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Trigonometria esférica 03 06 2013 Adaptado de Prof. Boczko IAG-USP

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Trigonometria esférica

03 06 2013

Adaptado de Prof. Boczko

IAG-USP

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Grandes e pequenos círculos

O Círculo máximo

O’ Pequeno

Círculo

r < R

R

Círculo máximo

Círculo máximo

Pequeno círculo

Pequeno círculo

O centro da seção circular não coincide

com o centro da esfera

O centro da seção circular coincide com o centro da esfera

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Polo e plano fundamentais Polo

fundamental P

Eixo

fu

ndam

enta

l

Indica que a figura deve ser vista como

tri-dimensional

B C

O Plano fundamental

π Esfera

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Ângulo diedro

β

b

i

Q

Ângulo diedro entre α e β é o ângulo C entre a e b

a ⊥ i b ⊥ i

α

a a ∈ α b ∈ β

C

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Ângulo diedro A na esfera A

B C

O A

β γ

A ≡ ∠( β,γ )

Ângulo entre

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Ângulo diedro A dado por tangentes

B C

O A

A

A

A ≡ ∠( β,γ )

Tangente, por A, ao arco AC.

Será paralela ao raio OC.

r // AC Tangente, por A,

ao arco AB. Será paralela ao

raio OB.

s // AB

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Ângulo central A

O b

C

b

r ≡ 1

b ≡ ∠AÔC

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Triângulo Esférico

A, B, C = vértices a,b,c = lados

Triângulo esférico é a região da

esfera delimitada pela

intersecção, dois a dois, de

3 planos passantes pelo

centro da esfera

c b

A

B C a

O

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Lados do triângulo esférico

A

B

C

O

c

b

a r

r

r a

b c

a , b , c : lados do triângulo esférico = medidas dos ângulos centrais

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Ângulos do Triângulo Esférico A

O A

A

A,B,C = ângulos diedros = ângulos entre cada um dos pares de círculos

B

C

B’ C’

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Elementos de um Triângulo Esférico

A A

B B

C C a

b

c

A,B,C = vértices A,B,C = ângulos diedros a,b,c = lados do triângulo

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Fórmula do co-seno num triângulo plano

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Relacionar 3 lados e 1 ângulo de um triângulo plano

a b

c α

a2 = b2 + c2 - 2 . b . c . cos α

A B

C

Fórmula do co-seno num triângulo qualquer

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Fórmula do co-seno num triângulo esférico

Demonstração bem primitiva!

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Fórmula do

CO-SENO O

A

B

C

K

L

a

c

b A

No ΔAKL: KL2 = KA2 + LA2 - 2.KA . LA . cos A

No ΔOKL: KL2 = KO2 + LO2 - 2.KO . LO . cos a

A

K

L

A

O K

L

a

∆Plano ⇒ a2 = b2 + c2 - 2 . b . c . cos α

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Fórmula do CO-SENO

KO2 + LO2 - 2.KO . LO . cos a = KA2 + LA2 - 2.KA . LA . cos A

- 2.KO . LO . cos a = KA2 - KO2 + LA2 - LO2 - 2.KA . LA . cos A

2.KO . LO . cos a = - KA2 + KO2 - LA2 + LO2 + 2.KA . LA . cos A

No ΔAKL: KL2 = KA2 + LA2 - 2.KA . LA . cos A 1 No ΔOKL: KL2 = KO2 + LO2 - 2.KO . LO . cos a 2

1 2 =

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Fórmula do CO-SENO

2.KO . LO . cos a = - KA2 + KO2 - LA2 + LO2 + 2.KA . LA . cos A

2.KO . LO . cos a = OA2 + OA2 + 2.KA . LA . cos A 2.KO . LO . cos a = 2.OA2 + 2.KA . LA . cos A

O

A

L

b

A

K

c O

KO . LO . cos a = OA2 + KA . LA . cos A KO . LO . cos a = AO . AO + KA . LA . cos A

cos a = AO . AO + KA . LA . cos A LO . KO LO . KO

O

A

B

C

K

L

a

c b

A

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cos a = AO . AO + LA . KA . cos A LO . KO LO . KO

cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A

O

A

B

C

K

L

a

c

b A

O

A

L

b

A

K

c O

Fórmula do

Co-seno

sen c

sen b

cos c

cos b

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Fórmulas do Co-seno

cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A

A

B

C a

cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B

cos c = cos b . cos a + sen b . sen a . cos C

c

b

C

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Fórmula do seno num triângulo esférico

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A

B

C

Fórmula do SENO cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A

- sen b . sen c . cos A = cos b . cos c - cos a

cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B

- sen a . sen c . cos B = cos a . cos c - cos b

Substituir: cos 2 x = 1- sen 2 x

sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C

a

c

b

(- sen b . sen c . cos A)2 = (cos b . cos c - cos a)2 1

(- sen a . sen c . cos B )2 = (cos a . cos c - cos b)2 2

2 1 -

S

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Fórmula do seno & co-seno num triângulo

esférico

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Fórmula do SENO & CO-SENO

A

B

C

cos a = ( cos b . cos c + sen b . sen c . cos A )

cos b = ( cos a ) . cos c + sen a . sen c . cos B

Substituir: cos 2 c = 1- sen 2 c

sen a . cos B = cos b . sen c - sen b . cos c . cos A

a

c

b

1

2

1 2

S&C

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Resumo das Fórmulas de Trigonometria

Esférica

sen a . cos B = cos b . sen c - sen b . cos c . cos A

sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C

cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A Co-seno

Seno

Seno & Co-seno

A

B

C a

c

b

S

C

S&C

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Exercício 4 – Lista 5

PN E

Z

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cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A

sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C

cos (90-δ) = cos (90-h) . cos (90-φ) + sen (90-h) . sen (90-φ) . cos (180-A)

sen δ = sen h . sen φ - cos h . cos φ . cos A h = 26º 12´, A = 78º 51´, φ = 46º 18´

δ = ΞΞΞ

cos (90-h) = cos (90-δ) . cos (90-φ) + sen (90-δ) . sen (90-φ) . cos (H)

sen h = sen δ. sen φ + cos δ . cos φ . cos H

H = XX ou H = YY

sen (90-h) / sen H = sen (90-δ) / sen (180-A)

H = XX ou YY

TS = H + α α = ΞΞΞΞΞ

PN E

Z

Exercício 4 – Lista 5

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Exercício 1 – Lista 5

PN E

Z

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PN E

Z

H do nascer e ocaso

cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A

sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C

h = 0°

cos (90-h) = cos (90-δ) . cos (90-φ) + sen (90-δ) . sen (90-φ) . cos (H) sen h = sen δ. sen φ + cos δ . cos

φ . cos H cos H = - tg δ . tg φ

Exercício 1 – Lista 5 São Paulo è φ < 0°, Inverno è δsol > 0°

cos H > 0

0h < Hocaso < 6h

0h < duração do dia < 12h

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Exercício 2 – Lista 5

PN E

Z

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PN E

Z

H do nascer e ocaso

cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A

sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C

h = 0°

cos (90-h) = cos (90-δ) . cos (90-φ) + sen (90-δ) . sen (90-φ) . cos (H) sen h = sen δ. sen φ + cos δ . cos

φ . cos H cos H = - tg δ . tg φ Exercício 2 – Lista 5

Círculo polar ártico è φ = 66° 33’, Solstício è δsol = ± 23° 27’ Hocaso = 12h

duração do dia = 24h

cos H = - 1 cos H = +1

Hocaso = 0h

duração do dia = 0h