CENTRO UNIVERSITRIO PADRE ANCHIETA

FACULDADE DE ADMINISTRAO DE EMPRESAS

AUGUSTO MATIELLO MONGELLI

BRUNA QUEIROZ

DHYONNE GOMES DA NBREGA

EVA APARECIDA ZAGO

JSSICA CRISTINA ZAGO

TRABALHO DE PESQUISA OPERACIONAL

LISTA DE EXERCICIOS 1 E 2 DE PROGRAMAO LINEAR

Jundia - SP

2012

CENTRO UNIVERSITRIO PADRE ANCHIETA

FACULDADE DE ADMINISTRAO DE EMPRESAS

TRABALHO DE PESQUISA OPERACIONAL

LISTA DE EXERCICIOS 1 E 2 DE PROGRAMAO LINEAR

Trabalho elaborado pelos alunos da turma B, do 5

semestre do curso noturno de Administrao de

Empresas, do Centro Universitrio Padre Anchieta

Campus Jundia, orientado pelo Professor Afrnio

Murolo, na disciplina de Pesquisa Operacional.

Jundia - SP

2012

Lista 1

1) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora,

se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e

1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponvel

de couro de 6 unidade e que o lucro unitrio por sapatos de 5 unidades monetrias e o do

cinto de 2 unidade monetria, pede-se: o modelo do sistema de produo do sapateiro, se o

objetivo maximizar seu lucro por hora.

Variveis de deciso

X1 = sapatos/ hora

X2 = cinto/ hora

Funo Objetivo

L = 5x1 + 2x2

Restries

2x1 + 1x26 10x1 + 12x260 Resumo do modelo

Maximizar lucro = 5x1 + 2x2

Tempo = 10x1 + 12x260 Quantidade a produzir = X16 Quantidade a produzir = X25 X10 X20

2) Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P 2. O lucro por unidade de P1 100u.m. e o lucro

unitrio de P2 de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de

P1 e 3horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponvel para essas

atividades de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a

empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 no devem ultrapassar 40 unidades

de P1 e 30 unidades de P2 por ms. Construa o modelo do sistema de produo mensal com

o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

Maximizar o lucro

Varivel de deciso

O que deve ser decidido; Quantidade de P1 e P2.

x1 = quantidade mensal a ser produzida de P1

x2 = quantidade mensal a ser produzida de P2

Funo objetivo

Objetivo maximizar o lucro $

L = 100.x1+150.x2

Restries

Demanda P1 = x140 Demanda P1 = x230 Tempo prod. (P1) = 2 hrs/und.

Tempo prod. (P2) = 3 hrs/und.

Resumo do modelo

Maximizar o lucro = 100.x1+150.x2

Demanda P1 = x140 Demanda P2 = x230 x10 x20

3) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas.

Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u. m. de lucro por caixa, pelo menos 100

caixa de pssego a 10 u. m. de lucro por caixa, e no mximo 200 caixas de tangerinas a

30 u. m. por caixa. De que forma dever ele carregar o caminho para obter o lucro

mximo? Construa o modelo do problema.

Variveis de deciso

X1 = caixas de pssegos

X2 = caixas de tangerina

Funo Objetivo

Carregar o caminho para maximizar o lucro

L = 10x1 + 30x2 + 4000

Restries

100x1 + 200x2600 X1 100 Tempo total de P1 + P2 = 2.x1+3.x2 120 hrs

Tempo = 2.x1+3.x2 120 hrs

X2200 Resumo do modelo

Maximizar lucro = 10x1 + 30x2 + 4000

100x1 + 200x2600 Quantidade a transportar = X1100 Quantidade a transportar = X2200 X10 X20

4) Uma rede de televiso local tem o seguinte problema: foi descoberto que o

programa A com 20 minutos de musica e 1 minuto de propaganda chama a ateno

de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de musica e 1 de

propaganda chama a ateno de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o

patrocinador insiste no uso de no mnim o, 5 minutos para sua propaganda e que no

h verba para mais de 80 minutos de msica. Quantas vezes por semana cada programa

devem ser levadas ao ar

para obter o nmero mximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.

A Varivel de deciso

Programa A = X1 = quantas vezes programa A vai ao ar semanalmente

Programa B = X1 = quantas vezes programa B vai ao ar semanalmente

B Funo objetivo

x1

Maximizar o nmero de telespectadores

Propaganda 1 minuto

Musica 10 minutos

x2

Propaganda 1 minuto

Musica Maximo 80 minutos

Propaganda mnima 5 minutos

Pa = 30.000.x1

Pb = 10.000.x2

Musica 20 minutos

Max (T) = 30.000.x1 + 10.000.x2

C Restries

Musica 20 x1+10 x2 80 Propaganda 1 x1+1x2 5 D Resumo do modelo

Max (T) = 30.000.x1+10.000.x2

Musica = 20x1+10x2 80 Propaganda = 1x1+1x2 5 X1 0 X2 0

5) Uma empresa fabrica dois modelos de cinto de couro. O modelo M1, de melhor qualidade,

requer o dobro do tempo de fabricao em relao ao modelo M2. Se todos os cintos fossem

do modelo M2 a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de

couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam

fivelas diferentes, cuja disponibilidade diria de 400 para M1 e 700 para M2. Os

lucros unitrios so de $ 4,00 para M1 e $ 3,00 para M2. Qual o programa timo de

produo que maximiza o lucro total dirio da

empresa? Construa o modelo do sistema descrito

A Varivel de deciso

M1 = x1 = quantidade a ser produzida de M1

M2 = x2 = quantidade a ser produzida de M2

B Funo objetivo

Maximizar o lucro dirio da em presa

M1 = 4x1(lucro unitrio*quantidade a ser produzida de M1)

M2 = 3x2 (lucro unitrio*quantidade a ser produzida de M2)

Maximizar L = 4x1+3x2

C Restries

Tempo) 2X1 + X2 1000 Couro) X1 + X2 800 Fivela) Fa) x1 400 / Fb) x2 700

Resumo do modelo

Tempo = 2x1+x2 1.000 Cintos = x1+x2 800 F m1 = x1 400 F m2 = x2 700 X1 0 X2 0

6) Uma empresa, aps um processo de racionalizao de produo, ficou com

disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2, R3. Um estudo sobre o uso desses

recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P 2. Levantando os custos

e consultando o departamento de vendas sobre o preo de colocao no mercado, verificou-se

que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O

departamento de produo forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

Produtos Recursos R1 por unidade Recursos R2 por unidade Recursos R3 por unidadeP1 2 3 5P2 4 2 3

Disponibilidade de recursos por ms100 90 120

Que produo mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a em presa? Construa o modelo do

sistema.

A Varivel de deciso

P1 = x1 quantidade a produzir de p1

P2 = x2 quantidade a produzir de p2

B Funo Objetivo

Trazer maior lucro para a empresa

120X1(lucro*quantidade a produzir de p1)

150X2 (lucro*quantidade a produzir de p2)

Maximizar lucro = 120x1+150x2

C Restries

R1 = 2.x1+4x2100 - R2 = 3.x1+2x290 - R3 = 5.x1+3x2120 X1 e X20 Resumo de modelo

Maximizar lucro = 120x1+150x2

R1 = 2.x1+4x2100

R2 = 3.x1+2x290 R3 = 5.x1+3x2120 X10 X20

7) Um fazendeiro est estudando a diviso de sua propriedade nas seguintes atividades

produtivas. A (arrendamento) Destinar certa quantidade de alqueires para a plantao

de cana-de-acar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da

terra $ 300,00 por alqueire por ano.P (pecuria ) Usar outra parte para a criao de

gado de corte. A recuperao das pastagens requer adubao (100Kg/Alq) e irrigao

(100.000 l de gua/Alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade de $400,00 por

alqueire por ano. S (plantio de soja) Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa

cultura requer 200 Kg por Alqueire de adubos e 200.000 l de gua/Alq. Para irrigao por

ano. O lucro estimado nessa atividade de $500,00/alqueire por ano. Disponibilidade

de recursos por ano;12.750.000 l de gua ;14.000 Kg de adubo ;100 alqueires de terra.

Quanto alqueire dever destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?

Construa o modelo de deciso

A Varivel de deciso

Pecuria = x1

Plantio de soja = x2

B Funo Objetivo

Proporcionar maior retorno por alqueire

X1 = 400

X2 = 500

Maximizar lucro = 400x1+500x2

C Restries

Alqueires = X1 + x2100 Adubos = 100x1 + 200x214000 gua = 100000x1 + 200000x212750000

Resumo do modelo

Maximizar lucro = 400x1+500x2

Alqueires = X1 + x2100 Adubos = 100x1 + 200x214000 gua = 100000x1 + 200000x212750000 X10 X20

9) Uma liga especial constituda de ferro, carvo, silcio e nquel pode ser obtida

usando a mistura desses minerais puros alm de 2 tipos de materiais recuperados:

Material recuperado 1 MR1-composio

Ferro-60% Custo por kg: $0,20

Carvo-20%

Silcio-20%

Material recuperado 2 MR2- composio:

Ferro 70% Custo por kg: $0,25

Carvo 20%

Silcio 5%

Nquel 5%

A liga deve ter a seguinte composio final:

Matria-prima % mnima % mxima Ferro 60 65

Carvo 15 20 Silcio 15 20 Nquel 5 8

Os custos dos materiais puros so (por kg): ferro: $0.30; carvo: $0.20; silcio $0.28;

nquel: $0.50. Qual devera ser a composio da mistura em termos dos materiais disponveis,

com menor custo por kg? Construa o modelo de deciso.

(Soluo)

Variveis de Deciso:

Mr.1 X1 = Quantidade a ser adicionada em Kg na mistura. Mr.2 X2 = Quantidade a ser adicionada em Kg na mistura. Ferro X3 = Quantidade a ser adicionada em Kg na mistura. Carvo X4 = Quantidade a ser adicionada em Kg na mistura.

Silcio X5 = Quantidade a ser adicionada em Kg na mistura. Nquel X6 = Quantidade a ser adicionada em Kg na mistura. Objetivo:

Minimizar Custos.

Min. C. = 0,20. X1 + 0,25.X2 + 0,30.X3 + 0,20.X4 + 0,28.X5 + 0,50.X6

Variveis de restries:

Ferro = (0,6.x1 + 0,7.x2 + x3) 0,60 / (0,6.x1 + 0,7.x2 + x3) 0,65

Carvo = (0,2.x1 + 0,2.x2 + x4) 0,15 / (0,2.x1 + 0,2.x2 + x4) 0,20

Silcio = 0,2.x1 + 0,05.x2 + x5 0,15 / (0,2.x1 + x2.0,05 + x5) 0,2

Nquel (0,05.x2 + x6) 0,05 / (0,05.x2 + x6) 0,08

Total = x1+x2+x3+x4+x5+x6=1

x1 0 ; x2 0 ; x3 0 ; x4 0 ; x5 0 ; x6 0

10) Uma rede de depsito de materiais de construo tem 4 lojas que devem ser

abastecidas com 50m3 (loja1), 80 m3 ( loja 2), 40m3 (loja3) e 100m3 (loja 4) de areia

grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2, P3, cujas distancias s lojas esto no

quadro (em km);

L1 L2 L3 L4

P1 30 20 24 18

P2 12 36 30 24

P3 8 15 25 20

O caminho pode transportar 10m3 por viagem. Os portos tm areia para suprir qualquer

demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distncia total percorrida

entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do

problema.

Soluo:

Loja1 50m 3 P1=30 x1.1 P2=12 x2.1 P3=8 x3.1

Loja 2 80m 3 P1=20 x1.2 P2=36 x2.2 P3=15 x3.2

Loja 3 - 40m3 P1=24 x1.3 P2=30 x2.3 P3=25 x3.3

Loja 4 100m3 P1= 18 x1.4 P2=24 x2.4 P3=20 x3.4

Cada viagem 10 m3

Objetivo; minimizar distancia e quantidade de viagens;

X1.1nde viagens do P1 a L1 X2.1nde viagens do P2 a L1 X 3.1nde viagens do P3 a L1

X1.2nde viagens do P1 a L2 X2.2nde viagens do P2 a L2 X3.2nde viagens do P3 a L2

X1.3nde viagens do P1 a L3 X2.3nde viagens do P2 a L3 X 3.3nde viagens do P3 a L3

X1.4nde viagens do P1 a L4X2.4nde viagens do P2 a L4 X 3.4n de viagens do P3 a L4

Minimizar Viagens = 30.x+20.x+24.x+18.x+12.x+36.x+30.x+24.x+8.x+15x+25x+20x.

Lista 2

1 resolver graficamente o modelo de programao linear.

Maximizar LUCRO = 2x1 + 3x2

-x1 + 2x2 4 Sujeito x1 + 2x2 6

x1 + 3x2 9 x1 0; x2 0

x1 = 6

x2 = 0

Lucro = 12

-x1 + 2x2 4 x1 + 2x2 6 x1 + 3x2 9 -1 + 2. 2,5 4 1 + 2. 2,5 6 1 + 3. 2,5 9 4 4 6 6 8,5 9

1.2 Maximizar RECEITA = 0,3x1 + 0,5x2

2x1 + x2 2 Sujeito x1 + 3x2 3

x1 0; x2 0

x1 = 0,6 x2 = 0,8 receita = 0,58

1.3 Maximizar LUCRO = 2x1 + 3x2

x1 + 3x2 9 Sujeito -x1 + 2x2 4

x1 + x2 6 x1 0; x2 0

x1 = 4,5 x2 = 1,5 Lucro = 13,5

1.4 Minimizar CUSTO = 10x1 + 12x2

x1 + x2 20 Sujeito x1 + x2 10

5x1 + 6x2 54 x1 0; x2 0

x1 = 10,8

x2 = 0

custo = 108

1.5 Minimizar Z = 7x1 + 9x2

- x1 + x2 2 x1 5

Sujeito x2 6 3x1 + 5x2 15 5x1 + 4x2 20 x1 0; x2 0

x1 = 40/13

x2 = 15/13

Min Z =

415/13

2 Resolver o problema 1 da lista 1. Qual a ociosidade de recursos na

soluo tima?

Max L = 5x1 + 2x2

10x1 + 12x2 60 2x1 + x2 6 x1 0 x2 0

1 restrio (sapatos e cintos)

2x1 + x2 6 2 x 3 + 1 x 0 6 6 6 (3 sapatos e 0 cintos) 2 restrio (Tempo)

10x1 + 12x2 60 10 x 3 + 12 x 0 60 30 60 (tem 30 minutos de ociosidade)

3 resolva o problema 2 da lista 1. Qual a ociosidade de recursos na soluo tima?

Max L = 100x1 + 150x2

2x1 + 3x2 120 x1 40 x2 30 x1 0 ; x2 0

4 - Resolva o problema 3 da lista 1.

Max L = 10x1 + 30x2 + 4000

x1 + x2 600 x1 100 x2 200 x1 0 ; x2 0

1 restrio (P1 = laranja) 2 restrio (P2 = pessego) 1 + 2 + tangerina = 800 P1 = 400

x1 120 x2 200 400 + 200 + tangerina = 800 P2 = 200 400 120 200 200 tangerina = 200 P3 = 200

Lucro = 14000

5 - Resolva o problema 4 da lista 1.

Max T = 30.000x1 +10.000x2

x1 + x2 5 20x1 + 10x2 80 x1 0 ; x2 0

Programa A = 3 Programa B = 2 Telespectadores = 110.000

6 - Resolva o problema 5 da lista 1. Existe disponibilidade de recursos na soluo tima?

Max. Lucro 4x1 + 3x2

2x1 + x2 1000 x1 + x2 800 x1 400 x2 700 x1 0; x2 0

Cintos M1 = 200 uni

Cintos M2 = 600 uni

Max Lucro = 2600

Ociosidade

Fivelas M1 = 200 uni

Fivelas M2 = 100 uni

7 Duas fbricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fbricas

tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel mdio e 28

toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de

produo na primeira fbrica de 1000 u.m. e o da segunda fbrica de 2000 u.m., por dia. A

primeira fbrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel mdio e 2 toneladas de

papel grosso por dia, enquanto a segunda fbrica produz 2 toneladas de papel fino, 1 tonelada

de papel mdio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fbrica dever operar para

suprir os pedidos mais economicamente?

Fabrica 1 = 1000 u.m.

Fbrica 2 = 2000 u.m.

Variveis x1 dias - xa

x2 dias xb

Max C = 1000x1 + 200x2 Fbrica 1 = 2,8 dias

Papel fino 8xa + 2xb 16 T Fbrica 2 = 3,2 dias Papel mdio - 1xa + 1xb 6 T Custo = 9.200 Papel grosso - 2xa + 7xb 28 T x1 0; x2 0

8 - Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhes. O tipo A tem 2 m3 de

espao refrigerado e 3 m3 de espao no refrigerado; o tipo B tem 2 m3 de espao

refrigerado e 1 m3 de no refrigerado. O cliente quer transportar um produto que necessitar 16

m3 de rea refrigerada e de 12 m3 de rea no refrigerada. A companhia calcula em 1000 l de

combustvel para uma viagem com o caminho A e 750 l para o caminho B. Quantos

caminhes de cada tipo devero ser usados no transporte de produto, com o menor consumo

de combustvel.

Minimizar combustvel 1000x1 + 750x2

2x1 + 2x2 16 3x1 + x2 12 x1 0; x2 0

Caminho A = 2

Caminho B = 6

Gasto de combustvel =6700

9) Uma companhia fabrica dois produtos P1 e P2 que utilizam os mesmos recursos

produtivos: matria prima, forja e polimento. Cada unidade de P1 exige 4 horas de forjaria, 2

horas de polimentos e utiliza 100 u. de matria prima. Cada unidade de P2 requer 2 horas de

forjaria, 3 horas de polimento e 200 u. de matria prima. O preo de venda de P1 1900 u.m.

e de P2, 2100 u.m. Toda produo tem mercado garantido. As disponibilidades so de: 20

horas de forja; 10 horas de polimento e 500 unidades de matria prima, por dia.

A) Determinar as quantidades a produzir de P1 e P2 que otimizem a receita diria dos

produtos.

Maximizar receita 1900x1 + 2100x2

100x1 + 200x2 500 4x1 + 2x2 20 2x1 + 3x2 10 x1 0; x2 0

P1 = 5 unidades

P2 = 0 unidades

Receita = 9500

B) Suponha que os custos dos insumos sejam:

a. Matria prima 1 u.m. por unidade

b. Forjaria 150 u.m. por hora

c. Polimento 100 u.m. por hora

Qual o plano de produo que maximiza o lucro dirio?

P1 = 5 unidades

P2 = 0 unidades

Lucro = 5000

Max L = (1900 - 100 x 1 - 4h x 150 - 2h x 100) x x1 + (2100 - 200 x 1 - 2h x 150 - 3h x 100) x

x2

Max l = (190 - 100 - 600 - 200) x x1 + (2100 - 200 - 300 - 300) x x2

Max L = 1000x1 + 1300x2

Max L = 1000 x 5 + 1300 x 0

Max L = 5000

10) Uma refinaria produz gasolina e leo diesel a partir de petrleo. A obteno de gasolina

envolve 3 operaes: destilao atmosfrica, dessulfurao e reforming cataltico. Para o leo

diesel as operaes so: destilao atmosfrica, dessulfurao e craqueamento cataltico. Os

reservatrios nos quais essas operaes so processadas tem capacidade limitada. Tem-se um

reservatrio especial para cada operao acima citada, e suas capacidades anuais esto na

tabela:

Qual o plano anual de produo que maximiza o lucro da refinaria para esses produtos, se os

lucros por toneladas so: gasolina = 7 u.m.; leo diesel = 5 u.m.?

Lucro Max. = 7x1 + 5x2

Restries:

x 1.1/500+x2.1/6001 x1.0,0020+x2.0,0016671 x1.1/700+x2.1/5001 x1.0,001429+x2.0,0021 x1400 x2450 x10 x20 x 1.1/500+x2.1/6001 x1.1/700+x2.1/5001 x1400 x2450 x 1.1/500+x2.1/600=1 x1.1/700+x2.1/500=1 x1=400 x2=450 X1 X2 X1 X2

0 600 0 500

500 0 700 0

BRUNA QUEIROZDHYONNE GOMES DA NBREGAEVA APARECIDA ZAGOJundia - SPJundia - SP