trigonometria no cÍrculo

TRIGONOMETRIA Introdução A palavra trigonometria tem origem grega e significa “medida de triângulos” sendo formada pelos radicais tri = três, gonos = ângulo, metron = medir. A trigonometria começou como uma Matemática prática, para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serviu à navegação, à agrimensura e à astronomia. Existe a trigonometria plana que lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são secções da superfície de uma esfera. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica ampliou sua aplicação à Física, à Química e a quase todos os ramos da Engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.Arcos de Circunferência – Se dois pontos, A e B são tomados sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes denominadas arcos de circunferência sendo A e B as extremidades desses arcos.

A

B

O

A

B

arco linearizado

Medida de ArcosMedir um arco é compará-lo com outro arco adotado como unidade. As unidades adotadas são:

A medida (em graus) de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente.

O grau admite como subdivisões o minuto ( ‘ ) e o segundo ( “ ), de forma que: 1º = 60’ e 1’ = 60”

360º 400 gr 2 rad ou 180º 200 gr rad

Exercícios de Revisão

1 Alex Pereira

Grau (1º) – é o arco

unitário igual a da

circunferência.

Grado (1 gr) – é o arco

unitário igual a da

circunferência.

Radiano (1 rad) – é o arco unitário cujo comprimento é igual a um RAIO da circunferência.

r

r

rad

01. Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em radianos é igual aa) (/4) - 17b) (64/15) c) (64/45)d) (16/25)e) (32/45)

Comprimento de Arco É o produto do raio da circunferência pela medida, em radianos, do ângulo central correspondente.


01.Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60º contido numa circunferência de raio 1,5cm?

02.Dados o comprimento C do arco AB e o raio da circunferência, calcule a medida do arco em radianos.

a) C = 0,5m e r = 0,25m b) C = 2cm e r = 0,04m c) C = 6cm e r = 2cm

Ciclo Trigonométrico Circunferência centrada na origem do plano cartesiano de raio unitário. Por convenção o ponto A(1,0) é a origem dos arcos orientados dessa circunferência, ou seja, para percorrer estes arcos A será sempre o ponto de partida e o sentido anti-horário é considerado como positivo do percurso.

2 Alex Pereira

Os eixos cartesianos (x e y) determinam na circunferência quatro arcos congruentes chamados quadrantes.

B

B’

AA’O

-1

-1

1

1

s

Q1 (1º quadrante)

Q4 (4º quadrante)Q3 (3º quadrante)

Q2 (2º quadrante)

A

O

s+

-

Medida Algébrica de Arcos Orientados

Sendo AP um arco trigonométrico de medida x em graus ou radianos a medida algébrica de AP é um número real dado por + x ou – x, respectivamente quando o sentido de for anti-horário ou horário.

Observe que, com extremidades no mesmo ponto P, existem dois arcos AP , com medidas e sentidos diferentes. Por exemplo, os arcos 60º e – 300º têm as mesmas origem e extremidade Quando P coincide com A, temos três casos distintos:

3 Alex Pereira

y

x x

y

A

P

A

P

AP =

AP = -

x

y

60°

P

A

60° = 300°

P A P A P A

Arcos com mais de uma volta

Em trigonometria, existem arcos com medidas maiores que 360º (ou menores que – 360º) para representar mais de uma volta no sentido positivo (ou negativo). Esta notação é comum ao nosso cotidiano, por exemplo quando um móvel dá duas voltas em uma pista circular o mesmo percorre um arco de 720º, pois cada volta corresponde a um arco de 360º. Observe as seqüências de arcos abaixo:

60º + 360º . 0 60º + 360º . 1 60º + 360º . 2

60º – 360º . 1 60º – 360º . 2

Arcos Côngruos

Arcos que diferem de um número inteiro de voltas, ou seja têm a mesma extremidade.

4 Alex Pereira

60° 420° 780°

Um ponto P da ciclo trigonométrico é extremidade de uma coleção de arcos cuja expressão geral é:x + 360ºk ou x + 2k (kZ) ;onde x é chamado primeira determinação positiva se 0 x 2

- 300° - 660°

1ª determinação negativa

20º, 380º, 740º, 110º, -340º (ARCOS CÔNGRUOS)

1ª determinação positiva

Arco nulo (0°) Arco de uma volta positiva(360° ou 2)

Arco de uma volta negativa(-360° ou - 2)

Expressão geral:

P

s

x0

k2xx 0

O rAExpressão geral: AP = x0 + 2k (k Z)


01.Determine a MDP (menor ou 1a determinação positiva) e a MDN (maior ou 1a determinação negativa) para cada arco a seguir:a)1400ºb)– 1200ºc)

d)

e)

02. Indique a expressão geral dos arcos cujas extremidades são os pontos indicados nas figuras abaixo:

a) b) c)

d) e)

Razões Trigonométricas no Ciclo Trigonométrico

5 Alex Pereira

45°

150°

45°

A B

D C45°

Os pontos destacados representam os vértices de um hexágono regular

arco sen cos

0 1

1

360º ou 2 0

Seno e CossenoNo plano cartesiano cada ponto P corresponde a um par de números reais denominados abscissa e ordenada.

Preencha os espaços em branco do quadro ao lado com os valores do seno e cosseno dos seguintes arcos trigonométricos indicados no círculo

Sinal do Seno e do Cosseno

Como sen x e cos x são as coordenadas de um ponto do plano cartesiano então os sinais do seno e do cosseno dependem do quadrante do ponto.

Exercícios de Revisão01. Se a medida x de um arco é tal que < x < , então

6 Alex Pereira

sen()

cos()

P(sen, cos}

o seno do arco é a ordenada de P

o cosseno do arco é a abscissa de P

180º ou

90º ou

270º ou

(1,0)

360º ou 2(-1,0)

(0,1)

(0,-1)

SINAIS DO SENO

SINAIS DO COSSENO

O valor máximo assumido pelo seno ou cosseno é 1 e o mínimo é -1, ou seja,

- 1 senx, cosx 1

1

a) sen (x + ) > 0b) cos (x + ) < 0c) tg (x + ) > 0d) cos (x + 2) > 0e) sen (x + 2) > 0

02.. Se x é a medida de um ângulo em radianos e < x < , então

a) cos x > 0.b) cos 2x < 0.c) tgx > 0.d) sen x < 0.e) sen 2x > 0.

03.Para que valores reais de m existe a relação

a) -1 m 1b) -2 m 2c) -1 m 2d) -2 m 1e) -3 m 1

TangenteO eixo das tangentes é a reta paralela ao eixo dos cossenos pela origem dos arcos. Para se obter a tangente de um arco basta prolongar radialmente a reta que passa pela origem do plano cartesiano e pela extremidade do arco até interceptar o eixo das tangentes.

Note que a tangente não está definida para os arcos 90º, 270º, bem como todos os seus côngruos, ou seja:

a tangente de x só existe se :

7 Alex Pereira

Eixo das tangentes

1

x

tgx

220º

155ºtg 30º

tg 60º

tg 155º

tg 310º

tg 220º

90º (não existe tg)

180º (não existe tg)

Sinal da Tangente Usando que tg(x) = sen(x)/cos(x) e a regra de sinais para a divisão, podemos obter o sinal da tangente através dos

sinais do seno e do cosseno.

Cotangente O eixo das cotangentes é a reta paralela ao eixo dos senos pela extremidade do arco de 90º. Para se obter a cotangente de um arco basta prolongar radialmente a reta que passa pela origem do plano cartesiano e pela extremidade do arco até interceptar o eixo das cotangentes.

Note que a cotangente não está definida para os arcos 0º, 180º, bem como todos os seus côngruos, ou seja

x

cotg x eixo cotangente

a cotangente de x existe se :

8 Alex Pereira

Sinal do seno Sinal do cosseno Sinal do tangente

cotgx

x

90º

cotg 50°

50º

160º

180º (cotg não existe) 0 (cotg não existe)

Cotg 160°

cossec x existe se

sec x existe se

Sinal da Cotangente A cotangente possui o mesmo sinal da tangente, pois é a sua razão inversa, sendo positiva nos quadrantes ímpares (1o Q e 3o Q) e negativa nos pares (2o Q e 4o Q).

Cossecante e Secante Representam, respectivamente, as razões inversas do seno e do cosseno. Para obtê-las basta prolongar a reta tangente ao ciclo trigonométrico que passa pela extremidade do arco até encontrar os eixos coordenados.

O sinal da cossecante coincide com o sinal do seno da mesma forma que o da secante coincide com o do cosseno.

Interpretação Geométrica de todas as Razões Trigonométricas

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS IMPORTANTES:Do triângulo retângulo acima tiramos que:

9 Alex Pereira

cotg

cossec

seccos

sentg

1

sen2 + cos2 = 1 (Dividindo esta ralação por cos2 e por sen2 , respectivamente temos as seguintes

relações derivadas tg2 + 1 = sec2 e tg2 + 1 = sec2


01.Seja x um número real pertencente ao intervalo [0, ]. Se secx = 3/2, então tgx é igual a

a) 2/3b) 2/3c) 1/2d) 5/2e) 3/2

02.Se x é um arco do 3o quadrante e cosx = - 4/5, então cossecx é igual a a) -5/3b) -3/5c) 3/5d) 4/5e) 5/3

03. Se o cos x = 3/5 e - < x < 0, então tg x vale:

a) -4/3.b) -3/4.c) 5/3.d) 7/4.e) -7/4.

04.Sabendo que sec x = 3, calcular o valor da expressão y = sen2 x + 2 tg2 x

05.Sendo x um arco do 2º quadrante e sec x = - 3, então cossec x é:

10 Alex Pereira

06.Se , calcule o valor da expressão

07.Simplifique a expressão

Redução ao 1o QuadranteDado um arco qualquer do 2oQ, 3oQ ou 4oQ podemos determinar um arco do 1oQ que tem as mesmas razões trigonométricas do arco dado, em valor absoluto (o sinal pode não ser o mesmo). É importante lembrar dos valores das razões trigonométricas dos ângulos notáveis do 1oQ e que os sinais destas razões dependem do quadrante do arco a ser substituído.

Sendo x um arco do 1oQ ( 0 < x < ), temos:

sen cos tg

30º

45º 1

60º

sen e cossec

cos e sec

tg e cotg

1oQ + + +

2oQ + – –

3oQ – – +

4oQ – + –

11 Alex Pereira

180° -

180° + 360° -

180º – x 2oQ

180º + x 3oQ

360º – x 4oQ

Redução do 2oQ para o 1oQ


12 Alex Pereira

sen(180º – x) = sen x

cos(180º – x) = – cos x

tg(180º – x) = – tg x

cossec(180º – x) = cossec x

sec(180º – x) = – sec x

cotg(180º – x) = – cotg x

tg(180°- x)

Sen(180°- x)

180° - x

cos(180°- x) cos(x)

sen(x) tg(x)x

x

x

x

180° + x

cos(180° + x)

sen(x)

sen(180° + x)

cos(x)

tg(x)

sen(180º + x) = – sen x

cos(180º + x) = – cos x

tg(180º + x) = tg x

cossec(180º+x) = – cossec x

sec(180º + x) = – sec x

cotg(180º + x) = cotg x


Regra Prática


01.Determine o valor de:a) sen 120º

b) tg 240º

13 Alex Pereira

x

x

senx

sen(360° - x) tg(360°- x)

tg(x)

sen(360º – x) = – sen x

cos(360º – x) = cos x

tg(360º – x) = – tg x

cossec(360º – x) = – cossec x

sec(360º – x) = sec x

cotg(360º – x) = – cotg x

1. Localize o quadrante do arco a ser reduzido.

2. Encontre o sinal da razão trigonométrica no referido quadrante.

3. Encontre o arco(x) correspondente no 1oQ.

xx

xx

180° - x

180° + x 360° - x

x2oQ quanto falta para 180º3oQ quanto passa de 180º4oQ quanto falta para 360º

c) cos 150º

d) sen 300º

e) cos 2490º

Simplificação de razões Trigonométricas dos arcos da forma k x (kZ)

Supondo, sem perda de generalidade, que x é um arco do 1oQ, conserva-se a razão trigonométrica e o sinal é o mesmo da razão trigonométrica no quadrante em que está k x.

Exemplo:a) sen ( + x) = b) cos ( + x) = c) sen (2 + x) = d) cos (2 + x) =

e) sen (3 + x) = f) sen (3 + x) =

g) tg ( - x) = h) sec ( - x) = i) sen (11 - x) = j) cos( 14 + x) =

Simplificação de razões Trigonométricas dos arcos da forma (k/2) x, k inteiro ímpar Supondo, sem perda de generalidade, que x é um arco do 1oQ, troca-se a razão trigonométrica pela co-expressão e o sinal é o mesmo da razão trigonométrica no quadrante em que está (k/2) x,.

expressão co-função

sen cos

tg cotg

sec cossec

14 Alex Pereira

Exemplo: Simplifique as seguintes expressões:

a) sen ( - x) = b) cos ( - x) =

c) sen ( + x) = d) cos ( + x) =

e) tg ( + x) = e) cossec ( - x) =


01.A expressão sen 270º - cos 150º - tg 135º - sec 300º é igual a:

a)

b)-

c)

d)

e)2 -

02.De acordo com as relações de redução ao 1o quadrante, calcule o valor da expressão.

a)1/5 b) 2/5 c)3/8 d)5/2 e)6

03.A expressão , para todo x real, é equivalente a:

a)5 sen xb) 8 tg xc)2 tg xd)7 sec xe)8 cos x

15 Alex Pereira

04.Resolva as expressões trigonométricas:

a)

b)

05.Calcule o valor da expressão :

para x =

16 Alex Pereira

trigonometria no cÍrculo

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