Unidade E

Funções Trigonométricas e Trigonometria

Débora Bastos IFRS – CAMPUS RIO GRANDE FURG

76

20. Resumo Trigonometria no triângulo retângulo, resolução de triângulos

quaisquer.

Todos os resultados da trigonometria do triângulo retângulo continuam válidos. Por exemplo:

Por definição se + =90º:

(a) senAC

BCcos

(b) cosAC

ABsen

(c)

tan

1ancot

BC

ABtan

E também por definição:

(d)

cos

sentan (d)

sen

cosancot (e)

cos

1sec (f)

sen

1seccos

Alguns resultados consequências dessas definições:

(a) sen² + cos²=1

(b) tan² + 1 = sec²

(c) cotan² + 1 = cossec² Alguns resultados bastante importantes são as leis dos cossenos e senos, que basicamente resolvem triângulos quaisquer, além do Teorema de Pitágoras, que só se aplica aos triângulos retângulos e seno e cosseno dos arcos soma.

(a) Lei dos Senos: sen

c

sen

b

sen

a

(b) Lei dos Cossenos: c² = a² + b² - 2ab.cos (c) Relação entre ângulos suplementares: cosx = - cos(180o – x) e senx = sen(180o- x)

(d) Seno da adição/subtração: 1

sen(a b) = sena.cosb senbcosa

(e) Cosseno da adição/subtração:

cos(a b) = cosacosb senasenb

Sabemos inicialmente seno e cosseno dos arcos notáveis: 30º, 45º e 60º. A partir

das fórmulas agora do seno e cosseno da soma de arcos é possível encontrar o

valor exato para mais alguns ângulos, incluindo ângulos obtusos.

Exemplos: 1. Calcule:

(a) sen15º (b) cos15º

1 Veja vídeo com a demonstração das fórmulas seno e cosseno da soma em: https://www.youtube.com/watch?v=5G1Dq3ng_ls

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(c) sen75º (d) tan75º

(f) sen 105º (g) sen(2x)

(h) cos(2x) (i) tan(2x)

(j)

2

xcos (k) cos(x - 180º)

78

(l) sen(-x) (m) sen90º

(n) cos180º (o) sen(x-180º)

21. Introdução à trigonometria no círculo 21. 1. Círculo Já sabemos que o círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distância de um ponto dado chamado centro. Essa distância é denominada medida do raio do círculo e denotamos pela letra r. O ponto O é o centro do círculo. A medida do comprimento do círculo é chamada de sua circunferência e denotada pela letra C é calculado pela fórmula:

C= 2r

Observação: Não há necessidade nos cálculos de substituir o valor de , pois qualquer representação decimal finita, por exemplo, 3,14, será uma aproximação e não o valor real. Fazemos essa substituição apenas quando queremos ter noção da medida envolvida. 21.2. Ângulo central e arco de circunferência. É a parte do círculo compreendida entre dois de seus pontos, por exemplo, A e B na figura. Usamos o sentido anti-horário para diferenciar as duas partes formadas que são ambas arcos de circunferência. Destinaremos a letra S para a medida de um arco de circunferência.

Então, na figura, 𝐴�̂� é o arco menor e o arco 𝐵�̂� é o arco maior. Cada arco subentende um ângulo

central. O arco 𝐴�̂� está relacionado com o ângulo Os ângulos centrais podem ser medidos em graus ou em radianos. Assim para calcularmos o valor do arco de circunferência basta calcular uma fração do todo. Como existe a proporção podemos usar regra de três. Estamos mais acostumados com as medidas em graus, mas para termos funções trigonométricas precisaremos relacionar ângulos com números reais e arcos em radianos fazem esse papel. Grau 1- O que é 1o? O ângulo central correspondente ao arco de circunferência se dividirmos o círculo em 360 partes iguais e tomarmos

uma. Portanto o ângulo central total é de 360o. . O que faz o arco 𝐵�̂�, da figura anterior, estar relacionado com o ângulo 3600 - .

2- Qual o valor de um arco de circunferência subentendido por um ângulo central medido em graus?

360o ---------- 2r

---------- S

Chega-se ao resultado 180

rS

O

O A

B

79

Exemplo: Na figura abaixo, indique a medida, em graus, do arco 𝑃�̂�. Em seguida calcule o comprimento do arco 𝑄�̂� sabendo que o círculo tem 10 cm de raio.

𝑃�̂�.= 2600

cm9

130

180

26010S

Radiano 1- O que é 1 rad? É a medida do ângulo central subentendido por um arco de circunferência, cujo comprimento coincide com a

medida do raio da circunferência. Ou seja, se 𝐴�̂� = r, então = 1 rad. 2 - Quantos radianos possui o ângulo central total? É o mesmo que responder quantos raios cabem na circunferência, pois cada

comprimento de arco que mede r, subentende um ângulo central de 1 rad. Como a circunferência mede 2r, quantos raios cabem?

Bom, basta dividir o valor da circunferência por r, logo 2 rad. Agora podemos converter uma medida em graus para radianos e vice-versa, usando a relação que acabamos de obter. Exemplos: 1. Determine em radianos, a medida dos arcos notáveis: 30o, 45o, 60o e 900.

Segundo a regra de três sabemos que: 1800 rad

0 x rad

Chegamos a 180x = (A) Portanto se queremos transformar um ângulo em graus para radianos, devemos isolar x.

x = 180

= 30o 6180

30

6

rad = 45o

4180

45

4

rad = 60o

3180

60

3

rad

= 90o 2180

90

2

rad

2. Quantos graus tem 1 rad?

Agora se queremos transformar um ângulo em radianos em graus, devemos isolar na expressão definida por (A).

=

x180

1 rad x = 1 rad 29,57180

Observação: Para determinar o comprimento de um arco se este é dado em radianos, é mais complicado passar para graus e

calcular o comprimento. Façamos uma nova regra de três para encontrar a "fórmula" do comprimento de arco, se é dado em radianos:

Se está em radianos:

2 rad ---------- 2r

---------- S

22. Círculo trigonométrico

Para as funções trigonométricas precisamos de domínio

real, assim, os ângulos serão convertidos em radianos

para equivaler a uma unidade de medida, ou seja, um

número real.

Se inserirmos numa circunferência de raio

unitário (r = 1) os eixos do sistema cartesiano

ortogonal, de maneira que a origem do plano cartesiano

coincida com o centro da circunferência, que seja

fixado um ponto A (1,0) chamado de origem dos arcos,

de onde, como o nome sugere, são determinados arcos

com início nesse ponto. Podemos visualizar os arcos

com o ponto A fixo e o ponto P móvel. Se o ponto P se

O Q

P

100o

S = r

80

desloca no sentido anti-horário o arco AP é positivo e se o ponto P se desloca

no sentido horário o arco tem medida negativa.

Observações:

Todos os arcos têm origem em A, o que determinará se o arco determinado no

sentido anti-horário ou horário é o sinal do arco;

Para converter um ângulo em graus em radianos ou vice-versa, basta uma regra

de três simples, fazendo a correspondência rad – 180º;

O tamanho do arco de circunferência numericamente é igual ao ângulo em

radianos. Já que como o raio é r = 1, tem-se S = r S = .2

Os eixos coordenados dividem a circunferência (e o plano) em quatro quadrantes,

numerados segundo o sentido positivo dos arcos. Os limites dos arcos de acordo

com os quadrantes estão dispostos na figura a seguir (complete):

Em graus: Em radianos:

IQ: ____ < < ________ IQ: ____ < < ________

IIQ: ____ < < ________ IIQ: ____ < < ________

IIIQ: ____ < < ________ IIIQ: ____ < < ________

IVQ: ____ < < ________ IVQ: ____ < < ________

Atribuindo sentido a arcos positivos e negativos atribuímos sentido também

a arcos maiores que 360º ou 2 rad, basta imaginarmos o ponto P "móvel"

completando mais de uma volta.

A todo arco maior que uma volta corresponde a um arco da primeira volta.

Arcos que começam e terminam no mesmo lugar, diferenciando-se apenas por um

número inteiro de voltas, chamam-se de arcos côngruos. Se e são côngruos:

Em radianos: - = 2n , n ℤ.

Em graus: - = 360ºn , n ℤ. Exemplos: 54º , 414º e – 306º são congruentes

5

rad,

5

11rad,

5

21 rad são congruentes

23. Função Cosseno.

Para determinar a função cosseno:

f: ℝ ℝ y = cosx

Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o

eixo ox. A intersecção da perpendicular com o eixo ox,

será o ponto C. A medida do cosx é a abscissa do ponto

C, ou seja,

cosx = xc

Observação: A definição de cosseno na circunferência

trigonométrica não contradiz a definição no triângulo

retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente. No triângulo retângulo só

aparece ângulos agudos, só existia sentido cosseno de ângulos entre 0º e 90º.

Agora podemos definir cosseno para qualquer arco, seja positivo ou negativo,

maior que 360º ou menor que 360º, ou melhor, qualquer ângulo em radianos. Veja:

2 Veja item 21, fórmula do comprimento de arco de circunferência para um ângulo em radianos.

IIQ

IIIQ

I Q

IVQ

O

81

Assim o valor de cosseno de um ângulo pode assumir o sinal positivo se o ponto

C estiver a direita da origem ou negativo se o ponto C estiver à esquerda da

origem.

Fazendo a construção no programa GeoGebra3 observamos:

Quadrante I II III IV

Sinal

positivo negativo negativo positivo

Crescimento

decrescente decrescente crescente crescente

Variação

cosx ]0,1[ cosx ]-1,0[ cosx ]-1,0[ cosx ]0,1[

E o gráfico da função cosseno é:

23.1 Redução ao primeiro quadrante

Podemos relacionar os valores de cosseno de arcos em qualquer quadrante com,

cosseno de arcos de qualquer outro quadrante. Essas relações nos dão subsídios

para manipular algebricamente expressões que envolvam cossenos. Faremos o mesmo

com outras funções trigonométricas.

Exemplo: Determine o valor dos cossenos abaixo em relação a arcos do primeiro

quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para

facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo que

arcos sejam em radianos.

(a) cos120º (b) cos245º

(c) cos278º (d) cos335º

3 Download gratuito, disponível em várias plataformas, no site: www.geogebra.org.br

82

(e) cos(-71º) (f) cos(-104º)

Generalizando:

cos(180º - x) = - cosx ou cos( - x) = - cosx

cos( x – 180º) = - cosx ou cos( x - ) = - cosx

cos( 360º - x) = cosx ou cos( 2 - x ) = cosx

cos(-x) = cosx

Esses resultados podem ser igualmente definidos pela fórmula do cosseno da

soma/subtração.

Observação: Todas as relações trigonométricas válidas no triângulo retângulo,

vistos anteriormente continuam valendo, já que a matemática não define conceitos

com nomes iguais que se contradiriam nas suas propriedades e essência.

24. Variações Função Cosseno. As funções trigonométricas são ditas periódicas, pois existe um número real p, tal que: f(x)=f(x+p), já que ao completar

uma volta a função passa a assumir os mesmos valores da primeira volta, o mesmo acontece com o sentido horário. O menor valor de p possível, válido para todo x é chamado de período. Também podemos pensar, que é o tamanho do menor segmento do domínio em que o gráfico não contém repetição. A metade da maior variação horizontal do gráfico é chamada de amplitude. Frequência de uma função periódica é o número de ciclos numa determinada unidade de tempo. Na função cosseno básica:

p = 2 A = 1 f = 1 Qualquer variação na função cosseno, esses parâmetros são alterados:

f: ℝ ℝ y = acos(bx+c)+d

Novamente, com o auxílio do programa GeoGebra, podemos concluir facilmente as alterações que a composição da função cosseno com a função afim produz. 1 – No GeoGebra, esboce as funções y = 2cosx, y = 3cosx, y=0,5cosx e y = -4cosx. Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem. 2 - No GeoGebra, esboce as funções y = cos(2x), y = cos(3x), y=cos(0,5x) e y = cos(-4x). Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem.

3 - No GeoGebra, esboce as funções y = cos(x+) , y = cos(x-), y=cos(x-4) e y = cos(x+1). Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem e se há um deslocamento em relação ao gráfico da função básica. 4 - No GeoGebra, esboce as funções y = cosx + 2 , y = cosx - 3, y = cosx - 4 e y = cosx + 1. Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem e se há um deslocamento em relação ao gráfico da função básica.

Período Amplitude Frequência Imagem

1- y = acos(x) 2 |a| 1 ciclo/volta [-|a|,|a|]

2 - y = cos(bx) |b|

2

1 b ciclo/volta [-1,1]

3 - y = cos(x+c) 2 1 1 ciclo / volta [-1,1]

4 - y = cos(x) + d 2

1 1 ciclo/volta [-1+d,1+d]

83

Observações: O item 3 gera uma translação no sentido horizontal. Direita se c é negativo e esquerda se c é positivo. Já no item 4, há uma translação vertical. Para cima se c é positivo e para baixo se c é negativo. Exemplo: Esboce o gráfico da função

f: ℝ ℝ

14

x2cos3y

Faremos uma alteração por vez, até chegar na função f. 1- a = 3 mudará essencialmente a amplitude. Im = {-3,3].

2 – b = 2 mudará a frequência e período. Serão dois ciclos a cada 2 rad (observe o destaque do segmento vermelho) e por isso o

período será p = .

3 – c = 4

o gráfico se deslocará

4

unidades para direita.

4 – d = 1, inserirá no gráfico um translação de uma unidade para cima. Assim a imagem ficará Im = [-2,4]. Último passo para o gráfico definitivo. Gráfico da função f:

84

25. Função Seno.

Para determinar a função cosseno:

f: ℝ ℝ y = senx

Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o eixo

oy. A intersecção da perpendicular com o eixo oy, será o

ponto S. A medida do senx é a abscissa do ponto S, ou seja:

senx = ys

Observação: A definição de seno na circunferência trigonométrica não contradiz

a definição no triângulo retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente,

assim como na função cosseno. Assim o valor de seno de um ângulo pode assumir o

sinal positivo se o ponto S estiver acima da origem ou negativo se o ponto S

estiver abaixo da origem.

Veja:

Fazendo a construção no programa GeoGebra4 observamos:

Quadrante I II III IV

Sinal

positivo positivo negativo negativo

Crescimento

crescente decrescente decrescente crescente

Variação

senx [0,1] senx [0,1] senx [-1,0] senx [-1,0]

E o gráfico da função seno é:

Da mesma forma que a função cosseno, a função seno possui imagem Im = [-1,1].

25.1 Redução ao primeiro quadrante

4 Download gratuito, disponível em várias plataformas, no site: www.geogebra.org.br

85

Podemos relacionar os valores de seno de arcos em qualquer quadrante com, seno

de arcos de qualquer outro quadrante. Essas relações nos dão subsídios para

manipular algebricamente expressões que envolvam senos. Faremos o mesmo com

outras funções trigonométricas.

Exemplo: Determine o valor dos senos abaixo em relação a arcos de todos os

quadrantes.

(a) sen145º (b) sen205º

(c) sen238º (d) sen345º

(e) sen(-35º) (f) sen(-134º)

Generalizando:

sen(180º - x) = senx ou sen( - x) = senx

sen( x – 180º) = - senx ou sen( x - ) = - senx

sen( 360º - x) = - senx ou sen( 2 - x ) = - senx

sen(-x) = - senx

Esses resultados podem ser igualmente definidos pela fórmula do seno da

soma/subtração.

Observação: Todas as relações trigonométricas válidas no triângulo retângulo,

vistos anteriormente continuam valendo da mesma forma.

26. Relação em gráficos da função seno e cosseno.

86

Observe a diferença entre os gráficos da função seno e cosseno na imagem abaixo.

Dizemos que há uma diferença de fase em relação aos gráficos das funções seno e cosseno, fazendo um deslocamento de

2

unidades para esquerda ou direita os gráficos coincidem. Ou seja, dentro das variações da função cosseno, estudadas no item

24 deste arquivo, corresponderia a constante c = 2

.

Assim:

senx =

2

πxcos

senx =

x

2

πcos

Podemos verificar esses resultados usando a fórmulas do cosseno da soma/subtração entre arcos ou relação existente entre arcos complementares. 27. Variações da função seno Na função seno básica:

p = 2 A = 1 f = 1 Estudando a composição da função seno com uma função afim, verificaríamos as mesmas consequências nas definições de período, amplitude, frequência, imagem e alterações do gráfico que na função cosseno. Faça esse exercícios com o auxílio do GeoGebra, mas substituindo cosseno por seno.

28. Função Tangente

Para obter o valor da tangente de qualquer arco

no círculo trigonométrico:

1º) Trace o eixo t, tangente ao círculo no

ponto A, será paralelo ao eixo oy, com mesma

orientação.

2º) Estenda o segmento OP até encontrar o eixo

t.

3º) Identifique o ponto T como a intersecção

do prolongamento do segmento OP e o eixo t.

4º) tanx = yt

Essa definição não contradiz o que conhecemos

sobre tangente no triângulo retângulo e permite

o cálculo da tangente para qualquer ângulo que

possibilite a intersecção com o eixo t.

Veja:

Observação: Não é possível calcular tangentes de todos os ângulos, pois se

estendermos o seguimento OP para ângulos de 90º, 270º e seus congruentes o

segmento nunca interseccionará o eixo t, pois esse segmento está sobre o eixo

oy, que é paralelo ao eixo t. A maneira de representar então o domínio da função

tangente é excluir esses valores dos números reais.

87

Seja o conjunto A = {x ℝ/ x nπ2

π , n ℤ}, a função tangente é:

f: A ℝ f(x) = tanx

28.1 Gráfico da função tangente

Pelo GeoGebra, podemos construir pela definição no círculo trigonométrico o

gráfico da função tangente, que é:

28.2 Redução aos quatro quadrantes

Exemplo: Determine o valor dos senos abaixo em relação a arcos de todos os

quadrantes.

(a) tan105º (b) tan200º

(c) tan290º (d) tan(-55º)

Generalizando:

tan(180º - x) = tanx ou tan( - x) = tanx

tan( x – 180º) = tanx ou tan( x - ) = tanx

tan( 360º - x) = - tanx ou tan( 2 - x ) = - tanx

tan(-x) = - tanx

88

29. Outras funções trigonométricas

As outras funções trigonométricas não serão estudadas. Presumimos que com os

conhecimentos adquiridos com as funções seno, cosseno e tangente, tudo poderá

ser deduzido. Até porque as relações do triângulo retângulo continuam válidas.

Por exemplo:

senx

1cosecx

cosx

1secx

tanx

1cotanx

tan2x + 1 = sec2x cotan2x + 1 = cosec2x

30 Exercícios.

1- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais:

(a) cos 99º

(b) cos301º

(c) cos

18

17

(d) cos195º

(e) cos

5

7

(f) cos610º

(g) cos

2

21

2-Preencha a tabela abaixo:

x

(rad)

0

6

3

4

3

6

7

4

5

3

5

2

x

(º)

45º

90º

120º

150º

240º

270º

315º

330º

cosx

senx

tanx

3- Verdadeiro ou Falso? Corrija os falsos:

(a) cos310º cos50º = 0 (b) cos66º = 2cos33º

(c) cos 955º > cos 235º

(d) cos 31º < cos 49º

(e) tan 41º < tan 59º

(f) cos 128º < cos179º

(g) tan 203º > tan 261º

(h) cos

7

3= cos

7

31

(i) cos 31º < sen 59º

(j) cos33º = cos147º

89

(k) tan161º = tan19º

(l) cos358º = cos2º

(m) cotan131º . tan41º= - 1

4- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais:

(a) sen345º

(b) sen 127º

(c) sen 256º

(d) sen 872º

5- Reduza ao primeiro quadrante:

(a) sen234º

(b) sen 156º

(c) sen283º

(d) sen301º

(e) sen120º

(f) tan135º

(g) sen 150º

(h) sen 210º

(i) sen 225º

(k) sen 240º

(l) sen300º

(m) tan315º

(n) sen 330º

6-Preencha as lacunas com >, < , = ou = :

(a) sen 15º ___ sen 67º

(b) sen 125º ___ sen 186º

(c) sen 231º ____ sen 129º

(d) tan 171º ____ tan 305º

(e) tan 171º ____ tan 189º

(f) sen

3

5 ____ sen

6

5

(g) sen 123º ___ sen 690º

(h) tan 171º ____ tan 305º

(i) cos 101º ____ cos 79º

(j) sen

6

11 ____ sen

3

5

(k) sen 123º ____ sen 843º

(l) sen 234º ____ sen 280º

(m) sen 79º ____ sen 101º

(n) tan 271º ____ tan 89º

(o) sen

4

5 ____ sen

4

7

7- Determine se existir:

(a)

4

3tan

(b)

3

4tan

(c)

6

5tan

(d)

2

5tan

(e) ntan , n ℤ

90

8- Sabendo que secx = 4 e x II Q, determine tan2x.

9- Calcule o valor de tan150º + 2sen120º - cos330º.

10- Seja x IVQ tal que cosx =25

7, determine senx, cossecx, secx, tanx e cotanx.

11- Simplifique as expressões abaixo:

(a) senx.secx

(b) 1 – 2sen2x + sen4x

(c) sena.tana + cosa

(d) cotanb + bcos1

senb

(e)

2

2

ancot1

ancot

7- Complementar Determine amplitude, frequência, período e imagem das funções

reais de variável real abaixo:

(a) y = 5cos(2x) +3

(b) y = 6sen(5x)-6

(c)

37

xcos2y

(d) 44

5

3

x2sen7y