unidade 1uel-pr) seja p um número primo maior que 2. É que o número p2 –1 é divisível por: c)...

Inclusão para a vida Matemática A

Pré-Vestibular da UFSC 1

UNIDADE 1

ARITMÉTICA BÁSICA

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO

Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é

múltiplo de a e b.

Exemplo: Múltiplos de 3

M(3) = {0, 3, 6, 9, ....}

Observações:

O zero é múltiplo de todos os números.

Todo número é múltiplo de si mesmo.

Os números da forma 2k, k N, são números

múltiplos de 2 e esses são chamados números pares.

Os números da forma 2k + 1, k N, são números

ímpares.

DIVISOR DE UM NÚMERO

Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e

b são divisores c.

Exemplo: Divisores de 12

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Observações:

O menor divisor de um número é 1.

O maior divisor de um número é ele próprio.

Quantidade de divisores de um número

Para determinar a quantidade de divisores de um número

procede-se assim:

a) Decompõem-se em fatores primos o número

dado;

b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a

cada um desses expoentes adiciona-se uma

unidade.

c) Multiplica-se os resultados assim obtidos.

Exemplo: Determinar o número de divisores de 90

90 = 21 . 3

2 . 5

1

(1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12

Logo, 90 possui 12 divisores

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se for par.

Exemplos: 28, 402, 5128.

Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se a soma dos valores

absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplos: 18, 243, 3126.

Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos

forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em

00.

Exemplos: 5716, 8700, 198200.


Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0

ou 5.

Exemplos: 235, 4670, 87210.

Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente

divisível por 2 e 3.

Exemplos: 24, 288, 8460.


Processo prático: Veja o número 4137

1º Passo: separa-se o último algarismo e dobra-se o seu

valor.

4137 7 2 x 7 = 14

2º Passo: subtrai-se o número assim obtido do número que

restou após a separação do último algarismo.

413 – 14 = 399

3º Passo: procede-se assim até se obter um número

múltiplo de 7.

399 9 2 x 9 = 18

39 – 18 = 21

21 1 2 x 1 = 2

2 – 2 = 0

Logo 4137 é múltiplo de 7


Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos

forem divisíveis por 8 ou forem três zeros.

Exemplos: 15320, 67000.


Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus

algarismos for um número divisível por 9.

Exemplos: 8316, 35289.


Um número é divisível por 10 se o último algarismo for

zero.

Exemplos: 5480, 1200, 345160.

NÚMEROS PRIMOS

Um número p, p 0 e p 1, é denominado número primo

se apresentar apenas dois divisores, 1 e p.

Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....

Observação: Um número é denominado composto se não

for primo.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C)

de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal

que p seja o menor número divisível pelos números em

questão.

Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8.

Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....}

M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24

Matemática A Inclusão para a Vida


Processo 2:

6 – 8

3 – 4

3 – 2

3 – 1

1 – 1

2

2

2

3

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24

MÁXIMO DIVISOR COMUM

Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou

mais números o maior dos seus divisores comuns.

Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42

Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42}

Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

Processo 2: 36 = 22.3

2 e 42 = 2.3.7

Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3

Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

Exercícios de Sala

1. (UFSC) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites

artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o

desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos

rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia

03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em

uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro.

Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9

dias para darem uma volta completa em torno da Terra,

então o número de dias para o próximo alinhamento é:

2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20,

respectivamente. O valor de x. y é:

a) 240 c) 100 e) 230

b) 120 d) 340

3. O número de divisores naturais de 72 é:

a) 10 c) 12 e) 14

b) 11 d) 13

Tarefa Mínima

4. Considere os números A = 24, B = 60; C = 48.

Determine:

a) M.M.C entre A e B

b) M.D.C entre B e C

c) M.M.C entre A, B e C

d) M.D.C entre A, B e C

5. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36,

respectivamente. O valor de x. y é:

a) 240 c) 120 e) 230

b) 720 d) 340

6. Determine o número de divisores naturais dos números

a) 80 b) 120

7. Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16

segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois

ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se

encontrar de novo no ponto de partida, levando em

consideração ambas as velocidades constantes?

8. Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e

324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos.

Queremos dividi-los em faixas que tenham me didas iguais

de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada

faixa medirá na frente:

a) 12 m c) 24 m e) 36 m

b) 18 m d) 30 m

Tarefa Complementar

9. Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a

cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a

cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro

alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos?

a) 240 horas c) 32 horas e) 320 horas

b) 120 horas d) 360 horas

10. Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e

90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim

tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua

medirá:

a) 10 cm c) 8 cm e) 4 cm

b) 6 cm d) 12 cm

11. Sejam os números

A = 23.3

2. 5 B = 2

2 . 3 . 5

2

Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem

respectivamente:

a) 180 e 60 d) 1800 e 60

b) 180 e 600 e) n.d.a.

c) 1800 e 600

12. (Santa Casa-SP) Seja o número 717171x, onde x

indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse número

é divisível por 4, então o valor máximo que x pode

assumir é:

a) 0 c) 4 e) 8

b) 2 d) 6

13. (PUC-SP) Qual dos números abaixo é primo?

a) 121 c) 362 e) n.d.a.

b) 401 d) 201

14. (PUC-SP) Um lojista dispõe de três peças de um

mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m.

Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja

vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a

largura das peças e o maior comprimento possível, de

modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos

ele deverá obter?

15. (UEL-PR) Seja p um número primo maior que 2. É

verdade que o número p2 – 1 é divisível por:

a) 3 c) 5 e) 7

b) 4 d) 6

16. Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o

mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente.

O produto A.B é dado por: 2x.3

y.5

z, então x + y + z vale:



17. (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de

zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito

é:

a) 6 c) 15 e) 24

b) 12 d) 18

18. (ACAFE) Um carpinteiro quer dividir em partes iguais

três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m,

42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos

pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos

com as três vigas é:

a) 18 c) 210 e) 20

b) 21 d) 180

UNIDADE 2

CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos Números Naturais

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto

N* ( naturais sem o zero )

N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

a, b N, (a + b) N e (a . b) N

Conjunto dos Números Inteiros

Os números inteiros surgiram com a necessidade de

calcular a diferença entre dois números naturais, em que o

primeiro fosse menor que o segundo.

Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros

Z* = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }

Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... }

Z*

+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... }

Z _ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0}

Z*

_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 }

a, b Z, (a + b) Z, (a . b) Z e (a – b) Z

Conjunto dos Números Racionais

Os números Racionais surgiram com a necessidade de

dividir dois números inteiros, onde o resultado era um

número não inteiro.

Q = { x | x a

b, com a Z, b Z

* }

Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de

fração é um número racional.

São exemplos de números racionais:

a) Naturais

b) Inteiros

c) decimais exatos ( 0,2 = 2

10 )

d) dízimas periódicas ( 0,333... = 1

3 )

As quatro operações são definidas nos racionais.

Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto

quando o numerador for zero também).

Geratrizes de uma dízima periódica

Toda fração que dá origem a uma dízima periódica se

chama GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de

uma dízima periódica, procedemos assim:

a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário

cujo numerador é o algarismo que representa a parte

periódica e o denominador é um número formado por

tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

a) 0777...= 9

7

b) 0,333....= 3

1

9

3

c) 0,434343... = 99

43

b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário

cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica

seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o

denominador é um número formado de tantos noves

quantos são os algarismos do período, seguido de tantos

zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

a) 0,3777... = 45

17

90

34

90

337

b) 0,32515151... = 3300

1073

9900

3219

9900

323251

Conjunto dos Números Irracionais

Apesar de que entre dois números racionais existir sempre

um outro racional, isso não significa que os racionais

preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo.

Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1.

Calcular o valor da hipotenusa.

x

1

1

Aplicando o teorema de Pitágoras temos:

x2 = 1

2 + 1

2

x = 2

Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é

natural, inteiro, nem racional, surge então os números

irracionais.



Os números irracionais são aqueles que não podem ser

colocados em forma de fração, como por exemplo:

a) = 3,14...

b) e = 2, 71...

c) toda raiz não exata

Conjunto dos Números Reais Os números reais surgem da união dos números racionais

com os irracionais.

QUADRO DE RESUMO

Q I

Z

N

Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos

reais. Porém, é necessário saber que existem números que

não são reais, estes são chamados de complexos e serão

estudados mais detalhadamente adiante.

PROPRIEDADES EM

Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a

Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c)

Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a

Simétrico: a + (– a) = 0

Inverso: a . a

1 = 1, a 0

INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DE

UM NÚMERO REAL

INTERVALOS NUMÉRICOS

Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de .

Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos

a seguir:

{x R| p x q} = [p, q]

{x R| p < x < q} = ]p, q[

{x R| p x < q} = [p, q[

{x R| p < x q} = ]p, q]

{x R| x q} = [q, [

{x R| x > q} = ]q, [

{x R| x q} = ] -, q]

{x R| x < q} = ] -, q[

Os números reais p e q são denominados, respectivamente,

extremo inferior e extremo superior do intervalo.

Observações

O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x}

O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { }

O intervalo ( , + ) representa o conjunto dos

números reais (R)

(x, y) = ]x, y[

Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:

Notação de conjunto. Exemplo: {x R| 2 < x 3}

Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3]

Representação Gráfica.

Exemplo:

Veja outros exemplos:

1) {x R| x > 2} = ]2, [

2) {x R| x 1} = ] -, 1]

3) {x R| 3 x < 4} = [3, 4[

MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

Módulo ou valor absoluto de um número real x é a

distância da origem ao ponto que representa o número x.

Indicamos o módulo de x por | x |.

Definição

0 x se x,-

0 x se ,xx

Exemplos:

a) como 3 > 0, então | 3 | = 3

b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3

Propriedades

| x | 0

| x |2 = x

2

||2 xx

|x – y| = |y – x|

|x . y| = | x |. | y |

y

x

y

x

Equação Modular

Equação Modular é a equação que possui a incógnita x

em módulo.

Tipos de equações modulares:

Exemplo 1: | x | = 3

x = 3 ou x = -3

S = {-3, 3}

Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6

x + 2 = 6 ou x + 2= - 6

| x | = k, com k > 0, então: x = k ou x = k



x = 4 ou x = - 8

S = {-8, 4}

Exemplo 1: | x | = - 3

S =

Exemplo 2: |x + 2| = -10

S =

Inequação Modular

Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x | k,

| x | > k, | x | k denominam-se inequações modulares.

Tipos de inequações modulares:

Exemplos: | x | < 3 – 3 < x < 3

| x | < 10 – 10 < x < 10

Exemplos: | x | > 3 x < – 3 ou x > 3

| x | > 10 x < –10 ou x > 10

Exercícios de Sala

1. Calcule o valor das expressões abaixo:

a)

3

1

5

2

8

1

4

3

b)

3

41:

5

32

2. (PUC-SP) Considere as seguintes equações:

I - x2 + 4 = 0

II - x2 – 4 = 0

III - 0,3x = 0,1

Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que:

a) II são números irracionais.

b) III é um número irracional.

c) I e II são números reais.

d) I e III são números não reais.

e) II e III são números racionais.

3. Resolva em as seguintes equações:

a) | x | = 3 d) |x + 2| = –3

b) |2x – 1| = 7 e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0

c) |x2 –5x | = 6

Tarefa Mínima

4. Enumere os elementos dos conjuntos a seguir:

a) {x N| x é divisor de 12}

b) {x N| x é múltiplo de 3}

c) {x N| 2 < x 7}

d) {x Z| - 1 x < 3}

e) {x| x = 2k, k N}

f) {x| x = 2k + 1, k N}

5. As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717...

são respectivamente:

23 23 20 43 23 43a) e b) e c) e

100 99 99 99 99 198

1 1 2 1d) e e) e

3 10 10 5

6. (ACAFE) O valor da expressão ,1

2.

c

cba quando

a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a:

7. Resolva em as seguintes equações:

a) |x| = 10 c) |x – 2| = -3

b) |x + 1| = 7 d) x 2 + 3 x - 4 = 0 é:

8. A solução da inequação 5)12( 2 x

a) {x | – 2 x 3}

b) {x | – 1 x 6}

c) {x | x 3}

d) {x | x 7}

e) {x | – 3 x 2}

Tarefa Complementar

9. (FATEC-SP) Se a = 0,666..., b = 1,333... e

c = 0,1414..., então a.b-1

+ c é igual a:

10. (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e o

irracional y, pode-se dizer que:

a) x.y é racional.

b) y.y é irracional.

c) x + y racional.

d) x - y + 2 é irracional.

e) x + 2y é irracional.

11. (FUVEST) Na figura estão representados

geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a

posição do número xy?

a) à esquerda de 0 d) entre y e 1

b) entre zero e x e) à direita de 1

c) entre x e y

12. Determine a soma dos números associados às

proposições corretas:

01. É possível encontrar dois números naturais, ambos

divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro

deixe resto 39.

02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com b

sendo um número ímpar, então a é par.

04. O número 257 é real.

| x | = k, com k = 0, então: x = 0

| x | = k, com k < 0, então: não há solução

| x | < k, com k > 0, então: k < x < k

| x | > k, com k > 0, então: x < k ou x > k



08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos

tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos

outros dois.

16. o número 247 é um número primo.

13. A expressão|2x – 1| para x < 2

1 é equivalente a:

a) 2x – 1 d) 1 + 2x

b) 1 – 2x e) – 1

c) 2x + 1

14. Assinale a alternativa correta:

a) Se x é um número real, então 2x |x |

b) Se x é um número real, então existe x, tal que

|x| < 0

c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais,

então |a + b| = |a| + |b|

d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos,

então |a + b| > |a| + |b|

e) | x | = x, para todo x real.

15. (UFGO) Os zeros da função f(x) = 2 1

53

x são:

a) 7 e 8 c) 7 e 8 e) n.d.a.

b) 7 e 8 d) 7 e 8

16. (FGV-SP) Qual dos seguintes conjuntos está contida

no conjunto solução da inequação 1)1( 2 x ?

a) {x R - 5 x - 1}

b) {x R - 4 x 0}

c) {x R - 3 x 0}

d) {x R - 2 x 0}

e) Todos os conjuntos anteriores

17. (ITA-SP) Os valores de x R para os quais a função

real dada por f(x) = |6|12||5 x está definida,

formam o conjunto:

a) [0, 1] d) (-, 0] [1, 6]

b) [-5, 6] e) [-5, 0] [1, 6]

c) [-5,0] [1, )

UNIDADE 3

EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES

DEFINIÇÃO

Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau

quando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a

diferente de zero.

RESOLUÇÃO

Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9.

Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O

número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação

Duas equações que têm o mesmo conjunto solução

são chamadas equivalentes.

PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA

IGUALDADE

Se: a = b então para m a + m = b + m

Se: a = b então para m 0 a . m = b . m

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

Inequações são expressões abertas que exprimem uma

desigualdade entre as quantidades dadas.

Uma inequação é dita do 1º grau quando pode ser escrita

na forma:

ax + b > 0 ax + b < 0

ax + b 0 ax + b 0

Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio

aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja:

Se: a > b então para m a + m > b + m

Se: a > b então para m > 0 a . m > b . m

Se: a > b então para m < 0 a . m < b . m

Exercícios de Sala

1. Resolva em R as seguintes equações e inequações:

a) ax + b = 0, com a 0

b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7)

c) 104

32

3

1

xx

d) 502x = 500x

e) 0.x = 0

f) 0.x = 5

g) 8

3x

2

1x

2. Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da

equação 5x + 2m = 20

3. Resolva em R, o seguinte sistema:

232

13

yx

yx

Tarefa Mínima

4. Resolver em R as equações:

a) 6x – 6 = 2(2x + 1)

b) 2(x + 1) = 5x + 3

c) (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3

d) 2(x – 2) = 2x – 4

e) 3(x – 2) = 3x

f) 4

1

32

1

xx

5. A solução da equação x2

1x

3

x

é:

a) x = – 2 c) x = 3 e) x = 1

b) x = – 3 d) x = 2



6. (FGV–SP) A raiz da equação 14

12x

3

1x

é:

a) Um número maior que 5.

b) Um número menor que – 11.

c) Um número natural.

d) Um número irracional.

e) Um número real.

7. Determine a solução de cada sistema abaixo:

a)

3

32

yx

yx b)

1

5

yx

yx c)

122

13

yx

yx

8. Resolva em R as inequações:

a) 3(x + 1) > 2(x – 2) c) 4

1

2

x

3

1

b) 2

3x

4

10x

Tarefa Complementar

9. O valor de x + y em

14y7x

213y2x é:

10. Obtenha o maior de três números inteiros e

consecutivos, cuja soma é o dobro do menor.

11. (UFSC) A soma dos quadrados dos extremos do

intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações: x +

3 2 e 2x - 1 17; é:

12. As tarifas cobradas por duas agências de locadora de

automóveis, para veículos idênticos, são:

Agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60

por quilômetro rodado.

Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70

por quilômetro rodado.

Seja x o número de quilômetros percorridos durante um

dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que

seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência

AGENOR do que na agência TEÓFILO.

13. (UFSC) A soma dos dígitos do número inteiro m tal

que 5 m + 24 > 5500 e 5

8 m + 700 > 42 – m, é:

14. (UFSC) Para produzir um objeto, um artesão gasta R$

1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de

123,50, independente da quantidade de objetos produzidos.

O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número

mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que

recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é:

15. (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho é 38

anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do

filho. A idade do pai será:

16. (UFSC) Na partida final de um campeonato de

basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma

diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe

vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas

equipes estão na razão de 23 para 21?

17. (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa de

bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si

metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro

menino também tirou para si metade dos bombons que

encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule

quantos bombons havia inicialmente na caixa.

18. (UEL-PR) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em

um de seus vagões um certo número de passageiros. Na

primeira parada não subiu ninguém e desceram desse

vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um número

de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda

parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse

vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de

homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros

no vagão no início da viagem?

UNIDADE 4

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode

ser reduzida a forma:

ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a 0.

RESOLUÇÃO

1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b

for igual a zero procede-se assim:

ax2 + c = 0

ax2 = c

x2 =

a

c

x = a

c

S =

a

c

a

c,

2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c

for igual a zero procede-se assim:

ax2 + bx = 0

x(ax + b) = 0

x = 0 ou ax + b = 0

S = {0, a

b }

3º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c 0

aplica-se a fórmula de Bháskara

x = 2a

Δb onde: = b

2 – 4ac

Nessa fórmula, = b2 – 4ac é o discriminante da

equação, o que determina o número de soluções

reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações:



> 0. Existem duas raízes reais e distintas

= 0. Existem duas raízes reais e iguais

< 0. Não há raiz real

RELAÇÕES DE GIRARD

Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c, tem-se:

x1 + x2 = a

b x1 . x2 =

a

c

Exercícios de Sala

1. Resolva, em reais, as equações:

a) 2x2 – 32 = 0 c) 2x

2 – 5x – 3 = 0

b) x2 – 12x = 0

2. Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x.

Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e

iguais?

a) 0 e 4 d) 1 e 3

b) 0 e 2 e) 1 e 4

c) 0 e 1

3. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x + 1 = 0,

determine:

a) x1 + x2 b) x1 . x2

c)

2x

1

1x

1

Tarefa Mínima

4. Resolva em R, as equações:

a) x2 – 5x + 6 = 0

b) – x2 + 6x – 8 = 0

c) 3x2 – 7x + 2 = 0

d) x2 – 4x + 4 = 0

e) 2x2 – x + 1 = 0

f) 4x2 – 100 = 0

g) x2 – 5x = 0

5. Os números 2 e 4 são raízes da equação:

a) x2 – 6x + 8 = 0 d) x

2 – 5x + 6 = 0

b) x2 + x – 6 = 0 e) x

2 + 6x – 1 = 0

c) x2 – 6x – 6 = 0

6. (PUC-SP) Quantas raízes reais tem a equação

2x2 – 2x + 1 = 0?

a) 0 c) 2 e) 4

b) 1 d) 3

7. A soma e o produto das raízes da equação

2x2 – 6x + 9 = 0 são respectivamente:

a) 3 e 4,5 d) 4,5 e 5

b) 2 e 4 e) n.d.a.

c) – 3 e 2

8. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0.

Obtenha

2x

1

1x

1

Tarefa Complementar

9. Resolver em R a equação 11x

1

12

x

2

10. A maior solução da equação 2x4 – 5x

2 – 3 = 0 é:

a) 3 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2

11. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0,

determine a soma dos números associados às proposições

verdadeiras:

01. x1 e x2 são iguais

02. x1 + x2 = 3

04. x1 . x2 = 2

3

08.

2x

1

1x

1 = –2

16. x12 + x2

2 = 12

32. x12.x2 + x1.x2

2 =

2

9

12. A solução da equação x – 3 = 3x é:

13. (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais

que x2 + y

2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6

14. Determine a soma dos números associados às


01. Se a soma de um número qualquer com o seu

inverso é 5, então a soma dos quadrados desse

número com o seu inverso é 23.

02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0,

então o valor de x12.x2 + x1.x2

2 =

2

9

04. Se x e y são números reais positivos, tais que

x2 + y

2 + 2xy + x + y – 6 =0, então, x + y vale 2

08. Se x é solução da equação

x2 – 3 + 32 x = 2, então, o valor de x

4 = 16

16. O valor de 2

1

3

1

168 é 5

15. Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2,

raízes dessa equação, pode-se afirmar:

01. x1 x2

02. o produto das raízes dessa equação é 0,5

04. a soma das raízes dessa equação é 3

08. a soma dos inversos das raízes é 6

16. a equação não possui raízes reais

16. A maior raiz da equação x4 – 10x

2 + 9 = 0 é:

a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 1

17. Assinale a soma dos números associados às




01. A maior raiz da equação x6 – x

3 – 2 = 0 é

32

02. A maior raiz da equação 3x2 – 7x + 2 = 0 é 2

04. As raízes da equação x2 – 4x + 5 = 0 estão

compreendidas entre 1 e 3

08. A soma das raízes da equação x6 – x

3 – 2 = 0 é 3

16. A equação x2 – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais

18. Determine o valor de x que satisfaz as equações:

a) xx 31

b) 2123 xx

UNIDADE 5

ESTUDO DAS FUNÇÕES

Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de

A em B, essa relação será chamada de função quando todo

e qualquer elemento de A estiver associado a um único

elemento em B.

Formalmente:

f é função de A em B (x A, y B | (x, y) f)

Numa função podemos definir alguns elementos.

Conjunto de Partida: A

Domínio: Valores de x para os quais existe y.

Contra Domínio: B

Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.

Observações:

A imagem está sempre contida no Contra

Domínio (Im C.D)

Podemos reconhecer através do gráfico de uma

relação, se essa relação é ou não função. Para

isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada

paralela interceptar o gráfico em apenas um

ponto, teremos uma função.

O domínio de uma função é o intervalo

representado pela projeção do gráfico no eixo das

abscissas. E a imagem é o intervalo representado

pela projeção do gráfico no eixo y.

Domínio = [a, b] Imagem = [c, d]

Valor de uma Função

Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor

que a variável y assume quando a variável x é substituída

por um valor que lhe é atribuído.

Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor

de x corresponde um único valor de y.

Assim se x = 3, então y = 9.

Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9

Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de

f(3)

Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3

f(3) = 3 + 2

f(3) = 5

Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o

valor de f(-1).

Resolução: f(x) = x2

- 5x + 6, devemos

fazer x = -1

f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6

f(-1) = 1 + 5 + 6

f(-1) = 12

Exemplo 3: Dada a função f(x 1) = x2. Determine f(5).

Resolução: f(x 1) = x2, devemos fazer x = 6

f(6 1) = 62

f(5) = 36

Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5).

Exercícios de Sala

1. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma

dos números associados às proposições corretas:

01. O domínio da função f é {x R | - 3 x 3}

02. A imagem da função f é {y R | - 2 y 3}

04. para x = 3, tem-se y = 3

08. para x = 0, tem-se y = 2

16. para x = - 3, tem-se y = 0

32. A função é decrescente em todo seu domínio

2. Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada

função:

a) y = 2x + 1 b) y =

72

7

x

c) y = 23 x d) y = 22

3

x

x



3. ( )

2x -1, se x 0

5, se 0 x 5

2x 5x 6, se x 5

Seja f x

.

Calcule o valor de:

)6(

)()3(

f

ff

Tarefa Mïnima

4. (UNAERP-SP) Qual dos seguintes gráficos não

representa uma função f: R R ?

a)

b)

c)

d)

e)

5. Assinale a soma dos números associados às proposições

corretas:

01. O domínio da função f é {x R | - 2 x 2}

02. A imagem da função f é {y R | - 1 y 2}

04. para x = -2 , tem-se y = -1

08. para x = 2, tem-se y = 2

16. A função é crescente em todo seu domínio

6. Determine o domínio das seguintes funções:

a) y = 93

2

x b) y = 3x

c) y = 2

6

x

x d) y =

3 5x

7. (UFSC) Considere as funções f: R R e g: R R

dadas por f(x) = x2 x + 2 e g(x) = 6x +

5

3. Calcule

f(2

1) +

4

5g(1).

8. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e

B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define

uma função de A em B.

a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)}

b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)}

c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}

d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)}

e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}

Tarefa Complementar

9. (UFC) O domínio da função real y = 7

2

x

x é:

a) {x R| x > 7}

b) {x R| x 2}

c) {x R| 2 x < 7}

d) {x R| x 2 ou x > 7}

10. Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine:

a) f(3)

b) f(5)

c) os valores de x, tal que f(x) = 0

11. (USF-SP) O número S do sapato de uma pessoa está

relacionado com o comprimento p, em centímetros,do seu

pé pela fórmula S = 4

285 p. Qual é o comprimento do

pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41?

a) 41 cm d) 29,5 cm

b) 35,2 cm e) 27,2 cm

c) 30,8 cm

12. (FUVEST) A função que representa o valor a ser pago

após um desconto de 3% sobre o valor x de uma

mercadoria é:

a) f(x) = x – 3 d) f(x) = - 3x

b) f(x) = 0,97x e) f(x) = 1,03x

c) f(x) = 1,3x

13. ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = (a).f(b),

quaisquer que sejam os números reais a e b, então f(3x) é

igual a:

a) 3.f(x) d) [f(x)]3

b) 3 + f(x) e) f(3) + f(x) c) f(x3)



14. (FGV-SP) Numa determinada localidade, o preço da

energia elétrica consumida é a soma das seguintes

parcelas:

1ª . Parcela fixa de R$ 10,00;

2ª . Parcela variável que depende do número de

quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa

R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor

pagou R$ 31,00, então ele consumiu:

a) 100,33 kWh d) entre 65 e 80 kWh

b) mais de 110 kWh e) entre 80 e 110 kWh

c) menos de 65 kWh

15. (PUC-Campinas) Em uma certa cidade, os taxímetros

marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT

(unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro

rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o

taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros

corridos foi:

16. (UFSC) Dadas as funções f(x) = 3x + 5,

g(x) = x2 + 2x 1 e h(x) = 7 x, o valor em módulo da

expressão:

14 4

2

1

h g

f ( )

17. (UFSC) Considere a função f(x) real, definida por f(1)

= 43 e f(x + 1) = 2 f(x) 15. Determine o valor de f(0).

18. (UDESC) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2.

Nessas condições, f(3x + 2) é igual a:

UNIDADE 6

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU


Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x R,

associa o elemento ax + b.

Forma: f(x) = ax + b com a 0.

a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.

Gráfico

O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e

decrescente se a for negativo.

Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo

é necessário definir apenas dois pontos para obter o

gráfico.

Interceptos:

Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer

x = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo y tem

coordenadas (0,b).

Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer

y = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem

coordenadas ( b

a,0). O ponto que o gráfico corta o

eixo x é chamado raiz ou zero da função.

RESUMO GRÁFICO

f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0

Função crescente Função decrescente

Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função

f(x) = – 3x + 1.

Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o

gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o

eixo y em (0,1).

Para determinar o ponto que o gráfico corta o

eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0.

– 3x + 1 = 0

x = 3

1

Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem

coordenadas (3

1, 0)

D = C.D. = Im =

FUNÇÃO CONSTANTE

Uma função f de R em R é constante se, a cada x R,

associa sempre o mesmo elemento k R.

D(f) = R e Im (f) = k

Forma: f(x) = k

Gráfico:

Exemplo: y = f(x) = 2



D = C.D. = Im = {2}

Exercícios de Sala

1. Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais.

Determine a soma dos números associados às

proposições corretas :

01. a reta que representa a função f intercepta o eixo

das ordenadas em (0,- 6)

02. f(x) é uma função decrescente

04. a raiz da função f(x) é 3

08. f(-1) + f(4) = 0

16. a imagem da função são os reais

32. A área do triângulo formado pela reta que

representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18

unidades de área.

2. (PUC-SP) Para que a função do 1º grau dada por f(x) =

(2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:

) ) ) ) ) 2 2 2 2 2

a k b k c k d k e k3 3 3 3 3

3. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se

que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).

Tarefa Mínima

4. Esboçar o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) = – x + 3

b) f(x) = 2x + 1

5. (FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa

pelos pontos A(1, 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m +

n vale em módulo:

6. (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação

gráfica correta para a função f(x) = ax + b é:

7. (UFMA) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o

eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1,

3), então f(x) é:

a) f(x) = x 3 d) f(x) = 2x 1

b) f(x) = x 4 e) f(x) = 3x 6

c) f(x) = 2x 5

8. Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de

t

ftf )()(

com t .

Tarefa Complementar

9. (UCS-RS) Para que – 3 seja raiz da função

f(x) = 2x + k, deve-se ter

a) k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2

10. (UFPA) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e

intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a 2b é

igual a:

a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) n.d.a.

11. (Fuvest-SP) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em

relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os

eixos do sistema um triângulo cuja área é:

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16

12. O gráfico da função f(x) está representado pela figura

abaixo:

Pode-se afirmar que f(4) é igual a:

13. (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro

gasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na produção de

perfume, varia com a quantidade de perfume produzida

(x). Assim, podemos afirmar:

a) Quando a empresa não produz, não gasta.

b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta

R$ 76,00.

c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta

R$ 54,00.

d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá

5 litros de perfume.

e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa

gasta menos do que para fabricar o quinto litro.

14. (UFSC) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5

como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é:



15. O valor de uma máquina decresce linearmente com o

tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale

R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu

valor, em reais, daqui a três anos será:

a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416

16. (UFRGS) Considere o retângulo OPQR da figura

baixo. A área do retângulo em função da abscissa x do

ponto R é

a) A = x

2 – 3x d) A = - 2x

2 + 6x

b) A = - 3x2 + 9x e) A = 2x

2 – 6x

c) A = 3x2 – 9x

17. (UFRGS) Dois carros partem de uma mesma cidade,

deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo

apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função

do tempo. Distância (em km)

Temp o (em horas)

Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu

primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido

exatamente:

a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km

Estudo do vértice da parábola

A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida

em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo

chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo

com a parábola recebe o nome de vértice da parábola.

O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.

O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.

Coordenadas do vértice

O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde

e4a

=yv2a

b

vx

Imagem da função quadrática

Se a > 0, então Im = {y R| y

4a}

Se a < 0, então Im = {y R| y

4a}

Resumo gráfico

> 0

= 0



< 0

18. (UERJ) Considere a função f, definida para todo x real

positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois meros

positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0),

(b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2. f(x) =

x

1

Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0)

e (3b, f(3b))

UNIDADE 7


Uma função f de R em R é polinomial do 2º grau se a cada

x R associa o elemento ax2 + bx + c, com a 0

Forma: f(x) = ax2 + bx + c, com a 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R

é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada

pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim,

quando:

a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima

a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo

nterceptos

O ponto que o gráfico corta o eixo y possui

coordenadas (0,c)

Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x,

deve-se fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º

grau ax2 + bx + c = 0, onde:

ac4b onde ,2a

Δb 2

x

Se > 0 Duas Raízes Reais

Se = 0 Uma Raiz Real

Se < 0 Não possui Raízes Reais

Estudo do vértice da parábola

A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida

em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo

chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo

com a parábola recebe o nome de vértice da parábola

O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.

O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.

Coordenadas do vértice

O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde

e4a

=yv2a

b

vx

Imagem da função quadrática

Se a > 0, então Im = {y R| y

4a}

Se a < 0, então Im = {y R| y

4a}

Resumo gráfico

> 0

= 0



< 0

Exercícios de Sala

1. Em relação a função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de

é correto afirmar:

01. 2 e 4 são os zeros da função f

02. o vértice da parábola possui coordenadas (3, -1)

04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos

números reais.

08. A imagem da função é: { y R| y 1}

16. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da

parábola e seus zeros, é 4 unidades de área.

2. Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu

conjunto imagem.

a) f: , f(x) = x2 – 2x

b) f: , f(x) = – x2 + 4

c) f: [0, 3[ , f(x) = f(x) = x2 – 2x

3. Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de .

Determine o valor de m para que o gráfico de f(x):

a) tenha duas intersecções com o eixo

b) tenha uma intersecção com o eixo x

c) não intercepte o eixo x

Tarefa Mínima

4. Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas do

vértice e a imagem de cada função.

a) f: , f(x) = x2 – 2x – 3

b) f: , f(x) = (x + 2)(x – 4)

c) f: , f(x) = – x2 + 2x – 1

d) f: , f(x) = x2 – 3x

5. Dada a função f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale

as verdadeiras:

01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de

coordenadas (0,12).

02. As raízes de f são 2 e 6.

04. O domínio de f é o conjunto dos números reais.

08. O gráfico não intercepta o eixo x.

16. A imagem da função é { y R| y 4 }

32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, 4)

64. A função é crescente em todo seu domínio.

6. (UFSC) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em

R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da

parábola e seus zeros, é:

7. (ACAFE-SC) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 de

domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é:

a) [0, 3] c) ]-, 4] e) [-5, 3]

b) [-5, 4] d) [-3, 1]

8. ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x)

= x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, o vértice da parábola que representa f localiza-

se:

a) no primeiro quadrante.

b) no segundo quadrante.

c) no terceiro quadrante.

d) sobre o eixo das coordenadas.

e) sobre o eixo das abscissas.

Tarefa Complementar

9. (UFSC) Seja f: R R, definida por: f(x) = - x2

,

termine a soma dos números associados às afirmativas

verdadeiras:

01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem.

02. f(x) é crescente em R.

04. As raízes de f(x) são reais e iguais.

08. f(x) é decrescente em [0, + )

16. Im(f) = { y R y 0}

32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x.

10. (ESAL-MG) A parabola abaixo é o gráfico da função

f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta:

a) a < 0, b = 0, c = 0 d) a < 0, b < 0, c > 0

b) a > 0, b = 0, c < 0 e) a > 0, b > 0, c > 0

c) a > 0, b < 0, c = 0

11. Considere a função definida em x dada por

f(x) = x2 – mx + m. Para que valores de m o gráfico de

f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto?

12. (UFPA) As coordenadas do vértice da função

y = x2 – 2x + 1 são:

a) (-1, 4) c) (-1, 1) e) (1, 0)

b) (1, 2) d) (0, 1)

13. (UFPA) O conjunto de valores de m para que o

gráfico de y = x2 mx + 7 tenha uma só intersecção com o

eixo x é:

a) { 7} c) { 2 }

b) { 0 } d) { 2 7 }

14. (Mack-SP) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o

ponto V(1, 4). O valor de k + m em módulo é:



15. (UFSC) Dada a função f: R R definida por f(x) =

ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10.

Determine o valor de a - 2b + 3c.

16. A equação do eixo de simetria da parábola de

equação y = 2x2 - 10 + 7, é:

a) 2x - 10 + 7 = 0 d) y = 3,5

b) y = 5x + 7 e) x = 1,8

c) x = 2,5

17. O gráfico da função f(x) = mx2 – (m

2 – 3)x + m

3

intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem

concavidade voltada para baixo. O valor de m é:

a) – 3 c) – 2 e) – 1

b) – 4 d) 2

18. (UFSC) Marque no cartão a única proposição

correta. A figura abaixo representa o gráfico de uma

parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é:

01. y = -2x + 2

02. y = x + 2

04. y = 2x + 1

08. y = 2x + 2

16. y = -2x – 2

UNIDADE 8

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO

INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE

INEQUAÇÕES DO 2O

GRAU

Inequação do 2º grau é toda inequação da forma:

0

0

0

0

2

2

2

2

cbxax

cbxax

cbxax

cbxax com a 0

Para resolver a inequação do 2º grau se associa a expressão

a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação

de sinais em função da variável. Posteriormente,

selecionam-se os valores da variável que tornam a

sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjunto-

solução.

Exemplos:

a) resolver a inequação x2 – 2x – 3 0

S = {x R | x -1 ou x 3} ou

S = ]-, -1] [3, +[

b) resolver a inequação x2 – 7x + 10 0

S = { x R | 2 x 5}

S = [2, 5]

c) resolver a inequação –x2 + 5x – 4 > 0

S = { x R | 1 < x < 4}

S = [1, 4]

Inequações Tipo Produto

Inequação Produto é qualquer inequação da forma:

a) f(x).g(x) 0 b) f(x).g(x) > 0

c) f(x).g(x) 0 d) f(x).g(x) < 0

Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário

o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a

regra da multiplicação.

Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0

S = { x R | x < 1 ou 2 < x < 3}

Inequações Tipo Quociente

Inequação quociente é qualquer inequação da forma:

a) f(x)

g(x)0 b)

f(x)

g(x)> 0 c)

f(x)

g(x)0 d)

f(x)

g(x)< 0

Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se

faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e,

em seguida, se aplique a regra de sinais da divisão. É

necessário lembrar que o denominador de uma fração não

pode ser nulo, ou seja, nos casos acima vamos considerar

g(x) 0.



Exemplo: Resolver a inequação 0

2

342

x

xx

S = { x R | 1 x < 2 ou x 3}

Exercícios de Sala

1. Resolver em as seguintes inequações:

a) x2 – 8x + 12 > 0

b) x2 – 8x + 12 0

c) x2 – 9x + 8 0

2. O domínio da função definida por

f(x) = x x

x

2 3 10

6

é:

a) D = {x R| x 2 ou x 5} {6}.

b) D = {x R| x - 2 ou x 5} {6}.

c) D = {x R| x - 2 ou x 5}

d) D = {x R| x - 2 ou x 7} {6}.

e) n.d.a.

3. Determine o conjunto solução das seguintes

inequações:

a) (x – 3)(2x – 1)(x2 – 4) < 0

b)

4

1072

x

xx 0

Tarefa Mínima


a) x2 – 6x + 8 > 0

b) x2 – 6x + 8 0

c) – x2 + 9 > 0

d) x2 4

e) x2 > 6x

f) x2 1

5. (Osec-SP) O domínio da função

f(x) = x x2 2 3 , com valores reais, é um dos conjuntos

seguintes. Assinale-o.

a) {x R -1 x 3 } d) { x R x 3}

b) { x R -1 < x < 3 } e) n.d.a.

c) { }

6. Resolva, em R, as seguintes inequações:

a) (x2 – 2x – 3).( – x

2 – 3x + 4) > 0

b) (x2 – 2x – 3).( – x

2 – 3x + 4) 0

c) (x – 3) (x2 – 16) < 0

d) x3 x

e) x3 – 3x

2 + 4x – 12 0

7. Resolva, em R, as seguintes inequações:

a) 0

16

652

2

x

xx

b) 0

16

652

2

x

xx

c) x

x

x

x

1 10

d) 2

1x < 1

8. (ESAG) O domínio da função y = 1 2

12

x

x nos reais é:

a) (-, -1 ) d) (-, -1) [1/2, 1)

b) (-1, ½] e) { }

c) (-, ½]

Tarefa Complementar


a) x2 – 6x + 9 > 0 c) x

2 – 6x + 9 < 0

b) x2 – 6x + 9 0 d) x

2 – 6x + 9 0


a) x2 – 4x + 5 > 0 c) x

2 – 4x + 5 < 0

b) x2 – 4x + 5 0 d) x

2 – 4x + 5 0

11. (CESGRANRIO) Se x2 – 6x + 4 – x

2 + bx + c tem

como solução o conjunto {x | 0 x 3}, então b e c

valem respectivamente:

a) 1 e – 1 d) 0 e 1

b) – 1 e 0 e) 0 e 4

c) 0 e – 1

12. (UNIP) O conjunto verdade do sistema

042

0892

x

xx é:

a) ]1, 2] c) [2, 4[ e) [4, 8[

b) ]1, 4] d) [1, 8[

13. (PUC-RS) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é:

a) { – 2 2 ; 2 2 } d) (– ; 2 2 )

b) [– 2 2 ; 2 2 ] e) (– ; 2 2 ]

c) (– 2 2 ; 2 2 )

14. (ACAFE) O lucro de uma empresa é dado por L(x) =

100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Neste

caso podemos afirmar que o lucro é:

a) positivo para x entre 3 e 8

b) positivo para qualquer que seja x

c) positivo para x maior do que 8

d) máximo para x igual a 8

e) máximo para x igual a 3

15. (FATEC) A solução real da inequação produto

(x2 – 4).(x

2 – 4x) 0 é:

a) S = { x R| - 2 x 0 ou 2 x 4}

b) S = { x R| 0 x 4}



c) S = { x R| x - 2 ou x 4}

d) S = { x R| x - 2 ou 0 x 2 ou x 4}

e) S = { }

16. (MACK-SP) O conjunto solução de 5

3

6

x

x é:

a) { x R x > 15 e x < - 3}

b) { x R x < 15 e x - 3}

c) { x R x > 0}

d) {x R - 3 < x < 15}

e) { x R - 15 < x < 15}

17. (Cescem-SP) Os valores de x que satisfazem a

inequação (x2 2x + 8)(x

2 5x + 6)(x

2 16) < 0 são:

a) x < 2 ou x > 4 d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4

b) x < 2 ou 4 < x < 5 e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4

c) 4 < x < 2 ou x > 4

18. (FUVEST) De x4 – x

3 < 0 pode-se concluir que:

a) 0 < x < 1 d) – 2< x < –1

b) 1 < x < 2 e) x < –1 ou x > 1

c) – 1< x < 0

UNIDADE 9

PARIDADE DE FUNÇÕES

FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA

Função Par Uma função é par quando para valores simétricos de x

temos imagens iguais, ou seja:

f(x) = f(x), x D(f)

Uma consequência da definição é: Uma função f

é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação

ao eixo y.

FUNÇÃO ÍMPAR

Uma função é ímpar quando para valores simétricos de x

as imagens forem simétricas, ou seja:

f(x) = f(x), x D(f) Como consequência da definição os gráficos das funções

ímpares são simétricos em relação à origem do sistema

cartesiano.

FUNÇÃO COMPOSTA

Dadas as funções f: A B e g: B C, denomina-se

função composta de g com f a função gof: definida de

A C tal que gof(x) = g(f(x))

f: A B g: B C gof: A C

Condição de Existência: Im(f) = D(g) Alguns tipos de funções compostas são:

a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))

Exercício resolvido:

Dadas as funções f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x

de modo que f(g(x)) = 0

Resolução: Primeiramente vamos determinar

f(g(x)) e, em seguida, igualaremos a zero.

f(x) = x2 - 5x + 6

f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6

Daí vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2.

Igualando a zero temos:

x2 - 3x + 2 = 0

Onde x1 = 1 e x2 = 2

FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E

BIJETORA

Função injetora: Uma função f: A B é injetora se e

somente se elementos distintos de A têm imagens distintas

em B. Em Símbolos:

f é injetora x1, x2 A, x1 x2 f(x1) f(x2)

Função sobrejetora: Uma função f de A em B é

sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos

elementos de A, ou seja: CD = Im

Função bijetora: Uma função é bijetora se for ao mesmo

tempo injetora e sobrejetora.

DICA: De R R, a função do 1º Grau é bijetora, e a

função do 2º Grau é simples.

FUNÇÃO INVERSA

Seja f uma função f de A em B. A função f 1

de B em A é

a inversa de f, se e somente se:

fof -1

(x) = x, x A e f -1

o f (x) = x, x B.

Observe que A = D(f) = CD(f -1

) e B = D(f -1

) = CD(f)



IMPORTANTE: f é inversível f é bijetora

Para encontrar a inversa de uma função, o processo

prático é trocar x por y e, em seguida, isolar y.

Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f 1

(x) são

simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

(f(x) = x)

Exercício Resolvido:

Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a

sua inversa.

Resolução: Como a função f(x) é bijetora, então ela

admite inversa. Basta trocarmos x por y e

teremos:

f(x) = 2x + 4

x = 2y + 4

x - 4 = 2y

f -1

(x) = x 4

2

Exercícios de Sala

1. Dadas as funções f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2.

Determine:

a) f(g(x)) c) f(g(3))

b) g(f(x)) d) g(f(-2))

2. (UFSC) Considere as funções f, g: R R tais que

g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7).

3. Se x 3, determine a inversa da função

3

12)(

x

xxf

Tarefa Mínima

1. Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter:

a) f(g(x)) e) f(g(3))

b) g(f(x)) f) g(f(1))

c) f(f(x)) g) f(f(f(2)))

d) g(g(x))

2. (UFU-MG) Dadas as funções reais definidas por f(x) =

2x - 6 e g(x) = x2 + 5x + 3, pode-se dizer que o domínio da

função h(x) = fog x é:

a) {x R x -5 ou x 0} b) {x R x 0}

c) {x R x -5} d) { }

e) n.d.a.

3. (UFSC) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2 + 1, com f e

g definidas para todo x real, determine o valor numérico da

função g no ponto x = 18, ou seja, g(18).

4. Determine a função inversa de cada função a seguir:

a) y = 2x – 3 c) y =

4

12

x

x , x 4

b) y =

4

2x

5. (UFSC) Seja a função f(x) =

2

2

x

x, com x 2,

determine f -1

(2).

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Sejam f e g funções de R em R definidas por:

f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.Determine a soma dos números

associados à(s) proposições verdadeiras.

01. A reta que representa a função f intercepta o eixo

das ordenadas em (0,3).

02. f é uma função crescente.

04. -1 e +1 são os zeros da função g.

08. Im(g) = { y R y -1 }.

16. A função inversa da f é definida por

f -1

(x) = -x + 3.

32. O valor de g(f(1)) é 3.

64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0).

7. Dadas as funções: f(x) = 5 x e g(x) = x2 - 1, o

valor de gof(4) é:

8. (UEL-PR) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) =

2x2 + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) é:

9. (Mack-SP) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x

2 e f(g(x)) = 2x 3. Então g(f(x)) é definida por:

a) 2x 1 c) 2x 3 e) 2x 5

b) 2x 2 d) 2x 4

10. (F.C.Chagas-BA) A função inversa da função f(x) =

2 1

3

x

x

é:

anteriores das nenhuma e)

x-2

1+3x=(x)

1-f d)

x-3

2x-1=(x)

1-f c)

3-x

1+2x=(x)

1-f b)

1-2x

3+x=)(

1-f a) x

11. Obtenha as sentenças que definem as funções inversas

de:

a) f: [ – 3; 5] [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7

b) g: [2, 5] [0,9] tal que g(x) = x2 – 4x + 4

c) h: [3, 6] [–1, 8] tal que h(x) = x

2 – 6x + 8

12. (MACK-SP) Se f(g(x)) = 2x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x +

2, então o valor de g(2) é:

a) - 2 c) 0 e) 14

b) 2 d) 6



13. (UFSC) Seja f uma função polinomial do primeiro

grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine

a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x.

14. (UDESC) Se f(x) = ax2 + bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1.

Calcule f(f(a))

15. (IME-RJ) Sejam as funções g(x) e h(x) assim

definidas: g(x) = 3x – 4; h(x) = f(g(x)) = 9x2 – 6x + 1.

Determine a função f(x).

UNIDADE 10

EXPONENCIAL

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser

reduzida a forma ax = b, com 0 < a 1.

Para resolver tais equações é necessário transformar a

equação dada em:

Igualdade de potência de mesma base.

af(x)

= ag(x)

f(x) =g(x)

Potências de expoentes iguais. af(x)

= bf(x)

a = b

sendo a e b 1 e a e b R*

+.

Função Exponencial f(x) = ax

(a > 1) função crescente

(0 < a < 1) função decrescente

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

Para resolvermos uma inequação exponencial devemos

respeitar as seguintes propriedades:

Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação

de desigualdade se mantém.

af(x)

> ag(x)

f(x) > g(x)

Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 <

< 1), a relação de desigualdade se inverte.

af(x)

> ag(x)

f(x) < g(x)

Exercícios de Sala

1. (UFSC) Dado o sistema 7 1

5 25

2

2

x y

xy

, o valor de y

x

4

é:

2. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação 22x + 1

-

3.2x + 2

= 32, é:

Tarefa Mínima

1. Resolva, em R, as equações a seguir:

a) 2 x = 128 b) 2

x =

1

16

c) 3x 1

+ 3x + 1

= 90 d) 25.3x = 15

x é:

e) 22x

2x + 1

+ 1 = 0

2. (PUC-SP) O conjunto verdade da equação

3.9x 26.3

x 9 = 0, é:

3. Dadas f(x) = 1

2

x

e as proposições:

I - f(x) é crescente

II - f(x) é decrescente

III - f(3) = 8

IV- ( 0,1 ) f(x)

podemos afirmar que:

a) todas as proposições são verdadeiras.

b) somente II é falsa.

c) todas são falsas.

d) II e III são falsas.

e) somente III e IV são verdadeiras.

4. Resolva, em R, as inequações a seguir:

a) 22x 1

> 2x + 1

b) (0,1)5x 1

< (0,1)2x + 8

c) 31

4

7

4

72

x

d) 0,5|x – 2|

< 0,57

5. (OSEC-SP) O domínio da função de definida por y =

1

1

3243

x

, é:

a) ( , 5 [ b) ] 5, + )

c) ( , 5 [ d) ] 5, + ) e) n.d.a.

Tarefa Complementar

6. Resolvendo a equação 4x + 4 = 5.2

x, obtemos:

a) x1 = 0 e x2 = 1 c) x1 = 0 e x2 = 2

b) x1 = 1 e x2 = 4 d) x1 = x2 = 3

7. (Unesp-SP) Se x é um número real positivo tal que

2 22 2x x

, então x

xx x

2

é igual a:

8. A maior raiz da equação 4|3x 1|

= 16



9. (ITA-SP) A soma das raízes da equação

94

31

1

21

x

x

é:

10. A soma das raízes da equação

2

31

13 2

3

2 1

1

x x

x

é:

11. (UFMG) Com relação à função f(x) = ax, sendo a e x

números reais e 0 < a 1, assinale as verdadeiras:

01. A curva representativa do gráfico de f está toda

acima do eixo x.

02. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1).

04. A função é crescente se 0 < a < 1

08. Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1.

12. Determine o domínio da função abaixo:

7

5)4,1()( 52

xxf

13. (UEPG-PR) Assinale o que for correto.

01. A função f(x) = ax, 1 < a < 0 e x R, intercepta o

eixo das abscissas no ponto (1,0)

02. A solução da equação 2x.3

x =

336 pertence ao

intervalo [0, 1]

04. Dada a função f(x) = 4x, então D = R e Im =

*

R

08. A função f(x) = x2 é crescente

16. ba

ba

2

1

2

1

14. Determine o valor de x no sistema abaixo:

1) y e 1(x

35 yx

yx xy

15. Resolver, em reais, as equações abaixo:

a) 5x + 0,2

x = 5,2 b) 5.4

x + 2.5

2x = 7.10

x

UNIDADE 11

LOGARITMOS

DEFINIÇÃO

Dado um número a, positivo e diferente de um, e um

número b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao

real x tal que ax = b.

(a > 0 e a 1 e b > 0)

loga b = x ax = b

Em loga b = x temos que:

a = base do logaritmo

b = logaritmando ou antilogaritmo

x = logaritmo

Observe que a base muda de membro e carrega x como

expoente.

Exemplos:

1) log6 36 = x 36 = 6x 6

2 = 6

x x = 2

2) log5 625 = x 625 = 5x 5

4 = 5

x x = 4

Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porém,

dois deles se destacam:

Sistemas de Logaritmos Decimais:

É o sistema de base 10, também chamado sistema de

logaritmos comuns ou vulgares, ou de Briggs (Henry

Briggs, matemático inglês (1561-1630)).

Quando a base é 10 costuma-se omitir a base na sua

representação.

Sistemas de Logaritmos Neperianos

É o sistema de base e (e = 2, 718...), também chamado de

sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se

a J. Neper (1550-1617).

Condição de Existência

Para que os logaritmos existam é necessário que em: logab

= x se tenha :

logaritmando positivo

base positiva

base diferente de 1

Resumindo b > 0

a > 0 e a 1

Consequências da Definição

Observe os exemplos:

1) log2 1 = x 1 = 2x 2

0 = 2

x x = 0

2) log3 1 = x 1 = 3x 3

0 = 3

x x = 0

3) log6 1 = x 1 = 6x 6

0 = 6

x x = 0

loga 1 = 0

4) log2 2 = x 2 = 2x 2

1 = 2

x x = 1

5) log5 5 = x 5 = 5x 5

1 = 5

x x = 1

loga a = 1

6) log2 23 = x 2

3 = 2

x x = 3

7) log5 52 = x 5

2 = 5

x x = 2

loga am

= m

8) 2 2 44 2log2 x x x

9) 3 3 99 2log3 x x x

bbalog

a

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

Logaritmo do Produto

O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos

fatores.

loga (b . c) = loga b + loga c

Exemplos:

a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2

b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3

Logaritmo do Quociente

O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo

menos o logaritmo do divisor.



loga c

bloga b loga c

Exemplos:

a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2

b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3

Logaritmo da Potência

O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente

pelo logaritmo da base da potência.

loga xm

= m . loga x

Exemplos: a) log2 53 = 3. log2 5

b) log3 4-5

= -5 log3 4

Caso Particular an

aa bn

bn

b log.1

loglog

1

Exemplo: log10 23 = log10 2

1

3 1

3log10 2

Exercício Resolvido:

Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o

valor de log 18.

Resolução: log 18 = log(2.32)

log 18 = log 2 + log 32

log 18 = log 2 + 2log 3

log 18 = 0,30 + 2.0,47

log 18 = 1,24

Exercícios de Sala

1. Com base na definição, calcule o valor dos seguintes

logaritmos:

a) log21024

b) log 0,000001

c) log2 0,25

d) log4 13 128

2. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o

valor de:

a) log 6 b) log 8

c) log 5 d)log 18

Tarefa Mínima

1. Determine o valor dos logaritmos abaixo:

a) log2 512 b)log0,250,25

c) log7 1 d)log0,25 13 128

2. Determine o valor das expressões abaixo

a) 3 loga a5 + loga 1 – 4 l g aa , onde 0 < a 1, é:

b) 5625.163

1

982 glglgl é:

3. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o

valor dos logaritmos abaixo:

a) log 12 b)log 54

c) log 1,5 d) log 5125

4. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual

será o valor de log 28?

a) 1,146 b) 1,447

c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107

5. (FEI-SP) A função f(x) = log (50 5x x2) é definida

para:

a) x > 10 b) 10 < x < 5

c) 5 < x < 10 d) x < 5 e) n.d.a.

Tarefa Complementar

6. (PUC-SP) Se l g x2 2

512 , então x vale:

7. (PUC-SP) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47,

então log6 2

5 é igual a:

a) 0,12 c) 0,32 e) 0,52

b) 0,22 d) 0,42

8. (ACAFE-SC) Os valores de m, com R, para os quais

a equação x2 – 2x + log2(m – 1) = 0 admite raízes (zeros)

reais e distintas são:

a) 2 < m < 4

b) m< 3

c) m 3

d) 1 m 3

e) 1 < m < 3

9. Se log a = r, log b = s, log c = t e E = 3

3

cb

a , então log E

é igual a:

10. (ANGLO) Se log E = 2log a + 3log b – log c – log d,

Então E é igual a:

11. (UFSC) Se 3 125

14

l g x y l g

l gx l gy l g

, então o valor de x

+ y é

12. Se x = 3603, log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477,

determine a parte inteira do valor de 20 log10 x.

13. (UMC-SP) Sejam log x = a e log y = b. Então o log

yx. é igual a:

a) a + b/2 b) 2a + b c )a + b d)a+2b e) a-b/2

14. Determine o domínio das seguintes funções:

a) y = logx – 1 (3 – x) b) y = log(5 – x) (x2 – 4)

15. Se x é a solução da equação 7...

xxxx , calcule o valor

da expressão 2x7 + log7x –

7

1



UNIDADE 12

LOGARITMOS

MUDANÇA DE BASE

Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos

ficamos sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser

de mesma base. Dado esse problema, apresentamos então

um processo o qual nos permite reduzir logaritmos de

bases diferentes para bases iguais. Este processo é

denominado mudança de base.

loga b =agl

bgl

c

c

Como consequência, e com as condições de existência

obedecidas, temos:

1) loglog

log logBA

A AkAB

Bk

B 1

21

EQUAÇÃO LOGARÍTMICA

São equações que envolvem logaritmos, onde a incógnita

aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando

(antilogaritmo).

Existem dois métodos básicos para resolver

equações logarítmicas. Em ambos os casos, faz-se

necessário discutir as raízes. Lembrando que não existem

logaritmos com base negativa e um, e não existem

logaritmos com logaritmando negativo.

1º Método: loga X = loga Y X = Y

2º Método: loga X = M X = aM

Função Logarítmica f(x) = loga x

(a > 1) função crescente

(0 < a < 1) função decrescente

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

a > 1

loga x2 > loga x1 x2 > x1

0 < a < 1

loga x2 > loga x1 x2 < x1

Exercícios de Sala

1. Resolver as equações abaixo:

a) logx (3x2 - x) = 2

b) log4 (x2 + 3x - 1) = log4 (5x 1)

c) log2 (x + 2) + log2 (x 2) = 5

2. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s)

proposição(ões) verdadeira(s).

01. O valor do 32log 25,0 é igual a –

2

5 .

02. Se a, b e c são números reais positivos e x = cb

a

2

3,

então log x = 3log a – 2log b – 2

1 log c.

04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c

diferentes de um, então tem-se alog

blogblog

c

c

a .

08. O valor de x que satisfaz à equação 4x – 2

x = 56 é x =

3.

Tarefa Mínima

1. (SUPRA) Se log5 2 = a e log5 3 = b então log2 6 é:

a+b a b a+ba) b) a+b c) d) e)

a b a 2

2. (ACAFE) O valor da expressão log3 2. log4 3 é:

a) ½ c) 4 e) 2

b) 3 d) 2/3

3

2,3 2

1,7

3 2

> 16.



3. Resolver, em R as equações:

a) log5 (1 – 4x) = 2

b) log[x(x – 1)] = log 2

c) 09log6log3

2

3 xx

d) log(log(x + 1)) = 0

e) log2 (x - 8) log2 (x + 6) = 3

f) log5 (x 3) + log5 (x 3) = 2

4. (UFSC) A solução da equação:

log2(x + 4) + log2(x – 3) = log218, é:

5. Resolver, em reais, as seguintes inequações:

a) log2 (x + 2) > log2 8

b) log1/2 (x 3) log1/2 4

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Dada a função y = f(x) = loga x, com a > 0, a

1, determine a soma dos números associados às

afirmativas verdadeiras.

01. O domínio da função f é R.

02. A função f é crescente em seu domínio quando

a (1, + )

04. Se a = 1/2 então f(2) = 1

08. Se a = 3 e f(x) = 6 então x = 27

16. O gráfico de f passa pelo ponto P(1,0).

7. (ACAFE) Se log3 K = M, então log9 K2 é:

a) 2M2

c) M + 2 e) M

b) M2 d) 2M

8. (UFSC) Se loga x = 2 e logx y = 3, então, loga xy35 é

igual a:

9. (UFSC) Determine a soma dos números associados às

proposições verdadeiras:

01. O valor do log0,25 32 é igual a 5

2.

02. Se a, b e c são números reais positivos e

x = a

b c

3

2 então log x = 3 log a 2log b 1/2 log c.

04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c

diferentes de um, então tem-se loga b =log

c

logc

b

a

08. O valor de x que satisfaz à equação 4x 2

x = 56 é

x = 3

16. 2

3

2

3

2 3 1 7

10. (UFSC) O valor de x compatível para a equação

log(x2 1) - log(x 1) = 2 é:

11. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos

números associados à(s) proposição(ões) correta(s).

01. O conjunto solução da inequação

log (x2 9) log (3 x) é S = (, 4] [3, +).

02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.

04. A equação 2xx ee não possui solução inteira.

08. Considere as funções f(x) = ax e g(x) = logax. Para

a > 1, temos f crescente e g decrescente e para

0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes.

16. log 360 = 3 log 2 + 2 log 3 + log 5.

32. Se log N = 3,412 então log N = 6,824.

12. Resolva a equação l g x l g x 10 100 2 . (divida o

resultado obtido por 4).

13. Assinale a soma dos números associados às


01. A raiz da equação log(log(x + 1)) = 0 é x = 9.

02. A soma das raízes da equação.

1 + 2logx 2 . log4 (10 x) = 2

log4

x

é 10.

04. A maior raiz da equação 9 . x xlog3 = x3 é 9.

08. O valor da expressão log3 2. log4 3 é /2.

16. Se logax = n e logay = 6n, então l g x ya 23 é

igual a 7n.

32. A solução da equação 2x.3

x = 3

36 pertence ao

intervalo [0, 1].

14. (UFPR) Com base na teoria dos logaritmos e

Exponenciais, é correto afirmar que:

01. Se log3(5 – y) = 2, então y = - 4

02. Se x = loge 3, então ex + e

-x =

3

10

04. Se a e b são números reais e 0 < a < b < 1, então

|log10a| < |log10b|

08. Se z = 10t – 1, então z > 0 para qualquer valor real

de t

15. (ITA - SP) O conjunto dos números reais que

verificam a inequação 3log x + log (2x + 3)3 3 log2 é

dado por:

a) { x R| x > 3 }

b) { x R| 1 x 3 }

c) { x R| 0 < x 1/2 }

d) { x R| 1/2 < x < 1 }

e) n.d.a.

unidade 1uel-pr) seja p um número primo maior que 2. É que o número p2 –1 é divisível por: c)...

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