UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

SÍLVIO HENRIQUE ARAÚJO MOTA

CURRÍCULO DE GEOMETRIA ESPACIAL DO COLÉGIO 7 DE SETEMBRO:

INFLUÊNCIAS DO VESTIBULAR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

E DO ENEM

Orientador: Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo

SÃO PAULO - SP

2015

SÍLVIO HENRIQUE ARAÚJO MOTA

CURRÍCULO DE GEOMETRIA ESPACIAL DO COLÉGIO 7 DE SETEMBRO:

INFLUÊNCIAS DO VESTIBULAR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ E DO

ENEM

Dissertação apresentada ao Programa em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo (UNIAN), como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Educação Matemática. Área de concentração: Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo.

SÃO PAULO - SP

2015

M871i

Mota, Sílvio Henrique Araújo.

Influências do vestibular da UFC e do ENEM no currículo de geometria espacial do Colégio 7 de Setembro. / Sílvio Henrique Araújo Mota. – São Paulo, 2016.

146 f.: il; 30 cm

Dissertação (Programa de Mestrado em Educação Matemática) –

Coordenadoria de Pós-graduação, Universidade Anhanguera de São Paulo, 2015.

Orientador: Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo

1. Educação matemática. 2. Currículo de geometria. 3. Ensino médio.

4. Enem. 5. Exame vestibular. I.Título. II Universidade Anhanguera.

CDD 373.13

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar, a Deus, pela vida que me deu.

À minha mãe, Inah, pelo amor e pela educação a mim oferecidos.

À milha filha, Camilla, pelo seu amor e ensinamento.

Aos meus irmãos, pelo amor, pela presença e pelos conselhos. Em especial, à

Estefânia, minha segunda mãe, e ao Jone, meu professor de verdade.

Ao meu orientador, Ruy, que me conduziu até aqui.

Às professoras Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes e Olga Corbo, por aceitarem

participar da Banca Examinadora, sobretudo pelas valiosas contribuições ao nosso

trabalho, não apenas no momento da qualificação, mas também em momentos

posteriores.

Aos Diretores do Colégio 7 de Setembro.

Aos professores, com quem convivi durante toda a minha carreira, em especial aos

colegas: Ana Jucá, Adelmir Jucá, Clayton, Davyson, Flaudio, Franzé, Juarez, Morel,

Rogério, Ulisses e Wagner.

RESUMO

Esta dissertação tem como propósito analisar a influência de Vestibulares da

Universidade Federal do Ceará (UFC) e do Exame Nacional do Ensino Médio

(Enem) no currículo de geometria espacial do Colégio 7 de Setembro (C7S), escola

particular de Educação Básica de Fortaleza, cuja principal meta, relativa ao Ensino

Médio, é o preparo de estudantes para o ingresso em universidades públicas. Este

estudo pode ser considerado relevante, uma vez que observamos as inovações

curriculares propostas no âmbito da Matemática pela Secretaria da Educação Básica

do MEC e as modificações implementadas nos processos seletivos daquelas

universidades, como a inclusão do Enem como critério de avaliação. Investigamos

ainda como se caracterizam as propostas oficiais para o ensino da geometria na

Educação Básica e quais as prioridades do vestibular da UFC e do Enem sobre os

conhecimentos geométricos, o que permitiu identificar possíveis consequências para

o ensino de geometria no C7S. Assim, foram necessárias análises de documentos

oficiais, como os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio e as

Orientações Curriculares do Ensino Médio, das provas da UFC e do Enem, além,

evidentemente, dos planos de curso do C7S. Identificamos os conteúdos, as

competências e habilidades que esses planos visavam desenvolver e a forma como

eles foram validados e legitimados no currículo vigente na escola. Apontamos

igualmente as concepções de currículo utilizadas na construção do plano de curso

de Matemática, como também as alterações ocorridas nos temas e na carga horária

no período de 2005 a 2013. Para fundamentar a análise documental, utilizamos

como referenciais teóricos os conceitos de currículo desenvolvidos por Sacristán

(2000) e Goodson (2008), além do conceito de competência de Perrenoud (2013).

Na análise dos planos de curso do C7S, constamos que o currículo praticado de

Matemática estava fundamentado no livro didático e nas sinalizações do vestibular

da UFC e, à medida que os processos seletivos de ingresso às universidades foram

se modificando, a escola acompanhou as mudanças. Todavia, cabe destacarmos

que nem todas as mudanças dos planos de ensino do C7S tiveram apenas a

finalidade de adequar os processos de ensino e aprendizagem de geometria ao

Enem, ou seja, houve também valorização de conteúdos não exigidos nesse exame,

indicando permanências em relação aos currículos anteriores.

Palavras-chave: Educação Matemática. Currículos de Geometria. Ensino Médio.

Enem. Exame Vestibular.

ABSTRACT

This dissertation has as object of study the analysis of the influence of Universidade

Federal do Ceará’s Vestibular and of Exame Nacional do Ensino Médio on the spatial

geometry curriculum of Colégio 7 de Setembro (C7S), a private school of Basic

Education in Fortaleza, whose main goal, concerning High School, is preparing

students for admission into public universities. This study may be considered

relevant, as we observe the curricular innovations proposed in Mathematics by

Secretaria da Educação Básica from MEC and the adjustments implemented in the

admission process of these universities, such as the inclusion of ENEM as evaluation

criteria. We also investigate how official proposals for the teaching of geometry in

Basic Education are characterized and which priorities were set by the UFC's

Vestibular and ENEM concerning geometrical knowledge, which enabled us to

identify possible consequences for the teaching of geometry at C7S. Thus, we

proceeded to analyze official documents, such as Parâmetros Curriculares Nacionais

para o Ensino Médio and Orientações Curriculares do Ensino Médio, UFC exams as

well as ENEM exams, and evidently C7S’s course plans. We identified content, skills

and abilities that these plans aimed to develop and how they were validated and

legitimized in the existing curriculum at school. We also pointed out the curriculum

concepts used in the construction of the course plan of Mathematics, as well as

changes concerning subjects and hours from 2005 to 2013. In order to support the

documental analysis, we used, as theoretical basis, concepts of curriculum

developed by Sacristán (2000) and Goodson (2008), and the concept of competence

by Perrenoud (2013). By analyzing C7S’s course plans, we found that the practiced

curriculum of Math was grounded on the textbook and on the indications of UFC’s

Vestibular; as the admission processes of universities have been modified, the

school followed the changes. However, we must highlight that not all changes in

C7S’s teaching plans had the exclusive purpose of adapting the processes of

teaching and learning geometry to ENEM, i.e., there was also attribution of

importance to contents that were not required by this exam, which indicated that

contents from previous curricula were kept.

Keywords: Mathematics Education. Geometry Curriculum. High School. ENEM.

Vestibular Exam.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Boletim de desempenho individual – Simulado Enem .................... 79

Figura 2 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro ano 2003 ...................... 85

Figura 3 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro ano 2004 ...................... 87

Figura 4 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro 2003.1 .......................... 87

Figura 5 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro 2004.1 .......................... 87

Figura 6 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro ano 2006 / Objetivos .... 89

Figura 7 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro ano 2006 / Grade Curricular ......................................................................................... 90

Figura 8 – Índice do vol. 3 da Coleção Matemática e suas Tecnologias .......... 91

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Número de questões do Enem por objeto de conhecimento .......... 65

Tabela 2 – Número de questões de conhecimento geométrico do Enem por tema ............................................................................................... 66

Tabela 3 – Número de questões de geometria espacial do Enem por assunto/ano .................................................................................... 66

Tabela 4 – Classificação das questões do Enem em Geometria Métrica ou de Posição .......................................................................................... 67

Tabela 5 – Classificação das questões de geometria espacial do Enem por habilidade ...................................................................................... 67

Tabela 6 – Classificação das questões de geometria espacial pelo Nível de Conhecimento Esperado de Aline Robert ...................................... 67

Tabela 7 – Número de questões da UFC por objeto de conhecimento ............ 75

Tabela 8 – Número de questões de conhecimento geométrico da UFC por tema ............................................................................................... 75

Tabela 9 – Número de questões de geometria espacial da UFC por assunto/ano .................................................................................... 76

Tabela 10 – Classificação das questões da UFC em Geometria Métrica ou de Posição ................................................................................... 76

Tabela 11 – Classificação das questões de geometria espacial da UFC por habilidade .................................................................................... 76

Tabela 12 – Classificação das questões de geometria espacial pelo Nível de Conhecimento Esperado de Aline Robert .................................... 77

Tabela 13 – Distribuição dos temas por série do Ensino Médio C7S ............... 92

Tabela 14 – Distribuição anual dos temas estudados na 1ª série do Ensino Médio ........................................................................................... 93

Tabela 15 – Distribuição anual dos temas estudados na 2ª série do Ensino Médio ........................................................................................... 93

Tabela 16 – Distribuição anual dos temas estudados na 3ª série do Ensino Médio ........................................................................................... 94

Tabela 17 – Carga horária anual de geometria espacial /assunto /2º ano ....... 94

Tabela 18 – Carga horária anual de geometria espacial /assunto /3º ano ....... 95

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AVA Ambiente Virtual de Aprendizagem

CCV Comissão Coordenadora do Vestibular

CEPE Conselho de Ensino, Pesquisa e Extensão

CNE Conselho Nacional de Educação

C7S Colégio 7 de Setembro

DCN Diretrizes Curriculares Nacionais

DCNEM Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

EM Ensino Médio

ENCCEJA Exame Nacional para Certificação de Competências de Jovens e Adultos

ENEM Exame Nacional do Ensino Médio

FIES Fundo de Financiamento Estudantil

INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira

ITA Instituto Tecnológico da Aeronáutica

LDBEN Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

MEC Ministério de Educação

OCDE Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico

OCEM Orientações Curriculares do Ensino Médio

PCN+ Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio

PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Médio

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PNLD Plano Nacional do Livro Didático

PPP Projeto Político Pedagógico

PROUNI Programa Universidade para Todos

REUNI Reestruturação e Expansão das Universidades Federais

SAEB Sistema de Avaliação da Educação Básica

SISU Sistema de Seleção Unificada

TCT Teoria Clássica dos Testes

TIC Tecnologia de Informação e Comunicação

TRI Teoria de Resposta ao Item

UFC Universidade Federal do Ceará

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO .................................................................................. 10

1 CONTEXTO DA PESQUISA: ESCOLHAS E JUSTIFICATIVAS............ 14

1.1 Motivações ............................................................................................. 14

1.2 Relevância do tema ............................................................................... 17

1.3 Objetivo e questões de pesquisa ........................................................ 18

1.4 Procedimentos metodológicos ............................................................ 18

1.4.1 Caracterização da instituição escolhida .................................................. 19

1.4.2 A fonte de dados ..................................................................................... 20

2 REFERENCIAL TEÓRICO ..................................................................... 21

2.1 Teoria tradicional, crítica e pós-crítica ............................................... 21

2.2 Sacristán: âmbitos formais e centralidade da prática ....................... 23

2.3 Goodson ................................................................................................ 25

2.4 Classes, disciplinas, avaliação ............................................................ 28

2.5 O ensino por competências ................................................................. 29

2.6 Robert: níveis de conhecimentos matemáticos esperados .............. 34

3 OS CONHECIMENTOS INSTITUCIONALMENTE ESPERADOS DOS ESTUDANTES EGRESSOS DO ENSINO MÉDIO .................................

39

3.1 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM ..... 39

3.2 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCN+) – Orientações educacionais complementares ......................................

44

3.3 Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – OCEM .................................................................................................................

48

3.4 Enem ...................................................................................................... 55

4 ANÁLISES DAS PROVAS DO ENEM E DA UFC, DO LIVRO DIDÁTICO E DOS PLANOS DE CURSO DO C7S.................................

61

4.1 Análise das provas do Enem de 2009 a 2013 ..................................... 61

4.2 Análise das provas da UFC de 2005 a 2010 ........................................ 68

4.3 Análise das provas do C7S de 2005 a 2013 ........................................ 77

4.4 Análise do livro didático ....................................................................... 79

4.5 Análise dos planos de curso e da carga horária por tema de 2005 a 2013 .....................................................................................................

83

4.5.1 Análise dos planos de curso de 2005 a 2013 ......................................... 83

4.5.2 Análise da distribuição da carga horária por tema .................................. 92

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................... 96

REFERÊNCIAS ...................................................................................... 102

ANEXO 1 ................................................................................................ 104

ANEXO 2 ................................................................................................ 107

10

APRESENTAÇÃO

O presente trabalho foi desenvolvido no âmbito da linha de pesquisa

“Formação de Professores que Ensinam Matemática”, do Programa de Pós-

Graduação em Educação Matemática, da Universidade Anhanguera de São Paulo.

Sua finalidade foi investigar a influência do vestibular da Universidade Federal do

Ceará (UFC) e do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) no currículo de

geometria espacial do Ensino Médio no Colégio 7 de Setembro, localizado na cidade

de Fortaleza, Ceará.

Trata-se, portanto, de um trabalho que envolve diferentes dimensões do

currículo: prescrito, apresentado e avaliado. A elaboração do currículo requer

escolhas que são influenciadas pelos contextos de tempo e espaço em que são

produzidas. Segundo Sacristán (2000, p. 26), “o currículo já é por si o resultado de

decisões que obedecem a fatores determinantes diversos: culturais, econômicos,

políticos e pedagógicos.”

Nessa perspectiva de currículo, buscamos identificar, pelas análises de

planos de cursos, de provas de vestibulares e do Enem, dos Parâmetros

Curriculares Nacionais e das Orientações Curriculares para o Ensino Médio,

influências e alterações no currículo de Matemática de uma escola.

A opção pelo Colégio 7 de Setembro decorre, sobretudo, do fato de ser

uma escola representativa de um grande grupo de escolas da região; uma escola

particular, cujo objetivo precípuo é o ingresso de seus alunos em universidades

públicas, principalmente na UFC. Além disso, o pesquisador atua nessa escola como

professor e coordenador.

Fundamentando-nos nas orientações sobre o ensino da geometria

espacial dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (2000) –

PCNEM, dos PCN+ (2002) e das Orientações Curriculares para o Ensino Médio

(2006) – OCEM, analisamos os currículos de Matemática do C7S, no período de

2005 a 2013, para identificar quais concepções de ensino e de aprendizagem estão

subjacentes ao plano de curso e quais noções concernentes à geometria estão

contempladas no currículo prescrito. Paralelamente a esse trabalho, realizamos uma

análise do livro didático adotado pela escola no referido período.

11

Nas análises das provas dos vestibulares da Universidade Federal do

Ceará (UFC) e do Enem, buscamos verificar a incidência de questões de geometria

espacial, bem como classificar essas questões quanto às habilidades e

competências exigidas segundo a Matriz de Referência do Enem e dos níveis de

conhecimento esperado de Robert (1998). Para fundamentar essa análise

documental, utilizamos como referenciais teóricos os conceitos de currículo

desenvolvidos por Sacristán (2000) e Goodson (2008), além do conceito de

competência elaborado por Perrenoud (2013).

Da década de 1990 até hoje, o MEC promoveu várias reformas no Ensino

Médio. A primeira delas, nesse período, veio com a publicação da Lei de Diretrizes e

Bases, LDB (1996), que objetivava criar um Ensino Médio menos acadêmico e

enciclopédico e mais próximo da realidade dos alunos, preparando-os tanto para o

mercado de trabalho quanto para o ingresso no ensino superior. Em seguida, vieram

os PCNEM (2000) com propostas para uma base curricular nacional e de

organização do Ensino Médio. As publicações que se sucederam ao PCNEM (2000)

foram os PCN+ (2002) e as Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino

Médio, OCEM (2006), cujos objetivos eram a reformulação e a complementação dos

PCNEM.

Como parte dessa reforma, em 1998, foi implementado o Exame Nacional

do Ensino Médio (Enem), um exame anual de caráter voluntário, que tinha por

finalidade avaliar o Ensino Médio brasileiro. Em 2009, o Enem sofreu uma

reformulação que despertou grande interesse por parte dos educadores. Além de

avaliar os egressos do Ensino Médio, ele passou a ser o processo seletivo para o

ingresso em várias universidades federais, substituindo o vestibular tradicional.

Entre as várias mudanças ocorridas no processo seletivo das

universidades brasileiras, a adoção do Enem em substituição ao vestibular foi de

grande repercussão, causando, nos professores e alunos, insegurança e dúvida,

apesar do interesse. As perguntas mais comuns eram:

O que devo ensinar? Continuo ensinando números complexos? E

matrizes e determinantes?

Devo elaborar uma questão utilizando a habilidade ou o conteúdo?

Como avaliar por meio de habilidades e competências?

12

O Enem é a melhor forma de seleção para ingresso às universidades?

Qual é a concepção de ensino subjacente ao Enem?

Esses questionamentos despertaram nosso interesse por uma

investigação sobre a influência dos vestibulares/Enem no currículo de Matemática do

Ensino Médio.

O caminho sugerido pelo orientador, Professor Dr. Ruy César Pietropaolo,

sobre a abordagem de nosso objeto, foi limitar o campo de pesquisa. Optamos,

dessa forma, por desenvolver uma pesquisa de análise documental dos currículos

de Matemática vigentes no período compreendido entre 2005 e 2013 no Colégio 7

de Setembro. Definimos, assim, o tema de investigação deste trabalho: a influência

dos vestibulares da UFC e do Enem no currículo de geometria espacial do Colégio 7

de Setembro.

Para orientar o desenvolvimento de nossa investigação, cabe-nos tentar

responder as seguintes questões:

Houve mudanças no currículo de geometria espacial do Colégio 7 de

Setembro no período de 2005 a 2013? Quais foram essas mudanças?

O programa de Matemática e as provas dos vestibulares da UFC

influenciaram a elaboração do currículo de geometria espacial do C7S?

Em caso afirmativo, quais foram essas influências?

O programa de Matemática e a prova do Enem influenciaram a

elaboração do currículo de geometria espacial do C7S? Em caso

afirmativo, quais foram essas influências?

Nossa pesquisa está estruturada em quatro capítulos. No primeiro,

referente ao contexto, discutimos as motivações que nos levaram à escolha do tema,

à relevância da pesquisa, aos objetivos e às questões de pesquisa, além dos

procedimentos metodológicos para seu desenvolvimento.

No segundo, apresentamos o referencial teórico composto pelas

contribuições de Sacristán (2000) e Goodson (2008), que discutem concepções

diferentes do currículo; Perrenoud (2013), que nos ajuda a entender os significados

de habilidades e competências para o ensino; Robert (1998), que nos dá suporte

13

teórico para analisar e classificar as questões de vestibulares da UFC e do Enem no

tocante ao nível de conhecimento esperado dos candidatos.

No terceiro capítulo, apresentamos uma análise dos PCNEM (2000),

PCN+ (2002) e OCEM (2006), com o apoio dos teóricos mencionados no parágrafo

anterior. Em seguida, expomos um breve relato sobre o histórico do Enem.

No quarto capítulo, mostramos uma análise de questões de geometria

espacial do Enem e da UFC. Em seguida, discutimos os planos de curso do C7S e o

livro didático adotado no período de 2005 a 2013.

Finalmente, apresentamos as considerações finais, compostas por uma

síntese da investigação realizada, pela organização das respostas às questões de

pesquisa e pelas reflexões decorrentes desse processo investigativo.

14

1 CONTEXTO DA PESQUISA: ESCOLHAS E JUSTIFICATIVAS

Neste capítulo, apresentamos as motivações que nortearam o

desenvolvimento deste estudo, a relevância e as justificativas para a escolha do

tema. Explicitamos, igualmente, nosso objetivo e as questões que buscamos

responder ao longo deste estudo. Finalmente, expomos uma breve síntese dos

princípios metodológicos empregados, que serão detalhados nos capítulos

posteriores.

1.1 Motivações

Apresentamos, a seguir, uma breve trajetória de nossa vida profissional

por entendermos que esta constitui um elemento necessário para justificar nossas

escolhas teóricas.

Ao iniciar o segundo semestre do curso de Engenharia Civil, fui convidado

para ser monitor de Cálculo I. Essa experiência abriu uma porta para um mundo em

que, até então, não havia pensado: o magistério. Durante o curso, conciliei as

atividades da faculdade com aulas particulares de Matemática e Física. Em janeiro

de 1984, colei grau e, em fevereiro, fui aprovado no concurso público do Ministério

da Fazenda. Passei um ano conciliando as aulas particulares, as construções – pois

trabalhava como engenheiro numa construtora – e o serviço público. Em 1985,

ingressei no Colégio 7 de Setembro como professor da 5ª série do 1º grau, hoje 6º

ano do Fundamental II. Lecionei, depois, em todas as séries desse nível e, com o

passar dos anos, a sala de aula foi tomando o lugar dos canteiros de obra e dos

trabalhos burocráticos do serviço público.

Em 1987, o ano que mudou a minha vida, decidi ser professor, deixei a

engenharia e o serviço público. Nas novas funções, como professor, a educação

passou a direcionar a minha vida. Além de coordenador de Matemática, exerci os

cargos de supervisor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio.

Nesse percurso, iniciei um trabalho voluntário cujo objetivo era

desenvolver o potencial de alunos que gostavam de Matemática. Nesse trabalho, eu

desenvolvia temas não contemplados pelo currículo regular e aprofundava outros.

Em decorrência desse projeto, passei a orientar alunos participantes das olimpíadas

15

de matemática – estadual, nacional e internacional. Em 1991, fui o líder da equipe

brasileira na Olimpíada de Matemática do Cone Sul disputada no Chile.

Após o primeiro ano desse trabalho, o C7S decidiu oferecer cursos

gratuitos de Matemática, Química, Física e Biologia para alunos que quisessem

expandir os conhecimentos nessas disciplinas. A influência desses cursos é

comprovada pela expressiva quantidade de alunos, que ao final do Ensino Médio,

optaram pela pesquisa e pela docência. Atualmente, o C7S tem sete professores no

Ensino Médio oriundos dessas turmas.

Nas décadas de 1980 e 1990, como professor e coordenador de

Matemática, participei, todos os anos, da escolha do livro didático e da elaboração

dos planos de cursos das séries em que lecionei. As primeiras participações foram

tímidas, mas, com o passar dos anos, trabalhei ativamente nesse processo.

Para a adoção do livro didático, era feita uma análise das coleções pelos

professores e, posteriormente, essas análises eram discutidas em reunião, que

geralmente contava com a presença do autor da obra. Os pontos examinados eram:

abordagem dos conteúdos, exercícios, sequência dos conteúdos e editoração. Uma

vez adotada uma obra, ela permanecia por no mínimo três anos. A título de

ilustração, para que se tenha uma noção da responsabilidade dessa decisão, no

final dos anos 1990, o C7S tinha 12.000 alunos distribuídos em três sedes.

Sobre o processo de escolha dos conteúdos de Matemática para as

diversas séries, percebi que a cultura da tradição era mantida. Como exemplo,

posso citar que a trigonometria era ensinada sempre no 1º ano do Ensino Médio, a

geometria espacial no 2º ano e a geometria analítica no 3º ano. Essa cultura era tão

forte que influenciava a escolha do livro didático. Percebi que os estudos dos

PCNEM, feitos pelos professores, organizados pela escola, influenciaram na

mudança dessa cultura, mas não a eliminaram.

A escola investiu na formação dos professores, promovendo um estudo

sobre os Parâmetros Curriculares, as Orientações Curriculares e os eixos

metodológicos do Enem. Vários finais de semana foram dedicados a esse propósito

por toda a equipe de professores do Ensino Médio. A escola remunerou todos os

professores que participaram desse estudo.

16

Termos como competência, habilidade, contextualização,

interdisciplinaridade estavam presentes nas calorosas discussões dos professores.

Aos poucos, alguns professores foram internalizando esses conceitos e procurando

colocá-los em prática na sala de aula, outros permaneceram com suas concepções

de preparar o aluno apenas para o ingresso no Ensino Superior.

Preparar o aluno para a vida continuava a ser um desafio para nós

professores. A própria expressão “preparar para a vida” não constitui, em si mesma,

uma categoria isenta de idiossincrasia, pois, em última instância, implica escolhas.

Afinal, um professor pode julgar que determinado conteúdo tem aplicação prática, e

outro professor pode pensar que não. Além disso, preparar para a vida significa

necessariamente ensinar conteúdos que notadamente têm aplicação prática? De

fato, cada um de nós tem suas concepções e crenças (por que não dizer “pré-

julgamentos”?) a partir de nossas experiências e da ideia de sociedade construída –

o que nos leva sempre ao papel do professor como agente operador do currículo e

de sua constante transformação. Sobre isso, Perrenoud (2013) afirma que o

currículo real não corresponde nunca à pura e simples colocação em prática do

currículo prescrito.

Os professores interpretam os programas e fazem escolhas em função do nível dos alunos, das suas opções pedagógicas, das suas preferências culturais e de muitos outros parâmetros. [...] É importante salientar, neste contexto, que essa autonomia permite que alguns professores “forcem a barra” no intuito de preparar para a vida apesar do programa não ter sido concebido com esse espírito, buscando sistematicamente, por exemplo, conectar os saberes às práticas sociais e às situações da vida em que eles possam ser úteis, ou ainda, de forma mais direta, dando mais tempo e importância aos saberes que preparam para a vida. Essa mesma autonomia permite que outros professores deem pouca importância aos aspectos do programa que pretendem preparar para a vida, dando ênfase à preparação para a continuação dos estudos. [...] em determinadas turmas e em algumas disciplinas, os professores vão além das exigências e do direito de preparar para a vida. Inversamente, há professores que não levam realmente a sério esse componente da sua missão (PERRENOUD, 2013, p. 118).

Por meio dessa breve síntese de minha trajetória profissional, é possível

observar que me deparei com a tradição impregnada nas escolhas curriculares dos

professores, o currículo apresentado pelo livro didático, o currículo avaliado por meio

de competências, as inovações dos recentes currículos prescritos – as diversas

dimensões do currículo, portanto.

17

1.2 Relevância do tema

Considerando as inúmeras discussões sobre currículo, é possível dizer

que há o seguinte fato recorrente: a necessidade de mudanças mediante os

processos de globalização, os problemas sociais, o compromisso com uma

educação de qualidade, a busca por uma melhor qualidade de vida, que possibilite

aos alunos condições de inserção na sociedade e no trabalho.

Partindo dessa premissa, parece-nos desafiadora a tarefa de elaborar um

currículo comum, que promova a inserção na sociedade e no trabalho e gere uma

melhor qualidade vida, dado que o público-alvo desse currículo não está incluído no

mesmo contexto social e suas necessidades socioeconômicas, culturais e políticas

são diferentes. A comprovação de que essa tarefa é difícil está no fato de que,

desde 1996, com a LDB, as políticas públicas tentam a reforma do currículo da

escola e da ação pedagógica do professor, e, 18 anos depois, apesar dos avanços,

deparamo-nos com problemas crônicos, como a formação do professor e a questão

do currículo. Diante desse cenário de implantação da reforma curricular, as

avaliações surgem como instrumentos para “forçar” essa mudança da escola e dos

professores.

A esse respeito, por exemplo, Pietropaolo (2005) afirma que o tema

“Matemática na estrutura curricular” deve ser discutido pela comunidade dos

educadores matemáticos e integrado aos processos de formação de professores. No

entanto, essas discussões nem sempre são feitas de forma articulada. Para esse

mesmo pesquisador, esse fato, em:

[...] certo sentido, ajuda a explicar, por um lado, a dificuldade na implementação de propostas curriculares, devido à formação e experiências diversas dos professores que vão colocá-las em prática e, por outro, a dificuldade em desenvolver projetos mais consistentes de formação de professores quando não há clareza do tipo de profissional necessário para atender às novas demandas que se colocam (p. 18).

Portanto, as análises de currículos prescritos, apresentados,

desenvolvidos e avaliados devem ser consideradas pelos pesquisadores e

professores e para os pesquisadores e os professores.

18

1.3 Objetivo e questões de pesquisa

O objetivo desta pesquisa é investigar as influências do Vestibular da UFC

e do Enem no currículo de Matemática do Ensino Médio do Colégio 7 de Setembro,

no tocante ao tema geometria espacial. Para tanto, propusemo-nos a descrever e a

analisar quais as mudanças introduzidas no currículo do Colégio 7 de Setembro, no

que respeita a esse conteúdo, após a implantação do novo Enem e sua adoção

como processo seletivo pela Universidade Federal do Ceará.

Para atingir esse objetivo, formulamos as seguintes questões de

pesquisa:

Quais foram as mudanças no currículo de geometria espacial do

Colégio 7 de Setembro no período de 2005 a 2013?

O programa de Matemática e as provas dos vestibulares da UFC

influenciaram a elaboração do currículo de geometria espacial do C7S?

Em caso afirmativo, quais foram essas influências?

O programa de Matemática e a prova do Enem influenciaram a

elaboração do currículo de geometria espacial do C7S? Em caso

afirmativo, quais foram essas influências?

1.4 Procedimentos metodológicos

Para realizar esta pesquisa, analisamos as questões de geometria

espacial das provas do Enem de 2009 a 2013 e do vestibular da UFC de 2005 a

2010 (em 2011, a UFC substituiu o vestibular pelo Enem), de modo a verificar a

incidência desse assunto nas provas e classificar as questões, segundo a Matriz de

Referência do ENEM (2009), e os Níveis de Conhecimento Esperado, na perspectiva

de Robert (1998).

Em seguida, examinamos os planos de cursos do Colégio 7 de Setembro

de 2005 a 2013, com foco em geometria espacial, a fim de entender sua

organização naquele contexto. Verificamos também os livros didáticos adotados pela

escola nesse período.

19

Na análise dos documentos oficiais, PCNEM (2000), PCN+ (2002) e

OCEM (2006), buscamos entender as orientações curriculares sugeridas para o

ensino da geometria espacial com a intenção de constatar se os planos de curso do

C7S seguiam essas orientações e, por outro lado, se as questões do Enem e dos

vestibulares da UFC avaliavam as habilidades contempladas nessas mesmas

orientações.

Dentre os documentos usados nessa pesquisa, alguns foram retirados do

site do MEC (documentos oficiais e provas do ENEM) e do site da UFC (editais e

provas dos vestibulares); outros foram cedidos pelo Colégio 7 de Setembro.

Utilizamos também nesta pesquisa o livro didático de Matemática adotado pelo C7S

no período de 2005 a 2013.

1.4.1 Caracterização da instituição escolhida

Para justificar a escolha da escola, recorremos às considerações dos

PCN+ no que diz respeito às mudanças decorrentes de processos sociais e

culturais, que exigem uma mudança na formação dos jovens. A perspectiva destes é

obter qualificação mais ampla para a vida e para o trabalho já ao longo de sua

escolarização básica, e imediatamente depois.

Quem vive o cotidiano escolar percebe que velhos paradigmas

educacionais, com seus currículos estritamente disciplinares, se revelam cada vez

menos adequados e com reflexos no aprendizado. Isso exigiu uma revisão, visto que

nossa escola se caracterizava, sobretudo, como preparatória para a educação

superior. Segundo os PCN+,

[...] adequar a escola a seu público atual é torná-la capaz de promover a realização pessoal, a qualificação para um trabalho digno, para a participação social e política, enfim, para uma cidadania plena da totalidade de seus alunos e alunas. Isso indica a necessidade de revisão do projeto pedagógico de muitas escolas que não se renovam há décadas, criadas em outras circunstâncias, para um outro público e para um mundo diferente deste dos nossos dias (BRASIL, 2002, p. 10).

Em 2005, ao completar 70 anos, o C7S resolve reescrever seu Projeto

Político-Pedagógico. Durante dois anos, os educadores da escola, num trabalho

notadamente coletivo, reescrevem o PPP da escola, sendo fruto desse trabalho a

20

obra Pedagogia do testemunho. Nesse documento, a escola declara que a sua

Missão é:

Educar de forma crítica e criativa, buscando promover a dialogicidade e formar pessoas emancipadas e capazes de realizar-se, construtores de uma sociedade justa, em que os princípios cristãos norteiem as interações da cultura, da política, da economia, da ciência e da tecnologia (CARNEIRO, 2009, p. 7).

Além de reescrever seu PPP, a escola promove palestras, debates e

seminários sobre os mais diversos temas para alunos, professores e pais. Na

questão curricular, o C7S disponibiliza um currículo extra para alunos que desejam

desenvolver seu potencial em todas as disciplinas e para aqueles que querem

ingressar no Instituto Tecnológico da Aeronáutica (ITA). Em 2013, dos 170 alunos

aprovados no ITA, 18 estudavam no C7S.

1.4.2 A fonte de dados

Esta pesquisa é documental e bibliográfica, tendo como fonte de dados

documentos impressos. Reiteramos que os documentos analisados foram: currículos

oficiais de Matemática para o Ensino Médio (PCNs, Orientações Curriculares; novas

diretrizes do MEC de 2011); matrizes de referência; livro didático; programas e

planos de ensino da escola; provas do ENEM e da UFC.

21

2 REFERENCIAL TEÓRICO

Embora a constituição do currículo como campo específico de

conhecimento seja relativamente recente, a vasta literatura a esse respeito nos

impõe, necessariamente, uma redução de sua análise àqueles balizamentos críticos

que tenham relação direta com nossos objetivos. Trata-se, portanto, de examinar as

variantes teóricas que nos permitam entender as possíveis transformações sofridas

no currículo de geometria espacial do C7S no período de 2005 a 2010, em razão do

vestibular da UFC, e de 2011 a 2013, em virtude da adoção do Enem como

processo central de admissão na UFC.

Portanto, desde já, afirmamos que não se pretende apresentar um

capítulo sinóptico, uma vez que concordamos com Lopes (2011, p. 20) quando

sustenta que há um constante “movimento de criação de novos sentidos para o

termo currículo, sempre remetendo a sentidos prévios para de alguma forma negá-

los ou reconfigurá-los.” Por isso, para os objetivos deste trabalho, revisitaremos

apenas alguns pensadores, tratando de estabelecer sua relevância para nosso

objeto de estudo.

Desta feita, iniciamos por meio de uma análise geral e sumaríssima das

principais linhas teóricas sobre o currículo no século XX.

2.1 Teoria tradicional, crítica e pós-crítica

De acordo com Kliebard (1980), citado por Franco (2014), a teoria

curricular de John Bobbit, baseada fortemente na concepção de administração

científica de Taylor, faz da criança um objeto na máquina funcional da escola.

Conforme observa Franco (2014), os objetivos do currículo eram:

[...] educar o indivíduo segundo as suas potencialidades; desenvolver o conteúdo do currículo de modo suficientemente variado com o fim de satisfazer as necessidades de todos os tipos de indivíduos na comunidade; favorecer um ritmo de treinamento e de estudo que seja suficientemente flexível; dar ao indivíduo somente aquilo de que ele necessita; estabelecer padrões de qualidade e quantidade definitivos para o produto; desenvolver objetivos educacionais precisos e que incluam o domínio ilimitado da capacidade humana através do conhecimento de hábitos, habilidades, capacidades, formas de pensamento, valores, ambições etc., enfim, conhecer o que seus membros necessitam para o desempenho de suas atividades; oferecer “experiências diretas” quando essas múltiplas necessidades não fossem atendidas por “experiências indiretas” (p. 386).

22

A concepção tradicional e mecanizada de currículo, por sua própria

natureza, não podia, mediante a padronização dos procedimentos e,

consequentemente, dos alunos, deixar de delegar ao currículo uma função de

dominação e poder. Nada mais natural que sua crítica surja permeada pelo

pensamento neomarxista, cuja chave de entendimento se expressa na seguinte

declaração de Apple, que mais se destaca entre os pensadores alinhados a esse

ponto de vista no âmbito da educação:

Enquanto não levarmos a sério a intensidade do envolvimento da educação com o mundo real das alternativas e desiguais relações de poder, estaremos vivendo em um mundo divorciado da realidade. As teorias, diretrizes e práticas envolvidas na educação não são técnicas. São intrinsecamente éticas e políticas, e em última análise envolvem – uma vez que assim se reconheça – escolhas profundamente pessoais em relação ao que Marcus Raskin denomina “o bem comum” (APPLE, 2008, p. 2).

Essas escolhas, claro, não podem ser isentas de ideologia, o que leva

Apple a prosseguir:

As escolas estão organizadas não apenas para ensinar o conhecimento referente a que, como e para que, exigido pela nossa sociedade, mas estão organizadas também de uma forma tal que elas, afinal de contas, auxiliam na produção do conhecimento técnico/administrativo necessário, entre outras coisas, para expandir mercados, controlar a produção, o trabalho e as pessoas, produzir pesquisa básica e aplicada exigida pela indústria e criar necessidades artificiais generalizadas entre a população (APPLE, 2008, p. 26).

Essa crítica ao modelo tradicional pretendia levar à escola questões

raciais, étnicas, religiosas, culturais e, em última análise, políticas. A intenção é

clara: o currículo deve ser um instrumento de questionamento e de ruptura das

relações desiguais, e não seu multiplicador. A esse respeito, Franco cita Silva,

observando que:

[...] as teorias críticas e as teorias pós-críticas argumentam que nenhuma teoria é neutra, científica ou desinteressada, mas que está, inevitavelmente implicada em relações de poder. Não se limita a questionar “que conhecimentos”, mas por que esse conhecimento e não outro? Quais interesses fazem com que esse conhecimento e não outro esteja no currículo? Por que privilegiar um determinado tipo de identidade ou subjetividade e não outro? (SILVA, 1999 apud FRANCO, 2014, p. 388).

No entanto, esse incessante e importante questionamento, conquanto

contribua para o enriquecimento da discussão acerca das práticas pedagógicas, de

23

fato não consegue impor-se à prática docente, pois o sistema dialético em que se

insere e sobre o qual se ergue pouco gera em termos de sugestões para uma

docência crítica. Seus princípios teóricos, na verdade, geram impasses que, cada

vez mais complexos e abstratos, se distanciam da sala de aula.

Considerando o impasse das teorias críticas e pós-críticas como dado de

realidade incontornável, é preciso, agora, que nos voltemos a dois pensadores,

Sacristán e Goodson, que, para além das discussões e dicotomias apresentadas,

nos permitam iniciar um caminho teórico que nos conduza a uma aproximação com

nosso propósito, que é investigar se as mudanças no currículo de geometria espacial

do C7S foram influenciadas pelo Enem e pelo vestibular da UFC no período de 2005

a 2013.

2.2 Sacristán: âmbitos formais e centralidade da prática

De acordo com a definição de Sacristán (2000, p. 34), currículo constitui

um “projeto seletivo de cultura, cultural, social, política e administrativamente

condicionado, que preenche a atividade escolar e que se torna realidade dentro das

condições da escola tal como se acha configurada.”

Essa definição denota, por “preencher a atividade escolar”, uma contínua

interação entre concepções e, sobretudo, práticas – um conjunto que, por sua

própria natureza, nunca será estático e, por conseguinte, jamais estará de fato

pronto. Sacristán (2000) aduz o assunto segundo o princípio do entendimento formal

de currículo quando, na vasta literatura sobre o tema, destaca alguns pontos

recorrentes:

Organizando as diversas definições, acepções e perspectivas, o currículo pode ser analisado a partir de cinco âmbitos formalmente diferenciados:

- O ponto de vista sobre sua função social como ponte entre a sociedade e a escola.

- Projeto ou plano educativo, pretenso ou real, composto de diferentes aspectos, experiências, conteúdos etc.

- Fala-se do currículo como expressão formal e material desse projeto que deve apresentar, sob determinado formato, seus conteúdos, suas orientações e suas sequências para abordá-lo etc.

- Referem-se ao currículo os que o entendem como um campo prático. Entendê-lo assim supõe a possibilidade de: 1) analisar os processos instrutivos e a realidade da prática a partir de uma perspectiva que lhes dota de conteúdo; 2) estudá-lo como território de intersecção de práticas diversas que não se referem apenas aos processos de tipo pedagógico, interações e

24

comunicações educativas; 3) sustentar o discurso sobre a interação entre a teoria e a prática em educação.

- Referem-se a ele os que exercem um tipo de atividade discursiva acadêmica e pesquisadora sobre todos estes temas (SACRISTÁN, 2000, p. 14).

Nota-se que esse sumário, embora breve, reforça aspectos

intrinsecamente prescritivos do currículo, bem como seu caráter de prática. Da

tensão entre essas duas características resulta um paradoxo: ao mesmo tempo em

que prescreve, o currículo prevê suas contradições, ou seja, ele conduz a prática,

mas ela resulta em alguma medida autônoma – capaz, portanto, de reconduzi-lo a

um impasse e a uma nova formulação, tão prescritiva quanto a anterior e igualmente

fadada a esgotar-se em suas tensões, realimentando o processo. Ou seja, a prática

pedagógica e o currículo, ambas práxis, ganham o estatuto de processo.

Assim, Sacristán (2000, p. 48-49), consoante Grundy (1987, p. 114 e ss.),

assevera ainda que o currículo:

a) Deve ser uma prática sustentada pela reflexão enquanto práxis, mais do

que ser entendida como um plano que é preciso cumprir, pois se constrói através de uma interação entre o refletir e o atuar, dentro de um processo circular que compreende o planejamento, a ação e a avaliação, tudo integrado por uma espiral de pesquisa-ação.

b) Uma vez que a práxis tem lugar num mundo real e não em outro, hipotético, o processo de construção do currículo não deveria se separar do processo de realização nas condições concretas dentro das quais se desenvolve.

c) A práxis opera num mundo de interações, que é o mundo social e cultural, significando, com isso, que não pode se referir de forma exclusiva a problemas de aprendizagem, já que se trata de um ato social, o que leva a ver o ambiente de aprendizagem como algo social, entendendo a interação entre o ensino e a aprendizagem dentro de determinadas condições.

d) O mundo das práxis é um mundo construído, não natural. Assim, o conteúdo do currículo é uma construção social. Através da aprendizagem do currículo, os alunos se convertem em ativos participantes da elaboração de seu próprio saber, o que deve obrigá-los a refletir sobre o conhecimento, incluindo o do professor.

e) Do princípio anterior se deduz que a práxis assume o processo de criação de significado como construção social, não carente de conflitos, pois se descobre que esse significado acaba sendo imposto pelo que tem mais poder para controlar o currículo.

A partir desses princípios, Sacristán (2000) reafirma a centralidade da

prática e de professores e alunos como seus protagonistas, pois “não se trata de

situações fechadas, mas moldáveis, em alguma medida, através do diálogo dos

autores com as condições da situação que se lhes apresenta” (p. 49).

25

2.3 Goodson

A conhecida definição de currículo de Goodson (2008, p. 31) parte da

etimologia do termo para a formulação do conceito:

A palavra currículo vem da palavra latina Scurrere, correr, e refere-se a curso (ou carro de corrida). As implicações etimológicas são que, com isso, o currículo é definido como um curso a ser seguido, ou, mais especificamente, apresentado.

De fato, essa breve definição já revela os aspectos prescritivo e

sequencial do currículo – os quais, segundo o autor, não podem ser ignorados na

análise, pois, com o tempo, apenas se solidificaram.

Também segundo esse autor, por isso mesmo não se pode ignorar, ainda,

que a formulação de um currículo não parte do zero, mas de uma formulação

anterior sobre a qual opera suas mudanças. Com efeito, uma análise de qualquer

currículo em si mesmo é ineficaz, pois ele é a consequência, ainda que não imediata

ou inevitável, de outro conjunto de prescrições que o precedeu. Nesse sentido, a

análise de Goodson se revela pragmática e aponta o caráter histórico da formação

dos currículos. Por outro lado, quando executado, o currículo sofre alterações

oriundas da prática. Esses momentos são sintetizados por Goodson em duas fases,

a pré-ativa (prescritiva) e a interativa (ação), que correspondem, respectivamente, ao

momento de sua elaboração e àquilo que na prática acontece.

Essa divisão recupera, em forte medida, a diferenciação de Young entre o

“currículo como fato” e o “currículo como prática”. Sobre o primeiro, diz Young:

O “currículo como fato” precisa ser considerado não como mera ilusão, camada superficial da prática escolar de alunos e professores, mas como uma realidade social, historicamente específica, expressando relações de produção particulares entre pessoas. Semelhante currículo é uma mistificação quando se apresenta como algo que possui vida própria e confunde as relações humanas nas quais, como qualquer conceito de conhecimento, está embutido, fazendo da educação uma coisa que as pessoas não podem compreender nem controlar (YOUNG, 1977 apud GOODSON, 2008, p. 18).

Contudo, o “currículo como prática” também pode levar a mistificações,

pois:

[...] reduz a realidade social de “curriculum” às intervenções e ações subjetivas de docentes e discentes, impedindo-nos de entender o surgimento e a persistência histórica de determinados conceitos,

26

conhecimentos e convenções (como, por exemplo, as matérias escolares). Ao sermos impedidos de poder situar historicamente os problemas da educação contemporânea, ficamos também impedidos de entendê-los e controlá-los (YOUNG, 1977 apud GOODSON, 2008, p. 18).

Sobre essa dicotomia, Goodson (2008) conclui que qualquer conceito de

currículo tem de contemplar seu aspecto “ativo” como elemento fundamental e ainda

em construção, acrescentando que a crença no poder de transformação do mundo

por meio do currículo na prática é, de fato, insustentável.

Outro ponto essencial abordado por Goodson é a chamada “invenção da

tradição”, conceito recuperado de Hobsbawn, dentro do qual se situa a elaboração

do currículo:

Tradição inventada significa um conjunto de práticas e ritos: práticas normalmente regidas por normas expressas ou facilmente aceitas; ritos – ou natureza simbólica – que procuram fazer circular certos valores e normas de comportamento mediante repetição, que automaticamente implica continuidade com o passado. De fato, onde é possível, o que tais práticas e ritos buscam é estabelecer continuidade com um passado histórico apropriado (HOBSBAWN, 1985, p. 1 apud GOODSON, 2008, p. 27).

Logo, concluímos que a elaboração do currículo como tradição inventada

não denota o sentido de terminada, pronta, mas o de invenção constante, ainda que

essa recriação não se dê sem conflitos e obedeça, evidentemente, a fatores

externos à educação. Na verdade, essa “invenção” é contínua e pressupõe a ação

do meio social, com suas expectativas acerca da formação do indivíduo (e,

consequentemente, do papel da escola como lugar privilegiado desse processo), e

dos professores, como formuladores e operadores daquilo que é prescrito. Trata-se,

portanto, do passado que avança sobre o presente em forma de práxis ou de

símbolo. Ou seja, que conteúdos pretéritos são aceitos e recepcionados pelo

currículo e devem continuar a ser ensinados.

Não se pode ignorar, por isso, que boa parte dessa tradição no ensino

corresponde não a conteúdos e procedimentos que, de fato, se revelaram úteis para,

por exemplo, a vida social do estudante, ou para o prosseguimento de seus estudos,

mas a conteúdos que somente prosseguem sendo ensinados em razão da exigência

do currículo prescrito pelos colégios ou por mera identificação dos professores com

eles.

27

E aqui caberia uma breve análise da natureza dessa identificação. De

fato, isso nos leva à formação do professor e, claro, à universidade. No caso

específico do Brasil, as licenciaturas surgem nos anos 1930, com a adoção da

fórmula 3+1, na qual se acrescentava ao bacharelado um ano a mais de estudo das

disciplinas voltadas à educação. Esse modelo permanece até os anos 1960 e marca

uma distinção entre o saber científico e o pedagógico. Isso conduz a um modelo

centrado na racionalidade técnica, o que leva ao conceito de bom professor como

aquele capaz de transmitir o conhecimento técnico. Nas décadas seguintes, esse

conceito muda, e o entendimento da docência será de um fazer técnico (anos 1970),

agente de mudança social (1980), espaço de problematização e significação (anos

1990) e espaço de pesquisa, reflexão e construção do conhecimento (2000).

O panorama hoje ainda reflete contradições e insuficiências, como atesta

Gatti (2010):

No que concerne à formação de professores, é necessária uma verdadeira revolução nas estruturas institucionais formativas e nos currículos de formação. As emendas já são muitas. A fragmentação formativa é clara. É preciso integrar essa formação em currículos articulados e voltados a esse objetivo precípuo. A formação de professores não pode ser pensada a partir das ciências e seus diversos campos disciplinares, como adendo destas áreas, mas a partir da função social própria à escolarização – ensinar às novas gerações o conhecimento acumulado e consolidar valores e práticas coerentes com nossa vida civil. A forte tradição disciplinar que marca entre nós a identidade docente e orienta os futuros professores em sua formação a se afinarem mais com as demandas provenientes da sua área específica de conhecimento do que com as demandas gerais da escola básica, leva não só as entidades profissionais como até as científicas a oporem resistências às soluções de caráter interdisciplinar para o currículo (GATTI, 2010, p. 1375).

Vale ressaltar, no texto supra, a passagem que se refere ao fato de os

docentes se identificarem mais com as “demandas provenientes de sua área de

conhecimento do que com as demandas gerais da escola básica” e sua resistência a

soluções interdisciplinares. Trata-se de um professor cuja visão de mundo não

abarca propriamente a educação, mas apenas uma área do conhecimento entendida

como deslocada e autossuficiente.

Retomando, com alguma ousadia, o conceito de “tradição inventada”,

podemos mesmo entender, em nossa pesquisa, essa resistência como uma

resistência natural à mudança não apenas da prática, pois a interdisciplinaridade e a

ideia subjacente do fim dos limites entre as disciplinas exigiriam um questionamento,

28

por parte do professor, não somente de sua prática, mas de sua formação. Ora,

formado de maneira fragmentada, é na fragmentação que ele encontra sua zona de

conforto, e é por meio da compartimentação do conhecimento que ele espera poder

atuar.

Percebe-se, portanto, que os vícios e as insuficiências dos cursos de

licenciatura se refletem na educação básica por intermédio da prática docente. No

entanto, não é, claro, o professor o responsável imediato pela divisão do conteúdo

em disciplinas, embora, como dissemos, em virtude de sua formação, sinta-se à

vontade com esse formato. Para entendermos o momento em que as disciplinas se

instalam na Educação Básica, será preciso voltarmos a Goodson (2008), em sua

análise da história dos currículos.

2.4 Classes, disciplinas, avaliação

De modo sucinto, podemos afirmar que Goodson (2008) localiza nos

séculos XVI e XVII o advento do conceito de classe, citando Hamilton (1980):

O conceito de classe ganhou proeminência com o surgimento dos programas sequenciais de estudo que, por seu turno, refletiam diversos sentimentos de mobilidade ascendente da Renascença e da Reforma. Nos países calvinistas (como a Escócia), essas ideias encontraram sua expressão, teoricamente, na doutrina da predestinação (crença de que apenas uma minoria predestinada podia obter a salvação) e, educacionalmente, no emergir de sistemas de educação – nacionais; mas bipartidos – onde os “eleitos” (isto é, predominantemente os que podiam pagar) eram agraciados com a perspectiva da escolarização avançada, ao passo que os demais (predominantemente os pobres da área rural) eram enquadrados num currículo mais conservador (com apreço pelo conhecimento religioso e pelas virtudes seculares) (HAMILTON, 1980 apud GOODSON, 2008, p. 32).

O processo segue com a família, já no século XVII, nos estágios iniciais

da Revolução Industrial, delegando à escola e, por conseguinte, ao Estado a

educação de seus filhos, visto que eles deveriam ser preparados para profissões

com crescente grau de especificidade. E a educação em larga escala gera a ideia

não apenas de classe, mas agora a de sala de aula, destinada a facilitar a

supervisão mais eficiente de grupos de alunos.

Na Inglaterra, o advento dos currículos escolares, em sua inclinação mais

próxima da acepção moderna, surge da intersecção final entre a pedagogia e o

currículo no contexto da Segunda Revolução Industrial, no século XIX, quando são

29

estabelecidas, na Inglaterra, as juntas examinadoras universitárias. A solução

apresentada pelas universidades à solicitação de ajuda por parte das escolas

destinadas à classe média foi o estabelecimento desses exames.

Ora, os exames feitos pelas universidades não poderiam deixar de

reproduzir a divisão de conhecimento tal como nelas era estabelecida. E o que

emerge é a compartimentalização da Educação Básica em disciplinas, que

espelham as áreas de conhecimento acadêmico. No século XX, portanto:

[...] a retórica da produção em série do “sistema de sala de aula” (por exemplo: aulas, matérias, horários, notas, padronização, fluxogramas) tornou-se tão difundida que alcançou com êxito um status normativo – criando padrões com os quais todas as inovações educacionais subjacentes passaram a ser avaliadas (GOODSON, 2008, p. 35).

Estava fixado o tipo de escolarização estatal baseada no tripé pedagogia,

currículo e avaliação, que dominou o século XX, e ainda domina, e que está na base

da formulação da teoria tradicional de currículo – com a consequente (e crescente)

compartimentalização do conhecimento – e de sua posterior crítica, conforme

apontamos no início do capítulo. E nessa conjuntura, no Brasil, a partir dos anos 90,

foi proposta a reforma do ensino.

2.5 O ensino por competências

A ideia de competências em documentos oficiais remonta à reforma do

ensino, com a LDB em seu artigo 9º, inciso IV, no qual se declara que a União deve:

estabelecer, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, competências e diretrizes para a educação infantil, o ensino fundamental e o ensino médio, que nortearão os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum (BRASIL. Lei 9.394, 1996, art. 9º, inciso IV).

De acordo com o artigo 35 desse mesmo documento, o Ensino Médio é a

etapa final da Educação Básica, cujo propósito, conforme os autores dos PCNEM, é

privilegiar a formação geral, mais do que a específica (BRASIL, 2000a, p. 5), com

prioridade para o desenvolvimento de princípios éticos e autonomia intelectual do

aluno (BRASIL, 2000a, p. 13).

E daí parte a articulação do currículo em torno de eixos relacionados a

habilidades e competências. Contudo, até aqui, faltam ainda referenciais teóricos

30

que embasem os conceitos de habilidades e competências. E é em busca deles que

temos de seguir. Nosso guia, nesse levantamento dos referenciais teóricos que

serviram de base, direta ou indiretamente, para a formulação dos documentos

oficiais a partir dos quais será idealizado o Enem, acompanha a sequência referida

por Ricardo (2005).

Segundo Ricardo (2005), a ideia do ensino a partir de competências surge

na segunda metade do século XX. Alguns autores situam sua gênese na Europa das

décadas de 1960 e 1970, outros, na de 1980, e, especialmente na América Latina, a

partir dos anos 1990 (lembrando-se que a LBD é de 1996), no contexto do

Consenso de Washington, que ratificou a necessidade de aliar a formação escolar à

ideia de empregabilidade. A primeira idealização de competência se dá, portanto, no

âmbito da qualificação profissional. Em última análise, a validade e o sucesso do

processo de formação por competências se dariam no mercado de trabalho, nas

empresas.

Contudo, essa concepção da subordinação da formação ao mercado, de

caráter claramente reducionista, será revista, principalmente no âmbito da

sociologia, e formulada de modo diverso: as competências passam a apontar para

uma formação mais ampla e complexa – que não lhes retirará a pecha de

“behavioristas”. No entanto, sua institucionalização em diversos países (e por

diversos agentes, como o Estado e o mercado) leva a uma constante reelaboração

teórica, embora permaneça o impasse de as competências quase sempre serem

identificadas como determinadas tarefas explícitas nas quais se materializam. De

fato, em inúmeros documentos, elas surgem indicadas por verbos de ação – o que

as faz serem confundidas menos com o “saber” e mais com o “saber fazer”.

No âmbito da formação técnico-profissional e do trabalho, com efeito, seu

caráter operacional é claro. A questão, entretanto, é que levar esse caráter

mecanicista para o sistema educacional implica submeter a escola ao mercado e,

claro, retornar ao impasse que está na base das críticas sociológicas.

O viés utilitarista é claro. E uma pergunta se impõe: como conjugar esse

viés ao princípio do “aprender a aprender”, tão caro aos elaboradores dos

documentos que estão na base da Reforma do Ensino proposta pelo MEC? E ainda

mais: tratar-se-ia de aprender aquilo que o mercado deseja que se aprenda? Estaria

a formação universal irremediavelmente atrelada (e diminuída) a um saber cada vez

31

mais específico e pragmático? Seria mesmo o princípio do “aprender a aprender” um

mero jogo verbal e vazio?

A aceitação passiva desse modelo do ensino por competências parece

subordinar o conhecimento ao método de adquiri-lo, uma vez que é mais, como

dissemos, saber fazer do que propriamente saber. Ademais, esse caminho leva a

um invencível subjetivismo e relativismo, além de, a pretexto de preconizar uma

formação ampla, os documentos (DCNEM e PCN) seguirem vinculando-a a uma

ação e a um êxito operacional imediatos.

Para entendermos como o ensino por competências pode ser uma

alternativa de fato e também o modo como pode escapar a esse reducionismo e, em

última análise, a suas sucessivas contradições, teremos de voltar ao pensador várias

vezes citado pelos elaboradores desses documentos: Perrenoud.

Perrenoud dá ao assunto um enfoque didático e aborda a questão das

competências no âmbito de sua transposição da lógica do trabalho para a do ensino.

Ele formula diversas definições de competências, que vão ganhando em

complexidade e em universalidade. Seguem as principais:

Define-se uma competência como a aptidão para enfrentar uma família de situações análogas, mobilizando de uma forma correta, rápida, pertinente e criativa, múltiplos recursos cognitivos: saberes, capacidades, microcompetências, informações, valores, atitudes, esquemas de percepção, de avaliação e de raciocínio (PERRENOUD, 2002, p. 19).

“A ruptura com o enciclopedismo e com a memorização de fatos e regras

levou às competências. Nesse caso, considera-se que os saberes são recursos para

compreender, julgar, antecipar, decidir e agir com discernimento” (PERRENOUD,

2002, p. 39). Sobre a formação de professores, ele comenta que “a maioria dos

especialistas ainda pensa que um bom domínio dos saberes disciplinares dispensa

saberes pedagógicos ou didáticos profundos, ou permite reduzi-los ao mínimo vital”

(PERRENOUD, 2002, p. 21).

A ideia subjacente aos três excertos de Perrenoud é clara: a competência

é múltipla e implica saberes, mas não se limita a eles. A competência implica,

portanto, uma reflexão e nos conduz à dicotomia a que aludimos anteriormente, mas

talvez já comece a resolvê-la; na escola, o conhecimento de caráter universal, que

poderíamos sem prejuízo chamar de cultura geral, não deve se opor ao caráter

32

utilitário, mas completá-lo. Com efeito, a escola deve agir em ambas as dimensões,

ou seja, retornar a suas origens, como Perrenoud diz literalmente:

A escola sempre almejou que seus ensinamentos fossem úteis, mas frequentemente acontece-lhe de perder de vista essa ambição global, de se deixar levar por uma lógica de adição de saberes, levantando a hipótese otimista de que eles acabarão por servir a alguma coisa. Desenvolver competências desde a escola não é uma moda nova, mas um retorno às origens, às razões de ser da instituição escolar (PERRENOUD, 1999b, p. 6).

Nesse sentido, a cultura geral amplia as possibilidades de recursos a

serem mobilizados pelos alunos. E é em confronto com uma situação concreta que

essa mobilização encontra sua finalidade, na busca de soluções, formulação de

hipóteses etc. E aqui nos aproximamos do conceito de situação-problema, tal como

proposto pelos documentos oficiais, que concebem o ensino e a avaliação a partir de

situações concretas, cotidianas, dentro de circunstâncias históricas e sociais, que os

estudantes têm de identificar e solucionar.

Perrenoud, no entanto, alerta para o problema da rotina. Ou seja, uma

vez institucionalizadas pela prática escolar, as competências podem confundir-se

com o próprio conhecimento e levar a uma nova circunstância de passividade de

alunos e professores, tal como a que, instalada na escola tradicional, o ensino por

competências quer combater. Ao fim, as práticas podem novamente acomodar-se na

mera preparação para os exames, que, afinal, restam sempre ao fim de qualquer

ciclo de estudos.

De todo modo, mantêm-se as críticas ao modelo de competências como

motor do esvaziamento dos conteúdos. Perrenoud, contudo, atesta mais uma vez

que o conhecimento é indispensável “para a inteligibilidade das observações e para

a construção de hipóteses” (PERRENOUD,1999a, p. 7). As competências, portanto,

mais do que adversárias do conhecimento puro, devem ser as responsáveis por sua

gestão.

O acúmulo de saberes descontextualizados não serve realmente senão àqueles que tiverem o privilégio de aprofundá-los durante longos estudos ou uma formação profissional, contextualizando alguns deles e se exercitando para utilizá-los na resolução de problemas e na tomada de decisões. (PERRENOUD, 1999b, p. 8).

E, mais especificamente em relação à chamada “alta cultura” ou ao

chamado “saber acadêmico”, Perrenoud dirá que “uma abordagem por

33

competências determina o lugar dos conhecimentos – eruditos ou não – na ação:

eles constituem recursos, frequentemente determinantes, para identificar e resolver

problemas, para preparar e para tomar decisões” (PERRENOUD, 1999a, p. 53).

Na mesma lógica, o ensino por competências não preconiza o fim das

disciplinas nem sua unificação, embora deixe subentendido o princípio da

transversalidade, justamente porque ela permite uma ainda maior e mais eficiente

“mobilização de recursos” por parte de alunos e professores.

A aplicação do modelo de competências ainda esbarrará em dois

obstáculos: a prática dos professores e o sistema de avaliação. No primeiro caso,

trata-se da pouca familiaridade dos docentes com o ensino a partir de situações-

problema (tal como concebido no Enem). No segundo, a questão é: como aceitar um

processo desse tipo por meio de avaliações convencionais?

Segundo Perrenoud, o ensino deve promover uma “aventura intelectual”

conjunta de alunos e professores, o que se dá por meio do trabalho com as

situações-problema. E aqui chegamos ao problema da manifestação concreta das

competências e ao conceito de “habilidade”, também na base da elaboração dos

documentos da reforma do ensino no Brasil e do Enem. Vejamos como Perrenoud

define a habilidade:

Em um certo sentido, a habilidade é uma “inteligência capitalizada”, uma sequência de modos operatórios, de analogias, de intuições, de induções, de deduções, de transposições dominadas, de funcionamentos heurísticos rotinizados que se tornam esquemas mentais de alto nível ou tramas que ganham tempo, que “inserem” a decisão (PERRENOUD, 1999a, p. 30).

Concordamos com Ricardo (2005, p. 158), no que se refere a essa

definição, quando afirma que:

[...] não é simplesmente uma questão de abrangência que difere as competências das habilidades, como declararam alguns dos autores dos Parâmetros Curriculares no Capítulo I. Achar que a escola pode ensinar somente as habilidades, enquanto que as competências ficariam para depois também é outra armadilha comum. A escola pode se ocupar de ambas necessitando para isso rever, entre outras coisas, suas práticas educacionais e as referências dos saberes escolares.

34

2.6 Robert: níveis de conhecimentos matemáticos esperados

Neste capítulo, apresentamos a abordagem teórica sobre os níveis de

conhecimento esperados dos estudantes segundo a definição da pesquisadora

francesa Aline Robert (1998). Consideramos essa teoria importante para

compreendermos as dificuldades que os alunos enfrentam quando necessitam

mobilizar conhecimentos matemáticos para resolverem uma situação-problema.

Em seu artigo Outils d’analyse des contenus Mathématiques à enseigner

au lyceé et à l’université, Robert (1998) apresenta os resultados de pesquisa e

afirma que a aprendizagem de determinado conceito seria mais fácil se o professor,

no ensino desse conceito, propusesse, ao aluno, tarefas com níveis de mobilização

de conhecimento diferenciados, pois existem tarefas que exigem diferentes formas

de mobilização do conhecimento matemático. A pesquisadora classificou esse níveis

de conhecimentos em: técnico, mobilizável e disponível.

Robert (1998) considera o nível técnico como aquele que corresponde a

um trabalho isolado, local e concreto, como, por exemplo, a aplicação imediata de

fórmulas, teoremas ou definições.

(1)

Questão 168 do Enem 2010

Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe

aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura

1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte

desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se outro

tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram

que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Considere:

3 2

esfera cone

4 1V R e V R h

3 3

35

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida

completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser

colocado na outra taça, em centímetros, é de

A) 1,33.

B) 6,00.

C) 12,00.

D) 56,52.

E) 113,04.

Resolução:

1. O volume da semiesfera é 3 31 4. . 3 18 cm

2 3 .

2. O volume do cone com raio da base 3 cm e altura h é

2 31. 3 . h 3 h cm

3 .

3. Para que os volumes sejam iguais, devemos ter: 3h =

18 h = 6 cm.

Fonte: Elaborada pelo autor

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – para resolver o item, o aluno faz uma

aplicação direta das fórmulas dos volumes do cone e da esfera.

Segundo Robert (1998), as tarefas do nível mobilizável necessitam de

uma justaposição de saberes de um certo domínio, mas o que se questiona é

explicitamente pedido. Quando esse saber é identificado, ele é considerado

mobilizável se o aluno aplicá-lo corretamente. Nesse nível, é necessária uma

adaptação dos conteúdos, e a solução da tarefa é algo a mais do que a aplicação

direta de fórmulas ou definições.

36

(2)

Questão 157 do Enem 2009

Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio,

utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.

Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então

o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma

caixa é igual a

A) 4.

B) 8.

C) 16.

D) 24.

E) 32.

Resolução: Uma caixa cúbica com 13.824 cm3 de

capacidade tem arestas com medida de 24 cm, pois 243 = 13.824.

Como cada esfera de aço tem 12 cm de diâmetro, pode-se

concluir que o número máximo de esferas que podem ser transportadas

em uma dessas caixas é igual a:

3

3

3

242 8

12

Fonte: Elaborada pelo autor

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver o item, o aluno não

faz uso direto de fórmulas para o cálculo dos volumes do cubo e da

esfera. Ele precisa construir uma situação de inscrição de uma esfera

em um cubo e, a partir dessa situação, calcular quantos cubos desse

modelo cabem no cubo maior.

Segundo Robert (1998), no nível disponível, o aluno deve responder

corretamente ao que é proposto sem indicações explícitas. Ele deve reunir seus

37

conhecimentos, escolher qual é o mais adequado para encontrar ou criar uma

solução para a tarefa.

(3)

Questão 169 do Enem 2009

A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação

constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas

canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo

corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as

medidas especificadas na figura I, Neste caso, a vazão da água é de

1.050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A

do setor transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da

água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.

Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões

especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.

Disponível em: www2.uel.br.

Na suposição de que a velocidade da água não se alterará,

qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?

A) 90 m3/s. B) 750 m3/s. C) 1.050 m3/s. D) 1.512 m3/s. E) 2.009

m3/s

Resolução:

1. A área do trapézio da figura I, em m2, é:

30 20. 2,5 62,5

2

38

2. A área do trapézio da figura II, em m2, é:41 49

. 2 902

3. Supondo-se que a velocidade da água não se altere, e

sendo v a vazão após a reforma, em m3/s, temos:

1.050 vv 1.512

62,5 90 .

Fonte: Elaborada pelo autor

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – para resolver o item, o aluno não

faz uso direto dos volumes do cubo e da esfera. Ele precisa construir

uma situação de inscrição de uma esfera em um cubo e, a partir dessa

situação, calcular quantos cubos desse modelo cabem no cubo maior.

Finalizamos este capítulo, ressaltando a importância dessa teoria para o

professor. Com ela, é possivel entendermos por que os alunos têm tanta dificuldade

diante de certas tarefas e facilidade em outras. Consideramos que as tarefas de

nível disponível são aquelas que os alunos sentem mais dificuldade para resolver.

39

3 OS CONHECIMENTOS INSTITUCIONALMENTE ESPERADOS DOS ESTUDANTES EGRESSOS DO ENSINO MÉDIO

Esse capítulo foi destinado à análise dos PCNEM e dos documentos

oficiais que o sucederam, em especial as orientações para os processos de ensino e

de aprendizagem da geometria espacial. Essa análise é importante, pois devemos

identificar de que maneira os planos de curso do C7S incorporaram os pressupostos

desses documentos. Além disso, analisamos, neste capítulo, o Enem.

3.1 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM

Sacristan (2000) afirma que o currículo, em seu conteúdo e nas formas

através das quais se apresenta a nós, aos professores e aos alunos, é uma opção

historicamente configurada, que se sedimentou dentro de uma determinada trama

cultural, política, social e escolar; ele está carregado, portanto, de valores e

pressupostos que precisamos decifrar. Em vista disso, consideramos importante

contextualizarmos o momento histórico no qual esse documento foi produzido.

A concepção da política educacional brasileira para o Ensino Médio nas

décadas de 60 e 70 baseava-se no conceito do sistema industrial, advindo do

Taylorismo. O currículo, então, era fundamentado na concepção de que o ensino era

centrado no professor, o responsável por transmitir conhecimentos que seriam

memorizados pelos alunos e posteriormente repetidos. Na década de 80, o avanço

da tecnologia conduziu o domínio do conhecimento a um lugar de destaque nos

processos de desenvolvimento dos países. Sendo assim, as mudanças no modo de

produção e nas relações sociais acabaram influenciando as propostas de reforma

curricular nesse período.

Já na década de 90, por causa das novas tecnologias, o volume de

informações produzidas aumentou exponencialmente, gerando, assim, a

necessidade de serem criados novos parâmetros para a formação dos cidadãos. O

cerne da questão da formação do aluno agora seria o desenvolvimento de

capacidades de pesquisa, seleção e análises dessas informações. Ainda nesse

período, segundo o documento PCNEM, ocorreu um aumento significativo nas

matrículas no Ensino Médio brasileiro. Entretanto, o índice de escolarização,

40

considerando jovens de 15 a 17 anos, não ultrapassava 25%, o que deixava o Brasil

em situação desfavorável quando comparado com alguns países da América Latina,

cujo índice chegava a 60%. Diante deste cenário, esse documento afirma que:

Pensar um novo currículo para o Ensino Médio coloca em presença estes dois fatores: as mudanças estruturais que decorrem da chamada “revolução do conhecimento”, alterando o modo de organização do trabalho e as relações sociais; e a expansão crescente da rede pública, que deverá atender a padrões de qualidade que se coadunem com as exigências desta sociedade (BRASIL, 2000, p. 6).

Em virtude dessa necessidade de mudança, surgem os PCNs.

Participaram da construção desse novo currículo dirigentes da Secretaria de

Educação Média e Tecnológica, representantes de todas as Secretarias Estaduais de

Educação, professores convidados de diversas universidades do País e os diversos

setores da sociedade civil ligados à educação. Conforme o documento PCNEM, esse

processo de construção foi estruturado com base em um modelo, cuja principal

preocupação era proporcionar um diálogo constante entre os participantes. A respeito

desse processo, Lopes (2011) posiciona-se por meio da crítica feita por Moreira

(2011): “O processo de elaboração dos PCNs é então considerado por Moreira como

autoritário e verticalizado, por não ter contado com participação ampla da

comunidade educacional.” (p. 243).

Depois dessa contextualização de como se deu a construção do

documento, cabe-nos agora discutir seus aspectos formais e estruturais.

Fundamentado na LDB/98 e DCNEM/98, o referido documento declara que os

objetivos educacionais da Matemática no Ensino Médio:

[...] devem envolver, de forma combinada, o desenvolvimento de conhecimentos práticos, contextualizados, que respondam às necessidades da vida contemporânea, e o desenvolvimento de conhecimentos mais amplos e abstratos, que correspondam a uma cultura geral e a uma visão de mundo (BRASIL, 2000, p. 6).

Esse documento afirma ainda que, para uma escola, que deseja alcançar

esses objetivos para além dos conteúdos ensinados, é preciso repensar as práticas e

diretrizes educacionais estabelecidas pela escola e compreender que o ponto de

partida está na percepção de que o conteúdo, que vai ser ensinado, precisa ter

significado para a vida do aluno. No entanto, essa significação só é atingida quando a

41

realidade de vida do aluno e da comunidade, na qual a escola está inserida, é trazida

para dentro da sala de aula.

Para entendermos o que foi exposto acima, faz-se necessário

respondermos aos seguintes questionamentos:

Quais as finalidades da escola?

Quais os conteúdos que devem ser ensinados na escola?

Quais as metodologias de ensino e práticas docentes?

Sobre as finalidades da escola, Perrenoud (2013) afirma que:

[...] ninguém frequenta a escola por frequentar, e sim para dela sair munido de conhecimentos, de competências, de atitudes e de valores que permitam enfrentar a existência humana. Dizer que a escola deve preparar para a vida é “chover no molhado”. Ninguém poderia se opor a essa ideia e fazer da escolaridade uma finalidade em si (p. 164).

Concordamos com Perrenoud quanto à complexidade dessa questão de

preparar o aluno para a vida. Dentre os problemas citados por ele, gostaríamos de

destacar os seguintes:

A vida das crianças e dos adolescentes não se resume a uma simples

preparação para a vida adulta.

A impossibilidade de prever aquilo que os jovens vivenciarão vinte ou

trinta anos após a conclusão do ensino obrigatório.

A diversidade das histórias e condições de vida dos alunos.

A escola não tem o monopólio da preparação para a vida. A educação

familiar e a informal também fazem essa preparação.

Ninguém detém todas as experiências, todos os conhecimentos e

todas as competências que permitem uma representação pertinente da

vida que os jovens terão ao sair da escola.

Acerca da escolha dos conteúdos que devem ser ensinados,

consideramos que ela depende da visão de futuro da escola. Uma escola que

pretende só preparar seus alunos para o ingresso na universidade provavelmente

escolherá conteúdos que contemplem as provas de seleção da universidade para a

qual seus alunos prestarão exame. Por outro lado, uma escola que pretende preparar

seus alunos segundo a concepção de Perrenoud (2013) certamente escolherá

42

conteúdos que contemplem esse tipo de formação, ou seja, a escolha dos conteúdos

estará ligada à ideologia dessa escola.

O nosso posicionamento diante dessa questão é que, independentemente

da finalidade da escola, os conteúdos ensinados precisam ter significados para a vida

do aluno após sua passagem por essa instituição de ensino e precisam ser meios

para desenvolver competências, habilidades, valores e atitudes que possibilitem ao

aluno construir uma sociedade mais justa e menos desigual.

Encerramos a resposta da segunda questão, mencionada anteriormente,

com a seguinte reflexão:

Eventualmente, podemos formar químicos, contadores ou técnicos em informática abstraindo as finalidades das empresas que os contratarão. Podemos dizer, um pouco cinicamente, que um bom químico vai continuar sendo um bom químico tanto no caso de fabricar medicamentos ou drogas. Que um bom contador vai saber lavar dinheiro ou aumentar o capital de uma organização humanitária. Que um bom técnico em informática poderá servir tão eficazmente à máfia quanto à justiça (PERRENOUD, 2002, p. 12).

A respeito das metodologias e práticas docentes, em resposta ao nosso

terceiro questionamento, consideramos que o documento enfatiza conceitos, mas

não trabalha exemplos que ajudem a esclarecê-los. Termos como “aprendizado ativo

interativo”, “ensinar através de situação-problema”, “conhecimento prévio do aluno”,

“competências”, são utilizados, porém são explicados superficialmente.

Sobre as competências a serem desenvolvidas em Matemática, o

documento afirma que elas estão claramente expressas nas DCNEM e destaca

somente três delas: representação e comunicação; investigação e compreensão; e

contextualização sociocultural. Logo após, o documento Brasil (2000b, p. 46)

relaciona as habilidades às competências, como veremos a seguir:

Representação e comunicação

Ler e interpretar textos de Matemática.

Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões etc.).

Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para a linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa.

Exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna como na linguagem matemática, usando a terminologia correta.

Produzir textos matemáticos adequados.

43

Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de produção e de comunicação.

Utilizar corretamente instrumentos de medição e de desenho.

Investigação e compreensão

Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc.).

Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema.

Formular hipóteses e prever resultados.

Selecionar estratégias de resolução de problemas.

Interpretar e criticar resultados numa situação concreta.

Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos.

Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades.

Discutir ideias e produzir argumentos convincentes.

Contextualização sociocultural

Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real.

Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em especial em outras áreas do conhecimento.

Relacionar etapas da história da Matemática com a evolução da humanidade.

Utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo suas limitações e potencialidades.

Consideramos que somente a listagem das competências, sem um manual

explicativo, que permita aos educadores uma apropriação dos conceitos, e sem uma

abordagem dos conteúdos, que possibilite o desenvolvimento dessas competências,

pode gerar, para os educadores, mal entendidos e controvérsias conceituais. Nesse

sentido, Perrenoud (2013) afirma que:

[...] nas reformas do ensino, não há nunca os esclarecimentos dos conceitos. Talvez seja necessário simplificar para que haja a compreensão dos pais, dos diferentes públicos envolvidos e das autoridades. Isto não quer dizer que não deve haver uma elaboração mais apurada destinada aos profissionais, sem confiná-los numa ortodoxia e, muito menos, na teoria de um grande pensador, sem imaginar que é possível criar representações totalmente comuns, porém precisas, em relação a objetos tão complexos quanto as relações entre a mente humana e a ação (PERRENOUD, 2013, p. 84).

Julgamos que a leitura dos PCNEM deva ser precedida pelos estudos das

DCNEM/98, pois esses estudos facilitam o entendimento de diversos tópicos tratados

no primeiro documento citado. Além disso, o enfoque dado ao ensino por

competências, ao currículo que prepara o aluno para vida/trabalho, à

contextualização e interdisciplinaridade, por exemplo, sem as explicações

pormenorizadas, leva o leitor a questionamentos como: devo ensinar competências

ou conteúdos? Quais as competências que servirão para a vida e o mundo do

44

trabalho? Como posso construir um currículo segundo essas orientações se minha

escola só “pensa” em vestibular?

Para complementar os PCNEM, o MEC publicou outro documento, os

PCN+, cujo objetivo central era facilitar a organização do trabalho da escola,

explicando a relação entre conhecimentos e competências, sugerindo práticas

educativas e um modelo de organização de currículo. Partimos agora para a análise

desse novo documento.

3.2 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCN+) – Orientações educacionais complementares

Na análise dos PCN+, não apresentamos as bases legais do documento,

pois estas são as mesmas do PCNEM. Discutimos somente os pontos que, a nosso

ver, constituem as mudanças significativas do documento anterior.

O PCN+ dedica um tópico para esclarecer as contradições geradas pelas

interpretações equivocadas no documento anterior entre conhecimentos,

competências e disciplinas. Esse documento, ao reconhecer o caráter disciplinar do

conhecimento, explica, em primeiro lugar, que as competências não disputam espaço

com as disciplinas no currículo, e que essa forma de organização do conhecimento,

as disciplinas, sofreu modificações ao longo do tempo, no entanto os objetivos

educacionais não teriam interesse em fundi-las ou uni-las.

No Ensino Médio no Brasil, provavelmente, não encontraremos

professores de Ciências da Natureza, mas indubitavelmente encontraremos

professores de Física, Química e Biologia, pois é dessa forma que as nossas escolas

estão organizadas. A disputa não é se o professor é de matemática ou de

competências, e sim quais são as competências gerais que esse professor está

desenvolvendo com os conhecimentos de sua disciplina. Para exemplificar essa

reflexão, destacamos que, quando se ensina, ao aluno, a área e o volume do cilindro,

o professor pode optar por mostrar as fórmulas da área e do volume, ou pode optar

por identificar os corpos redondos, com esse formato, presentes no cotidiano do

aluno e, a partir deles, estudar suas características, sua planificação, para, em

seguida, deduzir sua área e a fórmula do seu volume por meio de outros sólidos.

45

Mencionamos ainda que o professor pode criar situações para que os

alunos comparem as relações entre volumes e preços dos enlatados, argumentem

sobre essas situações e principalmente possam propor soluções. E o que tem de

diferente entre essas formas de ensinar? Consideramos que esse segundo método

de ensino formará alunos que, após a conclusão da educação básica, talvez não se

lembrem da fórmula do volume do cilindro, mas, provavelmente, saberão analisar

situações, argumentar e propor soluções para resolver problemas. Sobre a

controvérsia entre disciplina e competência, Machado (2007) afirma que:

sem disciplina, nenhuma competência pessoal pode ser desenvolvida. No caso específico da organização escolar, tudo o que se pode pretender, seja na escola básica, seja na formação profissional, é o deslocamento do foco das atenções da ideia de disciplina para a ideia de competência (MACHADO, 2007, p. 154).

É importante ressaltarmos que as competências citadas não pertencem à

disciplina de matemática, e sim a todas as disciplinas, pois são competências gerais.

Da necessidade de reconhecer, no âmbito de cada disciplina, como as competências

se manifestam, surgem as habilidades. Assim, tanto os PCN+ quanto o Enem

relacionam as competências a um número bem maior de habilidades. Para

compreender melhor as competências e habilidades sugeridas para o ensino da

geometria espacial, objeto de pesquisa deste trabalho, julgamos necessário fazer um

comparativo entre as habilidades propostas pelos PCN+ e pelo Enem.

O documento Brasil (2002, p. 125), o PCN+, sugere, para trabalhar os

conteúdos de geometria de posição, as seguintes habilidades:

Usar formas geométricas espaciais para representar ou visualizar

partes do mundo real, como peças mecânicas, embalagens e construções.

Interpretar e associar objetos sólidos a suas diferentes representações bidimensionais, como projeções, planificações, cortes e desenhos.

Utilizar o conhecimento geométrico para leitura, compreensão e ação sobre a realidade.

Compreender o significado de postulados ou axiomas e teoremas e reconhecer o valor de demonstrações para perceber a Matemática como ciência com forma específica para validar resultados.

Do conjunto de habilidades descrito, observamos que ele tem como

objetivo facilitar a observação e identificação de elementos e estruturas

tridimensionais presentes na natureza e suas respectivas representações

46

bidimensionais. Outro objetivo sugerido é a utilização das demonstrações para o

desenvolvimento do raciocínio dedutivo. Pietropaolo (2005) descreve a importância

do uso das demonstrações em geometria e afirma que:

a Geometria costuma ser nos currículos a opção empregada para o desenvolvimento do raciocínio dedutivo, pois por meio dela podem-se mobilizar os processos cognitivos subjacentes que permitem desenvolver diferentes formas de raciocínio e aprender uma variada gama de processos de visualização (PIETROPAOLO, 2005, p. 84).

Em “Geometria métrica”, o documento Brasil (2002, p. 125) lista os

seguintes conteúdos: áreas e volumes; estimativa, valor exato e aproximado. Quanto

às habilidades associadas a esses conteúdos, ele aponta as seguintes:

Identificar e fazer uso de diferentes formas para realizar medidas e

cálculos.

Utilizar propriedades geométricas para medir, quantificar e fazer estimativas de comprimentos, áreas e volumes em situações reais relativas, por exemplo, de recipientes, refrigeradores, veículos de carga, móveis, cômodos, espaços públicos.

Efetuar medições, reconhecendo, em cada situação, a necessária precisão de dados ou de resultados e estimando margens de erro.

As habilidades relacionadas à Geometria Métrica objetivam o

desenvolvimento das capacidades de medir e calcular. Para cumprir esse objetivo,

faz-se necessário utilizar situações reais. Portanto, é importante que o professor

proponha situações-problema que tenham significado para a vida dos alunos e que

estes utilizem os conhecimentos geométricos para resolvê-las.

Das trinta habilidades da Matemática nomeadas pela Matriz do Enem,

retiradas de Inep (2009, p. 5), citamos somente aquelas relacionadas ao nosso

objeto de pesquisa, a geometria espacial. São cinco habilidades; quatro delas

pertencem à competência de área 2 e uma delas, à competência de área 3. As

habilidades são:

Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para

realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela o H6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos

no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

o H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais. o H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos

geométricos de espaço e forma.

47

o H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano o H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando

conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.

As habilidades H6 e H7 têm como objetivo facilitar a observação e

identificação de elementos e estruturas tridimensionais presentes na natureza e suas

respectivas representações bidimensionais. Comparando com as habilidades

propostas pelos PCN+, podemos afirmar que essas habilidades são equivalentes às

habilidades propostas para o ensino da geometria de posição.

Já a habilidade H8 se relaciona mais com as medições e cálculos nos

problemas de geometria que envolvem espaço e forma. Consideramos que a

habilidade equivalente, nos PCN+, à habilidade H8 é a seguinte: utilizar propriedades

geométricas para medir, quantificar e fazer estimativas de comprimentos, áreas e

volumes em situações reais. Em relação a habilidade H9, percebemos que, além de

propor a resolução de uma situação-problema, ela requer do aluno uma

argumentação para justificar sua resposta, enquanto a habilidade H14 requer que o

aluno proponha uma solução, a partir de uma situação real, utilizando seu

conhecimento geométrico relacionado a grandezas e medidas.

No ensino por competências, tão importante quanto à escolha das

habilidades e dos conteúdos é a escolha da metodologia de ensino, de como ensinar

por competências. Em vista disso, o documento propõe a resolução de problemas

como metodologia de ensino. Consideramos que um ensino com esta perspectiva

metodológica, que utiliza como situação de aprendizagem a situação-problema, é

complexo e requer professores qualificados. Para demonstrar essa complexidade,

apropriamo-nos de Perrenoud (2002, p. 115) quando este diz que:

uma situação-problema, como situação de aprendizagem, coloca um desafio intelectual, algo a ser superado. Ela pede antecipação dos resultados, planejamento, correr riscos, portanto, reflexão, tematização, disputa, enfrentamento de conflitos, tensões, paradoxos, alternativas diversificadas

ou argumentações.

Sobre esse professor competente, o documento destaca a questão da

formação profissional permanente dos professores e reconhece que os cursos de

licenciatura não formam professores capazes de conduzir um ensino baseado nessa

48

metodologia, atribuindo à escola e ao professor o papel de reparadores dessa

questão.

3.3 Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – OCEM

O documento “Orientações Curriculares para o Ensino Médio” é resultado

de uma série de debates promovidos pela Secretaria de Educação Básica e

encontros com os gestores das Secretarias Estaduais de Educação, pesquisadores

de universidades e professores. Ele foi escrito para preencher as lacunas deixadas

pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio não só no sentido de

esclarecer pontos que precisavam ser detalhados, mas também no de indicar e

desenvolver alternativas didático-pedagógicas que ajudassem na organização do

trabalho da escola e do professor.

Os autores desse documento destacam cinco aspectos, quais sejam: a

escolha de conteúdos; a forma de trabalhar os conteúdos; o uso da tecnologia; a

organização curricular; e o projeto pedagógico. A escolha dos conteúdos está

diretamente ligada aos propósitos da formação matemática que se deseja para a

Educação Básica, de acordo com o referido documento. A pretensão é de que, ao

final desse ciclo, os alunos usem a Matemática para descrever o mundo que os

cerca, compreender os fenômenos das diversas áreas do conhecimento por meio da

modelagem e perceber sua importância no desenvolvimento científico e tecnológico.

Quanto à forma de ensinar, o documento trata da importância do

desenvolvimento do pensamento matemático e ressalta que, para tanto, são

necessárias situações de aprendizagem que levem o aluno a questionar, abstrair,

criar, deduzir, argumentar, levantar hipóteses, tirar conclusões, ou seja, a elaboração

de cada situação a ser explorada deve levar em conta as habilidades que precisam

ser desenvolvidas. Nesse sentido, cabe ao professor, na formulação do plano de

curso, priorizar a qualidade do processo de ensino e aprendizagem, e não a

quantidade de conteúdos a serem trabalhados. Segundo Perrenoud (2000),

conhecer os conteúdos a serem ensinados é a menor das coisas, quando se pretende instruir alguém. Porém, a verdadeira competência pedagógica não está aí; ela consiste, de um lado, em relacionar os conteúdos a objetivos e, de outro, a situações de aprendizagem (p. 24).

49

Os conteúdos básicos foram organizados no documento em quatro

blocos, são eles: números e operações; funções; geometria; análise de dados; e

probabilidade. Em virtude do propósito do nosso trabalho, estudamos somente o

bloco da Geometria, em particular, a geometria espacial.

No dia a dia, deparamo-nos com diversas situações que denotam a

importância do estudo da Geometria, por exemplo, a leitura de mapas, a estimativa

de distâncias, áreas e volumes e a correta utilização das unidades de medidas. Além

de favorecer a resolução dos problemas do quotidiano, o estudo da Geometria

oportuniza, a partir dos teoremas e das argumentações dedutivas, o

desenvolvimento do pensamento matemático. Nessa fase de escolarização, as

representações das figuras planas e espaciais, contidas na natureza ou imaginadas,

devem ser aprofundadas e sistematizadas, assim como os conceitos de perímetro,

área e volume. Sendo assim, tornam-se importantes as deduções das fórmulas de

forma a evitar a sua simples apresentação e memorização.

Segundo as orientações contidas no documento “Orientações Curriculares

para o Ensino Médio”, o estudo de volumes de sólidos deve ser feito por meio do

Princípio de Cavalieri, pois esse princípio permite ao aluno a compreensão do

significado das fórmulas. No estudo de áreas das superfícies de sólidos, dessa

forma, o importante é trabalharmos com a planificação destes sólidos e revisar o

cálculo de área de alguns polígonos. Em relação à metodologia de ensino, aquele

documento compara duas correntes: uma que identifica o professor como

transmissor do conhecimento, enquanto o aluno exerce o papel de receptor, e outra

que confere ao professor o papel de mediador e orientador do processo de ensino,

responsável pela sistematização do novo conhecimento.

O documento reconhece que historicamente a primeira corrente é a mais

frequente em nossas salas de aula, e que esta originou um padrão de ensino

pautado na definição de conteúdo, exemplo e repetição. Em outras palavras, um

novo conteúdo seria introduzido “pela sua apresentação direta, seguida de certo

número de exemplos, que serviriam como padrão, e aos quais os alunos iriam se

referir em momentos posteriores.” (OCEM, 2006, p. 81).

A segunda corrente coloca o aluno como ator principal do processo,

transferindo a ele grande parte da responsabilidade da sua aprendizagem,

valorizando o raciocínio matemático e desaconselhando a simples aplicação de

50

regras, fórmulas e listas repetitivas de exercícios presentes na maioria dos livros

didáticos. Nessa concepção de ensino e de aprendizagem, para que o trabalho

docente atinja efetivamente seus objetivos, o professor deverá desenvolver um

conjunto de operações didáticas, relacionadas entre si, o que vai requer deste uma

boa formação acadêmica.

O professor precisa dominar a matéria que leciona e saber relacioná-la

com as situações do cotidiano. Esse domínio influencia na escolha dos saberes que

devem ser ensinados. O docente precisa, ainda, conhecer métodos de ensino e

procedimentos didáticos, pois, caso contrário, ele será incapaz de criar uma situação

didática e de fazer uma transposição didática no momento de ensinar determinado

conteúdo. Sobre a relação do saber com o cotidiano das pessoas – contextualização

– é necessário que os alunos percebam que o que aprendem tem sentido para suas

vidas, senão, o professor terá que responder a seguinte pergunta: “Quando usarei

isso na minha vida?” Machado (2002), a respeito dessa contextualização do saber,

afirma que:

contextualizar é uma estratégia fundamental para a construção de significações. Na medida em que incorpora relações tacitamente percebidas, a contextualização enriquece os canais de comunicação entre a bagagem cultural, quase sempre essencialmente tácita, e as formas explícitas ou explicitáveis de manifestação do conhecimento (MACHADO, 2002, p. 144).

Outra metodologia apresentada no documento é a modelagem

matemática, cuja ideia central é estudar e solucionar problemas da vida real por

meio de modelos matemáticos. A utilização desse método requer professores

preparados, alunos motivados e mais tempo de trabalho de alunos e professores.

Segundo Biembengut (2014, p. 22):

Na matemática, em particular, o processo de modelagem requer do modelador, além de talento para a pesquisa, conhecimento matemático e capacidade de fazer leitura do fenômeno sob uma ótica matemática. Nesses termos, o modelo é expresso em termos matemáticos (fórmula, representação geométrica e ou gráfica, equação algébrica, tabela, dentre outros) que permite à solução do problema ou a dedução de uma solução.

A autora, ao comparar o processo de modelagem com uma pesquisa,

sugere a divisão dele em etapas, que são: reconhecimento da situação-problema;

familiarização com o assunto a ser modelado; formulação do problema; formulação

do modelo matemático; resolução do problema a partir do modelo; e validação do

51

modelo. Analisando essas etapas, percebemos que elas oportunizam o

desenvolvimento de diversas habilidades. A escolha e a discussão do tema, seja ele

social, cultural, tecnológico, são momentos importantes para trabalhar os valores

morais, como questões de ética e cidadania. Na formulação do(s) problema(s),

depois do estudo e da discussão dos dados levantados, desenvolvem-se, nesse

momento, as habilidades de análise de dados e a formulação de hipóteses.

Argumentar, testar, resolver, decidir, elaborar, criar, entre outras são habilidades que

serão trabalhadas durante o processo.

O documento sugere, associado à ideia de modelagem, o trabalho com

projetos, enfatizando que, a partir da escolha do tema, podendo-se tratar de um

caso específico ou geral, contanto que seja do interesse dos alunos, devemos criar

uma situação favorável para o desenvolvimento de diversas habilidades, e ainda

permitir ao aluno o estudo de temas fora do currículo. Além disso, ele também

assevera a importância de utilizarmos a história da Matemática para dar significado

aos conceitos matemáticos. O que estudamos hoje foi construído no passado e teve

como ponto de partida um problema dentro de um contexto, que necessitava ser

resolvido e que alguém resolveu. A contextualização do processo histórico de

construção do conhecimento matemático contribui para a motivação do aprendizado

do aluno. Nesse sentido, Roque (2012, p. 32-33) afirma que:

A matemática se desenvolveu, e continua a se desenvolver, a partir de problemas. O papel da história da matemática pode ser justamente exibir esses problemas, muitas vezes ocultos no modo como os resultados se formalizaram. [...] A história da matemática pode perfeitamente tirar do esconderijo os problemas que constituem o campo de experiência do matemático, ou seja, o lado concreto do seu fazer, a fim de que possamos entender melhor o sentido de seus conceitos.

O trabalho com a história da Matemática também possibilita a

compreensão da dificuldade de aprendizagem de alguns conteúdos, pois as

experiências didáticas do passado influenciam as do presente, sejam elas bem-

sucedidas, sejam elas malsucedidas. D’Ambrosio (1996, p. 30) argumenta que

“conhecer, historicamente, pontos altos da matemática de ontem poderá, na melhor

das hipóteses, e de fato faz isso, orientar no aprendizado e no desenvolvimento da

matemática de hoje.”

52

No que respeita ao uso de tecnologia, consideramos que, se uma das

finalidades do Ensino Médio é preparar o jovem para o mercado de trabalho, e este

exige, para sua inserção, o domínio da Tecnologia de Informação e Comunicação

(TIC), é imprescindível o uso de tecnologia nesse período de escolarização. A

utilização de planilhas eletrônicas e calculadoras, dois instrumentos cujo domínio é

exigido pelo mercado de trabalho atualmente, é exemplo de como a Matemática

pode ajudar no desenvolvimento tecnológico do aluno. A manipulação desses

instrumentos requer o domínio de conceitos matemáticos que podem ser

trabalhados em sala de aula.

Os vários programas de computador (softwares) que permitem ao aluno

fazer simulações, experimentos, testar hipóteses e construir conceitos de situações

matemáticas são exemplos de como a tecnologia pode ajudar no processo de

aprendizagem da Matemática. Vale ressaltarmos que, nesse tipo de trabalho,

mediante as várias soluções apresentadas para o mesmo problema, percebemos as

diferenças na forma de pensar e criar dos alunos.

É importante salientarmos que a importância do uso da tecnologia está na

possibilidade da criação de novas situações de aprendizagem. Portanto, para os

professores que a usam somente para melhorar a apresentação da aula, Perrenoud

(2000) alerta que:

As novas tecnologias podem reforçar a contribuição dos trabalhos pedagógicos e didáticos contemporâneos, pois permitem que sejam criadas situações de aprendizagem ricas, complexas, diversificadas, por meio de uma divisão de trabalho que faz mais com que todo o investimento repouse sobre o professor, uma vez que tanto a informação quanto a dimensão interativa são assumidas pelos produtores dos instrumentos. A verdadeira incógnita é saber se os professores irão apossar-se das tecnologias como auxilio ao ensino, para dar aulas cada vez mais bem ilustradas por apresentações multimídias, ou para mudar de paradigma e concentrar-se na criação, na gestão e na regulação de situações de aprendizagem. (PERRENOUD, 2000, p. 136-137).

Em relação à organização curricular e ao projeto pedagógico, acreditamos

que a escola, ao definir que tipo de cidadão deseja formar, posiciona-se, diante da

sua comunidade, política e pedagogicamente. A escolha dos princípios e valores,

que vão embasar e nortear o trabalho educacional, é política, enquanto a escolha do

que deve ser ensinado e como deve ser ensinado é político-pedagógica. Essas

escolhas definem o modelo de organização do trabalho educacional, o Projeto

53

Político-Pedagógico e, portanto, devem ser feitas por todos os que participam desse

processo: diretores, gestores, professores, alunos e pais. Esse projeto não é o

mesmo para todas as escolas, dado que estas estão inseridas em diferentes

contextos sociais. Conforme o documento:

A instituição escolar precisa organizar seu trabalho pedagógico de acordo com seus alunos. Para tanto, deve considerar o projeto político-pedagógico como um processo constante de reflexão e discussão sobre os problemas escolares, tendo como intenção a busca de soluções, por meio de ações colaborativas entre os membros que constituem a escola. Para que a escola possa concretizar a construção de um projeto político-pedagógico significativo que seja fruto do cotidiano escolar, ela precisa de um corpo docente comprometido com a ação educativa, que seja responsável por ela e assuma o trabalho colaborativo como sustentação para a formação de estudantes capacitados para o exercício da cidadania (OCEM, 2006, p. 90).

Apesar de o projeto político-pedagógico tratar de toda a organização do

trabalho escolar, o currículo, associado ao processo social de produção do

conhecimento, assume um papel vital nesse processo. Sendo assim, por meio do

trabalho interdisciplinar, o currículo deve buscar a integração dos conhecimentos e

novas formas de organização.

Nem sempre é possível contemplar num currículo de geometria espacial

todos os tópicos que desejamos ensinar, principalmente pela diferença de carga

horária entre as escolas, o que implica a exclusão de alguns ou de vários tópicos

importantes e o fato de que os alunos não terão mais oportunidade de estudá-los.

Por isso, na elaboração do currículo, os professores precisam ter consciência do

modelo de formação matemática que desejam oferecer a seus alunos e, a partir

desse contexto escolar, eleger um currículo mínimo.

Dependendo de sua importância, alguns temas complementares também

podem ser eleitos para serem trabalhados na parte diversificada do currículo. Um

bom exemplo de como trabalhar esses temas está nas feiras de ciências, nos clubes

de ciências, nos laboratórios, nas atividades desenvolvidas pela maioria das escolas.

Nesse sentido, o documento (OCEM, 2006, p. 92-93) sugere diversos temas

complementares. Alguns desses temas são:

Estudo de curvas cônicas como lugar geométrico de pontos (elipse,

parábola e hipérbole).

Construção dos poliedros via planificações feitas com régua e compasso.

54

Utilização de vídeos para a discussão de fractais e simetrias.

Discussão das brilhantes ideias geométricas que resolveram certos

problemas na Antiguidade, como: o cálculo do raio da terra, a solução de

Eupalinos na construção de um túnel.

Introdução à geometria vetorial e às transformações geométricas.

Finalizamos nossa análise, relembrando os tópicos mais importantes do

documento, para em seguida fazermos uma reflexão. No tocante à escolha dos

conteúdos, explicitamos que essa escolha deve ser feita levando-se em conta o

contexto social no qual o aluno está inserido. Quanto à metodologia em sala de aula,

pontuamos que o professor deve trocar o papel de transmissor do conhecimento

pelo papel de mediador e orientador, e que a contextualização é um instrumento que

leva o aluno a compreender o significado da aprendizagem de determinados

assuntos, além de favorecer a interdisciplinaridade. O desenvolvimento de

habilidades e do pensamento matemático deve ser praticado em cada aula pelo

professor. No que se refere ao uso das tecnologias, evidenciamos que, diante de um

aluno envolto por todo tipo de mídia, o professor deve capacitar-se para utilizar

essas mídias como instrumento que ajude na aprendizagem matemática.

Em relação a esse modelo, que trata o ato de ensinar e de aprender como

um processo de construção de conhecimentos, considerando o contexto social no

qual o aluno está inserido, o aluno como ator principal e o professor como mediador,

não podemos deixar de fazer a seguinte pergunta: Escolas e professores estão

preparados para trabalhar com toda a complexidade desse processo?

Em alguns casos, sim, porém consideramos que essa não é a realidade

de várias escolas brasileiras. Entendemos que, para uma escola colocar em prática

as orientações curriculares prescritas no documento, é necessário investir na

formação continuada do professor, criar momentos de estudo e discussão entre os

professores das diversas disciplinas, e todos os que compõem a escola.

3.4 Enem

O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) foi criado em 1998 com o

objetivo principal de avaliar o desempenho dos alunos concluintes do Ensino Médio

e com finalidade específica de servir como modalidade alternativa ou complementar

a processos de seleção para o mercado de trabalho e cursos pós-médios.

55

De 1998 a 2008, a avaliação foi composta por 63 questões

interdisciplinares e uma redação. De caráter voluntário, o primeiro exame contou

com 157 mil inscritos aproximadamente. Nas duas edições seguintes, o número de

inscritos mais do que dobrou, chegando à marca de 390 mil alunos. Em 2001, com a

isenção da taxa de inscrição para os concluintes do Ensino Médio da rede pública,

esse número saltou para 1,6 milhão de inscritos. Em 2004, quando o Ministério da

Educação instituiu o Programa Universidade para Todos (ProUni) e vinculou a

concessão de bolsas aos resultados obtidos pelos candidatos no Enem, o Exame

alcançou as cifras de 3 milhões de inscritos e 2,2 milhões de participantes.

O programa previa a distribuição de bolsas integrais e parciais em cursos

de universidades privadas do País para quem obtivesse bom desempenho no Enem

e comprovasse carência. Era destinado a jovens de famílias com renda per capita

menor que três salários mínimos e que tivessem feito Ensino Médio em escola

pública. Uma observação importante é que os selecionados por esse sistema não

necessitariam fazer o vestibular, ou melhor, o Enem serviria como vestibular. Com

isso, o Enem assume mais um papel: além de avaliar a Educação Básica, seleciona

alunos para o ingresso no Ensino Superior.

Em 2006, o Enem passou a divulgar as médias de desempenho por

escola, com o objetivo de que cada instituição escolar pudesse avaliar o rendimento

dos seus alunos perante os índices municipais, regionais, estaduais e nacionais.

Essa medida não impactou a maioria das escolas, pois estas estavam mais

preocupadas com os vestibulares das universidades federais que seus alunos iriam

prestar.

Apesar da nova funcionalidade do Enem e da crescente participação, até

2008, para os alunos ingressarem em uma universidade pública, era necessário

realizar o vestibular dessa universidade. Cada instituição promovia o seu processo

seletivo. Mesmo com o investimento governamental em proporcionar oportunidades

de acesso à universidade particular para estudantes sem condições de financiar

seus estudos, a iniciativa do ProUni não conseguiu reduzir a importância do

tradicional vestibular e os seus reflexos nos currículos do Ensino Médio. No entanto,

foi a partir de 2009, quando o Enem se tornou uma das principais vias de acesso às

universidades federais do País, que houve a reversão desse quadro, pois esse novo

56

cenário despertou nos alunos, professores e educadores um grande interesse pelo

exame.

Para tanto, ainda naquele ano, houve a reformulação das Matrizes de

Referência para o Enem, tomando como base as Matrizes de Referência do Exame

Nacional para Certificação de Competências de Jovens e Adultos (ENCCEJA, 2006),

estruturado em áreas do conhecimento. A parte objetiva da prova passou de 63 para

180 questões, divididas em quatro áreas do conhecimento: Linguagens, Códigos e

suas Tecnologias; Matemática e suas Tecnologias; Ciências da Natureza e suas

Tecnologias; e as Ciências Humanas e suas Tecnologias.

Cada área passou a conter 45 questões, que avaliam eixos cognitivos

comuns a todas as áreas, habilidades e competências específicas, associadas aos

objetos de conhecimento. Os cinco eixos cognitivos ou as cinco competências da

matriz, comuns a todas as áreas, são:

I. Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das linguagens matemática, artística e científica e das línguas espanhola e inglesa.

II. Compreender fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas.

III. Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema.

IV. Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente.

V. Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural (INEP, 2009, p. 1).

Além desses eixos cognitivos, as Matrizes do Enem passaram a ser

estruturadas por Competências de área, e estas por habilidades. A área de

Matemática e suas Tecnologias foi dividida em sete competências de área e trinta

habilidades (Ver anexo I).

As sete competências de área da Matemática são:

57

Competência de área 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

Competência de área 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

Competência de área 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística (INEP, 2009, p. 5).

Das trinta habilidades da Matemática, citamos somente aquelas

relacionadas ao nosso objeto de pesquisa, a geometria espacial. São cinco

habilidades; quatro delas pertencem à competência de área 2 e uma delas, à

competência de área 3. As habilidades são:

Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para

realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. o H6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. o H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais. o H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. o H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. o H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas (INEP, 2009, p. 5).

Os objetos de conhecimento associados à Matriz de referência são:

Numéricos.

Geométricos.

De Estatística e Probabilidade.

Algébricos.

58

Algébricos/geométricos.

É importante ressaltar que a escolha desses objetos de conhecimento

segue as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM, 2006), uma vez

que, neste documento, os objetos de conhecimento foram divididos em quatro

blocos: Números e operações; Funções; Geometria; Análise de dados e

probabilidade.

Em razão do nosso objeto de pesquisa, descrevemos apenas os

conhecimentos geométricos.

Conhecimentos geométricos:

o características das figuras planas e espaciais; o grandezas, unidades de medida e escalas; o comprimentos, áreas e volumes; o ângulos; o posições de retas; o simetrias de figuras planas ou espaciais; o congruência e semelhança de triângulos; o teorema de Tales; o relações métricas nos triângulos; o circunferências;

o trigonometria do ângulo agudo (INEP, 2009, p. 18).

Esses elementos da Matriz de referência, eixos cognitivos, competência

de área, habilidade e objeto de conhecimento, não estão dissociados, pelo contrário,

existe uma ligação direta entre eles, pois na descrição da habilidade estão explícitos

qual o eixo cognitivo e a competência de área associada à habilidade.

Na competência de área 2, “conhecimentos geométricos”, a relação entre

a habilidade e o eixo cognitivo é: H6 pertence ao eixo I; H7, ao eixo II; H8, ao eixo III;

e a H9, ao eixo IV.

Para um melhor entendimento do supraexposto, analisamos, a seguir, a

questão 145, da prova amarela, do Enem 2013.

Enunciado da questão:

Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro

circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m3, cuja base tem raio R e

59

centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina,

também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e

com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura.

O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que, após a construção dessa ilha, o espaço

destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4 m3.

Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em

metros, estará mais próximo de:

(A) 1,6 (B) 1,7 (C) 2,0 (D) 3,0 (E) 3,8

Resolução da questão:

O volume, em metros cúbicos, da “ilha de lazer”, na forma de um cilindro

circular reto de raio r, em metros, é 3.r2.1 = 3.r2.

Pelo enunciado, temos: 12 – 3r2 4 r2

8

3 r 1,632

O raio máximo está mais próximo de 1,6 m.

Análise da questão:

Esse item é uma situação-problema que envolve conhecimentos

geométricos de espaço e forma, e, para resolvê-lo, o aluno necessita interpretar a

situação real proposta, sendo exigido dele o conhecimento de volume de cilindro e

de desigualdade. Por isso, consideramos que a habilidade 8 é a que melhor

caracteriza o item.

É importante ressaltar que em vários casos um item pode ser classificado

por mais de uma habilidade, pois a linha que as separa é muito tênue. Se

tivéssemos classificado esse item como habilidade 9, isso estaria incorreto?

Acreditamos que não.

60

O Inep, quando divulgou os microdados1 2013, classificou esse item como

concernente à habilidade 14, e, por esse motivo, gostaríamos de analisar as

habilidades 8 e 14 e os seus respectivos eixos cognitivos, III e V:

H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma (INEP, 2009, p. 5).

III – Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema (INEP, 2009, p. 1).

Da leitura da habilidade e do eixo cognitivo, depreendemos que estes

contemplam a questão, posto que, para resolver a questão, o aluno enfrentou uma

situação-problema, utilizando-se de habilidades como relacionar, interpretar,

resolver, para decidir qual o raio máximo da ilha.

H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas (INEP, 2009, p. 5).

V – Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural (INEP, 2009, p. 1).

Na leitura da habilidade e do eixo cognitivo, observamos que essa

habilidade também caracteriza bem o item, pois o que é exigido na questão

representa uma proposta de intervenção solidária na realidade.

1 Os microdados divulgados pelo Inep trazem a classificação das questões por habilidade. É possível

encontrá-los em: <http://portal.inep.gov.br/basica-levantamentos-acessar>.

61

4 ANÁLISES DAS PROVAS DO ENEM E DA UFC, DO LIVRO DIDÁTICO E DOS PLANOS DE CURSO DO C7S

Neste capítulo, analisamos as provas do Enem, de 2009 a 2013; as

provas da UFC, de 2005 a 2010; o livro didático adotado pelo C7S, no período de

2005 a 2013; e os planos de curso de Matemática praticados por esse mesmo

colégio, no período de 2005 a 2013.

4.1 Análise das provas do Enem de 2009 a 2013

Neste item, oferecemos uma visão geral da distribuição dos itens da

prova, nesse período, por objetos de conhecimento, por temas de conhecimentos

geométricos, por assuntos da geometria espacial, por habilidade da Matriz de

Referência do Enem (2009), por tipo de geometria, métrica ou de posição, e ainda

classificamos as questões pelo nível de conhecimento esperado segundo Robert

(1998).

Esclarecemos que a classificação da questão quanto ao tipo de geometria

está relacionada à priorização do que se ensina em geometria espacial. As questões

associadas à posição relativa das formas, marcadas pela identificação de

propriedades concernentes ao paralelismo, ao perpendicularismo, à intersecção e à

composição de diferentes formas, classificamos como Posição. E aquelas

associadas às medidas, que têm como foco quantificar comprimentos, áreas e

volumes, classificamos como Métrica. Segundo os PCN+,

[...] para desenvolver esse raciocínio de forma mais completa, o ensino de Geometria na escola média deve contemplar também o estudo de propriedades de posições relativas de objetos geométricos; relações entre figuras espaciais e planas em sólidos geométricos; propriedades de congruência e semelhança de figuras planas e espaciais; análise de diferentes representações das figuras planas e espaciais, tais como desenho, planificações e construções com instrumentos (BRASIL, 2002, p. 123).

Para uma melhor apresentação do trabalho e uma compreensão mais

ampla de como fizemos a análise das provas, exibimos, a seguir, nossas conclusões

a respeito de 3 das 29 questões examinadas, ficando as demais à disposição do

leitor no anexo 2.

62

Questão 145 da prova amarela do Enem 2013

Fonte: Elaborada pelo autor

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver a questão, o aluno

terá que fazer uma adaptação na fórmula do volume do cilindro

menor, impondo a condição de a diferença entre os volumes do

cilindro maior e do cilindro menor ser maior ou igual a quatro. Como a

resolução do item exige algo mais do que a aplicação direta de uma

fórmula, consideramos que o nível de conhecimento exigido é o

mobilizável.

Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro

circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m3, cuja base tem raio R e

centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também

na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro

da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da

ilha de lazer será r. Deseja-se que, após a construção dessa ilha, o espaço destinado à

água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4 m3.

Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em

metros, estará mais próximo de

A) 1,6 B) 1,7 C) 2,0 D) 3,0 E) 3,8

Resolução: O volume, em metros cúbicos, da “ilha de lazer”, na forma de

um cilindro circular reto de raio r, em metros, é 3 . r2 . 1 = 3 .r

2. Pelo enunciado, temos:

12 – 3r2 4 r

2

8

3 r 1,632. O raio máximo está mais próximo de 1,6 m.

63

Geometria métrica – a questão representa o tipo de geometria

métrica, pois o que se pede é o cálculo da medida do raio.

Habilidade H9 – a questão é um problema que está inserido no

cotidiano das pessoas e que, para ser solucionado, necessita dos

conhecimentos de geometria de espaço e forma. Além disso, a

escolha do valor do raio da piscina é fundamentada pela condição

imposta na questão: qual o raio máximo para se obter o volume de, no

mínimo, 4 m3? Conforme a matriz de referência do Enem,

classificamos a questão como concernente à habilidade H9, cuja

definição é a seguinte: utilizar conhecimentos geométricos de espaço

e forma na seleção de argumentos propostos como solução de

problemas do cotidiano.

Questão 147 da prova amarela do Enem 2012

Fonte: Elaborada pelo autor

Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de

resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como

mostra na figura.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto

cujo volume fosse de 2.400 cm3?

A) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.

B) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.

C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.

D) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.

E) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.

Resolução:

O nível de água subirá 2 cm, pois: 30 cm . 20 cm . x = 2.400 cm3 x = 2 cm.

64

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – a situação proposta requer do

aluno a percepção de que o volume de água deslocado pelo objeto é

igual ao volume do objeto e, em seguida, requer o cálculo da altura por

meio da fórmula do volume do paralelepípedo.

Geometria métrica – a questão demonstra geometria do tipo métrica,

pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade H8 – segundo a matriz de referência do Enem, a questão é

concernente à habilidade H9, cuja definição é a seguinte: resolver

situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço

e forma.

Questão 164 da prova amarela do Enem 2010

Fonte: Elaborada pelo autor

Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade,

uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base

são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a

perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais,

conforme mostra a figura.

O raio da perfuração da peça é igual a

A) 1 cm. B) 2 cm. C) 3 cm. D) 4 cm. E) 5 cm.

Resolução: Se r for o raio da perfuração da peça, já que o triângulo de

dimensões 6, 8 e 10 é retângulo, temos:

(6 – r) + (8 – r) = 10 r = 2

65

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver o item, o aluno

precisa relacionar diversos conhecimentos. Ele começa pelo teorema

de Pitágoras, passa pela inscrição da circunferência num triângulo,

pelo teorema dos segmentos de retas tangentes à circunferência, para,

em seguida, determinar o raio.

Geometria métrica – a questão apresenta geometria do tipo métrica,

pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade H8 – de acordo com a matriz de referência do Enem, a

questão é referente à habilidade H9, cuja definição é a seguinte:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Apresentamos, a seguir, o resumo das 29 questões examinadas.

Começamos a análise das provas do Enem pela distribuição dos itens por objetos de

conhecimento associados à matriz de referência, pois consideramos esse fato

importante, visto que uma maior ou menor incidência de determinados

conhecimentos nas provas poderá influenciar ou não numa maior ou menor

contemplação destes na elaboração do currículo.

Na tabela 1, observamos que os objetos de conhecimentos geométricos

obtiveram a segunda maior incidência nas provas nesse período, dado que, das 225

questões, 69 foram dessa área, o que representa uma média de 30,6% das

questões por prova.

Tabela 1 – Número de questões do Enem por objeto de conhecimento

Fonte: Elaborada pelo autor.

Constatamos, a partir dessa distribuição das questões, que alguns

assuntos tiveram uma baixa incidência nas provas do Enem, e outros não foram

OBJETOS DE CONHECIMENTO - ENEM 2009 2010 2011 2012 2013 Total

CONHECIMENTO ALGÉBRICO 3 6 8 5 6 28

CONHECIMENTO ALGÉBRICO/GEOMÉTRICO 1 1 2 4

CONHECIMENTO DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 8 10 8 11 9 46

CONHECIMENTO GEOMÉTRICO 17 15 12 12 13 69

CONHECIMENTO NUMÉRICO 17 13 16 17 15 78

Total Geral 45 45 45 45 45 225

66

contemplados em nenhuma edição do exame. Em conhecimentos

algébricos/geométricos, ocorreram somente quatro questões nesse período, uma em

2010, uma em 2011 e duas em 2013. Em conhecimentos algébricos, tema

abrangente e com vários subtemas, a incidência das questões recaiu sobre as

funções do 1º e 2º graus, enquanto as funções exponenciais, logarítmicas e

trigonométricas quase não foram exploradas, e, ainda, outros subtemas da álgebra

não foram explorados em nenhuma edição do exame.

Prosseguimos a nossa análise com o intuito de saber qual foi o percentual

de questões de geometria espacial relativo às questões de conhecimentos

geométricos. Observando a tabela 2, percebemos que a geometria espacial

representava, em média anual, 42% das questões dessa área do conhecimento,

visto que das 69 questões que constaram nas provas de 2009 a 2013, 29 eram de

geometria espacial.

Tabela 2 – Número de questões de conhecimento geométrico do Enem por tema

Fonte: Elaborada pelo autor.

A tabela 3 mostra o número de questões do Enem por tópicos da

geometria espacial nos anos de 2009 a 2013. Observamos que, nas provas de 2009

e 2010, o número de questões de geometria espacial representou cerca de 20% das

45 questões da prova e que, nos anos seguintes, esse número reduziu para 10%

aproximadamente.

Tabela 3 – Número de questões de geometria espacial do Enem por assunto/ano

Fonte: Elaborada pelo autor.

CONHECIMENTO GEOMÉTRICO 2009 2010 2011 2012 2013 Total

ESCALA 1 2 2 2 7

GEOMETRIA ESPACIAL 7 10 3 5 4 29

GEOMETRIA PLANA 6 3 4 4 5 22

UNIDADES DE MEDIDA 3 2 3 1 2 11

Total Geral 17 15 12 12 13 69

ASSUNTOS DA GEOMETRIA ESPACIAL 2009 2010 2011 2012 2013 Total

ÁREA SUPERFICIAL DE SÓLIDOS 1 1 2

CARACTERÍSTICA DE SÓLIDOS 1 1 1 3

INSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 1 1

PLANIFICAÇÃO DE SÓLIDOS 1 1 2

PLANOS E RETAS 2 1 3

REPRESENTAÇÃO BI DIMENSIONAL 1 2 1 4

VOLUME DE SÓLIDOS 4 6 1 2 1 14

Total Geral 7 10 3 5 4 29

67

A tabela 4 revela o número de questões de geometria espacial que avalia

as propriedades da geometria métrica (medidas de comprimento, área e volume) e

as propriedades da geometria de posição (relações entre figuras espaciais e planas

em sólidos geométricos; análise de diferentes representações das figuras planas e

espaciais). Observamos que, em 2010, a prova valorizou muito a geometria métrica

e que, nos outros anos, a prova valorizou tanto a geometria métrica quanto a

geometria de posição.

Tabela 4 – Classificação das questões do Enem em Geometria Métrica ou de Posição

Fonte: Elaborada pelo autor.

A tabela 5 mostra a distribuição das questões de geometria espacial por

habilidade. A habilidade H8, “Resolver situação-problema que envolva

conhecimentos geométricos de espaço e forma”, obteve a maior frequência dentre

as habilidades. Já as habilidades H9 e H14 obtiveram as menores frequências.

Tabela 5 – Classificação das questões de geometria espacial do Enem por habilidade

Fonte: Elaborada pelo autor.

A tabela 6 demonstra uma distribuição equitativa das questões entre os

três níveis de conhecimento esperado, na perspectiva de Robert (1998).

Tabela 6 – Classificação das questões de geometria espacial pelo Nível de Conhecimento Esperado de Aline Robert

Fonte: Elaborada pelo autor.

GEOMETRIA ESPACIAL 2009 2010 2011 2012 2013 Total

MÉTRICA 4 9 1 2 2 18

POSIÇÃO 3 1 2 3 2 11

Total Geral 7 10 3 5 4 29

HABILIDADE 2009 2010 2011 2012 2013 Total

H6 1 1 2 1 5

H7 2 1 2 1 1 7

H8 2 5 1 2 1 11

H9 1 1 1 3

H14 1 2 3

Total Geral 7 10 3 5 4 29

NÍVEL DE CONHECIMENTO ESPERADO 2009 2010 2011 2012 2013 Total

DISPONÍVEL 3 3 1 1 2 10

MOBILIZÁVEL 2 2 1 3 1 9

TÉCNICO 2 5 1 1 1 10

Total Geral 7 10 3 5 4 29

68

Mediante a análise das provas, concluímos que a área de conhecimentos

geométricos é bastante valorizada no Enem e que a geometria espacial representa

aproximadamente 10% das questões da prova. Além disso, verificamos que o exame

valoriza tanto a geometria de posição quanto a geometria métrica.

No tocante às habilidades dessa área, constatamos que todas foram

contempladas no período analisado, mas as habilidades H9 e H14 tiveram baixa

frequência nas provas do Enem. Concluímos que essas duas habilidades pertencem

aos eixos cognitivos de construção de argumentação e proposta de intervenção na

realidade, e, no nosso entendimento, elas são as habilidades dessa área sobre as

quais o professor tem maior dificuldade de elaborar itens e também as que são mais

difíceis de ser trabalhadas em sala de aula.

Consideramos também que as questões estão em conformidade com as

orientações dos PCN+ (2002), dado que elas foram propostas em forma de situação-

problema, exigindo do aluno os conhecimentos de geometria de posição, retas e

planos, e de geometria métrica, cálculo de comprimentos, áreas e volumes.

4.2 Análise das provas da UFC de 2005 a 2010

Neste item, analisamos as questões de geometria espacial que constam

nas provas de vestibulares da UFC de 2005 a 2010 e, para isso, utilizamos o mesmo

modelo de análise feito no item anterior.

A escolha do ano de início de análise dos vestibulares se deu pelo fato

de, em 2004, ter ocorrido uma grande mudança do modelo de vestibular; não faria

sentido, portanto, comparar as provas posteriores a esse ano com as provas

anteriores. O ano do fim da análise foi escolhido em virtude de, em 2010, ter havido

outra grande mudança no vestibular da UFC. A universidade adotou o Enem como

fase única do seu processo seletivo.

Consideramos importante explicar o modelo de prova do vestibular da

UFC e o currículo adotado pelo C7S para justificarmos a escolha das questões

analisadas. A prova de Matemática do vestibular da UFC, nesse período, ocorria em

duas fases: a primeira fase tinha oito questões objetivas para todos os candidatos, e

a segunda fase era composta por oito questões discursivas para os candidatos cuja

opção de curso tinha Matemática como prova específica.

69

Para preparar os alunos para a prova de Matemática da primeira fase, o

C7S oferecia um currículo comum a todos os alunos com cinco aulas semanais.

Para a prova da segunda fase, o colégio oferecia, além do currículo comum, um

currículo extra com mais quatro aulas semanais. Como no nosso trabalho

analisamos apenas o currículo comum a todos os alunos, examinamos somente as

questões da primeira fase do vestibular da UFC.

Apresentamos a seguir a análise das questões:

Questão 48 da prova de 1ª fase da UFC 2010

Fonte: Elaborada pelo autor

Em um contêiner de 10 m de comprimento, 8 m de largura e 6 m de altura,

podemos facilmente empilhar 12 cilindros de 1 m de raio e 10 m de altura cada, bastando

dispô-los horizontalmente, em três camadas de quatro cilindros cada. Porém, ao fazê-lo, um

certo volume de contêiner sobrará como espaço vazio. Adotando 3,14 como aproximação

para π, é correto afirmar que a capacidade volumétrica desse espaço vazio é:

A) inferior à capacidade de um cilindro.

B) maior que a capacidade de um cilindro, mas menor que a capacidade de dois

cilindros.

C) maior que a capacidade de dois cilindros, mas menor que a capacidade de três

cilindros.

D) maior que a capacidade de três cilindros, mas menor que a capacidade de

quatro cilindros.

E) maior que a capacidade de quatro cilindros.

Questão 48 – alternativa D

Solução: A alternativa D está correta.

O volume do contêiner é igual a 480 m3; o volume de um cilindro é igual a x

12x 10 = 31,4 m

3, de maneira que o volume dos doze cilindros juntos é igual a 12 x 31,4 =

376,8 m3. Portanto, o volume do espaço vazio é igual a 480 – 376,8 = 103,2 m

3, o que

corresponde ao volume de mais de três e menos de quatro cilindros.

70

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – a situação proposta requer do

aluno a aplicação direta das fórmulas do volume do paralelepípedo e

do cilindro, e a noção de que o volume do espaço vazio no contêiner

resultaria da subtração do volume dos cilindros.

Geometria métrica – a questão apresenta geometria do tipo métrica,

pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade H8 – a questão representa uma situação real e implica a

necessidade de o aluno apresentar conhecimentos geométricos de

espaço e forma para resolvê-la. Por isso, consideramos que a

habilidade é a H8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é a

seguinte: resolver situação-problema que envolva conhecimentos

geométricos de espaço e forma.

Questão 51 da prova de 1ª fase da UFC 2009

Fonte: Elaborada pelo autor

Ao seccionarmos um cone circular reto por um plano paralelo a sua base, cuja

distância ao vértice do cone é igual a um terço da sua altura, obtemos dois sólidos: um cone

circular reto S1 e um tronco de cone S2. A relação 2

1

volume (S )

volume (S )é igual a:

A) 33 B) 27 C) 26 D) 9 E) 3

Questão 51 – alternativa C

Solução: Seja V o volume do cone de altura h. Se k é a razão de semelhança

entre os dois cones, então

h

13k .h 3

Logo, 3

311

volume(S ) 1 Vk volume (S ) .

V 3 27

Portanto, 2

1

V 26VV

volume(S ) 27 27 26 .V Vvolume(S )

27 27

71

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – pela resolução apresentada, para

o aluno chegar à resposta, é necessário recorrer a um conhecimento,

cuja utilização não está explícita na questão, que é a razão de

semelhança entre os cones. Outra solução seria o uso direto da

fórmula do volume do cone, mas, para chegar à resposta dessa forma,

ele teria que recorrer a uma semelhança de triângulos.

Geometria métrica – a questão evidencia geometria do tipo métrica,

pois o que se pede é o cálculo da medida da razão entre os volumes.

Habilidade H8 – a habilidade é a H8 da matriz de referência do Enem,

cuja definição é a seguinte: resolver situação-problema que envolva

conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Questão 51 da prova de 1ª fase da UFC 2008

Fonte: Elaborada pelo autor

Classificação da questão:

Nível de mobilizável – para solucionar a questão, o aluno aplica

diretamente as fórmulas dos volumes e, em seguida, efetua uma

subtração.

Duas esferas de raios iguais a r são colocadas no interior de um tubo de ensaio

sob a forma de um cilindro circular reto de raio da base r e altura 4r. No espaço vazio

compreendido entre as esferas, a superfície lateral e as bases, superior e inferior, do tubo de

ensaio, coloca-se um líquido. Então, o volume desse líquido é:

A) 2

3r

3 B) 3

4r

3 C) 4

3r

3 D) 2r3 E) 4r

3

Questão 51 – alternativa C

Solução: O volume do referido líquido, digamos V, é igual ao volume do

cilindro menos os volumes das esferas nele contidas. Então, V = 4r3 –

3 34 r 4 r2 .

3 3

72

Geometria métrica – a questão apresenta geometria do tipo métrica,

pois o que se pede é o cálculo da medida de um volume.

Habilidade H8 – a habilidade é a H8 da matriz de referência do Enem,

cuja definição é a seguinte: resolver situação-problema que envolva

conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Questão 52 da prova de 1ª fase da UFC 2008

Fonte: Elaborada pelo autor

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para solucionar a questão, o

aluno deve aplicar a relação de Euler. Ele precisa, para tanto,

perceber que a soma de todas as arestas das faces é o dobro do

número de arestas do poliedro.

Geometria métrica – a questão traz geometria do tipo métrica, pois o

que se pede é o cálculo do número de faces.

Habilidade H8 – a habilidade é a H8 da matriz de referência do Enem,

cuja definição é a seguinte: resolver situação-problema que envolva

conhecimentos geométricos.

O número de faces de um poliedro convexo com 20 vértices e com todas as

faces triangulares é igual a:

A) 28. B) 30. C) 32. D) 34. E) 36.

Questão 52 – alternativa E

Solução: Denotemos por V, A e F, respectivamente, o número de vértices,

arestas e faces do poliedro. Sabemos da relação de Euler que V – A + F = 2. Por outro

lado, num poliedro convexo com faces triangulares, temos a relação 3F = 2A. Assim, F =

2V – 4.

73

Questão 52 da prova de 1ª fase da UFC 2006

Fonte: Elaborada pelo autor

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – a situação proposta requer do

aluno a percepção de que a soma dos volumes das esferas não pode

exceder o volume do vaso não ocupado pela água.

Geometria métrica – a questão apresenta geometria do tipo métrica,

pois o que se pede é o cálculo do número de esferas.

Habilidade H8 – a habilidade é a H8 da matriz de referência do Enem,

cuja definição é a seguinte: resolver situação-problema que envolva

conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5 cm,

altura 20 cm e contém água até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do

vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1 cm

de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde.

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

Questão 52 – alternativa E

Assunto: Geometria espacial

Solução: Se n é o maior número de esferas que podem ser colocadas no vaso,

então, a soma dos volumes das n esferas não excede o volume do vaso não ocupado pela

água e é a maior possível. Em símbolo, n .4

3. 1

3 . 5

2 (20 – 19), daí n

3

4 . 25

=18,75. Logo, n = 18.

74

Questão 50 da prova de 1ª fase da UFC 2005

Fonte: Elaborada pelo autor

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – a situação proposta requer que o

aluno mobilize e relacione diversos conhecimentos, como: altura do

triângulo equilátero, teorema de Pitágoras e resolução de sistema.

Geometria métrica – a questão exibe geometria do tipo métrica, pois o

que se pede é o cálculo de uma medida.

Num tetraedro ABCD vale a igualdade DA DB DC a e o triângulo

ABC é equilátero com AB b . O comprimento da altura do tetraedro baixada do

vértice A é igual a:

A) a b

2

B) ab C)

2 2b 3a b

a

D)

2 2

2 2

3a bb

4a b

E)

2 23a ba

a b

Questão 50 – alternativa D

Assunto: Geometria espacial

Solução: Seja x a distância do pé da altura h ao lado BC do triângulo

isósceles e seja y a distância do pé da perpendicular h ao vértice D do tetraedro. Pelo

Teorema de Pitágoras temos as equações

22 2

2 2 2

22 2

3bx h

4

y a h .

b(x y) a

4

Eliminando as variáveis x e y na última equação obtemos o valor de h.

75

Habilidade H8 – a habilidade é a H8 da matriz de referência do Enem,

cuja definição é a seguinte: resolver situação-problema que envolva

conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Depois da análise das questões, apresentamos um resumo estatístico

anual da prova. Começamos o resumo estatístico das provas da UFC pela

distribuição dos itens por objetos de conhecimento associados à matriz de referência

do Enem (2009).

Na tabela 7, observamos que os objetos de conhecimentos geométricos

obtiveram a terceira maior incidência nas provas nesse período, dado que, das 48

questões, 11 foram dessa área, o que representa uma média de 22,9% das

questões por prova. Trata-se de porcentagem significativa, uma vez que alguns

conteúdos, como estatística e probabilidade, não aparecem nenhuma vez nos

exames desse período.

Tabela 7 – Número de questões da UFC por objeto de conhecimento

Fonte: Elaborada pelo autor.

Prosseguimos em nossa análise com o intuito de saber qual o percentual

de questões de geometria espacial relativo às questões de conhecimentos

geométricos. Observando a tabela 8, percebemos que a geometria espacial

representava, em média anual, 54% das questões dessa área do conhecimento,

visto que, das 11 questões que constaram nas provas de 2005 a 2010, 6 eram de

geometria espacial.

Tabela 8 – Número de questões de conhecimento geométrico da UFC por tema

Fonte: Elaborada pelo autor.

OBJETOS DE CONHECIMENTO 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Total

CONHECIMENTO ALGÉBRICO 2 4 3 1 4 2 16

CONHECIMENTO ALGÉBRICO/GEOMÉTRICO 1 1 0 0 1 1 4

CONHECIMENTO DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 0 0 0 0 0 0 0

CONHECIMENTO GEOMÉTRICO 2 2 1 3 1 2 11

CONHECIMENTO NUMÉRICO 3 1 4 4 2 3 17

Total Geral 8 8 8 8 8 8 48

CONHECIMENTO GEOMÉTRICO 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Total

GEOMETRIA ESPACIAL 1 1 0 2 1 1 6

GEOMETRIA PLANA 1 1 1 1 0 1 5

Total Geral 2 2 1 3 1 2 11

76

A tabela 9 mostra o número de questões da UFC por tópicos da geometria

espacial nos anos de 2005 a 2010. Observamos que as questões de geometria

espacial foram exploradas em quase todos os exames nesse período.

Tabela 9 – Número de questões de geometria espacial da UFC por assunto/ano

Fonte: Elaborada pelo autor.

A tabela 10 demonstra que a geometria de posição não foi explorada em

nenhuma prova nesse período.

Tabela 10 – Classificação das questões da UFC em Geometria Métrica ou de Posição

Fonte: Elaborada pelo autor.

A tabela 11 indica a distribuição das questões de geometria espacial por

habilidade. A habilidade H8, “Resolver situação-problema que envolva

conhecimentos geométricos de espaço e forma”, foi a única habilidade explorada

nas provas da UFC.

Tabela 11 – Classificação das questões de geometria espacial da UFC por habilidade

Fonte: Elaborada pelo autor.

ASSUNTOS DA GEOMETRIA ESPACIAL 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Total

CÁLCULO DE ALTURA DOS SÓLIDOS 1 1

INSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 1 1 2

POLIEDRO 1 1

VOLUME DE SÓLIDOS 1 1 2

Total Geral 1 1 0 2 1 1 6

GEOMETRIA ESPACIAL 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Total

MÉTRICA 1 1 0 2 1 1 6

POSIÇÃO 0 0 0 0 0 0 0

Total Geral 1 1 0 2 1 1 6

HABILIDADE 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Total

H6

H7

H8 1 1 2 1 1 6

H9

H14

Total Geral 1 1 0 2 1 1 6

77

A tabela 12 mostra a distribuição das questões entre os três níveis de

conhecimento esperado segundo Robert (1998). Constatamos que a maioria das

questões foi classificada, por nós, no nível de conhecimento “Disponível”, o que

significa que as questões apresentaram um elevado grau de dificuldade.

Tabela 12 – Classificação das questões de geometria espacial pelo Nível de Conhecimento Esperado de Aline Robert

Fonte: Elaborada pelo autor.

A partir da análise das provas, concluímos que a área de conhecimentos

geométricos foi valorizada nos vestibulares da UFC e que a geometria espacial

representou aproximadamente 12% das questões das provas. Além disso,

verificamos que esses exames priorizaram a geometria métrica. No tocante às

habilidades dessa área, verificamos que somente a habilidade H8 foi contemplada

no período analisado e ainda que as situações propostas nos problemas não faziam

parte do cotidiano dos alunos.

Sobre o programa de geometria espacial do vestibular da UFC,

observamos que ele não sofreu alteração no período analisado. Além disso,

percebemos que o programa indica os grandes temas da geometria espacial sem

detalhar os subtemas. Se, por um lado, esse fato permite que a escola organize o

seu currículo, selecionando a partir dessa constatação o que deve ou não ser

ensinado, por outro lado, expõe a escola a críticas, caso uma questão na prova

contemple um assunto que não foi ensinado.

Diante do exposto, consideramos que as provas de Matemática do

vestibular da UFC não estavam totalmente em conformidade com as orientações dos

PCN+ (2002), dado que não exigiram do aluno os conhecimentos de geometria de

posição.

4.3 Análise das provas do C7S de 2005 a 2013

Neste item, analisamos as provas aplicadas no 3º ano do C7S. Essa

análise é importante para nossa pesquisa, pois uma das funções da avaliação é a

NÍVEL DE CONHECIMENTO ESPERADO 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Total

DISPONÍVEL 1 1 1 3

MOBILIZÁVEL 1 1 2

TÉCNICO 1 1

Total Geral 1 1 0 2 1 1 6

78

regulação dos processos de ensino e de aprendizagem, ou seja, por meio dessas

funções, é possível detectarmos os objetivos educacionais adotados em sala de

aula.

De 2005 a 2010, o modelo de prova aplicado no C7S era o de vestibular

simulado, ou seja, a prova seguia o mesmo padrão da prova aplicada pela

universidade no seu processo seletivo. Nesse sentido, durante o ano, o aluno

realizava quatro simulados modelo UFC, dois simulados modelo Universidade

Estadual do Ceará (UECE) e um simulado modelo Enem. O número de simulados

modelo UFC indica que o C7S, na preparação do aluno para o vestibular, focava

mais a UFC. Em 2011, com a mudança do vestibular da UFC, foi adotado o Enem

como fase única do seu processo seletivo. Em virtude disso, o C7S passou a realizar

somente simulados modelo Enem, aplicando oito simulados anualmente.

Em todos os simulados analisados, de 2011 a 2013, verificamos que as

questões de geometria de posição e métrica eram contempladas. Além disso,

observamos que, para cada questão do simulado, havia a indicação da habilidade

da Matriz de Referência do Enem (2009). Esse fato nos levou a inferir que essa

indicação era um sinal de que essas habilidades eram desenvolvidas em sala de

aula.

A divulgação do resultado do simulado Enem era feita por meio de um

boletim de desempenho individual, indicando, dentre outras coisas, o número de

questões certas, a nota pela Teoria de Resposta ao Item (TRI) e o número de erros

por habilidade. Esse boletim informava ao aluno quais habilidades ele precisava

desenvolver. Na figura 1, observamos o boletim de um aluno que na prova de

Matemática acertou 34 questões, obteve 720 pontos pela TRI e errou questões das

habilidades 3, 6, 8, 9, 15, 16, 19, 26 e 28. Considerando que as habilidades 6, 8 e 9

são referentes a conhecimentos geométricos, esses resultados indicam que, no caso

desse aluno, essas habilidades ainda devem ser aprimoradas.

79

Figura 1 – Boletim de desempenho individual – Simulado Enem

Fonte: C7S.

Esse sistema de avaliação do C7S é um indicativo de que a prova do

Enem também influenciou a construção do seu currículo, haja vista que o trabalho

por habilidades é o foco desse modelo.

4.4 Análise do livro didático

Neste item, analisamos o livro didático adotado pela escola no período de

2005 a 2013, pois consideramos que ele desempenha um papel fundamental na

elaboração do currículo, uma vez que a escolha de um livro didático traz consigo

outras escolhas, como: os conteúdos que devem ser ensinados, a organização dos

conteúdos, a metodologia de ensino.

O C7S utilizava uma coleção de livros para o 1º e 2º anos e outra coleção

para o 3º ano. Para realizar esse estudo do livro didático, baseamo-nos no Programa

Nacional do Livro Didático PNLD (2014) e iniciamos pela análise da coleção adotada

para as duas primeiras séries desse ciclo.

A coleção adotada pelo C7S no período analisado foi Matemática, uma

nova abordagem, de autoria de José Ruy Giovanni. Para o nosso estudo, realizamos

apenas a análise do capítulo de geometria espacial que consta no volume 2 dessa

coleção. O capítulo de geometria espacial divide-se em oito unidades e inicia-se com

uma contextualização do tema, feita por meio de textos e imagens. Seguem-se as

explanações teóricas, intercaladas pelas seções Exemplos e Exercícios e, no final,

há a seção Ampliando.

Quanto à seleção e organização dos conteúdos, o capítulo inicia-se com a

geometria espacial de posição, que é estudada de modo extenso, fragmentado e

80

com excesso de classificações sobre as posições relativas de Retas e Planos. Além

disso, há muitos exercícios repetitivos. Observamos, ainda, que as aplicações

desses conceitos às representações planas de objetos espaciais não são

exploradas.

Na geometria plana, é feita uma revisão de polígonos e de áreas de

figuras planas, sem demonstrações, apenas citando-se as fórmulas. No estudo dos

sólidos, predominam os conteúdos ligados ao cálculo de comprimentos, áreas,

volumes. A ênfase recai, assim, na geometria métrica. Em geral, são cuidadosas as

deduções das fórmulas do volume dos sólidos redondos mais comuns, com base no

Princípio de Cavalieri. Observamos também que, entre as numerosas atividades,

várias requerem a mera aplicação de fórmulas.

Sobre a metodologia de ensino-aprendizagem, na abordagem dos

conteúdos matemáticos, as explanações teóricas, seguidas de atividades resolvidas

e de exercícios de aplicação, são a característica predominante no capítulo. De

modo geral, as sistematizações são feitas com base em alguns exemplos e, muitas

vezes, pautadas em definições e em procedimentos, o que dificulta aos alunos

fazerem relações entre os conceitos. Essa forma de apresentação dos conteúdos,

feita quase sempre da mesma maneira, reduz as possibilidades de escolhas para

alunos e professores. Além disso, não há incentivo explícito à interação entre alunos

e destes com o professor. Logo, a metodologia de ensino e aprendizagem

empregada no capítulo não favorece o desenvolvimento de uma postura mais

autônoma e crítica por parte do aluno.

Quanto à contextualização, na abordagem dos conhecimentos, não são

feitas conexões significativas e diversificadas com as práticas sociais atuais e com

outras áreas do conhecimento. Na história da Matemática, apenas no início do

capítulo, recorre-se ao relato de eventos, sem que seus tópicos sejam empregados

como recurso didático para a compreensão atual dos conceitos matemáticos.

No tocante ao curso de Matemática proposto, cabe ao professor

selecionar aqueles conteúdos que considere mais adequados a seus estudantes em

face do extenso repertório oferecido na coleção. Sobre a linguagem utilizada pelo

autor, consideramos que é clara e acessível. No geral, a obra também é visualmente

agradável, com uma boa organização dos textos nas páginas, que é complementada

pela distribuição de imagens variadas e bem escolhidas.

81

Apesar da coleção não ter o perfil desejado pela escola, a sua adoção

justificou-se por dois fatos: pelo elevado número de exercícios e pelo fato de ser,

dentre todas as obras analisadas, a que mais se aproximava do perfil de material

didático escolhido pela equipe de professores. Para complementar a coleção, os

professores escreveram um material de apoio contendo questões classificadas por

habilidades e competências.

A coleção adotada pelo C7S no 3º ano, no período de 2005 a 2010, foi

escrita e editorada na própria escola e chama-se: Matemática e suas tecnologias, de

autoria de Eraldo Gonçalves Correia. Essa coleção, composta por cinco volumes, foi

estruturada para uma carga horária de cinco aulas semanais, e os volumes deveriam

ser trabalhados concomitantemente. Para o nosso estudo, efetuamos apenas a

análise de geometria espacial que consta no volume 3 dessa coleção.

O capítulo de geometria espacial divide-se em 14 aulas, e cada aula é

composta pelas seguintes seções: teoria, exercícios de aprendizagem e exercícios

de fixação. Na seção teoria, o material contém um resumo do assunto estudado,

sem nenhuma contextualização. No estudo dos sólidos, predominam os conteúdos

ligados ao cálculo de comprimentos, áreas, volumes. A ênfase recai, assim, na

geometria métrica. As fórmulas são apresentadas sem as deduções, e os exercícios,

na sua maioria, requerem a mera aplicação de fórmulas.

Sobre a metodologia de ensino-aprendizagem, na abordagem dos

conteúdos matemáticos, os resumos teóricos, seguidos de exercícios de

aprendizagem e de fixação, são a característica predominante de cada aula. Quanto

à contextualização, na abordagem dos conhecimentos, não são feitas conexões

significativas e diversificadas com as práticas sociais atuais e com outras áreas do

conhecimento. A história da Matemática não é abordada em nenhuma aula. Quanto

ao curso de Matemática proposto, a escolha dos assuntos e da ordem em que os

conteúdos seriam apresentados foi feita pela equipe de professores do 3º ano do

C7S.

No período de 2011 a 2013, o C7S adota uma nova coleção no 3º ano.

Essa coleção, do mesmo autor da coleção anterior, foi escrita associando os objetos

de conhecimento à Matriz de Referência do Enem (2009) e foi planejada para uma

carga horária semanal de cinco aulas, num total de 150 aulas/ano, que foram

82

divididas em cinco volumes. No nosso estudo, analisamos apenas o volume 3, que

apresenta as geometrias: plana e espacial.

Cada capítulo da coleção é composto pelas seguintes seções:

Conhecimento e Informação

Desenvolvendo Competências

Tarefa de Casa

A seção Conhecimento e Informação contém os conteúdos específicos

desenvolvidos em tópicos, leituras suplementares e os exercícios de aprendizagem,

estes para serem resolvidos em sala de aula. A seção Desenvolvendo

Competências tem foco numa determinada competência, com texto para leitura e

análise em sala de aula e um bloco, chamado Exercitando Habilidades, constituído

por exercícios para a sala de aula referentes à habilidade estudada.

A seção Tarefa de Casa, ao final de cada aula, contém blocos de

exercícios agrupados por objetivos, denominados: De Olho no Conhecimento, De

olho no Enem e De Olho no Vestibular. A coleção também disponibiliza um Ambiente

Virtual de Aprendizagem (AVA) para o aluno estudar por meio de exercícios e uma

coletânea de todas as questões do Enem, classificadas por habilidade.

No tocante aos assuntos explorados, a coleção inicia-se com o estudo

dos sólidos, em que predominam os conteúdos ligados ao cálculo de comprimentos,

áreas e volumes, porém há uma série de exercícios para trabalhar a planificação dos

sólidos e simetria. A ênfase recai, assim, na geometria métrica. Em geral, são

cuidadosas as deduções das fórmulas do volume dos sólidos redondos mais

comuns, com base no Princípio de Cavalieri. Observamos que, entre as numerosas

atividades, várias envolvem situações-problema, são bem contextualizadas e

classificadas segundo a Matriz de Habilidades do Enem.

Sobre a metodologia de ensino e aprendizagem, na abordagem dos

conteúdos matemáticos, as explanações teóricas, seguidas de atividades resolvidas

e de exercícios de aprendizagem com foco nas habilidades e nas questões sociais e

de cidadania, são a característica predominante de cada aula. Assim, a metodologia

de ensino e aprendizagem empregada em cada aula favorece o desenvolvimento de

uma postura mais autônoma e crítica por parte do aluno.

83

Quanto à contextualização, na abordagem dos conhecimentos, são feitas

conexões significativas e diversificadas com as práticas sociais atuais e com outras

áreas do conhecimento. Na história da Matemática, em algumas aulas, recorre-se ao

relato de eventos, sem que seus tópicos sejam empregados como recurso didático

para a compreensão atual dos conceitos matemáticos. Em relação ao curso de

Matemática proposto, o currículo foi elaborado pela equipe de professores do 3º ano

do C7S.

No que respeita à linguagem utilizada pelo autor, consideramos que é

clara e acessível. No geral, a obra também é visualmente agradável, com uma boa

organização dos textos nas páginas, complementada pela distribuição de imagens

variadas e bem escolhidas.

4.5 Análise dos planos de curso e da carga horária por tema de 2005 a 2013

Neste capítulo, empreendemos as análises dos planos de cursos do C7S

de 2005 a 2013, cujo objetivo é identificar se, na concepção utilizada para elaborar o

plano de curso, houve influência do livro didático, dos PCNs, do vestibular da UFC e

do Enem.

A confecção do plano de curso do C7S ocorre anualmente, no mês de

janeiro, por ocasião da semana pedagógica. O objetivo do plano é referenciar os

conteúdos, as metodologias, os procedimentos e as técnicas a serem utilizados nos

processos de ensino e de aprendizagem. Ele orienta o professor no decorrer das

atividades escolares, sequenciando os conteúdos, indicando os materiais a serem

utilizados e os procedimentos avaliativos.

O momento de construção do plano é, sem dúvida, para o professor, um

tempo de formação e de reflexão da sua prática pedagógica.

4.5.1 Análise dos planos de curso de 2005 a 2013

Os conteúdos de geometria espacial eram vistos no 2º ano do Ensino

Médio e revistos no 3º ano, portanto iniciamos as análises dos planos pelo 2º ano. A

partir do plano de curso de 2005, verificamos de imediato que as orientações

curriculares propostas pelos PCNs estavam presentes no documento, e, mais

84

adiante, explicaremos por quê. Ao nos depararmos com essa comprovação e por

sabermos que os PCNs foram publicados em 1999, perguntamo-nos: em que ano os

PCNs passaram a influenciar o nosso plano de curso? Por esse motivo, resolvemos

analisar os planos anteriores a 2005, uma vez que chegamos à conclusão de que a

mudança ocorreu entre 2003 e 2004 e que esta foi provocada pela adoção do novo

modelo de vestibular da UFC.

Em 2003, o plano foi elaborado listando o conteúdo a ser ensinado na

mesma sequência do livro didático, e havia a indicação dos exercícios que o

professor e o aluno deveriam fazer. Observamos, ainda, que alguns tópicos do livro

didático não foram contemplados no plano com justificativa de não serem cobrados

no vestibular da UFC, apesar de constar no programa do vestibular dessa

universidade. É importante ressaltarmos que outros assuntos que não constavam

nas provas da UFC eram contemplados no plano sob a justificativa de que aqueles

assuntos eram importantes para que o aluno prosseguisse seus estudos no nível

superior. Quanto às estratégias e metodologias trabalhadas em cada assunto, o

plano não fazia referência.

Para ilustrar o que expusemos até aqui, apresentamos e comentamos o

plano de curso do 2º ano do Ensino Médio referente ao ensino de geometria

espacial.

85

Figura 2 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro ano 2003

Fonte: C7S.

Observamos, pelo plano, que o curso de geometria espacial iniciava-se

com uma revisão de áreas das figuras planas e, em seguida, voltava-se para o

estudo dos prismas, deixando de lado o estudo das posições relativas de planos e

retas. Na sequência, ele estabelecia o estudo das pirâmides, cilindros, cones e

esferas, sempre com ênfase nos cálculos de áreas e volumes.

Na coluna “conteúdo programático”, os conteúdos listados adotam a

mesma sequência dos capítulos do livro didático utilizado (Matemática, uma nova

abordagem, de autoria de José Ruy Giovanni), excetuando o primeiro capítulo de

geometria espacial – Posições relativas entre planos e retas – que não consta no

plano de curso.

86

Quanto aos “objetivos específicos”, os comandos utilizados são:

diferenciar, calcular, determinar e identificar, e, em nenhum momento, o plano faz

referência à metodologia a ser usada para aquele assunto. No que se refere à

“estratégia”, há somente a indicação dos exercícios que o professor e o aluno devem

resolver. Na leitura dos exercícios recomendados como tarefa de casa, observamos

que, em sua grande maioria, eles requeriam, dos estudantes, a repetição do

conteúdo ensinado, objetivando o aprendizado pela repetição e memorização.

Concluímos, nessa primeira análise, que o currículo era propedêutico e que há

indícios de que o livro didático foi utilizado como elemento norteador na construção

do plano de curso.

Ao analisarmos o plano de curso de 2004, logo na página inicial,

percebemos uma mudança. Nos objetivos e estratégias gerais, apareceram os

termos “competência” e “procedimento atitudinal” como indícios do uso dos PCNEM

na concepção do plano. A figura 3 mostra que a coluna “conteúdo programático” foi

dividida em “conteúdo específico” e “conteúdo atitudinal” e que, em “conteúdo

atitudinal”, seriam tratados os temas transversais e outros tópicos temáticos para o

exercício da cidadania. A coluna “objetivos programáticos” foi dividida em “objetivos

específicos” e “objetivos atitudinais”. Além disso, em “objetivos gerais”, o documento

afirmava que estes eram constituídos pelos conhecimentos, pelas competências e

pelas atitudes desenvolvidas durante o curso.

87

Figura 3 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro ano 2004

Fonte: C7S.

Prosseguindo com a análise, verificamos que os conteúdos elencados de

geometria espacial em 2004 eram praticamente os mesmos de 2003, exceto o

assunto “Esfera” que não foi contemplado no plano de 2004, mas havia uma

mudança significativa: a abordagem do conteúdo. Exemplificamos o fato

comparando a primeira aula do assunto “Prismas” nos planos de 2003 e 2004. Veja

as figuras 4 e 5:

Figura 4 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro 2003.1

Fonte: C7S.

Figura 5 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro 2004.1

Fonte: C7S.

88

O objetivo específico “identificar e efetuar cálculos de área” aparece nos

dois planos, porém, em 2004, na coluna “conteúdo atitudinal”, que antecede o

“objetivo específico”, encontramos o comando “observar e identificar as formas do

espaço que possuam aspecto de prisma”. Em “objetivos atitudinais”, há uma

prescrição para nomear e manipular elementos de construções com aspecto de

prisma. Esses dois fatos, observar e identificar as formas geométricas presentes no

nosso cotidiano e manipular objetos, evidenciam que as mudanças ocorridas nesse

tópico trazem consigo as recomendações dos parâmetros curriculares.

Quanto à seleção dos conteúdos, verificamos que, contrariando as

orientações dos PCN+, a seleção foi a mesma do ano anterior; o livro didático foi o

mesmo, a geometria de posição mais uma vez foi preterida, e o foco do ensino

estava na geometria métrica, ou seja, no cálculo de comprimentos, áreas e volumes

dos sólidos.

A conclusão a que chegamos com a análise do plano de geometria

espacial de 2004 foi a de que apenas começou um movimento dos elaboradores em

direção aos PCN+, pois, ao mesmo tempo em que atestamos a presença de

algumas das ideias centrais dos parâmetros para o ensino da geometria, relativas à

seleção e abordagem dos conteúdos, verificamos a ausência de outras. Por isso,

acreditamos que há indícios de que o plano de curso sofreu influência do livro

didático e dos PCN+.

Na análise do plano de curso de 2005, observamos que estruturalmente

era idêntico ao de 2004, mas que havia uma redução na quantidade de aulas

destinada à geometria espacial, passando de 25 para 21 aulas. O curso iniciava com

a revisão de áreas das figuras planas, excluía a geometria de posição, passava para

o estudo dos prismas e das pirâmides e deixava os assuntos “cilindros, cones e

esferas” para serem ensinados somente no 3º ano. Vale ressaltar que, no estudo

das questões do vestibular da UFC de 2005, verificamos que o assunto geometria de

posição não foi contemplado.

Na página inicial do plano de curso de 2006, figura 6, em “objetivos

gerais”, o documento discorria sobre a sociedade atual e a importância do

desenvolvimento de determinadas capacidades nos alunos, sobre valores éticos e

morais, trabalho solidário e cooperativo, e destacava que a Matemática no Ensino

Médio tem caráter tanto formativo quanto instrumental. Em “estratégias gerais”, o

89

documento expunha considerações sobre o papel do professor como mediador do

processo de ensino e de aprendizagem.

Figura 6 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro ano 2006 / Objetivos

Fonte: C7S.

Continuando a análise, observamos, na figura 7, orientações curriculares

mais consolidadas, sistematizadas e escritas numa linguagem acessível, que

agregam um valor formativo no que diz respeito ao desenvolvimento do pensamento

matemático. Sugerem um processo de aprendizagem que valoriza o raciocínio

matemático nos aspectos de formular questões, perguntar-se sobre a existência de

solução, estabelecer hipóteses e tirar conclusões.

Percebemos também que o plano buscava uma integração dos

conhecimentos, sugeria tarefas em grupos, explorando a atitude de cooperação,

contextualizava e aliava conhecimento a problemas sociais.

90

Figura 7 – Plano Estruturado Colégio 7 de Setembro ano 2006 / Grade Curricular

Fonte: C7S.

Apesar das mudanças, constatamos que o livro didático e os currículos

anteriores ainda influenciam a escolha dos conteúdos. Consideramos que, na

construção do plano de 2006, há indícios de influência dos parâmetros curriculares,

do livro didático e do vestibular, dado que, em 2006, no vestibular da UFC, o assunto

geometria de posição não foi exigido e também não foi contemplado no plano de

curso. De 2007 a 2010, os planos foram idênticos ao de 2006, e as provas dos

vestibulares da UFC também seguiram o mesmo padrão de 2006, ou seja, as

questões de geometria espacial eram todas relacionadas à geometria métrica.

Nos anos subsequentes a 2010, até 2013, os planos foram modificados.

Constatamos a primeira modificação na indicação dos cinco eixos cognitivos da

Matriz de Referência do Enem (2009) que deveriam ser trabalhados em cada aula. A

segunda modificação foi o aumento no número de aulas de geometria espacial,

passando de 21 para 27 aulas, fazendo com que os assuntos “cilindros, cones e

esferas” voltassem a ser ensinados no 2º ano. Vale ressaltar que, em 2011, a UFC

adotou o Enem como fase única do seu processo seletivo, fato que influenciou a

inserção dos eixos cognitivos no plano e que pode ter contribuído para o aumento da

91

carga horária do ensino da geometria espacial do C7S, uma vez que esse assunto

foi bastante explorado em todas as edições do Enem.

Encerradas as análises dos planos de curso do 2º ano, passamos, agora,

para as análises dos planos do 3º ano. Na proposta curricular para o Ensino Médio

do C7S, os conteúdos, na sua quase totalidade, eram estudados nas duas primeiras

séries desse ciclo, e, no 3º ano, esses conteúdos eram revistos e acrescentavam-se

a eles os outros conteúdos não ensinados. O material didático adotado era uma

coleção de apostilas elaborada por um professor do C7S que lecionava nessa série,

e, para a revisão de geometria espacial, eram destinadas 15 aulas. Além dessa

coleção, o C7S adotava um caderno de exercício que continha as questões do

Enem organizadas por habilidades.

O plano de curso de 2005 a 2010 não foi alterado nesse período e era

composto por 15 aulas com os seguintes conteúdos: prismas, pirâmides, cilindros,

cones e esferas. O estudo das Posições relativas de planos e retas não era

contemplado. Em 2011, o plano de curso e o material didático foram alterados e

passaram a usar a mesma terminologia utilizada na Matriz de Referência do Enem

(2009), como exposto na figura a seguir.

Figura 8 – Índice do vol. 3 da Coleção Matemática e suas Tecnologias

Fonte: C7S.

92

TEMAS 1ª ANO 2ª ANO 3ª ANO

Conhecimentos Algébricos x x x

Conhecimentos Algébricos/Geométricos x

Conhecimentos de Estatística e Probabilidade x x

Conhecimentos Geométricos x x x

Conhecimentos Numéricos x x x

4.5.2 Análise da distribuição da carga horária por tema

Há algumas décadas, os conteúdos de Matemática no Ensino Médio se

distribuíam entre os temas: aritmética, álgebra e geometria. Atualmente, de acordo

com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio, os conteúdos estão

organizados em: números e operações, funções, geometria e análise de dados e

probabilidade. De forma semelhante, nos PCN+ (2002), os conteúdos estão

divididos nos seguintes temas: álgebra: números e funções, geometria e medidas, e

análise de dados. Na Matriz de Referência do Enem (2009), os conteúdos estão

organizados em cinco competências de área (temas): conhecimentos numéricos,

conhecimentos geométricos, conhecimentos de estatística e probabilidade,

conhecimentos algébricos e conhecimentos algébricos/geométricos. Nas análises

que se seguem, utilizamos a mesma terminologia da Matriz de Referência do Enem.

A tabela 13 mostra a distribuição dos temas nas três séries do Ensino

Médio no C7S. Observamos que essa sequência de distribuição dos temas se

assemelha à sequência sugerida pelos PCN+ (2002), diferindo apenas em relação

ao tema de conhecimentos de estatística e probabilidade, pois os PCNs sugerem

que os conteúdos referentes ao tema sejam trabalhados nas três séries do Ensino

Médio, e, ainda, essa sequência é sugerida pela coleção de Matemática adotada na

escola.

Tabela 13 – Distribuição dos temas por série do Ensino Médio C7S

Fonte: Elaborada pelo autor.

É importante ressaltarmos que essa distribuição foi a mesma de 2005 a

2013, mudando apenas a carga horária de alguns conteúdos. Apresentamos, a

seguir, a carga horária destinada a cada tema, por série, no período de 2005 a 2013.

93

A carga horária anual do 1º ano do Ensino Médio do C7S é de 150 horas,

dividida em 30 semanas, com 5 aulas por semana. Na tabela 14, observamos que o

tema “conhecimentos geométricos” sofreu uma alteração significativa de 2009 para

2010, passando de 16 para 22 aulas, o que representa um aumento de 37,5%. Esse

aumento de carga horária destinou-se às aulas de geometria plana, pois a geometria

espacial só é estudada no C7S a partir do 2º ano do Ensino Médio.

Tabela 14 – Distribuição anual dos temas estudados na 1ª série do Ensino Médio

Fonte: Elaborada pelo autor.

A carga horária anual do 2º ano do Ensino Médio do C7S é de 120 horas,

dividida em 30 semanas, com 4 aulas por semana. Na tabela 15, observamos que o

tema “conhecimentos geométricos” sofreu uma alteração significativa de 2010 para

2011, passando de 21 para 27 aulas, o que representa um aumento de 28,5%. Esse

aumento de carga horária foi destinado aos conteúdos de geometria espacial.

Tabela 15 – Distribuição anual dos temas estudados na 2ª série do Ensino Médio

Fonte: Elaborada pelo autor.

A carga horária anual do 3º ano do Ensino Médio do C7S é de 150 horas,

dividida em 30 semanas, com 5 aulas por semana. Na tabela 16, observamos que o

tema “conhecimentos geométricos” não sofreu alteração nesse período.

TEMAS 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Conhecimentos Algébricos 84 84 82 83 83 80 77 79 79

Conhecimentos Algébricos/Geométricos

Conhecimentos de Estatística e Probabilidade

Conhecimentos Geométricos 15 15 15 16 16 22 21 20 23

Conhecimentos Numéricos 51 51 53 51 51 48 52 51 48

Total Geral 150 150 150 150 150 150 150 150 150

TEMAS 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Conhecimentos Algébricos 38 37 37 38 38 30 18 20 19

Conhecimentos Algébricos/Geométricos

Conhecimentos de Estatística e Probabilidade 8 8 8 8 8 8 25 25 25

Conhecimentos Geométricos 21 21 20 21 21 21 27 29 29

Conhecimentos Numéricos 53 54 55 53 53 61 50 46 47

Total Geral 120 120 120 120 120 120 120 120 120

94

Tabela 16 – Distribuição anual dos temas estudados na 3ª série do Ensino Médio

Fonte: Elaborada pelo autor.

Como o foco do nosso trabalho é a geometria espacial, e esta é estudada

a partir do 2º ano do Ensino Médio no C7S, apresentamos, a seguir, a distribuição

da carga horária dos assuntos dessa área.

A tabela 17 mostra que, em 2011, houve um aumento significativo na

carga horária de geometria espacial no 2º ano do Ensino Médio. Os assuntos

“cilindros”, “cones”, “esferas” e “inscrição e circunscrição de sólidos”, que, até 2010,

eram estudados somente no 3º ano, passaram a ser também estudados no 2º ano.

Tabela 17 – Carga horária anual de geometria espacial/assunto/2º ano

Fonte: Elaborada pelo autor.

Na tabela 18, constatamos que, em geometria espacial, o número de

aulas por assunto no 3º ano do Ensino Médio não sofreu alteração no período

estudado.

TEMAS 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Conhecimentos Algébricos 71 71 71 71 71 61 60 60 60

Conhecimentos Algébricos/Geométricos 23 23 23 23 23 23 23 23 16

Conhecimentos de Estatística e Probabilidade 3 3 3 3 3 10 11 11 15

Conhecimentos Geométricos 30 30 30 30 30 30 30 30 30

Conhecimentos Numéricos 23 23 23 23 23 26 26 26 29

Total Geral 150 150 150 150 150 150 150 150 150

Rótulos de Linha 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Cilindros 3 3 3

Cones 3 3 3

Esferas 2 3 3

Inscrição e circunscrição de sólidos 2 2 2

Pirâmides 7 7 6 7 7 7 5 5 5

Poliedros 3 3 3 3 3 3 2 2 2

Prismas 6 6 6 6 6 6 6 7 7

Retas e planos no espaço

Tópicos de geometria plana 5 5 5 5 5 5 4 4 4

Total Geral 21 21 20 21 21 21 27 29 29

95

Tabela 18 – Carga horária anual de geometria espacial/assunto/3º ano

Fonte: Elaborada pelo autor.

A partir do exposto, vimos que o plano de curso do C7S sofreu alterações

no período estudado e que essas mudanças ocorreram mais acentuadamente em

2010 e 2011. O tema “conhecimentos geométricos” teve sua carga horária

aumentada, enquanto outros temas tiveram-na reduzida. A carga horária geral anual

não se alterou, o que significa a valorização de um tema em detrimento de outro.

Cabe-nos agora responder à seguinte pergunta: qual o fato que justificou a

valorização desse conteúdo?

Consideramos que o que poderia justificar essa mudança seria a

alteração do vestibular da UFC, que, em 2010, adotou o Enem como fase única do

seu processo seletivo. Como as provas do Enem valorizaram muito mais o tema

“conhecimentos geométricos” do que as provas do vestibular da UFC, o C7S pode

ter optado por uma alteração no currículo influenciado pela prova do Enem.

Assunto / Ano 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

CILINDROS 2 2 2 2 2 2 2 2 2

CONES 2 2 2 2 2 2 2 2 2

ESFERAS 2 2 2 2 2 2 2 2 2

PIRÂMIDES 2 2 2 2 2 2 2 2 2

POLIEDROS 1 1 1 1 1 1 1 1 1

PRISMAS 2 2 2 2 2 2 2 2 2

REVISÃO DE GEOMETRIA PLANA 2 2 2 2 2 2 2 2 2

SÓLIDOS - INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Total Geral 15 15 15 15 15 15 15 15 15

96

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A prova do ENEM ou a do vestibular influenciam o currículo de uma

escola?

Acreditamos que essa questão já foi e continua sendo discutida nas salas

de professores das escolas brasileiras. Quanto à resposta, amparados pela nossa

prática de trinta anos como professor de matemática do Ensino Fundamental e

Médio, parece-nos que é apoiada nas experiências e observações de cada

professor.

A busca por respostas não empíricas para essa pergunta nos levou a esta

pesquisa, que tem por objetivo investigar as influências do vestibular da UFC e do

ENEM no currículo de matemática do Ensino Médio do Colégio 7 de Setembro, no

tocante ao tema Geometria Espacial.

O Colégio 7 de Setembro é uma escola privada, que se preocupa em

desenvolver o lado acadêmico e o lado humano do estudante, é reconhecida pelas

suas aprovações nos vestibulares, reescreveu seu Projeto Político Pedagógico, e

portanto, representa bem um grupo de escolas brasileiras.

No que respeita aos procedimentos metodológicos adotados na nossa

pesquisa, fizemos uma pesquisa documental, analisando o currículo de matemática

do Ensino Médio da escola de 2005 a 2013; as questões do ENEM e da UFC, nesse

mesmo período, com foco nas habilidades da Matriz de Referência do ENEM e no

nível de conhecimento esperado de Aline Robert; e o livro didático adotado pela

escola.

Para fundamentar nossa discussão, usamos como referencial teórico

Perrenoud (1999) e Robert (1998), mas destacamos que o estudo sobre a história e

teoria do currículo de Goodson (2008) e Sacristán (2000) foram fundamentais para

compreendermos as nuanças da construção do currículo.

Desenvolvemos nosso estudo norteados pelas seguintes questões de

pesquisa:

- Quais foram as mudanças no Currículo de geometria espacial do C7S

no período de 2005 a 2013?

97

- O programa de Matemática e as provas dos Vestibulares da UFC

influenciaram a elaboração do currículo de geometria espacial do C7S?

Em caso afirmativo, quais foram essas influências?

- O programa de Matemática e a prova do Enem influenciaram a

elaboração do currículo de geometria espacial do C7S? Em caso

afirmativo, quais foram essas influências?

Análises dos resultados

A incidência das questões de geometria no ENEM foi de 30% no período

de 2009 a 2013 e das questões de geometria espacial foi de 13%. No vestibular da

UFC, no período de 2005 a 2010, esses índices foram 23% e 10% respectivamente.

Isso nos revela que o tema “geometria espacial” é muito valorizado nas duas provas.

Quanto à distribuição das questões em geometria de posição e geometria métrica,

verificamos que a primeira foi contemplada com 38% das questões no ENEM. Já nas

provas da UFC, o tema “geometria de posição” não foi contemplado em nenhuma

edição do exame no período estudado.

Na análise do currículo de geometria do C7S no período de 2005 a 2013,

detectamos que houve um aumento de 30% da carga horária a partir de 2011, ano

em que a UFC adotou o ENEM como fase única do seu processo seletivo.

Constatamos também que a geometria de posição passou a ser contemplada no

currículo do C7S nesse mesmo ano. Vale ressaltar que, apesar desse assunto

constar no livro didático adotado pela escola, ele não era ensinado. A ênfase dada

ao currículo era a geometria de medidas. Inferimos que a ausência desse tema no

currículo do C7S é decorrente da não valorização do mesmo no vestibular da UFC.

Outro ponto que reforça essa ideia é que, quando o ENEM passou a ser o processo

seletivo dessa universidade, a escola modificou o seu currículo e passou a ensinar a

geometria de posição.

Com relação ao processo de ensino e de aprendizagem, verificamos que,

a partir de 2006, os documentos oficiais PCNEM, PCN+, OCEM influenciaram a

construção do currículo do C7S. Em 2011, a escola passou a indicar nos planos de

curso, o desenvolvimento das habilidades e competências da Matriz de Referência

do ENEM. Nesse mesmo ano, a escola adota um material didático cuja concepção

98

está voltada para o ensino das competências e habilidades do ENEM através de

situações-problema. Ademais, a forma de avaliar também sofreu mudanças nesse

período. Através das análises das provas, a escola passou a indicar para o aluno

quais as habilidades que ele dominava e quais as que necessitavam ser

desenvolvidas.

Com base nos resultados observados, voltamo-nos agora para nossas

questões de pesquisa. No que tange ao nosso primeiro questionamento – quais

foram às mudanças no currículo de geometria espacial do C7S no período de 2005 a

2013? – verificamos que ocorreram mudanças no currículo do 2º e do 3º anos nesse

período.

As mudanças no currículo do 2º ano foram:

Carga horária – de 2005 a 2010, percebemos que ela era destinada

para o ensino da geometria espacial (21 aulas), e, a partir de 2011,

esse número aumentou para 27 aulas, o que representa um aumento

de carga horária de 30% aproximadamente.

Concepção de ensino e aprendizagem – em 2006, verificamos que

ocorreram mudanças na concepção de elaboração do currículo. O

novo papel do professor como mediador do processo de ensino e de

aprendizagem descrito nos documentos é uma comprovação desse

fato.

As mudanças no currículo do 3º ano foram:

Concepção de ensino e aprendizagem – em 2011, observamos que

ocorreram mudanças na concepção de elaboração do currículo. O

material didático adotado pela escola, focado no ensino através de

situação-problema e no desenvolvimento de habilidades, comprova

esse fato.

Em relação a nossa segunda questão de pesquisa, que envolve o

interesse em saber se o programa de Matemática e as provas de vestibular da UFC

influenciaram a elaboração do currículo de geometria espacial do C7S, e, em caso

afirmativo, identificar quais foram essas influências, verificamos que há indícios

dessa influência nos currículos do 2º e do 3º anos nesse período. O primeiro fato

que nos levou a crer nesses indícios foi a ausência do assunto “Posições relativas

99

de retas e planos” nas provas da UFC e nos currículos do 2º e do 3º anos do C7S,

apesar de esse tema constar no programa do vestibular da UFC. O segundo fato foi

o modelo de prova adotado pelo C7S no período de 2005 a 2010, um simulado

inspirado no vestibular da UFC.

Quanto a nossa terceira questão de pesquisa – o programa de

Matemática e a prova do Enem influenciaram a elaboração do currículo de geometria

espacial do C7S? Em caso afirmativo, identificar quais foram essas influências? –

constatamos que há indícios dessa influência no currículo do 2º e do 3º anos nesse

período.

Os indícios da influência do Enem no currículo do 2º ano são:

Carga horária – em 2011, houve um aumento de 30%,

aproximadamente, da carga horária destinada à geometria espacial no

currículo do C7S. Nesse mesmo ano, a UFC adotou o Enem como fase

única do seu processo seletivo. Como a incidência das questões de

geometria espacial na prova do Enem era maior do que a do vestibular

da UFC, acreditamos que esse é o fato que justifica o aumento de

carga horária no currículo.

Concepção de ensino e aprendizagem – em 2011, o C7S passa a

indicar, no plano de curso, as competências da Matriz de Referência do

Enem (2009) que deveriam ser desenvolvidas em sala de aula.

Os indícios da influência do Enem no currículo do 3º ano são:

Concepção de ensino e aprendizagem – em 2011, o C7S adota um

material didático cuja concepção de ensino está fundamentada nos

eixos metodológicos do Enem, posto que ele associa os objetos de

conhecimento à matriz de habilidades do Enem. Vale lembrar também

que os professores do C7S participaram da elaboração desse material

didático, escolhendo os assuntos que compuseram essa coleção. Na

nossa análise, essa mudança passa a ser uma comprovação de que o

Enem influenciou na elaboração do currículo do C7S.

Modelo de prova – em 2011, o C7S opta por aplicar todas as suas

provas no mesmo modelo do Enem.

100

Boletim de desempenho – em 2011, o C7S cria um boletim para

divulgar o resultado do simulado Enem. O modelo do boletim,

identificando as habilidades que o aluno errou, é um indicativo da

influência do Enem no currículo do C7S.

Na análise dos planos de curso, percebemos que a concepção de

elaboração do currículo do C7S estava centrada no conceito de prática e de rito e

que depois houve um movimento em direção aos documentos oficiais, PCNEM,

PCN+, OCEM e Enem. No entanto, somente a análise dos documentos não nos

permitiu saber se a prática de sala de aula correspondia ao que estava prescrito nos

currículos. No tocante ao livro didático, consideramos que ele influenciou

diretamente o currículo do C7S, organizando o conteúdo e, até mesmo, a

metodologia. Acreditamos, contudo, que nosso estudo ainda suscita alguns

questionamentos para que novas pesquisas sejam feitas com o intuito de respondê-

los.

A reforma curricular é trabalhada há 18 anos, e o currículo da escola e a

ação pedagógica do professor, no C7S, sofreram alterações somente nos últimos

cinco anos, e essas mudanças foram provocadas, em parte, pela prova do Enem.

Nesse cenário, em que as avaliações surgem como instrumentos para “forçar” essa

mudança na escola e nos professores, cabem as perguntas:

Se as escolas prepararem seus alunos apenas para o Enem, como fica

a reforma curricular?

Será que essa estratégia de avaliação vai assegurar as reformas do

currículo sugeridas pelos documentos oficiais?

Considerando as inúmeras discussões sobre currículo, há um fato comum

a todas: a necessidade da mudança decorrente dos processos de globalização, dos

problemas sociais, do compromisso com uma educação de qualidade, da busca por

uma melhor qualidade de vida, que possibilite aos alunos condições de inserção na

sociedade e no trabalho.

Partindo dessa uniformidade de pensamento, parece-nos impossível a

construção de um currículo comum que promova a inserção na sociedade e no

trabalho e gere uma melhor qualidade vida, dado que o público-alvo desse currículo

não está incluído no mesmo contexto social e suas necessidades socioeconômicas,

101

culturais e políticas são diferentes. Temos que pensar numa proposta curricular que

considere os problemas econômicos, o desemprego, a fome, a violência, a estrutura

física das escolas, o objetivo imediato dos estudantes e, principalmente, a

qualificação e a remuneração dos nossos professores.

Esperamos que os resultados desta pesquisa mereçam a atenção de

professores e gestores da educação, para que seja possível discuti-los e, conforme

o caso, aprimorá-los ou substituí-los por outros mais valiosos, advindos de novas

pesquisas influenciadas por este trabalho.

102

REFERÊNCIAS

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103

INEP. Enem – Exame Nacional do Ensino Médio: Matriz de referência para o Enem 2009. Brasília, 2009. LOPES, A. C. Teorias de currículo. São Paulo: Cortez, 2011. MACHADO, N.J. Sobre a idéia de competência. In: PERRENOUD, P. et al. As competências para ensinar no século XIX: a formação dos professores e o desafio da avaliação. São Paulo: Artmed, 2007. MOREIRA, A. F. B. Currículo: questões atuais. Campinas: Papirus, 1997. PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Porto Alegre: Penso, 1999a. ______. Construir competências é virar as costas aos caberes? Pátio – Revista Pedagógica, Porto Alegre, n. 11, nov. 1999b. Disponível em: <http://www.unige.ch/fapse/SSE/teachers/perrenoud/php_main/php_1999/1999_39.html>. Acesso em: 20 mai. 2015. ______. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2000. ______. As competências para ensinar no século XXI. Porto Alegre: Artmed, 2002. ______. Desenvolver competências ou ensinar saberes? A escola que prepara para a vida. Porto Alegre: Penso, 2013. RICARDO, E. C. Competências, interdisciplinaridade e contextualização: dos Parâmetros Curriculares Nacionais a uma compreensão para o ensino das Ciências. 2005. Tese (Doutorado em Educação Científica e Tecnológica) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2005. PIETROPAOLO,R.C. (RE) Significar a demonstração nos currículos da educação básica e da formação de professores de matemática. 2005. Tese (Doutorado em educação matemática) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2005. ROBERT, A. Outils d’analyse des contenus mathématiques à enseigner. Recherches en Ditactique des Mathématiques, Grenoble: La Pensée Sauvage, v. 18, n. 2, p. 139-190, 1998. ROQUE, T. História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. SACRISTÁN, J. G. O currículo: uma reflexão sobre a prática. Porto Alegre: Artmed, 2000.

104

ANEXO 1

A matriz de referência de Matemática e suas tecnologias compreende:

Competência de área 1 – Construir significados para os números

naturais, inteiros, racionais e reais.

H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e

representações dos números e operações – naturais, inteiros,

racionais ou reais.

H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos

numéricos.

H4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na

construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

H5 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando

conhecimentos numéricos.

Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para

realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

H6 – Interpretar a localização e a movimentação de

pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no

espaço bidimensional.

H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais.

H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos

geométricos de espaço e forma.

H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na

seleção de argumentos propostos como solução de problemas do

cotidiano.

Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e

medidas para a compreensão da realidade e a solução de

problemas do cotidiano.

H10 – Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.

105

H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de

situação do cotidiano.

H12 – Resolver situação-problema que envolva medidas de

grandezas.

H13 – Avaliar o resultado de uma medição na construção de um

argumento consistente.

H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando

conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.

Competência de área 4 – Construir noções de variação de

grandezas para a compreensão da realidade e a solução de

problemas do cotidiano.

H15 – Identificar a relação de dependência entre grandezas.

H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de

grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

H17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas

como recurso para a construção de argumentação.

H18 – Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo

variação de grandezas.

Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que

envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas,

usando representações algébricas.

H19 – Identificar representações algébricas que expressem a

relação entre grandezas.

H20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre

grandezas.

H21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva

conhecimentos algébricos.

H22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso

para a construção de argumentação.

H23 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando

conhecimentos algébricos.

106

Competência de área 6 – Interpretar informações de natureza

científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas,

realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e

interpretação.

H24 – Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para

fazer inferências.

H25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou

gráficos.

H26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas

como recurso para a construção de argumentos.

Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório e não

determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar

instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras

e cálculos de probabilidade para interpretar informações de

variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.

H27 – Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de

um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de

dados agrupados (não em classes) ou em gráficos.

H28 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de

estatística e probabilidade.

H29 – Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como

recurso para a construção de argumentação.

H30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando

conhecimentos de estatística e probabilidade.

107

ANEXO 2

Análise das questões de geometria espacial que constaram nas provas do

Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) de 2009 a 2013.

Questão 145 do Enem 2013

Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular

reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m3, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-

se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro

circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o

centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que,

após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no

mínimo, 4 m3.

Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros,

estará mais próximo de

A) 1,6 B) 1,7 C) 2,0 D) 3,0 E) 3,8

Resolução: O volume, em metros cúbicos, da “ilha de lazer”, na forma de um

cilindro circular reto de raio r, em metros, é 3 . r2 . 1 = 3 .r

2. Pelo enunciado, temos: 12 – 3r

2

4 r2

8

3 r 1,632. O raio máximo está mais próximo de 1,6 m.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver a questão, o aluno

terá que fazer uma adaptação na fórmula do volume do cilindro menor,

impondo a condição de que a diferença entre os volumes dos cilindros

seja maior ou igual a quatro. Como a resolução do item exige algo a

mais do que a aplicação direta de uma fórmula, consideramos que o

nível de conhecimento exigido é o mobilizável.

108

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo da medida do raio.

Habilidade 9 da matriz de referência do Enem, cuja definição é: utilizar

conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de

argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Questão 169 do Enem 2013

Uma cozinheira, especializada em fazer bolos, utiliza uma forma no formato

representado na figura. Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas

tridimensionais.

Essas figuras são

A) um tronco de cone e um cilindro.

B) um cone e um cilindro.

C) um tronco de pirâmide e um cilindro.

D) dois troncos de cone.

E) dois cilindros.

Resolução: As duas figuras geométricas tridimensionais, que podemos

identificar na forma de bolos da figura dada, são dois troncos de cone de bases paralelas:

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – a solução requer do aluno o

reconhecimento do formato do tronco de cone.

Geometria de posição, pois o que se pede é a característica do sólido.

109

Habilidade 7 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

identificar características das figuras planas ou espaciais.

Questão 171 do Enem 2013

Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos

os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:

Considere que 7

AC BC5

e que l é a medida de um dos lados da base da bandeja.

Qual deve ser o menor valor da razão l

BD para que uma bandeja tenha capacidade

de portar exatamente quatro copos de uma só vez?

A) 2.

B) l4

5.

C) 4.

D) 24

5.

E) 28

5.

Resolução:

y + x + x + y = l e x = 7y/5. Assim: y + 7y/5 + 7y/5 + y = l

110

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver o item, é necessário

que o aluno recorra aos conhecimentos de projeção de objetos

tridimensionais para bidimensionais, de inscrição de sólido e, além

disso, analise qual modelo de projeção resulta no que o item pediu

como resposta.

Geometria métrica, pois o que se pede é a razão entre duas medidas.

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 173 do Enem 2013

Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita

equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas

sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo

descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra.

Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B

são equidistantes do pivô:

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do

chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é:

111

Resolução:

As trajetórias dos pontos A e B são dois arcos de circunferência, com

centro no pivô. Assim, as projeções ortogonais sobre o plano da base são um par de

segmentos da reta, conforme ilustrado na figura.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – para resolver o item, é necessário

que o aluno perceba que o movimento da gangorra forma dois arcos de

circunferência e, em seguida, construa a projeção ortogonal desses

arcos.

Geometria de posição, pois o que se pede é a projeção ortogonal da

trajetória descrita pelos pontos.

Habilidade 6 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no

espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

112

Questão 141 do Enem 2012

Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas

com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas

caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas

planificações?

A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.

B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.

D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

E) Cilindro, prisma e tronco de cone.

Resolução:

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – a solução requer do aluno o

reconhecimento da nomenclatura dos sólidos.

Geometria de posição, pois o que se pede é a classificação dos sólidos

por meio da observação de suas características.

Habilidade 7 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

identificar características das figuras planas ou espaciais.

113

Questão 147 do Enem 2012

Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um

processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de

resfriamento, como mostra na figura.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um

objeto cujo volume fosse de 2.400 cm3?

A) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.

B) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.

C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.

D) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.

E) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.

Resolução:

O nível de água subirá 2 cm, pois: 30 cm . 20 cm . x = 2.400 cm3 x = 2

cm.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – a situação proposta requer do

aluno a percepção de que o volume de água deslocado pela pedra é

igual ao volume da pedra e, em seguida, o cálculo da altura, utilizando

a fórmula do volume do paralelepípedo.

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de

espaço e forma.

114

Questão 154 do Enem 2012

João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever

um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse

deslocamento no plano da base da pirâmide.

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em

linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a

C.

O desenho que Bruno deve fazer é

Resolução: Admitindo-se a pirâmide regular quadrangular, teremos:

115

Se a pirâmide não for quadrangular regular, não tem resposta.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – para resolver o item, o aluno utiliza

o conhecimento de projeção ortogonal dos pontos do trajeto repetidas

vezes.

Geometria de posição, pois o que se pede é a projeção ortogonal da

trajetória descrita pelos pontos.

Habilidade 6 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no

espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

Questão 166 do Enem 2012

O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em

uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde

motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma

foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.

Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo

da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano

116

do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto

B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma

circunferência que passa pelos pontos A e B.

A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é mais bem

representada por

Resolução: Se há um foco de luz direcionado para o chão colocado no

ponto B, a imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é mais bem

representada por um segmento de reta ou por uma reta.

Entre as alternativas oferecidas, a única que satisfaz é a alternativa E.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – para resolver o item, o aluno utiliza

o conhecimento de projeção ortogonal dos pontos do trajeto repetidas

vezes.

Geometria de posição, pois o que se pede é a projeção ortogonal da

trajetória descrita pelos pontos.

Habilidade 6 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

interpretar a localização e a movimentação de objetos no espaço

tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

Questão 176 do Enem 2012

117

A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na

evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma

determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que

tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e,

consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de

cozimentos a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de

20%.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).

Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida,

o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um

valor que é:

A) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente

proporcional ao comprimento de seu lado.

B) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a2 para ((1 –

0,2)a)2.

C) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a3 para (0,8a)3.

D) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do

comprimento original.

E) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.

Resolução: V = a3 e novo volume V’ após o cozimento da cerâmica de

argila é V’ = (0,8a)3 = 0,512 a3 = a3 – 0,488a3.

Assim, podemos concluir que V’ é 48,8% menor que V.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – a situação proposta requer do

aluno a percepção de que o volume de água deslocado pela pedra é

118

igual ao volume da pedra e, em seguida, o cálculo da altura, utilizando

a fórmula do volume do paralelepípedo.

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 140 do Enem 2011

A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países

orientais.

Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.

Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução

chamada de

A) pirâmide.

B) semiesfera.

C) cilindro.

D) tronco de cone.

E) cone.

Resolução: A figura é a representação de uma superfície de revolução

cônica ou de cone.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – a solução requer do aluno o

reconhecimento da nomenclatura dos sólidos.

119

Geometria de posição, pois o que se pede é a identificação de um

sólido, pela observação de suas características.

Habilidade 7 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

Identificar características de figuras planas ou espaciais.

Questão 144 do Enem 2011

Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A

pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um

cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a

partir dele.

Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto

O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às

arestas AD, BC, AB e CD , nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro

sólidos.

Os formatos dos sólidos descartados são

A) todos iguais.

B) todos diferentes.

C) três iguais e um diferente.

D) apenas dois iguais.

E) iguais dois a dois.

Resolução:

120

Os sólidos descartados após os cortes que saem de O em direção às

arestas AD e BC são os prismas triangulares congruentes AFPQED e BGPQHC.

Os sólidos descartados, após os dois últimos cortes, são os tetraedros

congruentes ABOP E CDOQ. Portanto, os formatos dos quatro sólidos descartados

são iguais dois a dois.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – a solução requer do aluno que os

sólidos retirados após o seccionamento do cubo sejam analisados e

suas características identificadas, e, para isso, o aluno precisa

mobilizar diversos conhecimentos para chegar à resposta correta.

Geometria de posição, pois o que se pede é a característica do sólido.

Habilidade 7 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

identificar características de figuras planas ou espaciais.

Questão 168 do Enem 2011

É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas

pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas

é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma

parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa

trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for

ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também

pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até

matá-la.

Ciências Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, ano 19, n. 166, mar. 1996.

121

Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair

beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4

cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de

(utilize = 3)

A) 20 mL.

B) 24 mL.

C) 100 mL.

D) 120 mL.

E) 600 mL.

Resolução: Em centímetros cúbicos (mL), o volume do copo é de .22 .

10 3 .4 . 10 = 120.

Levando-se em conta que 1

5 . 120 = 24 e que 120 mL de água dissolvem

completamente 24 mL de açúcar, sem alterar significativamente o volume total, a

quantidade de água, que deve ser utilizada na mistura para encher completamente o

copo, é cerca de 120 mL (alternativa D).

Supondo que o volume da mistura seja a soma do volume (x) da água

com o volume (y) do açúcar, ambos em mL, temos:

x y 120x 100

,1y 20y x

5

tornando correta a alternativa C.

Observação: Na prática, misturando-se 100 ml de água com 20 ml de

açúcar, o volume da mistura será de aproximadamente 100 ml e, portanto, o copo

não estará completamente cheio.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – a situação proposta requer do

aluno os seguintes conhecimentos: cálculo de volume de cilindro e de

proporcionalidade, e isto está sugerido no enunciado do item.

122

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 137 do Enem 2010

Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados

com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos

diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de

altura igual a 60 cm, e diâmetro de base superior igual a 120 cm e 60 cm,

respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de

comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

A escolha do bebedouro. Biotemas, v. 22, n. 4, 2009 (adaptado).

Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras

a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?

123

Resolução: A planificação do bebedouro 3 é

que, vista de frente, resulta na figura da alternativa E.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – para resolver o item, o aluno utiliza o

conhecimento de planificação de sólidos.

Geometria de posição, pois o que se pede é uma planificação.

Habilidade 6 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no

espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

Questão 139 do Enem 2010

Uma fábrica produz barras de chocolate no formato de paralelepípedo e

de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de

paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de

espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida

das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a

A) 5 cm

B) 6 cm

C) 12 cm

D) 24 cm

E) 25 cm

124

Resolução: Sendo VP e VC os volumes das barras de chocolate de

formato “paralelepípedo” e “cubo”, respectivamente, e sendo “a” a medida da aresta

do cubo, temos:

3

P

3

C

P C

3 3

V 3cm . 18 cm . 4 cm 216 cm

V a

V V

a 216 cm a 6 cm

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – para resolver o item, o aluno faz uma

aplicação direta das fórmulas dos volumes do paralelepípedo e do

cubo.

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 146 do Enem 2010

A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o

ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um

paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que

segue.

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da

grandeza

A) massa.

B) volume.

C) superfície.

125

D) capacidade.

E) comprimento.

Resolução: O produto das três dimensões (comprimento, largura e altura)

resulta no volume do paralelepípedo.

Observação: considerando que o sólido é maciço, não se pode substituir

esse “volume” por “capacidade”.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – a solução requer do aluno

identificação da fórmula para o cálculo do volume do paralelepípedo.

Geometria métrica, pois trata da medida do volume do sólido.

Habilidade 7 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

identificar características de figuras planas ou espaciais.

Questão 151 do Enem 2010

Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para

servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café,

Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também

cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a

quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade.

Para que isso ocorra, Dona Maria deverá:

A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior

que o volume do copo.

126

B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior

que o volume do copo.

C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior

que o volume do copo.

D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior

que o volume do copo.

E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior

que o volume do copo.

Resolução:

1. O volume do copinho plástico, em centímetros cúbicos, é . 22 . 4 =

16.

2. O volume da leiteira, em centímetros cúbicos, é . 42 . 20 = 320.

3. (Volume da leiteira) (volume do copinho) = 20.

4. Para encher os vinte copinhos plásticos pela metade, é suficiente

encher a leiteira até a metade.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver o item, o aluno faz

uma aplicação direta da fórmula do volume do cilindro duas vezes e,

depois, divide-os para saber quantas vezes um é maior que o outro.

Geometria métrica, pois o problema envolve o cálculo de medidas.

Habilidade 14 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

geométricos relacionados a grandezas e medidas.

Questão 157 do Enem 2010

127

Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e

4 m de altura (de espessura desprezível) foi envolvido homogeneamente por uma

camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.

Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando

3,1 como valor aproximado de , então o preço dessa manilha é igual a:

A) R$ 230,40.

B) R$ 124,00.

C) R$ 104,16.

D) R$ 54,56.

E) R$ 49,60.

Resolução:

O volume de concreto, em metros cúbicos, é igual a:

(1,22 – 12) 4 = 3,1 .0,44 . 4 = 5,456

Assim, o preço dessa manilha, em reais, é igual a: 5,456. 10 = 54,56.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver o item, o aluno faz

duas vezes a aplicação direta da fórmula do volume do cilindro e, em

seguida, calcula o preço da manilha.

Geometria métrica, pois é necessário o cálculo de uma medida para a

obtenção da resposta do problema.

128

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 158 do Enem 2010

No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o

volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um

método prático, em que se mede a circunstância da árvore à altura do peito de um

homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se “rodo” da

árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da

tora em m3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore.

Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e

transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo

3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e

densidade 0,77 toneladas/m3;

2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e

densidade 0,78 toneladas/m3.

Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões

para transportar uma carga de, aproximadamente:

A) 29,9 toneladas.

B) 31,1 toneladas.

C) 32,4 toneladas.

D) 35,3 toneladas.

E) 41,8 toneladas.

129

Resolução:

1. O volume de cada tora da espécie I, em metros cúbicos, é igual a:

32 .12 . 0,06 = 6,48

2. O volume de cada tora da espécie II, em metros cúbicos, é igual a:

42 .10 . 0,06 = 9,60

3. A massa, em toneladas, das cinco toras é igual a:

3 .6,48 . 0,77 + 2 .9,60 . 0,78 = 29,9448

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – para resolver o item, o aluno faz

duas vezes a aplicação direta da fórmula do volume do cilindro e, em

seguida, calcula o preço da manilha.

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade 14 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de

argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Questão 162 do Enem 2010

Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em

três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente

proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto

de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico

de capacidade de armazenamento.

130

Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere

3)

A) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1

3.

B) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4

3.

C) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3

4.

D) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2

3.

E) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7

12.

Resolução:

1. Sendo AI, AII e AIII as áreas laterais desses tanques, em metros quadrados,

tem-se:

AI = 2 . . 2 . 6 = 24

AII = 2 . . 2 . 8 = 32

AIII = 2 . . 3 . 8 = 48

2. Sendo VI, VII e VIII as capacidades de armazenamento desses tanques,

em metros cúbicos, tem-se:

VI = .22 . 6 = 24

VII = .22 . 8 = 32

VIII = .32 . 8 = 72

Assim, a relação área/capacidade de armazenamento de cada tanque é

dada por:

131

I

I

II

II

III

III

A 241

V 24

A 321

V 32

A 48 2

V 72 3

Como 2

3< 1, então se pode concluir que o tanque com menor custo por

metro cúbico de capacidade é o III.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – para resolver o item, o aluno

precisa calcular a área da superfície lateral e o volume de cada tanque

e, depois, criar o indicador “área/capacidade de armazenamento” para,

enfim, escolher qual o melhor tanque para comprar.

Geometria métrica, pois o problema requer o cálculo de medidas para a

obtenção da resposta.

Habilidade 14 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

geométricos relacionados a grandezas e medidas.

Questão 164 do Enem 2010

Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande

quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas

dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser

vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja

tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

132

O raio da perfuração da peça é igual a

A) 1 cm.

B) 2 cm.

C) 3 cm.

D) 4 cm.

E) 5 cm.

Resolução: Se r for o raio da perfuração da peça, já que o triângulo de

dimensões 6, 8 e 10 é retângulo, temos:

(6 – r) + (8 – r) = 10 r = 2.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver o item, o aluno

precisa relacionar diversos conhecimentos. Ele começa pelo teorema

de Pitágoras para o reconhecimento do triângulo retângulo, passa pela

inscrição da circunferência num triângulo, depois, pelo teorema dos

segmentos de retas tangentes a uma circunferência, para, em seguida,

determinar o raio.

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 168 do Enem 2010

Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus

convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente

na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir

133

as taças quebradas, utilizou-se outro tipo com formato de cone (Figura 2). No

entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças

fosse igual.

Considere:

3 2

esfera cone

4 1V R e V R h

3 3

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida

completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na

outra taça, em centímetros, é de

A) 1,33.

B) 6,00.

C) 12,00.

D) 56,52.

E) 113,04.

Resolução:

1. O volume da semiesfera é 3 31 4. . 3 18 cm

2 3 .

2. O volume do cone com raio da base 3 cm e altura h é

2 31. 3 . h 3 h cm

3 .

3. Para que os volumes sejam iguais, devemos ter: 3h = 18 h = 6 cm.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – para resolver o item, o aluno faz uma

aplicação direta das fórmulas dos volumes do cone e da esfera.

134

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de medidas.

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 179 do Enem 2010

Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o

modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede

12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de:

A) 12 cm3.

B) 64 cm3.

C) 96 cm3.

D) 1.216 cm3.

E) 1.728 cm3.

Resolução: O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto

equivale ao volume do cubo externo menos o volume do cubo interno e foi de

(12 cm)3 – (8 cm)3 = 1.216 cm3.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – para resolver o item, o aluno faz uma

aplicação direta da fórmula do volume do cubo.

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

135

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 149 do Enem 2009

Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um

portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditaram

que os círculos representam as três artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas

eram tão próximas quanto inseparáveis.

Scientific American, ago. 2008.

Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo?

Resolução: Acompanhando a figura, nota-se que o anel esquerdo está

na frente do anel superior e atrás do anel direito. Observa-se também que o anel

direito está atrás do anel superior. Desta forma, o melhor esboço para os anéis de

A)

C)

E)

B)

D)

136

Borromeo é

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – para resolver o item, o aluno analisa

a imagem dos anéis com o intuito de descobrir o anel que está por

cima ou por baixo do outro.

Geometria de posição, pois o que se pede é uma planificação.

Habilidade 6 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no

espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

Questão 151 do Enem 2009

Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura

a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases

triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria

face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos

prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma

IV e ao poliedro II.

Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul. 2009.

137

Imagine um plano paralelo à face do prisma I, mas que passe pelo

ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse

plano imaginário com a escultura contém

A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.

B) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos.

C) dois trapézios congruentes com lados correspondentes

perpendiculares.

D) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes

paralelos.

E) dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes

perpendiculares.

Resolução: Nas condições propostas, a interseção do plano com a

escultura é a união de um triângulo com um quadrilátero. Se os prismas forem

regulares, o triângulo será equilátero e o quadrilátero, um losango.

Se a interseção pedida fosse do plano com os prismas II e IV,

considerando as faces destes dois prismas, respectivamente paralelas, então a

alternativa A seria correta.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Técnico – a solução requer do aluno a

aplicação direta de ideias relativas ao seccionamento de sólidos.

Geometria de posição, pois o que se pede é o polígono formado pela

interseção do plano com o sólido.

Habilidade 7 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

identificar características das figuras planas ou espaciais.

Questão 157 do Enem 2009

138

Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas

de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.

Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número

máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a

A) 4.

B) 8.

C) 16.

D) 24.

E) 32.

Resolução: Uma caixa cúbica com 13.824 cm3 de capacidade tem

arestas com medida de 24 cm, pois 243 = 13.824.

Como cada esfera de aço tem 12 cm de diâmetro, pode-se concluir que o

número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma dessas caixas é

igual a: 3

3

3

242 8

12

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver o item, o aluno não

faz uso direto de fórmulas para o cálculo dos volumes do cubo e da

esfera. Ele precisa construir uma situação de inscrição de uma esfera

em um cubo e, a partir dessa situação, calcular quantos cubos desse

modelo cabem no cubo maior.

Geometria métrica, pois é necessário o cálculo de medidas para a

obtenção da resposta.

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 169 do Enem 2009

139

A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos

períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o

fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um

trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I, Neste caso, a vazão da

água é de 1.050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A

do setor transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no

local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.

Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na

figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.

Disponível em www2.uel.br

Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão

esperada para depois da reforma na canaleta?

A) 90 m3/s.

B) 750 m3/s.

C) 1.050 m3/s.

D) 1.512 m3/s.

E) 2.009 m3/s.

Resolução:

1. A área do trapézio da figura I, em m2, é: 30 20

. 2,5 62,52

2. A área do trapézio da figura II, em m2, é:41 49

. 2 902

140

3. Supondo-se que a velocidade da água não se altere, e sendo v a vazão

após a reforma, em m3/s, temos: 1.050 v

v 1.51262,5 90

.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Disponível – para resolver o item, o aluno não

faz uso direto dos volumes do cubo e da esfera. Ele precisa construir

uma situação de inscrição de uma esfera em um cubo e, a partir dessa

situação, calcular quantos cubos desse modelo cabem no cubo maior.

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade 14 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 170 do Enem 2009

Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular

regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas

velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos

de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –,

espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de

cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma

haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os,

conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide

da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo

molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

141

A) 156 cm3.

B) 189 cm3.

C) 192 cm3.

D) 216 cm3.

E) 540 cm3.

Resolução: De acordo com o enunciado, pode-se concluir que a altura da

pirâmide de parafina é 16 cm e que a altura da pirâmide menor retirada é 4 cm.

Assim, o volume, em centímetros cúbicos, de parafina para fabricar o

novo modelo de vela é igual a:

1

3 . 62. 16 –

1

3 . (1,5)2 . 4 = 192 – 3 = 189

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver o item, o aluno faz

uso direto da fórmula para o cálculo do volume da pirâmide duas

vezes.

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade 8 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.

Questão 178 do Enem 2009

Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de

base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que

poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.

Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?

142

A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção

de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim,

esses pontos formam um polígono de 4 lados.

B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando

um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e

um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.

C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma

face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano

intercepta todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5

lados.

D) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de

uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide.

Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.

E) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma

pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da

pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4

lados.

Resolução: O plano da figura seguinte intercepta as quatro faces

laterais e a base da pirâmide, determinando o pentágono ABCDE.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – a solução requer do aluno a

identificação do argumento correto para justificar a afirmação contida

no enunciado.

143

Geometria posição, pois o que se pede é identificação de um

argumento baseado em ideias relacionadas às características de

sólidos geométricos e figuras planas.

Habilidade 7 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

identificar características das figuras planas ou espaciais.

Questão 180 do Enem 2009

A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os

principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da

chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de

precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para

armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação. Para

fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo

ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente

confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) sugere que

sejam adicionados 10% ao volume calculado de água.

Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna é calculado por Vc = Vd x

Ndia, em que Vd = volume de demanda da água diária (m3), Ndia = número de dias de

armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%.

Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja

feita somente nos telhados das edificações.

Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1

m2 produz 1 litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a

necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) =

= volume da cisterna (em litros)/precipitação.

Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br. Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).

Para atender a uma demanda diária de 2.000 litros de água, com período

de armazenagem de 15 dias, e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular,

deverá ter as dimensões mínimas de

A) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m2.

144

B) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m2.

C) 50 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 3.000 m2.

D) 91 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 2.730 m2.

E) 110 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 3.000 m2.

Resolução: De acordo com o enunciado, temos: Vd = 2.000 litros, Ndia =

15 e a precipitação é 110 mm.

Assim, VC = 2.000 .15 . 1,1 = 33.000 litros

Logo, a área S do telhado (em m2) a fim de atender à necessidade de

armazenagem é: 33.000

S 300110

e, portanto, o telhado retangular deverá ter

dimensões mínimas de 15 metros por 20 metros.

Classificação da questão:

Nível de conhecimento Mobilizável – para resolver o item, o aluno

precisa mobilizar e relacionar diversos conhecimentos.

Geometria métrica, pois o que se pede é o cálculo de uma medida.

Habilidade 14 da matriz de referência do Enem, cuja definição é:

avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

geométricos relacionados a grandezas e medidas.