uma transformaÇÃo linear para a produÇÃo de...

CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 15 (01): 1602.1-15 2017

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UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARA A PRODUÇÃO DE

IMAGENS ANAMÓRFICAS CILÍNDRICAS

A LINEAR TRANSFORMATION FOR PRODUCTION OF CYLINDRICAL ANAMORPHIC IMAGES

João Paulo de Lima1, Marcelo Nunes Coelho

2, Simony Maia Vieira

3

1Professor do IFCE – Limoeiro do Norte – e-mail: [email protected]; 2Professor do IFRN – Mossoró – e-mail:

[email protected]; 3Doutoranda da UFC – Fortaleza – e-mail: [email protected].

É sabido da dificuldade que muitos professores têm para conseguir aliar seus conteúdos com práticas ou atividades

cotidianas dos nossos alunos. É também bem conhecido o fato de que uma abordagem interdisciplinar que preserve as

relações entre as diversas áreas que podem ser contempladas por um determinado conteúdo, ao invés da partição

desse tema por áreas distintas, é sempre mais eficiente. Assim sendo, aliar a Física com a Matemática, a Química, etc.

e até mesmo com as Artes, pode ser um trunfo poderosíssimo no processo de conquista dos alunos e funcionar como

um gatilho que desperte o interesse dos mesmos pela Física. Diversos artistas vêm fazendo, atualmente, uso de

técnicas de anamorfose, que é a distorção de uma imagem de modo que a mesma só possa ser visualizada com sua

forma correta a partir de um determinado ponto de vista ou com o auxílio de algum sistema óptico. Este trabalho

vem, portanto, apresentar uma atividade que pode ser usada como um complemento para o professor de Física

durante suas aulas de óptica geométrica. Trata-se, pois, da busca por uma transformação matemática simples capaz de

produzir imagens anamórficas cilíndricas (um dos tipos mais comuns de anamorfose). Duas transformações são

sugeridas: uma delas através de um método prático bastante conhecido e a outra através de princípios de óptica

geométrica. Algumas imagens são produzidas com o auxílio das duas transformações e seus anamorfismos são

testados.

Palavras-chave: Anamorfose; Óptica Geométrica; Artes.

It is known about difficulty that many teachers have to ally their contents with practices or daily activities of our

students. It is also well known that an interdisciplinary approach that preserves the relationships between the various

areas that can be contemplated by a particular content, rather than the partitioning of that theme by distinct areas, is

always more efficient. Thus, allying Physics with Mathematics, Chemistry, etc. and even with the Arts, can be a

powerful trump card in the process of student achievement and act as a trigger that arouses their interest in Physics.

Several artists have been making use of anamorphosis techniques, which is the distortion of an image so that it can

only be viewed with its correct form from a certain point of view or with the aid of some optical system. This work

therefore presents an activity that can be used as a complement to the physics teacher during his geometric optics

classes. It is, therefore, the search for a simple mathematical transformation capable of producing cylindrical

anamorphic images (one of the most common types of anamorphosis). Two transformations are suggested: one

through a well-known practical method and the other through principles of geometric optics. Some images are

produced with the aid of the two transformations and their anamorphisms are tested.

Keywords: Anamorphosis; Geometric Optics; Arts.

INTRODUÇÃO

Ensinar Ciências, em especial Física, tem sido um desafio enorme durante muito tempo. A forma

como muitos professores e livros didáticos têm apresentado os conteúdos, desvinculando-os da realidade

dos alunos, finda por, na grande parte das vezes, torná-los avessos à disciplina.

De acordo com os PCN+1, ensinar Física trata “de construir uma visão que esteja voltada para a

formação de um cidadão contemporâneo, atuante e solidário, com instrumentos para compreender,

intervir e participar na realidade”

Dessa forma, o ensino de Física que preza pela interdisciplinaridade, torna as experiências dos

alunos em sala de aula mais proveitosas e mais próximas de seu contexto social.

Ainda de acordo com os PCN+, “a Física deve apresentar-se, [...], como um conjunto de

competências específicas que permitam perceber e lidar com os fenômenos naturais e tecnológicos...”.

mailto:[email protected]



Lima, Coelho & Vieira CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 15 (01): 1602.1-15, 2017

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Além disso, assim como João Zanetic2, acreditamos que “o ensino de física não pode prescindir da

presença da história da física, da filosofia da ciência e de sua ligação com outras áreas da cultura como

literatura, música, cinema, teatro...” e artes plásticas.

Isso pode soar estranho, pois costuma-se relacionar a Física com a razão e as Artes, com os

sentimentos. Engana-se quem pensa dessa forma, pois o próprio Einstein sentia-se incomodado “com a

aparente falta de simetria – um conceito amplamente usado pelos artistas – entre a Mecânica

Newtoniana e o Eletromagnetismo de Maxwell”3.

Há muito os artistas já se apossam de fenômenos e conceitos físicos na construção de suas obras.

O francês Claude Monet brincou com a luz em suas pinturas impressionistas; o espanhol Salvador Dali,

exprimiu de sua maneira o novo conceito de tempo inaugurado pela Relatividade de Einstein; o italiano

Leonardo Da Vinci, foi magistral na representação das perspectivas. Hoje em dia, artistas continuam

fazendo uso da Física em suas obras. Dentre estes artistas, destacam-se o britânico Julian Beever que

trabalha com imagens anamórficas.

Além do mais, a construção dessas obras, quando não fazem uso de uma profunda reflexão perante

conceitos Físicos explorados por uma teoria – como é o caso da obra “O Tempo” de Salvador Dali -,

utilizam-se de uma construção matemática – como é o caso da obra “Los embajadores” de Hans Holbien,

ou mesmo as obras de Julian Beever.

Dessa forma, aliar esses temas ao ensino de Física, além de propiciar uma aproximação maior com

o cotidiano dos alunos, serve como ilustração de quão transversal pode ser a Física.

Nesse texto apresentamos uma proposta de trabalho que pode ser utilizada em aulas de óptica,

visando explorar conceitos geometria plana e matrizes, fazendo uma ligação com artes plásticas.

ANAMORFOSE

Segundo o dicionário Aurélio da Língua Portuguesa3, anamorfose é “3.Ópt. Deformação de uma

imagem formada por um sistema óptico cuja ampliação longitudinal é diferente da ampliação

transversal; 4. Ópt. Arte de representar essa imagem”.

Em arte, o conceito de anamorfose já era utilizado desde o Renascimento. Hans Holbien, na obra

“Los embajadores”, põe um elemento que se situa aos pés dos personagens centrais. Quando observada de

frente, a figura parece não fazer sentido, mas se observada em uma linha de visão inclinada em relação ao

plano da tela, percebe-se claramente que se trata de um crânio.

Hoje em dia, essa ferramenta – a anamorfose - vem sendo amplamente utilizado por diversos

artistas, principalmente artistas de rua. Citamos Julian Beever, os grafiteiros ninja1 e mach505, Tracy Lee

Stum, etc. A técnica cria uma distorção de projeção. Essa distorção causa uma ilusão ou deformação da

imagem. A estrutura ideal da imagem, desejada pelo artista, é recuperada desde que seja observada a

partir de determinado ponto de vista ou com o auxílio de algum sistema óptico.

Basicamente existem dois tipos de anamorfose. A oblíqua, que consiste em obter

propositadamente uma imagem distorcida, deformada ou alongada em uma de suas dimensões,

geralmente a longitudinal (Figura 1a), de maneira que uma visão adequada da imagem só possa ser obtida

quando o observador se coloca em um ponto de vista específico (Figura 1b).

CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 15 (01): 1602.1-15, 2017 Uma Transformação Linear...

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Figura 1: Desenho de Julian Beever.

(a) Desenho original alongado (b) Vista adequada

Fonte: http://www.julianbeever.net/.

Outro tipo de anamorfose é a catóptrica, que consiste em obter uma deformação da imagem

calculada de maneira que sua visualização perfeita só possa ser alcançada a partir de um espelho convexo,

que pode ser a superfície de um cilindro, de um cone, de uma pirâmide ou até mesmo, de uma esfera.

Veja na Figura 2 um exemplo de anamorfose catóptrica em que a superfície utilizada para a visualização

da imagem é um cilindro. Dizemos, portanto, se tratar de uma Anamorfose Cilíndrica.

Figura 2: Anamorfose catóptrica cilíndrica.

Fonte: http://www.anamorphosis.com/Stenope-cylinder-renault.jpg.

Uma busca rápida na internet revela um sem fim de obras que utilizam destes recursos. É possível,

inclusive, encontrar algumas dicas práticas de como produzir desenhos anamórficos de alguns tipos.

ANAMORFOSE CILÍNDRICA

Dentre as formas mais difundidas de anamorfose, está a cilíndrica. Nesta técnica, um desenho é

distorcido de tal forma que sua aparência desejada é recuperada quando visto refletido em um espelho

cilíndrico.

É sabido que, quando visualizamos uma imagem perfeita por meio de uma superfície curva

qualquer (inclusive cilíndrica), esta nos aparece distorcida. Isso acontece por que, apesar de os raios de


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luz incidente e refletido formarem ângulos iguais em relação à normal à superfície, como em espelhos

planos, como se pode observar na Figura 3(a), um feixe de raios paralelos incidindo sobre a superfície

curva, forma ângulos diferentes com a superfície, Figura 3(b) e por consequência, os raios refletidos

deixam de ser paralelos, diferentemente do que ocorre nos espelhos planos, e isso gera a distorção

comumente visualizada.

Figura 3: reflexão em espelho convexo.

(a) ângulo de reflexão igual ao de incidência. (b) raios deixam de ser paralelos.

Conclui-se, portanto, que para se obter uma imagem perfeita a partir da visualização em um

espelho cilíndrico, deve-se ter inicialmente uma imagem original distorcida, para que a reflexão no

espelho cilíndrico reverta essa distorção e nos transmita uma imagem perfeita. É óbvio que a posição do

espelho, bem como o nível de distorção da imagem original são fatores relevantes para a obtenção de uma

adequada. Nesse contexto, descreveremos duas formas para se conseguir imagens anamórficas cilíndricas:

Uma delas partirá de um método prático já bastante conhecido. A outra fará uso de princípios de óptica

geométrica.

Suponha que se queira produzir o anamorfismo da região retangular da Figura 4 em uma

perspectiva cilíndrica. A malha criada na Figura 4 servirá como referência para a construção seguinte.

O próximo passo é determinar uma superfície em forma de semicírculo subdividida em fatias de

mesmo tamanho, na mesma quantidade de colunas da região retangular. Em seguida, traçam-se

semicírculos internos concêntricos ao primeiro de forma a gerar uma quantidade de coroas circulares na

mesma quantidade de linhas da região retangular. O primeiro semicírculo deve ter raio (geralmente

maior que o raio do cilindro que será utilizado). A própria Figura 4 mostra esse passo da tarefa.

Em seguida, basta posicionar a base do cilindro como na Figura 5 de modo a visualizar uma linha

reta horizontal como reflexão do semicírculo de raio . Feito dessa forma, a região semicircular será

refletida como um retângulo sobre o cilindro.


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Figura 4: a) discretização da região do plano cartesiano que se deseja converter em uma região anamórfica cilíndrica

(região R). b) região anamórfica correspondente ao quadrado em a) (região S).

Figura 5: reflexão em espelho cilíndrico.

Fonte: http://www.anamorphosis.com/Stenope-cylinder-grid.jpg.

É prático e fácil produzir imagens anamórficas cilíndricas seguindo esse processo. O que faremos

a seguir neste trabalho é apresentar uma transformação matemática que irá facilitar a transposição de

qualquer ponto do plano retangular (o plano que contém a figura que se deseja observar refletida) para o

plano semicircular (o plano que contém a figura distorcida – anamórfica). Dessa forma, produziremos

http://www.anamorphosis.com/Stenope-cylinder-grid.jpg


1602.6

imagens anamórficas cilíndricas de forma bastante rápida, mesmo para linhas contínuas (nesse caso, será

necessário o uso de algum software capaz de desenhar gráficos) cuja forma matemática seja conhecida.

Buscamos com isso mostrar aos alunos que a relação entre arte, a matemática e a física existe e, em

alguns casos, ela é bem estreita, com uma área fazendo uso amplo de conceitos da outra.

DEDUÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO MATEMÁTICA PARA A CONSTRUÇÃO DE IMAGENS

ANAMÓRFICAS CILÍNDRICAS

Nossa proposta é encontrar uma transformação de coordenadas que gere imagens anamórficas

cilíndricas de tal forma que, quando refletidas em um espelho cilíndrico, produzam as imagens regulares

desejadas. Esta transformação deve produzir um efeito semelhante ao conseguido por meio do método

explicitado acima.

A primeira coisa a se fazer é determinar qual região do plano retangular queremos distorcer (região

R). Geramos uma malha com linhas e colunas igualmente espaçadas entre si na região R. Em seguida,

procedemos gerando a região semicircular (região S) de raio (L é a altura da região R e a é a

meia largura dessa região que é igual ao raio da região S e é maior que o raio do cilindro utilizado). A

origem dos dois sistemas é o mesmo ponto (0,0) do plano cartesiano. A transformação linear deverá

transformar a região R na região S. A Figura 4 define os elementos essenciais para a sucessão do trabalho.

Observe que, ainda aqui, estamos utilizando uma malha discreta para realizar nosso intento. No

entanto, a transformação que iremos conseguir é independente dessa malha, servindo, portanto para linhas

contínuas desde que conheçamos a forma matemática da curva. A transformação deve obedecer,

inicialmente, às seguintes condições:

(1)

Nesta representação, a transformação leva qualquer ponto da região

ao ponto da região , tal que:

(2)

Como a região está dividida em colunas ( ) e a região em fatias (setor

angular), são válidas as igualdades:

(3)

e

(4) Fazendo, portanto a substituição dessas igualdades em (2), obtemos a seguinte relação:


1602.7

Que é equivalente à equação matricial:

(5)

Observe que este resultado só depende da largura da região que se deseja transformar. Veja na

Figura 6 o gráfico de uma função e o gráfico da transformação anamórfica dada pela equação

(5). Os gráficos foram gerados usando o software de geometria dinâmica GeoGebra1.

Figura 6. Gráfico de funções e suas imagens anamórficas cilíndricas.

Figura 7. Adequação da distorção anamórfica às dimensões de um determinado cilindro.

1 O GeoGebra é um Software livre de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo e está disponível

em: www.geogebra.org. Foi desenvolvido por Markus Hohenwarter, professor de matemática Austríaco, como parte

da sua dissertação de Mestrado em Educação Matemática e Ciência da Computação, na Universidade de Salzburgo na

Áustria.

http://www.geogebra.org/


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Os anamorfismos apresentados acima (Figuras 6 e 7) serão observados por reflexão na superfície

de um cilindro. O leitor pode então se indagar: qualquer cilindro é adequado para refletir a imagem de

forma perfeita? Isto é, a reflexão na sua forma desejada independe das dimensões do cilindro utilizado? O

processo para obtenção de (5) (transformação que leva uma curva ao seu formato anamórfico cilíndrico),

não levou em consideração as dimensões do cilindro utilizado para reflexão. Essa aproximação, permite,

portanto, o uso de um cilindro com qualquer dimensão desde que as dimensões do cilindro não produzam

uma superposição do mesmo com a região anamórfica. Para que possamos, já na construção da

anamorfose, escolher o tamanho (raio) do cilindro que será utilizado, inserimos a constante (maior que

o raio do cilindro usado para a reflexão) na construção da região .

Para que o leitor possa acompanhar o processo de obtenção de imagens anamórficas de gráficos de

funções e curvas, mediante a transformação obtida neste trabalho, foi criado um ambiente dinâmico em

que é possível inserir uma função ou curva e observar o anamorfismo obtido pela transformação obtida

em (5). Pode ainda o leitor fazer alterações de valores para a grandeza e analisar como a imagem

anamórfica se altera, bem como imprimir o anamofismo obtido para verificação da sua reflexão na

superfície de um cilindro. Na Figura 8 vemos a imagem do ambiente, o qual pode ser acessado no

endereço: http://ggbtu.be/m144218.

Figura 8: Ambiente dinâmico para estudo de anamorfismo.

Fonte: http://ggbtu.be/m144218.

É possível perceber, após uma série de experimentos com as figuras produzidas por esta

transformação e o auxílio de diversos cilindros, que trata-se apenas de uma aproximação. A próxima

seção trata da obtenção de uma transformação exata, onde partimos dos princípios da ótica geométrica a

fim de consegui-la.

DEDUÇÃO DE UMA TRANSFORMAÇÃO EXATA PARA A OBTENÇÃO DE IMAGENS

ANAMÓRFICAS CILÍNDRICAS

Imagine um raio de luz que parte do ponto , incide no ponto e reflete em direção

ao ponto (Figura 9). O artifício para conseguirmos a transformação procurada parte da ideia

http://ggbtu.be/m144218




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de considerarmos uma figura regular sobre o plano que corta o cilindro ao meio. é o

ponto sobre este plano da figura regular que é observado por reflexão do raio incidente . Nota-se,

portanto, que para a existência de é necessário que (a altura de observação). Dessa forma, o

conjunto de pontos , será a transformação do conjunto de pontos .

Figura 9. Representação em perspectiva de um cilindro com base apoiada sobre um plano xOy. A posição do cilindro

é tal que seu centro situa-se em C = (0,0,0).

O artifício para conseguirmos a transformação procurada, parte da ideia de considerarmos uma

figura regular sobre o plano que corta o cilindro ao meio (observar figura). O ponto é o ponto sobre

este plano que é observado por reflexão do raio incidente . Dessa forma, o conjunto de pontos , será

a transformação do conjunto de pontos .

Na figura seguinte é o ponto sobre o qual se encontra o centro da base do cilindro de

raio de base , é um ponto qualquer sobre a região semicircular no plano ,

a imagem de no plano , o ponto de incidência da luz que sai de e reflete em

direção a – a posição do observador -, o ponto onde a reta intercepta o plano .

Seja o ponto que fica sobre o plano , no cruzamento das retas que passam por (projeção

de em ) e e que são paralelas a e respectivamente (Figura 10). Seja a projeção de no

eixo . Os pontos , e , tem como projeções no plano os pontos , e respectivamente

(os pontos , , e já estão no plano ). Seja o menor ângulo entre a reta que passa por e e

o eixo , isto é . Seja ainda o ângulo de inclinação da reta em relação à reta

horizontal paralela ao eixo , e .


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Figura 10. Projeção da Figura 9 sobre o plano xOy.

A transformação que procuramos levará o ponto no ponto . Da

Figura 10 é fácil ver que, quando não pertence ao eixo , isto é, quando , as coordenadas de

podem ser dadas por:

(6)

Quando pertencer ao eixo , basta tomar e o como mostrado acima.

Dessa forma, tanto como são conhecidos sempre que se conhece o ponto , e , o segmento

e o ângulo . Portanto, como é conhecido, resta-nos encontrar os demais elementos

desconhecidos. É o que faremos a seguir.

Cálculo de , e

Do (Figura 10) vemos que:

(7)

Como é conhecido, basta calcular e .

Note que é o ângulo externo ao . Logo, temos que:

(8) No retângulo em , vale que:

(9)


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Aplicando a Lei dos senos no

donde

(10)

Fazendo

e usando (7), (9) e (10), temos:

(11)

Note que as funções estão bem definidas, visto que:

Portanto,

(12)

onde o raio do cilindro , a distância do pé do observador ao centro da base do cilindro e o valor

, são previamente conhecidos.

Calculo do segmento

Observe a imagem em 3D da Figura 11. O ponto é projetado no plano na intersecção da

reta (reflexão da projeção de no ponto ) com a circunferência de centro e raio .

Por geometria, o prolongamento do raio refletido e o raio refletido formam ângulos iguais em relação à

normal. Pelas leis da reflexão, percebe-se, portanto, que o prolongamento do raio refletido e o raio

incidente também formam ângulos iguais em relação à normal. Dessa forma, pode-se afirmar que o

segmento . Portanto, os triângulos em destaque, isto é, e são congruentes, logo

vale que:


1602.12

Figura 11. Vista em 3D do problema.

A Figura 12 mostra a projeção em da Figura 11.

Figura 12. Projeção da Figura 11 no plano xOy.

Do , retângulo em , tem-se:

,

onde E .

Da semelhança com , temos:

(13)

Na Figura 11 pode-se observar que:

Da semelhança com :

Por fim:


1602.13

(14)

Portanto, tomando

(15)

O ponto pode ser determinado, conhecendo-se o ponto , o raio do cilindro, a distância do

pé do observador até o centro da base do cilindro e a altura do observador.

Na imagem a seguir (Figura 13), temos do lado esquerdo a vista do plano onde está projetado

o cilindro e duas imagens regulares: um quadrado e um círculo. No lado direito, temos a vista do plano

onde está projetado a base do cilindro e as transformações das imagens regulares, isto é, o lugar

geométrico do ponto quando percorre as imagens regulares. Usamos , ,

, lado do quadrado e altura do quadrado em relação ao plano da base do cilindro

igual a . a Figura 14 mostra o teste feito com a imagem exibida na Figura 13.

Figura 13. projeção do problema no plano XOZ com a representação de um quadrado e uma circunferência inscrita

(à esquerda); e a representação anamórfica conseguida por meio da transformação (15) (à direita)


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Figura 14. Foto da imagem da figura 13, refletida sobre a superfície de um cilindro posicionado com a base sobre o

centro C.

CONCLUSÃO

Vimos neste trabalho que é possível construir uma transformação matemática – por dois meios

diferentes – que mapeia uma região delimitada do plano no próprio plano . As transformações são

tais que distorcem os objetos originais transformando-os em imagens anamórficas cilíndricas que só serão

recuperadas quando observadas refletidas em um espelho cilíndrico.

Explorar o tema da relação entre a física e outras ciências como matemática, química, biologia e,

de uma forma mais dramática, com as artes, pode ser um artifício que funcione como gatilho na tentativa

de conquistar os alunos para o aprendizado dessa maravilhosa ciência. É, pois, indiscutível, o poder que

tem o tema aqui explorado, tendo em vista que propicia uma oportunidade de transversalizar o ensino de

física, fazendo-o perpassar pela matemática e pelas artes.

REFERÊNCIAS

1. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros

Curriculares Nacionais + (PCN+) - Ciências da Natureza e suas Tecnologias. Brasília: MEC,

2002.

2. ZANETIC, João. Física e Arte: uma ponte entre duas culturas, Pro-Posições, Campinas, v.17, n. I, p.

39-57, jan./abr. 2006.

3. CLÁUDIO REIS, José; GUERRA, Andreia; BRAGA, Marco. Física e arte: a construção do mundo

com tintas, palavras e equações, Ciência e Cultura, Campinas, v. 57, n. 3, p. 29-32, jul./set. 2005.


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4. FERREIRA, Aurélio B. de Holanda, Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa, 2. Ed. Paraná -

Editora Positivo, 2004.

uma transformaÇÃo linear para a produÇÃo de...

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