui relatada. Para

isso nos foi conferida a oportunidade de fazermos leituras em diversas fontes para

podermos atingir o contexto apresentado neste trabalho.

Em toda trajetória escolar percorrida pela pesquisadora até o início deste

trabalho, foi possível perceber que o acerto nem sempre significa compreensão de

determinado conteúdo e que, a partir dos erros, podemos obter mais informações

com relação às dificuldades apresentadas. Isso não quer dizer que o professor tenha

o objetivo de conduzir o aluno ao erro, mas que o erro pode sim ser detectado,

21

identificado e retificado, configurando-se então como uma estratégia didática para o

processo de aprendizagem.

No Ensino de Matemática centrado na aprendizagem do aluno, ou seja,

num ensino que procura entender como o aluno compreende o conteúdo, o erro é

percebido como uma ferramenta. Assim, o aluno não é visto como um ser passivo

na aprendizagem, pois nesse contexto ele tem atitudes de um ser ativo, criativo e

capaz de contribuir com a construção do seu saber.

Porém, nem todos os professores enxergam o erro como um mecanismo

importante para aquisição do conhecimento. Muitos consideram o erro “como o

elemento responsável pelas limitações dos alunos, demonstrando sua incapacidade

de aprender.” (LIMA, 2010, p. 44). Assim, o erro pode ser visto na aprendizagem a

partir de diferentes concepções de ensino e aprendizagem. Três dessas concepções

são descritas e denominadas por Lima (2011) como transmissiva, behaviorista,

construtivista.

Na concepção transmissiva, o conhecimento é tratado como uma

aquisição do mundo exterior e nela o erro é visto da seguinte forma: ou o professor

não ensinou direito ou o aluno não compreendeu o que ele disse. Nesse caso, o

professor deve explicar tudo novamente e propor muitos exercícios para garantir a

aprendizagem.

A concepção behaviorista recompensa o sucesso e sanciona o fracasso.

O trabalho do professor se faz antes da interação com o aluno. Ele deve decompor o

saber em unidades e apresentá-lo ao aluno. Por sua vez, o aluno não deve tomar

iniciativas, e sim seguir as instruções do professor. Nessa concepção, o erro

acontece pelo fato de o aluno não ter estudado ou não ter compreendido o

professor. Sendo assim, o aluno deverá fazer exercícios individuais, trabalhos

suplementares, entre outras atividades extras.

A concepção construtivista se apoia na construção do conhecimento feita

pelo aluno, pois ele já possui na sua estrutura cognitiva esquemas que são

necessários à sua aprendizagem. A partir dessa concepção, acredita-se que, ao

cometer um erro, o conhecimento do aluno não deve ser simplesmente ignorado, e

sim usado como referencial de partida no processo de construção do saber discente.

22

Logo, é importante que o professor compreenda os erros, pois eles

revelam o pensamento do aluno sobre o que foi supostamente aprendido. Dessa

forma, torna-se possível ao professor redesenhar “o processo de aprendizagem,

proporcionando ao aluno os meios necessários para que possa tomar consciência

de suas incorreções, identificar suas origens e transpô-las” (OLIVEIRA;

FERNANDES, 2010, p. 551). Acreditamos, então, que seja fundamental formar

professores que tenham atitudes construtivas e criativas diante dos erros cometidos

por seus alunos.

A partir desses dizeres, apresentaremos abaixo as justificativas que

avigoram a escolha do tema desta tese. Ao final da exposição, além de situarmos

nossa pesquisa no cenário apresentado, pontuaremos as considerações que

utilizamos para responder nossas questões de pesquisa e apresentar as

considerações finais.

1.3.1 – Lacunas Observadas

A ideia do tema desta tese surgiu após a leitura de um artigo de

mapeamento apresentado por Cury (2012). Do total de 1349 produções, a autora

apresenta a análise de 59 trabalhos entre 58 dissertações e uma tese da área de

Ensino de Ciências e Matemática, nos quais foram identificados os objetivos que

respondem à questão: “o que querem os investigadores que pesquisam erros,

dificuldades, obstáculos ou desempenho nas produções escritas em Educação

Matemática?” (p. 237).

Cury (2012) descreve duas formas de categorização dos objetivos. Na

primeira forma, ela apresenta categorias criadas por meio dos verbos principais dos

objetivos relatados em cada pesquisa. Na segunda forma de categorização, ela

distribui esses mesmos objetivos em três categorias diferentes, sendo a primeira

denominada como categoria A, na qual são agrupados todos os trabalhos cujos

pesquisadores procuram investigar erros, dificuldades, obstáculos dos alunos

escolhidos como amostra, por meio de testes, questionários, entrevistas, etc. Na

categoria B, são agrupados os trabalhos cujos pesquisadores desenvolvem um

produto e o testa em um grupo de alunos escolhidos como amostra. E, finalmente,

na categoria C, são agrupados os trabalhos de pesquisadores que se propõem a

23

fazer um estudo sobre a forma como os erros, dificuldades e obstáculos são

considerados por professores e alunos, por meio de entrevistas e questionários.

Após leitura do artigo de Cury (2012), percebemos a relevância desta

pesquisa quando observamos que foram localizadas no mapeamento somente 58

dissertações e uma tese de doutorado na área da Educação Matemática focadas

nos termos que compõem a questão por ela investigada. Com esse registro,

consideramos poucos os pesquisadores interessados nessa área. Isso talvez se

deva pela dificuldade de investigar a própria prática ou mesmo pela não permissão

de investigação da prática utilizada por outro professor.

Além disso, analisando os objetivos dos trabalhos mapeados pela autora,

segundo os verbos empregados, notamos que foram contabilizados somente 12%

desses trabalhos na categoria do verbo “identificar”. Assim, percebemos que são

poucos os trabalhos cujos pesquisadores da Educação Matemática procuram

“identificar” nas produções escritas os erros cometidos por alunos.

Realizamos, também, mapeamento em periódicos nacionais e

internacionais e no banco de dissertações e teses da CAPES. Deste modo, na

próxima seção, descreveremos alguns estudos identificados por meio desse

mapeamento. Segundo Allevato (2008), é importante conhecer o cenário no qual sua

pesquisa se enquadra, pois, dessa forma, é possível criar “[...] referências teóricas e

metodológicas importantes à orientação da investigação” (p. 181).

1.3.2 – Revisão da Literatura sobre Análise de Erros

Para realizar o mapeamento em periódicos nacionais, escolhemos a

revista on-line “Educação Matemática Pesquisa” do Programa de Estudos Pós-

Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, por ter sido a revista na qual foi

publicado o artigo de Cury (2012). Esse mapeamento teve como finalidade

selecionar artigos que continham no título, nas palavras-chave ou no resumo, os

termos “erro”, “dificuldade” e “obstáculo”, com o objetivo de responder à questão: o

que querem os investigadores que pesquisam dificuldades, erros e obstáculos nos

periódicos em Educação Matemática e quais os referenciais teóricos mais citados

por eles? No mapeamento realizado nos periódicos de 2004 a 2012 foram

24

selecionados 21 artigos e o resultado desse mapeamento encontra-se, de forma

detalhada, em Ramos e Curi (2013b).

Também, realizamos o mapeamento no banco de dissertações e teses da

CAPES, selecionando trabalhos defendidos no período de 2002 a 2011, nos níveis

profissionalizante, mestrado e doutorado. A busca foi feita usando a expressão

“análise de erro em matemática” no item de pesquisa “ASSUNTO”. Entre os 209

trabalhos encontrados a partir dessa expressão, 30 deles foram selecionados para

análise. Selecionamos, pelo título da pesquisa, os trabalhos que tinham como foco o

Ensino de Matemática. Duas teses de doutorado, 22 dissertações de mestrado

acadêmico e seis dissertações de mestrado profissionalizante compõem os 30

trabalhos selecionados.

A nossa intenção com o mapeamento realizado no banco da CAPES foi a

de ampliar as referências bibliográficas já encontradas no mapeamento realizado

nos periódicos nacionais, além daquele apresentado por Cury (2012), o qual foi

referenciado na seção anterior. Categorizamos os objetivos desses 30 trabalhos a

partir dos verbos, com a finalidade de darmos sequência aos mapeamentos

descritos anteriormente e obtivemos como resultado dez verbos (propor, refletir,

investigar, identificar, explorar, estabelecer, descrever, classificar, compreender e

analisar).

Ponderando sobre o significado dos verbos dentro de cada objetivo,

percebemos que alguns deles têm o mesmo significado. Dessa forma, consideramos

que os tipos de pesquisa que têm como objetivos investigar e analisar estão

praticando a mesma ação, isto é, realizam uma observação minuciosa. Sendo

assim, 63% desses trabalhos tinham como objetivo investigar/analisar os erros em

matemática, seguidos dos 20% que propõem compreender, identificar e refletir sobre

esses erros. Por último, aparecem os 17% que tinham interesses em classificar,

descrever, estabelecer, explorar e propor tal ação. Dessa forma, percebemos, mais

uma vez, que poucos são os trabalhos que procuram identificar os erros cometidos

por alunos.

Além da busca de trabalhos em periódicos, dissertações e teses

nacionais, realizamos mapeamento em periódicos internacionais. Para isso,

25

selecionamos as revistas de estrato A1, A2 e B1 na área de ensino, mencionadas no

portal de periódicos da CAPES, cujo nome continha as palavras “matemática” e/ou

“ciências”. Com um total de 1535 artigos, nove revistas foram selecionadas: 1.

Educational Studies in Mathematics; 2. Enseñanza de las Ciencias; 3. For the

Learning of Mathematics; 4. International Journal of Mathematical Education in

Science and Technology; 5. Journal of Mathematics Teacher Education; 6. Revista

Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias; 7. International Electronic

Journal of Mathematics Education; 8. Mediterranean Journal for Research in

Mathematics Education; e 9. Unión – Revista Iberoamericana de Educación

Matemática.

No cômputo geral desses trabalhos, buscamos os que exibiam nos títulos

e nas palavras-chave os termos “erro” e “dificuldade”. Assim, fizemos a leitura de 26

artigos para realização de uma seleção final. Desses 26 artigos, quatro

mencionavam pesquisas realizadas com análise de erros por meio de categorização,

sendo eles selecionados para a nossa pesquisa. É importante destacar que dois

desses quatro artigos se referem à divulgação de trabalhos realizados no Brasil. Os

outros 22 artigos não foram selecionados, pois discutiam dificuldades e erros de

alunos sob o ponto de vista dos professores, relação professor-aluno e registros de

representação semiótica para a aprendizagem matemática.

A partir das buscas aqui mencionadas, foram feitas leituras nos 25 artigos

selecionados entre as revistas nacionais (21 artigos) e internacionais (quatro

artigos), nos 30 resumos dos trabalhos selecionados no banco da CAPES e em

alguns resumos dos trabalhos mencionados no mapeamento apresentado por Cury

(2012). Em cada trabalho acessado, verificamos os teóricos e as referências

utilizadas com a finalidade de encontrar pesquisas relacionadas com a Análise de

Erros em Matemática.

Assim, faremos nesta seção a exposição dos trabalhos voltados para

essa temática. Iniciaremos a apresentação com a descrição dos trabalhos

encontrados na literatura internacional, seguidos dos trabalhos referentes à literatura

nacional.

26

1.3.2.1 – Revisão na Literatura Internacional

Das seis pesquisas que serão expostas a seguir, quatro foram levantadas

na busca que realizamos em revistas internacionais, além de outras duas, que foram

localizadas a partir das referências obtidas nos trabalhos selecionados nos

mapeamentos.

Um dos estudos que chegaram ao Brasil foi o realizado pela pesquisadora

Borasi (1989), graduada em Matemática na Itália. Ela teve os seus trabalhos

inseridos nos objetivos da reforma da Matemática escolar nos Estados Unidos. Essa

pesquisadora é mencionada por vários autores como uma das precursoras no

estudo sobre os erros. Além disso, esses autores declaram que os textos produzidos

por ela são referências para quem enfoca o erro como uma forma de reconstrução

do conhecimento.

Em seu trabalho, Borasi (1985) aconselha os professores que encorajam

seus alunos a argumentar, raciocinar e verbalizar suas ideias, em troca da simples

transmissão de conhecimentos rotineiramente realizada pelos professores. Ela

aponta os erros como um grande desgaste enfrentado pelos alunos, pois a todo

tempo eles procuram se desvencilhar deles para não serem reprovados. A

pesquisadora também afirma que, se os professores se preocupassem mais com o

processo e não com o produto das avaliações, os erros poderiam ser discutidos e

usados como um método de aprendizagem.

Um dos trabalhos de Borasi (1989) mais referenciado foi intitulado como

“Students' Constructive Uses of Mathematical Errors: A Taxonomy” e teve por

objetivo mostrar como os erros podem ser utilizados de forma construtiva no

processo ensino e aprendizagem. A autora realizou uma investigação com duas

turmas de alunos do 11th grade3, a qual envolveu um experimento composto de 10

questões sobre definições matemáticas. Ao todo, registrou-se 20 erros que foram

analisados. Em seguida, a autora deixa uma contribuição denominada por ela como

“Taxonomia para o uso construtivo dos erros” (p. 27, tradução nossa). Entre os

3 O sistema de ensino americano inclui do nível pré-escolar até 12° ano (K – 12). Atualmente no Brasil

o Ensino Básico está estruturado em 12 anos, sendo assim, 11th grade equivale ao 2° ano do Ensino

Médio.

27

resultados, a autora identificou oito elementos específicos como sendo as formas

mais adequadas para usar construtivamente os erros.

Na mesma época, outro trabalho foi realizado por um grupo de

pesquisadores liderados por Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson e Peled

(1989). Essa investigação tinha a finalidade de analisar os erros cometidos por

estudantes. Os autores realizaram uma pesquisa com 113 crianças de três países

diferentes: Estados Unidos, França e Israel, em níveis de escolaridade que variavam

da 4th grade até 6th grade4. O estudo tinha como objetivo verificar os erros cometidos

pelos alunos ao trabalharem com números e frações decimais e verificar se tais

erros eram provenientes de tentativas de integração do novo conhecimento com que

já havia sido ensinado sobre números inteiros. Para isso foram aplicados testes, nos

quais os alunos deveriam identificar os números maiores e menores em uma relação

de valores apresentados na forma decimal e de fração. Como resultado, foi possível

compreender a lógica de raciocínio desses alunos e verificar que eles fizeram uso de

regras de comparação de números inteiros ao compararem números racionais na

representação decimal.

Realizando análise de erros em respostas parcialmente corretas e

incorretas em uma questão sobre resolução de equações, Cury, Ribeiro e Müller

(2011) apresentam o resultado de uma pesquisa feita com 141 alunos de cursos de

licenciatura de Matemática de dez instituições de ensino superior do Brasil. Os

dados analisados foram discutidos utilizando-se como referenciais teóricos algumas

pesquisas sobre ensino e aprendizagem de Álgebra, bem como o conceito de

conhecimento pedagógico do conteúdo. As respostas foram classificadas como

corretas, parcialmente corretas, incorretas e ausência de respostas. Das 89

respostas parcialmente corretas e incorretas, as três parcialmente corretas não

foram categorizadas, pelo motivo de apresentarem erros distintos. Para as 86

respostas incorretas foram criadas cinco categorias e, em cada uma delas, foram

apresentados os erros cometidos e uma síntese sobre esses erros. Nesse trabalho,

os autores descrevem em suas considerações finais que devido ao baixo índice de

acerto na questão (13%), os alunos demonstram a falta de conhecimento sobre

equações e seus processos de resolução e alerta para a importância de que os

4 Levando em consideração o que foi dito na nota anterior, o 4

th grade até 6

th grade equivalem do 5°

ao 7° ano do Ensino Fundamental.

28

formadores de professores de Matemática também levem em conta o conhecimento

pedagógico do conteúdo. Assim, os autores consideram também a importância de

discutir as causas dos erros com esses futuros professores para capacitá-los a

considerar as dificuldades dos seus alunos e saber como superá-las.

Dullius, Quartieri e Furlanetto (2012) analisaram 10 questões das

Olimpíadas de Matemática realizadas por 311 alunos das três séries do Ensino

Médio de 26 municípios do Vale do Taquari em Lajeado/RS, Brasil. Segundo os

autores, a prova teve como uma de suas particularidades a interdisciplinaridade,

pois a contextualização das questões trouxe problemas do cotidiano, abordando

conteúdos previstos nas três séries do Ensino Médio. Os autores partiram de cinco

categorias identificadas por meio dos referenciais teóricos selecionados e

apresentaram os erros cometidos por questão, seguido de gráficos com o objetivo

de exibir os percentuais de erros por categorias em cada série. De uma forma geral,

observaram uma grande incidência de erros devido à compreensão do enunciado e

de erros devido a dificuldades com o conteúdo.

Também, encontramos uma investigação realizada por Carazo e Brey

(2012), na qual apresentam o resultado de uma pesquisa realizada com estudantes

dos cursos superiores de Economia e Administração de Empresas. A investigação

tinha como proposta analisar, identificar, classificar e discutir os erros cometidos por

esses alunos relacionados ao conhecimento da Matemática Financeira. A fonte de

dados utilizada na pesquisa foram exercícios resolvidos pelos alunos nos anos

letivos de 2006-2007 e 2007-2008, nos quais foram identificados 300 tipos de erros.

Esses erros foram divididos em dois grandes blocos, sendo o primeiro referente aos

erros transversais, isto é, os erros com incidência em diferentes conceitos e

procedimentos e um segundo bloco, no qual foram identificados os erros de

incidências específicas, ou seja, os erros referentes aos números racionais e erros

associados à magnitude do tempo. Para a análise dos erros, os autores utilizaram as

categorias descritas por Movshavitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987). Como

resultado, os autores identificaram que os erros cometidos estão relacionados a

dificuldades pertinentes ao conteúdo em questão, além das oriundas do Ensino

Médio. Os autores ressaltam que é importante compreender os erros cometidos

pelos alunos, para que esses erros não afetem as atividades desses futuros

profissionais.

29

Com o objetivo de conhecer os tipos e a frequência de erros matemáticos,

Dodera, Bender, Burroni e Lázaro (2014) aplicaram um teste diagnóstico em 405

alunos ingressantes na área de Ciências da Saúde, em uma Universidade de

Buenos Aires. O teste também tinha como objetivo verificar o quanto o aluno

considera importante a utilização da Matemática em sua futura profissão. As

questões do teste referiam-se a: representar um número na reta real, aplicar as

propriedades de potência, escrever a equação de um problema, resolver equações

lineares, entre outros. Para cada questão do teste, os erros foram classificados de

acordo com as categorias elaboradas por Movshavitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar

(1987). Como resultado, os autores identificaram que os alunos apresentaram um

índice maior de erros nas questões em que deveriam escrever a equação de um

problema e na representação de um número na reta real. Entre as categorias

analisadas, foi possível identificar erros de interpretação incorreta da linguagem,

erros técnicos (principalmente na execução de algoritmos básicos), emprego

incorreto de propriedades e definições, falta de verificação da solução dada e, em

menos quantidade, erros devido à utilização incorreta dos dados. Os autores

consideraram que os erros são sistemáticos e persistentes devido ao uso de

procedimentos inapropriados e não se devem à distração, casualidade ou falha de

memória. Em última análise, os autores identificaram que os alunos dos cursos de

Farmácia e Bioquímica foram os que indicaram a Matemática com um alto índice de

importância em suas carreiras. Os alunos de Medicina, Odontologia e Paramédicos

apontaram uma importância mediana da Matemática em suas carreiras, ao passe

que os alunos de Psicologia identificaram-na com baixa importância.

Das seis pesquisas apresentadas, três foram realizadas com alunos do

Ensino Básico e três com alunos do Ensino Superior. Desde o primeiro até o último

trabalho, a preocupação dos pesquisadores foi a de analisar os erros dos alunos e,

para isso, criaram categorias ou se utilizaram de outras categorias definidas em

pesquisas anteriores, com o objetivo de identificarem os tipos de erros cometidos

pelos alunos.

Como já relatamos, dois dos trabalhos encontrados em periódicos

internacionais foram realizados no Brasil. Um desses trabalhos foi desenvolvido com

a participação da pesquisadora brasileira Helena Noronha Cury que vem publicando

inúmeros trabalhos que buscam compreender os erros cometidos por alunos desde

30

o Ensino Fundamental até a Formação Inicial e Continuada de Professores. Para a

pesquisadora, o erro pode ser utilizado como uma prática de ensino. Grande parte

das pesquisas que estamos apresentando fazem referências aos trabalhos dessa

autora, e todos eles enfocam os erros como construtores do conhecimento, sendo

essa a proposta principal de nosso trabalho.

A seguir, apresentaremos algumas das pesquisas localizadas na literatura

nacional a partir dos mapeamentos já mencionados e, também, alguns trabalhos que

foram achados em consultas realizadas nas referências das pesquisas

selecionadas.

1.3.2.2 – Revisão na Literatura Nacional

As pesquisas que serão expostas a seguir, conforme já descrevemos,

foram levantadas por meio dos mapeamentos descritos anteriormente. Algumas

delas foram localizadas a partir das referências obtidas nos trabalhos que

selecionamos nos mapeamentos. Serão apresentados, primeiramente, os artigos e,

em seguida, as dissertações e tese. Ao final das apresentações faremos as nossas

colocações sobre esta seção.

Iniciaremos por um dos trabalhos desenvolvidos pela pesquisadora

Helena Noronha Cury, uma das maiores pesquisadora em análise de erros no Brasil,

conforme já mencionamos. O foco do artigo apresentado por Cury e Silva (2008) foi

buscar entender as dificuldades de alunos da 5ª série (6º ano) do Ensino

Fundamental de uma escola da rede pública de Porto Alegre na resolução de

problemas e nos cálculos decimais. Para isso, foi elaborado um teste com quatro

questões, a partir dos quais as autoras puderam analisar as produções escritas, a

partir de critérios previamente definidos. Assim, foi possível perceber as dificuldades

encontradas por esses alunos na resolução de problemas e de lidarem com

números racionais. O trabalho foi resultado de uma investigação realizada por uma

futura professora durante o estágio feito para o cumprimento de uma disciplina do

curso de Licenciatura de Matemática.

Cury e Bisognin (2009) apresentam o resultado parcial de um projeto de

pesquisa desenvolvido com calouros em universidades privadas no sul do Brasil nas

31

disciplinas de Matemática, abordando o conteúdo de sistema de equações lineares.

Em uma questão do teste, a qual apresentou o maior número de acertos entre as

questões realizadas (94 acertos em 138 respostas), as autoras realizam a análise de

resoluções escritas de um sistema de equações lineares. Das 138 respostas

analisadas, 94 são contabilizadas como corretas na categoria A, as nove

categorizadas em B apresentaram alguns detalhes de erros, e na categoria D se

encontram as produções nas quais os alunos não souberam modelar o problema.

Como na categoria C são apresentadas as produções com maior número de erros,

as autoras criaram seis classes para analisar e discutir profundamente os erros

encontrados.

O artigo exposto por Dalto e Buriasco (2009) apresenta um estudo sobre

a produção escrita presente em uma questão comum aos alunos de 8ª série (9º ano)

do Ensino Fundamental e aos alunos da 3ª série do Ensino Médio na prova de

questões discursivas de Matemática da Avaliação do Rendimento Escolar do Estado

do Paraná – AVA/2002. Os autores utilizam metodologia de pesquisa qualitativa ao

analisar uma amostra de 97 provas distribuídas em 53 provas do Ensino

Fundamental e 44 provas do Ensino Médio. Primeiro apresentam os resultados

encontrados ao realizar uma correção de acordo com critérios propostos do tipo:

totalmente correta, parcialmente correta, incorreta e em branco. Logo após a

correção e o agrupamento mencionado, as questões foram categorizadas em quatro

categorias, de acordo com a resolução dada. Para cada categoria, foram inferidos

enunciados de problemas conforme entendimento dos alunos. Como resultado,

percebe-se que as estratégias utilizadas pelos alunos tanto da 8ª série (9º ano)

quanto da 3ª série não eram diferentes e que a maioria dos alunos resolveu a

questão utilizando operações aritméticas como adição, subtração, multiplicação e

divisão, em vez de apresentar equações ou inequações de 1º grau, como esperado.

Visando oferecer contribuições para o ensino de Formação de

Professores, Leivas e Cury (2010) apresentam em seu artigo a análise de erros

cometidos por 50 professores de Matemática em Formação Continuada de cinco

Instituições de Ensino Superior do Rio Grande do Sul ao resolverem um problema

em Geometria. Nele, os autores classificam as respostas apresentadas pelos

professores como corretas, parcialmente corretas, incorretas e ausência de

respostas. Dentro das respostas parcialmente corretas e incorretas são

32

apresentados os tipos de erros cometidos e a discussão sobre suas possíveis

causas. Tal discussão sobre as resoluções foi baseada em autores que abordam o

conceito de visualização e em documentos oficiais. Nos resultados finais, os autores

consideram que é importante o uso de softwares de Geometria Dinâmica com a

finalidade de contribuir para a formação de professores com um olhar mais

abrangente para os vários aspectos ou dimensões em que a Geometria pode ser

analisada.

Dando sequência as pesquisas realizadas no Ensino de Formação de

Professores, o trabalho desenvolvido por Cury (2013a) apresenta o resultado de

uma investigação realizada com 141 alunos de cursos de licenciatura em

Matemática de oito Instituições de Ensino Superior em quatro regiões brasileiras. Foi

aplicado um teste que continha cinco questões sobre conteúdos de Matemática da

educação básica. O objetivo do trabalho era analisar dificuldades encontradas por

esses futuros professores com a finalidade de aprofundar os estudos sobre as

possibilidades de utilizar a análise de erros como abordagem de pesquisa e ensino

em Educação Matemática em cursos de formação inicial e continuada. Como

resultado da pesquisa foi possível perceber que a maioria dos alunos apresentaram

dificuldades com questões que envolviam operações algébricas e suas

propriedades, em conceitos como os de número primo e de equação, e

generalização de padrões. Como considerações, a autora relata que se essas

dificuldades não forem trabalhadas, os futuros professores as levarão para os seus

alunos em sala de aula e que eles, consequentemente, cometerão os mesmos erros

no futuro.

Em estudo recente, Brum e Cury (2013) também empregam em seu

trabalho quatro das categorias do modelo de classificação de erros de Movshavitz-

Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987), além da criação de mais três categorias pertinentes

aos sete erros encontrados na aplicação de um teste composto de cinco questões

sobre Álgebra. O teste foi aplicado para 23 alunos do 8º ano do Ensino Fundamental

de uma escola pública de um município do Rio Grande do Sul. As quatro primeiras

categorias usadas foram: uso errado dos dados, linguagem mal interpretada,

definição ou teorema distorcido e erros técnicos, e as três últimas criadas foram:

simples cópia dos dados, erros não compreendidos pelas pesquisadoras e erros por

distração. Como resultado, as autoras identificaram que os erros mais frequentes

33

foram os decorrentes da passagem do texto verbal para a linguagem matemática e

os que envolvem manipulações algébricas.

Vece, Silva e Curi (2013) apresentam em seu trabalho parte de uma

pesquisa desenvolvida no Programa Observatório da Educação, Projeto de

Pesquisa financiado pela CAPES, que tem como objetivo apresentar análise das

respostas dadas por alunos do 5º ano de seis escolas da rede pública do Ensino

Fundamental do estado de São Paulo. As questões aplicadas se referem à

composição e decomposição de números naturais, algumas retiradas da Prova

Brasil e outras elaboradas pelos componentes do grupo de pesquisa. Para as

autoras, os instrumentos elaborados a partir da Prova Brasil contribuíram para uma

investigação para compreender como os alunos pensam e praticam, quando

compõem e decompõem números. As autoras afirmam que a maioria dos alunos

não consegue generalizar as características do sistema numérico, em particular os

agrupamentos de dez em dez e a troca das ordens e classes no número. Por fim, as

pesquisadoras destacaram que o ensino dos números naturais é um problema

didático e merece atenção por parte dos educadores e dos pesquisadores da área.

Apresentaremos, a seguir, as pesquisas de mestrado e doutorado que

foram selecionadas, com o objetivo de, juntamente com os artigos, utilizarmos

durante a nossa análise de dados.

Encontramos uma pesquisa de mestrado realizada por Feltes (2007). A

autora analisou qualitativamente erros em testes aplicados a alunos da 7ª e 8ª séries

(8º e 9º anos) do Ensino Fundamental e alunos do 1º ano do Ensino Médio ao

resolverem questões sobre potenciação, radiciação e equações exponenciais. Os

erros foram classificados em 17 categorias e assim foi possível verificar que as

maiores dificuldades estavam relacionadas a operações numéricas e a propriedades

da potenciação. Além disso, a autora aplicou um questionário para os professores

de Matemática, que lecionam nas escolas investigadas, sobre os erros cometidos

por seus alunos. Com o resultado obtido pelo questionário, a autora constatou que

os professores investigados consideravam que os erros eram provenientes da falta

de estudo e/ou de atenção.

34

Também partindo da concepção do erro como uma estratégia de revisão

do processo de ensino e aprendizagem em Matemática, Espindola (2009) tem como

objetivo geral, em sua dissertação, identificar, classificar e analisar erros cometidos

por alunos da 8ª série (9º ano) do Ensino Fundamental na resolução de provas de

Matemática. Seus objetivos específicos buscam utilizar a análise dos referidos erros

como instrumento investigativo nos conteúdos de Geometria plana e enfatizar a

importância de se analisar o processo e não apenas o produto, bem como conceber

o erro como uma ferramenta de metodologia de ensino.

Investigando, igualmente, os conteúdos de Geometria, Cordeiro (2009)

analisou em sua dissertação (Análise e classificação de erros de questões de

geometria plana da olimpíada brasileira de matemática das escolas públicas) as

tentativas de resoluções de questões da primeira fase de Olimpíada Brasileira de

Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Para tal, foram selecionados alunos do

Ensino Médio de uma escola pública estadual, sendo que, vinte e cinco foram

selecionados pelo mesmo método de classificação utilizado pela OBMEP para a

segunda fase e três foram convidados por serem considerados, por seus

professores, os melhores alunos de suas respectivas turmas. A partir da análise, o

autor tinha como objetivo apresentar sugestões de estratégias para que o professor

possa: reforçar, modificar e inovar a sua forma de ensinar, identificar que tipo de

questão os alunos têm mais dificuldades, que tipo de erro eles cometem com mais

frequência nas suas resoluções e propor soluções para os problemas encontrados e

apresentados ao longo da análise para o Ensino de Geometria.

A partir de sua dissertação de mestrado, que analisa as dificuldades e

erros em questões que envolvem Álgebra, também foi observado por Siebra (2009),

a possibilidade de modificar a própria prática no Ensino de Matemática. Para isso

foram selecionadas nove questões da Prova SARESP/2005, dos cadernos de 6ª, 7ª

e 8ª séries (7º, 8º e 9º anos) e aplicadas em 84 alunos da 8ª série (9º ano) de uma

escola pública estadual paulista, na periferia da cidade de São Bernardo do Campo.

A pesquisa teve como objetivo gerar a reflexão na busca das dificuldades e erros

nas resoluções apresentadas pelos alunos. Muitos dos erros e dificuldades

encontrados nesse trabalho haviam sido apontados nos estudos realizados pelos

referenciais teóricos citados.

35

Por fim, realizando pesquisa no Ensino Superior, Bastos (2013), em seu

trabalho de Doutorado (Análise de Erros Matemáticos na Resolução de Problemas

Aplicados à Física Elétrica), buscou analisar os erros cometidos por alunos do 3º

semestre de dois cursos de Tecnologia de uma instituição particular. O autor utilizou-

se da metodologia de pesquisa qualitativa. A coleta de dados foi realizada por

observação-participante em sala de aula, além das resoluções escritas dos

problemas geradores propostos aos alunos e pela análise documental. A análise de

erros realizada permitiu detectar aspectos ligados à linguagem (natural, matemática

e física), bem como à transição entre elas. O autor também apontou lacunas de

conhecimentos prévios de Matemática e Física referentes aos Ensinos Básico e

Superior que condicionaram fortemente a resolução dos problemas de Física

Elétrica propostos. Além disso, o autor observou que os alunos ganharam autonomia

enquanto buscavam resolver os problemas, passando a trabalhar com mais

habilidade analítica.

Em nossa busca, ainda encontramos trabalhos que abordam dificuldades

e erros nos conteúdos de equação, inequação e função, entre os quais destacamos:

Ponte (1992), Oliveira, (1997), Pelho (2003), Oliveira (2006), Lima (2007), Cury

(2008), Pontes (2008), Delgado (2010), Maciel (2011), Reis (2011) e Junior (2011).

Dos doze trabalhos que relatamos, um foi realizado com professores em

Formação Continuada, oito com alunos do Ensino Básico e três com alunos do

Ensino Superior. Todos eles foram desenvolvidos com o objetivo de encontrar erros

matemáticos, sendo que em um dos trabalhos do Ensino Superior, as questões

propostas consistiam em resolução dos problemas de Física Elétrica. Assim,

reafirmando o que já descrevemos, é possível o professor realizar a análise de erros

em qualquer disciplina e utilizar dos erros em sala de aula como auxílio no

aprendizado do aluno.

Cada um dos trabalhos realizou a análise de erros em um determinado

conteúdo, apresentando os resultados encontrados. Acreditamos que os resultados

devem ser analisados e utilizados por pesquisadores e futuros professores com a

finalidade de contribuir para a formação do aluno.

36

Além disso, os pesquisadores mencionados deixam claro em seus

trabalhos que, ao analisar os erros, é possível identificar o que está errado e criar

estratégias didáticas motivadoras nas quais esses erros possam ser utilizados para

ajudar na aprendizagem da Matemática.

No que diz respeito à Formação Inicial de Professores, além de

apresentarem análise de erros em questões de Matemática, as pesquisas

descreveram, também, a importância dos professores trabalharem a análise de erros

com os alunos de licenciatura. Esses futuros professores, ao aprenderem a lidar

com os seus próprios erros, poderão utilizar-se dos erros cometidos por seus alunos

em suas práticas de ensino, contribuindo para superação de suas dificuldades.

Notamos que o objetivo desses pesquisadores era analisar os erros

cometidos, classificar e discutir esses erros. Observamos que a análise de erros

pode ser realizada em diversos níveis de ensino, utilizando-se de diferentes

procedimentos metodológicos. Além disso, vimos que os pesquisadores brasileiros

têm-se mostrado interessados em divulgar suas pesquisas em periódicos

internacionais.

1.3.3 – Sondagem Preliminar Realizada na Escola Investigada

A importância desta pesquisa é reforçada a partir dos dados que constam

na tabela do ANEXO A (documento CEFET-MG, 2012), fornecida pela Instituição

investigada. A tabela mostra o número de alunos reprovados, por curso, no ano

letivo de 2011, em todas as unidades do CEFET-MG. Deve-se considerar que cada

turma possui em média 40 alunos.

Na análise dos dados, percebemos que o curso de Eletrotécnica no

Campus I em Belo Horizonte é o segundo maior em índice de reprovação – 22,5%.

Dos dezoito alunos reprovados, treze se encontravam matriculados no 1º ano

integrado do ano letivo de 2012. Os cinco que não estavam matriculados saíram da

escola por motivo de jubilamento ou por outros motivos.

Fizemos um levantamento no sistema acadêmico da Instituição para

identificar em quais disciplinas os treze alunos do curso em questão foram

reprovados. O resultado obtido mostrou que somente um dos alunos não foi

37

reprovado na disciplina de Matemática e, para os demais, a Matemática foi a única

ou uma das disciplinas que acarretaram a reprovação. Isto também pode ser

comprovado na tabulação de dados de um questionário de sondagem respondido

pelos treze alunos reprovados.

Elaboramos e aplicamos em outubro de 2012, junto com a Coordenação

de Eletrotécnica, um questionário que foi respondido pelos treze alunos que

repetiram o 1° ano do curso integrado, os quais pertenciam a duas turmas que

contavam com a atuação de professores distintos. O instrumento de sondagem tinha

por finalidade identificar as disciplinas e as dificuldades encontradas por esses

alunos no ano letivo de 2011. O questionário, que se encontra no APÊNDICE A, era

composto de dez perguntas abertas.

Com as três primeiras perguntas tínhamos como finalidade identificar as

disciplinas em que os alunos foram reprovados, em quais eles obtiveram menores

notas e, também, aquelas cujas notas foram inferiores a 40 pontos. Analisando as

respostas dadas a essas perguntas, confirmamos o que já havíamos apurado no

sistema acadêmico da Instituição, ou seja, doze dos treze alunos foram reprovados

em Matemática. As menores notas de cinco desses alunos foram na disciplina de

Matemática e um deles apresentou do total de 100 pontos, nota inferior a 40.

A quarta pergunta tinha como finalidade verificar a disciplina em que os

alunos apresentaram maiores dificuldades, além de possibilitar a identificação

dessas dificuldades. Analisando as respostas, constatamos que a disciplina na qual

os alunos mais relataram apresentar dificuldades foi a de Matemática (conteúdo

programático – ANEXO B), sendo ela apontada por nove dos treze alunos. Assim, as

análises apresentadas a seguir referem-se às respostas dadas por esses nove

alunos, pois o foco deste trabalho é a disciplina de Matemática.

Ainda na quarta pergunta, ao serem questionados sobre as dificuldades

apresentadas na disciplina de Matemática, os alunos mencionaram a dificuldade em

assimilar a matéria, além de apontarem dificuldades na resolução de problemas e

funções específicas do conteúdo ensinado. Assinalaram, também, dificuldades de

relacionamento com o professor e a falta de clareza deste na exposição de

conteúdos.

38

Nas últimas seis perguntas, nosso objetivo era verificar as formas de

tratamento das dificuldades e erros, tanto por parte do aluno quanto do professor.

Ao responderem como trataram suas dificuldades, oito dos nove alunos

afirmaram que estudavam individualmente, além de pedirem ajuda aos colegas.

Alguns apontaram que também procuravam auxílio de professor particular.

Problemas com comportamento e falta de dedicação aos estudos também foram

apontados pelos próprios alunos.

Ao serem questionados como o professor tratou as dificuldades com a

turma, seis alunos mencionaram que o professor refazia alguns dos exercícios. Um

dos alunos declarou que o professor explicava a matéria claramente. Para a maioria

deles, as dúvidas permaneciam, mesmo quando o professor refazia os exercícios,

pois eram refeitos no seu tempo, sem respeitar o tempo dos alunos. Oito dos nove

alunos descreveram que o professor não tratava as dificuldades individualmente.

Ao responderem como trataram os erros indicados pelo professor em

suas atividades, oito dos nove alunos relataram que refaziam a questão, e quando

não conseguiam procuravam ajuda de colegas e de professor particular.

Nas duas últimas perguntas, oito alunos responderam que o professor

não tratava o erro individualmente, e sim de forma coletiva.

Finalmente, percebemos que quando questionados sobre os erros e as

dificuldades apresentadas os alunos não mencionaram somente erros e dificuldades

relacionadas ao conteúdo da disciplina de Matemática. Além de descreverem sobre

o próprio comportamento não adequado em sala de aula, por muitas vezes os

alunos falaram das dificuldades encontradas na relação professor-aluno.

Percebemos esse fato, por exemplo, nas respostas apresentadas nas quatro últimas

questões, quando os alunos descreveram que o professor não tomava nenhum tipo

de atitude ao detectar erros de uma determinada turma ou de um aluno específico.

Assim, a escolha do tema para a pesquisa relatada nesta tese foi definida

em função da revisão da literatura sobre análise de erros e da análise das respostas

obtidas no questionário de sondagem, pois neste percebemos que os alunos

sozinhos não conseguem localizar e identificar seus próprios erros e,

39

consequentemente, desconhecem o que precisam aprender para superar suas

dificuldades. Isso ficou claro, uma vez que foram poucas as dificuldades e erros

descritos por eles com relação aos conteúdos matemáticos. Essas e outras

questões precisavam ser investigadas, pois analisando somente o questionário de

sondagem não foi possível esclarecê-las.

Observamos que as respostas apresentadas pelos alunos são vagas com

relação às dificuldades e erros matemáticos, e mesmo que o relacionamento

professor-aluno fosse menos conflituoso, as respostas não possibilitariam

intervenção dos professores e nem avanços dos alunos.

Com essa exposição, vimos a necessidade de pesquisas na área de

Ensino de Matemática que identifiquem os tipos de erros cometidos por alunos em

suas produções escritas. Partindo disso, é possível deixar propostas de intervenções

que poderão ser adotadas pelos professores com a finalidade de levar o aluno a

atingir de forma mais significativa o conhecimento. Por esses motivos, escolhemos

como tema de pesquisa:

Tipos de erros matemáticos apresentados por alunos do 1º ano da educação

profissional tecnológica de nível médio na modalidade integrada.

1.4 – Delimitação do Problema de Pesquisa

Autores que discutem metodologia de pesquisa consideram o tema da

pesquisa como o assunto que se deseja desenvolver e o problema como a

especificidade daquilo que se quer resolver. O problema deve ser levantado,

preferencialmente, de forma interrogativa, e que possibilite responder às perguntas

“o quê?”, “como?”. Conforme Bicudo (2012), “o ponto crucial da pesquisa é

constituído pela interrogação e seu esclarecimento.” (p. 21). Esses autores, também,

consideram que é preciso evitar problemas muito abrangentes, pois eles tornam a

pesquisa mais complexa. Concluem, por fim, que problema delimitado simplifica a

maneira de conduzir a pesquisa.

A importância da delimitação do problema a ser investigado é “que nunca

será possível explorar todos os ângulos do fenômeno num tempo razoavelmente

limitado” (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 22). Assim, os autores destacam que se deve

40

selecionar os pontos mais relevantes e determinar os recortes para que seja

possível obter respostas para as questões propostas na investigação.

No nosso caso, o conteúdo escolhido para se realizar a investigação foi o

lecionado no primeiro semestre do 1º ano do Ensino Médio na disciplina de

Matemática (ANEXO B), visando à busca de uma tipologia de erros que esses

alunos cometem ao resolverem questões que envolvem os conteúdos de Conjuntos

Numéricos e Intervalos Reais, Equações, Inequações e Funções Afim, Polinomial do

2º Grau, Modular, Exponencial e Logarítmica referentes ao Ensino Médio. É

importante registrar que são esses os conteúdos referentes à primeira avaliação de

Matemática aplicada pela Instituição, sendo eles, os que fizeram parte de nossa

investigação. A escolha desses conteúdos se deu pelo fato de serem eles os

primeiros lecionados e, por esse motivo, podermos verificar também se existe

dificuldades nos conteúdos de Números e Operações, Potências e Funções

oriundas do Ensino Fundamental.

Optamos por tratar o conteúdo de Potências separadamente do conteúdo

de Números e Operações5 pelo fato de esse conteúdo estar ligado diretamente a um

dos tipos de função investigada neste trabalho (Função Exponencial); assim,

facilitaria a identificação das dificuldades relatadas pelos alunos de forma mais

pontual.

A partir do conteúdo escolhido e do tema apresentado, o problema

levantado para esta investigação é:

O que revelam os erros matemáticos apresentados por alunos do 1º ano da

educação profissional tecnológica de nível médio na modalidade integrada do

curso Técnico em Eletrotécnica ao resolverem atividades que envolvem

conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional?

Levando em consideração o problema delimitado acima, este trabalho

tem como finalidade responder às seguintes questões:

5 De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – do terceiro e quarto ciclos do Ensino

Fundamental, o conteúdo de potenciação está incluído no bloco denominado “Números e Operações” (BRASIL, 1998).

41

Que conteúdos matemáticos provenientes do Ensino Fundamental

são visíveis nos erros apresentados na resolução das atividades

que envolvem conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional?

Que tipos de erros matemáticos os alunos apresentam na

resolução das atividades que envolvem conjuntos numéricos e

intervalos reais?

Que tipos de erros matemáticos os alunos apresentam na

resolução das atividades que envolvem equações, inequações e

funções?

Como esses erros podem ser categorizados dentro de uma

perspectiva de análise didática do erro?

Como já mencionado, os conteúdos investigados são os propostos na 1ª

avaliação institucional: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais, Equações,

Inequações e Funções Afim, Polinomial do 2º Grau, Modular, Exponencial e

Logarítmica referentes ao Ensino Médio. Além desses conteúdos, também foram

investigados os conteúdos de Números e Operações, Potências e Funções oriundas

do Ensino Fundamental.

1.5 – Participantes da Pesquisa

O curso de Eletrotécnica na Modalidade Integrada na unidade do Campus

I do CEFET-MG situado em Belo Horizonte é composto por duas turmas

denominadas ELE1A e ELE1B. Para participar desta pesquisa, foram selecionados

os alunos da turma ELE1B do ano letivo de 2013, ao todo 37. Esses alunos

cursaram, nesse ano, o 1º ano da Educação Profissional Tecnológica de Nível

Médio. A escolha da turma ELE1B se deu pelo fato de a pesquisadora lecionar para

esses alunos a disciplina técnica de Sistemas Digitais, tendo, portanto, uma maior

proximidade com eles. No capítulo 4 descrevemos, de forma detalhada, o perfil do

grupo participante.

1.6 – Considerações Baseadas nas Pesquisas que Envolvem Análise de Erros

Apresentamos uma revisão da literatura nacional e internacional voltando-

nos para alguns trabalhos de pesquisa realizados nos últimos anos sobre

42

dificuldades e erros na aprendizagem de Matemática desde o Ensino Básico até a

Formação Continuada de professores, cujo principal foco é a análise de erros em

produção escrita de alunos. Nosso interesse com os trabalhos apresentados é poder

situar nossa pesquisa no cenário apresentado, além de responder as nossas

questões, deixando, assim, contribuições efetivas para o Ensino de Matemática.

Para isso, é necessário identificar em cada um desses trabalhos conceitos

relacionados àquilo que propusemos nesta pesquisa.

Na busca pela resposta dos tipos de erros matemáticos cometidos pelos

alunos, levaremos em consideração os seguintes pontos:

Analisar a produção escrita do aluno é o primeiro passo para podermos

identificar os erros cometidos por eles (BORASI, 1989; RESNICK et al., 1989;

FELTES, 2007; CURY e SILVA, 2008; CORDEIRO, 2009; DALTO e BURIASCO,

2009; CURY e BISOGNIN, 2009; SIEBRA, 2009; CURY, RIBEIRO e MÜLLER, 2011;

CARAZO e BREY, 2012; DULLIUS, QUARTIERI e FURLANETTO, 2012; BRUM e

CURY, 2013; DODERA et al., 2014).

Para identificar os erros cometidos pelos alunos em um dos

instrumentos utilizados na investigação, usamos a análise de erros semelhante à

apresentada nos trabalhos de Leivas e Cury (2010), Cury, Ribeiro e Müller (2011) e

Cury (2013a).

Para visualizar o erro numa perspectiva de análise didática do erro é

importante a criação de categorias e, para isso, consideraremos que é importante:

Categorizar os erros dentro de uma perspectiva de análise didática.

(ESPINDOLA, 2009).

No diálogo com a literatura e nas considerações finais ponderaremos

quanto às seguintes observações levantadas nas pesquisas apresentadas neste

capítulo:

Enfatizar a importância de se analisar o processo e não apenas o

produto, bem como conceber o erro enquanto uma ferramenta de metodologia de

ensino, conforme os trabalhos apresentados por Borasi (1985, 1989) e Espindola

(2009).

43

Ao identificar os erros, destacamos que eles merecem atenção por

parte dos educadores e também dos pesquisadores da área de Ensino de

Matemática (VECE; SILVA e CURI, 2013).

Também faremos um paralelo de erros identificados nesta pesquisa com

erros identificados na literatura aqui mencionada.

Além dos trabalhos realizados no exterior (BORASI, 1989; RESNICK et

al., 1989; CARAZO e BREY, 2012; DODERA et al., 2014), observamos que no Brasil

os erros matemáticos têm se constituído como objeto de estudo em diferentes

pesquisas realizadas no mestrado e doutorado. A revisão que apresentamos teve a

intenção de estabelecer um panorama geral sobre a forma como esse assunto está

sendo estudado na área acadêmica e, assim, refletir sobre o que nossa pesquisa

acrescentará nesse cenário apresentado.

Partindo do que foi exposto, delinearemos a contribuição de nossa

pesquisa para o ensino, mas, antes disso, vamos descrever os objetivos básicos,

apresentados por Fiorentini e Lorenzato (2009), referentes a uma investigação na

área de Ensino de Matemática. O primeiro objetivo é “de natureza pragmática, que

tem em vista a melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem da matemática”

(p. 10, grifo no original) e o segundo, “de cunho científico, que tem em vista o

desenvolvimento da EM enquanto campo de investigação e de produção de

conhecimentos” (p. 10, grifo no original). Com o desenvolvimento desta pesquisa,

procuramos atingir os dois objetivos citados pelos autores.

Portanto, consideramos que nossa pesquisa agrega-se ao quadro de

produções, oferecendo a seguinte contribuição inédita: Identificar, analisar e

classificar os tipos de erros matemáticos cometidos por alunos nas resoluções de

atividades que envolvem conteúdos lecionados no Ensino Médio e, também, os tipos

de erros provenientes de conteúdo do Ensino Fundamental, categorizando-os em

um modelo de análise didática do erro. Nas pesquisas analisadas não encontramos

trabalhos que identificavam e categorizavam tais erros da forma em que propomos.

Dessa maneira, a pesquisa aqui realizada torna-se necessária, pois contribui com o

Ensino de Matemática, especialmente no conteúdo investigado.

44

1.7 – Organização do Trabalho

Este trabalho foi dividido em quatro capítulos e as considerações finais,

complementado por referências, apêndices e anexos.

Capítulo 1 – As Escolhas

No Capítulo 1, descrevemos as escolhas que foram importantes para a

definição do tema abordado neste trabalho. Relatamos experiências que

colaboraram para a vida profissional da pesquisadora, além de uma breve descrição

do local onde a pesquisa foi realizada. Por meio de uma sondagem preliminar

realizada na escola investigada, com alunos reprovados na disciplina de

Matemática, e da realização de uma varredura na literatura sobre pesquisas que

investigaram a Análise de Erros, expomos as justificativas referentes à escolha do

tema. A partir disso, apresentamos o problema e as questões investigadas.

Capítulo 2 – Fundamentação Teórica que Sustenta a Investigação

Neste capítulo, expomos a nossa fundamentação teórica, que serviu

como suporte para a nossa investigação. Iniciamos com o significado dos termos

erro e dificuldade e, em seguida, com a apresentação das teorias e acepções do

erro na aprendizagem. Discutimos o erro sob olhares opostos e, abordamos a

importância da análise de erros e as formas de realizá-la, além de apresentarmos as

fases referentes ao tratamento didático do erro.

Capítulo 3 – Metodologia da Pesquisa

O Capítulo 3 detalha a metodologia da pesquisa, na qual situamos nosso

trabalho no contexto de pesquisa qualitativa. Descrevemos sobre os instrumentos de

investigação desenvolvidos e sobre os critérios utilizados para a análise dos dados.

Por último, apresentamos a descrição das etapas de investigação.

Capítulo 4 – Analisando e Refletindo sobre os Dados

No Capítulo 4, apresentamos primeiramente o perfil dos alunos que

participaram da pesquisa, além dos dados coletados por meio do Instrumento I, que

definem o grau de dificuldades oriundos do Ensino Fundamental e os apresentados

45

no Ensino Médio por esses alunos na disciplina de Matemática. Logo em seguida,

realizamos a análise dos dados com o intuito de identificar os tipos de erros

cometidos pelos alunos no Instrumento II e apresentamos a categorização desses

erros segundo um modelo didático. E, finalmente, realizamos um diálogo entre os

resultados encontrados e a literatura.

Considerações Finais

Nas considerações finais, retomamos e respondemos as nossas questões

de pesquisa, destacando as contribuições do trabalho realizado, além de indicarmos

as possibilidades de trabalhos futuros.

46

CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA QUE SUSTENTA A

INVESTIGAÇÃO

Após a definição do problema, passamos para a construção de uma

fundamentação baseada em teóricos que deram suporte para a nossa pesquisa.

Na primeira seção deste capítulo apresentamos os significados das

palavras “dificuldade” e “erro” e a relação existente entre ambas, além de

discutirmos alguns pontos de vista a respeito dessas duas palavras. Nas demais

seções, discorremos a partir de teóricos, especialmente Pinto (2000) e De La Torre

(2007)6, como podemos identificar os erros, e como o erro pode ser tratado com a

finalidade de favorecer a reconstrução do conhecimento e ajudar no processo

ensino-aprendizagem. Para isso, relatamos na visão desses autores, as teorias e

acepções do erro na aprendizagem, a importância da análise na produção escrita do

aluno, a análise dos erros, entre outros.

2.1 – Dificuldade e Erro: seus significados

Neste trabalho é importante definir o significado das palavras dificuldade e

erro para melhor entendimento da relação existente entre elas. As duas palavras

foram pesquisadas no dicionário eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa (2001,

n.p.). A palavra “dificuldade” tem como significado: “o que impede, embaraça;

estorvo, obstáculo”. A palavra “erro” significa: “juízo ou julgamento em desacordo

com a realidade observada; engano”.

Com os significados relatados, percebemos que a palavra dificuldade

significa barreiras encontradas na busca do conhecimento. Portanto, o erro é uma

consequência disso, sendo um dos seus significados o engano. Na sequência,

apresentamos alguns conceitos sobre erro, tomando como base o ponto de vista de

alguns pesquisadores.

6 Obra originalmente publicada sob o título Aprender de los errores: El tratamiento didáctico de lós

errores como estratégia de innovación – 1ª edição: 2004.

47

Gamboa (1997), quando professor da Pontifícia Universidad Católica del

Peru, descreveu em seu trabalho que “o estudo do conhecimento humano, da

capacidade do homem para compreender, tem sido sempre uma preocupação

constante da filosofia em uma vertente denominada gnosiologia7” (p. 1, tradução

nossa). Diante disso, o autor afirma que o erro é atribuído a uma disposição de

considerar concepções e procedimentos que foram desenvolvidos deficientemente

como verdadeiros, nos quais foram incluídas interpretações falsas ou ideias

conflitantes.

Acrescentando a essa colocação, Pinto (2000), pesquisadora e doutora

na área de ensino e educação matemática, afirma que o erro faz parte do ato de

aprender, isto é, ele é parte integrante de um conhecimento provisório. A autora

descreve ainda que, pelo fato do aprendizado ser um ato dinâmico, o erro passa por

transformações, dependendo de situações conflitantes durante o desenvolvimento

do indivíduo.

A origem do erro é localizada pelo filósofo Descartes em duas atitudes (o

qual chamou de atitudes infantis): a prevenção e a precipitação. Chaui (2005)

descreve que para Descartes a prevenção “é a facilidade com que nosso espírito se

deixa levar pelas opiniões e ideias alheias, sem se preocupar em verificar se são ou

não verdadeiras” (p. 127); já a precipitação “é a facilidade e a velocidade com que

nossa vontade nos faz emitir juízos sobre as coisas antes de verificarmos se nossas

ideias são ou não são verdadeiras” (p. 127).

No campo semântico, De La Torre (2007), doutor em Filosofia e Letras

pela Universidade de Barcelona, descreve o erro usando quatro pontos cardeais:

efeito destrutivo, deturpativo, construtivo e criativo. O erro é apontado por ele de

uma forma binária: a negativa (efeito destrutivo e deturpativo) e a positiva

(construtivo e criativo). Na forma negativa, o erro tem um efeito destrutivo, isto é, ele

provoca falhas irreversíveis; já na forma de estímulo criativo o erro pode ser

considerado como um instrumento de progresso.

7 Teoria geral do conhecimento humano, voltada para uma reflexão em torno da origem, natureza e

limites do ato cognitivo, freq. apontando suas distorções e condicionamentos subjetivos, em um ponto de vista tendente ao idealismo, ou sua precisão e veracidade objetivas, em uma perspectiva realista; gnoseologia, teoria do conhecimento. (HOUAISS, 2001, n.p.).

48

Além disso, De La Torre (2007) assinala ainda que o erro pode indicar

duas situações: resultado e processo. O erro visto como resultado tem um

significado negativo, isto é, apresenta um efeito deturpativo ou destrutivo. Visto

como processo pode levar a um procedimento construtivo, método de descoberta

científica ou como uma forma de transmissão didática, sendo vista, portanto, como

um estímulo criativo. Essa criatividade, conforme apontada pelo autor, “[...] não está,

como é natural, no erro, mas nas pessoas que são capazes de gerar novas idéias

apoiando-se nele” (p. 15).

A sinopse sobre os diversos significados do erro apresentada por De La

Torre (2007) é descrita em quatro categorias: pensamento, linguagem, ação

(proceder) e erro voluntário (engano). Dentro de cada categoria, o erro, como efeito

deturpador, carrega de forma implícita um significado negativo. Conforme o autor, os

significados para a categoria pensamento são confusão, desacerto, equívoco, falha,

inadvertência, inexatidão, irracionalidade; os significados para a categoria linguagem

são inconveniências, besteira, disparate, errata, mancada; já os significados para a

categoria ação são desacerto, descuido, distorção, equívoco, falha; e, finalmente, os

significados para a categoria erro voluntário são engano, acobertamento, fraude,

hipocrisia, simulação, mentira, truque, manipulação. Logo, para o autor, “Cada

categoria tem suas próprias características e seus próprios mecanismos e

processos.” (p. 16).

Partindo dos significados descritos até o momento, quando falamos em

“erro” não nos referimos à “ignorância”. Ignorância tem como significado

apresentado no dicionário eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa (2001, n.p.)

“estado de quem não tem conhecimento, cultura, por falta de estudo, experiência ou

prática” ou, ainda mais, “desconhecimento”, “desinformação”, “incompreensão”,

“incultura”, “insciência”, entre outros.

De La Torre (2007) aponta que a diferença entre “erro” e “ignorância” é

que a última é o desconhecimento total daquilo que se trata, ao passo que o erro é

provocado por desconhecimento parcial da coisa. Os enganos cometidos em função

desse desconhecimento parcial devem ser usados como uma oportunidade de

melhorar o conhecimento.

49

A partir do que foi exposto, começamos a delinear um conceito sobre o

erro numa perspectiva geral. Cremos, então, que o erro não seja fruto da ignorância,

pois, sendo ele cometido em função de um desconhecimento parcial, mesmo assim,

ele possibilita a reconstrução de conhecimentos. Analisando o significado do erro de

uma forma binária, a negativa e a positiva, adotamos neste trabalho a forma positiva,

ou seja, o erro a partir de uma acepção construtiva e criativa.

Não encontramos autores que apresentam um significado para a palavra

dificuldade, exceto a afirmação da relação existente entre as palavras dificuldade e

erro feita por Socas (apud LUPIÁÑEZ, 2013): o erro é uma manifestação visível de

uma dificuldade. Portanto, consideramos aqui que para se compreender as

dificuldades é necessário identificar os erros.

A seguir serão apresentadas as teorias e acepções do erro em estudos

realizados por pesquisadores que investigam o erro no processo de aprendizagem.

2.2 – Teorias e Acepções do Erro no Processo de Aprendizagem

Vários são os pesquisadores (RICO, 1998; PINTO, 2000; DE LA TORRE,

2007; entre outros) que vêm investigando as dificuldades e os erros cometidos por

alunos. A seguir, abordamos as teorias e acepções do erro na aprendizagem da

Matemática, sob o ponto de vista de alguns desses pesquisadores.

Thorndike (apud CURY, 2008) é um dos precursores do estudo sobre os

erros, com trabalhos realizados no início do século XX. Como pai da Psicologia

Educacional, Thorndike enfatizava que os interesses vitais do aluno devem ser

respeitados, procurando não entediá-lo com “dificuldades inúteis”. Para ele era

necessário o reforço dos hábitos que permitiam ao aluno a prática dos cálculos.

Devido às críticas recebidas por outros colegas, que consideravam seu método

baseado em exercícios repetitivos, Thorndike passou a investigar sobre dificuldades

e erros relacionados com problemas que ocorrem nas operações aritméticas

fundamentais, tornando-se um dos pioneiros sobre os estudos relacionados aos

erros.

O psicólogo russo Krutetskii (apud CURY, 2008) mostra em seu trabalho a

importância de se analisar o processo e não apenas o produto. Como exemplificado

50

pelo autor, não se deve avaliar somente a alternativa assinalada em uma questão de

múltipla escolha ou o resultado apresentado em uma questão aberta; é necessário

também analisar o raciocínio apresentado durante o processo de resolução da

questão. Analisando o processo dessa maneira, é possível perceber as habilidades

matemáticas dos estudantes, além das dificuldades por eles apresentadas. O

pesquisador afirma também que, nessa forma de análise, pode-se questionar os

estudantes sobre os erros cometidos e ajudá-los na reconstrução do conhecimento.

No trabalho desenvolvido por Krutetskii e sua equipe (1955-1966), foram

utilizados métodos de pesquisa que abrangiam diversos temas da Matemática, tais

como Álgebra, Aritmética, Geometria e Lógica. Na investigação foram envolvidos

desde um único estudante até um grande grupo, além de tomarem opinião de pais,

professores e matemáticos. Os pesquisadores levaram em consideração não

somente a produção escrita dos estudantes, mas também a produção oral, como,

por exemplo, o registro da resolução das questões realizadas em voz alta e as

explicações dos alunos aos questionamentos sobre as respostas apresentadas.

Os pesquisadores mencionados, precursores nos estudos sobre erros,

são referenciados em vários trabalhos, entre eles, o de CURY (2008) e o de

BASTOS (2013). Ponderando sobre suas afirmações, constatamos que é de suma

importância o professor analisar todo o procedimento utilizado pelo aluno na

resolução de uma questão e que o erro deve ser visto como manifestação de um

conhecimento que o aluno construiu, portanto não pode ser simplesmente

desprezado. Ao desprezá-lo, o professor parte do pressuposto de que o aluno não

possui nenhum conhecimento prévio, o que não é verdade, na maioria das vezes.

O espanhol e educador matemático Rico (1998) aponta em seu trabalho

várias pesquisas (RADATZ, 1979; MOVSHOVITZ-HADAR, ZAVSLASKI, INBAR,

1987, entre outras) realizadas na Educação Matemática que destacam o erro como

principal fonte de estudo. Menciona ainda que

o estudo dos erros, na aprendizagem de matemática, tem sido uma questão de permanente interesse na educação matemática, que tem uma longa história e que se caracteriza por aproximações e interesses muito diferentes. Em cada época a análise de erros em educação matemática tem-se orientado pelas correntes predominantes em pedagogia e psicologia; também tem estado condicionada pelos objetivos e formas de organização do currículo de matemática nos correspondentes sistemas educativos. (RICO, 1998, p. 77, tradução nossa).

51

Analisando o que foi apresentado até o momento, verificamos que, em

determinado período, os pesquisadores (por exemplo, Thorndike) acreditavam que a

repetição de tarefas era uma das formas que os alunos tinham para praticar o que

foi ensinado, além de considerarem que, com o uso dessa prática, era possível

eliminar o erro. Com a evolução dos estudos na área, a linha de pensamento dos

pesquisadores sofreu modificações. Além de provocar mudanças individuais, os

resultados das pesquisas vêm influenciando nas formas de organização do currículo

de Matemática.

Rico (1998) descreve que a maioria das investigações considera as

seguintes características predominantes nos erros cometidos pelos alunos:

Os erros são surpreendentes e permanecem ocultos para o professor

durante algum tempo.

Os erros são persistentes e para serem retificados é necessário que

haja uma reorganização do conhecimento do aluno.

Os erros podem ser sistemáticos ou podem acontecer por engano. No

primeiro tipo de erro, o aluno possui uma compreensão equivocada e a utiliza

achando que está correta. Esse tipo de erro acontece com uma frequência maior e

contribui mais para revelar o processo mental do aluno. No segundo tipo, o erro é

proveniente de lapso, descuido ou esquecimento temporário.

Os erros acontecem por falta de conhecimento de conceitos e

símbolos.

Assim sendo, Rico (1998) afirma que o professor não pode ignorar a

capacidade do aluno nem tão pouco desprezar os erros que ele comete.

Corroboramos com a afirmativa do autor, pois, ao analisarmos o erro

dentro de um contexto escolar, o fato de o aluno cometer um equívoco, ou uma

falha, ou um descuido provenientes de seu pensamento ou ação, já é o suficiente

para alertar o professor de que alguma coisa está errada e que alguma atitude deve

ser tomada. Usando da criatividade, o professor pode dar um enfoque didático aos

erros, da mesma forma em situações problemáticas, quando as pessoas

conseguem, a partir deles, realizar novas descobertas científicas.

52

Considerando, também, que o erro não pode ser desprezado, De La Torre

(2007) propõe que

[...] o professor pode se valer do erro em outros sentidos, como: analisando as causas do erro, adotando uma atitude compreensiva, propondo situações ou processos para que o aluno descubra as suas falhas, utilizando-o como critério de diferenciação de processos de aprendizagem, etc (DE LA TORRE, 2007, p. 15-16).

Se a partir do erro o professor é capaz de visualizar as dificuldades do

aluno, então consideramos de fundamental importância que o professor analise o

erro cometido, pois, dessa maneira, poderá ajudar na superação dessas

dificuldades.

Compreendemos que o erro não é uma meta a ser perseguida, mas

também não é um resultado que deve ser ignorado, sem antes analisar o processo

utilizado na resolução da questão, pois após a constatação do erro devemos buscar

a eliminação de sua reincidência. Segundo De La Torre (2007) “O erro é filho da

mudança” (p. 49).

Conforme descrevemos, o erro pode ser visto de duas formas: positiva e

negativa. Para ambas, o erro não apresenta conceito unívoco. Diante disso,

podemos adotar diversos enfoques sobre o erro, em especial na aprendizagem

escolar. De La Torre (2007) apresenta três enfoques que proporcionam um

referencial epistemológico do erro: o erro como falha punível e como efeito a ser

evitado, o erro como sinal de progresso, e, finalmente, o erro como processo

interativo.

No primeiro caso, o erro é visto como um resultado negativo,

gerando inclusive punição caso seja cometido. Essa consequência negativa não é

vista somente nos tempos atuais, pois há algum tempo as pessoas eram punidas

com o uso de palmatória e por meio de outros tipos de repreensão. Hoje, uma das

punições mais comuns é a exercitação, isto é, acredita-se que se o aluno realizar

uma enorme lista de exercícios, sobre um determinado assunto de qualquer

disciplina, conseguirá aprender o conteúdo desejado e não correrá o risco de

cometer novos erros. Dessa forma, valoriza-se mais a quantidade do que a

qualidade das tarefas realizadas. Quando comete um erro, o aluno não merece

punição, e sim esclarecimento e explicação.

53

O erro caracterizado pelo segundo enfoque – como sinal de

progresso – apresenta uma conotação positiva. Por meio dele pode-se verificar que

os resultados apresentados sobre conjecturas ou suposições levantadas sobre um

determinado conteúdo não são os esperados. Então, a partir disso, novas hipóteses

e investigações deverão ser formuladas. Nessa situação, o erro indica que o

caminho que estava sendo seguido não é o correto, portanto um novo caminho

deverá ser definido. Podemos afirmar que, nessa situação, o erro estaria

funcionando como um termômetro, ou seja, um instrumento que nos apresenta um

sinal de alerta.

No terceiro enfoque o erro é tratado como processo interativo, isto

é, como resposta da interação sociocognitiva. O erro não está somente vinculado ao

desenvolvimento mental do aluno, mas também faz parte das normas culturais

definidas em cada sociedade. Assim, enquanto em algumas escolas os professores

se preocupam com o resultado, em outras eles enfatizam mais o processo, dando ao

resultado uma importância relativa.

Entendemos, então, que o erro pode indicar tanto para o aluno quanto

para o professor que existem falhas em algo que foi ensinado. Se o erro for visto por

ambos de forma positiva, o relacionamento entre eles proporcionará diálogo e

interação, sendo possível estabelecer uma comunicação por meio da qual o

professor orientará e guiará a aprendizagem do aluno de acordo com o desejado.

Além dos enfoques citados, De La Torre (2007) apresenta cinco conceitos

ou acepções de erro na aprendizagem: o erro como falta de verdade; o erro como

incorreção por falta de conhecimento ou de clareza; o erro como equívoco; o erro

como desajuste conceitual ou moral; e o erro como sensor de problemas.

No primeiro caso, dizemos que o erro está no julgamento ao afirmar algo

contrário à verdade. Para esse conceito, De La Torre (2007) afirma que “Estar

errado significaria ter um conceito falso ou equivocado sobre uma coisa” (p. 65). O

erro como incorreção por falta de conhecimento ou de clareza se origina de algo

duvidoso ou da confusão de se tomar uma coisa pela outra. Por exemplo, podem-se

confundir palavras devido às semelhanças morfológicas. Já o erro como equívoco

ocorre não pela falta de conhecimento, mas sim no processo de execução. Isso

54

devido ao nervosismo, cansaço, falta de tempo, à dificuldade de se concentrar, entre

outros. O erro como desajuste conceitual ou moral está associado a alguma norma

válida ou correta estabelecida pelo professor e não seguida pelo aluno. Finalmente,

o erro como sensor de problemas é um indicador de processos que não funcionaram

conforme o esperado, pois é decorrente de estratégias cognitivas não apropriadas.

Partindo das teorias e acepções do erro no processo de aprendizagem,

ao atribuirmos um papel positivo a ele reafirmamos o que é dito pelos pesquisadores

quando descrevem que o erro não deve ser desprezado, pois acreditamos que ele

pode estimular o pensamento e produzir uma compreensão mais profunda de

conteúdos em Matemática. Assim, é importante o professor saber o que o aluno

exterioriza, em vez de apenas imaginar seus pensamentos.

Logo, a partir de análise realizada nas resoluções dadas pelos alunos, o

professor poderá identificar não somente os erros cometidos por eles, mas, também,

se as resoluções consideradas corretas não apresentam conceitos incorretos.

Cremos que os erros não devem ser ignorados e muito menos usados

como armadilhas em avaliações elaboradas por professores, mas devem, sim, ser

classificados e analisados para que possam ser identificadas as causas e as

dificuldades encontradas pelos alunos ao descreverem seu raciocínio nas respostas

dadas.

Vimos que é importante os professores verem o erro como uma fonte de

informação. Desse modo, compreendemos que o erro deve ser visto com muita

atenção, pois ele indica a existência de problemas que devem ser tratados. Esses

problemas, muitas vezes persistentes, vão gerando novos problemas se não forem

avaliados rapidamente e da melhor forma possível.

Assim sendo, por meio do erro podemos conhecer a concepção que

determinadas pessoas têm sobre alguns assuntos em Matemática e verificar se são

válidas ou não. Partindo de concepções incorretas, é possível obter novos

conhecimentos. A busca do conhecimento depende muito da interpretação daquilo

que está sendo analisado. Assim, na maioria das vezes, essa busca não acontece

sem que o aluno demonstre incertezas.

55

Neste trabalho, adotamos o princípio de que o erro deve ser visto pelo

professor como um elemento didático e não como algo que deve ser ignorado.

Tratado dessa maneira, o erro se transforma em estratégia de uma pedagogia que

tem como objetivo a superação das dificuldades.

2.3 – O Erro sob Olhares Opostos

Ao considerarmos o erro com significados contrários, ou seja, conotação

negativa ou positiva, teremos, então, formas pedagógicas opostas para o seu

tratamento: a negativa por meio da “pedagogia tradicional” e a positiva por meio da

“nova pedagogia”. Essas nomenclaturas são adotadas por Pinto (2000) e as

empregaremos quando referenciarmos a essas “pedagogias” neste trabalho.

Mostramos, a seguir, como cada uma delas trata o erro.

Muitas vezes o erro é visto como sinônimo de fracasso, provocando no

aluno um sentimento de frustração e o impedindo de buscar alternativas que possam

superar sua recorrência. Confirmando isso, Pinto (2000) afirma que na “pedagogia

tradicional” o erro serve como um indicador de fracasso do aluno, ou seja, no

momento em que o aluno não tem espaço para cometer erros, o seu

desenvolvimento fica limitado. Nesse cenário, o aluno não tem espaço para refletir

sobre o erro sem que sinta medo.

Partindo do pressuposto de que o fracasso provoca o desânimo e,

consequentemente, prejudica a aprendizagem, os professores passaram então a

favorecer o êxito, provocando, assim, o acerto na maioria das vezes em avaliações

realizadas pelos alunos. Esse tipo de procedimento é adotado pela “pedagogia

tradicional”, aquela que procura evitar o erro.

Para que o erro não ocorra, esse tipo de “pedagogia” baseia-se no

princípio de evitamento e no princípio de progressão graduada. Compartilhando das

ideias de Pinto (2000), Starepravo (2010), aponta que

O erro é frequentemente tratado, nas escolas, como algo a ser evitado ou até mesmo eliminado. Esse tipo de tratamento advém de uma visão imediatista de aprendizagem: acredita-se que uma boa explicação por parte do professor, seguida da aplicação nos exercícios pode garantir a aprendizagem, sem levar em conta que esta trata-se, na realidade, de um

56

processo de construção complexo que está sujeito a rupturas e reestruturações. (STAREPRAVO, 2010, 228).

Inferimos como já mencionamos que, com o propósito de se evitar o erro,

são criadas tarefas programadas que garantem o mecanismo didático de exercitar.

Assim, o aluno se sente mais seguro e certo do êxito nas atividades desenvolvidas.

É dessa forma que a “pedagogia tradicional” trata o erro, e nela o conhecimento é

visto como algo já construído; o aluno tem a função de adquirir o conhecimento sem

atrapalhar o andamento das atividades didáticas, ou seja, sem errar.

Acreditamos que a adoção da “pedagogia tradicional” não significa a

resolução do problema do fracasso, pois o uso de tarefas programadas não garante

a aprendizagem do aluno. Assim, a “pedagogia tradicional”, além de estimular a

reprodução e a falta de criatividade (provocada pelo imobilismo), acaba

proporcionando o fracasso. Portanto, nessa “pedagogia” as pessoas (professores,

alunos, pais, sociedade, entre outros) valorizam o resultado final sem se preocupar

com o que deixou de ser aprendido.

O erro na “pedagogia tradicional” é visto como um fracasso do aluno. Em

uma nova visão (PINTO, 2000), o erro se torna uma conjectura integrante da

construção do conhecimento. Completando o que foi dito, a autora declara que:

Diferentemente das didáticas tradicionais, em que o erro servia, geralmente, como indicador do fracasso do aluno, nas novas teorias ele se apresenta como um reflexo do pensamento da criança, sendo percebido como manifestação positiva de grande valor pedagógico (PINTO, 2000, p. 10).

Continuando, a autora descreve que o mito do erro enquanto fracasso

tem, aos poucos, cedido lugar para uma “pedagogia” que o admite como elemento

que, ao contrário do que se imaginava, auxilia na reconstrução do conhecimento.

Estaremos nos enganando ao acharmos que não somos capazes de errar; assim,

em contrapartida à “pedagogia tradicional”, existe a “nova pedagogia”.

Na “nova pedagogia”, a aprendizagem é um processo dinâmico, flui nos

dois sentidos: professor-aluno e aluno-professor. Nesse tipo de aprendizagem é

importante o professor saber o que e como os alunos pensam no momento em que

estão aprendendo (RICO, 1998; PINTO, 2000). Portanto, é importante o professor

tratar o erro de uma forma mais intensa, pois, muitas vezes o erro não é

simplesmente uma manifestação de falha de memória, podendo ter raízes mais

57

profundas. Esse tratamento não deve ser feito somente pelo professor, mas também

pelos próprios alunos, sob orientação daquele.

Corroborando com as ideias de Pinto (2000), acreditamos que a “nova

pedagogia” não busca propriamente o erro; ele é aceito por ela como um fato que

faz parte da aprendizagem, exatamente pelo motivo de que toda procura pelo

conhecimento está sujeita a falhas e equívocos. Dessa forma, o erro não deve ser

suprimido. O professor deve assumi-lo como uma tentativa, na qual o aluno planeja

uma estratégia de ação e a coloca em prática.

Acreditamos, ainda, que esse tipo de proposta de trabalho proporciona ao

aluno um ambiente escolar mais descontraído, pois nesse ambiente não estão

incluídos atos punitivos, e sim o favorecimento do diálogo que ajuda o aluno a expor

seus pensamentos sem medo de cometer erros. Assim, o trabalho em grupo, a

colaboração entre colegas, o diálogo entre alunos e professores, tudo isso é

permitido e faz parte do conjunto de recursos didáticos, além de ser utilizado

também como objeto de avaliação.

Enfatizando o que foi descrito, De La Torre (2007) afirma que, pelo fato de

a “nova pedagogia” (denominada por ele como “pedagogia do erro”) se ater à

análise de erros e à intervenção no processo de aprendizagem, ela se torna eficiente

e não somente eficaz como a “pedagogia tradicional” (denominada por ele como

“pedagogia do êxito”). Segundo o autor, isso se deve pelo fato de a eficácia ser

definida em termos da relação objetivos-resultados, ao passo que “A eficiência é

definida em termos de rentabilização de recursos, isto é, de relação entre objetivos,

meios e resultados. Entre os momentos inicial (objetivos) e final (resultados),

introduz a utilização de meios e recursos” (p. 79). Consideramos, assim, que a “nova

pedagogia” se preocupa em avaliar as estruturas do processo ensino-aprendizagem.

Nesse sentido, De La Torre (2007) completa o que foi dito quando

descreve que o erro “Utilizado como estratégia, no entanto, é positivo, desde que

não se cometam excessos” (p. 77). Ele ainda usa de uma comparação para justificar

o que foi descrito: “Os medicamentos curam se tomados em doses adequadas, mas

são prejudiciais se abusarmos deles” (p. 77). O erro utilizado como estratégia tem

58

um valor positivo; isso não significa que ele deva ser estimulado, muito menos

provocado.

Ao fazer uma análise das duas propostas, percebemos que o erro está

sendo tratado por visões diferentes. A primeira visão refere-se à “pedagogia

tradicional”, cuja crença é: aquilo que está faltando ou aquilo que está inadequado

deve ser evitado. A segunda refere-se a “nova pedagogia”, aquela que valoriza o

que o aluno já conhece, procurando então complementar aquilo que está faltando.

A ideia de valorizar aquilo que o aluno já conhece é compartilhada por

Santos e Buriasco (2008) quando afirmam que não querem saber o que apenas falta

aos alunos, mas sim o que eles conhecem, para buscar com eles a construção

daquilo que falta.

O Quadro 1 é um resumo das contraposições entre a “pedagogia

tradicional” e a “nova pedagogia”, retratadas até então.

Quadro 1 – Contraposição Entre “Pedagogia Tradicional” e “Nova Pedagogia”

Continua

Pedagogia Tradicional Nova Pedagogia

1 – Consideração do Erro

– Desvio da norma. Comportamento inadaptado. – Elemento regressivo, prejudicial na aprendizagem. – Caráter sancionador, punitivo. – Evitação do erro. – Indicador de resultados não-alcançados.

– Desequilíbrio entre o esperado e o obtido. – Elemento construtivo, inovação. – Condição concomitante da aprendizagem. – Aceitação e análise do erro, diagnóstico. – Sintoma de processos de aprendizagem.

2 – Enfoque Conceitual

– Atenção aos resultados. – Predomínio de critério de eficácia. – Relação entre objetivo-produtos. – Origina pedagogia por objetivos.

– Atenção preferencial aos processos. – Predomínio do critério de eficiência. – Relação entre processo, meio, produto. – Proporciona pedagogia do processo.

3 – Papel do professor

– Corrige e sanciona erros, equívocos. – Cria e planeja ações que asseguram êxito.

– Diagnóstico por meio de erros. – Apresenta situações de aprendizagem.

59

Quadro 1 – Contraposição Entre “Pedagogia Tradicional” e “Nova Pedagogia”

Continuação

– Dirige as aprendizagens. – Atitude rígida em relação ao plano inicial. – Avalia principalmente os conhecimentos.

– Orienta e guia as aprendizagens. – Atitude flexível em relação ao plano inicial. – Avalia também processos, estratégias, etc.

4 – Papel do aluno

– Atitude receptiva em relação ao plano de atividades. – Predomina o princípio de individualização. – Aprendizagem centrada em objetivos de conhecimento.

– Atitude participativa no plano de atividades. – Integra individualização e socialização. – Maior amplitude de aprendizagem.

5 – Metodologia

– Exercitação e aplicação. – Heurística e aprendizagem autônoma.

6 – Avaliação

– Centrada em objetivos conceituais. – Instrumentos objetivos ou objetiváveis.

– Avaliação de processos, meios e resultados. – Instrumentos objetivos e subjetivos.

7 – Modelos e estratégias docentes

Pedagogia Tradicional Nova Pedagogia

– Ensino programado: linear, ramificado. – Projetos tecnológicos de instrução. – Ensino Modular. – Ensino individualizado. – IPI = Instrução prescrita individualizada. – LAP = Pacotes de atividades de aprendizagem.

– Aprendizagem autônoma. – Ensino-aprendizagem criativos. – Metodologia heurística. – Aprendizagem por meio de experiências. – Aprendizagem por resolução de problemas. – Aprendizagem mediante o computador. – LOGO, simulação. – Aprendizagem compartilhada. – Aprendizagem colaborativa, entre iguais.

Fonte: DE LA TORRE, 2007, p. 81, adaptado pela autora.

Como descrito no quadro, o professor que faz uso da “pedagogia

tradicional” utiliza-se da metodologia da prática de exercícios, enquanto que o

professor que adota a “nova pedagogia” trabalha com a metodologia da descoberta,

sendo esta voltada para uma aprendizagem mais autônoma. É notado que na “nova

pedagogia” o papel do professor não é de um expositor, mas sim de uma pessoa

que sugere novas propostas, que cria situações de aprendizagem, de reflexões e

60

estimula o aluno a buscar conceitos e conhecimentos correspondentes ao seu

desenvolvimento.

Conforme exposto, concordamos com os enfoques apresentados pela

“nova pedagogia”, pois acreditamos que o professor deve se preocupar em analisar

e identificar as causas do erro. Por isso, o professor não terá somente como

atividades em sala de aula a explicação do conteúdo, o auxílio ao aluno, a correção

de atividades e a avaliação do conhecimento, mas também deverá se dedicar ao

diagnóstico dos motivos que levaram o aluno a cometer o erro.

De acordo com a explanação feita, confiamos que o erro pode ser

considerado uma pista para conduzir o professor na organização da aprendizagem

do aluno. Nessas condições, sua maior preocupação é compreender como o aluno

aprende, ao passo que na “pedagogia tradicional”, centrada no professor, o

importante é saber o que se ensina.

Por isso, é necessário analisar o erro nas produções escritas dos alunos,

pois acreditamos que, assim, o professor será capaz de reavaliar o processo, propor

novas estratégias didáticas e tomar atitudes que possam retificar os enganos.

2.4 – Análise de Erros na Produção Escrita

A partir da observação e da análise na produção escrita do aluno, o

professor pode dar início à análise de erros. Bisognin, Fioreze e Cury (2005)

afirmam que “Conhecer as concepções dos alunos sobre algum conceito, analisar

como ele pensa ao resolver um problema são elementos que podem fazer da

análise de erros uma forma de analisar a própria prática pedagógica” (p. 32).

Temos como verdade que ao analisar a produção escrita do aluno o

professor está em busca de algo que possa indicar as dificuldades que o aluno

possui e, ainda, verificar que existem formas múltiplas de se resolver o que foi

pedido. Portanto, a análise deve ser cuidadosa, minuciosa e atender a critérios

previamente estabelecidos.

Buriasco, Ferreira e Ciani (2009) descrevem alguns pontos que devem

ser levados em consideração ao se realizar análises em produção escrita, tais como:

61

verificar se as dificuldades encontradas estão relacionadas à linguagem do

enunciado, ao conteúdo matemático, ou a ambos; observar se todas as informações

necessárias para resolução da questão estão disponíveis; certificar-se de que o

enunciado está claro para o aluno e se tal enunciado serve de argumento para

resolução da questão.

Logo, pensamos que a análise realizada na produção escrita com

identificação de erros pode ter um caráter questionador, no sentido de perceber a

origem de suas dificuldades. Por outro lado, os professores também podem refletir

sobre como estão tratando o erro do aluno em sala de aula, de forma coletiva e

individual, e quais atitudes estão sendo tomadas para estimular o aluno a tratar seu

erro.

Acreditamos também que incentivando o aluno a tratar o erro, o professor

estará contribuindo para o seu desenvolvimento. Assim, em vez de usar as aulas

para correção dos erros cometidos pelos alunos, o professor deve ensiná-los a

investigar o porquê desses erros, ou seja, mostrar-lhes que são capazes de

descobrir os motivos dos erros.

Dessa forma, o erro visto como possibilidade de investigação no contexto

educacional resultará em ações que contribuirão para a aprendizagem, eximindo o

professor da repetição de aulas já vivenciadas. Observando os pontos de

dificuldades apresentados pelo aluno, o professor será capaz de tomar decisões que

auxiliem o aluno na superação dos erros, além de estimulá-lo na aprendizagem.

Neste trabalho realizamos a análise de erros em produções escritas dos

alunos originadas de um dos instrumentos utilizado na investigação. Portanto,

explanamos na próxima seção algumas formas de analisá-los.

2.5 – Formas de Analisar os Erros

Apesar de os erros variarem de acordo com cada disciplina e conteúdo, o

professor pode se utilizar da análise de erros em diferentes disciplinas e em vários

níveis de ensino. Exemplos disso são descritos em Ramos (2013) e em Ramos e

Curi (2013a) quando as autoras apresentam a análise de erros realizada em

62

produções escritas de alunos na disciplina de Sistemas Digitais envolvendo circuitos

lógicos.

Confirmando a utilização da análise de erros em diferentes disciplinas, De

La Torre (2007) aponta que,

Entre as didáticas especiais que mais atenção prestaram à análise dos erros estão o estudo das línguas (em particular a segunda língua) e a matemática. Enquanto as primeiras focalizam sua atenção nos erros de execução, a matemática atende aos erros de raciocínio, de compreensão e de organização biológica da informação (DE LA TORRE, 2007, p. 128).

Assim, o autor propõe um Modelo de Análise Didática dos Erros (MADE),

por meio do qual poderão ser “[...] recolhidas as principais dimensões e categorias

do erro, que podem servir de guia tanto na investigação como para sua análise e

seu tratamento didático” (p. 108). O MADE (FIGURA 1) é composto de três

momentos, como qualquer procedimento sistêmico: entrada, organização

(processamento) e execução (saída).

Figura 1 – Modelo de Análise Didática dos Erros – MADE

Fonte: DE LA TORRE, 2007, p. 108.

63

Descreveremos na sequência, de forma detalhada, como o erro pode ser

utilizado e analisado no sistema educacional por meio dos três momentos do

processo apresentado no MADE.

Momento de Entrada é, provavelmente, o instante que pode

apresentar o maior número de erros, pois ocorrem problemas de interpretação entre

os dados de entrada (informações inadequadas ou insuficientes) em algum desses

três planos – intenção, percepção e compreensão – e o que precisa ser exibido na

saída após o processamento.

No plano das intenções, o autor abrange três situações do erro (mas

representa somente duas delas no modelo apresentado – FIGURA 1), sendo a

primeira caracterizada pela indefinição de metas ou falta de clareza, ou seja, o

aluno, por um lado, não compreende o que está sendo solicitado pelo professor. Por

outro lado, o professor não deixa claro o que ele quer que seja realizado e nem para

que serve a atividade, gerando ambiguidade de metas. Como exemplo do que foi

dito, o autor descreve que basta entregarmos uma folha com a seguinte instrução:

“escrevam”. Logo, surgirão várias perguntas tentando esclarecer as intenções.

Percebemos então que a clareza de objetivo é importante, pois é a forma de se

ajustar as atividades propostas pelo professor aos alunos.

Ainda no plano das intenções, o autor descreve que a segunda situação é

quando ocorre confusão do objetivo ou da intenção. Os erros cometidos nessa fase

acontecem pela falta de maturidade do aluno em relação ao tipo de objetivo

apresentado em uma atividade. Para que não ocorram erros desse tipo, os objetivos

de uma atividade devem ser traçados pelos professores de acordo com o nível de

conhecimento do aluno. Um exemplo dado pelo autor é quando um professor

apresenta um problema de matemática para alunos de seis anos, sendo que é

adequado para alunos de nove anos.

Os erros cometidos na terceira situação, segundo o autor, são

provenientes do conflito de objetivos ou do desvio da meta fixada. Esse tipo de erro

ocorre quando o aluno vai além daquilo que foi solicitado, mas desviando do

caminho correto a ser seguido, como por exemplo, quando se interessa por uma

parte do assunto e se esquece de desenvolver o restante da questão.

64

De La Torre (2007) menciona que os erros correspondentes à categoria

das intenções podem ser facilmente evitados, pois, na maioria das vezes, o próprio

professor é o principal responsável pela indução do aluno ao erro.

No segundo plano, plano das percepções, ainda no momento de

entrada, o autor afirma que os erros cometidos pela inadequada percepção da

informação são em sua maioria de responsabilidade da metodologia docente ou da

capacidade discente. Três são as modalidades da categoria de percepção: erros de

omissão, de redundância e de distorção.

Os primeiros, erros de omissão, são devido à ausência de informação

suficiente. Muitas vezes o professor acha que os alunos possuem o conhecimento

de um conteúdo e dá isso por sabido. De La Torre (2007) menciona uma frase que

muitas vezes é utilizada por professores em sala de aula: “Isto vocês já sabem de

anos anteriores.” (p. 112). Assim, o professor deixa claro que não é preciso explicar

aquele conteúdo.

O autor revela ainda que alguns alunos cometem erros devido à

redundância de informação (segundo tipo de erro descrito pelo autor nesse plano). A

repetição costuma ajudar alguns, mas atrapalha outros. Dessa forma, muita

informação nova dificulta a assimilação, ou seja, excessiva redundância leva à

ineficácia.

O último tipo de erro no plano das percepções são os erros de distorção

normalmente acontecem quando a informação é pouco clara, confusa, ambígua e

algumas vezes, estranha aos interesses cognitivos. Às vezes, o aluno sente que

sabe, mas distorce, pelo fato de simplificar tanto os dados que acaba alterando o

significado deles. Muitas vezes os alunos não conseguem distinguir entre a própria

interpretação subjetiva dos fatos e os fatos mesmos, supondo, assim, que sua

interpretação é correta.

O último plano do momento de entrada, de acordo com De La Torre

(2007), é o plano da compreensão, no qual estão os erros de compreensão léxica,

conceitual ou lógica. São erros que acontecem geralmente pela falta de

compreensão da tarefa. Ao compreender um conteúdo o aluno deve ser capaz de

expressá-lo com sua própria linguagem; quando isso não é possível, o aluno acaba

65

cometendo erros dessa natureza. Erros de compreensão léxica ocorrem, por

exemplo, no uso de palavras novas ou difíceis em atividades. Para o autor, quando o

aluno sai de uma sala de aula sem compreender a matéria, ele terá grandes

chances de cometer erros conceituais, caso isso não seja compensado com muitas

horas de estudo em casa. Os erros de compreensão lógica são descritos pelo autor

como fruto do funcionamento mental. Ele cita que não é fácil distinguir um erro de

compreensão conceitual de um erro de compreensão lógica.

Momento de Organização dos Dados é o próximo passo a ser

realizado, após a obtenção das informações de entrada. É nesse momento que os

processos cognitivos do aluno são colocados em prática. Esses tipos de erros estão

associados à análise e síntese da informação obtida, à ordenação dessa

informação e à sua conexão com o conhecimento. Segundo De La Torre (2007),

“Os erros de organização ocorrem quando o sujeito trata de mudar a informação de

que dispõe para dar com a resposta que lhe é pedida” (p. 118). O aluno pode

cometer erros nas diversas etapas descritas anteriormente ao organizar

incorretamente as informações. Esses erros ocorrem ao analisar e sintetizar as

informações de entrada ao ordená-las em sequência ou ao fazer conexões dessas

informações com o conhecimento que possui.

Um exemplo de análise e síntese descrito em De La Torre (2007) é o

seguinte

Se propomos resumir em uma as idéias de duas frases, muitos sujeitos teriam dificuldades de análise e síntese. Por exemplo: “Antônio escreve um conto que lhe pediram no colégio. Seu irmão Juan está fazendo os exercícios de matemática”. Uma síntese poderia ser: “Antônio e Juan, que são irmãos, estão fazendo os deveres do colégio”. (DE LA TORRE, 2007, p. 119).

Assim, vimos que a síntese está associada à capacidade de análise do

que está sendo lido.

A ordenação é fundamental não só para tomar decisões, mas para

resolver problemas. Sequenciamos as ideias tanto na fala, quanto na escrita. Um

exemplo de ordenação e sequenciação da informação dado pelo autor é o aluno

ordenar frações da maior para a menor levando em consideração somente o

numerador.

66

Os erros de conexão acontecem quando os alunos não conseguem

transferir conhecimentos que já possuem para novas situações. Um exemplo

descrito por De La Torre (2007) é que alguns alunos do 6º ou 7º ano do Ensino

Fundamental não conseguem identificar um triângulo retângulo quando o ângulo reto

não está na base.

No Momento de Execução, os erros são cometidos com mais

frequência por alunos que gostam de arriscar novos caminhos na resolução de um

problema, sendo muito comum a ocorrência com alunos hiperativos. Esses erros são

identificados por De La Torre (2007) como erros mecânicos – acontecem quando

há uma troca de sinal, de letras ou até mesmo de palavras; erros operacionais – os

quais têm o nervosismo como uma das causas frequentes, ocorrendo ao se operar

ou executar um procedimento; e, finalmente, erros estratégicos – são erros de

procedimento, ou seja, acontecem quando o aluno comete um equívoco na

utilização de uma estratégia adequada ao resolver um problema.

A partir da análise de erros, é possível perceber os erros cometidos em

qualquer um dos três momentos (entrada, organização e execução da informação),

trazendo, assim, contribuições para o professor e para o aluno, pois, como aponta

De La Torre (2007), “[...] os erros de execução e de organização têm a ver

principalmente com as aptidões pessoais, e os erros de entrada estão muito

condicionados pela atuação do professor e pelo método empregado” (p. 130). Para

isso, no capítulo de análise dos dados, categorizamos, segundo o MADE, os tipos

de erros que identificamos no teste investigativo, deixando, então, contribuições para

os professores e alunos.

O MADE é um modelo proposto em De La Torre (2007), mas existem

outras formas de se analisar os erros, que serão apresentadas a seguir.

Conforme Pinto (2000), na “nova pedagogia” não é só o professor que

exerce o papel de analisar os erros, compete também ao aluno esse papel. Para que

o aprendizado tenha um caráter construtivista é necessária a participação do aluno

de forma ativa nessa construção do conhecimento. Quando o aluno consegue

identificar o erro, ele se torna capaz de corrigi-lo. Nessa situação, a autora descreve

que o erro passa a ser “observável” para o aluno.

67

Para isso, a autora descreve uma forma de classificar e ordenar as

respostas dadas pelos alunos, segundo seu nível de desenvolvimento, por meio da

teoria psicogenética. Essa teoria, apresentada por Pinto (2000), é agrupada em três

diferentes níveis:

Nível A: O aluno é indiferente ao erro, pois não compreende e nem

resolve o problema proposto. Ele não consegue identificar as relações entre a forma

correta e a forma errada, não reconhece o erro. Nessa situação não adianta o

professor intervir de forma rotineira, como, por exemplo, sugerindo repetição de

tarefas, pois nessa situação os erros são, na maioria das vezes, de ordem

conceitual. A repetição nesses casos faz com que o erro se torne sistemático. Assim,

cabe ao professor uma intervenção com o aluno para ajudá-lo a compreender aquilo

que não consegue perceber.

Nível B: O aluno consegue perceber o erro como algo que precisa ser

retificado, mas não consegue superá-lo sozinho. Esses erros são gerados, por

exemplo, a partir da incompreensão ou distração do que foi pedido. Eles podem ser

superados com a ajuda do professor, dos pares ou dos livros.

Nível C: O aluno tem consciência do seu erro, ele sabe que errou e

porque errou. Por isso, nessa situação, o erro é considerado “observável”. Na

maioria das vezes, o próprio aluno consegue corrigir o seu erro e também se

encontra em condições de ajudar os seus pares. Esses erros ocorrem por “distração”

e, às vezes, nem são considerados erros.

Ao analisarmos os níveis descritos anteriormente, achamos que é

fundamental que o erro seja “observável” pelo aluno, pois, somente assim, ele

poderá corrigi-lo, superá-lo e até mesmo ajudar seus colegas a fazerem o mesmo.

Dessa forma, o aluno torna-se capaz de aprender com os próprios erros. Há de se

considerar essa possibilidade desde que haja um rompimento por parte do professor

com a “pedagogia tradicional”, ou seja, analisar o erro a partir de uma perspectiva

construtivista, pois, nessa perspectiva, tanto o erro quanto o acerto fazem parte do

processo de descoberta.

No Manual para Correção das Provas com Questões Abertas de

Matemática, Buriasco, Cyrino e Soares (2003) apresentam outra forma de avaliar a

68

produção escrita e analisar os erros cometidos pelos alunos. Elas utilizaram

codificação para pontuar as questões respondidas pelos alunos, sendo essa

codificação dividida em três partes: indicação de créditos, o uso de código numérico

de dois ou três dígitos e o uso de códigos numéricos especiais.

Para a indicação de crédito são utilizados os seguintes códigos: “crédito

completo” (código 2) – indica a resolução do professor e também resoluções

apresentadas de forma correta pelos alunos, mas diferente do modo da resolução do

professor; o título “crédito parcial” (código 1) – usado para indicar resoluções

parcialmente corretas; e o título “nenhum crédito” (código 0 e 9) – indica resolução

incorreta ou omissões.

O uso de código numérico de dois ou três dígitos tem a finalidade de

apontar as várias maneiras de resolução apresentadas pelos alunos. Por exemplo,

uma questão apresentada de forma correta pode receber o código 2.1 ou 2.2 ou

2.10, etc., sendo que o primeiro algarismo indica que os alunos receberam “crédito

completo”, e o segundo/terceiro algarismo indica a variedade de respostas

apresentadas por todos os alunos.

Os códigos numéricos especiais são usados para indicar uma tentativa

incorreta do aluno ou falta de tentativa de resolução. Por exemplo, código 0 – o

aluno realizou uma tentativa; código 0X – o aluno escreve que não sabe a questão,

ou que ela é de difícil resolução, entre outros; código 9 – o aluno nem tenta

responder a questão ou escreve que não houve tempo.

Na análise de erros realizada em uma questão de circuitos lógicos na

disciplina de Sistemas Digitais, Ramos e Curi (2013a) utilizam quatro categorias

relacionadas aos erros identificados: esboço incorreto do gráfico Q, esboço incorreto

do gráfico Q’, esboço incorreto dos gráficos S1 e/ou S2 e ausência de esboço em

um dos gráficos.

Utilizando-se dessas ou outras formas de analisar o erro, o professor

pode criar situações nas quais os alunos sejam encorajados a analisar e retificar

seus próprios erros. Além disso, o professor pode transformar os erros que são

constituídos de conhecimento em questões que podem ser trabalhadas por ele e

pelos alunos, promovendo com isso o aprendizado.

69

Neste trabalho, com a finalidade de ajudar a identificar os erros cometidos

pelos alunos em um dos instrumentos investigativos, utilizamos da indicação de

crédito para a análise da produção escrita com o objetivo de classificar as

resoluções em corretas, parcialmente corretas e incorretas. Em seguida, fizemos

uma análise dos erros nas resoluções parcialmente corretas e incorretas, criando

categorias de erros para responder às três primeiras questões de investigação.

Finalmente, para categorizar esses erros numa perspectiva didática e respondermos

à última questão de pesquisa, escolhemos o MADE. Detalhamos as nossas

escolhas no capítulo de metodologia de pesquisa.

2.6 – As Três Fases do Tratamento Didático do Erro

De La Torre (2007) traz diversos autores, entre eles, SALVADO (1990),

que concordam com ele ao assinalarem as fases do tratamento didático do erro,

embora utilizem denominações diferentes. As fases indicadas por ele são: detecção,

identificação e retificação. Tratar o erro utilizando as três fases, segundo Ramos

(2013), é uma estratégia didática na qual

A detecção do erro pode ser realizada pelo professor ao corrigir uma atividade, pelo aluno ao refazer o exercício com a colaboração de um colega ou com a ajuda de um software. O método de colaboração (aluno-aluno ou software) não é só importante para a detecção do erro, mas também para a identificação e retificação (RAMOS, 2013, p. 4).

Assim, a primeira fase, que consiste em detectar os erros, pode ser

realizada pelo professor (que é o principal agente de detecção de erros), pelo aluno

ou pelos colegas. Sabemos que a detecção de erros em provas é mais fácil de ser

realizada, mas em ações é mais difícil, pois quase sempre o aluno não se expõe

frente aos colegas. Sem essa fase não é possível passar para as outras.

Existem técnicas usuais para comunicar o erro ao aluno sem deixá-lo

constrangido perante os colegas. Algumas delas são descritas por De La Torre

(2007):

Repetição do expressado: por exemplo, quando o professor solicita

ao aluno que repita o que falou na tentativa de alertá-lo para o erro.

70

A interrogação: é uma excelente técnica, pois induz o aluno a pensar

o que acabou de dizer.

A comunicação não verbal: por meio de expressões de espanto,

surpresa, insatisfação e outras.

A correção coletiva: é eficaz e rápida, mas não é eficiente, pois deixa

de tratar as particularidades.

A correção cruzada: usada até mesmo para os colegas identificarem

os erros uns dos outros. Pode ser usada como uma proposta de avaliação.

A caça do erro: consiste em uma atividade proposta pelo professor, o

qual solicita ao aluno que encontre erros em questões resolvidas de forma incorreta.

Também é uma proposta de avaliação.

Acreditamos que a utilização dessas técnicas seja fundamental para a

detecção do erro, além de contribuir com o professor no prosseguimento da próxima

fase do tratamento didático do erro.

A segunda fase é a identificação dos erros, e muitas vezes não é

realizada pelos professores. Sabemos que em grande maioria, os professores se

detêm à primeira fase, utilizando a técnica de correção coletiva. Essa segunda fase

é importante, pois nela é possível o professor constatar de onde vem o desajuste.

Para De La Torre (2007) “Seria um grave erro avaliativo do professor tratar por igual

qualquer desacordo com a resposta esperada” (p. 134).

É muito importante o aluno identificar o que o levou a cometer o engano,

pois o que errou e onde errou ele já sabe. Essa identificação não tem de ser feita

necessariamente pelo professor, pode ser feita por meio da interação professor-

aluno e até mesmo entre aluno-aluno (RAMOS, 2013; RAMOS e CURI, 2013a).

Na fase de identificação dos erros, o professor pode usar propostas já

existentes, como, por exemplo, em De La Torre (2007), Silva e Buriasco (2005),

Ramos (2013), Ramos e Curi (2013a) entre outros; ou pode criar a sua própria

classificação baseada em categorias, conforme o conteúdo analisado.

71

Após a detecção e identificação, os erros poderão ser retificados com o

intuito de serem eliminados. A maior preocupação nessa fase é a de conseguir

modificar algo que não está correto no aprendizado do aluno e não somente a de

correção feita pelo professor (DE LA TORRE, 2007). Acreditamos que o mais

importante é a participação e reflexão do aluno sobre seus erros. Ainda nessa fase,

a correção poderá ser feita pelo professor, pelo próprio aluno ou por seus pares.

Compartilhando com o que foi mencionado, Correia (2007) afirma que a

análise individualizada da resolução do aluno possibilita ao professor detectar erros

não esperados e que necessitam ser corrigidos também de forma individualizada.

Completando, Pinheiro (2009) afirma que quando a correção é realizada com o

aluno dessa forma, ela “[...] pode estimular competências de argumentação. Permite

ao professor compreender as hipóteses, as dúvidas e relações equivocadas que os

alunos estabelecem entre os conceitos e suas aplicações.” (p. 59).

De La Torre (2007) sugere algumas estratégias de correção dos erros,

mencionadas por alguns autores:

Criação de ficha-registro de erros, usando uma ficha para cada tipo de

erro do MADE, onde o professor poderá registrar para cada erro o tipo, descrição,

correção e estratégia de retificação.

Correção de erros por meio de atividades individuais ou em grupo,

utilizando erros já cometidos por outros alunos. Não é só corrigir os erros, mas

explicar porque está errado.

A retificação poderá ser uma segunda oportunidade de avaliação na

qual o aluno poderá apresentar o exercício ou trabalho novamente, depois que o

professor realizar determinadas observações.

Correção cooperativa dos próprios erros com seus colegas. Isso

proporciona discussão e quando for preciso o professor fará intervenções. Essa

estratégia pode ser verificada em Ramos (2013).

Correção de exercícios mal resolvidos como atividades, pois contribui

para reconhecer processos desde sua apresentação inicial até sua execução.

72

A caça do erro do professor, quando o aluno deverá descobrir o erro

cometido pelo professor. Se o aluno descobrir, ele ganha o ponto, se não, quem

ganha o ponto é o professor.

É muito importante a aplicação da autorreflexão ou metacognição no

Ensino Médio ou Ensino Superior, pois é uma forma de o aluno refletir sobre os

erros cometidos, por meio de uma descrição de como os erros ocorreram e a que se

devem.

Percebemos, então, que se faz necessária uma renovação didática, ou

seja, uma mudança de metodologia que possibilite cumprir as três fases do

tratamento didático do erro. Em nossa pesquisa realizaremos as duas primeiras

fases do tratamento didático do erro: detecção e identificação dos tipos de erros

cometidos pelos alunos.

2.7 – Considerações Sobre o Erro

A partir das exposições do capítulo, destacamos a seguir as questões que

serão consideradas na análise dos dados e nas considerações finais.

Com a finalidade de identificar os erros cometidos pelos alunos em um

dos instrumentos utilizados na investigação, consideraremos os seguintes

procedimentos na análise dos dados:

Utilização da indicação de crédito neste trabalho para a análise da

produção escrita do instrumento analisado, com o objetivo de identificar as respostas

corretas, parcialmente corretas e incorretas.

A análise da produção escrita acompanhada da análise do erro,

realizada detalhadamente pode contribuir para uma melhor compreensão e

aprendizagem da Matemática.

Criação de categorias que facilitem a identificação das dificuldades que

levaram o aluno a cometer determinado erro.

73

Com o objetivo de categorizar os tipos de erros identificados em nossa

análise de dados, sob a perspectiva de uma análise didática do erro,

consideraremos os seguintes procedimentos:

Utilização do Modelo de Análise Didática dos Erros (MADE) como guia,

tanto na investigação quanto na análise e tratamento didático do erro (DE LA

TORRE, 2007).

Utilização da teoria psicogenética, segundo Pinto (2000), como forma

de classificar e ordenar as respostas dadas pelos alunos, segundo seu nível de

desenvolvimento.

No diálogo com a literatura e nas considerações finais serão descritas as

contribuições emergidas por meio do desenvolvimento da pesquisa, com o intuito de

auxiliar o Ensino de Matemática. Para isso, levaremos em consideração que:

A relação existente entre as palavras dificuldade e erro utilizada neste

trabalho será a afirmação de que o erro é uma manifestação visível de uma

dificuldade (SOCAS, apud LUPIÁÑEZ, 2013).

O erro é visto de forma positiva e criativa, como sugerido por De La

Torre (2007). A pedagogia em que acreditamos baseia-se na “didática do erro”, a

qual está centrada nos processos, nas estratégias e nos procedimentos e não

baseada somente no domínio do conteúdo.

O erro não pode ser desprezado, pois revela um conhecimento que o

aluno já possui. Por meio do erro é possível estimular o pensamento e proporcionar

uma compreensão mais profunda de conteúdos em Matemática (RICO, 1998;

PINTO, 2000; DE LA TORRE, 2007).

Os erros devem ser discutidos e usados como um método de

aprendizagem, por esse motivo os professores devem se preocupar muito mais com

o processo do que com o produto das produções escritas. Dessa maneira, o erro

será visto de forma construtivista.

Na “nova pedagogia”, a aprendizagem é um processo dinâmico, flui

nos dois sentidos: professor-aluno e aluno-professor. Nesse tipo de aprendizagem, é

74

importante o professor saber o que e como os alunos pensam no momento em que

estão aprendendo. Ela não busca propriamente o erro; ele é aceito por ela como um

fato que faz parte da aprendizagem, exatamente pelo motivo de que toda procura

pelo conhecimento está sujeita a falhas e equívocos. Nessa “pedagogia” não é só o

professor que analisa os erros; compete também ao aluno essa tarefa. Para que o

aprendizado tenha um caráter construtivista é necessária a participação do aluno de

forma ativa nessa construção do conhecimento. Quando o aluno consegue

identificar o erro, ele então se torna capaz de corrigi-lo.

A análise de erros pode ser conduzida utilizando-se das três fases do

tratamento didático do erro: detecção, identificação e retificação.

O erro pode ser considerado uma pista para conduzir o professor na

organização da aprendizagem do aluno, pois, nessas condições, a maior

preocupação do professor é compreender como o aluno aprende.

Partindo dos indicativos do erro, o professor será capaz de reavaliar o

processo, propor novas estratégias didáticas e tomar atitudes que possam retificar

os enganos.

Vimos neste capítulo diversas teorias, definições e formas de se tratar o

erro. As ideias aqui apresentadas vêm sendo aplicadas, modificadas, adaptadas,

aprofundadas de acordo com o objetivo de investigação de cada pesquisador. Nos

próximos capítulos, serão mostradas as formas que utilizamos para identificar e

analisar os erros cometidos pelos alunos que participaram desta investigação.

75

CAPÍTULO 3 – METODOLOGIA DA PESQUISA

Neste capítulo serão apresentados os itens que compõem a metodologia

da pesquisa. Começamos pela fundamentação teórica da pesquisa qualitativa,

descrevemos sobre os instrumentos de investigação desenvolvidos, sobre os

critérios utilizados para a análise de dados e, por último, a descrição das etapas de

investigação.

3.1 – A Pesquisa Científica de Cunho Qualitativo

Ao buscar o significado da palavra “pesquisa” no dicionário eletrônico

Houaiss da Língua Portuguesa (2001, n.p.), encontramos: “conjunto de atividades

que têm por finalidade a descoberta de novos conhecimentos no domínio científico,

literário, artístico etc.”. Ao pesquisar o significado da palavra “científico”, achamos:

“relativo à ou próprio da ciência”. Associando os dois significados, tem-se que a

pesquisa científica é um conjunto de atividades que tem por finalidade a descoberta

de novos conhecimentos relativos à ciência.

Para Goldenberg (2004), pesquisar é construir conhecimento de forma

organizada, produtiva, de forma a provocar um avanço na área que está sendo

investigada. Para atingir tal objetivo, a autora afirma que “A pesquisa científica exige

criatividade, disciplina, organização e modéstia, baseando-se no confronto

permanente entre o possível e o impossível, entre o conhecimento e a ignorância”

(p. 13). Bicudo (2012), ao referir-se à palavra “pesquisa”, afirma que “Pesquisa

pressupõe perquirir, de modo atento e rigoroso, o que nos chama a atenção e nos

causa desconforto e perplexidade.” (p. 19).

Desse modo, nossa pretensão com esta pesquisa se coaduna com as

descrições feitas anteriormente, ou seja, investigar atentamente questões

relacionadas aos erros matemáticos dos alunos que responderão às perguntas

levantadas, procurando elucidar aspectos do objeto em estudo. Tal investigação foi

realizada ao observarmos as dificuldades apresentadas pelos alunos na disciplina

de Matemática, o que nos chamou a atenção, além de nos causar certo desconforto.

76

Por esse motivo, a nossa pesquisa possui como referencial teórico-

metodológico o eixo referente à Análise Didática dos Erros, particularmente, os erros

matemáticos cometidos pelos alunos nos conteúdos em que nos propusemos a

investigar. A definição de um referencial teórico é importante, pois, segundo Bogdan

e Biklen (1994) “toda investigação se baseia numa orientação teórica. Os bons

investigadores estão conscientes dos seus fundamentos teóricos, servindo-se deles

para recolher e analisar os dados.” (p. 52).

Por se tratar de uma investigação em que ocorrerá um aprofundamento

da compreensão dos tipos de erros encontrados pelos alunos na disciplina de

Matemática utilizando-se produções escritas, escolhemos a metodologia de

pesquisa qualitativa, por meio da análise de conteúdo. A adoção dessa metodologia

se deve pelo fato de o pesquisador, na pesquisa qualitativa, se preocupar em

compreender de maneira profunda um determinado problema apresentado por um

grupo de pessoas, uma instituição, uma organização, entre outras.

Assim, segundo Goldenberg (2004), a pesquisa qualitativa destaca “[...]

as particularidades de um fenômeno em termos de seu significado para o grupo

pesquisado. É como um mergulho em profundidade dentro de um grupo ‘bom para

pensar’ questões relevantes para o tema estudado.” (p. 50).

A escolha da metodologia utilizada depende do objetivo da pesquisa e,

para isso, é importante definir os tipos de dados que serão coletados. No caso da

pesquisa qualitativa, Creswell (2007) descreve que “[...] é aquela em que o

investigador sempre faz alegações de conhecimento com base principalmente ou

em perspectivas construtivista [...] ou em perspectivas reivindicatórias/participatórias”

(p. 35). Esse tipo de pesquisa, segundo o autor, desenvolve um tema a partir dos

dados coletados. Para a realização desta pesquisa, utilizamos instrumentos

relacionados à pesquisa qualitativa, ou seja, os dados foram coletados por meio dos

instrumentos de questionário e teste de investigação (APÊNDICES C e D), os quais

serão descritos neste capítulo.

Bogdan e Biklen (1994) afirmam que quais sejam os instrumentos

utilizados para coletar dados, tais como equipamento de vídeo em sala de aula,

bloco de apontamento, questionário, teste, entrevista, todos são adequados à

77

investigação qualitativa. Para os autores, a investigação qualitativa possui cinco

características que não podemos deixar de mencionar:

O investigador é o instrumento principal da investigação. Ele

adentra no ambiente a ser investigado, com os instrumentos necessários, para a

realização da coleta dos dados, pois sua preocupação é com o contexto a ser

analisado. Para ele, o comportamento humano é muito influenciado pelo contexto

em que se encontra.

Esse tipo de investigação é descritiva, ou seja, os dados coletados

são em forma de imagens ou palavras e não em forma de números. Assim, nos

relatórios aparecem muitas citações ou formas narrativas correspondentes à

investigação realizada.

O investigador qualitativo se interessa pelo processo e muito

pouco pelo resultado ou produto. Por esse motivo, ele não foca sua investigação em

pré e pós-testes, que são utilizados para verificação de mudanças.

A análise de dados é feita de forma indutiva, isto é, os dados não

são recolhidos com o objetivo de confirmar hipóteses previamente construídas. Em

vez disso, as afirmações são construídas à medida que análises vão sendo

realizadas.

A atenção especial do pesquisador está focada no significado que

as pessoas dão à sua própria vida e às suas coisas. Nesse caso, o pesquisador

tem o interesse de capturar a maneira como os participantes enxergam as questões

que estão sendo investigadas.

Reforçamos a investigação qualitativa deste trabalho a partir das cinco

características apresentadas e, por meio dos instrumentos utilizados,

responderemos às questões aqui colocadas.

3.2 – Instrumentos de Coleta de Dados

Antes de efetuarmos a coleta de dados com os alunos que participaram

da investigação, foi realizada uma reunião no dia 23 de outubro de 2013 para

78

esclarecermos como seria executada a pesquisa. Mas, mesmo anterior a essa

reunião, a pesquisadora já vinha conversando com os alunos sobre a investigação

que seria feita. As conversas ocorriam durante as aulas que a pesquisadora

ministrava aos alunos, na disciplina de Sistemas Digitais, principalmente quando

eles cometiam erros matemáticos em atividades da disciplina.

Assim, esta pesquisadora não era uma pessoa estranha aos alunos e,

nos momentos da investigação, não nos apresentamos como professoras, e sim

como pesquisadoras, sempre procurando informar que as atividades que seriam

realizadas tinham “[...] como objetivo não uma avaliação, mas uma pesquisa”

(D’AMORE, 2007, p. 121). A nossa preocupação sempre foi a de deixar claro para

os alunos que eles registrassem nos instrumentos o que realmente sabiam, o seu

conhecimento sobre o conteúdo.

Os instrumentos de coleta de dados utilizados na pesquisa foram:

a) Instrumento I – Questionário (APÊNDICE C)

O questionário é uma fonte de complementação especialmente na fase

inicial da pesquisa. Por meio de um questionário é possível caracterizar e descrever

o participante da pesquisa, destacando as variáveis do tipo idade, nível de

escolaridade, entre outros. Na nossa pesquisa, o objetivo real desse instrumento é

investigar dados que irão complementar a análise que será realizada no instrumento

II. Esse questionário permitiu traçar o perfil da turma selecionada. Foi aplicado no

segundo semestre do ano letivo de 2013 (29 de outubro de 2013), contendo

questões fechadas com quatro opções de escolha em cada questão, podendo o

aluno escolher apenas uma das opções como resposta.

O objetivo principal desse questionário era identificar o grau de

dificuldades declarado pelos alunos nos conteúdos de Matemática (nos níveis dos

Ensinos Fundamental e Médio), além de coletar dados sobre o grau de contribuição

do Ensino Fundamental com relação ao Ensino Médio. As respostas obtidas

serviram para nos orientar na identificação de erros apresentados no instrumento II.

Além disso, pudemos verificar, por meio desses instrumentos, se os alunos

reconheciam os conteúdos nos quais disseram apresentar maiores dificuldades e

que os levaram a cometer erros.

79

Para elaboração do questionário, foi feita leitura e análise da ementa da

disciplina de Matemática (ANEXO B), referente ao curso de Eletrotécnica, a qual nos

foi fornecida pela Coordenação de Matemática do CEFET-MG. Além de consultar a

ementa da disciplina, foi consultado e analisado o conteúdo do livro de Matemática

(BARROSO, 2010) usado como livro-texto. Esse livro é emprestado pela escola para

uso do aluno em todo ano letivo. Também foram consultados livros de Matemática

usados nos anos finais do Ensino Fundamental, além de outros livros referentes ao

Ensino Médio.

b) Instrumento II – Teste Investigativo (APÊNDICE D)

De acordo com as normas acadêmicas do CEFET-MG (2014), a avaliação

somativa (AS) “apresenta caráter quantitativo e qualitativo e visa verificar o resultado

do processo de ensino-aprendizagem em sua totalidade.” (p. 5). Essa avaliação é

realizada ao final do 2º e do 4º bimestres e, para cada uma, o valor atribuído é 12

pontos. O valor total de cada um desses bimestres é de 30 pontos.

Os assuntos abordados nessa avaliação englobam todo o conteúdo

programático do 1º semestre: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais, Equações,


Logarítmica. Todos os alunos do 1º ano integrado dos Campi I e II, em cada turno,

realizam a mesma AS para as disciplinas de formação geral.

Para a elaboração do Instrumento II, foi analisada a AS (ANEXO C) da

disciplina de Matemática, realizada pelos alunos no término do 1º semestre letivo de

2013. Para isso, a pesquisadora fotocopiou todas as provas e analisou questão por

questão, procurando identificar os pontos nos quais os alunos apresentaram maior

dificuldade durante a resolução. As análises de duas das 20 questões dessa

avaliação foram publicadas em artigo de Ramos e Curi (2014).

A partir dessas análises foram elaboradas as questões do Instrumento II,

pensadas em conformidade com os itens que compõem o Instrumento I. Esse

instrumento, por sua vez, abrange os itens inerentes à ementa da disciplina (ANEXO

B), cujo conteúdo é lecionado no 1º semestre letivo de cada ano e propostos na 1ª

avaliação institucional (AS).

80

Dessa forma, houve a preocupação de elaborar questões para cada

conteúdo investigado: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais, Equações,


Logarítmica. Tais questões foram retiradas do livro-texto adotado em sala de aula

(BARROSO, 2010) e das avaliações somativas de 2010 e 2012 do CEFET-MG. Com

o objetivo de identificar as dificuldades dos alunos em realizarem operações de

soma, subtração, multiplicação e divisão, alguns valores numéricos de determinadas

questões sofreram adaptações.

O Quadro 2 relaciona cada questão do Instrumento II com as perguntas

apresentadas no Instrumento I. Assim, fica mais fácil identificar o que foi analisado

com relação aos possíveis erros cometidos pelos alunos em cada questão. A

apresentação de cada item relacionado no Quadro 2 se encontra no questionário

apresentado no APÊNDICE C.

Quadro 2 – Relação entre Instrumento I e Instrumento II

Continua

Instrum. II 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Instrum. I

5.1.1 X X X X X X X X X X X X X

5.1.2 X X X X X X X X X X X X X X

5.1.3 X X X

5.1.4 X X X

5.2.1 X X X

5.2.2 X X X X

5.2.3 X

5.2.4 X X X

5.3.1 X X X

5.3.2 X X X X X X X X

5.3.3 X X X X X X

5.3.4 X X X

7.1.1 X

7.1.2 X X X X X X X

7.1.3 X X X X X

81

Quadro 2 – Relação entre Instrumento I e Instrumento II

Continuação

Instrum. II 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Instrum. I

7.2.1 X

7.2.2 X

7.2.3 X

7.2.4 X

7.2.5 X

7.2.6 X

7.2.7 X

7.3.1 X

7.3.2 X X

7.4.1 X

7.4.2 X X X

7.4.3 X X

7.4.4 X X

7.5.1 X X X

7.5.2 X X X

7.5.3 X X

7.5.4 X

7.5.5 X

7.5.6 X

7.6.1 X X X

7.6.2 X X X

7.6.3 X

7.6.4 X

7.6.5 X

7.7.1 X X X

7.7.2 X X X

7.7.3 X X

7.7.4 X X

7.7.5 X

7.7.6 X

7.7.7 X

Fonte: Elaborado pela pesquisadora, 2013.

82

Observa-se no Quadro 2 que os itens 5.1.1 e 5.1.2, que verificam as

dificuldades do aluno ao efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e

divisão com números reais, puderam ser analisados em quase todas as questões.

3.3 – Critérios para Análise de Dados

A análise dos dados é a etapa que exige maior dedicação, pois é nesse

momento que o conhecimento teórico será importante para a obtenção de resultados

e considerações finais. Para Bogdan e Biklen (1994),

A análise de dados é o processo de busca e de organização sistemático de transcrições de entrevistas, de notas de campo e de outros materiais que foram sendo acumulados, com o objetivo de aumentar a sua própria compreensão desses mesmos materiais e de lhe permitir apresentar aos outros aquilo que encontrou. (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 205, grifo nosso).

3.3.1 – A Análise de Conteúdo

Como já anunciado, usamos neste trabalho a metodologia de pesquisa

qualitativa por meio da análise de conteúdo descrita por Bardin (1977). Para a

autora, na análise qualitativa, o que serve de informação “é a presença ou a

ausência de uma dada característica de conteúdo ou de um conjunto de

características num determinado fragmento de mensagem que é tomado em

consideração”. (p. 21). Quanto à análise de conteúdo, a autora descreve que um dos

seus objetivos é o enriquecimento da leitura, pois uma leitura mais atenta é capaz de

aumentar a descoberta de conteúdos de que “a priori não detínhamos a

compreensão” (p. 29).

Para Bardin (1977), a análise de conteúdo busca conhecer o que está nas

entrelinhas desse conteúdo analisado, sendo uma procura de outras realidades por

meio das mensagens. Essa busca é o que nos interessa, pois o que desejamos, ao

analisar a produção escrita dos alunos, não é apontar o que ele errou, mas, sim,

identificar o erro cometido. Essa identificação é a segunda fase do tratamento

didático do erro, segundo De La Torre (2007), sendo que o apontamento faz parte

da primeira fase desse tratamento didático.

A autora descreve diferenças existentes entre a análise documental e a

análise de conteúdo. Antes de relatarmos a diferença que justifica a nossa escolha

83

pela análise de conteúdo, é importante descrever qual o objetivo da análise

documental, segundo Bardin (1977). Para a autora, o objetivo da análise documental

é dar forma conveniente e representar de outro modo o conteúdo de um documento

por intermédio de procedimentos de transformação, ou seja, essa análise “permite

passar de um documento primário (em bruto), para um documento secundário

(representação do primeiro).” (p. 46).

Na análise documental, a operação intelectual – o recorte da informação,

ventilação em categorias segundo o critério da analogia, representação sob forma

condensada por indexação –, segundo a autora, assemelha-se a certas formas de

análise de conteúdo. A diferença entre uma e outra, que nos fez optar pela análise

de conteúdo nesta pesquisa, é que,

O objectivo da análise documental é a representação condensada da informação, para consulta e armazenagem; o da análise de conteúdo, é a manipulação de mensagens (conteúdo e expressão desse conteúdo), para evidenciar os indicadores que permitam inferir sobre uma outra realidade que não a da mensagem. (BARDIN, 1977, p. 46)

Assim sendo, como nosso objetivo é identificar erros cometidos pelos

alunos em atividades de Matemática e ir além do que foi apresentado em suas

resoluções, com o intuito de inferir sobre o que levou os alunos a cometerem os

erros, optamos por esse tipo de análise.

Antes de descrever as etapas da análise de conteúdo, é importante expor

um trecho no qual Bardin (1977) afirma que a análise de conteúdo deve ser

reinventada a cada momento,

A técnica de análise de conteúdo adequada ao domínio e ao objectivo pretendidos, tem que ser reinventada a cada momento, excepto para usos simples e generalizados, como é o caso [...] de respostas a perguntas abertas de questionários cujo conteúdo é avaliado rapidamente por temas. (BARDIN, 1977, p. 31, grifo nosso)

Corroborando o que foi dito acima, Cury (2008) afirma que as respostas

dadas em questões abertas pelos alunos “nem sempre vão pelo mesmo caminho, ou

seja, nem sempre têm um mesmo tema; assim, é necessário, praticamente em cada

estudo, reinventar os passos.” (p. 61). Por esse motivo, é que nesta pesquisa

adotamos a análise de conteúdo, pois, durante a análise da produção escrita dos

alunos, criamos categorias que englobam os erros identificados por meio da análise

de erros.

84

A seguir descreveremos sobre a análise de erros e sua relação com a

análise de conteúdo.

3.3.2 – A Análise de Erros

Cury (2008) aborda a análise de erros como metodologia de pesquisa e

metodologia de ensino. No primeiro caso, a análise de erros está relacionada, por

exemplo, às pesquisas da área de Educação Matemática que se utilizam dela para

realizar suas investigações em produções escritas. No segundo caso, a análise de

erros apresenta sugestões para se utilizar o erro na reconstrução do conhecimento,

provocando assim, mudanças na estratégia didática do professor.

Borasi (1985) afirma que o erro pode contribuir para uma melhor

compreensão e aprendizagem da Matemática. Na maioria das vezes, o professor

acredita que a melhor forma de capacitar o aluno é por meio da transmissão direta

do assunto a ser lecionado. Ele não percebe que o aluno pode chegar a uma

compreensão mais profunda de um conteúdo matemático a partir do estudo, análise

e exploração criativa de alguns erros. Logo, para se utilizar dos erros como

estratégia didática, o professor deve encorajar os alunos a realizarem atividades nas

quais eles sejam capazes de explorar os erros cometidos.

Um exemplo do que foi dito está descrito em Cury (2008), quando a

autora apresenta uma proposta de se trabalhar o erro cometido por vários

estudantes, sugerindo a eles “novos dados para o mesmo problema, de modo que a

insistência no erro leve a um absurdo.” (p. 81). Esse tipo de proposta leva alguns

estudantes a perceber o erro cometido e ainda proporciona que esses estudantes

ajudem outros que, por ventura, não identificaram o erro.

Outras situações em que os erros podem ser usados como estratégias de

ensino são citadas em De La Torre (2007), Cury (2008) e Ramos (2013). Em sua

tese de doutorado, Bastos (2013) afirma utilizar da análise de erros sob as duas

abordagens citadas anteriormente, conforme descrito “[...] é importante esclarecer

que a análise de erros foi utilizada em nosso trabalho como método de pesquisa [...]

e como recurso de promoção do ensino e da aprendizagem” (p. 101).

85

Como já mencionado, a pesquisadora Helena Noronha Cury vem

apresentando vários trabalhos nos quais descreve a importância do uso da análise

de erros como estratégia de ensino em cursos de Formação Inicial ou Continuada de

Professores de Matemática. Em seu artigo, Cury (2013b) apresenta resultado de um

mapeamento realizado em dissertações e teses que abordam os erros, dificuldades

e obstáculos com professores. Em suas considerações, a autora afirma que não foi

encontrado nenhum estudo sobre o uso dos erros em curso de formação inicial ou

continuada de professores e, assim, propõe “uma maneira de empregar as próprias

dificuldades dos professores em formação, ou de seus alunos, para integrar

disciplinas da grade curricular, em um trabalho que leve em consideração o

conhecimento matemático para o ensino.” (p. 559).

Neste trabalho, a análise de erros será realizada usando o procedimento

da análise de conteúdo de Bardin (1977), sustentada na produção escrita dos

alunos. Cury (2008) corrobora esse tipo de procedimento, conforme descrições

apresentadas a seguir,

Ao analisar erros dos alunos, especialmente em conteúdos de Cálculo I, tendo contato com diferentes trabalhos que abordaram produções escritas dos alunos, [...], notei que, independentemente das teorias que fundamentavam as pesquisas e da forma como as respostas eram apresentadas, eu estava analisando o conteúdo da produção, ou seja, empregando uma metodologia de análise de dados conhecida como análise de conteúdo. (CURY, 2008, p. 61, grifo no original).

A análise de erros de uma produção escrita é uma atividade que, metodologicamente, se baseia na análise de conteúdo, especialmente se levarmos em conta as conceituações apresentadas em Bardin (1979). Ao apresentar os tipos de documentos possíveis de serem submetidos a tal método, a autora indica, por exemplo, respostas a questionários, testes ou experiências. Dessa forma, as respostas escritas de estudantes a questões de Matemática podem ser objeto de uma análise aprofundada e sistemática. (CURY; BISOGNIN; BISOGNIN, 2009, p. 2, grifo nosso).

Afirmamos então que, neste trabalho, a análise de erros foi abordada

como metodologia de pesquisa, conforme descrito nesta seção. Mas não deixamos

de citar aqui propostas de se trabalhar com a análise de erros como metodologia de

ensino, quando descrevemos a análise de erros como uma forma de melhoria do

processo ensino-aprendizagem, conforme discussão apresentada no Capítulo 2.

Não podemos deixar de mencionar que Bardin (1977) considera a análise

de conteúdo uma técnica; Cury e Bisognin (2009), um método (conforme citações

86

anteriores). Por esse motivo, buscamos os significados das duas palavras no

dicionário eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa (2001, n.p.). O significado

encontrado para a palavra “método” foi “procedimento, técnica ou meio de fazer

alguma coisa” e para “técnica” foi “conjunto de procedimentos ligados a uma arte ou

ciência”. Assim sendo, neste trabalho, consideraremos que as duas palavras têm o

mesmo significado. Logo, nos referiremos à análise de conteúdo como método ou

técnica. Adotaremos, também, o mesmo critério para a análise de erros, pois iremos

realizá-la utilizando o procedimento da análise de conteúdo de Bardin (1977).

3.3.3 – Procedimentos Metodológicos

Nesta pesquisa, todas as etapas realizadas na análise de conteúdo

seguiram os critérios descritos por Bardin (1977), ou seja, partimos das três etapas

básicas: a pré-análise; a exploração do material; e o tratamento dos resultados, a

inferência e a interpretação. A seguir descreveremos como cada uma dessas etapas

foi executada neste trabalho.

O objetivo da pré-análise é a organizar o material, tendo como finalidade

a sistematização das ideias iniciais e, assim, torná-las operacionais. Assim, numa

primeira etapa, no âmbito da pré-análise, identificamos cada questão com a letra “A”

seguida de um número para preservar a identidade do aluno; logo em seguida

fotocopiamos cada uma delas e ordenamos o conjunto por questões. A partir de uma

leitura flutuante, retiramos do conjunto todas as questões que não apresentaram

resolução, formando, assim, o corpus da pesquisa que, segundo Bardin (1977), “é o

conjunto dos documentos tidos em conta para serem submetidos aos procedimentos

analíticos.” (p. 96). É nesse conjunto que o pesquisador se debruça para realizar a

análise das resoluções.

Para correções das questões foram seguidos os mesmos procedimentos

adotados por Leivas e Cury (2010), Cury, Ribeiro e Müller (2011) e Cury (2013a), ou

seja, consideramos quatro classificações: resposta correta (código 2), resposta

parcialmente correta (código 1), resposta incorreta (código 0) e ausência de resposta

(código 9). O intuito dessas classificações foi o de identificar a frequência de acertos

e erros por questão, além de separarmos as resoluções parcialmente corretas e

incorretas para a realização da análise de erros. A Tabela 1 apresenta, por

87

classificação, os valores percentuais de respostas das questões presentes no teste

investigativo.

Tabela 1 – Classificação das Respostas Apresentadas no Instrumento II

Classificações

Questões Correta

Parcialmente

Correta Incorreta Em Branco

1 16% 27% 57% 0%

2 30% 30% 27% 13%

3

A 54% 0% 16% 30%

B 3% 0% 16% 81%

C 38% 19% 16% 27%

D 3% 19% 51% 27%

E 65% 0% 11% 24%

F 43% 22% 11% 24%

4 5% 44% 16% 35%

5 16% 65% 8% 11%

6 16% 22% 54% 8%

7 19% 38% 38% 5%

8 0% 16% 0% 84%

9 16% 41% 27% 16%

10 21,5% 19% 38% 21,5%

11 0% 76% 11% 13%

12 3% 35% 22% 40%

13 35% 54% 11% 0%

14 5% 14% 49% 32%

15 35% 14% 19% 32%

16 43% 30% 16% 11%

17 16% 8% 65% 11%

18 5,5% 32% 24,5% 38%

19 8% 67% 3% 22%

20 34% 22% 22% 22%

Fonte: Elaborada pela pesquisadora, 2013.

88

Ao analisarmos, na Tabela 1, o índice de respostas corretas, parcialmente

corretas e incorretas, além do percentual de alunos que não apresentaram

resolução, é possível perceber o grau de dificuldades desses alunos em cada

questão. Os maiores índices de respostas em branco foram detectados nas

questões 8 e 3B. A questão 3E foi a que os alunos apresentaram maior índice de

acerto e as questões 17, 1, 6 e 3D foram as que mais de 50% dos alunos

apresentaram respostas incorretas. Nas respostas parcialmente corretas, as

questões que apresentaram índices mais elevados foram 13, 5, 19 e 11.

Objetivando identificar os tipos de erros, realizamos a segunda fase,

exploração do material (BARDIN, 1977). Essa fase envolve o processo de

unitarização, que consistiu em reler o material referente às respostas parcialmente

corretas e incorretas, no intuito de definir as unidades de análise, que podem ser

frases, palavras, termos, entre outros. Cury (2008) reafirma o que foi dito quando

descreve que a fase de exploração do material envolve “o processo de unitarização

e classificação das respostas parcialmente corretas ou incorretas, lidas novamente

para definir as categorias de erro.” (CURY, 2008, p. 6).

Durante o processo de unitarização, procuramos identificar em cada

questão, os tipos de erros cometidos pelos alunos e, assim, definirmos as unidades

de análise. Ao todo, foram definidas dezoito, ou seja, dezoito tipos de erros que

estão listados na Tabela 2.

Tabela 2 – Tipos de Erros Identificados no Teste Investigativo

Continua

Tipos de Erros Questão Nº de

protocolos Nº de

ocorrências

Operações Básicas e Propriedades de Potência

1 31 1

10 21 5

12 21 4

14 23 23

20 16 5

Subtotal 112 38

Transformação em linguagem matemática

1 31 31

Subtotal 31 31

89


Continuação

Representação e Operação de intervalo

2 21 20

3d 26 16

6 28 2

Subtotal 75 38

Conceito de função

3a 6 6

3b 36 36

3c 13 13

3d 26 15

3e 12 12

3f 12 12

6 28 17

10 21 6

11 32 32

13 24 24

18 21 7

19 26 25

Subtotal 257 205

Aplicações de Regras e Fórmulas

4 24 14

7 28 18

9 19 7

10 14 7

12 21 2

16 17 11

17 27 18

Subtotal 150 77

Esboço da concavidade de uma parábola 4 24 2

9 14 2

Subtotal 38 4

Esboço do gráfico de uma função

4 24 22

13 24 5

19 26 18

Subtotal 74 45

Resolução algébrica 5 22 21

20 16 3

Subtotal 38 24

Não desenvolve a equação

5 27 6

Subtotal 27 6

Desatenção ou lapso

6 28 1

7 28 1

10 21 1

12 21 1

14 23 1

Subtotal 121 5

90


Continuação

Resolve incorretamente inequação-quociente e inequação-produto

6 28 26

9 25 6

Subtotal 53 32

Estudo de Sinais

6 16 4

7 11 6

9 14 10

17 27 21

Subtotal 68 41

Não identifica a função simétrica ao vértice de f(x) em relação ao eixo x

8 6 6

Subtotal 6 6

Estratégia inadequada para resolução da questão

10 7 4

Subtotal 7 4

Não resolve a 2ª equação ou inequação da função modular

11 32 18

12 21 11

Subtotal 53 29

Escreve incorretamente a equação ou inequação da questão

12 21 8

15 12 7

20 16 5

Subtotal 49 20

Cálculo do Módulo ou Logaritmo de um número

13 24 4

18 15 13

20 16 3

Subtotal 55 20

Resolve incorretamente a equação ou inequação exponencial

15 12 10

16 17 6

17 27 24

Subtotal 56 40

Total 1270 665 Fonte: Elaborada pela pesquisadora, 2014.

Durante a releitura nesta fase, cada unidade foi separada do corpus e

individualizada para, em sequência, fazer a categorização dos erros, que segundo

Bardin (1977), “[...] tem como primeiro objectivo (da mesma maneira que a análise

documental), fornecer, por condensação, uma representação simplificada dos dados

brutos” (p. 119). A criação das categorias aconteceu a partir da interpretação dos

dados, levando em consideração o principal objetivo desta investigação, encontrar

respostas para as questões de pesquisa, ou seja, identificar os erros dentro de cada

conteúdo investigado. Assim, agrupamos os dezoito tipos de erros identificados nas

seguintes categorias: Categoria 1 – Erros ligados a conteúdos abordados no Ensino

91

Fundamental; Categoria 2 – Erros ligados a conteúdos de conjuntos numéricos e

intervalos reais abordados no Ensino Médio; Categoria 3 – Erros ligados a

conteúdos de equações, inequações e funções abordados no Ensino Médio; e, por

último, Categoria 4 – Erros provenientes de dificuldades diversas.

No capítulo de análise dos dados mostraremos as tabelas por categorias

e, em cada uma delas, mencionaremos os tipos de erros, o número de protocolos

analisados e o número de ocorrências de cada erro por questão.

Após categorização, a fase de tratamento dos resultados é a etapa que

procura dar um significado mais amplo às respostas. Neste trabalho, apresentamos

em cada categoria os seus respectivos erros, fazendo uso de um “texto-síntese” com

exemplos tirados do corpus. Assim, estaremos descrevendo os tipos de erros

matemáticos cometidos pelos alunos nos conteúdos investigados e respondendo às

três primeiras questões de investigação.

Com o objetivo de responder à última questão de investigação, os erros

identificados foram categorizados conforme o Modelo de Análise Didática do Erro

(MADE). Vincular esses erros ao MADE serve de guia tanto para a investigação

como para sua análise.

3.4 – Descrição das Etapas de Investigação

Para a realização de uma pesquisa, é necessária a definição das etapas

de investigação a serem cumpridas. Para a realização da coleta de dados foram

definidas as seguintes etapas:

1ª Etapa – Entrega do termo de consentimento (APÊNDICE B) aos alunos

menores de idade para autorização dos responsáveis.

É importante registrar a aflição que a pesquisadora apresentava antes do

recebimento da carta de consentimento entregue aos responsáveis pelos alunos

participantes.

Durante o primeiro bimestre do ano letivo de 2013, a pesquisadora

procurou mostrar aos alunos a importância desta pesquisa, orientando-os sobre

92

como seria a participação de cada um. Dessa forma, os alunos foram capazes de

explicar aos respectivos responsáveis o seu papel no trabalho e o valor deste

trabalho para o ensino de Matemática.

A carta de consentimento foi entregue aos alunos para solicitação da

assinatura dos responsáveis no dia 2 de julho de 2013; até o dia 16 de julho de

2013, todos eles devolveram a autorização devidamente assinada.

2ª Etapa – Aplicação do Instrumento I – Questionário (APÊNDICE C).

A aplicação do instrumento I só pode ser realizada quando o professor de

Matemática da turma investigada terminou de trabalhar o conteúdo de função

logarítmica em sala de aula.

Por isso, o questionário foi aplicado com a finalidade de coletar as

informações registradas pelo aluno antes da realização do teste. A aplicação desse

questionário aconteceu no dia 29 de outubro de 2013 no terceiro bimestre do ano

letivo. Antes de os participantes começarem a responder às perguntas, a

pesquisadora leu as instruções que se encontravam no cabeçalho e ressaltou que,

para cada pergunta, caberia apenas uma opção de resposta.

3ª Etapa – Aplicação do Instrumento II – Teste (APÊNDICE D).

Esta também foi uma etapa na qual a pesquisadora se apresentou

bastante apreensiva. Convencer os alunos a participarem de forma voluntária de um

teste no qual eles iriam expor suas dificuldades e erros é uma tarefa difícil.

Conseguir marcar um dia no qual todos pudessem estar presentes também foi uma

tarefa complicada.

Para aplicação do teste, foi reservada uma sala em horário não

coincidente com o das aulas dos participantes. O teste foi aplicado em duas etapas:

uma no dia 31 de outubro de 2013 e outra no dia 7 de novembro de 2013. Nesse

formato, acreditamos que os trabalhos seriam realizados com mais tranquilidade,

tendo os alunos tempo para resolver as questões e sinalizar as dificuldades

encontradas em cada uma delas. Antes de iniciar o teste, a pesquisadora leu e

reforçou as informações contidas no cabeçalho. O teste foi apresentado em folhas

93

de papel A4 com apenas uma questão por folha, reservando, assim, um espaço

maior para a resolução.

94

CAPÍTULO 4 – ANALISANDO E REFLETINDO SOBRE OS DADOS

Neste capítulo apresentaremos a análise dos dados coletados por meio

do Instrumento I e II. Os itens do questionário – Instrumento I – serviram para

compor o perfil dos alunos investigados; o teste investigativo – Instrumento II – foi

elaborado com o objetivo de responder ao nosso problema de pesquisa:

O que revelam os erros matemáticos apresentados por alunos do 1º

ano da educação profissional tecnológica de nível médio na modalidade

integrada do curso Técnico em Eletrotécnica ao resolverem atividades que

envolvem conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional?

4.1 – Analisando os Dados do Instrumento I

O objetivo da primeira seção neste capítulo é mostrar o perfil e as

dificuldades em Matemática declaradas pelos alunos nos conteúdos investigados,

com a finalidade de relacionar essas dificuldades com os erros identificados no

Instrumento II. Iniciamos com o perfil dos alunos e em sequência os resultados do

grau de dificuldade declarado por eles. No final da seção, faremos uma análise e

reflexão geral sobre os dados apresentados.

4.1.1 – Perfil dos Alunos Participantes

O perfil dos alunos que participaram desta pesquisa começou a ser

delineado pelo próprio processo seletivo do qual eles fizeram parte. No final do ano

de 2012, a distribuição de vagas para o processo seletivo do CEFET-MG passou por

reformulações, devido à política externa do governo federal. As vagas foram

distribuídas de acordo com os seguintes critérios: raça, renda familiar e origem do

ensino (público ou privado).

A Lei nº 12.711, de agosto de 2012 (BRASIL, 2012) destina 50% das

vagas de todos os cursos técnicos de escolas federais, respeitando a ordem de

classificação dos candidatos, segundo os seguintes critérios: vagas destinadas aos

candidatos que cursaram integralmente o Ensino Fundamental em escolas públicas

95

(de nível municipal, estadual ou federal); proporção estabelecida de acordo com

critério do último Censo Demográfico8; mínimo de 25% das vagas a serem ocupadas

por candidatos com renda familiar igual ou inferior a 1,5 salários mínimos per capita,

respeitando a proporção mínima igual à de pretos, pardos e indígenas; caso não

sejam preenchidas as vagas segundo critérios anteriores, as remanescentes

deverão ser destinadas aos candidatos que cursaram integralmente o Ensino

Fundamental em escolas públicas.

As 72 vagas reservadas para o curso Técnico de Eletrotécnica devem

compor duas turmas (ELE1A e ELE1B) de 36 novos alunos, acrescentando-se

aqueles reprovados no ano letivo anterior. Como já mencionado no início desta

pesquisa, a investigação foi realizada com a turma de ELE1B.

Do total de 37 alunos pertencentes à Turma ELE1B do 1º ano do curso

Técnico em Eletrotécnica, 35 eram novatos e 2 haviam sido reprovados no ano letivo

de 2012. Quanto ao gênero, 12 eram do sexo feminino e 25 do sexo masculino. A

idade dos alunos variava entre 15 e 17 anos, com um percentual maior para os de

16 anos – 16 alunos. Do restante de 21 alunos, 14 tinham 15 anos e 7 tinham 17

anos.

Quando questionados sobre o número de vezes que participaram do

processo seletivo para o curso técnico no CEFET-MG, 25 alunos responderam que

participaram uma vez, 10 responderam que participaram duas vezes e dois, mais de

duas vezes. Praticamente um terço do total de alunos participou do processo

seletivo do CEFET-MG pelo menos duas vezes, sendo que 13 alunos cursaram no

ano letivo de 2012 o 1º ano do Ensino Médio, e dois cursaram o 2º ano do Ensino

Médio. O restante – 22 alunos – cursou o 9º ano do Ensino Fundamental em 2012.

Chegamos à conclusão que, aproximadamente, 41% dos alunos cursaram

novamente o 1º ano do Ensino Médio.

Como o processo seletivo a que esses alunos se submeteram foi o

primeiro utilizando o sistema de cotas, era de se esperar que aproximadamente 50%

dos alunos fossem procedentes de escolas públicas. Isso pode ser comprovado com

os dados levantados: 17 alunos vieram de escolas particulares e 20 de escolas

8 Nesse caso segue o Censo Demográfico do IBGE 2010 que dita as seguintes percentagens: 9,2%

de pretos, 44,3% de pardos e 0,2% de indígenas.

96

públicas, sendo que desses últimos, 7 vieram de escolas municipais e 13 de escolas

estaduais.

Com relação à última questão, que traçava o perfil dos participantes, foi

possível contabilizar que 12 alunos gostavam muito de Matemática, 15 afirmaram

que gostavam razoavelmente, 8 gostavam pouco, enquanto dois alunos disseram

que não gostavam da disciplina. Assim, verificamos que 27 dos 37 alunos, ou seja,

aproximadamente 73% gostavam muito ou razoavelmente de Matemática.

O curso de Eletrotécnica é um dos cursos da Educação Profissional

Tecnológica de Nível Médio na Modalidade Integrada. Essa forma de curso, como já

mencionado, é oferecida para alunos que já concluíram o Ensino Fundamental,

devendo, portanto, serem esses alunos procedentes do 9º ano do Ensino

Fundamental. Mas essa não é a realidade, pois muitos deles são procedentes do 1º

e 2º anos do Ensino Médio, chegando a ocupar, algumas vezes, 50% das vagas

ofertadas na modalidade Integrada.

Assim, não nos surpreendemos ao detectar que 41% dos alunos que

participaram desta investigação já haviam cursado o 1º ou o 2º ano do Ensino Médio

em outra Instituição. Esses alunos optaram por começar o Ensino Médio novamente,

mesmo sendo ofertadas vagas na modalidade de Concomitância Externa. As

justificativas por essa opção, na maioria dos casos, é a excelência do Ensino Médio

da Instituição e, em outros, pelo fato do aluno ter um ensino gratuito.

Nos próximos subitens serão apresentadas as respostas indicadas pelos

participantes com relação ao grau de dificuldades nos conteúdos questionados do

Ensino Fundamental e Médio e o grau de contribuição do Ensino Fundamental para

o Ensino Médio no que diz respeito a tais conteúdos. Para isso, o aluno deveria

marcar em cada questão um dos graus entre os quatro relacionados: nenhum, baixo,

médio ou alto.

Na apresentação dos resultados enfatizaremos os percentuais referentes

ao grau de dificuldade de médio a alto, pois o nosso foco é identificar as dificuldades

relatadas pelos alunos. Como foram poucos os alunos que afirmaram possuir grau

de dificuldade entre médio e alto nos conteúdos referentes ao Ensino Fundamental,

mostraremos também, nesse subitem, os percentuais de baixo e nenhum grau de

97

dificuldade. Com relação ao grau de contribuição dos conteúdos referentes ao

Ensino Fundamental para o Ensino Médio, mencionaremos os itens que os alunos

declararam possuir de médio a alto grau de importância, sem nos ater aos

percentuais.

4.1.2 – Grau de Dificuldade nos Conteúdos do Ensino Fundamental

Os conteúdos investigados com relação às dificuldades declaradas pelos

alunos no Ensino Fundamental foram Números e Operações, Potências e Funções.

Os itens questionados sobre as dificuldades no conteúdo de Números e

Operações foram os seguintes: realizar adição e subtração com números reais ();

realizar multiplicação e divisão com números reais (); reduzir as frações a um

mesmo denominador comum; e aplicar a propriedade distributiva. Nenhum aluno

declarou grau de dificuldade entre médio e alto em adição e subtração com números

reais (), 8% alegaram apresentar baixo grau de dificuldade e a maioria deles (92%)

declarou não apresentar dificuldades. No item multiplicação e divisão com números

reais (), 3% dos alunos declararam médio grau de dificuldade, 10% alegaram

apresentar baixo grau e o restante (87%) declararam não apresentar dificuldades.

Com relação à aplicação da propriedade distributiva, 3% declararam médio grau de

dificuldade, 46% baixo grau e 51% declararam não apresentar dificuldades.

No conteúdo de Potências, os itens que fizeram parte do questionário

foram: operar potência de número real com expoente positivo; operar potência de

número real com expoente negativo; operar potência de número real com expoente

racional; e aplicar as propriedades de potenciação. Nas operações de potência de

número real com expoente positivo e negativo, nenhum aluno alegou médio e alto

grau de dificuldade, 15% dos alunos afirmaram apresentar baixo grau de dificuldade,

e o restante (85%), nenhuma dificuldade. Observamos que 11% dos alunos

afirmaram apresentar de médio a alto grau de dificuldade em operar potência de

número real com expoente racional e aplicar as propriedades de potenciação, 54%

baixo grau e 35% afirmaram não apresentar dificuldades.

Os itens questionados sobre o conteúdo de Funções foram: achar a raiz

de uma função polinomial do 1º grau; achar as raízes de uma função polinomial do

98

2º grau; identificar a concavidade do gráfico de uma função polinomial do 2º grau; e

identificar os pontos de mínimo e de máximo da função polinomial do 2º grau. Para

achar a raiz de uma função polinomial do 1º grau e identificar a concavidade de uma

função polinomial do 2º grau, 5% dos alunos afirmaram possuir entre médio e alto

grau de dificuldade, 22% indicaram baixo grau de dificuldade, e a maioria (73%)

afirmou não encontrar nenhuma dificuldade. Dos 37 alunos, 5% declararam de

médio a alto grau de dificuldade, 35% indicaram baixo grau de dificuldade, 60%

declararam não apresentar grau de dificuldade em achar as raízes de uma função

polinomial do 2º grau. Com relação à identificação dos pontos de mínimo e de

máximo da função polinomial do 2º grau, 24% dos alunos alegaram apresentar grau

de dificuldade entre médio e alto, 46% indicaram baixo grau de dificuldade e o

restante (30%) nenhuma dificuldade.

Analisando os três conteúdos investigados referentes ao Ensino

Fundamental, observamos que a maioria dos alunos afirmou apresentar um baixo

grau de dificuldades nos itens investigados em cada conteúdo. O item identificação

dos pontos de mínimo e máximo no conteúdo de função polinomial do 2º grau foi o

mais indicado pelos alunos nos níveis de médio a alto grau de dificuldade, mesmo

assim, somente 24% deles declararam apresentar dificuldades nesses níveis.

4.1.3 – Grau de Contribuição dos Conteúdos do Ensino Fundamental no

Ensino Médio

Para os alunos, a maioria dos itens sobre o conteúdo de Números e

Operações contribui de forma significativa (grau de contribuição de médio a alto)

para o aprendizado do conteúdo estudado no Ensino Médio. Saber aplicar a

propriedade distributiva foi o item com maior grau de contribuição indicado por eles.

Com relação ao conteúdo de Potência, os alunos apontaram que esse

conteúdo tem um grau de contribuição de médio a alto para a aprendizagem do

Ensino Médio, com maior destaque para a operação de potência com expoente

positivo e a aplicação de propriedades de potenciação.

Finalmente, questionou-se: qual o grau de contribuição do conteúdo de

Funções para o aprendizado do Ensino Médio? Os alunos novamente indicaram um

99

grau de contribuição de médio a alto, destacando os itens referentes à raiz da

função polinomial de 1º grau e às raízes da função polinomial de 2º grau.

Analisando o que foi informado sobre o grau de contribuição dos

conteúdos do Ensino Fundamental no Ensino Médio, vimos que a maioria

considerou que os três conteúdos possuem elevado grau de contribuição para a

aprendizagem do conteúdo estudado no Ensino Médio. Para esses alunos, os

conteúdos de maior destaque foram: saber aplicar a propriedade distributiva, operar

potência com expoente positivo, aplicação de propriedades de potenciação,

encontrar a raiz da função polinomial de 1º grau e as raízes da função polinomial de

2º grau.

4.1.4 – Grau de Dificuldade nos Conteúdos do Ensino Médio

Na sequência, apresentamos os resultados referentes ao grau de

dificuldades declarado pelos alunos, com relação aos conteúdos estudados no

Ensino Médio. O primeiro conteúdo investigado foi Conjuntos, por meio dos

seguintes itens presentes no questionário: resolver problemas que envolvem

operações com conjuntos; representar intervalos na reta real; e efetuar operações

com intervalos. Para resolver problemas que envolvem operações com conjuntos e

representar intervalos na reta real, 11% dos alunos indicaram médio grau de

dificuldade e nenhum deles apontou alto grau. Entre os níveis de dificuldades

declarados no item efetuar operações com intervalos, 19% dos alunos declararam

possuir de médio a alto grau de dificuldade.

Os itens questionados sobre o conteúdo de Funções foram os seguintes:

definir função; determinar domínio e imagem de uma função; identificar os intervalos

de crescimento e decrescimento da função; determinar uma função composta; obter

a função inversa de uma função; identificar se a função é par ou ímpar; e identificar

se a função é bijetora. Analisando os dados desse conteúdo, as dificuldades

relatadas pelos alunos como médio e alto graus resultaram nos seguintes

percentuais: identificar função bijetora (76% dos alunos); obter função inversa (49%

dos alunos); identificar função par e função ímpar (43% dos alunos); determinar

função composta (35% dos alunos); definir função (32% dos alunos); determinar

100

domínio e imagem (30% dos alunos); e identificar crescimento e decrescimento de

uma função (16% dos alunos).

Os itens investigados sobre o conteúdo de Função Afim foram: estudar o

quadro de sinais da inequação-produto e inequação-quociente do 1º grau; e resolver

inequação do 1º grau. Ao analisar os itens sobre esse conteúdo, nota-se que 27%

dos alunos indicaram apresentar grau de dificuldade entre médio e alto na

elaboração de um quadro de sinais de inequação do 1º grau; na resolução de uma

inequação do 1º grau, esse índice é de 8%.

Os itens investigados sobre o conteúdo de Função Polinomial do 2º grau

foram: estudar o quadro de sinais da inequação-produto e inequação-quociente do

2º grau; resolver inequação do 2º grau; resolver problemas que envolvem função

quadrática; e representar graficamente uma função quadrática. No geral, os alunos

não manifestaram um elevado índice de dificuldades nos itens investigados sobre

função quadrática, sendo encontrados os seguintes percentuais para as dificuldades

apontadas entre médio e alto grau: resolução de problemas que envolvem função

quadrática (41% dos alunos); representação gráfica desse tipo de função (38% dos

alunos); quadro de sinais de inequação do 2º grau (27%); e resolver inequação do 2º

grau (19%).

Os itens investigados no conteúdo de Função Modular foram: conceituar

módulo de um número real; definir função modular; resolver equação modular;

resolver inequação modular; resolver problemas que envolvem função modular; e

representar graficamente uma função modular. Com relação a esse conteúdo, os

percentuais encontrados para as dificuldades de médio e alto grau foram os

seguintes: resolver problemas que envolvem função modular (57% dos alunos),

resolver inequação modular (49% dos alunos) e representar graficamente uma

função modular (46% dos alunos), resolver equação modular (35% dos alunos) e

definir função modular (32% dos alunos) e conceituar módulo de um número real

(19% dos alunos).

Com relação ao conteúdo de Função Exponencial, os itens investigados

foram: definir função exponencial; resolver equação exponencial; resolver inequação

exponencial; resolver problemas que envolvem função exponencial e representar

101

graficamente uma função exponencial. Os percentuais de médio e alto grau de

dificuldade encontrados para cada item foram: resolver inequação exponencial,

representar graficamente uma função exponencial e resolver problemas que

envolvem função exponencial (43%); resolver equação exponencial (27%); e definir

função exponencial (16%).

O último conteúdo investigado foi o de Função Logarítmica, com os

seguintes itens pesquisados: aplicar as propriedades de logaritmo; definir função

logarítmica; determinar as condições de existência de uma função logarítmica;

resolver equação logarítmica; resolver inequação logarítmica; resolver problemas

que envolvem função logarítmica e representar graficamente uma função

logarítmica. Os percentuais encontrados para o grau de dificuldade entre médio e

alto em cada item do conteúdo de Função Logarítmica foram: resolver inequação

logarítmica (54% dos alunos); resolver problemas com função logarítmica (49% dos

alunos); representar graficamente uma função logarítmica (46% dos alunos);

resolver equação logarítmica (24% dos alunos); definir função logarítmica (22% dos

alunos); e aplicar propriedades de logaritmo e determinar condição de existência

(14% dos alunos).

4.1.5 – Analisando e Refletindo sobre as Dificuldades Declaradas pelos Alunos

A Tabela 3 mostra uma síntese dos itens dos conteúdos investigados e o

número de alunos que apontaram grau de dificuldade entre médio e alto.

Tabela 3 – Conteúdos e Nº de Alunos que Apontaram Grau de Dificuldade entre Médio e Alto

Continua

Conteúdos Itens Nº de

Alunos

1 – Ensino Fundamental

Números e Operações

Multiplicação/Divisão 1

Reduzir fração ao mesmo denominador 1

Aplicar distributiva 1

Potência Operar potência expoente racional 4

Propriedades de potenciação 5

Funções Achar raiz da função polinomial do1º grau 1

Achar raízes da função polinomial do 2º grau 2

Identificar concavidade de função 2

102

Tabela 3 – Conteúdos e Nº de Alunos que Apontaram Grau de Dificuldade entre Médio e Alto

Continuação

Identificar pontos de mínimo e de máximo 9

2 – Ensino Médio

Conjuntos

Resolver problemas de conjuntos 5

Representar intervalos na reta real 3

Efetuar operações com intervalos 7

Funções

Definir função 12

Determinar domínio e imagem 11

Identificar crescimento e decrescimento 6

Determinar função composta 13

Obter função inversa 18

Identificar função par e ímpar 16

Identificar função bijetora 28

Função Afim Quadro de sinais de inequação 1º grau 10

Resolver inequação 1º grau 3

Função Quadrática Quadro de sinais de inequação 2º grau 10

Resolver inequação 2º grau 7

Resolver problemas com função quadrática 15

Representar graficamente função quadrática 14

Função Modular Conceituar módulo número real 7

Definir função modular 12

Resolver equação modular 13

Resolver inequação modular 18

Resolver problemas com função modular 21

Representar graficamente função modular 17

Função Exponencial Definir função exponencial 6

Resolver equação exponencial 10

Resolver inequação exponencial 17

Resolver problemas com função exponencial 16

Representar graficamente função exponencial 17

Função Logarítmica

Aplicar propriedades de logaritmo 5

Definir função logarítmica 8

Determinar condição de existência 5

Resolver equação logarítmica 9

Resolver inequação logarítmica 20

Resolver problemas com função logarítmica 18

Representar graficamente função logarítmica 17 Fonte: Elaborada pela pesquisadora, 2014.

Fazendo uma análise geral dos sete conteúdos investigados referentes ao

Ensino Médio, aqueles em que mais de 40% dos alunos indicaram grau de

dificuldade entre médio e alto, em uma ordem decrescente foram: identificar uma

função bijetora (76% dos alunos); resolver problemas que envolvem função modular

103

(57% dos alunos); resolver inequação logarítmica (54% dos alunos); encontrar

função inversa, resolver inequação modular e resolver problemas que envolvem

função logarítmica (49% dos alunos); representar a função modular, exponencial e

logarítmica graficamente e resolver inequação exponencial (46% dos alunos);

identificar uma função par ou ímpar e resolver problemas que envolvem função

exponencial (43% dos alunos); e resolver problemas com função quadrática (41%

dos alunos).

Refletindo sobre os dados relatados pelos alunos, era de se esperar que

eles compreendessem que os conteúdos de Números e Operações, Potências e

Funções referentes ao Ensino Fundamental são de grande importância para o

entendimento dos conteúdos lecionados no Ensino Médio.

Esperava-se ainda que um menor número de alunos apontasse grau de

dificuldades entre médio e alto com relação ao conteúdo lecionado no Ensino

Fundamental, uma vez que esse conteúdo também é trabalhado no Ensino Médio.

Considerando que 41% desses alunos já haviam cursado o 1º ou 2º ano

do Ensino Médio e que 73% deles afirmaram gostar muito ou razoavelmente de

Matemática, esperava-se que fosse menor o percentual de alunos indicando

apresentar grau de dificuldade entre médio e alto nos itens investigados.

Na análise do Instrumento II e nas considerações finais, retomaremos a

discussão desses dados, procurando relacionar as dificuldades declaradas pelos

alunos com os erros cometidos por eles.

4.2 – Analisando os Dados do Instrumento II

Nesta seção, utilizamos da análise de erros como parte integrante da

análise de conteúdo, com o objetivo de responder as três primeiras questões

investigadas. No momento em que referenciarmos algum aluno, utilizaremos a letra

A, seguida de um número, com o intuito de preservar sua identidade. Apresentamos

os resultados das questões da seguinte maneira:

a) Inicialmente, descrevemos o enunciado, o objetivo e a resolução

tomada como padrão em cada questão. Devido aos tipos de resoluções dadas,

104

algumas foram selecionadas e, para elas, apresentamos um breve diálogo com a

literatura.

b) Num segundo momento, apresentamos as categorias dos erros

cometidos no teste investigativo, acompanhado de exemplos e texto-síntese, além

de alguns relatos de alunos.

A resolução tomada como padrão ou resposta padrão (como

denominamos) é a resolução apresentada pelo aluno e classificada nesta pesquisa

como correta. Segundo Buriasco, Cyrino e Soares (2003), uma resposta pode

receber “crédito completo” (denominação dada pelas autoras para respostas

corretas) “mesmo que não sejam aquelas perfeitas de acordo com o modelo

conhecido pelo professor.” (p. 8).

Como já mencionado no capítulo anterior, além dos objetivos descritos

em cada questão, também procuramos identificar erros provenientes do Ensino

Fundamental associados aos conteúdos de Números e Operações, Potências e

Funções, conforme apresentado no Quadro 2 (p. 80).

4.2.1 – Apresentando as Questões

4.2.1.1 – Questão 1: Situação-Problema com Conjuntos Numéricos

A questão 1 traz o seguinte enunciado:

Num grupo de 45 pessoas, todas com algum tipo de problema de saúde, 40% têm

pressão alta e diabetes e o número de pessoas que têm pressão alta excede em

o

número de pessoas que têm diabetes. Determine quantas pessoas têm pressão alta

e quantas têm diabetes.

O nosso principal objetivo foi verificar as dificuldades encontradas pelo

aluno ao resolver problemas que envolvem noções de porcentagem e conjuntos.

Assim, era esperado que o aluno soubesse fazer cálculos utilizando porcentagem,

escrever a equação algébrica e resolver o sistema.

Na Figura 2, é apresentada a resolução dada por A7 para esta questão.

105

Figura 2 – Resposta Padrão da Questão 1 Apresentada por A7

Fonte: Teste Investigativo, questão 1.

Não podemos deixar de destacar os passos e comentários registrados por

A7 durante a resolução da questão. A cada passo, A7 reflete sobre o seu

desenvolvimento e, ao substituir os valores encontrados na equação inicial, conclui

que a resolução está correta. A importância dessas explicações realizadas por A7

está descrita em Starepravo (2010), quando a autora afirma que é importante os

alunos perceberem “que, para o professor, mais importante do que chegar a uma

resposta correta é saber explicar como se chegou até ela, se têm oportunidade de

interagir com o objeto de conhecimento a partir de suas próprias ideias [...]” (p. 229,

grifo no original) “e não com base no que já foi explicado pelo professor [...]”. (p. 229,

grifo no original). Logo, a autora menciona que, dessa forma, os alunos “não

buscarão o acerto ‘a qualquer preço’.” (p. 229). Percebemos que esse foi o caminho

percorrido por A7 para resolver a questão.

106

4.2.1.2 – Questão 2: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais

A questão 2 tinha o seguinte enunciado:

Dados os conjuntos: M = {x | x >

e x < 4}, N = {x | x < -2 ou x > } e O

= {x | x < -1}, determine (M N) – O.

O nosso objetivo com esta questão foi verificar se o aluno sabe

representar e operar intervalos reais, além de saber representar, corretamente, a

solução encontrada para a questão. Para isso, o aluno deveria representar os

intervalos na reta real e realizar a operação de união seguida da diferença de

conjuntos. Finalmente, apresentar a solução encontrada. A Figura 3 apresenta a

resposta dada por A31, sendo ela considerada como resposta padrão.



É importante o professor definir uma resposta padrão a partir das

respostas apresentadas pelos alunos, pois, assim, não estará julgando os erros de

seus alunos a partir de suas estruturas mentais (DE LA TORRE, 2007). A resposta

dada por A31 foi tomada como resposta padrão. A31 representou de forma correta

os conjuntos M e N, realizando logo em seguida a união entre eles. Depois,

representou o conjunto O e realizou, corretamente, a operação de diferença da

união encontrada anteriormente, apresentando a solução final do problema na forma

de conjuntos.

107

4.2.1.3 – Questão 3: Análise do Gráfico de uma Função

Na questão 3 foi solicitado:

Observe o gráfico da função cujo CD() = [-2, 2] e responda às perguntas:

A – O gráfico ao lado é uma função. Justifique a afirmativa.

B – Essa função é bijetora? Justifique a resposta.

C – Qual é o domínio da função.

D – Qual é o conjunto imagem do intervalo

de x [1, 3].9

E – Identifique o intervalo de crescimento da função.

F – Identifique o intervalo de decrescimento

da função.

O nosso objetivo na questão foi verificar se o aluno apresenta dificuldades

em identificar uma função e analisar o seu gráfico, determinar domínio e imagem,

identificar intervalos de crescimento e decrescimento de uma função, além de

verificar se uma função é bijetora ou não. Para isso, o aluno deveria conhecer o

conceito de função. Além disso, para identificar se a função é bijetora, o aluno

deveria, primeiro, verificar se ela era injetora e sobrejetora. Também foi possível

verificar se o aluno consegue expressar os intervalos de forma correta.

Abaixo estão descritas as respostas consideradas padrões, sendo, cada

uma delas, correspondente a um determinado item da questão.

Sim, pois cada valor de x possui um único y correspondente. (A37, questão 3a, 2013).

Essa função não é bijetora, pois não há somente um x para cada y, e na função bijetora, que é sobrejetora e injetora, não deve haver um mesmo valor de y para dois valores de x. Ex.: não é bijetora: (-2, 2) e (-1, 2) / (3, -1) e (4, -1).

10 (A2, questão 3b, 2013).

9 Este item da questão foi adaptado para ficar semelhante à questão 5 da avaliação somativa

(ANEXO C) realizada pelos alunos que participaram da pesquisa. 10

Essa foi a resposta que mais se aproximou da correta, sendo, portanto, considerada como resposta padrão.

108

. (A18, questão 3c, 2013).

Im(f) = [-2, 0]. (A5, questão 3d, 2013).

D(f) = [2, 3]. (A5, questão 3e, 2013).

D(f) = [0, 2]. (A5, questão 3f, 2013).

4.2.1.4 – Questão 4: Gráfico de Função Definida por mais de uma Sentença

O enunciado da questão 4 foi:

Construir o gráfico da função : dada por:

(x) =

é:

O nosso objetivo com a questão 4 foi verificar as dificuldades do aluno ao

representar graficamente funções definidas por mais de uma sentença. Para solução

dessa questão, o aluno deveria encontrar as raízes e o ponto de mínimo da função.

A partir desses pontos, esboçar o arco de parábola e as demais sentenças,

representando, também, o ponto (2, 2). A Figura 4 mostra a resposta dada por A7.



109

4.2.1.5 – Questão 5: Função Composta

A questão 5 solicitava:

Se (x) = e g(x) = quais os valores de x para que (g(x)) = g((x))?

Com a resolução da questão 5, podemos observar as dificuldades com

relação aos conteúdos de funções compostas e cálculo algébrico. Para a resolução

da questão, o aluno deveria determinar as leis que definem (g(x)) e g((x)). Em

seguida, igualar as duas expressões e resolver a equação algébrica para encontrar

os possíveis valores de x. Também poderia realizar racionalização na resposta

encontrada. A resposta correta apresentada na Figura 5 foi dada por A18.



110

É importante analisar a resolução apresentada em atividades realizadas

pelos alunos, pois, segundo Ramos e Curi (2013a), por meio “da análise de

conteúdo dessas produções, é possível que o professor perceba a linha de

raciocínio utilizada pelo aluno” (p. 233). Ao analisar a resolução dada por A18,

observamos que, para apresentar a resposta final, o aluno realizou a racionalização

de denominadores.

4.2.1.6 – Questão 6: Inequação-Quociente

Na questão 6, foi solicitado:

Resolver a inequação

4 em .

Na questão 6, o nosso objetivo foi verificar se o aluno sabe resolver

inequações-quociente e elaborar o quadro de sinais. Para resolução, o aluno deveria

saber que o quadro de sinais só pode ser usado quando a inequação-quociente tem

um dos membros da inequação igual a zero e, em seguida, realizar os estudos dos

sinais. O aluno não poderia deixar de considerar a condição de existência no quadro

de sinais da inequação. Exibimos na Figura 6 a resposta padrão dada por A18.



111

4.2.1.7 – Questão 7: Situação-Problema com Função Polinomial do 2º Grau


Em uma empresa que vende tratores, o lucro total L em função da quantidade q de

tratores vendidos pode ser obtido pela expressão . Nestas

condições, quais os valores de q para que a empresa trabalhe sempre com lucro

positivo?

Nessa questão, o nosso objetivo foi verificar se, ao analisar o enunciado

de uma situação-problema que envolve função polinomial do 2º grau, o aluno

consegue identificar e esquematizar o que está sendo solicitado. Para isso, o aluno

deveria identificar que e priorizar na resolução da inequação a aplicação

da propriedade distributiva. Assim, a partir do cálculo das raízes, do esboço e do

estudo do sinal da função, ele conseguiria identificar o intervalo de solução da

inequação. A Figura 7 apresenta a resolução dada por A15.



4.2.1.8 – Questão 8: Análise do Gráfico de Função Polinomial do 2º Grau


112

A parábola P representada abaixo é o gráfico de uma função quadrática . Se g(x)

for uma função quadrática cujas raízes sejam as mesmas de e se o vértice do

gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com relação ao eixo x, então g(-2) vale:

O nosso objetivo com a questão 8 foi verificar se o aluno conseguiria

analisar o gráfico de uma função polinomial do 2º grau e determinar essa função

considerando a simetria em relação ao eixo das abscissas. Para resolver a questão,

o aluno deveria demonstrar que consegue, a partir do gráfico da parábola, achar os

valores dos coeficientes da função. Compreendendo o que é simetria em relação a

um determinado eixo, o aluno consegue identificar a função . Também o aluno

deveria encontrar o valor da imagem de um determinado valor de x do domínio.

A14 foi o aluno que mais se aproximou da resolução correta, errando por

considerar em vez de na função Como nenhum aluno apresentou

resolução completa, apresentamos a resolução padrão dada por nós.

Tomando , e considerando (1, 0) e (2, -1) como pontos

pertencentes ao gráfico de , teremos:

somando (I) com (II), teremos – Substituindo

em (I), teremos Pelo gráfico Logo . Como o

vértice de é simétrico ao vértice de em relação ao eixo das abscissas e possui

as mesmas raízes de , a função irá apresentar a concavidade para baixo. Logo,

, , resultando em . Para x = ,

teremos

113

4.2.1.9 – Questão 9: Inequação-Produto

A questão 9 solicitava:

Resolva a seguinte inequação ( ) ∙ ( ) 0 em .


relação à resolução de inequação-produto que envolvem função polinomial do 2º

grau. Na resolução da questão, o aluno poderia utilizar o quadro de sinais para

estudar o produto das funções, mas, nesse caso, precisaria identificar a concavidade

das parábolas e as raízes de cada função, realizando, assim, o estudo dos sinais de

cada uma delas. A Figura 8 apresenta a resolução correta dada por A17.



Lembrando que o foco desta pesquisa é a identificação dos erros, não

podemos deixar de considerar, conforme Silva e Buriasco (2005), que “[...] tão ou

114

mais importante que diagnosticar o que o aluno ainda não sabe é investigar o que

ele já sabe [...]” (p. 502). Assim, analisando a resolução dada por A17, verificamos

que o aluno tem conhecimento sobre o que foi solicitado, sabe descrever claramente

sua resolução, indicando no quadro de sinais as respostas encontradas para cada

inequação.

4.2.1.10 – Questão 10: Situação-problema com Função Polinomial do 2º Grau

O enunciado da questão 10 é:

Durante uma situação de emergência, o capitão de um barco dispara um sinalizador

para avisar a guarda costeira. A trajetória que o sinal luminoso descreve é um arco

de parábola. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por

, sendo a altura do sinal, em metro, e , o tempo decorrido após o

disparo, em segundo. a) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode

atingir? b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal luminoso atingir

a altura máxima?

Na questão 10, o nosso objetivo foi verificar se o aluno apresentaria

dificuldades em esquematizar uma situação-problema envolvendo o conteúdo de

função polinomial do 2º grau. Na resolução do problema, o aluno teve que identificar

a variável independente e a variável dependente.

A resolução dada por A31 está exibida na Figura 9 e foi considerada

como resposta padrão.

115



Cury e Silva (2008) afirmam que, ao avaliarmos a resolução dada em um

problema, “não somente pelo produto final mas especialmente pelo processo de

produção, podemos analisar a forma como o aluno solucionou a questão,

descobrindo suas estratégias [...]” (p. 87).

Assim, analisando a resolução dada pelo aluno, vimos que ele encontrou

as raízes da função polinomial do 2º grau, traçou a parábola e indicou que o ponto

máximo ocorreu na metade do tempo entre 0 e 16 segundos. Para encontrar a altura

máxima, A31 substituiu o valor do tempo (8s), encontrando h(8) igual a 320m.

Ao analisar o processo e não apenas o resultado apresentado pelo aluno

na resolução da questão, o professor pode verificar as diversas formas de se

resolver uma questão e adotar a melhor resolução como padrão para a turma. A

resolução dada por A31 é um exemplo do que foi dito, pois, para chegar à resposta,

A31 fez uso de seu raciocínio associado à aplicação direta de fórmula.

116

4.2.1.11 – Questão 11: Equação Modular

O enunciado da questão 11 é exposto a seguir:

Determinar o conjunto solução da equação modular = .

Na questão 11, o nosso objetivo foi verificar se o aluno é capaz de

resolver uma equação modular; para isso, ele deveria conhecer a definição de

módulo de um número real e saber identificar a condição inicial para encontrar a

solução da equação. Nenhum aluno apresentou resolução correta para a questão.

Abaixo está descrita a resolução considerada por nós como padrão.

, temos como condição inicial:

Se então

Se então

Como

e

satisfazem a condição inicial, logo:

4.2.1.12 – Questão 12: Situação-problema com Inequação Modular


A fórmula de conversão da temperatura na escala Fahrenheit (TF) para a

temperatura na escala Celsius (TC) é TC =

TF – 32). Dada a temperatura em

Fahrenheit, pode-se obter um valor aproximado da temperatura na escala Celsius

(tC) pela fórmula prática tC =

(TF – 32). Se o erro absoluto E, cometido pela fórmula

prática, é dado por E = |TC – tC|, determine o intervalo de variação de TF para que o

erro absoluto seja menor que 50° Fahrenheit.

O nosso objetivo com a questão 12 foi verificar se o aluno sabe resolver

problemas que envolvem inequação modular. Também foi possível observar a

representação de valores na reta real e a realização de operações com intervalos.

117

Para resolver a questão, o aluno deveria aplicar a propriedade distributiva, além de

reduzir frações a um mesmo denominador comum.

Somente um aluno (A18) apresentou a resolução correta para a questão,

conforme Figura 10.



4.2.1.13 – Questão 13: Gráfico de Função Modular


Construa o gráfico da função (x) = e responda, justificando, se essa função

é par ou ímpar.

Com a resolução da questão 13, o nosso objetivo foi observar as

dificuldades encontradas em representar graficamente uma função modular, além de

verificar se o aluno sabe classificar a função par. Para isso, o aluno deveria

encontrar o módulo dos valores que constavam na tabela e traçar o gráfico a partir

118

do modelo de gráfico de função modular e desses valores. Depois, identificar se o

gráfico era referente a uma função par ou ímpar. A Figura 11 ilustra a resolução

correta apresentada por A4.



4.2.1.14 – Questão 14: Potenciação


Se os números reais positivos a, b e c são tais que: c =

, utilize

propriedades de potência para simplificar a expressão e encontrar o valor de c.

Na questão 14, o nosso objetivo foi verificar as dificuldades encontradas

pelo aluno em aplicar as propriedades de potência e operar potência de números

reais. Na resolução, o aluno deveria respeitar as prioridades operacionais da

aritmética.

A Figura 12 apresenta a resposta padrão para a questão.

119



4.2.1.15 – Questão 15: Situação-problema com Função Exponencial

O enunciado da questão 15 é mostrado a seguir:

Num período prolongado de seca, a quantidade de água de certo reservatório, após

t meses, pode ser determinada pela função Q(t) = Q0 , onde Q0 é a quantidade

inicial de água no reservatório. Em quantos meses a quantidade de água no

reservatório se reduzirá à metade da sua quantidade inicial?

O nosso objetivo com a questão 15 foi verificar se o aluno apresenta

dificuldades em interpretar e resolver uma situação-problema que envolva função

exponencial. Na resolução da questão, o aluno deveria identificar a equação

exponencial que satisfaça a condição dada e resolvê-la aplicando suas

propriedades. A Figura 13 mostra a resolução apresentada por A16.



120

Compreender o enunciado de um problema é o primeiro passo para

organizar os dados e resolver o que está sendo solicitado. Muitas vezes o aluno não

compreende o que está exposto e não consegue dar prosseguimento na resolução;

ou, pode-se chegar a um resultado correto por caminhos equivocados.

De La Torre (2007) afirma que, para organizar a informação, é preciso

levar em consideração dois aspectos importantes desse processo, que são

“identificar as características relevantes e ter claros os passos a seguir.” (p. 119). Foi

dessa forma que A16 encontrou a equação do problema e chegou corretamente à

solução.

4.2.1.16 – Questão 16: Equação Exponencial


Resolva a equação:

= 8

Na análise da questão 16, podemos observar as dificuldades com relação

à resolução de equação exponencial. Para resolvê-la, o aluno deveria inverter a

base, além de decompor o número 8 para igualar as bases. Em seguida, aplicar as

propriedades da equação exponencial e achar os valores de x que satisfaçam a

equação.

Na Figura 14, está representada a resolução dada por A3, que

consideramos como resposta padrão para a questão.



121

4.2.1.17 – Questão 17: Inequação Exponencial


Determine os valores de x tais que

>

.

Na questão 17, o nosso objetivo foi verificar as dificuldades ao resolver

inequação exponencial quando a base da potência é um número menor que um.

Para solucionar a questão, o aluno poderia aplicar as propriedades de uma

inequação exponencial e inverter o sinal da relação na desigualdade entre as

potências. Em seguida, achar as raízes da função polinomial do 2º grau e

determinar, a partir do estudo de sinal da função , a solução da

questão.

A Figura 15 apresenta a resolução dada por A20, considerada resposta

padrão para a questão.



122

A20 registrou o motivo que o levou a inverter o sinal da inequação. Esse

tipo de registro não é só importante para ajudar o aluno no desenvolvimento da

questão, mas também para análise da produção escrita feita pelo professor. Com

esse registro, fica claro para o professor que a resolução dada pelo aluno está

baseada em conceitos verdadeiros.

4.2.1.18 – Questão 18: Inequação Logarítmica


A inequação tem como solução.

Na questão 18, o nosso objetivo foi verificar as dificuldades encontradas

pelo aluno ao resolver uma inequação logarítmica. Para esse tipo de questão, o

aluno deveria definir a condição de existência da inequação logarítmica, além de

aplicar as propriedades de logaritmo. Em seguida, encontrar as raízes da função e

realizar o estudo dos sinais das funções envolvidas junto com a condição de

existência, apresentando a solução, logo em seguida. A Figura 16 mostra a

resolução dada por A3.



123

4.2.1.19 – Questão 19: Gráficos de Função Logarítmica e Função Exponencial


Construa o gráfico de (x) = . Sabendo que g(x) é a função inversa de (x),

encontre g(x) e construa o gráfico de g(x) a partir do gráfico de (x).

O nosso objetivo com a questão 19 foi verificar se o aluno apresenta

dificuldades em traçar o gráfico de uma função logarítmica e, a partir desse gráfico,

traçar o gráfico da função exponencial. Também foi possível observar se o aluno

consegue obter a inversa de uma função e identificar a relação entre a função dada

e a encontrada. Aplicando as propriedades de logaritmo, o aluno encontra os valores

da tabela e, a partir do modelo de gráfico de função logarítmica, esboça o gráfico da

função. Conhecendo a relação existente entre o gráfico da função logarítmica e o

gráfico da função exponencial, o aluno esboça o gráfico da função exponencial. A

Figura 17 mostra a resolução dada por A2.



124

4.2.1.20 – Questão 20: Situação-Problema com Equação Logarítmica

A questão 20 solicitava o seguinte:

A massa A de uma substância radioativa decai segundo a lei A = A0 ∙ , em

que t é o tempo de decaimento, em hora, e A0 é a massa inicial, isto é, a massa

correspondente a t = 0. Para calcular a meia-vida dessa substância, ou seja, o

tempo decorrido para que A =

A0, um químico substituiu A por

A0 nessa lei e

obteve a equação = . Considerando = – 0,30, resolva

essa equação para obter a meia-vida da substância.


relação à resolução de uma situação-problema que envolve equação logarítmica.

Para a resolução da questão, o aluno poderia aplicar as propriedades de logaritmo,

além de saber aplicar a definição de logaritmo. As Figuras 18 e 19 mostram

diferentes resoluções apresentadas por A17 e A2, respectivamente.



125



Para resolver a questão, A17 aplicou a propriedade

, enquanto que A2 utilizou a definição de logaritmo:

“Dados a e b, números reais positivos, com a 1, o logaritmo de b na base a é o

número real x tal que .” (BARROSO, 2007, p. 224). As duas

resoluções apresentadas utilizaram-se de estratégias diferentes, com isso é possível

perceber que não existe uma única maneira de resolver uma situação-problema.

Na próxima seção, faremos a apresentação dos tipos de erros que

identificamos em cada questão, por categoria.

126

4.2.2 – Erros na Resolução de Atividades Matemática

A análise da produção escrita do aluno não deve ser “um fato isolado na

prática do professor; ela é – ou deveria ser – um dos componentes dos planos

pedagógicos das instituições e dos planos de aula dos docentes, levando em conta

os objetivos do ensino de cada disciplina.” (CURY, 2008, p. 13). Acreditando nisso,

nos próximos itens, iremos nos ater à análise de erros, no teste investigativo

realizado pelos alunos. Assim, identificaremos erros matemáticos que poderão ser

usados por professores como estratégia didática, com o objetivo de melhorar o

processo ensino-aprendizagem.

Na apresentação da análise, iniciamos com a denominação das

categorias, seguida de um quadro com os tipos de erros cometidos por categoria, o

número de protocolos analisados e o número de ocorrências dos erros por questão.

Após a apresentação do quadro serão mostrados os erros; para cada erro, será

apresentado um texto-síntese com exemplo tirado do corpus, além de alguns relatos

apresentados pelos alunos.

4.2.2.1 – Categoria 1 – Erros Ligados a Conteúdos Abordados no Ensino

Fundamental

O nosso objetivo com a criação dessa categoria é responder a seguinte

questão: Que conteúdos matemáticos provenientes do Ensino Fundamental são

visíveis nos erros apresentados na resolução das atividades que envolvem

conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional?

Foram concentrados nessa categoria os erros ligados a conteúdos

referentes ao Ensino Fundamental. Selecionamos algumas das resoluções,

apresentadas pelos alunos, para demonstrarmos cada tipo de erro.

A Tabela 4 mostra os quatro tipos de erros associados à Categoria 1.

127

Tabela 4 – Erros Ligados a Conteúdos Abordados no Ensino Fundamental


protocolos Nº de

ocorrências

Operações Básicas e Propriedades de Potência

1 31 1

10 21 5

12 21 4

14 23 23

20 16 5

Subtotal 112 38

Aplicações de Regras e Fórmulas

4 24 14

7 28 18

9 19 7

10 14 7

12 21 2

16 17 11

17 27 18

Subtotal 150 77

Esboço da concavidade de uma parábola

4 24 2

9 14 2

Subtotal 38 4

Resolução algébrica 5 22 21

20 16 3

Subtotal 38 24


Apresentaremos os erros na mesma sequência da Tabela 4, começando

então pelo erro de operações básicas e propriedades de potência. Os erros

referentes a operações básicas foram cometidos durante a resolução das operações

de multiplicação e divisão. Para esse tipo de erro, mostraremos somente um

protocolo, ao qual o maior número de erros ocorridos foi semelhante.

A Figura 20 corresponde à resolução apresentada por A6.

128

Figura 20 – Resposta Apresentada por A6


Notamos que, na resolução, o aluno apresentou corretamente a equação

do problema, além do cálculo do . Ao realizar a operação de divisão, o aluno

indicou a eliminação das casas decimais, realizando a operação de maneira

incorreta. A6 talvez acreditasse que, pelo fato de estar realizando uma operação

com números decimais, os quais apresentam a parte inteira igual a zero, o quociente

devesse ser análogo.

Mencionaremos a seguir alguns erros provenientes de operações básicas

nas demais questões. Para esses erros não iremos exibir protocolos, pois achamos

que somente a descrição seja o suficiente para as apresentações.

Na questão 1, A23 ao dividir 45 por 7 encontrou 6,7, pois ao efetuar a

multiplicação de 6 x 7 escreveu resto 5 em vez de 3. Devido ao erro, o aluno não

deu continuidade à resolução da questão, sendo o único que apontou ter

dificuldades em realizar operações com números reais.

A10 apresentou incorretamente o resultado da questão 10, pois errou na

seguinte divisão:

. A29 também apresentou o resultado incorreto

129

nessa questão, errando no cálculo do discriminante ao resolver, de maneira

incorreta, a seguinte operação: 80 x 80 = 640.

Erros em operações de multiplicação foram encontrados na questão 12.

Por exemplo, A15 descreveu uma operação de multiplicação, mas realizou uma

operação de adição. Na operação realizada 32 x 5 = 90, A15, em vez de multiplicar 5

x 3, soma 5 + 3 + 1, encontrando 9. Já o erro de A31 foi cometido ao multiplicar 18 x

5 = 600.

Existem indícios de que os erros apresentados, com exceção do primeiro

erro de divisão cometido por A6 na questão 20, foram consequência de enganos

cometidos pelos alunos durante a realização de cada operação.

O erro referente à aplicação das propriedades de potência foi cometido

por muitos alunos durante a resolução da questão 14. A Figura 21 exibe esse erro.



130

O erro cometido por A17 foi encontrado na resolução apresentada por

muitos alunos. A17 não aplicou a propriedade de potência

da forma

correta, ou seja, elevou somente as incógnitas ao expoente de

indicado na

equação, sem realizar a operação de potência com os números 4 e 9. Devido à

aplicação incorreta das propriedades de potência, A17 apresentou a resposta errada

para a solução da questão. Compreendemos que, no entendimento desse aluno,

quando um número está acompanhado de uma incógnita e ambos elevados ao

mesmo expoente, deve-se elevar à potência somente a incógnita. Não identificamos

o erro como um equívoco, pois A17 não elevou nem o número 4 e nem o número 9 à

potência de

.

Ainda na categoria 1, o tipo erro de aplicações de regras e fórmulas foi

o encontrado em um maior número de questões, ou seja, ele foi percebido em sete

das vinte questões do teste investigativo. Optamos por mostrar os protocolos de

alguns casos e, em outros, descreveremos somente o erro identificado. Iniciaremos,

pelo erro cometido por A25, no cálculo das raízes de uma função polinomial do 2º

grau, conforme Figura 22.



Iremos nos ater somente ao erro referente ao cálculo das raízes da

função . Além de encontrar incorretamente as raízes da função,

131

A25 cometeu outros erros, os quais serão apresentados mais a frente. Para

encontrar as raízes da função, A25 colocou o termo em evidência e a partir

disso apresentou como raízes -10 e 30. Inferimos que, no entendimento do aluno,

quando se coloca um termo em evidência, as raízes correspondentes à função são

os valores que acompanham a variável colocada em evidência. Não podemos deixar

de mencionar que o mesmo erro foi cometido por A25 e outros alunos nas demais

questões.

O erro descrito acima ocorreu em uma função polinomial do 2º grau que

possui o coeficiente c igual a zero. Outro erro para esse mesmo tipo de função

foi cometido por A4 na questão 10. Ao calcular o discriminante da

função, deduzimos que o aluno considerou , pois encontrou o discriminante

igual 6.420. Achamos que, no entendimento desse aluno, quando uma função

possui b ou c igual a zero, esse deverá ser considerado igual a um para o cálculo do

discriminante da função.

Na questão 16, o erro cometido por A19 foi durante o cálculo das raízes

de uma equação que possui o coeficiente b igual a zero conforme mostrado na

Figura 23.



O aluno resolveu corretamente a equação exponencial, mas, ao encontrar

as soluções, errou ao considerar na equação o valor de e

132

, em vez de e Esse mesmo erro foi cometido por A10 na

mesma questão. Entendemos que esses alunos resolveram essa equação como se

fosse uma equação completa, o que pode indicar um modo tecnicista de resolução

de exercícios matemáticos.

Diferentemente do que foi descrito acima, outro tipo de erro no cálculo

das raízes de uma equação do 2º grau ou das raízes de uma função polinomial do 2º

grau cujo coeficiente b é igual a zero ocorreu de forma idêntica nas questões 4, 16 e

17. Nessa situação, os alunos encontraram somente uma raiz como resposta. Por

exemplo, na questão 4, A6 apresentou como raízes da função

somente . Cremos que, para ele, esse tipo de função possui somente uma raiz

positiva, não conseguindo, portanto, identificar a raiz negativa na resolução.

Nesses exemplos mencionados, vimos que, em sua maioria, o erro

cometido na resolução das questões foi devido ao cálculo das raízes de uma

equação ou das raízes de uma função polinomial do 2º grau, quando apresentada

com o coeficiente b ou c iguais a zero

Em relação aos erros referentes às prioridades operacionais da

aritmética, foram identificados poucos deles nas resoluções das questões. A Figura

24 mostra um exemplo desse tipo de erro.



133

Esse erro foi cometido por alunos que não priorizaram a multiplicação, no

caso a aplicação da distributiva, em detrimento da operação que era apresentada

anteriormente. A6 realizou a operação de subtração antes de aplicar a distributiva,

mostrando não compreender que as operações de multiplicação devem ter

precedência em relação às operações de soma e subtração. O aluno também

cometeu erro ao calcular as raízes da função e, por isso, não apresentou resposta

para a questão. A6 declarou ter dificuldades em resolver problema que envolve

função polinomial do 2º grau.

Erro semelhante foi cometido por A25 na mesma questão (FIGURA 22). A

diferença entre os erros cometidos por A25 e A6 foi que A25, ao realizar a operação

de , encontrou . A25, como A6, errou no cálculo das raízes da função

encontrada.

O erro referente ao uso incorreto de regras de sinais foi encontrado com

maior frequência em resoluções nas quais o aluno deveria aplicar a propriedade

distributiva. A Figura 25 apresenta um desses erros.



134

A14, ao aplicar a propriedade distributiva, errou na multiplicação entre os

sinais de e , apresentando como resposta em vez de . Inferimos

que, na compreensão do aluno, a multiplicação entre dois números negativos deve

ser realizada somente entre os valores absolutos, permanecendo o resultado com o

mesmo sinal. Por esse motivo, o aluno encontrou incorretamente as raízes da

função. O mesmo erro foi cometido por outros alunos, que também encontraram,

incorretamente, as raízes da função na mesma questão.

O mesmo tipo de erro foi cometido por dois alunos na questão 12, os

quais, ao multiplicarem

e , encontraram , em vez de .

O erro na aplicação incorreta da fórmula das coordenadas do ponto de

máximo de uma função foi cometido por somente três alunos e de forma idêntica. A

Figura 26 exibe esse erro.



Pelo fato de A18 considerar a fórmula de XV =

, em vez de XV =

,

acabou apresentando resposta incorreta tanto para o tempo, quanto para a altura

solicitados. O uso de fórmula para resolução dessa questão exigiu que o aluno a

135

“decorasse”. Se A18 utilizasse o mesmo procedimento que foi usado por A31

(FIGURA 9), certamente esse tipo de erro não teria acontecido.

O erro no esboço da concavidade de uma parábola foi cometido

somente por dois alunos na questão 4 e dois alunos na questão 9. Na questão 4, os

dois alunos que cometeram erro esboçaram o gráfico da função com

concavidade para baixo. Inferimos que tal erro foi cometido não pelo fato de os

alunos apresentarem dificuldades em identificar a concavidade da parábola, mas,

sim, por terem que esboçar o gráfico de uma função definida por mais de uma

sentença, pois, além de os alunos não terem terminado de esboçar o gráfico,

também não cometeram tal erro em outras questões.

Esse tipo de erro também foi identificado na questão 9. A Figura 27

apresenta o erro cometido por A18.



136

O aluno apresentou praticamente todas as etapas corretas para a

resolução da questão, mas, ao cometer o erro no esboço da parábola da função

, errou também no estudo do sinal, apresentando solução

incorreta. Ao analisar outras questões, nas quais A18 deveria apresentar o estudo

de sinal de uma função, vimos que o aluno não realizou o estudo de sinal para

situações desse tipo. Então, deduzimos que A18 não consegue distinguir a diferença

entre a concavidade de uma parábola (que é gráfico de uma função quadrática) que

possui e uma que possui .

A3 também cometeu o erro ao esboçar a parábola com concavidade para

cima, mas apresentou corretamente o estudo do sinal. Analisando outras questões

de A3, nas quais era necessário o estudo de sinais de uma função quadrática, não

foram encontrados erros. Logo, há indícios de que A3 não apresenta dificuldades

nesse conteúdo.

O erro de resolução algébrica foi percebido com mais frequência na

resolução da questão 5. Um exemplo desse tipo de erro está mostrado na Figura 28.



O aluno determinou a lei que define e corretamente,

igualou as duas leis com a finalidade de determinar os valores de x, mas errou

durante a resolução algébrica. Ao dividir dos dois lados da equação por , A2

137

procedeu de forma equivocada, obtendo por isso uma resposta incorreta. No final da

resolução, A2 escreveu o seguinte: “Dificuldade ao multiplicar por ” (A2, 2013).

Talvez, na ansiedade de apresentar uma resposta para a questão, essa dificuldade

mencionada pelo aluno, tenha-o levado a cometer o erro. Além disso, consideramos

que o aluno não compreende que, ao dividir os dois lados da equação, todos os

termos deverão ser divididos.

Outro tipo de erro na resolução algébrica foi cometido por A4, que,

diferentemente de A2, considerou nos dois termos, ou seja,

, mas,

logo em seguida, apresentou a resposta como , pois considerou o numerador

igual ao denominador. Esses dois erros foram cometidos por outros alunos na

mesma questão.

Na questão 20, também foi observado erro desse tipo, conforme mostrado

na Figura 29.



A5 resolveu corretamente a primeira parte da questão, mas, em vez de

dividir a equação por

, o aluno se equivocou no desenvolvimento da equação.

Partindo da análise realizada, cremos que o sinal negativo na frente da fração,

possa ter induzido o aluno a cometer esse erro. Devido ao erro, no final da

138

resolução, A5 deixou registrado o seguinte: “Tenho conhecimento das propriedades

de logaritmo, mas não sei por que, não consegui finalizar o desenvolvimento.” (A5,

2013). A partir desse relato, é possível perceber que nem sempre os alunos

sozinhos conseguem identificar o erro, sendo necessária a intervenção do professor.

Na categoria 1, foi possível observar que em muitas resoluções

apresentadas pelos alunos, os erros encontrados foram, exclusivamente, devido a

conteúdos lecionados nos anos anteriores ao Ensino Médio.

4.2.2.2 – Categoria 2 – Erros Ligados a Conteúdos de Conjuntos Numéricos e

Intervalos Reais Abordados no Ensino Médio

Com a criação dessa categoria, temos como objetivo responder à

seguinte questão: Que tipos de erros matemáticos os alunos apresentam na

resolução das atividades que envolvem conjuntos numéricos e intervalos reais?

Reunimos aqui, então, todos os tipos de erros que foram identificados nas

resoluções dadas pelos alunos em questões que abordavam os conteúdos de

conjuntos numéricos e intervalos reais. A Tabela 5 mostra os tipos de erros que

foram encontrados e que no nosso entendimento devem ser aqui categorizados.

Tabela 5 – Erros Ligados a Conteúdos de Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais Abordados no Ensino Médio


protocolos Nº de

ocorrências

Transformação em linguagem matemática

1 31 31

Subtotal 31 31

Representação e Operação de intervalo

2 21 20

3d 26 16

6 28 2

Subtotal 75 38 Total 106 69


Começamos a nossa descrição pelo erro de transformação em

linguagem matemática.

139

Esse tipo de erro foi observado na questão 1 e foi cometido por todos os

alunos que apresentaram respostas parcialmente corretas ou incorretas; um

exemplo disso está na Figura 30.



Esse erro foi cometido por 31 alunos, os quais não conseguiram converter

o que foi solicitado no enunciado da questão para a linguagem matemática, no caso,

escrever por meio de equações e conjuntos o que foi dito no texto verbal.

A1, ao apresentar a resposta, vai de encontro ao que foi registrado por ele

mesmo, ou seja, descreveu que o número de pacientes com pressão alta é

maior

do que o número de pacientes com diabetes, mas, logo em seguida, apresentou

como resposta: pressão alta = 12 e diabetes = 6. Assim, o número de pacientes com

pressão alta, encontrado pelo aluno, é o dobro do número de pacientes com

diabetes e não como indicado por A1 na resolução da questão. Por ter escrito no

início da questão que “pa + d = 18”, inferimos que o aluno acreditou que a resposta

estivesse correta.

A Figura 31 mostra outro exemplo desse tipo de erro.

140



A13, ao apresentar a equação referente ao enunciado da questão, não

incluiu os 40% dos pacientes que possuíam as duas doenças, diferentemente da

resolução apresentada por A7 na Figura 2, o qual indicou a diferença da interseção

entre os dois conjuntos (

). Como a A1 (FIGURA 30), A13 não se

preocupou em associar a resposta apresentada à informação que indicou no início

da resolução da questão: “P

+ que D”. Esses alunos, além de apresentarem

141

dificuldades em relação ao conteúdo, demonstraram não se preocupar em comparar

o que foi encontrado na resposta com o que foi definido durante a resolução.

O erro de representação e operação de intervalo foi identificado na

questão 2.

A Figura 32 apresenta o erro cometido por A18 ao representar conjuntos

na reta real.



Alguns alunos, como, por exemplo, A18, apresentaram dificuldades em

representar na reta real a condição “ou” descrita pelo conjunto N. Dessa forma,

apresentaram resposta incorreta para a questão. Deduzimos que esses alunos

interpretam o conectivo “ou” da mesma forma que o conectivo “e”, pois foi assim que

eles representaram o conjunto N na reta real, ou seja, de forma inversa ao que foi

solicitado. Se A18 não errasse na representação do conjunto N, teria,

possivelmente, chegado à resposta correta, pois demonstrou saber realizar as

operações solicitadas na questão.

Diferentemente de A18, outros alunos representaram o conjunto N na reta

real por partes. Inferimos que tenham feito isso por apresentarem dificuldades em

relação ao conectivo “ou”.

Como descrito acima, ainda foi possível identificar na questão 2 erro ao

realizar operações com intervalos na reta real. A Figura 33 exibe esses dois tipos de

erros.

142



A32, em vez de realizar a operação de diferença do conjunto com o

conjunto de , realizou a operação de união com uma das partes do conjunto

. O aluno efetuou as operações em partes, pelo motivo de ter representado o

conjunto dessa maneira na reta real. Devido a isso, apresentou duas respostas

para a questão.

A32 cometeu erro na representação da resposta da questão 2.

Observando a resposta que o aluno apresentou, vimos que, em cada parte da

resposta, ele descreveu os valores que deveria assumir, utilizando para isso o

conectivo “e”, e não o conectivo “ou”, que seria o correto. O aluno não compreende,

por exemplo, que não pode assumir valores que sejam ao mesmo tempo maior

que e menor que . Assim, inferimos que esses alunos apresentam

dificuldades não só na representação de conjuntos na reta real que possuam o

143

conectivo “ou”, mas também apresentam dificuldades em representar a solução

encontrada, em linguagem matemática.

Erro desse tipo foi observado na resposta dada por A37 na questão 6,

conforme Figura 34.



A37 errou na resolução da questão, mas esse tipo de erro será discutido

mais à frente. O aluno, ao identificar os valores possíveis para no estudo dos

sinais, não exibiu o quadro de sinais e apresentou os valores que deveria assumir

separados por “;”, diferentemente de A32 (FIGURA 33), que apresentou as

diferentes soluções unidas pelo conectivo “e”. Além disso, A37 não se preocupou em

analisar a resposta dada, pois apresentou na primeira condição valores de que já

abrangiam a segunda condição descrita por ele. No final de sua resolução, o aluno

declarou que teve dificuldades em expressar o resultado encontrado.

Na questão 3D, também foi possível observar erros na representação da

solução apresentada pelos alunos, conforme mostrado na Figura 35.

144


Fonte: Teste Investigativo, questão 3D.

Achamos que o erro cometido por A31 tenha sido devido ao fato de o

intervalo começar em um número negativo e se estender até 0, no caso, . Isso

fez com que o aluno apresentasse duas respostas diferentes e incorretas para a

solução da questão. A segunda resposta apresentada pelo aluno foi dada por vários

outros. Na identificação do conjunto imagem associado ao intervalo , há indícios

de que A31 sabia qual seria o conjunto imagem referente ao intervalo solicitado, mas

apresentou dificuldades na representação desse intervalo.

Os erros apresentados nessa categoria foram os que identificamos na

resolução de questões referente ao primeiro conteúdo visto pelos alunos no 1º ano

do Ensino Médio Integrado.

4.2.2.3 – Categoria 3 – Erros Ligados a Conteúdos de Equações, Inequações e

Funções Abordados no Ensino Médio

Esta categoria visa responder a seguinte questão: Que tipos de erros

matemáticos os alunos apresentam na resolução das atividades que envolvem

equações, inequações e funções?

Nela se encontram a maior parte dos erros identificados na resolução das

questões do teste investigativo. Isso é devido à extensão do conteúdo de funções

lecionado no 1º semestre do CEFET-MG, o qual inicia em função afim e se estende

até função logarítmica. A Tabela 6 apresenta os tipos de erros ligados a essa

categoria.

145

Tabela 6 – Erros Ligados a Conteúdos de Equações, Inequações e Funções Abordados no Ensino Médio


protocolos Nº de

ocorrências

Conceito de função

3a 6 6

3b 36 36

3c 13 13

3d 26 15

3e 12 12

3f 12 12

6 28 17

10 21 6

11 32 32

13 24 24

18 21 7

19 26 25

Subtotal 257 205

Esboço do gráfico de uma função

4 24 22

13 24 5

19 26 18

Subtotal 74 45

Não desenvolve a equação

5 27 6

Subtotal 27 6

Resolve incorretamente inequação-quociente e inequação-produto

6 28 26

9 25 6

Subtotal 53 32

Estudo de Sinais

6 16 4

7 11 6

9 14 10

17 27 21

Subtotal 68 41

Não identifica a função simétrica ao vértice de f(x) em relação ao eixo x

8 6 6

Subtotal 6 6

Não resolve a 2ª equação ou inequação da função modular

11 32 18

12 21 11

Subtotal 53 29

Cálculo do Módulo ou Logaritmo de um número

13 24 4

18 15 13

20 16 3

Subtotal 55 20

Resolve incorretamente a equação ou inequação exponencial

15 12 10

16 17 6

17 27 24

Subtotal 56 40


146

O primeiro erro discriminado na Tabela 6 abrange o conceito de função

e foi encontrado em várias questões. A Figura 36 exibe o primeiro erro desse tipo

que foi identificado na questão 3A.


Fonte: Teste Investigativo, questão 3A.

Além da resposta apresentada na Figura 36, descrevemos abaixo outras

respostas dadas pelos alunos para a questão:

Pois cada ponto só está ligado em um determinado número, formando os pares ordenados. (A20, 2013).

Ela é uma função, pois Y e X variam de acordo com o valor das variáveis. (A22, 2013).

Sim, pois há elementos de x (domínio) que se relacionam com y (contra domínio). (A5, 2013).

O gráfico ao lado é uma função, pois compreende de um domínio e imagem. (A18, 2013).

A partir das respostas apresentadas, nota-se que os alunos

demonstraram dificuldade em justificar a afirmativa de que o gráfico da questão

representa uma função. Cremos que eles desconhecem a relação que deve existir

entre o eixo x (domínio) e o eixo y (contradomínio) para que uma função seja

definida. A9 acredita que só o fato de o gráfico passar pelos eixos x e y já

caracteriza uma função. Esses alunos não conseguem escrever o conceito de uma

função como o apresentado, por exemplo, por A37, o qual afirmou que o gráfico se

147

tratava de uma função, justificando sua resposta da seguinte forma: “Sim, pois cada

valor de x possui um único y correspondente”.

Também identificamos em outros dois itens da questão 3 e na questão

10, dificuldades relativas à identificação do domínio e da imagem de uma função. A

Figura 37 apresenta o erro nos itens 3C e 3D da questão 3.


Fonte: Teste Investigativo, questão 3 itens C e D.

A11, em vez de responder que o domínio da função era dado por

, conforme resposta apresentada por A18, e que o

conjunto imagem associado ao intervalo era , conforme

resposta dada por A5, o aluno apresentou somente os valores inteiros

compreendidos nos intervalos reais das respostas corretas. Ocorreram outros tipos

de erros na identificação do domínio e do conjunto imagem da função, como, por

exemplo:

. (A6, 2013).

. (A9, A16, A20, A24, 2013).

Para A6, o extremo não faz parte do domínio e esse se estende

ilimitadamente. O aluno não conseguiu identificar que os extremos pertencem ao

intervalo e que esse tipo de ponto define o extremo da função. Já os quatro alunos

que apontaram a imagem como sendo o conjunto , ao analisarem o gráfico da

148

função, deduzimos que consideraram somente os extremos do intervalo solicitado,

por esse motivo não identificaram que o conjunto imagem pertencente ao intervalo

era de . Além de identificarem o intervalo de forma incorreta, esses alunos

também o descreveram incorretamente. Erro semelhante foi apresentado na Figura

35, quando A31 e vários outros alunos responderam, incorretamente, que o conjunto

imagem era .

Na questão 10, foi identificado esse tipo de erro quando A4 trocou os

conjuntos domínio e imagem, conforme mostrado na Figura 38.



A4, como já descrevemos anteriormente, errou no cálculo do

discriminante ao considerar na função apresentada pela questão. Mas, um

segundo erro cometido pelo aluno foi identificar o eixo como o eixo referente ao

149

valor da altura correspondente ao sinal luminoso e o eixo como o valor do tempo

decorrido por esse sinal. O aluno não compreende que a variável , ou seja, variável

dependente se apresenta em função da variável , independente. Devido a isso, A4

apresentou as respostas trocadas.

Os alunos também cometeram erros ao identificarem o intervalo de

crescimento e decrescimento de uma função nos itens E e F da questão 3. A Figura

39 mostra um dos erros cometidos no item F.


Fonte: Teste Investigativo, questão 3 item F.

No exemplo mostrado, no item F, o aluno descreveu o intervalo somente

com os valores inteiros pertencentes a ele. Outro tipo de erro identificado em

resoluções apresentadas para a questão foi indicar a resposta para o item F como

[0, 2), considerando o intervalo aberto no extremo maior. Esses alunos não

identificaram que no esboço da função os extremos pertencem ao intervalo,

definindo, então, intervalo fechado. Às vezes é difícil compreender a resolução dada

pelo aluno. Como exemplos temos as respostas apresentadas por A6 na questão 3:

no item E, “crescente = ” e, no item F, “decrescente = ”.

Sendo assim, é importante o professor saber do aluno o que o levou a essa

resposta.

Nas questões 3B, 13 e 19, os alunos cometeram erros associados ao

conceito de função quando não identificaram ou identificaram incorretamente uma

função. Não podemos deixar de relatar que a maioria dos alunos deixou em branco

150

os itens das questões nas quais uma determinada função deveria ser identificada.

Somente um aluno apresentou resposta correta para esse item da questão; outros

seis responderam incorretamente e os demais não apresentaram nenhuma

resposta.

A Figura 40 apresenta esse tipo de erro cometido na questão 3 item B.


Fonte: Teste Investigativo, questão 3B.

Analisando a resposta incorreta apresentada por A5, verificamos que o

aluno justificou a sua resposta usando da definição que justificaria porque uma

função não é injetora. Também usando de justificativa semelhante, A17 e A31

apresentaram as seguintes justificativas:

Sim, pois há domínios diferentes com a mesma imagem. (A17, 2013).

Sim, pois em 3 valores de x, temos apenas 1 y. (A31, 2013).

Na questão 13, também encontramos erros referentes à dificuldade de

diferenciar uma função par de uma função ímpar.

A Figura 41 exibe um erro desse tipo.

151



Dos 37 alunos, somente 13 apresentaram resposta correta para essa

questão. Do restante, a maioria não apresentou nenhuma resposta para esse item,

sendo que os que apresentaram erraram na identificação e/ou justificativa do tipo de

função dada. A33 identificou a função como sendo ímpar, justificando sua resposta

conforme apresentado na Figura 41. Mas, mesmo assim, não deixou de registrar

que apresentava dúvidas em relação à resposta dada. Além da resposta de A33, as

respostas apresentadas por A11 e A8 foram as seguintes:

Cavidade para cima, a função é par. (A11, 2013).

Par, concavidade pra cima. (A8, 2013).

Com relação à representação da função inversa na questão 19, dos 26

alunos que apresentaram resposta parcialmente correta ou incorreta para esse item,

24 não encontraram ou encontraram incorretamente a função inversa da função

logarítmica apresentada.

A Figura 42 exibe esse tipo de erro nessa questão.

152



A15 encontrou os valores de e esboçou o gráfico da função

corretamente. Mas ao identificar a função inversa , o aluno simplesmente trocou

por na própria função , definindo e encontrando os valores da

inversa para os mesmos valores de referentes ao de . Consideramos que,

para o aluno, basta esse procedimento para se encontrar uma função inversa.

Devido a isso, o aluno esboçou incorretamente o gráfico da função . O aluno

também indicou de maneira incorreta que

.

Em outras três questões, também foram identificados erros ligados ao

conceito de função, ou seja, quando os alunos não definiram a condição inicial ou de

153

existência de uma função. A Figura 43 mostra a ocorrência desse tipo de erro na

questão 6.



O primeiro erro cometido por A17 foi não zerar o segundo membro da

inequação-quociente antes de realizar o estudo de sinais das funções. O aluno

considerou o segundo membro da inequação-quociente como resultado de uma

função, acrescentando-o no quadro de sinais. Esse tipo de erro será mencionado

mais à frente. O erro referente à condição de existência foi que o aluno não

considerou o denominador diferente de zero, incluindo o valor de na solução

apresentada para a questão.

Nenhum aluno apresentou resolução correta para a questão 11, pois a

maioria não definiu a condição de existência para a função modular.

A Figura 44 mostra esse tipo de erro.

154



A19 resolveu a questão sem identificar a condição de existência. Pelo fato

de da condição de existência ser menor que os resultados encontrados, a solução

apresentada para a equação foi à correta.

Na resolução da questão 18, também tiveram alunos que não

identificaram a condição de existência da inequação logarítmica. A Figura 45 exibe

esse erro cometido por A5.



155

Podemos observar que o aluno não apresentou inicialmente a condição

de existência para a inequação logarítmica. Cremos que esses alunos não

compreendem que, para um logaritmo existir, uma das condições é que o

logaritmando deve ser maior que zero. Devemos ressaltar que a resolução

apresentada por A5 está incorreta, mas esse tipo de erro será discutido mais à

frente.

Três alunos cometeram erro associado ao conceito de função durante a

resolução da questão 10. Esses alunos dividiram os coeficientes por cinco antes de

resolverem a questão. A Figura 46 exibe esse tipo de erro.



Apesar de o enunciado da questão descrever que era para calcular a

altura máxima do sinal luminoso dado por , os alunos iniciaram a

questão dividindo os coeficientes por cinco, encontrando a altura máxima a partir da

função . Assim, apresentaram a resposta da altura máxima

156

incorretamente, ou seja, dividida por cinco. Inferimos que esses alunos não

compreendem que ao dividir a função, também dividiram o valor de y, ou seja, a

imagem correspondente a altura máxima da função.

O erro referente ao esboço do gráfico de uma função pode ser

observado nas questões 4, 13 e 19, sendo que, na questão 4, o erro cometido foi no

esboço do gráfico de uma função definida por mais de uma sentença; na questão

13, no esboço do gráfico de uma função modular; e, na questão 19, no esboço do

gráfico da inversa da função logarítmica. A Figura 47 exibe o erro mais frequente no

esboço do gráfico da questão 4.



Os alunos que cometeram esse tipo de erro esboçaram o gráfico da

função usando tabela, unindo os pontos encontrados por meio de retas. Esses

alunos não identificaram que a função apresentada é uma função polinomial do 2º

grau, sendo o seu gráfico uma parábola com concavidade para cima, cortando o

eixo em dois valores distintos, pois o polinômio possui duas raízes. Também,

devido ao esboçarem o gráfico usando tabela, não identificaram o ponto (2, 2)

descrito em uma das condições.

157

A Figura 48 mostra o esboço incorreto do gráfico referente à questão 13.


Fonte: Teste Investigativo, questão13.

A35 encontrou os valores corretos para , mas esboçou o gráfico da

função modular como sendo uma função polinomial do 2º grau. Nessa questão,

outros quatro alunos esboçaram incorretamente o gráfico, mas o erro foi devido ao

cálculo incorreto de . Mostraremos esse erro mais à frente.

Na Figura 49, exibimos o erro cometido no esboço dos gráficos referentes

à questão 19.


Fonte: Teste Investigativo, questão19.

158

A31 calculou os valores de esboçando corretamente o seu gráfico.

Para o aluno, os valores do gráfico da função inversa de , ou seja, os valores de

são simplesmente os valores de com sinal trocado. Esses alunos

demonstraram desconhecer a relação existente entre a função logarítmica e a

função exponencial. As duas funções são inversas, logo, seus gráficos são

simétricos em relação à reta , denominada bissetriz dos quadrantes ímpares

(BARROSO, 2010).

Na questão 5, foi possível verificar o erro no qual o aluno não

desenvolveu a equação , após definir as leis das funções

compostas. Esse erro está mostrado na Figura 50.



Os seis alunos que cometeram esse erro encontram as leis que definiam

as funções compostas e e as apresentaram como resposta da

questão. Esses alunos não compreenderam o que foi solicitado, ou não se

mostraram interessados em dar continuidade à resolução da questão.

Os erros denominados como resolve incorretamente inequação-

quociente e inequação-produto foram cometidos pelos alunos na resolução das

questões 6 e 9.

As Figuras 51 e 52 mostram exemplos desses tipos de erros na resolução

da inequação-quociente da questão 6.

159





Ao analisarmos as resoluções apresentadas, percebemos que não está

claro para os alunos que o quadro de sinais de uma inequação-quociente só poderá

160

ser usado quando algum dos membros da inequação for igual a zero. A28 transferiu

o denominador para o segundo membro, multiplicando-o com o número 4, e

encontrou , sendo essa resposta uma parte da solução da questão.

Semelhante à resolução dada por A28, A7 resolveu a inequação-quociente como se

fosse uma equação de 1º grau e apresentou como resposta um único valor: .

Conforme Figura 52, A3 desenvolveu cada função separadamente,

realizando o estudo de sinais para cada uma e, em seguida, usou o quadro de sinais

para encontrar a solução. Se o segundo membro da inequação fosse igual a zero,

provavelmente, A3 apresentaria resposta certa para a questão, pois realizou os

procedimentos corretos para esse tipo de situação. Na Figura 34, apresentamos a

resolução dessa questão dada por A37. A resolução apresentada por ele foi

semelhante à apresentada por A3. A37, diferentemente de A3, não usou o quadro

de sinais e apresentou a solução para a questão de forma equivocada, conforme já

descrito. A17 apresentou solução semelhante a A3, conforme apresentado na Figura

43, mas acrescentou o número 4, que é dado no segundo membro da inequação ao

quadro de sinais.

A Figura 53 exibe esse tipo de erro na resolução de uma inequação-

produto apresentada na questão 9.



161

Seis alunos procuraram resolver a questão aplicando a propriedade

distributiva, conforme mostrado na Figura 53, ou desprezando a operação de

multiplicação entre as funções e realizando a subtração entre elas. A24 declarou no

final da resolução o seguinte: “Não consegui prosseguir com a expressão, pois

encontrei raiz terceira.” (A24, 2013). Mesmo assim, o aluno procurou resolver de

outra maneira a questão, ou seja, substituindo por , mas acabou se deparando

com outras dificuldades. Cremos que os alunos que cometeram o primeiro erro

mencionado foram motivados pela multiplicação existente entre as funções. Com

relação ao segundo erro, acreditamos que ocorreu devido ao sinal negativo do

coeficiente apresentado na segunda função.

Foi possível identificar o erro de estudo de sinais em quatro questões. A

Figura 54 mostra esse tipo de erro na questão 6.



A25 resolveu a questão 6 de maneira semelhante à A3 (FIGURA 52), mas

se utilizou de forma incorreta do quadro de sinais para encontrar a solução da

162

questão. Inferimos que o aluno realizou a operação de união entre os intervalos

encontrados no estudo de sinais das funções.

A Figura 55 exibe o erro referente ao estudo de sinais cometido por A23

na questão 7.



A23 cometeu erro ao aplicar a propriedade distributiva, mas na linha

seguinte corrigiu seu erro. Mesmo assim, o aluno apresentou uma das raízes da

função incorretamente. Esses tipos de erros foram discutidos na Categoria 1. O que

devemos destacar na resolução apresentada por A23 é o estudo de sinais que o

aluno apresentou. Ao encontrar as raízes da função, o aluno não esboçou a

parábola para realizar o estudo de sinais. Deduzimos que, para esses alunos, o

estudo de sinais deve ser feito representando, individualmente, na reta real, as

raízes da função e, logo após, realizar a operação de multiplicação, encontrando,

assim, a solução da questão. Apesar de o aluno identificar valores menores que -2

na reta real, ele não apresentou esses valores na solução final. Isso aconteceu,

provavelmente, pelo fato de o aluno não achar correto apresentar valores negativos

para a solução do problema.

163

Na Figura 56, apresentamos esse tipo de erro cometido na questão 9.



A6 encontrou as raízes das funções corretamente, mas errou ao realizar o

estudo de sinais da função . Cremos que, pelo fato de o aluno

ter encontrado somente uma raiz para a função, ele realizou o estudo de sinais

semelhante ao de uma função polinomial do 1º grau. A6 também não apresentou

uma solução coerente com o resultado encontrado no quadro de sinais.

O último erro desse tipo foi encontrado na questão 17 e está apresentado

na Figura 57.

164



A15 resolveu corretamente a questão até o momento em que encontrou

as raízes da função , mas, ao realizar o estudo de sinais da função, o

aluno apresentou as raízes na reta real sem esboçar a parábola, encontrando,

assim, a solução incorreta para a questão, talvez identificando o gráfico de uma

função polinomial do 2º grau como uma reta e não uma parábola.

Na questão 8, foi onde encontramos o maior número de respostas em

branco, e os alunos que apresentaram algum tipo de resolução, mas nenhum deles

apresentou resolução correta. Nela, identificamos o erro não identifica a função

simétrica ao vértice de f(x) em relação ao eixo x.

A Figura 58 apresenta a resolução dada por um dos seis alunos que

apresentou resposta parcialmente correta.

165



A19 conseguiu identificar a função representada pelo gráfico e apresentou

a resposta da questão para essa função e não para a solicitada. Mas, mesmo

apresentando resposta para a questão, o aluno demonstrou suas dúvidas ao

escrever que “ ”. Deduzimos que esses alunos não compreendem o

significado de “simétrico”, por esse motivo apresentaram resposta para , em

vez de resposta para

O erro não resolve a 2ª equação ou inequação da função modular foi

identificado nas questões 11 e 12, nas quais os alunos desenvolveram somente uma

166

das equações ou uma das inequações correspondentes à função modular dada. A




Primeiramente, A26 não definiu a condição inicial para encontrar a

solução dessa equação; erro já discutido anteriormente. Em seguida, o aluno

encontrou somente a solução para , em uma equação do tipo ,

deixando de desenvolver a segunda equação que seria , por isso,

apresentou, somente, uma solução para a equação. Não podemos deixar de

ressaltar que A26 substituiu o valor encontrado na equação a fim de verificar se a

solução estava correta e também deixou registrado uma dúvida, por meio de um

ponto de interrogação, com relação à resolução dada. Consideramos que o aluno

tenha identificado que estava incompleta a resolução dada por ele.

O mesmo tipo de erro foi encontrado na questão 12, conforme mostrado

na Figura 60.

167



A4 desenvolveu a questão 12 de forma similar à resolução apresentada

por A26 na questão 11. A4 apresentou, corretamente, a inequação referente à

, deixando de desenvolver a segunda inequação . Assim,

apresentou a solução incompleta para a questão. Igualmente à A26 e A4, vários

alunos não compreendem que, para solucionar uma equação ou inequação modular,

é necessário verificar se os valores de satisfazem a equação ou inequação

estudada.

O erro cálculo do módulo ou logaritmo de um número foi cometido nas

questões 13, 18 e 20. Erro no cálculo do módulo de um número real foi cometido por

168

quatro dos cinco alunos que apresentaram incorretamente o esboço do gráfico da

função dada. A Figura 61 mostra esse tipo de erro.



A36 e os outros alunos cometeram erro no cálculo do módulo de um

número real. O aluno, ao encontrar os valores de , considerou para

e os outros alunos consideraram que .

Erro no logaritmo de potência foi identificado nas questões 18 e 20. A




169

A4 identificou a condição de existência do logaritmo presente na

inequação, mas não aplicou a propriedade do logaritmo de uma potência na

resolução da questão. Cremos que os alunos que cometeram esse tipo de erro não

identificaram o coeficiente -1 e que ele deveria ser considerado como potência de

no segundo membro da inequação. O que A4 relatou no final da resolução

confirma o que mencionamos: “Saber no que o sinal de menos influência no

logaritmo.” (A4, 2013). A5 também cometeu o mesmo tipo de erro de A4, conforme

já apresentado na Figura 45, só que não definiu no início da resolução a condição de

existência do logaritmo presente na inequação.

Na questão 20, também observamos erro desse tipo, conforme mostrado

na Figura 63.



A15 antes de resolver o logaritmo de potência, substituiu por 1,

verificando, logo em seguida, que a resolução apresentada não estava correta. Por

desconhecer a propriedade do logaritmo de uma potência, o aluno procurou resolver

a questão de outra forma, mas, logo em seguida, registrou suas dúvidas por meio de

pontos de interrogação.

170

O erro referente à aplicação das propriedades de logaritmo foi cometido

por dois alunos na questão 18. A Figura 64 mostra esse tipo de erro.



A30 definiu a condição de existência dos logaritmos na inequação, mas

não identificou a propriedade operatória dos logaritmos, ou seja, o logaritmo do

produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses

números. O aluno resolveu incorretamente essa parte da questão, por meio da soma

dos logaritmandos.

O erro resolve incorretamente a equação ou inequação exponencial

foi identificado nas questões 15, 16 e 17. Nas questões 15 e 16, os alunos erraram

ao aplicar as propriedades da equação exponencial. A Figura 65 mostra esse erro

na questão 15.

171



A21 não identificou que poderia dividir os dois lados da equação por Qo,

escrever os membros da igualdade como potências de mesma base (com

e aplicar a propriedade . Então, procurou resolvê-la

de outra maneira, sem chegar a uma resposta, registrando suas dúvidas por meio do

ponto de interrogação.

Esse mesmo tipo de erro foi identificado na questão 16, conforme

apresentado na Figura 66.



Sem escrever os membros da igualdade como potência de mesma base

(com e aplicar a propriedade , A24 procurou

resolver a questão usando de artifícios incorretos. Desconsiderando que o

172

denominador faz parte da base da potência da equação exponencial, o aluno

manipulou incorretamente a equação, apresentando, assim, resposta errada para a

questão. A Figura 67 exibe o erro cometido pelos alunos na resolução da questão

17.



O que levou esses alunos a cometerem esse erro foi que não

identificaram que o valor da base da potência era um número menor que um; logo,

não realizaram a inversão da desigualdade e apresentaram resposta incorreta para

a questão. Deduzimos que, para esses alunos, a resolução de uma inequação

exponencial é realizada sempre da mesma forma, independentemente do valor da

base da potência. Dos 27 alunos que apresentaram resposta parcialmente correta e

incorreta, 24 apresentaram esse tipo de erro.

4.2.2.4 – Categoria 4 – Erros Provenientes de Dificuldades Diversas

Nessa categoria, foram registrados os erros que não foram possíveis de

serem contabilizados nas categorias anteriores. O objetivo da identificação desses

erros é complementar as respostas dadas as três primeiras questões de pesquisa

dessa investigação. Os erros dessa categoria estão apresentados na Tabela 7.

173

Tabela 7 – Erros Provenientes de Dificuldades Diversas


protocolos Nº de

ocorrências

Estratégia inadequada para resolução da questão

10 7 4

Subtotal 7 4

Escreve incorretamente a equação ou inequação da questão

12 21 8

15 12 7

20 16 5

Subtotal 49 20

Desatenção ou lapso

6 28 1

7 28 1

10 21 1

12 21 1

14 23 1

Subtotal 121 5 Total 177 29


Foi identificado o uso de estratégia inadequada para resolução da

questão 10, conforme mostrado na Figura 68.



174

Vários alunos acharam a raiz da função e a utilizaram, incorretamente,

para encontrar a altura máxima, sem analisar a parábola descrita pela função.

Cremos que, se A12 não errasse na operação de 16 x 16, talvez tivesse percebido

que a solução apresentada estava incorreta, pois encontraria o valor da altura igual

a 0.

O erro escreve incorretamente a equação ou inequação da questão

ocorreu em três questões diferentes. A Figura 69 exibe esse tipo de erro encontrado

na questão 12.



Deduzimos que A6 não tenha compreendido o que foi solicitado e, por

isso, apresentou a equação incorreta para a questão. Esse tipo de erro foi

identificado também nas questões 15 e 20, conforme mostrado nas Figuras 70 e 71.



175

Na Figura 70, podemos observar que A31 não compreendeu que no

enunciado da questão pediu-se para identificar o tempo necessário para a água do

reservatório se reduzir a metade, logo substituiu incorretamente na equação.

Por esse motivo, o aluno não conseguiu dar continuidade na resolução da questão.



Cremos que o erro cometido por A24 na questão 20, mostrada na Figura

71, também, tenha sido cometido pelo fato de o aluno não ter compreendido o

enunciado da questão, apresentando, assim, uma equação incorreta para

desenvolvimento.

O último erro que foi apresentado nessa categoria foi o erro recorrente a

desatenção ou lapso. Esse erro foi identificado em cinco questões diferentes,

sendo cometido por somente um aluno em cada uma delas. Optamos por só

descrever tais erros, conforme apresentado a seguir.

176

Na questão 6, A21 cometeu esse tipo de erro ao dar sequência na

resolução da inequação

reescreveu-a trocando a operação do denominador:

.

Na questão 7, o erro cometido por A20 foi ao copiar um número, se

confundindo e escrevendo outro. O aluno errou ao escrever no lugar de

durante o cálculo das raízes, conforme apresentado a seguir:

.

Na resolução da questão 10, A2 escreveu a fórmula de xv corretamente,

mas trocou 2 por 4 durante o cálculo:

, consequentemente, errou

no resultado.

A17, durante a resolução da questão 12, transcreveu a expressão

e se esqueceu de copiar o numero 5:

.

Esse lapso fez com que A17 apresentasse resposta incorreta para a questão

Durante o desenvolvimento da questão 14, A14 se distraiu ao transcrever

como e se esqueceu de extrair a raiz quadrada de . Assim, encontrou

como resposta da questão

em vez de .

Realizando a análise de erros, vimos que o erro se torna uma importante

fonte de informação, pois conhecer os erros e seus tipos facilita o diagnóstico e o

seu tratamento. Esse tipo de análise significa um compromisso com a forma de

ensinar, pois a identificação dos erros não só informa ao professor sobre as

dificuldades na aprendizagem dos alunos, mas também indica se os métodos de

ensino utilizados são adequados ou não.

Devido ao fato de o erro ser um indicador do desenvolvimento cognitivo

do aluno, a partir dele, o professor poderá traçar novas estratégias didáticas com o

objetivo de minimizar suas recorrências.

Nessa seção, vimos à importância da análise de erros, pois, por meio

dela, identificamos os erros cometidos pelos alunos em questões referentes aos

177

conteúdos investigados e os categorizamos de forma a responder as três primeiras

questões referentes à nossa investigação. Na próxima seção, mostraremos como

esses erros devem ser categorizados dentro de um modelo de análise didática dos

erros e qual a importância desse tipo de categorização para o tratamento do erro.

4.3 – Categorizando os Erros a partir do MADE

Nesta seção temos como objetivo responder a última questão de nossa

pesquisa: Como esses erros podem ser categorizados dentro de uma perspectiva de

análise didática do erro?

Para isso, faremos uso do Modelo de Análise Didática dos Erros (MADE)

apresentado em De La Torre (2007). Como já descrito no Capítulo 2, o MADE não é

a única forma de categorizar os erros. Conforme aponta o próprio autor, o MADE,

“Embora não seja o único modo de categorizar o erro, ele nos proporciona uma

visão mais ampla e completa da tipologia do erro para sua análise, sua investigação

e seu tratamento.” (p. 125). Faremos também alguns apontamentos utilizando como

referência o nível de desenvolvimento psicogenético descrito por Pinto (2000), além

da literatura revisada.

Apresentaremos os erros identificados na seção anterior separados por

categorias, dentro de cada momento descrito no MADE: Entrada, Organização e

Execução. Nem todas as categorias que compõem cada momento do MADE serão

referenciadas, por não termos identificado erros compatíveis com algumas delas.

4.3.1 – Momento de Entrada

Os erros identificados no momento de entrada são categorizados por De

La Torre (2007) como Erros de Intenção, Percepção e Compreensão. Nesta

pesquisa identificamos erros situados na categoria Compreensão, a qual se

subdivide em: Lógica, Léxica e Conceitual. Para o autor, “Compreender uma tarefa

ou um problema significa ser capaz de reconceitualizá-lo ou expressá-lo com termos

diferentes, com a própria linguagem” (p. 115). O autor afirma ainda que o

pensamento é construído com base em significações e conceitos, e que nem

sempre o aluno é responsável pelas dificuldades existentes. Tais dificuldades podem

178

ter origem em intervenções docentes não adaptadas aos alunos ou em metodologia

inapropriada. Descreveremos a seguir as dificuldades e erros que foram por nós

identificados como erros de Compreensão.

4.3.1.1 – Categoria de Erro de Compreensão Conceitual

De La Torre (2007) destaca que não é fácil diferenciar erros conceituais e

lógicos, “mesmo que os primeiros possam estar mais ligados a significados

convencionais, enquanto os processos lógicos são fruto do funcionamento mental”

(p. 116). O autor aponta ainda que erros dessas categorias devem “atrair a atenção

do professor, por sua tremenda repercussão no desenvolvimento dos processos

cognitivos.” (p. 116).

Como proposto por Pinto (2000), erros desse tipo são considerados não

observáveis pelos alunos, ou seja, erros que se encontram no Nível A do

desenvolvimento psicogenético descrito pela autora. Para que esses erros se tornem

observáveis, o aluno precisa da ajuda do professor. Dessa forma, o professor não

deve propor a repetição de exercícios, pois o erro pode se tornar recorrente.

Levando isso em consideração, agrupamos nessa categoria os erros

associados a conceitos sobre o conteúdo investigado. Os erros que compreendemos

estarem associados a essa categoria são os seguintes: conceito de função;

esboço da concavidade de uma parábola; resolve incorretamente inequação-

quociente ou inequação-produto; não resolve a 2ª equação ou inequação da

função modular; resolve incorretamente uma equação ou inequação

exponencial.

Foram muitos os erros referentes à compreensão conceitual. É importante

ressaltar que, em algumas situações em que os alunos não sabiam como resolver,

eles usaram de artifícios que julgavam estar corretos, mas durante a resolução

percebiam que não era o caminho correto a seguir. Um caso típico ocorrido foi

quando os alunos tentaram resolver a inequação-produto aplicando a propriedade

distributiva. Eles encontraram expressões que não sabiam resolver. Da mesma

forma, quando não souberam aplicar a propriedade em

179

equações exponenciais, utilizando-se de recursos inapropriados para resolverem a

questão.

Em outras vezes, os alunos nem perceberam seus erros, pois

conseguiram chegar a resultados que julgavam ser corretos. Por exemplo, ao

resolverem a inequação-quociente sem zerar um dos membros da inequação, ou na

questão onde deveriam identificar que a base da potência da inequação era um

número menor que um.

Assim, conforme Pinto (2000) e De La Torre (2007), os erros que se

encontram nessa categoria são os que os professores devem dedicar maior

atenção, pois, segundo os autores, o pensamento se constrói com base em

significados e conceitos. Ao sair de sala sem compreender parte do que foi ensinado

pelo professor, o aluno está diante de uma falha metodológica ou de intervenções

docentes não adaptadas a ele. Logo, para compensar tal falha, o aluno terá que se

dedicar a horas de estudo em casa, e que, às vezes, podem não ser suficientes,

permanecendo então a incompreensão, o que o levará a esse tipo de erro mais cedo

ou mais tarde. Para isso, De La Torre (2007) afirma que,

A ação docente deve ser direcionada para facilitar a aprendizagem e a compreensão de conceitos (de forma direta ou heurística), porque, se não for assim, está contrariando-se o primeiro significado de “ensinar”, que é tornar patente para o aluno (decodificar) aquelas mensagens que estão latentes “en-signo”. (DE LA TORRE, 2007, p. 116).

4.3.1.2 – Categoria de Erro de Compreensão Léxica

De La Torre (2007) salienta que esse tipo de erro pode ser evitado

quando destacamos palavras novas ou desconhecidas na elaboração do enunciado

de uma questão.

Assim, o erro denominado não identifica a função simétrica ao vértice

de f(x) em relação ao eixo x, identificado na questão 8, foi categorizado por nós

como erro de Compreensão Léxica, pois a dificuldade encontrada por alguns alunos

estava associada à palavra “simétrico” utilizada no enunciado da questão. A não

compreensão dessa palavra dentro do contexto fez com que alguns alunos

encontrassem o valor de e apresentassem tal valor como resposta no lugar de

. Isso pode ser observado nas palavras descritas por A15, quando indagado

180

sobre as dificuldades que encontrou ao resolver a questão: “Identificar a diferença

entre a função ‘f’ e a ‘G’.” (A15, 2013). A19 também demonstrou dúvida em relação à

diferença existente entre as funções, mas, mesmo assim, apresentou a resposta

Vale ressaltar que nenhum aluno apresentou resolução completa para a

questão.

Ramos e Curi (2013a) também observaram dificuldades associadas à

Compreensão Léxica em seu trabalho. Os alunos apresentaram erros associados à

dificuldade de compreensão durante a resolução de uma questão, na qual era

solicitado o esboço de dois sinais de clock “não sobrepostos”. Alguns alunos

apresentaram o esboço dos sinais “sobrepostos”, demonstrando não terem

compreendido o significado do termo descrito no enunciado.

4.3.2 – Momento de Organização

De La Torre (2007) afirma que os erros aqui categorizados ocorrem

quando os alunos mudam as informações de que dispõem para encontrarem as

respostas que lhes são solicitadas. Nesse momento, podemos ter erros de

Análise/Síntese, Ordenação e Conexão. Identificamos somente erros de

Análise/Síntese, os quais apresentaremos a seguir.

4.3.2.1 – Categoria de Erro de Análise/Síntese

Os erros aqui categorizados ocorreram quando os alunos não

conseguiram transformar a informação descrita no enunciado da questão para a

linguagem matemática, ou seja, não conseguiram converter as ideias descritas no

problema em equação ou inequação. Os erros que julgamos pertinentes a essa

categoria são: transformação em linguagem matemática e escreve

incorretamente a equação ou inequação da questão.

Esses erros foram cometidos pelos alunos por não conseguirem organizar

a informação dada no enunciado da questão. De La Torre (2007) descreve que

muitas vezes o aluno não identifica os pontos relevantes e, por esse motivo, não

sabe quais passos deve seguir. Em alguns casos, a adivinhação supre a falta de

informação, a qual o aluno julga necessária. Esse tipo de adivinhação pode ser visto

181

em todos os exemplos apresentados para esses dois tipos de erros. Ao escreverem

as equações ou inequações referentes aos problemas, os alunos utilizaram de

informações de forma distorcida com relação ao que foi descrito no enunciado da

questão. Assim, eles “Tratam, portanto, de adivinhar a resposta, apoiados em

indicações imaginárias.” (DE LA TORRE, 2007, p. 119).

4.3.3 – Momento de Execução

De La Torre (2007) menciona que, enquanto os erros de entrada e

organização requerem uma maior orientação por parte do professor, nos erros

categorizados como de execução, basta ao professor “proporcionar pistas

indicativas do processo. Um resultado intermediário ou final permite ao aluno voltar

sobre seus passos e achar o lugar da falha.” (DE LA TORRE, 2007, p. 123). No

momento de execução, podemos ter erros do tipo Mecânico, Operacional e

Estratégico.

Para Pinto (2000), o aluno que comete esses tipos de erros se encontra

no Nível B ou C da teoria psicogenética. Os erros que se enquadram no Nível B

podem ser superados de forma coletiva, com a ajuda entre colegas e auxílio do

professor, além de consultas aos livros. Porém, os que se encontram no Nível C

podem ser superados pelo próprio aluno, logo que identificados por si mesmo ou

pelo professor.

4.3.3.1 – Categoria de Erro Mecânico

Segundo De La Torre (2007), no caso do erro mecânico ou lapso da

linguagem, o aluno não tem consciência desse tipo de erro. Eles acontecem mais

em situação de cansaço ou fadiga. O autor menciona que tais erros podem ser do

tipo: omissão de letras, substituir ou alterar um sinal por outro ou alteração de uma

palavra por outra. Como Rico (1998) aponta, esse tipo de erro é proveniente de

descuido. Assim, De La Torre (2007) afirma que esses erros, em uma perspectiva

didática, são menos relevantes.

Os erros identificados e denominados por nós como desatenção ou

lapso são erros pertencentes a essa categoria. Poucos foram os alunos que

182

cometeram erros desse tipo, sendo que os erros identificados nessa categoria foram

provenientes da troca de números ou sinais ou até mesmo do esquecimento de

algum número durante a resolução da questão.

Erros por lapso também foram observados no trabalho apresentado por

Lima e Buriasco (2008). Pinto (2000) afirma que esse tipo de engano nem sempre

deve ser considerado como erro, pois, ao analisar a sua resolução, o próprio aluno é

capaz de identificar e retificar o que errou.

4.3.3.2 – Categoria de Erro Operacional

De La Torre (2007) descreve que esse tipo de erro acontece quando o

aluno ainda não chegou a interiorizar e mecanizar um determinado processo. O

nervosismo é uma das causas para esse tipo de erro. Eles também se apresentam

devido a esquecimentos, sendo que, às vezes, os alunos se esforçam para lembrar

alguma coisa, mas acabam não conseguindo.

Identificamos vários erros que compreendemos estarem associados a

essa categoria, sendo eles: operações básicas e propriedades de potência;

representação e operação de intervalo; aplicações de regras e fórmulas;

esboço do gráfico de uma função; resolução algébrica; não desenvolveu a

equação ; estudo de sinais e cálculo do módulo ou logaritmo

de um número. Todos esses erros estão ligados a algum tipo de mecanismo que o

aluno deve seguir ou respeitar. Se esses mecanismos não forem cumpridos, o erro é

cometido. Por esse motivo, De La Torre (2007) afirma que, na maioria das vezes,

tais erros estão associados a nervosismo ou esquecimentos.

O erro operacional, referente a conteúdos provenientes do Ensino

Fundamental, observado em um maior número de questões, foi o cálculo das raízes

das funções polinomial do 2º grau, especialmente para funções que possuem

coeficiente b igual a zero, ou seja, . Para esse tipo de função, ao

calcularem as raízes, os alunos acham que basta extrair a raiz quadrada positiva do

coeficiente c. Se esses alunos calculassem as raízes a partir da fórmula de

bhaskara, perceberiam que existem duas raízes para esse tipo de função. Cremos

que os alunos ainda não compreendem o mecanismo do processo referente ao

183

cálculo das raízes de uma função cujos coeficientes ou se apresentam igual a

zero.

De La Torre (2007) afirma que, para os erros categorizados como de

execução, aqueles em que os alunos esquecem determinadas etapas do processo,

a prática, o tempo e a atenção irão contribuir para sua eliminação.

4.3.3.3 – Categoria de Erro Estratégico

Os Erros Estratégicos, segundo De La Torre (2007), são cometidos por

“aluno que não segue o processo completo de simplificação de uma equação

quando o professor o pedia, ou utiliza um procedimento inapropriado na solução de

um problema.” (p. 125). Esse tipo de erro foi identificado na questão 10 e

denominado como estratégia inadequada para resolução da questão. Os alunos

usaram de estratégia incorreta para resolver a questão e só conseguiram chegar a

um determinado resultado porque cometeram erro operacional durante a resolução.

Se não tivessem cometido o erro operacional, talvez percebessem o erro inicial, pois

a resposta que eles encontrariam seria incoerente com o que foi solicitado.

Usamos da análise de erros com a finalidade de almejar a segunda fase

do tratamento didático do erro, ou seja, identificar os erros cometidos pelos alunos

nos conteúdos investigados. A identificação do erro serve para avaliarmos o

desenvolvimento cognitivo do aluno. A categorização desses erros dentro de um

modelo de análise didática dos erros, no nosso caso o MADE, proporciona uma

visão mais ampla de forma a facilitar sua análise, sua investigação e qual o melhor

tratamento a ser dado pelo professor para cada tipo de erro.

O uso de um modelo de análise didática contribui para que os erros

tratados por igual, pela maioria dos professores, sejam avaliados de forma

diferenciada. Não se pode tratar da mesma forma, por exemplo, erros de execução,

erros de organização e erros de compreensão. Os primeiros apresentam uma menor

gravidade com relação aos erros de organização ou de compreensão. Logo, o

tratamento dado a cada tipo de erro deve ser diferenciado. Se o tratamento do erro

for realizado de forma correta, teremos como resultado uma melhora no processo de

aprendizagem.

184

Após identificar os erros e responder as questões de nossa investigação,

na próxima seção relacionaremos os resultados encontrados com a literatura

apresentada neste trabalho.

4.4 – Relacionando os Resultados com a Literatura

Na segunda seção deste capítulo, apresentamos a análise de erros

realizada no teste investigativo, com o objetivo de identificar os tipos de erros

matemáticos cometidos pelos alunos em questões que envolviam o conteúdo

investigado e, assim, desvendamos suas dificuldades. Nesta seção, relacionaremos

os resultados encontrados com a literatura apresentada neste trabalho.

Iniciaremos com as considerações sobre a afinidade existente entre as

palavras dificuldade e erro. A relação entre essas palavras foi apresentada no início

deste trabalho, juntamente com a descrição das várias acepções e teorias do erro

sob o ponto de vista de diversos pesquisadores. Com relação à palavra dificuldade,

encontramos somente o único significado apresentado. Contudo, em vários

momentos, fizemos referências às duas palavras, pois achamos que não seja

possível mencionar uma sem se referir à outra. Logo, consideramos que as duas

estão atreladas, pois, no nosso entendimento, o erro é uma das formas pelas quais

os alunos revelam suas dificuldades em um determinado conteúdo escolar.

No entanto, essas revelações se tornarão visíveis somente se o professor

analisar os erros nas produções escritas de seus alunos. Esse tipo de análise

contribui para uma melhor compreensão e aprendizagem em todas as disciplinas e

em qualquer nível de ensino. Assim, após análise, conforme Rico (1998), o erro do

aluno deixa de ser oculto para o professor e confere a este a possibilidade de

reorganizar o conhecimento do aluno.

Mencionamos trabalhos em que os pesquisadores precursores do estudo

sobre erros perceberam que a repetição de tarefas não proporcionava melhorias no

aprendizado dos alunos, e, sim, deixava-os desinteressados e entediados. Dessa

forma, De La Torre (2007) descreve que esse tipo de atitude valoriza mais a

quantidade do que a qualidade das tarefas realizadas, sendo o erro visto como um

resultado negativo, tanto pelo professor quanto pelo aluno.

185

Ao analisarmos o teste investigativo dos alunos, demos uma conotação

positiva ao erro, caracterizando-o como um sinal de progresso, conforme descrito

por De La Torre (2007). Visto por esse enfoque, o erro indica que as resoluções

apresentadas pelo aluno, sobre um determinado conteúdo, não é a correta, logo, se

faz necessária a reconstrução de um novo saber.

Ainda, ao adotarmos esse tipo de análise nas resoluções apresentadas

pelos alunos no teste investigativo, atribuímos ao erro uma conotação positiva, ou

seja, demos a ele um tratamento utilizado pela “nova pedagogia”, conforme

apresentada por Pinto (2000) e De La Torre (2007). Assim, por meio da detecção e

identificação consideradas por De La Torre (2007), como as duas primeiras fases do

tratamento didático do erro, foi possível perceber, de forma mais clara, que o erro

pode ter raízes mais profundas, como, por exemplo, erros reincidentes, que,

provavelmente, acompanham esses alunos desde o Ensino Fundamental.

Fizemos, também, referências a diversas pesquisas nas quais os

investigadores realizaram análise de erros na Matemática, como, por exemplo, os

trabalhos de Borasi (1989), Resnick et al. (1989), Feltes (2007), Siebra (2009),

Cordeiro (2009) Leivas e Cury (2010), Carazo e Brey (2012), Cury, Ribeiro e Müller

(2011), Dullius, Quartieri e Furlanetto (2012), Cury (2013a), mas também em outras

disciplinas, como os trabalhos de Bastos (2013), Ramos e Curi (2013a) e Ramos

(2013), desde o Ensino Fundamental até a Formação Continuada de Professores.

Não podemos deixar de mencionar ainda que, nos trabalhos de Cury e Silva (2008)

e Bastos (2013), a análise de erros foi realizada em resoluções de problemas, sendo

que, no primeiro, com alunos do Ensino Fundamental II e, no segundo, com alunos

do Ensino Superior.

Vece, Silva e Curi (2013) mostraram em seu artigo as dificuldades dos

alunos trabalharem com composição e decomposição dos números naturais, além

de dificuldades na divisão desses números, quando esses apresentam dividendos

na ordem de unidade de milhar com zero intercalado. Cury e Silva (2008) também

identificaram em seu trabalho dificuldades encontradas pelos alunos dos anos

iniciais nos cálculos decimais. Na pesquisa desenvolvida por Resnick et al. (1989),

os alunos apresentaram dificuldades para identificar a relação de grandeza entre

números nas formas decimal e de fração. Os pesquisadores observaram que os

186

alunos se utilizaram das mesmas regras de comparação entre números inteiros ao

compararem os números decimais.

O não tratamento dos erros identificados nas pesquisas mencionadas

acima pode resultar em erros parecidos aos identificados em nosso trabalho. Esses

erros se referem à divisão entre números decimais. Observamos que, para os

alunos, se os números envolvidos na operação de divisão apresentam na parte

inteira o número zero, eles entendem que o resultado também deve ter a parte

inteira igual a zero. Inferimos que, para esses alunos, a divisão entre dois números

decimais não pode resultar em um número inteiro.

Também, como dificuldade proveniente do Ensino Fundamental, foi

possível identificar erros cometidos pelos alunos na aplicação de fórmulas. Para

calcular os pontos de mínimo e de máximo de uma função, alguns alunos trocaram

as fórmulas ao usá-las. Contudo, o maior número de erros desse tipo ocorreu no

cálculo das raízes de uma função polinomial do 2º grau, quando essa possui os

coeficientes b ou c igual a zero. Esses mesmos erros foram identificados por meio

da análise de erros feita na avaliação somativa desses alunos, cujos resultados

foram apresentados em Ramos e Curi (2014). Provavelmente, esses erros já vinham

sendo cometidos por eles no cálculo das raízes de equações quadráticas desde o

Ensino Fundamental, pois também os identificamos neste trabalho.

Nossos estudos corroboram os de Lima (2007) que aponta erros

semelhantes cometidos por alunos ao encontrarem as raízes das seguintes

equações quadráticas: e . A autora descreve que uma única raiz é

dada como resposta para cada equação e considera que parece ter faltado aos

alunos “motivação para buscar outra raiz. [...] eles podem não pensar que é possível

achar outro número que seja adequado para a situação, e se satisfazem com

apenas uma raiz.” (p. 266).

Em relação ao conceito de função, Pelho (2003) aborda as dificuldades

apresentadas por alunos do Ensino Médio e descreve que “a possibilidade de

aprendizagem deste conceito é prejudicada por uma introdução por meio de

definições diretas e formais, muitas vezes abandonando-se a noção de

dependência.” (p. 8). A autora menciona que os alunos apresentam dificuldades ao

187

relacionarem as variáveis x e y como variáveis independentes e dependentes,

respectivamente. Segundo Maciel (2011), para chegarmos ao conceito de função

existente nos dias de hoje, foi necessário o desenvolvimento de outros conceitos,

“tais como o de variável dependente, variável independente, continuidade, domínio,

contradomínio, funções analíticas, etc.” (p. 20).

Mesmo que esses conceitos façam parte da ementa da disciplina de

Matemática dos alunos que participaram desta pesquisa, foi possível identificarmos

erros referentes às dificuldades em relacionar as variáveis dependentes e

independentes, principalmente, quando essas faziam parte da interpretação do

enunciado de uma questão. Observamos esse tipo de erro nas resoluções

apresentadas para a questão 10, na qual os alunos deveriam encontrar a altura

(variável dependente) em função do tempo (variável independente), conforme

função apresentada . Os alunos que cometeram esse tipo de erro

não compreendem o significado das variáveis; por isso, apresentaram como

resposta valores trocados.

Na mesma questão, outro erro associado ao conceito de função foi

também identificado. Na resolução da questão, os alunos deveriam encontrar a

altura máxima da função , mas, incorretamente, dividiram os

coeficientes por cinco no início da resolução. Eles não perceberam que, ao dividir os

coeficientes, o valor da variável dependente também foi dividido, portanto, a altura

encontrada não corresponde ao que foi solicitado no enunciado. Em muitas

resoluções apresentadas, eles mostraram que não entendem o conceito de função,

nem entendem a noção de relação de dependência. Deduzimos que esses alunos

não compreendem, de maneira clara, a diferença entre função polinomial do 2º grau

e equação do 2º grau.

Além de apresentarem dificuldades em diferenciar variáveis dependente e

independente, os alunos mostraram dificuldades ao definir uma função bijetora, em

caracterizar função par e ímpar e em relacionar a função logarítmica com a função

exponencial. Abaixo estão relatadas as dificuldades apontadas pelos alunos

referentes às funções bijetora, par e ímpar:

Não sei o que é bijetora e também não sei a diferença entre os gráficos de função e os que não são. (A11, questão 3b, 2013).

188

Par = 2 valores de y para 1 valor de x? Ímpar = 1 valor de y para cada valor de x? (A25, questão 13, 2013).

Em algumas declarações feitas pelos alunos, vimos que eles não sabem

o que é uma função bijetora, sendo esse um dos questionamentos do teste

investigativo que mais detectamos respostas em branco. Com relação à definição de

função par ou ímpar, alguns alunos descreveram aquilo que julgavam como sendo a

definição correta, mas deixaram registradas as dúvidas com relação ao que foi

descrito.

Ainda com relação às dificuldades encontradas pelos alunos no Ensino

Médio sobre o conteúdo de função, é importante ressaltar o que é dito por Ponte

(1992). O autor descreve que os alunos chegam ao Ensino Médio apresentando

problemas no pensamento abstrato e por esse motivo, muitos deles mostram

dificuldades ao lidar com gráficos e expressões algébricas.

Oliveira (2006) também aponta dificuldades encontradas pelos alunos de

Engenharia, na disciplina de Cálculo I, quando se inicia o conteúdo de função,

principalmente na construção de gráficos. O autor destaca que essas dificuldades se

tornam recorrentes com o passar dos anos. Entre as dificuldades mencionadas por

ele estão: “marcar pontos no plano cartesiano, operar com números inteiros e

racionais, determinar domínio e imagem. Além disso, os alunos apresentam grandes

dificuldades em traçar gráfico de uma função definida por mais de uma sentença.”

(p. 12).

Erros igualmente cometidos por alunos de engenharia, no esboço do

gráfico de uma função definida por mais de uma sentença, foram apresentados por

Cury (2008). Esse tipo de erro também foi identificado em nosso trabalho, nas

resoluções apresentadas pelos alunos na questão 4. Eles não identificaram que uma

das sentenças era uma função polinomial do 2º grau e esboçaram seu gráfico por

meio de tabela. Esses alunos também não se preocuparam com as condições

definidas para em cada sentença, apresentando um esboço contínuo do gráfico.

Logo, esboçaram um gráfico com uma única raiz para a função polinomial do 2º grau

( ), sem identificar também o intervalo aberto à direita.

No trabalho apresentado por Cury (2008), a autora identifica que o maior índice de

erro foi no esboço do gráfico de , pois, segundo ela, “os

189

estudantes têm muita dificuldade em entender a correspondência biunívoca entre os

números reais e os pontos da reta orientada” (p. 69).

Corroborando a mesma fala de Ponte (1992), Delgado (2010) afirma que

os alunos não possuem o hábito de abstração, ou melhor, desconhecem como

desenvolver esse hábito. O autor compara as dificuldades encontradas pelos alunos

do Ensino Médio no conteúdo de funções matemáticas com as dificuldades

encontradas pelos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, quando estes têm que

trabalhar com equações numéricas, isso devido à abstração ser essencial nos dois

conteúdos.

Acrescentando ainda às dificuldades mencionadas acima, tem-se que o

ensino de funções articula diversas formas importantes de representação, como as

formas numérica, gráfica e algébrica, além da língua natural e de conjuntos. O

ensino de funções envolve também mais de um campo da Matemática como a

Álgebra e a Geometria (PONTE, 1992; DELGADO, 2010).

Por esse motivo foi possível identificar erros de Álgebra, por exemplo, na

resolução da questão 20, a qual envolvia função logarítmica. O aluno manipulou

incorretamente a equação

e apresentou o resultado como:

. Cremos que o aluno foi induzido pela tão falada frase “muda-se de

membro, muda-se o sinal”, pois, inverteu o sinal da fração, sem notar que a equação

existente era , na qual multiplica .

Erros iguais aos mencionados acima foram apresentados nos trabalhos

de Borasi (1985), Rico (1998), De La Torre (2007), Siebra (2009), Bastos (2013) e

Cury (2013a). É importante ressaltar que os erros descritos por Cury (2013a) e

identificado como “não dominam as operações de adição, subtração, multiplicação

ou divisão de frações algébricas” (p. 9) foram cometidos por professores de

Formação Inicial e Continuada. Como a própria autora vem mencionando em seus

trabalhos, por exemplo, em Cury, Ribeiro e Müller (2011) e Cury (2013b), é de

grande importância a inserção da análise de erros em cursos de formação de

professores, pois a discussão de seus erros pode ajudá-los a refletir sobre suas

dificuldades e, assim, capacitá-los para trabalhar com as dificuldades encontradas

por seus alunos.

190

Oliveira (1997) aponta dificuldades encontradas por alunos sobre

conceitos básicos de função nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, sendo

essas dificuldades responsáveis por um alto índice de reprovações. A autora afirma

que as dificuldades encontradas começam pelo conceito de função e se estende

pelo “registro de representação gráfica, na mudança de um registro para outro, no

domínio e no contradomínio, na construção de uma tabela de valores numéricos, na

distinção entre variável dependente e independente, na notação matemática, etc.”

(p. 10). É mencionado pela autora que dificuldades desse tipo são percebidas por

professores na área de Educação Matemática no Brasil.

Concordando com Oliveira (1997), além de dificuldades associadas ao

conceito de função e registro de representação gráfica, identificamos erros

cometidos pelos alunos ao representarem um conjunto na reta real, quando esse

estava representado na forma algébrica. Erros também foram identificados quando

tiveram que realizar tais representações de forma inversa. Junior (2011) e Dodera et

al. (2014) também identificaram erros desse tipo em seu trabalho.

Por apresentarem dificuldades no cálculo do módulo de um número real e

no cálculo do logaritmo de um número, os alunos erraram na construção de tabelas

de valores numéricos, errando, consequentemente, o esboço dos gráficos

correspondentes.

Pontes (2008), ao analisar as provas objetivas do vestibular da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), dos anos de 2001 a 2008,

sobre erros cometidos nas questões do conteúdo de funções, além de afirmar que

os alunos apresentaram dificuldades no conceito de função, aponta que o

desempenho apresentado pelos candidatos foi baixo (50%) e que eles tiveram como

principais erros:

realizar traduções incorretas das expressões que aparecem nas situações-problema; utilizar todos os dados que aparecem no problema sem levar em conta se o cálculo realizado responde à pergunta solicitada; não interpretar coerentemente as informações que vêm do gráfico; decodificar incorretamente os valores representados por literais em uma reta numérica. (PONTES, 2008, p. 5).

Um dos erros que mais observamos foi descrito por Pontes (2008), que é

a dificuldade de os alunos traduzirem em equações ou inequações o que é descrito

191

nas situações-problema, além de não verificarem, também, se a resposta

encontrada condiz com o que foi solicitado. Esse tipo de dificuldades é apontado por

Dalto e Buriasco (2009) ao relatarem em sua pesquisa que, tanto alunos da 8ª série

(9º ano) do Ensino Fundamental quanto alunos do 3º ano do Ensino Médio,

utilizaram-se mais de operações aritméticas como estratégia para resolução de

situações-problema, em vez de traduzirem em equações ou inequações o que foi

solicitado. Erros desse tipo também foram apresentados no trabalho de Cury e

Bisognin (2009), Dullius, Quartieri e Furlanetto (2012) e Dodera et al. (2014).

Outra dificuldade também descrita por Pontes (2008) foi declarada pelos

alunos que não apresentaram resolução para a questão 8, sendo esta uma das

questões com o maior índice de respostas em branco. Esses alunos não

conseguiram retirar do gráfico as informações necessárias para a resolução da

questão. Algumas das dificuldades declaradas pelos alunos foram as seguintes:

Identificar uma função usando o gráfico. (A13, 2013).

Não me lembro como tirar uma função de um gráfico (A25, 2013).

Apresentei dificuldade em desenvolver a questão, pois eu não me lembro como tirar do gráfico a função. (A6, 2013).

Foram poucos os alunos que conseguiram retirar algumas informações do

gráfico apresentado na questão 8, mas, mesmo assim, não apresentaram resposta

correta para a questão. Vale a pena lembrar que nenhum aluno resolveu a questão

corretamente e que a maioria dos alunos não conseguiu interpretar as informações

existentes no gráfico.

Reis (2011) também identifica em seu trabalho que os alunos

“apresentam extrema dificuldade da transcrição da linguagem natural para a

linguagem algébrica na resolução de situações-problema.” (p. 21). Além disso, o

autor afirma que alunos do Ensino Médio encontraram dificuldades em diferenciar

equação de 1º grau e função afim. Identificamos erros desse tipo quando os alunos

tentaram resolver a inequação-quociente apresentada na questão 6. Esses alunos

resolveram a inequação como se fosse uma equação do 1º grau, apresentando um

único valor como solução.

192

Junior (2011), ao trabalhar com as dificuldades dos alunos do Ensino

Médio no conteúdo de inequações, compartilha com Reis (2011), quando descreve

que os alunos se utilizaram de regras válidas para resolução de equações ao

tentarem resolver inequações, sendo que tais regras nem sempre são válidas para

resolução destas. Outras dificuldades foram apontadas pelo autor, tais como:

interpretação incorreta de gráfico, dedução incorreta de sinais ao resolver

inequação-quociente, não conseguir relacionar a resolução gráfica com a resolução

algébrica, conversão da língua materna para o registro algébrico.

Do que foi analisado, encontramos erros referentes à aplicação das

propriedades de potência e resolução de equações e inequações exponenciais.

Feltes (2007) também identificou erros desse tipo em seu trabalho de mestrado e os

classificou em dezessete categorias diferentes. Também usando de categorias para

analisar os erros cometidos por alunos, Espindola (2009), Carazo e Brey (2012),

Brum e Cury (2013) e Dodera et al. (2014) classificaram os erros usando das

categorias descritas por Movshavitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987). Espindola

(2009) afirma que “o uso da classificação proposta por esses pesquisadores não

pode ser visto de forma dogmática, mas sim, como balizador da discussão sobre

esses erros.” (p. 71).

Em nossa pesquisa, também criamos categorias para responder nossas

questões de investigação, mas, antes disso, classificamos primeiramente as

resoluções apresentadas pelos alunos e, assim, pudemos selecionar as resoluções

parcialmente corretas e incorretas e nelas identificar os erros existentes.

Procedimentos semelhantes foram utilizados nos trabalhos de Dalto e Buriasco

(2009), Leivas e Cury (2010), Cury, Ribeiro e Müller (2011) e Cury (2013a).

Após a identificação dos tipos de erros, nomeamos quatro categorias com

o objetivo de responder as três primeiras questões de investigação. No âmbito de

cada categoria, procuramos refletir sobre os erros cometidos pelos alunos,

levantando suposições a partir das resoluções apresentadas. Cordeiro (2009) afirma

que a partir das reflexões realizadas sobre os erros cometidos pelos alunos, é

importante o professor propor soluções para os problemas encontrados.

193

Corroborando o que foi dito por Espindola (2009) e a intenção de

responder a última questão desta pesquisa, usamos de categorias descritas no

MADE (DE LA TORRE, 2007) para a análise dos erros. Acreditamos que, ao

categorizar os erros utilizando-se desse modelo, criamos condições que ajudam o

professor a realizar um tratamento didático dos erros encontrados, pois, partindo

dessas categorias, ele identifica de forma mais clara onde estão pontuadas as

dificuldades dos alunos.

Logo, a análise de erros pode ser assinalada como uma estratégia

didática, pois é uma proposta de exploração e análise da produção escrita do aluno

com o intuito de gerar uma fonte de construção de novos conhecimentos. Isso é

possível, pois, quando o aluno comete um erro, ele está mostrando para o professor

o seu conhecimento e em função do retorno, ele definirá se deve continuar utilizando

desse conhecimento, ou optar por outro apresentado pelo professor (CORDEIRO,

2009).

Os erros podem ser ocasionados por vários motivos, e esses motivos

podem ser identificados quando o professor analisa o processo e não só o resultado.

Assim, é possível melhorar a estratégia didática, fazendo as intervenções

necessárias com a finalidade de esclarecer os enganos. De La Torre (2007) vai além

quando afirma que “Do mesmo modo que eliminar a febre não supõe erradicar a

doença, mas encobri-la, o erro é um indicador de que determinados processos de

ensino/aprendizagem não funcionam” (p. 78). Assim, compete ao professor usar de

criatividade para melhorar o processo, pois, dessa forma, não estará encobrindo o

erro, e, sim, procurando retificá-lo, para que ele não se torne recorrente.

A criação de novas estratégias didáticas é confirmada por Perrenoud

(2000) quando afirma que, a partir de ideias compartilhadas com os alunos, o

professor deve ser capaz de criar formas para facilitar a construção de

conhecimento. Para ele, “A relação com o saber do professor é tão determinante

quanto sua inventividade didática” (p. 64). Tirando proveito dessa inventividade

didática, o professor utilizará do erro para atingir o aprendizado individual ou de

grupos, ou seja, usar o erro como “trampolins para a aprendizagem” (BORASI,

1989).

194

Diversas são as maneiras de usar o erro para a reconstrução do

conhecimento: 1) partindo de erros do próprio aluno ou de outros, o professor

poderá elaborar atividades nas quais o aluno deverá localizar, identificar e corrigir os

erros; 2) solicitar ao aluno que resolva o mesmo problema com valores diferentes,

de forma que se obtenha resultados absurdos, facilitando, assim, a percepção dos

erros cometidos; 3) fazer uso de software que auxilie o aluno nas atividades

desenvolvidas; 4) fazer uso de jogos que facilite o entendimento de um determinado

conteúdo.

Assim, no Ensino de Matemática é importante o professor adotar o papel

de um agente instigador, isto é, aquele que “busca criar formas de perturbar o

sistema cognitivo do aluno” (PINTO, 2000, p. 45). Esse tipo de atitude faz parte da

concepção construtivista, a qual coloca a aquisição do conhecimento como um

processo de construção, onde o sujeito interage com o mundo físico e social.

Pinto (2000) e De La Torre (2007) afirmam que o rompimento com a

“pedagogia tradicional” não é uma tarefa simples, pois exige reflexões e mudanças

por parte dos professores, dos alunos e das escolas. Assim, os professores

representam um papel ativo e são os responsáveis por construir suas próprias

práticas e teorias.

195

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Desde o meu ingresso no curso Técnico em Eletrotécnica, logo nos

primeiros contatos que passei11 a ter com os alunos do 1º ano do Ensino Médio na

Modalidade Integrada, sentia-me12 incomodada com as dificuldades relatadas por

esses alunos na disciplina de Matemática. Reforçando o que vinha sendo relatado

verbalmente pelos alunos, não posso deixar de mencionar uma declaração feita por

um dos participantes desta pesquisa, no término da primeira parte do teste

investigativo: “Não tenho dificuldades em matemática, exceto em funções que tenho

muita dificuldade.” (A11, 2013). Devido a isso, todas as atividades desenvolvidas

neste trabalho foram guiadas pelo desejo de aprofundar os estudos na análise

didática dos erros, não só com o objetivo de revelar as dificuldades matemáticas

relatadas pelos alunos, mas também com o de poder aplicar esses estudos em

minha prática profissional.

Portanto, nos últimos anos debruçamo-nos sobre o tema desta pesquisa,

com o objetivo de identificar os tipos de erros que esses alunos cometem ao

realizarem uma atividade matemática, sendo possível, então, revelar suas

dificuldades. Por esse motivo, formulamos a nossa pergunta central da seguinte

maneira:

O que revelam os erros matemáticos apresentados por alunos do 1º

ano da educação profissional tecnológica de nível médio na modalidade

integrada do curso Técnico em Eletrotécnica ao resolverem atividades que

envolvem conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional?

Para realização do trabalho, foi escolhida a turma ELE1B, devido ao

contato semanal da pesquisadora com os alunos dessa turma. Empregamos

questionário e teste investigativo com a intenção de responder as questões

levantadas a partir da pergunta central. Por se tratar de uma investigação em que

ocorreu um aprofundamento na análise dos erros matemáticos cometidos pelos

11

Será usado neste primeiro parágrafo o discurso na primeira pessoa do singular, por ser mais adequado ao texto narrativo da pesquisadora. 12

Sinto-me à vontade em utilizar o verbo no passado, pois acredito que, com este trabalho, cumpri o meu papel de professora e pesquisadora diante das dificuldades declaradas pelos alunos.

196

alunos no conteúdo investigado, a metodologia adotada foi a de pesquisa qualitativa,

utilizando-se da análise de conteúdo nas produções escritas desses alunos.

Na elaboração do questionário e do teste investigativo analisamos a

ementa e o livro-texto adotados pela instituição na disciplina de Matemática, além

das avaliações formativa e somativa aplicadas em anos anteriores. Também

consultamos os registros feitos pelos alunos referentes ao conteúdo lecionado pelo

professor. Assim, preparamos um questionário com a finalidade de traçar o perfil do

aluno e conhecer as dificuldades que eles declararam ter no conteúdo investigado.

Além do questionário, elaboramos um teste investigativo, composto de 20 questões

matemáticas, com a finalidade de identificar os tipos de erros cometidos pelos

alunos em atividades que envolviam os conteúdos propostos na 1ª avaliação

institucional.

Com o objetivo de responder as questões de investigação, descrevemos,

primeiramente, os significados dos termos dificuldade e erro, dando uma ênfase

maior ao termo erro, pelo fato de não encontrarmos uma literatura mais abrangente

sobre o termo dificuldade. Assim, apresentamos acepções e teorias que vislumbram

o termo erro de forma binária: elemento regressivo ou elemento construtivo;

prejudicial na aprendizagem ou inovador; evitação ou aceitação e análise; entre

outras ambiguidades. Tais ambiguidades nos leva a pensar sobre o porquê da visão

negativa do erro, haja vista que um dos papéis do ensino é o de reconstruir o

conhecimento a partir do próprio erro.

Com a análise de erros realizada nesta pesquisa, vimos que é

fundamental adotar uma visão positiva do erro, pois, por meio dela, é possível o

professor compreender as dificuldades dos alunos e utilizar-se do erro como um

elemento construtivo e inovador na aprendizagem.

No segundo momento, mostramos o erro sob dois olhares diferentes, ou

seja, aquele voltado para a “pedagogia tradicional”, a qual procura, a qualquer custo,

evitar o erro, e aquele voltado para a “nova pedagogia”, a que usa o erro como

forma de reconstrução do conhecimento. Mostramos que o enfoque conceitual entre

as duas “pedagogias” são diferentes, ou seja, a “pedagogia tradicional” dá uma

197

atenção maior aos resultados, enquanto que a “nova pedagogia” dá uma atenção

preferencial aos processos.

Dessa forma, vimos que o papel exercido pelo professor e pelo aluno em

cada uma das “pedagogias” é diferente. Na “pedagogia tradicional” mostramos que o

papel do professor é o de corrigir e sancionar os erros, criar e planejar ações que

assegurem o êxito e dirigem as aprendizagens, enquanto o do aluno é o de ter uma

atitude receptiva em relação ao plano de atividades, além do predomínio do princípio

de individualização. O papel do professor na “nova pedagogia” é o de diagnosticar o

erro, apresentar situações de aprendizagem, orientar e guiar as aprendizagens,

enquanto o do aluno é o de ter atitude participativa no plano de atividades, além de

integrar individualização e socialização.

Logo, a metodologia de ensino, a forma de avaliação e as estratégias

didáticas são diferentes com relação às duas “pedagogias”. Na “pedagogia

tradicional”, a metodologia é de exercitação, pois assim o professor acredita que

evita o erro; as avaliações são centradas em objetivos conceituais e a estratégia

didática é mais voltada para o ensino programado. Na “nova pedagogia”, a

metodologia de ensino se utiliza do erro para a construção do conhecimento; nela,

avaliam-se os processos, os meios e os resultados, e a estratégia didática se utiliza

de aprendizagem compartilhada, colaborativa e criativa.

Partindo do exposto e considerando os teóricos apresentados, num

terceiro momento, vimos que um dos pontos importantes é que, para favorecer a

aprendizagem e eliminar as dificuldades e os erros, precisamos utilizar da análise de

erros em produção escrita.

Utilizando-se da análise de erros baseada na análise de conteúdo,

identificamos os tipos de erros cometidos pelos alunos no conteúdo investigado e,

assim, criamos categorias com as quais conseguimos responder as três primeiras

questões que foram levantadas a partir da pergunta geral. Também, fazendo uso de

um modelo de análise didática do erro – MADE –, conseguimos categorizar os tipos

de erros nos três momentos apresentados e pontuar de forma mais clara, em qual

desses momentos se encontram as maiores dificuldades dos alunos e, assim,

responder à última questão de pesquisa.

198

Dessa forma, foi possível verificar em nossa análise as dificuldades

apresentadas pelos alunos em conteúdos provenientes do Ensino Fundamental e,

portanto, respondermos à primeira questão de pesquisa: “Que conteúdos

matemáticos provenientes do Ensino Fundamental são visíveis nos erros

apresentados na resolução das atividades que envolvem conteúdos propostos na 1ª

avaliação institucional?”. As principais dificuldades apresentadas evidenciaram-se no

cálculo das raízes de uma função polinomial do 2º grau, especialmente, quando

essa apresenta o coeficiente b ou c iguais a zero; na aplicação das propriedades de

potência, sobretudo, quando um número vem acompanhado de uma incógnita e

ambos elevados ao mesmo expoente; e em resoluções algébricas que envolvem

manipulação de termos. Observamos que essas dificuldades prejudicam os alunos

durante a resolução de questões referentes ao conteúdo do Ensino Médio, sendo

que, em algumas questões, o erro cometido foi exclusivo a um desses conteúdos.

Ao respondermos à segunda questão de pesquisa, “Que tipos de erros

matemáticos os alunos apresentam na resolução das atividades que envolvem

conjuntos numéricos e intervalos reais?”, encontramos como principais erros:

converter situação-problema em linguagem matemática e representar e operar

intervalos na reta real que possuam os conectivos lógicos “e/ou”, além de

dificuldades na representação desse tipo de solução.

Com base nos dados analisados, percebemos que os alunos

apresentaram grandes dificuldades relacionadas à terceira questão de pesquisa:

“Que tipos de erros matemáticos os alunos apresentam na resolução das atividades

que envolvem equações, inequações e funções?”. Um dos erros está relacionado ao

conceito de função, pois os alunos demonstraram não compreender a relação

existente entre as variáveis independente e dependente, além de apresentarem

dificuldades em definir um tipo de função, sobretudo, a função bijetora. Ressaltamos,

ainda, que a análise apontou uma grande dificuldade dos alunos em representar

matematicamente situações-problema; esboçar o gráfico de uma função,

especialmente, para função definida por mais de uma sentença; resolver inequação-

quociente, quando essa possui os dois membros diferentes de zero; caracterizar

uma função polinomial do 2º grau a partir do gráfico; identificar as soluções de

equação e inequação modular; e resolver inequação exponencial quando a base é

um número menor que um.

199

Para respondermos à última questão de pesquisa, “Como esses erros

podem ser categorizados dentro de uma perspectiva de análise didática do erro?”,

fizemos uso do Modelo de Análise Didática do Erro (MADE). Assim, pudemos

observar que os alunos apresentaram um maior número de erros associados ao

Momento de Entrada na categoria de Erro de Compreensão Conceitual, além de

erros relacionados ao Momento de Execução na Categoria de Erro Operacional.

Esse tipo de análise é importante, pois o professor não pode tratar erros de

compreensão e erros operacionais da mesma maneira. Como já mencionamos, os

erros operacionais apresentam uma menor gravidade em relação aos erros de

compreensão.

Nas declarações apresentadas pelos alunos, percebemos que vários

deles não conseguiram identificar com clareza suas dificuldades. Muitos deles, no

final das questões, apontavam que não tinham tido nenhuma dificuldade no

desenvolvimento das resoluções, mas, ao analisarmos essas resoluções, víamos

que elas se apresentavam parcialmente corretas ou incorretas.

Então, confiamos que seja fundamental o professor criar situações nas

quais os alunos se tornem capazes de expor suas dificuldades e o professor capaz

de analisá-las. Analisar a produção escrita do aluno não é simplesmente verificar o

que ele acertou ou errou. O professor deve ter a preocupação de saber o grau de

conhecimento que o aluno detém e que o conduz a elaborar uma determinada

resposta, pois essa ação é que o levará a descobrir as dificuldades de

aprendizagem apresentadas por esse aluno.

Às vezes, o professor entende ser complicado usar o erro como uma

estratégia didática, principalmente em turmas com muitos alunos, pois o caminho a

seguir na identificação do erro requer um tempo maior. Todavia, em turmas

numerosas, o professor pode criar situações nas quais a interação entre grupos de

alunos favoreça a troca de conhecimento. Isso acaba facilitando o aprendizado, pois

o professor assume o papel de interventor somente quando solicitado. Trabalhando

com grupos menores de alunos, o professor consegue intervir de forma mais

eficiente sobre os indivíduos que compõem o grupo. Atividades desse tipo são

consideradas como fator fundamental para o desenvolvimento cognitivo do aluno,

especialmente na construção dos conhecimentos matemáticos.

200

A aquisição compartilhada de conhecimento deve ser incentivada, pois

propicia ao aluno identificar e corrigir seus erros de forma mais fácil e tranquila, além

de fazê-lo se sentir mais instigado a defender seu ponto de vista. Às vezes, próximo

ao professor, o aluno se sente inibido em expor suas dúvidas de forma mais incisiva

e acaba aceitando passivamente a opinião do professor. Nesse caso, então, o

professor deve assumir o papel de um colega mais experiente, instigando o aluno a

verbalizar suas próprias ideias. Dessa forma, o professor pode fazer intervenções

necessárias, com o objetivo de eliminar possíveis dúvidas.

Nos casos de aquisição de conhecimento compartilhado, o erro passa ser

mais facilmente identificado pelo próprio aluno, pelo professor ou pelos colegas.

Esse conhecimento pode ser tomado como ponto de partida para a construção de

um novo saber em sala de aula. Dessa forma, o aluno adquire o aprendizado mais

rapidamente, pois aquilo que ele sabia e que estava correto não foi desprezado, foi

usado na reconstrução daquilo que estava incorreto.

Essa importância da parceria entre colegas é confirmada por Pinto (2000),

De La Torre (2007) e Cury (2008), quando se trata de superação das dificuldades

por meio da análise de erros. Utilizando-se da parceria aluno-aluno, o professor

pode direcionar o seu apoio na medida em que for solicitado (RAMOS, 2013).

Nesse sentido, o professor não pode esquecer que o próprio aluno tem

condições de superar suas dificuldades, identificar e retificar seus erros e ainda

ajudar os colegas que não se encontram nesse nível de desenvolvimento. Isso é

possível quando o erro passa a ser “observável” pelo aluno e, para isso, ele precisa

receber estímulo e orientação do professor. Partindo da análise das produções

escritas dos alunos, o professor consegue criar situações que proporcionam o

desenvolvimento dessas etapas, isto pelo fato do professor saber e dominar algo

que o aluno ainda não sabe e não domina.

Por fim, nestas considerações sobre o tema investigado, procuramos não

encerrar a discussão sobre a importância da análise de erros no processo da

aprendizagem. O tema é bastante extenso e acreditamos que possa ainda ser

explorado. Dessa forma, as considerações apresentadas não assinalam conclusões,

pois o que apresentamos pode ser estendido em novas investigações.

201

Não encontramos em nossa revisão de literatura trabalhos nos quais o

pesquisador se utiliza dos erros matemáticos dos alunos como estratégia de ensino

em sua própria prática pedagógica. Por isso, procuramos colocar em prática esse

tipo de estratégia nas aulas de Sistemas Digitais, lecionadas pela pesquisadora,

com o resultado apresentado por Ramos (2013). Acreditamos que essa estratégia

indica uma possibilidade de pesquisa para novos estudos.

Outra possibilidade de pesquisa a ser considerada é a utilização das três

fases do tratamento didático do erro: detectar, identificar e retificar. De La Torre

(2007), ao propor esse tipo de tratamento em três fases, descreve técnicas que

poderão ser utilizadas em cada uma delas. Neste trabalho, utilizamos das duas

primeiras fases do tratamento didático do erro para identificar, analisar e classificar

os erros cometidos pelos alunos, com o objetivo de responder a nossa pergunta

central. Sendo o professor o próprio pesquisador, torna-se mais fácil a utilização

dessas técnicas para se detectar, identificar e retificar os erros cometidos pelos

alunos, e, assim, propor novas estratégias didáticas utilizando-se dos erros.

Cremos que as sugestões sejam relevantes para área de Ensino de

Matemática, pois, como descrevemos em nossa pesquisa, o erro deve ser utilizado

como uma forma de reconstrução do saber. Por meio do erro, o professor poderá

auxiliar o aluno na aprendizagem, a partir do momento em que faz com que o erro

seja observável pelo aluno. Desse modo, o aluno deixa de praticar a repetição de

exercícios com a finalidade de eliminar o erro e passa a utilizá-lo com o objetivo de

compreender e suprimir suas dificuldades.

Resumindo, é necessário deixar claro que, na maioria das vezes, os erros

provêm de dificuldades. Se os erros não forem analisados, as dificuldades

permanecerão, além de se tornarem recorrentes.

202

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209

APÊNDICES

210

APÊNDICE A

211

QUESTIONÁRIO DE SONDAGEM

Caro aluno é muito importante a sua participação no preenchimento das perguntas

formuladas abaixo, pois é através das respostas apresentadas que poderemos

melhorar o processo ensino-aprendizagem no Curso de Eletrotécnica.

Esse questionário deverá ser preenchido por todos os alunos do 1º ano integrado do

Curso de Eletrotécnica que foram reprovados no ano letivo de 2011 e que estejam

matriculados no 1º ano integrado em 2012.

Não é preciso se identificar, somente responder as questões abaixo e devolver o

questionário no prazo máximo de 15 dias.

Se precisar de mais espaço, use o verso da folha numerando as respostas.

Agradecemos antecipadamente.

Belo Horizonte, 29 de outubro de 2012.

____________________________________

Coordenação de Eletrotécnica

1 – Em qual(is) disciplina(s) você foi reprovado no ano letivo de 2011?

2 – Dentre as disciplinas em que você foi reprovado, informe a que você teve a

menor nota.

3 – Em qual(is) disciplina(s) você ficou com a nota inferior a 40 pontos?

4 – Das disciplinas em que você foi reprovado, em qual apresentou maior

dificuldade? Escreva o nome da disciplina e liste o maior número possível de

dificuldades apresentadas.

5 – Como você tratou essas dificuldades? (procurou ajuda de colegas, procurou

ajuda do professor, aula particular, estudou sozinho, etc)

6 – Como o(a) seu(sua) professor(a) tratou essas dificuldades junto à turma?

(esclareceu as dúvidas, refez exercícios, etc)

7 – Como o(a) seu(sua) professor(a) tratou essas dificuldades com você?

(esclareceu as dúvidas, refez exercícios, etc)

8 – Como você tratou os erros indicados pelo professor em suas atividades?

9 – Como o(a) seu(sua) professor(a) tratou os seus erros com você?

10 – Como o(a) seu(sua) professor(a) tratou os erros da turma?

212

APÊNDICE B

213

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Os alunos do 1º ano do Ensino Médio do Curso Técnico de Eletrotécnica,

Modalidade Integrada, foram convidados a participar de uma pesquisa que tem

como finalidade verificar as dificuldades e erros na disciplina de Matemática.

Como os alunos são menores de idade, a participação de cada um depende

da autorização do responsável. Essa participação contribuirá com as investigações

propostas pela pesquisadora com objetivo de melhorar o desempenho dos alunos na

disciplina de Matemática. Em qualquer momento, os alunos poderão pedir

informações sobre a pesquisa através dos e-mails da pesquisadora e/ou da

orientadora do projeto.

Os alunos participantes da pesquisa responderão a questionário e a

instrumento de investigação elaborado pela pesquisadora.

Os procedimentos adotados na pesquisa obedecem aos Critérios da

Comissão de Ética da Universidade Cruzeiro do Sul. Na publicação dos resultados

da pesquisa serão omitidas todas as informações que permitam identificar os alunos.

Esperamos que este estudo revele dados importantes para se entender as

dificuldades que levam os alunos a cometerem erros na Matemática. Possíveis

obstáculos ou incentivos, estudados, discutidos e divulgados, poderão auxiliar a

comunidade escolar. Portanto, a participação dos alunos é fundamental para a

melhoria da qualidade do ensino de Matemática no referido curso.

__________________________________ _________________________

Doutoranda: profa. Maria Luisa Perdigão D. Ramos Orientadora: profa. Dra. Edda Curi

214

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Eu, ___________________________________________, RG:____________, por

meio deste instrumento de autorização, dou pleno consentimento ao (a) meu (minha)

filho (a) ______________________________________________ para participar da

pesquisa. Tenho pleno conhecimento dos objetivos da pesquisa e dos

procedimentos a serem executados e da possibilidade de receber esclarecimentos

sempre que considerar necessário.

Também concordo que os dados obtidos ou quaisquer outras informações

permaneçam como propriedade exclusiva dos pesquisadores. Dou pleno direito da

utilização desses dados e informações para uso no ensino, pesquisa e divulgação

em periódicos científicos, ciente do sigilo da identidade de meu (minha) filho (a).

Belo Horizonte, ________ de ______________________ de 2013.

_____________________________________________________

Assinatura do responsável

Doutoranda: Profa. Pesquisadora Maria Luisa Perdigão Diz Ramos Rua Trindade, 601 – Renascença – Belo Horizonte – MG CEP: 31130-560 – Telefone: 8775-5065 E-mail: [email protected] Orientadora: Profa. Dra. Edda Curi Rua Galvão Bueno, 868 – Liberdade – São Paulo – SP E-mail: [email protected]

215

APÊNDICE C

216

QUESTIONÁRIO PERFIL DO ALUNO

Caro(a) aluno(a), é muito importante a sua participação no preenchimento das perguntas formuladas

abaixo, pois esses dados contribuirão com as investigações propostas pela pesquisadora professora

Maria Luisa Perdigão Diz Ramos na realização de seu doutorado, na área de Ensino de Ciências e

Matemática, com orientação da professora Dra. Edda Curi.

Na publicação dos resultados desta pesquisa, sua identidade será mantida no mais rigoroso sigilo.

Serão omitidas todas as informações que permitam identificá-lo(a).

Agradeço antecipadamente.

______________________________________

Profa. Maria Luisa Perdigão Diz Ramos

Nome: _________________________________________________________ Idade: ________ Escolha somente uma alternativa para cada questão e marque com X a resposta escolhida. 1 – Quantas vezes você prestou vestibular para o curso técnico do CEFET-MG? ( ) uma vez ( ) duas vezes ( ) mais de duas vezes 2 – Você cursou durante o ano letivo de 2012: ( ) 9º ano do Ensino Fundamental ( ) 1º ano do Ensino Médio ( ) 2º ano do Ensino Médio 3 – Você realizou a maior parte do Ensino Fundamental em escola (se ocorrer empate marque aquela que você estudou no ano letivo de 2012): ( ) Municipal ( ) Estadual ( ) Federal ( ) Particular 4 – Com relação à disciplina de Matemática atualmente, você diria que: ( ) Gosta muito ( ) Gosta razoavelmente ( ) Gosta pouco ( ) Não gosta

217

5 – Com relação aos conteúdos do Ensino Fundamental apresentados abaixo, marque o seu grau de dificuldade para cada um deles:

Conteúdos

5.1 – Números e Operações Nenhum Baixo Médio Alto

5.1.1 – Realizar adição e subtração com números reais ()

5.1.2 – Realizar multiplicação e divisão com números reais ()

5.1.3 – Reduzir as frações a um mesmo denominador comum

5.1.4 – Aplicar a propriedade distributiva

5.2 – Potências Nenhum Baixo Médio Alto

5.2.1 – Operar potência de número real com expoente positivo

5.2.2 – Operar potência de número real com expoente negativo

5.2.3 – Operar potência de número real com expoente racional

5.2.4 – Aplicar as propriedades de potenciação

5.3 – Funções Nenhum Baixo Médio Alto

5.3.1 – Achar o zero de uma função polinomial do 1º grau

5.3.2 – Achar os zeros de uma função polinomial do 2º grau

5.3.3 – Identificar a concavidade do gráfico de uma função polinomial do 2º grau

5.3.4 – Identificar os pontos de mínimo e de máximo da função polinomial do 2º grau

6 – Com relação aos conteúdos do Ensino Fundamental apresentados abaixo, marque o grau de contribuição na aprendizagem do Ensino Médio para cada um deles:

Conteúdos

6.1 – Números e Operações Nenhum Baixo Médio Alto

6.1.1 – Realizar soma e subtração com números reais ()

6.1.2 – Realizar multiplicação e divisão com números reais ()

6.1.3 – Reduzir as frações a um mesmo denominador comum

6.1.4 – Aplicar a propriedade distributiva

6.2 – Potências Nenhum Baixo Médio Alto

6.2.1 – Operar potência de número real com expoente positivo

6.2.2 – Operar potência de número real com expoente negativo

6.2.3 – Operar potência de número real com expoente racional

6.2.4 – Aplicar as propriedades de potenciação


6.3.1 – Achar o zero de uma função polinomial do 1º grau

6.3.2 – Achar os zeros de uma função polinomial do 2º grau

6.3.3 – Identificar a concavidade de uma função polinomial do 2º grau

6.3.4 – Identificar os pontos mínimo e máximo da função polinomial do 2º grau

218

7 – Com relação aos conteúdos do Ensino Médio apresentados abaixo, marque o seu grau de dificuldade para cada um deles:

Conteúdos

7.1 – Conjuntos Nenhum Baixo Médio Alto

7.1.1 – Resolver problemas que envolvem operações com conjuntos

7.1.2 – Representar intervalos na reta real

7.1.3 – Efetuar operações com intervalos


7.2.1 – Conceituar função

7.2.2 – Determinar domínio e imagem de uma função

7.2.3 – Identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função

7.2.4 – Determinar uma função composta

7.2.5 – Obter a função inversa de uma função

7.2.6 – Identificar se a função é par ou ímpar

7.2.7 – Identificar se a função é bijetora

7.3 – Função Afim Nenhum Baixo Médio Alto

7.3.1 – Estudar o quadro de sinais da inequação-produto e inequação-quociente do 1º grau

7.3.2 – Resolver inequação do 1º grau

7.4 – Função Quadrática Nenhum Baixo Médio Alto

7.4.1 – Estudar o quadro de sinais da inequação-produto e inequação-quociente do 2º grau

7.4.2 – Resolver inequação do 2º grau

7.4.3 – Resolver problemas que envolvem função quadrática

7.4.4 – Representar graficamente uma função quadrática

7.5 – Função Modular Nenhum Baixo Médio Alto

7.5.1 – Conceituar módulo de um número real

7.5.2 – Conceituar função modular

7.5.3 – Resolver equação modular

7.5.4 – Resolver inequação modular

7.5.5 – Resolver problemas que envolvem função modular

7.5.6 – Representar graficamente uma função modular

7.6 – Função Exponencial Nenhum Baixo Médio Alto

7.6.1 – Conceituar função exponencial

7.6.2 – Resolver equação exponencial

7.6.3 – Resolver inequação exponencial

7.6.4 – Resolver problemas que envolvam função exponencial

7.6.5 – Representar graficamente uma função exponencial

219

7 – Com relação aos conteúdos do Ensino Médio apresentados abaixo, marque o seu grau de dificuldade para cada um deles:

7.7 – Função Logarítmica Nenhum Baixo Médio Alto

7.7.1 – Aplicar as propriedades de logaritmo

7.7.2 – Conceituar função logarítmica

7.7.3 – Determinar as condições de existência de uma função logarítmica

7.7.4 – Resolver equação logarítmica

7.7.5 – Resolver inequação logarítmica

7.7.6 – Resolver problemas que envolvam função logarítmica

7.7.7 – Representar graficamente uma função logarítmica

220

APÊNDICE D

221

TESTE INVESTIGATIVO

Caro(a) aluno(a), é muito importante a sua participação neste teste investigativo, pois a análise das

respostas apresentadas em cada questão contribuirão com as investigações propostas pela

pesquisadora professora Maria Luisa Perdigão Diz Ramos na realização de seu doutorado, na área de

Ensino de Ciências e Matemática, com orientação da professora Dra. Edda Curi.

Solicitamos que todo o raciocínio utilizado para a resolução seja registrado no espaço reservado para

cada questão. Esse registro é muito importante, pois será a partir dele que faremos a análise de

conteúdos proposta em nossa investigação.

Para cada questão, destaque a resposta no local indicado e responda o questionário apresentado

em cada questão marcando com um X os itens que você apresentou dificuldades. Caso não

esteja(m) listada(s) alguma(s) dificuldade(s) encontrada(s), favor escrevê-la(s) no espaço

reservado.

É necessário que você se identifique logo abaixo, mas na publicação dos resultados desta pesquisa,

sua identidade será mantida no mais rigoroso sigilo. Serão omitidas todas as informações que

permitam identificá-lo(a).

Agradeço antecipadamente.

______________________________________

Profa. Maria Luisa Perdigão Diz Ramos

Nome do(a) Aluno(a): ___________________________________________________________

222

1 – Num grupo de 45 pessoas, todas com algum tipo de problema de saúde, 40% têm pressão alta e

diabetes e o número de pessoas que têm pressão alta excede em

o número de pessoas que têm

diabetes. Determine quantas pessoas têm pressão alta e quantas têm diabetes.

Fonte: Barroso (2010), p. 63, adaptada pela pesquisadora.

Objetivo: Resolver problemas aplicando os conceitos associados a conjuntos.

Resposta:

Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):

1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.

2 – Reduzir as frações a um mesmo denominador comum.

3 – Realizar operações com números reais.

4 – Não apresentei dificuldades.

Liste outras dificuldades encontradas:

223

2 – Dados os conjuntos: M = {x | x >

e x < 4}, N = {x | x < -2 ou x > } e O = {x

| x < -1}, determine (M N) – O.


Objetivo: Efetuar operações com intervalos.

Resposta:



2 – Representar intervalos na reta real.

3 – Efetuar operações com intervalos.



224

3 – Observe o gráfico da função cujo CD() = [-2, 2] e responda às perguntas.


Objetivo: Analisar gráfico de função.

Respostas: A –

B –

C –

D –

E –

F –



2 – Determinar o domínio e/ou imagem da função.

3 – Identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.



A – O gráfico ao lado é uma função. Justifique a afirmativa.

B – Essa função é bijetora? Justifique a resposta.

C – Qual é o domínio da função?

D – Qual é o conjunto imagem do intervalo de x [1, 3]?

E – Identifique o intervalo de crescimento da função.

F – Identifique o intervalo de decrescimento da função.

225

4 – Construir o gráfico da função : dada por:

(x) =

é:


Objetivo: Representar graficamente funções definidas por mais de uma sentença.



2 – Achar os zeros de uma função polinomial do 2º grau.

3 – Identificar a concavidade do gráfico da função polinomial do 2º grau.



226

5 – Se (x) = e g(x) = quais os valores de x para que (g(x)) = g((x))?


Objetivo: Determinar função composta.

Resposta:



2 – Determinar uma função composta.




227

6 – Resolver a inequação

4 em .


Objetivo: Resolver inequações que envolvem função afim.

Resposta:



2 – Resolver inequação do 1º grau.

3 – Identificar os intervalos que satisfazem a inequação.



228

7 – Em uma empresa que vende tratores, o lucro total L em função da quantidade q de tratores vendidos pode ser obtido pela expressão L(q) = – 32 – 2(q2 – 10q). Nestas condições, quais os valores de q para que a empresa trabalhe sempre com lucro positivo?

Fonte: Avaliação Somativa – CEFET-MG (2010-M), questão 7, adaptada pela pesquisadora.

Objetivo: Resolver situações-problema que envolvem funções quadráticas.



2 – Resolver problema que envolva função polinomial do 2º grau.




229

8 – A parábola P representada abaixo é o gráfico de uma função quadrática . Se g(x) for uma função

quadrática cujas raízes sejam as mesmas de e se o vértice do gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com relação ao eixo x, então g(-2) vale:


Objetivo: Analisar o gráfico de uma função quadrática.

Resposta:



2 – Identificar os zeros de uma função polinomial do 2º grau.

3 – Identificar o ponto mínimo da função polinomial do 2º grau.



230

9 – Resolva a seguinte inequação (3x2 – 5x + 2) ∙ (– x2 + 4x – 4) 0 em .


Objetivo: Resolver inequações que envolvem função quadrática.

Resposta:




3 – Identificar a concavidade do gráfico de uma função polinomial do 2º grau.



231

10 – Durante uma situação de emergência, o capitão de um barco dispara um sinalizador para avisar a guarda costeira. A trajetória que o sinal luminoso descreve é um arco de parábola. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por , sendo a altura do sinal, em metro, e t, o tempo decorrido após o disparo, em segundo.

a) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode atingir? b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal luminoso atingir a altura máxima?


Objetivo: Resolver situações-problema que envolvem funções quadráticas.

Respostas: a)

b)




3 – Resolver problema que envolve função polinomial do 2º grau.



232

11 – Determinar o conjunto solução da equação modular = .

Fonte: Barroso (2010), p. 188.

Objetivo: Resolver equação modular.

Resposta:



2 – Conceituar módulo de um número real.

3 – Resolver equação modular.



233

12 – A fórmula de conversão da temperatura na escala Fahrenheit (TF) para a temperatura na escala

Celsius (TC) é TC =

TF – 32). Dada a temperatura em Fahrenheit, pode-se obter um valor

aproximado da temperatura na escala Celsius (tC) pela fórmula prática tC =

(TF – 32). Se o erro

absoluto E, cometido pela fórmula prática, é dado por E = |TC – tC|, determine o intervalo de variação de TF para que o erro absoluto seja menor que 50° Fahrenheit.


Objetivo: Resolver problemas que envolvem função modular.

Resposta:



2 – Resolver problemas que envolvem aplicação de função modular.

3 – Conceituar módulo de um número real.



234

13 – Construa o gráfico da função (x) = e responda, justificando, se essa função é par ou ímpar.


Objetivo: Representar graficamente uma função modular.

x (x) -3

-2

-1

0

1

2

3

Resposta:



2 – Identificar função par e ímpar.

3 – Representar graficamente uma função modular.



235

14 – Se os números reais positivos a, b e c são tais que:

c =

Utilize propriedades de potência para simplificar a expressão e encontrar o valor de c.


Objetivo: Efetuar operações de potenciação.

Resposta:



2 – Aplicar as propriedades de potência.

3 – Realizar operações de potência com números reais.



236

15 – Num período prolongado de seca, a quantidade de água de certo reservatório, após t meses,

pode ser determinada pela função Q(t) = Q0 , onde Q0 é a quantidade inicial de água no

reservatório. Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade da sua quantidade inicial?


Objetivo: Resolver situações-problema que envolvem funções exponenciais.

Resposta:



2 – Resolver problemas que envolvem função exponencial.




237

16 – Resolva a equação:

= 8


Objetivo: Resolver equação exponencial.

Resposta:



2 – Resolver equação exponencial.

3 – Realizar operações de potência com números reais.



238

17 – Determine os valores de x tais que

>


Objetivo: Resolver inequação exponencial.

Resposta:




3 – Resolver inequação exponencial.



239

18 – A inequação tem como solução:


Objetivo: Resolver inequação logarítmica.

Resposta:



2 – Aplicar as propriedades de logaritmo.

3 – Resolver inequação logarítmica.



240

19 – Construa o gráfico de (x) = . Sabendo que g(x) é a função inversa de (x), encontre g(x) e

construa o gráfico de g(x) a partir do gráfico de (x).


Objetivo: Construir e analisar gráficos de função exponencial e logarítmica.

x (x)

1

3

Resposta:



2 – Identificar a relação gráfica entre a função logarítmica e a função exponencial.

3 – Obter a função inversa da função.



241

20 – A massa A de uma substância radioativa decai segundo a lei A = A0 ∙ , em que t é o tempo de decaimento, em hora, e A0 é a massa inicial, isto é, a massa correspondente a t = 0. Para

calcular a meia-vida dessa substância, ou seja, o tempo decorrido para que A =

A0 , um químico

substituiu A por

A0 nessa lei e obteve a equação = . Considerando = –

0,30, resolva essa equação para obter a meia-vida da substância.

Fonte: Barroso (2010), p. 241.

Objetivo: Resolver problemas que envolvem aplicação de equações logarítmica.

Resposta:



2 – Aplicar as propriedades de logaritmo.




242

ANEXOS

243

ANEXO A

244

REPETÊNCIA GERAL NO 1º ANO INTEGRADO – 2011

245

ANEXO B

246

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA NOS CURSOS INTEGRADOS – 2013

250

ANEXO C

251

AVALIAÇÃO SOMATIVA – 2013/1º

universidade cruzeiro do sul programa de pÓs

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