PENALIZAÇÃO E

LAGRANGEANO AUMENTADO

HERM!NIO SIMÕES GOMES

UHIVERSIDIDE ESTAOUftL DE CAMPINAS IISIITUIO DE MITEMÍTICI, ESTATISTICA E CI~ICIA DA COMPUTACAO

CAMP\NAS - SAO p~ULO BRASIL

COORDENAÇÃO DOS CURSOS DE PÓS-GRADUAÇÃ0

UNICAMP AUTORIZAÇÃO PARA QUE A UNICAMP POSSA FORNECER, A PRE-

29 DE CUSTO, CÓPIAS DA TESE A INTERESSADOS

Nome do Aluno: ~f;RM í N10 S i/'V1ÕB-S 6otvu;s NO de Identificação: ·":ftf5.1.Zt:t r 20;L A

• · Av u MrALHAEs tsM~ATA 'lt2 i050 o.fll:> -Endereço para Correspondenc:1a: • 1"1 66000_ Bt=LÉ:tv~-PA~i

Curso: tv\ftTt-M/H/C-,4- A-PLICADA , 'P Nome do Orientador: J~t; /VJ!f--/(!0 /f1!ff(TIIJ'CL ...

Titulo da Dissertação ou Tese: PfliJALI )Abt- ~ ),_jt[jeA1J6l:.AAJo ÂüMstJrA}o

Data proposta para a Defesa: O 3 c.k Ol.~e>fu &. 19 &1.

( O Aluno deverá assinar um dos 3 itens abaixo )

1) Autorizo a UniTersidade Estadual de Campinas a partir des

ta data, a fornecer, a preço de custo, cÓpias de minha Dissertação ou

Tese a interessados.

21.!01fd7#i ·~~·o Sim~{/.~ Data assinatura do aluno

2) Autorizo a Universidade Estadual de Campinas, a fornecer, a

partir de dois anos apÓs esta data, a preço de custo, cÓpias de minha

Dissertação ou Tese a interessados.

I ,

I

Data assinatura do aluno

3) Solicito que a Universidade Estadual de Camnl'n t d . , .. as me e, o~s anos apos esta data t ' . • . , , quan o a mlnha t . ..

c.l.mento de copias de m.illha Di ,.. ... au O.rlzaçao Pa1'a o teressados. sse~taçao ou Tese,

consuJ. -I I

f orne a preço de CUsto -, a i,n

Data

DE ACORDO .,<~ 4 -- --.

-Orien~ assinatura do aluno

..

PrnALIZAÇÃO

I.AGF.m3FANO

E

AUMENTAID

HERMINIO SIMÕES GOMES

Orientador

Prof. Dr. José Mário Martinez

Dissertação apresentada no Instituuo

de Matemática,Estat!stica e Ciência

da Computação,UNICAMP, como requisi­

to parcial para obtenção do titulo

de Mestre em Matemática Aplicada.

Campinas, Julho, 1981.

UNICAMP B\Bl\OTECA CENTRAL

A meu pai (falecido) e

a minha mãe.

AGRADECIMINI'OS

Po Martinez, pela orientação, pela amizade e pelo apoio sem o qual

seria impossível compor este trabalho.

A minha esposa, pelo seu grande apolo e companheirisrro.

A meus irm3.os, particularmente ao Hélio, que me ajudou enormemente

durante o transcorrer do curso de mestrado.

A meu tio Preto, que sempre me incentivou.

A Silvia, pelo trabalho de datilografia e pela grande amizade.

A todos os colegas da UNICAMP que de alguma forma me ajudaram neste

trabalho.

A CAPES/PICD pelo aUXÍlio financeiro.

SUMÁRIO

INTROOOÇÃO. .................................................. CAPfwLo I - Mt.roros DE PENALIDADE ....................................

1.1 INI'ROIUÇÃO ............................................................ 1. 2 DEFINIÇÃO

1. 3 O Mtroro DE PENALIDADE

1.4 Lil1A 1

1.5 LD1A 2

1. 6 TIDRD1A DE CX)NVERGfiJCIA

1

3

3

3

5

8

9

9

1. 7 COROLÁRIO ................................................... . lO

1.8 CONSIDERAÇOES SOBRE PENALIZAÇOES •••••••••••••••••.•••••••••••.•••••••• 10

1.9 GENERALIZAÇÃO DA FUNÇÃO PENALIDADE •••••••••••••••••••••••••••••••••••• 11

CAPfTuLO II - Mfroros QUE USAM lAGRANGD\NO AUMENTADO .................. 13

2 .1 INTROOOÇÃO ........................................................ . 13

2.2 O LAGRANGEANO AUMENTADO DE POWELL-HESTENES •••••••••••••••••••••••••••• 13

2.3 O LAGRANGEANO AUMENTADO DE ROCKAFELLAR •••••••••••••••••••••••••••••••• 20

2 . 4 TID Rll1A. ( fl.ErClirn. ) • . • • • • • • • • • . • • • • • • . • . • • . • • • . • • . . • • . • • • • • . • • • • • . • . • . • 2 3

2.5 ALGUNS COMENTÁRIOS IMPORTANTES •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 25

CAPlTuLO III - IMPLIMINl'AÇÃO DE ALGORITMOS DE MINIMIZAÇÃO QUE USAM PENA

LIZAÇÃO E LAGRANGEANO AUMENTADO •••••••••••••••••••••••• 27

3 .1 INI'IDDUÇÃO ................................................•..•....•..• 27

3 • 2 DEFINIÇÃO ......................................... 27

3.3 UM ALGORITMO PARA PENALIZAÇÃO ......................................... 28

3. 4 UM AlGORITMO PARA IAGRANGFANO AUMENTArO

3. 5 a:>NSIDERAÇOES SOBRE A EFICifiJCIA E PROBLIMAS NlJ!'1tRieos

CAPf'ruLo IV - a:>MPARAÇÃO NlJMtRICA ENTRE OS Mtrooos: PENALID\DE/LANGRAN

GFMD AUMENTAm ....................................... 4 .1 INI'ROILÇÃO

4 • 2 TABELA DE a:>MPARAÇÕES ............................................... 4. 3 a:>NCWSOES SOBRE A a:>MPARAÇ}D ....................................... 4.4 RESULTAOOS OBTimS roR M.A.B. DINIZ

PROBLEMAS TESTES .................................................... O PROBLEMA OOS PEIXES CAP!TuJ.D V

5 • l INI'ROIUÇÃO .......................................................... 5. 2 QUESTÃO DI\ PRECISÃO ................................................. 5. 3 O PROBLEMA 00 CRESCTI1EN'ro POruiACIONAL D1 UM MEIO LIMITAOO

5.4 FORMULAÇÃO 00 PROBLEMA OOS PEIXES

5.5 O PROBLEMA OOS PEIXES I ............................................. 5 . 6 O PROBLEMA OOS PEIXES II

5.7 CONSIDERAÇÕES SOBRE O DESEMPENHO DO ALGORITMO

a:>NCWSÃO

BIBLIOGRAFIA

APfiiDICE A.

........................................................ ...........................................................

APr.t®ICE B ••••.•

B.l SUB-ROTINAS PARA O MfroOOS DE PENALIDADE

B. 2 SUB-ROTINAS PARA O Mt.roros IAGJWK;EANO AUMENTADO

B. 3 PROGRAMAS PARA IMPI..JMENI'AÇÃO OOS PROBLEMAS OOS PEIXES

B.4 ALGUMAS OBSERVAÇOES IMroRTANI'ES

...............

APfi,miCE C (LISTAGENS) .................................................

30

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87

88

I N T RO O U Ç J{O

Na resolução de problemas de programaçao não-linear, a

dimensao do problema ou sua estrutura pode, em certos casos, se con~

tituir em um obstáculo diflcil de ser transposto. Muitos algoritmos

foram desenvolvidos para programação não-linear e, na sua maioria,

procuram usar a informação das derivadas segundas (matrizes hes-

si~) , e devido a isso, as suas aplicabilidades são, em geral, li­

mitadas a problemas de médio porte. Devido a problema de memória ou

dificuldade de se codificar os hessianos, a necessidade de se desen­

volver algoritmos que nao usam matrizes se evidenciou. Certos pro -

blemas nao apresentam estruturas particulares que possam ser aprove!

tadas para facilitarem as suas resoluções, ou,se apresentam, estas

são dif!ceis ou até imposs!veis de serem aproveitadas.

Algoritmos que usam basicamente a informação de deriva­

das primeiras(gradientes), são, em geral, mais fáceis de serem impl!

mentados e reduzem consideravelmente a necessidade de memória.

Os algoritmos que usam Penalização e Lagrangeano Aumen­

tado se enquadram dentro das necessidades expostas.

Em problemas de grande porte, o lagrangeano aumentado,é

particularmente bom, e pode se empregado com êxito em problemas que

nao necessitam de uma precisão elevada.

Nosso trabalho se propoe a fornecer uma base sobre a

teoria da função Penalidade e Lagrangeano Aumentado, e também, poder

fornecer a interessados, programas com os métodos e suas aplicações.

2

Uma comparaçao entre os métodos Penalidade e Laqranqea­

no Aumentado é fornecida, e diversos aspectos sobre a aplicação doa

algoritmos são evidenciados. Um número satisfatório de problemas

testes mostra o desempenho dos algoritmos. Uma aplicação a um pro -

blema de grande porte é feita utilizando o laqrangeano aumentado.

Não nos detivemos nos diversos tipos de funções Penali­

dade ou funções aumentadas, tratamos das formas que achamos mais im­

portantes.

CAPTTULO I

M~TODOS DE PENALIDADE

1.1 - INTRODUÇXO - Neste capitulo veremos como tratar o

problema (P) dado a seguir,

Minimizar f(x) ( p)

s/a x E S

utilizando uma classe de métodos conhecidos como ~TODOS DE PENAL!

DADE.

No problema (P), o conjunto S é, geralmente, um conju~

to de restrições funcionais,podendo inclmir restrições de igualda

des e/ou desigualdades. Algumas considerações devem ser feitas

sobre o problema (P) ; em principio a função f deve ser continua .

Veremos mais adiante que para a implementação do método por compu­

tador necessitaremos que f e as restrições funcionais de S sejam

de classe c1 •

A idéia geral dos métodos é modificar o problema (P) p~

ra uma classe de problemas sem restrições, e resolver uma sequênc!

a de problemas sem restrições, o que é, em geral, mais fácil de

ser programado para o computador.

1.2 - DEFINIÇÃO - Definimos FUNÇÃO PENALIDADE OU FUNÇÃO

DE PENALIZAÇÃO associada ao problema (P) , como qualquer função da

seguinte forma (1)

(T) Alguns autores adotam o termo penalidade ou função de penali~

dade so para a função P(x), veja Avriel [ 2 ]

3

4

q(lJ,X) = f(x) + ll P(x)

onde ll é uma constante< 2>positiva que chamamos parâmetro de penali­

zação, e P(x) é uma função que satisfaz os seguintes axiomas:

(i) P é continua em Rn

(ii) P(x) ~ O para todo x € Rn

(iii) P(x) = O se e só se x € S

Sendo assim, há uma infinidade de funções do tipo P(x).

Por exemplo, se o conjunto S fosse definido por um con -

junto de restrições de igualdade,

poderiamos ter para uma função P(x) o seguinte:

(1.2.1)

Se, por outro lado, S fosse definido por um conjunto de

restriçÕes de desigualdade,

S = {x jgi(x) ~O , i=l,2 1 ••• 1} n

1 g i (x) : R + R

poderiamos ter para uma função P(x) o que se segue:

P(x) = ~ i=l

2 { max [O 1 g i ( x) ] } (1.2.2)

(2) Ao tratarmos com uma generalização de q(ll,x), veremos que ll se­rã um vetor

5

Nota-se que em qualquer dos casos, os axiomas para P(x)

sao satisfeitos.

Obviamente, se S contiver os dois tipos de restrições ,

P(x) conterá parcelas do tipo (1.2.1) e parcelas do tipo (1.2.2)

1.3 - O MtTODO DE PENALIDADE - Antes de introduzirmos o

método, consideremos dois exemplos a seguir:

Exemplo 1 - Consideremos o caso unidimensional em que

S ={x jg (x) = x- b ~ O , g 2 (x) =a- x ~ O} , então a parcela 1

~P(x) da função q(~,x) apresenta o seguinte aspecto:

Com o aumento de ~' o m!nimo de uma função Q(~,x) se si-

tuarã em uma região onde P é pequeno. Sendo assim, o problema sem

restrição a seguir:

Minimizar q(~,x) = f(x) + ~P(x) (1.3.1)

tem o minirno"prÕximo" de um minirno do problema (P) , desde que ~ se-

6

ja grande.

Exemplo 2 - Aqui mostramos um exemplo numérico, bem simples,

para que se tenha noção do que ocorre quando ~ cresce.

Minimizar x/2

s/a g1

(x) = x- 3 ~O , g 2 (x} = 1- x S O

Assim,

q(~,x} 2 2

= 2x + ~{rnax[O,x-3]} + ~{max[o,l-x]}

o gráfico para q(~,x} para diversos valores de ~ se apresenta corno

segue:

! X

Nota-se que quando ~ cresce, o rninimo de q(~,x} tende ao

minirno da função f sujeita às restrições. Os diferentes valores de

~ geram diferentes minirnos para q, neste exemplo o minimo de q é da

7

do por x 1 lim = 1 - ~ • ~ imediato que x = ~~ J.~+•

x* = 1, corno era de se

esperar.

Como vemos, minimizar q para 11 grande nos conduz a um po~

to x próximo ao ponto Ótimo do problema (P). Porém, querer se apr~

ximar do ideal, minimizando q com um valor muito grande de 11, con -

duz em geral a erros devido a problemas numéricos e devido a pró -

pria expressao da função q.

O recomendável é, portanto, fazer uma SEQU~NCIA DE MINI-

MIZAÇÕES·para crescentes valores de 11. Fazendo-se assim, a possibi­

lidade de se cometer erros é menor, pois cada nova minimização tem

como ponto inicial o ponto que foi obtido na minimização anterior •

A precisão é conseguida, portanto, com o preço da sequéncia de mini

mizações.

Seja {J.lk} , k=l,2, .•• , uma sequência tendendo a infinito

com llk > O e llk+l > llk para todo k, o método de penalidade pode ser

resumindo como se segue:

1) selecione um 11= llk > O , k = O

2) minimize q (llk,x) = f{x) + llkP{x)

obtendo xk como ponto Ótimo

3) teste a convergência, se convergir pare.

4) selecione um novo 11= llk+l maior que o llk anterior

5) k + k+l tome xk como novo ponto inicial

e vá para 2

O número de minimizações necessárias, depende da sequên-

cia {J.~k}' do critério de convergência e,é lÓgico, do problema em

8

si. No capitulo III trataremos com mais detalhes deste algoritmo.

A seguir veremos um lema para chegarmos ao Teorema de

Convergência do método.

1.4 LEMA 1- Valem as desigualdade abaixo, para ~k ,k=l,2 ...

como definido acima

PROVA:

< b) Como f(xk)+ ~kP(xk)- f(xk+l)+~kP(xk+l) e

f(xk+l) + ~k+lP(xk+l) 5 f(xk) + ~k+lP(xk) temos,

somando as duas expressões acima:

ou

sendo necessário que P(xk+l) - P(xk) seja menor ou igual a zero

para não contradizer a hipótese ~k+l > ~k. Assim, fica demonstrado

o Item (b).

9

c) Decorrente de (a),temos:

ou

Logo

1.5 LEMA 2 - Se x* é solução do probelam (P), então

PROVA:

1.6 - TEOREMA DE CONVERG~NCIA - Seja {xk} uma sequência

gerada pelo método de penalidade, como descrito em 1.3, então, qua!

quer ponto limite da sequência é uma solução para o problema (P).

DEMONSTRAÇ~O: Tomemos uma subsequência convergente {xk} da

sequência acima com k E K,tendo como limite x. Pela continuidade

de f, temos:

lim f(xk) = f(x)

(1.6.1)

k E K

Seja f* o valor Ótimo associado ao problema (P). Então,

de acordo com os lemas 1 e 2, a sequência de valores q(~k'xk) é

10

não-decrescente e limitada superiormente por f*. Então

(1.6.2)

k e: K

Subtraindo (1.6.1) de (1.6.2), temos

(1.6.3)

> Corno P(xk) - O e ~k tende a infinito, implica que

Já que P é continua, P(x) = O, sendo assim i é factível.

Pelo Lema 2, f(xk) ~ f*, assim

lirn f(xk) = f(x) < f*

k e: K

Corno x é factível e f(x) é um limitante inferior, vem que

f(x) =f*

1.7- COROLÂRIO __ .- A sequência {f(xk)} tende a f* por va­

lores inferiores a f*. Ou seja, o método de penalidade gera urna se

quência de pontos não-factíveis ao conjunto de restrição S.

1.8 - CONSIDERAÇÕES SOBRE PENALIZAÇ~O - Transformar um

problema com restrições em um problema sem restrições, ganha-se

por um lado e perde-se por outro. Ganha-se pela facilidade de pro-

11

gramar o método, já que este necessita, primordialmente, de um alg~

ritmo para minimização sem restrição; perde-se devido a problemas

numéricos inerentes ao próprio método, e que não podem ser evitados.

O principal problema numérico reside no fato de que se necessita mi

nimizar funções q(~,x) com parâmetros P cada vez maiores.

Quando minimizamos q(~,x) e não alcançamos a tolerância

necessária, penalizamos todas as restrições ( ou seja, aumentamos

o parâmetro~), e continuamos o processo. Imediatamente aparece a

questão: Por que penalizar todas as restrições? Respondemos: Não

é necessário penalizarmos todas as restrições; e mesmo aquelas que

penalizamos, não necessitamos penalizá-las de uma mesma maneira.Por

isso generalizamos a função penalidade, e com isso aprimoramos o

método.

1.9 - GENERALIZAÇÃO DA FUNÇÃO PENALIDADE - Se a cada res

trição associarmos um parâmetro de penalização, a função q(p,x) para

o problema (P) êe apresenta como:

m 2

= f(x) + ""'~. {max[O,g. (x)]} + ~ l. l.

+

+t i=l 2::: ~j [hj (X) l 2

j=m+l

(1.9.1)

Assim, poderiamos tratar ~ como um vetor de {m+t) componentes. Fato

relevante ê que com a função(l.9.1) podemos fazer crescer os par~

tros de cada uma das restrições a "diferentes velocidades".

12

As mesmas considerações sobre a convergência, utilizando

a função q(~,x), valem para Q(~,x).

A função Q(~,x) em (1.1.1), foi utilizada para implemen­

tação para o computador de um método de penalidade. Veremos mais a

diante o algoritmo utilizado, e detalhes sobre o seu uso.

l 13

CAPTTUL O I I

M~ 10 DOS QUE USAM O L AGRANGEANO AUMENTADO

2.1 - INTRODUÇÃO - Assim como no caso da penalização,v!

remos neste capitulo como tratar o problema (P) utilizando uma téc­

nica semelhante à penalização com algumas modificações.

Na verdade, os métodos que usam lagrangeano aumentado

usam a penalização e mais alguma coisa, isto é, em vez de usar so -

mente o termo quadrático em Q(~,x), acrescenta-se um termo linear .

Sob outro ponto de vista, o lagrangeano aumentado, como o próprio

nome diz,é proveniente da função lagrangeano que foi aumentada pe­

la inclusão do termo quadrático.

O primordial sobre os métodos que usam lagrangeano aumen

tado é que estes estão "qualificados" para resolver problemas nao­

convexos, enquanto que o lagrangeano simples não é eficaz para estes

mesmo1 tipos de problemas.

Além do mais, os métodos do tipo lagrangeano aumentado,

em geral, apresentam menos problemas de instabilidade numérica que

os métodos de penalidade.

Ressaltamos resultados obtidos por Powell, Fletcher e R~

ckafellar, tão importantes para a nossa teoria como para a confec­

ção dos algoritmos.

2.2 - O LAGRANGEANO AUMENTADO DE POWELL-HESTENES - Para

que se tenha uma boa noção sobre o porquê do uso do lagrangeano au­

mentado, temos que recapitular alguns itens obtidos por Powell,Hes-

14

tenes e Fletcher, até chegar ao lagrangeano aumentado de Rockafellar.

Para resolver o problema (P2) abaixo,

Minimizar f(x)

(P2) s/a hi(x) =O i= 1 I 2 1 • • • I~

com f e h de classe c1 , no intuito de se achar um número local x* ,

Powell [11 ] (1969) sugeriu uma função penalidade do tipo

<j> ( X 1 8 1 T ) = f ( X) + i ( h ( X ) - e )t !--1 ( h ( X ) - e )

= f(xl +! ~ Ti (h1 (x) - e1 J2

i=l

(2.2.1)

onde e é um vetor de R2

e M é uma matriz diagonal com elementos

T. > O . Como se ve, T é o vetor de parâmetros de penalização na 1

função <I>, T = (T 1 , ••• Tt).

O uso da função <1> (x,e,T) pode ser descrito da seguinte

maneira: ~ados os parâmetros e e T, obtém-se o ponto x(8,T)por mi-

nimização de <1> (x,8,T) na variável x; é então feita uma modificação

em e e T, de tal maneira que, com sucessivas minimizações,x(8,T)

tenda a x*.

Quando e = O, temos a função penalidade clássica de Po -

well, é a mesma que vimos no capítulo anterior. Mas se 8=0 a con

vergência é assegurada quando Ti tende a infinito, para i•l, •... ~ .

Mas o que se desejava era justamente obter a convergência sem fazer

Tj_ tender a infinito; ou seja, era desejável obter convergência sem

15

que Ti atingisse valores elevados, caso contrário, certamente, ocor

reriarn dificuldades numéricas.

A idéia de Powell era fazer urna iteração com e, ou seja,

urna modificação adequada, para se obter convergência sem a necessida

de de Ti tender a infinito. Um meio era tentar fazer e tender a um

vetor Ótimo e•, mantendo M, a matriz dos parâmetros Ti' constante.

Um problema a ser resolvido residia no fato de escolher um bom vetor

T para começar, já que se T fosse pequeno demais o mínimo de ~(x,e,

T), independente de qualquer e, não seria o mínimo do problema (P2);

E o mais importante é que existe um T, suficientemente grande, de

tal modo que, para um vetor e adequado, digamos e•, o mínimo de

~(x,e*,T) é igual ao mínimo do problema (P2); esta afirmação é as-

segurada por um teorema devido a R. Fletcher que veremos adiante.

No caso de se ter um T suficientemente grande, a idéia

para se trabalhar com ~(x,e,T) consistia em modificar e, fazendo-o

tender a um e• Ótimo; as componentes deste vetor iriam satisfazer as

igualdades abaixo:

-e*T = À* i i i i= 1,2, ... ~ (2.2.2)

onde À* é o vetor de multiplicadores de Lagrange para a solução x*

do problema (P2}:

As igualdade (2.2.2} se impõem do seguinte modo:

<f>(x,e,T)

e

1 = f(x) + 2

= f(x) + ~

= f(x) +

= 'iJf (x)

t

~Ti(hi(x)­i=l

t:, i [h i (x) 2_ 2hi(x)ei 2

+ai 1 i=l

t

L~i i=l 2

2 hi(x) -

Q.

-L 't' ihi (x) 'iJhi (x)

i=l

t

~Tihi(x)ei+ i=l

Q.

+ ~' -r. e. 'Vh1

(x) L. 1. 1. i=l

Mo ponto x* teremos 'iJx<f>(x*,e*,T) =O e hi(x*) =O, logo

Q.

Vf(x*) - L,1e1 vh1 (x*) =o i=l

16

e por definição dos multiplicadores de Lagrange chegamos à igualda-

de s ( 2. 2. 2) •

Veremos adiante como fazer a iteração para conseguir fazer e

tender a e•.

Pela mesma época dos estudos de Powell, e independente -

mente, Hestenes [ 7 ] (1969), levou avante seus estudos sobre o mé-

todo dos multiplicadores. No seu trabalho ele sugeriu a seguinte

função aumentada .

17

1./J (x,À,T) = f (x) + ÀTh(x) 1 t +2h(X)- M h (X) (2.2.3)

t t

+ L Àihi (x) 1 ~ 2

= f (x) + 2 'ihi (x)

i=l i=l

onde À E Rt e M é como definida em (2.2.1) (J)

Se considerarmos as igualdades - eiTi = Ài' para i=l,2, ••

t em (2.2.1), teremos a seguinte relação para as funções de PdWell

e Hestenes:

(2.2.4)

Ve-se, de irnediato,que a diferença entre ~e 1./J independe

de x , logo, urna rninirnização de ~ ou 1./J com relação em x, conduz

ao mesmo ponto ou seja, x(À,T) = x(8,T) para qualquer T. Embora

os valores das funções ~(x(8,T) ,8,T) e tp (x(À,T) ,À,T) sejam diferen

tes, isso não importa.

Assim, as idéias de Powell e Hestenes eram fudarnentâlrnen-

te as mesmas.

Fletcher [4 ], após estudar os trabalhos de Powell e Hes

tenes,tentou modificar a função penalidade de Powell(2.2.1) para

resolver o problema geral, incluindo desigualdades.

(3) Aqui tratamos de colocar as mesmas notações para os dois casGs, e fizemos a necessãria modificação de sinal dos multiplicadores para chegar ao nosso objetivo. Na verdade,as notações de Powell e Hestenes diferem substancialmente.

Para o problema

Minimizar f (x)

s/a i= 1,2, ... ,m (2.2.5)

'•

1 com f e g de classe e ,a tunçio proposta por Fletcher era:

~(x,e,T) 1 = f(x) + 2

m

~ i=l

onde a funçio a é definida por:

a se a < O

a = min(a,O) = O se a 2: O

(2.2.6)

18

De fato,uma generalização do tratamento do problema com

igualdades para um problema que contenha igualdades e/ou desigual-

dades é relativamente fácil, mesmo assim a função ~ proposta por

Fletcher não era muito boa pois apresentava descontinuidades na de

rivada primeira e,mais ainda,para pontos próximos ao Ótimo x* as

derivadas segundas apresentam descontinuidades nao remov!veis, ten

do seus valores tendendo a infinito.

A maneira de se fazer a iteração com e, fazendo e tender

a 8*, se assemelha a um método dual simples em que À , o multipl~

cador, é atualizado na direção da restrição. Vendo a fundo, as a­

tualizações de e ou À no lagrangeano aumentado são iguais as feitas

no dual simples, com a Única diferença em que 1' é variável,como

teremos oportunidade de ver nos algoritmos em outro capitulo. Para

19

exemplificar a iteração com e, vejamos um pequeno exemplo usando

a função proposta por Fletcher.

EXEMPLO

Minimizar f(x)

s/a g(x) .s: O

com x e R e f(x), para simplificar, uma reta;

os valores de g(x) (veja figura) sao dados no eixo horizontal, os

de ~ são no eixo vertical. Suponhamos que para uma escolha ini

20

cial tomemos e = O e ~ = 1, supondo que este ~ seja suficientemen

te grande, então a penalidade só é eficaz para g(x) > O (é claro,

se g(x) ~O, ~ = f(x)), e a curva ~(x,O,l) tem mínimo em x 1 , com

g(x1> >O, ou seja, nao factível. Fazendo a iteração com e, como

sugerido por Powell e Hestenes,

obtemos um novo e1 , cujo mínimo de ~(x,e 1 ,1) já está mais próximo

do Ótimo.

Voltando a falar sobre o problema das descontinuidades ,

se assumirmos que f(x) e gi(x) 2

i= 1,2, ... ,m são de classe C ,en-

tão nestas circunstâncias, ~ como função de x, será duas vezes con

tinuamente diferenciável, excetuando-se os pontos em que gi(x)= e1 ,

onde a segunda derivada tem uma descontinuidade de primeira espé-

cie. Embora esta descontinuidade seja limitada sobre o conjunto S

das restrições é,em geral, longe do mínimo; não afetando a conver

gência no processo de minimização.

2.3 -O LAGRANGEANO AUMENTADO DE ROCKAFELLAR- Devido a

dificuldades numéricas, a função de Powell/Hestenes não se enquadra

bem nos algoritmos de minimização, já que estes necessitam em geral

de urna função suave, que não possua as descontinuidades que apre-

sentam as funções de Powell/Hestenes. Expondo melhor, se utilizar

mos um algoritmo do tipo"Gradientes Conjugados", este necessitará

das derivadas primeiras contínuas; se utilizarmos um algoritmo ti

21

po Newton, este necessitará de derivadas segundas continuas; sen-

do portanto não recomendável a aplicação das funções de Powell/He~

tenes para algoritmos desse tipo.

R.T. Rockafellar [ 12}propôs uma melhora na função de

Hestenes que não apresenta o problema de descontinuidades que apr~

sentam as anteriores. A função aumentada de Rockafellar tem deri-

vada primeira continua e apresenta como vantagem poder ser tratada

por algoritmos de minimização que usam derivadas segundas( 4), como

por exemplo, os tipo Newton, e não somente os que usam primeiras

derivadas como os do tipo gradientes-conjugados.

Considerando-se o problema (2.2.5) a função lagrangeano

aumentado de Rockafellar se apresenta como:

~(X,À,T)= f(X) +

m

L i=l

1 - 2

m

L i=l

-À. se g. (x)~ _!

1 Ti

(2.3.1)

Ve-se de imediato que o/(x,À,T) é continua, e também apr~

senta derivadas primeiras continuas, sendo portanto uma boa função

para fins computacionais.

No caso de o problema apresentar restrições de desigual­

(4) Assumindo-se que f, g e/ou h sejam duas vezes diferenciãveis.

22

dade e restrições de igualdade a generalização é imediata, e a fun-

çao se apresentaria como:

~(x,À,ptTr~}= f(x)+

1 - 2 2=

i=l

À.2 _1._ + l

i

se gi (x) ~ -~i -'!

i

se

(2.3.2)

As funções ~(x,À,T) e ~(x,6,T) apresentam a mesma rela­

çao (2.2.4) que apresentam as funções ~(x,6,T) e~ (x,À,T).

A seguir, veremos um teorema devido a Fletcher, sobre um

fato muito importante, tanto do lado teórico como do lado prático

(computacional). O teorema aborda o fato de não ser necessário que

o parâmetro T em ~ (X 1 À 1 l) 1 ~ (X 1 À 1 T) 1 1lJ (X 1 À 1 T) 1 OU ~ (X 1 À 1 T) ten

da a infinito para assegurar a convergência. Para simplificar,

usaremos somente a função ~(x,À,T) para a demonstração, não haven-

do perda de generalidade. Antes de realmente abordar o Teorema em

questão, o leitor poderá ver a definição de função tagrangeano e os

resultados (teoremas) sobre as condições de otimalidade no apêndice

A.

23

2.4- TEOREMA(Fletcher [ 4 ]>-Se as condições de segunda

ordem (2.4.3) abaixo, sio satis~eitas, entio existe uma matriz M1

diagonal, de elementos Ti, i= l, .•• ,m tal que para toda matriz M

d 1 > I (i ,.. > I) * iagonal de e ementos Ti' i= l, ••• ,m com M- M sto e,Ti-Ti ,x

é um m!nimo local restrito de ~(x,e*,T) e w(X,À*,T). (Como já

dissemos, o resultado é valido para as funções ~ e ~)

DEMONSTRAÇÃO - Devemos mostrar em primeiro plano, que as

condições necessárias hi(x*) =o e Vf(x*) + ~ eivhi(x*) =Opa-i=l

ra o problema(P2), imlpicam que V~(x*,e*,T) = O, que sio as condi

çoes necessárias para que x* seja um mínimo local de ~ • Este re

sultado resulta diretamente da expressio do gradiente de ~ •

~

Vx<P(x,B,T) =Vf(x) + L -Ti(hi(x)-Bi)Vhi(x)

i=l

~J Vx<P(x*,B,T) = Vf(x*) + ~. TiBi Vhi(x*) = O

i=l

(2.4.1)

Assim fica demonstrada a primeira parte, para a segunda

parte temos que mostrar a suficiência, ou seja, temos que mostrar

que V 2 ~(x*,B*,T) é positiva definida.

De (2.4.1) tiramos

onde N* = N (x*) = I Vh1 (x*), Vh 2 (x*), •.• , Vh~ (x*) I , devido a condi

çio de regularidade N(x*) deve ter posto completo, e

24

é o hessiano do lagrangeano.

Considere qualquer vetor u tal que I lu! !2 = 1 e seja u

escrito como uma componente v ortogonal às colunas de N*, mais uma

componente que é uma combinação linear das colunas de N*. Isso p~

derã ser escrito da forma

u = v +

onde =

(N* +) T w

T -1 T N* N*) N* . Então

Continuando, as condições suficientes para que x* seja

solução do problema (P2) são que existe um a > O tal que

v T L *v ~ a I I v I I ~ T para todo v com N* v = O (2.4.3)

Em outras palavras, L* deve ser positiva definida no sub

espaço tangente a nulidade(S) de h(x), ou seja

onde

para v E T = {v: h' (x*)v = O}

T T h 1 (X*) = ('Vh 1 (X) 1 'Vh 2 (X) 1 • • • 1

T Fazendo li L* (N*+) 11

2 = b

T T 'Vh~(x) ) ·

teremos em (2.4.2) o seguinte:

(5) Se A e o subespaço gerado pelos gradientes de h(x)

{'Vh;(x), 'Vh 2 (x), ... , 'Vh~(x)} a nulidade de h(x) serã A =(ATA)-lAT

25

Considerando que u e w sao não-nulos e tornando M' = T'I

(I= matriz identidade) com T' > d + b 2/a , então para todo M ~ M'

segue-se que uTV 2 $u > O. Logo V2$ será positiva definida. O mesmo

resultado é válido para W(X,À~ 1 T) pois a diferença entre $ e W

independe de x corno já vimos em (2.2.4).

2.5 - ALGUNS COMENT~RIOS IMPORTANTES - Corno vimos, o te~

rema de Fletcher é forte se o hessiano do lagrangeano for definido

positivo, caso contrário um ponto x*,solução do problema original

(P2) ,não poderá ser solução obtida por rninirnização da função $ (ou

w). Um exemplo disto, devido a Hestenes, é o seguinte:

Min f(x)

s/a h(x) = x 2

~ imediato que x* = O é urna solução deste problema, mas

4 1 2 nao existe nenhum valor de T que minimize $(x,O,T)= x1 +x1 x 2+2 Tx2

no ponto x*. Muito embora x• seja um candidato, pois V$(x*) = O

vem que V2$(x•) não é definida positiva, corno sabemos, o ponto x*

para a função $ é um • ponto de sela".

Resumindo, as condiçÕes necessárias sao satisfeitas, mas

nao há suficiência.

A redução do perigo de se cair em um ponto que satisfaz

26

as condições de Kuhn-Tucker de primeira ordem mas nao satisfaz as

condições suficientes de segunda ordem, reside no fato de se ter

sempre uma melhora no valor da função, forçada pelos algoritmos de

minimização sem restrição.

Esses algoritmos,em geral, obtém sequência de pontos em

que a condição ~(xk+l) < ~(xk) (se ~{x) fo~ a função que se minim!

za) é obriqatória. Isso faz com se obtenha I em geral,um mini

mo local de ~ (x), que é um mínimo do problema sem restrição.

Suponhamos que um problema a ser resolvido seja do tipo

(2.2.5), ou seja com restrições de desigualdade; se tomarmos a fun­

ção ~(x,À,T)e fizermos Vx~(x,À,T) =O e admitindo À como função de

x, e T constante suficientemente grande,ou seja:

(2.5.1)

teremos um sistema de equaçoes não-lineares a ser resolvido; como

v;~(x*(À*) ,À*) é positiva definida, segue-se que pelo Teorema da

Função Impllcita que existe uma vizinhança aberta n m R em tor-

no de À* e uma função x(À) definida em n tal que x(À) é contínua e

diferenciável em n e que v 2 ~(x(À) ,À) ~

e positiva definida para to~

do À ~ Q. Assim, ~(x,À) tem um mínimo local. Logo, o sistema

(2.5.1) tem solução e sua(s) solução(Ões) é (são) mínimo(s) local(s)

(ais) do problema (2.2.5), desde que também satisfaça a condição

de que v 2 ~(x*(À*) ,À*) seja definida positiva.

27

CAPTTULO III

IMPLEMENTAÇ~O DE ALGORITMOS DE MINIMIZAÇ~O QUE

USAM PENAL IZAÇJW E LAGRANGEANO AUMENTADO

3.1 - INTRODUÇÃO - Aqui trataremos de comentar e fazer

uma pequena análise em alguns algoritmos, não nos deteremos em de­

monstrações e implicações teóricas sobre a convergência dos algo -

ritmos; queremos fazer mais uma descrição do que propriamente uma

análise.

Assumimos sempre que as funções do problema, (f,g e h),

serao no rn!nimo de classe c1 se a rotina de minimização sem restr!

ções for do tipo gradientes conjugados(ou qualquer outro tipo que

só use a informação de primeiras derivadas) , e serão no rn!nimo de

classe c2 se a rotina de minirnização sem restrição for do tipo New

ton(ou qualquer outro que use a informação de segundas derivadas).

3.2 - DEFINIÇÃO - Definimos "MAIOR INFACTIBILIDADE" de

- n n um ponto x E R em relação a uma região s não vazia, contida em R ,

com S definido por um conjunto de restrições funcionais do tipo

g(x) ~O e/ou h(x) = O, a urna função real R(x) dada por:

R(x)= max {min[O,-gi(x)],[ hj(x)] , i=l,2, ... ,rn, j=l,2, .•. ,0

Se x i fact!vel, R i igual a zero. O valor de R "mede o quanto x

está longe da região s~. Devido a natureza dos algoritmos que es-

28

tudarnos, os pontos obtidos corno aproximação da solução Ótima sao

infactiveis , sendo assirn,R(x) nos fornecerá a cada nova iteração

urna medida de quão perto da região de factibilidade estamos.

3.3 - UM ALGORITMO PARA PENALIZAÇÃO - Urna das caracterís

k ticas do método de penalidade reside no fato de a medida que x te~

de a x*, o Ótimo, a função Q(~,x) tende para a função f(x) (por val~

res inferiores a f(x)). Essa característica pode servir corno um

meio para se testar a convergência. Basicamente ternos tres testes

naturais para a convergência do método de penalidade:

i) testar se li xk - xk-1 11 < E ( E = urna dada tolerância)

i i) k k k testar se I lo<~ ,x )-f(x >li < E

iii) testar se I I R (xk) li < E

O teste (i) é desaconselhável para casos em que o parâ-

metro de penalidade cresce lentamente, e deve ser evitado. O teste

(ii) pode não ser muito bom quando a função f(x) é "bastante deita­

da" na direção d = xk-x*, e pior ainda, o prolongamento de f(x) p~

ra fora da região de factibilidade poderia ser tal que f(x~) se a­

proximaria muito de Q(~k,xk) e o algoritmo terminaria prematuramen­

te. Pelas razões expostas preferimos o terceiro teste, já que este

se preocupa com as restrições e não com a função objetivo.

A seguir mostramos um diagrama de blocos simplificado

para o algoritmo que usamos :

29

INTCIO

k +- k + 1

FIM

OBS: As atualizações para ~ são feitas para cada componente

isoladamente, levando-se em consideração se é ou nao

necessário atualizar cada uma das componentes.

30

3.4 - UM ALGORITMO PARA LAGRANGEANO AUMENTADO - Diver­

sos algoritmos foram desenvolvidos com o lagrangeano aumentado, e,

em geral, a maior ou menor eficiência está ligada ao modo de se

atualizar os parâmetros, tanto os das parcelas de primeiro grau( À

ou e e/ou p) como os das parcelas de segundo grau ( ~ ou T). O que

se desejava era fazer um compromisso entre "não crescer muito• os

parâmetros tipo ~ ou T e atualizar os parâmetros tipo À ou e com

obtenção de aproximções sucessivas dos multiplicadores de Lagran­

ge. Se o problema é convexo, as atualizações de À e e conduzem ao

Ótimo sem que sejam necessárias as atualizações de ~ ou Ti mas se

o problema é não-convexo, as atualizações em ~ ou T serao provavel­

mente necessárias. Mesmo no caso do problema convexo, se atualizar

mos somente À ou e (ou p) (movimentos duais) a convergência é, em

geral, lenta, sendo assim,uma regrinha é usada no algoritmo:

Da iteração k para a iteração (k+l) as restrições ''melhoram"

o suficiente?

- Se sim, nao aumente u ou T , atualize À ou 8 (faça o movi­

mento dual).

- Se nao, atualize A ou e (ou p) e aumente T ou ~ •

Existem variações sobre o procedimento acima, por exem­

plo, atualizar À ou e(ou p) depois ou antes de atualizar T ou u ,

como também o fato de se atualizar À ou e (ou p) em iterações dife

rentes das iterações de atualização de u ou T •

Sendo assim, uma série de algoritmos podem ser feitos e

31

estudo sobre a eficiência particular de um sobre o outro foge ao

nosso objetivo.

No caso da função ~(x,À,P,T,~) em (2.3.2) a correçao

(atualização) dos parâmetros À e p , para o problema (P) , são como

segue:

A "melhora" de que falamos a pouco, pode ser medida do

seguinte modo : seja RM a razao

RM= ( k+l) gi X

I = {i

i E I

gi(xk+l) >O}

Se RM for maior que um dado número (no nosso caso foi escolhido

0,25) então Ti será corrigido (aumentado por um dado fator), e assim

dizemos que a restrição gi não melhorou bastante e por isso aumen­

tou-se Ti(.penalizou-se) ,referente àquela restrição. Se a melhora

fosse suficiente, o Ti nao seria atualizado e o movimento seria um

dual simples, corrigindo-se apenas os multiplicadores das restri -

ções de igualdade, só que não se necessita da condição de que

h. (xk+l) seja positiva. l.

Note-se que se no caso em que gi(xk) (ou hi(xkl)for me­

nor que uma dada tolerância, o teste de razão de melhora não é fei-

32

to pois gi(ou hi) já melhoraram o suficiente •

A seguir mostramos um algoritmo para lagrangeano aumen­

tado. O algoritmo é bastante simplificado para que se tenha noção

real do processo; maiores detalhes se encontram no apêndice C, nas

listagens dos programas elaborados. Utilizou-se por motivos de sim

plificação, o problema abaixo,

Min f (x)

s/a i= 1,2, ... ,m (~1)

com a função 'f' ( x , À , T ) em ( 2 . 3 • 1)

1) Para k = o forneça x k Àk > o k o ' - ' T >

2) Calcule k v. e guarde em gi (x ) gx l.

3) Minimize 'f'(x, À k' Tk) obtendo x k+l . 4) Calcule R(x) (maior infactibilidade

A

e teste a converge~

cia. Se convergir, pare.

5) Atualize À, À[k+l] = À[k]_ T min{ -g(x) ,À[k]; T }

6) Atualize T para as restrições que não melhoram o suficien

te ( RM > O , 2 5) •

7) Remova g(xk+l) para gx e vã para 3.

3.5 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A EFICI~NCIA E PROBLEMAS NU­

MtRICOS - O aparecimento de um fator emp!rico (RM menor que 0,25)

não significa uma maneira má de se abordar a melhora das restrições

33

de uma iteração para outra, pois, como sabemos, para cada problema

(dentre os infinitos) e cada ponto inicial para o processo, a mane~

k+l ou hj(x )/

hj(xk) , sao totalmente imprevisiveis. O fato de usarmos 0,25(m~

lhora de 4 vezes) ( 6 ) decorre de experiências já realizadas, forta

lecendo o fator empirico utilizado.

A eficiência dos métodos penalidade simples e lagrange!

no aumentado reside primordialmente no algoritmo de minimização

sem restrições, se este for muito bom, dificilmente o processo fa

lhará.

Os métodos de penalidade e lagrangeano aumentado cons­

tituem boa ferramenta quando não se necessita de uma precisão mui-

to elevada. Esses métodos convergem muito lentamente em pontos

prÓximos ao Ótimo, e devido a isso podem realizar muitas iterações

para passar de um ponto ao ponto Ótimo, estando o primeiro já "prª

ximo" do Último. Testes mostram que em poucas iterações o ponto

obtido já está próximo do ótimo, e o "gasto" das muitas iterações

seguintes sao, por assim dizer, "refinamentos caros". Um estudo

preliminar do problema com respeito à precisão poderá baratear se,

no caso, se verificar que não é necessária uma precisão tão alta.

(6) O valor 0,25 ê proveniente de muitos testes computacionais, ve ja R,Fletcher [ 4 ]

CAPTTULO IV

COMPARAÇ~O NUMtRICA ENTRE OS MtTODOS

PENALIDADE I LAGRANGEANO AUMENTADO

34

4.1 - INTRODUÇ~O - Alguns resultados obtidos pelo comp~

tador fornecem uma comparação entre os métodos de penalidade e la­

grangeano aumentado. Foi utilizado um conjunto de funções testes

para a comparação, 17 no total, que inclui vários problemas clãs -

sicos. Este conjunto já foi amplamente testado, veja [ 3], e co~

tém problemas de até 20 variáveis com 18 restrições. Os problemas

clássicos são 7 no total, e acham-se em J. Asaadi [1 J. Veremos,

em outro capítulo, o emprego dos algoritmos para problemas maiores.

4.2 - TABELA DE COMPARAÇÕES - Mostramos adiante uma ta­

bela com as comparaçoes entre os dois métodos.

Para cada linha de um problema, duas especificações sao

dadas: a primeira é para o método de penalidade, a segunda para o

lagrangeano aumentado. A primeira coluna da tabela contém o núme­

ro do problema, as colunas seguintes contém : o número de variá -

veis, número de restrições de desigualdade e número de restrições

de igualdade (N,M,L); o número de problemas parciais; o número to­

tal de avaliações de função e gradiente realizados dentro da sub­

rotina de minimização sem restrições; o número total de iterações

dentro da sub-rotina de minimização sem restrições; a maior infac-

NQ

00

PROBLEMA

NQ DE PROBLEMAS

PARCIAIS 1------,

N, M, L

HQ 10 TAL DE ITERA­ÇOES DENTRO DA SUB. NQ DE AVA- DE MINIM LIAÇO'ES DE S/R F. E GRAD.

TEMPO DE C • P • U •

D IAGNCrSTI CO

MAIOR INFACTI­BIL IDADE

~-----+--------~------~-------+------~-----------;-;------1 6 17R -lL O 1SOE-A__ ____ a_2~41

3 855 35 O 409E-5. (J 1.874 2, 3, o

2 2 1 o 1 1 4 11 1? o snn"P-4 a _Q_.,..2.4A 3 c;.n 14 O 709.E-L _g_ n 1 Q?

3 ~----- f----42.!1_ _____ __J_a_ _____ ..Q .. J..8.6E=_4.. fl 1 ... 921

2'

3'

0 4 ?n1 ._ ___ 2.5__ __ n. 403E-S. _ a n Q71

_5_ 430 ____ 4fi ____ ..Q,l50E-..L ... _uoOO~ 1#.897 ~-4 --+--2_,_3_, _o -+---'-7 ___ _ __ 21.L_ _ ____ 4..9 _____ _______ !/_L-_____ ____ _ Jl 0-.J_~

5 - __ 4 lll 18 o. 800E-4 fl o I 513 2, 3, o i 0?7

J-----+-----+--5L------f--· 438 u ____ l.6.. __ ..0~327E-4 __ ~-rl-.-u-~

6 2 f 3 f o r-i· -~-- -H-~---7----· ------!•---- .J~J~: i~~ 7 * 2, o, o _1 ..... 6.0_ 25 ~. _ )fll0,251

~--+-----+-----1---+-----"Lh a____ _ __ 2.5_ ____ ____fll ______________ f .• ~u n~A.

8 2 2 0 r--~5____ lOQ __ f------..l..S ___ .J2.~2_Q_Q.E::~A.. -----f9lO$A..67. J-----+--'--'--4--=5--+---3=-8.::__ . --- 1,_? ___ _Q_,__i_8J.~:-6_ . - t 9' i o ,_27__

9 4 I 3 I o t---_5 ____ ---~2~-~~- _6_9____ o !J92E-_4 l fl ~ 5 I 66J ~---+------1-...:...7_--1-~~---t-_J_J--I--Q ... 5.9..3E.=.4 ________ L1.: 5.#..8.12

10 3 I 4 I o ~----~-fí_9_5_ __ -·· 31__ O .... lllE.-4. ... -l~ ~2,.5.51 .__-----+------t---'4,____ 4 h 4 _l9___ _Q~7. 6E.::A ... __ _ ! }I .1 ,.19..1

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15

21

3, O ___ 4 __ ---- - .. 68__ 24 0.172E~-~ ;fl !0,348 4 53 18 . 0.475E-5 ig P ?'11

17

* O problema 7 é um problema sem restrições. Queríamos mostrar ap~

nas que a sub-rotina implementada, também funciona com casos pa~

ticulares. Neste caso, o mérito é da sub-rotina de gradientes

conjugados.

36

tibilidade; o diagnóstico ( ~ = convergência , 1 = superou o núme­

ro máximo de problemas parciais permitido sem atingir a precisão

pedida); o tempo de processamento (tempo de C.P.U.) gasto pela exe­

cução do problema.

A relação dos problemas encontram-se adiante, e a mesma

contém também os pontos iniciais e os pontos ótimos. Os pontos ini

ciais que foram fornecidos sao os mesmos dos testes feitos por[ 3 ].

Cada chamada da sub-rotina de minimizações sem restrições

chamamos problema parcial, no nosso caso o número de chamadas (pr~

blemas parciais) máximo permit~do foi de 9(nove). Vemos no proble-

ma n9 14 que o lagrangeano aumentado não atingiu a tolerância dese­

jada(l0-4).

Em todos os casos,os oarâmetros~ 0 ,T 0 ou p 0 iniciaram com

valor 10,0 para todas as componentes. O parâmetro À foi iniciado

com valor 0,01, no lagrangeano aumentado, para todas as componentes,

com exceção do problema n9 1 que começou com À0= O.

As razões para a pequenu mudança no problema n9 1 sao as

seguintes: a restrição g 3 (x) = !1

- x 2 < O se apresenta, de propós!

to, de uma maneira numericamente ruim; é lÓgico que 1 - x1x 2 ~ O a­

presentaria nemos problemas numéricos, mesmo assim, observando mais

atentamente g 3 (x), vemos que a região que verifica a desigualdade é

diferente da região para 1 - x 1x 2 ~ O, veja figura, e com isso, po~

tos que se aproximam de (0,0), com x 1 < O, estão se aproximando do

ótimo, que é diferente de x* = (0,577 1,732). Observando a região

de factibilidade do problema n9 1, notamos que a semi-reta

37

x1

=O , x2

> O faz parte da região, no limite, embora g 3 (x) nao

> 1

- X 2

< o

38

seja definida para a semi-reta. Queremos dizer que quando x 1 + O

g 3 é verificada e x 1 ~ O e x 2 ~ O são verificados com precisão E se

k X = ( -E , 0).

gl (X) < o

g 2 (x) < o

g3 (x) < o

---/~ ,-'

./," / /

--------------··---· ··-·--···--xl

Com o exposto queremos dizer que o lagrangeano aumentado

chegou a convergir para um ponto próximo de (0,0), que é, na verda~

de, um limite para o,ótimo global.

Os resultados foram obtidos quando iniciamos o processo

com À 0 = 0,01 e são dados a seguir:

-o melhor ponto obtido: x = (-0,3638E-ll;-0,1418E-7)

- número total de avaliação de função e gradiente: 346

... - numero de problemas parciais: 4

- número total de iterações dentro da sub-rotina de minimiza

~ão sem restrições: 31

- diagnóstico : ~

39

- tempo de C.P.U. : 1,552 segundos

-maior infactibilidade : 0,1418E-7

A situação exposta acontece com a penalidade, e a aplic~

çao do algoritmo conduz a um ponto próximo de (0,0), os resultados

obtidos são os da tabela. ~ claro que o ponto x*=(0,577; 1,732)

pode também ser atingido pelo método com o mesmo ponto inicial fo~

necido, bastando que comecemos com um parâmetro de penalização ade­

quado (~ = 100 é um exemplo).

4.3 - CONCLUSÕES SOBRE A COMPARAÇÃO - Uma conclusão que

se tira da tabela é que o lagrangeano aumentado é, em geral, mais

rápido do que o método de penalidade. Esta diferença não é muito a

centuada nos problemas expostos, contudo, o número de problemas paE

ciais são mais ou menos idênticos para os dois, sendo assim a mini­

mização da função de penalização é, em geral, mais cara do que a

minimização do lagrangeano aumentado.

A própria natureza da função penalidade Q(~,x) com ~ gran

de faz com que a sub-rotina de minimizações exerça um trabalho maior.

Nem sempre porém, a penalidade perde para o lagrangeano aumentado ,

principalmente nos casos em que

ente para a tolerância pedida.

um ~, nao muito alto, seja sufic~

Em alguns casos, com o aumento da

precisão pedida , a penalidade fornece pontos com um erro signifi-

cante, enquanto que o lagrangeano aumentado tem melhores condições

40

com o aumento da precisão. Nos problemas testes, algumas componen-

tes do parâmetro ~ chegaram a atingir valores elevadíssimos

(1.000.000), nesses testes o preço da minimização sem restrições e-

ra bem maior que os apresentados pelo lagrangeano aumentado.

Observando o problema nQ 14, em que o lagrangeano aurnen-

- -4 -tado nao conseguiu atingir a precisao de 10 e chegou ate 0.227E-3,

vê-se que o número total de iterações dentro da sub-rotina de mini­

mizações foi 489, que é menor que 550 da penalidade. Observando ain

da, o número de avaliações de função e gradiente foram bem maiores

para o lagrangeano aumentado. Isso é explicado pelo fato de o lagra~

geano ter feito mais trabalho por iteração dentro da sub-rotina de

minimizações. No problema nQ 13 o lagrangeano aumentado realizou

mais problemas parciais (chamadas à suh-rotina) , porém o seu traba­

lho médio por iteração foi bem menor, idem para os problemas n9s2,

3, 4, 8, 10, 11, 12, 15, 16 e 17.

Asslm, o lagrangeano aumentado fez menos trabalho médio

por iteração.

4.4 - RESULTADOS OBTIDOS POR H.A.B.DINIZ [ 3 ] - Fato re-

levante reside no fato de ~s métodos que tratamos não usarem a in -

formação de segundas derivadas, e devido a isso a perda de tempo co~

putacional seja em parte compensada pelo ganho de tempo em não ter

que se codificar os hessianos da função objetivo e das restrições .

M.A. Diniz implementou dois métodos de minimização com restrições

(LAPRO e NEWPQ) que utilizam os hessianos das funções dos problemas,

portanto, mais informações. Uma tabela com os resultados

Tabela dos resultados obtidos por M.A.B. Diniz.

.. Problema N9 Iterações N9 AvaliaçÕeE Terrq;:c de de f exec. (s)

LAPRO 1 8 19 0.24 NEWPQ 28 53 1.67_ LAPRO 2 4 8 0.10 N.t.;W.PQ 4 6 o 16 LAPRO 3 8 9 0.20 NEWPQ 8 9 0.49 LAPRO 4 7 18 0.15 NEWPQ - - ---LAPRO 5 3 4 0.07 NEWPQ 3 4 0.15 --LAPRO 6 1 2 0.01 NEWPQ 2 3 0.07 LAPRO 7 21 27 0.31 NEWPQ 21 27 0.50 LA PRO 8 2 3 0.04 NEWPQ 2 3 O lO LAPRO 9 5 8 0.20 NEWPQ 7 8 1 07 LAPRO 10 2 3 0.07 NEWPQ 2 3 O_._ 2 4 LA PRO 11 2 4 0.16 NEWPQ 6 lO 1.48 -· 13 LAPRO 12 7 0.67 NEWPQ - - -LAPRO 13 7 13 1.72 NEWPQ 4 5 5.97 LA PRO 14 16 28 18 92 NEWPQ 5 f) 51.57 LA PRO 15 5 lO 0.07 NEWPQ 4 5 0.22 LAPRO 16 12 13 0.18 NEWPQ 2 4 0 .. 12 LA PRO 17 2 3 0.06 -NEWPQ 2 3 0.12 -· -----·

42

Obtidos por M.A.B. Diniz mostram a diferença de "preço" entre os me

todos com ou sem uso de hessianos. Nota-se nas tabelas que os tem­

pos de C.P.U. são bem menores para os algoritmos de M.A.B.Diniz , e

a justificação para uso dos métodos sem hessiano está na sua aplic~

ção a problemas de grande porte que nao requeiram alta precisão nos

resultados e nos quais a utilização dos hessianos seja difícil de­

vido a problemas de memória ou dificuldade devido a um trabalho ex

cessivo na codificação dos hessianos •

A sub-rotina LAPRO de Diniz implementa um método do tipo

hessiano do lagrangeano projetado para porte médio e exige que o

ponto inicial para o problema a ser resolvido, seja factível, já os

métodos de penalidade e lagrangeano aumentado não necessitam desta

exigência. Na realidade, para se obter um ponto factível para a

sub-rotina LAPRO resol·Je-se um problema a parte, que fornece um po!!.

to factível. Isso, em termos de problemas maiores poderá ser difí­

cil ou trabalhoso. Uma análise do problema a ser resolvido irá in

dicar que tipo de método pode ou deve ser aplicado.

Conclui-se que, um estudo particular para cada problema,

em termos de tempo de codificação, tempo de C.P.U., memória disponf

vel, tamanho do problema conduz a uma escolha satisfatória.

A seguir mostramos a relação dos problemas testes.

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

PROBLEMA 3

PROBLEMA 4

PROBLEMA 5

PROBLEMA 6

PROBLEMAS TESTES

f(x) = 3x + 1 x2

gl(x) = - X 1

g2 (x) = - X 2

g3 (x) = l/x1 - X 2

f(x) 2 = x2 - X 1

h(x) 2 = x2 - 2x1

f (x) = xl + x2

g 1 (x) = 1 - xlx2

g2(x) = 1 - X -1 2x2

g 3 (x) = 2 + xl - 4x2

f(x) = 9x1 + x2

As mesmas restrições

do problema 3

2 2 f(x) = x1

+ x2

As mesmas restriçÕes

do problema 3

f(x)= (x1-2 15) 2 + (x 2-2 15)

As mesmas restrições

do problema 3

43

o (1{8 i {8 I 2) X =

x* = ( {8 I 577; 11732)

X o = (1 2)

x* = ({8 {8)

X o = (416 li 8)

x* "" ( {8 I 5858 li 7071)

o X = ( 4 1 6 . li 8) I

x* = (1/3 ; 3)

X 0 = (4 1 6 i 1 1 8)

x* = (4/5 ; 8/5)

2 xo ( 4 16 li 8) =

x* = (215 2 15)

PROBLEMA 7

PROBLEMA 8

PROBLEMA 9

PROBLEMA lO

PROBLEMA 11

44

f{x) x 0 = {-1,2 i 1)

x* = {1 i 1)

f {x) 1 3 = 3{xl+l) + x3 X o = { 1,125i ~ '12 5)

gl{x) = -xl + 1

g2 {x) = -x 2 x* = {1 ~)

f (x) 2 2 2 2 5x - 2lx3+ 7x4 = xl+x2+ 2x3+x4-5x1 - 2

gl(x) 2 2 2 2 8 = xl+ x2+ x3+ x4+ xl- x2+ x3- X -4

g2(x) 2 2 2 2 = xl+ 2x2+ x3+ 2x - X -4 1

g3 {x) 2 2 2 2x -= 2x1+ x2+ x3+ X -1 2

X o = ( ~i ~i ~i ~) x* =

gl {x) = -x 1

g2 {x) = -x2

g3 {x) = -x 3

g4 (x) = x 1+x2+2x3 -3

f{x) = exp(x1 .x2 .x3 .x4 .x5 )

2 2 2 2 2 h 1 {x) = x1

+ x2

+ x3

+ x4

+x5-lo

h 2 {x) = x 2x3

- 5x4

x 5 3 3 h 3 {x) = x 1 + x 2 + 1

X -10 4

X -4 5

{~; li 2 i -1)

x 0 ={~,5i~,5;~,5)

x*={4/3 i 7/9 i 4/9)

x 0 = {-2,2,2,-1,1)

x*={-1,717lil,5957i

1,8272i-0,7636;

-0,7636)

45

PROBLEMA 12 f {x) 2 2 4 2 6 = (x1-l~) + S(x2-12) + x3 + 3(x4-ll) + 10x5+

4 10x6 - 8x + x 7 - 4x6x 7- 7

gl(x)= 2 4 2x1 + 3x2 + x3 +

2 4x4 + sx5 - 127

g2(x)= 7x1 + 3x2 + lOx~ + x4 - xs - 282

g3(x)= 2 2 - 8x - 196 23x1 + x2 + 6x6 7

g4(x)= 2 2 4x1 + x 2 - 3x1x 2

2 + 2x3 + Sx6 - 11x7

x 0 ::: (1; 2; ~; 4; ~; 1; 1)

x* = (2,30; 1,95;-~,47; 4,37; ~,51; 1,~3;1,58)

PROBLEMA 13 f(x) = xi + x~ + x1x 2 - 14x1 - 16x2 + (x3 -1~) 2+

+ 4Cx4-s> 2 + Cx5-3) 2+ 2Cx6-1) 2+ Sx~ + 7(x8-11) 2+

2 2 + 2(x9-10) + (x10 -7) + 45

2 2 2 g 1 (x)= 3(x1-2) + 4(x2-3) + 2x3 - 7x4 - 120

2 2 g2 (x)~ Sx1 + 8x2 + (x3-6) - 2x4 - 4

g6(x)= 10x - 8x2 - 17x7 + 2x8 1

g7(x)= -3x + 6x2 + 2 7x10 12 (x

9-8) -1

g8(x)= -8x + 2x2 + Sx9 - 2xl0 - 12 1

46

o X= (2; 3; 5; 5; 1; 2; 7; 3; 6; 10)

x* = (2,17; 2,36; 8,77; 5,09; 0,99; 1,43; 1,32; 9,82;

8,28; 8,37)

PROBLEMA 14 2 2 2 2 f(x)= x 1 + x 2+ x 1x 2 - 14x1- 16x2 + (x3-10) +4(x4-5)

2 2 2 2 2 (x5-3) + 2(x6-1) + 5x7 + 7(x8-11) + 2(x9-10)

2 2 2 2 + (x10-7) + (x11-9) + 10(x12-1) + 5(x13-7) +

2 2 4 2 + 4(x14 - 14) + 27(x15- 1) + x 16 + (x17-2) +

2 2 3 + 13(x18- 2) +(x19 - 3) + x 20 + 95

g2(x)= 2 8x2 2

- 40 5x1

+ + (x -6) -2x 3 4

g3(x)= 1 2 '!(x1-8) +

2 2 2(x 2-4) +3x 5 -x6 - 30

g4(x)= 2 2 2x1x 2 + 14x5 6x 6 x 1 + 2 (x 2-2) - -

g5(x)= 4x1 + 5x2 - 3x7 + 9x8 - 105

g6(x)= ·10x -1 8x -2 17x7 + 2x8

g7(x)= 3x1 + 6x2 + 12(x9-8) 2 - 7x10

g8(x)= -8x1 + 2x2 + 5x9 -2x10 -12

2 g 11 (x) = 4x1 + 9x2 + 5x13 - 9x14 -87

2 g 12 (x)= 3x1 + 4x2 + 3(x13-6) -14x14-1o

47

g13(x) 2 = 14x1 + 35x15 - 79x16 -92

g14(x) 54

g15(x) 2 4

-68 = Sx1 + 2x2 + 9x17 - x18

g16(x) 2 19x19 - 20x

20 + 19 = x1 - x2 +

g17(x) 2 2 2 30x20 = 7x1 + 5x2 + x19

o X = (2; 3; 5; 1; 2; 7; 3; 6; 1~; 2; 2; 6; 15; 1; 2;

1; 2; 1; 3)

x* =(2,17; 2,35; 8,76; 5,06; 0,98; 1,43; 1,32; 9,83;

8,28; 8,37; 2,27; 1,35; 6,07; 14,17; 0,99; 0,65;

1,46; 2,0; 1,04; 2,06)

PROBLEMA 15 f (X) = -12x1 7x2 + 2 o (1 O) - x2 X =

g1 (x) = - X 1

g2 (x) •-x x* = (0,7175; 1,4698) 2

h 1 (x) 4 + 2 = -2x - X 1 2

PROBLEMA 16 f (x) = x2 - x1

g1 (x) = x2 - x1 - 5 X O= (0,3 i 512)

g 2 (x) = -3x - x2 1 + 6 x* = (9,2857; 2,8571)

g3(x) = x 1;s - x2 + 1

g4 (x) = 10x1 - x2 - 90

gs (x) = x 1;2 + x2 - 8

PROBLEMA 17 f(x) = 1 2 ~ x1 +

1 2 9 x2

xo = (6 5} g1 (x) = x2 - x1

g2(x} = 1 - X x* = (1 1) 2

g3 (x) = x1/3 + X - 7 2

49

CAPITULO V

O P RO B L EM A 00 S PEIXES

5.1 - INTRODUÇÃO- Com o intuito de empregar o lagrange~

no aumentado para problemas grandes, resolvemos testar o algoritmo

para dois problemas de algum cunho prático. Aqui não entramos na

questão de se empregar, na prática, os problemas; queremos apenas

mostrar a performance de um algoritmo. ..

Os dois problemas sao semelhantes, mudando apenas no nu-

mero de variáveis e restrições, estes problemas tratam de maximizar

os produtos de uma pescaria em um dado horizonte de tempo. Explic~

ções com mais detalhes serão vistas mais adiante.

5.2 - QUESTÃO DA PRECIS~O- Como já dissemos, para algo-

ritmos do tipo que tratamos, é importante o fator precisão, ou se

ja, com o aumento da precisão o número de problemas parciais neces

sérios pode aumentar muito e o tempo de C.P.U. necessário pode ser

grande. Pelo exposto, deve-se pedir a precisão estritamente nece~

sária, já que pedir uma precisão maior do que a necessária pode-

se pagar um preço alto. Outro fator importante que deve-se fazer,

é limitar o número de problemas parciais em um número relativamen-

te pequeno; em muitos casos, como já dissemos, uma boa parte dos

problemas parciais são "refinamentos caros'', devendo-se, na medida

do possivel, evitar-se atingi~ o critério de convergência fazendo

50

um número elevado de problemas parciais, e em diversos casos exis-

te a possibilidade de nunca se atingir a precisão pedida, já que

a própria precisão da máquina limita o número de decimais exatas •

5.3 - O PROBLEMA DO CRESCIMENTO POPULACIONAL EM UM MEIO

LIMITADO - Seja uma espécie (por exemplo: peixes) que tenha provi-

sões de alimento ilimitada e "habitat" em meio ilimitado e que não

sofra influências de agentes externos. Sob estas condições o cres

cimento populacional pode ser descrito matemáticamente pela equa-

ção diferencial:

dy(t) = dt

ky(t) , k > o

onde k é uma constante, k é a razao entre a taxa de crescimento e

a quantidade presente em um dado tempo t. Isso quer dizer que o

crescimento populacional é diretamente proporcional a quantidade

presente(população). Por outro lado, se o meio onde vive a espécie

é limitado, ou a provisão de alimentos é limitada, a descrição ma-

temática muda e passa a ser da seguinte forma:

dy(t) = dt

-onde k 1 e k 2 sao constantes positivas que aparecem considerando a

hipótese, agora, de que k seja função linear de quantidade presen-

te, k = f(y(t)) = k 1 - k 2y(t), de maneira que com o aumento da

quantidade presente y(t), a taxa de crescimento (k) diminua liner-

51

mente com y(t).

Consideremos agora que na o só o meio e os alimentos cons

tituem fator para uma alteração na taxa de crescimento de uma po-

pulação, mas, também, a presença de outra ou outras espécies no mes

mo meio disputando ou nao o mesmo alimento, havendo ou nao o caso

de uma espécie devorando a outra. As influências, vamos considerar,

sao, em intensidade, diretamente proporcional às quantidades prese~

tes das espécies. Para simplificar, mostramos a seguir um exemplo

do que falamos. Não queremos fazer uma análise completa deste estu

do, já que foge ao ncsso objetivo, contud~ uma idéia será dada:

Considere 2 espécies A e B, com influências de A sobre B e vice-ver

sa. Então uma descrição matemática da situação englobando as situa

çoes anteriores é a seguinte:

y 1 (t) -espécie A (população)

y 2 (t) -espécie B (população)

dyl(t) alyl(t) + =

dt

dy2(t) a2y2(t) + =

dt

blyl(t) 2

+ clyl(t)y2(t)

b2y 2 (t) 2

+ c2y2(t)y2(t)

a 1 ,b1 ,c1 ,a2 ,b2 ,c2 constantes,

bl,b2 < o

i) se c 1 e c 2 forem ambos negativos é porque a presença de

uma das espécies é prejudicial a outra, digamos, comportilham os

52

mesmos alimentos.

ii) se c 1 > O e c2

< O significa que a presença da espécie

B é benéfica para a espécie A, embora a espécie B seja prejudicada

com a espécie A; digamos que, neste caso, a espécie A se alimenta

da espécie B.

iil) se c 1 e c 2 forem ambos positivos significa que as espé­

cies se ajudam mutuamente, e a presença de uma no meio em que vive

a outra, fortalece o seu cresimento populacional.

Como já dissemos, não trataremos os pormenores da questão

das espécies, o leitor pode encontrar bastante dados em [10].

O sistema de equações diferenciais que aparece, depende~

do das constantes e das condições iniciais, pode fornecer pontos

de equilibrio, curvas do crescimento ou decrescimento de uma espé­

cie, etc. Mas, não estamos interessados em resolver um sistema de

equações diferenciais, o que queremos é fazer uma pescaria das es

pécies (fizemos para 3 espécies) , de modo a maximizar o lucro da

pesca;o nosso caso,é maximizar o número de unidades pescadas den­

tro de um certo horizonte de tempo.

5.4 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DOS PEIXES - Considere 3 es

pécies A,B,C que vivem em um mesmo meio e que se interferem mutua­

mente. Desejamos fazer uma pescaria das espécies ao longo de T p~

riodos de tempo,de modo a colher o número máximo de unidades de pe!

xes( o problema poderia considerar diferentes preços para os peixes).

Sejam as equações abaixo a descrição matemática de sua evolução:

dy 1 (t)

dt

dy3 (t)

dt

a • 1 bi 1 C • I d • l. l. l.

5.3

(5.4.1)

constantes

Corno o processo é dificilmente descrito com precisão, ou

seja, dificilmente conseguimos saber o número exato das espécies e

suas taxas evolutivas (ais 1 bis'cis'dis>, podemos tratar o problema

discreto, sem corrermos o risco de termos um modelo não signific~

tivo da realidade. Assim, o sistema de equações diferenciais

(5.4.1) pode ser tratado mudando as derivadas pelas corresponden -

tes razões incrementais:

dy i (t)

dt

yi(t +h)- yi(t)

h i= 1,2,3

Considerando as razoes expostas, podemos tornar h = 1 (i~

so é razoável), e assim obtermos um sistema de equações recursivas,

ou sejam, equações da forma ft+l

é função do instante t.

t = ft(x), em que cada instante t+l

Temos,portanto, 3 equaçoes recursivas abaixo:

5"' .

yl(t+l)

y 2 (t+l)

y3 (t+l)

Finalmente, após cada per!odo de tempo teremos uma pese~

ria de cada espécie (que pode ser nula). E se considerarmos T pe~

r!odos de tempo, completamos a formulação do problema:

T-1 Maximizar ?=d custo1u 1 (k}+custo2u 2 (k}+custo3u 3 (k}

sujeito a

yl (t} > - O,

y 2 (t} > O, -

y3 (t} > O, 1,2.- •• ,T - t =

u1 (t} > O, -

u 2 (t) > o, -

u3 (t} > o, - t = O, 1, 2 , ••. , (T-1}

55

5.5 - O PROBLEMA DOS PEIXES I - Para facilitar a visuali

zaçao dos resultados de um problema maior, resolvemos implementar

um problema pequeno do tipo descrito em 5.4 para T= ~, havendo so

mente 5 pescarias; mesmo assim, o problema conta com 15 restrições

de igualdade e 30 restrições do tipo x ~ O (canalizações); nos no~

sos programas estas restrições são consideradas como restrições

de desigualdade, nao havendo distinção entre uma restrição propri~

mente dita e uma canalização.

As constantes usadas foram:

al = 0,05 bl =-5,0E-5 cl = 2,0E-5 dl = 1,25E-5

a2 = 0,05 b2 =-0,333E-5 c2 = 7,5E-5 d2 = 2,5E-5

a3 = 0,08 b3 =-B,OE-5 c3 =-1,6E-5 d3 =-l,6E-5

01sto1 • custo2 = custo3 = 1 unidade

yi(O) = 1000 unidades, i = 1,2,3.

O ponto inicial para nosso problema foi obtido por uma

sub-rotina que gera um "ponto inicial bom" para começar o processo

de minimização. As listagens do problema e das sub-rotinas usadas

estão no apêndice c .

Aqui mostramos o ponto inicial fornecido e os resultad~s

finais obtidos. Os y s são os estados, os u s são as variáveis de

controle(pesca).

56

o valor da função objetivo é negativo porque trabalhamos

com minimização; este valor nos fornece o número de unidades pese~

das no decorrer do horizonte~

I l _.. ·• A ~ I

300.0000 300.0000 300.0000 300.0000 300.00 732.5000 460.2679 180.7836 -109.7834 -416.4333 200.0000 200.0000 200.0000 200.0000 200.0000 146.6100 526.7907 326.5925 135.0783 -57.75985 200.0000 zoo.oooo 2.00.0000 2.00.0000 200.0000 768.0000 564.0780 314.84.11 190.5450 1.806853

O ponto é disposto, computacionalmente, da seguinte manei

ra:

r ,· 50 ·' .

j l !·I '· , I : 23 I•

' ~ :' ;. : ' :' t · 1 I.< l 6

' . ~ • l I j ;,·;:i'. l'f I • l •4 'j ') ., 1 , I ·~- ; )

- 1 • 1 ; ! ',

; ' 5. o 1 ' ' ' '

. ' 1

·• t l •;, I'' ,...·: '•. - ·, r j :< -~ • ·1 ~ 1 •

57

1 Observe na tabela " Valores dos controles e estados" que

os Últimos estados, para as tres espécies, são aproximadamente nulos.

Isto era de se esperar, pois ao final a "pesca" deveria ser "fulmi -

nante".

,.\ '· ' "'

) : l l l -· ) - l,i V') ( I '! ) :: ·~ t' •

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t' ' ( 4)::: i,' n. '{ 1 ( ') ) = I •

58

5.6 - O PROBLEMA DOS PEIXES II - Como dissemos em 5.5 ,

o problema dos peixes I foi implementado para se ter urna noçao de

um resultado de um problema maior. Com a experiência do problema

anterior, implementamos um problema grande, que é do mesmo tipo de!

crito em 5.4. Neste novo problema usamos T = 50 e com isso as va•

riãveis de controle passam a ser 50 para cada @Spécie e 150 no to

tal. Assim, o novo problema passa a ter 300 variáveis e 150 res­

trições tipo xi ~O (canalizações).

O ponto inicial fornecido foi gerado, como no caso ante-

rior, por uma sub-rotina que fornece um ponto inicial bom. Esta

sub-rotina ( a mesma aplicada ao problema anterior) , gera urna pol!

tica para o problema. A pol!tica gerada(sernpre satisfazendo as re!

trições de igualdade) pode ser super-Ótima ou sub-Ótima, conforme

os valores das variáveis de controle. A pol!tica será sub-Ótima se

satisfizer todas as restrições de desigualdade e ainda assim pude~

mos "pescar" mais sem violar nenhuma delas. A pol!tica será super

-ótima quando"pescarnos" acima do possivel e violamos restrições do

> .. r i. tipo yi(t) -O (pescamos alem do que existe dispon vel). Exper en-

cias mostraram que os dois problemas implementados apresentam mui-

tos máximos locais e~ em geral, se fornec!amos pol!ticas sub-Ótimas

o algoritmo convergia para pontos que evidentemente não eram uma

pol!tica boa, mas satisfaziam a precisão pedida e as condições do

teste de convergência. Porém, ao fornecermos uma pol!tica super­

Ótima, o algoritmo convergia a uma pol!tica "fact!vel" que deveria

ser uma "boa" pol!tica. Não queremos dizer que a pol!tica assim

59

obtida, seja a melhor, pois como já dissemos, o problema deve apr~

sentar muitos máximos.

Voltamos a repe~ir que nao estivemos interessados em con

siderar fatores para a aplicabilidade do problema e nosso objetivo

era a de testar o algoritmo para um problema grande. Bem sabemos

que a dificuldade àe se conseguir dados e um modelo para representar

a realidade é evidente. o modelo apresentado, bem simplificado, a

tendeu aos nosso objetivos.

Mostramos abaixo, o ponto inicial forneeido (urna pol!ti-

ca super-Ótima), e os resultados obtidos. Como no caso anterior ,

trabalhamos com minimização e a função objetivo tem, portanto, si"

nal negativo; também como no problema anterior, a função objetivo

nos fornece o número de unidades pescadas.

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63

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64

Mostramos abaixo alguns dados do problema dos peixes II.

Observe o tempo de C.P.U. e o número de problemas parciais; a média

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de tempo por problema parcial nao chega a 1 minuto e meio. O diagnÓ!

tico 1 não significa um mau resultado, pois a maior infactibilidade

é suficientemente pequena para um problema como este.

65

5.7- CONSIDERAÇÕES SOBRE O DESEMPENHO DO ALGORITMO- Di

versas experiências foram realizadas com os problemas dos peixes e,

com o aumento da precisã~o tempo de C.P.U. aumentava drasticamente.

Com a necessidade de pouca precisão nos problemas, usamos E = 0,01

o suficiente. Observando ambos os problemas, chegamos a conclusão

que a Última pescaria é "fulminante" e deveremos ter para últimos

estados (Últimas componentes de y1 ,y2 ,y3 ) valores nulos. No nosso

problema isto praticamente se verificou já que os Últimos estados ou

são nulos ou perto disto. O problema de erros de arredondamento

também deve ser considerado, já que a função aumentada contém o

seguinte esquema de parcelas para o problema:

(300 x 6) parcelas + (300 parcelas) 2 +

2 +(300 parcelas) + (300 parcelas) aprox.

Este número é o máximo de parcelas, podendo a função ter

menos parcelas. Mas, ao começar o processo (com urna política super

-ótima) todas estas parcelas aparecem na função aumentada. Assim

o erro poderá ser grande; porém, corno nao se usou o processo recu~

sivo (é claro, queríamos evitar isso), e cada novo ponto obtido co

mo produto de um problema parcial é recalculado, os erros nao se

propagam além do cálculo da função. ou melhor: o cálculo de urna

função aumentada não é recursivo.

O desempenho do algoritmo chega a ser excelente quando o

testamos para um ponto inicial muito ruim e assim mesmo, ele forne

66

ceu uma boa pol!tica. Este ponto inicial foi y 1 (t) = y (t) = y 3 (t)

= u 1 (t-l) = u 2 (t-l) = u 3 (t-l)= 600, t = l, ••• ,T. Observe que todas

as variáveis iniciam com valor 600, o que é bem diferente de uma p~

litica. Neste caso, permitimos um número máximo de 25 problemas

parciais; todos os 25 problemas parciais foram realizados, tendo um

tempo total de cerca de 19 minutos de C.P.U., ou seja, aproximada­

mente 45 segundos por iteração. Porém, o fato mais importante é ~ue

no terceiro problema parcial,o ponto obtido já era suficientemente

bom, embora não atingisse a precisão de 0,01. Observe que o ponto

inicial é bastante longe da solução, mas, mesmo assim,não causou im

pedimento para o algoritmo. O número total de avaliações de função

e gradiente (para os 25 problemas parciais) foi 160 e o número to

tal de iterações dentro da sub-rotina de minimização sem restrições

foi de 64. Mostramos a seguir a política obtida; observe que é uma

pol!tica factível e que nao apresenta todos os estados nulos no fi­

nal; voltamos a achar que o problema deve ter diversos máximos lo -

cais ou pontos de não-regularidade em que seja impossível para o al

goritmo evitá-los.

A seguir mostramos ~ política obtida para este caso.O cus

to da política (função objetivo) é de 3585 unidades.

67

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70

CONCLUS~O

Neste trabalho, obtivemos resultados acima dos espera­

dos, e nossos objetivos foram atingidos plenamente.

As comparações entre os métodos foram bastante satisfa

tÓrias. Os resultados do rroblema dos Peixes II, um problema grande,

foram, podemos dizer, excelentes.

A utilização de uma rotina para minimização sem restri

çoes que utilize a informação de canalizações melhoraria, em muito,

a eficiência dos algoritmos.As sub-rotinas que usamos tratam das

canalizações como restrições propriamente ditas. Pcopomos, a partir

de nossas experiências neste trabalho, que os interessados que que!

ram melhorar o desempenho dos algoritmos, utilizem uma sub-rotina

de minimizações sem restrições com canalizações.

71

B I BL I O G R A F I A

[ 1 J As~adi,J. A computational comparison of some non-linear pro­

grams. MathematiaaZ programmingJ 4(2):144-54, 1973.

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glewood Cliffs, Prentice-Hall, 1976.

[ 3 ] Diniz,M.A.B. Algoritmos para minimização de funções aom re~

trições não Lineares. Campinas, IMECC/UNICAMP, 1980. (Te­

se de Mestrado).

[ 4 ] Fletcher,R. An Ideal penalty function for constrained optimi­

zation. JournaZ of the Institute of mathematias and its

appliaationsJ l5(3):319-42, 1975.

[ 5 ] An exact penalty function for nonlinear prograrn-

rning with inequa1ity constraints. Mathematiaal programmingJ

5(2): 129-50, 1973.

[ 6] Hadley,G. Nonlinear and dynamia programming. Reading, Addison Wesley, 1964.

[ 7 ] Hestenes,M.R. Multiplier and gradient rnethods. Journal of

optimization theory and its applicationsJ 4(5):Jo3-20,1973.

L 8 J Jittorntrurn,K. Acce1erated convergence for the Powe11/Heste­

nes rnultiplier rnethod. Mathematiaal programmingJZ8(2):197-

214, 1980.

[ 9 J Luenberger,D.G. Introdu tion to linear and nonZinear progra~

ming. Reading, Addison-Wesley, 1973.

72

[10] Pielou, E.C. MathematicaZ ecoZogy. New York, Wiley, 1977.

[11] Powe11 ,M.J. D. A method for nonlinear constratnts in minimi

zation. In: F1etcher,R.,ed. - Optimization. London, Aca

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[12] Rockafe11ar, R.T. The mu1tip1ier method of Hestenes and Po­

we11 app1ied to convex programming. JouPnaZ of optimiza­

tion theoPy and its appZications~ Z2(6) :555-62,1973.

AP~NDICE A

74

APE:NDICE A

Aqui daremos algumas definições importantes e apresenta­

remos alguns resultados sem demonstrações. Caso o leitor necessite

de alguma demonstração, poderá te-la nas bibliografias forneciuas.

DEFINIÇÃO 1 - Um ponto x* que satisfaz as restrições h e g,ou

seja, h1 (x*) =O e gi(x*) ~O é dito ponto regular para estas res­

trições se os gradientes Vhi(x*), Vgj(x*), i= 1,2, ••• ,i e j € J

J = {j I gj(x*) =O } , são linearmente independentes.

DEFINIÇÃO 2 - Definimos função lagrangeano a função L(x,À,8):

Rn+m+~R associada ao problema geral (P), que tem a seguinte expre!

sao:

L(x,À,p) = f (x) +À Tg (X) +p Th (X)

m i

= f (X) +L: Àigi(x) + L: pihi(x)

i=l i=l

onde os vetores À e p são chamados vetores dos multiplicadores de

Lagrange.

TEOREMA 1 [ 3 ] - (Condições de Kuhn-Tucker): Se x* é um ponto

mínimo local para o problema (P) e se x* é um ponto regular para as

restrições de (P) , então existe um vetor À €Rm e um vetor P€ Ri com

Ài ~O, i= 1,2, ..• ,m tais que

f (x*) +E i=l

À.Vg.(x*) + l. l.

T e À g(x*) = O

75

Assim, urna condição necessária para que x* seja um mini­

mo local, é que cumpra as condições de Kuhn-Tucker acima; estas con

dições são conhecidas corno condições de Kuhn-Tucker de primeira or-

dern.

TEOREMA 2[ 3 ]- (das condições suficientes de segunga ordem):

Consições suficientes para que x*, ponto regular, seja um ponto

m!nirno local para o problema (P), sao que existam À E Rrn e e E R1

tais que as condições do Teorema 1 sejam satisfeitas e a matriz

V2L(x*,À*,S*) (hessiano do lagran~eano) abaixo, seja definida posi­

tiva no subespaço T dado mais abaixo:

para todo j E J'}

J' = {j: gj(x*) =O, À.> O} J

No caso de o problema apresentar somente restrições de

igualdade o laqranqeano apresenta-se corno:

L(x,p) = f(x) + pTh(x)

e no Teorema 2, o subespaço T seria

T = {y: Vhi(x*f y =O , i= 1,2, ••• , t}.

AP~NDICE B

77

APtNDICE B

DESCRIÇ~O DAS SUB-ROTINAS

Aqui descreveremos as sub-rotinas usadas no nosso traba

lho. Aqui faremos um trabalho breve; não entraremos em pormenores

sobre o uso das sub-rotinas, pois, no apêndice C(listagens) são in

cluidos os programas principais, que servem como exemplo para o u­

so.

B.l - SUB-ROTINAS PARA O MtTODO DE PENALIDADE -

PENA - é a sub-rotina global do método.

- argumentos -

X - vetor ponto inicial de dimensão N .

N - número de variáveis .

M- número de restrições de desigualdade.

L - número de restrições de igualdade.

F- valor da função objetivo na saída.

GFO - vetor gradiente da função objetivo na saída (N componen­

tes.

Q - valor da função penalidade na saída.

AMI - vetor de parâmetros de penalização, na entrada deve ser

fornecido com todas as componentes maiores que zero. Na

saida é a Última atualização que recebeu.

GNORM - parâmetro para efeito de diagnósticos, é a norma eucli

diana ao quadrado para as restriçÕes de desigualdade

que sao violadas pelo ponto x.

HNORM - o mesmo que GNORM para restrições de igualdade.

IDEV - número da máquina para salda dos resultados.

MXF - número máximo de problemas parciais permitidos.

78

FATOR - fator de aumento dos parâmetros de penalização. ~ par!

metro de entrada. Em geral FATOR = 10.

KONT - contador de problemas parciais.

IER - diagnóstico, IER = ~ significa que houve convergência

para um ponto que satisfaz ER < EPS; IER = 1 significa

que a função objetivo já não pode melhorar entre duas

iterações consecutivas(sÕ para IK ~ O); IER = 2 signi­

fica que o número máximo de iterações foi atingido sem

que ER fosse menor que EPS.

EPS tolerância pedida para convergência.

IOUT - se IOUT = ~ a sub-rotina MINSR nada imprime; se

IOUT = k > ~ a sub-rotina MINSR imprimirá a cada k ite

raçoes completas.

KFUN - número total de avaliações de função e gradiente reali

zadas dentro da sub-rotina MINSR.

KTER - número total de iterações completa~ dentro da sub-roti

na MINSR.

GRAG - vetor para trabalho de M componentes, que conterá o

gradiente de uma restrição de desigualdade.

GRAH - o mesmo que GRAG com L componentes, para restrição de

igualdade :i

79

GRAQ - vetor gradiente da função penalidade.

MXFUN - número máximo de avaliações de função e gradiente per

mitidas dentro da sub-rotina MINSR.

W - vetor de trabalho para a sub-rotina MINSR, a ser dimen

sionado com no mínimo (5N+2) posições.

GAUX - vetor que conterá os valores das restrições de desigua!

dade, deve ser dimensionado com M componentes.

HAUX - o mesmo que GAUX para restrições de igualdade, deve ser

dimensionado com L componentes.

ICH -vetor de chaves para passagem da informação se gi{x) é

ou não violada. Se gi{x) 6 violada ICH{I) = ~' caso

contrário ICH{I) = 1. Deve ter dimensão M.

ER - maior infactibilidade, serve para testar a convergênc!

a e na saída serve para se verificar em quanto fci o

valor da norma máximo das restrições que são violadas

pelo ponto.

IMP - se rr~ = ~ nada é impresso pela sub-rotina PENA (pode~

do ou não ter impressão pela sub-rotina MINSR) ; se

!MP= 1 são impressos IER, KONT, F, X, KFUN, KTER, ER,

somente; se !MP = 2, IMPRI é chamada e urna impre~

são detalhada é fornecida, sendo impressas quase a to-

tal idade das variáveis de saída.

IK - se IK = o não é feito o teste de melhora ou na. o da fun

ção objetivo em relação a função Q. Se IK = 1 o teste

é feito.

80

' Sub-rotinas que são chamadas pela sub-rotina PENA:

a>MINSR - tem a finalidade de fazer a minimização sem restrições

da função penalidade. Esta sub-rotina implementa um

método semelhante a gradientes conjugados com uso · de

pseudos-hessianos.

Chamada da sub-rotina:

CALL MINSR(N, M, L, X, Q, GRAG, AMI, IFUN, !TER, EPSG, NFLAG ,

MXFUN, F, GFO, W, IOUT, IDEV, ACC, GNORM, HNORM, GAUX, HAUX,

GRAG, GRAH, ICH)

- argumentos nao descritos na sub rotina PENA -

IFUN - número de avaliações de função e gradiente realizadas

nesta sub-rotina.

!TER - número de iterações completas realizadas nesta sub-ro-

tina.

EPSG - é a tolerância pedida para convergência na minimização

sem restrições.

NFLAG - diagnóstico da MINSR. Se NFLAG = ~ houve convergência;

se NFLAG = 1 houve falha na busca unidimensional do mé

todo, não se conseguindo melhorar o valor da função

se NFLAG = 2 o número máximo de avaliações de função e

gradiente foi atingido sem que houvesse sido atingida

a tolerância EPSG.

ACC uma aproximação para a precisão da máquina em ponto flu

tuante. No PDP-10 da UNICAMP,ACC = 2-27 .

81

b)ATUAMI- tem a finalidade de atualizar os parâmetros de penali-

zaçao.

Chamada:

CALL ATUAM! (AMI, M, L, EPS, FATOR, ICH, HAUX)

c)IMPRI - tem a finalidade de imprimir os resultados finais obti

dos

Chamada:

CALL IMPRI(N, M, L, X, F, GFO, Q, AMI, FATOR, KONT, lER, EPS,

KFUN, KTER, GAUX, HAUX, GRAQ, ER, IDEV)

d)FPEN - calcula o valor da função penalidade e seu gradiente.

Chamada:

CALL FPEN(X,N,M, L, Q, GRAQ, AMI, AGNORM, HNORM, F, GFO, GAUX,

HAUX, GRAG, G~~, ICH)

e)FUN, - sao 3 sub-rotinas que compoern o conjunto de problemas

GE,

HAGA

testes. A sub-rotina FUN calcula uma especificada fu~

ção objetivo ou o seu gradiente; a sub-rotina GE cal­

cula uma especificada restrição de desigualdade ou

seu gradiente; a sub-rotina HAGA é semelhante a GE, só

que para restrições de igualdade.

Chamadas:

CALL FUN (X, F, GF, L)

CALL GE ( I, X, G, GRAG, L)

CALL HAGA ( I, X, H, GRAH, L)

82

- argumentos -

X - ponto fornecido.

F valor de uma função objetivo.

GF - gradiente de uma função objetivo.

L - se L =1 a função é calculada; se L = 2 o gradiente da

função é calculada.

I - é a i-ésima restrição considerada.

G - valor da restrição de desigualdade.

GRAG - gradiente da restrição de desigualdade,

H - valor da restrição de igualdade.

GRAH gradiente da restrição de igualdade.

Ârea em COMMON; COMMON/NOPROB/NP

Se NP = i, o i-ésimo problema teste está sendo considera

do.

83

B.2 - SUB-ROTINAS PARA O MtTODO LAGRANGEANO AUMENTADO

PNL,01 ...

a sub-rotina global do método. - e

- argumentos -X - mesmo que na sub-rotina PENA.

N mesmo que na sub-rotina PENA.

M - mesmo que na sub-rotina PENA.

L - mesmo que na sub-rotina PENA.

XLAM - vetor aproximação para os multiplicadores de Lagrange;

na entrada, se não é fornecido, a sub-rotina assume o

valor 0,01 para todas as componentes de XLAM, se algu-

ma componente apresenta valor maior que 0,01, esse va­

lor é assumido. Deve ser M-dimensionado.

XSIG - vetor de parâmetros para os termos de segundo grau das

restrições de desigualdade. Deve ser M-dimensioando.

TETA - o mesmo que XLAM para restrições de igualdade. Pode ,

suas componente~ assumir qualquer valor real. Deve ser

L-dimensioando.

XMI - o.mesmo qúe XSIG para restrições de igualdade. Deve

ter dimensão L.

FOBJ - valor da função objetivo da salda.

FPSI - valor da função lagrangeano aumentado na

salda.

GX - vetor de trabalho de dimensão M.

HX - vetor de trabalho de dimensão L.

84

GFO - gradiente da função objetivo na sa!da.

w - vetor de trabalho. Deve ter no mínimo (5N+2) posições

GRAG - vetor de trabalho que conterá um gradiente de urna res~

trição de desigualdade.

GRAH - o mesmo que GRAG para urna restrição de igualdade.

AK - vetor de atualização dos parâmetros XLAM.

KFUN - número total de avaliações de função e gradiente na

saida. ~ o somatório dos IFUN.

EPS - precisão pedida para convergência.

MXFUN - o mesmo que na sub-rotina MINSR.

MAXF - número máximo de problemas parciais permitidos.

IOUT - o mesmo que na sub-rotina MINSR.

ACC - o mesmo que na sub-rotina MINSR.

TOL - se uma restrição de desigualdade for menor que TOL, e~

ta restrição não passrã pelo teste de razão de melhora;

se uma restrição de iguJ.ldade em módulo for menor que

TOL, esta não passará pelo teste acima.

IDEV - o mesmo que na sub-rotina MINSR.

KONT - o mesmo que na sub-rotina PENA.

KTER - o mesmo que na sub-rotina P1.:!NA.

IER - se IER = ~ o método convergiu para um ponto em que a

sua maior infactibilidade .. e menor que EPS; se IER = 1

foi atingido o número máximo de problemas parciais peE

mitidos sem obtenção da precisão desejada; se IER = 2

o problema só contém restrições de desigualdade e o

85

ponto obtido é fact!vel(só para IOP ~-);se IER = 3

não houve melhora na função objetivo em duas iterações

consecutivas (só para ID ~ •); se IER = 1 o problema

é um caso particular em que M = L = - e sua convergên-

cia deve ser analisada pelo parâmetro NFLAG da sub-ro-

tina MINSS.

GAUX - vetor que contém os valores das restrições de desigua!

dade. Deve ser M-dimensionado.

HAUX - o mesmo que GAUX para restrições de igualdade. Deve

ter dimensão L.

FATOR - fator de multiplicaÇão dos parâmetros XSIG para atua­

lização.

EPSG é a tolerância para a sub-rotina MINSS. No primeiro

problema parcial EPSG = min { ~,1; lOxEPS } após isso

EPSG assumiri o valor EPS; para ter·um EPSG diferente

do especificado, a linha EPSG = AMIN 1(~.1, lO•EPS) de

ve ser removida.

IMP - se IMP = O nada é impresso; se IMP = 1 cada iteração

é impressa com ponto obtido, o valor da função objeti-

ID

vo e resultados finais detalhados; se IMP = 2 cada ite

ração é impressa com bastante detalhes mais os resulta

dos finais detalhados.

- se ID = ~ o teste de melhora da função objetivo nao

feito; se ID ~ O o teste é feito.

-e

Ârea em COMMON : COf1MON/SFACTI/IOP. (Veja IER)

Sub-rotinas que sao chamadas pela sub-rotina PNLgl:

a)MINSS - é a mesma que MINSR para o método de penalidade.

Chamada da sub-rotina:

86

CALL MINSS{X, N, M, L, FPSI, GPSI, XLAM, XSIG, TETA, XMI, IFUN,

ITER, EPSG, NFLAG, MXFUN, FOBJ, GFO, W, IOUT, IDEV, ACC, GRAG,

GRAH, GAUX, HAUX)

b)PSI - tem a finalidade de clacular a função lagrangeano au -

mentado e seu gradiente.

Chamada:

CAAL PSI{ X, N, M, L, XLAM, XSIG, TETA, XMI, FPSI, GPSI, GFO,

GRAG, GRAH, FOBJ, GAUX, HAUX)

c)ITERA- tem a finalidade de imprimir os resultados finais do

processo.

Chamada:

CALL !TERA (X, N, M, L, KONT, FOBJ, FPSI, GPSI, HAUX, GAUX,

IFUN, ITER, NFLAG, ER, IDEV, IMP)

d)SFINAL- tem a finalidade de imprimir os resultados finais do

processo.

Chamada:

CALL SFINAL (X, N, M, L, FOBJ, EPSI, GFO, GAUX, HAUX, XLAM,

TETA, KFUN, KTER, KONT, IER, ER, EPS, TOL, FATOR, IMP, IDEV)

e)FNORMA- é uma função real de argumentos A e N, que tem a fina

!idade de calcular a norma infinito de um vetor A de

N componentes.

f)FUN, -tem a mesma finalidade já descrita em 6.2.

GE,

HAGA

87

B.3 - PROGRAMAS PARA IMPLEMENTAÇÃO DOS PROBLEMAS DOS

PEIXES - Além dos programas principais, no apêndi•

ce das listagens, encontram-se dois arquivos com sub-rotinas tipo

FUN, GE e HAGA para os dois problemas dos peixes: duas sub-rotinas

suplementares são também incluidas, a sub-rotina Pl de parâmetros N

e X que tem a finalidade de criar urna pol!tica para os problemas ;a

sub-rotina SAl de parâmetros N,X,IT com a finalidade de imprimir no

formato F7.~ os valores dos controles e estados obtidos ao final do

processo no problema dos peixes. A variável IT especifica o número

de estados: se IT = 5 é o problema dos peixes I; se IT = 50 é o pr~

blerna dos peixes II.

B.4 - ALGUMAS OBSERVAÇÕES IMPORTANTES -No apêndice C

das listagens, encontram os mais importantes programas principais u

sados. Não é nosso objetivo mostrar os seus usos. Queremos mo!

trar resultados obtidos e poder oferecer a interessados urna série

de programas que podem ser úteis corno ferramenta na solução de pro­

blemas de otimização.

APtNDICE C

89 C Pr.o .. ~ ... .~;, ~·~i·J.:fl•!\._. r)~;,;. •.t.~.•.,.:r~r/.r,c:.~t or,H F'IJ:\J,..an P~';i!\l,Iu"ur

c n l M c. "J::.. r 0 A~ x l c;, J 11 l , ~~o~,; r ~i' ,; ) , ,\ '1 ( 1 ~~ n il l , r; 1-: .'\r; r c, '' n ' , r: 1 { t, ti r s o \J ) , r.~< fi •,1 r ~) o 0 )

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SUBROUTINE FUNCX,F,GF,L) C SE L•l à FUNCAO E' CALCULADA C S~ ~·2 O GRADlENT~ UA FUNCAO E' CALCULADO

DIM~NSION X(2),GF(2) CUMI40N/~OPROB/NP

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Pt;TUf«U 112 GfC1l=2.•XCl)+X(2)•14.

GfC4):X(1)+2~*X(2)•1&.

GfCll=2.*CX(3)•10.) Gf(4):~.•(X(4)·5~)

Gf'C~l=7.•(X(S)•3.)

c

Gf(6)~4.•(X(6)•1.)

GFC7l•tO.ttX(7) Gf(8):t4.ttCXCS)•tl.) GFC9)~4.*CX(9)•10.) GFC10)a2.•CXC10)•7.) R~TURN

37 1FCL.E0.2) GO TO 113

103

F:X(l)tttt2+X(2)tttt2+X(l)ttXC2)•t4.•XCl)•16.ttX('l•CXC3l•10.)tttt2 1 +4.tt(X(4)·5~)tttt2+CXC5l•3.ltttt2+2.•CXC6l•1.l••1+S.•X(7)tttt2+ 2 7.~t(A(8)•11~)••2+2.tt(X(9)•10.l••2+CXC10)•7•)•~t2+(X(lll•9.l**2+ 3 10.tt(X(12l•lel**2+5.•CX(13)•7.l••2+4.•(X(l•)•l4.)tt1t2+27.tt(X(l5) 4 •t.l••2+XC1b)tttt4+CX(17)•2.)tttt2+13.•CXC19)•~•'**2+CXC19)•3.)tttt2+ 5 ).(20)••2 +95.

RETURN lll GFCll•2.•XCll+X(2)•14.

c

GfC2l• XCll+2.ttXC2l•lb~ GFC3l•2.*(X(3)•10.) GFC4)a8.tt(X(4)•5.) GFC~l•2.•(X(5)•3.) GfC6)a4.tt(X(6)•1.) GfC7)atO.*X('7) GFC8)at4.ttCXC8)•11.) GfC9)a4.tt(X(9)•10.l GfC10)•2.•CXCl0)•7.) GfC1t)al.*CXC11)•9.) GFC12)a20.tt(X(t2l•1.l GfCll)•lO.tt(X(tll•7.l GFC14)• 8.tt(X(14l•14.) GfC15)a54.tt(X(15l•l.l GFC1ó)•4.*X(tbl**3 GfC17)a2.•CXC17)•2.) GfC18)•2b.tt(X(1Bl•2.l GfC19)•2.•CXC19)•3.) GFC20)•2.ttX(20) RETUFW

38 IfCL.EQ.2) GO TO 114 F••12.•XC1)•7.•XC2l+X(2)tttt2 Rl.TURN

114 GFCll••t2.

c

GFCJl•2.ttXC2)•7. Rt:TURN

34 lf(L.E0.2) GO TO 115 F• A(l)•X(t) RE..TliRN

tt5 GFCll=•l. GfC4l•t. Rt:TURN

3JO IFCL.~Q.2) GO TO llb F:t.llb.ttXC1l••2+1.19.•X(2)tttt2 R~TURN

116 GfCt)ct.I8.•X(t) Gf'(~la2.19.*X(2} Rt:TURN END

104

C SUBROTINA PARA RESTRJCOES OE DESIGUALDADE~ SUBROijTINE GE(I 1 X,G,GR&G,L) DlMiNSION X(2),GRAG(2) CO~II'ION/~OPR08/NP

IFCL.EU.2) GO TO 499 GQ TOC1,99,20,20 1 20,20,99,31 1 l2,)3,l4,35,)v,47 1 )9,39 1 l00)NP

I GO f0(3,3,5)l l G=•XCil

Rt:TüRN 5 GcCl~/X(l)l•X(2) 99 RETURN 2ú GO 10(21,22,23)1 2t G:t.•XC1l•XC2)

RETURN 22 G=4.•XC1l•2.•XC2l

RETURN 23 G:2.+XC1)•4.•XC2l

RETURN 11 Gu t0(41,42)l 41 G:•XC 1 l+t.

Rf::TURN 41· G=•A( 2)

RlTíJRN 11 Gu ro cst,52,S3) I 51 G:X(l)•*2+X(2)•*2+X(l)•*2+X(4)••2+X(l)•X(2)YXJ3)•X(4)•8.

RETURN 51 G•X(ll••2+2.•XC21••2+XCl)**2+2.•XC4)**2•XCl'•'C4)•tO.

RETURN 53 G•2.•XC1>••2+XC2l••2+Xtll••2+2.•XCI)•XC2)•X'41•5. ).; Ri:.TURN 13 IfCI.hE.4) GO TO 3

G: XCI) + X(2) + 2.•X(l) -1. kC:TURN

1~ Gu ro Cbt,62,61,64l 1 ól G~2.•XC1l••2+l.•X(2)•*4+X(l)+4.•XC4)**2+5.•Y(5)•127.

Ht.TURN b) G:7.•XC1)+3.•XC2) +10.•XC3>••2+XC4) •XC5) ·?82.

Rc.TURN bJ G&2l.•X(I) + XC2l••2 + 6.•X(ó)••2 -B.•X(71 •196.

Rt.TURN ó·• G: 4.•X(I)••2 + X(2)••2•3.•X(1)•XC2)+2.•X'l'••2+5.•XC6)•ll.•X(7)

Rt.:TURN c c J0 GO fO C7t,72,7J,74,75,76,77,78ll 71 G:3.•(X(1)•2.)•*2+4.•(X(2)•3.)••2+2.•X(3)•*? •7.•X(4)•120.

RETJRN 1L G~5.•Alll••2+8.•X(2)+(X(l)•b.l••2·2.•XC4)•4"~

Ri::TURN ll G:O.~•<XC1)•8.l••2+2.•CXC2)•4.l••2+3.•CXC5)'••2•X(6)•30.

RETURN 7.1 G:X(ll••2+2.•(X(2)•2.)••2·2.•XC1)•XC2)+14.•Yt~)•6.•XC6)

Pt:;TURN 7<, G:4.•ÃC1l+S.•XC2l•l.•XC7)+9.•XC8)•105.

HETU~H.

7~ G:tO.•XC1)•8.•X(2)•17.•XC7l+2.•XC9) RETURr-4'

77

78

c

G=•l•*X(1)+6.•X(2)+12.•(X(9)•8.)••2•l.•XC10' RETURN G•·a~•X(1)+2~•XC2)+5.•X(9)·2~•XC10l•12. RETURN

105

37 GO tO C8l,92,83,84,85,86,87,89,89,90,91 1 92,a3,94,95 1 96,97)t 81 Gal.•(X(l)•2.)**2+4.•(X(2)•ll**2+2.•X(3)••2•l••XC4)•120.

RETURN 82 G:5.•1C1l••2+8.•X(2)+(X(3)•6.)••2•2.•X(4)•4"~

RETURN 81 G•0.5•CXC1)•8.l••2+2.•CXC2)•4.l••2+3.•XC5)••2•X(6)•lO.

RETURU 84 G:X(1)••2t2.•(X(2)•2•>••2•2.•X(l)•X(2)+14.•Yf~)•6.•XC6l

RETURN 85 G•4.•XC1)+5.•XC2l•l.•XC7)t9.•XC8l•lOS.

RETURN 86 G•tO.•X(l)•B.•XC2)•1l.•XC7l+2.•XC8)

RETURN 87 Ga3.•XC1)+6.•XC2l+12.•CX(9)•8.l••2•7.•X(t0)

RETURN 88 Ga•5.•X(1)+2.•X(2)+5.•XC9)•2.•X(10)•t2.

RETURN 89 GaX(l)+XC2l+4.•XC11)•2t.•XC12)

RETURN 9u G•Xlll••2+tS.•XCt1l•8.•XC12)•28.

RJ.:;TURN 91 G•4.•A(1)+9.•XC2lt5.•XC13)••2•9.•XCt4)•87.

RETURN 9~ Gal.•X(1lt4.•XC2ltl.•(X(13l•6.l••2•t4.•XC141•'0•

RETURN 93 G=t~.•X(l)••2t35.•X<lSl•79.•XCt6)•9?.

RETURN 94 G:l5.•XC2l••2t11~•X(15l•61.•X(16)•54.

R!:::TURN 9~ G:5.•Xf1)••2+2.•X(2)+9.•X(17l••4•XCt8)•68.

RE:..TURt.i 9L G~X(l)••2•X(2)+19.•XC1Q)•20.•XC20)+19.

RE:TURN 97 G:7.•X(tl••2+5.•~(2)••1+X(t9>••2•30.•XC20)

~E:TURi.f

c )tO GO fO Cl61,362,363,J64.365,)66,367,369)1 361 GHlG(1):ó.•(X(1)•2.)

G~AG(2)a8.*(1(2)•J.)

Gf<AGC3l•4.•XCJ) GklGC4):•7.

187 Oü 188 K•5,10 tbH Gf\AGOO•O.

RL:TUfth 3t2 GP~G(ll•lO.•X(t)

GRAG(2l•Y. G~AG(3)a2.•(X(3)•ó.) GkAGC-*l••l. Gu lO Usl

lb3 GkAG(l):K(\)•8. GRAGC~l•4.*(X(2)•4.) GhA.:ii(JlaO. Gf'.A,j( 4l:O. Gr: A G ( 5 l :b • *X ( 5) GFU.:;Cbl=•l.

17 7 IH!

3t6

1':.9

00 178 1<•7.10 GRA;j(K)•O. RETURN G~aGC1l=2.•XC1l•2.•XC2l G~~~(2l•4.•(X(2)•2.)•2.*X(1) Gfi.AGC3l•O. GRAG(t)•O. GRAGC5l•14. GPAGCbl=•6. co ro t77 Gi<AG(1l•4. Gf<AGC2l•5. GF<AGC7l••3. Gf:AGC8)a9. Gfi.AGC~l•O. GRA(,ClO)•O. Oú lb8 1<•3,6 Gf<A~CK)•ú. RETLIR:i GF<A.:iCl>•to. GPAC.C2l••8~ Gf-AGC7l••l7. GPAGC8l•2. 00 158 K•3,6 GF<AGCKl•O. GF<AGC9l•O. GRAGC10)•0. RE.:TURN Gf-<l~C1l••3. Gf!a~C2l•6. GKAG(9)•2t.•CXC9)•8.) Gf<AGC10)••7. Ou 157 K•3,8 GF<AGCKl•O. Rt:TURN

h8 Gt-Aü(ll••9.

c

Gf'AGC2l•2. Gt:\AG(9)a5. Gf{A(,(10)••2. Gu ro t53

.lOb

370 GU f0(471,472 1 473,474,475,476,477,478,479,4oo,481,482,483,494,485, • 48t;,,487>I

471 GP\G(l)•b.•(X(1)•2.) G~AGC2l:9.•(X(2)•3.) Gf~ A G ( 3): 4. • X ( 3l GIHGC-Il••7.

lj I li () u ~ o 1 K • 5 • 2 o ~·1 GF.A~(t\):0.

~t.TlJRr4

~72 G~A~(ll=10.•X(1) G~A-:,(2):~. GRAy()l:2.•(X(l)•b.) GPAGC4l=•2. Gu '1'0 ~CIO

4/3 G~A~Cl>•X(1)•8. GRAGC2):4.*(X(2)•4.) GtUGCll:aO. GHAGC4):0. Gt{AGC~l=b.•XC5l

GRAGCbl••l. JJ=7

899 DO 802 Ka:JJ,20 8 f1 2 GR A G C K) a O •

RE.:TURN 474 GHkGC1l•2.•XC1)•2.•X<2l

G~•GC2l•4.*(X(2)•2.)•2.*X(1) GkAGCll•O. GRAG(4)•0. GRAGC5l•t4. Gt<AGCól••b. JJ•7 co ro B99

475 GRAGC1l•4. GHA(;C2l•S. GRAGCl)aO. GRAGC4l•O. GRAGCSl•O. GRAGC6l•O. GPAGC7l••3. GFlAGC8)a9. JJ•lO co ro 899

476 GHA~Cll•lO. Gf<AGC2l••8~o. GRA~Clla:O. GHAüC4)aO. GHAG(~l•O. GtaG(b):O. GPAGC7l••17. Gt\Ay{fl):2. JJ•'1 Gu ro 899

477 GkAGCll=l. GRAl,(;t)ab. GKAGC3l•O. GIUGC4)a:O. GRA~(5):0.

GRA.:;(b)aO. GRAGC7):0. GRAi.i(S)aO. G~AGC9) • 24.•CXC9)•8.l Gf.!AGC10)••7. JJ•11 Gü TO R99

478 GHAGCll••S. GP.AGC,)a2. Du ó7v K•3,20

870 GkA;.i(K)aO. G f1

• A (; C 9 ) • S • GhA\;(10)••2. Rt;TURN

479 Gf.:Aiifll•l. Gf\A~C2l•l Ou S71 Ka3,20

871 GkAGCKl•O. GPA.;;C11)•4. GRA.;;ct?)••21. Pc..TU~N

4~0 G~AGC1)•2.•XC1)

107

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DO 872 Ka2,20 GRAGCK)aO. GRAGClll•lS. GRAGC12)••9. RETURN GHAb(l)a4. GRAGC2)•9. 00 180 Ka3,20 GRAGCKl•O. GRAGClll•lO.•XCll) GRAGC14l••9. kt:TURN GFIA-:i(l)a3. GRAGC2l•4. 00 ôOS Ka3,20 GF.At.iCKl•O. GRlGC1l)ati.•CXC13)•6.) Gf\A(,(14)••t4. Rt:TURN GHAGC1l•28.-•XC1) Oú b06 Ka2,20 GRli.i(K)aO. GRAGC15)a35. GRAGC1b)a•79. I'IC:Tl.RN Gf<A\iCl>•O. Gf\ AGC 2) •30.'*X ( 2) DO ó07 K•l,20 GnA(;CK)aO. GRAC.Cl5)att. GRAGClb)••bl. Rt,;TUA._ Gf<A(;Cll•tO.•XCt) GRAG.C2l•2. DO 809 Ka3,20

8(•8 GkAGCKl•O. GRl~C17)a36.•XC17l••l GkAGC18l••t. Ri;TUR~

4~b GHAGC1>•2.•XC1l Gt-<A..;c:n•-1. Ou b09 Kal,20

8 (! 9 G r: l G C 1\ l • O • Gf.:lGC lq)a19. Gt1lGC 20) ••20. Rc.TURN

4r7 Gl'"..;c ll•t 4.•XC l) GkA~(~l•tú.*X(2) Oú 901 t<a),20

9\.1 GKl~CI\):0.

c c

GP.lGC1~)•~.•XC19) GRAGC20)••lO. RlTURN

49j GO TOC120,99,130,1JO,IJO,ll0,99,3t0,320,3l",~40,350 1 ,)60,370,J80,J90,3000) NP

t::o Gú Tt)(20l,202,203)I 2~1 G~A~Cll••l.

GP.AGC2l:O.

108

130 131

132

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310 311

312

320 321

lí. 2

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340 3~0

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RE.;TUR~

GP.AGCl)aO. GRA.GC2>••1. RE.TURN GRA~(l)~•l.IX(ll••2 GRAGC2l=•lw Ré:TURtl GU fO(llt 1 t32 1 t3l)I GRA.GCll••XC2l GRAGC2l••XC1) RE.TURN GRAGiCll••l. GF<A.GC2l••2. RETURN GIUGCll~t. GRA.GC2l••4. Rt;TURN GO f0(l1t,312)1 GRlGCll••t. GftlGC2l•O. RETURN GRA.GiCll•O. GRlGC~l••l. Rt:TURN GU f0(321 1 322,32l)l GRlGCll•2.•XC1l+l. GRA.GC2l•2.*XC2)•t. GRA.uCll•2.•XCll+t. GHAGC4l•2.•XC4l•l. RE:TU~N G~lGCll•2.•XC1l•t. GHAGC2h:4.*XC2l GHA.GC3la2.•XC3l GRlGC4l•4.•XC4l•t. Rt:.:TU~N

GHlüC1)a4.•XC1l+2. GRAGC~l•2.*XC2l•l. GRI.GCJ)a2.•XC3l GPAC.C4l••l. R[TURt-.

tFCl.Ew.4) GO TO lll GRA.GCll • •1. FIC:TURN

GRA.GCll • l. GkAGC2l • t. GiUGC l) • 2.

RE.;TI.HW

3)0 Gü f0(351,3S2,3S3,354)T 1St G~AGC1)a4.•XC1)

GRA.~C~l•lJ.*X(2)**l GRAGC3l•1. GRAGC .. )afj.•XC4) GkA.GC5)a5. GKAI.iCb)cO. Gf\A.GC 7laO. Rt: TU R f~

352 GHAC.Cl)a7. G~AG(4!)a).

GF<AGC3l•20_.*X(3)

109

GRAGC4l: 1. GRAGCSl:•l. GRAüCt))aO. Gt<AG(7):0. RETUF<N

353 GRAGCl)a23~

GRAGC4:l•2.•XC2) GfUGC ll•O. GRACrC4)aO. GRACrC5l•O. GRAG(b):t2.•X(6) GRAGC7l••8. Rt:TURN

354 GHAGC1la8.•XC1)•3.•XC2l GRAGC2l:2.•X<2l•l.*XC1l GRAGC)):4.•XC3) GF<AGC4):0. GRAGC5):0. GRAG(b)z5. GPAGC7):•11.

f.tlTURN

lt< G••X(l) RETütotN

39 Gú TO C931,932,933,934,935) I 93t G: A(2)•X(1)•5.

io<ETlJRU 932 G:•l.•X(t)•XC2)+6.

RETURN 933 G: ~~~•XC1l•X(2)+1.

Rl'TUF<N 934 G=t~.•X(l)•XC2)•90.

~t.:TURN

93~ GaO.StX(l)+X(2)•H. 1-'ETURN

lCO GO TO (936,937,93H) I 936 G:X(2)•~(1)

R t; TU R t; 937 G:t.•.H2)

Rt..TiJRh 9j~ G=C1.1l.l•X(1)+XC2)•7.

RE:TURN 3~0 DU 777 J•1,4 777 Gf{lGCJ)aO.

G R A G C 1 ) • •1 ,., IH.:TUt<t-.

3~0 Gu lO C97t,972,97J,974,975) I 971 GHA;(l)a•l.

Gf~AGCll a t. Rt:TliRt.

972 GRl~(l)a•J.

GF<.-(,(2):•1. Rt:TIJRN

973 Gkl~Cll•0.2 GRA~(2)a•1. Rt:TUI<N

~74 GRAGCll•tO. GkAGC2l••l. Rt.TUPN

l.l.U

975 G~AGC1l•0.5

GRAC,C2>•1. Rt;TURN

300L GO Tü (921,922,923) I 92t G~AGC1l••1.

Gf(lGCl>• 1. RETURN

922 GRAGCll•O. GRAGC~>= •l. Rt..TURN

923 GAAGCl>•t.ll. GRAGC2)at. RETURN END S~B~OUTINE HAGA(I 1 X,H,GRAH,Ll OlMt~SlON X(2),GRAH(2) CU.,.MON/~OPROSINP GO TO Ct,2,1,1,t,1,1,1.1,1,34,t,t,t,38,1,1) N~

2 tfrL.EQ.2) GO TO 9 HaX(2)•2.•X(1)**2

t RETURN 9 GRAhCll••4••X(1)

GRAnC2la1. RETURN

14 GO fO Clt,t2,13) 1 11 GO TO C14,t5)L 14 HcX(t)•*2+X(2)**2+X(3)•*2+X(4)**2+XC5)**2 ••O.

RETURN 15 Dú 17 Ja1,5 17 GRAHCJ)a2.•XCJ)

Rt:TURN 17 GO ro (20,21) L 2• H:X(2)•XC:H•5.•XC4l•X(S)

RETUfHi 21 f;r:AnCll•O.

GRAnC:ll•X(l) GRAn())aX(2) GRArtC4)a•S~*X(5)

Gt<At1f~l=•S.•X(4) fiETURN

13 Gú TO C24,25lL 24 H:X(l)•*l+X(2)••3 +1.

Rt:.:TURN 2~ GRAHC1l•l.•XC1l••2

GRAnC2l•l.*XC2)**2 GRAH()):O. GRArtC4)aO. GRAHC5l•O. J:.lf:.TURU

1~ Gu ro C40,29>L 4• H:•2.•XC1)••4 •XC2)+2.

RI:::TURN 20 GkAnC1)••8.•X(1)•*3

GRAnC:ll••l. Ri:TURN

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SUBROUTINE FIIN(X,frGF,L) DlMCNSION X(lOO),GF(lOO) COMMON/GRAI>f/GF'fCJOOl CUMMON/CliSTOICUSTut,CUSTll2,CUST03 GU TO (1, 2 lL

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