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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
CRISLAINE APARECIDA RIBEIRO SALOMÃO
A PASSAGEM DE TEXTOS EM LÍNGUA MATERNA PARA
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS, MEDIADA PELO USO DE UMA
CALCULADORA
São Paulo
2013
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CRISLAINE APARECIDA RIBEIRO SALOMÃO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
A PASSAGEM DE TEXTOS EM LÍNGUA MATERNA PARA
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS, MEDIADA PELO USO DE UMA
CALCULADORA
Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Anhanguera, de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza.
São Paulo
2013
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Autorizo, para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação
por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: __________________________________________________________
Data: ______ / ______ /_______
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Dedicatória
Dedico meu trabalho a Deus, ao
meu esposo Caio, minha filha Ana
Julia e meus familiares, que
estiveram sempre ao meu lado.
Obrigada a todos pelo apoio, por
confiarem em mim e me ajudarem
para que eu concretizasse mais
um sonho.
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Agradecimentos
Primeiramente, quero agradecer a Deus pelo meu existir e pela minha sabedoria,
para poder vencer mais uma etapa da minha vida.
À Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza, agradeço pela orientação
dedicada e pelo constante estímulo em todas as fases de realização deste trabalho.
Às Professoras Doutoras Verônica Gitirana, Maria Helena Palma de Oliveira e
Angélica da Fontoura Garcia Silva, pelas valiosas contribuições dadas no Exame de
Qualificação e na Defesa, e que muito enriqueceram esta pesquisa.
Às Professoras Doutoras Rosana N. de Lima, Verônica Y. Kataoka e Maria Elisa
E. L. Galvão, pelas sugestões dadas durante as aulas de Atividade de Pesquisa e a
todos os outros professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática
da Universidade Anhanguera de São Paulo, por repartirem suas experiências.
À CAPES, pela Bolsa de Estudos fornecida.
Aos meus amigos de Mestrado: Patrícia, Renata, Maria Helena, Caroline e
Edmar, pelos momentos de alegria, tristeza, incentivo e sugestões, que possibilitaram o
aprimoramento deste trabalho.
Em especial, agradeço ao meu esposo Caio, que me entendeu e ajudou na
elaboração das tabelas e com a leitura dos textos, estando sempre ao meu lado,
dando-me apoio e incentivo, para que eu alcançasse os objetivos por mim almejados.
À minha filha Ana Julia, que apesar de ter apenas três anos de idade,
compreendeu os muitos momentos que ficou sem minha presença, para eu pudesse me
dedicar aos estudos.
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Ao meu pai Roberto (in memorian), à minha mãe Marlene e à minha avó
Josefa, que me ajudaram nos momentos mais difíceis que passei, incentivando
sempre meus estudos.
À minha irmã Dayane, que ajudou a elaborar os quadros e fez a leitura do
texto, sempre me incentivando a concluir esta dissertação, muito obrigada pela
amizade e pelo amor.
Aos meus tios (as), primos (as), aos meus sogros, cunhados (as) por tudo que
fizeram por mim, pela dedicação, carinho e amizade.
A todos os colegas de trabalho, que de alguma maneira, sempre me
incentivaram, passando confiança para que fosse possível terminar este trabalho,
em especial Denise Gomes, Elaine Moral, Silvana Cortada, Simone Santoro e
Thatiana Pineda.
À Universidade, pela oportunidade de desenvolver meu trabalho junto aos
alunos do curso de Pedagogia, pela disponibilidade e seriedade na realização das
atividades.
É com grande honra que agradeço a participação da professora Myriam Tay,
que colaborou com as correções e sugestões para a finalização deste texto.
E a todos que direta, ou indiretamente, contribuíram para a realização deste
estudo. A todos vocês, muito obrigada!
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RESUMO
SALOMÃO, C. A. R. A passagem de textos em língua materna para expressões aritméticas, mediada pelo uso de uma calculadora. 2013. 171f. Dissertação de Mestrado – Pós Graduação Stricto Senso Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2013.
Colocou-se como objetivos desta pesquisa trazer à tona a discussão das regras de resolução de expressões aritméticas, por sua importância na passagem entre um problema aritmético proposto em língua materna, a respectiva expressão aritmética e vice-versa; e, mostrar uma abordagem possível para o uso de uma calculadora, como instrumento de aprendizagem e não somente, como verificador de resultados numéricos. Para alcançar esses objetivos, fez-se uma intervenção junto a 32 alunos do último semestre de um Curso de Pedagogia de uma universidade particular de São Paulo, para responder às seguintes questões de pesquisa: “Que concepções trazem os alunos de Pedagogia sobre essas regras?”, “Eles percebem a importância dessas regras na passagem de um problema proposto em língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa?”, “A utilização de uma calculadora simples pode auxiliar na passagem de problemas aritméticos propostos em textos verbais para as respectivas expressões aritméticas, e vice–versa?”. Buscou-se o embasamento teórico nas ideias de Lev S. Vygotsky sobre a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), na Teoria dos Registros Semióticos de Representação de Raymond Duval e nos estudos de Pierre Rabardel, sobre a importância da mediação na transformação de um artefato em instrumento. A pesquisa foi desenvolvida em três etapas: um questionário de perfil dos sujeitos da pesquisa, individual; uma atividade escrita, desenvolvida em duplas, acompanhadas por observadores neutros, em que se permitiu e estimulou o uso de uma calculadora; um debate coletivo, áudio gravado, com a discussão de algumas questões e respectivas resoluções, surgidas nos protocolos obtidos com a atividade. Com as análises do questionário, das observações escritas, da áudio-gravação e dos protocolos, pode-se concluir que, no grupo pesquisado, os processos de mediação próprios da ZDP não ocorreu de modo satisfatório e todos os sujeitos mostraram dificuldades para fazer a conversão de uma expressão aritmética para um problema em língua materna. Durante a atividade, usaram a calculadora apenas, como artefato, para conferir ou obter alguns resultados numéricos e não perceberam o potencial uso dela como instrumento de ensino na passagem de um problema proposto em língua materna para uma expressão aritmética e vice-versa, embora, no questionário de perfil, alguns tenham dado a entender que a calculadora poderia e deveria ser usada em sala de aula, como instrumento. Deixa-se como sugestão, para futuras pesquisas em Educação Matemática e para cursos de formação inicial de professores do Ensino Fundamental I, a elaboração de abordagens de ensino que propiciem a aprendizagem da conversão entre problemas aritméticos propostos em língua materna e respectivas expressões numéricas e do uso de uma calculadora como instrumento de ensino em sala de aula de Matemática, bem como estimulem a mediação entre os sujeitos, como forma de vivenciar a ZDP.
Palavras-chave: Expressões aritméticas. Calculadora. Problemas aritméticos.
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ABSTRACT
SALOMÃO, C. A. R. A passagem de textos em língua materna para expressões aritméticas, mediada pelo uso de uma calculadora. 2013. 171f. Dissertação de Mestrado – Pós Graduação Stricto Senso Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2013.
It was developed a research study aiming to bring into light a discussion about the rules to solve arithmetic expressions, taking into account its importance to transform an arithmetic problem, given in natural language, in an arithmetic expression, and the other way around; also give an example of a possible approach for using a calculator, as an instrument for apprenticeship, beyond its use to verify numerical results. In order to achieve such aims, it was done an intervention with thirty two last year students from a Pedagogy Preservice Training Course, in São Paulo, Brasil, to answer the following research questions: “Which conceptions they have in relationship with those rules?”; “They have perceived the role of those rules in the conversion between natural language arithmetic problems and respective arithmetic expressions and vice-versa?”; “May the use of a simple calculator help the conversion between natural language arithmetic problems and respective arithmetic expressions and vice-versa?”. The chosen theoretical framework was Lev S. Vigotsky´s ideas of Zone of Proximal Development, Raymond Duval´s Semiotic Representation Registers Theory and Pierre Rabardel´s Instrumental Theory, about the importance of mediation when one want to transform an artifact in instrument. The research was developed in three steps: an individual subjects profile´s questionnaire; a written activity, developed in couples, accompanied by neutral observers, in which we permit and stimulate using a calculator; a general discussion, with some questions and responses given in the couples activity´s protocols. This discussion was audio recorded and the tapes translated. Questionnaires, activity´s protocols, written observations and translated records were analyzed and it was possible to conclude that, with this group, Zone of Proximal Development mediation processes did not evolve in all couples satisfactorily and all the subjects have shown difficulty in order to convert an arithmetic expression into a written problem. During the activity, they have used the calculator just as an artifact, to check or to obtain numerical results, and they did not perceive its potential use as a teaching instrument in helping the conversion between an arithmetic verbal problem and the respective arithmetic expression and vice-versa, although their positive opinion, given in the questionnaire, about its use in classrooms. Based on these results, it is wise to suggest, for further researches in Mathematics Education and for Pedagogy Preservice Training Courses, to explore teaching approaches that may propitiate the apprenticeship of the conversion between arithmetic problems, proposed in natural language, and respective arithmetic expressions and the use of a calculator as a teaching instrument in Mathematics classrooms. Also, in those Courses, to stimulate mediation among the subjects, as a way to develop the processes known as Zone of Proximal Development.
Key words: Arithmetic Expressions. Calculator. Arithmetic verbal problems.
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Lista de Quadros
Quadro 1: Representações e Registros de Duval ............................................ 45
Quadro 2: Faixa etária...................................................................................... 60
Quadro 3: Formação escolar ............................................................................ 61
Quadro 4: Ano de conclusão do Ensino Médio ................................................ 61
Quadro 5: Expressões aritméticas e suas regras ............................................. 63
Quadro 6: Importância de ensinar expressões aritméticas .............................. 64
Quadro 7: Utilização da calculadora ................................................................ 66
Quadro 8: Uso da calculadora no cotidiano ..................................................... 67
Quadro 9: Leciona ............................................................................................ 68
Quadro 10: Qual sua profissão e se nela, utiliza calculadora ........................... 70
Quadro 11: Contribuição do uso da calculadora .............................................. 71
Quadro 12: Resposta da questão 11 ............................................................... 74
Quadro 13: Duplas formadas para a atividade. ................................................ 76
Quadro 14: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (12N,18N) ............................ 78
Quadro 15: Respostas das questões 4 e 5 da (12N,18N) ................................ 78
Quadro 16: Análise do enunciado da (12N,18N) pela (11N,14N) .................... 80
Quadro 17: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (20N,24N) ............................ 80
Quadro 18: Respostas das questões 4 e 5 da (20N,24N) ................................ 81
Quadro 19: Análise do enunciado da (20N,24N) pela (1N,22N) ...................... 83
Quadro 20: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (8N,13N) .............................. 83
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Quadro 21: Respostas das questões 4 e 5 da (8N,13N) .................................. 84
Quadro 22: Análise do enunciado da (8N,13N) pela (4N,25N) ........................ 86
Quadro 23: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (11N,14N) ............................ 86
Quadro 24: Respostas das questões 4 e 5 da (11N,14N) ................................ 88
Quadro 25: Análise do enunciado da (11N,14N) pela (9N,21N) ...................... 89
Quadro 26: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (1N,22N) .............................. 89
Quadro 27: Respostas das questões 4 e 5 da (1N,22N) .................................. 90
Quadro 28: Análise do enunciado de (1N,22N) por (3N,15N) .......................... 91
Quadro 29: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (9N,21N) .............................. 91
Quadro 30: Respostas das questões 4 e 5 da (9N,21N) .................................. 92
Quadro 31: Análise do enunciado da (9N,21N) pela (8N,13N) ........................ 93
Quadro 32: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (17N,28N) ............................ 94
Quadro 33: Respostas das questões 4 e 5 da (17N,28N) ................................ 95
Quadro 34: Análise do enunciado da (17N,28N) pela (10N,27N) .................... 96
Quadro 35: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (6N,32N) .............................. 96
Quadro 36: Respostas das questões 4 e 5 da (6N,32N) .................................. 97
Quadro 37: Análise do enunciado da (6N,32N) pela (20N,24N) ...................... 98
Quadro 38: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (16N,19N) ............................ 99
Quadro 39: Respostas das questões 4 e 5 da (16N,19N) .............................. 100
Quadro 40: Análise do enunciado da (16N,19N) pela (6N,32N) .................... 101
Quadro 41: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (3N,15N) ............................ 101
Quadro 42: Respostas das questões 4 e 5 da (3N,15N) ................................ 102
Quadro 43: Análise do enunciado da (3N,15N) pela (23N,30N) .................... 104
Quadro 44: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (4N,25N) ............................ 104
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Quadro 45: Respostas das questões 4 e 5 da (4N,25N) ................................ 105
Quadro 46: Análise do enunciado da (4N,25N) pela (12N,18N) .................... 106
Quadro 47: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (10N,27N) .......................... 107
Quadro 48: Respostas das questões 4 e 5 da (10N,27N) .............................. 108
Quadro 49: Análise do enunciado da (10N,27N) pela (17N,28N) .................. 108
Quadro 50: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (5N,31N) ............................ 109
Quadro 51: Respostas das questões 4 e 5 da (5N,31N) ................................ 110
Quadro 52: Análise do enunciado da (5N,31N) pela (16N,19N) .................... 111
Quadro 53: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (23N,30N) .......................... 111
Quadro 54: Respostas das questões 4 e 5 da (23N,30N) .............................. 112
Quadro 55: Análise do enunciado da (23N,30N) pela (5N,31N) .................... 113
Quadro 56: Análise do enunciado da (23N,30N) pela (5N,31N) .................... 113
Quadro 57: Resposta de (16N, 19N) à questão 5 da atividade ...................... 123
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Sumário
INTRODUÇÃO ................................................................................................. 16
CAPÍTULO 1: JUSTIFICATIVA ......................................................................... 20
1.2 Objetivos e Questões de Pesquisa ............................................................. 24
CAPÍTULO 2: REVISÃO DE LITERATURA ...................................................... 25
CAPÍTULO 3: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS ................................................ 39
3.1 Ideias de Lev S. Vygotsky – Zona de Desenvolvimento Proximal .............. 39
3.2 Estudos de Pierre Rabardel ........................................................................ 42
3.3 Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval .... 44
3.4 As Regras de Prevalência Operatória ........................................................ 47
CAPÍTULO 4: CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS ................................... 49
4.2 O questionário ............................................................................................ 51
4. 3 Análise preliminar da atividade ................................................................. 55
CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE DADOS ................................................................ 60
5.1 Análise das respostas dadas ao questionário de perfil .............................. 60
5.2 Análise dos protocolos e das observações ................................................. 77
5.2.1 Análise por dupla ..................................................................................... 77
5.3 Análise do debate coletivo ........................................................................ 114
5.4 Conclusões ............................................................................................... 120
CAPÍTULO 6: CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................... 125
6.1 Respostas às questões de pesquisa ........................................................ 125
6.2 Considerações finais ................................................................................ 129
REFERÊNCIAS .............................................................................................. 134
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APÊNDICES ................................................................................................... 137
Apêndice A - QUESTIONÁRIO DE PERFIL ................................................... 137
Apêndice B - ATIVIDADE EM DUPLA ............................................................ 139
Apêndice C – RELATÓRIO DE OBSERVAÇÃO ............................................ 143
Apêndice D - TRANSCRIÇÃO DO DEBATE COLETIVO ............................... 145
ANEXOS ......................................................................................................... 168
Anexo A - TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO .......... 168
Anexo B – PARECER DA COMISSÃO DE ÉTICA ......................................... 171
16
INTRODUÇÃO
Considerei importante, nesta introdução, escrever um pouco sobre minha
trajetória acadêmica. Em 2001, entrei no curso de Bacharelado e Licenciatura em
Matemática, aprendi a gostar desta disciplina - da qual tantos têm medo - e a
dedicar meu tempo para estudá-la. Em 2005, ao retirar meu histórico escolar de
graduação, encontrei o professor de Estatística que falou sobre a Especialização em
Educação Matemática e comecei a ver uma oportunidade para estudar o assunto.
Para receber o título de Especialista em Educação Matemática, desenvolvi a
monografia “As dificuldades relacionadas às equações de 1º e 2º grau”, na qual, em
um capítulo, discuti uma proposta para utilizar jogos em sala de aula. Naquela época
ainda não lecionava e somente em 2007, tive oportunidade de fazê-lo como
eventual1 na escola pública estadual, mas era difícil entrar em aulas de Matemática
ou de Física. Em outubro de 2007, o professor de Física tirou licença-prêmio e fiquei
com as aulas até o final do ano. Fazia o que gostava e me empenhava em trazer
problemas do cotidiano, o que fez com que esses alunos começassem a gostar e a
participar. No ano seguinte, continuei como eventual e tive algumas salas de apoio
de Matemática, nas quais utilizava novos recursos, como jogos e a calculadora, para
deixar as aulas mais motivadoras.
Desde 2009, leciono em um Curso Superior de Pedagogia a disciplina
“Metodologia do Ensino de Matemática”, que tem por objetivo abordar:
conteúdos de Matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental e da Educação Infantil, para atender as necessidades de formação do professor, possibilitando-lhes o acesso às diversas concepções sobre a Matemática, a sua aprendizagem e principais métodos2.
Em cada semestre letivo, tenho encontrado muitas dificuldades dos alunos ao
trabalhar com “Expressões aritméticas com números naturais e a conversão do texto
em língua materna para expressões aritméticas e vice-versa” que, da convivência
com eles em sala de aula, parecem estar relacionadas ao desconhecimento ou ao
1Eventual no estado de São Paulo é o professor que não é concursado, faz uma inscrição e fica à disposição na escola, caso algum professor falte. 2Extraído do plano de ensino da disciplina. ..
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descumprimento das regras de resolução de tais expressões, chamadas por Arrais
(2006) de “prevalência operatória”3. São elas: 1. Em relação aos sinais separadores
que aparecem numa expressão, resolver parênteses, colchetes e chaves, nesta
ordem; 2. Em relação às operações envolvidas, resolver “multiplicações” e “adições”,
nesta ordem. Nossa hipótese é que estas dificuldades podem estar ligadas a pelo
menos três fatores: eles não tiveram este conteúdo na própria Educação Básica; não
as apreenderam corretamente; não as consideraram importantes (e por isso, as
esqueceram ou não as cumprem).
Considero que o professor do Ensino Fundamental deve conhecer as regras e
valorizá-las, pois são conteúdos que irão ensinar e que terão aplicações futuras para
grande parte dos estudantes, na passagem de textos em palavras para expressões
aritméticas, como parte integrante da “arte de resolver problemas”. No ensino de
Matemática, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), “Um problema
matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações
ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de
início, no entanto é possível construí-la”. (1997, p. 44).
Em 2011, prestei o processo seletivo para o Mestrado em Educação
Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, (na época, Universidade
Bandeirante de São Paulo – UNIBAN), pois decidi que devo estudar e pesquisar
uma forma de discutir com alunos de Pedagogia a passagem do texto em palavras
para expressões aritméticas, porque fazem parte importante da aprendizagem em
Matemática; as regras de prevalência operatória, porque depende delas o sucesso
nessa passagem; e o uso de uma calculadora, em sala de aula, como uma
ferramenta que pode ser útil na verificação de resultados e, consequentemente, na
correção de caminhos e resultados e não só como facilitadora de operações
básicas.
3Usamos a expressão “prevalência operatória” para designar as regras que regem a resolução de expressões matemáticas numéricas, tais como: primeiro multiplicações e divisões, depois adições e subtrações e similares, baseando-nos nas ideias de Arrais (2006).
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Escolhi realizar uma intervenção junto a um grupo de alunos formandos de um
Curso de Pedagogia, em três etapas. Na primeira, pedi que preenchessem um
questionário de perfil, aplicado individualmente, com questões que me dessem uma
ideia da faixa etária e, principalmente, das concepções que têm sobre as regras de
resolução de expressões aritméticas e sobre o uso de uma calculadora em sala de
aula de Matemática, do Ensino Fundamental I. Na segunda etapa, apliquei uma
atividade para duplas de alunos, que foram acompanhadas por observadores
neutros, com questões que podem ser resolvidas com a ajuda de uma calculadora e
que envolvem a resolução de expressões aritméticas, a passagem de um problema
aritmético para a respectiva expressão e a passagem de uma expressão aritmética
para um problema que pode ser resolvido por esta expressão. Na terceira e última
etapa, realizei um debate coletivo, que foi áudio-gravado, com uma discussão sobre
questões e resoluções apresentadas pelas duplas na atividade.
Este texto é o resultado desse estudo e dessa pesquisa, e o estruturei em seis
capítulos. No Capítulo 1, apresento uma justificativa para este trabalho, baseada em
outras pesquisas da área, nos Parâmetros Curriculares Nacionais e na Proposta
Curricular do Estado de São Paulo. Ao final do Capítulo 1, coloco os objetivos que
pretendi alcançar e as questões de pesquisa, as quais respondi no final deste
trabalho.
No Capítulo 2, descrevo as leituras que realizei para formar a revisão de
literatura, com o objetivo de situar minha pesquisa no contexto da Educação
Matemática.
No Capítulo 3, apresento as considerações teóricas utilizadas, baseadas nas
ideias de Vygotsky (1988) sobre a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), para a
atividade em duplas e para o debate coletivo; na Teoria dos Registros de
Representação Semiótica (DUVAL, 2009), para evidenciar e colocar em discussão a
passagem entre um texto verbal e a respectiva expressão aritmética e vice-versa
(que Duval chama de conversão) e as regras de prevalência operatória (que estão
associadas ao que Duval chama de tratamento); e na teoria da instrumentação de
Rabardel (1995), sobre a transformação de um artefato em instrumento que foi
19
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usada, neste caso, para evidenciar e colocar em discussão um trabalho não trivial
que pode ser feito com a calculadora, em sala de aula.
No Capítulo 4, descrevo os procedimentos metodológicos usados no
desenvolvimento da pesquisa, que pode ser caracterizada como uma intervenção,
com análise qualitativa dos dados. Dele, constam o que chamei de análise didática
dos dois instrumentos de pesquisa - o questionário de perfil e a atividade – que fiz
antes de aplicá-los, para deixar claros os objetivos de cada pergunta do questionário
e de cada questão da atividade.
No Capítulo 5, apresento a análise dos protocolos obtidos com o questionário e
com a atividade para a qual também, considerei as observações escritas feitas pelos
observadores das duplas e análise das discussões do debate coletivo.
O Capítulo 6 é dedicado às conclusões - nas quais constam as respostas às
questões de pesquisa - e às considerações finais, com uma análise do percurso da
pesquisa como um todo – inclusive, pontos que considerei positivos e aqueles que
considerei negativos - e questões que surgiram ao longo do percurso e que podem
ser respondidas com futuras pesquisas na área de Educação Matemática.
Encerro o texto com as referências utilizadas durante a pesquisa, os apêndices
A, B, C e D, nos quais coloquei, respectivamente, as questões do questionário de
perfil, as questões da atividade, o relatório de observação e a transcrição da áudio-
gravação do debate coletivo e os anexos A e B, nos quais coloquei o Termo de
Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE) e o parecer da Comissão de Ética da
Universidade Anhanguera de São Paulo (na época Universidade Bandeirante de
São Paulo – UNIBAN).
Espero que esta pesquisa contribua para o avanço de estudos na área de
Educação Matemática, no que se refere à aprendizagem das expressões
aritméticas, sua relação com a resolução de problemas aritméticos e ao uso de uma
calculadora em sala de aula, não só como um artefato motivador ou conferidor de
resultados numéricos.
20
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CAPÍTULO 1: JUSTIFICATIVA
1.1 Introdução
Como mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática
da Universidade Anhanguera de São Paulo, iniciamos nossa pesquisa procurando
documentos e pesquisas que tenham preocupações similares às nossas. Entre eles,
encontramos a dissertação de Arrais (2006), os Parâmetros Curriculares Nacionais4
(1997) e as Orientações Curriculares de São Paulo (2008).
Arrais (2006) desenvolveu um trabalho diagnóstico para identificar e analisar
crenças, concepções e competências que professores polivalentes têm ao ensinar
expressões aritméticas com números naturais. Ao final do trabalho, Arrais (2006)
deixou uma sugestão para futuras pesquisas.
Uma vez que estudamos, nesse trabalho as crenças, concepções e competências dos futuros professores polivalentes com relação às expressões aritméticas, torna-se imperioso agora, estudar intervenções de ensino que as tornem carregadas de significado. (ARRAIS, 2006, p. 156)
A ideia de trabalhar com expressões aritméticas interessou-nos e motivou-nos,
numa abordagem que pudesse dar-lhes um significado que consideramos muito
importante, que é a aplicação na resolução de problemas dados em língua materna.
Esta aplicação depende fortemente, do uso correto das regras que Arrais (2006)
chama de “prevalência operatória”, porque são elas que regem a resolução das
expressões e também, a passagem do texto verbal para a respectiva expressão
aritmética.
Para colocar em prática tal abordagem, com uma turma de alunos de
Pedagogia, optamos por fazer uma intervenção, em duas etapas: na primeira, para
resolver um conjunto de questões, nas quais sugerimos, mas não impomos o uso de
uma calculadora; e na segunda, um debate geral, com todos os sujeitos.
4A partir deste ponto, neste texto, usaremos a sigla PCN para designar os Parâmetros Curriculares Nacionais.
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Optamos pelo uso da calculadora, porque consideramos importante como
possível mediadora de ensino em geral e, particularmente, no caso da verificação da
coerência entre as expressões aritméticas e os enunciados de problemas aritméticos
em língua materna. Por exemplo, com uma calculadora que – permita a colocação
de expressões inteiras - e que já existem, inclusive, em aparelhos celulares - com
parênteses, colchetes e chaves, para depois, dar o valor da expressão. O sujeito,
neste caso, pode usá-la para comprovar resultados obtidos com papel e lápis e,
assim, comprovar o uso, correto ou não, das regras de prevalência operatória. Como
mediadora de ensino, encontramos reforço para esta ideia em Rego (1995, p. 51):
“Vygotsky que procura analisar a função mediadora presente nos instrumentos
elaborados para a realização da atividade humana. O instrumento é provocador de
mudanças externas, pois amplia a possibilidade de intervenção na natureza” e nos
PCN (1997, p. 46)
[...] é fato que o acesso a calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos já é uma realidade para parte significativa da população. A calculadora pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação é também um recurso para a verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de autoavaliação.
Como observamos anteriormente, vemos abordagens interessantes que podem
ser feitas com a mediação de uma calculadora, no caso da resolução de problemas
aritméticos, em sala de aula de Matemática do Ensino Fundamental I. Por exemplo,
por meio de tarefas exploratórias que permitam que os alunos investiguem e
verifiquem resultados obtidos com papel e lápis.
O debate em sala de aula, como uma forma de explorar a aprendizagem, pela
mediação entre as partes, num processo que Vygotsky (1988) chamou de Zona de
Desenvolvimento Proximal (ZDP), com um grupo de alunos de Pedagogia e para
provocar a discussão sobre a importância das regras na passagem de problemas
aritméticos, propostos em textos verbais para expressões aritméticas, pois como
futuros professores, espera-se que trabalhem essa passagem, com alunos dos anos
iniciais Ensino Fundamental e, segundo Vygotsky (1988), uma criança deve ter o
primeiro contato com novas atividades, com a participação de um adulto e o ensino
22
,
deve se antecipar ao que o sujeito não sabe e nem é capaz de aprender sozinho,
uma vez que “o que a criança pode fazer hoje com o auxilio dos adultos poderá fazê-
lo amanhã por si só”. (VYGOSTKY, 1988, p.113, apud PALANGANA, 2001, p. 129).
Encontramos respaldo para nossas ideias nos PCN (1997) e nas Orientações
Curriculares do Estado de São Paulo (2008), que apontam pontos importantes para
o uso da calculadora e das expressões em sala de aula, bem como nas ideias de
Duval, expressas na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL,
2009), que defende o trabalho em sala de aula, provocado pelo professor, da
passagem entre um problema proposto em língua materna e a respectiva expressão
aritmética. Sobre esta teoria, colocamos mais detalhes no nosso capítulo de
considerações teóricas (ver p. 44).
Segundo a Orientação Curricular do Estado de São Paulo (2008), “ao final da
3ª série do ciclo I, (atual 4º ano) os alunos deverão ser capazes de: interpretar e
resolver situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações
envolvendo números naturais”. (SÃO PAULO, 2008, p. 26), atendendo assim um dos
objetivos gerais que são colocados nesse documento para o ensino do ciclo I (atuais
2o ao 5o ano).
resolver situações-problema a partir da interpretação de enunciados, desenvolvendo procedimentos para planejar, executar e checar soluções para comunicar resultados e compará-los com outros, validando ou não os procedimentos e as soluções encontradas. (SÃO PAULO, 2008, p. 24)
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) consta que a resolução de
problemas é um caminho que a Matemática vem discutindo nos últimos anos: “Um
problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência
de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está
disponível de início, no entanto é possível construí-la”. (1997, p. 44).
Com relação à calculadora, os PCN (1997) a colocam como um recurso para
auxiliar nas aulas de Matemática:
23
,
[...] um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para essa visão é o fato de que ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação. (PCN, 1997, p. 46)
Nesse âmbito, sugerimos utilizar os problemas aritméticos para que o aluno
interprete, planeje e construa sua solução e a calculadora como mediadora desse
trabalho da passagem do texto em língua materna para a expressão aritmética, não
só para verificar resultados numéricos, mas também, e principalmente, para discutir
com os colegas acertos e erros, pois “[...] a calculadora pode ser utilizada como um
recurso didático, tanto para que o aluno analise resultados que lhe são
apresentados, como para controlar e corrigir sua própria produção” (PCN, 1997, p.
83) ou ainda para “análise de situações de cálculo para identificar a operação
realizada e testar hipóteses usando a calculadora” (Orientações Curriculares do
Estado de São Paulo, 2008, p. 29).
Nosso objetivo maior, portanto, é que o professor do Ensino Fundamental I –
egresso de um Curso de Pedagogia – tenha competência para incentivar seus
alunos a desenvolverem a capacidade de ler um problema matemático em texto
verbal, passá-lo para a expressão aritmética correspondente e resolvê-lo, tanto com
como sem o uso de uma calculadora.
Como podemos observar, as expressões aritméticas estão ligadas à resolução
de problemas, pois o aluno precisa interpretar um texto em língua materna para
depois, realizar a passagem para uma expressão aritmética e, daí, resolver o
problema inicialmente proposto. Isso demanda um conhecimento que “pressupõe
que o aluno elabore um ou vários procedimentos de resolução”. (PCN, 1997, p. 44).
Para desenvolver este conhecimento, encontramos respaldo nas ideias da Teoria
dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2009), mais precisamente, no
que Duval chama de conversão e que, segundo ele, não é espontânea nem natural,
e precisa ser trabalhada pelo professor, em sala de aula, pois envolve a mudança de
sistemas de representação.
24
,
Em nosso capítulo de considerações teóricas (ver p.44), discorremos com mais
detalhes as ideias dessa teoria, que usamos para justificar nosso trabalho com a
passagem entre um texto em língua materna e uma expressão aritmética que
traduza matematicamente esse texto, ou vice-versa.
1.2 Objetivos e Questões de Pesquisa
Colocamos como objetivos de nossa pesquisa: trazer à tona a discussão das
regras de resolução de expressões aritméticas, por sua importância na passagem
entre um problema aritmético proposto em língua materna e a respectiva expressão
aritmética e vice-versa; e mostrar uma abordagem possível para o uso de uma
calculadora, como instrumento de aprendizagem e não somente, como verificador
de resultados numéricos.
Atingidos estes objetivos, esperamos que alunos de Pedagogia adquiram
competências necessárias para incentivar seus alunos a desenvolverem a
capacidade de resolver uma expressão aritmética, quando se passa de um problema
em língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa, utilizando ou
não, uma calculadora.
E propusemo-nos a responder as seguintes questões de pesquisa: “Que
concepções trazem os alunos de Pedagogia sobre essas regras?”, “Eles percebem a
importância dessas regras na passagem de um problema proposto em língua
materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa?”, “A utilização de uma
calculadora simples pode auxiliar na passagem de problemas aritméticos propostos
em textos verbais, para as respectivas expressões aritméticas e vice-versa?”.
25
,
CAPÍTULO 2: REVISÃO DE LITERATURA
No capítulo anterior, colocamos nossa justificativa e o encerramos com nossos
objetivos e questões de pesquisa.
Nele, apresentamos as leituras que fizemos de trabalhos de pesquisadores que
se preocuparam com qualquer um dos temas que nos motivaram, como expressões
aritméticas, a passagem do texto verbal para a respectiva expressão aritmética e o
uso da calculadora no curso de Pedagogia. Procuramos documentos e trabalhos de
pesquisa que têm (ou tiveram) preocupações similares às nossas e buscamos,
nestas leituras, comparar o trabalho a que nos propusemos com o realizado por
esses pesquisadores da área Educação Matemática.
Para cada uma das leituras feitas, apresentamos um resumo do texto lido,
acompanhado de comentários que o relacionam com nossa pesquisa.
Como já mencionado na introdução (ver p.16), nosso interesse em pesquisar
sobre as expressões aritméticas veio da necessidade que sentimos de verificar
como poderíamos trabalhar esse assunto num curso de Pedagogia. Com isso,
chamou-nos a atenção o trabalho de Arrais (2006), que desenvolveu um estudo
diagnóstico para identificar e analisar crenças, concepções e competências de
professores polivalentes ao ensinar expressões aritméticas com números naturais. O
autor se propôs a responder às seguintes questões:
1a - Quais são as crenças e concepções no entendimento dos professores que ensinam Matemática acerca das expressões aritméticas? E do seu ensino? 2a - Que competências possuem os professores que ensinam Matemática nos 1° e 2° ciclos do ensino fundamental ao lidarem com as expressões aritméticas? (2006, p. 7).
A teoria utilizada foi a dos Campos Conceituais de Vergnaud (1987) e as ideias
de Nóvoa (2001) e Ponte (1992), ligadas, respectivamente, à formação de
professores em geral e de Matemática, em particular. A pesquisa diagnóstica foi
desenvolvida em duas etapas, um estudo piloto e o estudo principal. O estudo piloto
26
,
foi realizado durante um HTPC, com 16 professores, com o objetivo de ajustar o
instrumento para o estudo principal, que foi dividido em três partes: perfil, crenças e
concepções; e competências, por meio de um questionário que foi aplicado a 70
professores de quatro escolas do Ensino Fundamental da rede Municipal de São
Bernardo do Campo. A análise dos dados foi feita de forma qualitativa e quantitativa,
com base em três dimensões: 1. A do ensino, com uma pesquisa histórica sobre as
expressões aritméticas, olhando o passado, com registros de diários de classe,
provas institucionais e a reforma curricular de 1986; e o futuro, com os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) e quatro livros didáticos, utilizados pelos professores;
2. A da pesquisa, em que o autor procurou saber em que pesquisas realizadas na
época, colaboraram para o estudo das expressões aritméticas; 3. A dos campos
conceituais de VERGNAUD (1987), em que Arrais se baseia para olhar as
expressões aritméticas sob a ótica dos campos conceituais.
Os resultados da pesquisa foram: em relação à 1a questão a ser respondida, os
professores “acreditam” que a resolução das expressões aritméticas depende de um
conjunto de regras que devem ser aplicadas e “concebem” que são cálculos
simplesmente, e não modelos matemáticos para representar um problema; em
relação à 2a, Arrais (2006) conclui que professores apresentam dificuldades para
lidar com expressões que envolvem simultaneamente, estruturas aditivas e
multiplicativas e estas são maiores quando se tem uma sentença matemática e se
quer criar um problema que seja resolvido por ela.
Ao final do trabalho, Arrais (2006) deixa sugestões para futuras pesquisas e
interessamo-nos por uma delas.
Uma vez que estudamos, nesse trabalho as crenças, concepções e competências dos futuros professores polivalentes com relação às expressões aritméticas, torna-se imperioso agora, estudar intervenções de ensino que as tornem carregadas de significado. (ARRAIS, 2006, p. 156)
Desta sugestão de Arrais, veio o interesse em utilizar uma calculadora com
alunos do último semestre de um Curso de Pedagogia e preparar uma intervenção.
27
,
Procuramos outras pesquisas em que foi utilizada uma calculadora no curso de
Pedagogia e encontramos a de Santos (2010), que explora o possível uso da
calculadora nas séries iniciais do Ensino Fundamental, por meio de um trabalho com
um grupo de 20 estudantes do último ano de um Curso de Pedagogia de uma
universidade particular de São Paulo, com o objetivo de:
investigar quais aspectos estão envolvidos nessa apropriação por professores em formação inicial, e quais conhecimentos entram em jogo nesse complexo processo, buscou-se identificar elementos presentes nos processos de gênese instrumental e em que medida as atividades propostas suscitaram e/ou facilitaram tais processos. (SANTOS, 2010, p.6)
E se propôs a responder às seguintes questões
Qual o potencial de situações de análise, adaptação e experimentação de atividades integrando calculadora na construção de conhecimentos por parte de professores em formação inicial (licenciados em Pedagogia)? Em particular, quais relações podem ser estabelecidas por esses sujeitos entre os diferentes tipos de saberes em jogo? Quais características ou elementos das atividades favorecem a apropriação, pelos sujeitos, das especificidades da ferramenta no plano matemático e didático? (SANTOS, 2010, p. 43).
O estudo, de caráter diagnóstico, foi realizado com um questionário, seguido
por um debate sobre a utilização da calculadora, de acordo com os pressupostos de
uma engenharia didática que, por envolver adultos em formação num nível
universitário, o pesquisador chamou de “engenharia de formação” (SANTOS, 2010,
p. 34). O referencial teórico escolhido foi inspirado na abordagem instrumental de
Rabardel e Verillon (1995), que se fundamentam no conceito psicológico de
instrumento, colocando em evidência o processo mental elaborado pelo sujeito para
transformar um artefato em um instrumento de trabalho, tanto para práticas
matemáticas quanto para práticas didáticas. Colocamos mais detalhes sobre a teoria
de Rabardel (1995) em nosso capítulo de considerações teóricas (ver p.42).
Assim, ao findarmos nosso estudo, acreditamos ter atingido nosso objetivo inicial: enfocar a elaboração de uma engenharia de formação, usando a abordagem instrumental de Rabardel (1995), de tal forma que os envolvidos, professores em formação inicial,
28
,
pudessem vivenciar processos de gênese instrumental nas suas duas dimensões: instrumentação e instrumentalização. A progressiva gênese instrumental promoveu novas relações entre as dimensões do saber segundo Tapan (2006), a medida que as relações entre as licenciadas e a calculadora foram se ampliando. (SANTOS, 2010, p. 104)
Em nossa intervenção, optamos por sugerir, sem obrigar, o uso de uma
calculadora, para comparar e verificar a resolução de expressões aritméticas e as
regras de prevalência operatória, com o intuito de dar exemplo de um artefato que
pode ser usado na prática pedagógica para ser transformado em instrumento auxiliar
de trabalho (RABARDEL, 1995), tanto para si mesmo, como para os alunos desses
futuros professores do Ensino Fundamental I.
Como prevemos e defendemos o uso de uma calculadora pelos alunos do
Ensino Fundamental I, desde os anos iniciais e como os alunos de Pedagogia serão
futuros professores desse nível de ensino, interessamo-nos pelo estudo desse
instrumento em nossa pesquisa e, por esta razão, pela desenvolvida por Selva e
Borba (2010), que trazem como objetivo “subsidiar a discussão sobre o uso de
novas tecnologias em particular a calculadora, a partir da análise sobre como a
calculadora pode ser um recurso de desenvolvimento dos alunos de anos iniciais
[...]” (SELVA e BORBA, 2010, p. 13) e se propõem a responder às seguintes
questões: “O uso da calculadora por alunos de anos iniciais inibe o raciocínio das
mesmas? Este uso pode impedir avanços matemático futuros? A calculadora pode
ser utilizada como um recurso que auxilie o desenvolvimento do raciocínio
matemático?” (SELVA e BORBA, 2010, p. 11).
No livro que escreveram “O uso da calculadora nos anos iniciais do ensino
fundamental”, as autoras colocam que o propósito, é refletir a respeito das questões
acima com “os atores envolvidos, direta e indiretamente, nesse debate –
professores, alunos, pais e autores de livros didáticos, responsáveis pela elaboração
de propostas curriculares e pesquisadores, entre outros [...]” (SELVA e BORBA,
2010, p. 9) e, assim, contribuir para que a calculadora seja um instrumento útil na
sala de aula, pois acreditam que a decisão de propor e elaborar atividades com
recursos variados, é do professor, que sempre é o mediador na sala de aula.
29
,
Para saber como os professores se sentem em relação ao uso da calculadora,
entrevistaram 40 professores de 4º e 5º anos do Ensino Fundamental das redes
particular e pública, e concluíram que eles reconhecem que a vantagem do uso da
calculadora aparece: na realização de cálculos; na verificação de resultados; no
desenvolvimento do raciocínio lógico; como uma forma viável de resolver problemas;
e, ainda, por ser um recurso utilizado no dia a dia das pessoas, não pode deixar de
fazer parte das aulas.
Em relação às respostas dadas pelos entrevistados às perguntas: Quais as
vantagens do uso da calculadora em sala de aula segundo os professores? E a
principal desvantagem? As autoras destacam: “[...] os docentes apontam que esse
uso pode levar o aluno a depender da máquina e não se esforçar em realizar
corretamente cálculos necessários à resolução de problemas” (SELVA e BORBA,
2010, p. 38) e que “[...] pode enfatizar apenas a resposta de problemas e não o
processo de resolução dos mesmos [...]” (SELVA e BORBA, 2010, p. 38) e concluem
que é importante ressaltar que a calculadora não “resolve” o problema; não
determina a operação nem como ela deve ser digitada no teclado; e nem mesmo,
interpreta o resultado obtido. Todas essas tarefas devem ser realizadas pelo aluno,
que é o ser pensante na aprendizagem; e que, portanto, atribuir o papel de pensar à
calculadora, nos parece um grande equívoco.
No capítulo “usando a calculadora em sala de aula”, as autoras propõem
diferentes tipos de atividades com o uso deste recurso: jogos; conferência de
resultados; comparação de diferentes formas de procedimentos e estratégias na
resolução de problemas; utilização da ideia da tecla quebrada para que as crianças
achem novas possibilidades para resolver um problema; uso com expressões
matemáticas; exploração e discussão do cálculo mental.
Podemos analisar como o trabalho com expressões matemáticas envolvendo as quatro operações pode ser estimulado usando-se a calculadora. Neste caso, além de se explorar o teclado da calculadora, o aluno é solicitado a resolver cálculos e conferir a
30
,
importância da existência dos parênteses, dos colchetes e das chaves5. (SELVA e BORBA, 2010, p. 60)
Em nossa pesquisa, quisemos trabalhar exatamente esta importância, que é
colocada em prática pelas regras de prevalência operatória, para elaborar ou
resolver uma expressão aritmética, seja na calculadora ou no papel e lápis e,
principalmente, na passagem de problemas propostos em língua materna para a
respectiva expressão matemática ou vive-versa, “[...], pois outra convenção
matemática estabelece que primeiro sejam resolvidas as multiplicações e as
divisões, e depois as adições e as subtrações [...]” (SELVA e BORBA, 2010, p. 61).
Com o exemplo a seguir, Selva e Borba (2010) colocam em discussão as
regras necessárias para resolver as expressões: “a professora vai ao quadro e
coloca: 16 + 4 x 4 : 16 = ?. Alguns alunos encontram 5 e outros 17 como resultado”.
(2010, p. 62). Neste caso, a professora explora como acharam o 17 e o 5 e os
alunos podem aprender a utilização e a importância das regras. “[...] As crianças ao
trabalharem com a calculadora, também vão rediscutindo as regras das expressões
numéricas, percebendo que se infringirem algumas dessas regras, o resultado não
será correto [...]” (2010, p. 63).
O fato de uma calculadora enriquecer os processos de ensino e de
aprendizagem não deixa de lado a importância do uso do papel e do lápis, que
permitem que o aluno acompanhe os passos de uma resolução: “[...] a calculadora
apenas opera o que foi digitado, mas quem resolve o que vai ser operado, quem
define os passos a serem seguidos, a estratégia de resolução, é o seu utilizador [...]”
(SELVA E BORBA, 2010, p. 110)
As autoras encerram o trabalho sugerindo:
[...] a elaboração de uma proposta pedagógica da escola em relação ao uso das tecnologias que perpasse todos os níveis e modalidades de ensino, para que o uso das ferramentas tecnológicas não fique à mercê da decisão de um ou de outro professor e que não tenha uma continuidade ao longo do percurso escolar do estudante [...] (SELVA e BORBA, 2010, p. 113)
5 O sublinhado é nosso. (Nota do autor.)
31
,
Esse trabalho justifica o nosso, em relação à utilização da calculadora na
resolução de expressões aritméticas, como um instrumento para enriquecer a
discussão de seu uso; e o fato que os sujeitos têm de analisar a expressão antes de
digitá-la, a estratégia de quais são as regras e sua utilização, é do aluno.
Ainda na direção de utilizar uma calculadora com nossos sujeitos, encontramos
a dissertação de Rubio (2003), “Uso didático da calculadora no ensino fundamental:
possibilidades e desafios”, que teve como objetivo “discutir a possibilidade da
calculadora, enquanto recurso didático, para as aulas de matemática do Ensino
Fundamental” (2003, p. 108). A pesquisa foi realizada numa 4ª série (atual 5º ano)
do Ensino Fundamental da cidade de Pompéia, São Paulo, para responder à
seguinte questão: “Quais as possibilidades e os desafios encontrados para a
introdução da calculadora, como recurso didático, nas aulas de Matemática do
Ensino Fundamental?”. (2003, p. 7)
Rubio (2003) aplicou um conjunto de atividades, que iniciam com a história da
calculadora e passam por questões de reconhecimento das funções dadas pelas
teclas da máquina - com o objetivo de familiarizar os alunos – e de exploração da
tecla de memória. Realizou também, uma atividade do tipo “adicionando e
subtraindo” e outras com a calculadora “quebrada” e a resolução de problemas. O
autor encerra afirmando que:
o uso da calculadora nas aulas de matemática não se encerra em “fazer contas”, é necessário discutir e formular situações que favoreçam o uso da calculadora enquanto recurso didático para atividades que proporcionem ao aluno o debate, o pensar, a resolução de problemas, o raciocínio e o desafio [...]. (RUBIO, 2003, p. 108 – 109)
Esta pesquisa contribuiu com a nossa por ter concluído que o uso da
calculadora em sala de aula não resolve tudo, o aluno tem de saber como usar esse
recurso. Os professores desses alunos, então, devem estar preparados, não só para
utilizar o instrumento como tê-lo instrumentalizado. Além disso, consideramos
importante que alunos de Pedagogia conheçam as regras de “prevalência
32
,
operatória” e a calculadora é um artefato que pode ser usado para comparar
resultados e trazer à tona a importância do uso das regras, em Matemática.
Como nosso tema envolve as regras de resolução de expressões aritméticas,
que Duval (1995) chama de tratamento, e pretendemos trabalhar a passagem de
problemas propostos em língua materna para expressões aritméticas e vice-versa,
que Duval (1995) chama de conversão, foi importante a leitura da dissertação de
Silva (2009), que coloca o assunto das expressões com a utilização do jogo Contig
60®, para “[...] investigar a apropriação da expressão numérica por alunos de 5ª
série (atual 6º ano) do Ensino Fundamental, a partir de conversões de Registros de
Representação Semiótica” (2009, p. 9). Silva usou alguns pressupostos da
Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996) com o jogo Contig 60® como ferramenta,
“pois ele tem como característica desenvolver o raciocínio e estimular
questionamento” (2009, p. 9). A análise dos dados obtidos por ela foi qualitativa,
para responder à seguinte questão de pesquisa: “Alunos da 5ª série do Ensino
Fundamental articulam diferentes Registros de Representação Semiótica para as
expressões numéricas após intervenção com o jogo Contig 60®?” (SILVA, 2009, p.
37).
Segundo esta pesquisadora (2009, p. 15), “consideramos tão importante o
ensino das expressões numéricas na 5ª série do Ensino Fundamental, como a busca
por um instrumento que auxilie no processo de ensino e aprendizagem desse
conteúdo [...]”. Na busca por um instrumento, a pesquisadora opta por trabalhar com
um jogo para despertar o interesse e a aprendizagem dos alunos ao ensinar as
expressões aritméticas.
O estudo de Silva (2009) foi realizado primeiro com 12 professores do Ciclo I,
em três sessões realizadas durante o Horário de Trabalho Coletivo Pedagógico
(HTPC), nas quais a autora procurou observar se conseguiam “resolver atividades
que envolvam as expressões numéricas com a realização de tratamentos e
conversões, sem a necessidade de recorrer a um conjunto de regras para resolver
as situações-problema, tendo como um dos instrumentos o jogo”. (SILVA, 2009, p.
79). O foco não eram os professores e a pesquisa propriamente dita foi realizada
33
,
com 24 alunos da 5ª série (atual 6º ano) de uma escola estadual da cidade de São
Paulo, com os quais aplicou o jogo. Com as análises a priori (das questões
propostas) e a posteriori (dos protocolos obtidos durante as atividades realizadas), a
autora conclui que, após a intervenção com o jogo, os sujeitos começaram a
aprimorar o conhecimento em relação às expressões e passaram a utilizá-las como
uma ferramenta para modelar um problema.
Dentre todas as leituras que realizamos, o trabalho de Silva (2009) foi o que
consideramos mais próximo do nosso, pois a pesquisadora trabalhou com
expressões aritméticas e usou a Teoria dos Registros de Representação Semiótica
(DUVAL, 2005), embora nosso instrumento seja uma calculadora e não tenhamos
tornado seu uso obrigatório. Silva (2009), assim como nós, preocupou-se em colocar
em discussão a importância das regras que permitem passar de problemas
aritméticos propostos em textos verbais para as respectivas expressões e vice-versa
e coloca o jogo Contig 60® como um recurso para tal, trabalhando diretamente, com
um grupo de alunos. Acreditamos que nossos sujeitos, futuros professores, podem
perceber a calculadora como um recurso de verificação ou um auxiliar na
autoavaliação, no caso da resolução de problemas.
Outra pesquisa que consideramos neste estudo foi a de Guinther (2009), que
desenvolveu um trabalho com o objetivo de analisar o desempenho de alunos do 7º
ano do Ensino Fundamental de uma escola estadual de Osasco, São Paulo, em
jogos matemáticos, envolvendo o uso da calculadora, com a seguinte questão de
pesquisa:
quais estratégias pedagógicas, considerando o uso da calculadora simples em sala de aula, podem tornar mais eficiente a percepção dos erros cometidos na manipulação de estruturas aditivas e multiplicativas entre alunos do Ensino Fundamental? (2009, p. 18)
Como fundamentação teórica, Guinther (2009) baseou-se nas pesquisas de
Penteado (2001), Rubio (2003), Borba (2005), Schiffl (2006), Borba et al (2008) e
Sampaio e Leite (2008), que defendem o uso da calculadora como mediadora. Para
o recurso aos jogos, baseou-se na pesquisa de Grando (1995, 2000); e os autores
34
,
Bianchini (2001), Cunha (2002), Fonseca (2005), Bonanno (2007) e Rasi (2009) para
estratégias utilizadas com números decimais e as estruturas aditivas e
multiplicativas.
Este estudo constituiu-se como uma pesquisa interventiva, com análise
qualitativa dos dados e teve como instrumentos dois jogos matemáticos: maze e hex
da multiplicação. Participaram 32 alunos, divididos em 16 grupos de dois que, em
ambos os jogos, trabalharam sem a calculadora e registraram os resultados da
dupla em uma folha de atividades. A calculadora foi utilizada posteriormente, para
que os alunos verificassem os erros encontrados nestas folhas, o que deu início a
um novo jogo. Assim, os alunos tiveram a chance de verificar os cálculos e os erros
cometidos durante ambos os jogos.
Com os dados das entrevistas realizadas, Guinther (2009) percebeu “que
alguns alunos verbalizam mais do que escrevem, e que o recurso à calculadora
facilitou verificar os resultados errados que sem sua utilização acreditavam estar
corretos”. (GUINTHER, 2009, p. 157)
A análise dos dados coletados nos aponta que, a prática docente da matemática ganha novos horizontes com o auxílio dos jogos e da calculadora, podendo facilitar aos professores nas suas tarefas de promover um ensino mais significativo da matemática e dos alunos uma visão diferente do uso da calculadora em sala de aula. (GUINTHER, 2009, p. 9)
O autor encerra seu estudo afirmando que acredita:
[...] que a prática docente da matemática ganhou novos horizontes com o auxilio da calculadora, facilitando ao professor na sua tarefa de promover um ensino mais significativo da matemática e para os alunos uma visão diferente do uso da calculadora em sala de aula. (GUINTHER, 2009, p. 159)
Como este autor coloca, acreditamos também que a calculadora pode ser
usada como uma “verificadora do uso, correto ou não” de regras matemáticas de
resolução de expressões aritméticas, o que irá permitir uma análise qualitativa das
resoluções e respostas obtidas. Esperamos que este instrumento seja motivador
35
,
para nossos sujeitos trabalharem em sala de aula, de forma que os alunos tenham
uma visão diferente do que seja resolver uma expressão aritmética ou obtê-la a
partir de um texto em língua materna ou vice–versa.
Para a continuação das ideias do nosso trabalho, fizemos a leitura da pesquisa
desenvolvida por Melo (2008), “A prática do professor de Matemática permeada pelo
uso de uma calculadora”, em que foram realizadas entrevistas com professores de
Matemática do Ensino Fundamental e Médio das redes pública e particular do
estado de São Paulo, com o objetivo de “entender como acontece a utilização ou
não da calculadora, em sala de aula, e compreender a visão dos pesquisadores que
aprofundaram seus estudos sobre o assunto” (2008, p. 7).
O autor coloca as seguintes questões de pesquisa:
a calculadora tem-se apresentado como um instrumento facilitador do processo de aprendizagem dos alunos? A calculadora pode ou não fazer com que o aluno desperte para outras propriedades, que sem ela não seriam observadas? Problemas ou atividades contextualizadas no dia-a-dia do aluno, com o uso da calculadora, poderiam mesmo ser mais interessantes, fazendo com que, ao livrar-se de cálculos enfadonhos, o aluno desse mais atenção aos processos de sua resolução? (MELO, 2008, p. 18)
E conclui que a calculadora “[...] é usada como motivação para a realização de
tarefas exploratórias e de investigação, a correção de erros, a verificação de
resultados, a autoavaliação e como recurso na resolução de situações desafiadoras
pelo aluno [...]” (MELO, 2008, p. 7).
Acreditamos que a calculadora pode auxiliar nos procedimentos dos cálculos e
que o professor deve buscar problemas desafiadores para que o aluno utilize seu
raciocínio, pois concordamos com Melo (2008, p. 109) que: “[...] o uso da
calculadora não se resume a fazer contas, o professor deve preparar atividades que
proporcionem o debate, o raciocínio, a resolução e o desafio.” Muitos acreditam que
a calculadora não pode ser utilizada em sala de aula, mas a discussão que iniciamos
pode abrir um debate sobre o assunto e mostrar que, com a devida preparação, é
um desafio que pode ser superado e que os professores podem usá-la de forma a
proporcionar, por meio dela, uma boa interação entre o aluno e a Matemática.
36
,
Após todas essas leituras, sentimos necessidade de realizar uma que
colaborasse com a nossa pesquisa no que se refere à passagem dos textos em
língua materna para as expressões aritméticas. Feio (2009), em sua Dissertação de
Mestrado em Ciências e Matemática com o título Matemática e Linguagem: um
enfoque na conversão da língua natural para a linguagem matemática”, coloca como
objetivo “identificar e analisar quais as possíveis dificuldades advindas da linguagem
que alunos enfrentam na conversão da língua natural para a linguagem matemática”
(2009, p. 10), com a seguinte questão: “Quais as dificuldades que os alunos
enfrentam na conversão da língua natural para a linguagem matemática?.” (FEIO,
2009, p. 22)
Feio (2009) utilizou como embasamento teórico o tratamento e a conversão de
registros (DUVAL, 1995), o conceito de significado ligado à filosofia da linguagem
(WITTGENSTEIN, 1991) e significações do aspecto formal da linguagem matemática
(GRANGER, 1975). A pesquisa, de caráter diagnóstico, foi realizada com alunos de
1ª e 3ª séries do Ensino Médio de duas escolas públicas da cidade de Belém e os
dados analisados foram os protocolos dos alunos de quatro turmas - duas com
atividades não padrão (outro professor) e duas com provas bimestrais (ele mesmo) –
e anotações de entrevistas com esses alunos.
O autor conclui que é importante que o professor trabalhe em sala de aula a
Matemática e a linguagem, o que reforça nossa ideia de explorar a passagem de
textos em língua materna para expressões aritméticas e analisar a importância das
regras de prevalência operatória na interpretação dos sujeitos de uma expressão
aritmética.
A leitura da dissertação de Watabe (2012), que desenvolveu seu trabalho com
o objetivo de analisar as características da resolução de problemas matemáticos no
4º ano do Ensino Fundamental de uma escola municipal da cidade de São Paulo,
com a seguinte questão de pesquisa: “Quais são as possibilidades e dificuldades de
um grupo de estudantes do 4º ano do Ensino Fundamental, ao resolver problemas?”
(WATABE, 2012, p. 18), foi importante para reforçar nossa ideia de explorar a
conversão entre um problema aritmético proposto em língua materna para a
37
,
respectiva expressão, com o possível uso de uma calculadora, para mostrar uma
alternativa de trabalho em sala de aula, para a resolução de problemas em
Matemática.
Watabe (2012) usou como fundamentação teórica a Teoria dos Campos
Conceituais (VERGNAUD, 1996) e os estudos de Vigotski (2010) com a Zona de
Desenvolvimento Proximal: “tomamos como referência autores que defendem a
visão de leitura como interação entre o leitor e o texto, como Keneth Goodman,
Angela Kleiman e Isabel Solé” (WATABE, 2012, p. 19).
Esse estudo seguiu os parâmetros da pesquisa qualitativa, pois os dados foram
coletados diretamente, no ambiente da sala de aula, com 26 sujeitos do 4º ano do
Ensino Fundamental.
Foram analisados a partir de entrevistas, questionários, observação das interações que ocorreram na sala de aula, que terão registros – dos alunos e das observações realizadas pela pesquisadora, e em vídeos. Essas formas de registro permitiram traduzir com maior qualidade a trajetória da produção dos alunos. A análise do processo de interação aluno/aluno e aluno/professor foi relevante para se entender o desempenho dos alunos. (WATABE, 2012, p. 62)
A pesquisadora aplicou um questionário com o objetivo de levantar as
seguintes informações: a participação nas aulas, a relação com a Matemática e o
hábito de leitura. Fez uma entrevista com o professor, com o objetivo de obter dados
em relação à sua formação, como planeja as aulas de Matemática e quais as
dificuldades apresentadas pelos alunos; e aplicou atividades aos sujeitos com
questões baseadas em provas do Saresp, Brasil e da Cidade, como também,
questões elaboradas pela autora da pesquisa.
A pesquisa foi realizada em três etapas: na primeira, foi feita a entrevista com
a professora e aplicado o questionário aos sujeitos; na segunda, foi aplicada a
atividade a todos os sujeitos individualmente; e na terceira, participaram apenas três
duplas, com os sujeitos agrupados de acordo com os diferentes conhecimentos,
para verificar o efeito da ZDP.
Após as análises dos dados, a autora conclui que:
38
,
quanto ao processo de leitura que influenciou na resolução de problemas, foi observado que poucos alunos apoiaram-se nas palavras-chave para selecionar a operação pertinente à resolução do problema. Os resultados apontam que as estratégias de leitura também parecem ter implicação no entendimento do enunciado de problemas. A análise cujo foco foi o uso da linguagem na interação confirma a importância deste aspecto para a criação da Zona de Desenvolvimento Proximal e para a aprendizagem decorrente da interação nesse espaço de ação na prática de ensino. (WATABE, 2012, p. 08)
Como colocado pela autora, acreditamos na importância do trabalho que
considera aspectos da ZDP (Zona de Desenvolvimento Proximal) de Vigotski (2010)
para a discussão dos sujeitos e a interação entre eles, em relação a um tema
estudado que, no nosso caso, envolve a tomada de consciência sobre a importância
das regras de resolução de expressões aritméticas, tanto na resolução como para a
passagem de textos verbais às respectivas expressões aritméticas. Se um dos
sujeitos da dupla conhece as regras, pode ajudar o outro a entendê-las e utilizá-las,
convencendo-o dessa importância para fazer uma Matemática mais interessante e
dinâmica.
De acordo com nossos objetivos, nossas questões de pesquisa e as leituras
acima realizadas, esperamos que alunos de Pedagogia adquiram competências
necessárias para incentivar seus alunos a desenvolverem a capacidade de resolver
uma expressão aritmética, quando se passa de um problema em língua materna
para a respectiva expressão aritmética e vice-versa, utilizando ou não, uma
calculadora.
39
,
CAPÍTULO 3: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
No capítulo anterior, apresentamos leituras que contribuíram para direcionar e
justificar nossa pesquisa. Neste, vamos discorrer sobre as considerações teóricas
que orientaram a elaboração das atividades e a análise, tanto dos protocolos como
da áudio-gravação e da discussão geral que desenvolvemos com o grupo. Como
são teorias conhecidas e bem elaboradas, não pretendemos explicá-las nem
reescrevê-las, mas sim, relatar as ideias que nos interessaram.
Para o trabalho com uma turma de Pedagogia e para as discussões, tanto nas
duplas como com o grupo todo, apoiamo-nos nas ideias de Vygotsky (1988) sobre a
Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), nos estudos de Rabardel (1995) e na
Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2009).
Procuramos, por meio de alguns exemplos, extraídos destes textos e de outras
leituras, esclarecer os pressupostos teóricos que auxiliaram a concepção das
atividades envolvidas em nossa pesquisa e que irão nos auxiliar no processo de
análise.
3.1 Ideias de Lev S. Vygotsky – Zona de Desenvolvimento Proximal
Muitos aspectos envolvem o desenvolvimento integral da criança e as
concepções de ensino e de aprendizagem sócio-construtivistas que valorizam o
trabalho com objetivos definidos e com embasamento teórico, pois a criança
aprende por meio da interação. Vygotsky (1988), por meio dos seus estudos, afirma
que se a criança estiver em um ambiente que proporcione condições de
aprendizado, vai se desenvolver muito bem e que esse aprendizado só vai ocorrer,
se houver uma intermediação, por parte do professor, dos pais, de outra criança ou
de qualquer outra pessoa mais experiente na tarefa. A criança, como ser social que
é, tem um aprendizado que acontece de fora para dentro, ou seja, a partir de
ambientes de aprendizagem, nos quais os conflitos são enfrentados pelo grupo.
Alunos de Pedagogia devem estar preparados para proporcionar essas condições
de ensino, para que os alunos deles possam desenvolver uma aprendizagem com a
40
,
construção de novos conhecimentos, pois, segundo Vygotsky, “o nível de
desenvolvimento real amanhã - ou seja, aquilo que uma criança pode fazer com
assistência hoje, ela será capaz de fazer sozinha amanhã”. (VYGOTSKY, 1991, p.
58).
Para definir e explicar como ocorre essa mediação, um dos conceitos
apresentados por Vygotsky - e que consideramos importante para nossa pesquisa -
é o de Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) que, segundo ele, é a distância
entre o nível de desenvolvimento real, determinado pela capacidade de resolver um
problema sem ajuda, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado pela
resolução de um problema, sob a orientação de uma pessoa mais experiente.
(VYGOTSKY, 1991, p. 57)
Nessa perspectiva, é de extrema importância conhecer e valorizar os saberes,
os conhecimentos, a cultura e as habilidades de cada aluno para obter êxito no
ensino. Dessa forma, tanto professor como alunos irão ampliar o campo de
conhecimentos, uma vez que o aluno traz para a escola seus saberes, que o
professor poderá e deverá aprimorar e enriquecer. “[...] considerar sempre a relação
entre o desenvolvimento real já alcançado pela criança e o nível de seu
desenvolvimento próximo; só assim a intervenção do educador provoca o
aprendizado [...]” (CARRARA, 2004, p. 145).
Nessa direção, usamos a calculadora, com os alunos de Pedagogia, como uma
forma de trabalhar conceitos e abordagens, com esses futuros professores, que
proporcionem condições para que possam utilizá-los em suas salas de aula e
porque acreditamos que ela pode mediar a passagem da língua materna para a
resolução de expressões aritméticas, assunto que consideramos importante para ser
trabalhado no Ensino Fundamental I. Nossa visão é corroborada pelas ideias de
Vygotsky que:
acredita que as possibilidades de ensino não podem ser definidas a partir de condições de aprendizagens manifestadas pelas crianças, ou seja, com base naquilo que estas podem resolver sozinhas. Para equacionar essa problemática, ele propõe um segundo nível de desenvolvimento que se refere às aprendizagens realizáveis
41
,
mediante ajuda de outras pessoas, qual seja, o nível de desenvolvimento potencial. (PALANGANA, 2001, p. 152)
A escola deve ter profissionais que colaborem com os processos de formação,
que devem ser estimulados ao longo do ensino, de maneira a auxiliar a
aprendizagem. Com o conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal, Vygotsky
(1988) mostrou que o bom ensino é aquele em que o educador estimula o estudante
a atingir um nível de habilidade e compreensão que ainda não domina, e que o
ensino de um novo conteúdo não deve ser apenas, a transmissão de uma nova
informação, mas sim, uma ampliação de sua estrutura cognitiva (VYGOTSKY, 1988).
Assim, é importante trabalhar com alunos de Pedagogia, que serão aqueles
profissionais que irão desempenhar o papel de educadores. Acreditamos que
nossos sujeitos irão levar para a sala de aula a bagagem de conhecimentos que
adquiriram no trabalho com uma calculadora, proporcionando aos alunos um ensino
diferenciado, que eles, depois, irão utilizar por conta própria.
Para Vygotsky (1988), ao fazer com a ajuda de uma pessoa mais experiente
aquilo que ainda não é capaz de realizar sozinho, o estudante está sendo preparado
para em seguida realizar a atividade por si mesmo. Segundo Carrara (2004, p. 144)
“[...] o bom ensino acontece num processo colaborativo entre o educador e a criança
[...]”. O educador deve atuar de forma parceira experiente, com tarefas que superam
o desenvolvimento atual da criança e que a preparam para realizá-las sozinha.
Saber identificar essas capacidades e trabalhar o percurso de cada criança são as
duas principais habilidades que o educador deve ter.
Outro conceito importante na teoria vygotskiana é o de mediação pela
interação social e pelo uso de instrumentos tecnológicos. Compreender essa
questão, que caracteriza as ações de um sujeito, é de fundamental importância para
o desenvolvimento das funções psicológicas e um instrumento tem a função de
regular essas ações: “Vygotsky procura analisar a função mediadora presente nos
instrumentos elaborados para a realização da atividade humana. O instrumento é
provocador de mudanças, pois, amplia a possibilidade de intervenção na natureza”.
(REGO, 1995, p. 51)
42
,
“Se os pensamentos das duas pessoas coincidirem, um perfeito entendimento
poderá ser obtido pelo simples uso de predicados, mas se estiverem pensando em
coisas diferentes, o mais provável é que não se entendam”. (VYGOTSKY, 1988,
p.120). Acreditamos que a atividade em duplas, em nosso estudo, pode gerar a
discussão sobre utilizar ou não, as regras de prevalência operatória e perceber a
importância dessas regras e das expressões aritméticas, para a resolução de
problemas aritméticos propostos em texto verbal.
3.2 Estudos de Pierre Rabardel
A calculadora é uma ferramenta que surgiu efetivamente, em 1980, conforme
Schiffl (2006, p. 19) “a partir dos anos 80, a evolução tecnológica aconteceu de
forma rápida e, desde então, surgiram diversos modelos de calculadoras de mesa e
de bolso [...]”. De acordo com Santos (2010, p.12), “No Brasil, a utilização de
calculadoras com as quatro operações já era discutida em 1977 por D’Ambrósio”. E
em 1997, os PCN sugerem a calculadora como um recurso para auxiliar nas aulas
de Matemática.
A calculadora pode provocar algumas ações, como por exemplo, utilizar o
raciocínio para aplicar as regras e escrever a expressão aritmética correspondente a
um enunciado dado em forma verbal, para resolver um problema.
Na abordagem antropocêntrica, defendida por Rabardel, “o homem ocupa uma
posição central a partir da qual são pensadas as relações com as técnicas, com as
máquinas e os sistemas” (RABARDEL, 1995, p. 20). Esta abordagem está voltada
para a atividade mediada por instrumentos, que é uma função do homem e a
definição de artefato está relacionada com o uso da máquina, por meio das ações.
A distinção entre artefato e instrumento, pode ser encontrada na teoria de
Rabardel (1995): um artefato nem sempre é um objeto material, mas é algo utilizado
como meio de ação, por um sujeito, em suas atividades. É preciso que ele aprenda a
utilizá-lo e desenvolva várias formas de utilização, evoluindo o artefato para a
condição de instrumento.
43
,
Segundo Rabardel (1995), a integração da calculadora pelo professor é um
processo de apropriação, que transforma esse artefato em um instrumento de
ensino. Nesse sentido, no caso das expressões aritméticas, o aluno tem de saber
organizar as operações que vai utilizar para colocar na calculadora a expressão
correta, que irá dar a resposta ao problema proposto. Quando o sujeito opta por
utilizar certo artefato em suas atividades, é necessário que se familiarize com ele, ou
seja, aprenda como funciona, para utilizá-lo em suas futuras ações. Esse processo
permite que o sujeito agregue ao artefato seus esquemas de utilização e que o
evolua para a condição de instrumento, ampliando assim, as possibilidades de um
ser humano em sua mediação com o mundo, tanto em suas relações sociais, como
individuais.
Segundo Rabardel (1999), os instrumentos podem ser utilizados no ensino
seguindo duas perspectivas: instrumentos para os estudantes, como mediadores de
seus processos de construção do conhecimento e instrumentos para os educadores
“no sentido de que podem ser considerados variáveis sobre as quais podem agir
para a concepção e o controle das situações pedagógicas.” (1999, p. 203)
Nas situações em que os sujeitos de nossa pesquisa utilizam uma calculadora,
este instrumento serve como mediador entre os pares nas relações didáticas que se
estabelecem entre educador, aluno, objeto de estudo, e a prática vai se constituindo,
para se tornar uma competência didática.
Traçar objetivos para as aulas sugere mudanças na prática profissional, que
estão relacionadas, principalmente, com o desenvolvimento de uma aula diferente
da que é usualmente ministrada, como é o caso de quando se utiliza um novo
instrumento. O professor tem de se posicionar diante do aluno, para verificar como
essa nova ferramenta está sendo utilizada durante as atividades sugeridas, como
uma forma de avaliar o processo de aprendizagem e, assim, avaliar se os objetivos
foram alcançados.
De acordo com Rabardel (1999), o processo pelo qual o sujeito desenvolve
esquemas de utilização sobre um determinado artefato é chamado de
instrumentação. Nele, o sujeito cria, modifica e atualiza seus esquemas de utilização
em relação aos artefatos que escolhe, para o desenvolvimento de suas atividades.
44
,
3.3 Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval
Ensinar matemática, sob o ponto de vista desse teórico, é, antes de tudo, possibilitar o desenvolvimento geral de capacidades de raciocínio, de análises e de visualização, visto que a atividade matemática se caracteriza pela articulação de Registros de Representações Semióticas, diferentes para o mesmo objeto matemático. (SILVA, 2009, p. 33.)
De acordo com Duval (2009), a importância dos registros de representação
semiótica justifica-se porque qualquer objeto matemático, que é abstrato, precisa ter
uma representação semiótica, se queremos trabalhar com a Matemática ou
comunicá-la. Além disso, um sujeito precisa articular pelo menos dois registros
diferentes, para não confundir um objeto matemático com qualquer um de seus
registros.
Por exemplo, para resolver um problema colocado em língua materna, o sujeito
precisa primeiro, interpretar o texto para depois, colocá-lo em uma expressão
aritmética e resolvê-la. Para interpretar o texto, o sujeito, de certa forma, precisa
parafraseá-lo, ou seja, na linguagem de Duval, fazer um tratamento da língua
materna. Para transformá-lo numa expressão aritmética, realiza o que é chamado na
Teoria de conversão, pois precisa mudar do registro feito em língua materna para o
registro algébrico, o que exige o conhecimento das regras de prevalência operatória.
Finalmente, para dar a resposta numérica, deve realizar um outro tratamento, desta
vez da expressão numérica, o que também, necessita das regras de prevalência
operatória. Ou seja, para resolver o problema aritmético proposto, o sujeito precisa
conhecer as regras e saber utilizá-las.
De acordo com Duval (2005, p. 14), existem quatro tipos distintos de registros
de representação (ver Quadro 1) e a distinção entre um objeto matemático e a
representação que se faz dele, é de extrema importância no funcionamento cognitivo
de um sujeito, de modo que ele mesmo se conscientize, participe e dirija seu
processo de aprendizagem.
45
,
Quadro 1: Representações e Registros de Duval
Fonte: Duval (2005, p. 14)
A fim de que ocorra a compreensão em Matemática, fazem-se necessários ao
menos dois tipos de registros como, por exemplo, utilizar a representação discursiva,
com registros multifuncionais como a língua materna, que não tem algoritmos de
formação e registros monofuncionais, como o sistema de representação algébrica,
que tem algoritmos para a formação.
O trabalho que desenvolvemos em Matemática, com a resolução de
problemas aritméticos, é um exemplo importante da necessidade de utilizar dois
registros diferentes, o da língua materna e o algébrico, com os respectivos
tratamentos e conversões e, acreditamos, justifica qualquer pesquisa que se
dedique a valorizar e entender esse uso.
Para Duval (2009), as representações semióticas têm o objetivo de “exprimir”
uma representação mental ou ainda “evocar” um objeto real. E existem três
atividades cognitivas fundamentais de representação que são inerentes a essa
representação: a formação, o tratamento e a conversão. A formação envolve a
escolha de um sistema de representação para o que se quer representar, com os
símbolos pertinentes e as regras de formação; o tratamento ocorre quando o objeto
representado é transformado, permanecendo no mesmo sistema de representação;
e a conversão quando mudamos a representação de um sistema de representação
para outro. No caso das expressões aritméticas, as regras de prevalência operatória
nos dão o tratamento e a passagem da língua materna para a expressão
correspondente, ou vice-versa, a conversão.
Os tratamentos e conversões das representações semióticas devem respeitar
regras próprias ao sistema utilizado para possibilitar a comunicabilidade e ainda,
permitir a compreensão do objeto matemático estudado.
46
,
Os tratamentos dão os algoritmos que nos permitem modificar um
determinado registro, sem mudar o sistema no qual esse registro foi formado, como
por exemplo, quando fazemos o cálculo de uma expressão aritmética como a que
segue:
52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 52 + 2 x 7 + 32 – 9 52 + 14 + 32 – 9
66 + 32 – 9 98 – 9 89
Para resolver a expressão numérica, não houve mudança de registro de
representação e foram aplicadas as regras de prevalência operatória que o
tratamento do registro algébrico nos permite usar, para chegar ao resultado. Vale
ressaltar que, uma vez feita a conversão do texto verbal para a expressão aritmética,
é por meio do tratamento, portanto das regras, que um sujeito chega ao resultado.
As conversões são transformações de um sistema de representação
semiótica para outro, mantendo-se um mesmo objeto matemático denotado. Assim,
a passagem de um texto em língua materna para o sistema algébrico, são exemplos
de conversões, conforme mostra o exemplo a seguir do questionário aplicado.
Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze
pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas.
Finalmente, saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
25 + (3 x 12) - (2 x 4) - 10
25 + 36 - 8 - 10
61 - 8 - 10
53 – 10
43
A conversão consiste em mudar a forma pela qual um objeto matemático é
representado, numa transformação externa em relação ao registro de representação
inicialmente, escolhido ou dado.
O processo de conversão da língua materna para o registro algébrico envolve
três etapas: 1. Leitura e interpretação do enunciado de um determinado problema,
47
,
ou tratamento da língua materna; 2. Conversão do texto para o registro algébrico; 3.
Tratamento no registro algébrico, para chegar à solução numérica procurada. No
processo inverso, ou seja, de uma expressão aritmética para um texto em língua
materna, ocorrem duas etapas bastante distintas: 1. Leitura e interpretação da
expressão aritmética, o que envolve as regras de prevalência operatória e não se
espera que o sujeito resolva a expressão aritmética; 2. Conversão para um texto em
língua materna, que deve respeitar as regras de prevalência operatória para que se
possam manter as condições do enunciado.
Por estas razões, em que apresentamos argumentos a respeito de nossas
escolhas teóricas, colocando as regras de prevalência operatória, por acreditar que
são elas que dão uma justificativa final para essas escolhas, como se fossem um fio
condutor ligando as ideias que expusemos.
3.4 As Regras de Prevalência Operatória
Para resolver as expressões aritméticas, utilizamos as regras chamadas de
prevalência operatória, que são consideradas “universais”, pois calculadoras,
computadores e seres humanos devem segui-las para que uma expressão
aritmética não tenha duas respostas numéricas diferentes. São elas, para
expressões aritméticas que contenham apenas, as quatro operações básicas:
a) deve-se resolver antes, as operações que estão dentro dos parênteses,
colchetes e chaves, nesta ordem;
b) deve-se resolver primeiro, as operações de multiplicação e divisão e estas,
na ordem em que aparecem;
c) em seguida, resolver as operações de adição e subtração, na ordem em
que aparecem.
Por exemplo, na questão 2 da atividade, a expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9
deve ser resolvida da seguinte forma: Primeiro, a adição 3+4 que está dentro dos
parênteses, pela regra a), que a transforma em 52 + 2 x 7 + 32 – 9. Em seguida, a
multiplicação 2 x 7, pela regra b), que nos dá como resultado da expressão 52 + 14
48
,
+ 32 – 9. E, finalmente, pela regra c), na ordem em que aparecem as operações, da
esquerda para a direita, o que resulta em 66 + 32 – 9 = 98 – 9 = 89.
Se olharmos criticamente e com cuidado as regras de prevalência operatória,
podemos perceber a importância de serem utilizadas, tanto na elaboração como na
resolução de expressões aritméticas, quando se trata da passagem entre um texto
proposto em língua materna e a respectiva expressão aritmética. Para ilustrar e
ressaltar essa importância, optamos por apresentar um exemplo, com uma
discussão de respostas corretas e não, se as regras forem ou não seguidas pelo
sujeito.
Exemplo 1: Comprei 2 lápis e 3 cadernos. Paguei R$ 3,50 cada lápis e R$
10,00 cada caderno. Quanto gastei?
Expressão aritmética correta, com o uso de parênteses: (2 x 3,50)+(3 x 10,00),
porque precisamos saber: primeiro, quanto gastei com os lápis (1o parênteses) e
quanto gastei com os cadernos (2o parênteses); depois, somar os dois gastos. Daí o
uso dos parênteses, para indicar a ordem de raciocínio correto possível.
Expressão aritmética correta, sem o uso de parênteses: 2 x 3,50 + 3 x 10,00 ou
3,50 x 2 + 3 x 10,00 ou 2 x 3,50 + 10,00 x 3, que estão corretas por causa da regra
de prevalência operatória b), que manda fazer primeiro as multiplicações e depois as
adições. Se o sujeito não obedecer esta regra, pode fazer 7,00 + 3 x 10,00 = 10,00 x
10,00 = 100,00 no primeiro caso, que não dá a resposta certa ao problema, porque a
regra b) não foi seguida e porque, pela estrutura do problema, não é este o
raciocínio que deve ser feito para calcular o gasto com lápis e cadernos.
Com as considerações que fizemos neste capítulo, acreditamos ter justificado
nossas escolhas: pelo público alvo; pelo assunto; pelo embasamento teórico; pelo
uso, embora não obrigatório, de uma calculadora; pelo trabalho em duplas; e pela
discussão geral. Apresentaremos, no próximo capítulo, os procedimentos
metodológicos que guiaram a nossa intervenção.
49
,
CAPÍTULO 4: CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS
No capítulo anterior, apresentamos as considerações teóricas que
julgamos importantes para elaborar as questões do questionário de perfil e da
atividade, estruturar o debate que fizemos com o grupo todo e que serviram de
base para as análises feitas dos protocolos e do debate coletivo.
Neste capítulo, apresentamos os procedimentos metodológicos que
utilizamos para o desenvolvimento da nossa pesquisa, que pode ser
caracterizada como uma intervenção com análise qualitativa dos dados, com a
utilização de três instrumentos de coleta: um questionário de perfil dos
sujeitos da pesquisa, individual; uma atividade escrita, de resolução de
problemas, em que se permitiu o uso de uma calculadora, realizada em duplas;
a áudio-gravação decorrente de um debate coletivo, com a discussão de
algumas das questões da atividade escrita e algumas resoluções dadas a
essas questões, por algumas duplas.
Nosso público alvo foi um grupo de trinta e dois alunos dos quarenta e
oito do último semestre de um curso de Pedagogia, de uma universidade
privada da cidade de São Paulo.
De posse da autorização do Diretor do Curso para realizar nossa
pesquisa, conversamos com a Coordenadora do Curso para a escolha da
turma e dos horários, e optamos por trabalhar com uma turma da noite. No dia
20 de junho de 2012, estavam presentes apenas trinta e dois alunos da sala,
sujeitos de nossa pesquisa, para os quais explicamos nossos objetivos gerais
sem, no entanto, informar qual seria o tema da Matemática abordado e os
orientamos para que ficassem à vontade para participar ou não. Fizemos a
leitura do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE), no qual
constam, entre outros, os objetivos da pesquisa; a participação do
pesquisador; os procedimentos metodológicos; a possibilidade do aluno
50
,
desistir da participação a qualquer momento; a não utilização dos resultados
da pesquisa para influenciar as notas na disciplina; a participação voluntária e
não remunerada; o sigilo em relação aos dados do aluno e da universidade.
Após esses esclarecimentos e a assinatura do TCLE pelos trinta e dois alunos
interessados em participar, entregamos o questionário de perfil individual
(Apêndice A, p.137), ao qual os sujeitos responderam.
Após a aplicação deste questionário, feito para obter informações sobre
a faixa etária, o tipo de Educação Básica e as concepções que cada
participante tem sobre o uso de uma calculadora em sala de aula e as regras
de resolução de expressões aritméticas, fizemos uma análise das respostas
para formar as duplas que iriam participar da segunda fase da pesquisa, a
aplicação da atividade. Nossos critérios consideraram o conhecimento ou não
das expressões aritméticas e a posição a favor ou não do uso de uma
calculadora e colocamos, em cada dupla, sujeitos que mostraram, no
questionário, ter ideias diferentes a respeito de um ponto ou do outro ou ainda,
de ambos.
Assim, formadas as duplas, aplicamos a atividade (Apêndice B, p. 139)
com cinco questões que abrangem: três para a resolução de expressões
aritméticas; uma para a passagem de um texto em língua materna para uma
expressão aritmética; e uma para a passagem de uma expressão aritmética
para um texto em língua materna, com o uso de uma calculadora. Essa fase
ocorreu no dia 24 de outubro de 2012, com a ausência de quatro sujeitos (2, 7,
26 e 29) e, assim, realizaram a atividade proposta apenas 14 duplas, cada uma
acompanhada por um observador neutro (alunos monitores de Matemática),
durante toda a realização da atividade. Esses observadores foram previamente
instruídos por nós sobre o tipo de observação que poderiam e deveriam fazer,
conforme nosso roteiro escrito, que colocamos no Apêndice C (p.143).
O encontro seguinte ocorreu no dia 21 de novembro de 2012 e nele,
realizamos o debate coletivo, que foi áudio-gravado e registrado por escrito por
51
,
observadores neutros, com as mesmas 14 duplas. Esse debate teve por
objetivo discutir as questões propostas na atividade e uma análise conjunta de
algumas das questões, com as respectivas resoluções, com o intuito de trazer
à tona a temática das regras de resolução, bem como a necessidade delas,
para conseguir a conversão entre textos em língua materna e as expressões
aritméticas que os representa, bem como provocar uma reflexão sobre o uso
de uma calculadora em sala de aula.
Adotamos os seguintes procedimentos: colocamos todas as duplas em
um círculo e entregamos, para cada uma, a resolução dada por outra dupla à
questão 5 da atividade, que consideramos importante para a discussão da
importância das regras, pois eram elas que iriam permitir que a interpretação
dada por uma dupla fosse exatamente a de outra e não houvesse duas
soluções possíveis, mas com resultados diferentes, para uma determinada
expressão aritmética; antes de cada dupla analisar a resolução recebida,
projetamos em um slide nosso objetivo, para provocar no grupo uma discussão
sobre a importância das regras na interpretação e na resolução das
expressões, com a mediação de uma calculadora.
Cada dupla, então, resolveu e analisou, por escrito, o problema que outra
dupla havia elaborado na fase anterior - aplicação da atividade - e esta etapa
durou aproximadamente, 25 minutos, quando começamos a discussão
(Apêndice D, p.145) sobre a análise que cada dupla fez da resolução de outra
dupla.
Nos parágrafos seguintes, apresentamos as questões do questionário e
da atividade.
4.2 O questionário
Neste parágrafo, apresentamos cada uma das questões que elaboramos
para nosso questionário, acompanhadas do objetivo, dos conhecimentos
prévios e possíveis soluções que poderíamos esperar como resolução.
52
,
Este questionário individual apresenta onze questões e o interesse foi
investigar o perfil do público-alvo para o qual foi aplicada a atividade, com
informações sobre a faixa etária, o tipo de Educação Básica e as concepções
que cada participante tinha sobre a validade do ensino de expressões
aritméticas e o uso de uma calculadora em sala de aula.
1 – Qual a sua faixa etária?
( ) 18 a 24 anos ( ) 25 a 30 anos ( ) 31 a 36 anos ( ) acima de 37 anos
2 – Qual a sua formação:
( ) Ensino Médio regular Ano de conclusão: ____
( ) Ensino Médio EJA Ano de conclusão: ____
( ) Ensino Técnico Ano de conclusão: ____ Qual? ____________
Achamos importante buscar a faixa etária dos alunos e sua formação,
para ter uma ideia da utilização da calculadora na formação básica desses
indivíduos e relacionar as respostas dadas às questões que se referem à
importância do uso da calculadora.
3 – Quando estudou no Ensino Fundamental I, você aprendeu expressões
aritméticas? Lembra - se de quais são as regras? Em caso positivo,
mencione – as.
Pretendíamos identificar se os alunos conheciam ou não a resolução de
expressões aritméticas e as regras para tal, pois o desconhecimento poderia
estar ligado a pelo menos três fatores: não tiveram esse conteúdo na própria
Educação Básica; não as apreenderam corretamente; não as consideraram
importantes.
A análise das respostas poderia nos ajudar a verificar se os alunos
conheciam as regras para a resolução de expressões aritméticas: 1. Em
relação aos sinais separadores que aparecem numa expressão, resolver
parênteses, colchetes e chaves, nessa ordem; 2. Em relação às operações
53
,
envolvidas, resolver “multiplicações” e “adições”, nessa ordem.
4 – Você considera importante ensinar expressões aritméticas? Por quê?
5 – Você considera importante ensinar as regras de resolução das
expressões aritméticas? Por quê?
Queríamos verificar se os sujeitos, alunos de um Curso de Pedagogia,
consideravam importante ensinar expressões aritméticas no 5º ano e as regras
para resolvê-las, se eles pensavam em ensiná-las apenas, para cumprir o
cronograma ou se conheciam as implicações desse uso na resolução de
problemas propostos em língua materna.
Buscamos saber se alunos de Pedagogia aceitavam a importância de
ensinar as regras ou se eles simplesmente, as resolviam na ordem em que
aparecem as operações.
6 - Quando você estudou, lembra-se de ter utilizado a calculadora nas
aulas? Em caso positivo, como?
Com essa questão, pretendíamos saber se os sujeitos usaram ou não a
calculadora quando estudantes da Educação Básica e, de acordo com as
respostas dadas às questões 1 e 2, pudemos considerar que a faixa etária e a
formação básica podem ter influenciado esta resposta, pois a calculadora
começou a ser mais utilizada em sala de aula após os PCN (1997, p. 46), que
confirmaram o uso da calculadora como “[...] um instrumento que pode
contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para essa
visão é o fato de que ela pode ser usada como um instrumento motivador na
realização de tarefas exploratórias e de investigação [...]”.
7 – Hoje em dia, você utiliza a calculadora no seu cotidiano? Como?
Será que os sujeitos utilizam a calculadora no seu dia a dia, como um
artefato (RABARDEL, 1995) para fazer uma simples operação que envolva
uma das quatro operações, ou a utilizam como instrumento de ensino, até
mesmo, com a calculadora do celular?
54
,
8 – Você leciona: ( ) Sim ( ) Não. Em caso positivo, em qual ano? Em
caso negativo, qual sua atividade profissional?
Queríamos saber se os alunos de Pedagogia já atuaram como
profissionais na área da Educação ou se estão em outra área de conhecimento
específico.
9 – Se você leciona, utiliza a calculadora em suas aulas? ( ) Sim ( ) Não
Em caso positivo, em quais situações? Em caso negativo, por que não
usa?
Com essa questão, pretendíamos analisar se os sujeitos utilizavam a
calculadora como instrumento e como recurso pedagógico. Se não faziam uso,
será que é porque acreditavam que ela faz com que o aluno não aprenda
corretamente, ou não entendiam que a calculadora é um recurso que auxilia na
aprendizagem?
10 – Se você não leciona, utiliza a calculadora em sua atividade
profissional? ( ) Sim ( ) Não. Em caso positivo, em quais situações?
Pretendíamos com essa questão discutir se o indivíduo, mesmo não
lecionando, usa uma calculadora em sua atividade profissional, pois é um
recurso que ajuda na verificação de resultados. A utilização da calculadora na
vida diária pode ser um fator que interfere na percepção que o sujeito tem de
sua utilização, em sala de aula.
11 - Você acha que a calculadora contribui ou não para a aprendizagem
do aluno? Comente.
Com essa última questão, queríamos verificar se os sujeitos viam a
calculadora como um recurso pedagógico que contribui para o ensino e para a
aprendizagem; além disso, os comentários poderiam dar alguma ideia de como
utilizá-la. Só como recurso para motivar (artefato)? Ou como recurso
matemático que pode contribuir para a aprendizagem (instrumento)?
Acreditamos que o uso da calculadora não é só para facilitar as contas e,
55
,
em nosso trabalho, a colocamos como uma forma de comparar os resultados,
um uso que não consiste em apenas, digitar os números de uma conta para
chegar ao resultado, mas em saber as regras que regem a resolução de
expressões aritméticas e que podem ajudar na conversão entre problemas
aritméticos propostos em língua materna e as respectivas expressões
aritméticas. Dessa forma, acreditamos que o aluno pode aprender a interpretar
o problema para poder transformá-lo numa expressão aritmética.
4. 3 Análise preliminar da atividade
A atividade, aplicada em duplas, tem cinco questões: a 1a, a 2a e a 3a
envolvem o tratamento de expressões aritméticas; a 4a, a conversão de um
texto em língua materna para uma expressão aritmética; e a 5a, a conversão
de uma expressão aritmética para um texto em língua materna. Todas
poderiam ser mediadas pelo uso de uma calculadora, porque a consideramos
uma ferramenta de ensino importante nos dias de hoje, no ensino em geral e,
particularmente, como uma auxiliar na discussão e na verificação da solução
obtida. Se incentivarmos o uso da estratégia de colocar a expressão aritmética
toda na calculadora (o que é possível com as calculadoras modernas) para
depois obter a resposta numérica, ou seja, como uma forma de confrontar
resultados obtidos com a calculadora e com papel e lápis. No que segue,
colocamos cada questão, seguida de uma análise didática, com nossos
objetivos, justificativas e algumas possíveis soluções.
1- Resolva as expressões dadas, usando uma calculadora. Deixe
todas as passagens realizadas.
Pretendíamos verificar se alunos de Pedagogia conheciam as regras que
regem as expressões aritméticas: em relação às operações envolvidas,
resolver “multiplicações” e “adições”, nessa ordem, ou se eles resolviam a
expressão na ordem em que apareciam as operações. O sujeito poderia usar a
calculadora para verificar se uma operação estava com o resultado correto e,
se deixasse as passagens utilizadas, poderíamos analisá-las. Deveríamos
56
,
considerar ainda, que muitos celulares têm como recurso a resolução de
expressões numéricas, baseada nas regras de “prevalência operatória”, o que
poderia motivar os sujeitos.
Segue abaixo uma análise de cada item dessa atividade.
a) 20 : 5 + 5 =
Esse item foi colocado porque o sujeito poderia fazer (20:5)+5, que é a
resolução correta ou poderia resolver 20:(5+5), caso em que não utilizaria a
regra que a divisão deve ser resolvida antes da adição.
b) 5 + 20 : 5 =
Esse item foi colocado porque o sujeito poderia fazer 5+(20:5), que é a
resolução correta, ou (5+20):5, ou seja, na forma em que as operações
aparecem, desrespeitando a regra que a divisão deve ser resolvida antes da
adição, se não colocamos parênteses para separar as operações. Os itens “a
“e “b foram escolhidos de forma “contrária” para verificarmos se os sujeitos
usam as regras ou fazem as operações na ordem em que aparecem.
c) 20 x 5 + 5 =
Esse item foi colocado porque o sujeito poderia fazer (20x5)+5, correta,
ou 20x(5+5), sem utilizar a regra que a multiplicação deve ser resolvida antes
da adição.
d) 5 + 5 x 20 =
Esse item foi colocado porque o sujeito poderia fazer 5+(5x20), resolução
correta ou (5+5) x 20, resolução incorreta, pois ele não utilizaria a regra que a
multiplicação deve ser resolvida antes da adição, se não colocamos
parênteses para separar as operações. Os itens c” “e d” também foram
colocados “ao contrário” para confirmar o observado nos itens “a “e b”.
e) 8 x 3 + 20 : 4 =
57
,
Neste item, o sujeito poderia resolver (8x3)+(20:4), chegando ao
resultado correto ou resolver diretamente a expressão, de acordo com a ordem
em que aparecem as operações: 8x3, ao resultado somar 20 e aí, dividir por 4,
ou seja, na ordem em que aparecem as operações, ignorando as regras de
prevalência operatória.
f) 20 : 4 + 8 x 3 =
O sujeito poderia resolver (20:4) + (8x3), chegando ao resultado correto,
ou diretamente a expressão, de acordo com a ordem em que aparecem as
operações: 20:4, ao resultado, somar 8 e então, multiplicar por 3, ou seja, na
ordem em que aparecem as operações, ignorando as regras de prevalência
operatória.
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes
de maneiras diferentes (ver itens “a” e “b”). Uma delas está correta?
Qual? Justifique sua resposta.
a) A Estudante A” resolveu da seguinte maneira:
52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 =
54 x (3 + 4) + 32 – 9 =
54 x 7 + 32 – 9 =
54 x 7 + 23 =
54 x 30 = 1620
b) A Estudante B” resolveu da seguinte maneira
52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 =
52 + 2 x 7 + 32 – 9 =
52 + 14 + 32 – 9 =
66 + 32 – 9 =
98 – 9 = 89
Pretendemos verificar, com essa questão, se os sujeitos de nossa
58
,
pesquisa conheciam a existência das regras (e as usaram), ou resolveram as
expressões na ordem em que as operações apareceram ou ainda, de alguma
outra forma.
O sujeito nessa questão poderia resolver o parênteses (3 + 4), multiplicar
o resultado por 2, somar 52, somar 32 e então, subtrair 9, chegando ao
resultado correto, ou poderia resolver diretamente a expressão, de acordo
com a ordem em que apareciam as operações, ao somar 52 + 2, multiplicar o
resultado pela soma (3 + 4), somar 32 e aí, subtrair 9, sem utilizar as regras de
prevalência operatória. Colocamos a questão na forma da resolução de um
aluno fictício, para também verificar como esses sujeitos dariam o retorno a
esses alunos.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como
resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o
estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua
resposta.
Na questão acima, queríamos verificar se os sujeitos de nossa pesquisa
conheciam e respeitavam as regras que regem a expressão e se percebiam
que a calculadora é um instrumento útil para auto - avaliar uma resposta e, se
fosse o caso, corrigir a resolução dada, para alcançar a resposta correta. Ou
seja, a calculadora poderia ser utilizada como instrumento motivador na
realização de uma tarefa, como um recurso para verificação e autoavaliação da
solução dada. Também, colocamos a questão na forma da resolução de um
aluno fictício, para verificar como esses sujeitos dariam o retorno a esse aluno.
4 – Represente cada uma das situações dadas (itens a, b e c) com uma
expressão e resolva-a usando a calculadora. Deixe as passagens
utilizadas para chegar ao resultado.
a) Maria comprou na feira 8 maças, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2
melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze
59
,
pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de
quatro pessoas. Finalmente, saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na
galeria?
c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela
custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou
a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas
iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
Queríamos verificar como os sujeitos de nossa pesquisa faziam a
passagem de um texto em língua materna para a respectiva expressão
aritmética e, com isso, colocar em discussão a importância dessa passagem
em Matemática. O sujeito poderia verificar que, ao elaborar a expressão, após
a interpretação do enunciado, estava realizando o processo de conversão da
língua materna para o sistema algébrico, o que envolve a leitura e a
interpretação do texto dado e o respeito às regras de prevalência operatória
para realizar essa conversão.
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão:
6 x 4 – (15 : 3) x 2.
Pretendíamos, com esta questão, verificar se os sujeitos, alunos de
Pedagogia, conseguiam fazer a conversão (DUVAL, 2009), partindo de uma
expressão aritmética, para um enunciado em língua materna, o que implicaria
no entendimento implícito das regras de prevalência operatória. Acreditamos
que, da mesma maneira que elabora uma expressão partindo de um problema,
um professor precisa saber as regras para realizar o inverso, que é interpretar
uma expressão para transformá-la em um problema. Esta conversão, segundo
Duval (2009), em geral, é a mais difícil e precisa ser trabalhada em sala de
aula, para que os alunos aprendam a realizá-la.
60
,
CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE DADOS
Nos capítulos anteriores, apresentamos a importância do uso das expressões
aritméticas e da calculadora em Matemática; nossa revisão da literatura relativa ao
assunto; a fundamentação teórica que elegemos; e a análise didática das questões
que colocamos no nosso instrumento diagnóstico. Neste, apresentamos a análise
das respostas dadas às questões do questionário de perfil; dos dados obtidos com
os protocolos que numeramos de 1N a 32N; análise dos protocolos e das
observações da atividade, por dupla e análise do debate coletivo com a áudio-
gravação (Apêndice D, p. 145), durante a aplicação do referido instrumento.
5.1 Análise das respostas dadas ao questionário de perfil
Questão 1. Qual a sua faixa etária?
Faixa etária Número de sujeitos
18 a 24 anos 8
25 a 30 anos 7
31 a 36 anos 6
acima de 37 anos 11
Total 32
Quadro 2: Faixa etária
Em relação à faixa etária (Quadro 2), observamos que a maioria dos sujeitos
apresenta idade acima de 30 anos.
Questão 2. Qual a sua formação do Ensino Médio, e o ano de conclusão?
61
,
Quadro 3: Formação escolar
Quadro 4: Ano de conclusão do Ensino Médio
Todos ingressaram no Curso de Pedagogia em 2010. Destes, 25 sujeitos
terminaram o Ensino Médio entre 1976 e 2007. Como alguns demoraram mais de 10
anos para ingressar num Curso Superior e não colocamos uma pergunta sobre as
razões disso, achamos importante perguntar, via redes sociais e e-mail, “Por que
não cursaram o Ensino Superior assim que finalizaram o Ensino Médio?”. Os 9
sujeitos 1N, 5N, 9N, 12N, 14N, 18N, 20N, 25N e 29N, que têm idade acima de 31
Formação Escolar Número de sujeitos
Ensino Médio Regular 22
Ensino Médio EJA 05
Ensino Técnico 02
Outros 03
Total 32
Ano de conclusão
Número de sujeitos
1976 01
1978 01
1981 01
1989 01
1990 01
1992 01
1993 01
1999 01
2000 3
Ano de conclusão
Número de sujeitos
2001 1
2003 3
2004 3
2005 3
2006 2
2007 6
2009 2
Não lembrava 01
62
,
anos, relataram que tiveram de cuidar dos filhos e que não tinham condições
financeiras para pagar um curso, no Ensino Superior.
Outros 11 sujeitos, 2N, 3N, 8N, 10N 13N, 15N, 16N, 17N, 19N, 30N e 32N,
contaram que a parte financeira foi a que impediu o ingresso no Ensino Superior,
logo após a conclusão do Ensino Médio. Entre estes, o 16N, que terminou em 2003
o Ensino Médio regular na Bahia, onde cursava um ano sim, outro não. Quando veio
morar em São Paulo, fez o curso de técnico em Homoterapia, entre 2004 e 2009 e,
após este período, começou a trabalhar na área de Enfermagem e só assim, teve
condições financeiras de pagar um Curso Superior.
O sujeito 21N tem idade acima de 37 anos, terminou em 1976 o Magistério,
leciona para o 5º ano as disciplinas Geografia e História, e não entrou antes no
Curso Superior porque na época, não era uma exigência para lecionar. Só voltou a
estudar porque foi obrigado a ter o Curso de Pedagogia. Relata que fez cursos de
formação de professores antes de entrar no Ensino Superior.
O sujeito 23N tem idade entre 25 e 30 anos, terminou em 1998 o Ensino Médio
regular, iniciou em 2000 o Curso de Recursos Humanos, mas desistiu no final do 1º
semestre, por não se identificar com ele. Logo após, concluiu o Curso de Informática
e o de Auxiliar Administrativo e só em 2010, teve condições financeiras para
ingressar no Curso de Pedagogia.
Os três sujeitos, 7N, 11N e 31N, que terminaram o Ensino Médio em 2007 e
têm idade entre 18 e 24 anos, aguardaram para ingressar no Ensino Superior
porque estavam indecisos sobre qual curso realizar.
Apenas dois sujeitos, 24N e 27N, com idade entre 18 e 24 anos, terminaram o
Ensino Médio regular em 2009, e ingressaram em 2010 no Ensino Superior.
Não conseguimos obter resposta referente à pergunta “Por que não cursaram o
Ensino Superior assim que finalizaram o Ensino Médio?” dos sujeitos 4N, 6N, 22N,
26N e 28N, mas pudemos perceber que 20 sujeitos não puderam continuar os
estudos por razões financeiras e, dentre estes, nove também, por causa de
responsabilidades para com os filhos.
63
,
Questão 3. Quando estudou no Ensino Fundamental I, você aprendeu a
resolver expressões aritméticas? Lembra - se de quais são as regras de
resolução? Em caso positivo, mencione – as.
Expressões aritméticas, e suas regras de resolução.
Número de sujeitos
Aprenderam expressões e não se lembram das regras
28
Aprenderam expressões e se lembram das regras 02
Não lembram 02
Total 32
Quadro 5: Expressões aritméticas e suas regras
Para a questão 4 (Quadro 5), 28 sujeitos responderam que aprenderam as
expressões aritméticas; entretanto, não se lembram das regras para a resolução,
conforme mencionou o sujeito 7N: “Sim, aprendi, porém não me recordo de
nenhuma regra”. Acreditamos que o sujeito tenha aprendido conforme relata ou não
compreende o motivo da regra, mas não se lembra por talvez, não fazerem
conexões sobre como utilizar essas regras em uma resolução de problemas.
Deste grupo de 32 sujeitos, apenas dois:, 22N e 16N, afirmam lembrar-se das
expressões e das regras de resolução, como relata o 22N: “Sim, mas não me lembro
de todas elas, só que quando tem ( ) , [ ] e { }. Começamos a resolver os
parênteses para ir eliminando de dentro para fora, até chegar na { } e tinha alguma
coisa como resolver primeiro as multiplicações, depois as divisões, adições e
subtrações.” E o 16N: “Sim, as regras de resolução são: primeiro resolver os
colchetes, parênteses e chaves, depois multiplicação e divisão e por último, a adição
e subtração.”
Como pudemos observar, 30 dos 32 sujeitos lembram-se de ter aprendido as
expressões, mas não lembram as regras. Será que é por que não fizeram conexão
64
,
com a passagem de textos em língua materna (como os problemas aritméticos) para
as respectivas expressões aritméticas (resolução)?
Questão 4. Você considera importante ensinar expressões aritméticas? Por
quê?
Importante de ensinar expressões aritméticas
Número de sujeitos
Sim 30
Não 01
Mais ou Menos 01
Total 32
Quadro 6: Importância de ensinar expressões aritméticas
Quanto à importância de ensinar expressões (Quadro 6), 30 sujeitos
consideraram importante ensiná-las, conforme relata o sujeito 18N: “Sim, porque
acredito que ao ensinar as expressões aritméticas, estamos auxiliando no
desenvolvimento do raciocínio lógico e também, nas técnicas de resolução de
problemas”. O sujeito vê as expressões aritméticas como auxiliares do raciocínio
lógico e da resolução de problemas, mas não expressa como faz esta conexão.
Temos oito sujeitos com idade entre 18 e 24 anos, que terminaram o Ensino
Médio Regular e estão na idade esperada para o término do Ensino Superior.
Apresentamos estes relatos por serem os mais jovens do grupo.
Sujeito 7N: “Sim e não, durante meu período escolar todo, acho que se deu
muita atenção às expressões aritméticas, mas nunca me explicaram como eu usaria
no dia-a-dia”. Na sua formação anterior, 7N não fez a conexão entre as expressões
aritméticas e o texto em língua materna, o que seria uma forma de ver uma
aplicação importante.
Sujeito 10N: “Sim, pois mexe mais com o raciocínio lógico do individuo, e sem
a Matemática, não chegaremos onde queremos, pois tudo é gerado também, pela
Matemática”. Observarmos que se trata de um aluno de Pedagogia que demonstra
65
,
em sua fala, que acha importante trabalhar com a Matemática e com o raciocínio
lógico, por isso, podemos acreditar que esses alunos podem fazer a diferença em
ensinar utilizando de novas estratégias e com uso de novas tecnologias.
Sujeito 11N: “Acho que sim, porém acho importante explicar o porquê ele está
aprendendo e quando ele vai utilizar essas expressões”. Como comenta “acho que
sim”, de alguma forma ele acha importante, mas em sua resposta não deixa claro
como seria essa utilização.
Sujeito 24N: “sim, porque é útil na vida adulta para a resolução de problemas,
caso eles surjam”. O sujeito considera importante porque tem utilidade na resolução
de problemas, mas não deixa clara a ligação que faz entre os problemas e as
expressões. Poderia ser só aritmética, sem conexão com problemas verbais ou com
as regras de resolução.
Sujeito 27N: “Sim, pois a Matemática é essencial no nosso cotidiano”. O sujeito
não deixa claro o porquê é importante ensinar as expressões, o que é essencial no
cotidiano em relação à conexão das expressões aritméticas, com a passagem do
texto em língua materna.
Sujeito 28N: “Com toda a certeza, é importante, pois elas são usadas em todos
os momentos de nossa vida”.
Sujeito 30N: “Sim, é a base para aprender grandes cálculos”. Nos sujeitos 28N
e 30N, acreditam que é importante ensinar, mas não deixam claro em que situações
deveriam utilizar essas expressões. Acreditam que sejam para grandes cálculos e
que são usadas em todos os momentos, mas não mencionam em quais deles,
precisaram utilizá-las.
Sujeito 31N: “Não, pois em toda a minha vida, nunca fiz uso dessas
expressões. Existem coisas mais úteis na Matemática para se ensinar, atualmente.”
Não acredita que tenha importância, talvez, porque não aprendeu a fazer a conexão
com a interpretação de um problema. Vale a pena deixar uma pergunta para futuras
pesquisas: Quais são os assuntos de Matemática que o professor da Educação
Fundamental I considera mais importante ensinar, atualmente?
66
,
Entre os oito sujeitos citados acima, as respostas não deixaram evidências
sobre o porquê da importância de ensinar expressões, embora deixem transparecer
que acham importante ensiná-las. Nenhum deles explicita a conexão com a
conversão de textos em língua materna. Será que após a nossa intervenção, eles
mudaram de ideia?
Questão 5. Você considera importante ensinar as regras de resolução das
expressões aritméticas? Por quê?
Todos os sujeitos as consideram importantes, conforme o relato do sujeito 1N
“Sim, porque não adianta ensinar as expressões aritméticas sem as regras, pois a
compreensão ficará difícil.” E também, o relato do sujeito 20N “Sim, pois é através
das regras que aprendemos as expressões aritméticas”.
Com esta questão, queríamos verificar se os nossos sujeitos pensam em
ensiná-las apenas, para cumprir o cronograma ou livro didático, ou se conhecem as
implicações desse uso na resolução de problemas propostos em língua materna.
Também, se alunos de Pedagogia sabem a importância de ensinar as regras ou se
simplesmente, as resolvem na ordem em que aparecem as operações. Todos os
relatos consideram a importância do ensino, mas nenhum coloca como importante o
conhecimento das regras de prevalência operatória nem a conexão com a resolução
de problemas.
Questão 6. Quando você estudou, lembra-se de utilizar a calculadora nas
aulas? Em caso positivo, como?
Utilizou a calculadora Números de sujeitos
Não 28
Sim 04
Total 32
Quadro 7: Utilização da calculadora
67
,
Os quatro sujeitos que responderam usar a calculadora em sala de aula, foram
o 9N, 23N, 24N e 27N, cujos textos transcrevemos no que segue.
O sujeito 9N utilizou, mas relata que foi no Ensino Fundamental II e no Ensino
Médio, como podemos observar: “Utilizei um pouco na 8ª série e depois, no Ensino
Médio. A utilização era mais para agilizar os cálculos”. Esse sujeito não deixa claro
em sua fala como era esse “agilizar”, mas aparentemente, era para tornar as contas
mais rápidas. Será que era esta a impressão que o professor colocava para a sala
de aula?
Sujeito 23N: “Sim, a professora de Matemática deixava utilizar nas contas,
porque dizia ser necessário nós aprendermos o manuseio da mesma e a facilidade
nos resultados”. Esse sujeito terminou o Ensino Médio regular em 1998, o que
reforça que já naquela época, as calculadoras podiam ser consideradas importantes
para utilizar em sala de aula, e também, que os professores mantivessem o uso,
como uma autoavaliação.
Os dois sujeitos que terminaram o Ensino Médio regular em 2009 relatam o uso
da calculadora em sala de aula, como o sujeito 24N: “Sim, usava pouco, pois me
perco muito em seu uso, apesar de alguns casos serem de extrema importância”. E
o sujeito 27N: “sim, pois só quando a professora deixava”. Os dois sujeitos
colocaram em seus depoimentos, que podiam usá-la quando os professores
deixavam, mas não ficou claro como era o uso com o instrumento em aula.
Questão 7. Hoje em dia, você utiliza a calculadora em seu cotidiano? Como?
Uso da calculadora no cotidiano
Números de sujeitos
Sim 24
Não 05
Às vezes 03
Total 32
Quadro 8: Uso da calculadora no cotidiano
68
,
Quanto ao uso da calculadora no cotidiano (Quadro 8), 24 sujeitos
responderam que a utilizam no supermercado, nas contas pessoais do mês ou em
outros gastos. Como exemplo, utilizaremos o depoimento do sujeito 3N: “Sim,
quando necessário, como por exemplo, no supermercado, nos cálculos das contas
do dia-a-dia, etc.” e do 32N: “Sim, nas compras do supermercado e para somar as
despesas mensais”. Outros dois sujeitos responderam que a utilizavam às vezes, e
em contas específicas, conforme o sujeito 18N: “Raramente, ou seja, algumas vezes
que encontro dificuldade ou tenho pressa em obter o resultado de alguma conta” e
30N: “Ás vezes, quando preciso fazer contas de porcentagem”.
Verificamos que os sujeitos que relatam usar a calculadora, o fazem para
realizar uma operação com facilidade, rapidez e não como instrumento de trabalho
ou de ensino.
Questão 8. Você leciona? Em caso positivo, em qual ano? Em caso negativo,
tem qual sua atividade profissional?
Você leciona? Números de sujeitos
Sim 07
Não 25
Total 32
Quadro 9: Leciona
Podemos verificar que entre os sujeitos da pesquisa, apenas sete lecionam:
três deles: 8N, 20N e 28N, na área de Educação Infantil; o sujeito 27N, num
berçário; o sujeito 22N no 2º ano; o sujeito 21N, com alunos de 5º ano, as disciplinas
Geografia e História; e o sujeito 25N, com crianças de inclusão, e, nenhum deles, no
ano específico em que se ensinam expressões aritméticas. Os outros 25 sujeitos
ainda não estão em sala de aula.
Questão 9. Se você leciona, utiliza a calculadora em suas aulas?
Dos sete sujeitos que lecionam, conforme relatado na questão 8, todos
responderam que não utilizavam a calculadora em suas aulas.
69
,
O sujeito 25N colocou uma resposta interessante: “Não sei como utilizar e de
que forma ensinar, porque não me informaram como se dá aula utilizando-a”. Este
sujeito leciona para crianças de inclusão do 1º, 2º, 3º e 7º anos e com esse relato,
consideramos importante que alunos de Pedagogia precisam de orientação para o
trabalho, em sala de aula, com o uso de uma calculadora, com informações e
formações que devem ir além da utilização do instrumento “para facilitar as contas”
ou só “para conferir resultados delas”.
Dos oito sujeitos mais jovens da pesquisa, o sujeito 28N respondeu que a
utilizava para “calcular o número de xerox para a semana”, mas não deixou claro
como era esse cálculo. Acreditamos que o sujeito usa a calculadora, em seu
cotidiano, como instrumento de trabalho e não de ensino, apenas, para realizar
contas mais simples como somar e multiplicar.
Questão 10. Se você não leciona, utiliza a calculadora em sua atividade
profissional? Em caso positivo, em quais as situações?
Para facilitar a leitura dos dados, resolvemos colocar, em um quadro, as
repostas dos 10 sujeitos que utilizam uma calculadora.
Sujeito Profissão Resposta da questão 10 Observações
1N Auxiliar
administrativo
Compras de jogos, livros e DVDs.
Aparentemente, usa a calculadora do computador ou do celular para realizar suas compras, via internet.
2N Vendedora
No meu trabalho, para obter noção de espaço (medidas) fazendo contas de dividir ou multiplicar, de acordo com minha necessidade em obter o valor exato.
A calculadora não pode ser utilizada para noção de medidas, acreditamos que seja para realizar as operações básicas, de acordo com a necessidade.
4N Recursos Humanos
Somar boletos, pagamento, fazer cálculos rescisórios, férias, décimo terceiro e calcular imposto referente à nota fiscal.
Deve utilizar a calculadora do computador ou a de mesa para realizar as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) como também, para uma porcentagem.
70
,
6N _________ Em meu trabalho, todos os dias.
Não temos como colocar nenhuma observação, pois o sujeito não deixa claro como utiliza a calculadora em seu cotidiano.
7N
Instrutora de treinamento
(RH)
Uso para calcular benefícios de funcionários novos (bilhete VT, vale-alimentação, salário x dias trabalhados).
Deve utilizar a calculadora do computador ou a de mesa para realizar as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão).
11N Faturista
Trabalho com faturamento, então, quando fecho uma nota fiscal, o caixa e para realizar pagamentos, também.
Deve utilizar a calculadora do computador ou a de mesa para realizar as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão).
12N Assistente financeira
No meu trabalho, utilizo a calculadora 100%, pois trabalho nas contas a pagar e receber cálculos juros, somatória de boletos, etc.
Deve utilizar a calculadora do computador ou a de mesa para realizar as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) e também para calcular as porcentagens.
19N Promotora de
vendas
Quando vou fazer contagem de produtos com os quais trabalho (cosméticos).
Deve utilizar a calculadora do celular ou uma simples, para realização das operações adição e subtração.
26N Organizador
escolar
Contagem em pontos (referentes a nota dos alunos).
Deve utilizar a calculadora do celular ou uma simples, para realizar a operação de adição.
29N Vendedora
Trabalho com vendas e preciso no cálculo dos valores para os clientes, principalmente, de porcentagens.
Deve utilizar a calculadora do celular ou uma simples, para realização das operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) e como relata, para realização da porcentagem.
Quadro 10: Qual sua profissão e se nela, utiliza calculadora
71
,
Analisando estas respostas, com a teoria de Rabardel (1995), observamos que
estes sujeitos utilizam a calculadora como instrumento de trabalho. Nossa
preocupação é como tornar a calculadora um instrumento de ensino, com atividades
que a transformem de artefato para instrumento, entre os alunos.
Questão 11. Você acha que a calculadora contribui ou não para a
aprendizagem do aluno? Comente.
O uso da calculadora contribui ou não?
Números de sujeitos
Sim 23
Não 07
Mais ou Menos 02
Total 32
Quadro 11: Contribuição do uso da calculadora
Os sujeitos responderam às questões de forma aberta, discutindo as
preocupações com o uso de uma calculadora (ou desinteresse nele), em sala de
aula. Tentamos relacionar as respostas com a distinção entre artefato e instrumento,
de acordo com a teoria de Rabardel (1995), segundo o qual um artefato nem sempre
é um objeto material e é utilizado como meio de ação, por um sujeito, em suas
atividades; mas é preciso que ele aprenda a utilizá-lo e amplie o seu uso, evoluindo
o artefato para a condição de instrumento de ensino.
Partindo dos relatos, elaboramos uma tabela com as respostas dos sujeitos,
colocando observações sobre se consideramos que os sujeitos veem o uso da
calculadora como artefato ou como instrumento (RABARDEL, 1995).
Sujeito Resposta da questão 11 Observações
1N Sim, pois a criança precisa ou faz um raciocínio
diferente do que está acostumada. Instrumento
2N Sim, porque ela ajuda a criança chegar ao resultado,
despertando a curiosidade sobre as regras e o Instrumento
72
,
interesse em aprender a lidar com os números de
forma prazerosa e rápida.
3N
Sim ou não. Em parte é interessante a ajuda da
calculadora, por outro lado não, porque torna o cálculo
fácil, e deixa o indivíduo preguiçoso para resolver
certas contas.
Instrumento
4N
Em minha opinião, não. É muito fácil, não exige
raciocínio por parte do aluno. Ele deve entender como
chegou àquele resultado. Deve pensar.
Artefato
5N Sim, pois o ajuda no momento de fazer cálculos para a
resolução de problemas. Instrumento
6N Sim, facilita aprendizagem do aluno. Instrumento
7N
Sim. Contribui e muito. A calculadora ajuda, e não a
considero "cola", como no meu próprio exemplo, posso
dizer que sofri muito por não ter um auxílio, ficando
para recuperação em todos os bimestres do Ensino
Fundamental II.
Instrumento
8N
Sim, porque é um meio que facilita a aprendizagem,
ajuda a obter resultados rápidos, despertar a
curiosidade em conhecer as regras.
Artefato e
Instrumento
9N
Num primeiro momento, acho que não é bom utilizar a
calculadora para a aprendizagem, após a criança
desenvolver bem o raciocínio lógico, pode ser bom
utilizá-la.
Artefato
10N
Acho que o uso não é bom, pois fica mais fácil para a
criança se interessar pelo cálculo. Mas dependendo da
maneira da aplicação, fica interessante. Como não
utilizei durante meu aprendizado, não vejo que contribui
muito, mas a partir de agora, mudou um pouco meu
conceito.
Artefato
11N
Sinceramente, tenho dúvida. Ao mesmo tempo em que
acho necessário para contribuir para o raciocínio, acho
que o acomoda.
Artefato
12N Contribui, acredito que a tecnologia veio para facilitar
as nossas vidas, mas deixo claro, que, precisamos sim, Artefato
73
,
saber realizar uma operação aritmética, etc.
13N Acredito que sim, só que o aluno fica preguiçoso e não
quer ter trabalho para fazer qualquer conta. Artefato
14N Sim, acho que contribui, porque o aluno aprende a
calcular de uma forma mais prática. Artefato
15N
De verdade, acho que não contribui em nada, porque o
aluno fica com preguiça de pensar e corre direto para a
calculadora. Essa é minha opinião, porque tenho
preguiça de pensar, também.
Artefato
16N Sim, quando a utilização é moderada e não interfere no
desenvolvimento cognitivo da criança. Artefato
17N
Acredito que sim, pois quando estamos resolvendo
uma conta e não conseguimos um resultado, dá
vontade de desistir, e com a calculadora, os alunos irão
se interessar pela atividade.
Artefato
18N
Não, acredito que o uso da calculadora não permite o
aluno usar seu raciocínio lógico, ou seja, ao resolver
questões com a calculadora, ele deixa de pensar,
encontra soluções prontas.
Artefato
19N Sim, é mais fácil para seu desenvolvimento, aprende a
somar, subtrair, dividir e conhece os números. Artefato
20N
Não, pois a calculadora não faz com que as pessoas
usem a cabeça para responder e sim, por comodidade
ou até mesmo, porque não sabem responder
mentalmente a conta.
Artefato
21N
Sim, porque os cálculos são mais rápidos. É uma
estratégia de rapidez, só tenho dúvida se a
aprendizagem é real para o aluno com esse uso.
Artefato
22N
Acredito que sim, mas somente a partir do momento
em que o aluno tenha domínio e autonomia nas quatro
operações.
Artefato
23N
Acredito que sim, pois o aluno poderá reconhecer os
números, saber utilizar fórmulas, mesmo que simples
no início, mas na sua vida adulta, será bem útil.
Artefato
24N Acredito que a calculadora é de grande valia na vida do
aluno, pois ajuda em contas grandes e que antes, Artefato
74
,
levávamos muito tempo para obter o resultado, porém,
não acho que ela ajuda na aprendizagem.
25N Acho que qualquer método tecnológico bem utilizado
contribui. Temos de usar, mas não sabemos. Instrumento
26N Sim, pois agiliza na contagem, e ajuda a desenvolver
seu potencial. Artefato
27N
É importante que o aluno saiba utilizar a calculadora,
mas de início, é melhor que ele desenvolva as
questões, sozinho.
Artefato
28N Em minha opinião sim, pois mesmo a utilizando,
acabamos calculando. Artefato
29N Ela contribui sim, mas ao menos tempo, deixa o aluno
preguiçoso. Artefato
30N Não, pois faz o aluno ter preguiça de pensar. Artefato
31N
Contribui, desde que o aluno saiba como e quando
utilizar, e é importante que o professor possa mediar o
uso das calculadoras nas aulas.
Instrumento
32N Em minha opinião ajuda no aprendizado, mas não deve
ser usada, sempre. Artefato
Quadro 12: Resposta da questão 11
Santos (2010) relata o modelo de Rabardel (1995) utiliza o termo artefato
(ferramenta) para designar um objeto que é utilizado como meio de ação; e o termo
instrumento, designa um artefato que é utilizado pelo sujeito, com adaptações
próprias, que permitem uma ampliação do seu uso, como um meio para agir sobre o
objeto de sua ação.
Segundo Santos (2010) “Quando um sujeito utiliza um artefato, constrói
esquemas de utilização e, paralelamente, constrói representações sobre as
propriedades da ferramenta. É sempre o uso do artefato por um sujeito ou um grupo
de sujeitos que lhe atribui o status de instrumento”.
Com base numa primeira análise, que fizemos das respostas ao questionário,
formamos as duplas de sujeitos que iriam participar da segunda etapa de nossa
75
,
pesquisa, que era a da atividade, com a ideia de fazer funcionar a ZDP
(VIGOTSKY). Assim, escolhemos, para colocar em duplas, sujeitos que afirmavam
saber e que diziam não saber as regras de prevalência operatória; mostravam ter
concepções sobre a importância dessas regras; e concordavam ou, não com o uso
da calculadora em sala de aula (ver Quadro 13). Com isso, formamos as duplas: 1N
e 22N; 2N e 26N; 3N e 15N; 4N e 25N; 5N e 31N; 6N e 32N; 7N e 29N; 8N e 13N;
9N e 21N; 10N e 27N; 11N e 14N; 12N e 18N; 16N e 19N; 17N e 28N; 20N e 24N;
23N e 30N.
Dupla Regras de prevalência
operatória
Concordavam ou não com o
uso da calculadora
1N e 22N 1N – acha importante.
22N – acha importante.
1N – a favor.
22N– a favor, mas só quando o aluno sabe as quatro operações
2N e 26N 2N – acha importante.
26N - acha importante.
2N – a favor.
26N – a favor.
3N e 15N 3N – acha importante.
15N - acha importante.
3N – a favor, mas acredita
que o aluno fica
“preguiçoso”.
15N – não é a favor.
4N e 25N 4N - acha importante.
25N - acha importante.
4N – não é a favor.
25N – a favor.
5N e 31N 5N – acha importante.
31N - acha importante.
5N – a favor.
31N – a favor, mas o
professor deve mediar o
uso dela.
6N e 32N 6N – acha importante.
32N - acha importante
6N – a favor.
32N – a favor, mas não
deve ser usada sempre.
7N e 29N 7N – não acha importante.
29N- acha importante.
7N – a favor.
29N - a favor, mas
76
,
acredita que o aluno fica
“preguiçoso”.
8N e 13N 8N – acha importante.
13N - acha importante.
8N – a favor.
13N – a favor, mas
acredita que o aluno fica
“preguiçoso”.
9N e 21N 9N – acha importante.
21N - acha importante.
9N – não é a favor.
21N – a favor.
10N e 27N 10N – acha importante.
27N - acha importante.
10N – não é a favor.
27N – a favor.
11N e 14N 11N – acha importante.
14N - acha importante.
11N – a favor, mas acha
que o aluno pode
acomodar.
14N – a favor.
12N e 18N 12N – acha importante.
18N - acha importante.
12N – a favor.
18N – não é a favor.
16N e 19N 16N – acha importante.
19N- não acha importante.
16N – a favor.
19N - a favor.
17N e 28N 17N – acha importante.
28N - acha importante.
17N – a favor.
28N – a favor.
20N e 24N 20N – acha importante.
24N - acha importante.
20N – não é a favor.
24N – a favor, mas não
para aprendizagem e sim,
para o cotidiano.
23N e 30N 23N – acha importante.
30N - acha importante.
23 N – a favor.
30N – não é a favor.
Quadro 13: Duplas formadas para a atividade.
77
,
5.2 Análise dos protocolos e das observações
Apresentamos neste parágrafo, uma análise das respostas obtidas com cada
uma das duplas participantes, considerando: o protocolo entregue pela dupla; as
observações escritas, referentes ao trabalho delas; e a participação de cada um dos
sujeitos no debate geral, que fizemos ao final de nossa intervenção. Optamos por
apresentar a análise feita por duplas, porque conforme nossas escolhas, queríamos
observar: (1) se os sujeitos conhecem e aplicam as regras de prevalência operatória;
(2) se as consideram importantes; (3) se conseguem fazer a conversão de um
problema aritmético, proposto em língua materna, para a respectiva expressão
aritmética; (4) e vice-versa, de uma expressão aritmética para um problema
aritmético proposto em língua materna; (5) se utilizam uma calculadora como auxiliar
no raciocínio em Matemática; (6) se e como a potencialidade de aprendizagem
expressa no espaço da ZDP expressou-se em nossa pesquisa. (1) aparece
principalmente, nas questões 1, 2 e 3 de nosso instrumento, que envolvem apenas,
o tratamento de expressões aritméticas; (2) pode ser analisado na questão 2, na
qual pedimos para os sujeitos avaliarem as resoluções de dois alunos fictícios, uma
com erro e a outra correta; (3) é cobrado na resolução da questão 4, na qual damos
problemas aritméticos propostos em língua materna e pedimos a expressão
aritmética que o representa; (4) é cobrado na resolução da questão 5, na qual
damos a expressão aritmética e pedimos um enunciado que represente a
expressão; (5) pode ser observado nas observações escritas durante a resolução
das questões da atividade, e no debate geral.
5.2.1 Análise por dupla
Foram analisadas 14 duplas, e apresentaremos, em seguida, nossa análise da
seguinte forma: para cada dupla, colocamos um quadro com o enunciado das
questões e as respectivas respostas, seguido pelas nossas análises, baseadas nas
ideias que guiaram o design de nosso instrumento. Para facilitar a escrita, optamos
por utilizar a notação (12N,18N) para “a dupla 12N e 18N”, (11N,14N) para “a dupla
11N e 14N”, e assim por diante.
78
,
(12N,18N) Q
UE
ST
ÕE
S
1a)
20 :
5 +
5
1b)
5 +
20
: 5
1c)
20 x
5 +
5
1d)
5 +
5 x
20
1e)
8 x
3 +
20
: 4
11f)
20
: 4
+ 8
x 3
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
4 + 5 = 9
25 : 5 = 5
100 + 5 = 105
10 x 20 = 200
24 + 20 = 44 : 4
= 11
5 + 8 = 13 x 3 =
39
Acreditamos que ambas estão corretas, porém, de acordo com as regras da Matemática, devemos eliminar primeiro, os parênteses, em seguida, resolver as multiplicações e na sequência, adição e subtração.
Sim, o resultado está correto, pois o estudante subtraiu 4 de 30, somou 10 e dividiu por 2, dando o resultado final 18
Quadro 14: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (12N,18N)
(12N,18N) mostrou não conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao
resolver as questões 1, 2 e 3, fez as operações na ordem em que apareceram. O
observador relatou que os sujeitos não discutiram as regras e, nas questões 1 e 2,
utilizaram a calculadora, colocando os números na ordem em que apareceram, ou
seja, 20 enter : 5 enter + 5 = na questão 1a e 5 enter + 20 enter : 5 = na questão 1b,
o que não permitiu que observássemos se usariam a calculadora como instrumento
de ensino e/ou de aprendizagem (RABARDEL, 1995). Na questão 3, não usaram a
calculadora, mas o texto escrito pelos sujeitos explicitou que a dupla acreditava que
as duas respostas dos alunos fictícios estavam corretas e deixaram em seu texto,
que resolveram as operações, na ordem em que aparecem.
Vale a pena deixar uma pergunta para futuras pesquisas: por que esses
alunos de Pedagogia (futuros professores) aceitaram duas respostas diferentes
como corretas, em uma mesma expressão aritmética?
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas, cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente, saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S
8 + (2 x 6) + 2 = 8 + 12 + 2 = 22
25 + {(3 x 12) - (2 x 4)} - 10 = 25 + { 36 - 8} - 10 =
25 + 28 - 10 = 53 - 10 = 43
56,00 + 94,00 = 150,00 150,00 - 70,00 = 80,00
80,00 : 2 = 40,00
Numa sala existem 4 vasos com 6 flores em cada um. Retiraram 15 rosas que havia entre 3 deles e jogaram fora. Depois, multiplicaram por dois.
Quadro 15: Respostas das questões 4 e 5 da (12N,18N)
79
,
Na questão 4, o observador relatou que a dupla discutiu o problema e o
representou com um desenho, que não colocou no protocolo e usou a calculadora,
mas o observador não mencionou como foi essa utilização. A dupla elaborou a
expressão aritmética usando as regras de prevalência operatória, contradizendo,
desta forma, nossa análise das questões 1, 2 e 3. Acreditamos que na passagem do
texto em língua materna para a expressão aritmética, a dupla alcançou suas
respostas, por estar lidando com situações do cotidiano e com um texto verbal, não
com uma expressão aritmética.
O observador relatou que, o tempo todo, a dupla discutiu os problemas,
porém, o entendimento de um sujeito confundia o modo de raciocinar do outro e
acabaram se baseando mais nas impressões e experiências do que nas regras de
prevalência operatória. Por exemplo, na resposta da questão 4c, em relação às
respostas das questões 4a e 4b, pudemos perceber uma diferença na conversão,
pois a dupla na questão 4c colocou as operações na ordem em que apareceram no
problema, não elaborando a expressão aritmética. Nesse caso, como nenhum dos
sujeitos tinha o conhecimento correto, ou estava mais adiantado no entendimento, a
potencialidade da exploração do espaço próprio da ZDP ficou prejudicada, e a dupla
não avançou no processo de resolução da atividade. O que mostrou a importância
de formar duplas com diferentes potenciais de aprendizagem.
Na questão 5, discutiram várias hipóteses para a construção do enunciado.
Como pudemos verificar, este não trouxe uma pergunta que deveria ser respondida.
Ao elaborá-lo, a dupla seguiu a ordem em que as informações apareceram na
expressão dada, fazendo uma conversão que Duval chamou de congruente, o que
nos faz pensar que realmente, não era imediato, nem espontâneo o processo de
conversão da língua materna para o sistema algébrico, pois envolve o conhecimento
das regras de prevalência operatória e a leitura e a interpretação do enunciado de
um problema, conforme afirma Duval (2009).
No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (4N,25N)
(ver detalhes na p.106) e (11N,14N) analisou o da dupla (12N,18N) “Numa sala
existem 4 vasos com 6 flores em cada um. Retiraram 15 rosas que havia entre 3
80
,
deles e jogaram fora. Depois, multiplicaram por dois.” O observador relatou que a
dupla não concordou com o enunciado e elaborou uma outra expressão aritmética
que satisfaz o enunciado proposto por (12N,18N), embora este não tivesse uma
pergunta explícita.
Quadro 16: Análise do enunciado da (12N,18N) pela (11N,14N)
(20N,24N)
QU
ES
TÕ
ES
1
a) 2
0 :
5 +
5
1
b)
5 +
20
: 5
1
c) 2
0 x
5 +
5
1
d)
5 +
5 x
20
1
e) 8
x 3
+ 2
0 :
4
1
f) 2
0 :
4 +
8 x
3
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 5 = 4
4 + 5 = 9
20 : 5 = 4 + 5 = 9
20 x 5 = 100 + 5 = 105
5 + 100 = 105
24 + 5 = 29
5 + 24 = 29
De acordo com o que aprendemos, devemos primeiro resolver os parênteses, passando para a multiplicação, depois adição e por último resolver a subtração. Por isso, o estudante B está correto
O caminho que o estudante utilizou foi seguir corretamente a ordem dos números na expressão citada acima, porém, acreditamos que o resultado correto é 31, sendo resolvida primeira a divisão para então, resolvemos o restante da conta.
Quadro 17: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (20N,24N)
(20N,24N) mostrou conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao
resolver as questões 1, 2 e 3 utilizou-as. O observador relatou que usaram a
calculadora apenas, na questão 1e, pois teve dificuldade com a multiplicação e a
divisão. Em nenhum momento, durante a realização dessa questão, mencionaram
as regras, mas a dupla mostrou facilidade, sendo que o sujeito 24N compreendeu o
que estava fazendo, sem mencionar as regras para o sujeito 20N, que concordou,
simplesmente.
81
,
O observador relatou que a dupla iniciou resolvendo a expressão das questões
2 e 3. Ambas usaram a calculadora e conferiram os resultados, antes mesmo, de
analisar as respostas dadas pelos alunos fictícios. O sujeito 24N disse que mudou a
ordem de resolução das operações, então, resolveram-na utilizando as regras. A
dupla mostrou conhecimento das regras de prevalência operatória e o sujeito 24N as
compreendeu e sempre, explicando para o sujeito 20N, que entendeu e observou a
resolução do sujeito 24N. Nesse caso, 20N tem nível de desenvolvimento
retrospectivo suficiente que cria a potencialidade que permite o avanço no espaço
da ZDP. De acordo com Palangana: “Vygotsky propõe um segundo nível de
desenvolvimento que se refere às aprendizagens realizáveis mediante ajuda de
outras pessoas, qual seja, o nível de desenvolvimento potencial.” (2001, p. 152)
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S
8 + 2 x 6 + 2 = 8 + 12 + 2 = 22
25 + 3 x 12 - 2 x 4 - 10 25 + 36 - 8 - 10
61 - 18 43
2 : ( 56 + 94 - 70) 2 : (150 - 70)
2 : 80 40
João é colecionador de bolinhas e possui 6 caixas com 4 bolinhas. Em um jogo com seus 3 colegas ele perdeu 15 bolinhas, que foi dividido igualmente entre eles. Na rodada seguinte João perdeu o dobro do que foi entregue para cada um dos colegas. Quantas bolinhas João ficou ao término do jogo?
Quadro 18: Respostas das questões 4 e 5 da (20N,24N)
Na questão 4, a dupla preocupou-se em utilizar as regras de prevalência
operatória corretamente e não usou a calculadora. O sujeito 24N ressaltou a
importância de resolver a expressão e não só colocar a resposta e o outro sujeito
concordou. Não colocaram os parênteses na multiplicação, mas respeitaram a regra
de resolver primeiro a multiplicação e depois, a adição. Neste caso, houve um
avanço no espaço da ZDP, o que favoreceu a aquisição do conhecimento correto
pelos sujeitos.
Na questão 4c, a dupla a resolveu a equação utilizando a calculadora e
demorou para respondê-la, porque discutiram sobre o lugar correto de usar os
parênteses, para que o resultado fosse o encontrado na calculadora. De acordo com
82
,
a pergunta do problema, o resultado estava correto, mas matematicamente, 2:80
não é 40. Neste caso, verificamos que a dupla tinha dúvida sobre o uso do símbolo
de divisão, pois escreveu 2:80 ao invés de 80:2.
O observador relatou que na questão 5, a dupla estava com pressa para
terminar e não mostrou interesse em contribuir. Ao elaborar o problema, a dupla
seguiu a ordem em que as informações apareceram na expressão dada, fazendo
uma conversão que Duval chama de congruente, o que reforçou que realmente, não
é imediato nem espontâneo o processo de conversão da língua materna para o
sistema algébrico, conforme afirma Duval (2009). Neste caso, embora conhecessem
as regras de prevalência operatória, não deram indícios de ter percebido que essas
regras se aplicavam na conversão e não só no tratamento da expressão aritmética.
Ao interpretar o enunciado elaborado por esta dupla, chegamos a uma
expressão aritmética em que o João ficaria devendo uma bolinha (na verdade,
colocamos este enunciado pensando nesta possibilidade).
6 x 4 – 15 - (15 / 3) x 2
24-15 – 5 x 2
9 - 10 = -1
No debate coletivo, esta dupla analisou a questão 5 da (6N,32N) (ver detalhes
na p. 98) e (1N,22N) analisou o enunciado dado por (20N,24N) “João é colecionador
de bolinhas e possui 6 caixas com 4 bolinhas. Em um jogo com seus 3 colegas, ele
perdeu 15 bolinhas, que foram divididas igualmente entre eles. Na rodada seguinte,
João perdeu o dobro do que foi entregue para cada um dos colegas. Com quantas
bolinhas João ficou, ao término do jogo?”. O observador relatou que a dupla
resolveu o problema com e sem o uso da calculadora e que o enunciado estava
confuso, não concordando com ele, mas elaborou uma expressão que não satisfaz o
enunciado proposto por (20N,24N).
83
,
Quadro 19: Análise do enunciado da (20N,24N) pela (1N,22N)
(8N,13N)
QU
ES
TÕ
ES
1a)
20 :
5 +
5
1b)
5 +
20
: 5
1c)
20 x
5 +
5
1d)
5 +
5 x
20
1e)
8 x
3 +
20
: 4
1f)
20 :
4 +
8 x
3
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 5 = 4
4 + 5 = 9
5 + 20 = 25
25 : 5 = 5
20 x 5 = 100 + 5 =10
5
5
+ 5 = 10 x 20
= 200
24 + 5 = 29
5 + 24 = 29
A resposta que consideramos ser a mais correta é a resposta da letra A. Porque sempre se resolve nas operações primeiro a soma e depois a multiplicação. O aluno da letra B, pode não ter total clareza dessas expressões numéricas por isso ele errou. Mas é uma questão de lógica que exige muita atenção do aluno. A resposta é 1620.
30 - 4 + 10 : 2 = 26 + 5 = 31, resposta que encontramos. 30 - 14 = 16 + 2 = 18, resposta encontrada pelo aluno foi 18, pois ele fez uma subtração, 30 - 14 = 16 e depois uma soma que foi 16 + 2 = 18. Resposta errada segundo nossas contas.
Quadro 20: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (8N,13N)
(8N,13N) mostra não conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao
resolver os itens 1a, 1b, 1c e 1d a dupla faz as operações na ordem em que
aparecem e ao resolver os itens 1e, 1f utiliza as regras de prevalência operatória. O
observador relata que não usam a calculadora em nenhuma das questões e que o
sujeito 13N, durante a resolução da questão 1, confundiu as regras; com isso, seus
resultados estavam diferentes dos do sujeito 8N. Após discutirem, lembram das
regras de prevalência operatória, mas essa discussão ocorre após a resolução da
questão 1d e não retornam às primeiras expressões, para verificar se haviam
aplicado corretamente as regras.
Na questão 2, o texto escrito pelos sujeitos explicitou que resolveram as
operações na ordem em que apareceram e relataram que se deve resolver primeiro,
a soma e depois, a multiplicação. A dupla mostrou, novamente, não saber as regras
de prevalência operatória, embora soubesse que elas existem.
84
,
Na questão 3, a dupla mostrou conhecer as regras de prevalência operatória
e o observador relatou que a dupla não fez a leitura do enunciado e, com dificuldade
para elaborar a expressão, voltou para ler o enunciado, antes de responder. Apenas
o sujeito 13N respondeu e o outro, ficou observando, mas não perguntou nem
discutiu, durante a realização da questão. Aparentemente, por razões que não
pudemos determinar na prática, não houve o desenvolvimento da aprendizagem no
espaço da ZDP. O modo como a interação entre os elementos da dupla ocorreu, não
criou condições para o processo de mediação necessário para a aprendizagem.
Essa não mediação pode ser explicada, teoricamente, por várias razões: nenhum
dos sujeitos tinha o conhecimento necessário para resolver a questão; não estão
acostumados ao trabalho em duplas; não aceitaram a imposição da dupla pelo
pesquisador.
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S 8 maçãs
12 goiabas 4 melancias
Maria comprou 24 frutas na feira total
Ficaram 43 pessoas na galeria 150,00 total da compra. Pagou 70 `a vista, fez 2 parcelas de 40,00 reais cada parcela, totalizando 80 no total de parcelas.
Maria tem 6 caixas com 4 lápis em cada caixa. Maria dividiu seus lápis com seus alunos ela deu 5 lápis. Ficou com 10 lápis que deu para uma amiga, ou seja 6 x 4 - (15:3) x 2 = Maria ainda ficou com 38 lápis resolva.
Quadro 21: Respostas das questões 4 e 5 da (8N,13N)
Na questão 4, ao resolverem os problemas, não discutiram. Na questão 4a, a
dupla fez as operações na ordem em que apareceram, não elaboraram uma
expressão aritmética e chegaram ao resultado: 24 frutas. Analisando a resposta
dada pela dupla, verificamos que esse problema poderia ter duas interpretações,
pois ao mencionar duas caixas, o sujeito pode entender que são 2 caixas com 6
goiabas e 2 caixas com 2 melancias, cada uma.
Na questão 4b, a dupla não elaborou a expressão, deixando apenas, a
resposta. Nesse caso, não tivemos como analisar se usaram ou não as regras de
prevalência operatória e o observador não colocou nada em relação a essa questão.
85
,
Na questão 4c, a dupla não discutiu e resolveu seguindo as operações na
ordem em que apareceram no enunciado, não elaborando uma expressão. Ao
resolver o problema, deixaram o total de R$ 80,00 como resposta, sendo que a
pergunta era sobre o valor de cada parcela e o valor correto era R$ 40,00. Nesse
caso, notamos que os sujeitos não deram atenção à pergunta para no final, dar a
resposta do problema.
Na questão 5, ao elaborar o enunciado do problema que combinasse com a
expressão dada, os sujeitos seguiram a ordem das operações, fazendo uma
conversão que Duval chama de congruente, o que nos faz pensar que realmente,
não é imediato nem espontâneo o processo de conversão da língua materna para o
sistema algébrico, pois envolve o conhecimento das regras de prevalência
operatória e a leitura e a interpretação do enunciado de um problema, conforme
afirma Duval (2009). Os sujeitos colocam os resultados das operações ao elaborar o
enunciado como “5 lápis”, que é o valor da divisão (15 : 3) e 10 lápis, que é o valor
do 5 x 2”. Acrescentam ao enunciado a expressão dada na questão e um resultado,
38 lápis, que é maior do que o número de lápis que Maria tinha no início. Ainda traz
uma “pergunta” no final, quando coloca “resolva”.
A dupla usou um enunciado que contém a expressão dada e também,
colocou a resposta que acreditou ser a correta, 38 lápis, porque, ao resolver a
expressão dada, fez as operações na ordem em que apareceram, ou seja, 6x4-
5x2=24-5x2=19x2=38. Essa dupla mostrou não saber todas as regras de prevalência
operatória, embora tenha resolvido primeiro os parênteses. Além disso, o
observador relatou que a dupla discutiu muito em relação as regras, mas as
confundiu em cada questão resolvida. De certa forma, houve mediação, porque a
dupla não avançou nos resultados, pois tudo indica que nenhum dos sujeitos
dominava as regras, o que explica o fato de não ter havido apropriação de novo
conhecimento. De qualquer modo, a própria discussão entre os elementos da dupla
permitiu um questionamento individual dos conhecimentos e o confronto de ideias, o
que, de qualquer forma, traz certa familiaridade em relação ao conteúdo e favorece
86
,
o desenvolvimento cognitivo resultante da mediação proporcionada no espaço da
ZDP.
No debate coletivo, esta dupla analisou a questão 5 da (9N,21N) (ver detalhes
na p. 93) e (4N,25N) o enunciado dado por (8N,13N) “Maria tem 6 caixas com 4 lápis
em cada caixa. Maria dividiu seus lápis com os alunos, ela deu 5 lápis. Ficou com
10, que deu para uma amiga, ou seja, 6 x 4 - (15:3) x 2 = Maria ainda ficou com 38
lápis. Resolva”. A dupla resolveu a expressão colocada no enunciado, com e sem o
uso da calculadora, utilizando as regras de prevalência operatória. Relataram que
estava confuso, não concordaram com o problema e não entenderam como
apareceram os dados e como a dupla chegou ao resultado: 38 lápis. Os sujeitos da
dupla (4N,25N) mostraram conhecimento das regras e debateram que não se deve
colocar a expressão no problema, nem o resultado, pois pode confundir o aluno com
muitas informações.
Quadro 22: Análise do enunciado da (8N,13N) pela (4N,25N)
(11N,14N)
QU
ES
TÕ
ES
1a)
20 :
5 +
5
1b)
5 +
20
: 5
1c)
20 x
5 +
5
1d)
5 +
5 x
20
1e)
8 x
3 +
20
: 4
1f)
20 :
4 +
8 x
3
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 5 = 4
+ 5 = 9
5 + 4 = 9
20 x 5 = 100 + 5 = 105
5 + 100 = 105
8 x 3 = 18 + 5 = 23
5 + 18 = 23
A correta é a B. Porque em uma expressão numérica se resolve primeiro os parênteses ( ), depois a sequência: multiplicação, adição e subtração.E foi exatamente o que o estudante fez.
O resultado encontrado pelo estudante não está correto. Pois usando a calculadora ele fez a expressão de uma forma direta. 30 - 4 + 10 : 2= 30 - 4 + 5 = 26 + 5 = 31
Quadro 23: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (11N,14N)
87
,
(11N,14N) mostrou conhecer as regras de prevalência operatória, pois, ao
resolver a questão 1, o observador relatou que utilizaram a calculadora e discutira as
regras. Durante a realização das operações, a dupla questionou qual operação
deveriam resolver primeiro, e fizeram de duas maneiras, iniciando pela operação
aditiva e depois, pela operação multiplicativa. O sujeito 11N mostrou conhecer as
regras e explicou para o sujeito 14N, que concordava. Esse processo de mediação
parece ter sido marcado pela concordância do colega em um nível de entendimento
que poderia ser chamando de pleno. Segundo Vygotsky (1988, p.120) “Se os
pensamentos das duas pessoas coincidirem, um perfeito entendimento poderá ser
obtido pelo simples uso de predicados [...]”.
Na questão 1e e 1f, a dupla utilizou a calculadora e errou ao resolver 8 x 3,
pois colocam 18, ao invés de 24. Segundo Selva e Borba (2010, p. 110) “[...] a
calculadora apenas opera o que foi digitado, mas quem resolve o que vai ser
operado, quem define os passos a serem seguidos, a estratégia de resolução, é o
seu utilizador [...]”. Usaram as regras de prevalência operatória, mostrando conhecê-
las.
O observador relatou que na questão 2, a dupla iniciou discutindo as
resoluções dos estudantes. O sujeito 11N explicou a regra para o sujeito 14N mais
de uma vez, que concordou novamente, mas sempre as esquecia. Esse processo
ocorrido com a dupla pode revelar que 11N era mais experiente na tarefa, no
entanto, 14N não tinha o nível de desenvolvimento retrospectivo que lhe permitisse
entender e avançar dentro do espaço da ZDP.
Na questão 3, a dupla utilizou a calculadora e o sujeito 11N colocou para o
outro que estava incorreto, pois o estudante seguiu a ordem em que apareceram as
operações e que as regras são: primeiro resolver a divisão e depois, as operações
de adição e subtração, na ordem em que aparecem. Vygotsky “propõe um segundo
nível de desenvolvimento que se refere às aprendizagens realizáveis mediante ajuda
de outras pessoas, qual seja, o nível de desenvolvimento potencial.” (PALANGANA,
2001, p. 152, apud VIGOTSKY, 1988). Nesse caso, foi fundamental o entendimento
de um dos sujeitos para resolver as expressões, o que favoreceu o desenvolvimento
88
,
na ZDP, com ganho para ambos os sujeitos, em relação às regras de prevalência
operatória, que eram conhecidas pelo outro sujeito. O estudante que domina a regra
ganha no processo, pois o ato de organizar o pensamento e planejar a explicação
para o colega, transforma-se em um processo metacognitivo essencial para o seu
próprio avanço e domínio do conteúdo. O colega de dupla, por sua vez, por meio da
explicação do companheiro mais experiente e dos conhecimentos retrospectivos de
que lança mão, pode avançar para níveis de conhecimento mais complexos.
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente, saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S
8 + 2 x 6 + 2 = 8 + 12 + 2 = 22
25 + (3 x 12) - (2 x 4) - 10 = 25 + 36 - 8 - 10 =
61 - 8 - 10 = 53 - 10 = 43
( 56 + 94 - 70) : 2 = (150 - 70) : 2 = 80 : 2 = 40
Em uma biblioteca existiam 04 estantes com seis livros cada, 15 prateleiras separadas em 03 grupos: literatura, história e artes.
Quadro 24: Respostas das questões 4 e 5 da (11N,14N)
Na questão 4, a dupla fez a conversão de um problema aritmético proposto
em língua materna para a respectiva expressão e utilizou as regras de prevalência
operatória, corretamente.
Na questão 5, o observador relatou que a dupla refletiu antes de iniciar e que
mostrou bastante dificuldade. Um dos sujeitos achou que invés de ter no final da
expressão uma multiplicação, deveria ser uma soma, que seria mais fácil para
elaborar o enunciado. Utilizando um rascunho, a dupla começou a fazer um
esquema, indicando o que cada número representava. Iniciou a expressão, mas
discutiram e não conseguem terminar. Como podemos verificar, o enunciado não
traz uma pergunta que deve ser respondida.
No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (12N,18N)
(ver detalhes na p.79) e (9N,21N) o enunciado dado por (11N,14N) “Em uma
biblioteca existiam 4 estantes com seis livros cada, 15 prateleiras separadas em 3
grupos: Literatura, História e Artes”. A dupla discutiu e elaborou uma expressão que
89
,
satisfaz o enunciado proposto por (11N,14N), mas não resolveu o problema
proposto por (11N,14N), pois faltou a pergunta, no problema .
Quadro 25: Análise do enunciado da (11N,14N) pela (9N,21N)
(1N,22N)
QU
ES
TÕ
ES
1a)
20 :
5 +
5
1b)
5 +
20
: 5
1c
) 2
0 x
5 5
1d
) 5
+ 5
x 2
0
1e
) 8
x 3
+ 2
0 :
4
1f)
20 :
4 +
8 x
3 2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) +
32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 5 =
4 + 5 = 9
5 + 4 = 9
20 x 5 = 100 +
5 = 105
5 + 100 = 105
24 + 5 = 29
5 + 24 = 29
E a (b) porque ele resolveu primeiro os parênteses e em seguida, a multiplicação, depois, a adição e por último, a subtração, até chegar ao resultado.
30 - 4 + 10 : 2= 30 - 4 + 5 = 26 + 5 = 31 O resultado dele está errado porque ele calculou as operações na sequência, quando o correto seria ele efetuar primeiro divisão.
Quadro 26: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (1N,22N)
(1N,22N) mostrou conhecer as regras de prevalência operatória e a dupla as
discutiu durante a resolução das questões 1 e 2, mas não utilizou a calculadora.
Na questão 3, cada sujeito resolveu a expressão aritmética e depois,
discutiram entre si o resultado, entrando em acordo. Mostraram conhecer as regras,
explicaram que o estudante não as usou para resolver as expressões e que
devemos resolver primeiro, a divisão, mencionando uma das regras de prevalência
operatória.
Para essa dupla, houve um evidente avanço no espaço da ZDP, pois a
apropriação do conhecimento dos sujeitos pode favorecer o tratamento das
expressões e as discussões durante a atividade.
90
,
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S
8 + (2 x 6) + 2 = 8 + 12 + 2 = 22
25 + 3 x 12 - 2 x 4 - 10 25 + 36 - 8 - 10
61 - 8 - 10 53 - 10 = 43
56 + 94 - 70 = X : 2 = 150 - 70 = X : 2 =
80 = X : 2 = X = 80 : 2 = 40
Para premiar o show de talentos da escola, a professora comprou 6 cartelas com 4 medalhas cada para distribuí-las entre os 15 melhores alunos, com ouro, prata e bronze, nos períodos da manhã e da tarde. Quantas medalhas sobraram?
Quadro 27: Respostas das questões 4 e 5 da (1N,22N)
Esta dupla, nas questões 4a e 4b, mostrou conhecimento na conversão de
um problema aritmético proposto em língua materna para a respectiva expressão
aritmética e no tratamento das expressões, mesmo sem uso dos parênteses, pois
interpretaram e utilizaram as regras, corretamente.
Na questão 4c, o observador relatou que a dupla tinha dúvida. Ao elaborar a
expressão, colocaram dois sinais de igualdade, numa espécie de conversão
congruente, pois X expressa o valor total da dívida, que deve ser dividida por 2.
Calcularam o valor correto da parcela, mas usaram notação errada.
Na questão 5, ao elaborar o enunciado de acordo com a expressão dada, o
observador relatou que a dupla teve algumas dúvidas e, após pensar em vários
enunciados, conseguiu elaborar um, no qual segue a ordem em que as informações
apareceram na expressão dada, fazendo uma conversão que Duval chama de
congruente, o que nos faz pensar que realmente, não é imediato nem espontâneo o
processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico, pois envolve o
conhecimento das regras de prevalência operatória e a leitura e a interpretação do
enunciado de um problema, conforme afirma Duval (2009).
No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (20N,24N)
(ver detalhes na p. 82) e a (3N,15N) analisa o enunciado dado por (1N,22N) “Para
premiar o show de talentos da escola, a professora comprou 6 cartelas com 4
medalhas cada para distribui-las entre os 15 melhores alunos, com ouro, prata e
91
,
bronze, nos períodos da manhã e da tarde. Quantas medalhas sobraram?”,
relatando que ficaram com dúvidas em relação ao enunciado, mas o observador não
deixou claro sobre qual foi essa dúvida. Elaboraram uma expressão aritmética que
satisfez o enunciado proposto por (1N,22N), mostrando que conseguiram fazer a
conversão, neste caso.
Quadro 28: Análise do enunciado de (1N,22N) por (3N,15N)
(9N,21N)
QU
ES
TÕ
ES
1a
) 2
0 :
5 +
5
1b
) 5
+ 2
0 :
5
1c
) 2
0 x
5 +
5
1d
) 5
+ 5
x 2
0
1e
) 8
x 3
+ 2
0 :
4
1 f
) 2
0 :
4 +
8 x
3 2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32
– 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 5 = 4 + 5 = 9
2
5 : 5 = 5
20 x 5 = 100 + 5 = 105
5 + 5 = 10 x 20 = 200
24+
5 = 29
5
+ 24 = 29
B - o estudante primeiro resolveu a expressão dos parênteses, depois, a multiplicação, a soma e por último a subtração. O que é normal em uma expressão numérica.
Ele subtraiu o número 4 do número 30 e somou com o 10. O resultado ele dividiu por 2. Não está correto. O correto é subtrair 4 do número 30 e dividir o número 10 por 2 que é 5. Depois fazer a soma do dois resultados ou seja 26 + 5 = 31.
Quadro 29: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (9N,21N)
(9N,21N) mostrou não conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao
resolver os itens 1a, 1b, 1c e 1d fez as operações na ordem em que apareceram e
utilizou a calculadora da mesma forma, ou seja, 20 enter : 5 enter + 5 = na questão
1a ou 5 enter + 20 enter : 5 = na questão 1b, confirmando não saber as regras. Ao
resolver os itens 1e, 1f utilizou as regras de prevalência operatória e não usou a
calculadora, mostrando dúvidas sobre como resolver as expressões. Ás vezes,
confundiu, e outras, não, mas não retornou para verificar as expressões anteriores, o
que nos deixou em dúvida sobre o conhecimento que tinha das regras de
prevalência operatória.
92
,
Na questão 2, o observador relatou que, antes de iniciar a resolução,
discutiram as regras e que era preciso resolver os parênteses, antes. A dupla
resolveu a expressão e concordou que o estudante B estava correto, mostrando ter
conhecimento das regras de prevalência operatória.
Na questão 3, o observador relatou que a dupla utilizou a calculadora para
conferir a expressão e a resolveu para verificar o resultado. O registro mostrou que a
dupla conhecia as regras e percebeu que o aluno fictício errou, pois resolveu
primeiro a subtração, e depois, a divisão e por último, a adição.
Nesse caso, o processo de mediação entre os participantes evidenciou-se
pela discussão das regras, o que permitiu que os alunos avançassem no
entendimento destas, mais evidente na questão 2, e obtivessem bons resultados nas
questões 2 e 3, embora não tenham retomado a questão 1. Ressalta-se a
apropriação de novos conhecimentos nesse processo de mediação propiciado pela
ação planejada no espaço da ZDP.
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
mR
ES
PO
ST
AS
8 maçãs = 8 2 x 6 goiabas = 12 2 melancias = 2 8 + 12 + 2 = 22
25 pessoas 3 x 12 = 36 - 2 x 4 = 8
- 10
25 + 36 = 61 10 + 8 = 18 61 - 18 = 43
94,00 + 56,00 = 150,00 150,00 - 70,00 = 80,00
80,00 : 2 = 40,00
João comprou 6 caixas de chocolate com 4 barrinhas cada. Maria comprou 15 balas para repartir entre 3 crianças. Maria resolveu dar 2 vezes mais de balas. Quantos doces João comprou. E a Maria quantas balas deu para cada criança.
Quadro 30: Respostas das questões 4 e 5 da (9N,21N)
Na questão 4, a dupla não elaborou as expressões em nenhum dos itens e o
observador relatou que a dupla interagiu para saber se o raciocínio estava correto,
realizou a leitura e colocou as operações conforme apareceram no problema dado,
fazendo uma conversão que Duval chama de congruente, o que reforça que
realmente, não é imediato nem espontâneo o processo de conversão da língua
93
,
materna para o sistema algébrico, pois envolve o conhecimento das regras de
prevalência operatória e a leitura e a interpretação do enunciado de um problema,
conforme afirma Duval (2009). Um dos sujeitos fez as operações e o outro, só
observou; quando não concordou, perguntou. O outro sujeito explicou e novamente,
concordou com a resposta, não fazendo nenhuma intervenção. Em todas as
questões, o sujeito “ativo” resolveu e verificou o resultado na calculadora, chegando
ao mesmo resultado.
Na questão 5, o observador relatou que a dupla discutiu e começa a elaborar
o enunciado; depois, resolveu a expressão dada, mas mostrou dificuldade para isto,
como também, para elaborar o enunciado; então, um dos sujeitos iniciou novamente
o enunciado e a dupla não considerou o sinal de menos da expressão, portanto, não
conseguiu fazer a conversão, comprovando que realmente, não é imediato nem
espontâneo, o processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico,
pois envolve o conhecimento das regras de prevalência operatória e a leitura e a
interpretação do enunciado de um problema, conforme afirma Duval (2009).
Analisando o enunciado, observamos que não satisfaz a expressão dada, porém
responde às perguntas feitas, que são duas, o número de barrinhas de João e,
separadamente, o número de balas que Maria deu para cada criança.
No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (11N,14N)
(ver detalhes na p. 88) e a (8N,13N) o enunciado dado por (9N,21N) “João comprou
6 caixas de chocolate com 4 barrinhas cada. Maria comprou 15 balas para repartir
entre 3 crianças. Maria resolveu dar 2 vezes mais de balas. Quantos doces João
comprou? E Maria quantas balas deu para cada criança?” E, aparentemente, não
concordou com ele, pois elaborou uma outra expressão aritmética, que não satisfez
o enunciado proposto por (9N,21N), mas satisfez a expressão dada.
Quadro 31: Análise do enunciado da (9N,21N) pela (8N,13N)
94
,
(17N,28N) Q
UE
ST
ÕE
S
1
a) 2
0 :
5 +
5
1
b)
5 +
20
: 5
1
c) 2
0 x
5 +
5
1
d)
5 +
5 x
20
1
e) 8
x 3
+ 2
0 :
4
1
f) 2
0 :
4 +
8 x
3
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 5 =
4 + 5 = 9
5
+ 20 = 25 : 5
= 5
20 x 5 = 100 + 5 = 105
5
+ 5 = 10 x 20
= 200
2
4+ 20 = 44 : 4 = 11
5 + 8 = 13 x 3 = 39 Não responderam 30 - 4 = 26 + 10 = 36 : 2 = 18
Ele fez a conta por etapa, até chegar ao resultado
Quadro 32: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (17N,28N)
(17N,28N) mostrou não conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao
resolver a questão 1 a dupla fez as operações na ordem em que apareceram e
utilizou a calculadora da mesma forma, ou seja, 20 enter : 5 enter + 5 = na questão
1a ou 5 enter + 20 enter : 5 =. O observador relatou que discutira as regras e ficaram
em dúvida. Na questão 2, a dupla não resolveu a questão. Discutiram sobre quais as
operações que seriam realizadas, mas desistiram, alegam não saber responder e
passaram para a questão seguinte, não retomando mais a questão 2.
Na questão 3, o observador relatou que a dupla resolveu primeiro a divisão,
mas ao colocar na calculadora, resolveu na ordem em que aparecem as operações;
então, retomou a questão 1, para verificar as operações realizadas e concordou que
deveria resolver na ordem em que aparecem as operações. Neste caso, a interação
da dupla favoreceu a discussão; no entanto, a sequência de ações mostrou que
nenhum dos elementos da dupla tinha expertise suficiente para avançar no
entendimento e para trazer o companheiro para um nível mais elevado de
conhecimento. Dessa forma, o espaço próprio da ZDP não se estabeleceu.
95
,
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S
6 x 2 = 12 12 + 8 + 2 = 22
12 x 3 = 36 36 + 25 = 61 4 x 2 = 8 61 - 8 = 53 53 - 10 = 43
56+ 94= 150 150 - 70 = 80 80 : 2 = 40
João comprou 6 caixas de lápis contendo 4 lápis cada uma, tendo que dividir 15 lápis para 3 crianças. Sabendo que ele tinha perdido pelo caminho 5 lápis e ganhou 25 reais para comprar o dobro de lápis que lhe restou. Quantos lápis João ficou? R: 28 lápis
Quadro 33: Respostas das questões 4 e 5 da (17N,28N)
Na questão 4, a dupla não apresentou a expressão em nenhum dos itens e o
observador relatou que resolveram com facilidade, utilizando a calculadora apenas,
para conferir o resultado. Pode ter ajudado o fato dos enunciados serem ligados ao
cotidiano; na questão 4a, por exemplo, o problema apresentava frutas diferentes.
Na questão 5, o observador relatou que um dos sujeitos mencionou que não
sabia elaborar o enunciado, então, o outro sugeriu resolver a expressão antes de
elaborar o enunciado, mostrando novamente, não utilizar as regras de prevalência
operatória. Feitas as contas, a dupla elaborou um enunciado que seguiu a ordem em
que as informações apareceram na expressão dada, fazendo uma conversão que
Duval chama de congruente, o que reforça que realmente, não é imediato nem
espontâneo o processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico,
pois envolve o conhecimento das regras de prevalência operatória e a leitura e
interpretação do enunciado de um problema, conforme afirma Duval (2009). Ao final
do enunciado, incluíram a resposta, que não podia ser o resultado da expressão
dada, porque nela havia uma subtração e a resposta deveria ser menor do que 24.
No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (10N,27N)
(ver detalhes na p. 108) e por coincidência, o enunciado dado por (17N,28N) “João
comprou 6 caixas de lápis contendo 4 lápis cada uma, tendo que dividir 15 lápis para
3 crianças. Sabendo que ele tinha perdido pelo caminho 5 lápis e ganhou 25 reais
para comprar o dobro de lápis que lhe restou. Com quantos lápis João ficou? R: 28
96
,
lápis”. A dupla não concordou com o enunciado, mas tentou elaborar uma expressão
aritmética, que não satisfez o enunciado proposto por (17N,28N).
Defendemos a importância de enunciados bem elaborados, para que os
leitores do texto, que vão interpretá-los, consigam entender e encontrar a solução.
Neste caso, vemos pelo menos duas informações mal colocadas: como calcular o
número de lápis comprados, se não se sabe o preço unitário? Qual a relação entre
os lápis comprados e o número de lápis que cada aluno recebeu, que é o 15:3?
Ainda mais, a dupla (17N,28N) deixa a resposta - 28 lápis – que nunca poderá ser a
resposta da expressão, que sempre será menor do que 24.
Quadro 34: Análise do enunciado da (17N,28N) pela (10N,27N)
(6N,32N)
QU
ES
TÕ
ES
1
a) 2
0 :
5 +
5
1
b)
5 +
20
: 5
1
c) 2
0 x
5 +
5
1
d)
5 +
5 x
20
1
e) 8
x 3
+ 2
0 :
4
1
f) 2
0 :
4 +
8 x
3 2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) +
32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
4 + 5 = 9
25 : 5 = 5
1
00 + 5 = 105
1
0 x 20
= 200
24+
20 = 44 : 4
= 11
5
+ 8 = 13 x 3 = 39 A letra "A" está correta, porque
primeiro resolveu a adição, subtração, parênteses e por último foi a multiplicação, onde deu o resultado final
A resposta está correta, o caminho utilizado pelo aluno foi este 30 - 4 + 10 : 2 26 + 10 : 2 36: 2 = 18
Quadro 35: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (6N,32N)
(6N,32N) mostrou não conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao
resolver a questão 1, fez as operações na calculadora na ordem em que
apareceram, ou seja, 20 enter : 5 enter + 5 = na questão 1a ou 5 enter + 20 enter : 5
=. O observador relatou que a dupla discutiu sobre quais seriam as regras, se
deveriam realizar primeiro a multiplicação, a divisão, a subtração ou a adição,
97
,
mostrando que já deviam ter visto as regras de prevalência operatória, mas ficaram
tentando lembrar, até que decidiram resolver, de acordo com a ordem em que as
operações apareceram na expressão.
Nas questões 2 e 3, o observador relatou que a dupla iniciou resolvendo a
expressão dada nas questões e que estavam em dúvida sobre o que resolver
primeiro; falaram sobre os parênteses e depois, voltaram e chegaram a um acordo,
que seria a subtração, a divisão e a multiplicação, por último. As regras não ficam
esclarecidas na dupla e resolveram seguir as operações na ordem em que
apareciam, aceitando a resposta do aluno fictício, que não estava correta. Nesse
caso, apesar da discussão e da troca de ideias, repetiu-se o processo já discutido
em relação à dupla (17N,28N), uma vez que os elementos da dupla estavam em um
mesmo nível de desenvolvimento em relação ao entendimento e domínio das regras
e a interação não favoreceu a criação de ZDP e, consequentemente, da
aprendizagem.
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S 8 + 2 x 6 + 2 =
8 + 12 + 2 = 22
8 + 6 + 6 + 2 = 14 + 6 + 2 = 20 + 2 = 22
Finalmente ficaram 43 pessoas na galeria
O valor de cada parcela foi 40,00 reais
Maria comprou na feira 2 caixa de laranjas sendo que cada uma tinha 12 laranjas, ela comprou também caixas de bananas cada uma contendo 5, e depois comprou 10 peras. Ao todo quantas frutas ela comprou?
Quadro 36: Respostas das questões 4 e 5 da (6N,32N)
Na questão 4a, o observador relatou que a dupla discutiu e resolveu elaborar
duas expressões, uma utilizando apenas, a adição das frutas e outra, envolvendo a
adição e a multiplicação. Usou a calculadora para resolver as expressões e as
regras de prevalência operatória. Pode ter ajudado o fato do enunciado da questão
envolver frutas diferentes.
98
,
Nas questões 4b e 4c, a dupla leu duas vezes e utilizou a calculadora, mas
não deixou a expressão para analisarmos, apenas colocou a resposta.
Na questão 5, ao elaborar o enunciado, o observador relatou que a dupla
achou muito difícil e estava com muitas dúvidas sobre qual seria a regra certa e se
registraria o passo a passo ou não; após algumas discussões, conseguiu entrar em
acordo e faz conforme entendeu. Ao analisarmos o problema, pudemos verificar que
a dupla tentou elaborar, de acordo com os valores da expressão, quando colocou,
no enunciado “2 caixas com 12 laranjas” para substituir o 6x4 da expressão e 10
peras para colocar no lugar de (15:3)x2, mas podemos verificar que não utilizam a
expressão, pois nela, há uma subtração e não uma adição, e não há como calcular o
número de bananas. O que confirma que realmente, não é imediato nem
espontâneo o processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico,
pois envolve o conhecimento das regras de prevalência operatória, a leitura e a
interpretação do enunciado de um problema, conforme afirma Duval (2009).
No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (16N,19N)
(ver detalhes na p. 101) e a (20N,24N) analisou o enunciado dado por (6N,32N)
“Maria comprou na feira 2 caixa de laranjas, sendo que cada uma tinha 12 laranjas,
ela comprou também, caixas de bananas, cada uma contendo 5, e depois, comprou
10 peras. Ao todo, quantas frutas ela comprou?” E, aparentemente, não concordou
com ele, pois percebeu que a quantidade de caixas de bananas compradas não era
informada no problema; depois de discutirem, elaboraram uma expressão que
satisfazia o enunciado proposto por (6N,32N), se admitir que foi comprada apenas
uma caixa de banana.
Quadro 37: Análise do enunciado da (6N,32N) pela (20N,24N)
99
,
(16N,19N)
QU
ES
TÕ
ES
1a)
20
: 5
+ 5
1
b)
5 +
20
: 5
1
c) 2
0 x
5 +
5
1
d)
5 +
5 x
20
1e
) 8
x 3
+ 2
0 :
4
1
f) 2
0 :
4 +
8 x
3 2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) +
32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 5 + 5 =
4 + 9 = 13
5 + 4 = 9
20 x 5 = 100 + 5 = 105
5
+ 100
= 105
24 + 5 = 29
5 + 24 = 29
Assinalou a expressão B. E justificou porque o estudante A não obedeceu as regras
30 - 4 + 10 : 2 26 + 10 : 2 36: 2 = 18 Não, porque ele resolveu através da leitura realizada
Quadro 38: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (16N,19N)
(16N,19N) mostrou conhecer as regras de prevalência operatória, pois na
questão 1 resolveu todas, utilizando as regras; é preciso destacar que na questão 1a
a dupla deu como resposta 13, pois somou o número 4 novamente na expressão, o
que nos pareceu falta de atenção. O observador relatou que a dupla interagiu bem
em todas as expressões e fez antes, em um rascunho. Acreditamos que ao passar
para o protocolo, a resposta, não prestaram atenção no momento de copiar a
resolução e por isso, acrescentam o 4 a mais.
Na questão 2, o observador relatou que a dupla discutiu as regras e
concordou que a utilização era importante, comentou as duas resoluções e utilizou a
calculadora para verificar o resultado. O texto escrito pela dupla explicitou que o
estudante A não obedeceu às regras, o que faz com que acreditemos que sabem
que elas existem.
Na questão 3, o observador relatou que a dupla iniciou resolvendo a
expressão dada, não utilizou a calculadora e mostrou conhecer as regras de
prevalência operatória. A dupla destacou que o estudante resolveu na ordem em
que apareceram as operações, chegando a um resultado incorreto e mostrou
conhecer as regras de prevalência operatória, nas três questões.
100
,
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S 8 + 2 x 6 + 2 =
8 + 12 + 2 = 8 + 14 = 22
25 + 3 x 12 - 2 x 4 - 10 = 25 + 36 - 8 - 10 = 25 + 36 - 18 = 25 + 18 = 43
56,00 + 94,00 - 70, 00 : 2 150,00 - 70,00 : 2 80,00 : 2 = 40,00
Comprei uma caixa de leite com 6 x 4 litros, durante a semana utilizei (15 : 3) x 2. Quantos litros sobraram para a semana seguinte?
Quadro 39: Respostas das questões 4 e 5 da (16N,19N)
Nas questões 4a e 4b, a dupla resolveu utilizando as regras de prevalência
operatória, mesmo não colocando as multiplicações dentro dos parênteses, o que,
do ponto de vista matemático, está correto. A dupla fez a conversão de um problema
aritmético proposto em língua materna para a respectiva expressão aritmética,
nestes itens.
Na questão 4c, a dupla elaborou uma expressão corretamente, de acordo
com a passagem da língua materna para a expressão aritmética, mas não colocou
os parênteses nas adições, o que, do ponto de vista matemático, está errado e
contraria as regras de prevalência operatória. Só olhando a expressão, poder-se-ia
pensar que resolveram na ordem em que as operações apareceram, o que, neste
caso, dá a resposta correta.
Na questão 4, o observador relatou que o sujeito 16N mostrou conhecer as
regras. Todo o tempo as relembrava e explicava para o sujeito 19N, que concordava
com todas as colocações. Nesse caso, foi fundamental o espaço da ZDP, pois o
entendimento maior de um dos sujeitos para resolver as expressões tornou-o o mais
experiente diante da tarefa, o que pode favorecer a troca e a apropriação do
conhecimento por parte do colega, quanto às regras de prevalência operatória.
Na questão 5, ao elaborar o enunciado para a expressão dada, o observador
relatou que a dupla resolveu a expressão antes de iniciar o enunciado e depois de
conversar e discutir, conseguiu elaborá-lo. A dupla seguiu a ordem em que as
operações aparecem na expressão dada, fazendo uma conversão que Duval chama
101
,
de congruente, o que nos faz pensar que realmente, não é imediato nem
espontâneo o processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico,
pois envolve o conhecimento das regras de prevalência operatória, leitura e a
interpretação do enunciado de um problema, conforme afirma Duval (2009).
No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (5N,31N)
(ver detalhes na p.111) e a (6N,32N) o enunciado dado por (16N,19N) “Comprei uma
caixa de leite com 6 x 4 litros, durante a semana, utilizei (15 : 3) x 2. Quantos litros
sobraram para a semana seguinte?” e elaborou uma expressão aritmética que
satisfez o enunciado proposto por (16N,19N), mas ao resolver, não aplicou as regras
e obteve como resposta um número maior do que o inicial, confirmando que não
conhecia as regras de prevalência operatória, como destacamos na análise da dupla
e nem fizeram uma análise crítica da resposta obtida.
Quadro 40: Análise do enunciado da (16N,19N) pela (6N,32N)
(3N,15N)
QU
ES
TÕ
ES
1a
) 2
0 :
5 +
5
1b
) 5
+ 2
0 :
5
1c
) 2
0 x
5 +
5
1d
) 5
+ 5
x 2
0
1e
) 8
x 3
+ 2
0 :
4
1f)
20
: 4
+ 8
x 3
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20:5= 4 + 5 = 9
25 : 5 = 5
20 x 5 = 100
+ 5 = 105
5 + 5 = 10 x 20 = 200
24 + 5 = 29
5 + 24 = 29
A resposta correta é a B, porque nas expressões começamos a resolver primeiro o que está entre parênteses.
Não resolveram
Quadro 41: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (3N,15N)
102
,
(3N,15N) mostrou não conhecer realmente, as regras de prevalência
operatória, pois ao resolver os itens 1a, 1b, 1c e 1d a dupla faz as operações na
ordem em que apareceram e nos itens 1e e 1f usaram as regras de prevalência
operatória. O observador relatou que a dupla utilizou a calculadora na questão 1c,
ou seja, 20 enter x 5 enter + 5 = para conferir os resultados.
Na questão 2, o observador relatou que a dupla iniciou verificando a
resolução de cada estudante, resolveu as operações e chegou ao resultado.
Deixaram claro que uma das regras era resolver primeiro, as operações dentro dos
parênteses, mas não destacaram que a multiplicação deveria ser feita antes da
adição.
Na questão 3, o observador relatou que a dupla tentou resolver de várias
formas, utilizou a calculadora e depois, desistiu de resolver e foi para a próxima
questão.
Os sujeitos discutiram uma das regras, apenas sobre o uso dos parênteses,
mas não houve a mediação necessária entre os sujeitos da dupla para resolver as
questões utilizando as demais regras. Esse resultado pode ter várias explicações:
nenhum dos sujeitos tinha um nível de conhecimento que o diferenciasse como o
mais experiente para resolver a questão; os elementos não estavam acostumados
ao trabalho em duplas ou não aceitaram a imposição da dupla pelo pesquisador.
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S 8 + (2 x 6) + 2 =
8 + 12 + 2 = 22 25 + (3 x 12) - (2 x 4) - 10 =
25 + 36 - 8 - 10 = 25 + 24 - 10 = 25 + 14= 39
56 + 94 - 70 = 150 - 70 = 80 : 2 = 40
Juliana tem 6 pacotes de balas que contém 4 balas em cada pacote, ela retirou 15 balas e dividiu com 3 crianças e acrescentou mais 2 pacotes com o que sobrou.
Quadro 42: Respostas das questões 4 e 5 da (3N,15N)
103
,
Nas questões 4a e 4b, a dupla mostrou que conhecia a passagem da língua
materna para a expressão aritmética e utilizou os parênteses, usando as regras de
prevalência operatória. Acreditamos que na passagem do texto em língua materna
para a expressão aritmética, a dupla alcançou suas respostas por estar lidando com
situações do cotidiano e com um texto verbal, não com uma expressão aritmética.
Por exemplo, pode ter ajudado o fato do enunciado da questão 4a ser sobre frutas
diferentes. Na questão 4b, não sabemos se foi falta de atenção, mas a dupla usou
36 – 8 como 24, ao invés de 28.
Na questão 4c, o observador relatou que primeiro a dupla decidiu resolver o
problema e depois elaborar a expressão; porém, não apresentou a expressão, só as
passagens da resolução.
Na questão 5, ao elaborá-lo, a dupla tentou seguir a ordem em que as
informações apareceram na expressão dada, fazendo uma conversão que Duval
chama de congruente, o que nos faz pensar que realmente, não é imediato nem
espontâneo o processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico,
pois envolve o conhecimento das regras de prevalência operatória, a leitura e a
interpretação do enunciado de um problema, conforme afirma Duval (2009). Como
pudemos verificar, a dupla não colocou uma pergunta no fim do enunciado.
No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (1N,22N)
(ver detalhes na p. 90) e a (23N,30N) o enunciado dado por (3N,15N) “Juliana tem 6
pacotes de balas que contém 4 balas em cada pacote, ela retirou 15 balas e dividiu
com 3 crianças e acrescentou mais 2 pacotes com o que sobrou.” E, aparentemente,
não concordou com ele, pois elaborou uma outra expressão aritmética, que também
não satisfaz o enunciado proposto por (3N,15N), embora não tivesse uma pergunta
explícita. Partindo da ideia de que a pergunta era: quantas balas sobraram para
Juliana? a parcela (15:3) não faz sentido, pois representa quantas balas recebeu
cada criança e não quantas balas Juliana deu.
104
,
Quadro 43: Análise do enunciado da (3N,15N) pela (23N,30N)
(4N,25N)
QU
ES
TÕ
ES
1
a) 2
0 :
5 +
5
1
b)
5 +
20
: 5
1
c) 2
0 x
5 +
5
1
d)
5 +
5 x
20
1e)
8 x
3 +
20
: 4
1f)
20
: 4
+ 8
x 3
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 5 = 4
+
5 = 9
25 : 5 = 5
20 x 5 = 100
+ 5 = 105
5 + 5 = 10 x 20 = 200
24 + 2 = 26 : 4 = 6
5 + 8 = 13 x 3 = 39
A letra B está correta, porque obedece à regra de sinais
Sim, ele digitou os números e sinais da forma que lhe foi apresentado.
Quadro 44: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (4N,25N)
(4N,25N) mostrou não conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao
resolver a questão 1, a dupla fez as operações na ordem em que apareceram. O
observador relatou que os sujeitos não discutiram as regras e utilizaram a
calculadora, colocando os números na ordem em que apareceram, ou seja, 20 enter
: 5 enter + 5 = na questão 1a ou 5 enter + 20 enter : 5 =.
Na questão 2, o observador relatou que a dupla iniciou resolvendo a
expressão, discutiu o resultado e deduziu que estava certa a resposta do estudante
A, por ter uma multiplicação antes dos parênteses. Ao analisar a resposta do
estudante B, a dupla a considerou correta, por usar “a regra de sinais”, que
acreditamos ser uma das que considera a ordem em que se deve resolver as
105
,
expressões. Após algumas discussões, tentaram resolver a expressão na ordem em
que se lê e não chegam ao resultado.
Na questão 3, o observador relatou que a dupla utilizou a calculadora para
analisar a expressão e chegaram ao mesmo resultado obtido. O texto escrito pelos
sujeitos explicitou que resolveram as operações na ordem em que apareceram,
aceitando a resposta do aluno fictício, que não estava correta.
Nesse caso, como nenhum dos sujeitos tinha o conhecimento necessário
para criar um processo de mediação que favorecesse a aprendizagem, o
desenvolvimento no espaço da ZDP ficou prejudicado.
QU
ES
TÕ
ES
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S 2 x 6 + 8 + 2 = 22 3 x 12 + 25 - 8 - 10 =
36 + 25 - 8 - 10 = 61 - 18 = 43
56 + 94 - 70 = 80 80 : 2 = 40
Gilmara comprou 6 caixas de bombons com 4 unidades cada, mas tinha que distribuir um grupo de 15 crianças divididas em trio e Andrea lhe trouxe o dobro de bombons. Quantos bombons ficaram ao total?
Quadro 45: Respostas das questões 4 e 5 da (4N,25N)
Na questão 4, a dupla, ao fazer a conversão de um problema aritmético
proposto em língua materna para a respectiva expressão, não o fez na ordem em
que apareceram no enunciado, nas questões 4a, 4b, e colocaram as multiplicações
primeiro, não utilizaram parênteses, usaram as regras de prevalência operatória,
contradizendo nossa análise das questões 1, 2 e 3. Acreditamos que na passagem
do texto em língua materna para a expressão aritmética, a dupla alcançou suas
respostas, por estar lidando com situações do cotidiano e com um texto verbal, não
com uma expressão aritmética. Por exemplo, pode ter ajudado o fato do enunciado
da questão 4a usar frutas diferentes.
Na questão 4c, a dupla não elaborou a expressão e resolveu cada item
separadamente, ou seja, primeiro calculou a dívida total, 80,00, e depois, dividiu por
106
,
2, assim realizou a conversão do texto verbal para a expressão aritmética, embora
não da forma esperada.
Na questão 5, ao elaborar o enunciado, o observador relatou que um dos
sujeitos quis resolver primeiro a expressão e o outro, começar pelo enunciado.
Elaboraram um enunciado que seguiu a ordem em que as informações apareceram
na expressão dada, fazendo uma conversão que Duval chama de congruente, o que
nos faz pensar que realmente, não é imediato nem espontâneo o processo de
conversão da língua materna para o sistema algébrico, pois envolve o conhecimento
das regras de prevalência operatória e a leitura e a interpretação do enunciado de
um problema, conforme afirma Duval (2009).
No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (8N,13N)
(ver detalhes na p. 86) e a (12N,18N) o enunciado dado por (4N,25N) “Gilmara
comprou 6 caixas de bombons com 4 unidades cada, mas tinha que distribuir um
grupo de 15 crianças, divididas em trio e Andrea lhe trouxe o dobro de bombons.
Quantos bombons ficaram ao total?” e não concordou com ele, pois ficaram em
dúvida em relação à divisão dos bombons. Não elaboram uma expressão aritmética
que satisfizesse o enunciado proposto por (4N,25N), mas apresentaram uma
sequência de contas que formam uma resposta possível ao enunciado da dupla
(4N,25N).
Quadro 46: Análise do enunciado da (4N,25N) pela (12N,18N)
107
,
(10N,27N) Q
UE
ST
ÕE
S
1
a) 2
0 :
5 +
5
1
b)
5 +
20
: 5
1
c) 2
0 x
5 +
5
1
d)
5 +
5 x
20
1e)
8 x
3 +
20
: 4
1f)
20
: 4
+ 8
x 3
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 5 = 4 + 5 = 9
25 : 5 = 5
20 x 5 = 100 + 5 = 105
5 + 5 = 10 x 20 = 200
2
4+ 20 = 44 : 4 = 11
5 + 8 = 13 x 3 = 39
Resposta A Ele subtraiu o 30 com o 4, com o resultado somou com 10 e com o resultado dividiu por 2 usando a forma estimativa
Quadro 47: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (10N,27N)
(10N,27N) mostrou desinteresse para resolver as expressões, e somente o
sujeito 27N as resolveu. 10N não falou nada. O observador relatou que 27N utilizou
a calculadora apenas, na operação de divisão e não conhecia as regras de
prevalência operatória, pois resolveu as questões 1, 2 e 3 na ordem em que as
operações apareceram.
Na questão 2, a dupla começou resolvendo a expressão, mas cada um em
seu rascunho e ao terminar, compararam as respostas, mas não discutiram as
regras, verificaram qual o resultado mais próximo dos estudantes e o sujeito 27N
respondeu, colocando a resposta do estudante A, mas não justificou, por isso foi
impossível analisar como a realizaram. Mostraram muita dificuldade e não se
lembraram das regras.
Na questão 3, apenas o sujeito 10N a respondeu, não houve nenhuma
discussão e apenas detalhou o que o estudante fez e conclui que o resultado estava
correto.
Nesse caso, a falta de interação entre os elementos da dupla não deu
possibilidade para a criação e consequentemente, da mediação própria do espaço
da ZDP. Cada sujeito fez a questão individualmente, não havendo discussão. Isso
pode ter ocorrido por diversos fatores: nenhum dos sujeitos tinha o conhecimento
necessário para resolver a questão; não estão acostumados ao trabalho em duplas;
108
,
não aceitaram a imposição da dupla pelo pesquisador. No entanto, a falta de diálogo
entre os estudantes foi o fator que mais se evidenciou. Q
UE
ST
ÕE
S
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S
8 + 6 + 6+ 2 = 22 12 x 3 = 36 25 + 36 = 61 10 + 8 = 18 61 - 18 = 43
94 + 56 = 150 150 - 70 = 80 80 : 2 = 40
Paulo comprou 6 bolas, 19 pipas e 13 rabiolas, somando a quantidade de brinquedos ele terá 38. Elabore a expressão abaixo que obtenha o mesmo resultado
Quadro 48: Respostas das questões 4 e 5 da (10N,27N)
Na questão 4, os três itens foram respondidos apenas pelo sujeito 27N. Como
este não entendia as regras e não sabia elaborar a expressão, resolveu utilizar
apenas o passo a passo do problema e mostrou que não tinha interesse no assunto.
Na questão 5, ao elaborar o enunciado que combinasse com a expressão
dada, o sujeito 27N o fez, mas aparentemente, sem se preocupar com o que a
questão solicitava.
No debate coletivo, esta dupla analisou a resposta à questão 5 da (17N,28N)
(ver detalhes na p. 95) e por coincidência, como já relatado antes, a dupla (17N,28N)
analisa o enunciado dado por (10N,27N) “Paulo comprou 6 bolas, 19 pipas e 13
rabiolas, somando a quantidade de brinquedos, ele terá 38. Elabore a expressão
abaixo que obtenha o mesmo resultado”, a dupla não concordou com ele e
mencionou que resolveram o problema proposto por (10N,27N), embora este não
tivesse uma pergunta explícita.
Quadro 49: Análise do enunciado da (10N,27N) pela (17N,28N)
109
,
(5N,31N)
QU
ES
TÕ
ES
1
a) 2
0 :
5 +
5
1
b)
5 +
20
: 5
1
c) 2
0 x
5 +
5
1
d)
5 +
5 x
20
1
e) 8
x 3
+ 2
0 :
4
1
f) 2
0 :
4 +
8 x
3
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 10 = 2
25 : 5 = 5
20 x 10 = 200
10 x 20 = 200
24+
20 = 44 : 4 = 11
5 + 8 x 3 = 13 x 3 = 39 A resposta correta é a B, pois nas
expressões resolve-se primeiro a operação que está dentro dos parênteses
O resultado está correto, pois 30 - 4 é igual a 26. 26 + 10 é 36 36 dividido por 2 é 18
Quadro 50: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (5N,31N)
(5N,31N) mostrou não conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao
resolver a questão 1, fez as operações na ordem em que apareceram. O observador
relatou que os sujeitos não discutiram as regras, utilizaram a calculadora, colocando
os números na ordem em que apareceram, ou seja, 20 enter : 5 enter + 5 = na
questão 1a ou 5 enter + 20 enter : 5 = na questão 1b.
Na questão 2, a dupla utilizou a calculadora e no texto escrito explicitou a
regra de resolver os parênteses primeiro. Ao observar a expressão, como a dupla
não registrou como chegaram à resposta, acreditamos que aceitaram a resposta do
estudante B como correta, por causa da resolução dos parênteses. Parece que a
dupla só conhecia a regra de que tinha de resolver primeiro, os parênteses.
Na questão 3, apenas o sujeito 31N resolveu e não utilizou a calculadora, mas
o texto escrito explicitou que resolveram as operações na ordem em que
apareceram, aceitando a resposta do aluno fictício, que não estava correta.
Também nesse caso, os dados permitem constatar que não houve a criação
de ZDP, uma vez que o processo de mediação entre os conhecimentos dos
participantes não se efetivou. O mais provável é que entre os sujeitos não se
110
,
estabeleceu um diferencial em relação ao domínio do conteúdo necessário. Ou seja,
nenhum era mais experiente na tarefa e por isso, ficam estagnados. Q
UE
ST
ÕE
S
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S
8 + 2 x 6 + 2 = 8 + 12 + 2 = 20 + 2 = 22
25 + 3 x 12 - 2 x 4 - 10 = 25 + 36 - 8 - 10 =
61 - 8 - 10 = 53 - 10 = 43
56,00 94,00 150,00 -70,00
80 : 2 = 40
Maria comprou 6 caixas com 4 maçãs cada, deu 5 maçãs para sua avó e comeu 5 com seu primo Pedro. Quantas maçãs restaram? Restaram 14 maçãs
Quadro 51: Respostas das questões 4 e 5 da (5N,31N)
Nas questões 4a e 4b, a dupla conseguiu fazer a conversão de um problema
aritmético proposto em língua materna para a expressão aritmética e a resolveu
utilizando as regras de prevalência operatória, contradizendo nossa análise da
questão 1, 2 e 3. Acreditamos que na passagem do texto em língua materna para a
expressão aritmética, a dupla alcançou suas respostas por estar lidando com
situações do cotidiano e com um texto verbal, não com uma expressão aritmética.
Por exemplo, pode ter ajudado o fato do enunciado da questão 4a usar frutas
diferentes.
Na questão 4c, a dupla fez as operações na ordem em que apareceram no
problema, não elaborando a expressão aritmética.
Na questão 5, ao elaborar o enunciado de acordo com a expressão dada, o
observador relatou que a dupla pensou em desistir, mas o sujeito 5N insistiu e ficou
tentando resolver a expressão. Primeiro, resolveu a expressão dada na questão e
chegou ao resultado; então, a dupla elaborou um enunciado coerente com a
expressão e que era congruente, pois utilizaram diretamente, os números dados,
embora substituíssem 15:3 por 5 maçãs, o que nos fez pensar que realmente, não
era imediato, nem espontâneo o processo de conversão da língua materna para o
sistema algébrico, pois envolvia o conhecimento das regras de prevalência
operatória e a leitura e a interpretação do enunciado de um problema, conforme
afirma Duval (2009).
111
,
No debate coletivo, essa dupla analisou a resposta à questão 5 da (23N,30N)
(ver detalhes na p. 112) e a (16N,19N) o enunciado dado por (5N,31N) “Maria
comprou 6 caixas com 4 maçãs cada, deu 5 maçãs para sua avó e comeu 5 com
seu primo Pedro. Quantas maçãs restaram? Restaram 14 maçãs”, elaborou uma
expressão aritmética que satisfazia o enunciado proposto por (5N,31N) e utilizou as
regras de prevalência operatória para resolver a expressão.
Quadro 52: Análise do enunciado da (5N,31N) pela (16N,19N)
(23N,30N)
QU
ES
TÕ
ES
1a
) 2
0 :
5 +
5
1b)
5 +
20
: 5
1c)
20
x 5
+ 5
1d)
5 +
5 x
20
1e)
8 x
3 +
20
: 4
1f)
20
: 4
+ 8
x 3
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está correta? Qual? Justifique sua resposta.
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2 , encontrou como resultado 18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
RE
SP
OS
TA
S
20 : 5 = 4 + 5 = 9
20 : 5 = 4
5 + 4 = 9
20 x 5 = 100 + 5 = 105
5 + 100 = 105
24 + 5 = 29
5 + 24 = 29
O item B está correto, pois o aluno utilizou as regras corretamente, efetuando o cálculo da seguinte forma: resolveu o que estava em parênteses, depois efetuou a multiplicação, posteriormente a soma e por último a subtração
O estudante fez o cálculo da seguinte maneira: 30 - 4 + 10 : 2 = 18. Acreditamos que não está correto, deveria ser feito da seguinte maneira. 30 - 4 + 10 : 2 = 26 + 5 = 31
Quadro 53: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (23N,30N)
(23N,30N) mostrou conhecer as regras de prevalência operatória, pois ao
resolver as questões 1, 2 e 3 utilizou-as, não fazendo uso da calculadora e deixou
explícito nas respostas a regra que foi utilizada pelos estudantes fictícios nas
questões 2 e 3. Nesse caso, a análise dos processos de mediação esperados no
espaço de ZDP que podem ter ocorrido, ficou prejudicada, pois o observador não
mencionou se a dupla discutiu as regras.
112
,
Q
UE
ST
ÕE
S
4. a) Maria comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
4. b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas. Finalmente saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
4. c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão: 6 x 4 – (15 : 3) x 2
RE
SP
OS
TA
S
8 + (2 x 6) + 2 = 8 + 12 + 2 = 20 + 2 = 22
33 pessoas Cada parcela ficou R$ 40,00 João foi a feira e comprou 6 caixas de maçãs, sendo cada uma com 4 unidades, João estava com dois amigos que tinham 15 laranjas para dividir entre eles, no final da compra encontraram mais 2 colegas, com quantas frutas cada uma ficaria e quantos colegas tinham ao total?
Quadro 54: Respostas das questões 4 e 5 da (23N,30N)
Na questão 4a, a dupla conseguiu fazer a conversão de um problema
aritmético em língua materna para a respectiva expressão aritmética, utilizando as
regras de prevalência operatória.
Nas questões 4b e 4c, não registraram as expressões, deixando apenas, as
respostas e como na questão 4b, a resposta estava incorreta (33 pessoas ao invés
de 43), acreditamos que a dupla fez 25+3x12-2x4-10=25+36-8-10=51-8-10=33, ao
invés de 25+3x12-2x4-10=25+36-8-10=61-8-10=43, mas não temos como
comprovar, pois não temos a resolução.
Na questão 5, ao elaborar o problema de acordo com a expressão dada, o
observador relatou que a dupla teve dificuldade. Houve uma discussão sobre como
elaborar o enunciado, mas o observador não deixou claro qual foi ela.
No debate coletivo, esta dupla analisou a questão 5 da (3N,15N) (ver detalhes
na p. 103) e a (5N,31N) o enunciado dado por (23N,30N) “João foi a feira e comprou
6 caixas de maçãs, sendo cada uma com 4 unidades, João estava com dois amigos
que tinham 15 laranjas para dividir entre eles, no final da compra encontraram mais
2 colegas, com quantas frutas cada uma ficaria e quantos colegas tinham ao total”. A
dupla resolveu o problema com e sem o uso da calculadora e relatou que o
enunciado estava confuso, não concordou com ele, mas elaborou uma expressão
que satisfizesse o enunciado proposto por (23N,30N). Ao resolver a expressão, sem
113
,
a calculadora, não utilizou as regras de prevalência operatória, o que novamente,
nos faz pensar que realmente, não é imediato nem espontâneo o processo de
conversão da língua materna para o sistema algébrico, pois envolve o conhecimento
das regras de prevalência operatória, a leitura e a interpretação do enunciado de um
problema, conforme afirma Duval (2009).
Observamos que na resolução sem a calculadora, não usaram as regras de
prevalência operatória e com a calculadora do celular, verificaram que a resposta
era correta, pois colocam a expressão toda e o programa do celular usou as regras
de prevalência operatória. Como a expressão dada pela dupla (5N,31N) era correta,
para o enunciado da dupla (23N,30N), mas não para a expressão dada no
enunciado da questão 5, preocupa-nos que a dupla (5N,31N) não tenha discutido
três coisas: por que os resultados, com e sem a calculadora, são diferentes? Como
é possível acabar com 7 maçãs, se começamos com 24 e recebemos mais maçãs?
Por que aparece 39:5, que não é exata? Como a dupla estava com pressa para
terminar a questão, pode ser este um dos motivos pelos quais não tenha prestado
atenção na quantidade final de maçãs.
Quadro 55: Análise do enunciado da (23N,30N) pela (5N,31N)
Quadro 56: Análise do enunciado da (23N,30N) pela (5N,31N)
Após a análise da atividade por dupla, colocamos nossa analise do debate
coletivo para, então, apresentar nossas conclusões.
114
,
5.3 Análise do debate coletivo
No dia 21 de novembro de 2012, foi realizado o debate coletivo (ver p. 50) com
as 14 duplas que haviam participado da atividade.
Antes de começá-lo, cada uma das duplas recebeu o enunciado, pedido na
questão 5 da atividade, que outra dupla havia elaborado e solicitamos que fizessem
a conversão do enunciado recebido para uma expressão aritmética. Queríamos,
com isso, provocar a discussão sobre a importância das regras para que o
entendimento, em Matemática, possa ser “universal”. Essa primeira etapa durou
aproximadamente, 25 minutos e, ao final deste tempo, começamos o debate,
partindo dos enunciados elaborados pelas duplas. Essa discussão foi áudio–gravada
e transcrita (ver Apêndice D, p. 145). Dos vinte e oito sujeitos, nove não participaram
da discussão, embora tenhamos concluído, ao analisar tudo que o que ocorreu, e
que precisaríamos ter, de alguma forma, cobrado essa participação, para que todos
pudessem aproveitá-la.
Para iniciar o debate, colocamos na lousa a expressão aritmética dada na
questão 5 da atividade - 6 x 4 – (15 : 3) x 2 - e perguntamos se alguma dupla, ao
converter o enunciado dado por outra dupla, na etapa que antecedeu, chegou à
expressão que estava na lousa, como era esperado. Apenas as duplas (1N,22N) e
(6N,32N) conseguiram fazer a conversão entre a expressão e o texto em língua
materna. Na análise da atividade, verificamos que (1N,22N) não fez a conversão do
texto em língua materna para a respectiva expressão corretamente, e (6N,32N) fez a
conversão adequada.
O sujeito 22N se propõe a ler o enunciado para o grupo todo e disse a que
resultado chegou, ao resolver a expressão aritmética correspondente, e o sujeito
32N fez a leitura do seu enunciado para o grupo, e a que expressão aritmética
chegou, sendo a mesma expressão que a dupla (1N,22N), mas com resultado
diferente. Ao discutir os resultados, o sujeito 22N falou sobre a importância de
utilizar as regras de prevalência operatória para resolver a expressão, que era um de
115
,
nossos objetivos. A dupla (6N,32N) fez a conversão do problema para a expressão
aritmética correta, mas não aplicou corretamente as regras, fazendo as operações
na ordem em que apareceram, o que causou a diferença no resultado. Essa
situação nos fez refletir sobre a possibilidade de, numa outra pesquisa, propor uma
expressão sem parênteses ou com colchetes e chaves, para verificar de que forma
a regra “efetuar primeiro os parênteses” é a única que prevalece.
Após essa discussão, a dupla (20N,24N) relatou que, ao resolver o enunciado
da outra dupla, chegou a uma expressão diferente: 2 x 12 + 5 + 10. Ao analisar a
atividade, verificamos que a conversão do enunciado para a expressão ocorreu de
forma adequada pela dupla (20N,24N) e era diferente da expressão original, pois a
dupla que elaborou o enunciado não soube fazer a conversão, adequadamente.
Os sujeitos 22N e 24N participaram bastante durante o debate e sempre
colocavam as regras de prevalência operatória para o grupo e a importância delas
para a resolução das expressões aritméticas. Desse modo, colocaram-se
explicitamente, como os mais experientes e como aqueles que poderiam dar apoio à
aprendizagem dos colegas, permitindo que o processo de mediação entre os
sujeitos se efetivasse.
No questionário de perfil, ao perguntarmos se os sujeitos se lembravam das
regras, 22N e 24N responderam que sim, e as colocaram corretamente. Durante a
atividade, 22N e 24N mostraram conhecer as regras e as utilizam corretamente nas
questões solicitadas.
O sujeito 25N relatou que o enunciado que recebeu da outra dupla é “Maria
tem 6 caixas com 4 lápis em cada caixa. Maria dividiu seus lápis com seus alunos
ela deu 5 lápis. Ficou com 10 lápis que deu para uma amiga, ou seja, 6 x 4 - (15:3) x
2 Maria ainda ficou com 38 lápis, resolva” e que estava confuso, pois a dupla que o
elaborou, deixou a expressão e a resposta no problema. Ele e o colega de dupla, ao
lerem o texto, perceberam que existem informações que não estão explícitas e que
não combinam com a expressão dada no enunciado. Além disso, verificaram que o
resultado colocado no enunciado estava incorreto, pois ao resolver a expressão
116
,
aritmética, o resultado encontrado, utilizando as regras de prevalência operatória,
com e sem o uso da calculadora, foi outro, chegando ao mesmo resultado que a
dupla (1N,22N), o correto.
O enunciado lido por 25N não tinha uma pergunta explícita e é importante
lembrar que a conversão de um problema em língua materna para o sistema
algébrico envolve a leitura e a interpretação do enunciado, além da organização dos
dados, tudo isso, em razão da pergunta que é feita, e precisa ser respondida.
Ao terminar esta questão, passamos a discutir as questões 1, 2 e 3 e
pudemos verificar que os sujeitos começaram a entender que a regra de prevalência
operatória era importante na resolução das expressões. Os sujeitos 4N, 9N, 16N,
21N, 25N e 28N participaram dizendo o que resolver primeiro, em cada questão.
Ao discutir a questão 4a, em relação a fazer a conversão de um problema
aritmético proposto em língua materna para a respectiva expressão aritmética, os
sujeitos 5N, 15N e 17N comentaram que o uso dos parênteses era importante para
diferenciar as frutas (no caso, maçãs e melancias) da caixa (goiabas) e comentaram
que aprenderam que se deve resolver primeiro, os parênteses.
Na questão 4c, colocamos as respostas de duas duplas (ver Apêndice D,
p.145) para as duplas analisarem qual estaria correta. O sujeito 18N relatou que a
primeira estava correta e a segunda não, porque o aluno deveria ter resolvido
primeiro, a divisão e que, neste caso, a falta de parênteses fazia diferença no
momento de resolver a expressão.
Ao perguntar sobre as regras, após as discussões, os sujeitos 4N, 5N e 28N
manifestaram que as aprenderam durante o debate. O sujeito 22N participou,
dizendo que se lembrava delas e acredita tê-las utilizado em todas as situações. O
sujeito 24N relatou que foi bem na atividade. Em nossa análise da atividade, vimos
que realmente, 22N e 24N mostraram conhecer as regras de prevalência operatória
e as utilizaram para resolver todas as situações que envolviam o tratamento da
expressão aritmética. E nas situações que envolviam a conversão do enunciado
para a expressão aritmética, resolveram, utilizando as regras de prevalência
117
,
operatória, com exceção da questão 4c, em que os dois sujeitos, com seus
respectivos pares, não fizeram a conversão, adequadamente.
Durante o debate, os sujeitos 8N, 14N, 31N e 32N mostraram não conhecer
as regras de prevalência operatória e nossa análise das observações mostraram
que os sujeitos 8N, 31N e 32N continuaram sem conhecê-las, mesmo após as
discussões. Durante a atividade, o sujeito 14N só observou (e aceitou) a resolução
feita pelo sujeito 11N, mostrando não conhecer as regras e durante o debate,
continua a não conhecer e a não dar importância a elas. A análise dos processos
que ocorreram com esses estudantes propiciados pelas atividades propostas pela
pesquisa, permitiram evidenciar que os resultados sobre o desenvolvimento dos
sujeitos foi diverso. 4N, 5N e 28N puderam se apropriar do conhecimento pela
mediação proporcionada pelo debate, no entanto, os sujeitos 8N, 31N e 32N não
houve o desenvolvimento que o espaço da ZDP poderia ter proporcionado.
Podemos dizer que, para estes sujeitos, a ZDP (VIGOTSKY, 1988) não foi criada,
embora tenhamos tentado colocar nas duplas sujeitos que tinham concepções
diferentes, com relação às regras ou ao uso da calculadora. Uma possível razão
para a ZDP não ter sido favorecida, é que fomos nós que impusemos as duplas,
sem perguntar aos sujeitos com quem gostariam de trabalhar. Outra razão pode ser
a falta de hábito de trabalhar em grupo.
Perguntamos sobre o uso da calculadora e o sujeito 22N relatou ser contra,
porque faz cálculo mental com facilidade e, por isso, não utilizou a calculadora na
atividade, por achar que atrapalhava; mas, que como professor, acredita que o aluno
deve saber as quatro operações fundamentais e, após isso, obter esse
conhecimento, não vê empecilhos em utilizar a calculadora. O sujeito 22N, no
questionário de perfil, relatou: “Acredito que sim, mas somente a partir do momento
em que o aluno tenha domínio e autonomia nas quatro operações”. Interpretamos
que, para 22N, a calculadora é apenas, um artefato e não um instrumento
(RABARDEL, 1995) que pode auxiliar o raciocínio e também, facilitar alguns
cálculos. Para este sujeito, nossa intervenção não provocou mudança de concepção
sobre o uso da calculadora.
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,
Assim como para o sujeito 18N, que relatou que a calculadora seria para
questões mais complexas, mas para o cotidiano dos alunos acredita que, em vez de
auxiliar, vai atrapalhar os estudos e no questionário de perfil dá a entender que a
calculadora é apenas artefato “Não, acredito que o uso da calculadora não permite o
aluno usar seu raciocínio lógico, ou seja, ao resolver questões com a calculadora ele
deixa de pensar, encontra soluções prontas” (RABARDEL, 1995).
O sujeito 24N relatou que é a favor do uso da calculadora em sala de aula e fez
uma conexão com a questão 3 da atividade, em que o estudante não pode colocar
as operações na ordem as quais aparecem, deve saber usar as regras de
prevalência operatória, antes de digitar na calculadora, como relatam Selva e Borba
(2010, p. 110): “[...] a calculadora apenas opera o que foi digitado, mas quem resolve
o que vai ser operado, quem define os passos a serem seguidos, a estratégia de
resolução, é o seu utilizador [...]”. No questionário, 24N escreveu: “Acredito que a
calculadora é de grande valia na vida do aluno, pois ajuda em contas grandes e que
antes levamos muito tempo para obter o resultado, porém, não acho que ela ajuda
na aprendizagem”. Avaliamos que, para o sujeito 24N, nossa intervenção trouxe
uma reflexão sobre a possibilidade de uso de uma calculadora como mediadora de
ensino, em particular, para ajudar na conversão entre um problema proposto em
língua materna e a expressão aritmética correspondente.
O sujeito 25N relatou que a calculadora do celular é útil, pois permite que se
coloque toda a expressão aritmética antes de resolvê-la, o que faz a resolução ser
correta. No questionário de perfil afirmou: “Acho que qualquer método tecnológico
bem utilizado contribui. Temos de usar, mas não sabemos.”, o que mostra que
nossa intervenção mostrou a ele uma possibilidade de uso de um “método
tecnológico”, no caso, a calculadora, como instrumento de ensino.
O sujeito 8N acredita que o professor deve saber o momento certo de utilizar
a calculadora, de forma a fazer com que o aluno raciocine antes de resolver as
expressões e no questionário de perfil já relatava: “Sim, porque é um meio que
facilita a aprendizagem, ajuda a resultados rápidos, e desperta a curiosidade em
conhecer as regras”, ou seja, manteve sua concepção de que a calculadora não é só
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,
um artefato e pode se transformar em um instrumento, conforme ideias de Rabardel
(1995).
Os sujeitos 12N e 13N relataram que utilizaram a calculadora apenas, para
conferir os resultados. Nossa intervenção não os fez mudar de concepção, pois, no
questionário de perfil, o sujeito 12N relatava: “Contribui, acredito que a tecnologia
veio para facilitar as nossas vidas, mas deixo claro, que, precisamos sim, saber
realizar uma operação, aritmética, etc ...” e o sujeito 13N afirmava: “Acredito que sim
só que o aluno fica preguiçoso e não quer ter trabalho para fazer qualquer conta”.
Para ambos, a calculadora é apenas, um artefato.
Nossa avaliação é que 12N, 13N, 18N e 22N não se sentem seguros para
usar uma calculadora em sala de aula, com atividades que façam a calculadora ser
mais do que um artefato e possa ser usada como instrumento (RABARDEL, 1995); e
os sujeitos 8N, 24N e 25N mostraram que perceberam a possibilidade de usar a
calculadora como instrumento (RABARDEL, 1995).
Avaliando o debate como um todo, acreditamos que faltou a interação de
todos os sujeitos na discussão, para que pudéssemos avaliar quantos mudaram de
concepção ao final de nossa intervenção, tanto no que diz respeito ao uso de uma
calculadora como instrumento de ensino, como na importância das regras de
prevalência operatória para a conversão de um texto em língua materna para a
respectiva expressão aritmética.
Daqueles que participaram e mostraram interesse na discussão, podemos
afirmar, de nossas análises, que: os sujeitos que não conheciam as regras
continuam a não conhecer ou não perceberam a importância do seu uso; os que
conheciam, mostraram isso durante as discussões. Com relação à conversão, os
sujeitos deram indícios de que começaram a perceber a importância de elaborar
com cuidado, e de forma coerente, um enunciado que outra pessoa iria ler, e que é
preciso colocar perguntas explícitas no texto. Com relação à calculadora, para
alguns, que não basta a usarmos, colocando as operações na ordem em que
aparecem nas expressões, pois devemos conhecer as regras, para depois, colocá-
120
,
las na calculadora e verificar o resultado, o que vai na direção de transformar a
calculadora de artefato em instrumento, conforme sugere Rabardel (1995) e os
resultados de Selva e Borba (2010).
Com o debate coletivo, pudemos concluir que os alunos de Pedagogia, que
foram nossos sujeitos, começaram a perceber que o assunto é pertinente e que é
importante ter discussões que envolvam expressões aritméticas, textos em língua
materna e o uso da calculadora em sala de aula.
5.4 Conclusões
Para gerar os dados que foram analisados, desenvolvemos nossa pesquisa,
que podemos caracterizar como uma intervenção com análise qualitativa dos dados,
utilizando-nos de três instrumentos de coleta: um questionário de perfil dos sujeitos
da pesquisa, individual; uma atividade escrita, em que se permitiu o uso de uma
calculadora, realizada em duplas; e um debate coletivo, com a discussão de
algumas das questões da atividade escrita e algumas resoluções dadas a essas
questões por algumas duplas.
Entendemos que nosso questionário de perfil (ver Apêndice A, p.137)
atendeu às expectativas de conhecer o perfil dos nossos sujeitos, como também, as
concepções que eles têm sobre o uso de uma calculadora em sala de aula e as
regras de resolução de expressões aritméticas. Para futuros usos, recomendamos
acrescentar, na questão 2, uma pergunta que torne mais explícita a razão de não
terem continuado os estudos logo após o término da Educação Básica.
Na atividade escrita (ver Apêndice B, p.139), tivemos a participação de 28
sujeitos, formando 14 duplas, que resolveram 5 questões que abrangiam: 3 para o
tratamento de expressões aritméticas; 1 para a conversão de um texto em língua
materna para uma expressão aritmética; e 1 para a conversão de uma expressão
aritmética para um texto em língua materna. Todas podiam ser mediadas pelo uso
de uma calculadora (na verdade, nas questões 1 e 3 pedíamos explicitamente, o uso
de uma calculadora) e quisemos observar:
121
,
(1) se os sujeitos conheciam e aplicavam as regras de prevalência operatória,
cuja necessidade apareceu principalmente, nas questões 1 e 3, (ver Apêndice B, p.
139). Da nossa análise, concluímos que cinco duplas mostraram conhecer as regras
de prevalência operatória e nove não, pois resolveram na ordem em que aparecem
as operações. Mesmo depois de nossa intervenção, percebemos que, embora nem
todos os sujeitos tivessem participado do debate, apenas três relataram que a partir
daquele momento, aprenderam as regras; portanto, se todos os sujeitos tivessem se
manifestado durante o debate, talvez, tivéssemos outra resposta para nossa questão
de se realmente, sabiam ou não as regras de prevalência operatória. Para uma
aplicação futura das questões que elaboramos, mudaríamos as expressões na
questão 1, de modo que as operações não pudessem ser resolvidas na ordem em
que aparecem, como é o caso da questão 1a “20 : 5 + 5” e 1c “20 x 5 + 5”.
(2) se consideraram as regras importantes, como é o caso da questão 2 (ver
Apêndice B, p.139), na qual pedimos para os sujeitos avaliarem as resoluções de
dois alunos fictícios, uma com erro e a outra, correta. Nossa análise dessa questão
mostra que, das sete duplas que não mostraram conhecer as regras, tivemos quatro
que consideraram a resposta do aluno fictício correta, embora estivesse errada, e
justificaram que uma das regras era resolver primeiro os parênteses. Esses
resultados mostraram indícios de que a escolha de uma questão, contendo apenas
um parêntese, fez com que os sujeitos se lembrassem de uma das regras de
prevalência operatória. Para aplicações futuras, sugerimos uma questão similar,
porém, com parênteses e colchetes (e talvez chaves), ou até mesmo outros
parênteses, para verificar se a dupla realmente, sabia ou não, utilizar as regras de
prevalência operatória. Ao final de nossa intervenção, percebemos que alguns dos
sujeitos sabiam apenas, a regra “resolver primeiro os parênteses” e não as regras
que regem em que ordem devem ser feitas as operações. Nessa questão, ainda
tivemos a (12N,18N) que, ao analisar a situação, consideraram ambas corretas e em
seu texto, explicitaram as regras. Como então, podem aceitar duas respostas
diferentes para uma única expressão?
122
,
(3) se conseguiriam fazer a conversão de um problema aritmético proposto
em língua materna para a respectiva expressão aritmética, o que foi cobrado na
questão 4 (ver Apêndice B, p. 139), na qual demos três problemas aritméticos
propostos em língua materna e pedimos a expressão aritmética que os
representasse. Apenas (11N,14N) apresentou uma expressão coerente nos três
itens dessa questão; quatro duplas não responderam a nenhum dos itens; sete
duplas só elaboram a expressão nos itens 4a e 4b; e duas duplas apenas, a
expressão no item 4a.
Em particular, na questão 4a, verificamos que o problema poderia ter duas
interpretações, pois ao mencionar duas caixas, o sujeito pode entender que são
duas caixas com seis goiabas e duas caixas com duas melancias, cada uma. Para
uma aplicação futura da atividade, poderíamos mudar o enunciado, para evitar essa
ambiguidade.
Na questão 4c (ver Apêndice B, p.139), tivemos 10 duplas que não
elaboraram a expressão, mas resolveram-na, chegando ao resultado do problema e,
das quatro que o fizeram, apenas (11N,14N), corretamente. Acreditamos que, por
envolver uma situação do cotidiano e por precisar de parênteses para que a divisão
fosse realizada por último, os sujeitos fizeram as contas, sem elaborar a expressão,
o que é preocupante, do ponto de vista pedagógico, para alunos do curso de
Pedagogia.
O processo de conversão da língua materna para o sistema algébrico envolve
a leitura e a interpretação do enunciado de um problema, o que nem sempre, é
imediato e, segundo Duval (2009), precisa ser “ensinado” em sala de aula. Como
também acreditamos nisso, vimos com preocupação a atitude das duplas que não
elaboraram as expressões para responder à pergunta posta no problema,
principalmente, em se tratando de alunos de Pedagogia.
(4) se conseguem fazer a conversão de uma expressão aritmética para um
problema proposto em língua materna, o que é cobrado na questão 5 (ver Apêndice
B, p. 139), na qual damos uma expressão aritméticas e pedimos um enunciado que
123
,
represente a expressão. Concluímos que, de nossa pesquisa, foi a questão mais
difícil – o que, de certa forma, já era esperado - e as duplas, ao elaborarem o
enunciado, seguiram a ordem em que as informações apareceram na expressão
dada, forçando um contexto e fazendo uma conversão que Duval (2009) chama de
congruente. Das 14 duplas, destacamos o enunciado dado por (16N,19N), que não
fez um contexto muito comum em Matemática, mas que atende à expressão.
Comprei uma caixa de leite com 6 x 4 litros, durante a semana utilizei (15 : 3) x
2. Quantos litros sobraram para a semana seguinte?
Quadro 57: Resposta de (16N, 19N) à questão 5 da atividade
As outras duplas não elaboram enunciados de acordo com a expressão e,
destas, seis ainda não fazem uma pergunta explícita no enunciado, o que nos faz
indagar sobre o que entendem por um problema matemático, se não deixam
explícita a pergunta que precisa ser respondida.
Numa futura aplicação da questão 5, colocaríamos uma expressão diferente,
que envolvesse outras operações, porém, de uma forma mais simples, para
realmente, verificar se sabem fazer a conversão, porque acreditamos que a
expressão dada foi de difícil análise para nossos sujeitos. Também
acrescentaríamos, no final do enunciado proposto, que apresentassem a resolução.
Talvez, dessa forma, os sujeitos pudessem verificar se houve a conversão correta
da expressão aritmética para o problema, em língua materna.
(5) se utilizam uma calculadora como auxiliar no raciocínio em Matemática.
Apenas 10 duplas a utilizaram para resolver as operações durante a atividade,
segundo as observações escritas e, destas, apenas duas mostraram conhecer as
regras de prevalência operatória, mas não temos registros que nos permitam afirmar
se ela foi utilizada para auxiliar o raciocínio ou apenas, para resolver as operações.
Durante o debate coletivo, nem todos os sujeitos participaram das
discussões. Destacamos o sujeito 22N, que participou todo o tempo e foi bem
seguro em relação à importância das regras de prevalência operatória, como
124
,
também, a participação do sujeito 24N, que relatou que foi bem na atividade e
mostrou conhecer as regras de prevalência operatória.
Do debate, concluímos que, pelo fato de não termos, de alguma forma,
provocado a participação de todos, nem todos participaram das discussões e não
podemos afirmar que houve aprendizagem durante elas. Faltou-nos também,
enfatizar a conversão entre uma expressão aritmética e um problema em língua
materna e discutir o uso da calculadora como um bom auxiliar nessa conversão.
125
,
CAPÍTULO 6: CONSIDERAÇÕES FINAIS
No capítulo anterior, apresentamos a análise que fizemos dos dados obtidos
com nossa intervenção, como: o questionário de perfil; os protocolos obtidos com a
atividade em duplas; as observações escritas feitas durante o trabalho das duplas; e
a transcrição do debate coletivo. Nele, colocamos as respostas às nossas questões
de pesquisa; as conclusões que julgamos pertinentes tirar, a partir das análises
feitas; e as considerações que julgamos importantes, com pontos positivos e
negativos de nossa trajetória e algumas questões que surgiram ao longo dela e que
não tínhamos por objetivo responder com este trabalho, mas que podem ser
respondidas com outras pesquisas da área Educação Matemática.
6.1 Respostas às questões de pesquisa
Com base nas análises que fizemos, podemos responder as questões que
nortearam nossa pesquisa.
1 - Que concepções trazem os alunos de Pedagogia sobre essas regras?
Os sujeitos desta pesquisa apesar de terem estudado o conteúdo expressões
aritméticas na Educação Básica, com as regras de prevalência operatória, as
esqueceram por não as utilizarem no seu cotidiano.
Todos acreditam ser importante ensinar as regras de prevalência operatória,
como relata o sujeito 1N “Sim, porque não adianta ensinar as expressões aritméticas
sem as regras, pois, a compreensão ficará difícil” e também, o sujeito 20N “Sim, pois
é através das regras que aprendemos as expressões aritméticas”.
Essa resposta reforça as conclusões de Arrais (2006) e de Silva (2009), de
que é preciso trabalhar as regras de prevalência operatória, em salas de aula da
Educação Básica, vinculadas à resolução de problemas de aritmética que podem ser
feitas com a ajuda de uma expressão, para que elas não sejam completamente
esquecidas e, pelo contrário, sejam valorizadas.
126
,
Destacamos ainda que, em nossas análises, foi fundamental observar que
nossos sujeitos lembram que existem, mas não sabem quais são e nem como
utilizá-las: na análise da atividade, das 14 duplas, apenas cinco mostraram conhecer
as regras e saber aplicá-las na resolução das questões propostas. Nessas duplas,
apenas em uma não percebemos o efeito da ZDP (VIGOTSKY, 1988), porque o
sujeito que conhecia as regras acabou cedendo às considerações do outro, que não
as conhecia; nas demais, a ZDP se desenvolveu, favorecendo a mediação entre os
sujeitos que perceberam a importância das regras, durante a atividade.
No debate coletivo, não houve a participação de todos os sujeitos que não
conheciam as regras, como os sujeitos 20N e 14N, que durante a atividade ficaram
observando a resolução do outro e concordaram com as regras colocadas por ele.
Os sujeitos 20N e 14N não se beneficiaram do espaço da ZDP que criamos com o
debate, o que pode ser decorrência da falta de conhecimento retrospectivo para
sustentar a reflexão e ação deles ou ainda, da falta de engajamento com a tarefa. .
2 - Percebem a importância dessas regras na passagem de um problema
proposto em língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice -
versa?
Na nossa pesquisa, os sujeitos realizaram a conversão do enunciado verbal
de um problema para uma expressão aritmética e verificamos, em nossas análises,
que alguns dos sujeitos a conseguem por estarem lidando com situações bastante
cotidianas.
Assim como Feio (2009), concluímos que é importante que o professor
trabalhe em sala de aula a Matemática e a linguagem, com foco na conversão entre
textos em língua materna e expressões aritméticas; e a importância das regras de
prevalência operatória nessa conversão.
Nossos resultados, embora tenhamos tentado colocar em prática o uso de
uma calculadora, reforçam as ideias de Duval (2009) de que a conversão precisa ser
aprendida e não é espontânea e a colocada por Arrais (2006), que conclui que
professores apresentam dificuldades para lidar com expressões que envolvem
127
,
simultaneamente, estruturas aditivas e multiplicativas e estas são maiores quando
se tem uma sentença matemática e se quer criar um problema que seja resolvido
por ela. Ao tentar fazer a conversão da expressão aritmética para um problema
aritmético proposto em língua materna, apenas dois (uma dupla) dos nossos sujeitos
(futuros professores) conseguiram, mas mesmo eles mostraram dificuldades, pois
não o fizeram dentro de um contexto muito comum em Matemática, mas atendeu à
expressão. “Comprei uma caixa de leite com 6 x 4 litros, durante a semana utilizei
(15 : 3) x 2. Quantos litros sobraram para a semana seguinte?” (16N,19N).
Levando em consideração nossas análises e as conclusões acima,
verificamos que nossos sujeitos não sabem fazer a conversão da expressão
aritmética para um problema em língua materna. Todos tiveram dificuldade,
reforçando as ideias de Duval (2009) de que a conversão não é espontânea e
precisa ser trabalhada pelos professores de Matemática, em suas salas de aula.
3 - A utilização de uma calculadora simples pode auxiliar na passagem de
problemas aritméticos propostos em textos verbais para as respectivas
expressões aritméticas e vice - versa?
De nossas análises, podemos dizer que nenhum dos sujeitos percebeu como
usar a calculadora para a conversão entre expressões aritméticas e problemas
propostos em textos verbais. Os que usaram a calculadora, o fizeram para colocar
as operações na ordem em que aparecem ou para obter o resultado de uma conta
ou outra. Apenas uma dupla (5N,31N) colocou na calculadora do celular a expressão
inteira, obteve uma resposta diferente da que teve quando resolveu a expressão,
mas não discutiu com o grupo porque isso ocorreu.
Analisando as respostas do questionário de perfil, da análise da atividade com
a teoria de Rabardel (1995), observamos que os sujeitos utilizavam a calculadora
como artefato ou como instrumento de trabalho, não com a preocupação de usar a
calculadora como um instrumento de ensino, de forma a transformá-la de artefato
para instrumento de ensino, como por exemplo, o relato do sujeito 8N que: “Sim,
porque é um meio que facilita a aprendizagem, ajuda a resultados rápidos, a
128
,
curiosidade em conhecer as regras”. Ao analisarmos o debate coletivo, esse sujeito
relatou que o professor deve saber o momento certo de utilizar a calculadora, usar
esta tecnologia de forma a fazer com que o aluno raciocine antes de resolver as
expressões, mostrando que percebeu a possibilidade de usar a calculadora como
instrumento. Ao final de nossa intervenção, verificamos que alguns dos sujeitos,
como por exemplo, o 8N, o 24N e o 25N, perceberam a possibilidade de usar a
calculadora como instrumento; mas outros, como 12N, 13N, 18N e 22N não se
sentiram seguros para usar uma calculadora em sala de aula, com atividades que a
façam ser mais do que um artefato e possa ser usada como instrumento.
Concluímos que trabalhar a calculadora em sala de aula ainda é um desafio para
muitos futuros professores, inclusive, para os que acreditam que ela faz com que o
aluno fique preguiçoso, conforme relata o sujeito 13N no questionário de perfil:
“acredito que sim, só que o aluno fica preguiçoso e não quer ter trabalho para fazer
qualquer conta.”
Acreditamos que a calculadora deve ser utilizada em sala de aula, desde que
o professor saiba trabalhar de forma motivadora com o aluno, como coloca o PCN
(1997, p. 46 ) “[...] a calculadora pode ser usada como um instrumento motivador na
realização de tarefas exploratórias e de investigação é também um recurso para a
verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de
autoavaliação”.
As autoras Selva e Borba (2010, p. 63) discutem que: “[...] As crianças ao
trabalharem com a calculadora, também vão rediscutindo as regras das expressões
numéricas, percebendo que se infringirem algumas dessas regras, o resultado não
será correto [...]”, e ainda que “[...] a calculadora apenas opera o que foi digitado,
mas quem resolve o que vai ser operado, quem define os passos a ser seguidos, a
estratégia de resolução, é o seu utilizador [...]” (2010, p. 110). Nossos sujeitos não
discutiram, durante a atividade, as regras de prevalência operatória para resolver as
expressões e nem colocaram na calculadora a expressão toda para obter a
resposta. Apenas fizeram as operações, sobre as quais tinham dúvidas, como numa
multiplicação ou numa divisão, de acordo com as “regras” que tinham (e têm) na
129
,
cabeça e que, para três sujeitos são do tipo “resolver primeiro os parênteses e
depois, na ordem em que aparecem”. Ainda mais, quatro duplas, durante a
atividade, não utilizaram a calculadora, embora o enunciado pedisse.
Esses resultados mostram que é preciso uma discussão maior sobre as
possibilidades de uso de uma calculadora como instrumento de ensino, com
professores de Matemática de todos os níveis, para que o aluno interprete os
problemas matemáticos, planeje e construa a solução, e utilize a calculadora para
mediar essa passagem do texto em língua materna para a expressão aritmética.
Com isso, ele aprende a “refletir sobre procedimentos de cálculos que levem à
ampliação do significado do número e das operações, utilizando a calculadora como
estratégia de verificação de resultados” (PCN, 1997, p. 81). Nossos sujeitos não
utilizaram estratégias que pudessem auxiliar na conversão dos problemas
aritméticos propostos em texto verbal para as respectivas expressões aritméticas e
vice–versa e sim, como facilitadora, para resolver operações básicas.
Como nossa intenção era verificar se a calculadora seria usada como
mediadora, e não como facilitadora, nessa conversão, podemos afirmar que este
nosso objetivo não foi atingido.
No parágrafo que segue, procuramos colocar as conclusões a que chegamos
depois de respondidas nossas questões de pesquisa.
6.2 Considerações finais
Neste item, damos uma ideia geral sobre as etapas de nossa pesquisa e
apresentamos, para cada uma delas, algumas considerações sobre pontos positivos
e negativos que percebemos durante e após o desenvolvimento dessas etapas.
Fizemos uma intervenção junto a 32 alunos do último semestre de um Curso
de Pedagogia de uma universidade particular de São Paulo e partimos da hipótese,
vivenciada por nós, da existência de dificuldades para resolver expressões
aritméticas ou para realizar a passagem de um problema em língua materna para a
respectiva expressão ou vice-versa. Consideramos nossa intervenção positiva, pois
130
,
percebemos que essas dificuldades realmente, existem e precisam ser consideradas
em cursos de formação inicial de professores de Matemática, principalmente,
daqueles que vão dar aula no Ensino Fundamental I. Apontamos como negativo o
fato de não termos discutido, anteriormente, possibilidades de uso de uma
calculadora, de forma que esta não pareça ser um simples artefato, útil apenas, para
dar a resposta a uma conta, em particular. Conforme destacam Selva e Borba
(2010), é importante ressaltar que a calculadora não “resolve” o problema; não
determina a operação nem como ela deve ser digitada no teclado; e nem interpreta o
resultado obtido. Todas essas tarefas devem ser realizadas pelo aluno, que é o ser
pensante na aprendizagem. Estas ideias poderiam e deveriam ser discutidas em
cursos de formação inicial e continuada de professores de Matemática da Educação
Básica.
Com as conclusões que tiramos (ver p.129), esperamos ter contribuído para o
debate sobre o processo de formação inicial do professor do Ensino Fundamental I
acerca das expressões aritméticas, de modo que estes adquiram competências
necessárias para incentivar seus alunos a desenvolverem a capacidade de resolver
uma expressão aritmética, usando as regras de prevalência operatória e entenderem
a importância dessas regras, quando se passa de um problema em língua materna
para a respectiva expressão aritmética e vice-versa, utilizando ou não, uma
calculadora.
Buscamos embasamento teórico nas ideias de Vygotsky (1988) sobre a Zona
de Desenvolvimento Proximal (ZDP), na Teoria dos Registros Semióticos de
Representação de Duval (2009) e nos estudos de Rabardel (1995).
Consideramos positiva a ideia de criar condições para a aprendizagem dentro
do espaço da ZDP, tanto que formamos as duplas com base nas respostas dadas
individualmente, no questionário de perfil, colocando juntos sujeitos que pensavam
de forma diferente, tanto sobre as regras como sobre o uso de uma calculadora.
Buscamos, com isso, que houvesse certo desnível entre os sujeitos da dupla, para
que um fosse o elemento mais experiente que pudesse trazer o outro para níveis de
desenvolvimento potencial. No entanto, com este grupo, nem sempre alcançamos
131
,
esse objetivo, o que determinou resultados diferenciados na aprendizagem das
duplas, conforme expressamos no capítulo de análise.
De qualquer forma, foi possível perceber que, quando as condições de
criação do espaço da ZDP estiveram presentes, houve alguma forma de apropriação
do conhecimento. Outro ponto que também é possível destacar para os resultados
que registraram pouco avanço na aprendizagem em decorrência dos processos de
mediação entre os participantes que a ZDP proporciona, é o fato de não estarem
acostumados ao trabalho em duplas e ainda mais, escolhidas pelo professor e não
pelas afinidades pessoais.
A Teoria dos Registros Semióticos de Representação mostrou-se positiva
para a análise dos dados, em particular, pelo fato de termos percebido a
necessidade de trabalhar o tratamento das expressões aritméticas e a conversão
entre um texto em língua materna e a respectiva expressão aritmética, em salas de
aula de formação inicial e/ou continuada de futuros professores de Matemática da
Educação Básica.
Os estudos de Rabardel (1995) se revelaram positivos para mostrar a
necessidade de incentivar o uso de uma calculadora, em sala de aula, como um
instrumento de ensino e não apenas, como um artefato ou como algo interessante
para motivar a participação dos alunos. Apontamos como negativo o fato de não
termos, de alguma forma, obrigado as duplas a utilizarem a calculadora e, como já
dissemos, de não termos discutido, antes de nossa intervenção, possíveis
abordagens para um uso mais pedagógico da calculadora, tanto do ponto de vista
do ensino como da aprendizagem.
Se fôssemos repetir esta pesquisa, mudaríamos a forma de conduzir o
debate, buscando questões que fizessem todos os sujeitos participarem, para que a
mediação própria da ZDP ocorresse efetivamente, e houvesse aprendizagem
durante as discussões, com troca e ampliação do conhecimento individual. Também
orientaríamos melhor os observadores, pedindo que registrassem mais detalhes da
discussão e dos fatos ocorridos, pois não tivemos todas as informações possíveis
132
,
para nossa análise de dados. Por exemplo, quando os sujeitos estavam analisando
o enunciado do problema elaborado por outra dupla na questão cinco da atividade, e
tentando obter uma expressão aritmética desse enunciado, o observador não relatou
se eles discutiram as regras, usaram ou não a calculadora. Sentimos falta desse
registro, que teria sido importante para a análise.
Como a demanda de tempo foi grande, em relação à análise de dados,
achamos que, numa pesquisa com mais tempo, seria interessante aplicar uma nova
atividade, similar à nossa, para verificar se, após o debate, os sujeitos mudaram as
concepções em relação às regras de prevalência operatória e até mesmo, faríamos
uma entrevista individual, para verificar o que ocorreu de fato, em relação à ZDP,
durante a atividade em dupla e no debate, uma vez que, neste, não pudemos (ou
não soubemos) ouvir todas as vozes presentes. Se todos participassem, poderíamos
verificar o que e porque ocorreu esta ou aquela discussão e, desta forma,
poderíamos fazer a correlação dos dados e continuar esta pesquisa.
Como sugestão, consideramos a necessidade de que, nos cursos de
Pedagogia, seja trabalhada a conversão de um problema aritmético proposto em
língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa, e que novas
pesquisas elaborem instrumentos ou maneiras de provocar essa conversão.
Deixamos também algumas questões que apareceram ao longo da nossa
pesquisa, que não tínhamos a intenção de responder, e que podem ser
consideradas como sugestões para futuras pesquisas.
1 – Por que esses alunos de Pedagogia (futuros professores) aceitam duas
respostas diferentes como corretas em uma mesma expressão aritmética?
Deixamos essa pergunta pelo fato de uma dupla, na questão dois de nossa
atividade, aceitar como corretas as respostas de dois alunos fictícios, embora
apenas uma delas fosse.
2 – Quais os tipos de enunciados deveriam ser trabalhados em sala de aula
de Matemática do Ensino Fundamental I, para os alunos aprenderem a conversão?
133
,
Colocamos essa questão, porque foi aquela na qual obtivemos o maior
número de respostas não corretas, corroborando as ideias de Duval (2009) de que a
conversão precisa ser aprendida, pois não é espontânea e é papel do professor
trazê-la para a sala de aula. Além disso, nossa análise mostra que a maioria dos
sujeitos que acertou a conversão do enunciado para uma expressão aritmética,
parece tê-la feito por acaso, em situações que envolvem fatos do cotidiano.
3 – Por que vários dos sujeitos, ao elaborarem enunciados partindo de uma
expressão aritmética, não elaboraram uma pergunta explícita para o problema? Será
que é assim que acreditam que devem trabalhar a Matemática?
Colocamos esta questão, porque das 14 duplas, seis não deixam explícita a
pergunta no problema elaborado, na questão cinco da atividade (ver Apêndice B,
p.139).
4 - Quais são os assuntos de Matemática que o professor da Educação
Fundamental I considera mais importante ensinar, atualmente?
Colocamos essa questão, porque no questionário de perfil, o sujeito 31N
coloca que “existem coisas mais úteis na Matemática para se ensinar, atualmente”,
quando perguntamos se acham importante ensinar expressões aritméticas. Que
assuntos seriam estes que o sujeito citou? A resolução de problemas, em
Matemática, não é importante?
Finalmente, encerramos este nosso estudo acreditando ter deixado uma
pequena contribuição para a área da Educação Matemática, sobre os processos de
ensino e de aprendizagem da conversão de um texto em língua materna para as
respectivas expressões aritméticas e vice-versa, como também, em relação ao uso
da calculadora como mediadora dessa conversão. Temos plena consciência de que
muito há que se pesquisar sobre esses dois temas, para que a Matemática fique
cada vez mais possível e mais acessível para a maioria dos alunos do Ensino
Fundamental I e, mais geralmente, da Educação Básica.
134
,
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135
,
MELO, A. R. F. A prática do professor de Matemática permeada pela utilização da calculadora. 142f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.
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137
,
APÊNDICES
Apêndice A - QUESTIONÁRIO DE PERFIL
Número: _________
1 – Qual a sua faixa etária?
( ) 18 a 24 anos ( ) 25 a 30 anos ( ) 31 a 36 anos ( ) acima de 37 anos
2 – Qual a sua formação:
( ) Ensino Médio Regular Ano de conclusão: ______
( ) Ensino Médio EJA Ano de conclusão: ______
( ) Ensino Técnico Ano de conclusão: ______ Qual? ______
3 – Quando estudou no Ensino Fundamental I, você aprendeu a resolver expressões
aritméticas? Lembra - se de quais são as regras de resolução? Em caso positivo, mencione
– as.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
4 – Você considera importante ensinar expressões aritméticas? Por quê?
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
5 – Você considera importante ensinar as regras de resolução das expressões aritméticas?
Por quê?
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
6 - Quando você estudou, lembra-se de utilizar a calculadora nas aulas? Em caso positivo,
como?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
138
,
7 – Hoje em dia, você utiliza a calculadora em seu cotidiano? Como?
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
8 – Você leciona: ( ) Sim ( ) Não
Em caso positivo, para qual ano? __________
Em caso negativo, qual sua atividade profissional?_______________________
9 – Se você leciona, utiliza a calculadora em suas aulas?
( ) Sim ( ) Não
Em caso positivo, em quais situações?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Em caso negativo, por que não usa?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
10 – Se você não leciona, utiliza a calculadora em sua atividade profissional?
( ) Sim ( ) Não
Em caso positivo, em quais situações?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
11 - Você acha que a calculadora contribui ou não para a aprendizagem do aluno?
Comente.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
139
,
Apêndice B - ATIVIDADE EM DUPLA
1- Resolva as expressões dadas, usando uma calculadora. Deixe todas as
passagens realizadas.
a) 20 : 5 + 5 =
b) 5 + 20 : 5 =
c) 20 x 5 + 5 =
d) 5 + 5 x 20 =
e) 8 x 3 + 20 : 4 =
f) 20 : 4 + 8 x 3 =
140
,
2 - A expressão 52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 foi resolvida por dois
estudantes de maneiras diferentes (ver itens a e b). Uma delas está
correta? Qual? Justifique sua resposta.
a) Estudante A resolveu da seguinte maneira:
52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 =
54 x (3 + 4) + 32 – 9 =
54 x 7 + 32 – 9 =
54 x 7 + 23 =
54 x 30 = 1620
b) Estudante B resolveu da seguinte maneira
52 + 2 x (3 + 4) + 32 – 9 =
52 + 2 x 7 + 32 – 9 =
52 + 14 + 32 – 9 =
66 + 32 – 9 =
98 – 9 = 89
141
,
3 - Um estudante, ao efetuar a expressão: 30 – 4 + 10 : 2, encontrou como resultado
18. Com o uso da calculadora, descubra o caminho que o estudante utilizou. O
resultado encontrado está correto? Justifique sua resposta.
4 – Represente cada uma das situações dadas (itens a, b e c) com uma expressão e
resolva-a usando a calculadora. Deixe as passagens utilizadas para chegar ao
resultado.
a) Maria comprou na feira 8 maças, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e 2
melancias. Quantas frutas Maria comprou na feira?
b) Numa galeria estão vinte e cinco pessoas. Entram três grupos de doze
pessoas cada um. Depois de alguns minutos, saem dois grupos de quatro pessoas.
Finalmente, saem 10 pessoas. Quantas pessoas ficam na galeria?
142
,
c) O pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros dela custaram
R$56,00 e os de seu irmão custaram R$ 94,00. O seu pai pagou a vista R$ 70,00 e
o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual foi o valor de cada
parcela?
5 – Elabore um enunciado de problema que combine com a expressão:
6 x 4 – (15 : 3) x 2
143
,
Apêndice C – RELATÓRIO DE OBSERVAÇÃO
Números da dupla:
Questão 1
a) Foi utilizado a calculadora para realização de todos os itens? ( ) Sim ( ) Não
b) Foi utilizado a calculadora para realização de apenas alguns itens? ( ) Sim ( ) Não
Quais itens? _______________
c) Durante a realização das expressões a dupla discutiu as regras? ( ) Sim ( ) Não
d) Foi observada alguma questão na qual tiveram mais dificuldade em sua resolução?
( ) Sim ( ) Não
Em caso positivo, em qual item ou itens? ________________________________________
Que tipo de dificuldade?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Observações:
____________________________________________________________________________
Questão 2
a) A dupla inicia resolvendo a expressão mencionada na questão? ( ) Sim ( ) Não
b) A dupla inicia verificando a resolução dos itens ( a ) e ( b )? ( ) Sim ( ) Não
c) Discutem os resultados dos itens ( a ) e ( b )? De qual maneira?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
d) Discutem as regras das expressões?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
e) Utilizam a calculadora para a resolução das expressões? ( ) Sim ( ) Não
f) Na justificativa da resposta, elas discutem, ou apenas uma responde e a outra observa?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Observações:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
144
,
Questão 3
a) A dupla usa a calculadora para resolver a expressão mencionada? ( ) Sim ( ) Não
b) A dupla discute o resultado encontrado pelo estudante? ( ) Sim ( ) Não
c) Relate como foi a argumentação da dupla para resolver a questão.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Questão 4
a) Relate se houve uma discussão no item ( a ).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
b) Utilizaram a calculadora para resolver o item ( a )? ( ) Sim ( ) Não
c) Relate se houve uma discussão no item ( b ).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
d) Utilizaram a calculadora para resolver o item ( b )? ( ) Sim ( ) Não
e) Relate se houve uma discussão no item ( c ).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
f) Utilizaram a calculadora para resolver o item ( c )? ( ) Sim ( ) Não
Observações:
____________________________________________________________________________
Questão 5
a) De imediato, conseguiram entender a questão? ( ) Sim ( ) Não
b) Resolveram a expressão antes de elaborar o enunciado? ( ) Sim ( ) Não
Observações:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
145
,
Apêndice D - TRANSCRIÇÃO DO DEBATE COLETIVO
Dentro das atividades que vocês resolveram, gostaria de saber se alguma
dupla chegou a essa expressão: 6x4-(15:3)x2. Alguém chegou a essa
expressão?
(1N,22N) - eu.
A (1N,22N) Chegou? Você pode ler o problema?
22N - Um colecionador de bolinhas possui 6 caixas com 4 bolinhas. Em um jogo
com seus três colegas, ele perdeu 15 bolinhas, que foram divididas igualmente entre
eles. Na rodada seguinte, João perdeu o dobro do que foi entregue para cada um
dos colegas. Quantas bolinhas João ficaram ao terminar o jogo?
Você chegou a qual resposta?
22N- Cheguei no número 14.
Como você resolveu?
22N - É 6, 6 bolinhas não, 6 caixas 4x4 bolinhas em cada caixa, menos 15 bolinhas
que ele perdeu, dividido entre os três. (que na verdade) eu posso fazer um
comentário.
O enunciado, eu achei confuso, porque aqui diz assim: em um jogo com seus três
colegas ele perdeu 15 bolinhas. Então, deduz que havia quantas pessoas? Quatro,
então na verdade, eu teria que fazer a divisão por 4 e não por 3. O enunciado então
deveria ser em um jogo. Os dois colegas, sim, deveria dividir por 3 igualmente,
esses dois, que é o dobro do que foi entregue para cada um.
Tem alguma regra que você usou para resolver a expressão?
22N - Sim, primeiro eu resolvo os parênteses, depois, a multiplicação e eu chego na
classificação que foi a ultima expressão que foi que você deu.
Mais alguma dupla chegou a esse resultado?
(12N,18N) - Sim.
146
,
(8N,13N) - À principio, nós chegamos.
12N - Gilmara comprou 6 caixas de bombom com 4 unidades cada, mas tinha que
distribuir um grupo de 15 crianças divididas em trio, e Andrea lhe trouxe o dobro de
bombons. Quantos bombons ficaram no total?
Vocês chegaram a que resultado?
18N - Bom, à principio, nós fizemos essa expressão dessa forma.
Só que depois, entendemos que é a questão dos bombons não era referente a
divisão das propostas porque aqui, temos, não sabemos , ela distribuiu o grupo de
15 crianças em trio, não quer dizer que ela tenha distribuído os bombons àquela,
àquelas crianças. E aqui é, ou melhor, a pergunta seria quantos bombons ficaram no
total? É o resultado e a resposta não, estes, especificados em quantos bombons
ficaram para cada criança e sim, em quantos bombons tinha, no total.
12N- Tinha na caixa, juntamente com o dobro que ela trouxe.
Vocês chegaram a que resultado?
18N- Bom, nós chegamos a nossa resposta que 6x4 é 24 e que 2x24 que seria o
dobro e cadê 48 e 24+ 48 da 72.
Vocês montaram essa expressão?
18N - À principio, sim, mas depois, acabou. Porque aqui no enunciado, ele diz que
distribuiu as crianças em trio então, retiramos essa divisão que ele utilizou porque
ele não traz no texto, por completo.
Então, para o entendimento de todo o grupo. Essa expressão foi dada a todos
vocês na atividade em dupla. Esse é um problema na língua materna tem que
ficar muito bem claro é, tanto o problema como a pergunta para que você
147
,
possa chegar ao resultado. É o caso dessa dupla, que o resultado você chega
em 14, qual era a pergunta?
22N- Quantas bolinhas João ficou ao término do jogo?
Então, quero dizer: quantas bolinhas restaram ao término. Ele começou
com...?
22N- 24.
25N- A gente tem no enunciado, só que a gente não concorda. O nosso problema é
assim: Maria tem 6 caixas com 4 lápis em cada caixa. Maria dividiu seus lápis com
seus alunos, ela deu 5 lápis. Ficou com 10 lápis que deu para uma amiga, ou seja, 6
x 4 - (15:3) x 2 Maria ainda ficou com 38 lápis. Resolva. Pela a expressão que foi
dada, a gente chegou à opinião 14, só que a gente discordou, o resultado que
encontramos na expressão aqui montada é igual a 14, com e sem o uso da
calculadora, porém, discordamos da expressão, pois não aparece a quantidade de
alunos, não aparecem os 10 lápis que ela deu para a amiga e também, não
entendemos como no final, ainda restaram 38 lápis.
Alguém consegue chegar ao resultado 38?
32N- Então, à principio, a gente estava fazendo e estava dando um valor, a gente foi
tentando fazer na calculadora estava dando 14, só que aqui está dando 38.
Como você fez para chegar ao resultado 38.
32N- Olha, a expressão aqui, no início está igual, aí, eu repeti 6x4-15:3 que é 5, 6x4
– 5x2, aí, resolvi 6x4, que é 24-5, que é igual a 19x2, é 38.
É, agora é assim dentro das expressões tem uma regra, eu vou pedir para a
(1N,22N) repetir como ela chegou no 14, qual é a diferença que ela chegou no
14 e o 32N chegou no 38. Qual foi a regra que você utilizou a (1N,22N)?
148
,
22N- Primeiro, a gente resolve os parênteses, depois, a gente vai para as
multiplicações e dentro dos parênteses, não importa se é mais, menos divisão ou
multiplicação, primeiro a gente tem que eliminar os parênteses e depois, a gente vai
para multiplicação, depois, para divisão, se houver, e depois, para a subtração e
adição. Adição e subtração, não necessariamente nessa ordem.
Então, o que acontece a (1N,22N) ela resolve como? Primeiro, ela resolve o
parênteses que é o 15:3 e chega ao resultado 5, ela pega 6x4, 24 -5 x 2 e ela
fica com 24-10 que é o 14. A outra dupla que chega ao resultado 38, ela faz
como? Ela até resolve o 15:3 é 5 e faz o quê? 6x4 que é 24-5, chega a 19.
32N - Isso
E multiplica pelo 2, onde está o erro?
22N- Ela não fez a multiplicação.
Pode falar uma de cada vez.
18N - No caso, na sequência das regras, nas regras, porque é, como existe uma
regra para que se resolva uma sequência da expressão, primeiro a multiplicação e
depois, as subtrações.
Então, o erro foi primeiro você resolver o que está dentro dos parênteses
depois, você resolve as multiplicações e por último, a subtração, por isso que
alguns chegam ao resultado 38, tudo bem? Mais alguém chega nessa
expressão? Passa muito longe? E aí não? O restante nem conseguiu decifrar o
que está escrito? Tentou, não tentou?
24N- A minha expressão ficou 2x12+10+5, eu acho que ficou muito longe disso.
Outra dupla chegou a uma expressão totalmente diferente? Pode falar.
31N - Bom, ficou uma, não está tão diferente assim, ficou 6x4+15:5.
149
,
31N- Dividido por 5.
Se o enunciado estiver bem colocado, você não consegue interpretar ele
corretamente e você não consegue elaborar a expressão então, quer dizer,
tudo vai começar da parte realmente, do quê? Da língua materna para você
transcrever uma expressão e você chegar ao resultado. Alguém por acaso
jogou na calculadora igual a elas? Elas falaram que jogaram na calculadora
deu 14 e na hora de resolverem deu diferente. Mas, alguém chegou a fazer isso
na calculadora? Deu um valor e quando fez manuscrito deu outro? Sim? E
você viu onde está o erro? O que você fez ou você ainda não achou o erro?
31N - Não achei o erro.
Você quer falar qual a expressão?
31N- João foi à feira e comprou 6 caixas de maçãs, sendo que cada uma com 4
unidades. João estava com 2 amigos que tinham 15 laranjas para dividir entre eles.
No final da compra, encontraram mais 2 colegas. Com quantas frutas cada um
ficaria e quantos colegas tinham no total?
Qual a expressão que você chegou?
31N - Com a expressão, fazendo a conta, deu 7 no final, cada colega estaria com 7
frutas e com a calculadora, deu 27.
Você ainda não conseguiu encontrar, agora olhando onde vocês erraram?
31N- Talvez foi no parêntese, não sei, ou no mais.
Fala a expressão para o grupo tentar te ajudar?
24N - Oh! Bom, é, eu estava olhando aqui, eu respondi primeiro o 6x4 que ela
colocou no parênteses, deu 24, depois, eu respondi 15:5 que deu 3 e depois, eu
resolvi a adição que dá 24+3, que dá 27.
150
,
Certo, e o que está errado que você está vendo que está errado que ela falou
15.
31N- Então, ela, o 24, com 6x4+15:5, ela primeiro, fez a soma para depois, fazer a
divisão. Ficou 39, foi de 24+ 15:5 aí, 39:5 deu 7 e nem deu 7 redondo, dá uns
quebradinhos.
Então é assim, o que é que quero mostrar para vocês? Numa calculadora
simples, qual é a diferença de uma calculadora simples para uma calculadora
do celular? A calculadora simples você vai colocar da maneira que você acha
correta, então, se você acha que primeiro faz a divisão, você coloca primeiro a
divisão, se você achar, por exemplo, que pode fazer direto, você vai chegar
talvez, num resultado errado. A calculadora do celular ela já sabe, ela conhece
o quê? As regras como elas conhecem já faz e utiliza as regras, por isso que
eu falei: coloque entre parênteses do jeito que você montou porque ela vai
entender que o que está dentro do parênteses. Resolve primeiro, as
multiplicações, resolve primeiro, para depois, fazer a adição e a subtração.
Então a calculadora já é uma tecnologia que ela já entende qual é a regra da
expressão, então, isso ajuda o aluno a verificar o quê? O seu erro!
Agora, vamos para a questão 3, do que vocês resolveram. Eu gostaria que
vocês pensassem nela. Um estudante ao efetuar a expressão: 30-4+10:2,
encontrou como resultado 18 com o uso da calculadora. Descubra o caminho
que o estudante utilizou. O resultado encontrado está correto? Justifique sua
resposta então, como você vê o resultado que ele chegou, está correto? Sim
ou não?
16N- Não, porque, porque ele não, porque ele não cumpriu as regras, ele fez leitura
do problema, tipo, ele leu 30-4+10;2 para conseguir esse resultado.
Então você coloca para mim que ele colocou direto na calculadora da maneira
que se aparece. Vocês fazendo esta conta, qual resultado chegaria?
151
,
Grupo- 31
Como vocês chegariam ao 31?
4N - 30-4+26 deixaria o + e botaria 10, divido por 2, que dá 5, aí somaria 26+5.
Você chegaria ao resultado?
Grupo-31
Certo, o que a dupla (16N,19N) coloca para mim, só que coloca dessa forma. O
resultado está correto, pois 30-4= 26, 26+10 é 36, 36 dividido por é 18. Então,
onde está o erro?
24N- Porque ele tem que fazer primeiro a divisão.
Divisão, eu chego a ter outra resposta de outra dupla que coloca assim. O
estudante fez o cálculo da seguinte maneira: 30-4+10:2=18. Acreditamos que
não está correto, deveria ser feito da seguinte maneira, colocou 30-4, 26+10:2,
5 igual a 31. Qual o resultado que chega a calculadora do celular?
1N- A minha não tem parênteses.
Não, essa não tem parênteses, pode colocar do jeito que está aqui, 30-4+10:2.
Quanto que chega a calculadora do celular de vocês?
(1N,22N)- 31
Grupo-31
31, Então porque realmente, a calculadora, ela nem precisa dos parênteses, ela
entende que quem resolve aqui primeiro? Quem que resolve primeiro? A
divisão para depois, resolver a subtração e adição.
Grupo- (...)
152
,
Outra questão, número 1, não sei se vocês lembram a questão número 1, eu
coloco várias expressões e peço para vocês resolverem. A primeira expressão
é essa: 20:5+5, alguns alunos chegaram à resposta 2 e outros, chegaram na
resposta 9. Algumas duplas fizeram 20:10=2 e outras duplas, fizeram 4+5=9,
qual é o resultado correto?
Grupo- 9, 9.
Por que 9?
Grupo- Porque a divisão, primeiro.
Então, a divisão é primeiro, então, daria quanto? 20:5?
Grupo- 4
Grupo- 9
Essa próxima expressão é a anterior, era 20:5+5=9, a próxima expressão 5+20:5,
quanto que daria?
Grupo- 9, 9
O mesmo resultado por quê?
23N- Porque os números permanecem.
Sempre o primeiro, a divisão. Só que eu tive 2 resultados diferentes, eu tive
25:5=5, o que a pessoa fez nesse para chegar a esse resultado?
Grupo - Ele somou. Ah! ele somou primeiro.
É então, fala só uma só, fala 4N?
4N- Ele somou 5 mais o 20 dá 25, depois, ele dividiu por 5.
153
,
Pela regra o certo é o quê?
Grupo - Primeiro, a divisão, o 5+20 dividido, daria 4, somava o 5, mais a divisão, o 4
Isso então quer dizer o certo, não importa se vem antes ou vem depois,
sempre tem que resolver o quê? Neste caso, a divisão primeiro, porque que eu
coloco esta aqui no meio, a pessoa até responde 20:5, 4 e depois, coloca mais
5 dá o mesmo resultado, só que pedagogicamente, tem um erro nela, tentem
achar.
28N - O 4 mais o 5, deveria ser descemos o 5 mais o 4.
Isso, pedagogicamente para o aluno, você até pode fazer 20:5 é 4, só que aqui
a expressão o 5 vem antes, então, ele teria que colocar o 5 mais o resultado do
20:5 que é 4, e seria igual a esse terceiro aqui, então, pedagogicamente, essa
resposta, ela esta o quê? Diferente da expressão.
22N- Tem que seguir a ordem da expressão.
Isso tem que seguir a ordem da expressão, essa letra d- a mesma coisa, vamos
pensar nela? 5+5x20, eu tive a resposta 200 e a resposta 105. Qual está
correta?
4N- 105
21N – 105. Multiplicaria o 5 : 20 e depois, eu faço a soma.
Então, daria quanto 5x20, 100, 5+100, 105. Tudo bem? Estão entendendo onde
estáo os erros? Agora, eu tenho essas duas expressões. A primeira, eu tenho
8x3+20:4 e depois, eu tenho 20:4+8x3. Qual está correta nessa primeira, o 11
ou o 29?
Grupo- 29
154
,
Quem quer explicar? Pode falar 21N?
21N - Eu acho que é o 29.
Por quê?
21N - Porque primeiro, eu faço o 8x3 mais, divido o 20:4 da 5, aí eu faço a
multiplicação 8x3, 24+ 5.
Que dá o resultado?
21N – 29.
O que é que tem de erro nessa? O 24+20=44:4=11. O que a pessoa na dupla
pensou nesse resultado, o que é que ela fez?
25N- Trocou os grupos.
Fala 25N, como e que ele fez?
25N- Ele substituiu os grupos, ele tirou o segundo grupo e uniu ao primeiro, aí, o
resultado dado diferente.
Fala como ele fez?
25N – 8 x 24 .
25N - isso, mais 20 que é igual a 44, só que aí , ele somou e depois dividiu.
E onde está o erro, então?
25N- Ele usou o 20, duas vezes.
Não. Quem pode explicar? Fala 24N?
155
,
24N- Oh! Ele efetuou primeiro o 8x3, e já pulou para soma, em vez de passar para
divisão, ele teria de ter feito a divisão do 20:4, antes de somar.
Certo, então tenta explicar para a 25N o que é que ele fez.
24N- Bom, ele teria que ter feito 8x3 que daria 24, colocar o sinal de + e fazer 20:4
colocar o 5, e depois, somar os dois.
25N - Só que entende como ela soma.
Exatamente, ele segue a sequência na expressão, a ordem na expressão,
então, ele resolve 8x3, 24 ele não resolve a divisão e ele continua 24+20, 44.
25N - Sem obedecer à regra.
A questão número 2. Bem, a expressão: 52+2x(3+4)+32-9 foi resolvida por 2
estudantes de maneiras diferentes, ver itens A e B. Uma delas está correta?
Qual? Justifique sua resposta. Eu tenho primeiro essa resposta, gostaria que
todo mundo estudasse essa resposta, podem usar o verso da folha para
anotações, mas pensem nessa resposta do estudante A . Alguém concorda
que está certa?
21N - Não.
Não, o que estaria errada nessa, nessa resolução do estudante A?
21N - Ele fez de acordo como está a expressão, ele não resolveu primeiro os
parênteses, ele foi somando 52 com 2x3+4+32-9, depois, ele pegou o 54, somou o
que estava no parênteses e somou, fez a soma, multiplicou o 7, que foi a soma do
parênteses mais o 32-9, depois, ele fez o 54x7, e ele tirou do 32 o 9. 54x ? Ele
somou em vez de ter multiplicado primeiro e depois, foi somado.
Ele obedeceu ainda à ordem que aparece?
156
,
Grupo - Não.
Quer dizer que ele nem obedece à ordem que aparece, ele simplesmente,
resolve primeiro a adição e a subtração e no final, é que ele faz a multiplicação.
É já o estudante B, como é que ele resolve?
24N - Ele utiliza a regra, ele responde o que está dentro do parênteses, ele usa a
regra, copia, responde o que está dentro do parênteses, continua copiando, depois,
ele responde primeiro a multiplicação, para depois, juntar tudo o 52+14, aí, desse
resultado, mais 32-9.
Certo, então realmente, vocês notaram que faz diferença você utilizar a regra e
você não utilizar a regra, dá uma diferença grande. Aí alguém, eu tenho
algumas respostas que eu tive dentro da atividade, é, algumas pessoas
realmente chegam que a resposta dele está correta, mas não chega a
mencionar o porquê e algumas pessoas até concordam com a resposta da A,
porque, porque que concorda com a resposta da A?
9N - Porque não sabe fazer a expressão, não sabe as regras da expressão, ele acha
que é assim.
Então o que acontece que acha que a questão A está correta é que realmente
não obedecem às regras. Agora, eu tenho aqui o contrário, a questão número
4, ela fala assim: ela tem um problema. Maria comprou na feira 8 maçãs, 2
caixas com 6 goiabas cada uma e 2 melancias. Quantas frutas Maria comprou
na feira?
Esse é um problema baseado simples para os alunos. Então, eu tive essa
resposta 8+(2x6)+2 que deu o resultado 22, e uma outra com 8+2x6+2, mas
sem parênteses, nesse caso, você acha que prejudica utilizar ou não o
parênteses?
157
,
18N - Nesse caso, é necessário o uso do parêntese porque ali está falando em duas
caixas que continham 6 goiabas, então, deram uma coisa enfim, são significado que
dentro de duas caixas havia 6 goiabas, é necessário mesmo colocar nos parênteses.
Então vocês acham que a primeira realmente está correta, porque realmente
tem que usar os parênteses devido as duas caixas serem de goiabas. Só que
esse, nesse caso, chega na mesma resposta e aí o que vocês falam para mim?
22N - Seguiu a regra, multiplicando.
Mesmo sem parênteses, ele segue o quê?
Grupo - A regra.
A regra, então, nesse caso, eu coloco até uma observação com o sem
parênteses deu a mesma resposta, porque são equivalentes, mas
pedagogicamente, é melhor reforçar que a multiplicação vem primeiro, então,
realmente, a primeira pedagogicamente, ela é a mais correta porque eu tenho
que colocar dentro do parênteses. Mas se o aluno utilizar a regra, mesmo sem
o parêntese, ele consegue chegar ao mesmo resultado, só que é assim, esse
problema tem uma dupla interpretação, eu poderia chegar a duas respostas.
Das 14 duplas, 13 chegaram dessa forma: uns colocaram parênteses ou não,
mas chegamos nessa resposta, e eu tive essa resposta o que é que vocês
acham dela? Vou ler: 8 maçãs, 12 goiabas, 4 melancias. Maria comprou 24
frutas na feira.
22N - Multiplicou as duas caixas e melancias, também por 2.
Mas na interpretação do problema poderia resolver assim? O que vocês
acham?
22N- No enunciado está sendo 6 goiabas cada uma, e 2 melancias.
158
,
18N- Na interpretação.
22N- A linguagem está correta.
18N - Dá na interpretação, são duas melancias em cada caixa, ou seja, significa se
dentro das duas caixas tem 6 goiabas, em cada uma duas melancia, o erro no caso
aí, veio da interpretação de que haveriam melancias em cada caixa, o problema é
que com os outros não.
Comprou na feira 8 maçãs, 2 caixas com 6 goiabas cada uma e duas
melancias, então ele poderia interpretar que dentro das 6 caixas, poderiam ter
6 goiabas e duas melancias, então tem uma dupla interpretação, porque foi
colocado esse problema até por uma observação para vocês, como futuras
professoras, o cuidado na elaboração do problema, porque pode surgir mais
de uma resposta na interpretação desse problema. E o aluno não está errado
porque o problema deixa que ele possa colocar que naquela caixa pode ter.
Imagina na feira, posso ter as duas caixas com as 6 goiabas e as duas
melancias na mesma caixa.
Outra atividade, o pai de Vilma comprou livros para ela e seu irmão. Os livros
dela custaram 56 reais e os de seu irmão custaram 94 reais. O seu pai pagou a
vista 70 reais e o restante do pagamento foi dividido em 2 parcelas iguais. Qual
foi o valor de cada parcela? Eu tive essas duas respostas, gostaria que vocês
analisassem para ver se tem algum erro? Quais vocês consideram certos?
Alguma dupla quer se colocar? Pode falar.
( 56 + 94 - 70) : 2 =
(150 - 70) : 2 =
80 : 2 = 40
56 + 94 - 70 : 2
150 - 70 : 2
159
,
80 : 2 = 40
14N- Eu acho que as duas estão erradas.
As duas estão erradas por quê?
14N- Porque ele não seguiu as regras de resolver, primeiro a multiplicação. E ele
primeiro, resolveu a subtração e adição.
Vocês acham que a colega está correta?
5N- Não. Parênteses, primeiro.
18N - No caso, a de cima, deveria de ter eliminado os parênteses, então, haveria
necessidade de resolves primeiro a soma e depois, a subtração, na eliminação de
parênteses, aí após isso, ele repetia novamente, seria veiculado na expressão.
Segue a sequência correta.
Isso, e a segunda?
18N- A segunda seria o caso que ela disse, seria, teria que ser resolvida primeiro, a
subtração e depois, as outras: adição mais subtração e depois, a soma a de tudo.
Então, na segunda, pela colocação da maneira em que está escrito, a expressão;
56+94-70:2, pela a regra, que resolveria primeiro?
18N - o 70:2.
O 70:2 isso, então quer dizer mais, vamos voltar ao problema, à montagem da
segunda está correta?
Grupo- (...)
Nesse caso, parêntese faz falta?
160
,
Grupo- Faz.
Faz, quem está fazendo a diferença nesse problema são os parênteses?
9N - Ela pode aprender ao contrário, ela pode fazer primeiro 70:2, para depois (...) e
fazendo o restante.
Isso, e a ideia do problema não é isso, porque ele gasta um total de livro, aí ele
paga uma parte que é o 70, então, o que sobrou, ele vai dividir em duas
parcelas. Então, nesse caso, não é igual ao anterior, porque o anterior
parêntese não tinha tanto problema. Nesse caso, parêntese é essencial, sem o
parêntese, pode a causar o quê? Uma resposta errada. Tudo bem nessa parte?
Bem, então vamos para algumas colocações: dentro do grupo, agora, quem
conhece ou conhecia as regras da expressão? Quem conhecia e lembra as
regras. Dentro das suas atividades agora, uma dupla de cada vez. Vocês
acham do que mostrei vocês acertaram, ou teve algum erro, agora, olhando
com o que eu apresentei? Fala a primeira dupla, 12N e 18N, que falou que
sabia das regras. O que você lembra da regra, o que você lembra assim, mas
assim, o que você lembra, mais ou menos?
12N e 18N - Eu acertei, porque eu me confundia no parêntese mesmo.
24N - Bom, acho que da grande maioria, a gente acertou e na que a gente teve mais
dificuldade, foi justo o problema que a 1N e 22N chegaram ao resultado, então, eu
acredito amei, as regras, e apesar da dificuldade, aparentemente, fui bem.
Mais alguém levantou a mão? Quem lembrava?
10N - Eu lembrava, mas não lembro se acertei ou se errei, mas eu me lembro da
regra, mais ou menos.
15N - Primeiro se resolve os parênteses.
161
,
22N - Eu me lembrava das regras, só não me lembro se nesse necessariamente,
acertamos ou erramos a resposta que foi feita.
Dentro do que foi discutido aqui, agora, em pouco tempo, aqueles que não se
lembravam da regra têm dúvidas ainda enquanto as regras? Pode perguntar?
Quem não se lembrava da regra agora, entende as regras, sim? E, 28N me fala,
você que não se lembrava das regras hoje, o que você aprendeu?
28N- Agora eu aprendi!
O que você aprendeu?
28N - Aprendi, primeiro, você tem que quando tiver parênteses, eliminar os
parênteses e seguir sempre a regra que foi explicado agora, que antes, eu não sabia
como para mim, ia seguindo como estivesse no problema. O que você fosse
especificando, você ia fazendo, por exemplo.
Certo, mais alguém?
5N – Tem parênteses ali, e independentemente de ter multiplicação, eu tenho
sempre que resolver os parênteses primeiro, isso é o que eu fico às vezes, em
dúvida.
Quem pode responder para 5N?
22N - Sempre elimina os parênteses primeiro, indiferente da operação, e resolve a
multiplicação e a divisão
Neste caso, não aparece colchetes, mais qual seria a regra? Primeiro, resolve
o quê?
Grupo- Chaves, colchetes, não, primeiro é o parênteses, Chaves, parênteses.
162
,
Calma, calma, psiu, psiu, psiu! Fala um de cada vez, fala! Quem vai falar? Pode
falar 4N?
4N- Primeiro é o parêntese, depois, é o colchetes e depois, as chaves.
Isso é porque sempre o que acontece. O parêntese sempre está no meio,
depois os colchetes então, algumas pessoas acabam esquecendo, e temos
que seguir essa regra. É como a 5N coloca, mesmo tendo uma operação de
adição primeiro, sempre se resolve parêntese, e o caso, só para deixar bem
claro para a grupo. Desse caso, aqui, primeiro, eu tenho que resolver o três
mais o quatro, que está dentro dos parênteses. Eu vou resolver ele, eu não
posso resolver o restante da operação, mesmo tendo multiplicação, não
importa: primeiro, eu resolvo o que está dentro do parêntese. Tudo bem? Mais
alguém?
17N - Eu entende agora, que eu também, não sabia. Eu aprendi agora, só que, por
exemplo, um problema como é que vou saber o que vai no parêntese, o que não
vai? Isso eu não sei.
Então, vou voltar neste problema para deixar bem claro, talvez, para grupo. Eu
vou até pedir ajuda para as colegas. Por que eu tinha que colocar parêntese,
quando eu falo as duas caixas? O que vocês colocam para ajudar a colega, ela
está com problema. A pergunta dela é: qual o momento adequado para se
colocar os parênteses?
Grupo- Olha, eu acho ...
31N - Parece que tem uma conta dentro de outra conta. É que quando eu falo das
maçãs e das melancias, estou falando especificamente, de quantidade de frutas,
quando eu falo das duas caixas com 6 goiabas, parece que é uma coisa maior, não
sei explicar o certo, mas ela puxa essa ideia que tem que ter parênteses para
especificar que são duas caixas com uma quantidade de frutas.
163
,
Só para colocar, ela coloca que são 8 maçãs, então, uma coisa individual 8,
quando ela coloca 2 caixas com 6 goiabas, isso já dá uma determinação que é
uma multiplicação, que eu tenho 2 caixas com 6 goiabas cada uma , isso leva a
ter um parênteses porque eu estou utilizando uma multiplicação, e depois, eu
coloco o quê? A melancia, as duas melancias, então, as melancias, elas não
estão sozinhas, então, leva a isso.
1N - Na minha opinião, também gera uma interrogação, sem saber quantas seria
duas caixas com 6 goiabas, já deu interrogação.
25N - Faltou talvez, sincronia. Na verdade, não sei, sincronia.
Isso.
25N -Forma-se grupo dentro da expressão.
Isso, formou um grupo das duas caixas de goiabas, quando recito essa
multiplicação, que são oito maçãs, 12 goiabas e as 2 melancias, aí eu tenho o
que eu posso fazer o que? A soma das frutas, então, realmente, é o que um
grupo dentro de expressão, e o uso dos parênteses nessa, você viu? O uso
dos parênteses é fundamental porque pela regra, eu teria que resolver o 70:2,
pelo problema não pode ser isso, então, é um momento adequado de eu
utilizar o quê? O parêntese está bom. Mais alguém que tem dúvidas?
5N - Agora quando tem aí, no caso 56+94-70:2, eu faço primeiro 70:2, tem
parêntese mas eu tenho que resolver primeiro, a divisão?
Nesse caso, pelo problema, está errado, porque faltaram os parênteses, mas
na regra da expressão se você fosse resolver essa, você está correta, primeiro,
eu resolvo o 70:2, para depois, resolver o 56+94, no caso, daria menos 35. Aí
eu iria resolver. Mas é que essa expressão não esta de acordo com o
problema, mas na regra, realmente, eu resolveria primeiro 70:2. Pode falar, 8N.
164
,
8N- Eu aprendi também, que sempre que tem o número 1, no final, separa. O
parêntese existe para separar assim, e então, se tem uma multiplicação e depois
uma divisão, não se pode passar sem o parêntese. Primeiro, por isso que eu aprendi
dessa forma.
Correto, porque realmente, se existe na expressão uma multiplicação para
depois uma divisão, os parênteses fazem a diferença. Agora, vamos para outra
parte, a calculadora. No dia em que vocês resolveram atividades, ajudou?
Atrapalhou? Porque têm pessoas que acham que a calculadora pode
atrapalhar. Então, eu queria ver um pouquinho. Quem acha? Quem é a favor do
uso da calculadora? Quem é a favor e quem é contra? Vamos primeiro, para o
contra, quem é contra?
22N - Eu sou contra, porque sou anti-tecnologia. Eu não sei mexer com botão, não
sei, eu consigo fazer cálculo mental facilmente, tanto, que acho que foi isso que
aconteceu com este problema: eu esqueci do parêntese, mas eu fui direto, feito um
botãozinho. A calculadora, eu me atrapalho com ela. Não sei lidar com a tecnologia.
Mas quem é contra a calculadora?
18N – Bom, a calculadora para uns, em grupo de aula, tem efeito bom, primeiro,
porque a sala de aula , ela tem um social, o aluno a pensar, então, se ele vai usar a
calculadora, ele vai deixar de pensar. Então, ele não vai usar o raciocínio deles para
resolverem aquelas questões, o uso da calculadora seria para uma questão mais
complexa, uma coisa mais (...) números mais altos sim, eu dou força para uso da
calculadora, mas para o uso em sala de aula, eu acho que é (...) vai, em vez de
ajudar, vai fazer com que o aluno relaxe nos estudo dele e vai deixar de pensar,
quero dizer.
24N - Eu acho que a calculadora é um avanço, então, ela é útil. Eu acho isso. É
muito útil, porque nem todo mundo é bom em Matemática, para ter um raciocínio
desse jeito, então é (...) eu não acho que a calculadora é um problema dentro da
165
,
sala de aula como a gente viu naquela... naquela questão, o aluno colocou o
problema inteiro, deu o resultado 18. A gente percebe que mesmo com o uso da
calculadora, a gente precisa pensar, a gente precisa conhecer as regras, então, com
a calculadora ou sem a calculadora, o aluno está pensando! Bom, eu sou a favor.
Quem mais quer se colocar?
25N- Eu acho que ficou claro que no celular, a calculadora, a técnica, é avançada.
É... na calculadora já não funciona mais, porque não obedece às regras de sinais,
então, não é aconselháveis a gente incentivar o uso da calculadora, porque não vai
dar o resultado a que a gente quer chegar.
Mas você não concorda com que a 24N falou?
25N – Em partes! Em parte, eu acho que a gente, a tecnologia esta aí. A gente tem
que usar a tela, só que tem que saber os instrumentos para chegar no resultado
certo.
Isso, então no caso, realmente precisa saber da regra para você usar a
calculadora, não basta só ter a calculadora, então, o aluno, ele vai ter que
pensar primeiro. Fala 8N, senão eu vou falar muito.
8N- Eu acredito que é como a 24N. Se tem a tecnologia, é para ser utilizada em
sala de aula. Só que o professor conhece o seu aluno, lógico que eu não vou dar
uma calculadora, se meu aluno não sabe nem somar, não sabe nem o que significa
esse símbolo, primeiro, é um caminho, se nós usamos hoje, na universidade, temos
dificuldade, imagine nossos alunos! Eu penso assim, ele tem que ter o acesso sim,
tanto que é, quando eu fiz cursinho, tinha aquela calculadora que fazia cálculo de
logaritmo eu nem sabia como usar a calculadora, imagine como chegava no
logaritmo , então, assim, é uma necessidade, porque hoje, como se diz: os alunos,
eles já têm um, um avanço tecnológico muito maior do que a gente, porque o que a
22N falou, também é uma deficiência minha, muitas vezes, eu estou no computador,
166
,
e a minha prima de oito anos sabe fazer coisas que eu não sei fazer, só que é
assim, nós estamos ficando para trás. O que o Élvio nos falou? Está aí, a ciência
está aí, a tecnologia está aí, e cabe à gente adaptar, para colocar em sala de aula.
Só que não é em todas as aulas que você vai usar a calculadora, não é toda a aula
que você vai usar o data- show, então, eu penso dessa maneira.
Quem mais que é contra ou a favor da calculadora na sala de aula? Pode se
colocar... é um debate, ninguém vai bater em ninguém aqui.
Grupo - Risos
25N- A causa é nobre.
Grupo - Risos
22N - Posso falar de novo?
Pode.
22N - No momento em que eu falei, eu quis colocar exatamente contra, contra para
o meu uso, mas enquanto professora, eu sou como a 8N, eu acho que a gente pode
sim usar, deve- se usar e deve ensinar como usar, para não ficar como eu fiquei,
sem saber como usar, só que antes de usar, eu acho que tem que ter o
conhecimento e domínio das quatro operações, na hora em que ele tiver o domínio
das quatro operações, aí sim, poderia fazer uso da calculadora, para conseguir
aplicar o que se deseja.
Eu vou colocar algumas palavras do PCN que coloca que você pode utilizar a
calculadora em sala de aula até para quê? Uma autoavaliação do aluno e até,
uma correção de possíveis erros, e aí, eu volto a pegar um gancho da 24N que
colocou que o aluno, não basta usar e jogar direto na calculadora, ele precisa
saber o quê? Das regras, e aí, até mesmo depois das regras, ele pode utilizar a
tecnologia. E aí, venho a colocar o que a 22N colocou: as quatro operações, é
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fundamental, a...a 8N colocou, eu não posso dar uma calculadora, se o aluno
ainda não sabe somar, mas se o aluno sabe as quatro operações básicas, ele
até pode usar a calculadora como um meio até, de uma autoavaliação dele.
Seria a famosa prova real. Lembra quando vocês faziam a prova real? Seria
isso, só que para isso, o aluno ele já tem que ter um avanço das quatro
operações básica. Eu também, eu sou a favor o aluno tem que saber as 4
operações básicas, por isso, depois que ele souber as quatro operações
básicas realmente, eu posso colocar em sala.
8N- a 13N até, a 13N até falou.,Ah! Nós nem usamos a calculadora nas nossas
atividades, só que no final, nós conferimos somente, mas na hora, durante, nós não
usam. Nós só conferimos, não foi?
Mais alguém fez isso, de não usar a calculadora e no final, só conferiu? Mais
alguém?
12N e 18N - A gente!
Vocês também fizeram a mesma coisa?
12N - Sim.
Como é que foi feito 12N?
12N - Fizemos o cálculo manuscrito, usando o raciocínio uma com a outra, depois, a
gente usou a calculadora que no dia, eu trouxe, e a gente fez a prova real.
Certo, mais alguém que falar da calculadora, então? Não?
Obrigada pela participação!
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ANEXOS
Anexo A - TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
O(a) senhor(a) está sendo convidado(a) a participar, como voluntário, desta
pesquisa que tem como finalidade, investigar questões relacionadas ao ensino de
um conceito da Matemática. Tal investigação é, por nós, considerada de
fundamental importância, uma vez que poderá contribuir para a compreensão das
dificuldades enfrentadas por um estudante, no processo de construção desse
conceito e para a reflexão sobre possíveis estratégias para abordar o assunto.
Ao participar desta pesquisa, o(a) senhor(a) permitirá que a pesquisadora
tenha a oportunidade de ampliar e aprofundar os estudos que vêm sendo
desenvolvidos por outros pesquisadores das linhas de Ensino e Aprendizagem de
Matemática e suas Inovações do Programa de Mestrado em Educação Matemática
da UNIBAN-SP.
Após ser esclarecido(a) sobre as informações a seguir, no caso de aceitar
fazer parte do estudo, assine ao final deste documento, que está em duas vias. Uma
delas é sua e a outra, é da pesquisadora responsável. Em caso de recusa, o(a)
senhor(a) não será penalizado(a), de forma alguma. O(a) senhor(a) tem liberdade de
interromper sua participação, em qualquer fase do estudo, sem prejuízo algum.
Sempre que quiser ou necessitar, poderá solicitar informações sobre a pesquisa por
meio do telefone da pesquisadora do projeto. Se o(a) senhor(a) tiver alguma
consideração ou dúvida sobre a ética da pesquisa, entre em contato com a
Comissão de Ética.
1. Durante a pesquisa, será solicitado que cada participante responda a um
questionário individual e uma atividade que poderá ser individual ou em
dupla. Caso seja em dupla, será áudio-gravada e cada participante será
identificado por um apelido, a ser utilizado, caso haja necessidade, numa
entrevista.
2. A partir dos resultados obtidos com os dois instrumentos, será realizado
um debate coletivo, com discussão e análise de algumas das questões e
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respectivas resoluções. Esse debate deverá ser áudio-gravado e
registrado por escrito, por um observador neutro.
3. Os dados analisados são estritamente confidenciais e serão de estrito
conhecimento da pesquisadora e de sua orientadora. As gravações serão
utilizadas de forma sigilosa pela pesquisadora, para esclarecer dúvidas
que possam surgir durante a análise dos protocolos e das observações
escritas. As informações obtidas serão analisadas no conjunto de
participantes, não sendo divulgada a identificação de nenhum destes.
4. Em qualquer etapa do estudo, o(a) senhor(a) terá acesso aos profissionais
responsáveis pela pesquisa para esclarecimento de eventuais dúvidas.
5. A participação nesta pesquisa não traz complicações legais. Os
procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética
em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução no. 196/96 do
Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos procedimentos que serão
utilizados oferece riscos à sua dignidade.
6. Ao participar desta pesquisa o(a) senhor(a) não terá nenhum benefício
direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações
importantes a respeito das dificuldades inerentes ao processo de
construção do conceito em estudo, de forma que o conhecimento que será
construído a partir desta pesquisa possa contribuir para o seu ensino.
Para isso, a pesquisadora se compromete a divulgar os resultados
obtidos.
7. O(a) senhor(a) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta
pesquisa, bem como nada será pago por sua participação.
8. Direito de ser mantido atualizado – Os resultados parciais das análises
serão compartilhados, à medida que forem obtidos.
9. Os dados analisados serão utilizados somente, para esta pesquisa.
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Pesquisadora Orientadora
Crislaine Aparecida Ribeiro Salomão Profª Drª Vera Helena Giusti de Souza
_____________________________ ___________________________
Se após esses esclarecimentos o(a) senhor(a) consentir, de forma livre, em
participar desta pesquisa, assine, por favor, a folha que segue:
Acredito ter sido suficientemente informado a respeito das informações que li, ou
que foram lidas para mim, descrevendo o estudo desta pesquisa. Discuti com a
mestranda Crislaine Aparecida Ribeiro Salomão a minha decisão em participar
desse estudo. Ficaram claros, para mim, quais são os propósitos do estudo, os
procedimentos a serem realizados, seus desconfortos e riscos, as garantias de
confidencialidade e de esclarecimentos permanentes. Ficou claro também, que
minha participação é isenta de despesas. Concordo voluntariamente, em participar
deste estudo e poderei retirar o meu consentimento a qualquer momento, antes ou
durante ele, sem penalidades, ou prejuízos ou perda de qualquer benefício que eu
possa ter adquirido, ou no meu atendimento nesta unidade de ensino.
_____________________________________________________________
Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa
(Somente para o responsável do projeto)
Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e
Esclarecido deste paciente ou representante legal para a participação neste estudo.
Assinatura do responsável pelo estudo Data / /