unidade 2-complem carlos arriaga costa um-eeg - mestrado em economia - economia financeira unidade 2...

unidade 2-complem Carlunidade 2-complem Carlos Arriaga Costaos Arriaga Costa

Um-EEG - Mestrado em Economia -Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Economia Financeira

UNIDADE 2 -UNIDADE 2 -complementoscomplementos

. Modelos de aversão ao risco. Modelos de aversão ao risco

. Dominância estocástica de . Dominância estocástica de primeira e segunda ordemprimeira e segunda ordem



O que estudámos e o que vamos O que estudámos e o que vamos estudarestudar

Teoria do consumidorTeoria do consumidor– Preferências Preferências utilidade utilidade– Maximização da utilidade Maximização da utilidade Curvas de procura Curvas de procura

Extensões à teoria do consumidor Extensões à teoria do consumidor

- Escolha inter-temporal - Escolha inter-temporal

- Escolha em incerteza- Escolha em incerteza Aplicações às FinançasAplicações às Finanças

– Escolha de Portfolio, CAPM, CCAPM, preço de Escolha de Portfolio, CAPM, CCAPM, preço de opçõesopções



Consumo em incertezaConsumo em incerteza

Lotaria simples:Lotaria simples: Define-se lotaria simples como o conjunto Define-se lotaria simples como o conjunto

L=(p1…pn) com pnL=(p1…pn) com pn0 para todo o n e , onde 0 para todo o n e , onde pn é a probabilidadede ocorrência da pn é a probabilidadede ocorrência da lotaria.lotaria.

Lotaria composta (lotarias de lotarias) :Lotaria composta (lotarias de lotarias) : Dadas as lotarias simples K , K=1…k e um Dadas as lotarias simples K , K=1…k e um

conjunto de probabilidades associada à conjunto de probabilidades associada à ocorrência de Lk, define-se lotaria composta ocorrência de Lk, define-se lotaria composta como o risco alternativo que dá Lk com como o risco alternativo que dá Lk com probabilidade. probabilidade.



LotariasLotarias Exemplo:Exemplo: Preço=100EPreço=100E Lotaria composta A:Lotaria composta A: L1=(100,0,0) ocorre com probabilidade 1/3 L1=(100,0,0) ocorre com probabilidade 1/3 L2=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3L2=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3 L3=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3L3=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3 Lotaria composta B:Lotaria composta B: L1=(100*1/2, 100*1/2, 0) ocorre com probabilidade ½L1=(100*1/2, 100*1/2, 0) ocorre com probabilidade ½ L2=(100*1/2, 0, 100*1/2) ocorre com probabilidade ½ L2=(100*1/2, 0, 100*1/2) ocorre com probabilidade ½ Prefere A or B?Prefere A or B? Quando consideramos três lotarias alternativas L1, L2 e L3, Quando consideramos três lotarias alternativas L1, L2 e L3,

o consumidor não pode consumir L1 e L2 conjuntamente ou o consumidor não pode consumir L1 e L2 conjuntamente ou L1 e L3 conjuntamente etc. mas tem de escolher entre L1 e L3 conjuntamente etc. mas tem de escolher entre alternativas mutuamente exclusivas. alternativas mutuamente exclusivas.



Lotarias reduzidasLotarias reduzidas

Considere duas lotarias :Considere duas lotarias :

Cada lotaria ocorre com uma Cada lotaria ocorre com uma determinada probabilidade . O que é determinada probabilidade . O que é uma lotaria reduzida?uma lotaria reduzida?

Uma lotaria reduzida éUma lotaria reduzida é

1111 .... nppL

2212 .... nppL

2211 LLL



Lotarias ReduzidasLotarias Reduzidas Da lotaria composta pode-se compor a lotaria Da lotaria composta pode-se compor a lotaria

reduzida,, i.e. a lotaria simples L=(p1…pn) que reduzida,, i.e. a lotaria simples L=(p1…pn) que gera uma distribuição final de resultados gera uma distribuição final de resultados (pagamentos). (pagamentos).

Considere por exemplo um resultado 1. Sabe-se Considere por exemplo um resultado 1. Sabe-se que este resultado pode ser realizado com uma que este resultado pode ser realizado com uma probabilidade certa sobre um conjunto de lotarias probabilidade certa sobre um conjunto de lotarias Lk , na qual cada uma ocorre com uma Lk , na qual cada uma ocorre com uma determinada probabilidade. A probabilidade de determinada probabilidade. A probabilidade de ocorrencia do resultado 1 é:ocorrencia do resultado 1 é:

kk ppppp 1

313

212

1111 ....



Preferências sobre lotarias Preferências sobre lotarias compostascompostas

Desde que o consumidor se preocupe Desde que o consumidor se preocupe apenas com a distribuição do apenas com a distribuição do resultado final, ele encontra-se-á resultado final, ele encontra-se-á indiferente entre lotarias compostas indiferente entre lotarias compostas que se reconvertam na mesma que se reconvertam na mesma lotaria reduzida. lotaria reduzida.



Lotaria e aversão ao riscoLotaria e aversão ao risco

Em incerteza os indivíduos mostram um Em incerteza os indivíduos mostram um grau maior ou menor de aversão ao risco. grau maior ou menor de aversão ao risco.

Quais as causas da aversão ao risco? Quais as causas da aversão ao risco? Isto é, qual a propriedade da função de Isto é, qual a propriedade da função de

utilidade (utilidade esperada) implica utilidade (utilidade esperada) implica aversão ao risco? aversão ao risco?

Considere a utilidade sobre lotarias de Considere a utilidade sobre lotarias de valor monetário. Seja x um valor certo que valor monetário. Seja x um valor certo que um indivíduo recebe.um indivíduo recebe.



Escolhas em situação de riscoEscolhas em situação de risco

Exemplos:Exemplos: SegurosSeguros Investimento num activo de riscoInvestimento num activo de risco Comparação de diferentes Comparação de diferentes

pagamentos:pagamentos: Suponha que enfrenta uma escolha em Suponha que enfrenta uma escolha em

que tem de comparar diversos activos que tem de comparar diversos activos com risco. com risco.

Que tipo de estatística deverá utilizar de Que tipo de estatística deverá utilizar de modo a escolher entre os investimentos modo a escolher entre os investimentos propostos? propostos?



Outros conceitos associados: Outros conceitos associados:

Equivalente certo = Valor certo em valores Equivalente certo = Valor certo em valores monetários que um indivíduo deseja aceitar em vez da monetários que um indivíduo deseja aceitar em vez da lotaria. lotaria.

Prémio probablístico = O excesso em termos Prémio probablístico = O excesso em termos probabilísticos que torna um indíviduo indiderente probabilísticos que torna um indíviduo indiderente entre um valor certo e a lotaria. entre um valor certo e a lotaria.

Se um indivíduo tem aversão ao risco então: Se um indivíduo tem aversão ao risco então: O valor certo em dinheiro que ele está disposto a O valor certo em dinheiro que ele está disposto a

aceitar em vez da lotaria deverá ser menor que o aceitar em vez da lotaria deverá ser menor que o valor esperado de dinheiro que ele obteria da lotaria. valor esperado de dinheiro que ele obteria da lotaria. (Para evitar o risco prefere menos a mais)(Para evitar o risco prefere menos a mais)





E u(x) a utilidade associada a x. A E u(x) a utilidade associada a x. A aversão ao risco resulta da aversão ao risco resulta da concavidade de u(x).concavidade de u(x).

A função de utilidade é única? A função de utilidade é única? Não, pois toda a transformação Não, pois toda a transformação

monótona representa as mesmas monótona representa as mesmas preferências. preferências.



Função de utilidadeFunção de utilidade

Função de utilidade concâvaFunção de utilidade concâva



Como medir a aversão ao risco? Como a aversão ao risco se encontra associada á concavidade da função de utilidade, dever-se-á utilizar u’’(x) como medida…. PProblema: Não é invariante às transformações lineares crescentes… Medida 1: coeficiente de aversão absoluta ao risco ( Arrow-

Pratt index) )('

)(''

xu

xuxrA

Medidas da aversão ao riscoMedidas da aversão ao risco



Medindo a aversão ao riscoMedindo a aversão ao risco

U (W )

WY -h Y Y + h

U (Y -h )

U [0 .5 (Y + h )+ 0 .5 (Y -h )]

0 .5 U (Y + h )+ 0 .5 U (Y -h )

tan g en t lin es

U (Y + h )

Função de utilidade estritamente concâva



S ta te 2C o n su m p tio n

S ta te 1C o n su m p tio n

c 1

c 2

E U (c)= k 1

E U (c)= k 2

I2I1

*2c

*1c

2)cc( 2*2

2)cc( 1*1

Curvas de indiferença



Nível de retorno (média)Nível de retorno (média)

Dispersão dos retornosDispersão dos retornos

A função de didistribuição,se A função de didistribuição,se conhecida, poderá servir para conhecida, poderá servir para comparar lotarias comparar lotarias

Escolhas perante o riscoEscolhas perante o risco



Comparação entre níveis de riqueza diferentes: terão os pobres mais aversão ao risco que os ricos?

se )('

)(''

xu

xuxri é decrescente em x, então um indivíduo sera

menos avesso ao risco se ficar mais rico. O coeficiente de aversão absoluta ao risco mede a attitude do indivíduo perante o risco perante um ganho/perda em termos absolutos. Contudo poder-se-a estar interessado em medir a attitude perante o risco em percentagem da riqueza dos indivíduos.

Medida 2: coeficiente de aversão relative ao )('

)(''

xu

xuxxrR

Observem que embora todos os indivíduos podem ter aversão absoluta ao risco decrescente, podem não ter aversão relative ao risco decrescente, pois a perda é proporcional à sua riqueza.

Medidas de aversão ao riscoMedidas de aversão ao risco



Medidas de aversão ao risco de Arrow-Medidas de aversão ao risco de Arrow-PrattPratt

(i) Aversão absoluta ao risco(i) Aversão absoluta ao risco

(ii) Aversão relativa ao risco(ii) Aversão relativa ao risco

(Y) R (Y) U'

(Y) U" - = A

(Y) R (Y) U'

(Y) U"Y - = R



(i) Aversão absoluta ao risco(i) Aversão absoluta ao risco

(Y,h) (Y,h) ½ + ¼ h R ½ + ¼ h RAA (Y) (Y)

(Y) R (Y) U'

(Y) U" - = A

Y

Y+h

Y-h



(ii) Aversão relativa ao risco(ii) Aversão relativa ao risco

(Y) R (Y) U'

(Y) U"Y - = R

Y

Y(1+)

Y(1-)

(Y) R + )(Y, R41

21



U (Y )

Y

~

~ ~

)ZY(U 20 +

))Z~

(EY(U 0 +

)ZY(E U 0 +

)ZY(U 10 +

)Z~

(C E

0Y 10 ZY + )ZY(C E 0 + )Z(EY0 + 20 ZY +

Equivalente certo e prémio de risco



Nivel de aversão relativa ao risco de um Nivel de aversão relativa ao risco de um investidorinvestidor

= 0= 0 CE = 75,000 CE = 75,000 (neutralidade ao risco)(neutralidade ao risco)

= 1= 1 CE = 70,711CE = 70,711

= 2= 2 CE = 66,246CE = 66,246

= 5= 5 CE = 58,566CE = 58,566

= 10= 10 CE = 53,991CE = 53,991

= 20= 20 CE = 51,858CE = 51,858

= 30= 30 CE = 51,209CE = 51,209

- 1)100,000Y(

+ - 1

)50,000Y( =

-1)CEY( 1

21 1

21 1

Y=0

Y=100,000 = 5 CE = 66,530



Dominação estocásticaDominação estocásticaconceitosconceitos

Postulados da utilidade esperada levam-nos a definir Postulados da utilidade esperada levam-nos a definir dois conceitos de dominação alternativos que são dois conceitos de dominação alternativos que são mais fracos e de mais ampla utilização que o mais fracos e de mais ampla utilização que o conceito de dominação em cada estado da natureza. conceito de dominação em cada estado da natureza.

São conceitos interessantes na medida em que São conceitos interessantes na medida em que descrevem situações em que os rankings entre descrevem situações em que os rankings entre alternativas de risco são alternativas de risco são preference-freepreference-free, i.e., podem , i.e., podem ser definidos independentemente dos trade-offs ser definidos independentemente dos trade-offs específicos (entre retorno, risco e outras específicos (entre retorno, risco e outras características das distribuições de probabilidade) características das distribuições de probabilidade) representadas pela função de utilidade de um representadas pela função de utilidade de um agente. agente.



Exemplo de alternatives de investimento

Estados da natureza

1 2 3

Probabilidades .4 .4 .2 Investmento Z1

10 100 100

Investmento Z2

10 100 2000

EZ1 = 64, 1z = 44

EZ2 = 444, 2z = 779

0 1 0 1 0 0 2 0 0 0

0 .1

0 .4

0 .2

0 .3

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1 .0

F 1 an d F 2

F 1

F 2

Payoff

obabilityPr



Definição Definição : : Considere Considere e e a a distribuição acumulada de duas distribuição acumulada de duas

funções de duas variáveis aleatórias (cash funções de duas variáveis aleatórias (cash payoffs) que, sem perda de generalidade payoffs) que, sem perda de generalidade assumem valores no intervalo assumem valores no intervalo . .

Dizemos que domina Dizemos que domina estocasticamente em primeira ordem estocasticamente em primeira ordem (FSD)(FSD) se e somente se se e somente se FFAA(x) (x) FFBB(x)(x) for all for all xx . . b,a

)x~(FA )x~(FB

b,a

)x~(FA

)x~(FB



Teorema1- FSDTeorema1- FSD : : Considere Considere , , ,, duas distribuições de probabilidade duas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados acumuladas referente aos resultados aleatórios aleatórios

Então Então FSD FSD se e só sese e só se

para todas as funções de para todas as funções de utilidade não decrescentes utilidade não decrescentes U( )U( )

)x~(FA

)x~(FB

b,ax~

)x~(FA

)x~(FB

)x~U(E)x~U(E BA



X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

FA

FB

First Order Stochastic Dominance: A More General Representation



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

in v es tm en t 3

in v es tm en t 4

Table 3-2 Two Independent Investments

Investment 3 Investment 4

Payoff Prob. Payoff Prob.

4 0.25 1 0.33 5 0.50 6 0.33 12 0.25 8 0.33

Figure 3-6 Second Order Stochastic Dominance Illustrated



Suponha que pode alterar uma função F(.) Suponha que pode alterar uma função F(.) de modo a manter a média mas alterando de modo a manter a média mas alterando a variância. Suponha que G(.) é a função a variância. Suponha que G(.) é a função que se obtém desta transformação, isto é, que se obtém desta transformação, isto é, G(.) é uma média preservada da dispersão G(.) é uma média preservada da dispersão de F(.)de F(.)

Ex: F(.) é tal com a probabilidade p=1/2 Ex: F(.) é tal com a probabilidade p=1/2 Obtem 2, p ex, com prob p=1/2, obtem 3 Obtem 2, p ex, com prob p=1/2, obtem 3 cuja media de pagamento será 5/2cuja media de pagamento será 5/2

Seja G(.) com probabilidade p=1/4, obterá Seja G(.) com probabilidade p=1/4, obterá (1,2,3,4) com média também de 5/2(1,2,3,4) com média também de 5/2

Qual prefere F(.) ou G(.)?Qual prefere F(.) ou G(.)?

Dominação estocásticaDominação estocástica2ª ordem2ª ordem



Se for avesso ao risco preferirá F(.) a Se for avesso ao risco preferirá F(.) a G(.). G(.).

Pode provar que F(.) domina Pode provar que F(.) domina estocasticamente em segunda estocasticamente em segunda ordem G(.)ordem G(.)

xdGxuxdFxu

Dominação estocásticaDominação estocástica



Resultado: se G(.) é uma media preservada de F(.), Resultado: se G(.) é uma media preservada de F(.), então F(.) domina estocasticamente em segunda então F(.) domina estocasticamente em segunda ordem G(.)ordem G(.)

Demonstração:Demonstração: Considere x uma lotaria com distribuição de acordo Considere x uma lotaria com distribuição de acordo

com F(.). Suponha que tornaremos aleatório x de com F(.). Suponha que tornaremos aleatório x de forma a que o pagamento final seja x+z onde z se forma a que o pagamento final seja x+z onde z se encontra distribuido de acordo com a função H(z) encontra distribuido de acordo com a função H(z) com média zero. Por outro lado, x+z tem a mesma com média zero. Por outro lado, x+z tem a mesma média mas com variância diferente. Definimos G(.) média mas com variância diferente. Definimos G(.) como uma lotaria final reduzida, i.e. a função que como uma lotaria final reduzida, i.e. a função que tem uma probabilidade associada a cada x utilizando tem uma probabilidade associada a cada x utilizando a transformação de F(.). G(.) é uma média presrvada a transformação de F(.). G(.) é uma média presrvada com outra variância de F(.).com outra variância de F(.).

Dominação estocásticaDominação estocástica2ª ordem2ª ordem



Teorema SSD Teorema SSD (Rothschild&Stiglitz)(Rothschild&Stiglitz)

Seja F e G com mesma média e considere Seja F e G com mesma média e considere T(x) T(x) 0. 0.

Todo o indivíduo com aversão ao risco Todo o indivíduo com aversão ao risco (U’>0 e U”<0) prefere F a G:(U’>0 e U”<0) prefere F a G:

EEFFU(x) U(x) EEGGU(x) U(x)



Teorema2- SSDTeorema2- SSD : : Considere Considere , , ,, duas duas distribuições de probabilidade acumuladas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios, referente aos resultados aleatórios,

Então Então SSD SSD se e só sese e só se

para todas as funções de para todas as funções de utilidade não decrescentes e concâvas utilidade não decrescentes e concâvas U( )U( )

)x~(FA

)x~(FB

b,ax~)~(xFA

)x~(FB

)x~U(E)x~U(E BA



Dominação estocástica de 2ª ordem (SSD)Dominação estocástica de 2ª ordem (SSD).. Considere Considere , , ,, duas distribuições de duas distribuições de

probabilidade acumuladas referente aos probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios situados no intervalo resultados aleatórios situados no intervalo

. Dizemos que domina . Dizemos que domina estocasticamente em 2ª ordem estocasticamente em 2ª ordem (SSD)(SSD) se se e só se para todo o valor de xe só se para todo o valor de x : :

(Com estrita desigualdade para alguns (Com estrita desigualdade para alguns

intervalos significativos de t). intervalos significativos de t).

)x~(FA )x~(FB

b,a )x~(FA

)x~(FB

0 dt (t)F - (t)F AB

x

-



FoFormalizando:

)()( xdFzdHzxuxdGxu Por causa da concavidade de u ( E[u(x)] u[E(x)])

xdFxuxdFzdHzxuuxdFzdHzxu Então

xdGxuxdFxu CQD.

Teorema SSD Teorema SSD (Rothschild&Stiglitz)(Rothschild&Stiglitz)



Distribuição da média com maior ou Distribuição da média com maior ou menor risco menor risco

z~x~x~ AB (3.8)

f xA

f xB

~,x Payoff x f x dx x f x dxA B

Figure 3-7 Mean Preserving Spread



Prémio de risco e equivalência certaPrémio de risco e equivalência certa

Teorema 3.1 (Desigualdade de JensenTeorema 3.1 (Desigualdade de Jensen):):

Seja Seja g( )g( ) uma função concâva no intervalo uma função concâva no intervalo [a,b], e uma variável aleatória tal que [a,b], e uma variável aleatória tal que

Suponha que as expectativas Suponha que as expectativas E( )E( ) e e Eg( )Eg( ) existem; Entãoexistem; Então

Por outro lado, se Por outro lado, se g( )g( ) é estritamente concava, é estritamente concava, então a desigualdade é estrita.então a desigualdade é estrita.

)x~(Eg)x~(gE

x~

x~

1)b,ax~(obPr



(a)(a) EU(Y + ) = U(Y + EU(Y + ) = U(Y + CE(Y, ))CE(Y, ))

(b)(b) = U(Y +E - = U(Y +E - (Y, )) (Y, ))

Z~

Z~

Z~

Z~



Conceitos analisadosConceitos analisados

Medidas de aversão aboluta e Medidas de aversão aboluta e relativa ao riscorelativa ao risco

Equivalência certa e prémio de riscoEquivalência certa e prémio de risco Dominação estocásticaDominação estocástica



Que tipo de jogo prefere?Que tipo de jogo prefere?

Gamble AGamble A Gamble BGamble B

90 reds to win $9690 reds to win $96

05 blues to win $1405 blues to win $14

05 whites to win $1205 whites to win $12




70% of undergrads chose B



Which of these gambles would Which of these gambles would you prefer to play?you prefer to play?

Gamble CGamble C Gamble DGamble D


05 greens to win $9605 greens to win $96




05 greens to win $9005 greens to win $90



90% choose C over D

unidade 2-complem carlos arriaga costa um-eeg - mestrado em economia - economia financeira unidade 2...

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